O USO DE DOBRADURA EM GEOMETRIA

Ana Lucia Hirata1

Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho2

Resumo

Com o objetivo de mostrar a eficiência do Origami no ensino da Geometria, o presente trabalho, por meio de materiais manipuláveis, interfere na defasagem do conhecimento de Geometria. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. O desenvolvimento das noções de geometria plana sem o uso da régua e compasso, utilizando o recurso Origami (arte japonesa de dobrar papel), tem como objetivo trabalhar a geometria a partir do conhecimento do aluno, sendo que com o auxílio desse recurso, formas que antes ficavam apenas na imaginação do aluno passam a ser reais. Com isso ele pode manuseá-las e visualizá-las, facilitando assim a aprendizagem de alguns conceitos geométricos. A utilização de atividades diferenciadas, como o uso de materiais como o origami, aumenta a motivação e o prazer em aprender matemática. Palavra-chave: Dobradura. Geometria Plana. Geometria Espacial. Origami.

1. Introdução

Este artigo apresenta algumas reflexões e resultados obtidos sobre o ensino

e a aprendizagem de geometria, uma das mais antigas ciências que a humanidade

conhece. A praticidade associada aos conhecimentos geométricos teve um papel

importante no crescimento cultural da humanidade. A utilização de materiais

manipuláveis no ensino-aprendizagem da Geometria proporciona uma prática

pedagógica diferenciada.

Segundo os PNC (1997), o ensino de Matemática deve explorar metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios (BRASIL, 1997, p.26).

1 Professora da Rede Pública do Estado do Paraná, participante do Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE (2012). Contato: a-hirata@hotmail.com 2 Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina, UEL.

Contato: peresbi @yahoo.com.br

É possível perceber que os conhecimentos geométricos são importantes e

contribuem para a compreensão de situações cotidianas, envolvendo os problemas

que surgem na vida do aluno. Isso compreende desenvolver capacidades, tais como

“[...] a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação,

evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da

evolução da Matemática” (PONTE et al; 2009 p.71).

O trabalho desenvolvido por Sheng et al (2005), menciona a importância do

uso da dobradura em geometria na compreensão do pensamento matemático. As

atividades propostas procuram aproveitar a vivência e o conhecimento dos alunos

incentivando-os a buscar soluções para os problemas.

A dobradura do papel possibilita uma percepção muito direta e intuitiva da

Geometria, favorecendo, por exemplo, a compreensão das diferenças entre formas

geométricas (cubo, prismas, pirâmides...). As séries de modelos de papeis dobrados

exploram o potencial espacial dessa técnica para a construção do conhecimento. É

nesse sentido que este artigo tem como objetivo propor que a Geometria seja

trabalhada de maneira lúdica, com a utilização de recursos pedagógicos que

estimulem a criatividade e a visão espacial dos alunos.

Os recursos didáticos nas aulas de matemática envolvem uma diversidade de elementos utilizados principalmente como suporte experimental na organização do processo de ensino e aprendizagem. Entretanto, considero que esses materiais devem servir como mediadores para facilitar a relação professor/aluno/conhecimento no momento em que um saber está sendo construído. (PASSOS, 2010, p.78).

Apesar dos conteúdos relacionados à Geometria serem parte importante da

matemática, percebe-se grande dificuldade dos estudantes no estudo e

compreensão desta disciplina, tomada muitas vezes como abstrata. Diante dessa

dificuldade observada, optou-se pela utilização do Origami como um recurso auxiliar

no ensino da Geometria. O Origami representa um interessante recurso

metodológico, pois com ele os estudantes podem intensificar e formalizar os

conhecimentos geométricos adquiridos informalmente pela observação do meio em

que vivem.

Com o auxílio desse recurso, formas que antes ficavam apenas na

imaginação do aluno materializam-se, e com isso ele as pode manusear e visualizar,

o que pode facilitar a aprendizagem de alguns conceitos geométricos, como também

incitar a imaginação, aperfeiçoar movimentos motores finos, permitir a aquisição de

percepções geométricas e combinações de cores e tipos de papeis. Além disso, o

trabalho manual para a realização de um origami exige concentração, disciplina e

atenção, qualidades subjetivas que acompanham a maioria das tarefas

matemáticas.

Neste sentido, utilizar as técnicas adquiridas e habilidades que o fazer

Origami, pensado como um ‘material manipulável’, promovem na sala de aula traz

benefícios para o aluno e também para o professor.

Entendemos a expressão ‘materiais manipuláveis’ em sua acepção: são

materiais que podem ser manuseados, manipulados com as mãos, pode-se tocar,

sentir, movimentar, moldar. Assim, o material dourado, a escala de cuisenaire, os

blocos lógicos, os círculos de frações, sólidos geométricos e o ábaco são exemplos

de materiais manipuláveis, muitos jogos são materiais manipuláveis, assim como o

Origami também o é.

A utilização de materiais manipuláveis permite que o aluno saia do campo

meramente abstrato e perceba com maior clareza muitos conceitos matemáticos, já

que os materiais funcionam como instrumentos de mediação em muitas situações, o

que favorece a aprendizagem.

2. O Ensino da Geometria e Origamis

Segundo as Diretrizes Curriculares (PARANÁ, 2008), com relação ao

conteúdo estruturante Geometrias, no Ensino Fundamental, espera-se que o

estudante compreenda os conceitos e os elementos da Geometria Plana e

Geometria Espacial, bem como utilize linguagem adequada para descrever os

conceitos associados a estes tópicos.

Uma aula diferenciada envolvendo recursos lúdicos utilizados pelos

estudantes ao aprender um novo conteúdo de Geometria proporciona aos mesmos,

maneiras de ver e entender aspectos espaciais do mundo físico, desenvolve seu

raciocínio, sua capacidade de ler e interpretar problemas matemáticos. A utilização

do recurso manipulável como auxílio pedagógico para a matemática possibilita

também, muitas vezes, o diálogo com outras disciplinas, estabelecendo um caráter

interdisciplinar.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (1997):

O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir de exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL,1997, p.56).

Ensinar matemática para o estudante paralelo à execução de trabalho com

as dobraduras desenvolve o pensamento geométrico do mesmo, já que estabelece a

capacidade de construir conceitos geométricos a partir, não de uma ideia perceptiva

do objeto em estudo, mas de algo concreto que pode ser transformado, manuseado,

em tempo real. O aluno precisa observar e trabalhar atentamente com diversos tipos

de materiais manipuláveis, acentuando a sua criatividade e curiosidade, resultando

em uma aprendizagem significativa da matemática, ao mesmo tempo que explora,

compara, modifica as formas e o tamanho dos objetos que manuseia.

Segundo os PCN, o aprendizado de Geometria está além do restrito ao

campo matemático, já que

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL,1998,p.51).

O atual currículo recomenda atividades preocupadas em explorar a

habilidade do aluno, para que aprenda por meio delas, buscando estratégias que

levem o estudante a adquirir o conhecimento e aplicabilidade do ensino de

geometria.

Existe uma infinidade de Origamis que representam sólidos geométricos.

Assim, diante das dificuldades expressas no ensino da geometria, o uso de origamis

pode auxiliar na aprendizagem.

Inicialmente, é preciso esclarecer que à medida que a confecção do papel foi

se tornando mais simples e mais acessível, o Origami, a arte tradicional japonesa de

dobrar papel (Ori significa dobrar e Kami significa papel) tornou-se cada vez mais

uma arte popular. Esse nome prevaleceu ao longo do tempo para manter sua origem

no idioma japonês e por sua fácil pronúncia (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE

DIFUSÃO DO ORIGAMI, 2005).

Essa arte vem sendo utilizada no Japão desde o séc. VIII. Contudo, apesar

de o Japão ser considerado ‘berço’ do Origami, acredita-se que a referida arte surgiu

na China, local em que o papel foi inventado no ano 105 a.C. onde, portanto, sua

utilização é mais antiga. Sabe-se também que na Europa, via Espanha, no séc. VIII

desenvolveram-se alguns objetos semelhantes ao Origami (SHENG et. al., 2005).

Na confecção de um Origami, deve-se ter um princípio básico: evitar o uso de

cola e tesoura, não utilizando, portanto, outro material que não seja o papel. Por isso

o desenvolvimento de habilidades finas como atenção, acurácia e disciplina estão

associadas à construção de origamis.

A partir da manipulação de objetos, o aluno descobre as propriedades

conhecidas apenas por abstração, fazendo conexões importantes entre o real e o

abstrato; esse conhecimento está intrinsicamente nos objetos, bastando sua

manipulação para que haja aprendizagem.

3. Desenvolvimento

Este trabalho foi desenvolvido com alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental, do Colégio Estadual José de Anchieta pertencente ao Núcleo de

Londrina/PR. Antecipadamente, o projeto foi apresentado à direção e equipe

pedagógica do colégio. Salienta-se que direção e APM colaboraram com a compra

dos jogos e papeis dobradura utilizados nas atividades desenvolvidas.

O projeto contou com a participação e entusiasmo dos estudantes que se

empenharam com organização e disciplina nas atividades propostas.

3.1 Atividades

A primeira atividade desenvolvida com os alunos foi denominada ‘Observar

Objetos’. Esta salientou a diferença entre corpos redondos e poliedros, figuras

geométricas planas de figuras geométricas espaciais, permitiu o cálculo de áreas

planas e perímetro.

Os alunos trouxeram objetos que fazem parte do cotidiano deles (carta de

jogo, moedas, caixa de creme dental, CD, globo, dado, latas, etc.) que foram

observados e classificados em poliedros e corpos redondos. Usaram a régua para

medir e reproduzir as figuras geométricas planas observadas nas faces dos

poliedros. Fizeram planificações destes poliedros.

FIGURA1: Objetos trazidos pelos alunos (caixa

de creme dental, globo miniatura, rolo de durex,

caixa de madeira).

FIGURA 2: Objetos trazidos pelos alunos ( estojo

de grafites, apontador).

Fonte: Acervo Pessoal

Após observarem as figuras planas que constituam as superfícies

encontradas nos objetos, calcularam a área dessas figuras. Observou-se que, nos

objetos menores, alguns alunos preferiram calcular usando como subunidade de

medida o milímetro, “mm”, ao invés do centímetro, “cm”. Dessa forma, não

realizaram cálculos com o uso da vírgula, o que causa neles um pouco de

insegurança e confusão. Isto aponta para a necessidade de retomar conteúdos de

anos anteriores, como a transformação de unidades, reforçando o caráter do

aprendizado paulatino e constantemente retomado como fator necessário para a

interiorização de certos pontos curriculares, como este.

A partir deste primeiro contato com os objetos trazidos de casa pelos alunos,

exploramos um quebra-cabeça tridimensional. O quebra-cabeça, usado em uma das

atividades constitui-se de um material manipulativo com peças de madeira em

formato de prismas e cubos, foram comprados 15 jogos com verba da APMF do

colégio.

Os alunos trabalharam em grupo nos primeiros momentos, manipularam o

jogo e depois de algum tempo, a atividade passou a se direcionada pelo professor.

Eles tiraram as medidas e calcularam área das figuras planas laterais

observadas nas peças. Foi uma atividade considerada difícil pelos alunos, já que a

montagem final do quebra cabeça tridimensional exigia grande percepção espacial.

FIGURA 3

FIGURA 4

FIGURAS 3 e 4: Alunos montando o quebra-cabeça com paralelepípedos e cubos.

Fonte: Acervo pessoal.

Para que os alunos conseguissem montar todo o quebra-cabeça, foi

confeccionado um quebra-cabeça tendo como modelo uma das faces do cubo,

usando figuras planas que se posicionavam na primeira etapa da montagem.

Também foram fornecidas algumas ‘dicas’ de montagem, como o fato de que os

cubos menores constituiriam, ao final da montagem, a diagonal principal do cubo

obtido. Com essas informações, os alunos realizaram a montagem final do cubo.

FIGURA 5: Peças do quebra-cabeça com figuras planas.

Fonte: Acervo pessoal.

FIGURA 6: Cálculo dos alunos das figuras planas.

Fonte: Acervo pessoal.

Outra atividade realizada foi denominada “Caixas”. Para o início desta

atividade, os alunos trouxeram uma folha de papel cartão onde confeccionaram uma

caixa maior com tampa, que foi usada para guardar os papeis, trabalhos e módulos

das outras atividades.

As construções das caixas menores, uma de base quadrada e outra de base

retangular, utilizaram como ponto de partida papeis no formato quadrado com 15 cm

de lado. Os alunos seguiram o passo a passo das etapas por meio da TV pendrive,

cada fase foi apresentada por meio de uma fotografia, indicando o passo da

atividade e a dobradura que deveria ser feita, além das instruções orais fornecidas

pela professora, à medida em que se construíam as caixas.

FIGURA 7: Exemplos de passos para confecção de caixas Fonte: Arquivo pessoal

Com a construção de dois tamanhos diferentes de caixas, foi possível

comparar as medidas e cálculos encontrados pelos alunos, uma vez que ambas

foram confeccionadas com o mesmo tamanho e formato de papel. Os estudantes

calcularam a área da base, área lateral e área total das caixas confeccionadas e

também o volume de areia que seria necessário para encher cada caixa.

FIGURA 8: Confecção de uma caixa de base

quadrada.

FIGURA 9: Caixas confeccionadas pelos alunos.

Fonte: Acervo pessoal

Após a construção das caixas, procedeu-se ao feitio de poliedros, montados

por meio de módulos previamente confeccionados.

Para a construção do tetraedro, cubo e outros poliedros, foram usados

papeis de formato quadrado, com tamanho com 15 cm de lado. Os alunos seguiram

o passo a passo das dobras por meio da TV pendrive. Novamente, cada fase foi

apresentada por meio de uma fotografia, indicando o passo da atividade e a

dobradura que deveria ser feita, além das instruções orais fornecidas pela

professora, à medida em que construíam os módulos necessários para obtenção do

poliedro final.

Na construção do tetraedro foram necessários dois papeis de formato

quadrado. Após dobrar o papel, este foi desdobrado. Os alunos observaram nas

dobras marcadas a formação de triângulos. Isto permitiu classificar os triângulos

quanto aos ângulos e quanto aos lados. Observou-se também, nas dobras feitas

durante a confecção, retas paralelas e transversais, podendo os alunos classificar os

ângulos formados entre as retas.

FIGURA 10: Retas formadas com as dobras.

FIGURA 11: Módulos do tetraedro.

Fonte: Acervo pessoal

Ao término da montagem, os alunos puderam medir e calcular a área do

triangulo equilátero formado na face do tetraedro e calcular a área total da superfície

desse poliedro. Uma aluna, ao medir a aresta da base, perguntou se podia

“arredondar” a medida para facilitar o cálculo, estabelecendo uma relação

importante: nas aplicações práticas quase sempre as medidas são aproximadas.

Para a formação do cubo foram usados seis módulos diferentes (papéis).

Após a montagem os alunos fizeram os registros da atividade com o direcionamento

da professora. Observaram-se retas paralelas, diagonal do quadrado, número de

faces, número de vértices e, posteriormente, foi calculado área da superfície de uma

face, área da superfície total e volume do cubo.

FIGURA 12: Módulos confeccionados para

montagem do cubo.

FIGURA 13: Cubo confeccionado por um aluno.

Fonte: Acervo pessoal

Quais os tipos de retas foram identificadas nos passos da dobradura,

reconhecer a diagonal do quadrado, calcular área da face, área da superfície total do

poliedro e calcular o volume do cubo.

FIGURA 14: Registro de cálculos e observações da atividade.

Fonte: Acervo pessoal.

Finalmente, escolhemos também para apresentar aqui a atividade

‘Caleidoscópio’. Nesta, os alunos primeiramente fizeram uma pesquisa de preço dos

materiais (espelhos e plástico) que seriam utilizados na confecção do caleidoscópio.

A representante da sala calculou o valor que coube a cada aluno e ficou responsável

pela arrecadação do dinheiro. Esta dinâmica permitiu um trabalho grupal de

independência e autonomia, com responsabilidade para os próprios estudantes. Os

materiais foram comprados e distribuídos, alguns outros materiais utilizados na

confecção foram providenciados individualmente.

Na construção do caleidoscópio, foram utilizados três espelhos, plástico

transparente, fita adesiva e materiais coloridos trazidos pelos alunos, como

miçangas, canutilhos, botões. A atividade foi realizada em duplas, pois a construção

do caleidoscópio é de difícil execução para uma pessoa sozinha.

Ao final da construção, os alunos calcularam e registraram a área da face,

área da superfície lateral, área da superfície total e volume do prisma formado.

FIGURA 15: Materiais para confecção do

caleidoscópio.

FIGURA 16: Vista interna de um caleidoscópio.

Fonte: Acervo pessoal.

4. Considerações Finais

Conforme este pesquisa mostrou, o ensino da geometria estava se tornando

desgostoso para os estudantes, já que os professores raramente utilizam qualquer

tipo de recurso para tornar a aprendizagem mais prazerosa. Dessa forma, os

estudantes não têm motivação alguma para que a aprendizagem da matemática e,

em particular, da geometria.

A adoção de uma prática pedagógica diferenciada contribuiu para que o

estudante tivesse uma identificação mais significativa com a disciplina, visualizando

que a geometria não é “difícil” quando apresentada de uma forma dinâmica,

envolvendo o aluno nas atividades de sala de aula para que possa ser assimilada

significativamente.

Pode-se perceber que o uso de materiais manipuláveis provoca o interesse

e exercita a concentração, dando prioridades significativas a esse tipo de

metodologia, pois ela envolve o lúdico, a manipulação de objeto concreto, facilitando

a visualização.

Ao trabalhar com as dobraduras, os alunos vão fazendo a “Distinção, em

contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo

algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando

nomenclaturas próprias” (BRASIL, 1998, p.72).

Muitos dos alunos adquiriram as noções precisas e definições de polígono e

poliedro, outros ainda apresentaram dificuldade para diferenciar os objetos em duas

e três dimensões, exemplificando corretamente a distinção entre um e outro.

O material manipulável proporcionou uma aula em que todos os alunos foram

envolvidos pelas atividades, com diferentes ritmos de produção. Alguns

apresentaram dificuldades na execução das dobras dos origamis, mas tiveram

auxílio dos alunos monitores, de outros colegas e da professora.

Os trabalhos realizados pelos alunos possibilitaram a integração entre os

conceitos geométricos e a prática e manipulação do objeto em estudo, possibilitando

ao estudante uma conduta ativa no desenvolvimento das atividades propostas pelo

professor.

As discussões surgidas e o comportamento dos participantes da pesquisa

demonstram que o uso de técnicas de dobraduras como instrumento pedagógico é

bem sucedido no que diz respeito ao ensino de Geometria.

O trabalho com o Origami fez com que os alunos mostrassem-se mais

interessados e participativos do que outros que não foram privilegiados com esse

recurso. Como professora, também me senti motivada com o uso desse recurso e

participei ativamente de todas as atividades, observar o interesse dos estudantes

constitui um incentivo para o professor.

Na realização de cada etapa das atividades, notou-se que os estudantes

interagiram cada vez mais, a partir do uso do Origami na Geometria, colaborando

entre si. Sempre notavam algum conceito geométrico nas figuras que estavam

construindo. Logo, percebe-se a importância do uso do Origami como recurso, não

só pela aprendizagem adquirida sobre os conceitos geométricos, mas também para

a socialização, criatividade, concentração dos estudantes.

O trabalho com dobraduras estimula habilidades, ressaltando que o Origami

serve como um exemplo de recurso metodológico que é de fácil acesso, baixo custo

e grande efeito.

Em última análise, cumpre dizer que atividades que envolvem dobraduras

favorecem o aumento do conhecimento dos elementos geométricos, cabendo ao

professor mediar a aquisição e a construção de novos conhecimentos, além de

estimular a participação, criatividade e motivação, tornando as aulas mais

prazerosas e produtivas.

Os resultados obtidos, tendo como base as diretrizes curriculares atuais,

enfatizam que a matemática escolar deve permitir que os estudantes não só

adquiram uma ampla compreensão racional e conceitual, como também

desenvolvam a habilidade própria para o pensamento matemático, fornecendo

experiências que os encorajem e que lhes permitam solucionar problemas,

comunicarem-se e desenvolverem diferentes maneiras de raciocinar

matematicamente.

Entende-se que o trabalho não se esgota com esta pesquisa, do qual é o

início de outros estudos para aqueles que se interessam por uma educação de

qualidade.

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