o problema de otimizaÇÃo para um modelo escalar de remodelaÇÃo Óssea usando potenciais...

O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO PARA UM MODELO O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO PARA UM MODELO ESCALAR DE REMODELAÇÃO ÓSSEA USANDO ESCALAR DE REMODELAÇÃO ÓSSEA USANDO

POTENCIAIS TERMODINÂMICOS GENERALIZADOSPOTENCIAIS TERMODINÂMICOS GENERALIZADOS

Flavia Viviani Tormena

IX Semana do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia.

Orientadora: Prof. Dra. Mildred Ballin Hecke

Figura do material de aula – Prof. José Simões

2

Apresentar um modelo proposto para descrever o Apresentar um modelo proposto para descrever o processo de remodelação óssea baseado em processo de remodelação óssea baseado em Princípios da Termodinâmica. Princípios da Termodinâmica.

Apresentar um exemplo bem simples de um Apresentar um exemplo bem simples de um problema unidimensional, que considera uma problema unidimensional, que considera uma trabécula óssea como se fosse uma barra sujeita à trabécula óssea como se fosse uma barra sujeita à tração.tração.

Mostrar o exemplo com as variáveis internas Mostrar o exemplo com as variáveis internas escalares para a perda (microfissuração, perda óssea) escalares para a perda (microfissuração, perda óssea) e o ganho (formação, reparação óssea) da integridade e o ganho (formação, reparação óssea) da integridade mecânica do osso com foco nas forças mecânica do osso com foco nas forças termodinâmicas.termodinâmicas.

Objetivos

3

OOs mecanismos regulatórios da remodelação óssea s mecanismos regulatórios da remodelação óssea ainda não estão completamente compreendidos: é ainda não estão completamente compreendidos: é preciso determinar o exato estímulo mecânico que preciso determinar o exato estímulo mecânico que causa resposta nas células mecano-sensitivas.causa resposta nas células mecano-sensitivas.

Consenso em torno da idéia de que a remodelação Consenso em torno da idéia de que a remodelação óssea não é só um processo de adaptação ao óssea não é só um processo de adaptação ao carregamento externo aplicado, mas também é uma carregamento externo aplicado, mas também é uma conseqüência de um processo de remoção do dano.conseqüência de um processo de remoção do dano.

Definições

4

IInter-relação entre carregamento de fadiga, acúmulo nter-relação entre carregamento de fadiga, acúmulo de microdano, remodelação, reparação da matriz óssea de microdano, remodelação, reparação da matriz óssea e fraturae fratura

Definições

Acúmulo de dano- início da fratura

- crescimento da fratura

Remodelamento

Reparação da matriz

Cavidade de reabsorção

Fratura

Tensão limiteDetecção celular

Tensão limite

Figura 1- Esquema das relações entre microdano, remodelamento ósseo e fratura. Fonte: Sahar et al., 2005

5

Um modelo de remodelação óssea deve ser capaz Um modelo de remodelação óssea deve ser capaz de descrever o comportamento do osso ao longo do de descrever o comportamento do osso ao longo do tempo, acoplando ações de reabsorção e de formação tempo, acoplando ações de reabsorção e de formação óssea, na presença de um estímulo.óssea, na presença de um estímulo.

Descrição da Lei da remodelação pela adaptação da Descrição da Lei da remodelação pela adaptação da teoria da elasto-plasticidade que utiliza conceitos da teoria da elasto-plasticidade que utiliza conceitos da Análise Convexa e da Termodinâmica. Análise Convexa e da Termodinâmica.

Define-se dois potenciais termodinâmicos, uma Define-se dois potenciais termodinâmicos, uma função de energia e uma função de dissipação e as função de energia e uma função de dissipação e as relações constitutivas e equações de balanço são relações constitutivas e equações de balanço são derivadas diretamente da primeira lei e da segunda lei derivadas diretamente da primeira lei e da segunda lei da termodinâmica, utilizando esses potenciais.da termodinâmica, utilizando esses potenciais.

Modelo de Remodelação

6

Equações Constitutivas em TaxasEquações Constitutivas em Taxas


7


8

Equações Constitutivas em IncrementosEquações Constitutivas em Incrementos

Tttttttttt NNNnnn 12112100

Consideração do intervalo de tempoConsideração do intervalo de tempo

Aplica-se um Método de Euler regressivo considerandoAplica-se um Método de Euler regressivo considerando


9

No final de cada passo de tempo as relações constitutivas a seguir No final de cada passo de tempo as relações constitutivas a seguir devem ser satisfeitasdevem ser satisfeitas

O problema de complementaridade não-linear é definido por:O problema de complementaridade não-linear é definido por:


10

Definição do comportamento linear da variáveis Definição do comportamento linear da variáveis internasinternas

Considerações: variáveis internas

Figura 2- Curvas de carga - deslocamento para o osso cortical umeral humano de três doadores. Fonte: Yang et al., 2006

reta r

11

Densidade de Energia Livre de Helmholtz:Densidade de Energia Livre de Helmholtz:

Exemplo unidimensional

Figura 3 – Barra que simula uma trabécula óssea

12

Fase inicial: material íntegroFase inicial: material íntegro

Figura 4 – Diagrama tensão - deformação para o material na fase inicial

Na formulação:Na formulação:


13

Fase de perda de rigidezFase de perda de rigidez

Figura 5 – Diagrama tensão - deformação para o material na fase de perda de rigidez



14

Figura 6 – Diagrama tensão – força termodinâmica para o material na fase de perda de rigidez

Região das forças termodinâmicas admissíveisRegião das forças termodinâmicas admissíveis


15

Fase de ganho de rigidezFase de ganho de rigidez

Figura 7 – Diagrama tensão - deformação para o material na fase de ganho de rigidez



16

Figura 8 – Diagrama tensão – força termodinâmica para o material na fase de ganho de rigidez



17

Fase de perda e ganho de rigidez no mesmo passo de tempoFase de perda e ganho de rigidez no mesmo passo de tempo



18Figura 9 – Diagrama tensão – forças termodinâmicas para o material na fase de perda

e ganho de rigidez simultâneos



19

Solução do problema:Solução do problema:Para a barra do exemplo:Para a barra do exemplo:

Aplicando-se a transformada de Legendre-Fenchel:Aplicando-se a transformada de Legendre-Fenchel:


20

Problema de complementaridade não-linear:Problema de complementaridade não-linear:


21

Barbero, E. J., Greco, F., Lonetti, P., 2005. Continuum damage-healing mechanics with application to self-healing composites. International Journal of Damage Mechanics, v.14, pp.51-81.

Burr, D.B., Martin, R.B., Schaffler, M.B., Radin, E.L., 1985. Bone remodeling in response to in vivo fatigue microdamage. Journal of Biomechanics, vol.18, n.3 , pp. 189–200.

Doblaré, M., García, J. M., 2002. Anisotropic bone remodelling model based on a continuum damage-repair theory. Journal of Biomechanics, v. 35, pp.1-17.

Doblaré, M., García, J. M., Gómez, M. J., 2004. Modelling bone tissue fracture and healing: a review. Engineering Fracture Mechanics, v. 71, pp.1809-1840.

Einav I., Houlsby G. T., Nguyen G. D., 2007. Coupled damage and plasticity models derived from energy and dissipation potentials. International Journal of Solids and Structures, v.44, pp.2487-2508.

Referências

22

Hecke, M.B. et al., 2008. A bone remodeling constitutive model using mathematical programming. Internacional Conference on Engineering Optimization. Anais do congresso, Rio de Janeiro.

McNamara, L. M., Prendergast, P. J., 2007. Bone remodelling algorithms incorporating both strain and microdamage stimuli. Journal of Biomechanics, v.40, pp.1381-1391.

Mori, S., Burr, D.B., 1993. Increased intracortical remodeling following fatigue damage. Bone, vol. 14, pp. 103–109.

Sahar N. D., Hong S., Kohn, D .H., 2005. Micro- and nano-structural analyses of damage in bone. Micron, v. 36, pp.617–629.

Verna, C. et al., 2004. Microcracks in the alveolar bone following orthodontic tooth movement. a morphological and morphometric study. European Journal of Orthodonty, v. 26, pp. 459-467.

Yang, Q. D., Cox, B.N., Nalla, R.K., Ritchie, R.O., 2006. Fracture length scales in human cortical bone: the necessity of nonlinear fracture models. Biomaterials, v. 27, pp.2095–113.

Referências

o problema de otimizaÇÃo para um modelo escalar de remodelaÇÃo Óssea usando potenciais...

Documents