operaÇÃo de um motor cc alimentado por ponte...
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OPERAÇÃO DE UM MOTOR CC ALIMENTADO POR PONTE
RETIFICADORA MONOFÁSICA CONTROLADA
Thomas de Mendonça Mertens
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Richard M. Stephan
Rio de Janeiro
Março de 2019
de Mendonça Mertens, Thomas
Operação de um Motor CC Alimentado por Ponte
Reticadora Monofásica Controlada/Thomas de Mendonça
Mertens. Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica,
2019.
XI, 49 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Richard M. Stephan
Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Elétrica, 2019.
Referências Bibliográcas: p. 44 45.
1. Reticador. 2. Motor DC. 3. Ponte completa. I.
M. Stephan, Richard. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica.
III. Título.
iii
Agradecimentos
Agradeço a todos que me ajudaram a sempre seguir adiante.
iv
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
OPERAÇÃO DE UM MOTOR CC ALIMENTADO POR PONTE
RETIFICADORA MONOFÁSICA CONTROLADA
Thomas de Mendonça Mertens
Março/2019
Orientador: Richard M. Stephan
Curso: Engenharia Elétrica
Circuitos elétricos com conversores de eletrônica de potência são sistemas não-
lineares. Em vista disto, eles apresentam comportamento mais complexo do que
circuitos lineares e merecem atenção especial. Neste trabalho, o foco é o estudo de
um motor de corrente contínua acionado por uma ponte reticadora monofásica a
tiristores SCR. Para maior destaque dos efeitos não-lineares e melhor observação dos
modos de condução possíveis, foi considerada uma ponte completa monofásica com
componentes ideais e as perdas ôhmicas foram desprezadas. Os modos contínuo e
descontínuo de condução de corrente e suas implicações nos comportamentos estático
e dinâmico foram explicados. Este documento apresenta, além de deduções analí-
ticas e levantamento de curvas características de operação em regime permanente,
simulações no domínio do tempo comparadas com os resultados analíticos.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulllment
of the requirements for the degree of Engineer.
OPERATION OF A DC MOTOR POWERED BY SINGLE PHASE
CONTROLLED RECTIFYING BRIDGE
Thomas de Mendonça Mertens
March/2019
Advisor: Richard M. Stephan
Course: Electrical Engineering
Electrical circuits with power electronics converters are non linear systems. In
view of this, they have a more complex behavior than linear circuits and deserve
special attention. In this work, the focus is the study of a DC motor driven by
a SCR thyristor single-phase rectier bridge. In order to highlight the nonlinear
eects, a single-phase complete bridge with ideal components was considered and
the ohmic losses were neglected. The continuous and discontinuous modes of current
conduction and their implications for static and dynamic behavior were explained.
This paper presents, in addition to analytical expresions and the development of
characteristics curves for steady-state operation, time-domain simulations compared
to the analytical results.
vi
Sumário
Lista de Figuras ix
Lista de Tabelas xi
1 Introdução 1
2 Revisão Bibliográca 3
2.1 Reticador em ponte completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Motor de Corrente Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Equações do Sistema 11
3.1 Modo Contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Modo Descontínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Fronteira entre os Modos de Operação . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Relações entre Tensões e Correntes 17
4.1 Ângulo mínimo de disparo para o modo descontínuo . . . . . . . . . . 17
4.2 Regiões de operação segundo ângulos de disparo na fronteira . . . . . 18
4.3 Fronteira entre os modos de operação - Curva Tensão x Corrente . . . 21
4.4 Limites operativos no modo não-inversor . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Limites operativos no modo inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Resultados Computacionais 27
5.1 Simulação com Modelo de Máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Casos com 32, 5 < α < 147, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.2 Casos com α < 32, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.3 Casos com α > 147, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Dinâmica 40
7 Conclusões 43
Referências Bibliográcas 44
vii
A Código em MATLAB utilizado 46
viii
Lista de Figuras
1.1 Modelagem em circuito elétrico do sistema a ser estudado. . . . . . . 2
2.1 Tiristor SCR - exemplo de modelo real à esquerda, simbologia ao
centro e circuito equivalente ideal a direita. . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Reticador monofásico em ponte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Formas de onda da tensão em um circuito reticador a diodos com
carga resistiva: ud representa a tensão de saída (reticada), enquanto
us representa a tensão alternada na entrada do circuito. . . . . . . . . 5
2.4 Formas de onda da tensão em um circuito reticador disparado a 45
ud representa a tensão de saída (reticada), enquanto us representa
a tensão alternada na entrada do circuito. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Controle do disparo por comparação de dente-de-serra com constante. 6
2.6 Tensão de entrada us e tensão reticada ud no modo inversor. . . . . 6
2.7 Relação entre α e sinal de saída, cedido por STEPHAN [1]. . . . . . . 7
2.8 Modos de operação de um reticador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.9 Equivalente elétrico de Motor CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Modelagem em circuito elétrico do sistema a ser estudado. . . . . . . 11
3.2 Tensões e corrente do circuito, cedido por STEPHAN [1]. . . . . . . . 12
3.3 Tensão e corrente no modo descontínuo, cedido por STEPHAN [1]. . 13
3.4 Tensão e corrente na fronteira entre os modos de operação, cedido
por STEPHAN [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1 Tensão e corrente na fronteira para α < 32, 5, cedido por STEPHAN
[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Tensão e corrente na fronteira para α > 147, 5, cedido por
STEPHAN [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Tensão e corrente para I0 → 0, cedido por STEPHAN [1]. . . . . . . . 22
4.4 Gráco tensão-corrente para 32, 5 < α ≤ 147, 5, cedido por
STEPHAN [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Tensão e corrente no modo descontínuo para τdM . . . . . . . . . . . 25
ix
4.6 Resultado analítico normalizado para regiões com descontinuidade,
cedido por STEPHAN [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1 Resultado analítico normalizado Id/IdgMxEMK/Udio. . . . . . . . . . 28
5.2 Sistema Simulado no PSIM com especicações dos parâmetros inter-
nos da máquina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Corrente e tensão para α = 45 simulado com modelo de máquina. . . 31
5.4 Fronteira entre os modos de condução para 32, 5 < α < 147, 5. . . . 32
5.5 Modo descontínuo para 32, 5 < α < 147, 5. . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 Limite de condução para α = 120. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.7 Condução contínua para α = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.8 Falhas na condução descontínua para α < 32, 5. . . . . . . . . . . . . 35
5.9 Modo contínuo para α = 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.10 Modo descontínuo para α = 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.11 Variação entre regiões para atingir a desejada . . . . . . . . . . . . . 37
5.12 Comportamento da corrente na região dos saltos entre os modos de
condução para α > 147, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.13 Corrente, tensão e velocidade para salto com α = 165. . . . . . . . . 39
5.14 Corrente, tensão e velocidade para salto com α = 165. . . . . . . . . 39
6.1 Diagrama de blocos do sistema estudado. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Dinâmica do sistema ao alterar instantaneamente o ângulo de disparo
nos modos contínuo e descontínuo de operação. . . . . . . . . . . . . 41
x
Lista de Tabelas
4.1 Correntes máximas na fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Tensões e correntes nos limites dos modos de condução para 147, 5 ≤α ≤ 180. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
xi
Capítulo 1
Introdução
A corrente alternada (CA) apresenta conhecidas vantagens na geração, trans-
missão e distribuição de energia (vide [2]). Mas equipamentos de corrente contínua
(CC) existem há muito tempo, continuam a existir e criam-se novos. Portanto, é
necessária uma maneira de alimenta-los a partir da energia em CA recebida.
Para realizar esse feito satisfatoriamente é necessário um equipamento chamado
Reticador. Ele é um conversor de energia composto de chaves totalmente contro-
ladas (como neste estudo), semi-controladas ou não-controladas, com o objetivo de
transformar a onda alternada na entrada do circuito em tensão e corrente contínua.
Aqui entende-se corrente contínua como uxo unidirecional de corrente.
Muitos equipamentos domésticos, tais como carregadores de celular, televisores,
motores de portão, bombas de aquário e fontes de computador, são conectados à
rede via reticadores. Esse conversor também é aplicado em transmissão de energia
elétrica a longas distâncias, quando a solução em CA deixa de ser economicamente
vantajosa (vide [3]).
Este projeto, baseado no trabalho de STEPHAN [1] [4], analisa o comporta-
mento de um motor de corrente contínua acionado por um reticador a tiristores
SCR em ponte completa alimentado por uma fonte senoidal de tensão, como mostra
a gura 1.1. São analisados os dois modos de condução de corrente: modo contínuo
de condução de corrente, ou apenas modo contínuo (no qual a corrente não cessa
nunca) e modo descontínuo de condução de corrente, ou apenas modo descontínuo
(no qual há períodos em que a corrente mantem-se zero). Validam-se via simula-
ções as equações aqui deduzidas, considerando a operação em regime permanente,
simplicações de perda Joule nula (resistência zero) e chaves semicondutoras ideais.
A partir das equações são traçadas as curvas características de Tensão x Corrente
médias em regime permanente, com apoio computacional.
Destaca-se como contribuição original deste trabalho a análise dos ângulos su-
periores a 147, 5 para essa topologia de circuito, cuja a passagem entre os modos
de condução apresenta descontinuidades reveladas no estudo analítico e comprova-
1
das pelas simulações. Em termos práticos, ângulos dessa natureza não costumam
ser utilizados em função do tempo de recuperação dos tiristores, comprometendo a
segurança operativa (MOHAN et al. [5, p. 136-138]).
A disposição dos capítulos começa com uma breve revisão teórica sobre os prin-
cipais componentes estudados, a m de entender seus princípios de funcionamento,
seguido pela análise do circuito, construindo um sistema de equações para ele. Com
elas, avaliam-se suas interações com a variáveis, e por m tem-se os resultados si-
mulados.
Figura 1.1: Modelagem em circuito elétrico do sistema a ser estudado.
2
Capítulo 2
Revisão Bibliográca
2.1 Reticador em ponte completa
Esta seção se destina não a detalhar matematicamente o funcionamento do re-
ticador utilizado, mas sim a explicar seus princípios de funcionamento. As de-
monstrações dos resultados obtidos estão disponíveis em [57] e os demais cálculos
pertinentes aplicáveis a este trabalho estão dispostos nos capítulos 3 e 4.
Primeiramente, para entender como funciona tal conversor, deve-se conhecer seus
componentes. No caso, os tiristores que o compõem. O modelo utilizado é um SCR
((RASHID [6, p. 101])), portanto, neste texto, os dois termos serão tratados como
sinônimos.
Figura 2.1: Tiristor SCR - exemplo de modelo real à esquerda, simbologia ao centroe circuito equivalente ideal a direita.
O tiristor é uma chave unidirecional de corrente semelhante ao diodo, que blo-
queia uxo de corrente em sentido reverso, e apenas o permite quando corretamente
polarizado (tensão no anodo maior do que no catodo). Mas diferente do diodo, para
3
que ele dispare, ou seja, opere fechando a chave, deve receber um comando (pulso
de corrente) no terminal do gate, mostrado na gura 2.1.
Ao utilizar um reticador como fonte de tensão, deve-se olhar para as formas das
ondas das tensões de entrada (CA) e saída (CC). Essa conguração é controlada de
forma que as chaves opostas sejam acionadas simultaneamente, ou seja, sempre os
pares 1 e 2 ou 3 e 4 são acionados, e nenhuma outra conguração é permitida (gura
2.2). A topologia do circuito (ponte completa) permite o aproveitamento de ambos
os semiciclos de us, o que não é possível em algumas outras congurações (vide [7],
[5] e [8]).
Isso faz com que, após o disparo no semi-ciclo positivo, a tensão de saída ud(t)seja igual à tensão de entrada us(t). Já no semi-ciclo negativo, ud(t) terá seu sinal
invertido em relação a us(t), tornando-a novamente positiva, e, portanto, reticada.
Figura 2.2: Reticador monofásico em ponte.
A tensão chaveada comparada à de alimentação tem o perl da gura 2.3, con-
siderando um circuito clássico de um reticação de onda completa a diodos alimen-
tando uma carga resistiva. Como o tiristor ainda permite que a condução só se inicie
quando receber um comando no Gate, essa tensão de saída pode ser controlada, como
mostra a gura 2.4.
4
Figura 2.3: Formas de onda da tensão em um circuito reticador a diodos comcarga resistiva: ud representa a tensão de saída (reticada), enquanto us representaa tensão alternada na entrada do circuito.
Figura 2.4: Formas de onda da tensão em um circuito reticador disparado a 45 udrepresenta a tensão de saída (reticada), enquanto us representa a tensão alternadana entrada do circuito.
Dessa forma, o controle do momento do disparo se torna crucial para maior do-
mínio sobre o valor médio da tensão Ud. Existem várias formas de controle possíveis
(vide [9], [10], [5]), mas aqui ele é feito baseado na comparação de uma constante
com uma onda dente-de-serra, estando essa última sincronizada com o meio período
da senoide de entrada (gura 2.5). Quando a dente-de-serra supera vcontrol, é dado
um comando ao par correto de tiristores (1-2 no ciclo positivo, 3-4 no negativo), que
iniciam a condução. O ponto onde isso ocorre é chamado de ângulo de disparo α,
denido por:
α = 180vcontrol
Vst.
5
Figura 2.5: Controle do disparo por comparação de dente-de-serra com constante.
O disparo para o ciclo negativo é feito defasado de 180 do disparo do ciclo
positivo.
Como o lado reticado se refere à parte CC do sistema, o mais interessante é o
valor médio da onda de saída, calculado por:
Ud =1
2π
∫ 2π
0
ud(θ)dθ.
O período da saída é de apenas 180, ou π radianos. Por m, para ângulos de
disparo maiores que 90, a sequência de disparo se inverte, transmitindo ao lado CC
tensão média negativa, enquanto nele houver carga indutiva, ou fonte de corrente
(MOHAN et al. [5, p. 136-138]).
Figura 2.6: Tensão de entrada us e tensão reticada ud no modo inversor.
6
Então, para cada ângulo de disparo α, a tensão de saída terá valor médio di-
ferente, e quando operado no modo inversor este valor será negativo, mostrado na
gura 2.7.
Figura 2.7: Relação entre α e sinal de saída, cedido por STEPHAN [1].
De forma geral, reticadores podem operar em modo contínuo (quando a corrente
na carga é maior que zero) ou em modo descontínuo (quando a corrente permanece
nula durante parte do período, ou seja, quando o SCR será uma chave aberta). Tais
comportamentos podem ser vistos na gura 2.8 e serão analisados no capítulo 3.
7
(a) Reticador operando no modo contínuo;
(b) Reticador operando no modo descontínuo, cuja carga mantém nível de tensão;
Figura 2.8: Modos de operação de um reticador.
2.2 Motor de Corrente Contínua
Máquinas elétricas convertem energia elétrica em mecânica (motor) ou vice-versa
(gerador) através da interação entre condutores carregados em movimento e campos
magnéticos. Este capítulo novamente destina-se a resumir o princípio de funciona-
mento desse tipo de máquina, sendo baseado em [11], [12], [13], [14],[15], [16], [17] e
[18], onde pode-se obter mais detalhes.
A armadura do motor recebe a corrente de um circuito externo (a fonte de
alimentação), e a armadura do gerador libera corrente para um circuito externo (a
carga). Seu núcleo é composto de material ferromagnético laminado, com isolamento
entre as lâminas para reduzir perdas por histerese e correntes parasitas, devido à
indução magnética.
O comutador existe para manter sempre a mesma polaridade da tensão em rela-
ção aos terminais da espira. É composto de segmentos de anel de cobre montados
ao redor do eixo, de forma que as escovas (segmentos de grata que fazem a conexão
8
da a fonte CC aos segmentos do anel) estejam sempre em contato com um segmento
metálico do anel.
O enrolamento de campo é um eletroímã ou um ímã permanente que produz o
uxo magnético no qual as espiras da armadura estão imersas.
A lei de Faraday arma que quando há variação do enlace de uxo em uma
espira, há indução de tensão no condutor com polaridade oposta à da tensão aplicada
externamente ao motor. Por este motivo é conhecida como força contra-eletromotriz
(EMK ElektroMotorische Kraft em alemão, idioma original de publicação de [1]).
Em suma, considerando os enrolamentos de campo e de armadura, e o surgimento
da força contraeletromotriz, o motor CC pode ser representado pelas equações 2.1
e pela Figura 2.9.
vt = EMK + Lddiddt
+Rdid
vf = Rf if + Lfdifdt
EMK = Kn
mel = Kid
J = dndt
= mel −mcarga = m
(2.1)
Sendo:
Rd e Ld a resistência e indutância de armadura
vt a tensão terminal. Também chamada de tensão de armadura Va por alguns
autores
id é a corrente de armadura
Rf e Lf a resistência e indutância de campo
vf a tensão de campo
if a corrente de campo
K a constante de uxo
n a velocidade de rotação do eixo
mel o torque eletromagnético no eixo
mcarga o torque que a carga impõe ao eixo
m o torque resultante no eixo
9
Figura 2.9: Equivalente elétrico de Motor CC.
10
Capítulo 3
Equações do Sistema
Primeiramente considera-se o circuito da gura 1.1, repetida abaixo (gura 3.1).
Figura 3.1: Modelagem em circuito elétrico do sistema a ser estudado.
Neste caso desconsidera-se a indutância da fonte de tensão us e a resistência
interna do motor. Além disso, os tiristores são considerados como chaves ideais
que disparam instantaneamente ao serem acionadas. Para facilidade de notação,
letras minúsculas representarão o valor instantâneo de uma variável e maiúsculas
representarão seus respectivos valores médios. Demais notações serão noticadas
quando utilizadas.
Deve-se ressaltar a aproximação de resistência zero (ou seja, perdas ôhmicas
sobre condutores, armadura do motor, fonte e tiristores é desprezível). Essa escolha
também resulta em uma constante de tempo τ = LdRd→ ∞, ou seja, todos os
transitórios são extremamente longos. Isso não afeta o estudo analítico deste projeto
que será feito sobre o regime permanente de eletrônica de potência.
Este circuito representa um reticador monofásico em ponte completa a tiris-
11
tores. O indutor é inerente à máquina e sua presença ressalta a incapacidade do
tiristor de interromper a condução de corrente apenas deixando de estar polarizado,
só o fazendo quando esta atinge o zero. O indutor, como elemento armazenador
incapaz de alterar sua corrente instantaneamente, manterá o uxo até que a energia
acumulada em um ciclo seja dissipada. Só então a condução será interrompida.
Como já dito, considera-se o regime permanente de eletrônica de potência, o que
signica que haverá oscilações sempre iguais a cada ciclo, o que pode ser comprovado
por uma análise simples do comportamento do indutor. Em regime permanente, a
corrente inicial i(ti) e nal do indutor serão iguais, em um ciclo.
vLd = Lddiddt→ 1
Ld
∫ tf
ti
vLddt = i(tf )− i(ti) = 0 (3.1)
Ou seja, a tensão média sobre o indutor em um período é zero, e as áreas A
hachuradas nas guras 3.2 e 3.3 se igualam no instante em que a corrente volta ao
seu valor inicial. Elas representam respectivamente os modos de condução contínuo
e descontínuo, que servirão de base para os equacionamentos a seguir.
Figura 3.2: Tensões e corrente do circuito, cedido por STEPHAN [1].
12
Figura 3.3: Tensão e corrente no modo descontínuo, cedido por STEPHAN [1].
Para que a condução ocorra no momento do disparo, os tiristores devem estar
polarizados, ou seja, ud ≥ EMK. Agora, analisando a Figura 1.1, considerando as
tensões sobre cada elemento temos que:
ud = vLd + EMK = Lddiddt
+ EMK (3.2)
Considerando o regime estacionário, e como o indutor é incapaz de zerar instan-
taneamente sua corrente, ainda há condução no circuito, que decai gradualmente
a partir do ponto em que ud = EMK. Calculando a média de tensão Ud sobre o
período T e as conclusões de 3.1, a integração da equação anterior mostra que a área
de função ud(t)−EMK, entre instantes iniciais e nais de condução, deve ser nula:
ud = vLd + EMK (3.3)
1
T
∫ T
0
ud dt =LdT
∫ T
0
did + EMK
∴ Ud = EMK (3.4)
Sendo Us o valor RMS da tensão us da fonte e ω = 2πf velocidade angular, para
frequência f , tem-se que:
13
ud(ωt) =
√2Us cos(ωt) para − π
2+ α ≤ ωt ≤ −π
2+ α + τd
EMK para − π2
+ α + τd ≤ ωt ≤ π2
+ α(3.5)
Calculando a média da tensão de 3.5 e 3.4, considerando x = ωt e o período de
condução τd, isto é, por quanto tempo o indutor manteve sua corrente, 0 ≤ τd ≤ π
(os períodos de não-condução, portanto, não precisam ser considerados na equação):
Udiα = EMK =1
τd
∫ −π2+α+τd
−π2+α
ud(x) dx
=
√2Usτd
[sin
(−π2
+ α + τd
)− sin
(−π2
+ α
)]∴ Udiα = EMK = Udio
π
2τd([cosα− cos(α+ τd) ]) (3.6)
Sendo Udio = 2√2Usπ
. Considerando novamente a equação 3.2:
ud = Lddi
dt+ EMK
ud − EMK = Ldiddt
ω
ω= ωL
diddωt
A impedância em ohms da indutância é Xd = ωLd. Integrando ambos os lados:
ud(x)− EMK = Xddi
dx⇒ (ud(x)− EMK)dx = Xddid
id (x) = I0 +1
Xd
∫ x
−π2+α
(ud(x)− EMK) dx (3.7)
Resolvendo a integral:∫ x
−π2+α
(ud(x)− EMK) dx =
∫ x
−π2+α
(√2Uscosx −EMK
)dx
=
(√2Us sinx
∣∣∣∣ x
−π2
+ α
)− EMK(x− α +
π
2)
=√
2Us[sinx− sin
(α− π
2
)]− EMK
[x− α +
π
2
]Voltando à equação 3.7, substituindo ud pelas equações acima:
id(x) =
√2Us(sinx+ cosα)− EMK
Xd(x− α + π
2) para − π
2+ α ≤ ωt ≤ −π
2+ α + τd
0 para − π2
+ α + τd ≤ ωt ≤ π2
+ α
(3.8)
14
Denindo I0 como valor da corrente id nos instantes de disparo, o valor médio Id da
corrente id, e considerando um período de condução de 0 < τd < 180 será:
Id =1
π
∫ −π2+α+τd
−π2+α
iddx =1
2
UdioXd
[sinα− sin(α + τd) + τd cosα]− EMK
πXd
(τ 2d2
)+ I0
Substituindo EMK pela equação 3.6:
Id =1
2
UdioXd
sinα− sin(α + τd) +
τd2
[cosα + cos(α + τd)]
+ I0 (3.9)
Estas são as equações de tensão (equação 3.6) e corrente (equação 3.9) médias
para o sistema, válidas para o modo contínuo e descontínuo. O que diferencia estes
modos são os valores de τd e de I0. Portanto, interessa agora denir e avaliar estas
duas formas de funcionamento. Outro ponto a ser considerado é a fronteira entre
estes dois modos, pois nela ocorrem efeitos interessantes, dignos de nota.
3.1 Modo Contínuo
No modo contínuo de operação, cujo comportamento é mostrado na Figura 3.2,
o indutor não para de conduzir (portanto τd = π), e tem corrente I0 > 0. Nesse
caso, as equações 3.6 e 3.9 se reduzem a:
EMK = Udiα = Udio cosα (3.10)
Id =UdioXd
sinα + I0 (3.11)
O reticador pode também operar no modo inversor para α > 90, isto é, a
tensão de saída tem polaridade invertida em relação à entrada, como na gura 2.6.
Neste modo, a média da tensão reticada não varia com a carga, pois aqui não há
períodos onde o reticador não esteja conduzindo.
3.2 Modo Descontínuo
O modo descontínuo, entretanto, não é tão simples e as equações 3.6 e 3.9 não
se reduzem a algo trivial como no caso anterior. Aqui tem-se τd < π e I0 = 0, como
na gura 3.3 Alterando a carga, alteramos o nível da corrente do circuito. Existe
uma carga mínima na qual a curva de corrente encontra o eixo das abscissas fazendo
I0 = 0, chamado de Fronteira entre os modos de operação, que por sua vez será
estudada na seção 3.3. Se a carga continuar a reduzir, haverá períodos em que o
15
indutor estará descarregado e não haverá condução de corrente, já que ela não pode
inverter sua direção por causa do efeito de válvula dos tiristores, até que seja dado
o próximo disparo e a condução retorne (gura 3.3).
É importante notar também que para τd → 0, pelas equações 3.6 e 3.7 a corrente
tende a zero e a tensão tende para um valor nito, discutido no capítulo 4.4, e que
quanto menor for α, maior será a média da tensão reticada (para uma mesma
carga).
3.3 Fronteira entre os Modos de Operação
As formas de onda para o limite entre as conduções é mostrado na Figura 3.4.
Neste caso limite, τd = π e I0 = 0, que substituídos na equação 3.9 resulta em:
Idg =UdioXd
sinα (3.12)
Figura 3.4: Tensão e corrente na fronteira entre os modos de operação, cedido porSTEPHAN [1].
16
Capítulo 4
Relações entre Tensões e Correntes
A partir das relações básicas do capítulo anterior, pode-se fazer uma análise
mais profunda entre as duas principais grandezas do sistema: tensão e corrente. Os
modos de condução podem também ser subdivididos segundo os ângulos de disparo
possíveis, trazendo muitas opções de análise e comportamentos diferentes para o sis-
tema. Cabe aqui analisar cada um deles, o que inclui seus limites e impossibilidades
operativas.
4.1 Ângulo mínimo de disparo para o modo descon-
tínuo
Se não houver corrente circulando para manter a condução do tiristor, é impos-
sível ocorrer o disparo para determinados ângulos α, pois a condição ud(α) > EMK
não está sendo satisfeita. A equação 3.6 mostra que quanto menor o ângulo α
maior será EMK, dicultando a polarização correta do tiristor. Este αlimite pode
ser calculado ao considerar operação na fronteira (τd = π e I0 = 0) para o caso
ud(α) = EMK.
ud(t) = EMK →√
2Us cos(−π2
+ αlimite) = Udio cosαlimite
Udio√2Us
=sinαlimitecosαlimite
= tan(αlimite)
Como Udio = 2√2Usπ
:
tan(αlimite) =2
π=⇒ αlimite = 32, 5
Na prática, portanto, é impossível haver operação no modo de condução descon-
tínua de corrente para ângulos menores que αlimite.
17
4.2 Regiões de operação segundo ângulos de disparo
na fronteira
As equações podem ser divididas em 3 categorias:
Disparo para 32, 5 < α < 147, 532, 5 < α < 147, 532, 5 < α < 147, 5
Neste modo, o comportamento da corrente é exatamente como esperado,
baseando-se no modo contínuo: oscila sempre positiva apenas tocando o eixo
horizontal por um instante, representado na Figura 3.4.
Disparo para 0 < α < 32, 50 < α < 32, 50 < α < 32, 5
Naturalmente, como o tiristor não tem tensão para ser polarizado da maneira
que desejamos, e o indutor ainda não descarregou completamente, a condução
continuará até que estas duas situações (simultâneas e dependentes uma da
outra) ocorram em wt = ξ e A = A1 +A2, gerando um comportamento como
o da Figura 4.1.
Figura 4.1: Tensão e corrente na fronteira para α < 32, 5, cedido por STEPHAN[1].
Portanto, é interessante analisar como a corrente se comporta. Quando vLd =
0,diddt
= 0, o que signica que id passa por um máximo ou mínimo nos pontos
x = ±ξ. O gráco da Figura 4.1 mostra que para x = −ξ , id(−ξ) = 0. Por
estar na fronteira do modo contínuo, EMK = Udiocos(α) é válido. A partir
18
da equação 3.8, considerando o período de condução:
id = 0 =π
2
UdioXd
(sin ξ + cosα− Udio
Xd
(−ξ − α +
π
2
)cosα + I0
)
I0 =πUdio2Xd
[sin ξ − cosα +
2
pi
(−ξ − α +
π
2
)cosα
]I0(0 < α < 32, 5) =
π
2
UdioXd
[sin ξ +
2
π(−ξ − α) cosα
](4.1)
Além disso, a corrente se torna zero somente no instante em que ud(x) =
EMK, em x = ωt = ξ. Portanto, a partir das equações 3.5 e 3.6:
ud(ξ) =√
2Us cos ξ = EMK =2√
2Usπτd
[cosα− cos(α + τd)]
Na fronteira (e no modo contínuo) tem-se que τd = π, então:
cos(−ξ) = cosξ =2
πcosα
Substituindo na equação 4.1:
I0(0 < α < 32, 5) =π
2
UdioXd
[sinξ − (ξ + α)cosξ] (4.2)
Então existe um valor mínimo de corrente para que esses ângulos possam ser
operados no modo contínuo. Ou seja, o circulo que descreve a fronteira não é
o limite para essa região operativa.
Disparo para 147, 5 < α < 180147, 5 < α < 180147, 5 < α < 180
Como a partir de 90° opera-se o modo inversor, e o ciclo da tensão de saída é
de 180°, é de se esperar que acima de 180− 32, 5 = 147, 5 também não haja
condução descontínua. Porém, neste caso, como representado na Figura 4.2,
no momento de disparo a condição ud =√
2Ussinα > EMK é satisfeita.
19
Figura 4.2: Tensão e corrente na fronteira para α > 147, 5, cedido por STEPHAN[1].
Considerando estes detalhes, pode-se calcular a corrente Idg na fronteira dos
modos contínuo e descontínuo. Como τd = π, que substituído na equação 3.9
da corrente tem-se que:
Idg =Udi0Xd
sinα + I0 (4.3)
E I0 pode ser novamente denido pela relação 3.8 usada anteriormente, fazendo
x = π + ξ que leva a id(π + ξ) = 0, e portanto:
id(π + ξ) = 0 =π
2
UdioXd
[sin(π + ξ) + cosα]− UdioXd
(ξ − α +3π
2)cosα + I0
I0 =π
2
UdioXd
[sinξ − cosα +
2
π(ξ − α +
3π
2)cosα
]I0(α > 147, 5) =
π
2
UdioXd
[sinξ +
2
π(ξ − α + π)cosα
](4.4)
Novamente utilizando as equações 3.5 e 3.6:
ud(π + ξ) =√
2Uscos(π + ξ) = EMK = 2√
2Usπ
1
τd(cosα− cos(α + τd))
Como τd = π:
cos(π + ξ) = −cosξ =2
πcosα =⇒ cosξ = − 2
πcosα
20
Substituindo em 4.4:
I0(α > 147, 5) =π
2
UdioXd
[sinξ − (ξ − α + π)cosξ] (4.5)
Diferente do caso anterior, neste há condução tanto no modo contínuo como
no descontínuo. Porém, como será mostrado posteriormente, há um salto nos
níveis de corrente e tensão, ou seja, os limites de condução dos dois modos não
são coincidentes, resultando em descontinuidades na curva Tensão x Corrente
característica.
O valor máximo da corrente para cada um destes conjuntos de valores de α na
fronteira é um parâmetro importante para determinar o indutor a ser utilizado. Este
máximo se dá para αm, em que dIdgdα
∣∣α=αm
= 0, a partir da relação 4.3.
Tabela 4.1: Correntes máximas na fronteira
Ângulo de disparo Corrente máxima Ângulo αm32, 5 ≤ α ≤ 147, 5 Idg = Udio
Xdαm = 90
0 ≤ α < 32, 5 Idg = 0, 33UdioXd
αm = 0
147, 5 < α ≤ 180 Idg = 0, 33UdioXd
αm = 180
Dene-se a corrente máxima de fronteira possível como
IdgM =UdioXd
. (4.6)
4.3 Fronteira entre os modos de operação - Curva
Tensão x Corrente
É interessante normalizar as relações de tensão e corrente (3.6 e 3.9).
EMK
Udio=
π
2τd[cosα− cos(α + τd)] (4.7)
IdIdgM
=1
2
sinα− sin(α + τd) +
τd2
[cosα + cos(α + τd)]
+I0IdgM
(4.8)
E a condição de disparo:EMK
Udio≤ πsinα
2(4.9)
Nesta região valem as equações 3.10 e 3.12, com I0 = 0, e considerando a relação
4.6, é possível escrever:
cosα = EMKUdio
sinα =IdgXdUdio
21
A partir da relação trigonométrica (sinx)2 + (cosx)2 = 1, da equação do círculo
e da eq. 4.6: (IdgIdgM
)2
+
(EMK
Udio
)2
= 1.
Isso quer dizer que a fronteira entre os modos de condução contínuo e descontínuo
descreve um círculo nas curvas tensão-corrente, à esquerda estará o modo descontí-
nuo (com I0 = 0 e τdm < τd ≤ τdM ≤ π), e à direita o modo continuo (com I0 6= 0
e τd = π). τdM é o período máximo de condução, que será discutido na seção 4.5, e
τdm é o período mínimo, discutido em 4.4.
Normalizando também as relações do capítulo 4.2:
I0IdgM
=
0 para 32, 5 ≤ α ≤ 147, 5
π2
[sinξ − (α + ξ)cosξ] para 0 ≤ α < 32, 5
π2
[sinξ − (π − α− ξ)cosξ] para 147, 5 ≤ α < 180(4.10)
4.4 Limites operativos no modo não-inversor
É preciso vericar os limites operativos, como o da gura 4.3, ou seja, quando o
intervalo de condução é o mínimo (τdm).
Figura 4.3: Tensão e corrente para I0 → 0, cedido por STEPHAN [1].
Com a equação 4.7 o limite pode ser denido .
22
limId→0
EMK
Udio= lim
τd→0
EMK
Udio= lim
τd→0
π
2[cosα− cos(α + τd)]
= limτd→0
π
2[cosα + sinαsinτd − cosαcosτd]
= limτd→0
π
2
[sinα
(sin2τd
2
2
)+
(1− cos2τd
2
2
)cosα
]= lim
τd→0
π
2
[sinαcos
τd2sin
τd2
+ (sinτd2
)2cosα]
= limτd→0
π
2
[sinαcos
τd2
+ sinτd2cosα
]sin
τd2
= limτd→0
τd2
[2sin(α +
τd2
)sinτd2
]=π
2sinα
Pode ser visto que a condição de disparo é sempre satisfeita para α > 90. Mas
a equação é válida para qualquer α, então, para o modo não inversor, há sempre um
τd muito próximo a zero que fornece uma tensão máxima de
EMKmax
Udio=π
2sinα . (4.11)
Esses resultados são mostrados na gura 4.4.
23
Figura 4.4: Gráco tensão-corrente para 32, 5 < α ≤ 147, 5, cedido por STEPHAN[1].
4.5 Limites operativos no modo inversor
Outro fato interessante que ocorre neste modo de operação é a existência de um
período máximo de condução τdM para alguns ângulos. Pela a Figura 4.5, supondo
A1 = A, se EMK car ainda menor, A1 aumenta e A diminui fazendo A1 > A.
Assim não há mais ponto de operação estável, pois não há mais como compensar
A1.
24
Figura 4.5: Tensão e corrente no modo descontínuo para τdM
Considerando as equações 3.5 e 3.6, para o caso limite no qual as tensões se
igualam e a corrente zera, ou seja, τdM depois do disparo:
ud(−π2+α+τdM ) =
√2Uscos(−
π
2+ α + τdM) = EMK
sin(α + τdM) =EMK
Udio
2
π
sin(α + τdM) = Udioπ
2
1
τdM(cosα− cos(α + τdM))
1
Udio
2
π
∴ τdM =cosα− cos(α + τdM)
sin(α + τdM)(4.12)
Estes valores apenas afetam ângulos α maiores que 147, 5, pois τdM(α=147,5) = π,
que vêm a ser o período normal de condução na fronteira. Esse valor calculado no
MATLAB, mostra que a há um limite na relação IdxUd para α > 147, 5, gerando
uma descontinuidade no gráco, representados na tabela 4.2 e na gura 4.6.
Ao comparar os valores de cores iguais na tabela, ou seja, comparar a terceira
com a quinta coluna, e a quarta com a última, notamos que tais discrepâncias entre
os limites são mais visíveis quanto maior for α, congurando o já comentado salto
entre os os modos de operação. Isso quer dizer que não existe ponto de operação
estável em regime permanente durante aquele intervalo.
25
Tabela 4.2: Tensões e correntes nos limites dos modos de condução para 147, 5 ≤α ≤ 180.
Ângulo de
disparo ατdM EMK/Udio
em τdM
Id/IdgM em τdM
com I0 = 0
EMK/Udio (τd = π)
Contínuo na fronteira
Id/IdgM (τd = π)
Contínuo na fronteiraGraus(°) (rad)
147,5 π -0,844 0,537 -0,844 0,537
150 3,08 -0,867 0,500 -0,866 0,503
165 2,71 -1,010 0,316 -0,966 0,368
180 2,33 -1,139 0,181 -1,000 0,331
Figura 4.6: Resultado analítico normalizado para regiões com descontinuidade, ce-dido por STEPHAN [1].
26
Capítulo 5
Resultados Computacionais
Os resultados deste capítulo foram calculados, vericados e traçados utilizando o
programa MATLAB, segundo o código em Anexo A, cujo resultado está representado
na gura 5.1.
Assim como previsto por STEPHAN [1], os limites discutidos nos capítulos an-
teriores se repetem no resultado analítico, com o modo descontínuo à esquerda do
círculo, e contínuo a direita. Destaca-se a inexistência do modo descontínuo para
α < 32, 5, e este mesmo ângulo ser o primeiro a ter contato com o círculo que des-
creve a fronteira. Não obstante, os saltos comentados anteriormente para α > 147, 5
são visíveis.
27
Figura 5.1: Resultado analítico normalizado Id/IdgMxEMK/Udio.
Para comparação e consequente validação do modelo teórico, fazem-se necessárias
simulações. Estas foram feitas no software para eletrônica de potência PSIM.
28
5.1 Simulação com Modelo de Máquina
Utilizou-se o modelo de máquina CC disponível no programa. O sistema mos-
trado na gura 5.2a requisitou alto tempo de simulação para atingir o estado de
regime permanente, devido à grande constante de tempo τ já comentada. Também
houve o uso de uma fonte de tensão tipo degrau de 2 níveis, pois eventualmente um
ângulo não respondia corretamente partindo do repouso, sendo necessário entrar
em regime permanente em outra conguração funcional, e depois alternar para a
desejada.
29
(a) Diagrama do sistema simulado no software PSIM, circuito de controle de disparo
acima, circuito elétrico abaixo, com carga mecânica à direita;
(b) Especicações do Motor CC;
Figura 5.2: Sistema Simulado no PSIM com especicações dos parâmetros internosda máquina.
Para que o sistema se torne estável, além da indutância interna Ld = 30mH
foi necessário adicionar uma resistência de armadura interna na máquina de Rd =
0, 01Ω. Isso gerou algumas alterações nos valores esperados, que embora pequenas,
precisam ser consideradas existentes.
Não obstante, não apenas as a relação entre as médias de EMK e de Id são o
interesse deste projeto. É interessante vericar como o sistema se comporta para os
casos até então apenas teorizados.
30
5.1.1 Casos com 32, 5 < α < 147, 5
As simulações destes casos apresentam-se a seguir, estando sempre de acordo
com o modelo calculado na seção 3 e 4.
Modo contínuo
O modo descontínuo representa elmente o teórico, mostrado na gura 5.3.
Nota-se que, como esperado do reticador, independente da tensão, a corrente
será sempre positiva.
Figura 5.3: Corrente e tensão para α = 45 simulado com modelo de máquina.
Fronteira
Para a fronteira entre os modos não é diferente. No instante da comutação, a
corrente está de volta ao seu valor inicial nulo, ou seja, as áreas se compensa-
ram, como na gura 4.4. Para atingir esse ponto, foi-se reduzindo a carga a
partir do modo contínuo até que I0 se tornasse 0.
31
(a) Fonteira entre os modos de condução para α = 45;
(b) Fonteira entre os modos de condução para α = 120;
Figura 5.4: Fronteira entre os modos de condução para 32, 5 < α < 147, 5.
Modo Descontínuo
O modo descontínuo, devido aos ângulos superiores a 90 serem capazes de
operar com EMK tanto positiva quanto negativa, apresenta mais de um com-
portamento. Os ângulos menores que 90 operam sempre com EMK positiva.
Nos 3 casos da gura 5.5 nota-se que quando as áreas acima e abaixo de EMK
se igualam, a corrente cessa, e permanece assim até o disparo seguinte.
32
(a) Modo descontínuo para α = 45;
(b) Modo descontínuo para α = 120 com EMK > 0;
(c) Modo descontínuo para α = 120 com EMK < 0;
Figura 5.5: Modo descontínuo para 32, 5 < α < 147, 5.
Além disso, o comportamento da gura 4.3, para corrente tendendo a zero,
33
é repetido na gura 5.6. Nesse caso, o regime transitório era longo demais
para o computador utilizado ser capaz de simular um tempo tão longo com
delidade, mas nota-se que gradualmente a tensão EMK cresce, tendendo a
atingir seu valor teórico.
Figura 5.6: Limite de condução para α = 120.
5.1.2 Casos com α < 32, 5
Modo Contínuo
Como já comentado na seção 4.1, esse modo não apresenta maiores problemas
em regime permanente para ser operado, basta ter um certo nível de corrente.
A gura 5.7 mostra um ponto operativo estável para esse caso.
Figura 5.7: Condução contínua para α = 20.
Modo Descontínuo
34
O primeiro ponto a ser analisado é a inexistência em regime permanente do
modo descontínuo para ângulos α < 32, 5. Como exemplo, a gura 5.8 o
comportamento dinâmico para ângulo de disparo α = 20.
(a) Operação instável no modo descontínuo para α = 20, visão ampla;
(b) Operação instável no modo descontínuo para α = 20, visão detalhada;
Figura 5.8: Falhas na condução descontínua para α < 32, 5.
É evidente a impossibilidade de operar em modo contínuo com baixa carga, não
havendo comutação na maior parte do tempo, porém, o que acontece nesse caso é
haver comutação das chaves em alguns momentos, tendo um ganho muito grande
de corrente.
Isso ocorre pois quando o simulador dá partida na máquina, ainda não está no
regime permanente. A dinâmica da máquina, a partir de um momento em que ela
está em movimento proveniente do transitório de partida, gera variação de velocidade
e de EMK. Durante a não condução, essas grandezas diminuem, até que a tensão ca
baixa o bastante para polarizar corretamente as chaves, habilitando a comutação e
causando um pico de corrente. Impõe-se novamente uma variação de velocidade no
35
motor, o que eleva EMK, polarizando reversamente a chave. Quando a corrente
voltar a zero, dissipando toda a energia armazenada, a condução é interrompida,
com EMK em um valor alto, caindo gradativamente junto à velocidade, até que o
processo possa se repetir.
Deve-se lembrar, porém, que isso não descaracteriza o fato de não ser possível
ocorrer o disparo para tais ângulos em regime permanente no modo descontínuo.
5.1.3 Casos com α > 147, 5
Modo Contínuo
Muito semelhante aos casos anteriores em regime permanente, notamos a ten-
são média negativa e corrente sempre maior que zero.
Figura 5.9: Modo contínuo para α = 165.
Modo Descontínuo
Os períodos de não-condução coincidem, como esperado, com os períodos onde
Vr se mantém constante no valor de EMK, que também é negativa.
36
Figura 5.10: Modo descontínuo para α = 165.
Saltos
Como já mencionado e mostrado no capítulo 4, há duas fronteiras que não
coincidem para α > 147, 5, diferentemente dos outros. Porém, a simulação
mostrou ser possível acionar o motor nessas regiões, o que gerou um com-
portamento de corrente intermediário entre os modos, e alternante entre eles
mostrado na gura 5.11.
Para que fosse possível simular a região de interesse, foi feita uma transição
reduzindo a carga e variando o ângulo gradualmente durante a simulação.
Iniciou-se com alto torque o sistema com α = 145, até que atingisse o regime
permanente. Para evitar grandes complicações na transição entre os ângulos,
este foi gradualmente acrescido até atingir os 165. Seu transitório não foi
muito demorado. Então, reduz-se a carga do sistema para que a região dos
saltos fosse atingida. Por m, baixou-se ainda mais a carga, entrando no modo
descontínuo.
Figura 5.11: Variação entre regiões para atingir a desejada
37
(a)
(b)
Figura 5.12: Comportamento da corrente na região dos saltos entre os modos decondução para α > 147, 5.
Para entender melhor o que ocorre, deve-se considerar as guras 4.2 e 4.5 e
o comportamento da tensão e velocidade além da corrente (guras 5.12, 5.13
e 5.14). Aqui, a velocidade é negativa. Então, quando ela aumenta em valor
absoluto (diminuindo em módulo), a polarização dos tiristores e compensação
das áreas volta a ser possível (como na gura 4.2) . Ou seja, com EMK e
velocidade com valor muito negativo, A = A1+A2 é realizável. Quando EMK
se torna menor, no momento do disparo, o tiristor não está corretamente po-
larizado, bloqueando a comutação até que a velocidade, devido à dinâmica da
máquina, atinja novamente um valor operável.
Quando a corrente passa em um mínimo ou máximo,di
dt= 0, e EMK = ud,
havendo a compensação de áreas novamente. Porém, ao reduzir a corrente,
perde-se a área A2. Quando a tensão EMK diminui, algo semelhante acon-
tece. Nesse caso, A diminui e, consequentemente, A1 já é suciente para sua
38
compensação, interrompendo a condução do tiristor quando EMK se iguala a
ud.
Figura 5.13: Corrente, tensão e velocidade para salto com α = 165.
Figura 5.14: Corrente, tensão e velocidade para salto com α = 165.
Esse comportamento se assemelha ao que se verica na seção 5.1.2. A ins-
tabilidade das velocidades causando alteração na tensão contra-eletromotriz
gera pulsos irregulares, impossibilitando o funcionamento. Porém, nesse caso
o motor transita entre os modos contínuo e descontínuo.
39
Capítulo 6
Dinâmica
Até agora foi analisado o comportamento estático do sistema em regime per-
manente, relacionando as variáveis pertinentes e seu comportamento. O diagrama
da gura 6.1 representa o sistema estudado, para um motor com carga mecânica
acoplada.
Figura 6.1: Diagrama de blocos do sistema estudado.
Em que:
τ é a constante de tempo elétrica já comentada;
Tm é a constante de tempo mecânica.
K é o ganho do circuito
Para melhor ilustrar a resposta da máquina à variação instantânea do ângulo
de disparo, variou-se α instantaneamente, mantendo o torque constante, cujos re-
sultados são mostrados na gura 6.2. Foram analisados os primeiros ciclos após a
alteração do ângulo e, portanto, a variação de velocidade torna-se desprezível.
40
(a) Alteração do ângulo de disparo durante operação descontínua;
(b) Alteração do ângulo de disparo durante operação contínua;
Figura 6.2: Dinâmica do sistema ao alterar instantaneamente o ângulo de disparonos modos contínuo e descontínuo de operação.
Enquanto opera em modo descontínuo na gura 6.2a, os novos valores médios são
atingidos no disparo imediatamente depois do comando de mudança de α. Porém,
a carga acoplada é um motor CC, e não houve mudança de torque. Então, passado
algum tempo devido ao longo transitório, o valor médio da corrente voltará ao mesmo
de antes da alteração de α.
Graças à dinâmica do sistema a corrente cresce gradualmente, até estabilizar-se
em seu novo valor estável, visto na gura 6.2b. O comportamento assemelha-se com
à resposta de primeira ordem ao degrau.
Percebe-se que os modos de condução de corrente contínuo e descontínuo, além
de uma inuência no comportamento de regime permanente, como detalhado neste
41
trabalho, também inuencia signicativamente o regime transitório. O aspecto di-
nâmico não tenha sido o objeto de estudo do texto por se encontrar amplamente
estudado na literatura técnica, bem como a solução para compensar a variação di-
nâmica da malha de corrente, cujo controle foi proposto por Buxbaum [19]. Tal
solução encontra-se implementada em reticadores comerciais de hoje (vide [20]).
42
Capítulo 7
Conclusões
O objetivo deste projeto foi analisar situações não-convencionais, e simulá-las
para consolidação teórica. Embora sua execução seja de cunho educacional, já que
as regiões de interesse aqui estudadas não são normalmente operáveis, ele foi, ao que
tudo indica, pioneira, sendo portanto difícil encontrar referências na literatura para
este tópico, que acaba se restringindo a meros comentários em outros estudos (vide
[5] e [19]).
Após a elaboração analítica do sistema, e desenvolvimento matemático requisi-
tado para tal, foi feita a escolha do programa de simulação a ser utilizado.
Ao se trabalhar com conversores dessa espécie é comum analisar o valor médio,
porém, o comportamento no tempo não pode ser negligenciado, já que traz situações
inesperadas que foram o foco deste trabalho. Os resultados deste estudo já foram
comentados no capítulo 5, mas ressalta-se sua importância para validar a teoria com
experimentos simulados, e entender como e porque as supostas impossibilidades
operativas ocorrem no sistema dinâmico (como modelo de máquina).
Como diculdades encontradas é possível citar o longo tempo de simulação ne-
cessário para um resultado el. A necessidade do resistor não havia sido considerada
até o problema surgir na etapa de simulações. Um resistor pequeno resulta em uma
constante de tempo τ elevada, aumentando o tempo dos transitórios, reetindo no
acréscimo no tempo para atingir o regime permanente, o que por sua vez demanda
de maior robustez computacional. Apesar disso, os resultados são satisfatórios.
Como etapa seguinte propõe-se um estudo do comportamento do sistema durante
uma alteração (instantânea ou gradual) do ângulo de disparo durante a operação, em
cada um dos modos considerados. É também interessante comparar tais resultados
com experimentos com componentes reais, em laboratório.
43
Referências Bibliográcas
[1] STEPHAN, R. M. A simple Model for a Thyristor Driven DC Motor Conside-
ring Continuous and Discontinuous Current Modes, Trans. on Education,
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Continuous and Disocntinuous Current Modes. Ph.D. dissertation, Rio de
Janeiro, RJ, Brasil, 1994.
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verters, Applications and Design. John Wiley and Sons, 2003.
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[7] POMÍLIO, J. A. Apostila EE833 Eletrônica de Potência - Graduação. UNI-
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chnik. AEG Telefunken, 1980.
[20] Manual do Conversor CA / CC CTW-(A)03. weg.
45
Apêndice A
Código em MATLAB utilizado
%Limpa Workspace e Command Window
clc
clear all
%plotar tudo no mesmo grafico
hold on
%plotando o circulo do limiar
th = 0:pi /50:2* pi;
xunit = 1 * cos(th);
yunit = 1 * sin(th);
p=plot(xunit , yunit ,'--');
axis ([-.02 1.3 -1.3 1.6]); % area de interesse nesse
quadrante
%criando os angulos de disparo alpha
a=(pi/180)* [0 20 32.5 55 75 90 105 120 135 147.5 165
180]];
%Plotagem do modo descontinuo - variando tau d entre 0 e
180, e I0=0
taud=(pi /180) *[0:180];
%para cada alpha , calcula e plota
syms x %definindo variavel para taud limite
for n=1: length(a)
46
if a(n) >32.5*pi/180
g=(pi/2)*sin(a(n)); %tensao minima para disparar
o tiristor EMK/Uio
%calculando o taud maximo:
k= vpasolve (x*sin(a(n)+x)==cos(a(n))-cos(a(n)+x)
,x,[pi/2 pi]);
%varrendo os taus; U=Ud/EMK e I=Id/Idmg
for m=1: length(taud)
if a(n) >147.5*pi/180
if taud(m)>k
break
end
end
u1=(pi/(2* taud(m)))*(cos(a(n))-cos(a(n)+taud(
m)));
i1 =0.5*( sin(a(n))-sin(a(n)+taud(m))+taud(m)
*0.5*( cos(a(n))+cos(a(n)+taud(m))));
%verificando se o tem tensao suficuente para
polarizar o tiristor
if u1<g
U(m)=u1;
I(m)=i1;
end
end
%tirando os zeros do inicio que nao nos
interessam
b=1;
for p=1: length(I)
if I(p)==0
b=b+1;
end
end
I1=I(b:end);
U1=U(b:end);
plot(I1,U1,'black ');
%vamos apagar as matrizes U e I pois elas tem
tamanhos diferentes para
47
%cada alpha , devido ao taud max de conducao
clearvars U
clearvars I
end
end
%plotagem do modo continuo. Neste caso taud=pi e I00=I0/
Idmg varia
for n=1: length(a)
if a(n) <=32.5*pi/180
cosxi =(2/pi)*cos(a(n));
senxi=sqrt(1-cosxi ^2);
xi=acos(cosxi);
I00 =[(pi/2)*(senxi -(a(n)+xi)*cosxi):.1:0.7];
for k=1: length(I00)
u2=cos(a(n));
i2 =(0.5*( sin(a(n))-sin(a(n)+pi)+pi *0.5*( cos(a
(n))+cos(a(n)+pi))))+I00(k);
U2(k)=u2;
I2(k)=i2;
end
end
if a(n) <147.5*pi/180 && a(n) >32.5*pi/180
I00 =[0:.1:0.3];
for k=1: length(I00)
u2=cos(a(n));
i2 =(0.5*( sin(a(n))-sin(a(n)+pi)+pi *0.5*( cos(a
(n))+cos(a(n)+pi))))+I00(k);
U2(k)=u2;
I2(k)=i2;
end
end
if a(n) >=147.5*pi/180
cosxi =(-2/pi)*cos(a(n));
senxi=sqrt(1-cosxi ^2);
xi=acos ((-2/pi)*cos(a(n)));
48
I00 =[(pi/2)*(senxi -(pi-a(n)+xi)*cosxi):.1:0.7];
for k=1: length(I00)
u2=cos(a(n));
i2 =(0.5*( sin(a(n))-sin(a(n)+pi)+pi *0.5*( cos(a
(n))+cos(a(n)+pi))))+I00(k);
U2(k)=u2;
I2(k)=i2;
end
end
plot(I2,U2,'black ');
clearvars U2
clearvars I2
end
xlabel('Id/IdgM')
ylabel('EMK/Udio')
title('Conducao continua e descontinua operando motor ';
'DC com retificador monofasico a a tiristor ')
hold off %fechando a janela
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