OPERAES COM FRAES

Adio

A soma ou adio de fraes requer que todas as fraes envolvidas possuam o mesmo denominador. Se

inicialmente todas as fraes j possurem um denominador comum, basta que realizemos a soma de

todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.

Vejamos o seguinte exemplo:

Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a frao final ter como

numerador a soma dos nmeros 1, 2 e 3, assim como ter o mesmo denominador 7:

Vejamos agora este outro exemplo:

Neste caso no podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente devemos

converter todas as fraes ao mesmo denominador. O denominador escolhido ser o mnimo mltiplo

comum dos denominadores. Ser o MMC(3, 5, 13):

Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as fraes tero o denominador comum 195.

O novo numerador de cada uma delas ser apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo seu denominador

atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original:

Para 1/3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo: 1/3 =

65/195

Para 2/5 temos que: 195 : 5 . 2 = 78, logo: 2/5 =

78/195

Para 3/13 temos que: 195 : 13 . 3 = 45, logo: 3/13 =

45/195

Obtemos assim, trs fraes equivalentes s fraes originais sendo que todas contendo o denominador

195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:

No caso de adio de fraes mistas devemos colocar a parte fracionria toda com o mesmo denominador

e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes fracionrias:

Podemos tambm transformar as fraes mistas em imprprias antes de realizarmos a operao de

soma.

Subtrao

A diferena ou subtrao de fraes, assim como a adio, tambm requer que todas as fraes

contenham um denominador comum. Quando as fraes possurem um mesmo denominador, temos

apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum.

Vejamos o exemplo:

Observamos que todas as fraes possuem o denominador 9. Neste caso a frao final ter como

numerador a diferena dos numeradores, assim como ir manter o denominador 9:

Observemos este outro exemplo:

Como as fraes no possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos a apurar o MMC(9,

3, 7) para utiliz-lo como denominador comum.

Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.

Como j visto, para encontrarmos as fraes equivalentes s do exemplo, que possuam o denominador

igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o

resultado pelo seu numerador:

Para 8/9 temos que: 63 : 9 . 8 = 56, logo: 8/9 =

56/63

Para 1/3 temos que: 63 : 3 . 1 = 21, logo: 1/3 =

21/63

Para 2/7 temos que: 63 : 7 . 2 = 18, logo: 2/7 =

18/63

Finalmente podemos realizar a subtrao:

Assim como na adio, no caso da subtrao de fraes mistas tambm devemos colocar a parte

fracionria toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtrao das partes

inteiras e das partes fracionrias:

Alternativamente podemos transformar as fraes mistas em imprprias antes de realizarmos a

operao de subtrao.

Multiplicao

Ao menos conceitualmente, a multiplicao ou produto de fraes, talvez seja a mais simples das

operaes aritmticas que as envolvem. Diferentemente da adio e da subtrao, a multiplicao no

requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de fraes, basta que

multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relao aos seus denominadores.

Vejamos o exemplo abaixo:

Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou no, iremos realizar a multiplicao

conforme mostrado abaixo:

A multiplicao de fraes mistas deve ser precedida da converso das mesmas em fraes imprprias:

Diviso

A diviso de fraes resume-se a inverso das fraes divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu

denominador e realizando-se ento a multiplicao das novas fraes.

Vejamos como realizar a diviso abaixo:

Realizando-se a inverso das divisoras e mudando-se de diviso para multiplicao teremos:

Realizando-se a multiplicao teremos:

A diviso de fraes mistas segue o mesmo principio, no entanto devemos primeiramente convert-las em

fraes imprprias.

Mltiplas Operaes

Assim como nas operaes aritmticas com nmeros naturais, nas operaes aritmticas com fraes, a

multiplicao e a diviso tm precedncia sobre a adio e a subtrao, por isto em expresses compostas

que envolvam mltiplas operaes, devemos primeiro realizar as operaes de multiplicao e de diviso e

por ltimo as operaes de soma e subtrao.

Vejamos a expresso a seguir:

A sequncia para a sua resoluo a seguinte:

Primeiramente executamos a multiplicao:

Em seguida executamos a diviso, invertendo a frao e transformando a diviso em uma multiplicao:

Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o denominador comum das fraes e realizarmos

a soma e a subtrao:

Finalmente obtemos o resultado da expresso:

EXERCCIOS:

Exerccios de Fraes 1) Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retngulo foi dividido? b) Cada uma dessas partes representa que frao do retngulo? c) A parte pintada representa que frao do retngulo?

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) b) c)

3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) da pizza

b) da pizza c) a pizza toda

4) Se do que eu tenho so 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho?

5) Encontre o resultado dos clculos abaixo:

a) b) c)

6) Utilizando as mesmas fraes do exerccio anterior utilizando as operaes de multiplicao e diviso.

Operaes com nmeros racionais decimais

Adio Considere a seguinte adio: 1,28 + 2,6 + 0,038 Transformando em fraes decimais, temos:

Mtodo prtico

1) Igualamos o nmeros de casas decimais, com o acrscimo de zeros; 2) Colocamos vrgula debaixo de vrgula; 3) Efetuamos a adio, colocando a vrgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

Subtrao Considere a seguinte subtrao: 3,97 - 2,013 Transformando em frao decimais, temos:

Mtodo prtico

1) Igualamos o nmeros de casas decimais, com o acrscimo de zeros; 2) Colocamos vrgula debaixo de vrgula; 3) Efetuamos a subtrao, colocando a vrgula na diferena, alinhada com as demais.

Exemplos:

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987

Multiplicao Considere a seguinte multiplicao: 3,49 2,5

Transformando em frao decimais, temos: Mtodo prtico

Multiplicamos os dois nmeros decimais como se fossem naturais. Colocamos a vrgula no resultado de modo que o nmero de casas decimais do produto seja igual soma dos nmeros de casas decimais do fatores.

Exemplos:

3,49 2,5

1,842 0,013

Observao: 1. Na multiplicao de um nmero natural por um nmero decimal, utilizamos o mtodo prtico da multiplicao. Nesse caso o nmero de casas decimais do produto igual ao nmero de casas decimais do fator decimal. Exemplo: 5 0,423 = 2,115 2. Para se multiplicar um nmero decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vrgula para a direita uma, duas, trs, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os nmeros decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580%

Diviso 1: Diviso exata Considere a seguinte diviso: 1,4 : 0,05

Transformando em fraes decimais, temos: Mtodo prtico

1) Igualamos o nmeros de casas decimais, com o acrscimo de zeros; 2) Suprimimos as vrgulas; 3) Efetuamos a diviso.

Exemplos:

1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05

Suprimindo as vrgulas: 140 : 5

Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 28.

Efetuado a diviso

6 : 0,015

Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015

Suprimindo as vrgulas 6.000 : 15

Logo, o quociente de 6 por 0,015 400.

Efetuando a diviso

4,096 : 1,6

Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600

Suprimindo as vrgulas 4.096 : 1.600

Efetuando a diviso

Observe que na diviso acima o quociente inteiro 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a diviso determinando a parte decimal do quociente. Para a determinao dos dcimos, colocamos uma vrgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 dcimos.

Continuamos a diviso para determinar os centsimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 dcimos correspondem a 9600 centsimos.

O quociente 2,56 exato, pois o resto nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 2,56.

0,73 : 5

Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00

Suprimindo as vrgulas 73 : 500

Efetuando a diviso

Podemos prosseguir a diviso, colocando uma vrgula no quociente e acrescentamos um zero direita do trs. Assim:

Continuamos a diviso, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 0,146. Em algumas divises, o acrscimo de um zero ao resto ainda no torna possvel a diviso. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos:

2,346 : 2,3

Verifique 460 (dcimos) inferior ao divisor (2.300). Colocamos, ento, um zero no quociente e acrescentamos mais um zero ao resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 1,02.

Observao: Para se dividir um nmero decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vrgula para a esquerda uma, duas, trs, ..., casas decimais. Exemplos:

2 : Diviso no-exata No caso de uma diviso no-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso. Seja, por exemplo, a diviso de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo:

Assim, na diviso de 66 por 21, temos: afirmar que: 3 o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade. 4 o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade. Prosseguindo a diviso de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que: 3,1 o quociente aproximado por falta, a menos de um dcimo. 3,2 o quociente aproximado por excesso, a menos de um dcimo. Dando mais um passo, nessa mesma diviso, temos:

Podemos afirmar que: 3,14 o quociente aproximado por falta, a menos de um centsimo. 3,15 o quociente aproximado por excesso, a menos de um centsimo. Observao:

1. As expresses tm o mesmo significado: - Aproximao por falta com erro menor que 0,1 ou aproximao de dcimos. - Aproximao por falta com erro menor que 0,01 ou aproximao de centsimos e, assim, sucessivamente. 2. Determinar um quociente com aproximao de dcimos, centsimos ou milsimos significa interromper a diviso ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos: 13 : 7 = 1,8 (aproximao de dcimos) 13 : 7 = 1,85 (aproximao de centsimos) 13 : 7 = 1,857 (aproximao de milsimo) Cuidado! No caso de ser pedido um quociente com aproximao de uma diviso exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessria(s) para atingir tal aproximao. Exemplo: O quociente com aproximao de milsimos de 8 de 3,2

Representao Decimal de uma Frao Ordinria Podemos transformar qualquer frao ordinria em nmero decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

Converta em nmero decimal.

Logo, igual a 0,75 que um decimal exato.

Converta em nmero decimal.

Logo, igual a 0,333... que uma dzima peridica simples.

Converta em nmero decimal.

Logo, igual a 0,8333... que uma dzima peridica composta. Dzima Peridicas H fraes que no possuem representao decimal exata. Por exemplo:

= 0,333... = 0,8333...

Aos numerais decimais em que h repetio peridica e infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas. Em uma dzima peridica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o perodo dessa dzima. As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples e dzimas peridicas compostas. Exemplos:

= 0,555... (Perodo: 5) = 2,333... (Perodo: 3) = 0,1212... (Perodo: 12)

So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodo apresenta-se logo aps a vrgula.

= 0,0222... Perodo: 2 Parte no peridica: 0

= 1,15444... Perodo: 4 Parte no peridica: 15

= 0,1232323... Perodo: 23 Parte no peridica: 1

So dzima peridicas compostas, uma vez que entre o perodo e a vrgula existe uma parte no peridica. Observaes

1. Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre a vrgula e o perodo. Exclumos portanto da parte no peridica o inteiro.

2. Podemos representar uma dzima peridica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou

Operaes com nmeros racionais decimais Potenciao As potncias nas quais a base um nmero decimal e o expoente um nmero natural seguem as mesma regras desta operao, j definidas. Assim:

(3,5)2 = 3,5 3,5 = 12,25 (0,64)

1 = 0,64

(0,4)3 = 0,4 0,4 0,4 = 0,064 (0,18)

0 = 1

Raiz Quadrada A raiz quadrada de um nmero decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa frao decimal. Assim:

Expresses Numricas No clculo de expresses numrico envolvendo nmeros decimais seguimos as mesmas regras aplicadas s expresses com nmeros fracionrios. Em expresses contendo fraes e nmeros decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um s tipo de nmero racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 0,16 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 Em expresses contendo dzimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos: