Produção Didático Pedagógica - Folhas

“Olhando por outro ângulo!”.

André chegou correndo em casa, estava

eufórico e falante, queria logo contar seu grande feito

durante a aula de educação física. Nesse dia o

esporte trabalhado foi futebol e no finalzinho da partida

ele conseguira marcar um gol olímpico, seu time não

ganhou, mas André foi eleito o herói da partida. Apenas

um detalhe atrapalhara a alegria da turminha, na saída

da escola, ainda comemorando, André e seus amigos atravessaram a rua sem

olhar para os dois lados e quase foram atropelados, nossa que susto levaram.

Mas isso ele contaria mais tarde à sua mãe, agora só conseguia pensar no seu

lindo gol, quem sabe sua mãe poderia ver essa situação por outro ângulo. E você?

Alguma vez já lhe falaram para olhar para os dois lados antes de atravessar a

rua?Você sabe o que é um gol olímpico e por que são tão raros? Qual a

dificuldade em marcá-lo?Olhar por outro ângulo ajuda a marcar um gol olímpico?

“Olhe para os dois lados antes de atravessar a rua!”.

A visão é um assunto que, em diferentes períodos provocou muita

curiosidade, veja o que o escritor mineiro Bartolomeu Campos de Queirós , tem a

dizer sobre a visão num fragmento do poema Os cinco sentidos.

Por meio dos sentidos

suspeitamos o mundo.

Com os olhos nós olhamos a vida.

Olhamos as águas rolando

entre pedras, peixes, algas.

Olhamos as terras generosas

onde vivem animais, frutos

sementes.(...)

Fig.02 – Olho – Cleusa de F. Vaismann

Vale conferir o poema na íntegra, para isso acesse o site :

http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2001/ling/ling0.htm.

Fig. 01- Futebol-http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/bancoimagem/

Olhando por outro ângulo

Será que seus olhos têm o poder de visão do qual o poema se refere?

Todas as coisas são vistas sob um certo ângulo. O ângulo de visão.

Mas o que vem a ser ângulo?

MATEMATICAMENTE ......

ÂNGULO

Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas;

reunião de duas semi-retas de mesma origem não

colineares.

Ângulo e medida angular são conceitos matemáticos

que estão entre os primeiros a serem utilizados pela Astronomia.

Embora não se tenha idéia de quando o homem começou a medir

ângulos, isso com certeza já era feito pelos astrônomos da antiga Mesopotâmia,

cerca de dois milênios antes de Cristo.

Você sabia que eles dividiram um ciclo completo em 360 partes iguais, e que cada

uma delas foi chamada grau? Você conhece o significado da palavra destacada?

Grau

É hora da descoberta: Realize essa atividade em duplas. Pesquise em

dicionários ou outros o significado da palavra ângulo, pesquise também a

etimologia dessa palavra, ou seja, sua origem. Registre o que você encontrou

em seu caderno, junto com a turma compare o significado encontrado por você

Nesse endereço você encontrará algumas curiosidades acerca da unidade Grau

http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c46.html . Escreva numa folha de

papel ofício a que lhe chamar mais atenção, posteriormente exponha no mural

de sua sala.

Fig.03

De acordo com sua etimologia ‘ Grau’ significa “degrau” ou “passo”.

O grau tem sido uma das unidades usadas para expressar a medida de

ângulos ao longo de muito tempo, acompanhado em algumas situações de

minutos e segundos cuja origem também se deve ao sistema sexagesimal

babilônico. Os babilônios usavam um sistema de numeração bastante

desenvolvido cuja base era sessenta sendo adotado mais tarde pelos astrônomos

gregos e deixando como herança a marcação das horas (1 hora=60 minutos;

1minuto=60 segundos) e a medição dos ângulos em graus. Posteriormente

quando as obras astronômicas gregas foram traduzidas pelos árabes, os

sexagésimos (1/60) foram chamados de primeiras menores partes e os

sexagésimos (1/360) de segundos menores partes. Mais tarde essas expressões

foram traduzidas para o latim, respectivamente, como partes minutae primae e

partes minutae secundae. Assim originaram-se as palavras minutos e

segundos.Será que um gol olímpico depende de minutos e segundos?

Se não depende, existem diversas situações em que é necessário utilizar

unidades de medidas menores que 1°. A geografia é uma ciência em que a

aplicabilidade dessas unidades (minutos e segundos) se faz muito presente, você

já deve ter ouvido falar em paralelos e meridianos, latitude e longitude,

Meridiano de Greenwich e Linha do Equador.

Entrevista: Você pode realizar essa atividade em grupo de até

quatro alunos.

Procure um professor de geografia e entreviste-o, peça uma explicação

sobre:

1- O que são paralelos e meridianos? Quem determinou e em que

contexto histórico? Por que são necessários?Qual a importância

do Meridiano de Greenwich e a Linha do Equador?

2- O que são longitude e latitude?

3- Pesquise com a ajuda do professor de geografia qual a latitude e

a longitude extremas do seu município. Caso não encontrem,

pesquise na Prefeitura de sua cidade e responda:

Em qual direção seu município é mais extenso: Na direção norte-

sul ou na direção leste-oeste?

O autor Neto Rodrigues vem contribuir com a nossa aula com a música cujo

título é muito sugestivo:

360°

Neto Rodrigues

Nossa vida é como um giro em 360°[....]

[...]viver aqui

será o melhor

entre propostas e respostas o que responder

360°[...] [... 90°]

ATIVIDADE: Girando Girando......

Dobre-o novamente ao meio, cuidando para que as

quatro bordas estejam exatamente sobrepostas.

Dobre-o ao meio, de forma que as bordas se

encaixem perfeitamente. Não abra.

Desenhe um círculo. Use um compasso ou trace o

contorno de um objeto circular. Recorte o círculo com

cuidado.

Fig.04. Cleusa de F. Vaismann

Fig.05. Cleusa de F. Vaismann

Continuando com os ângulos

DEBATE: Veja a letra completa dessa música acessando o site

http://vagalume.uol.com.br/08centos/360.html.

Organize um grupo para pensar e trocar idéias a respeito da frase: “Nossa vida

é como um giro em 360°”. Registre em seu caderno o que vem a ser um giro

em 360°? E 180°? E 90°? Você já deu giros em 360°? O que é um círculo em

360°?Será que um jogador precisa dar um giro de 360° para marcar um gol

olímpico? Ou será que a trajetória da bola é que deve ser em 360°?

Agora já pode abrir!

Em quantas partes o círculo foi dividido?

Trace as retas sobre as dobras. Gire o círculo até

que as dobras fiquem na horizontal e vertical.

Marque 0° no ponto de encontro da dobra vertical

com a borda superior da circunferência.

Com seu dedo, siga toda à volta da circunferência até

voltar ao 0°. Seu dedo percorreu uma volta completa,

uma revolução de 360°. O 0° e os 360° ocupam a

mesma posição na circunferência do círculo, ou seja,

o início e o fim.

Partindo de 0° siga até o ponto oposto ao 0°. Quanto

de uma volta foi percorrido? Não é a metade da

circunferência? Quanto é a metade de 360°? Escreva

a medida em graus.Fig.09

Fig.07

Fig.08

Fig.06

Fig.10

Fig.11

Agora, siga no sentido horário pela circunferência,

partindo de 0° até o percorrer um quarto da volta

completa. Qual é essa medida em graus?

Partindo de 0° no sentido horário, siga até a posição

oposta a um quarto de volta. Que fração você

percorreu? Quantos graus correspondem esse

percurso? Marque o valor no círculo.

CLASSIFICAÇÕES DOS ÂNGULOS

Fig.15

Registre essa atividade completando a tabela abaixo:

Fração da volta 1

8

4

4

1

8

3

4

3

2

1

Medida em graus 45° 315°

Ângulo Reto:

1 - Ângulo cuja medida é 90º;

2 - Os lados se apóiam em retas

perpendiculares.

m(AÔB)= 90°

Fig.14

Tabela 01

uv

Fig.12

Seu círculo agora se parece com este.

Uma volta completa = 360°

Meia volta = 2

1= 180°

Um quarto de volta = 4

1= 90°

Três quartos de volta =4

3 270°

Dobre mais uma vez o círculo ao meio. Trace

duas novas retas sobre as dobras. Então?

1- Em quantas partes iguais o círculo está

dividido?

2- Que fração de uma volta tem cada parte?

3- Marque o número correto de graus nas quatro Fig. 13

m(AÔB) > 90°

Ângulo Obtuso:

Ângulo cuja medida é maior do que 90º.

m(AÔB) < 90°

Ângulo Agudo:

Ângulo, cuja medida é menor do que 90º.

Fig.19

Fig.17

Fig.16

Ângulo Raso:

1 - Ângulo cuja medida

2 - Os lados são semi-retas opostas.

m(AÔB) = 180°

m(AÔB) + m(BÔC) = 90°

Ângulos Suplementares: Dois ângulos

são suplementares se ao somarmos

suas medidas obtemos um ângulo de

180º. Fig 20

m(AÔB) + m(BÔC) = 180°

Ângulos Complementares:

Dois ângulos são complementares se ao

somarmos as suas medidas obtemos

um ângulo de 90°

Fig.18

Fig. 23

São ângulos consecutivos

Ângulos Replementares:

Dois ângulos são replementares se a

soma das suas medidas é 360.

Fig.21

Ângulos

Congruentes:

Ângulos que

possuem a mesma

medida.

Ângulos Opostos pelo Vértice:

Dois ângulos são opostos pelo

vértice se os lados de um são as

respectivas semi-retas opostas

aos lados do outro.

Ângulos Consecutivos:

Todos os ângulos que têm vértice comum e um

dos lados comum são ângulos consecutivos.

Fig.25AÔB e BÔC AÔB e AÔC BÔC e AÔC

Fig.22m(AÔB) (A’Ô’B’)

Fig. 24

Você poderá praticar o que aprendeu

realizando diversas atividades com o software de matemática

GeoGebra no endereço eletrônico abaixo:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/ O GeoGebra é um software de

matemática que reúne as três grandes áreas da Matemática:

GEOmetria,álGEBRA e cálculo.

CONSTRUINDO ÂNGULOS

Fig.26

Ângulos Adjacentes: Dois ângulos

consecutivos são adjacentes se, não têm

pontos internos comuns. Os ângulos AÔB e

BÔC da figura são ângulos adjacentes.

Hora de praticar

Fig.27 Interface do software GeoGebra - Cleusa de Fatima Vaismann

1- Vá até o terceiro quadrado da barra de ferramentas;2- Clique e encontre a janela: semi-reta definida por dois pontos;3-Desenhe uma semi-reta AB com origem em (0,0);4-Volte à origem (0,0) e desenhe uma semi-reta AC;5-Vá até o sexto quadrado da barra de ferramentas, clique na janela: ângulo; clique em OC e em seguida clique OB o ângulo formado aparecerá.

Fig.26

Voltando ao gol olímpico

Será que André, no início da aula percebeu que tipo de ângulo formava a

trave? E mais, será que tirou a medida do ângulo da trave? Se isso aconteceu,

como ele conseguiu a medida?

A resposta está num instrumento simples conhecido como transferidor

O transferidor é o instrumento usado

para medir ângulos. Você pode encontrá-lo

em formatos de 360° e 180°.

Para medir um ângulo é preciso

colocar o ponto central do transferidor no

vértice de um dos lados do ângulo alinhado

com o 0°.

Observe que no centro do transferidor há um ponto.

Esse ponto é o centro do ângulo. Alinhe o centro do transferidor com o

vértice do ângulo a ser medido. Depois marque o ângulo na direção do aumento

da contagem do transferidor.

Veja os três tipos de transferidores mais comuns:

Fig. 28

Fig.29 Fig.30 Fig.31

Vamos testar seus conhecimentos ?

Fig.32

Na figura acima, você poderá ler diretamente as medidas de outros ângulos,

registre essas medidas na tabela abaixo:

m(AÔB)=........ m(AÔC)=......m(AÔD)=.......m(AÔE)=.....

m(EÔB)=....... m(EÔC)=......m(EÔD)=.......m(EÔA)=.....

Verifique se existem ângulos que suplementares, se existirem registre em seu

caderno. E ângulos complementares existem? E replementares existem ?Registre.

É preciso ter olho vivo

Ao atravessar a rua na saída da escola André não olhou para os dois lados,

o ângulo sob o qual você vê um objeto não depende só da distância. Depende

também da sua posição.

Você sabe qual é o seu ângulo máximo de visão?

Você pode mover os olhos. Por isso, com a cabeça parada é capaz de ver num

ângulo de até 180°, pois seus olhos se encontram na parte dianteira do rosto.

Você já prestou atenção nos olhos de um cavalo? E de uma coruja? E de outros

animais?

Pesquise o ângulo de visão de alguns animais, como o cavalo, a coruja, o tigre,

o gato, o camaleão, o coelho, o tubarão, as lulas e outros (pelo menos 10), que

achar interessante, organize os dados em uma tabela e responda as questões a

seguir:

a) Por que os animais têm ângulos diferentes de visão?

b) O que determina a extensão do campo visual dos animais?

c) Através dos dados obtidos na pesquisa construa uma nova tabela

classificando-os em ângulos: retos, agudos ou obtusos.

Fig.33.Tabela 02

d) Desenhe com o auxílio de um transferidor cada um dos ângulos de sua

pesquisa, para cada um deles escreva seu completar e seu suplementar.

e) Organize um problema em que seja necessário realizar adições e/ou

subtrações com os ângulos obtidos na sua pesquisa.

Só acredito vendo

No entanto de nada adiantaria todos esses campos visuais diferentes se no

mundo não existisse a luz. Sem luz nenhum ser vivo poderia enxergar.

Retornando a pergunta inicial.

Agora que você já sabe o que é um ângulo, como medi-lo e como são

classificados será que já têm as condições necessárias para conseguir marcar um

gol olímpico como o André? Esse gol depende apenas do ângulo de visão do

jogador? Ao cobrar o escanteio, saber o ângulo que a bola deverá fazer é

condição para se obter sucesso e realizar esse grande feito? Como conseguir

atingir esse ângulo? Habilidade, cabeça fria e muito treino também ajudam?

Pense nisso e até a próxima!

Referências Bibliográficas:

1- DINIZ, M.I. de S; SMOLE, K. C. S. O conceito de ângulo e o ensino de geometria. São Paulo: CAEM-IME/USP,1998.

2- FILHO, A. G.; TOSCANO, C. Física. São Paulo: Scipione,2005.3- GRASSESCHI, M.C.;ANDRETTA, M. C.; SILVA, A. B. dos S. PROMAT-

Projeto Oficina de Matemática. São Paulo: FTD, 1999.4- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade.São Paulo:

Saraiva, 2005.5- LAROUSSE. Dicionário da Língua Portuguesa. São Paulo: Ática, 2001.

Os físicos entendem, que o fenômeno da visão resulta da combinação desses dois elementos: A luz e o olho. A reação do olho à luz desencadeia em nosso cérebro uma série de processos como memória, conhecimento, reconhecimento, etc.

6- LELLIS, M.C. ; IMENES, L.M.P.; JAKUBOVIC, J. Pra que serve a matemática? Ângulos. São Paulo: Atual, 1992.

7- MORI, I., ONAGA, D. S.. Matemática Idéias e desafios. São Paulo:Saraiva, 2005.

8- SANTANA, O. ; FONSECA, A.; MOZENA, E. Ciências Naturais. São Paulo: Saraiva, 2006.

9- SMOOTHEY Marion. Atividades e jogos com Ângulos.Tradução e adaptação Sérgio Quadros.São Paulo: Scipione,1997

Documentos consultados on-line:1- http://cienciahoje.uol.com.br/1969 . Acesso em: 22 de agosto de 20072- http://www.mdig.com.br/index.php?itemid=310 .Acesso em: 22 de agosto de

20073- http://vagalume.uol.com.br/08centos/360.html. Acesso em: 22 de agosto de

20074- http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2001/ling/ling0.htm . Acesso em:

22 de agosto de 20075- http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c46.html. Acesso em: 01 de

outubro de 20076- http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/. Acesso em: 01 de outubro

de 20077- www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/dg_ângulos.pdf . Acesso em : 24 de

outubro de 2007

Obs : Fotos Cleusa de Fátima Vaismann