Prof. Eduardo Filgueiras

O estudo dos conjuntos é um dos mais fundamentais em toda matemática. Iniciaremos nossos estudos com algumas noções da teoria de conjuntos.

, , ,... Letras minúsculas (elemento)

, , ,... Letras maiúsculas (conjunto)

n(A) Número de elementos do conjunto A

Existe

Não existe

/ Tal que

a b c

A B C

Na linguagem comum é o mesmo que coleção, grupos de elementos, agrupamento. Exemplos: A = Conjunto dos estados da região sudeste do Brasil. B = Conjuntos dos números ímpares menores que 10.

São os “objetos” que compõem o conjunto. Exemplos: A = {RJ,SP,MG,ES} B = {1,3,5,7,9}

Quando o elemento pertence ou não pertence ao conjunto, indicaremos com os símbolos de (pertence) ou (não pertence).

Exemplos: SC A 3 B

• Só podemos utilizar a pertinência entre elemento e conjunto.

• Todo conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Exemplo:

Determinação de um conjunto.

a) Por compreensão: Os elementos são indicadas por uma propriedade característica dos elementos. Exemplo: A = { x/x é número ímpar compreendido entre 2 e 9}

b) Por extensão: Os elementos são enumerados explicitamente no conjunto. Exemplo: A = {3,5,7}

c) Por diagrama: Os elementos podem ser representados pelos pontos interiores a uma linha fechada simples. Exemplo:

1,5 ,3,5 , logo 1,5 C C

• Não vamos levar em consideração a ordem dos elementos. Exemplo: e

• Elementos repetidos no conjunto são contados uma única vez e os conjuntos são quando têm os mesmos elementos.

Exemplo: e , logo

Pergunta-se “quais os estados que foram capitais do Brasil?” temos para essa pergunta uma resposta para cada (U) estabelecido. Estamos falando de estados brasileiros, ou seja, se o conjunto universo for o conjunto de estados brasileiros então, o conjunto resposta será: {RJ, BA}. Se o conjunto universo for os estados da região sudeste, a resposta será: {RJ} . Se o conjunto universo for os estados da região sul, a resposta será: nenhum estado, representado por

.

{6,7,10}F {10,7,6}G

{ , , , , , , }A p r o e n e m { , , , , , }S p r o e n m ( ) ( ) 6 n A n S

ou

Um conjunto A é tal que todos os seus elementos são elementos de um outro conjunto B, com isso dizemos que A está contido em B ou que B contém A ou . A é um subconjunto de B. Exemplo:

• O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja, ele é subconjunto de qualquer conjunto.

• Se um conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B, logo A não está contido em B e utilizamos a seguinte notação .

{ / são números naturais}

{ / são números ímpares positivos} / /

{ / são ímpares menores que 10}

U x x

A x x A U B U B A

B x x

( )A B ( )B A

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Se um conjunto tem elementos, então terá subconjuntos.

Exemplo:

n2n

{ , } P( ) { }, { }, { , },A x y A x y x y

2( ) 2, logo a quantidade de subconjuntos é 2 4 subconjuntos n A