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O problema do tubo de vácuo(Ref. básica: Introduction to Plasma Physics, Goldston & Rutherford, IOP 1995)

Considerem o seguinte tipo de esquema:

Elétrons são liberados pelo filamento incandescente termoiônico de tungstênio (ou algumesquema termoiônico equivalente) e acelerados como um fluído frio (todos os elétrons emum certo ponto se movimentam sem dispersão térmica, ou seja, com a mesma velocidade)em escoamento estacionario (derivadas temporais = 0) por uma diferença de potencial docatodo para o anodo de uma região totalmente evacuada - um tubo de vácuo, portanto.Vamos supor que a escolha da escala de potenciais seja tal que V(catodo)=0. O fluídoeletrônico, aqui, é um plasma frio.

Para uma geometria unidimensional ao longo do eixo x a equação para a divergência docampo elétrico assume o aspecto:

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, (1)

onde phi é o potencial eletrostático e rho é a densidade de cargas do sistema = -e n, com (-e)a carga eletrônica - n é a densidade de elétrons. Como estamos trabalhando com um feixepuramente eletrônico que está viajando unidimensionalmente do catodo para o anodo demaneira estacionária, devemos ter

, (2)

onde j é a densidade de corrente do fluído eletrônico, constante. Notem que j não é adensidade de corrente elétrica je com a qual havíamos trabalhado em aula. A relação entre asduas é simplesmente dada por je=-e j. A partir de (2) podemos escrever n=j/v. Assim, seconseguirmos expressar a velocidade do fluído eletrônico em termos de phi, podemossubstituir a expressão resultante em (1) e obter uma equação exclusivamente para o potencialeletrostático. Ora, por conservação de energia sabemos que

, (3)

a partir do que, notando que inicialmente os elétrons são lançados com velocidade nula deum ponto onde phi=0, o que implica em Const.=0, obtemos o que desejamos.

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, (4)

e daí:

. (5)

O problema é não linear e complicado. Uma possível solução particular pode no entanto sertentada na forma

, (6)

o que, substituído em (5), nos informa o seguinte:

. (7)

Finalizando, quando x=L, phi=V, de onde tiramos a importante regra de escala dos

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fabricantes de tubo de válvulas eletrônicas de vácuo, também conhecida como lei de Child-Langmuir:

. (8)

Mecânica Estatística de Plasmas

Imaginemos que dispomos de N partículas a serem distribuídas em estados "discretos", cadaestado com energia ej e comportando um número nj das N partículas. Notem que aquifazemos uma forte hipótese em relação ao tipo de sistema com o qual lidamos. Estaossupondo que há estados j com uma energia única. No caso clássico, onde j designa posição evelocidade como veremos (j={x,v}), isto é equivalente a dizer que em uma posição x e v, ouem suas redondezas, as partículas possuem a mesma energia. Isto vale quando os efeitoscoletivos discutidos no começo do curso preponderam. Quando há colisões inter-partículas, oque diminui o domínio dos efeitos coletivos, partículas próximas umas das outras podem terenergias totalmente diferentes justamente devido às colisões, e a modelagem não pode serrigorosamente esta que segue.Macroscópicamente só podemos divisar o número nj de partículas em cada estado, mas nãoquais partículas específicas estão lá. Um esquema gráfico de nosso problema vem a seguir:

.

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Nossa tarefa é então contar de quantas formas uma particular distribuição macroscópica como conjunto {no,n1,n2,n3,n4,.......,nj,.......}={nj} pode existir. A princípio, suspeitaríamos deque tal número, vamos chamá-lo de W, fosse simplesmente a permutação de todas aspartículas entre si: N!. Mas isto não é totalmente correto, já que a permutação de duaspartículas em um mesmo estado, não conduz a um estado microscópicamente distinto: seriaalgo com tirar duas partículas que habitam um mesmo ponto espacial (no caso clássico), ereconduzí-las ao mesmo ponto.

O que no entando é verdade, é que para cada permutação entre partículas do mesmo estado, onúmero de permutações macroscópicamente distintas vai ser o mesmo. Assim poderíamoscalcular o N! da seguinte forma:

. (9)

Supondo apenas um sistema de 2 estados com 2 partículas em um deles e a terceira nosegundo, o número total de permutações é 6, mas o número de permutaçõesmacroscópicamente distintas e relevantes é apenas 3.

Pois seguindo adiante, o que devemos fazer é obter a distribuição dos nj que fornecem omaior W, para um N fixo! Ou seja, escrevendo

, (10)

o que devemos fazer é maximizar a função de várias variáveis W({nj}) em relação aos seusargumentos. Devemos no entanto considerar dois vínculos: o número total de partículas é

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constante, N, e a energia total do sistema é a energia fornecida por seu agente formador - nocaso de um plasma, a energia total seria constante e dada pela faísca que o produziu(ionização do gás). Ou seja, devemos maximizar (10) em relação a seus argumentos,submetidos aos vínculos:

. (11)

Isto pode ser convenientemente feito através dos multiplicadores de Lagrange. A partir desteponto, em vista da presença de fatoriais em (10), torna-se mais apropriado trabalhar comlogaritmos de W, que automaticamente suavizam o comportamento quase-exponencial dosfatoriais. A maximização do logaritmo de W é equivalente à maximização do próprio W, jáque ambas as funções crescem com W. Reunindo todos estes comentários em fórmulas, oque queremos então é maximizar a exótica função

, (12)

onde os dois lambdas sãos os multiplicadores de Lagrange. Como agora temos duasvariáveis extra, podemos desvencilhar os nj de suas restrições, como explicado em aula.Outra fórmula conveniente aqui é a aproximaçnao de Stirling que funciona muito bemquando nj,N>>1:

, (13)

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que pode ser obtida se aproximarmos

. (14)

Queremos então, no máximo, que variações de W-til sejam nulas. Algumas manobrasenvolvendo (12)-(14) nos põe na seguinte situação:

, (15)

onde agora os delta nj são pequenas variações dos nj em relação ao ponto de máximo. Comodentro do esquema dos multiplicadores todos os nj passam a ser independentes, temosfinalmente

, (16)

onde os lambdas devem ser calculados com base nos vínculos (11).

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Notem que o numero de particulas por estado depende exponencialmente da energia doestado. Daqui já podemos desconfiar que o fator lambda_2 seja negativo. Caso nao o fosse,teríamos um número crescente de partículas com a energia, algo fisicamente nada plausívelpara estados de equilíbrio. A condição sobre o número total de partículas pode ser impostaagora sobre a distribuição (16):

, (17)

onde é introduzido o conceito de função de partição Z como o somatório das exponenciais deenergia, e de onde podemos concluir:

, (18)

onde pj é definido como a probabilidade de ocupação de um estado j. Nossa tarefa agora é ade determinar lambda_2. Se tivermos sucesso nisto, lambda_1 fica determinado em termos deN e de lambda_2 (contida em Z) através de (17).

Para o cálculo de lambda_2, iniciamos observando que W é uma medida da multiplicidade derealização de um estado macroscópico - ou seja, W mede de quantas maneiras microscópicasdistintas, um estado macroscópico pode ser realizado. Isto nos remete diretamente aoconceito de entropia. O problema é que a entropia não pode ser W diretamente. Isto porqueentropia é extensiva (aditiva). Se tivermos dois sub-sistemas fracamente interagentes, oW_total seria dado pela fórmula:

. (19)

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O número de estados microscópicos distintos seria o número de estados do primeiro sub-sistema multiplicado pelo número de estados do segundo. Imaginem dois subsistemas com 2estados cada. Quantos estados distintos há no total? Ora, há 2 estados do segundo sub-sistema, digamos, para cada um dos 2 estados do primeiro sub-sistema; ou seja 2x2=4.

Pois W então não se decompõe em uma soma extensiva. O que se decompõe em uma soma,por exemplo, é o logaritmo de W. Daí nasce a definição de entropia extensiva datermodinâmica S:

, (20)

onde kappa é a assim chamada constante de Boltzmann;

. (21)

Vamos então iniciar calculando a entropia de nossa distribuição W:

. (22)

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Calculemos a seguir dS/dE, que, segundo a termodinâmica, é 1/T, T denotando a temperaturdo sistema:

, (23)

de onde finalmente obtemos lambda_2 = -1/(kappa T). Com isto ficamos prontos paraescrever a forma final da função de distribuição de probabilidades (18):

, (24)

também conhecida como distribuição de Boltzmann.

Façamos então uma aplicação da fórmula (24) com o intuito de, verificando uma relaçãoconhecida, atestar a validade da função de distribuição (24). O caso é o de calcular a energiamédia para um gás ideal unidimensional. Neste caso a energia ej é simplesmente a energiacinética de um "estado" clássico (x,v):

. (25)

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Um resultado interessante e genérico com relação a cálculos energéticos é o seguinte:

. (26)

Apliquemos nosso modelo energético (25) em (26).

, (27)

lembrando que por (23), lambda_2 é um número negativo e considerando L como ocomprimento do sistema. Agora a tarefa é a de calcular o logaritmo da função partição Z:

, (28)

de onde tiramos finalmente o resultado:

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, (29)

com o quê podemos escrever para nosso modelo de gás perfeito unidimensional:

, (30)

conhecido resutlado da mecânica estatística (princípio da equipartição de energia), que afirmacada grau de liberdade de um sistema possuir exatamente kappa*T/2 de energia - é o nossocaso, pois a energia total é N kappa T/2 conforme (30), e possuímos N-graus de liberdade emum sistema com N partículas em movimento unidimensional. Fica como exercíciodemonstrar que a energia total no caso tri-dimensional se torna E=3N kappa T/2.

A blindagem de Debye em plasmas

Como calcular a densidade de partículas? Simplesmente devemos calcular qual aprobabilidade total de encontrarmos a partícula em uma posição x e multiplicarmos oresultado por N. E como calculamos a probabilidade total de encontrarmos a partícula emuma posição? Novamente é simples: basta integrar a função de distribuição sobre todas aspossíveis velocidades que a partícula pode comportar em x:

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. (31)

A integral em (31) depende específicamente da forma da função energia, e(x,v). No caso emque temos um gás livre da ação de qualquer campo externo possívelmente dependente daposição x, temos

, (32)

(te certifica que a expressão está correta) o que reafirma que em sistemas homogêneos aprobabilidade, ou densidade de probabilidade, é dada simplesmente pela probabilidade total,"1", dividida pelo tamanho total onde esta probabilidade se realiza, "L". Em casos onde aenergia e(x,v) depende de x, mas de forma separável, assim como no caso típico

, (33)

ficamos com

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. (34)

A densiade de partículas, neste caso, fica com o aspecto:

, (35)

o que nos leva a identificar o termo entre parentesis como a densidade de equilíbrio dosistema. De fato, para regiões onde U(x)=0, n(x) passa a ser dada exclusivamente pelo termoentre parentesis, já que a exponencial tende para "1". Mas quando U(x)=0 não há influênciade forças externas e n(x) -> no. Portanto:

, (36)

de onde tiramos o importante resultado:

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. (37)

O resultado parece razoável: quanto maior(menor) a energia potencial em um certo ponto x,maior(menor) será a possibilidade de partículas ocuparem esta posição.

No caso eletrostático, supondo elétrons móveis e íons fixos, a energia potencial dos elétronspode ser escrita em termos do potencial eletrostático phi:

. (38)

A equação de Poisson que comanda o perfil do potencial eletrostático, em uma dimensão,tem a forma;

, (39)a

onde as densidades de elétrons e íons foram normalizadas a densidade de equilíbrio no; eisporquê a densidade fixa de íons aparece como um "1".

A partir disto, usando a função n(x) dada em (37) para os elétrons, governados por (38),

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, (39)b

o que pode ser escrito de forma consideravelmente mais simples se utilizarmos as seguintesnormalizações adicionais à da densidade;

; (40)

. (41)

A equação (41) é uma das primeiras equações não lineares a terem um papel relevante emfísica de plasmas e sistemas carregados. Suas soluções não possuem representação analíticasimples em termos de funções elementares e o que faremos a seguir será estudar dois regimesdistintos: (i) o regime linear, que ocorre quando phi_dimensional<<kappa T, e (ii) o regimealtamente não linear, que ocorre no limite inverso; phi_dimensional >>kappa T.

Se phi<<1 (41) pode ser aproximada por

, (42)

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o que tem como solução phi(x)=Aex+Be-x, com A,B constantes de integração cujos valoressão determinados pelas condições de contorno. Imaginando um eletrodo em x=0 suportandouma voltagem V e outro eletrodo colocado em x tendendo a +infinito, a solução fisicamenterealizável (não divergente para x>0) assume então a forma:

. (43)

Em x=1 o valor do potencial cai a aproximadamente 1/3 de seu valor inicial V. Este ponto,x=1 é chamado de comprimento de Debye: potenciais eletrostáticos são blindados a partirdeste ponto pelas cargas móveis do plasma. Em termos dimensionais, por (40), x=1 equivalea:

. (44)

A figura acima mostra o que acontece nos regimes lineares: um leve potencial negativo,como exemplificado, causa uma leve depleção de cargas negativas, deixando "descoberta"uma pequena quantidade de cargas positivas que blindam a penetração do potencial negativopara dentro do plasma.

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Ao estudar regimes altamente não lineares, as aproximações que conduzem a (42) não sãomais possíveis. Ainda assim, alguma informação de caráter semi-quantitativo pode ser obtidada equação original (41). Multipliquemos (41) por dphi/dx em ambos os lados:

, (45)

de onde concluímos:

. (46)

Em outras palavras, o que se demonstra é que a equação (41) admite uma integral primeira,(46), que nada mais é do que a conservação de energia associada ao "oscilador não-linearindependente do tempo" com a qual (41) pode ser correlacionada. A "energia potencial" U-tiltem o seguinte aspecto:

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Uma condição inicial arbitrária (bola preta) só atingirá assintóticamente a posição deequilíbrio phi=0 se a constante presente em (46) satisfizer a condição Const=-1, e se aderivada inicial dphi/dx tiver o sinal correto - neste caso, o sinal positivo. Agora, sephi_inicial for muito grande e negativo, -phi>>1 o que vai acontecer é que

, (47)

o que nos informa que próximo eletrodo com potencial grande e negativo, há uma rarefação,ou depleção total de elétrons, com a derivada da densidade eletrônica também tendendo azero. Tudo isto pode ser visualizado na próxima figura:

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;

A situação real é representada pela figura de cima, mas nossa modelagem será guiada peloaproximação representada pela figura abaixo - uma função degrau para a densidadeeletrônica. Nossa tarefa, no caso não linear, é a de calcular o comprimento de Debye não-linear l.

Pois com o modelo da figura acima, começamos integrando a equação de Poisson (39)arelembrando que com nossas normalizações, a densidade de elétrons vale 0 se 0<x<l e vale 1se l<x<L. Já a densidade dos íons vale 1 sempre:

. (48)

Sabemos que em x=0, phi=Vo, o que nos informa B=Vo. Sabemos também que para xtendendo para +infinito, phi permanece finito, com valor V1, o que nos indica C=0 e D=V1.Em x=l as duas expressões acima para phi devem coincidir e suas derivadas também, o quenos conduz a:

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, (49)

de onde concluímos A=+l, e:

(50)

o que finalmente fornece uma relação entre a diferença de potencial e o comprimento deDebye não-linear:

, (51)

o quê, em variáveis dimensionais (ver (40)) finalmente gera a relação:

. (52)

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Notem que o comprimento de depleção (Debye não linear) não depende mais datemperatura, o que era característico do caso linear. Agora l depende da diferença depotencial, ou amplitude do campo, o que caracteriza de fato o regime não linear. Controlandodelta V, podemos controlar o tamanho da região de rarefação dos condutores do sistema.Como usar este interessante fato? Ora, construindo transistores, como veremos a seguir.

O transistor FET:

Pois o FET,falando genéricamente, é um semicondutor dopado com uma boa densidade deportadores majoritários de carga. Imaginem então que os majoritários sejam elétrons. Entãoestamos em face de um sistema similar a um plasma: um fluído eletrônico se deslocandosobre um fundo iónico positivo fixo. Com isto em mente, a configuração genérico de umFET segue abaixo:

Ao longo do corpo do FET, há um potencial phi(x) cujos valores de contorno são osseguintes: phi(x=0)=0 e phi(x=L)=V1. Para cada ponto x, a diferença de voltagem phi(x)-Vocontrola uma camada de depleção que aumenta a medida que a diferença de voltagemaumenta. Portanto, na região da extrema esquerda, próxima a x=0, a depleção é menor, poislá o delta V é pequeno e dado essencialmente por delta V(x=0)=0-(-|Vo|)=|Vo|. Já na regiãoda direita, próxima a x=L, a depleção é maior, pois lá a voltagem é dada por delta V(x=L)=V1-(.-|Vo|)=V1+|Vo|>|Vo|, onde V1>0. O FET é pois um dispositivo controlado de

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transporte de corrente. A voltagem de controle é phi(x)-Vo e a voltagem de transporte é V1.O interessante é que se aumentarmos V1, e portanto também phi(x), a voltagem de transporteaumenta, mas também aumenta a voltagem de controle. Por um lado a corrente tende aaumentar pelo aumento da voltagem de transporte, mas por outro a voltagem de controleengargala os portadores de carga perto de x=L, diminuindo seu número efetivo e dificultandoassim a existência de corrente. Este mecanismo leva a saturação de corrente, como veremos aseguir.

Suponhamos que enquanto houver condutores disponíveis, a densidade de corrente se escrevana forma ohmica:

, (53)

onde sigma é a condutividade do meio. Observando a figura acima, a corrente total seráessencialmente dada por

, (54)

onde D é uma medida da dimensão transversal do dispositivo.

Integremos (54) de x=0 a L, lembrando que para estados estacionários, a corrente total Ideve ser constante ao longo do transistor:

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, (55)

o que finalmente nos fornece:

. (56)

Daqui tiramos a voltagem crítica Vc que acontece quando atingimos a região de saturação emum gráfico Volt-Ampére do tipo I x V1, de acordo com a condição dI/dV|Vc=0.

. (57)

Notem que quando V1=V1,c, a relação (52) de pronto nos informa que l=D. Ou seja, asaturação ocorre porque a região ativa de transporte de cargas "engargala" no extremo direitodo FET indicado no desenho. Uma curva de saturação típica segue abaixo:

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.

Certifiquem-se de que o comportamento inicial (para V1 muito pequeno) é de fato linear.Tracem várias curvas, uma para cada valor da voltagem de controle Vo<0. Notem que omodelo funciona até, e não mais do que a saturação. A partir daí precisaríamos de modelosmais refinados - dentro de nosso modelo, para V1>V1,c não teríamos mais um canaleletrônico e não teríamos mais corrente.

Movimento de partículas em campos eletromagnéticosexternos

Consideremos inicialmente um campo magnético homogêneo e constante cuja orientaçãopode sem problema algum ser alinhada com o eixo z de um sistema de referência. Adecomposição e definições dos vetores relevantes segue o esquema abaixo:

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;

quantidades com sub-índice z denotam componentes paralelas ao campo externo, enquantoquantidades com sub-índice "perpendicular" denotam componente ortogonais ao campo. Nafigura foi representada a posição de uma partícula - vale o mesmo esquema para suavelocidade.

A equação que governa o movimento de uma partícula de carga q é a lei de força de Lorentz:

(58)

Com o auxílio da figura anterior, e notando que produtos vetoriais envolvendo B devemnecessáriamente ser ortogonais a ele, (58) pode ser escrita como o par

. (59)

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A primeira equação indica movimento uniforme ao longo do campo. Relembrando a admitidaconstância do campo, a segunda equação pode ser integrada uma vez no tempo para geraruma integral primeira na forma:

, (60)

onde C é um vetor constante apoiado no plano perpendicular x,y. Passa então a serconveniente a introdução de uma nova representação para o vetor C:

, (61)

onde o novo vetor Ro_perp pode ser obtido através da seguinte operação:

(62)

que, através da identidade vetorial Ax(BxC)=B(A.C)-C(A.B), nos conduz à expressão:

. (63)

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A conveniência da expressão (61) é que ela permite que (60) seja representável de formamais sugestiva:

. (64)

O vetor rL é chamado de vetor raio de Larmor e mede a posição da partícula em relação aoponto fixo Rperp,o. O mais notável é que tomando o produto escalar dos dois lados de (64)com o próprio rL, mostramos imediatamente que drL

2/dt=0, para o quê devemos mais umavez notar que o produto vetorial envolvendo rL é ortogonal a ele mesmo; ou seja, amagnitude do vetor raio de Larmor, que podemos chamar simplesmente de rL, não varia como tempo! Conclusão: a partícula pode no máximo girar em torno de Rperp,o, mantendo o raiode giro fixo.

Nossa tarefa agora é a de calcular como rl gira em torno de seu centro de giro Rperp,o. Paratanto, notemos que podemos escrever:

(65)

onde r-chapéu indica um versor unitário na direção radial, pois o módulo rL é fixo! Agoraexaminem o pequena esquema vetorial abaixo:

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(d(theta) suposto positivo no sentido anti-horário).Tal esquema, que vale para pequenosintervalos dt, associados a pequenos ângulos de rotação d(theta), permitem concluir que

, (66)

o quê, substituído em (64), e associado ao fato de que , finalmente revela aseguinte relação para a velocidade angular de movimento da partícula em torno do centro degiro:

. (67)

Não deixem de notar o sinal negativo na expressão acima. Partículas com q>0 giram nosentido horário (negativo) e vice-versa para partículas com carga q<0. A freqüência OmegaBé a assim chamada freqüência de cíclotron, ou freqüência de Larmor.

E se tivermos um campo elétrico E constante também aplicado ao sistema? A força deLorentz

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, (68)

pode ser decomposta em componenentes paralela e perpendicular na forma:

, (69)

onde mais uma vez lembramos que produtos vetoriais envolvendo B residem necessáriamenteno plano ortogonal a este.

A primeira equação em (69) admite uma solução na forma vz=qEzt+vzo, o que indicaaceleração uniforme ao longo de z. Já a segunda equação (69) admite uma soluçãoestacionaria dvperp/dt=0 na seguinte forma:

, (70)

onde mais uma vez usamos a identidade vetorial envolvendo o produto vetorial duplo. Notementão que há um movimento de deriva ("drift") chamado "cross-field drift". O movimentotem velocidade perpendicular constante, e é independente de massas e cargas. No caso geral,integremos a segunda equação (69) uma vez no tempo para produzirmos uma integral

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primeira na forma:

. (71)

A seguir reescrevamos rperp na forma alternativa:

, (72)

com o quê a equação (71) pode ser reescrita como:

. (73)

A partir deste ponto, podemos refazer os cálculos que nos conduziram de (60) a (64), com aconstante C substituída por C', e com

, (74)

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para obter de (72), (73) e (74) a seguinte expressão para a posição perpendicular da partícula:

. (75)

Rperp,o continua sendo dado por (63) e denota a posição do centro de giro não perturbadapelo campo elétrico e rL continua sendo o vetor raio de Larmor determinado por (64). Nossaconclusão é a de que o movimento completo é uma rotação com a freqüência de Larmor, emtorno de um centro de giro Rperp que se desloca no tempo, também sendo submetido a umreposicionamento estático devido ao campo elétrico.

. (76)

Notem o efeito de polarização adicional ao movimento de deriva (onde está a polarização?).

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