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Conceitos de Matemática I 2012-13

Operações com números inteiros não negativos 5 Aulas (12h)

Adição

Adicionar significa juntar. Adicionar números inteiros não negativos pode ser visto como o resultado de uma reunião de dois conjuntos em que os cardinais dos conjuntos são os números que queremos adicionar. Considerando que os conjuntos são disjuntos a soma dos dois números em causa corresponde ao cardinal da reunião dos conjuntos. Exemplo:

#A=4 #B=3 #(A∪B) = #A + #B = 4 + 3 =7 Definição (pág. 180) Sejam A e B dois conjuntos finitos disjuntos. Se #A = a e #B = b, então a soma de a com b que se representa por a + b é dada por a + b = #(A∪B) Os números a e b chamam-se parcelas e o número a + b é a soma.

A B

A∪B

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Também podemos modelar a adição através da reta numérica. Os números inteiros (não negativos) correspondem geometricamente a distâncias à origem. A adição representa a junção de duas distâncias por forma a obter a distância total. Exemplo: representar na reta real a adição 2 + 3

Interpretações da adição

No seu livro “Aritmética para pais” o autor Ron Aharoni descreve dois tipos de situações em que utilizamos a adição. Interpretação “Dinâmica” (acrescentar elementos do mesmo tipo) Quando temos um conjunto de elementos iguais e lhe acrescentamos mais alguns elementos estamos a efetuar uma adição dinâmica (o termo dinâmico deriva da ideia de movimento ao acrescentarmos os novos elementos). Exemplos: A Joana tem 21 berlindes e no Natal recebeu mais 12. Ao todo quantos berlindes tem a Joana? A Sra. Maria tem em casa 15 ovos. De manhã foi ao galinheiro e recolheu mais 4 ovos. Ao todos quantos ovos tem a Sra Maria?

-1 0 1 2 3 4 5

2 3

2 + 3 =5

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Interpretação “Estática” (reunir grupos diferentes) Também podemos juntar elementos com características diferentes desde que tenham algo em comum. Exemplo: numa jarra há 3 rosas e 4 cravos. Quantas flores estão na jarra? Por oposição ao conceito anterior, Ron Aharoni designou este tipo de situações por interpretação estática (em geral não sugerem a ideia de movimento). Mais exemplos: Uma turma tem 12 raparigas e 13 rapazes. Ao todo quantas crianças tem a turma? O João tem 4 carros azuis e dois vermelhos. Ao todo quantos carros tem o João? A mãe do Manel comprou 2 maças, 3 peras e 1 banana. Quantas peças de fruta comprou a mãe do Manel? No jardim zoológico, na secção dos animais felinos, existem 4 leões, 3 tigres e 2 panteras. Ao todo quantos animais felinos existem no zoo? Numa sala existem 4 cadeiras, uma mesa e uma estante. Quantas peças de mobília existem na sala? Este tipo de interpretação alerta-nos para a necessidade de interpretar corretamente a frase “Não se pode somar alhos com bugalhos”. O que se pretende dizer é que para juntar elementos com características diferentes é necessário encontrar uma denominação comum. Resolver os exercícios 4 a) e b) da FT nº 2

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Regras básicas da adição

Quando uma das parcelas é aumentada a soma aumenta o mesmo. Quando uma das parcelas é diminuida a soma diminui o mesmo. Exemplos: 2 + 13 =15 ⇔ (2 + 7) + 13 = 15 + 7 12 + 8 = 20 ⇔ (12 – 3) + 8 = 20 - 3

Algoritmos da adição

Resolver a tarefa 6 da pag 181 (tabelas de adição) Algoritmos com e sem composição (transporte) Ver pág 182. Algoritmo da adição noutras bases: Exemplos: Base 3: 1 1 1212 1+2=3=10(três) +220 2+2+1=5=12(três) 2202 Base 2: 1 1 0 1 1011 1+1=2=10(dois) 111 1+1+1+1=4=100(dois) +1010 1+1+1=3=11(dois) 11100 Resolver o exercício 5 a) e b) e 6 FT nº 2. (adição noutras bases)

Passos importantes na aprendizagem da adição

Numa primeira fase devemos por aprender (e memorizar) a adição de números até 10 (tabuadas da adição). Durante esta fase também

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é importante decompor os números (até 20) em somas de duas parcelas (as barras de Cuisenaire são úteis nesta tarefa). Devemos praticar o cálculo mental com somas de números de 2 e 3 algarismos. No que respeita o algoritmo da adição, devemos começar por calcular somas de 2 parcelas sem transporte e só depois passar a somas com transporte. Finalmente podemos aumentar o número de parcelas.

Propriedades da adição

• Os conjuntos �, �, � e � são fechados para a adição. A soma de 2 naturais é natural A soma de 2 inteiros é inteiro A soma de 2 racionais é racional A soma de 2 reais é real

• A adição é comutativa. Dados 2 números quaisquer a e b a + b = b + a

• A adição é associativa. Dados 3 números quaisquer a, b e c (a + b) + c = a + (b + c)

• A adição tem elemento neutro, o número 0. Dado um número qualquer a a + 0 = 0 + a = a

• Em �, � ou � existe elemento oposto designado simétrico O simétrico do número a é (-a). a + (-a) = (-a) + a = 0

Resolver os exercícios 16 e 17 da pág 208

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Subtração

A subtração é a operação inversa da adição. Definição (pág. 183) Dados dois números inteiros não negativos a e b, tais que b ≤ a, o único inteiro c tal que a = b + c chama-se diferença entre a e b, e escreve-se a – b = c. O número a chama-se aditivo e o número b chama-se subtrativo.

a - b = c

aditivo diferença

subtrativo

Uma vez que a adição significa basicamente juntar, subtrair significa fundamentalmente retirar. Mas como vamos ver existem outras situações em que recorremos à subtração mas em que não estamos explicitamente a retirar nada.

Interpretações da subtração Interpretação dinâmica Invertendo situações de adição que envolvem a interpretação dinâmica fiamos com subtrações com o mesmo tipo de contexto. Exemplo: Numa taça estão 12 queques. A Maria tirou 2 para levar para a escola. Quantos queques ficaram na taça? R: 12 - 2 = 10

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Interpretação estática De igual forma podemos inverter situações que envolvem a adição no seu sentido estático. Neste caso estamos a separar um todo em partes com características distintas. Exemplo: Uma turma tem 25 crianças das quais 12 são raparigas. Quantos rapazes há na turma? R: 25 - 12 = 13 Completar ou Comparar A subtração também pode ser utilizada em situações que não são geradas a partir da inversão da adição. Podemos querer comparar duas quantidades e para tal vamos recorrer à subtração. Também podemos querer completar um conjunto de forma a ficar com o mesmo número de elementos que outro e mais uma vez recorremos à subtração. Exemplos: A Maria tem 10 cromos e o Manuel tem 12. Quantos cromos tem o Manuel a mais que a Maria? 10 + 1 + 1 = 12, portanto o Manuel tem 2 cromos a mais. Também podemos efetuar a subtração 12 – 10 = 2 Tenho uma nota de 10 euros para comprar um brinquedo que custa 7 euros. Quanto recebo de troco? 7 + 1 + 1 + 1 = 10, portanto recebo 3 euros de troco. Também podemos efetuar a subtração 10 – 7 = 3 Resolver os exercícios 4 c) a e) da FT nº 2

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Regras básicas da subtração

1. Quando o aditivo é aumentado, a diferença aumenta o mesmo

valor. Quando o aditivo é diminuído, a diferença é diminuída no mesmo valor.

2. Quando o subtrativo é aumentado, a diferença é diminuída no

mesmo valor. Quando o subtrativo é diminuído, a diferença aumenta no mesmo valor.

3. Se adicionarmos o mesmo número ao aditivo e ao subtrativo a

diferença não se altera. Se subtrairmos o mesmo número ao aditivo e ao subtrativo a diferença não se altera.

Exemplos: 1. 16 – 9 = 7 ⇔ (16 + 3) - 9 = 7 + 3 2. 16 – 9 = 7 ⇔ 16 – (9 + 4) = 7 - 4 3. 16 – 9 = 7 ⇔ (16 + 3) – (9 + 3) = 7 Resolver os exercícios 19 e 20 da pág. 209 (regras básicas da adição e subtração)

Algoritmos

Algoritmos sem mudanças (pág 184): Exemplos:

algoritmo intermédio algoritmo convencional 67 67 -25 ou -25 2 7-5 42 +40 60-20 42

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Algoritmos com mudanças:

Método da troca (decomposição de uma unidade de ordem

superior)

Exemplo: 54 – 28 Algoritmo: 45 14 - 2 8 2 6 Este algoritmo baseia-se nos seguintes passos:

54 – 28 = (5d+4u)-(2d+8u)=(4d+14u)-(2d+8u)= (4d-2d)+(14u-8u)=2d+6u

Método da compensação

Este é o método mais utilizado no ensino básico e baseia-se na 3ª regra básica da subtração: vamos acrecentar o aditivo e o subtrativo de uma mesma quantidade. Exemplo: 54 – 28 Algoritmo: 5 14 - 2+1 8 2 6 Este algoritmo baseia-se nos seguintes passos: 54 -28 =(5d+4u)-(2d+8u)=(5d+14u)-(1d+2d+8u)= (5d-3d)+(14u-8u)=2d+8u

Passos importantes na aprendizagem da subtração

Ao mesmo tempo que se aprende a adição de números até 10 (tabuadas da adição) deve-se praticar as operações inversas, subtrações.

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Devemos praticar o cálculo mental com somas e subtrações de números de 2 e 3 algarismos. No que respeita o algoritmo da subtração, devemos começar por aditivos até 10; depois passar para aditivos entre 10 e 20; seguidamente aumentar o aditivo até 100 e só depois passar para valores superiores a 100. Ver a pág 187 no que respeita a cálculo mental envolvendo adições e subtrações. Propriedades da subtração

• Os conjunto �, � e � são fechados para a subtração. • Os conjuntos � ou �0 não são fechados para a subtração. • A subtração não é comutativa. • A subtração não é associativa. • A subtração não tem elemento neutro.

Apesar de não se verificarem as mesmas propriedades da adição, existe uma propriedade muito útil, que resulta das regras básicas da subtração (e que também pode ser obtida a partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição): Quaisquer que sejam os números a, b e c

a – (b + c) = a – b - c

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Multiplicação

Definição (pág. 188) Considerem-se dois números inteiros positivos a e n. Chama-se produto entre n e a, ao único inteiro b que verifica

b = a + a + … + a n parcelas

e escreve-se n x a = b.

Também podemos considerar parcelas nulas: se a = 0, então o produto n x a é nulo: n x 0 = 0 + 0 + … + 0 = 0.

O número n chama-se multiplicador e o número a chama-se multiplicando. Também dizemos que n e a são os fatores da multiplicação. n x a = b

multiplicador produto

multiplicando

O significado da ordem dos fatores, em geral, não é irrelevante, ainda que o produto seja o mesmo.

2 x 3 3 x 2

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Interpretações da multiplicação

Adição de parcelas iguais

Tal como foi definida, a multiplicação resulta da adição de parcelas iguais. Exemplo: Uma caixa de bolachas contém 6 saquetas cada uma com 4 bolachas. Quantas bolachas tem a caixa? Modelo de área

A multiplicação também pode ser aplicada em situações em que se podem modelar por um retângulo cuja área queremos calcular. Exemplos: 1) Os pacotes de leite escolar vêm dispostos em tabuleiros com 3 filas e 5 colunas. Quantos pacotes tem cada tabuleiro?

3 x 5 = 15 R: 15 pacotes de leite. 2) Um terreno tem 50 metros de largura e 100 metros de comprimento. Qual é a sua área?

R: 50 x 100 = 5000 m2.

50m

100m

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Produto cartesiano

O produto cartesiano entre dois conjuntos A e B é um novo conjunto formado por pares de elementos, sendo o primeiro elemento retirado de A e o segundo elemento de B. O cardinal deste novo conjunto é dado pelo produto #A x #B. Por exemplo, se A={Preto,Castanho} e B={Rosa, Vermelho, Laranja}, então A x B = {( Preto, Rosa), (Preto, Vermelho), (Preto, Laranja), (Castanho, Rosa), (Castanho, Vermelho), (Castanho, Laranja)}. #(AxB)=#A x #B = 2 x 3 = 6 Alguns problemas de combinatória resolvem-se com base nesta relação. Exemplo: A Ana tem dois pares de calças, um preto e um castanho. A Ana também tem 3 T-shirts, uma rosa, outra vermelha e outra laranja. De quantas maneiras diferentes pode a Ana combinar as suas roupas? R: 2 x 3 = 6 Resolver os exercícios 4 f) g) e h) da FT nº 2 (interpretações). Regras básicas da multiplicação

Quando o multiplicador ou o multiplicando é multiplicado por um número, o produto é multiplicado pelo mesmo número. Quando o multiplicador ou o multiplicando é dividido por um número, o produto é dividido pelo mesmo número. Exemplos: 2 x 3 =6 ⇔ (2 x 4) x 3 = 6 x 4 2 x 3 =6 ⇔ 2 x (3 x 4) = 6 x 4

6 x 8 = 48 ⇔ (6 : 2) x 8 = 48 : 2 6 x 8 = 48 ⇔ 6 x (8 : 2) = 48 : 2

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Algoritmos

Modelo de área usando material multibase, pág 191. Algoritmo detalhado, pág 192 à direita. Algoritmo convencional, pág 192. (Atenção ao deslocamento das parcelas e eventual colocação de zeros.) Os algoritmos não são iguais em toda a parte do mundo. Por exemplo, um aluno alemão fez a seguinte multiplicação: 24 x 75 168 + 120 1800 Nós faríamos 24 75 x75 ou x24 120 300 +168 +150 1800 1800 Analise as diferenças entre os algoritmos. Resolver o exercício 8 da FTnº2. Método da gelosia, pág 192 Algoritmo do camponês russo (multiplicação por duplicação) Segundo este algoritmo os fatores são colocados um ao lado do outro. Por baixo do 1º fator coloca-se o quociente da divisão inteira por 2. Por baixo do 2º fator coloca-se o seu dobro. Repete-se o procedimento até obter uma unidade no lado esquerdo. Riscam-se as linhas que têm números pares na coluna da esquerda

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(divisões com resto 0) e somam-se os números que sobram na coluna da direita. É este o produto procurado. Exemplos: 46 x 13 = 598 13 46 6 92 3 184 1 +368 598 35 x 17=595 17 35 8 70 (35x2) 4 140 (35x22) 2 280 (35x23) 1 +560 (35x24) 595 Este algoritmo baseia-se na decomposição de um número numa soma de potências de 2, fazendo-se uma mistura entre as bases 10 e 2. Notar que 35 x 17 = 35 x (1x24 + 0x23 + 0x22 + 0x2 + 1) Algoritmo da multiplicação noutras bases: Exemplo: 232 x 13 (base 4) 232 6 = 12(quatro) x 13 10 = 22(quatro) 2022 8 = 20(quatro) +232 4 = 10(quatro) 11002 5 = 11(quatro) Resolver o exercício 5 c) e d) FT nº 2. (multiplicação noutras bases)

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Propriedades

• Os conjunto �, �, � e � são fechados para a multiplicação. O produto de 2 naturais é natural O produto de 2 inteiros é inteiro O produto de 2 racionais é racional O produto de 2 reais é real

• A multiplicação é comutativa. Dados 2 números quaisquer a e b a x b = b x a Esta propriedade é fácil de observar numa tabela retangular. Por exemplo: 5 x 3 = 3 x 5

Também podemos utilizar as mãos para exemplificar a comutatividade.

2 x 3 3 x 2

• A multiplicação é associativa. Dados 3 números quaisquer a, b e c (a x b) x c = a x (b x c) Podemos visualizar esta propriedade através do cálculo de volumes de paralelepípedos. Por exemplo: o volume do sólido da figura é dado por (2 x 2) x 4 = 2 x (2 x 4). É uma questão de considerar fatias verticais ou horizontais.

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• A multiplicação tem elemento neutro, o número 1. Dado um número qualquer a a x 1 = 1 x a = a

• Em �\{0} ou �\{0} existe elemento oposto designado oposto O oposto do número a é (1/a) e designa-se habitualmente por inverso. a x 1/a = 1/a x a = 1

• A multiplicação tem elemento absorvente, o número 0. Dado um número qualquer a a x 0 = 0 x a = 0

• A multiplicação é distributiva em relação à adição. Dados 3 números quaisquer a, b e c a x ( b + c ) = a x b + a x c Podemos visualizar esta propriedade através de áreas de retângulos b c

a

A área do retângulo maior é a x (b + c). Esta área também pode ser calculada a partir das áreas dos retângulos mais pequenos a x b + a x c. Distribuir significa trocar a ordem entre agrupar e multiplicar. Por exemplo: 2 x (5 + 1) = (5 + 1) + (5 + 1) = (5 + 5) + (1 + 1) = 2 x 5 + 2 x 1

Resolver o exercício 22 da pág 209 (propriedades da multiplicação)

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Divisão

1.Divisão exata (em �0)

Definição (pág. 193) Considerem-se dois números inteiros não negativos a e b com b ≠ 0 e a = b x c para algum número inteiro c . c designa-se por quociente entre a e b e representa-se por a : b. Temos então que a : b = c se e só se a = b x c. O número a chama-se dividendo, b chama-se divisor e c é o quociente entre a e b. a : b = c

dividendo quociente

divisor

Note-se que nem sempre é possível dividir dois números inteiros e obter um quociente inteiro. Interpretações da divisão

Existem duas interpretações de base para a divisão que surgem naturalmente a partir da inversão da multiplicação quando pensada como a soma de parcelas iguais: a divisão por partição (ou repartição) e a divisão por medição (ou agrupamento). Recordemos, através de um exemplo, a noção de multiplicação como adição de parcelas iguais (ou seja, a partir da reunião de vários grupos iguais): Exemplo: Cada saco de gomas tem 5 gomas. Quantas gomas têm 3 sacos?

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3 x 5 = 15 Dimensão total dos vários grupos

Nº de grupos (parcelas)

Dimensão de cada grupo (parcela) Para passarmos a uma divisão podemos inverter este problema de duas formas diferentes: 1) Temos 15 gomas para distribuir por 3 sacos. Quantas gomas ficam em cada saco? Ou 2) Temos 15 gomas para distribuir por sacos que levam 5 gomas cada. Quantos sacos conseguimos encher? Em 1) estamos a procurar a dimensão de cada saco (unidade ou grupo de gomas) sabendo a dimensão total de um certo nº de sacos. Em 2) estamos a procurar o nº de sacos (nº de unidades ou grupos) sabendo a dimensão total e a dimensão de cada saco. Duma forma geral, na multiplicação pensada como a adição de parcelas iguais temos: n x u = t Dimensão total dos vários grupos (unidades)

Nº de grupos (nº de unidades) Dimensão de cada grupo (unidade)

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1) Divisão por partição (ou repartição)

t : n = u Dimensão de cada grupo (unidade) Dimensão total de vários grupos (unidades)

Nº de grupos (nº de unidades) Conhecemos a dimensão total de um certo número de grupos

(unidades) e queremos saber a dimensão de um grupo (uma

unidade).

Note-se que nesta interpretação aquilo que procuramos tem a mesma unidade de medida daquilo que nos é dado inicialmente: Temos 15 gomas….Quantas gomas….? ou, Temos 30 litros de azeite para distribuir por 2 amigos. Quantos litros de azeite cabe a cada um? ou, Tenho 12 rebuçados para distribuir por 4 crianças. Quantos rebuçados cabem a cada uma? Uma forma habitual de pensar em problemas de divisão por partição consiste em distribuir o total pelos grupos, um a um, até não haver mais. Por exemplo: Temos 12 rebuçados para distribuir por 4 crianças. Quantos rebuçados recebe cada criança? Criança 1 Criança 2 Criança 3 Criança 4 1 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1

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2) Divisão por medição (ou agrupamento)

t : u = n

Nº de grupos (unidades) Dimensão total de vários grupos (unidades)

Dimensão de cada grupo (unidade) Conhecemos a dimensão de vários grupos (unidades) e a

dimensão de um deles. Queremos saber quantos grupos

(unidades) temos?

Dito de outra forma, o que queremos saber é: Quantas vezes cabe a dimensão de um grupo (u) no total que

nos é dado (t)?

t : u = n Note-se que nesta interpretação aquilo que procuramos não tem a mesma unidade de medida daquilo que nos é dado inicialmente. Exemplos: 1)Temos 15 gomas para distribuir por sacos que levam 5 gomas cada. Quantos sacos conseguimos encher? 2) Temos 20 litros de azeite para distribuir por garrafões de 4 litros. Quantos garrafões conseguimos encher? 3) Tenho 30 ovos para distribuir por caixas de meia dúzia. Quantas caixas são precisas? Uma forma habitual de pensar em problemas de divisão por medição consiste em imaginar os grupos vazios e encher um grupo de cada vez até esgotar o total.

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Por exemplo: Tenho 30 ovos para distribuir por caixas de meia dúzia. Quantas caixas são precisas? Existem outras interpretações para a divisão para além das duas referidas anteriormente. Basta pensar em outras interpretações da multiplicação e considerar situações inversas. Por exemplo: podemos inverter o modelo de área e colocar um problema como o seguinte. Um terreno retangular tem de área 450 m2. Qual é a largura do terreno sabendo que o seu comprimento é 30 m? Resolver os exercícios 4 i) e j), e 9 da FT nº 2. Regras básicas da divisão (exata)

1. Quando o dividendo é aumentado um determinado número de

vezes, o quociente aumenta o mesmo número de vezes. Quando o dividendo é diminuído um determinado número de vezes, o quociente diminui o mesmo número de vezes.

2. Quando o divisor é aumentado um determinado número de vezes,

o quociente diminui o mesmo número de vezes. Quando o divisor é diminuído um determinado número de vezes, o quociente aumenta o mesmo número de vezes.

3. Se multiplicarmos o dividendo e o divisor pelo mesmo número o

quociente não se altera. Se dividirmos o dividendo e o divisor pelo mesmo número o quociente não se altera.

Enchemos primeiro esta caixa

Depois enchemos esta

Etc.

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Exemplos: 1. 16 : 8 = 2 ⇔ (16 x 2) : 8 = 2 x 2

16 : 8 = 2 ⇔ (16 : 2) : 8 = 2 : 2 2. 16 : 8 = 2 ⇔ 16 : (8 x 2) = 2 : 2 16 : 8 = 2 ⇔ 16 : (8 : 2) = 2 x 2 3. 16 : 8 = 2 ⇔ (16 x 2) : (8 x 2) = 2 16 : 8 = 2 ⇔ (16 : 2) : (8 : 2) = 2

Propriedades da divisão

• Os conjunto �, �, �, � não são fechados para a divisão. • Os conjuntos �+, �+, �\{0}, �\{0} são fechados para a divisão. • A divisão não é comutativa. • A divisão não é associativa. • A divisão não tem elemento neutro.

Apesar da divisão não gozar das mesmas propriedades da multiplicação, podem-se utilizar propriedades muito úteis que derivam das regras básicas da divisão: Quaisquer que sejam os números a, b e c (b e c não nulos)

a : (b x c) = (a : b) : c = a : b : c

a : (b : c) = (a: b) x c = a : b x c

2. Divisão inteira (em �0)

Nem sempre é possível dividir dois números naturais e obter um quociente natural. Quando isso acontece recorremos à divisão inteira em vez da divisão exata e admitimos a possibilidade de existência dum resto na divisão.

Identidade fundamental da divisão (pág. 195)

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Dados dois números inteiros não negativos a e b com b ≠ 0, a divisão inteira de a por b consiste em determinar dois números inteiros não negativos q e r, tais que: a = b x q + r com 0 ≤≤≤≤ r < b. O número a chama-se dividendo, b chama-se divisor, q é o quociente entre a e b e r é o resto da divisão. Notar que o resto nunca pode exceder ou ser igual ao divisor! A divisão exata é um caso particular da divisão inteira quando r=0. A divisão inteira tem sempre solução em �0 (desde que b ≠ 0).

Algoritmos da divisão

Algoritmos intermédios: Podemos efetuar divisões de várias maneiras. Por exemplo:

1. Adições sucessivas a partir do divisor.

Exemplo: 32 : 6 (6 + 6 + 6 + 6 + 6) + 2 = 32 32 = 5 x 6 + 2 O quociente é 5 e o resto é 2

2. Subtracções sucessivas a partir do dividendo.

Exemplo: 32 : 6 32 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = 2 32 – 5 x 6 = 2 O quociente é 5 e o resto é 2

3. Subtrações em bloco a partir do dividendo.

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Este algoritmo é útil quando o dividendo é muitas vezes superior ao divisor o que torna os procedimentos anteriores fastidiosos e inapropriados. Neste caso vamos a separar o dividendo em partes e fazer divisões sucessivas através da relação (a+b) : c = a : c + b : c As divisões sucessivas devem ser pensadas por repartição.

Uma boa imagem consiste em pensar que estamos a repartir uma grande quantidade de rebuçados por um certo número de meninos. Podemos ir repartindo por partes. De cada vez distribuímos uma parte que seja um múltiplo do número de meninos. Cada divisão (por repartição) dá origem a um quociente (nº de rebuçados por menino). No final, cada menino só tem que juntar os rebuçados todos e eventualmente ficamos com um resto que já não se pode dividir.

Exemplo 1: 8234 : 24 Alguns múltiplos de 24 que

nos ocorrem mentalmente:

8234 | 24 -4800 200 3434 100 -2400 40 1034 2 - 960 + 1 074 343 - 48 26 -24 2

24 x 2 = 48 24 x 10 = 240 24 x 5 = 240:2=120 24 x 20 = 480 24 x 100 = 2400 24 x 50 = 2400:2=1200 24 x 200 = 4800 24 x 40 = 960

O quociente é 343 e o resto é 2

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Exemplo 2: (ver programa do ensino básico pág 18)

Algoritmo tradicional:

O algoritmo tradicional baseia-se no mesmo princípio da divisão por partes, mas essas partes têm por base as ordens do nosso sistema decimal (milhares, centenas, dezenas, unidades). As divisões sucessivas devem ser pensadas por repartição. O material multibase é útil na exploração do algoritmo.

Exemplo 1: Ver páginas 195-198 (algoritmo com e sem subtrações explicitas).

472 : 3

Exemplo 2: 1921 : 16 1921 | 16 32 120 01

Exemplo 3: 103693 : 45 103693 | 45 136 2304 0193

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13 O algoritmo tradicional facilmente se generaliza a divisões em que o divisor tem mais de 2 algarismos. Exemplo 4: 12345 : 432 (com subtrações) (sem subtrações)

1234’5 | 432 1234’5 | 432 -864 28 3705 28 3705 249 - 3456 0249

Resolver a tarefa 12 da pág 195 (o 0 na divisão). https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=U_-Svwip9cE

Resolver os exercícios 27, 29, 30 e 31 das pág 209-10 Cálculo Mental

Ver pág 198 Resolver o exercício 25 da pág 209.

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Teoria de Números 3Aulas (8h):

Divisores e Múltiplos de um número inteiro

Definição (pág 199) Dados dois números inteiros a e d (d ≠ 0), diz-se que d é divisor de a ( ou d é divisor fator de a) se existir um número q ∈�0 tal que a : d = q. Neste caso diz-se também que a é divisível por d ou a é múltiplo de d (a = d x q). Exemplos: 5 é divisor de 20 (ou 5 divide 20 ou 20 é múltiplo de 5 ou 20 é divisível por 5). 20 : 5 = 4 ⇔ 20 = 5 x 4 3 é divisor de 18 (18 : 3 = 6); 35 é múltiplo de 7 (35 = 7 x 5); -6 é múltiplo de -3 (-6 = -3 x 2). Embora a definição dada anteriormente seja válida para números negativos iremos em geral apenas considerar números inteiros não negativos. No entanto, sempre que oportuno consideraremos os números inteiros na globalidade. Atenção ao número 0! 0 não é divisor de nenhum número, mas 0 é múltiplo de qualquer número. Exemplos: Divisores de 20 20 = 1 x 20; 20 = 2 x 10; 20 = 4 x 5; Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Divisores de 36

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36 = 1 x 36; 36 = 2 x 18; 36 = 3 x 12; 36 = 4 x 9; 36 = 6 x 6 Os divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Reparemos que ao procurar os divisores de 20 percorremos todos os pares de números que multiplicados dão 20. Cada par contribuiu com dois elementos para o conjunto de divisores. O número total de divisores é necessariamente um número par, neste caso # D20 = 6. O mesmo não aconteceu com os divisores de 36 pois um dos produtos envolvia o número 6 duas vezes. Esse produto apenas contribuiu com um elemento para o conjunto de divisores. Isto acontece porque 36 é o quadrado de um número natural. Assim, o número de divisores de 36 é necessariamente um número ímpar, neste caso # D36 = 9. Duma forma geral, sempre que um número é um quadrado perfeito o seu número de divisores é ímpar. Caso contrário, o número de divisores é par. Quando um número não é divisível por outro, isso significa que na divisão inteira existe um resto diferente de zero. Os números que divididos por um mesmo divisor d têm o mesmo resto dizem-se congruentes entre si, módulo d. Definição (pág 199) Dados dois números inteiros a e b, e um terceiro número d, d∈�\{1}, diz-se que a é congruente com b, módulo d, se a e b têm o mesmo resto na divisão por d. Em linguagem simbólica escrevemos a ≡ b (mod d). Dito de outra forma, a e b são congruentes, módulo d, se

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a = d x qa + r e b = d x qb + r, onde qa e qb são os quocientes das divisões de a e b por d, e r é o resto comum às duas divisões. Em termos de algoritmo da divisão temos a | d b | d r qa r qb Exemplos: 22 ≡ 34 (mod 6) pois 22 dividido por 6 dá resto 4 assim como 34 dividido por 6 dá resto 4. 25 ≡ 1 (mod 4) pois tanto 25 como 1 dão resto 1 na divisão por 4. Quando um dos números a ou b é o próprio resto ficamos logo a saber qual o resto em causa, como acontece no 2º exemplo. Se escrevermos os números inteiros não negativos numa tabela com um número de colunas igual ao divisor d (pelo qual vamos dividir), obtemos em cada coluna números congruentes, módulo d.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 … … … … … …

Na primeira coluna temos todos os números múltiplos de 6, ou seja, todos os números que dão resto 0 na divisão por 6. Estes números

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são congruentes módulo 6. Podemos dizer por exemplo: 12 ≡ 30 (mod 6), ou 12 ≡ 0 (mod 6).

Na segunda coluna temos todos os números que divididos por 6 têm resto 1. Estes números também são congruentes módulo 6. Formam uma nova classe de congruência. Podemos dizer por exemplo: 7 ≡ 43 (mod 6), ou 19 ≡ 1 (mod 6).

A mesma lógica se aplica a cada uma das colunas seguintes até chegarmos à última coluna que contém todos os números que divididos por 6 têm resto 5. Estes números também são congruentes módulo 6. Formam uma nova classe de congruência. Podemos dizer por exemplo: 23 ≡ 35 (mod 6), ou 29 ≡ 1 (mod 6). Exercício 1 : Observando a tabela da pág 181 diga o que é que há de comum entre os números naturais que divididos por 10 dão resto 3. Exercício 2 : Observando uma tabela de números com 5 colunas, diga o que é que há de comum entre os números naturais que divididos por 5 dão resto 1. E os que dão resto 2? E os que dão resto 4?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 … … … … …

Resolver o exercício 14 da FTnº2

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Vamos agora referir duas propriedades úteis relacionadas com múltiplos e com números congruentes. Propriedade 1: A soma (ou diferença) de dois números múltiplos de j é sempre um número múltiplo de j. Verificação: Sejam x e y dois números múltiplos de j. Isto significa que podemos escrever x=jn e y=jm com n,m∈�0.

Ora, x+y=jn+jm=j(n+m). Como n e m são números inteiros a sua soma, n+m, também é um número inteiro (� é fechado para a adição). Portanto j(n+m) é um múltiplo de j. (Para a diferença a justificação é em tudo semelhante, substituindo as adições por subtrações e reparando que a diferença de 2 números inteiros é sempre um número intiero.) Propriedade 2: Dois números inteiros a e b são congruentes, módulo d, se e só se a diferença for um múltiplo de d. Verificação: Quando numa afirmação encontramos a expressão “se e só se” significa que estamos perante uma equivalência, ⇔, ou seja uma dupla implicação, ⇒ e ⇐. Para mostrarmos que a equivalência é válida temos de verificar cada uma das implicações separadamente. Consideremos primeiro a implicação direta, ⇒. Queremos então verificar que: Se dois números inteiros a e b são congruentes, módulo d, então a diferença é um múltiplo de d. Isto significa que partindo do facto que a e b são congruntes, módulo d queremos chegar à conclusão que a sua diferença é um múltiplo de d.

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Ora, a ≡ b (mod d) significa que a = d x qa + r e b = d x qb + r com qa , qb e r números inteiros (ver a definição dada anteriormente). Calculemos então a diferença a-b. a-b = d x qa + r - d x qb + r = d x (qa - qb) + r – r = d x (qa - qb) Como a diferença de números inteiros é um número inteiro concluímos que d x (qa - qb) é múltiplo de d, ou seja a-b é múltiplo de d. Consideremos agora a implicação recírpoca, ⇐. Queremos então verificar que: Se a diferença entre dois números inteiros a e b é um múltiplo de d, então os números são congruentes, módulo d. Isto significa que partindo apenas do facto que a - b é múltiplo de d queremos chegar à conclusão que a e b são congruntes, módulo d. Ora, a-b é múltiplo de d se pudermos escrever a-b = d x k com k um número inteiro. Este é o nosso conhecimento de partida. Ao dividirmos a e b por d temos duas divisões inteiras (em que à partida os quocientes e os restos são quaisquer). Podemos então escrever as igualdades fundamentais destas duas divisões: a = d x qa + ra e b = d x qb + rb com qa , qb, ra e rb números inteiros e 0 ≤ ra < d e 0 ≤ rb < d. Partimos então do nosso conhecimento a-b = d x k e substituímos a e b pelas expressões anteriores: a-b = d x k ⇔ (d x qa + ra) - (d x qb + rb ) = d x k ⇔ d x qa + ra - d x qb - rb = d x k ⇔ d x (qa - qb) + ra – rb = d x k Vamos agora supor que ra ≥ rb (se for ao contrário o raciocínio é análogo). De d x (qa - qb) + ra – rb = d x k conclui-se que ra – rb é um múltiplo de d (por ser a diferença entre dois múltiplos de d). Como 0 ≤ ra < d e 0 ≤ rb < d vem 0 ≤ ra - rb < d.

O único múltiplo de d que pertence ao conjunto {0,1,2, …, d} +e o zero. Então ra – rb = 0, ou seja, ra = rb. Concluímos então que ra – rb = 0 ⇔ ra = rb. Se os restos são iguais estamos a dizer que a ≡ b (mod d).

0 d

rb ra

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Existem regras práticas que nos permitem saber se um número é divisível por outro sem termos de fazer a divisão. São os chamados critérios de divisibilidade.

Critérios de Divisibilidade

Um número é divisível por 2 se e só se é par, isto é, termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Um número é divisível por 3 se e só se a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Um número é divisível por 4 se e só se o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. Também podemos dizer que um número é divisível por 4 se a sua metade for par. Um número é divisível por 5 se e só se termina em 0 ou em 5. Um número é divisível por 6 se e só se é divisível por 2 e por 3. Um número é divisível por 9 se e só se a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Um número é divisível por 10 (100, 1000) se e só se termina em 0 (00, 000). Exemplo: Averiguar se o número 15456 é divisível por 2 ou por 3 ou por 4 ou por 5 ou por 6 ou por 9.

• 15456 é par logo é divisível por 2.

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• A soma dos algarismos de 15456 é 1+5+4+5+6=21. 21 é divisível por 3, portanto o número 15456 é divisível por 3.

• Os dois últimos algarismos de 15456 formam o número 56. 56 é divisível por 4 pelo que 15456 é divisível por 4.

• 15456 é divisível por 2 e por 3 conforme já vimos. Portanto é divisível por 6.

• A soma dos algarismos de 15456 é 1+5+4+5+6=21. 21 não é divisível por 9, portanto o número 15456 não é divisível por 9.

Resolver os exercícios 32, 33, 37, (38, 39,) 40 da pág 210. Resolver os exercícios 10, 11 e 12 da FTnº2. Podemos utilizar os critérios de divisibilidade para saber qual o resto na divisão por 2, 3, 4, 5, 6, ou 9. Divisão por 2: Um número dá resto 1 na divisão por 2 se e só se é ímpar. Divisão por 3:

• Um número dá resto 1 na divisão por 3 se e só se a soma dos seus algarismos dá resto 1 na divisão por 3.

• Um número dá resto 2 na divisão por 3 se e só se a soma dos seus algarismos dá resto 2 na divisão por 3.

Divisão por 4:

• Um número dá resto 1 na divisão por 4 se e só se o número formado pelos dois últimos algarismos dá resto 1 na divisão por 4.

• Um número dá resto 2 na divisão por 4 se e só se o número formado pelos dois últimos algarismos dá resto 2 na divisão por 4.

• Um número dá resto 3 na divisão por 4 se e só se o número formado pelos dois últimos algarismos dá resto 1 na divisão por 3.

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Divisão por 5: • Um número dá resto 1 na divisão por 5 se e só se termina em 1

ou em 6. • Um número dá resto 2 na divisão por 5 se e só se termina em

2 ou em 7. • Um número dá resto 3 na divisão por 5 se e só se termina em

3 ou em 8. • Um número dá resto 4 na divisão por 5 se e só se termina em

4 ou em 9. Divisão por 9:

• Um número dá resto 1 na divisão por 9 se e só se a soma dos seus algarismos dá resto 1 na divisão por 9.

• Um número dá resto 2 na divisão por 9 se e só se a soma dos seus algarismos dá resto 2 na divisão por 9.

• … • Um número dá resto 8 na divisão por 9 se e só se a soma dos

seus algarismos dá resto 1 na divisão por 8. Divisão por 10:

• Um número dá resto i na divisão por 10 (i=1,2,…,9) se e só se termina em i.

Exemplo: A avó materna da Joana nasceu na segunda metade do séc. XX. O ano em que nasceu é múltiplo de 6 e de 9. A mãe da Joana nasceu num ano que divido por 3, 4, ou 5 dá resto 2. Em que anos nasceram a mãe e a avó da Joana. Procuremos a idade da avó: A segunda metade do séc. XX inclui os anos que vão de 1950 a 1999. Os múltiplos de 6 têm de ser múltiplos de 2 e de 3 (critério de divisibilidade por 6). Por outro lado se um número for múltiplo de 9 de certeza que é múltiplo de 3. Portanto estamos à procura de

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números compreendidos entre 1950 e 1999 que sejam múltiplos de 2 e de 9. Para serem múltiplos de 2 devem ser pares (critério de divisibilidade por 2). Para serem múltiplos de 9 a soma dos algarismos deve ser um múltiplo de 9. O primeiro múltiplo de 9 a partir de 1950 é 1953. Este número não é par. O próximo múltiplo de 9 é 1962 que já é par. Portanto 1962 é um ano possível. Vamos prosseguir o raciocínio para ver se há mais múltiplos de 9 que sejam pares. O próximo múltiplo de 9 é 1971 que não é par e o seguinte é 1980 que é par. Portanto já temos dois anos possíveis 1962 e 1980. Não vale a pena continuar a procurar pois para anos mais recentes não é biologicamente possível uma mulher ser avó de alguém que está vivo hoje. Procuremos agora a idade da mãe: Os números que divididos por 5 dão resto 2 têm de terminar em 2 ou em 7. Visto que a avó nasceu em 1962 ou 1980 vamos procurar anos a partir de 1972 (não se pode ser mãe com menos de 10 anos) terminados em 2 ou 7. Temos então: 1972 1977 1982 1987 1992 1997 (datas mais recentes não fazem sentido pois trata-se de uma mãe) Vamos ver quais destes números dão resto 2 quando divididos por 4: para tal devem ser pares e ao considerar o número formado pelos dois últimos algarismos este deve dar resto 2 na divisão por 4. Temos então 72, 82 e 92. Destes 3 números apenas 82 dá resto 2 (pois 80 é múltiplo de 4). (notar que 72=60+12 e 92=80+12 pelo que são múltiplos de 4) Ficamos então com o ano 1982. Para confirmar vamos verificar que o resto da divisão por 3 é 2. Para tal somamos os algarismos e dividimos por 3. O resto deve ser 2. 1+9+8+2= 20 que dividido por 3 dá resto 2. Ora, se a mãe nascer em 1982 a avó só poderá ter nascido em 1962. Conclusão, a avó nasceu em 1962 e a mãe nasceu em 1982.

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Exercício: No conselho de Algures há um número de alunos no ensino básico que se situa entre 9200 e 9300. Diga qual é esse número sabendo que dá resto 1 na divisão por 2, 5, e 9. R: 9271 Vamos agora deduzir o critério de divisibilidade por 10. Seja N = anan-1an-2. … a2a1a0 um número inteiro não negativo qualquer. Queremos mostrar que N é múltiplo de 10 se e só se o algarismo das unidades, a0, for 0.

Separando as dezenas das unidades podemos escrever

N = anan-1an-2. … a2a1 x 10 + a0 No 2º membro da igualdade a primeira parcela é um múltiplo de 10 (pois é um inteiro a multiplicar por 10). Começamos por mostrar que se N for múltiplo de 10 então a0 é 0: Se N for múltiplo de 10 então a0 também vai ter que ser pois a0 = N - anan-1an-2. … a2a1 x 10 e a diferença de dois múltiplos de 10 é um múltiplo de 10 (propriedade 1). Ora, a0 representa o algarismo das unidades e entre os possíveis algarismos apenas o 0 é múltiplo de 10. Reciprocamente, queremos mostrar que se a0 for 0 então N é múltiplo de 10: Se a0 for 0, a0 é múltiplo de 10. Como N = anan-1an-2. … a2a1 x 10 + a0 e a soma de 2 múltiplos de 10 é um múltiplo de 10 (propriedade 1), conclui-se que N é múltiplo de 10. Resolver o exercício 46 da pág 211: Deduzir o critério de divisibilidade por 5. O critério de divisibilidade por 5 deduz-se de forma análoga ao da divisibilidade por 10. Seja N = anan-1an-2. … a2a1a0 um número inteiro não negativo qualquer. Separando o algarismo das unidades podemos escrever

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anan-1an-2. … a2a1a0 = anan-1an-2. … a2a1 x 10 + a0 =

= (anan-1an-2. … a2a1 x 2) x 5 + a0 = Nesta última expressão a primeira parcela é um múltiplo de 5 (pois está a multiplicar por 5). O resto da dedução é semelhante. A única diferença é que como a0 representa o algarismo das unidades e tanto o 0 como o 5 são múltiplos de 5. Daí que todos os números múltiplos de 5 tenham que terminar em 0 ou 5. O critério de divisibilidade por 2 encontra-se deduzido na pág. 200 do livro de base mas também se pode deduzir de forma análoga ao que fizemos para 10 e 5. Exercício (TPC): Deduzir o critério de divisibilidade por 4. Quanto ao critério de divisibilidade por 4 é necessário separar as centenas da restante parte do número e notar que um número múltiplo de 100 também é múltiplo de 4.

anan-1an-2. … a2a1a0 = anan-1an-2. … a2 x 100 + a1a0 =

= (anan-1an-2. … a2 x 25) x 4 + a1a0 Nesta última expressão a primeira parcela é um múltiplo de 4. O resto da dedução é análoga aos casos anteriores. N será múltiplo de 4 se e só se a1a0 também for. Daí que para um número ser múltiplo de 4 o número formado pelos seus dois últimos algarismos tem de ser múltiplo de 4. Exercício (TPC): Deduzir os critérios de divisibilidade por 3 e 9. Para os critérios de divisibilidade por 3 e por 9 a dedução é um pouco diferente. É necessário partir da representação do número em notação expandida. N = an x 10n + an-1 x 10n-1 + an-2 x 10n-2 + … + a2 x 102 + a1 x 10+ a0

40

e reparar que cada potência de 10 é um múltiplo de 9 (e de 3) somado de uma unidade (10 = 9+1; 100 = 99+1 = 9x11 + 1; 1000 = 999 + 1 = 9x111 + 1; etc.) N = an x (9x11…1 + 1) + … + a2 x (9x11 +1) + a1 x (9+1)+ a0

= 9x(11…1x an) + an + … + 9x(11 xa2) + a2 + 9xa1 + a1 + a0 = (9x (11…1x an) + … + 9x (11 xa2) + 9x a1) + (an + … + a2 + a1 + a0) Nesta última expressão todas as parcelas dentro do primeiro parêntesis são múltiplas de 9 (e de 3 porque 9 = 3x3). Assim sendo, (pela propriedade 1 referida em cima) sabemos que a soma é múltipla de 9 e de 3 e podemos escrever N = 9xk + (an + … + a2 + a1 + a0), k ∈ �0. Ora, seguindo um raciocínio semelhante ao dos casos anteriores, N será múltiplo de 9 se e só se a expressão dentro do parêntesis, an + … + a2 + a1 + a0, também for. Daí que todos para um número ser múltiplo de 9 a soma dos seus algarismos tem de ser um múltiplo de 9. Analogamente, N será múltiplo de 3 se e só se a expressão dentro do segundo parêntesis. an + … + a2 + a1 + a0, também for. Daí que para um número ser múltiplo de 3 a soma dos seus algarismos tem de ser um múltiplo de 3.

Curiosidades

Se a ≡ r (mod d) e b ≡ r’ (mod d) então

• a + b ≡ r + r’ (mod d) • a - b ≡ r - r’ (mod d) • a x b ≡ r x r’ (mod d)

Provas dos nove

As provas dos noves baseiam-se na congruência módulo 9. “Tirar os noves fora” a um número consiste em adicionar os seus algarismos e

n uns

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subtrair 9 unidades sempre que se atinge ou excede o número 9. Desta forma estamos a determinar o resto da divisão do número por 9. As provas dos noves são construídas a partir das relações dadas anteriormente (curiosidades). As provas dos noves não garantem que os cálculos estejam corretos. Em alguns casos, podem existir erros e as provas não os detetam. Mas, se uma prova dos nove indicar a presença de um erro é porque existe de facto um erro. Para a adição:

Tiram-se os noves fora a todas as parcelas da adição, em conjunto. Depois tiram-se os noves fora à soma e comparam-se os resultados que devem ser iguais, caso a adição esteja bem feita. Exemplo: 453 25 5 (4+5+3+2+5+1+3) noves fora dá 5. + 13 5 (4+9+1) noves fora dá 5.

491

Para a subtração:

Tiram-se os noves fora ao aditivo. Depois tiram-se os noves fora ao subtrativo em conjunto com a diferença. Comparam-se os resultados que devem ser iguais, caso a subtração esteja bem feita. Exemplo: 79 7 (7+9) noves fora dá 7. - 13 7 (1+3+6+6) noves fora dá 7.

66

42

Para a multiplicação:

Tiram-se os noves fora ao multiplicador e ao multiplicando, separadamente. Colocam-se os restos na coluna esquerda da cruz. Multiplicam-se esses restos e tiram-se os noves fora colocando o resultado no canto superior direito. Finalmente tiram-se os noves fora ao produto e coloca-se no canto inferior direito. Comparam-se os resultados da coluna da direita que devem ser iguais, caso a multiplicação esteja bem feita. Exemplo: 25 (7x4=28) noves fora dá 1. x 13 (325) noves fora dá 1.

75 +250

325

Para a divisão:

Tiram-se os noves fora ao divisor e ao quociente, separadamente. Colocam-se os restos na coluna esquerda da cruz. Multiplicam-se esses restos, soma-se o resto da divisão e tiram-se os noves fora colocando o resultado no canto superior direito. Finalmente tiram-se os noves fora ao dividendo e coloca-se no canto inferior direito. Comparam-se os resultados da coluna da direita que devem ser iguais, caso a divisão esteja bem feita. Exemplo: 1921 | 16 (7x3+1=22) noves fora 4 32 120 (1+9+2+1) noves fora 4 01

7 1

4 1

7 4

3 4

7x3 + resto

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As provas dos nove eram muito utilizadas no ensino português de anos passados. Atualmente utilizam-se as provas reais que nunca correm o risco de “falhar”. As provas reais mais utilizadas são as da divisão e da subtração. A prova real da divisão consiste em inverter a divisão, ou seja, verificar a igualdade fundamental da divisão inteira.

Exemplo para a divisão: 1921 | 16 32 120 01

A prova real consiste em calcular 120 x 16 + 1 e verificar que dá 1921.

Exemplo para a subtração:

79 - 13 66 Neste caso a prova real consiste em inverter a subtração e verificar que 66 + 13 tem ser igual a 79.

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Números primos

Definição (pág 201) Um número natural é primo se tiver exatamente dois divisores, 1 e ele próprio. Os números naturais que têm três ou mais divisores dizem-se compostos.

Nota: o número 1 não é considerado primo (nem composto). Teorema fundamental da aritmética (pág 201) Um número natural maior que 1 ou é primo ou é o produto de primos e a decomposição em fatores primos é única Exercício 1: Decomponha em fatores primos o número 180.

180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

180 = 22 x 32 x 5

Exercício 2: Pense num número de 3 dígitos, abc. Repita esses mesmos dígitos de forma a obter um número de 6 dígitos, abcabc. Aposto que é divisível por 7. Aposto que o quociente é divisível por 11. Aposto ainda que o novo quociente é divisível por 13. Qual o quociente com que ficou no final?

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Depois de fazer uma experiência com um número concreto o quociente final é o número de onde se partiu. A conjetura que se pode formar é a seguinte:

abcabc : 7 : 11 : 13 = abc

Dividir um número N por 7, por 11 e por 13 é o mesmo que dividi-lo por 7 x 11 x 13 = 1001,

N : 7 : 11 : 13 = N x 7

1 x 11

1 x 13

1 = N x 13117

1××

= N : 1001

Portanto a nossa conjetura reduz-se a

abcabc : 1001 = abc ou equivalentemente abcabc = 1001 x abc Ora 1001 x abc = (1000 + 1) x abc = 1000 x abc + abc =

abc000 + abc = abcabc

Como obter os divisores de um número a partir da sua

decomposição em fatores primos?

Uma vez efetuada a decomposição em fatores primos podemos obter todos os divisores de um número calculando todos os possíveis produtos dos fatores encontrados. No final é necessário acrescentar o divisor 1 que como sabemos é divisor de qualquer número mas como não é primo não aparece na decomposição.

Exemplo: Obtenha o conjunto dos divisores de 36. 2; 3; 2x2=4; 2x3=6; 3x3=9; 2x2x3=12; 2x3x3=18; 2x2x3x3=36; D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Atenção: quando os números têm um número grande de fatores seguindo este procedimento facilmente nos esquecemos de alguns dos produtos possíveis.

36 2 18 2 9 3 3 3 1

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Como averiguar se um número é primo?

Referir o crivo de Eratóstenes, pág 201, para números até 100. Pelo Teorema fundamental da aritmética, quando queremos saber se um número é primo basta averiguar se tem fatores primos Para tal temos de efetuar divisões sucessivas percorrendo os número primos por ordem crescente. Será que temos que dividir por todos os primos inferiores ao número em causa? Felizmente não. Intuitivamente é fácil ver que não precisamos ir além de metade, mas na verdade nem temos de ir tão longe. Basta ir até à raiz desse número. Exemplo: o número 401 é primo? Ora 401 é pouco mais de 20 (20x20=400 e 21x21=421). Portanto basta dividir 401 pelos primos menores que 20. Estes são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Pelos critérios de divisibilidade podemos logo concluir que 401 não é divisível por 2 (não é par), nem por 3 (4+0+1=5 que não é divisível por 3) nem por 5 (não termina em 0 ou 5). Basta então dividir por 7, 11, 13, 17 e 19. Ao efetuar estas divisões descobrimos que nenhum destes primos é um divisor de 401, portanto 401 é primo.

Máximo Divisor Comum

Definição (pág 203) Diz-se que d é o máximo divisor comum entre dois inteiros a e b, e representa-se por mdc (a,b), se e só se:

• d é divisor de a e de b • d é o maior de todos os divisores de a e de b em simultâneo

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O cálculo do mdc (a,b) pode ser feito de duas formas:

1. Listando todos os divisores de ambos os números e procurando o maior que é comum.

2. Decompondo os dois números em fatores primos e

calculando o produto de todos os fatores comuns (das tabelas de decomposição). Mais concretamente:

O máximo divisor comum entre dois (ou mais) inteiros decompostos em fatores primos é o produto dos fatores primos comuns elevados cada um ao menor dos expoentes.

Exemplo: mdc ( 24, 60) Pelo processo 1) D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} mdc (24, 60) = 12 Pelo processo 2)

24 2 60 2 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

24 = 23 x 3 60 = 22 x 3 x 5 O mdc (24, 60) é dado pelo produto dos elementos comuns às duas colunas de fatores primos, 2x2x3.

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Dito de outra forma o mdc (24, 60) é o produto dos fatores primos comuns elevados cada um ao menor dos expoentes, 22 x 3. mdc (24, 60)= 22 x 3 = 12

Situações em que se aplica o mdc

Exemplo 1: Ver pág 203 do livro: 90 portugueses e 24 espanhois. Qual o maior número de grupos que se podem formar de modo a que cada país esteja igualmente representado em todos os grupos? Exemplo 2: Tenho 50 rebuçados de morango e 75 rebuçados de laranja. Qual o maior número de crianças pelas quais posso distribuir os rebuçados de modo a que todas recebam o mesmo número de rebuçados? Exemplo 3: Simplificação de fracções Ver pág 227 Para simplificarmos uma fração e obtermos a sua representação irredutível divide-se o numerador e o denominador pelo mdc entre ambos

d:bd:a

ba = , d=mdc (a,b)

Resolver os exercícios 49 e 44 das pág 211-12 do livro. Mínimo Múltiplo Comum

Definição (pág 205) Diz-se que m é o mínimo múltiplo comum entre dois inteiros a e b, e representa-se por mmc (a,b), se e só se:

• m é múltiplo de a e de b • m é o menor de todos os múltiplos de a e de b em simultâneo

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O cálculo do mmc (a,b) pode ser feito de várias formas:

1. Listando os múltiplos de ambos os números por ordem crescente até encontrarmos o primeiro que é comum.

2. Decompondo os dois números em fatores primos e

calculando o produto dos fatores comuns e não comuns (das tabelas de decomposição). Mais concretamente:

O mínimo múltiplo comum entre dois (ou mais) inteiros decompostos em fatores primos é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, elevados cada um ao maior dos expoentes.

3. Faz-se uma decomposição dos números em simultâneo. Percorrem-se os primos por ordem crescente e apenas se divide cada um dos números, se o primo em causa for um fator, como se ilustra a seguir: Exemplo : mmc ( 20, 24)

20 24 2

10 12 2

5 6 2

5 3 3

5 1 5

1 Na coluna da direita ficam todos os fatores que temos de multiplicar para obter o mínimo múltiplo comum. mmc (20,24)= 23 x 3 x 5 = 120

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Ainda o mesmo exemplo : mmc ( 20, 24) Pelo processo 1) M20 = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, …} M24 = {24, 48, 72, 96, 120, 144, …} mmc (20, 24) = 120 Pelo processo 2)

20 2 24 2 10 2 12 2 5 5 6 2 1 3 3 1

20 = 22 x 5 24 = 23 x 3 O mmc (20 24) é dado pelo produto dos elementos das duas colunas de fatores primos mas sem duplicar os fatores que sejam comuns. Temos de ter o menor número de fatores que tenha todos os fatores de 24 e de 60 em simultâneo. Neste caso seria 2x2x2x3x5 =120 mmc (20, 24)= 23 x 3 x 5 = 120

Situações em que se aplica o mínimo múltiplo comum

Exemplo 1: ver pág. 204: João e André fazem uma corrida (circular) de manutenção. O João demora 9 minutos a dar um volta enquanto o André demora 12. Partem os dois ao mesmo tempo. Ao fim de quanto tempo é que se voltam a encontrar no ponto de partida? Exemplo 2: Um certo padrão rítmico repete-se de 3 em 3 unidades de tempo. Outro repete-se de 4 em 4 e finalmente um terceiro padrão repete-se de 6 em 6 unidades de tempo. Se os três padrões

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se iniciarem ao mesmo tempo, ao fim de quantas unidades de tempo é que se vão voltar a iniciar em simultâneo? mmc (3,4,6) =12 R: 12 unidades de tempo. Exemplo 3: Uma faixa de azulejos é constituída por peças de 7x15 cm2, dispostas horizontalmente. Essa faixa é colocada sobre um painel de azulejos quadrados de dimensão 20x20cm. Se o extremo esquerdo do 1º azulejo da faixa coincidir com o limite esquerdo do painel, ao fim de quantas peças da faixa é que as juntas voltam a coincidir? mmc(15,20)=60; 60/15=4 R: Ao fim de 4 azulejos da faixa. Exemplo 4: Redução ao mesmo denominador na adição de frações Ver pág 229. Exemplo: 1/100 + 1/200 = 1/100 (2) + 1/200 = 2/200 + 1/200 = 3/200 Não fazemos 1/100 + 1/200 = 200/20000 + 100/20000 = 300/20000 = 3/200 Resolver os exercícios 34, 35, 50, 51 (e 52) das pág 210-12. Resolver o exercício 13 da FTnº2.