Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Produção Didática – Pedagógica Turma – PDE/2013

Título O Uso do Portfólio Como Instrumento de Avaliação em Matemática

Autor Sovelth Cardoso Disciplina/ área Matemática Colégio de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Godoy Moreira

Município Godoy Moreira Núcleo Regional de Educação Ivaiporã Profª. Orientadora Profª. Dra. Magna Natalia Marin Pires Instituto de Ensino Superior Universidade Estadual de Londrina –

UEL Formato do Material Didático Unidade Didática - Pedagógica Público alvo Alunos do 1º Ano do Ensino Médio Resumo Esta produção didática tem por

finalidade propor o uso do portfólio como instrumento de avaliação em Matemática. Serão apresentados aosalunos os elementos que podem compor o portfólio, e eles serão orientados na elaboração do mesmo. O propósito é que os alunos estudem durante todo o processo de aprendizagem e não apenas um dia antes da prova. Para desenvolver esse trabalho serão aplicados conteúdos referentes às funções do 1º e 2º graus, utilizando a estratégia de Resolução de Problemas.

Palavras chaves Educação Matemática; Avaliação; Funções; Portfólio.

ESPERA-SE DO PROFESSOR a) Maior intervenção pedagógica.

b) Eficiência na retomada e redirecionamento de conteúdos.

c) Reflexão após cada etapa do processo de ensino e de aprendizagem.

OBJETIVOS GERAIS E ESPECÍFICOS

Objetivos Gerais

Apresentar o portfólio como uma alternativa de instrumento

avaliativo quefavoreça aprendizagem do aluno do 1º ano do

Ensino Médio em Matemática.

Verificar e analisar se com o uso do portfólio como instrumento

de avaliação o envolvimento do aluno será mais efetivo e

participativo e com isso apresentar um melhor desempenho no

processo de aprendizagem.

Objetivos Específicos

O uso do portfólio como instrumento de avaliação no processo de

ensino e de aprendizagem tem entre seus objetivos:

Possibilitar o aluno refletir sobre seu próprio aprendizado e

avaliá-lo com o professor;

Proporcionar a participação ativa dos alunos em sala de aula;

Desenvolver a capacidade de organização, a criatividade e

permitindo a tomada de decisões.

ESPERA-SE DO ALUNO

a) Maior participação no processo de ensino e de aprendizagem.

b) Maior responsabilidade nas decisões pessoais e organização.

Conteúdo Estruturante: Funções

Função afim. Função quadrática.

Objetivos específicos – referentes ao conteúdo

Identificar relações entre duas grandezas variáveis.

Construir a noção de função por meio de exemplos do cotidiano

e um pouco da história.

Determinar a lei de formação (fórmula) ou regularidade que

define uma função.

Reconhecer por meio de análise de um diagrama ou de um

gráfico se uma relação é uma função.

Determinar o domínio, o conjunto imagem e o contradomínio de

uma função.

Representar graficamente uma função afim e reconhecer se é

crescente ou decrescente.

Reconhecer, por meio de situações práticas, uma função

quadrática definida pela equação do 2º grau com duas variáveis

y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Representar graficamente, no plano cartesiano, a função

quadrática.

Encontrar as raízes ou zeros de uma função quadrática.

Associar o discriminante da função quadrática ao fato de a

parábola interceptar ou não no eixo x.

Determinar o ponto de mínimo ou o ponto de máximo de uma

função quadrática.

1ª ETAPA: Momento reflexivo

a) Usando da oralidade, provocar nos alunos momentos de reflexão sobre a

avaliação escolar. Sua visão dessa prática e como eles têm sido avaliados ao

longo de suas trajetórias escolares. Na sequência, propor aos educando uma

nova ferramenta avaliativa, o portfólio e explanar o método de construção

desse instrumento e suas finalidades.

b) Passar as normas e o roteiro para a confecção do portfólio e a organização

deste instrumento na avaliação do trabalho pedagógico.

PARA ORGANIZAR O PORTFÓLIO SERÁ NECESSÁRIO MATERIAIS QUE SERÃO UTILIZADOS:

Pasta individual com folhas plásticas.

Folhas de sulfite branca A4.

Caderno universitário com folhas destacáveis.

Lápis, lápis de cor, canetas coloridas, borracha, canetas

esferográficas azuis e vermelhas.

Réguas de 30 cm.

GUIA ESTRUTURAL E REGRAS NA CONSTRUÇAO DO PORTFÓLIO: 1) O portfólio é individual, sua manutenção e composição é de

responsabilidade do aluno.

2) Os trabalhos que serão incluídos no portfólio de matemática deve seguir

cronologicamente a respectiva ordem de apresentação das atividades

pedagógicas.

3) O portfólio de matemática deve iniciar-se com uma apresentação, registrar

os seus dados pessoais, e uma breve descrição da sua vida escolar e o que

espera do uso do portfólio de aprendizagem matemática no ensino de

matemática no 1º ano, e/ou outras considerações interessantes relativas a

Matemática ou à disciplina.

3) O aluno deverá ser responsável na alimentação diária do portfólio com as

atividades desenvolvidas, selecionando e arquivando suas produções e

respectivos relatórios de aprendizagem, aos quais deverão estar

constantemente à disposição do professor para a avaliação contínua dos

trabalhos inseridos e respectivas conjecturas avaliativas.

4) O portfólio de Matemática terá, no final de sua aplicação, no mínimo 8

atividades.

5) Esses trabalhos são escolhidos das atividades desenvolvidas pelo aluno.

6) O Professor deverá fazer regulares considerações, principalmente em algum

trabalho que necessite de melhoras indicando nas reflexões as sugestões de

reformulações a serem efetuadas.

2ª ETAPA

Propor o cronograma a ser seguido no semestre e os conteúdos a serem

trabalhados.

Função polinomial do 1º e 2° grau e suas aplicabilidades, destacando:

a) O surgimento da ideia de função historicamente.

A História das Funções1

A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilônios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função. São de fato, conhecidas tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por aquele povo na Antiguidade, nomeadamente, na Astronomia. Também os Pitagóricos estabeleceram relações entre grandezas físicas, como por exemplo, “alturas dos sons e comprimentos das cordas vibrantes” na descoberta de algumas leis da Acústica. Os astrônomos na época alexandrina construíram tabelas para os comprimentos de cordas de um círculo, conhecido o raio. O registro de algumas destas tabelas estão na obra “Almageste” do matemático célebre – Ptolomeu, publicada entre os anos 125 e 150 d. C..

Matemáticos: Suas contribuições:

Nicolas Oresme (1323-1382):

Bispo francês utilizou segmentos de reta para representar “tudo o que varia”. Num dos seus livros aparece a representação da velocidade de um móvel ao longo do tempo, considerando para o efeito um segmento horizontal e representando a velocidade em cada instante pelo comprimento de um segmento perpendicular. Todavia, a utilização de eixos cartesianos para a representação duma função surgiu no séc. XVII com o matemático e filósofo René Descartes. Esta invenção feita em 1637 veio permitir estabelecer a correspondência entre pontos do plano e pares de números, assim como representar graficamente as relações entre duas variáveis.

“Keppler (1571

– 1630): Neste século, surgiram outros contributos para o desenvolvimento da noção da função, na procura das leis dos movimentos, são de referir: “ Keppler com

1Baseado em: Moderna Enciclopédia Universal. Círculo de Leitores. Matemática 10º ano. Porto Editora.

a descoberta das leis sobre as trajetórias planetárias e Galileu (1564 – 1642) com o estudo da queda dos corpos e a relação entre espaço e tempo”.

Leibniz (1646 –

1716):

No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz, muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática.

Leonard Euler (1707-1783):

Matemático suíço que escreveu “Se x é uma quantidade variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável”. É também este matemático que utiliza pela primeira vez a notação f(x).

Peter Dirichlet Foi já no séc. XIX que apareceu o significado mais amplo de função, em 1829, que ele considerou a função com y - variável dependente com os seus valores fixos ou determinados por uma regra dependendo dos valores atribuídos à variável independente - x.

IsaacNewton (1642 -1727):

O conceito atual de função resultou da investigação da Ciência ao longo dos tempos, levada a cabo por vários matemáticos. E, relacionado com esta construção da noção de função feita ao longo dos séculos e da sua importância no avanço da Ciência, é de mencionar a frase atribuída ao físico inglês Isaac Newton “Se eu vi um pouco mais longe do que os outros, foi porque me apoiei nos ombros de gigantes”.

b) A Lei de Formação das respectivas funções e compreender quanto uma relação representam uma função ou não.

c) Explorar o domínio, imagem e contradomínio da função, comentar os

principais matemáticos que trabalharam o assunto e

pedir para que eles pesquisem sobre alguns matemáticos

que introduziram ao longo da história o estudo das

funções.

d) Quais as aplicações da função do 1º grau no nosso dia-a-dia. Levar

material para pesquisa. Entre esses matérias serão

utilizados o livro público de Matemática, livros didáticos

diversos, paradidáticos e a ferramenta internet (Google).

e) Refletir e comentar a atividade realizada (solicitar que registre ou

faça relatório escrito do que aprendeu).

Tarefa 12

Veja a sequência de figuras:

A quantidade Q de bolinhas, de cada figura, é função do número n.

Temos n = 1 na primeira figura, n = 2 na segunda, etc. Qual é a fórmula

dessas funções em relação ao número de bolinhas?Q = 4n+ 1.

Figura Número de Pontos

1 5 2 9 3 13 4 17 n 4n+1

2 Adaptado do livro Matemática / Imenes& Lellis – 8ª Série - São Paulo: Scipione, 1997

Observe as figuras e encontre o que se pede:

Encontre a fórmula que dá a quantidade Q de bolinhas de cada figura em

função de n.

Generalizando: Q= n + n + 1= 2n + 1

Outra maneira de pensar:

De uma figura para a outra se acrescentam sempre dois pontos.

Assim, da primeira para a enésima acrescentam-se 2(n – 1)

pontos.

Logo, Q = 3 + 2(n -1) = 2n + 1 Construindo

Figura Número de Pontos 1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n + 1

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

nÚM

ERO

DE

PON

TOS

FIGURAS

Q = 4n + 1

Outra sequência:

Novamente, expresse Q em função de n. Q= n²

Figura Número de Pontos

1 1 2 4 3 9 4 16 n (n )2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7

NÚ

MER

O D

E PO

NTO

S

FIGURA

Q = 2n + 1

Observe as próximas figuras:

Expresse Q em função de n.

Explorando soluções

Uma maneira de pensar:

Figura Número de Pontos 1 3 2 8 3 15 4 24 n (n +1)2 - 1

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5 6 7

NÚ

MER

O D

E PO

NTO

S

FIGURA

Q = n²

Q=n² + 2n

Uma maneira de pensar:

A figura n corresponde à figura n + 1 da sequência anterior, com

um ponto a menos.

Logo, Q= (n + 1)² - 1= n² + 2n

Figura Número de Pontos 1 5 2 8 3 15 4 24 n n² + 2n

Pede-se:

a) Das leis de formação encontradas acima, quais representam

função afim? E quais representam função quadrática?

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7

NÚ

MER

O D

E PO

NTO

S

FIGURA

Q = n² + 2n

b) Represente graficamente os pares ordenados x (figuras) e y

(número de pontos) de Q em função de n.

(verificar nas atividades acima)

c) Apresente o domínio, a imagem e o contradomínio das

respectivas funções.

D={ x є N*/ x >0} e Im e CD= { x є N*/ números de pontos}

d) Diferenciar uma função afim de uma função linear.

Função Linear Uma função f: R→R dada por f(x) = ax, a

constante não-nulo, denomina-se função

linear.

f(x) = ax (a є R)

Função Afim Uma função f: R→R dada por f(x) = ax +

b, a e b constantes não-nulas, denomina-

se função afim.

f(x) = ax + b (a є R* e b є R)

Lei de formação Tipos de funções e

forma

Por quê

Q = 4n + 1

Q= 2n + 1

Função do 1º grau ou

função afim:

Função polinomial do

1º grau

f: R→R, sendo f(x)

= ax + b com a, b є

R e a ≠ 0.

Q = n²

Q= n² + 2n

Função quadrática

Uma função f: R→R,

dada por f(x) = ax² + bx

+ c, em eu a, b e c são

constantes e a ≠ 0,

denomina-se função

quadrática.

f(x) = ax² + bx + c

( a є R*, b e c є R)

Tarefa 23 1) Vamos dobrar a folha de papel e contar em contar em quantas partes ela

fica dividida. Assim:

a) Se pudemos continuar, com 5 dobras, quantas seriam as partes? E

com 10 dobras? b) O número P de partes é função do número de d de dobras. Qual é a

fórmula dessa função?

Nesta atividade devem-se explorar os conhecimentos de potenciação,

em especial de base dois, vejamos: 1ª dobra 2¹= 2 2ª dobra 2² = 4 3ª dobra 2³= 8 . . . nª dobra 2n = Espera-se que os alunos percebem que essa tarefa representa outra

função, ou seja, função exponencial e que possam a partir dai saber que existem diferenças entre a função afim, função quadrática e a nova função apresentada. E que o seu gráfico não representará nem uma reta, caso seja função afim, nem uma parábola, caso seja uma função quadrática. Podendo explorar o novo gráfico da função exponencial.

3 Adaptado do livro Matemática / Imenes& Lellis – 8ª Série - São Paulo : Scipione, 1997

Tarefa 34 1) Um motorista de táxi cobra R$ 5,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 1,40

por quilometro rodado (valor variável). Pede-se:

a) Qual é a lei de formação dessa função?

b) A função encontrada é afim ou quadrática?

c) Qual deve ser o valor pago por uma corrida relativa um percurso de 34

quilômetros?

d) Se ao final da corrida o passageiro pagou R$47,50, quantos quilômetros

ele andou de táxi?

Explorando soluções:

a) f(x) = 5,50 + 1,40x;

b) Função afim, pois os o expoente da incógnita x é 1;

c) f(x) = 5,50 + 1,40. x

f(34) = 5,50 + 1,40. (34)

f(34) = 5,50 + 47,60

f(34) = 53,10

d) f(x) = 5,50 + 1,40. x

47,50 = 5,50 + 1,40. x

1,40x + 47,50 – 5,50

x = 42/1, 40

x = 30

2) Imagine que um consumidor pretende contratar um plano de saúde, ao fazer

as pesquisas de preços ofertados pelo mercado e analisando as propostas

recebidas, gerou uma grande duvida na sua cabeça, qual o plano mais

vantajoso? Veja as condições oferecidas a esse consumidor:

Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num

certo período.

4 Inspirado em material retirado de: http://www.mundoeducacao.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-1-grau.htm

Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num

certo período.

Pede-se:

a) A função correspondente a cada plano;

b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais

econômico; os dois se equivalem.

a) Plano A: f(x) = 20x + 140 Plano B: g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econômico:

g(x) > f(x)

25x + 110 > 20x + 140

25x – 20x > 140 – 110

5x > 30

x > 30/5

x > 6

Para que o Plano B seja mais econômico:

g(x) < f(x)

25x + 110 < 20x + 140

25x – 20x < 140 – 110

5x < 30

x < 30/5

x < 6

Para que eles sejam equivalentes:

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x – 20x = 140 – 110

5x = 30

x = 30/5

x = 6

O plano mais econômico será:

Plano A = quando o número de consultas for maior que 6.

Plano B = quando número de consultas for menor que 6.

Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.

Tarefa 45 Os professores de Língua Portuguesa e Matemática combinaram uma questão

para ser aplicada aos seus alunos. Veja:

Primeiro, eles escreveram as seguintes palavras, sem acentuá-

las: album, chapeu, estrela, falso, lapis, passaro.

A seguir, consideram a função f, que associa a cada uma

dessas palavras ou o número 0 ou o número 1: associa o 0 se a

palavra (com ortografia correta) não tiver acento; e o 1, quando

o tiver. Pede-se: Represente f, com conjuntos.

Por que podemos dizer que essa relação representa uma função?

Quem é o seu domínio? E o contradomínio?

Explorando soluções:

5 Retirado de: Matemática Na Medida Certa – 8ª série / Jakubo e Lellis – São Paulo: Scipione, 1995, p.173

Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B

qualquer relação entre os elementos desses conjuntos, de modo

que a cada elemento de A se associe um único elemento de B.

O conjunto A chama-se domínio.

A = { álbum, chapéu, estrela, falso,lápis, pássaro}

O conjunto B chama-se contradomínio da função.

B = {O, 1}

Tarefa 56

Quando você vai abastecer o seu veículo, a bomba apresenta um dispositivode

dois relógios. Um deles marca o tempo de abastecimento em minutos e o

outro, o volume de combustível fornecido ao tanque de seu veículo em litros. A

cada 5 minutos, iniciando-se pelo zero (início do abastecimento), têm a

seguinte tabela:

Tempo em minutos (t) Volume (litros)

0 3

5 5,5

10 8

15 10,5

20 13

25 15,5

Observando os dados da tabela, responda:

a) No início do abastecimento que volume de combustível havia no seu

tanque?

b) Qual o volume de combustível fornecido ao tanque em 20 minutos?

c) Construir o gráfico cartesiano correspondente à situação (volume em

função do tempo).

d) Determinar o volume de combustível no tanque, em litros, 24 minutos

após o início. Ver no gráfico o ponto de abscissa 24.

6Retirado de: Matemática Aula por Aula / Xavier & Barreto – 2. ed.renov. – São Paulo: FTD, 2005, p.135

e) Escrever a formula linear que exprima vem função de t.

Explorando soluções!

a) O volume de combustível para t = 0 (inicialmente) é v = 3 litros.

b) Observando a tabela, vemos que:

Para t = 0, o volume é v = 3 litros.

Para t = 20, o volume é v = 13 litros.

Assim, o volume de combustível fornecido ao tanque em 20

minutos é 13 – 3 = 10 litros.

c) Colocar o gráfico...

d) v = 3 + 24. (0,5)

v = 3 + 12

v = 15 litros.

e) Sabendo que a cada minuto o volume v aumenta em 0,5 litros.

Podemos exprimir uma sentença para t (minutos), e volume inicial 3

litros. Assim:

v = 0,5. t + 3 ou v = 3 + 0,5. t

Tarefa 67 Imagine que um pequeno agricultor quisesse construir em sua propriedade um galinheiro aproveitando um muro que já existe no local e 18m de tela. Após

7http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Educinf/mod_iii_vol1unid6.pdf

pensar um pouco, ele decidiu que seria mais fácil fazer um galinheiro retangular, mas tinha de decidir quais as dimensões do retângulo, de maneira que ele não precisasse comprar mais nada de tela. Vamos ajudá-lo?

Explorando soluções!

a) Complete a tabela a seguir: olhando a figura, vemos que x + y + x deverá ser igual aos 18m de tela do agricultor, ou seja, 2x + y = 18. Podemosdar alguns valores para x (largura) e encontrar o y (comprimento):

b) Calcule a área de todos os retângulos encontrados em (a).

c) Qual é a maior área encontrada nos cálculos acima?

d) Quais as medidas de largura e comprimento que você sugeriria ao fazendeiro para que ele tivesse mais espaço no galinheiro?

Explorando soluções: Resolução a)

x y 2x+y=18

1 16 2.(1)+y=18 --> 2+y=18 --> y=18-2 --> y=16

2 14 2.(2)+y=18 --> 4+y=18 --> y=18-4 --> y=14

3 12 2.(3)+y=18 --> 6+y=18 --> y=18-6 --> y=12

4 10 2.(4) + y=18-->8+ y= 18--> y=18-8-- >y=10

4,5 9 2.(4)+y=18 --> 9+y=18 --> y=18-9 --> y=9

5 8 2.(5)+y=18 --> 10+y=18 --> y=18-10 --> y=8

6 6 2.(6)+y=18 --> 12+y=18 --> y=18-12 --> y=6

7 4 2.(7)+y=18 --> 14+y=18 --> y=18-18 --> y=4

8 2 2.(8)+y=18 --> 16+y=18 --> y=18-16 --> y=2

Dessa forma podemosencontrar uma série de medidas possíveis para o galinheiro do agricultor, mas será que não existe uma medida que seja melhor do que todas? Aquela com a qual o galinheiro fica mais espaçoso! Então você tem de calcular qual dessas medidas proporcionará a maior área. b)

x y Área A=x.y

1 16 16 A=1.16 = 16 2 14 28 A=2.14 = 28

3 12 36 A=3.12 = 36

4 10 40 A=4.10=40

4,5 9 40,5 A=4,5.9 = 40,5 5 8 40 A=5. 5.8 = 40

6 6 36 A=6.6 = 36

7 4 28 A=7. 4 = 28

8 2 16 A=8.2 = 16 Você deve ter encontrado em seus cálculos que o retângulo de maior área é ode lados 4,5m e 9,0m!

Tarefa 78

O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente. As dimensões do cercado pedem variar, desde que seu “perímetro” seja 36 m, pois o granjeiro só tem 36 m de tela. Determine o comprimento da tela do cercado da planta ao lado. a) Determine a área Adesse cercado. b) Aé uma função de X, do 2º. Grau. Esboce o gráfico dessa função. c) O granjeiro quer que o cercado tenha a maior área. Qual é essa área? Quantos

medem os lados do cercado nesse caso?

Explorando soluções:

’

8Adaptado do livro Matemática / Imenes& Lellis – 8ª Série - São Paulo: Scipione, 1997

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IMENES & LELLIS / Matemática– São Paulo: Scipione, 1997. P. 223, 224, 225 e 239. JAKUBO & LELLIS / Matemática Na Medida Certa – 8ª série – São Paulo:

Scipione, 1995, p.173

SILVA, Claudio Xavier da ; FILHO, Benigno Barreto. Matemática aula por aula.2 ed. São Paulo: FTD, 2005. v. 1. p. 135 VÁRIOS AUTORES. A história das funções. Disponível em: http://www.grupoescolar.com/pesquisa/a-historia-das-funcoes.html. Acesso em: Setembro de 2013 http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Educinf/mod_iii_vol1unid6.pdf - P. 44. Acesso em: 18/10/2013. http://www.grupoescolar.com/pesquisa/a-historia-das-funcoes.html. Acesso em: 20/10/2013.