Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

Título: Utilização do software GeoGebra nas construções geométricas

planas no 9º ano do Ensino Fundamental

Autor Cecilia Harumi Iwazaki

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação

do Projeto e sua

localização

Escola Estadual Irmã Maria Antona – Ensino

Fundamental

Rua Jaçanã, 941, Centro

Município da escola

Sarandi - PR

Núcleo Regional de

Educação

Núcleo Regional de Educação de Maringá

Professor Orientador Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco

Instituição de Ensino

Superior

UEM – Universidade Estadual de Maringá

Relação Interdisciplinar

Relação com a disciplina de Arte

Resumo

Esta produção didática (unidade didática) visa

atender às necessidades dos alunos do 9º ano

do Ensino Fundamental das escolas públicas

do Estado do Paraná, no que se refere à

compreensão de alguns conteúdos da

Geometria Plana por meio do software

GeoGebra. Nesse sentido, serão propostas

atividades de construções que envolvem

conceitos geométricos previstos para o 9º ano,

visto que, boa parte destes educandos

encontram dificuldades em utilizá-los quando

necessário. Este material didático foi

organizado, tendo como base as Tecnológicas

da Informação, pois estas estão cada vez mais

presentes na vida de todos, especialmente dos

mais jovens. Desta forma, espera-se contribuir

para melhoria do ensino em nas escolas

públicas paranaenses.

Palavras-chave Educação Matemática; Geometria Plana;

Construções Geométricas; GeoGebra.

Formato do Material

Didático

Unidade Didática

Público Alvo

Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental da

Escola Estadual Irmã Maria Antona – Sarandi -

PR

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CECILIA HARUMI IWAZAKI

UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NAS CONSTRUÇÕES

GEOMÉTRICAS PLANAS NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

MARINGÁ / PR

2013

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

CECILIA HARUMI IWAZAKI

UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NAS CONSTRUÇÕES

GEOMÉTRICAS PLANAS NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Material Didático (Unidade Didática) para

Intervenção Pedagógica na Escola,

apresentado à Secretaria Estadual de

Educação do Estado do Paraná, como

requisito parcial à obtenção do título de

Professor PDE, sob a responsabilidade da

Universidade Estadual de Maringá - UEM,

tendo como orientador, o Professor Dr.

Valdeni Soliano Franco.

MARINGÁ/PR

2013

1. INTRODUÇÃO

Como temos observado através de nossa experiência em sala de aula,

muitos alunos apresentam dificuldades para visualizar geometricamente as

construções contidas nos livros didáticos, ou aquelas construídas por nós, em

nossas aulas, por meio do quadro negro, do giz e do apagador.

Consequentemente surgem dificuldades para que eles entendam certos conceitos

da geometria, gerando desinteresse pelas aulas.

Assim, cabe ao professor criar ambientes adequados para que os alunos

estabeleçam estratégias para construírem os conceitos geométricos e

conhecimentos relacionados aos mesmos. Para isso, precisam-se buscar novas

metodologias de ensino, e as Mídias Tecnológicas podem ser uma alternativa

adequada, pois as Tecnologias da Informação estão cada vez mais inseridas na

vida de todos e a utilização se acentua entre o público mais jovem.

Nos dias atuais com o avanço das Tecnologias da Informação, a educação

não pode ignorar esses recursos e deixar de inseri-las no processo de ensino e

de aprendizagem, e ainda de acordo com Hendres; Kaiber (2005), a inserção do

computador como recurso para o ensino da matemática tem sido um desafio para

os professores e alunos.

Tendo em vista as mudanças introduzidas constantemente no meio em que

nossos alunos estão inseridos, surge a necessidade em repensar nossa prática

docente, pois

[...] como o mundo atual é rapidamente mutável, também a escola deve estar em contínuo estado de alerta para adaptar seu ensino, seja em conteúdos como em metodologias, à evolução destas mudanças, que afetam tanto as condições materiais de vida como do espírito com que os indivíduos se adaptam a tais mudanças. (SANTALÓ, 1996, p. 11).

Segundo D‟Ambrosio (1986), a informática está causando mudanças

constantes nas sociedades. E a escola não está imune a essa mudança, pois os

indivíduos mais jovens utilizam essa tecnologia com maior intensidade,

familiarizando-se com a mesma, de forma que muitas vezes até surpreende os

adultos. Assim, os professores não devem perder a oportunidade em explorar

esta tecnologia para fins educativos, pois os alunos aprendem melhor com prazer.

Ainda mais que “o acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto,

nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma

educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma „alfabetização

tecnológica‟.” (BORBA; PENTEADO, 2010, p. 17).

Uma das alternativas de software para o ensino da Geometria é GeoGebra,

pois

o software Geogebra pode substituir satisfatoriamente o caderno de desenho geométrico. Podemos utilizar sua interface gráfica e suas ferramentas para traçar retas, ângulos, circunferências etc. Uma das vantagens do uso de Geogebra é que as construções são dinâmicas, isto é, podem ser modificadas sem a perda dos vínculos geométricos. Isso permite que o usuário faça grande quantidade de experimentações que lhe possibilite construir proposições geométricas. (GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010, p. 11).

E, ainda, ao contrário de alguns outros softwares que são proprietários, o

grande atrativo do GeoGebra é ser software em código aberto, gratuito e

apresentar compatibilidade com várias plataformas tais como Windows, Linux e

Mac, o que possibilitou sua instalação nas máquinas do laboratório do Paraná

Digital (PRD) e no laboratório do Programa Nacional de Informática na Educação

(Proinfo), sendo que primeiro está presente em quase toda as escolas da rede

estadual de ensino e o segundo em algumas das escolas públicas.

Verifica-se, ainda, que

o uso de computadores força, não apenas a reconhecer na área de experimentos uma fonte de idéias matemáticas e um campo para a ilustração de resultados, mas também um lugar onde permanentemente ocorrerá confrontação entre teoria e prática. (D`AMBROSIO, 1986, p. 110).

Assim, os professores devem planejar sua prática docente, pois

não se justifica deixar de usar a informática na escola que pode

facilitar a prática docente e na diversificação das aulas, pois o uso da informática pode reduzir o tempo de execução de atividades e garante o resultado preciso. Porém, o computador por si só não realiza nenhuma tarefa, necessitando das pessoas que dominem o uso dessas máquinas com eficiência. (IWAZAKI, 2011, p. 5).

E, ainda,

para Paulo Freire, educador brasileiro considerado um dos pensadores mais notáveis da história da pedagogia mundial, o uso da tecnologia não deveria ser realizado de qualquer modo ou sem a devida preparação […] (VALIN, 2009, p. 2).

Se isso não acontecer, os investimentos feitos nas escolas não contribuirão

na adequação da metodologia de ensino ao meio em que os educandos estão

inseridos. E, ainda, como a evolução tecnológica ocorre em ritmo frenético,

segundo Rosa (2009, p. 1389), estas tecnologias devem ser incorporadas antes

que o investimento perca eficácia.

Observa-se, além disso, que o software GeoGebra é uma ferramenta de

apoio que pode contribuir em muito na aprendizagem, pois, se sua potencialidade

for explorado adequadamente, o mesmo

[...] reforça conceitos e propriedades em que o aluno tem mais dificuldades de visualizar alterações de posições e movimentos imaginários, como as limitações da reta, da semi-reta e segmentos de reta, propriedades de polígonos, teorema de Tales, condição de existência de triângulos, entre outros. (ALBUQUERQUE, 2008, p. 14 e 15).

Assim, ao explorar a potencialidade deste software, os professores

conseguirão tornar suas aulas dinâmicas e prazerosas inclusive para educandos

que apresentam dificuldades em perceber a linha de raciocínio, tornando os

conteúdos acessíveis inclusive para estes.

2. DESENVOLVIMENTO

Segundo o historiador Heródoto (século V a.C.), os agricultores egípcios

que possuíam terras próximas ao rio Nilo queriam delimitar suas propriedades,

pois quando chovia muito e o rio transbordava, a água derrubava as cercas e as

marcações desapareciam. Assim, os encarregados do faraó tinham que medir

novamente os terrenos. Para resolver esse problema, começaram a buscar

soluções, dando origem a alguns resultados geométricos utilizados até os dias de

hoje. Esse fato conduziu à denominação grega “Geometria” (“geo” que significa

“terra” e “metria” que significa “medida”), cujo significado ficou sendo, portanto,

medida da terra.

Pode-se dizer atualmente que geometria é o estudo do espaço em que

vivemos, isso inclui o cálculo de medidas associadas a algumas figuras

geométricas.

Quem organizou e sistematizou esses os conhecimentos da geometria

conhecida pelos babilônios, egípcios, gregos, entre outros, de forma lógica foi o

grego Euclides (século III a.C) em sua famosa obra “Os Elementos”. Por esta

razão essa Geometria, que ainda hoje também é estudada no Ensino

Fundamental e Médio, é chamada Geometria Euclidiana, em sua homenagem.

Na Geometria Euclidiana axiomática, faz se necessário a existência de

algumas noções elementares, que devem ser aceitas sem definição. O ponto, a

reta e o plano fazem partes dessas noções elementares, pois sabemos como

representa-los e ainda

um comentário que deve ser feito é que, na história da

humanidade, nenhum homem conseguiu ver um ponto, uma reta

ou um plano! Isso porque apenas objetos tridimensionais são

capazes de refletir radiações eletromagnéticas que excitem as

células da retina, responsáveis pela visão. [...] A geometria é

apenas um conjunto de pensamentos lógicos, os desenhos

utilizados em seus teoremas são apenas representações gráficas

dos elementos que não podemos ver! (GERÔNIMO; BARROS;

FRANCO, 2010, p. 24).

Durante a aplicação desta unidade didática, os alunos serão convidados

para que em duplas discutam e registrem algumas questões para averiguarem o

seu conhecimento sobre alguns elementos da geometria, como retas, semirretas,

segmentos de retas, retas paralelas, retas concorrentes, ângulos, polígonos. Não

será necessário, inicialmente, o uso dos termos científicos, pois o importante é

que eles apresentem suas ideias sobre esses elementos que serão importantes

para este estudo da geometria.

ATIVIDADES

1) Quais são os elementos geométricos que são aceitos sem definição, os

chamados entes primitivos na Geometria Euclidiana Plana?

OBJETIVO: Para que os alunos se lembrem das noções primitivas que

são a base da Geometria Euclidiana: o ponto, a reta e o plano.

2) Sobre retas:

a) Por um ponto passam quantas retas?

OBJETIVO: Para que os alunos percebam que para construir uma única

reta um ponto não é suficiente.

b) Por dois pontos distintos passam quantas retas?

OBJETIVO: Para os alunos lembrarem que para construir uma reta é

necessário e suficiente que sejam dados dois pontos distintos. Esse é

um dos postulados de Euclides citado nos seu livro Os Elementos.

c) Quais são as diferenças existentes entre reta, semirreta e segmento de

reta?

OBJETIVO: Para que os alunos se lembrem de que um segmento da

reta, bem como uma semirreta são definidos a partir de uma reta.

3) Sobre posições relativas de duas retas na Geometria Euclidiana:

a) Quando duas retas são paralelas?

b) Quando duas retas são concorrentes?

OBJETIVO: Para os alunos lembrarem das únicas posições relativas entre

duas retas na Geometria Euclidiana Plana.

4) O que são pontos colineares?

OBJETIVO: Para os alunos lembrarem esse conceito.

5) O que determina a reunião de duas semirretas de mesma origem?

OBJETIVO: Para que os alunos se lembrem da definição de ângulo.

6) O polígono convexo que possui menor número de lados, de ângulos e de

vértices é o _________________________. Esse polígono possui ____

diagonais.

OBJETIVO: Para que os alunos se recordem da definição de triângulos e

diagonais.

7) O retângulo é um polígono regular? Por quê?

OBJETIVO: Verificar se os alunos lembram que os únicos retângulos que

são regulares são os quadrados, mas que o retângulo nem sempre é um

quadrado. (condição mínima)

8) Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

OBJETIVO: Para verificar se os alunos se lembram do incentro,

circuncentro, baricentro e ortocentro.

9) O que você entende como área de um polígono?

OBJETIVO: Verificar se demonstra domínio o conceito de área.

Após a resolução das atividades anteriores, fazer a complementação

necessária com os alunos, pois eles precisam dos conhecimentos geométricos

para o uso do software GeoGebra, tendo em vista que a tecnologia contribui na

construção de conhecimentos, mas que não proporciona o conhecimento como

muitos pensam.

Num segundo momento, os alunos irão ao laboratório do PRD ou do

Proinfo para se familiarizarem com as ferramentas do software GeoGebra,

identificando-as e sua função, bem como verificar os conceitos geométricos

abordados anteriormente. Esta etapa objetiva o preparo dos alunos para

realização das atividades desta unidade didática no referido software.

Existem alguns materiais disponíveis na internet que contribuem para o

ensino da geometria como http://www.youtube.com/watch?v=R6KGzSopiJA para

o estudo da classificação de triângulos e http://issuu.com/dionisio/docs/triangulos

que apresenta os elementos notáveis do triângulo.

ATIVIDADE DE CONSTRUÇÕES

1) Construir um triângulo, dados dois de seus lados (distintos) e a sua

altura.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade tem por finalidade de que os alunos

compreendam que a altura de um triângulo depende do lado e não da

forma como vem representada nos livros didáticos e que o vértice oposto

ao lado escolhido está contido numa reta paralela à mesma. O triângulo

apresenta três alturas.

2) Construa um triângulo qualquer e em seguida divida-o em quatro

triângulos congruentes.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade tem como objetivo aplicação do Teorema

de Tales, a relação existente entre o segmento cujas suas extremidades

são pontos médios de dois dos lados do triângulo e o lado paralelo a este

segmento, semelhança de triângulos.

3) Construa um triângulo qualquer. Em seguida dobre a medida dos lados e

observe quantos triângulos congruentes ao primeiro estão contidos neste

triângulo.

ORIENTAÇÃO: Verificar a relação existente entre as medidas dos lados

que unem os pontos médios e a área.

4) Construa um triângulo isósceles. Em seguida verifique que a altura está

contida na bissetriz interna do ângulo oposto a base.

ORIENTAÇÃO: Mostrar que altura divide um triângulo isósceles em dois

triângulos retângulos congruentes.

5) Construa um triângulo equilátero, trace as alturas, as bissetrizes dos

ângulos internos e as medianas. Verifique o que acontece com esses três

elementos notáveis no referido triângulo.

ORIENTAÇÃO: Fazer com que os alunos percebam que o triângulo

equilátero é um caso particular do triângulo isósceles, onde os elementos

notáveis se coincidem.

6) Conhecendo-se a altura de um triângulo equilátero, construa esse

triângulo.

ORIENTAÇÃO: O objetivo da atividade é lembrar aos alunos que as

alturas de um triângulo equilátero e a bissetrizes estão contidas numa

mesma reta.

7) Sabendo que um dos catetos mede 4 cm e o ângulo formado por este

cateto e hipotenusa mede 30º, construa esse triângulo com auxílio do

software Geogebra.

ORIENTAÇÃO: O objetivo desta atividade é para lembrar aos alunos

sobre as características e elementos de um triângulo retângulo.

8) Construa três triângulos, um triângulo qualquer, um triângulo isósceles e

um triângulo equilátero, com a ferramenta do software Geogebra

determine as medidas dos ângulos internos de cada vértice dos

triângulos, em seguida, na janela de entrada some a medidas dos três

ângulos. Com a ferramenta mover, movimente os lados do triângulo,

mude suas posições e veja o que acontece com o resultado da soma.

ORIENTAÇÃO: nesta atividade orientar os alunos de que não importa o

tipo de triângulo, as medidas de seus lados, a sua posição, que a soma

interna dos ângulos será sempre o mesmo (180º).

Como “[...] os triângulos que são figuras formadas por três pontos não-

colineares [...]” (GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010, p. 33) e “Três pontos

não colineares determinam um círculo.” (BARBOSA, 2012, p. 157), todos os

triângulos podem estar inscritos numa circunferência. E, ainda, como “As três

bissetrizes de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto que está a igual

distância dos lados do triângulo.” (COSTA et al, 2012, p. 87), pode ser construído

círculo inscrito ao triângulo cujo seu centro é o ponto de interseção das bissetrizes

e seu raio é a distância deste ponto ao lado de triângulo. Assim, “Todo triângulo

possui um círculo inscrito.” (BARBOSA, 2012, p. 159)

TRIÂNGULOS E CÍRCULO

1) Construir um triângulo qualquer, em seguida trace uma circunferência

circunscrita a esse triângulo.

ORIENTAÇÃO: Nesta atividade o aluno deverá recordar que a mediatriz

contém os pontos equidistantes aos vértices do segmento em questão e

ainda que uma circunferência fica determinada por três pontos não

colineares.

2) Construa uma circunferência inscrita em um triângulo qualquer.

ORIENTAÇÃO: O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos

determinem a bissetriz de ângulos internos de um triângulo e que o ponto

onde a circunferência intercepta a lado do triângulo está contida na reta

que passa pelo centro da mesma e que este segmento é o próprio raio e

o lado do triângulo necessariamente são perpendiculares, pelo fato de

serem tangentes à circunferência.

3) Agora vamos construir um triângulo retângulo e inscrevê-lo numa

circunferência.

ORIENTAÇÃO: Nesta atividade o aluno deverá relacionar a hipotenusa

com o diâmetro da circunferência, ou seja, em qualquer ponto do

semicírculo que ele unir com as extremidades do diâmetro, o triângulo

será retângulo e o fato disso acontecer é que o ângulo de uma

circunferência é a metade do ângulo central da mesma.

4) Dado um segmento de reta, traçar uma circunferência que contenha os

vértices deste segmento.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade é para que os alunos percebam que as

distâncias equidistantes pertencem a uma reta mediatriz de um segmento

e que o centro da circunferência pertence a reta mediatriz de uma corda

da mesma. Nesta atividade o aluno deve ainda notar que o segmento

que une o centro da circunferência e as extremidades do segmento dado,

é o raio da circunferência e, portanto ele construiu um triângulo muito

importante, um triângulo isósceles. Este triângulo tem características

especiais, é o único que tem base, a altura e a mediana em relação à

base, se coincidem e que estas também coincidem com a bissetriz do

ângulo oposto a ela.

5) Apresentado um triângulo onde o encontro das mediatrizes, isto é o

circuncentro está no maior segmento deste triângulo e que o ortocentro,

o encontro das alturas coincide com o vértice dos outros dois lados

menores, então esse triângulo é especial?

ORIENTAÇÃO: Para que os alunos percebam que duas das três alturas

do triângulo retângulo coincidem com os lados que formam um ângulo

reto e que as mediatrizes se interceptam no ponto médio da hipotenusa.

Para complementar o estudo de triângulos, existe textos e atividades

interessantes no site

http://www.prof2000.pt/users/Secjeste/MODTRI01/Pg000500.htm que contribuem

na fixação dos conteúdos abordados nas atividades anteriores.

Outro polígono muito estudado é o quadrilátero. Um dos sites que pode

contribuir no ensino de quadriláteros é

http://www.slideshare.net/prof.andrea/quadrilaterosppt por apresentar conceitos,

suas classificações e os elementos notáveis.

QUADRILÁTEROS

1) Construir um quadrado conhecendo a sua diagonal.

ORIENTAÇÃO: O objetivo desta unidade é fazer com que os alunos

percebam uma aplicação de retas perpendiculares, do ponto médio e de

segmentos congruentes.

2) Construa o paralelogramo qualquer. Em seguida divida-o, em dois triângulos

congruentes.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade tem como objetivo a aplicação de Teorema de

Tales e reconhecer que os lados opostos do paralelogramo estão contidos

em retas paralelas.

3) Conhecendo-se as duas diagonais, construa um losango.

ORIENTAÇÃO: Nesta atividade lembrar os alunos que as diagonais do

losango, além de serem perpendiculares se intersecta em seus pontos

médios formando com os respectivos lados, triângulos retângulos. Identificar

os seus elementos.

4) Suponha que você está visualizando a figura de um quadrilátero com suas

diagonais se interceptando em seus pontos médios e os lados, são dois a

dois opostos e iguais, então o quadrilátero é especial?

ORIENTAÇÃO: Informar os alunos de que não pode ser um retângulo, pois

não foi feito nenhuma referência quanto às medidas dos ângulos do

quadrilátero.

5) Construir um triângulo qualquer e em seguida construa outro triângulo

congruente a este e que contenha um dos lados em comum de forma que

esses triângulos formem um paralelogramo. Em seguida dividir o

paralelogramo em quatro triângulos, sendo dois a dois congruentes.

ORIENTAÇÃO: Objetivo desta atividade é mostrar que as diagonais do

paralelogramo interceptam em seus pontos médios.

Além dos triângulos, “Todo polígono regular está inscrito em um círculo”

(BARBOSA, 2012, p. 161), tendo em vista que segundo BARBOSA (2012, p.161)

um polígono regular pode ser divididos em triângulos congruentes formados por

dois dos vértices consecutivos do polígono e centro do mesmo. Assim, fixando o

centro no vértice oposto a base do triângulo isósceles e cuja medida do raio é

igual a medida dos lados congruentes do triângulo isósceles, pode ser construído

o círculo circunscrito ao polígono regular.

E, ainda, “Todo polígono regular possui um círculo inscrito” (BARBOSA,

2012, p. 162) tendo em vista que um polígono regular convexo com mais de três

lados pode ser dividido em triângulos isósceles congruentes. Assim, a altura

destes triângulos é o segmento da reta cujas extremidades são o vértice oposto a

base e o ponto médio da mesma. Como todos estes triângulos são congruentes,

suas alturas também são. E, ainda, segundo Gerônimo e Franco (2010), o círculo

é lugar geométrico equidistante do centro. Assim, se um ponto formado pelo pé

da altura dos triângulos pertence ao círculo cujo seu centro é o vértice oposto a

base e seu raio é a altura do triângulo isósceles que compõem o polígono regular,

todos os pontos formados pelo pé da altura desses triângulos isósceles também

pertencem ao círculo, o que garante a existência de círculo inscritos ao polígono

regular.

POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS.

1) Dado um quadrado, construa uma circunferência inscrita e outra

circunscrita e indique o raio da circunferência inscrita pela letra r e o raio

da circunferência circunscrita pela letra R, no próprio quadrado.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade é para destacar a importância dos pontos

médios e das mediatrizes de um segmento.

2) Dividir uma circunferência em 6 arcos iguais e nela inscrever o hexágono

regular correspondente.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade é para os alunos relembrarem que o raio é

o segmento que divide a circunferência em 6 arcos iguais.

3) Inscrever um pentágono regular numa circunferência, para isto é preciso

dividir esta circunferência em 5 arcos iguais.

ORIENTAÇÃO: Traçar dois diâmetros perpendiculares entre si (AB,

horizontal e CD, vertical), determinar o ponto médio M do raio AO, por

exemplo. Com centro em M, traçar um arco MD até o raio OB, marque N.

A distância DN é o lado do pentágono. Dividindo esse segmento ao meio,

ele divide a circunferência em 10 partes iguais.

4) Construir um decágono regular (polígono de 10 lados) inscrito em uma

circunferência.

ORIENTAÇÃO: O segmento que divide uma circunferência em 10 partes

iguais é igual ao cateto menor de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa

é o lado do pentágono inscrito e o outro cateto é o raio da mesma

circunferência.

É possível demonstrar que o lado do decágono regular é segmento áureo

do raio. Existem vários vídeos interessantes a este respeito, que estão

disponíveis nos sites

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=1205

9 e

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7084

são de grande valia para enriquecimento da prática docente.

Como “uma reta perpendicular a um raio de uma circunferência na sua

extremidade final é tangente à mesma.” (GERÔNIMO; FRANCO, 2010, p. 133) e

“Uma tangente a uma circunferência é uma reta que a intersecciona em apenas

um ponto. Este ponto é chamado ponto de tangência e dizemos que a reta e a

circunferência são tangentes.” (REZENDE; QUEIROZ, 2008, p. 85), a reta

tangente possui apenas um ponto em comum com a circunferência e demais

pontos pertencentes a reta são exteriores a circunferência.

CIRCUNFERÊNCIAS E TANGÊNCIAS

1) Dada uma circunferência, traçar uma reta tangente à circunferência

passando por um ponto P:

a) O ponto P pertence à circunferência.

b) O ponto P está exterior à circunferência.

ORIENTAÇÃO: Esta atividade tem dois objetivos, uma para lembrar que a

reta tangente é perpendicular à reta que contem o centro da circunferência.

Outro, é que se o ponto é exterior, existem duas retas tangentes e que estas

têm a mesma medida.

2) Dadas duas circunferências em quantos pontos elas se interceptam?

a) Se os raios forem iguais.

b) Se os raios forem distintos.

ORIENTAÇÃO: Nesta atividade é para que o aluno perceba que se tiver

apenas um ponto em comum, elas são tangentes, ou seja, existe um

segmento perpendicular passando por este ponto. Se as circunferências

tiverem o mesmo raio, podem interceptar em dois pontos distintos ou podem

se coincidirem, já no caso de raios distintos, ocorre apenas duas situações,

serem tangentes ou se interceptarem em dois pontos distintos. O ponto de

tangência e os raios são colineares.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este material foi elaborado para auxiliar no Ensino de Geometria Plana dos

Anos Finais do Ensino Fundamental, tendo em vista que muitos dos alunos

apresentam dificuldades em aplicar os conteúdos estudados. Assim, surgiu a

necessidade em mudar a ótica quanto ao Ensino da Geometria, levando em

consideração as mudanças que estão ocorrendo no meio em que nossos alunos

estão inseridos. Para atender estas necessidades o presente material recorreu a

tecnologia que atrai os jovens e aos conceitos geométricos acumulados ao longo

dos anos.

O software Geogebra instalados em maioria dos laboratórios das escolas

da rede estadual de ensino do Paraná permite o estudo da Geometria de forma

dinâmica desde os Anos Iniciais até Ensino Superior, o que garante a

continuidade de estudo sem necessidade da migração da tecnologia utilizada.

Espero que este material contribua para o Ensino da Geometria, abrindo

novos horizontes, aproximando os conteúdos escolares aos interesses dos

nossos alunos, permitindo assim que estabeleça novas estratégias de ensino-

aprendizagem.

REFERÊNCIAS

ALBUQUERQUE, Luciane de. O uso do programa GeoGebra no ensino de geometria plana de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental das escolas públicas estaduais do paraná. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública paranaense, 2008. Curitiba: SEED/PR., 2011. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2008_ufpr_mat_md_luciane_albuquerque.pdf>. Acesso em: 24 agosto 2013. BARBOSA, Jane Rangel Alves. A Avaliação da Aprendizagem como Processo Interativo: Um Desafio para o Educador. In: Democratizar, Volume II. Rio de Janeiro, Instituo Superior de Educação da Zona Oeste/Faetec/Sect-RJ. jan/abr 2008. Disponível em: <http://www.faetec.rj.gov.br/desup/images/democratizar/v2-n1/art_democratizar_jane2.pdf>. Acesso em: 29 julho 2013. BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana – 11ª edição. Rio de Janeiro. SBM, 2012. BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática – 4ª edição. Belo Horizonte. Autêntica Editora. 2010. COSTA, Deise Maria Bertholdi, et al. Elementos de Geometria: Geometria Plana e Espacial – 3ª edição. Curitiba. UFPR, 2012. Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/docs/elementos.pdf>. Acesso em: 13 novembro 2013. D`AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas. Universidade Estadual de Campinas. 1986. GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Euclidiana Plana: Um estudo com o software Geogebra. Maringá. EDUEM, 2010. GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial: Estudo axiomático - 2ª edição. Maringá. EDUEM, 2010.

HENDRES, Cláudia Assis; KAIBER, Carmen Tereza. A utilização da informática como recurso didático nas aulas de Matemática. In: Acta Scientae Volume 7. n. 1. Editora Ulbra. Canoas. Jan./jun. 2005. Disponível em: <http://www.periodicos.ulbra.br/index.php/acta/article/view/185/169>. Acesso em: 31 maio 2013. IWAZAKI, Cecília Harumi. O Uso das Tecnologias no Ensino da Matemática nas Escolas da Rede Pública Estadual do Paraná (TCC do curso de Especialização em Tecnologia Educacional). Maringá. FAINSEP. 2011. REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas – 2ª edição. Campinas. Editora UNICAMP, 2008. ROSA, Maria G. S.; SILV EIRA, Rosemari M. C. F. Projeto Paraná Digital: a tecnologia favorecendo o professor em sala de aula. In: Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR. I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia – 2009. Ponta Grossa-PR, 2009. Disponível em: <http://www.pg.utfpr.edu.br/sinect/anais/artigos/11%20TICnoensinoaprendizagemdecienciaetecnologia/TICnoensinoaprendizagemdecienciaetecnologia_artigo14.pdf>. Acesso em: 20 agosto 2013. SANTALÓ, Luis A. Matemática para não-matemáticos. In PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (org). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas (título original: Didáctica de matemáticas: aportes y reflexiones) (Tradução: Juan Acuña Llorens). Porto Alegre, Artes Médicas, 1996. VALIN, Allan. O computador e as escolas públicas. 2009. Disponível em: <http://www.tecmundo.com.br/artigos-imprimir.asp?c=1671>. Acesso em: 24 maio 2013.