André Luís Corte BrochiProfessor das Faculdades COC

SISTEMA DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES NUMÉRICAS

Oficina de Matemática

Fundamental I

Conteúdo

• Sistemas de numeração – história da Matemática.

• Agrupamentos e trocas na base 10 – princípio de valor posicional.

• Operações elementares.

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Objetivos

• Apresentar elementos teóricos sobre sistema decimal e as quatro operações elementares.

• Sugerir atividades a serem desenvolvidas em sala de aula.

• Discutir as dificuldades encontradas.

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Construção × memorização• A criança procura atender às exigências do professor. Se o grau de exigência está “acima”da capacidade de raciocínio/abstração, ele vai procurar memorizar alguns procedimentos que lhe permitem chegar aos resultados esperados pelo professor.

• “Treinar” não resolve o problema.

• As crianças devem estar preparadas para enfrentar situações novas.

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Oferecer oportunidades• O professor deve criar, oferecer

oportunidades para que os alunos procurem suas soluções (resoluções, respostas).

• Não deve expor suas certezas simplesmente.

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Aula proveitosa, prazerosa,motivadora.

Construção de conceitos• Os alunos podem desenvolver habilidades de comunicação, formulação de hipóteses, senso crítico, raciocínio lógico.

• Regras de dedução são construídas aos poucos através da interação com o meio, respeitando os conhecimentos já construídos pelo aluno.

• O aluno deve ser estimulado a:realizar experiências;estabelecer relações;construir e testar hipóteses. 6

Construindo conceitosO uso dos blocos lógicos

• Prof. Zoltan Paul Dienes (apud Toledo, 1997) realizou diversas pesquisas sobre a utilização de blocos lógicos no ensino da matemática; afirma que devemos sempre iniciar a construção de um novo conceito a partir da utilização de material de apoio. 7

Construindo conceitosO processo de abstração (que leva àconstrução de conceitos matemáticos) ocorre em 6 etapas diferentes:

1. Jogo livre

2. Jogos com regras

3. Jogos isomorfos entre si

4. Representação

5. Descoberta de propriedades

6. Generalização 8

Etapa 1: Jogos livres

• Percepção de atributos de cada classe.

• Montagem de figuras sem a interferência do professor.

Exemplo:Montagem de “carrinhos” com o material.

Não há mais “rodinhas”↓

não é possível montar mais “carrinhos”(aceitação das regras impostas pelo jogo)

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Etapa 2: Jogos com regras

• Sugerir jogos diferentes, mas com a mesma estrutura.

Exemplos:1)Um aluno escolhe uma peça (bloco). Os demais devem escolher peças “bem parecidas”com aquela. Ganha quem escolher a peça com mais atributos coincidentes.

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Etapa 2: Jogos com regras2) Montar um “trenzinho” em que cada “vagão”(bloco) deve ter somente um atributo diferente do anterior.

(variação: nenhum atributo coincidente)

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Etapa 3: Jogos isomorfos entre si

• Jogos que têm estruturas comuns, mas com aspectos externos diferentes.

Exemplo:“Trenzinho” de blocos lógicos e “Sequência” de alunos considerando atributos como:

- menino ou menina- usa tênis ou sandália- usa boné ou não

• Verificar, pelos comentários, se os alunos notaram as semelhanças entre os jogos. 12

Etapa 4: Representação

• Após relacionar os jogos, espera-se que o aluno esteja apto para começar a representar aquilo que percebeu.

Exemplo:O professor escolhe uma peça dos blocos e pede para os alunos descreverem seus atributos. Comparando a peça escolhida com outra semelhante, levar o aluno a concluir se sua descrição é adequada ou não.

“Se as duas peças são redondas, então elas são iguais?” 13

Etapa 5: Descoberta de propriedades

• A partir da construção de um conceito, o aluno descobre propriedades e estabelece relações ⇒ aprofundamento do conhecimento.

• Ele consegue, por exemplo, classificar os blocos (peças do material).

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Font

e: T

oled

o &

Tol

edo,

199

7

Etapa 6: Generalização

• Utilização do conceito desenvolvido em uma nova situação.

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Classificação e conceito de número• Sendo capaz de identificar as semelhanças entre os elementos dos conjuntos, o aluno estápronto para descobrir semelhanças entre os próprios conjuntos, no que se refere àquantidade de elementos.

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Classificação e conceito de número• Hierarquia de classes – seriação

• Crianças de 6 e 7 anos ainda estão em processo de construção do sistema numérico com operações “+1”

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1 2 3

O sistema decimal

Um pouco de história . . .

• Vídeo: Os gênios do Oriente – Primeira parte

TV Escola – Ministério da Educação

Disponível em: http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=256

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O sistema decimal• Em latim: calculus significa pedrinha.

• O sistema decimal permite a realização de cálculos sem o uso de material concreto (contadores).

• Levou MUITO TEMPO para ser criado.

• Alunos com dificuldade em “fazer contas”geralmente são aqueles que não compreenderam totalmente o sistema de numeração decimal.

• Valor POSICIONAL e POUCOS SÍMBOLOS.19

Agrupamentos e trocas• O professor deve trabalhar atividades diversificadas (desde os anos iniciais) com agrupamentos e trocas e valor posicional.

• A representação formal do sistema de numeração deve ocorrer no 3º ano.

• O ser humano sempre teve o hábito do agrupamento: “Com o salário daquele jogador daria para comprar umas dez casas iguais a minha”

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Agrupamentos e trocasIdeia chave: utilizar o valor posicional para representar a ação de agrupar e trocar.

• Começar com trocas em bases diferentes: 2, 3, 4, . . .

• Utilização de jogos de isomorfismo.

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Fábrica de fósforos• Material: sacos de papel, caixas de fósforos.

• Cada criança recebe uma quantidade de fósforos e combina-se a base (critério de agrupamento) com a qual irão trabalhar (realizar a contagem/agrupamento). Por exemplo, em cada saco são colocadas 4 caixas, e em cada caixa, 4 fósforos.

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Sozinho, rodinha, corrente• Material: sacos de papel, caixas de fósforos.

• Cada criança recebe uma quantidade de fósforos e combina-se a base (critério de agrupamento) com a qual irão trabalhar (realizar a contagem/agrupamento). Por exemplo, em cada saco são colocadas 4 caixas, e em cada caixa, 4 fósforos.

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InteratividadeProcure criar um jogo em que o aluno possa trabalhar agrupamentos e trocas em qualquer base.

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Adição• Iniciar utilizando situações práticas em que o aluno efetue somas com números de 0 a 9 (fatos fundamentais da adição).

• Propriedades comutativa (7 a 8 anos), associativa, existência do elemento neutro.

• Uso intuitivo da propriedade associativa: Exemplo: 7 + 6 = 7 + (3 + 3)

• Isso leva a uma maior facilidade na realização de cálculos.

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Adição• O algoritmo da adição só deve ser apresentado quando o professor tiver a certeza de que os alunos dominam o processo de agrupamentos e trocas.

• Iniciar com material de apoio (material dourado, por exemplo) e

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Subtração• Para a criança, não é um processo tão simples quanto à adição.

• O raciocínio das crianças se concentra, inicialmente, em aspectos positivos da ação, percepção e cognição.

• Tem um aspecto afetivo de perda: “Andrétinha 8 moedas e perdeu 3. Com quantas ficou?”

• Envolve idéias bastante diferentes: tirar, quanto falta, diferença. 27

Algoritmo da subtração• Processo de recurso à ordem superior Exemplo:

3 6 _

1 7

• Processo de compensação

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O significado das operações

• Vídeo: Conversa de professor (Operações)

TV Escola – Ministério da Educação

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Multiplicação• É uma “adição de parcelas iguais”, mas também deve ser vista como uma ferramenta para resolver problemas de contagem.

Exemplos:

1)Monte 5 grupos cada um com 4 alunos.

2)Número de quadrados em uma malha quadriculada.

3)Quantidade de peças dos Blocos Lógicos, a partir dos atributos.

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Multiplicação• O zero deve ser tratado como um número qualquer (como os demais).

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DM  UM C D  U  4 3  5  X 1 0  3  1 3 0  5  0 0 0  0 +4  3 5 0  04  4 8 0  5

 

Atividade: Análise combinatória simples para fazer sanduíches

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• Extraída do site da Revista Nova Escola.

•Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/analise-combinatoria-simples-fazer-sanduiches-500662.shtml

• Objetivo: - Resolver problemas de multiplicação.

Atividade: Análise combinatória simples para fazer sanduíches

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Divisão• É uma subtração reiterada de parcelas iguais.

• Está ligada a duas diferentes ideias:

1) repartir igualmente;

2) medir

Vídeo: Técnicas de cálculo da divisão

Programa: Conversa de professor

TV Escola – Ministério da Educação 34

Interatividade

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Criar problemas aplicados que envolvam multiplicação e divisão, tendo como temas a escola ou um sítio.

Sugestões (links)

“Jogos em ação” – Oficina de Matemática

Disponível em: http://internas.netname.com.br/arquivos/oficinas_projetos/oficinas/Jogos_em_Acao.pdf

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Referências BibliográficasBRASIL. Secretaria de Educação Básica. Pró-letramento: programa de formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Brasília, 2007. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental.Parâmetros curriculares nacionais : matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília :MEC/SEF, 1997.

BUSHAW, D.; BELL, M.; POLLAK, H.; THOMPSON, M.; USISKIN, Z. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

Referências BibliográficasDANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. 9ª

ed. São Paulo: Ática, 1997.

MACHADO, N. J. Matemática e realidade: análise dos pressupostos filosóficos que fundamentam o ensino da matemática. 4a ed. São Paulo: 1997.

TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática: como dois e dois: a construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.