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OPERAES UNITRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS OPERAES UNITRIAS I EQE-473 AObjetivos Apresentar os princpios fundamentais envolvidos nas operaes unitrias relacionadas a sistemas particulados, de forma a permitir tanto o projeto quanto a anlise do desempenho de equipamentos que lidam com estes sistemas. Ementa Fundamentos. Caracterizao de partculas e de sistemas particulados. Dinmica da interao slido-fluido. Aplicaes a sistemas diludos. Separao slido-fluido: Elutriao, cmaras de poeira, ciclones, centrifugas, e hidrociclones. Separaes slido-slido: Peneirao, Classificao Jigagem, Flotao. Aplicaes a sistemas concentrados: escoamento monofsico em meios porosos, filtrao, sedimentao, fluidizao, transporte pneumtico, e hidrulico de partculas. Escoamento bifsico em meios porosos. Livro texto: Fluidodinmica em Sistemas Particulados. Massarani, G. 2a edio e-papers, Rio de Janeiro, 2002. Bibliografia: Perry, R.H.; and Green, D.W. Perrys Chemical Engineering Handbook. 5a edio. McGraw-Hill, New York. 1999 Allen, T. ; Particle Size Measurement. 3a edio. Chapman and Hall, 1981. Coulson, J.M. and Richardson, J.F. :Chemical Engineering, vol. 2 3a edicao. Pergamon Press, Oxford, 1978. Kunii, e Levenspiel; Fluidization Engineering. J. Wiley. 1969. Svarovsky, L.; Solid-Gas Separation. Elsevier Scientific P. Co. 1981. Wills, B. A. Mineral Processing Technology. 4a Edicao. Pergamon Press, Oxford, 1988. Converso de unidades. http://www.gordonengland.co.uk/conversion/ Fontes adicionais de informao: 1. Science direct. (www.sciencedirect.com/) Acesso direto a artigos das principais revistas tcnicas e cientficas do mundo. 2. Capes. (www.periodicos.capes.gov.br/) 3. Brazilian Journal of Chemical Engineering. 4. Revistas especficas sobre sistemas particulados: Powder Technology Particulate Systems International Journal of Mineral Processing Journal of Porous Media

OPERAES UNITRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS... ............1 OPERAES UNITRIAS I EQE-473 A.............................................................................1 1

I. Partculas e Distribuies de Tamanhos.................................................................. .........3 I.1 Caracterizao de Partculas Isoladas....................................................................3 I.2.Estatstica de Partculas: distribuies........................................................... ...........4 I.3 Determinao Experimental da Distribuio de Tamanhos.............................. .......5 I.4 Balanos Materiais..................................................................................................7 II.PENEIRAO............................................................................................. ......................8 III. COMINUIO, MOAGEM................................................................. ..............................9 III.1 Introduo...................................................................................................... ............9 III.2 Moagem Primria.......................................................................................................9 III.3 Moagem Secundria....................................................................... .........................10 III.4 Moagem Autgena...................................................................................................10 III.5 Consumo de Energia e Potencia para Reduo de Tamanhos...............................10 IV. DINMICA DA INTERAO SLIDO-FLUIDO................ ............................................11 IV.1 Movimento da Partcula.............................................. ............................................ 11 IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermedirio....... .............................................12 IV.2 VelocidadeTerminal.................................................. ...............................................13 IV.3 Dimetro de Sedimentao.................................... .................................................14 IV.4 Efeito de Parede.................................................... ..................................................15 IV.5 Efeito da Concentrao de Partculas ....................... Erro! Indicador no definido. IV.6 Partculas em Fluidos no-Newtonianos .................................................................17 V. DECANTAO E SEPARAO SLIDO-FLUIDO.......................................................18 V.1 Cmara de Poeira .....................................................................................................18 V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19 IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22 VI INTRODUO AO BENEFICIAMENTO DE MINRIOS ...............................................23 VI.1 Elutriaao .................................................................................................................24 VI.2 Flotao ...................................................................................................................25 VI.3 Jigagem....................................................................................................................28 VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28 VII.1 Balanos de massa.................................................................................................28 VII.2 Balanos de Momento ............................................................................................30 VII.3 Escoamentos atravs de Meios Porosos ...............................................................31 VII.4 Permeabilidade .......................................................................................................33 VII .5 Escoamentos de Fluidos No-Newtonianos..........................................................35 VII.6 Aplicaes...............................................................................................................35 VIII FLUIDIZAO ..............................................................................................................36 VIII.1 Teoria da Fluidizao.............................................................................................37 VIII.2 Tipos de Fluidizao a Gs ...................................................................................38 VIII.3 Teoria das Duas Fases............................. ............................................................39 VIII.4 Mistura e Segregao................................. ..........................................................40 IX SEPARAO DE FASES...............................................................................................41 IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ...............................................................................41 IX.2 Sedimentao em Batelada.....................................................................................42 IX.3 Sedimentao Contnua..................................................... .....................................44 IX.4FILTRAO..............................................................................................................46 Seleo de um sistema de filtrao....................................................................... .........46 Teoria simplificada da filtrao com formao de torta.......................................... ........47 Filtrao a presso constante.........................................................................................48 Lavagem da torta............................................................................................................49 Produo mxima, dimensionamento de um filtro..........................................................49 IX.5Filtrao em filtro rotativo......................................................................................... 51 IX.6 Avaliao da teoria simplificada...............................................................................51 IX.7 Filtrao em leito granular .......................................................................................52

2

I. Partculas e Distribuies de TamanhosEsta disciplina trata de diversos sistemas, operaes e equipamentos nos quais h a participao de uma fase descontnua, composta por partculas slidas, ou gotas de um lquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou lquida. A primeira destas duas ser denominada fase particulada, e a segunda de fase contnua ou fluida. Suas aplicaes vo desde o controle da emisso de particulados para a atmosfera ao projeto de processos e de equipamentos comuns a diferentes indstrias de processamento qumico. possvel fazer a distino entre os mtodos de estudo dos sistemas particulados por sua faixa de aplicao a sistemas diludos e sistemas concentrados. Nos sistemas diludos a ateno dirigida fase particulada, e o estudo das possveis interaes slido-fluido tem por base o que acontece a uma partcula isolada, uma vez que estas esto distantes, uma das outras, e os efeitos da concentrao de partculas so pequenos e podem, quando necessrio, ser considerados como correes a serem introduzidas nos resultados simplificados. No outro extremo tm-se os sistemas concentrados, para os quais as duas fases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seus parmetros macroscpicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partculas. Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a teoria mecnica de sistemas multifsicos. Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diludos visando descrio dos processos de arraste e coleta de slidos particulados. Antes porem necessrio a caracterizao das partculas isoladamente e em conjunto.

I.1

Caracterizao de Partculas Isoladas

Consideramos uma amostra de partculas, a cada uma delas podemos associar certas propriedades, algumas das quais esto listadas no seguinte quadro. propriedade smbolo descrio unidades densidade massa /p.u.volume Kg/m3 (g/cm3) p tamanho Dp, L uma dimenso linear m; mm; m, nm rea superficial Sp rea da superfcie m2; mm2; m2, nm2 volume Vp m3; mm3; m3, nm3 esfericidade sem dimenso massa Kg; g mp p = mp / Vp A esfericidade um fator de forma definido como a relao entre a rea superficial da esfera de mesmo volume e a rea superficial da partcula.

6 3 = Vp . Sp Uma vez que a esfera o slido de menor rea superficial, conclui-se que 0 1 e =1 , se e apenas quando a partcula esfrica. Exerccio 1. Calcule a esfericidade de um cubo e de um paraleleppedo com arestas l, l, e 1,5l. Partculas irregulares so caracterizadas por diferentes tipos dimenses lineares, denominadas dimetros ou tamanhos. Alguns destes so apresentados a seguir:

2

6 3 Dimetro da esfera de mesmo volume que a partcula Dp = Vp ; D# dimetro de peneira, valor mdio das aberturas de malhas de peneiras 1 consecutivas pelas quais a partcula passa e retida D# = 2 (D+ + D ) ;3

1

Dimetro de Ferret, DFe, valor mdio da distancia entre tangentes paralelas rea projetada da partcula. Obtido por microscopia; Dimetro de sedimentao Dsed, dimetro da esfera de mesma densidade, que sedimenta com a mesma velocidade que a partcula; Dimetro de Stokes dimetro de sedimentao no regime de Stokes;

I.2.

Estatstica de Partculas: distribuies

Uma amostra de um sistema particulado conter partculas de diferentes tamanhos. Assim poderemos observar, ou medir as distribuies associadas a cada uma das seguintes quantidades: 1. nmero de partculas, 2. massa total da amostra, 3. volume total da amostra, 4. rea superficial de todas as partculas, 5. tamanho, soma dos tamanhos individuais. As distribuies estatsticas tm por base a quantidade de partculas associadas a uma determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos serviro para elucidar estas questes. Nmero de partculas com massa menor que m, Np ( m ) ; Frao numrica de partculas com massa menor que m, np ( m ) ; Massa de partculas com massa menor que m, Mp ( m ) ; Frao ponderal de partculas com massa menor que m, Xp ( m ) ; Volume de partculas com massa menor que m, Vp ( m ) ; Frao volumtrica de partculas com massa menor que m, v p ( m ) ; Distribuies associadas rea superficial, ou ao tamanho podem tambm ser definidas. O argumento das distribuies apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assim podemos falar de Np ( V ) , ou Mp ( S ) , ou Mp (D ) para: o nmero de partculas com volume menor que V; a massa de partculas com rea superficial menor que S; a massa de partculas com tamanho menor que D. A distribuio mais freqentemente utilizada na descrio de sistemas particulados aquela que representa a frao ponderal de partcula com dimetros menores que D, denominada distribuio granulomtrica. As derivadas destas distribuies em relao aos respectivos argumentos representam: dX (D ) x (D ) , x (D ) dD = dX (D ) = frao de partculas com dimetros entre dD D e D+dD. A inversa desta relao determina a distribuio original.

X (D ) = x (D ) dD.0

D

(I.2.1)

As duas funes X (D ) , e x (D ) , possuem a mesma informao, pois o conhecimento de uma delas fornece o conhecimento da outra atravs de uma simples operao matemtica. Anlise granulomtrica diz respeito a uma tcnica experimental que visa a determinao da distribuio de tamanho de partculas de uma dada amostra. Expresses matemticas para distribuies so mltiplas, e quase todas so contnuas, i.e. o argumento da expresso um nmero real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a expresso aplica-se a dimetros compreendidos entre Dmin D Dmax . Existem muitos 4

analisadores de distribuio de tamanhos de partculas, que so usados para o controle da produo de ps. Em diversos setores industriais como: cimentos e cermicos; corantes e pigmentos; alimentos; frmacos; e muitos outros o controle da distribuio granulomtrica crtica. As tcnicas mais empregadas para medida de distribuies granulomtricas so: a anlise de peneiras [ 200m D 20mm] observao microscpica difrao de laser [0,04m D 2000m]

Algumas expresses analticas para as distribuies granulomtricas so dadas abaixo. i). Distribuio de Weibull a trs parmetros: D D (I.2.2) X (D ) = 1 exp , D D, > 0, D > 0, D

D D (I.2.3) exp . D D um dimetro inferior de corte para o qual se supe que inexistam partculas menores D, e so parmetros indicativos da disperso das partculas, e devem ser determinados por ajuste aos dados da distribuio de tamanhos. ii). Distribuio de Weibull a 2 parmetros a que resulta quando se faz D = 0 , i.: D X (D ) = 1 exp , D 0, > 0, D > 0, (I.2.4) D 1 D D x (D ) = exp . (I.2.5) D D D Estas duas distribuies so muito utilizadas para as distribuies de tamanho de partculas. iii) Distribuio lognormal A distribuio norma no deve ser utilizada por no fazer sentido seu ramo negativo. Uma varivel X de distribuio lognormal se Y =lnX de distribuio normal, ( lnD )2 1 x (D ) = exp , D 0, > 0. (I.2.6) 2 2D 2 lnD (I.2.7) X (D ) = , DD x (D ) = D D 1

I.3 Determinao Experimental da Distribuio de TamanhosAnlise de Peneira Uma das tcnicas mais simples e diretas para a determinao da distribuio de tamanho de uma amostra de partculas a anlise de peneiras. Peneiras padronizadas, com malhas precisas, formando uma srie com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneiras selecionadas so empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, a amostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta.

5

As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela de partculas mais finas, que passam por todas as malhas das peneiras. Aps certo tempo, previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras do sistema. As peneiras de serie Tyler so produzidas de diferentes materiais, formando uma malha quadrada com aberturas que decrescem na proporo de 2, ou 4 2 . Exemplo 2. A seguinte seqncia de uma srie Tyler dada, com resultados de uma anlise. Para esta anlise determine as curvas de x(D) e a distribuio cumulativa, X(D), e ainda determine os parmetros timos para a distribuio de Weibull.

Peneira # 4 6 8 12 16 20 30 40

Abertura Massa retida(g) (m) 4750,0 3350,0 2360,0 1680,0 1180,0 850,9 601,0 426,1 8,8534 21,592 39,33 60,048 79,764 87,026 71,288 66,549

Peneira # 50 60 80 100 140 200 270 fundo

Abertura Massa retida(g) (m) 299,9 248,8 178,9 148,9 105,0 74,1 53,0 0 51,231 26,97 21,708 17,445 15,178 15,894 17,61 12,08

Difrao de Laser Analisadores da distribuio de tamanhos de partculas por difrao de laser so empregados para o controle da produo de ps em todas as situaes onde o estado da distribuio determinante da qualidade do produto. Entre estas exclui se a produo de materiais cermicos, de frmacos e de alimentos. Os analisadores por difrao de laser do resultados rpidos, seguros e precisos sobre a distribuio de tamanhos permitindo o controle de qualidade. Produzem resultados bem precisos na anlise de partculas numa larga faixa de tamanhos desde 0,1 mcron at 2mm.

6

Malvern um dos produtores de sistemas automticos para esta faixa de tamanhos. A Polymer Laboratories lanou recentemente um sistema que alcana a faixa de nonopartculas, compreendendo de 5nm ate 300nm.

I.4

Balanos Materiais

Consideremos uma corrente de particulados com distribuio de tamanhos conhecida que alimenta um sistema de separao por tamanhos. O sistema possui uma alimentao A, com vazo mssica MA, e produtos de topo T, e de fundo F, respectivamente com vazes mssicas MT, e MF.. Balano Global: (para o regime permanente) MA = MT + MF . (I.2.8) Balano de partculas com dimetros na faixa D e D+dD MA x A (D ) dD = MT x T (D ) dD + MF xF (D ) dD, ou (I.2.9) MA x A = MT x T + MF xF . Quanto da alimentao retirado pelo fundo dado pela relao RF = MF / MA . Com ela podemos escrever o balano acima sob a forma: x A = (1 RF ) x T + RF xF . (I.2.10) Note que a situao em que fA = fF = fT representa uma soluo trivial, para a qual o sistema nada faz; os dois produtos de fundo e de topo so idnticos entrada. A eficincia de coleta das partculas definida pela relao entre o que sai pelo fundo sobre a alimentao. (D ) = MF xF / MA x A . (I.2.11)

1 (I.2.12) x A , xT = xA. RF 1 RF Note que esta eficincia depende do tamanho da partcula. Partculas diferentes sero coletadas com eficincias diferentes. Em geral a eficincia de coleta maior para as maiores partculas. Conhecida uma expresso para a eficincia de coleta em funo do dimetro podemos calcular a eficincia mdia de coleta pela expresso: xF =

= (D )x A (D ) dD.0

(I.2.13)

Outros arranjos de correntes de sistemas particulados so possveis. Alguns exemplos so: 1 1) Mistura de duas (ou mais) correntes xP = (I.2.14) MAi x Ai. MAi 2) Associao de separadores, pelo fundo ou pelo topo. Balano no primeiro separador M1 = M1 + M1 , A T F

(I.2.15) (I.2.16) (I.2.17) (I.2.18) (I.2.19) (I.2.20)

M x =M x +M x . Balano no segundo separador 2 M2 = M2 + MF , M2 = M1 , A T A F1 A 1 A 1 1 T T 1 1 F F

M x = M x +M x . Razes de fundo 2 2 2 R1 = M1 / M1 , RF = MF / M2 = MF / M1 . F F A A A Eficincias de coleta 1 (D ) = M1 x1 / M1 x1 , F F A A1 1 F F 2 T 2 T 2 2 F F

7

2 2 2 (D ) = MF xF / M2 x 2 . A A As solues destas equaes do os seguintes resultados: 1 1 1 1 x1 = 1 x1 , x1 = xA; F A T RF 1 R1 F 2 xF =

(I.2.21) (I.2.22) (I.2.23) (I.2.24)

2 1 1 2 1 xF , x 2 = x ; T 2 2 F RF 1 RF 2 1 1 1 2 1 1 x A , x2 = xA . T 2 2 RF R1 1 RF R1 F F

2 xF =

II. PENEIRAOSistemas de peneirao podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de produtos. Uma boa capacidade alcanada pela vibrao circular no plano vertical. Usualmente so fabricadas de ao carbono ou ao inoxidvel, e ativadas por um motor com excntrico ajustvel. Este ajuste permite caractersticas de vibrao diferentes, para uma peneirao suave e grandes tempos de residncia, ou alta capacidade mesmo para materiais de difcil tratamento. A capacidade das peneiras depende do seguinte: 1. largura da rea onde o material est sendo alimentado; 2. relao entre abertura da malha e tamanho das partculas; 3. vibrao imposta peneira; 4. inclinao da peneira. Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqncia da vibrao, ou o ngulo de sua inclinao. Usualmente as peneiras so calculadas para suportar 5g de acelerao.

8

III. COMINUIO, MOAGEMIII.1 IntroduoOs termos reduo de tamanho, moagem, ou Cominuio referem-se a todas as tcnicas pelas quais materiais slidos so cortados ou quebrados em pedaos menores, independentemente dos diferentes propsitos da reduo. Blocos de minrios so esmagados a tamanhos apropriados, materiais sintticos so modos e transformados em ps, folhas de plsticos so cortadas em pequenos cubos. Na produo de polpa de papel a madeira feita em lascas de tamanho adequado para permitir um cozimento eficiente. Na produo de cimento os materiais empregados como matria prima so modos at que a distribuio adequada de tamanhos de partculas seja obtida. A mistura ento queimada para transformar-se no clinquer e este novamente modo. Na produo de tintas diversos pigmentos so empregados. Uma vez que a tinta recobre a superfcie a ser pintada to melhor quanto mais finamente modo estiver o pigmento, este deve ser eficientemente modo. A reduo de tamanho das matrias-primas minerais consiste de trs fases: minerao moagem primaria ou britagem moagem secundaria ou moagem

III.2 Moagem PrimriaA moagem primria aplica-se diretamente ao material minerado, ou a qualquer outro material grosseiro e consiste de uma ou varias etapas de aplicao de presso ou de impacto sobre o material com tamanho de partcula adequado para ser alimentado a um equipamento de moagem primaria. O tamanho mximo difere substancialmente com o equipamento empregado, e o produto obtido possui comumente cerca de 10mm. Britadores Para a moagem primria so empregados trs classes de britadores: Britadores de mandbulas, Pesquisa Google: britadores de mandibulas Britadores giratrios, Pesquisa Google: britadores giratrios Britadores de rolos, Pesquisa Google: britadores de rolos Britadores de impacto Pesquisa Google: britadores de impacto Britadores de Mandbulas Britadores de mandbulas operam sob o princpio de compresso. O material comprimido entre uma superfcie fixa e outra mvel. As duas mandbulas formam uma cmara na forma de V, larga na parte superior, e estreita na parte baixa. A moagem se d nesta cmara. A mandbula mvel est fixa em um ponto, e acionado por um excntrico. A carga a ser moda introduzida no topo, a mandbula mvel se afasta e a carga desce. No movimento de retorno a mandbula comprime o material e resulta a moagem. No prximo movimento de abertura das mandbulas o material modo desce para uma abertura mais 9

estreita e o ciclo se repete. A abertura mxima determina o tamanho mximo de partcula que pode ser admitido, enquanto que a mnima relaciona-se com o tamanho do produto. A razo de moagem de um britador de mandbulas varia entre 3 e 7. Britadores Giratrios Os britadores giratrios possuem um elemento central, vertical, rotativo em forma de cone, operando numa cmara aberta. A cabea de moagem na forma de um cone truncado est montada num eixo vertical excntrico. O espao entre o cone e a parede da cmara decresce gradualmente. O material a ser modo alimentado no topo. Quando o britador acionado o cone gira em torno de seu eixo. O material comprimido entre o cone mvel e o cone fixo. A relao de moagem situa-se entre e 3 e 10. Britador de Rolos Um britador de rolos consiste de dois rolos com superfcie de ao com eixos horizontais entre os quais a moagem se d. O eixo de um dos rolos fixo estrutura do britador, por rolamentos e o outro rolo sustentado por molas. O ajuste do britador, i.e. a distncia entre os rolos ajustvel. Britadores de rolos so empregados para moagem fina. Britador de impacto Britadores de impacto so usados para materiais friveis ou maleveis. Uma de suas caractersticas que a moagem baseada no impacto e no na presso, como nos britadores comuns. Impactos se sucedem continuamente, em sries rpidas. A relao de moagem muito alta. Depende do material a ser modo, da velocidade de rotao dos martelos e do ajuste entre martelos e a carcaa. O britador frequentemente aberto no fundo, mas pode possuir uma superfcie de peneiramento. Assim o material no deixa o britador antes de estar suficientemente modo.

III.3 Moagem SecundriaNa britagem secundria o material transformado em ps finos levados at a ordem de alguns micra, ou at a nanmetros, atualmente necessrios nanotecnologia. Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolas Moinho de bastes

III.4 Moagem AutgenaNa moagem autgena o material a ser modo tem a funo de moer. Tipicamente um moinho de cilindro rotativo, semelhante ao moinho de bolas utilizado, mas o agente da moagem o prprio material a ser modo. O material alimentado ao moinho e sua movimentao causada pela rotao do moinho provoca a moagem. Um catalogo da Metso Minerals Industries encontra-se no: http://www.metsominerals.com/

III.5 Consumo de Energia e Potencia para Reduo de TamanhosO custo da energia despendida na moagem elevado, por conseqncia seu controle importante. A mais antiga relao proposta para o clculo da energia gasta na moagem a lei de Rittinger, segundo a qual o trabalho proporcional criao de superfcie. Para a moagem de m [kg / s] de matria prima alimentada ao moinho, h um consumo de energia

1 dPm 1 Pm / m = K r Dp2 (III.5.1) . Dp Dpa lim. dDp prod. Nesta equao Kr a constante de Rittinger, Dpa lim. dimetro mdio da alimentao Dpprod. o dimetro mdio do produto.

10

A lei de Kick tem por base a suposio de que o trabalho para moer certa quantidade de slido s depende da relao entre os tamanhos da alimentao e produto. Dp dPm Pm / m = K k ln a lim. , Dp1 (III.5.2) Dp dDp prod. onde Kk a constante de Kick. A lei de Bond que emprega um expoente entre os dois resultando em dependncia com o inverso da raiz do dimetro da partcula. 1 1 . (III.5.3) P / m = K bond 80 80 Dprod Da lim Esta lei foi especialmente desenvolvida para a determinao da potencia necessria moagem em moinhos de bolas. A equao descreve a potncia especfica necessria para reduzir o tamanho de uma alimentao em que 80% passa pela mallha D80 , a um produto no a lim80 qual 80% passa pela malha Dprod .

IV. DINMICA DA INTERAO SLIDO-FLUIDO IV.1 Movimento da PartculaEste captulo se inicia com o estudo do movimento de uma partcula slida de massa mp no seio de um fluido. O movimento regido pela 2a lei de Newton que escrita sob a forma: (IV.1.1) mp ap = TndA + mpg.Sp

Nesta T o tensor tenso que atua em cada ponto da superfcie da partcula, n a normal unitria e o produto Tn nos d a fora por unidade de rea, i.. que atua em cada ponto da superfcie. A ao do campo externo dada pelo produto da massa vezes o campo gravitacional g. A interao slido-fluido pode ser decomposta em duas parcelas: a) uma ao esttica representando o empuxo do fluido sobre a partcula. Esta parcela, dada pela expresso de Arquimedes da forma F Vpg , oposta ao campo gravitacional. b) Uma fora resistiva, dinmica, que se anula quando a velocidade relativa entre fluido e partcula nula. Ser esta designada por . Tem-se ento, quando a acelerao da partcula se anula: 0 = + p - F Vpg = + Vpg, = p - F . (IV.1.2)

(

)

(

)

A parcela resistiva funo de diversas variveis dentre as quais so citadas: a velocidade relativa, u = v vp , a densidade e viscosidade do fluido, o tamanho e a forma da partcula. Escreve-se: = u, , ,A p ,

(

)

(IV.1.3)

onde Ap a rea projetada da partcula sobre um plano perpendicular ao vetor unitrio na direo da velocidade relativa eu = u / u . Com base na anlise dimensional possvel estabelecer a seguinte definio do coeficiente de arraste: 1 = A p 2 Fu2CD eu , u = u . (IV.1.4)

O coeficiente de arraste assim definido adimensional, mas depende de diversos fatores incluindo propriedades fsicas dos fluidos, da velocidade relativa, tamanho e forma da partcula, sua orientao,..A figura abaixo mostra o coeficiente de arraste para uma esfera e para um cilindro em funo do nmero de Reynolds

11

O grfico mostra uma assintota, reta com inclinao logartmica igual a -1, vlida para Du , e uma segunda assintota pequenos valores do nmero de Reynolds (Re 0,2 ) , Re = para 5 * 102 Re 3 * 105 . Na regio entre este valor e Re 107 h uma reduo do valor do coeficiente de arraste causado pela reduo da regio de separao da camada limite.

(

)

IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e IntermedirioUm caso especial, simples, mas importante o da soluo dada por Stokes, com a forma: = 3Dpu = 3Dpueu . (IV.1.5) Esta soluo aplica-se quando as seguintes condies so vlidas: a) partcula esfrica, b) regime laminar, c) escoamento lento com acelerao desprezvel, d) fluido newtoniano, e) partcula lisa, f) partcula isolada, g) regio infinita (longe de quaisquer outros slidos). Regime de Stokes Sob qualquer desvio destas condies aplicam-se correes e assim torna-se necessrio levantar cada uma das restries listadas. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar as expresses (IV.1.4) e (IV.1.5), obtendo-se: 2 (IV.1.6) Dp / 8 Fu2CD = 3Dpu CD = 24 , Dpu

(

)

Isto CD = 24 / Re, Re = Dpu / .

(IV.1.7)

A expresso para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao nmero de Reynolds permanece sujeita s sete restries enumeradas acima. Em especial aplica-se para valores do nmero de Reynolds menores que 0,2. Por outro lado a definio do coeficiente de arraste, CD dada pela eq.(IV.1.4), geral e vlida para todo nmero de Reynolds.

Regime de NewtonPara altos valores do nmero de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atinge o valor assinttico, CD = 0,43. (IV.1.8) As duas assntotas podem ser combinadas e expressas por uma equao geral, i.e. vlida para todos os valores de Re, com a forma: 12

n 24 n n CD = + ( 0, 43 ) . (IV.1.9) Re O ajuste desta expresso aos dados experimentais fornece como o melhor valor para o expoente n = 0,63. At aqui consideramos apenas as expresses do coeficiente de arraste para partculas esfricas, a primeira restrio presente na lista. Uma correo aplicvel a partculas para as quais est determinada sua esfericidade consiste na alterao das duas constantes que determinam as duas assntotas. Escreve-se:

1

24 n n n CD = + K 2 , se 0,6 0,9 n = 0,9, (IV.1.10) K1 Re e se 0,9 1 n = 3,15 2,59. Nesta equao h primeiramente um ajuste dos fatores de correo K1, e K 2 a partir de dados com partculas com esfericidade conhecidas, K1 = 0,843log10 ( / 0,065 ) , e K 2 = 5,31 4,88, 0,85 1. (IV.1.11) E a seguir o ajuste do expoente n na expresso (IV.1.10) resultando n = 0,85. Esta forma de abordagem do ajuste devida ao prof. Massarani. Como veremos ela de grande utilidade.

1

IV.2

Velocidade Terminal

H uma soluo da equao do movimento (IV.1.2) para a qual a acelerao da partcula nula. Tal situao costuma ocorrer, por exemplo, sempre que a partcula parte do repouso sob a ao de um campo externo g, como o campo gravitacional, e enquanto se acelera, sua velocidade aumenta at que a fora de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma de peso empuxo. Partimos da equao do movimento da partcula, escrita sob a forma da eq.(IV.1.2): 2 1 mp ap = A p 2 F v p CD e g + Vp ge g . (IV.2.1) Os termos direita na equao tm sinais opostos. Inicialmente a velocidade da partcula baixa e a ao do campo externo prevalece e a acelerao positiva. Com a acelerao o termo de araste aumenta at o instante no qual a acelerao se anula. A velocidade da partcula chamada de velocidade terminal. 1 A p 2 F v 2CD = Vp g t (IV.2.2) fora de arraste=peso-empucho. Vp 2Dp g 2g Vp CD = , Dp , CD = (IV.2.3) 2 F v t A p Ap F v 2 t

. (IV.2.4) F v 2 t importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partcula, e que portanto a frmula acima no conveniente para o clculo da velocidade terminal. Ela se reduz s seguintes expresses para os regimes de Stokes e o de Newton: 2 K gDp vt = 1 , para o regime de Stokes, (IV.2.5) 18 e vt =

CD =

2Dp g

4 gDp , para o regime de Newton. 3K 2 F

(IV.2.6)

13

Note a diferena de comportamento da velocidade terminal em funo das variveis presentes nas duas expresses. Por exemplo v t versus viscosidade, ou da densidade do fluido; e em funo do dimetro da partcula. Suponha que se deseje calcular a velocidade terminal de uma determinada partcula imersa num fluido. Qual das duas expresses deve ser usada? So conhecidos os seguintes valores: Dp , , , F , e , em conseqncia o nmero de Reynolds no pode ser calculado, e, a priori no se conhece o regime em que a velocidade terminal se estabelece. H tambm que se considerar o regime intermedirio para o qual no h uma frmula explicita para a velocidade terminal. A soluo por tentativa e erro, ou qualquer outro mtodo numrico pode ser empregado. Por exemplo partindo da suposio de que o nmero de Reynolds inferior a 0,2 calcula-se a velocidade terminal empregando-se a eq.(IV.2.5). Este valor permite que D v Re = p t F seja calculado e se o resultado for menor que 0,2 fica validada a hiptese do regime de Stokes e, por conseguinte o resultado obtido esta correto. No caso contrrio necessrio recalcular a velocidade partindo agora do nmero de Reynolds, no seguinte esquema: eq.II.1.10 eq.II.2.7 Re CD v t Re

Um mtodo direto para o clculo da velocidade terminal foi desenvolvido por Massarani tendo por base o fato do nmero de Krmn ser independente da velocidade, i.e.: 3 4 F gDp Ka2 = CD Re2 = . (IV.2.7) 3 2 Os dados necessrios soluo do problema do clculo da velocidade terminal permitem o clculo do nmero de Krmn. Por outro lado a multiplicao da expresso (IV.1.10) por Re2, e subseqente inverso para o nmero de Reynolds conduz expresso K1 / 24 CdRe2 Re = , se 0,6 0,9 n = 0,8, 1/ n n K K 0,5 0,5 1 2 (IV.2.8) CD Re2 1 + 24 e se 0,8 1 n = 2,7 1,75. Esta expresso permite a determinao da velocidade terminal diretamente em funo dos dados do problema. K1 / 24 CdRe2 (IV.2.9) vT = , n 1/ n f Dp 0,5 0,5 K1K 2 CD Re2 1 + 24

(

)

(

)

(

)

(

)

IV.3

Dimetro de Sedimentao

O problema inverso ao do clculo da velocidade terminal o da determinao do tamanho de partcula que sedimenta com determinada velocidade. Isto dados v t , , , F , e calcular o tamanho da partcula que sedimenta com a velocidade v t . Novamente tanto CD quanto Re dependem simultaneamente da velocidade e do dimetro, o que exige uma soluo numrica por tentativas ou outro mtodo numrico. Entretanto nota-se que a relao CD / Re no depende do dimetro.

14

2g . (IV.3.1) 2 F v 3 t A diviso da eq. (IV.1.10) pelo nmero de Reynolds e soluo da expresso resultante para o nmero de Reynolds d CD / Re =n n 2 K2 24 (IV.3.2) Dp = + f v t K1 ( CD / Re ) ( CD / Re ) A sntese dos problemas, em regimes permanentes, relacionados ao movimento de partculas isomtricas : dadas as propriedades fsicas p , F , , e a esfericidaden 1

II.1.10 II.1.4 CD eq.II.2.9 2. dadas , e Dp calcular v t . CD Re2 v t eq.II.3.2 3. dadas , e v t calcular Dp . CD / Re Dp

1. dadas Dp ,e v t calcular

. Re =

Dp v t F

O resumo destas correlaes sobre a dinmica de partculas isomtricas dado na seguinte tabela.

IV.4

Efeito de Parede

A queda de partculas no interior de tubos, ou entre placas, ou ainda na proximidade de uma ou mais paredes planas j foi suficientemente estudada. Alguns exemplos so dados: Entre duas placas paralelas s distancias l1 e l2. 9D 1 1 = 3Dp 1 + p + vp . (IV.4.1) 32 h1 h2 No interior de tubos com dimetro Dt. D = 3Dp 1 + 2,1 p vp . (IV.4.2) Dt A velocidade terminal corrigida calculando-se a relao f = v t / ( v t ) entre a velocidade terminal sob o efeito das paredes com a velocidade terminal no fluido infinito, supondo que Dp e do nmero de Reynolds. esta relao uma funo de Dt

f = v t / ( v t ) = f ( ,Re ) , = Dp / Dt As seguintes expresses so encontradas na literatura: 1 2,105 + 2,0865 3 1,7068 5 + 0,72603 6 Haberman e Sayre1958 f = 1 0,75857 5Isaac Newton Munroe (1889) Di Felice (1996)

(IV.4.3) (IV.4.4) (IV.4.5) (IV.4.6)

f = 1 2 1 0,5 2f = 1- 1,5

(

)(

)

0,5

3,3 1 f = (IV.4.7) , 0,85 = 0,1Re 1 0,33 Uma referncia importante sobre este assunto Chhabra, et al. Powder Technology 129 (2003) 53 58.

15

Varivel Assntota para Re3x103 K2

24 K1 ( CD / Re ) Correlao

0,5

12

n

24 n n n CD = + K2 K1 Re Re =

1

se 0,6 0,9 n = 0,9 se 0,9 1, n = 3,15 2,5

CD Re2 K2 K2 ( CD / Re )

0,5

K1 / 24 CdRe2 K K 0,5 1 2 CD Re2 1 + 24

(

) n

se 0,6 0,8, n = 1,3 1/ n

(

)

se 0,8 1, n = 2,7 1,75

0,5

n n 2 K2 24 Re = + K1 ( CD / Re ) ( CD / Re ) K10,843log (15,4 ) , K 2 = 5,31 4,88.n

1

se 0,6 0,8, n = 1,5 se 0,8 1, n = 3,62 2,65

Ref. Prof. Giulio Massarani: Novas Correlaes para a Dinmica de Partculas Isomtricas. Relatrio n0 4/84, LSP PEQ, COPPE/UFRJ (1984).

IV.5

Efeito da Concentrao de Partculas

A concentrao volumtrica das partculas a principal varivel determinante do efeito de populao. Esta definida pelo volume total das partculas slidas numa determinada regio do espao V. definida pela expresso

Vs ( V ) =

V

( x,t ) dV.s

(IV.4.8)

De modo anlogo define-se a concentrao volumtrica de fluido, tambm denominada de porosidade: (IV.4.9) Vf ( V ) = ( x, t ) dV.V

Se o espao integralmente ocupado pelas duas espcies, partculas slidas e fluido, ento verifica se a relao: s + = 1. (IV.4.10) 16

Foi Einstein, em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinte relao entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de populao e a velocidade terminal diluio infinita. v t / v t = 1/ (1 + 2,5 s ) . (IV.4.11) Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expresso: v t / v t = f (Re , ) = n , (IV.4.12)

n = 4,65

para Re 0,2(IV.4.13)

n = 4,45Re0,03 para 0,2 Re 1, n = 4,45Re0,1 para 1 Re 500,

n = 2,39

para Re > 500.

IV.6

Partculas em Fluidos no-Newtonianos

O movimento de partculas no seio de um fluido no-Newtoniano determinado pelas equaes apresentadas nos itens anteriores, substituindo-se a viscosidade pela viscosidade efetiva ef , definida pela relao entre a tenso de cisalhamento

= ( ) , onde =

dv x = taxa de cisalhamento. a taxa de cisalhamento. dy ( ) a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva:

1 v t (IV.5.1) , 2 Dp conforme dados experimentais de Massarani. Em todas as equaes onde est presente a viscosidade do fluido, esta deve ser substituda pela viscosidade efetiva ef dada pela eq.(IV.5.1). ef = ( ef ) / ef , onde ef = 9Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta lei da potncia efetiva ser dada por:

( ) = n1 , a viscosidade(IV.5.2)

1 v t ef = 9 2 Dp

n 1

.

17

V. DECANTAO E SEPARAO SLIDO-FLUIDOAlguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a reduo da emisso de particulados, tanto para a atmosfera quanto para corpos de gua sero analisados agora. As principais finalidades so: Controle de poluio; Segurana industrial, preveno de acidentes, reduo de risco sade: Produo de ar, ou de outros gases de processo; Coleta de produtos como Leite em p; Caf solvel; xido de Zinco; Negro de fumo. Tamanho comum das partculas Slidos na atmosfera poeiras de 1 m a 200 m fumaas de 0,001 m a 1 m Lquidos na atmosfera neblina 0,01 m a 2 m nuvens 2 m a 50 m chuva 100 m a 5000 m 0,0005 m Partculas tpicas CO2 negro de fumo 0,01 m a 0,5 m pigmentos 0,1 m a 5 m vrus 0,005 m a 0,05 m bactrias 0,3 m a 20 m A anlise tem por base a velocidade terminal estudada no captulo anterior.

V.1

Cmara de Poeira

A Cmara de poeira simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir a velocidade do fluido a um valor que permita a sedimentao das partculas. O fluido contendo partculas admitido atravs da face de altura H e largura B, e o comprimento da caixa L. A velocidade mdia do fluido conhecida em funo da vazo, u = Q / (BH) . (V.1.1) Admite-se que as partculas sejam arrastadas pelo fluido, sem deslizamento i.e.: v x = u , e que caem por ao do campo gravitacional com velocidade v y = v t . Uma partcula admitida na posio h a partir da base da caixa ser depositada no fundo da caixa se o seu tempo de queda for menor que seu tempo de residncia. t queda = h / v t t resid. = L / u. (V.1.2) Vale dizer que sero integralmente coletadas todas as partculas com velocidade terminal maior que uH / L . v t uH / L = 1. (V.1.3) Partculas menores sero recolhidas com eficincia menor, e partculas admitidas a uma h uh tero eficincia de coleta Dp u = h / H. Considerando que altura h < H , com v t = L L poeiras possuem pequeno dimetro, justificvel supor que a queda se d no regime de Stokes.

18

vt =

2 gDpK1

18

=

uh uH h uH = = . L L H L

(V.1.4)

Ou seja: 2 L gDpK1 uH 18 = 1

se 1, 18uH / L se Dp > . gK1(V.1.5)

Dimetro de corte definido como aquele para o qual a eficincia de coleta de 50%. Isto : para = 0,5 Dp = Dpc = D50 , (dimetro de corte ou D50). Fazendo = 0,5 na eq.(V.1.5)e resolvendo para o dimetro obtm-se: 9uH / L 9Q Dpc = = , onde u = Q / BH. gK1 BLgK1 Tamanho da menor partcula coletada com 100% de eficincia: 18uH / L Dpm = = 2Dpc . gK1 Com o auxlio da expresso para a eficincia, eq.(V.1.5) podemos escrever (V.1.6)

(V.1.7)

1 D = p , para Dp 2Dpc , e = 1, para Dp > 2Dpc . 2 Dpc

2

(V.1.8)

Esta expresso para a eficincia de coleta de uma cmara de poeira , usualmente substituda por uma expresso, de base emprica, contnua e diferencivel com a forma:

(D / D ) = 1 + (D / D )2 p pc p pc

2

.

(V.1.9)

Exerccio Dados: Vazo de ar a 1atm e 30C, Q = 0,9 m3/s, contendo um corante, p = 1500kg / m3 na

(

)

faixa 5m Dp 120m com a seguinte distribuio cumulativa: X(15)=10%, X(30)=20%, X(50)=40%, X(80)=70%, X(100)=90%, X(120)=100%. A vazo mssica de corante de10 kg/hr. Projetar uma cmara de poeira para recuperar 95% do corante.

V.2

Projetos de Ciclones Industriai

Configuraes padronizadas de ciclones industriais para a remoo de particulados esto disponveis como resultados de uma compilao de resultados experimentais. A tabela abaixo lista alguns dos projetos padronizados. Esto grupados e 3 classes: alta eficincia, media eficincia, e multi- propsito. Todas as dimenses listadas esto normalizadas pelo dimetro do corpo do ciclone.

19

Alta eficincia Smbolo Dc, D Hc, b Bc,a s Lc Hc Bc Descrio Dimetro do corpo Altura da admisso Comprimento da sada Dimetro da sada de gs Altura do corpo cilndrico Altura Total Dimetro da sada do p Ka=a/D =b/D Ks=S/D KH=H/D H Kb=B/D Stairmand 1 0,5 0,2 0,5 1,5 4 0,375 Swift 1 0,44 0,21 0,5 1,4 3,9 0,4

Mdia eficincia Shephard & Lapple 1 0,5 0,25 0,625 2 4 0,25

Multi-propsito Swift 1 0,5 0,25 0,6 1,75 3,75 0,4 Peterson & Whitby 1 0583 0,208 0,588 1,33 3,17 0,5

Eficincia de Coleta - Modelo de LappleO primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple, baseado na suposio de escoamento empistonado, sem mistura axial ou radial. Para o clculo da eficincia calcula-se primeiramente o dimetro de corte com base no seguinte argumento de transposio dos resultados da cmara de poeira: H Bc, B Hc, L NcDc ,2 g v F / ( Dc / 2 ) ,

9Q 9v FBcHc 9Bc Dpc = . (V.2.1) = = 2 H N D v / (D / 2 ) 2Nc v F BLg c c c F c Nesta expresso Nc o nmero efetivo de voltas que o fluido d desde a admisso at o centro do ciclone. 2 (Dp / Dpc ) = (V.2.2) 2 1 + (Dp / Dpc )

0,5

0,5

20

Nc determinado experimentalmente e situa-se na faixa 5 Nc 10 , e para um ciclone Lapple bem operado, quando ento a re - suspenso de partcula e pouco significativa, e Nc = 5 um valor conservativo empregado com o propsito de dimensionamento. Perda de Carga Como o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido, e alta eficincia depende da alta velocidade o aumento de eficincia acompanhado por um aumento da queda de presso, que se traduz em custo operacional. A queda de presso pode ser calculada por: 2 2 1 p = 2 F v F = 0,068F v F , (V.2.3) O valor apresentado o empregado para o ciclone Lapple. A potencia do ventilador Pv = Qp , o custo de bombeamento C = Pv $ , e $ o custo da energia eltrica. Fatores de Projeto. Note que a eficincia cresce com a velocidade do fluido na entrada. Por outro lado a perda de carga proporcional ao quadrado desta velocidade. Estabelece-se um balano entre: ganhos devidos ao aumento de eficincia, versus perdas com o consuma de energia. A velocidade recomendada situa-se na faixa 6 m / s vF 21m / s , sendo de 15 m / s a velocidade usualmente recomendada. Para este valor, e para um ciclone de 0,5m de dimetro 2 tem-se um campo (15 ) / ( 0,5 / 2 ) 900 m / s2 90gs . Para o projeto so dados: Q p , F , a vazo de gs m3/s, propriedades fsicas, distribuio de tamanhos de partculas.

x (Dp )

Seqncia de clculo

8Q 8Q 2 a) arbitrar v F = 15 m / s , A = BcHc = Dc / 8 , Dc = = o dimetro do ciclone v F 15 e todas as demais dimenses do ciclone esto determinas. 9Bc b) Dpc = , pode ser calculado, e tambm, a eficincia de coleta associada ao 2Nc v Ftamanho das diferentes partculas. c) com estes resultados possvel calcular a eficincia mdia de coleta,Dp,max

=

Dp,min

x (D ) (Dp

p

/ Dpc ) dDp

Dp,max Dp,min

x (D ) (Dp,i

p,i

/ Dpc ) Dp,i .

(V.2.4)

Se a distribuio de tamanhos das partculas segue a distribuio de Weibull a dois parmetros, ento a eficincia mdia pode se calculada pela expresso: 1,11n 0,118 + n (V.2.5) = D / Dpc , 1,81 0,332n + D / Dpc

(

)

que s depende de Dpc, e dos dois parmetros da distribuio n, e D. 2 2 1 d) clculo da perda de carga p = 2 F v FNH = 0,068F v F . e) os valores obtidos para a eficincia mdia e para a perda de carga permitem a avaliao econmica do custo total e alterao do valor para a velocidade vF empregada. Aumento da velocidade traz como conseqncia o aumento da eficincia, e da perda de carga. Observe a expresso que determina o dimetro do ciclone, Dc = 8Q / v F . Grandes vazes determinam grandes ciclones Q Dc , e por conseqncia o campo centrifugo 21

(

)

2 v F / (Dc / 2 ) torna-se pequeno e ineficaz. Neste caso recomendvel a diviso da vazo total por dois ou mais ciclones em paralelo. Testando o caso de 2 ciclones Dc fica dividido por 2, e a eficincia de coleta aumenta. Mantida a mesma velocidade a perda de carga no alterada. Exerccio Projetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor, para tratar 100 m3/min de gs com cinzas de carvo p = 2300kg / m3 , F = 0,443kg / m3 , = 0,035cp , com eficincia superior a 90%. A distribuio granulomtrica se ajusta de Weibull com:

X (Dp ) = 1 exp (Dp / D ) , D = 37,3, n = 1,5.n

{

}

(V.2.6)

IV.3 HidrociclonesHidrociclones so empregados para uma grande faixa de aplicaes dentre as quais citase: a) clarificao de lquidos com baixa concentrao de slidos; b) concentrao de lamas; c) classificao de slidos; d) separao de lquidos imiscveis. Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples, baratos, fceis de instalar, baixo custo de manuteno, e baixo custo operacional. Adicione-se o fato de serem pequenos em relao a outros separadores. Em contrapartida so inflexveis, e uma vez instalados apresentam forte dependncia da eficincia nas variveis de projeto, em especial na vazo de alimentao e na concentrao de slidos. Acresce os problemas de abraso e a formao de incrustaes. Trs tipos de hidrociclones disponveis no mercado tm suas propores listadas na tabela abaixo Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc Np A B C K o 0,039 0,134 1,73 145 4,76 1200 Rietema 0,28 0,34 0,40 5,00 20 Bradley 0,133 0,20 0,33 6,85 9o 0,016 0,323 1,73 55,3 2,63 7500 l altura da parte cilndrica. ngulo do cone. Di dimetro do tubo de admisso. Do dimetro do tubo de sada. L altura total. H um grande nmero de configuraes para arranjos de hidrociclones em paralelo. Dimetro de corte Segundo Massarani o dimetro de dado pela seguinte expresso:

Dc 2 Dp / Dpc = K (V.3.1) f ( RL ) g ( s ) , Q 1 onde f (RL ) = , (V.3.2) 1 + ARL 1 g ( s ) = (V.3.3) 1 . 4,8 (1 s )2 3,8 (1 s ) 2 A razo de lquido pode ser estimada pela seguinte relao: C RL = B [Du / Dc ] . (V.3.4) Eficincia de coleta A expresso empregada para o clculo da eficincia de coleta de partculas puramente emprica e tem a forma: exp ( 5Dp / Dpc ) 1 (Dp / Dpc ) = . (V.3.5) exp ( 5Dp / Dpc ) + 14622

1

ento o efeito centrfugo se d apenas sobre a vazo Q (1 RL ) . hiptese escreve-se para a eficincia mdia:

Esta uma eficincia reduzida ao efeito do campo centrfugo, da qual subtrada o efeito do transporte de slidos carreados pela vazo de fundo. Uma vez que os hidrociclones operam obrigatoriamente com uma vazo de fundo, dada por QRL , e que esta vazo aporta slidos, De acordo com esta

= (1 RL ) x (Dp ,D,n ) (Dp ,Dpc ) dDp + RL .0

(V.3.6)

= (1 RL ) + RL (V.3.8) A queda de presso calculada por uma expresso similar empregada para ciclones, 1 2 (V.3.9) p = F v F , 2 na qual est listado na tabela acima. Convm ressaltar que a questo levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclones em paralelo, e de pequeno dimetro para boa eficincia muito mais crtica. No seguinte endereo http://www.natcogroup.com/Content.asp?t=ProductPage&ProductID=71, so mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo, contidos no interior de um vaso de presso. A especificao da velocidade do fluido nos hidrociclones dada em funo do nmero de 2 Reynolds. Tem-se: Q / N = / 4Dc v c , onde Q a vazo total e N o nmero de ciclones em paralelo. Re = Dc v c F / , e:(V.3.10) Bradley 3x103 Re 20 x103 Exerccio Projetar uma bateria de hidrociclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento, para tratar 200 m3/hr de uma suspenso de um sal insoluvel em gua p = 3500kg / m3 , F = 1000kg / m3 , = 1 ,5cp , com eficincia superior a 90%, e queda de presso p 3x105 Pa . A distribuio granulomtrica se ajusta de Weibull com:

O integrando desta equao, para a distribuio de Weibull pode ser estimado pelo seguinte resultado: 1 ,11n 0,118 + n (V.3.7) = D / Dpc , 1,81 0,322n + D / Dpc

(

)

Rietema 5x103 Re 50x103

X (Dp ) = 1 exp (Dp / D ) , D = 37,3, n = 1,5.n

{

}

(V.3.11)

VI INTRODUO AO BENEFICIAMENTO DE MINRIOSMinrios so distribudos na crosta terrestre em diversas constituies, composies, estados de agregao, etc. Raramente so comercializados no estado natural e necessitam de um beneficiamento. Algumas das operaes do tratamento de minrios so listadas a seguir: Amostragem Caracterizao Mineralgica de Minrios Cominuio Classificao e Peneirao Elutriaao Separao em Meio Denso Separao Magntica e Eletrosttica 23

Flotao Flotao em Coluna Floculao Separao Slido-Lquido Briquetagem Processos para o Tratamento de Efluentes na Minerao Reciclagem Simulao de Usinas de Beneficiamento: Princpios Bsicos Sistemas Especialistas no Processamento de Minrios Elaborao e Avaliao Econmica de Projetos de Minerao A cominuio j foi tratada no captulo III, e agora trataremos a elutriao.

VI.1 ElutriaaoA elutriao que aqui trataremos uma operao que pode ser empregada para separar partculas por faixas de tamanhos, ou para o beneficiamento de minrios em razo da diferena entre as densidades das partculas que compe o minrio. Usualmente todo minrio compe-se de um mineral com valor econmico em mistura com uma ganga imprestvel que deve ser descartada. A elutriao emprega uma corrente ascendente de um fluido que, preferencialmente, arrasta as partculas mais leves enquanto que as mais pesadas se sedimentam. A velocidade terminal das diferentes partculas a propriedade bsica responsvel pela separao e/ou beneficiamento. Uma corrente de partculas slidas vai ter ao elutriador, onde h uma corrente ascendente de um fluido. Este pode ser gua ou ar. Partculas cujas velocidades terminais so menores que a velocidade da corrente de fluido so por este arrastadas, enquanto que todas as partculas cujas velocidades terminais superam a velocidade do fluido se sedimentam. H portanto uma corrente de alimentao dos slidos e duas correntes de sada, o produto de fundo, composto principalmente das partculas mais pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partculas mais leves. Com o emprego das equaes que permitem o clculo da velocidade terminal, e do dimetro de sedimentao, eqs.(IV.2.9), e (IV.3.2) possvel calcular todos os parmetros de desempenho de um elutriador. Assim, consideremos em primeiro lugar o problema de separar um conjunto de partculas em duas faixas de tamanhos. Tem-se: Um conjunto de partculas com densidade p, e dimetros na faixa Dm Dp DM e deseja-se separar em um nmero de fraes com dimetros intermedirios (Dm ,D1 ) , (D1,D2 ) (DN ,DM ) . Para tanto basta calcular as velocidades terminais correspondentes aos dimetros D1 ... DN, e utilizar elutriadores com correstes de fluido correspondentes a estas velocidades. Para uma separao em batelada, um nico elutriador suficiente fazendo-o operar com velocidades correspondentes s velocidades terminais das partculas D1, ...DN. Exerccio Resolva o problema no 1, pg. 34 do livro texto. Os problemas relacionados ao beneficiamento de minrios so mais interessantes. Considere um minrio composto de uma mistura de um mineral com valor econmico agregado a uma ganga sem valor. A liberao das duas espcies se processa por moagem suficientemente fina, conduzindo a um produto com dimetros na faixa Dm Dp DM . O que se deseja obter a separao completa entre as duas espcies. Suporemos conhecidas suas densidades P , e L , onde P > L . A curva da velocidade terminal do material pesado, que denominaremos de minrio, situa-se, para todo valor de Dp, acima da curva correspondente ganga. Pode acontecer que no existam para, os dois materiais, partculas com idnticas velocidades terminais. Isto se d quando a velocidade terminal da menor partcula do material pesado maior que a velocidade terminal da maior partcula da ganga. I.e. no existem partculas equitombantes na mistura dos dois materiais. Tem-se: 24

v P (Dm ) > v L (DM ) . (VI.1.1) t t Neste caso a separao completa entre as duas espcies pode ser realizada em um nico elutriador operando com uma corrente ascendente de fluido com velocidade 1 (VI.1.2) u = Q / A = v P (Dm ) + v L (DM ) . t t 2 Esta velocidade maior que a de todas as partculas da ganga, e menor que a de todas as partculas do minrio. Toda ganga arrastada para o topo, e todo minrio afunda e e sai na corrente de fundo. Casos mais complexos ocorrem quando existem partculas equitombantes. Neste caso inverte-se a desigualdade (VI.1.1), i.e.: v P (Dm ) < v L (DM ) . (VI.1.3) t t No existe uma velocidade do fluido que determine a separao completa dos dois materiais. Ou produto de fundo ou o produto de fundo, um dos dois conter uma mistura de minrio e ganga. Esta situao retratada na figura abaixo na qual se verifica que a separao completa pode ser obtida com a passagem por uma nica peneira.

Velocidade Terminal2,5 2 vt(cm/s) 1,5 1 0,5 0 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 Dp (m)Exerccio Determine a melhor dimenso de malha de peneira capaz de produzir duas correntes de partculas inteiramente separveis por elutriao.

leve pesado

VI.2 FlotaoA flotao hoje o processo dominante de beneficiamento de minrios. um processo para a concentrao de um mineral de valor econmico contido num minrio. O minrio bruto modo a um p fino, misturado com gua, agentes espumantes, e coletores. Quando ar bombeado atravs da mistura, as partculas do mineral se aderem s bolhas de ar, e sobem para a superfcie formando uma camada de espuma. A ganga sedimenta no fundo do equipamento. A espuma retirada, e o mineral separado da gua e os agentes qumicos adicionados so removidos restando um concentrado do mineral limpo.

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Um bom texto sobre o processo da flotao, incluindo alguns aspectos de sua fsicoqumica est disponvel em: http://www.engr.pitt.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation.pdf Exemplos de minrios beneficiados por flotao so listados a seguir: Sulfetos complexos: calcopirita (CuFeS2), galena (PbS), esfarelita (ZnS), pirita (FeS) Minerios de cobre Cobre e molibdnio Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita Cobre e nquel Prata Cobre e cobalto Platina Carvo mineral Agentes espumante podem ser citados incluindo, certos lcoois alifticos com de 5 a 8 tomos de carbono, lcoois cclicos, leo de pinho, e de eucalipto polipropileno, e polietileno glicois de baixo peso molecular. Alguns dos agentes coletores, principalmente para os minerais sulfetados so diferentes misturas de: Ditiofosfatos, mercaptobenzotiazol, tiocarbamato. So trs as tecnologias de flotao: 1. flotao mecnica; 2. flotao por ar dissolvido; 3. auxiliada. Alguns dados sobre estes processos esto colecionados na tabela. Processo de Fluxo de ar Tamanho Consumo de energia Tempo de reteno Flotao Nl.m-3 gua de bolhas por m3 (Wh/m-3) (min )Flotao Auxiliada (por adio de leo) Flotao Mecanica (por espuma) Ar Dissolvido (clarificao) 100-400 2-5 mm 5-10 5-15

10.000

0.2-2 mm

60-120

4-16

15-50

40-70 m

40-80

20-40 (excluindo a floculao)

Cintica da flotao A recuperao do mineral desejado em uma flotao em batelada dada em funo do tempo por uma expresso do tipo: R = Rmax 1 exp ( k ( t + b ) ) . (VI.2.1) onde Rmax a mxima recuperao possvel, e k uma constante de tempo de primeira ordem, e onde b um deslocamento da origem de t. A constante k linearmente dependente do fluxo de rea superficial das bolhas, Sb, Sb = 6Jg / Db , e Jg o fluxo de gs e Db o dimetro mdio das bolhas. A relao usualmente expressa como k =Sb , onde um fator de flotabilidade, que inclui diferentes efeitos com a hidrofobicidade, tamanho de bolha, etc. A referncia: Estimation of flotation kinetic parameters by considering interactions of the operating variables, ilek, E.C., Minerals Engineering 17 (2004) 8185, contem algumas expresses para os parmetros presentes nestas equaes. O dimensionamento de um sistema de flotao contnuo depende da determinao experimental dos valores destes parmetros, e baseia-se no tempo de residncia, da suspenso que se divide em tanques de flotao arranjados em serie e paralelo. Uma boa referencia sobre este assunto encontra-se em Flotation scale up: use of separability curves q.,J.B. Yianatos, L.G. Bergh, J. Aguilera. Minerals Engineering 16 (2003) 347352. Para um arranjo de N flotadores, idnticos, de mistura perfeita, em srie, com um tempo total de residncia = NVF / QTOTAL .

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k 1N 1 1 1 + N . (VI.2.2) R = Rmax k (N 1) N Clulas de flotao Uma geometria de clula de flotao em batelada est representada na figura abaixo. Trata-se de um tanque com um agitador, por cuja haste o ar necessrio admitido. O agitador garante, simultaneamente a manuteno do slido em suspenso e a disperso do ar em pequenas bolhas. Na superfcie da suspenso forma-se a camada de espuma, contendo o concentrado do mineral desejado, que retirado da clula. A ganga hidroflica se acumula no fundo da clula, e descartada ao final do processamento.

Clulas para a operao contnua so semelhantes s mostrada acima tendo, no entanto, um sistema para a admisso da suspenso e outro para a retirada do rejeito, continuamente. Flotao em Colunas O desenho esquemtico de uma coluna de flotao contnua est representado no desenho que segue. As colunas de flotao so eficientes e esto sendo empregadas para efetuar beneficiamentos difceis. A remoo de enxofre de finos de carvo um exemplo.

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VI.3 JigagemA jigagem uma das mais antigas tcnicas de beneficiamento de minrios, por gravidade. Nela a mistura minrio e ganga, suspensa em gua conduzida a um equipamento onde imposta uma pulsao mistura por intermdio de um movimento alternativo, com uma freqncia relativamente alta. Nestas circunstncias a acelerao e decelerao tornam-se os termos dominantes da equao do movimento da partcula, e responsveis pela separao. A jigagem uma operao simples e barata, mas de eficincia relativamente baixa.

VII SISTEMAS PARTICULADOS

VII.1 Balanos de massaEste novo captulo comea a tratar de sistemas de misturas slido fluidos intimamente dispersos em uma regio do espao. As duas fases so vistas como uma mistura, e para cada ponto da regio ocupada pelas duas fases, e a cada instante, possvel estabelecer: Vs s a concentrao volumtrica de slido, Vs (R ) = s ( x,t ) dV, s = ; (VII.1.1) V R

dVf ; (VII.1.2) dV R Como no h um terceiro componente nesta mistura, ento cada parte da regio parte da regio R, ocupada ou pelo slido ou pelo fluido, e portanto: s + f = 1. (VII.1.3)f a concentrao volumtrica de fluido, Vf (R ) = f ( x,t ) dV,

f =

f comumente denominado de porosidade, , e s = 1 . s densidade parcial do slido, massa de slido por volume total,; ms (R ) = s dV,R

(VII.1.4)

f densidade parcial do fluido, massa de fluido por volume total, 28

mf (R ) = f dV,R

(VII.1.5)

S densidade material do slido, massa de slido por volume de slido dV ms (R ) = S dVs = S s dV = S sdV s = S s , (VII.1.6) dV R R R F densidade material do fluido, massa de fluido por volume de fluido dV mf (R ) = F dVf = F f dV = F f dV f = F f , (VII.1.7) dV R R R vs campo de velocidade do slido; vf campo de velocidade do fluido. Estas definies permitem o estabelecimento dos balanos de massas para cada uma das duas fases. Em palavras estas so descritas por: a taxa de variao da massa de uma das fases contida no interior da regio A, igual ao balano do que entra menos o que sai atravs da superfcie de A, acrescida da taxa de produo desta fase. adV = R a va ndA + R radV. t R

variao entrada menos {gerao} da massa saida

(VII.1.8)

A aplicao do teorema da divergncia permite transformar a integral de superfcie em integral de volume, e disto resulta: (VII.1.9) ta + div ( a va ) ra dV = 0. R A integral nula qualquer que seja R, independentemente de seu tamanho ou formato, por conseqncia seu integrando deve anular-se. Da resultam as equaes da continuidade para cada uma das fases da mistura, a + div ( a va ) = ra . (VII.1.10) t Escreve-se para cada uma das duas fases, a fase de slidos particulados e para o fluido,

s + div ( s v s ) = rs S s + div ( S s v s ) = rs , t t

(VII.1.11)

f + div ( f v f ) = rf F f + div ( F f v f ) = rf . (VII.1.12) t t As duas formas de cada um dos balanos para as massas de slidos e de fluidos so equivalentes. Formas simplificadas podem ser escritas, vlidas para os casos em que as densidades materiais so constantes, i.e.: para um slido incompressvel s + div ( s v s ) = rs / S , (VII.1.13) t para um fluido incompressvel f (VII.1.14) + div ( f v f ) = rf / F . t A densidade total, e a velocidade do centro de massa da mistura so definidos pelas somas, = S s + F f , v = S s v s + F f v f , (VII.1.15)29

e a soma das duas equaes de balanos de massas nos d: (VII.1.16) + div ( v ) = 0 rs + rf = 0. t A equao da continuidade para a mistura vlida se e apenas quando a soma das geraes nula. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa, mas o que uma perde a outra ganha, vale dizer que a mudana de fase se d sem alterao da massa. Se a concentrao volumtrica de slidos constante, vale dizer que o slido particulado tem porosidade constante, tanto em relao ao tempo, quanto em relao ao espao, ento: div ( v s ) = rs / s , e div ( v f ) = rf / f . (VII.1.17) A velocidade vf, denominada de velocidade intersticial, visto que descreve o movimento do fluido no interior dos poros do meio poroso. Seja A uma seo do escoamento. A vazo de fluido atravs desta seo dada por: (VII.1.18) Q f = f v f ndA = qf ndA, onde qf = f v f ,A A

e qf a velocidade superficial. Uma velocidade calculada como se o fluido ocupasse toda a seo do escoamento. No caso em que o perfil da velocidade constante temos: Qf = v f A = qf A. (VII.1.19) Interpretaes anlogas aplicam-se fase slida. Define-se a vazo volumtrica de slidos (VII.1.20) Qs = s v s ndA = qs ndA.A A

No caso em que o fluxo seja uniforme em todos os pontos de A, tem-se: Qs = s v s A = (1 ) v s A = qs A. Expresses para o divergente 1. Coordenadas cartesianas ( x,y,z )

(VII.1.21)

q x q y qz + + , x y z 2. Coordenadas cilndricas ( r, z ) divq = divq =1 rqr q qz + + z r r

(VII.1.22)

base ( er , e , e z ) q = qr er + q e + qz e z x = r cos , y = rsen, z = z.(VII.1.23)

3. Coordenadas esfricas ( r, , )2

base ( er , e , e ) q = qr er + q e + q e

x = rsen cos , y = rsensen z = r cos 1 r qr 1 ( senq ) 1 q + + (VII.1.24) divq = 2 . r r rsen rsen Outras expresses para o divergente de um campo vetorial para

VII.2 Balanos de MomentoO movimento das fases determinado pelas equaes de balano de momento, que representam expresses para a segunda lei de Newton. Massa, por unidade de volume, vezes a acelerao, de cada fase igual soma das foras que sobre cada fase atuam. As aceleraes so compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de acelerao local, e outra de acelerao convectiva.

30

aa =

va + ( gradva ) va t

{local} + {convectiva}.Esta expresso vlida para as duas fases. As foras que atuam sobre estas so divididas em: 1. foras de tenso sobre a superfcie de cada regio 2. foras de interao entre as fases la dV;R

(VII.2.1)

R

T ndA;a

(VII.2.2) (VII.2.3) (VII.2.4)

3. foras de campo externo

R

gdV .a

Em conformidade com a lei de Newton escreva-se, para cada fase aaadV = TandA + (la + ag) dV.RR

(VII.2.5)

R

Novamente a equao de balano apresenta duas integrais de volume e uma integral de superfcie. A aplicao do teorema da divergncia transforma a integral de superfcie em integral de volume, e obtm-se: (VII.2.6) [aaa divTa la ag]dV = 0.R

A integral deve anular-se independentemente da regio de integrao, isto , independentemente de seu tamanho ou formato, e deste fato conclui-se que o prprio integrando seja nulo em todos os pontos da regio, e para todo instante, a aa = divTa + la + ag. (VII.2.7) Estas so as equaes do movimento das fases. Elas se assemelham s equaes para movimento de um fluido puro em escoamento monofsico, v a = + ( gradv ) v = divT + g. (VII.2.8) t O termo da esquerda, correspondente acelerao de cada fase perfeitamente anlogo, e direita da equao h a divergncia da tenso e o termo de fora de campo externo. Acrescentou-se apenas um termo de interao entre as duas fases, que pode ser descrito como a fora que cada fase faz sobre a outra. No caso do sistema slido-fluido, ls a fora que o fluido faz sobre o slido particulado, e lf a fora que o slido faz sobre o fluido. A terceira lei de Newton conduz reciprocidade destas duas foras, que se expressa por: ls + l f = 0 . (VII.2.9) Com o auxlio das expresses para as aceleraes provenientes da eq.(VII.2.1) escreve-se: v f f + ( gradv f ) v f = gradpf + divTfE ls + f g , Tf = p f 1 + TfE , (VII.2.10) t

v s s + ( gradv s ) v s = gradps + divTsE + ls + sg , Ts = ps 1 + TsE . (VII.2.11) t Estas so equaes gerais capazes de descrever o movimento simultneo das duas fases nas mais diversas situaes. Um caso particular, mas de grande importncia ser estudado a seguir.

VII.3 Escoamentos atravs de Meios PorososConsideramos o escoamento de um fluido newtoniano atravs de um meio poroso rgido com porosidade constante, e estacionrio. O escoamento permanente, e a acelerao do fluido nula, ou ao menos desprezvel. A equao do movimento do fluido se simplifica para 31

0 = gradps + ls + S (1 ) g. (VII.3.2) lf representa a ao do fluido sobre os slidos particulados. Esta pode ser dividida em duas parcelas, a primeira delas uma ao de empuxo, esttica, que segundo Arquimedes tem a forma oposta gravidade e proporcional ao peso do volume de fluido deslocado, ls = sFg m = (1 ) Fg m. (VII.3.3) a segunda, m, a fora dinmica devida velocidade relativa entre as duas fases. Estamos qualificando esta fora de dinmica por que se anula se e apenas quando a velocidade relativa entre as fases nula, m = 0 v f = 0 . A substituio desta expresso nas duas equaes simplificadas d: 0 = gradp f m + Fg, (VII.3.4) 0 = gradps + m + ( S F )(1 ) g. (VII.3.5) A equao (VII.3.4), para o movimento do fluido pode ser escrita em termos da presso piezomtrica, f = pf F gH, onde g = g , (VII.3.6) que acrescenta a carga de altura de fluido presso esttica. Com esta definio a equao do movimento do fluido fica: gradf = m. (VII.3.7) Deve ficar claro que a causa do movimento o gradiente da presso piezomtrica, pois gradf = 0 m = 0 v f = 0. Manmetros contendo o fluido que satura o meio poroso, marcaro, no equilbrio, valores idnticos para a presso piezomtrica, independentemente da altura da tomada de presso. A fora dinmica m foi estudada primeiramente por Darcy, que props a linear da fora a velocidade do fluido. Props ainda a dependncia na viscosidade do fluido, chegando a seguinte relao: (VII.3.8) m= v f = qf . k k Nela k a permeabilidade do meio poroso, uma grandeza com dimenses de L2, portanto de natureza geomtrica. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equao do movimento do fluido obtm-se a equao de Darcy, k (VII.3.9) qf = gradf . Esta equao foi durante um longo tempo interpretada como uma equao constitutiva, semelhana com as leis: de Fourier ( q = kgrad ) que determina o fluxo trmico proporcional

0 = gradpf ls + Fg,

(VII.3.1)

ao gradiente da temperatura; a lei de Fick

( j = Dgradc ) que

determina o fluxo de um

componente qumico em soluo proporcional ao gradiente de sua concentrao; e diversas outras leis lineares entre fluxos e foras termodinmicas. Acresce que sua substituio na eq.(VII.1.14) escrita para o regime permanente e gerao nula d como resultado uma equao idntica da conduo de calor. k (VII.3.10) divqf = div ( gradf ) = 0 2f = 0. Note que a formulao desta equao s depende da equao de balano de massa do fluido e da equao de Darcy. Nela se observa a analogia com a conduo de calor nas condies de regime permanente, e gerao nula. Existem duas diferenas fundamentais entre a lei de Darcy e a de Fourier. A primeira fica aparente na diferena entre as equaes que regem o transiente.

32

k 2 f = 0; t (VII.3.11) 2 = 0. t Na primeira destas o balano de massa envolve duas variveis ( ,f ) , enquanto que no balano de energia a temperatura a varivel presente nos dois operadores. A segunda diferena, talvez mais fundamental, reside no fato de que em qualquer escoamento, seja atravs de meios porosos ou no, h massa em movimento. Massa possui inrcia e as equaes de balano de momento devem ser satisfeitas. Nos casos onde as aceleraes no se anulam obtm-se o seguinte resultado: v (VII.3.12) F f + ( gradv f ) v f = gradf v f . k t Se as duas fases esto em movimento, ento na lei de Darcy deve-se substituir a velocidade do fluido pela velocidade relativa entre as fases v f v f v s = u , (VII.3.13) m= ( v f v s ) = u. k k

VII.4 PermeabilidadePermeabilidade um parmetro caracterstico do meio poroso. uma propriedade do arranjo e distribuio de tamanho dos poros por onde o fluido deve passar. Sua dimenso de quadrado de comprimento, razo pela qual diz-se que seja de natureza geomtrica. Permeabilidade deve ser determinada experimentalmente. O meio poroso inserido num tubo, bem ajustado de modo a no permitir o escoamento entre a parede do tubo e o meio poroso. Um fluido newtoniano com viscosidade conhecida bombeado a diferentes valores de vazo e a queda de presso piezomtrica medida. A eq.(VII.3.9) permite o clculo da permeabilidade. No h substituto para o dado de laboratrio, obtido cuidadosamente. Uma estimativa da permeabilidade pode ser obtida por intermdio de um modelo capilar. Modelo Capilar Admite-se a equivalncia entre a queda de presso no regime laminar no interior de um tubo capilar de seo transversal arbitrria, e a correspondente queda de presso no meio poroso em regime darciano. Escoamento no capilar. analogia com Escoamento no meio poroso 2 v f R h v f = k = f = k x x Rh / = constante caracterstica do capilar v = velocidade mdia = 2 para seo circular = 3 para placas paralelas Rh= raio hidrulico O raio hidrulico definido pela relao da rea da seo transversal do tubo para o permetro de contato fluido-slido. rea da seo livre volume vazio Rh = Rh = permetro de contacto rea de contacto A justificativa para a interpretao que dada para o raio hidrulico do meio poroso obtida por multiplicao pelo comprimento. Da resulta: (VII.4.1) Rh = . (1 ) SSm Nesta ltima relao Sm a superfcie especfica do meio poroso, dada por Sm = 6 / S Dp . fcil passar deste ponto Equao de Kozeny-Krmn, 33

(

)

k=

( D )p

2

3

36

(1 )

2

.

(VII.4.2)

A comparao de suas previses com dados experimentais d como resultado o valor de situando-se na faixa 4 5 , o que d para o denominador da equao 144 36 180 . No caso de haver uma distribuio de tamanhos das partculas deve-se empregar um dimetro mdio, e h indicaes de que o dimetro mdio de Sauter o mais apropriado. 1 Dp = . (VII.4.3) 1 dX Dp

Dp Forma quadrtica de Forscheimer Agora faz-se a analogia com a fora por unidade de volume sobre partculas isoladas com o que ocorre nos meios porosos. Partculas Meio Poroso u Regime de Darcy m = qf . Regime de Stokes m 2 , Dp k0

( )

Desta comparao resulta que Dp k .

q2 u2 m F f . , Dp k Desta analogia resulta a forma completa para a fora resistiva para o escoamento de fluidos newtonianos em meios porosos isotrpicos, a forma quadrtica de Forscheimer. q m = qf + c F f qf , onde qf = qf . (VII.4.4) k k A constante c, de proporcionalidade, vem de trabalhos experimentais; as formas mais comumente citadas so as propostas por Ergun, 0,14 (VII.4.5) c= 3 . 2 e por Massarani,

Regime de Newton m F

3 0,37 0,01 c = 1/ 2 0,13 ( k 0 / k ) + 0,1( k 0 / k ) , onde k 0 = 10 6 , 9 vlida para 0,15 0,75, e para 10 k 10 3 cm. Expresses equivalentes so encontradas na literatura dentre as quais esto c kqf m = 1 + F qf , k m = [1 + Re] qf , k

0,98

(VII.4.6)

(VII.4.7)

Nesta ltima empregou-se a seguinte definio para o nmero de Reynolds Re =

cF kqf ,

que tem por dimenso linear caracterstica k . Uma forma simplificada para a eq.(VII.4.7) resulta com a substituio de (VII.4.2), e de (VII.4.5) na equao (VII.4.7), obtida utilizando-se = 4,22 1 ) (1 ) F q q , 150 ( f m= + 1,75 3 f 2 3 ( Dp ) ( Dp ) Esta sendo a equao de Ergun.

(VII.4.8)

34

VII .5 Escoamentos de Fluidos No-NewtonianosA determinao da fora resistiva para o escoamento de fluidos no-newtonianos tem por base o emprego na eq.(VII.4.4) de um valor de viscosidade baseada na curva material da tenso de cisalhamento observada no escoamento viscomtrico deste fluido. Um modelo bastante amplo e de grande aplicao prtica o modelo de Carreau, que satisfaz seguinte equao:

= + ( 0 ) 1 + ( T )

{

2

}

n 1 2

,

(VII.5.1)

onde 0 , e so dois valores assintticos, respectivamente para baixas, e altas taxas de

v x T . (T) uma funo da temperatura com a forma ( T ) = 0 exp 0 . Para y T baixos valores da taxa de distenso a viscosidade tende a 0, e para os altos valores tende a . A forma da curva d a caracterstica de aumento ou da diminuio da viscosidade em funo da taxa de distenso. O expoente n anlogo ao expoente da lei da potncia n 1 = . Do ponto de vista da equao constitutiva para a fora dinmica nos escoamentos em meios porosos proposta a validade da equao (VII.4.7), substituindo a viscosidade pela viscosidade efetiva expressa em funo da taxa de distenso efetiva no escoamento do fluido no meio poroso. ef = ( ef ) . (VII.5.2) Dados experimentais permitiram a Massarani estabelecer a seguinte relao: 1,2 qf ef = , (VII.5.3) 1 (t ) 2 kdistenso = onde t a tortuosidade do meio poroso definida pela relao entre o comprimento do percurso do fluido e o comprimento do meio. Note que O valor frequentemente adotado para a tortuosidade de t = 2,5 . Com este valor para a tortuosidade, e uma porosidade de 0,45 pode-se estimar a taxa de distenso em: ef qf / k . (VII.5.4) Se a tortuosidade e porosidade so conhecidas ento a equao (VII.5.3) deve ser empregada. A expresso final para a viscosidade efetiva tem a forma2 2 1,2 qf ef = + ( 0 ) 1 + ( T ) , . 1 t ) 2 k ( Ela deve ser empregada no lugar de na eq. (VII.4.4). n 1

(VII.5.5)

VII.6 AplicaesEscoamentos em meios porosos rgidos Consideramos um meio poroso rgido, com porosidade independente da posio e do tempo. Alem disso consideramos a acelerao do fluido desprezvel, e que a lei de Darcy aplicvel. k (VII.6.1) qf = gradf . O balano de massa expresso,por (VII.1.12) reduz-se a:

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divqf = 0. (VII.6.2) A equao de Kozeny-Krmn demonstra que para este caso a permeabilidade constante, e se o escoamento isotrmico podemos escrever, eliminando qf entre as duas ltimas equaes div ( gradf ) = 0 2f = 0. (VII.6.3) Esta expresso determina que presso piezomtrica seja soluo equao diferencial mais estudada. O laplaciano da presso piezomtrica sendo nulo, esta varivel harmnica o que determina a existncia, unicidade, e estabilidade das solues de um grande nmero de problemas de importncia prtica. Toda a hidrulica subterrnea tem por base solues desta equao. O livro clssico de Pelageya Yakovlevna Polubarinova-Kochina considerada uma das mais importantes matemticas da Unio Sovitica, dedica-se quase que exclusivamente a solues desta equao. Problema 1. Considere uma barragem que retm gua, a montante, a uma altura H e a jusante altura h. Sabendo sua permeabilidade (k), de as condies de contorno para o problema do escoamento da gua atravs da barragem, e esboce a forma da superfcie.

Problema 2. Um meio poroso, de comprimento L, est contido no interior de um tubo com dimetro D. Conhecida a sua permeabilidade k determine a curva de vazo versus queda de presso piezomtrica. Dados: L= 0,5 m, D=5cm, k=3,210-5cm2. No escoamento atravs de um leito fixo com propriedades constantes tem-se:

VIII FLUIDIZAOA fluidizao foi desenvolvida em 1922 durante a primeira guerra para a gaseificao do carvo visando a produo de gs de sntese para a sntese de combustveis lquidos. O gaseificador Winkler foi o primeiro destes sistemas de gaseificao de carvo. No incio da 2.guerra, em 1940, engenheiros americanos foram instados a desenvolver processos de transformao de querosene e leos leves em gasolinas de alta octanagem para a aviao. O processo Houdry de craquemento com catalisador de alumina operava intermitentemente pois a deposio de coque obrigava a regenerao do catalisador. A Esso Research e a Kellog Co. com a participao dos professores Lewis e Gilliland desenvolveram o Fluid Catalitic Cracking, FCC. Na refinaria de Baton Rouge, da ESSO foi instalado o processo, inicialmente com a capacidade de 13.000 barris/dia passando depois para 100.000 barris/dia. O craqueamento de fraes de petrleo, e inmeras outras reaes catalisadas por slidos, com freqncia operam em reatores de leito fluidizado. Alem do craqueamento, a conduo de reaes qumicas industriais em reatores de leito fluidizado bastante comum. Um importante exemplo o da produo de xido de eteno pela reao de oxidao com oxignio. Nesta reao ocorrem reaes paralelas e consecutivas levando a uma mistura de

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produtos at CO2, e H2O, indesejveis. O mais estrito controle da temperatura de importncia para a maximizao da converso ao xido de eteno.

VIII.1 Teoria da FluidizaoVamos observar o que se passa quando um fluido atravessa, de baixo para cima um leito poroso de partculas slidas assentes sobre um distribuidor poroso fixo. Sem escoamento o leito exerce sobre o distribuidor o peso do slido menos o empuxo. peso menos empuxo = AL (1 ) g f = L (1 ) g . (VIII.1.1) Para valores da velocidade do fluido ocorre ao longo do leito a queda da presso piezomtrica f q2 gradf = = qf + c F f . (VIII.1.2) L k k A queda de presso ao longo do leito cresce com a velocidade superficial do fluido. H, portanto uma fora para cima aplicada s partculas do slido, que reduz, progressivamente o esforo sobre o distribuidor. Aumentando-se a velocidade do fluido chega-se a um ponto de equilbrio, para o qual todas as partculas do leito esto em equilbrio. peso empuxo = atrito do fluido sobre o leito. Este ponto denominado de velocidade mnima de fluidizao qmf. Uma curva tpica de fluidizao tem o seguinte aspecto:

No trecho AB ocorre o aumento progressivo da queda de presso no leito fixo. Para baixos valores do nmero de Reynolds a queda de presso varia linearmente, de acordo com a equao de Darcy, como demonstrada pela inclinao igual a 1 no grfico logxlog. Esta inclinao passa a aumentar medida que Re aumenta, e aproxima-se de 2, devido ao termo 37

quadrtico da equao de Forscheimer. Em todo este trecho vlida a eq.(VIII.1.2). No trecho BC inicia-se a expanso do leito poroso, com o conseqente aumento de sua porosidade. De C para D ocorre a fluidizao do leito havendo o equilbrio entre atrito e peso aparente do leito. A eliminao da queda de presso entre (VIII.1.1), e (VIII.1.2) conduz a: q2 qf + c F f = (1 ) g. (VIII.1.3) k k Esta equao de equilbrio satisfeita ao longo de todo o trecho DE, onde se observa a fluidizao do leito. Os dois parmetros do leito, k, e c, dependem da porosidade, e da resulta que a eq.(VIII.1.3) expressa uma relao, no-linear, entre qf e . Para cada valor de qf , desde qmf at o valor da velocidade correspondente ao ponto E, resulta de sua resoluo um valor correspondente para a porosidade. A equao de Ergun particularmente til:

(1 ) 150

2

3 ( Dp )

q + 1,75 2 f

(1 ) F q2 =3 ( Dp )f

(1 ) g,

(VIII.1.4)

No caso de escoamento lento, em que a equao de Darcy vlida obtm-se a expresso para a velocidade superficial do fluido (VIII.1.5) , qmf = . 150 (1 ) 150 (1 mf ) Existem diversas correlaes empricas para qmf, independentes da porosidade mnima de fluidizao. No caso geral h que ser resolvida a equao do 2.grau (VIII.1.4). Por outro lado, desde que a perda de partculas de slido seja desprezvel tem-se: Volume de slidos/A = L 0 (1 0 ) = Lmf (1 mf ) = L (1 ) . (VIII.1.6) Conhecido o volume de slidos a rea da seo transversal do vaso, e a altura inicial do leito L0, podemos calcular a sua porosidade inicial, e para cada valor de qf, corresponde um valor de porosidade que satisfaz a eq.(VIII.1.3). Decorre desta a altura do leito fluidizado e sua expanso L/L0.

qf =

g ( Dp ) 32

3 g ( Dp ) mf 2

VIII.2 Tipos de Fluidizao a GsGeldart, D. em seu artigo de [Powder Technology 7, 285-292 (1973)] estabeleceu um critrio de classificao do comportamento de particulados na fluidizao a gs, baseado nos parmetros: 1 dX 1 (VIII.2.1) S , e (Dpsauter ) = , o dimetro mdio de Sauter. Dp 0 Grupo A; correspondente a partculas pequenas com S 1,4g / cm3 , e Dpsauter 40m, para as quais o leito se expande homogeneamente at o incio do borbulhamento. H grande circulao do slido acompanhado de rpida mistura. As bolhas sobem com velocidade maior que a velocidade superficial do fluido qf. Bolhas de dimetros menores que 4cm sobem com velocidade vB de 30 a 40 cm/s. Grupo B; correspondente a partculas com dimetros 40m 500m, e densidades entre

1,4 S 4g / cm3 . Para estas as bolhas aparecem desde o inicio da fluidizao qf qmf . A expanso do leito pequena. Grupo C; ps coesivos, (h coeso entre as partculas). A fluidizao normal extremamente difcil. O gs levanta o leito como se este fosse uma rolha, ou formam-se canais que atravessam o leito. Grupo D; partculas grandes ou muito densas.38

A conduo de uma boa fluidizao, no sentido de se ter uma configurao estvel para o leito requer alta velocidade para o fluido. O borbulhamento pode ser intenso, mas no h pulsao. A alta velocidade significa escoamento turbulento, promovendo uma intensa movimentao da fase particulada. As bolhas so relativamente pequenas. A estabilidade aumentada com a disperso da distribuio de tamanhos de partculas. A adio de finos a um catalisador transforma um leito borbulhante em um leito turbulento estvel. Todos os leitos catalticos de sucesso operam com ps do grupo A, com escoamento turbulento, estvel com pequenas bolhas, cuja existncia pode ser desprezada. ( Squires, A.M., Powder Technology, 151, 15-18,(2005). Recentemente foi apresentada uma nova classificao baseada no nmero de 3 Arquimedes Ar = DpF ( S F ) g / 2 , feita por Goossens, W.R.A. Powder Technology 98, 48-53 (1998). A expresso de Ergun, pode ser expressa por uma relao entre o nmero de Arquimedes e o de Reynolds baseado no valor mf = 0,383 , comumente aceito para a porosidade mnima da fluidizao de partculas esfricas. (1 mf ) Re + 1,75 Re2 , Ar = 1640Re + 30Re2 . Ar = 150 (VIII.2.2) mf mf mf mf 3 3 mf mf Esta expresso nos d uma relao entre o nmero de Arquimedes e o nmero de Reynolds nas condies mnimas de fluidizao. Sua soluo para Remf d:

16402 + 120Ar 1640 1 + 4,46 x10 5 Ar 1 = . (VIII.2.3) 60 60 Se um valor mais preciso, baseado em observaes experimentais da porosidade mnima de fluidizao for conhecido, ento a primeira forma desta equao deve ser usada. De todo modo esta uma expresso geralmente empregada para a previso da velocidade mnima de fluidizao. As expresses que apresentamos acima aplicam-se fluidizao homognea. Nela a porosidade e a velocidade superficial so independentes da posio e do tempo. A fluidizao ocorre, mais comumente quando o fluido um lquido. A hiptese de velocidade nula para a fase slida, implicitamente imposta na eq.(VIII.1.4) , de fato irrealista. O sistema de equaes para as duas fases admite a soluo qs = 0, e qf = qf i com qf , e independentes da posio e do tempo. Esta soluo entretanto instvel, e a instabilidade determina a existncia de outras solues mais complexas onde a fase slida se movimenta, a porosidade depende da posio e tempo, e ocorrem bolhas em cujo interior a porosidade praticamente igual a 1. Remf =

VIII.3 Teoria das Duas FasesA teoria de duas fases formulada por Davidson, J.F., e Harrison, D. Chem. Eng. Sci. 23, 660,(1968). (ver tambm Lockett, M. J., Davidson, J.F., e Harrison, D. On the two phase theory of fluidisation. Chem. Eng. Sci.22, 1059-1066 (1967). Esta teoria uma aproximao bem sucedida baseada na suposio de que o leito fluidizado composto de uma fase fluidizada que permanece sob as condies mnimas de fluidizao, ( qmf ,mf ) , e que todo o excesso de vazo atravessa o leito fluidizado sob a forma de bolhas. A teoria pretende prever o valor de na equao para um leito fluidizado qf = qmf + qbolha . (VIII.3.1) Em primeira aproximao , por hiptese igual a 1. Supondo a repartio do meio em uma fase fluidizada com porosidade mf, e a fase bolha ocupando o restante do volume do leito possvel demonstrar que: = 1 bolha , onde bolha = vol. de todas as bolhas/vol. do leito. (VIII.3.2)

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Bolhas aparecem no interior do leito fluidizado como conseqncia da instabilidade da fluidizao homognea. O sistema de equaes de balanos de massas, de fluido (VII.1.14), e de slido e(VII.1.13), e dos balanos de momento para cada uma das fases, dados pelas equaes (VII.2.10), e (VII.2.11), simplificadas para materiais incompres-sveis: + div ( qf ) = 0; (VIII.3.3) t (VIII.3.4) + div ( qs ) = 0; t (VIII.3.5) Fv f = gradf ( v f v s ) ; k s v s = ( v f v s ) + (1 ) g. (VIII.3.6) k A condio de fluidizao foi imposta tornando nula a presso nos slidos. Atualmente h capacidade computacional para a obteno de solues numricas para a fluidizao no-homognea. Para exemplificar observemos o escoamento bidimensional, de um leito fluidizado homogneo sobre uma placa porosa plana. As variveis so: qs ( x,t ) = s v s = (1 ) v s , velocidade superficial do slido; (VIII.3.7)

qf ( x,t ) = f v f = v f ,f ( x,t )

velocidade superficial do fluido; a distribuio de presso piezomtrica;

(VIII.3.8) (VIII.3.9)

( x,t ) a distribuio de porosidade. (VIII.3.10) O sistema acima admite a soluo que caracteriza a fluidizao homognea, dada pela soluo permanente, idntica soluo para a fluidizao homognea: v s = 0, ps = 0;

f = (1 ) g; qf =

(VIII.3.11)

k (1 ) g. Esta soluo instvel, e para um valor crtico de Re aparecero flutuaes em todas as variveis da lista apresentada, originando o aparecimento de bolhas. v s = v s + v , s v f = v f + v , f (VIII.3.12) f = f + , f = + . As variveis acentuadas representam as flutuaes sobre os valores mdios, e so as re