o homem que só sabia multiplicar e dividir por dois
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O homem que só sabia multiplicar e dividir por dois. (A multiplicação dos camponeses russos). Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ / USS / PEDRO II. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Prof. Ilydio Pereira de Sá - Práticas Pedagógicas
O homem que só sabia multiplicar O homem que só sabia multiplicar e dividir por dois.e dividir por dois.
(A multiplicação dos camponeses russos)(A multiplicação dos camponeses russos)
Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ / USS / PEDRO II
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Certa vez, li num artigo da Internet, que um professor havia encontrado um aluno que só sabia multiplicar e dividir por 2 e que, mesmo assim, conseguia resolver (e até com certa rapidez) todas as multiplicações envolvendo dois
números naturais, até mesmo com números bem grandes.
No artigo mostrava que ele procedia da seguinte maneira. Por exemplo, se ele queria multiplicar 85 por 42, ele fazia da seguinte maneira:
1. Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando uma delas pelo 85 e a outra pelo 42.
2. Enquanto ia dividindo os números da coluna da esquerda por dois, abandonando os “quebrados”, se fosse o caso, ia multiplicando os números da coluna da direita por 2.
3. Em seguida, abandonava todas as linhas da tabela, cujos números da esquerda eram PARES.
4. Finalmente, somava todos os números da segunda coluna que haviam sobrado. Era o resultado da multiplicação.
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Veja como ele fez
85 42
42 84
21 168
10 336
5 672
21344
12688
“ABANDONA”
85 42
21 168
5 672
12688
Então, para obter o resultado de 85 x 42 ele agora somava 42 + 168 + 672 + 2688 = 3570 (verifique !). Faça outros exemplos e veja que SEMPRE vai dar certo.
Verifiquei, através de pesquisas, que o processo usado por esse aluno, tratava-se de uma técnica usada pelos antigos camponeses Russos. Um método muito eficiente e que facilita bastante o cálculo mental, já que só lida com dobros, metades e somas. Mas qual será a justificativa desse método???
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Vamos supor que você tenha 8 notas de 5 reais...
É fácil perceber que teríamos a mesma quantia com metade das notas, mas do dobro do valor, ou seja:
8 x 5 reais ou
4 x 10 reais
Ou ainda 2 notas de 20 reais.
Portanto...
8 x 5
4 x 10
2 x 20
: 2
: 2
x 2
x 2
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Então, se desejarmos multiplicar 32 x 17, poderemos imaginar que são 32 grupos de 13 objetos cada um.
GRUPOS OBJETOS
32 17
16 34
8 68
4 136
2 272
1 544
Então 32 x 17 = 544
Nesse caso foi bem fácil, pois 32 é uma potência de 2 e, dessa forma, será sempre possível as sucessivas divisões por 2. Vejamos então um caso em que isso não acontece...
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Vejamos então o produto de 42 por 17. Vamos imaginar 42 grupos, de 17 objetos cada um.
GRUPOS OBJETOS
42 17
21 34Como 21 não é divisível por 2, vamos considerar 20 grupos de 34 objetos e guardar 1 grupo de 34 objetos 10 68
5 136Novamente, como 5 não é divisível por 2, consideramos 4 grupos de 136 objetos e guardamos 1 grupo de 136 objetos.
2 272
1 544
Logo, o resultado de 42 x 17 será igual a 544 mais os dois grupos que havíamos guardado antes, ou seja, 544 + 34 + 136, o que é igual a 714. (confira!)
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Vamos fazer mais um exemplo e resumir a regra da multiplicação russa. Vamos multiplicar 71 por 43.
71 43 1) Vamos dividindo por dois os números da esquerda. Quando a divisão não for exata, consideramos apenas a parte inteira. Pararemos sempre no número 1.
2) Ao mesmo tempo, vamos multiplicando por 2 os números da direita.
3) Somamos todos os números da direita, que tenham à esquerda um número ímpar. Vamos completar agora o exemplo, seguindo a regra.
35 86
17 172
8 344
4 688
2 1376
1 2752
Logo, 71 x 43 = 43 + 86 + 172 + 2752 = 3053
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Métodos como esse, da multiplicação feita pelos camponeses Russos é que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação Matemática – a Etnomatemática.
A Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento matemático existente em distintos grupos sociais e etnias, tem como um de seus maiores estudiosos o emérito professor brasileiro Dr. Ubiratan D’Ambrósio