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Topogra�a I

Prof. Dr. Marcos Aurélio Basso

August 20, 2016

Aula 1

Introdução a Topogra�aConceitosObjetivosAplicaçõesLevantamentos Topográ�cos

Sistema de CoordenadasSistema de Coordenadas CartesianasSistema de Coordenadas Esféricas

Superfície de Referência

Modelo Esférico

Modelo Elipsoidal

Modelo Geoidal

Modelo Plano

Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria

Prof. Dr. Marcos Aurélio Basso Topogra�a I August 20, 2016 2 / 50

Conceitos

O homem sempre necessitou conhecer o meio que vive, por questõesde sobrevivencia;

No princípio baseava-se na descrição do meio;

alguns historiadores a�rmam que o homem já fazia mapas antesmesmo do desenvolvimento da escrita;

Com o tempo surgiram técnicas e equipamentos de medição;

A Topogra�a é uma destas ferramentas;


Conceitos

Etimologicamente a palavra TOPOS em grego signi�ca lugar e apalavra GRAPHEN descrição;

Topogra�a signi�ca descrição do lugar;

ESPARTEL (1987) de�ne topogra�a como: "A Topogra�a tem por

�nalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma

porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura

resultante da esfericidade terrestre"

DUBECK (1989) de�ne topogra�a como: "A Topogra�a tem por

objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utilizados para obter a

representação grá�ca de uma porção do terreno sobre uma superfície

plana"


Objetivos

O objetivo principal da Topogra�a é efetuar o levantamento (executarmedições de ângulos, distâncias e desníveis) que permita representaruma porção da superfície terrestre em uma escala adequada;

Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dadospara a posterior representação, denomina-se de levantamentotopográ�co.

A Topogra�a pode ser entendida como parte da Geodésia, ciência quetem por objetivo determinar a forma e dimensões da Terra.


Objetivos

Na Topogra�a trabalha-se com medidas (lineares e angulares)realizadas sobre a superfície da Terra e a partir destas medidascalculam-se coordenadas, áreas, volumes, etc;

estas grandezas poderão ser representadas de forma grá�ca através demapas ou plantas;

Sendo necessáario, portanto, um sólido conhecimento sobreinstrumentação, técnicas de medição, métodos de cálculo e estimativade precisão (KAHMEN; FAIG, 1988);


Objetivos

De acordo com BRINKER; WOLF (1977), o trabalho prático daTopogra�a pode ser dividido em cinco etapas:

1 Tomada de decisão: onde se relacionam os métodos de levantamento,equipamentos, posições ou pontos a serem levantados, etc;

2 Trabalho de campo ou aquisição de dados: efetuam-se as medições egravação de dados.

3 Cálculos ou processamento: elaboram-se os cálculos baseados nasmedidas obtidas para a determinação de coordenadas, volumes, etc;

4 Mapeamento ou representação: produz-se o mapa ou carta a partir dosdados medidos e calculados.

5 Locação;


Levantamento Topográ�co

Classicamente a Topogra�a é dividida em Topometria e Topologia.

A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores doterreno e das leis que regem o seu modelado.

A Topometria estuda os processos clássicos de medição de distâncias,ângulos e desníveis, cujo objetivo é a determinação de posiçõesrelativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria e altimetria.



De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileirapara execução de Levantamento Topográ�co, o levantamento

topográ�co é de�nido por:

�Conjunto de métodos e processos que, através de medições deângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais einclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida,primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno,determinando suas coordenadas topográ�cas. A estes pontos serelacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representaçãoplanimétrica numa escala pré-determinada e à sua representaçãoaltimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistânciatambém pré-determinada e/ou pontos cotados.�



Tradicionalmente o levantamento topográ�co pode ser divido emduas partes:

o levantamento planimétrico, onde se procura determinar a posiçãoplanimétrica dos pontos (coordenadas X e Y);levantamento altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota oualtitude de um ponto (coordenada Z).

A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem aochamado levantamento planialtimétrico;


Levantamentos Topográ�cos

Figure : Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimétrico

Fonte:Veiga,Zanetti,Faggion, 2012


Aplicações

A Topogra�a é a base para diversos trabalhos de Engenharia, onde oconhecimento das formas e dimensões do terreno é importante.Alguns exemplos de aplicação:

Projetos e execução de estradas;Grandes obras de engenharia, como pontes, viadutos, túneis,portos,etc.;Locação de obras;Trabalhos de terraplenagem;Monitoramento de estruturas;Planejamento urbano;Irrigação e drenagem;Re�orestamentos;Etc.


Aplicações

Figure : Participação da Topogra�a em todas as etapas do projeto de engenharia


Sistemas de Coordenadas

Um dos principais objetivos da Topogra�a é a determinação decoordenadas relativas de pontos.

Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema decoordenadasSão utilizados basicamente dois tipos de sistemas para de�niçãounívoca da posição tridimensional de pontos:

sistemas de coordenadas cartesianas;coordenadas esféricas;


Coordenadas Cartesianas

Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do queatribuindo coordenadas ao mesmo;

Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a umsistema de coordenadas;

Estes sistemas normalmente representam um ponto no espaçobidimensional ou tridimensional;



No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema decoordenadas retangulares ou cartesianas.Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duasretas orientadas X e Y , perpendiculares entre si;

Figure : sistema coorenadas cartesianas



Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaçotridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X ,Y ,Z )denominadas de eixos coordenados,

mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um únicoponto, denominado de origem.

A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é de�nida pelascoordenadas cartesianas retangulares (x, y, z)



Figure : Sistema de coordenadas cartesianas, dextrógiro e levógiro.


Coordenadas Esféricas

Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de formaunívoca, pelo afastamento r (raio) entre a origem do sistema e oponto R considerado, pelo ângulo β formado entre o segmento OR ea projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ângulo α que aprojeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixoOX .



As coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r , α, β)

Figure : Sistema de Coordenadas EsféricasProf. Dr. Marcos Aurélio Basso Topogra�a I August 20, 2016 20 / 50


Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistemade coordenadas cartesianas;

Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano (x , y , z) pode serexpresso pelas coordenadas esféricas (r , α, β), sendo o relacionamentoentre os dois sistemas obtido pelo vetor posicional:

X = r .cos(β)cos(α)

Y = r .cos(β)sen(α)

Z = r .sen(β)



O sentido inverso da transformação (cartesiana p/ esférica) é realizadopela seguinte expressão:

r =√

X 2 + Y 2 + Z 2

β = arctan

(√X 2 + Y 2

Z

)

α = arctan

(Y

X

)


Superfícies de Referências

Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelospara a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e quemais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos;

Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexaa �gura empregada para a representação da Terra, mais complexosserão os cálculos sobre esta superfície;


Modelo Esfério

Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, comono caso da Astronomia.Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitudee longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas sãodenominadas de latitude e longitude astronômicas;

Figure : Modelo Esférico - Coordenadas Astronômicas


Modelo Esférico

Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde oequador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva nohemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul;

Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde omeridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do pontoconsiderado. Por convenção a longitude varia de 0o a +180o nosentido leste de Greenwich e de 0o a −180o por oeste de Greenwich.


Modelo Elipsoidal

É o modelo adotado pela Geodésia;

O elipsóide de revolução ou biaxial é a �gura geométrica gerada pelarotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de uns dos seus eixos(eixo de revolução);

se este eixo for menor então tem-se um elipsóide achatado;

Existem mais de 70 elipsóides de revolução empregados em trabalhosde Geodésia pelo mundo;


Modelo Elipsoidal

Um elipsóide de revolução �ca de�nido por meio de dois parâmetros,os semi-eixos a (maior) e b (menor).Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixomaior a e o achatamento f , dado pela expressão:

f =a − b

a

Figure : Elipsóde de revolução


Modelo Elipsoidal

As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide �camassim de�nidas

Latitude Geodésica (ϕ): ângulo que a normal forma com suaprojeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativapara o Sul;

Longitude Geodésica (λ): ângulo diedro formado pelo meridianogeodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo paraLeste e negativo para Oeste.

A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P

na superfície física.


Modelo Elipsoidal

A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P nasuperfície física.


Modelo Elipsoidal

No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 -SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota oelipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujossemi-eixo maior e achatamento são:

a = 6.378.137, 000m

f = 1/298, 257222101


Modelo Geoidal

O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra.

É de�nido teoricamente como sendo o nível médio dos mares (NNM)em repouso, prolongado através dos continentes.

Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento algébrico;

Figure : Superfície física da Terra, elipsóide e geóide.


Modelo Geoidal

O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ousuperfície de nível, utilizado como referência para as altitudesortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até asuperfície física) no ponto considerado.

As linhas de força ou linhas verticais (em inglês �plumb line�) sãoperpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, porexemplo, pelo �o de prumo de um teodolito nivelado, no pontoconsiderado.

A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês �direction ofplumb line�) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, etambém é chamada de vertical;


Modelo Geoidal

Figure : Vertical



Modelo Plano

Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana.

É a simpli�cação utilizada pela Topogra�a. Esta aproximação é válidadentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográ�cos.

Face aos erros decorrentes destas simpli�cações, este plano tem suasdimensões limitadas.

Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de LevantamentoTopográ�co) admite um plano com até aproximadamente 80 km.


Modelo Plano

Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeçãoutilizado em Topogra�a são:

(a) As projetantes são ortogonais à superfície de projeção, signi�candoestar o centro de projeção localizado no in�nito;(b)A superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar noponto da superfície terrestre considerado como origem dolevantamento, sendo seu referencial altimétrico o referido Datumvertical brasileiro.


Modelo Plano

(c) As deformações máximas aproximadas inerentes à desconsideraçãoda curvatura terrestre e à refração atmosférica são:

∆l (mm) = −0, 001l3(km)

∆h(mm) = +78, 1l2(km)

∆h1(mm) = +67l2(km)

Onde:∆l : deformação planimétrica devida à curvatura da Terra, em mm;∆h : deformação altimétrica devida à curvatura da Terra, em mm;∆h1: deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvaturada Terra e da refração atmosférica, em mm;l = distância considerada no terreno, em km.


Modelo Plano

(d) O plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80

km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente dadesconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nestadimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão.

(e) A localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno eprojetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistemade coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a dolevantamento topográ�co;

(f) O eixo das ordenadas (Y) é a referência azimutal, que, dependendodas particularidades do levantamento, pode estar orientado para onorte geográ�co, para o norte magnético ou para uma direção notáveldo terreno, julgada como importante.


Uma vez que a Topogra�a busca representar um conjunto de pontosno plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadascartesianas para a representação dos mesmos.Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializadapelo �o de prumo);Eixo Y: de�nido pela meridiana (linha norte-sul magnética ouverdadeira);Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90o na direção leste).


Figure : Plano Topográ�o



Em alguns casos, o eixo Y é possivel ser de�nido por uma direçãonotável do terreno, como por exemplo o alinhamento de uma rua.

Figure : Eixos de�nidos por uma direção notável




S : é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica;

S ′: a projeção desta distância sobre o plano topográ�co;



A diferença entre S e S ′ é dado por:

∆S = S ′ − S

Calculando S ′ e S e substituindo na equação acima, temos:

S ′ = Rtgθ

S = Rθ

∆S = Rtgθ − Rθ

∆S = R(tgθ − θ)



Desenvolvendo tgθ em série (série de Taylor) e aplicando somente osdois primeiros termos, obtemos:

tgθ = θ +θ3

3+

2θ15

+ ...

∆S = R

(θ +

θ3

3− θ)

Onde θ = S

R, portanto:

∆S = Rθ3

3

∆S =S3

3R2



Tabela com resultados da função ∆S(S) = S3

3R3 para diferentes valoresde distância S




Grá�co apresentando a variação de ∆S em razão de S de 0 a 100km:



Agora será analisado o efeito da curvatura na altimetria



Por meio da �gura é possível deduzir que:

cosθ =R

R + ∆h

Isolando ∆h da equação acima, temos:

∆h = R

(1

cosθ− 1

)



De acordo com CINTRA(1996), desenvolvendo em série 1

cosθ econsiderando que:

θ =S

R

Temos:

∆h =Rθ2

2

∆h =S2

2R



a tabela apresenta os valores de ∆h para dferentes distâncias S :



Grá�co apresentando a variação de ∆h para diferentes distâncias

Nota-se que o efeito da curvatura é maior na altimetria que naplanimetria.

Durante os levantamentos altimétricos alguns cuidados são tomadospara minimizar este efeito;


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