o guia completo para quem não é c.d.f. - cálculo - w. michael kelley

www.altabooks.com.br

ISBN 978-85-7608-747-2

Passe em clculo com boas notas! claro que voc no bobo. H um monte de coisas em que voc bom mas com certeza clculo no uma delas. Bastam alguns probleminhas cheios de frmulas para voc se dar conta de que chegou ao seu limite matemtico...

Busque ajuda nas pginas de O Guia Completo para Quem No C.D.F. Clculo e entenda todos os conceitos que confundem voc. Neste livro, voc encontra:

Uma seo de reviso abrangente que vai prepar-lo para enfrentar o clculo.

Explicaes sensatas sobre equaes diferenciais, sequncias e sries.

Dezenas de problemas prticos e suas solues.

Toneladas de ilustraes e grficos para ajudar.

Um glossrio muito til que define termos matemticos em uma linguagem amigvel para os mortais.

Exemplos do uso do clculo no cotidiano fceis de entender.

xy

W. Michael Kelley um professor de clculo contemplado com prmio e autor de seis livros de matemtica. Kelley foi premiado pelo

Conselho de Professores de Matemtica da University of Maryland, sendo reconhecido como um professor de matemtica notvel, alm de ter sido nomeado o professor mais popular por quatro anos consecutivos em sua escola. Tambm foi fundador e o editor do site calculus-help.com.

ClculoTraduo da 2 Edio

W. Michael Kelley

O Guia Completo para Quem

No C.D.F.Clculo

No tema mais o clculo.

Recapitule os pr-requisitos do clculo: lgebra e trigonometria.

Explore o reino dos limites e continuidade.

Domine as tcnicas bsicas para derivadas: regra da potncia, do produto, do quociente e da cadeia.

Encontre equaes de linhas tangentes.

Descubra a relao entre as funes e suas derivadas.

Calcule reas sob uma curva e entre duas curvas.

Teste seus conhecimentos com os testes de convergncia de sries infinitas.

Desvende os mistrios das sries de potncia, de Taylor e de Maclaurin.

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Traduo

da 2 Edio

Voc no encontrar companhia mais amigvel como complemento para o seu livro mais rigoroso.

Danica McKellar, atriz, bacharel em Matemtica Pura com meno honrosa Summa Cum Laude pela

University of California

Entenda facilmente as aulas com explicaes infalveis e diversos problemas para praticar

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Sobre a Segunda EdioAcredite ou no, voc tem em suas mos uma raridade, um livro cuja segunda edio substancialmente diferente da primeira. Eu no o culparia por ser ctico em relao a essa afirmao, j que novas edies de livros acadmicos so lanadas o tempo todo e, quando comparamos as verses, as nicas diferenas bvias so as promessas ousadas na capa: Edio novinha em folha! Totalmente mais informativa do que a edio passada, com a garantia de no deixar ningum tomar bomba em clculo!.

Este livro no assim. A mudana mais bvia a adio de um novo captulo Captulo 25, Teste Final. Basicamente, o captulo traz pelo menos um exerccio prtico extra ligado a cada um dos problemas j explicitados no decorrer do livro (nos quadros Voc Tem Problemas). Portanto, voc tem agora o dobro de exerccios prticos para se tornar um perito em clculo.

Tambm revisei os diagramas do livro. As publicaes sobre matemtica mudaram significativamente em poucos anos, desde o lanamento da primeira edio. Naquela poca, eu fiz os grficos e as ilustraes em um papel e tive a esperana de que um artista grfico pudesse entender o que eu tentava comunicar. Hoje em dia, eu mesmo posso criar as ilustraes eletronicamente, garantindo a sua preciso e confiabilidade. Pode me chamar de chato, mas eu decidi refazer quase 75% das ilustraes originais, tornando cada uma delas mais clara e precisa.

Falando em clareza, eu reli cuidadosamente todo o contedo e o editei com rigor. Ainda que a primeira edio tenha vendido muito bem, foi um dos primeiros livros que escrevi, e precisava de melhorias e reparos. Por exemplo, nunca me senti completamente seguro a respeito das sesses sobre regra da cadeia e substituio u na primeira edio; pareciam desajeitadas e muito resumidas. Tive a oportunidade de reconsider-las nesta edio e deix-las do jeito que sempre quis. Grande parte das outras sesses tambm sofreu cirurgias plsticas leves e moderadas em extenses menores. (Mas no deixei cicatrizes, fui bem delicado.)

Enfim, esta uma segunda edio da qual me orgulho, e espero que voc a considere til em sua pesquisa no campo do clculo. Sinta-se vontade para se fazer ouvir atravs do meu site (www.calculus-help.com) via e-mail, seja l qual for a sua opinio. A opinio dos leitores teve papel fundamental na reforma deste livro, e estou ansioso para escutar o que voc tem a dizer.

Seu colega da matemtica,

W. Michael Kelley.

Sobre o autorW. Michael Kelley um professor de matemtica ganhador de prmios do condado de Calvert, Maryland. Ele se formou em matemtica no St. Marys College em 1994 com dois objetivos em mente: (1) tornar a matemtica algo mais fcil para todos que cruzassem o seu caminho, e (2) aprender a se comunicar com guaxinins e se infiltrar em sua estrutura social complexa. Como os remdios para resfriado e gripe foram acabando, ele decidiu se ater ao primeiro objetivo apenas.

Durante seus sete anos como professor do Ensino Mdio, ele recebeu muitas honras e foi reconhecido como professor notvel por inmeras organizaes, inclusive pelo Conselho de Professores de Matemtica de Maryland. Porm, ele deu mais valor para a votao dos alunos: a de professor favorito a cada ano que ensinava clculo. Ou eles adoravam seu senso de humor excntrico ou o fato de ele passar menos lio de casa s sextas-feiras.

Kelley tambm lecionou em universidades, em alguns cursos de clculo. Na verdade, um de seus alunos lhe deu de presente uma camiseta com a frmula quadrtica, para agradec-lo por ter ensinado aquela frmula aos alunos por meio de uma msica que ele havia escrito. At hoje ele no sabe em que ocasio deve usar essa camiseta, mas achou essa atitude muito gentil.

Ele tambm mantm o site www.calculus-help.com, que tem sido elogiado por muitos, inclusive pela Associao Educacional Nacional e pelo Conselho Nacional de Professores de Matemtica. O site comeou como uma fonte para exerccios e ferramentas de clculo. Ele posta um novo problema a cada semana para ajudar aqueles que tm de lutar contra o monstro clculo. Se gostar deste livro ou tiver qualquer coisa a dizer sobre ele, mande um e-mail para Michael pelo site.

Michael escreveu a primeira edio deste livro em 2001, e logo se tornou um best-seller da srie no exterior, mesmo sendo o segundo livro dele. Cinco anos depois, j havia escrito mais seis livros, e no parou por a.

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Clculo

EmendaRG-TCIG-Calculus-Jan2013.indb 1 25/06/2013 10:25:18

Clculo

Traduo da 2 Ediopor W. Michael Kelley

Rio de Janeiro, 2013


Rua Viva Cludio, 291 Bairro Industrial do JacarCEP: 20970-031 Rio de Janeiro Tels.: 21 3278-8069/8419 Fax: 21 3277-1253

www.altabooks.com.br e-mail: [email protected]/altabooks www.twitter.com/alta_books

Translated from original The Complete Idiots Guide to Calculus 2006 by W. Michael Kelley. ISBN 978-1-59257-471-1. This transla-tion is published and sold by permission Peguin Group, the owner of all rights to publish and sell the same. PORTUGUESE language edition published by Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli, Copyright 2013 by Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli.

Todos os direitos reservados e protegidos por Lei. Nenhuma parte deste livro, sem autorizao prvia por escrito da editora, poder ser reproduzida ou transmitida.

Erratas: No site da editora relatamos, com a devida correo, qualquer erro encontrado em nossos livros. Procure pelo ttulo do livro.

Marcas Registradas: Todos os termos mencionados e reconhecidos como Marca Registrada e/ou Comercial so de responsabilidade de seus proprietrios. A Editora informa no estar associada a nenhum produto e/ou fornecedor apresentado no livro.

Impresso no Brasil

Vedada, nos termos da lei, a reproduo total ou parcial deste livro

O Guia Completo para Quem No C.D.F. Clculo, Traduo da 2a Edio Copyright 2013 da Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli. ISBN: 978-85-7608-747-2

Produo Editorial Editora Alta Books

Gerncia Editorial Anderson Vieira

Superviso de Texto Jaciara Lima

Superviso de Qualidade Editorial Sergio Luiz de Souza

Superviso Grfica & Editorial Angel Cabeza

Conselho de Qualidade Editorial Anderson Vieira Angel Cabeza Jaciara Lima Marco Aurlio Silva Natlia Gonalves Sergio Luiz de Souza

Editoria de Sries Claudia Braga Thi Alves

Equipe de Design Bruna Serrano Iuri Santos

Equipe Editorial Brenda Ramalho Cristiane Santos Daniel Siqueira Danilo Moura Evellyn Pacheco Juliana de Paulo Juliana Larissa Xavier Kellen Aires Licia Oliveira Livia Brazil Marcelo Vieira Milena Souza Paulo Camerino Pedro S

Vanessa Gomes Vinicius DamascenoTraduo Melina CastroReviso Gramatical Carla Ayres Patricia ChavesReviso Tcnica Paulo Srgio Costa Lino Mestre em Matemtica Pura Universidade Federal de So Carlos (UFSCar)

Diagramao Lcia QuaresmaMarketing e Promoo Daniel Schilklaper [email protected]

1 Edio, 2013


Sumrio Resumido

Parte 1: As Razes do Clculo 11 Afinal, o que Clculo? 3

Todos j ouviram falar sobre clculo, mas a maioria das pessoas no o reconheceria se topasse com ele por a.

2 Refine Suas Habilidades em lgebra 13Espane as teias de aranha e remova as traas que saltam para fora do seu livro de lgebra quando voc o abre.

3 Equaes, Relaes e Funes Essa No! 25Antes de se encontrar com o Senhor do clculo, voc ter de se encontrar com seus capangas.

4 Trigonometria: A ltima Parada Antes do Clculo 37 hora de entender exatamente, e de uma vez por todas, o que significa cosseno e por que ele no tem nada a ver com emprstimos.

Parte 2: Assentando as Bases do Clculo 535 Chegue ao Limite 55

Aprenda a aferir as intenes de uma funo ser que elas so sempre honestas?

6 Avaliando Limites Numericamente 65Como devo organizar o meu estudo em casa? Deveria levar uma hora!

7 Continuidade 77Garantindo uma caminhada agradvel pelo resto do curso.

8 O Quociente Diferencial 89Hora de conhecer o limite mais famoso de todos cara a cara. Faa um penteado ou algo assim.

Parte 3: A Derivada 999 Entendendo as Leis das Derivadas 101

Todas as regras e leis das derivadas em um delicioso banquete self-service!

10 Regras Gerais de Diferenciao 113As tarefas que voc teria de fazer diariamente se sua madrasta m fosse professora de matemtica.


vi O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

11 Usando Derivadas em Grficos 123Como colocar uma curva em seu grfico, ou por que os puritanos no curtiam clculo.

12 Derivadas e Movimento 135Introduo posio, velocidade, acelerao e gata Amendoim!

13 Aplicaes Comuns das Derivadas 143Os esquentadinhos do mundo das derivadas.

Parte 4: A Integral 15514 Aproximando reas 157

Se voc puder encontrar a rea de um retngulo, voc est no jogo.

15 Antiderivadas 167Assim que estiver craque em dirigir, hora de dar marcha r e ver o que acontece.

16 Aplicaes do Teorema Fundamental 177Voc pode fazer tanto com algo to simples como integrais definidos que vai se sentir um Bill Gates da matemtica.

17 Dicas de Integrao para Fraes 187Voc ter de integrar fraes at cansar, ento bom que se entenda com elas j.

18 Mtodos Avanados de Integrao 197Evolua de aprendiz de integrao a mestre artesanal.

19 Aplicaes da Integrao 207Quem diria que grficos de rotao tridimensionais seriam to divertidos?

Parte 5: Equaes Diferenciais, Sequncias, Sries e Saudaes 219

20 Equaes Diferenciais 221Exatamente como as equaes normais, mas com um recheio cremoso.

21 Visualizando Equaes Diferenciais 231O que poderia ser mais divertido do que desenhar um monte de segmentos lineares pequenininhos?


viiSumrio Resumido

22 Sequncias e Sries 243Se uma lista infinitamente grande de nmeros no for empolgante o bastante, tente som-los!

23 Testes de Convergncia de Sries Infinitas 251Ser que voc vai mesmo chegar a algum lugar com aquela lista enorme?

24 Sries Especiais 263Sries que acham que so funes ( acho que j vi isso na TV).

25 Teste Final 275Quanto o seu crebro absorveu? Voc est craque em clculo? Prepare-se para testar seus conhecimentos.

Apndices A Respostas de Voc Tem Problemas 293

B Glossrio 319

ndice 331


Sumrio

Parte 1: As Razes do Clculo 11 Afinal, o que Clculo? 3

Qual o Propsito do Clculo? ............................................................. 4Determinando a Inclinao das Curvas ........................................................4Calculando a rea de Formas Bizarras .........................................................4Justificando Velhas Frmulas .........................................................................5Calculando Razes Complicadas .....................................................................5Visualizando Grficos ......................................................................................5Encontrando o Valor Mdio de uma Funo ................................................5Calculando Valores timos .............................................................................6

Quem o Responsvel por Isso? ........................................................... 7Influncias do Passado .....................................................................................7Newton vs. Leibniz ............................................................................................9

Ser que Vou Aprender Isso um Dia? ................................................. 11

2 Refine Suas Habilidades em lgebra 13Andando na Linha: Equaes Lineares ............................................... 14

Formas Comuns de Equaes Lineares ........................................................14Calculando a Inclinao ................................................................................16

Voc Tem o Poder: Regras Exponenciais ........................................... 17A Separao Difcil: Fatorao de Polinmios ............................... 19

Mximo Divisor Comum ................................................................................20Modelos Especiais de Fatorao ...................................................................20

Resolvendo Equaes Quadrticas ...................................................... 21Primeiro Mtodo: Fatorao .........................................................................21Segundo Mtodo: Completando o Quadrado ..............................................22Terceiro Mtodo: A Frmula Quadrtica ....................................................23

3 Equaes, Relaes e Funes Essa No! 25Como Se Comporta uma Funo? ...................................................... 26Simetria Funcional .............................................................................. 28Grficos para Saber de Cor .................................................................. 30Construindo uma Funo Inversa ....................................................... 31Equaes Paramtricas ........................................................................ 33

O que um Parmetro? .................................................................................33Converso para a Forma Retangular ..........................................................33


x O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

4 Trigonometria: A ltima Parada Antes do Clculo 37Tornando-se Repetitivo: Funes Peridicas .................................... 38Introduo s Funes Trigonomtricas ........................................... 39

Seno (y = sen x) ................................................................................................39Cosseno (y = cos x) ..........................................................................................39Tangente (y = tan x) .......................................................................................40Cotangente (y = cot x) ....................................................................................41Secante (y = sec x) ...........................................................................................42Cossecante (escrita como y = csc x) .............................................................43

Qual o Seno: O Crculo Unitrio ....................................................... 44Identidades Incrivelmente Importantes ............................................ 46

Identidades Pitagricas .................................................................................47Frmulas de Duplo ngulo ............................................................................49

Resolvendo Equaes Trigonomtricas ............................................. 50

Parte 2: Assentando as Bases do Clculo 535 Chegue ao Limite 55

O que Limite? ..................................................................................... 56Pode Alguma Coisa Ser Nada? ............................................................. 57Limites Laterais .................................................................................... 58Quando Existe um Limite? ................................................................... 60Quando No Existe um Limite? ........................................................... 61

6 Avaliando Limites Numericamente 65Os Principais Mtodos .......................................................................... 66

Mtodo da Substituio .................................................................................66Mtodo da Fatorao ......................................................................................67Mtodo da Conjugao ...................................................................................68E Se Nada Funcionar? ....................................................................................70

Limites e Infinito .................................................................................. 70Assntotas Verticais .......................................................................................71Assntotas Horizontais ...................................................................................72

Teoremas Especiais de Limite ............................................................. 74

7 Continuidade 77O que Continuidade? ......................................................................... 78A Definio Matemtica de Continuidade ......................................... 79Tipos de Descontinuidade ................................................................... 81

Descontinuidade por Saltos...........................................................................81Ponto de Descontinuidade ................................................................... 83

Descontinuidade Infinita/Essencial ............................................................84Descontinuidade Removvel e No-removvel .................................. 85Teorema do Valor Intermedirio ....................................................... 87


xiSumrio

8 O Quociente Diferencial 89Quando uma Secante Se Torna uma Tangente .................................. 90Querida, Encolhi o x ........................................................................... 91Aplicando o Quociente Diferencial ..................................................... 95O Quociente Diferencial Alternativo .................................................. 96

Parte 3: A Derivada 999 Entendendo as Leis das Derivadas 101

Quando Existe uma Derivada? .......................................................... 102Descontinuidade ...........................................................................................102Vrtice no Grfico .........................................................................................102Tangente Vertical .........................................................................................103

Tcnicas de Derivadas Bsicas .......................................................... 104A Regra da Potncia .....................................................................................104A Regra do Produto ......................................................................................105A Regra do Quociente ...................................................................................106A Regra da Cadeia ........................................................................................107

Taxas de Variao .............................................................................. 109Derivadas Trigonomtricas ............................................................... 111

10 Regras Gerais de Diferenciao 113Encontrando Equaes de Tangentes ............................................... 114Diferenciao Implcita ...................................................................... 115Diferenciando uma Funo Inversa .................................................. 117Derivadas de Funes Paramtricas ................................................. 120

11 Usando Derivadas em Grficos 123Extremos Relativos ............................................................................. 124

Encontrando Nmeros Crticos ..................................................................124Classificando Extremos ................................................................................125

O Grfico de Sinal ............................................................................... 127O Teorema do Valor Extremo ........................................................... 129Determinando a Concavidade ........................................................... 131

Outro Grfico de Sinal ..................................................................................132Teste da Segunda Derivada ........................................................................133

12 Derivadas e Movimento 135Equao de Posio ............................................................................ 136Velocidade ........................................................................................... 138Acelerao ........................................................................................... 139Movimento de Projteis ..................................................................... 140

13 Aplicaes Comuns das Derivadas 143Avaliando os Limites: Regra de LHpital ........................................ 144Outros Teoremas de Existncia ......................................................... 145


xii O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

Teorema do Valor Mdio .............................................................................146Teorema de Rolle ..........................................................................................148

Taxas Relacionadas ............................................................................ 148Otimizao .......................................................................................... 151

Parte 4: A Integral 15514 Aproximando reas 157

Somas de Riemann ............................................................................. 158Soma Direita e Esquerda .......................................................................159Soma Mdia ...................................................................................................161

Regra do Trapzio .............................................................................. 162Regra de Simpson ............................................................................... 165

15 Antiderivadas 167A Regra da Potncia para Integrao ............................................... 168Integrao de Funes Trigonomtricas ......................................... 170Teorema Fundamental do Clculo .................................................... 171

Parte I: reas e Integrais Relacionadas ....................................................171Parte II: Derivadas e Integrais So Opostas .............................................172

Substituio U ..................................................................................... 174

16 Aplicaes do Teorema Fundamental 177Calculando a rea entre Duas Curvas .............................................. 178O Teorema do Valor Mdio para Integrao ................................... 180

Uma Interpretao Geomtrica ..................................................................180Teorema do Valor Mdio .............................................................................182

Encontrando Distncias Percorridas ................................................ 183Funes de Acumulao..................................................................... 185

17 Dicas de Integrao para Fraes 187Separao ............................................................................................ 188Mgica da Substituio U e Diviso Longa ....................................... 189Integrando com Funes Trigonomtricas Inversas ...................... 191Completando o Quadrado .................................................................. 193Selecionando o Mtodo Correto ....................................................... 194

18 Mtodos Avanados de Integrao 197Integrao por Partes ........................................................................ 198

O Mtodo da Fora Bruta .............................................................................198O Mtodo Tabular .........................................................................................200

Integrao por Fraes Parciais ........................................................ 201Integrais Imprprias .......................................................................... 203


xiiiSumrio

19 Aplicaes da Integrao 207Volume de Slidos Rotacionais ......................................................... 208

O Mtodo do Disco ........................................................................................208O Mtodo da Rosquinha ...............................................................................211O Mtodo das Cascas Cilndricas ................................................................213

Comprimento do Arco ....................................................................... 215Equaes Retangulares ................................................................................215Equaes Paramtricas ................................................................................216

Parte 5: Equaes Diferenciais, Sequncias, Sries e Saudaes 219

20 Equaes Diferenciais 221Separao de Variveis ...................................................................... 222Tipos de Soluo ................................................................................. 223

Famlia de Solues ......................................................................................224Solues Especficas .....................................................................................224

Crescimento e Declnio Exponencial ................................................ 225

21 Visualizando Equaes Diferenciais 231Aproximao Linear ........................................................................... 232Campos de Direo ............................................................................. 234Mtodo de Euler ................................................................................. 237

22 Sequncias e Sries 243O que uma Sequncia? .................................................................... 244Convergncia da Sequncia ............................................................... 244O que uma Srie? ............................................................................. 245Srie Bsica Infinita ........................................................................... 247

Srie Geomtrica ...........................................................................................248Srie p .............................................................................................................249Srie Telescpica ...........................................................................................249

23 Testes de Convergncia de Sries Infinitas 251Que Teste Voc Usa? .......................................................................... 252Teste da Integral ................................................................................. 252Teste da Comparao ......................................................................... 253Teste da Comparao do Limite ........................................................ 255Teste da Razo .................................................................................... 257 Teste da Raiz ....................................................................................... 258Sries com Termos Negativos ........................................................... 259

Teste da Srie Alternada .............................................................................259Convergncia Absoluta ................................................................................261


xiv O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

24 Sries Especiais 263Sries de Potncia .............................................................................. 264

Raio de Convergncia ...................................................................................264Intervalo de Convergncia ..........................................................................267

Srie de Maclaurin ............................................................................. 268Srie de Taylor .................................................................................... 272

25 Teste Final 275

Apndices

A Respostas de Voc Tem Problemas 293B Glossrio 319 ndice 331


PrefcioEssa nova: um livro de clculo que no se leva muito a srio! Posso dizer honestamente que, em todos os meus anos de especialista em matemtica, nunca tinha visto um livro como este antes.

Meu nome Danica McKellar. Sou, antes de tudo, atriz e diretora de cinema (provavelmente mais reconhecida pelo meu papel como Winnie Cooper, em Anos Incrveis), mas h algum tempo decidi me desviar disso por quatro anos e me especializei em matemtica na University of California. Durante esses anos, tambm fui coautora de um novo teorema de matemtica e me tornei uma estudiosa reconhecida. O que posso dizer? Eu adoro matemtica!

Mas vamos encarar! Voc no comprou este livro porque adora matemtica. E no h nada de errado com isso. Na verdade, a maioria das pessoas no ama matemtica do jeito que eu amo... ou de qualquer outro jeito. Este livro no foi feito para os especialistas da rea que querem cada aspecto tcnico de cada conceito explicado a eles com riqueza de detalhes.

Foi feito para cada especialista em biologia que precisa passar por dois semestres de clculo para cumprir as exigncias da Universidade. Ou para cada aluno que sempre fugiu de frmulas matemticas como o diabo foge da cruz, mas que de repente tem de lidar com um livro inteiro cheio delas. Conheci um estudante que migrou de qumica para ingls para evitar clculo!

Kelley fornece explicaes que lhe do uma ideia geral dos conceitos de clculo e ento introduz ferramentas especficas (e truques!) para resolver alguns dos problemas rotineiros que voc pode encontrar nas aulas de clculo.

Pode respirar aliviado. O contedo deste livro no vai exigir de voc o que outros livros de clculo exigem. Achei as explicaes dadas aqui amigveis e casuais em geral. As definies no so sofisticadamente acuradas, mas trazem consigo a essncia do que afinal o seu livro de estudo tentava descrever com suas palavras matemticas difceis. Na verdade, no considero este um livro de estudo de forma alguma. Aqui voc vai encontrar uma conversa em forma de texto que segurar a sua mo, far piadas e o apresentar aos tpicos mais importantes necessrios para suas atuais aulas de clculo. O tom amigvel aqui utilizado uma ruptura com a natureza clnica dos outros livros de matemtica que j li.

E h tambm as ricas metforas de Michael Kelley que comparam funes lineares com as partes do corpo do Frankenstein. Bem, voc vai entender quando chegar l.

Meu conselho fazer a leitura desses captulos como uma introduo inofensiva aos conceitos bsicos do clculo e, depois, a ttulo de comparao, revisitar o seu livro de estudo. As explicaes do seu livro de estudo iro fazer mais sentido depois da leitura deste livro, e voc se sentir muito mais confiante e qualificado para apreciar os detalhes especficos exigidos em classe. Ento, voc poder controlar o nvel de detalhamento e crtica que voc quer, em termos de preciso matemtica, para o seu entendimento consultando seu livro de estudos, aquele que no amigvel.


xvi O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

Parabns por perseguir o nobre objetivo do clculo! E parabns por ser pr-ativo e comprar este livro. Voc no encontrar companhia mais amigvel como suplemento para o seu livro escolar mais rigoroso.

Boa sorte!

Danica McKellar Atriz, Bacharel em Matemtica Pura com meno honrosa Summa Cum Laude pela University of California.


IntroduoSejamos honestos. A maioria das pessoas quer aprender clculo tanto quanto quer levar um coice de uma mula no rosto. Geralmente, elas precisam fazer um curso porque exigido ou ento porque esto muito perto da mula, nessa ordem. Clculo maante, chato e nem mesmo lhe compra nada em seu aniversrio.

No que voc no tenha tentado entender clculo; voc at teve a ideia brilhante de tentar e leu o seu livro escolar. Foi uma piada e tanto. Voc teria mais chances de ganhar o prmio Nobel de Qumica do que entender uma palavra sequer. Talvez voc at tenha pedido ajuda a algum amigo seu, mas parecia que voc estava tentando se comunicar com um ndio. Vocs simplesmente no falavam a mesma lngua.

Voc gostaria que algum lhe explicasse as coisas em uma linguagem acessvel, mas l no fundo sabe que o dialeto do clculo vai voltar para assombr-lo. Voc tem de entend-lo para ser aprovado no curso e acha que no ir conseguir. Quer saber? Voc conseguir, sim.

As coisas nunca so to ruins quanto parecem. A mula no queria te dar aquele coice e, alm disso, eu conheo um timo cirurgio plstico. Tambm sei como clculo aterrorizante. A nica coisa mais assustadora do que aprender clculo ensinar clculo para 35 adolescentes em uma sala abafada e lotada antes do horrio do almoo. Eu lutei na linha de frente dessas trincheiras e sobrevivi para contar. Posso at contar a histria de um jeito que intrigue, divirta e ensine algo a voc.

Vamos viajar juntos por um tempo. Deixe-me gui-lo pela selva do clculo. J estive l antes e conheo o caminho de volta. Meu objetivo ensinar tudo o que voc precisa para sobreviver por conta prpria. Vou explicar tudo em uma linguagem simples e compreensvel. Sempre que resolver um problema, vou mostrar cada passo (at mesmo os mais simples), e vou dizer exatamente o que estou fazendo e o porqu. Depois, voc poder praticar sozinho, sem a minha orientao. Mas no tenha medo: eu lhe darei todas as respostas no final do livro.

No vou mentir para voc. Nem todos os problemas sero to fceis, mas no fim voc vai solucionar todos eles. Voc s precisa de um empurrozinho na direo certa e de algum que entenda como se sente. Com todas essas coisas no lugar, voc no encontrar problemas para dar um pontap nisso tudo. Bem, desculpe. Talvez tenha escolhido mal as palavras.

Como Este Livro Est OrganizadoEste livro dividido em cinco partes.

Na Parte 1, As razes do clculo, voc vai aprender por que o clculo til e quais habilidades ele adiciona ao seu repertrio matemtico. Voc tambm vai aprender um pouco de sua histria, que permeada por bastante controvrsia. Mas como eu sou um cara da Matemtica e no da Histria, vou entrar no assunto sem delongas. No entanto, antes de comearmos a discutir os conceitos de clculo,


xviii O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

vamos passar um tempo valioso revisando alguns conhecimentos de lgebra e trigonometria que so pr-requisitos.

Na Parte 2, Assentando as bases do clculo, voc vai colocar a mo na massa. o momento pelo qual esteve esperando. Certo? A maioria das pessoas considera clculo como o estudo das derivadas e integrais, mas ns no vamos falar sobre isso at a Parte 3. E olhe que no estou te atiando, hein?! Primeiro, temos que falar sobre limites e continuidade. So conceitos fundamentais que constituem o alicerce do clculo e, sem eles, as derivadas e integrais no existiriam.

Finalmente, vamos encontrar um dos maiores astros na Parte 3, A derivada. O nome diz tudo. Todas as suas perguntas sero respondidas, inclusive o que uma derivada, como ela encontrada, e o que devemos fazer quando damos de cara com uma delas em um beco escuro, noite (corra!). Voc tambm vai adquirir um monte de habilidades baseadas nas derivadas: construir grficos de funes que voc nunca viu, calcular com que rapidez as variveis mudam em determinadas funes e encontrar limites que j foram quase impossveis de calcular. Mas, calma, tem mais! Como algo chamado grfico de sinais pode ser nada mais do que um monte de sinais?

Na Parte 4, A integral, voc vai encontrar outra grande personalidade do clculo. Integrao quase a mesma coisa que diferenciao, mas ao contrrio. Intrigado? Voc vai aprender como a rea sob uma funo se relaciona com sua derivada inversa, chamada antiderivada. Tambm hora de introduzir o Teorema Fundamental do Clculo, que descreve de uma vez por todas como essas coisas malucas se relacionam. Voc vai descobrir que integrais so um pouco mais desagradveis do que derivadas, j que exigem o aprendizado de mais tcnicas e algumas delas so extremamente interessantes e (ser possvel?) at um pouco divertidas!

Agora que j conhecemos as personagens principais deste drama matemtico, o que estaria faltando? Na Parte 5, Equaes, sequncias e sries diferenciais e saudaes, voc vai conhecer o elenco de apoio. Embora seus papis sejam menores, o clculo no seria clculo sem eles. Voc vai fazer experimentos com equaes diferenciais usando campo de direo e o mtodo de Euler, duas tcnicas do clculo que se tornaram populares na ltima dcada (e voc pensando que o clculo era a mesma coisa desde o incio dos tempos...). Finalmente, voc vai brincar com sries infinitas; elas parecem quebra-cabeas com os quais voc brincava no jardim da infncia (Voc sabe dizer qual o prximo nmero nesse padro de sequncia?). Depois de tudo isso, voc far uma prova final que abordar todo o contedo do livro e praticar ainda mais!

ExtrasComo professor, eu vivia saindo pelas tangentes tudo o que eu falava me lembrava de outra coisa. Esses fragmentos paralelos tambm so abordados neste livro. A vai um guia para os quadros que voc vai encontrar pelas prximas pginas.


xixIntroduo

Embora eu v adverti-lo sobre as armadilhas e perigos

encontrados pelo livro, os alertas destes quadros merecem ateno especial. Pense neles como caveiras e ossos pintados em plaquinhas pelo seu caminho. Dar ateno a eles pode poupar horas de frustrao.

Alerta do Kelley

Voc Tem ProblemasA matemtica no um esporte para espectadores. Depois de discutirmos um tpico, explicarei como trabalhar com certo tipo de problema, e ento voc ter de tentar por voc mesmo. Os problemas que voc vai encontrar aqui sero bem parecidos com os que eu mencionarei nos captulos, mas ser a sua vez de brilhar. Ainda que as respostas estejam todas no Anexo A, voc s deve chec-las para confirmar seus resultados.

Essas notinhas, dicas e pensamentos vo dar assistncia, ensinar e divertir. Elas sempre adicionam algo ao tpico

em questo, seja por meio de conselhos, conhecimento ou apenas algo para amenizar um pouco o clima.

Ponto Crtico

O Clculo cheio de palavras e frases que soam loucas e nerds. Para se tornar o Nerd Rei ou Rainha da matemtica, voc ter de entender o que elas significam.

AgradecimentosMuitas pessoas me apoiaram, encorajaram e aturaram enquanto estava engajado na tarefa desafiadora de escrever um livro e, ento, reescrev-lo para a segunda edio. Embora eu no possa agradecer a todos aqueles que me ajudaram, gostaria de mencionar o nome de alguns aqui. Primeiramente, agradeo s pessoas que tornaram este livro possvel: Jessica Faust (por me direcionar e me fazer dar vida a este filhote), Mike Sanders (que me mostrou o caminho da luz, e ainda o faz), Nancy Lewis (a nica pessoa no mundo inteiro que realmente teve de ler tudo isto aqui) e Sue Strickland (que fez a reviso tcnica do livro original, j que ela me apoia em tudo o que fao e gosta de dizer aos seus alunos da faculdade a quem recomenda o meu livro, Eu sei. Eu estou nele).

Em um escopo mais pessoal, preciso agradecer a alguns.

Lisa, que torna a minha vida melhor e mais fcil simplesmente sendo ela mesma. Poucas pessoas teriam concordado em se casar comigo, sem contar em viver rodeada de trs pessoinhas que um dia entendero que a melhor forma de dizer


xx O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Clculo

estou com fome no gritando at se acabarem. Obrigado por sua pacincia e bondade, e por sempre me dizer onde guardar a centrfuga de salada; Deus sabe que eu nunca vou aprender.

Aos meus filhos Nick, Erin e Sara. Apesar de todos os meus erros, eu os amo muito e o melhor de tudo que vocs j sabem disso e me amam tambm.

No posso me esquecer de minha me, que trabalhava 200 horas por semana quando as coisas no iam bem em nossa casa, s para que vivssemos melhor.

Dave, um grande amigo. Aprendi muito com voc e, sem desmerecer isso, mais do que qualquer outra coisa, eu tambm detesto passar camisas.

Tambm aos amigos que sempre estiveram por perto: Rob (Nickels) Hasltead, Chris (Cobra) Sarampote e Matt (O profeta) Halnon, trs caras com quem sempre dividi apartamentos esqulidos e muitos bons jogos de pquer. Por convenincia, seus apelidos de pquer foram mencionados aqui e, por motivos embaraosos, o meu no.

Finalmente, agradeo ao Joe, que sempre me perguntava como o livro estava indo, e por ter me convencido de que ele seria um grande sucesso.

Agradecimento Especial Revisora Tcnica da Obra OriginalEste livro foi revisado por Susan Strickland, uma especialista que checou vrias vezes a preciso do que voc est prestes a aprender aqui. O editor gostaria de estender nossos agradecimentos a Sue, que nos ajudou a garantir que o contedo deste livro fosse entendido corretamente por seus leitores.

Susan Strickland se formou bacharel em Matemtica na Saint Marys College, de Maryland, em 1979, tornou-se Mestre em matemtica na Lehigh University, em Bethlehem, Pensilvnia, em 1982, e fez cursos de graduao em Educao Matemtica na American University de Washington, de 1989 a 1991. Foi professora assistente de matemtica e supervisionou professores de matemtica em formao na Saint Marys College, Maryland, de 1983 a 2001. No vero de 2001, ela aceitou o cargo de professora de matemtica na College of Southern Maryland, onde espera trabalhar at se aposentar! Seus interesses incluem ensino de matemtica para os matematicofbicos, treinamento para professores de matemtica, e resoluo de jogos e enigmas envolvendo matemtica.

Marca RegistradaTodos os termos mencionados neste livro que se referem a marcas registradas ou servios foram apropriadamente escritos em letras maisculas. As editoras no se responsabilizam pela exatido dessas informaes. O uso de termos neste livro no deve ser visto como ameaa validade de qualquer marca ou servio registrado.


As Razes do Clculo1ParteVoc j ouviu falar de Newton, certo? Bem, Sir Isaac Newton um dos dois homens responsveis pelo clculo em nossas vidas e em nossos currculos escolares. Na verdade, ele apenas um dos homens que deveria carregar a culpa nas costas. A histria do clculo longa, mas seus conceitos antecedem o homem. Antes de comearmos a estudar clculo, vamos dar uma breve olhada em sua histria e desenvolvimento para responder pergunta mais repetida: Por que eu tenho que aprender isso?.

Depois, s partir para a prtica das habilidades pr-requisito em matemtica. Voc no tentaria erguer 130 kg sem se aquecer antes, tentaria? Uma reviso rpida de equaes lineares, fatores, equaes quadrticas, propriedades das funes e trigonometria ser essencial. Mesmo que voc ache que j est pronto para mergulhar no clculo, recomendo essa reviso. Aposto que voc j se esqueceu de algumas coisas das quais precisar depois, ento resolva isso agora!


Afinal, o que Clculo?Neste Captulo

Por que clculo til

Origens histricas do clculo

A controvrsia da autoria

Vou aprender isso algum dia?

A palavra clculo pode significar uma dessas duas coisas: um mtodo computacional ou um agregado mineral que se forma em rgos ocos do corpo humano, como as pedras no rim tambm chamados clculos renais. Ambas as definies acabam por traduzir a dor e a agonia dos estudantes ao tentarem entender o assunto. mais do que controverso sugerir que matemtica no um dos assuntos mais populares da educao contempornea. Na verdade, o clculo detm o posto de rei no reino do mal da matemtica, principalmente pelos matematicofbicos. Representa um objetivo inalcanvel, um sopro de confuso e complicaes, e poucos se aventuram em seu reino, a no ser quando impulsionados por certas foras, como crescimento no trabalho ou exigncia curricular. Ningum alm do professor de clculo sabe o quanto as pessoas temem essa matria.

Quando as pessoas descobrem que fui professor de clculo, sentem-se na obrigao de dizer, com muitos detalhes, como exatamente eles se saram no ensino mdio com a matemtica, em que assunto eles tiveram sucesso e por que eles acham que clculo a encarnao do mal. Meus barbeiros formam a maioria desse grupo de pessoas, no me pergunte por qu. Todos os colegas da barbearia

1Captulo


4 Parte 1: As Razes do Clculo

me conheceram como um estranho careca com um conhecimento enigmtico e desconcertante de matemtica.

Na maioria das vezes, os medos em relao ao clculo so injustificveis. O clculo apenas um passo frente da lgebra do ensino mdio e nada mais. Seguir continuamente uma srie de etapas, exatamente como voc faz com os problemas de lgebra, resolve a maior parte dos problemas de clculo. No nos interprete mal clculo nem sempre algo fcil, e os problemas nem sempre so triviais, nem to imponentes quanto parecem. O clculo uma ferramenta fascinante que admite inmeras aplicaes na vida real e, para vocs que gostam de novelas, carrega consigo uma das maiores controvrsias da histria acerca de seus crditos.

Qual o Propsito do Clculo?Clculo uma ferramenta verstil e til, e no algo usado para apenas um propsito. Muitas de suas aplicaes so atualizaes diretas do mundo da lgebra meios diferentes para atingir fins similares, mas em um nmero imensamente maior de situaes. Ainda que seja impossvel listar todos os usos do clculo, a lista a seguir representa alguns pontos interessantes acerca das coisas que voc ter aprendido ao final deste livro.

Determinando a Inclinao das CurvasUm dos tpicos iniciais da lgebra a determinao da inclinao de uma linha um valor numrico que descreve o quanto essa linha inclinada. O clculo nos oferece um mtodo bem mais generalizado para determinar inclinaes. possvel definir no apenas o nvel da inclinao de uma linha, mas de qualquer inclinao em qualquer momento. Pode no parecer til em um primeiro momento, mas se trata de uma das aplicaes matemticas mais convenientes de que se tem notcia.

Calculando a rea de Formas BizarrasSem clculo, difcil determinar a rea de formas alm daquelas cujas frmulas voc aprendeu em geometria. claro que voc pode ser profissa em encontrar a rea de um crculo, quadrado ou retngulo, mas como voc faria para calcular a rea de uma forma como a que aparece na Figura 1.1?

O que ns chamamos de clculo chamado pelos acadmicos de o clculo. Essa distino feita justamente pelo fato de que qualquer mtodo de computao

pode ser chamado de clculo e porque descobertas do clculo moderno so muito importantes. Pessoalmente, eu acho a terminologia um pouco pretensiosa e no a uso. Nunca algum me perguntou de que clculo voc est falando?.

Ponto Crtico


5Captulo 1: Afinal, o que Clculo?

Justificando Velhas FrmulasHouve uma poca em sua vida matemtica em que voc confiava nas frmulas. s vezes ainda precisamos fazer isso, mas clculo nos d a oportunidade de finalmente verificar algumas daquelas velhas frmulas, especialmente as de geometria. Sempre lhe disseram que o volume de um cone era um tero do volume de um cilindro de mesmo raio , mas, atravs de um simples clculo

de rotao linear tridimensional, podemos, enfim, provar isso (alis, o processo mesmo muito simples, ainda que no parea assim agora).

Figura 1.1

Calcular essa rea? Certamente no estamos mais no Kansas...

Calculando Razes ComplicadasSem a ajuda de uma calculadora grfica, excepcionalmente difcil calcular uma raiz irracional. No entanto, um processo simples e repetitivo chamado Mtodo de Newton (nome de Sir Isaac Newton) permite calcular uma raiz irracional em qualquer grau de exatido que voc desejar.

Visualizando GrficosTalvez voc j tenha uma ideia sobre linhas e sobre como visualizar facilmente seus grficos, mas e o grfico de algo como y = x3 + 2 x2 x + 1? Regras elementares de clculo bsico determinam exatamente onde o grfico ser crescente, decrescente e curvilneo. Na verdade, voc pode encontrar o ponto mais alto e o mais baixo do grfico sem desenhar um ponto sequer.

Encontrando o Valor Mdio de uma FunoQualquer um pode calcular a mdia de um grupo de nmeros, havendo tempo e o desejo de dividir. Clculo permite que voc leve as suas habilidades com mdia

Uma raiz irracional uma interseco com o eixo x que no uma frao. Razes fracionrias (ou racionais) so mais fceis de determinar porque voc pode tipicamente decompor a expresso para isso, um processo ensinado em aulas bsicas de lgebra. No existe um processo bom e genrico para encontrar razes irracionais at que voc use clculo.



para um nvel inteiramente novo. Agora voc pode determinar, em mdia, a altura que uma funo percorre em um perodo de tempo. Por exemplo, se voc fizer um grfico do caminho percorrido por um avio (veja a Figura 1.2), voc pode calcular a mdia da altura de voo com pouco ou nenhum esforo. Determinar a velocidade e a acelerao mdia no mais complicado do que isso. Talvez voc nunca tenha tido esse impulso, mas tem de admitir que certamente mais interessante do que calcular a mdia de nmeros mpares menores de 50.

Figura 1.2

Ainda que o percurso deste avio no seja definido por uma forma bsica (como um semicrculo), voc pode determinar o que quiser por meio de clculo: a altitude mdia durante a viagem ou o nmero de amendoins que voc deixou cair quando adormeceu.

Calculando Valores timosUma das aplicaes mais alucingenas de clculo a otimizao de funes. Em apenas alguns poucos passos, voc pode responder a perguntas do tipo Se eu tiver 1.000 ps de cerca, qual a maior rea que eu posso cercar? ou Dado um pedao de papel retangular medindo 8,5 8 polegadas, qual a dimenso da caixa que eu consigo montar contendo o maior volume?. O mtodo tradicional para criar uma caixa aberta a partir de uma superfcie retangular cortar quadrados congruentes nas extremidades do retngulo e, ento, dobrar os lados resultantes para cima, como mostramos na Figura 1.3.

Figura 1.3

Com algumas dobras e cortes, voc pode facilmente criar uma caixa aberta a partir de uma superfcie retangular.

Eu costumo imaginar o aprendizado de clculo e todas as suas aplicaes como o crescimento repentino de um terceiro brao. claro que, em um primeiro momento, parece engraado ter um terceiro brao. Na verdade, eu estaria fazendo voc se



destacar na multido de um jeito bizarro. No entanto, com o tempo voc encontraria diversas utilidades para o brao extra que jamais teria imaginado se no o tivesse.

Quem o Responsvel por Isso?Rastrear a descoberta do clculo no to fcil quanto, digamos, rastrear a descoberta dos alfinetes de segurana. Qualquer conceito matemtico novo, em geral, resultado de centenas de anos de investigao, debates e fracassos. Muitos chegam perto de tropear em conceitos-chave, mas apenas os poucos sortudos que finalmente fazem as ligaes pequenas e mais relevantes recebem o crdito. Este o caso do clculo.

Clculo geralmente definido como a combinao de tcnicas diferenciais e integrais que voc aprender mais adiante. No entanto, os matemticos histricos jamais teriam engolido os conceitos que aceitamos como verdadeiros hoje em dia. O ingrediente-chave que faltou na matemtica da antiguidade foi a real noo do que o infinito. Matemticos e filsofos da poca tiveram muitas dificuldades para conceituar quantidades infinitamente pequenas ou grandes. Tomemos o exemplo do filsofo grego Zeno de Eleia.

Influncias do PassadoZeno tomou uma posio bem controversa em filosofia matemtica: ele argumentou que todo movimento impossvel. No paradoxo intitulado Dicotomia, ele utilizou um argumento convincente, para no dizer estranho, ilustrado na Figura 1.4.

META

Figura 1.4

As subdivises infinitas descritas na Dicotomia de Zeno.

(ou destino)



O paradoxo mais famoso de Zeno a corrida entre uma tartaruga e o legendrio Aquiles. Zeno sustenta que, se a tartaruga tivesse uma vantagem inicial, por menor que fosse, Aquiles jamais poderia cobrir essa distncia. Para isso, ele teria de viajar metade da distncia que os separa, e ento metade dessa distncia, e assim repetidamente, o que representa o mesmo dilema ilustrado pela Dicotomia.

No argumento de Zeno, o indivduo da figura deseja viajar para a direita, seu destino final. Porm, antes que ele possa percorrer essa distncia (d1), ele precisa percorrer metade dela (d2). Faz sentido, j que d2 menor e vem antes no percurso. No entanto, antes que a distncia d2 seja completada, ele tambm precisa percorrer metade dela (d3). Este processo pode ser repetido indefinidamente, o que significa que o nosso pobre viajante dever percorrer um nmero infinito de distncias. Segundo Zeno, ningum poderia fazer um nmero infinito de coisas em um perodo de tempo finito, j que uma lista infinita jamais ser exaurida. Ou seja, no que o homem nunca conseguir chegar ao seu destino; ele na verdade nunca comear a se movimentar! Talvez seja esse o motivo de nunca conseguirmos fazer nada em uma sexta-feira tarde.

Zeno no acreditava realmente que o movimento fosse impossvel. Ele apenas gostava de desafiar as teorias de seus contemporneos. O que lhe faltava, assim como aos gregos de seu tempo, era um bom entendimento sobre comportamento infinito. Era inconcebvel que um nmero de coisas inumervel pudesse caber em um espao medido e fixo. Hoje em dia, estudantes de geometria aceitam que um segmento linear contm um nmero infinito de pontos, ainda

que possua uma extenso fixa. Exigiu-se o desenvolvimento de alguns conceitos razoveis e, ainda assim, matematicamente slidos acerca de quantidades muito grandes ou muito pequenas antes que o clculo pudesse desabrochar.

Alguns matemticos da antiguidade no se incomodavam com a aparente contradio de uma quantidade infinita dentro de um espao finito. Notadamente, Euclides e Arquimedes conceberam o mtodo da exausto como tcnica para determinar a rea de um crculo, j que o valor exato de no existiu por algum tempo. Nesta tcnica, polgonos regulares foram inscritos em um crculo; quanto maior fosse o nmero de lados do polgono, mais perto ele estaria da rea do crculo (veja a Figura 1.5).

Figura 1.5

Quanto maior o nmero de lados, mais perto da rea do crculo o polgono inscrito fica.

Ponto Crtico

Caso o suspense esteja te matando, deixe-me estragar o final para voc. A ligao essencial com o clculo completo e a amenizao

da inquietao de todos sobre o comportamento infinito foi o conceito de limite, que construiu as bases para as derivadas e integrais.

Ponto Crtico



Para que o mtodo da exausto (que tem um ttulo conveniente em minha opinio) fornea o valor exato do crculo, o polgono precisaria ter um nmero infinito de lados. De fato, essa encarnao mgica da geometria pode apenas ser concebida teoricamente, e a ideia de uma forma com lados infinitos que poderia ter uma rea finita perturbou muitos da poca. No entanto, os estudantes de clculo de hoje veem isso como um simples problema de limite. Como o nmero de lados se aproxima do infinito, a rea do polgono se aproxima de r2, sendo que r o raio do crculo. Limites so essenciais ao desenvolvimento das derivadas e integrais, dois componentes fundamentais do clculo. Ainda que Newton e Leibniz estivessem com a maior descoberta do clculo em curso por volta de 1600 e 1700, ningum havia estabelecido uma definio de limite formal. Embora isso no nos faa perder o sono, foi no mnimo perturbador na poca. Os matemticos de todo o mundo passaram a dormir em paz por volta de 1751, quando Jean Le Rond dAlembert escreveu Encyclopdie (Enciclopdia) e estabeleceu a definio formal de limite. A definio delta-psilon do limite que usamos hoje muito prxima da definio de dAlembert.

No entanto, antes de essa definio ser estabelecida, Newton tinha dado um chute muito bom de que o clculo estava ganhando forma.

Newton vs. LeibnizSir Isaac Newton, nascido em 1642 com sade precria, tendo se tornado um cara inteligente e renomado no mundo todo (at mesmo em sua poca), disse uma vez: Se eu enxerguei alm de Descartes porque me apoiei nos ombros de gigantes. Nada mais verdadeiro poderia ter sido dito sobre qualquer grande descoberta matemtica, mas no vamos dar muito crdito ao cara por sua suposta modstia... falaremos sobre isso logo mais. Newton percebeu que sries infinitas (como o mtodo da exausto) no apenas eram grandes aproximadoras, mas, se pudessem realmente alcanar o infinito, determinavam valores exatos das funes que aproximavam. Por isso, comportavam-se de acordo com leis e restries facilmente definveis que, em geral, eram apenas aplicadas a funes conhecidas. Mais importante ainda, ele foi o primeiro a reconhecer e utilizar a relao inversa entre a inclinao de uma curva e a rea sob ela.

A relao inversa (chamada contemporaneamente de Teorema Fundamental do Clculo) fez de Newton o inventor do clculo. Ele publicou seus resultados e sua definio intuitiva de limite em sua obra de 1687, chamada Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. O Principia, como conhecido hoje, considerado por alguns (pessoas que chegam a considerar coisas desse tipo, eu suponho) como o maior trabalho cientfico de todos os tempos, com exceo de qualquer livro que ainda possa ser escrito por um comediante stand-up. O clculo era utilizado para resolver os maiores dilemas cientficos da poca.

Calcular o ngulo da linha tangente em qualquer ponto de sua extenso.

Determinar a velocidade e a acelerao de um objeto a partir de uma funo que descreve sua posio, e designar tal posio a partir da velocidade ou acelerao do objeto.



Calcular a extenso de arcos, assim como o volume e a rea da superfcie de slidos.

Calcular os extremos relativos e absolutos de objetos, especialmente projteis.

Porm, com grandes descobertas vm grandes controvrsias, e esse o caso do clculo.

Entra em cena Gottfried Wilhelm Leibniz, uma criana prodgio e gnio da matemtica. Leibniz nasceu em 1646 e terminou a faculdade com 17 anos, tornando-se bacharel. Pelo fato de ter sido primeiramente autodidata no campo da matemtica, ele aprendeu sozinho importantes conceitos matemticos muito tempo depois que algum os publicara. Newton na verdade deu crdito a Leibniz em Principia por ter desenvolvido um mtodo parecido com o dele. Tal mtodo evoluiu para um conceito similar de Newton em clculo e, na verdade, Leibniz publicou seu trabalho inovador inventando o clculo antes de Newton, ainda que Newton tivesse feito exatamente a mesma descoberta anos antes dele. Alguns dizem que Newton era extremamente sensvel a crticas e, por isso, demorou a publicar. A guerra matemtica estava armada: quem inventou o clculo antes e, portanto, mereceria o crdito por resolver um enigma de mais de mil anos?

Hoje em dia, Newton leva o crdito por ter inventado o clculo antes, embora Leibniz leve crdito por sua primeira publicao. Alm disso, a sombra do plgio e da dvida foi levantada por Leibniz, e acredita-se que ele tenha descoberto o clculo independentemente de Newton. Porm, duas faces distintas surgiram e tiveram uma breve guerra de argumentos. Os matemticos britnicos colocavam-se do lado de Newton, enquanto os europeus do continente apoiavam Leibniz; e a guerra foi longa e difcil. Na verdade, os matemticos britnicos eram efetivamente alienados do resto na comunidade matemtica europeia por causa desse mal-estar, o que provavelmente motivou a falta de grandes descobertas matemticas na Gr-Bretanha por algum tempo depois disso.

Embora Leibniz tenha sido omitido da descoberta do clculo, muitas de suas contribuies perduram na linguagem e nos smbolos matemticos. Em lgebra, ele foi o primeiro a utilizar um ponto para indicar multiplicao (3 . 4 = 12) e dois

Pontos extremos so pontos altos ou baixos de uma curva (mximo ou mnimo, respectivamente). Em outras palavras, representam valores extremos do grfico, sejam eles extremamente altos ou baixos, em relao aos pontos que o rodeiam.

Dez anos aps a morte de Leibniz, Newton retirou o nome dele da terceira edio do Principia como um ltimo insulto. Isso equivale,

academicamente, a Newton jogar uma cadeira em Leibniz no programa Casos de Famlia (com o tema: Voc publicou a soluo de um enigma matemtico antigo antes de mim e eu estou loucamente contrariado!).

Ponto Crtico

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pontos para designar uma proporo (1:2 = 3:6). Em geometria, ele convencionou os smbolos para congruentes (@) e similares (~). Os mais famosos, no entanto, so os smbolos das derivadas e integrais, que tambm utilizamos.

Ser que Vou Aprender Isso um Dia?Histria parte, clculo um tpico irresistvel de se estudar da perspectiva dos alunos. H um nmero incrvel de tpicos, alguns relacionados, mas a maioria no tem um sentido bvio. No entanto, no h nenhum tpico em clculo que seja muito difcil depois que voc entende o que se espera de voc. O truque reconhecer rapidamente que tipo de problema est sendo apresentado e, ento, atac-lo com mtodos que voc vai ler e aprender neste livro.

Ensinei clculo por muitos anos a adolescentes e adultos da mesma maneira, e acredito que h quatro passos bsicos para se ter xito no assunto:

Certifique-se de entender o que os termos tcnicos significam. Este livro trar os termos em linguagem simples para que voc entenda no apenas o significado deles, mas tambm como se relacionam com o resto do seu conhecimento.

Examine as palavras complicadas dos teoremas importantes de clculo e livre-se da linguagem difcil. Matemtica como uma lngua estrangeira como francs e espanhol para quem no domina os nmeros, mas isso no quer dizer que voc no possa entender teoremas complicados. Vou traduzir cada um deles para uma linguagem acessvel e tornar todas as implicaes bsicas claras.

Desenvolva um instinto matemtico. Como j disse, vou ajud-lo a reconhecer pistas sutis em problemas de clculo. Em geral, os problemas dizem tudo, menos como exatamente devem ser resolvidos. Se voc ler com cuidado, vai desenvolver um instinto, um tato que vai vibrar dentro de voc e gui-lo s respostas corretas. Isso s se alcana com prtica, prtica e prtica, por isso trarei problemas com solues detalhadas para ajud-lo a navegar nas guas agitadas do clculo.

s vezes necessrio memorizar. H alguns tpicos mais avanados nessa rea que so difceis de ser comprovados. Na verdade, muitos teoremas no podem ser comprovados at que voc faa cursos muito mais avanados de matemtica.

Leibniz tambm inventou o termo funo, ensinado comumente nas aulas de lgebra do ensino fundamental. No entanto, a

maioria das descobertas e inovaes de Leibniz foi ofuscada por Newton, que realizou grandes feitos nas reas da gravidade, movimento e tica (entre outras). Eles eram mesmo rivais e muito competitivos.

Ponto Crtico



Sempre que eu achar que comprovar um teorema vai faz-lo entender melhor, eu o discutirei em detalhes. No entanto, se alguma frmula, regra ou teorema tiver uma explicao que eu considere sem importncia para o seu domnio do tpico em questo, vou omitir e voc ter de confiar que o melhor a ser feito.

O Mnimo que Voc Precisa Saber O clculo o clmax da lgebra, geometria e trigonometria.

O clculo, enquanto ferramenta, permite alcanar proezas maiores do que os cursos de matemtica que o precedem.

Limites so fundamentais para o clculo.

Ambos, Newton e Leibniz, descobriram o clculo de forma independente, embora Newton tenha feito isso primeiro.

Com tempo e dedicao, qualquer um pode ser um aluno bem-sucedido de clculo.


Refine Suas Habilidades em lgebraNeste Captulo

Criao de equaes lineares

Propriedades exponenciais

Fatorao de polinmios

Resoluo de equaes quadrticas

Se voc aspirante a estudante de clculo, em algum momento no seu passado voc provavelmente teve de encarar uma batalha com um monstro chamado lgebra. Poucas pessoas tm lembranas positivas em relao a isso, e comigo no foi diferente. Esquea que me especializei em matemtica, que fui professor de clculo e que at levava a minha calculadora para a cama quando era jovem (triste, mas verdade). Eu odiava lgebra por muitos motivos, e um deles era que acreditava nunca conseguir acompanhar o ritmo. Sempre que eu parecia entender lgebra, passvamos para um novo tpico ainda mais difcil que o ltimo.

Estudar lgebra como lutar com o Mike Tyson. Mas nesse caso se trata de um campeo do raciocnio matemtico que permaneceu incontestado por centenas de anos, e voc se v enfrentando-o no ringue. Voc nunca consegue dar um soco em resposta porque est ocupado demais se defendendo das investidas do seu oponente. Quando o sino toca, indicando o final da luta, voc s consegue pensar Eu sobrevivi e esperar que algum o carregue para fora do ringue.

2Captulo



Talvez voc no tenha odiado lgebra tanto quanto eu. Voc pode ser um daqueles sortudos que entendem o assunto facilmente alis, muito sortudo. Mas, para o resto de ns, ainda resta uma esperana. lgebra bem mais fcil depois que j passou do que quando voc est tomando a primeira surra dela. Como clculo uma grande extenso da lgebra, com certeza voc vai precisar de um repertrio maior sobre o assunto. Ento, hora de colocar aquelas velhas luvas de boxe de volta e enfrentar alguns rounds com a sua velha parceira de briga. A boa notcia que voc com certeza est mais forte desde a ltima rodada. Porm, se voc acredita que uma breve reviso de lgebra no ser o bastante para voc, d uma espiada no livro anterior a este que eu mesmo escrevi: O Guia Completo para Quem No C.D.F. lgebra.

Andando na Linha: Equaes LinearesOs grficos tm papel importante no clculo, e o mais simples deles a linha surpreendentemente aparece o tempo todo. Assim, importante que voc seja capaz de reconhecer, escrever e analisar grficos e equaes lineares. Para comear, lembre-se que uma equao linear sempre tem trs componentes: duas variveis e uma constante (numrica). Um dos jeitos mais comuns de escrever uma equao a forma vrtice.

Formas Comuns de Equaes LinearesUma linha em forma vrtice se parece com isso: Ax + By = C. Em outras palavras, as variveis esto do lado esquerdo e o nmero ao lado direito do sinal de igual. Para estar oficialmente na forma vrtice, os coeficientes (A, B e C) devem ser nmeros inteiros relativos, e A deve ser positivo. Qual o propsito da forma vrtice? Uma equao

linear pode ter muitas formas diferentes (por exemplo, x + y = 2 o mesmo que x = 2 y). Porm, estando na forma vrtice, todas as linhas com o mesmo grfico tm exatamente a mesma equao. Ento, a forma vrtice conveniente para os instrutores; eles sempre pediro que as respostas sejam colocadas nessa forma para evitar respostas corretas alternativas.

Voc Tem ProblemasProblema 1: Coloque a equao linear a seguir na forma vrtice. 3x 4y 1 = 9x + 5y 12

H duas formas principais para criar a equao de uma linha. Uma delas requer que voc tenha a inclinao e a interseco da linha com o eixo y. Chama-se, apropriadamente, forma inclinao-interseco: y = mx + b. Nessa equao, m representa a inclinao e b a interseco com o eixo y. Note a principal

Um nmero inteiro relativo um nmero sem uma parte decimal ou fracionria. Por exemplo, 3 e 6 so nmeros inteiros relativos, enquanto 10,3 e no so.


15Captulo 2: Refine Suas Habilidades em lgebra

caracterstica de uma equao em forma inclinao-interseco: encontra-se o y. Em outras palavras, y fica sozinho do lado esquerdo da equao.

Exemplo 1: Escreva uma equao linear com inclinao -3 e interseco com o eixo y em 5.

Soluo: Na forma inclinao-interseco, m = -3 e b = 5, ento substitua os valores na frmula inclinao-interseco:

Um outro jeito de criar uma equao linear requer menos informao apenas um ponto e a inclinao (e o ponto no precisa ser ponto de interseco com y). Seu nome , graas vasta criatividade dos matemticos, forma ponto-inclinao. Dado o ponto (x1, y1) e ngulo m, a equao da linha resultante ser y y1 = m(x x1).

Voc vai achar essa forma extremamente conveniente em nossas prximas aventuras com clculo, ento veja se entendeu bem. No se confunda com x e x1 ou y e y1. As variveis com o nmero subscrito representam coordenadas do ponto que lhe foi dado. No substitua o outro x e o y por nada: tais variveis so mantidas em sua resposta final. Veja como fcil.

Exemplo 2: Se uma linha g contm o ponto (-5, 2) e tem uma inclinao - , qual a equao de g na forma vrtice?

Soluo: J que voc tem uma inclinao e um ponto (que no o ponto de interseco com o eixo y), voc deve usar a forma ponto-inclinao para montar a equao da linha. Assim, , x1 = 5 e y1 = 2. Coloque esses valores na forma ponto-inclinao e obtenha:

Se essa equao deve estar em forma vrtice, no pode ter fraes. Lembre-se que os coeficientes devem ser nmeros inteiros relativos, ento, para se livrar das fraes, multiplique toda a equao por 5.

Agora, passe as variveis para a esquerda e as constantes para a direita, assegurando-se de que x seja positivo; isso coloca tudo na forma vrtice:



Voc Tem ProblemasProblema 2: Encontre a equao da linha que passa atravs do ponto (0, -2) com inclinao e coloque na forma vrtice.

Calculando a InclinaoVoc deve ter notado que ambas as formas de criar linhas exigem conhecimento da sua inclinao, e uma informao bem importante (quase to importante quanto usar sapatos e camisa se quiser sair para comprar uma raspadinha). A inclinao de uma linha um nmero que descreve precisamente o quanto ela inclinada quanto maior o seu valor, mais ngreme a linha. Alm disso, o sinal da inclinao lhe dir se a linha sobe ou desce ao longo de sua extenso.

Como podemos ver na Figura 2.1, linhas com inclinaes rasas tm ngulos menores. Se a linha sobe (da esquerda para a direita), a inclinao positiva; se ela, no entanto, desce da esquerda para a direita, a inclinao negativa. Linhas horizontais tm inclinao 0 (nem positiva nem negativa), e a inclinao de linhas verticais considerada indefinida ou nula.

Figura 2.1

Calculando a inclinao de uma linha.

muito fcil calcular a inclinao de qualquer linha: encontre dois pontos quaisquer na linha (a, b) e (c, d) e os substitua nesta frmula:



Basicamente, voc est encontrando a diferena nos y e dividindo pela diferena nos x. Se o numerador for maior, os y mudam rapidamente e a linha se torna ngreme. Por outro lado, se o denominador for maior, a linha se move mais rapidamente para a esquerda ou para a direita do que para cima e para baixo, o que nos d uma inclinao rasa.

Voc Tem ProblemasProblema 3: Encontre a inclinao da linha contendo os pontos (3, 7) e (-1, 4).

Voc tambm deve se lembrar que linhas paralelas tm inclinaes iguais, enquanto as perpendiculares tm inclinaes negativas inversas. Assim, se a linha g tiver inclinao , a linha paralela h tambm teria inclinao ; uma linha perpendicular k teria inclinao . Usaremos essa informao no prximo exemplo.

Exemplo 3: Encontre a equao da linha j, sendo que ela paralela linha 2x y = 6 e contm o ponto (1, 1); escreva a equao da linha j na forma inclinao-interseco.

Soluo: Este problema exige que voc crie a equao de uma linha, e voc vai descobrir que a melhor maneira de fazer isso a forma ponto-inclinao. Ento, voc precisa de um ponto e do grau de inclinao e voc j tem o ponto: (-1, 1). Usando o seu sentido aguado de deduo, voc sabe que apenas a inclinao precisa ser encontrada. Mas como encontr-la? Se j paralela a 2x y = 6, as linhas precisam ter o mesmo grau de inclinao; ento, qual a inclinao de 2x y = 6? Aqui est a soluo: se voc resolver por y, ser na forma inclinao-interseco, e a inclinao m ser o coeficiente de x. Dessa forma, voc obtm y = 2x 6. Portanto, a inclinao de ambas as linhas 2, e voc pode usar a forma ponto- -inclinao para escrever a equao de j:

Encontre y para colocar a equao na forma inclinao-interseco:

Voc Tem o Poder: Regras ExponenciaisEu acho que as exponenciais so a perdio dos alunos de clculo. Mesmo que eles nunca tenham aprendido bem o assunto ou simplesmente cometam erros desatentos, os erros de exponenciais so frustrantes. Portanto, vale a pena dedicar alguns minutos e se atualizar sobre as regras exponenciais mais importantes.



Voc pode achar esse exerccio poderoso. Se achar, ligue para a Oprah Winfrey e conte a ela, pois isso pode me render um convite para o programa dela.

Regra 1:

Explicao: Se voc multiplicar dois termos de mesma base (nesse caso x), adicione as potncias e mantenha a base. Por exemplo, a2 . a7 = a9.

Regra 2:

Explicao: Esta regra o oposto da primeira. Se voc dividir (em vez de multiplicar) dois termos de mesma base, voc subtrai (e no soma) as potncias e mantm a base. Por exemplo, .

Regra 3:

Explicao: Um expoente negativo indica que a varivel est no ponto errado; na verdade, seu lugar na parte oposta da frao, mas ela apenas afeta a varivel com a qual est em contato.

Por exemplo, na expresso , apenas y

elevado a uma potncia negativa, ento precisa ficar na parte oposta da frao. Depois de simplificada corretamente, a frao ficar

assim: . Note que o expoente fica positivo

quando movido para o lugar certo. Lembre-se que um expoente deve estar feliz (positivo) em uma frao.

Regra 4:

Explicao: Se uma expresso exponencial for elevada a uma potncia, voc deve multiplicar os expoentes e manter a base. Por exemplo, (h7)3 = h21.

Regra 5:

Explicao: O numerador da potncia fracionria fica como expoente. O denominador da potncia lhe diz o tipo de radical (raiz quadrada, raiz cbica, etc.). Por exemplo, 43/2 pode ser simplificado tanto como ou . De qualquer jeito, a resposta 8.

Elimine expoentes negativos de suas respostas. A maioria dos instrutores considera as respostas com expoentes negativos no-

-simplificadas. Eles provavelmente tambm consideram que os copos esto meio vazios, nunca meio cheios. Pense nisso. Quantos professores de matemtica alegres voc conhece?

Ponto Crtico



Exemplo 4: Simplifique .

Soluo: Seus primeiros passos deveriam ser elevar (x2y) terceira potncia. Voc precisa usar a regra 4 duas vezes (subentende-se que o expoente atual de y seja 1 quando no est escrito). Isso nos d . O problema agora fica assim:

.

Para terminar, voc precisa multiplicar os valores de x e y, usando a regra 1: Isso nos d. O problema agora fica assim:.

Voc Tem Problemas

Problema 4: Simplifique a expresso (3x3y2)2 usando regras exponenciais.

A Separao Difcil: Fatorao de Polinmios

Fatorao uma daquelas coisas que voc v diversas vezes em lgebra. Descobri que at entre os meus alunos que no gostavam de matemtica, a fatorao era popular... algo que as pessoas simplesmente entendem, ainda que todo o resto lhes tenha escapado. No entanto, no assim que funciona na maioria das escolas europeias, o que surpreendeu a mim e a meus colegas enquanto eu lecionava para o ensino mdio.

Alunos de intercmbio canadenses me olhavam sem entender nada quando eu discutia fatorao em sala de aula. Isso no quer dizer que eles no eram extremamente inteligentes (porque eram!); eles apenas usavam outros mtodos. No entanto, a fatorao realmente muito til para clculo, ento julguei que fosse importante o bastante para arranjar-lhe um espao aqui. Chame isso de patriotismo.

Fatorar desmultiplicar, decompor um nmero ou expresso em partes menores que, se multiplicadas, retornam ao valor original.



Clculo no exige que voc fatore coisas complicadas, ento vamos nos ater ao bsico aqui. Fatorao basicamente o inverso da multiplicao ou seja, o processo de multiplicao desfeito para se descobrir por onde se comeou. Por exemplo, voc pode decompor o nmero 6 em fatores de 3 e 2, j que 3. 2 = 6. E pode haver mais de uma forma correta de fatorar algo.

Mximo Divisor ComumFatorar usando o mximo divisor comum o mtodo mais fcil e usado para termos com partes comuns. bem mais fcil do que parece. Tome por exemplo a expresso 4x + 8.

Note que ambos os termos podem ser divididos por 4, o que torna 4 um fator comum. Assim, voc pode escrever a expresso na forma fatorada 4(x + 2).

Ou seja, extra o fator comum 4, e o que restou foram os termos, j que 4 divisor de cada um deles. Nesse tipo de problema, voc tem de se perguntar O que os termos tm em comum? e ento extrair o mximo divisor comum de cada um deles para dar a resposta fatorada.

Voc Tem Problemas

Problema 5: Fatore a expresso 7x2y 21xy3.

Modelos Especiais de FatoraoVoc deve se sentir confortvel para fatorar trinmios como x2 + 5x + 4 usando o mtodo que mais lhe agrada. A maioria das pessoas joga com pares binomiais at tropear em algo que funcione, nesse caso (x + 4)(x + 1), enquanto outros usam meios mais complicados. Apesar de seu talento pessoal, h alguns padres que devem ser memorizados:

Diferena de quadrados perfeitos: a2 b2 = (a + b)(a b)

Explicao: Um quadrado perfeito um nmero como o 16, que pode ser obtido multiplicando-se algo por ele prprio. No caso do 16, esse algo o nmero 4, j que 4 vezes ele mesmo 16. Se voc vir um quadrado perfeito sendo subtrado por outro, voc pode fator-lo automaticamente usando esse padro. Por exemplo, x2 25 uma diferena de x2 e 25, e ambos so quadrados perfeitos. Por isso, pode ser fatorado como (x + 5)(x 5).

Soma de cubos perfeitos: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Explicao: Cubos perfeitos so similares a quadrados perfeitos. O nmero 125 um cubo perfeito porque 5 . 5 . 5 = 125. Esse padro um pouco mais difcil de memorizar, mas pode s vezes ser til. Essa frmula pode ser apenas levemente modificada para fatorar a diferena

No se pode fatorar a soma de quadrados perfeitos,

ento, enquanto x2 4 fatorvel, x2 + 4 no .

Alerta do Kelley



de cubos perfeitos, como ilustrado a seguir. O processo o mesmo, a no ser por uma mudana de sinais.

Diferena de cubos perfeitos: a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)

Explicao: Chega de smbolos e frmulas; vamos partir para um exemplo.

Exemplo 5: Fatore x3 27 usando o padro de fatorao de diferena de cubos perfeitos.

Soluo: Note que x um cubo perfeito, j que x . x . x = x3, assim como 27, j que 3 . 3 . 3 = 27. Assim, x3 27 corresponde a a3 b3 na frmula, com a = x e b = 3. Agora, basta colocar a e b na frmula:

No d para fatorar (x2 + 3x + 9) mais do que isso, ento terminamos.

Voc Tem ProblemasProblema 6: Fatore a expresso 8x3 + 343.

Resolvendo Equaes QuadrticasAntes de voc olhar para lgebra pelo retrovisor, h mais uma parada. claro que voc sempre conseguiu resolver equaes como x + 9 = 12, mas quando as equaes se tornam mais traioeiras, voc pode entrar em pnico. Esquecer como se resolvem equaes quadrticas (cujo maior expoente 2) tem sintomas claros: vertigem, dificuldade para respirar, nuseas e perda de apetite. Para lutar contra essa doena, tome uma colher de sopa de cada um dos mtodos para resolver equaes quadrticas listados a seguir, e me ligue pela manh.

Todas as equaes quadrticas podem ser resolvidas com a frmula quadrtica (terceiro mtodo, a seguir), mas importante que voc conhea os outros dois mtodos tambm. Fatorar , sem dvida, o mtodo mais rpido, ento melhor tentar us-lo primeiro. Poucas pessoas escolhem completar os quadrados como primeira opo, mas sempre funciona (assim como a frmula quadrtica), ainda que possua alguns passos a mais. Porm, voc precisa aprender a completar o quadrado, pois ele aparece mais adiante nos estudos de clculo, quando voc menos espera.

Primeiro Mtodo: FatoraoPara comear, iguale a sua equao quadrtica a 0; isso quer dizer adicione e subtraia os termos conforme for preciso para que fiquem todos de um lado da equao. Se a



equao resultante for fatorvel, fatore-a e iguale cada termo individual a 0. Essas equaes menores vo lhe mostrar o resultado da equao maior. E isso tudo.

Exemplo 6: Resolva a equao 3x2 + 4x = 1 por fatorao.

Soluo: Comece sempre o mtodo da fatorao igualando a equao a 0. Nesse caso, comece somando 1 de cada lado da equao: 3x2 + 4x + 1 = 0.

Agora, fatore a equao e iguale cada fator a 0. Isso nos fornece duas equaezinhas que precisam ser resolvidas para que voc chegue resposta final.

Essa equao tem duas solues: ou x = -1. Voc pode conferir substituindo cada uma delas separadamente na equao original, e ento descobrir que o resultado verdadeiro.

Segundo Mtodo: Completando o QuadradoComo eu disse antes, este mtodo um pouco mais difcil do que os outros dois, mas voc precisa aprend-lo agora, ou ter de voltar para descobrir depois. Aprendi que melhor entender este mtodo no contexto de um exemplo, ento vamos l.

Exemplo 7: Resolva a equao 2x2 + 12x 18 = 0, completando o quadrado.

Soluo: Neste mtodo, diferente da fatorao, voc precisa separar a constante das variveis, ento mova a mesma para o lado direito da equao adicionando 18 a ambos os lados:

Isso importante: para que d certo, o coeficiente de x2 deve ser 1. Nesse caso, 2, ento, para eliminar esse coeficiente desagradvel, divida cada termo da equao por 2:

Esta a soluo para completar o quadrado: pegue metade do coeficiente de x, eleve ao quadrado, e o some a ambos os lados da equao. Nesse problema, o coeficiente x 6,

Se voc no colocar 1 como o coeficiente do termo x2, o

restante do processo de completar o quadrado no vai dar certo. Da mesma forma, quando voc usa a diviso para eliminar o coeficiente x2, assegure-se de fazer isso com todos os termos da equao (inclusive a constante, fixando-a no outro lado da equao).

Alerta do Kelley



ento pegue a sua metade (3) e eleve ao quadrado (32 = 9). Some o resultado (9) a ambos os lados da equao.

Neste ponto, se voc fez tudo certo, o lado esquerdo da equao poder ser fatorado. Alis, ser um quadrado perfeito!

Para resolver a equao, tire a raiz quadrada de ambos os lados. Isso vai cancelar o expoente. Sempre que fizer isso, ter de colocar um sinal de no incio do lado direito da equao. Isso sempre feito quando se tira a raiz quadrada dos lados de qualquer equao:

Para encontrar x, subtraia 3 de cada lado da equao e pronto. Simplificar em tambm um bom caminho:

Terceiro Mtodo: A Frmula QuadrticaA frmula quadrtica um mtodo coringa para todas as necessidades de uma equao quadrtica. Tudo o que voc tem de fazer igualar a equao a 0, e j ser meio caminho andado. Sua equao vai ficar assim: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c so coeficientes, conforme indicado. Pegue esses nmeros e coloque-os diretamente nesta frmula (que, definitivamente, voc deve memorizar):

Voc chegar mesma resposta que teria se completasse o quadrado. S para convencer voc de que a resposta a mesma, vamos resolver o Exemplo 7 novamente, mas desta vez com a frmula quadrtica.



Exemplo 8: Resolva a equao 2x2 + 12x 18 = 0, utilizando agora a frmula quadrtica.

Soluo: Como a equao j est igualada a 0, sua forma ax2 + bx + c = 0, e a = 2, b = 12 e c = 18. Coloque esses valores na frmula quadrtica e simplifique:

Por isso, embora a frmula quadrtica tenha menos etapas, ela d margem a erros. Pratique os dois mtodos, mas use em primeiro lugar aquele com o qual se sente mais confortvel.

Voc Tem ProblemasProblema 7: Resolva a equao 3x2 + 12x = 0 trs vezes, usando todos os mtodos que voc aprendeu para equaes quadrticas.

O Mnimo que Voc Precisa Saber Resolver equaes bsicas uma habilidade importante em clculo.

Revisar as cinco regras exponenciais evitar erros no final das contas.

Voc pode criar a equao de uma linha com poucas informaes, usando a forma ponto-inclinao.

Exi

o guia completo para quem não é c.d.f. - cálculo - w. michael kelley

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