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O USO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Porto Velho / 2008

Marcos Leandro Ohse

marcosohse@uol.com.br

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Uma breve reflexão

• O que acontece com o aluno de graduação que conclui a licenciatura plena em matemática?

• Será que este aluno está habilitado, ou melhor, preparado para exercer a docência?

• A graduação oferece todas as condições para que nosso aluno tenha domínio de classe?

• O que está faltando?

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Alguns dados interessantes (Revista Veja – 14/03/2007)• M.C.T. mostra que os estudantes brasileiros

são incapazes de solucionar questões que exigem algum esforço e atenção.

• Brasileiros estão em último lugar na matéria, em uma lista de 41 países.

• Segundo o especialista Gilberto Garbi: “o Brasil é uma nação analfabeta em matemática”.

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• É considerada uma das principais razões: os professores não estão preparados para lecionar.

• Bons alunos em matemática são exceção no Brasil.

• Isto também se reflete em vários países, mesmo os que são referência em matemática.

• A Finlândia dá o exemplo: as aulas de matemática acontecem em laboratório; há interdisciplinaridade; procura-se utilizar os conhecimentos prévios da vida dos alunos.

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Dados do Jornal da Educação 02/2007 – SAEB/ENEM•   Os resultados de pesquisas sobre a

Educação Básica no Brasil, divulgados no início de2007, são pouco animadores.

• O Saeb avalia alunos, em Português e Matemática, na 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e na 3ª série do Ensino Médio. 

• Eles indicam que, apesar de certo avanço da universalização do Ensino Fundamental, a qualidade da escolarização das nossas crianças e adolescentes está piorando.

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• No conjunto, a constatação é triste e preocupante: nos últimos dez anos a educação no Brasil piorou, ou seja, em todos os dados comparativos, o desempenho dos alunos na avaliação de 2005 é inferior a de 1995.

• De acordo com os dados do Saeb, a situação do Ensino Médio é ainda mais crítica. A média do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) de 2006, divulgada recentemente pelo MEC, também indica queda no rendimento dos alunos em relação ao ano anterior.

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• O que fazer para reverter este quadro?• Existe possibilidade real de mudança deste

quadro?• Mudança de postura nos cursos de

licenciatura!• Formação continuada!• Uso da história da matemática, da

modelagem matemática e da matemática aplicada já no ensino fundamental e médio.

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Modelagem Matemática

• “A matemática, se utilizada corretamente, foi e é ferramenta básica para o desenvolvimento das ciências exatas e da engenharia. Em cada ciência há tanta verdade quanto ela tem da matemática”

Karl Marx• A matemática está cada vez mais presente

nas demais ciências e áreas de atividade.• Economia, biologia, medicina, educação,

engenharia, etc fazem uso dos conceitos matemáticos obtendo excelentes resultados.

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• Para intensificar este processo, surge a alguns anos uma nova direção científica: a modelagem matemática.

• Esta modelagem auxilia as sociedades na exploração dos recursos naturais presentes em seu habitat.

• Como podemos definir modelo:– Conjunto de símbolos que interagem entre

si, fazendo representações.– Em matemática, um modelo é um conjunto

de símbolos e relações matemáticas que conseguem traduzir um dado fenômeno.

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• O que seria “modelagem”?– Representação ou reprodução de algo, que

necessita da observação alguns de pontos:• Observação da situação ou fenômeno• Interpretação da experiência• Entendimento do significado produzido

• Modelagem matemática!– É a representação de alguma situação ou

fenômeno expresso em termos matemáticos:• Fórmulas, diagramas, gráficos, representação

geométrica, equação algébrica, tabelas, softwares.

– Esta representação leva à solução do problema ou permite a dedução da mesma.

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Alguns modelos matemáticos na história• Desde que o homem começou a observar os

fenômenos naturais e verificar que os mesmos seguiam princípios constantes, ele observou que estes fenômenos podiam ser colocados por meio de “fórmulas”. Este princípio levou a utilização da matemática como uma ferramenta para auxiliar estas observações.

• Este é o princípio da matemática como um modelo, ou seja, modelar matematicamente o mundo em que vivemos e suas leis naturais, ou modelar situações do cotidiano tendo em vista a sua aplicação para facilitar todos os processos que envolvem nossa vivência.

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• Egípcios– Desenvolveram a geometria e a trigonometria

prática para solucionar o problema das enchentes do rio Nilo.

– Conheciam os quatro pontos cardeais.– Por meio de observações elaboraram um

calendário que contava a duração do ano solar em 365,25 dias.

• Babilônios– Elaboraram um modelo dos movimentos do sol,

da lua e dos planetas por meio de séries numéricas e formas geométricas.

– A matemática foi uma ferramenta essencial ao implemento da astronomia pelos sacerdotes.

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• Grécia Clássica– Tales de Mileto: usou semelhanças de triângulos

para medições de altura (pirâmides)– Pitágoras elaborou a escala musical usada até

hoje, sendo considerado o “pai da música”. Segundo ele tudo que existe na natureza pode ser representado por meio dos números e das formas.

– Arquimedes disse: “dê-me uma alavanca e moverei o mundo”. O mesmo Arquimedes, ao imergir em uma banheira com água descobriu como calcular a massa de ouro constante em uma coroa.

– Apolônio determinou as seções cônicas a partir do cone duplo. Estas seções só tiveram sua aplicação determinada com Kepler, 2000 anos depois.

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• Renascimento até a atualidade– Leonardo da Vinci: inventor do helicóptero e do

pára-quedas.– Nicolau Copérnico: teoria heliocêntrica.– Galileu Galilei:

• testar as experiências• Deduzir por meio de uma hipótese• Pai da ciência moderna• “A matemática é o alfabeto pelo qual Deus

escreveu o universo”. – Fibonacci criou sua série ao observar a procriação

de coelhos. Esta série esta profundamente ligada à seção áurea que os gregos antigos tanto estimavam.

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– Renné Déscartes: pesquisador das ciências, filosofia, direito, entre outras áreas, que procurou modelar situações do cotidiano e da natureza por meio da geometria analítica.Muitas das descobertas que Déscartes fez com a geometria analítica são base, hoje, para situações da administração, economia, ciências contábeis, informática, etc.

– Isaac Newton procurou modelar os fenômenos físicos por meio de modelos matemáticos. Newton procurou demonstrar que todos os fenômenos da natureza podem ser modelados matematicamente.

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– Com a revolução industrial a matemática tomou um impulso muito grande, pois foi preciso criar modelos teóricos para implementação de máquinas, centros de produção, produção em série e armazenamento, entre outros.

– Após a segunda guerra, a matemática ajudou a desenvolver um outro campo que estava começando a crescer: a informática. Hoje sabemos que é impossível desenvolver tópicos em informática sem o uso da ferramenta matemática.

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O Ensino da Matemática como Modelo• O ensino da matemática deve ser realizado

através de uma matemática aplicada.• Esta matemática deve estar voltada aos

interesses do aluno e da sociedade. É preciso fazer com que a matemática seja atraente para os alunos.

• Nosso ensino hoje está muito voltado, ainda, para a memorização de fórmulas e conceitos.

• Na formação do aluno, é preciso que o mesmo saiba, não decorar fórmulas, e sim, aplicá-las.

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• Qual o problema com o ensino da matemática nas escolas?

• Porque os alunos não gostam dela?• Tudo que não tem sentido para o aluno, não tem

uma aplicação prática, não leva a um interesse por parte dele.

• Os professores de ensino fundamental e médio (e porque não, também do superior?) precisam entender que a matemática não pode ser ensinada como uma matéria teórica, como uma ciência abstrata.

• Se isto for feito, o aluno não vê uma aplicação para ela, não vai entender e não vai gostar.

• Precisamos ensinar a matemática como um modelo que vai auxiliar a todas as demais atividades humanas.

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• Precisamos mostrar ao aluno que todos os conceitos matemáticos têm aplicação nos diversos ramos da vida humana.

• A grande dificuldade está em fazer o educador transportar a realidade do aluno para o cálculo matemático.

• É muito mais cômodo e simples ao educador trabalhar com um livro didático do que elaborar questões que farão o aluno pensar.

• O educador jamais deveria trabalhar com questões prontas, “fechadas”.

• As questões devem contemplar estes itens: leitura, interpretação, montagem e resolução.

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• Quando estes quatro itens são contemplados, exigirá do aluno um conhecimento muito mais amplo, não apenas matemático.

• Entendo que se o professor (educador) conseguir contemplar estes itens, estará dando um grande passo no sentido de ensinar a matemática como um modelo ou ferramenta.

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Sugestões para abordar assuntos• Álgebra (6º ou 7º série)Considere uma região retangular onde o comprimento

mede duas (2) unidades a mais que a largura:a) escreva a expressão que fornece o perímetro desta região;b) se a largura é de 3 m, determine o perímetro desta região;c) Se o comprimento é de 6 m, determine o perímetro;d) escreva a expressão que fornece a área desta região;e) Se a largura é de 5 m, qual será a área?f) Se o comprimento é de 3 m, qual será a área?g) O que você conseguiu entender desta atividade?

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• Equação de BáskharaSeja uma região retangular onde a largura tem um

metro a menos que o comprimento e cuja área tem 6 m²:a) determine as dimensões desta região;b) Se o comprimento aumentasse em 2 unidades, qual seria a nova área, mantendo a condição original?c) O que podemos concluir com esta atividade?

• Função polinomial de 1º grauDas 15:00 horas às 20:00 horas, a temperatura de uma

região variou, linearmente, de 12ºC à -3ºC. Responda:a) em que horário desse período a temperatura atingiu 0ºC?b) Nesse período, durante quanto tempo a temperatura esteve positiva? E negativa?

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• Função polinomial de 2º grauSeu João pretende construir um galinheiro,

para isso ele dispõe de 20 metros de tela e um muro já existente. Quais as dimensões do galinheiro para que a área seja a maior possível? Qual é a maior área obtida?

• Exponenciais e LogaritmosCerta população de insetos triplica a cada dia.

Se a população inicial era de 9 insetos, determine:a) a população após 6 dias;b) a função representativa.

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Bibliografia• BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP.

Edgard Blucher, 2003.• CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais

da matemática. Irmãos Bertrand Ltda, Lisboa.• EVES, Howard. Introdução à história da matemática.

2º ed. UNICAMP, 2002.• KARLSON, Paul. A magia dos números. Globo, 1961• PARKER, Steve. Newton e a gravitação. SP:

Scipione, 1996• SANTOS, Mário Ferreira dos. Pitágoras e o tema do

número. Ibrasa, 2000• STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva.

1989.• TAHAN, Malba. Matemática divertida e curiosa. 5 ed.

Record, 1995.