o ensino de fraÇÕes por atividades -...

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação

KAMILLY SUZANY FÉLIX ALVES

O ENSINO DE FRAÇÕES POR ATIVIDADES

Belém–PA

2018



Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção de título de Mestre em Educação. Linha de Pesquisa: Formação de Professores e Práticas Pedagógicas. Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém-PA 2018

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA

Morais, Ana Célia do Nascimento

Educação, saberes e cultura: a produção intelectual do Programa de pós-Graduação

em Educação / Ana Célia do Nascimento Morais; orientadora Maria Betânia B.

Albuquerque, 2018

Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,

2018.

1. Educação não formal. 2. Saberes 3. Produção intelectual. I. Albuquerque, Maria

Betânia B. (orient.). II. Título.

CDD. 23º ed. 371.3



Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção de título de Mestre em Educação. Linha de Pesquisa: Formação de Professores e Práticas Pedagógicas Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém, 03 de Maio de 2018.

BANCA EXAMINADORA ___________________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará ___________________________________ - Membro externo Prof. José Ricardo e Souza Mafra Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade Federal do Oeste do Pará ___________________________________ - Membro interno Prof. Emmanuel Ribeiro Cunha Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará

Belém-PA 2018

À Creuza Félix (in memoriam), menina nordestina

que chegou ao Pará na década de 50, com tantos

sonhos e planos que se materializam neste trabalho

e à Profa. Regina Julieta (in memoriam) que me

ensinou a amar a Educação de maneira inefável.

AGRADECIMENTOS

A Deus por me presentear com oportunidades únicas de alcançar o

improvável e impensável.

A minha filha Sophie Julieta, por ser fonte inesgotável de inspiração e

superação, por me motivar diariamente com seus sorrisos e beijinhos.

A minha mãe, ser humano incansável na superação de obstáculos para me

proporcionar uma Educação de qualidade e poder galgar degraus inacessíveis

diante da nossa história.

Ao meu companheiro Maximo Passos, por não desistir, por compreender

minhas oscilações de humor, dividir comigo cada momento de desgaste físico e

mental derivados desta produção, por ser um ser humano admirável e inspirador na

luta por uma educação Pública de Qualidade para todos e por acreditar em minha

potencialidade.

A minha rede de apoio, contando com tias (Juci, Júlinha e Léia), amigas

(Izabelle, Sarah, Karina, Elis, etc) e compadre Guga Júnior, que foram parte

importante nestes anos cuidando da Sophie quando precisava me ausentar para

participar das aulas e atividades do mestrado.

Ao meu orientador, professor Dr. Pedro Franco de Sá, por confiar na minha

capacidade, por motivar o melhor em mim, por dedicar uma generosidade grandiosa

e admirável em momentos de muita tensão nesta caminhada, por ser luz quando só

havia escuridão. Por de ser fonte inesgotável de conhecimento, proporcionando

aprendizado muito além do cientifico a cada encontro, agradeço por ser e me fazer

reconhecer o ser humano além do pesquisador.

Ao Prof. Dr. Emannuel Cunha pela oportunidade em ser sua aprendiz em

Formação de Professores, oferendo os mais valiosos conhecimentos em suas aulas,

bem como por aceitar ser parte deste trabalho com suas importantes e

indispensáveis contribuições enquanto membro da banca.

Ao Prof. Dr. Ricardo Mafra por aceitar o convite para compor minha banca de

qualificação e defesa, sobretudo, por enriquecer este trabalho com suas

contribuições a respeito das Práticas Pedagógicas e Educação Matemática.

Aos egressos, docentes e estudantes que aceitaram participar deste trabalho,

sendo essenciais para o seu desenvolvimento.

Ao Prof. Adamor Pantoja, por confiar em mim e respeitar cada etapa do meu

trabalho, acompanhando, contribuindo e sempre ajudando no que fosse necessário.

Um amigo ímpar.

A Escola Estadual de Ensino Fundamental Santo Afonso pela acolhida, pelo

apoio por oferecer espaço e estrutura necessária ao desenvolvimento do

Experimento.

À Profa. Dra. Jeane Silva por se revelar uma grande amiga, oferendo todo

apoio e confiança necessárias do começo ao fim. Sem uma visita especial a sua

biblioteca há alguns anos atrás esse sonho não seria possível.

À Profa. Dra. Acylena Coelho que sempre esteve disposta a ajudar na minha

formação intelectual, construindo comigo o projeto inicial desta dissertação e

apoiando-me incansavelmente no decorrer do curso.

Aos amigos por todo apoio, pelos momentos de diversão, tão necessários

para dar seguimento à rotina de estudo. Pela compreensão das ausências neste

período e pelas orações para que tudo se encaminhasse da melhor maneira.

Ao amigo que a vida me presenteou, Luiz Mendes, por dividir comigo além

das incertezas humanas, da luta por uma sociedade melhor, as tensões e alegrias

próprias da pós-graduação.

Aos amigos da Turma Rio 12 por momentos de grande aprendizado em

rotinas intensas de estudo, mas acima de tudo pelos momentos de afeto, partilha e

empatia, emoções traduzidas em poesia, abraços, ritmos, açaí, peixe assado e

muitas gargalhadas. Obrigada, clandestinos!

As meninas da Matemática, Sandy Dias, Jakelline Batista e Renata Matni, que

revolucionaram o pensamento dos que nos cercavam sobre Educação Matemática,

sempre muito companheiras, desde o início, compartilhando e ajudando a superar

as aflições, os prazos, e diversas tensões que envolveram este período, mas

também vivendo junto cada conquista.

Em especial, agradeço, à Sandy que me acompanhou no campo realizando

as observações e contribuindo para a construção deste trabalho, e à Jakelline, cula

colaboração foi fundamental para minhas análises. Grandes amigas, parte do meu

todo.

A Universidade do Estado do Pará, pela oportunidade, em especial ao

Programa de Pós Graduação em Educação por proporcionar momentos de grande

contribuição intelectual para minha carreira acadêmica, em encontros inesquecíveis

e valiosos com grandes mestres da Educação como Profa. Dra. Albêne Monteiro,

Profa. Dra. Ivanilde Apoluceno, Profa. Dra. Lucélia Bassalo, Profa. Dra. Marta Genú,

Profa. Dra. Josefa Távora, entre outros.

Ao Jorginho, Joaquim e Carlos, sempre dispostos a ajudar.

A CAPES por me proporcionar subsídios financeiros necessários para que eu

pudesse realizar este estudo.

Esta é uma produção coletiva, pois o todo se fez parte e da parte se fez o

todo.

“O saber não nos torna melhores nem mais felizes. Mas a educação pode ajudar a nos tornarmos melhores, se não mais felizes, e nos ensinar a assumir a parte prosaica e viver a parte poética de nossas vidas.”

Edgar Morin

RESUMO

ALVES, kamilly Suzany Félix. O ensino de Frações por Atividades. 2018. 318 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017. Este trabalho apresenta os resultados de um estudo com o objetivo de avaliar os efeitos da aplicação de uma Sequência Didática, baseada no Ensino por Atividades, para o Ensino de Frações, em uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental em uma Escola Pública de Belém, nas fundamentada na metodologia de pesquisa Engenharia Didática (Artigue, 1996). O estudo se desenvolveu em quatro fases. A primeira fase (Análises prévias) foi realizada a partir de um levantamento histórico, um estado da arte e consulta à docentes de Matemática e à estudantes egressos do 6º ano, sobre o processo de ensino e aprendizagem de Fração. A segunda fase (Concepção e análise a priori) foi abalizada nas análises prévias e como fruto, a proposta de uma sequência de atividades composta por 10 atividades para abordar e desenvolver o conteúdo de Fração, 2 testes (Pré-teste e Pós-teste), bem como, as análises a priori realizadas para cada uma das atividades. A terceira fase do estudo, (Experimentação), teve como lócus uma escola pública da rede estadual de ensino do município de Belém do Pará, com 25 estudantes de uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental. A quarta fase (Análise a posteriori e validação), foi realizada por meio de análises das atividades e dos testes avaliativos mediante uma abordagem qualitativa e quantitativa. Os resultados revelam que a Sequência Didática apontou um avanço nos estudantes no desempenho em relação ao conteúdo de Frações, além de maior desempenho na resolução de questões por parte destes alunos, também foi possível observar avanços em relação a linguagem e simbologia matemática, conhecendo as variadas operações e significados pertinentes a este assunto. Palavras-chave: Educação. Formação de Professores. Ensino por Atividade. Ensino de Fração. Educação Matemática.

ABSTRACT

ALVES, kamilly Suzany Félix. The teaching of fraction by activities. 2018. 318 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017.

This work presents the results of a study with the objective of evaluating the effects of the application of a Teaching Sequence, based on Teaching by Activities, for the Teaching of Fractions, in a class of 6th grade of Elementary School in a Public School in Belém, based on the research methodology Didactic Engineering (Artigue, 1996). The study was developed in four phases. The first phase (Preliminary analysis) was carried out from a historical survey, a state of the art and consultation to teachers of Mathematics and the students of the 6th grade, about the teaching and learning process of Fraction. The second phase (A priori conception and analysis) was based on previous analyzes and as a result, the proposal of a sequence of activities composed of 10 activities to address and develop the content of Fraction, 2 tests (Pre-test and Post-test) , as well as the a priori analyzes performed for each of the activities. The third phase of the study, (Experimentation), had as a locus a public school of the state education network of the municipality of Belém do Pará, with 25 students from a 6th grade elementary school class. The fourth phase (a posteriori analysis and validation) was carried out through analysis of the activities and the evaluation tests through a qualitative and quantitative approach. The results show that the didactic sequence showed a progress in the students in the performance in relation to the content of fractions, besides a higher performance in the resolution of questions by these students, it was also possible to observe advances in relation to the language and mathematical symbology, knowing the varied operations and meanings relevant to this subject.

Keywords: Education. Teacher training. Teaching by Activity. Fraction Teaching. Mathematics Education.

LISTA DE QUADROS

Quadro 01 – Quadro Geral da Revisão dos Estudos 40

Quadro 02 – Estudos sobre Os Diferentes Significados de Fração 41

Quadro 03 – Estudos Diagnósticos sobre Fração 50

Quadro 04 – Estudos Experimentais sobre Frações 60

Quadro 05 – Estudos sobre Formação de Professores 74

Quadro 06 – Faixa Etária dos Docentes 77

Quadro 07 – Escolaridade dos Docentes 78

Quadro 08 – Tempo de Serviço dos Docentes 79

Quadro 09 – Níveis de atuação na Educação Básica 80

Quadro 10 – Séries da Educação Básica em que os Docentes já

lecionaram 81

Quadro 11 – Formação: Curso de Disciplina sobre Metodologias de Ensino

de Fração 82

Quadro 12 – Formação: Curso ou Evento sobre o Ensino de Fração 84

Quadro 13 – Abordagem do Conteúdo de Fração pelos Docentes 85

Quadro 14 – Fixação do Conteúdo de Fração pelos Docentes 87

Quadro15 – Carga Horária dedicada ao Ensino de Fração 88

Quadro 16 – Relação Assunto X Ensino 89

Quadro 17 – Dificuldade dos Estudantes segundo os Docentes 92

Quadro 18 – Idade dos Discentes 95

Quadro 19 - Localização da Escola dos Discentes 96

Quadro 20 – Discentes que Trabalham de forma remunerada 97

Quadro 21 – Relação com o comércio 98

Quadro 22 – Responsável Masculino dos Discentes 99

Quadro 23 – Escolaridade do Responsável Masculino dos Discentes 100

Quadro 24 – Ocupação do Responsável Masculino dos Discentes 101

Quadro 25 – Responsável Feminino dos Discentes 101

Quadro 26 – Escolaridade do Responsável Feminino dos Discentes 102

Quadro 27 – Ocupação do Responsável Feminino dos Discentes 103

Quadro 28 – Idade de Início da Vida Escolar dos Discentes 104

Quadro 29 – Histórico de Educação Infantil dos Discentes 105

Quadro 30 – Histórico de Repetência dos Discentes 106

Quadro 31– Anos de Repetência dos Discentes 107

Quadro 32 – Pessoa que ajuda nas Tarefas de Matemática dos Discentes 108

Quadro 33 – Cursos realizados pelos Discentes 109

Quadro 34 – Aceitação da Matemática pelos Discentes 110

Quadro 35 – Dificuldade em aprender Matemática pelos Discentes 110

Quadro 36 – Distração nas Aulas de Matemática pelos Discentes 111

Quadro 37 – Notas em Matemática dos Discentes 112

Quadro 38 – Hábito de Estudo em Matemática dos Discentes fora da

Escola 113

Quadro 39 – Tipo de Escola em que os Discentes cursaram o 6º Ano 114

Quadro 40 – Prática de Esporte dos Discentes 115

Quadro 41 – Dependência em Matemática no 6º Ano 115

Quadro 42 – Abordagem das Aulas sobre Fração no 6º Ano segundo

Discentes 116

Quadro 43 – Fixação do Conteúdo de Fração segundo Discentes 117

Quadro 44 – Dificuldade de Aprendizagem segundo Discentes 119

Quadro 45 – Planejamento da Aplicação Sequência Didática 124

Quadro 46 – Cronograma das Sessões de Ensino desenvolvidas na

Experimentação 164

Quadro 47 - Faixa Etária dos Estudantes 166

Quadro 48 - Gênero dos Estudantes 168

Quadro 49 - Localização da Escola 168

Quadro 50 - Relação com o comércio 169

Quadro 51 - Responsáveis pelos Estudantes 170

Quadro 52 - Escolaridade dos Responsáveis 172

Quadro 53 - Ocupação dos Responsáveis 173

Quadro 54 - Início da vida Escolar 175

Quadro 55 - Realização da Educação Infantil 176

Quadro 56 - Repetência Escolar 177

Quadro 57 - Ajuda nas Tarefas de Matemática 178

Quadro 58 - Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo 179

Quadro 59 – Afinidade dos Estudantes em Matemática 180

Quadro 60 – Dificuldade dos Estudantes em aprender Matemática 181

Quadro 61 – Distração nas Aulas de Matemática 182

Quadro 62 – Desempenho em Matemática dos Estudantes 182

Quadro 63 – Dedicação em Matemática dos Estudantes 183

Quadro 64 – Prática de Esportes dos Estudantes 184

Quadro 65 – Compreensão da Matemática a partir da Explicação 185

Quadro 66 – Registros dos Estudantes no Primeiro Momento da Sessão de

Ensino I 190

Quadro 67 – Registros dos Estudantes no Segundo Momento da Sessão

de Ensino I 192

Quadro 68 – Registros dos Estudantes no Terceiro Momento da Sessão de

Ensino I 194

Quadro 69 – Registros dos Estudantes no Quarto Momento da Sessão de

Ensino I 196

Quadro 70 – Registros dos Estudantes no Quinto Momento da Sessão de

Ensino I 198

Quadro 71 – Registros dos Estudantes na primeira questão da Sessão de

Ensino II 204

Quadro 72 – Registros dos Estudantes na segunda questão da Sessão de

Ensino II 205

Quadro 73 – Registros dos Estudantes na quarta questão da Sessão de

Ensino II 207

Quadro 74 – Registros dos Estudantes nas questões de 05 a 09 da Sessão

de Ensino II 208

Quadro 75 – Registros dos Estudantes na décima questão da Sessão de

Ensino II 213

Quadro 76 – Registros dos Estudantes na Formalização dos Termos da

Fração na Sessão de Ensino II 214

Quadro 77 – Desempenho dos Estudantes na Atividade de

Aprofundamento 216

Quadro 78 – Registros dos Estudantes na primeira questão da Sessão de

Ensino III 221

Quadro 79 – Registros dos Estudantes nas Conclusões das questões de

02 a 05 da Sessão de Ensino III

223

Quadro 80 – Registros dos Estudantes na sexta questão da Sessão de

Ensino III 225


de Ensino III 228

Quadro 82 – Registros dos Estudantes na questão 22 da Sessão de Ensino

III 230


de Ensino IV 232

Quadro 84 – Registros dos Estudantes na questão 10 Sessão de Ensino IV 234


de Ensino V 236


de Ensino V 239

Quadro 87 – Registros dos Estudantes no Quadro da Sessão de Ensino V 241

Quadro 88 – Registros dos Estudantes na Conclusão da Sessão de Ensino

V 242

Quadro 89 – Registros dos Estudantes no Quadro de Adição da Atividade

da Sessão de Ensino VI 243

Quadro 90 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da Adição

na Sessão de Ensino VI 244

Quadro 91 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade de

Subtração da Sessão de Ensino VI 245

Quadro 92 – Registros dos Estudantes na Conclusão e na Regra da

Subtração na Sessão de Ensino VI 246

Quadro 93 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade da Sessão

de Ensino VIII 249


Sessão de Ensino VIII 250

Quadro 95 – Registros dos Estudantes no Primeiro Quadro da Atividade da

Sessão de Ensino IX 252

Quadro 96 – Registros dos Estudantes no Segundo Quadro da Atividade

da Sessão de Ensino IX 253

Quadro 97 – Registros dos Estudantes no Terceiro Quadro da Atividade da 253

Sessão de Ensino IX

Quadro 98 – Registros dos Estudantes na Conclusão e Regra da Sessão

de Ensino IX 254

Quadro 99 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade da Sessão

de Ensino VII 257


Adição na Sessão de Ensino VII 258

Quadro 101 – Registros dos Estudantes no Quadro da Atividade de

Subtração da Sessão de Ensino VII 260


Subtração na Sessão de Ensino VII 261

Quadro 103 – Confronto entre Análises a Priori e a Posteriori das

Atividades 265

Quadro 104 – Desempenho dos Estudantes por Questão no Pré-Teste 271

Quadro 105 – Desempenho dos Estudantes por Questão no Pós-Teste 274

Quadro 106 – Desempenho dos Estudantes nos Testes por Questão 275

Quadro 107 – Desempenho por Estudante no Pré-Teste 277

Quadro 108 – Desempenho por Estudante no Pós-Teste 279

Quadro 109 – Desempenho dos Estudantes nos Testes 280

Quadro 110 – Frequência dos Estudantes durante o Experimento 282

Quadro 111 – Regras de Rejeição da Hipótese Nula em um Teste t

Unilateral 284

Quadro112 – Resultado dos Desempenhos nos Testes e Diferença entre

as Médias 285

Quadro 113 – Classificação da Correlação conforme o Coeficiente 𝑟 287

Quadro 114 – Parametrização das Variáveis referentes à Escolaridade do

Responsável Masculino 287

Quadro 115 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes

e Escolaridade do Responsável Masculino 288

Quadro 116 - Parametrização das Variáveis Referentes à Escolaridade do

Responsável Feminino 289


e Escolaridade do Responsável Feminino

289

Quadro 118 – Parametrização das Variáveis referentes a quem ajuda os

Estudantes nas Tarefas de Matemática 290


e quem ajuda os Estudantes nas Tarefas de Matemática 290

Quadro 120 – Parametrização das Variáveis referentes à afinidade dos

Estudantes por Matemática 291

Quadro 121 - Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes

e afinidade dos Estudantes por Matemática 291

Quadro 122 – Parametrização das Variáveis referentes ao Hábito de

Estudo dos Estudantes 292


e Hábito de Estudo dos Estudantes 292

Quadro 124 - Parametrização das Variáveis referentes às notas em

Matemática dos Estudantes 293

Quadro 125 – Correlação entre a Diferença dos Desempenhos nos Testes e as notas em Matemática dos Estudantes

293

Quadro 126 – Parametrização das Variáveis referentes à Dificuldade dos

Estudantes em aprender Matemática 294


e a Dificuldade em Matemática dos Estudantes 294

Quadro 128 – Parametrização das Variáveis referentes à Frequência dos

Estudantes 295


e a Frequência dos Estudantes 295

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 01 – Faixa Etária dos Docentes 77

Gráfico 02 - Escolaridade dos Docentes 78

Gráfico 03 – Tempo de Serviço dos Docentes 80

Gráfico 04 – Níveis de atuação na Educação básica 81

Gráfico 05 – Séries da Educação básica em que os Docentes já lecionaram 82

Gráfico 06 – Formação: curso de disciplina sobre metodologias de Ensino de Fração 83

Gráfico 07 – Formação: curso ou evento sobre o Ensino de Fração 85

Gráfico 08 – Abordagem do conteúdo de Fração pelos Docentes 86

Gráfico 09 – Fixação do conteúdo de Fração pelos Docentes 87

Gráfico 10 – Carga horária dedicada ao Ensino de Fração 88

Gráfico 11 – Relação Assunto x Ensino 91

Gráfico 12 – Dificuldade dos alunos segundo os Docentes 96

Gráfico 13 – Idade dos Discentes 97

Gráfico 14 – Localização da escola dos Discentes 98

Gráfico 15 – Discentes que trabalham de forma remunerada 98

Gráfico 16 – Discentes que realizam compras 99

Gráfico 17 – Responsável masculino dos Discentes 100

Gráfico 18 – Escolaridade do responsável masculino dos Discentes 101

Gráfico 19 – Ocupação do responsável masculino dos Discentes 102

Gráfico 20 – Responsável feminino dos Discentes 103

Gráfico 21 – Escolaridade do responsável feminino dos Discentes 104

Gráfico 22 – Ocupação do responsável feminino dos Discentes 105

Gráfico 23 – Idade de início da vida escolar dos Discentes 106

Gráfico 24 – Histórico de Educação Infantil dos Discentes 107

Gráfico 25 – Histórico de repetência dos Discentes 107

Gráfico 26 – Anos de repetência dos Discentes 108

Gráfico 27 – Pessoa que ajuda nas tarefas de Matemática dos Discentes 109

Gráfico 28 – Cursos realizados pelos Discentes 110

Gráfico 29 – Aceitação da Matemática pelos Discentes 111

Gráfico 30 – Dificuldade em aprender Matemática pelos Discentes 111

Gráfico 31 – Distração nas aulas de Matemática pelos Discentes 112

Gráfico 32 – Notas em Matemática dos Discentes 113

Gráfico 33 – Hábito de estudo em Matemática dos Discentes fora da escola 114

Gráfico 34 – Escola em que os Discentes estudaram o 6º ano 115

Gráfico 35 – Prática de esporte dos discentes 116

Gráfico 36 – Dependência em Matemática no 6º ano 117

Gráfico 37 – Abordagem das aulas sobre Fração no 6º ano segundo Discentes 118

Gráfico 38 – Fixação do conteúdo de Fração segundo Discentes 167

Gráfico 39 – Faixa Etária dos Estudantes 168

Gráfico 40 – Gênero dos Estudantes 169

Gráfico 41 – Localização da Escola 170

Gráfico 42 – Relação com o Comércio 171

Gráfico 43 - Responsáveis pelos estudantes 173

Gráfico 44 – escolaridade dos responsáveis 174

Gráfico 45 – Ocupação dos responsáveis 175

Gráfico 46 – Início da vida escolar 176

Gráfico 47 – Realização da Educação Infantil 177

Gráfico 48 – Repetência Escolar 178

Gráfico 49 – Ajuda nas tarefas de Matemática 179

Gráfico 50 – Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo 180

Gráfico 51 – Afinidade dos estudantes com Matemática 181

Gráfico 52 – Dificuldade dos Estudantes em Aprender Matemática 182

Gráfico 53 – Distração nas aulas de Matemática 183

Gráfico 54 – Desempenho em Matemática dos Estudantes 184

Gráfico 55 – Dedicação em Matemática dos Estudantes 185

Gráfico 56 – Prática de Esportes dos Estudantes 186

Gráfico 57 – Compreensão da Matemática a partir da explicação 272

Gráfico 58 – Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste 274

Gráfico 59 – Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste 276

Gráfico 60 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão 278

Gráfico 61 – Desempenho por Estudante no Pré-teste 279

Gráfico 62 – Desempenho por Estudante no Pós-teste 281

LISTA DE FIGURAS

Figura 01 - Frações Egípcias: notação 28

Figura 02 - Frações Egípcias: representações especiais 29

Figura 03 - Frações Egípcias: variação dos símbolos 29

Figura 04 - Frações Egípcias: não unitárias 30

Figura 05 - Frações Babilônicas: notação 31

Figura 06 - Kit de Frações: Um Inteiro 128

Figura 07 - Kit de Frações: Um meio 128

Figura 08 - Kit de Frações: Um terço 129

Figura 09 - Kit de Frações: Um Quarto 129

Figura 10 - Kit de Frações: Um Quinto 129

Figura 11 - Kit de Frações: Um sexto em tiras 130

Figura 12 - Kit de Frações: Um sexto retangular 130

Figura 13 - Kit de Frações: Um Oitavo 130

Figura 14 - Kit de Frações: Um nono 131

Figura 15 - Kit de Frações: Um Décimo 131

Figura 16 - Kit de Frações: Um Doze Avos em Tiras 131

Figura 17 - Kit de Frações: Um Doze Avos retangular 132

Figura 18 - Kit de Frações: Um Quinze Avos 132

Figura 19 - Kit de Frações: Um Dezoito Avos 132

Figura 20 - Kit de Frações: Um Vinte e Sete Avos 133

Figura 21 - Lócus da pesquisa 163

Figura 22 – Q01 Atividade de Aprofundamento 216





SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 21

1. ANÁLISES PRÉVIAS ........................................................................................... 27

1.1 Fração no Ensino de Matemática ........................................................................ 27

1.1.1 Aspectos Históricos ................................................................................................. 27

1.1.2 A O Ensino de Fração na Escola ........................................................................... 34

1.1.3 O Ensino de Fração na Escola ............................................................................... 36

1.2 Revisão dos Estudos ........................................................................................... 39

1.2.1Estudos sobre os cinco diferentes significados de fração ............................. 41

1.2.2 Estudos diagnósticos sobre frações ................................................................... 49

1.2.3 Estudos Experimentais sobre Frações ............................................................... 59

1.2.4 Estudos sobre formação de professores ........................................................... 73

1.3 Consulta aos docentes ........................................................................................ 76

1.3.1Perfil dos docentes .................................................................................................... 77

1.4 Consulta a Estudantes egressos do 6º ano ......................................................... 94

1.4.1Perfil dos estudantes consultados ........................................................................ 95

2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE À PRIORI ................................................................ 123

2.1Abordagem metodológica da atividade .............................................................. 126

2.1.1O Ensino por Atividades ......................................................................................... 126

2.1.2 O Kit de Frações ...................................................................................................... 128

2.1.3 A Sequência Didática ............................................................................................. 133

2.1.3.1 Atividade1: Conceito de Fração ....................................................................... 134

2.1.3.2 Atividade 2: Representação de Fração .......................................................... 136

2.1.3.3 Atividade 3: Equivalência de frações ............................................................. 141

2.1.3.4 Atividade 4: Simplificação de Frações ........................................................... 144

2.1.3.4 Atividade 5: Comparação de frações .............................................................. 147

2.1.3.5 Atividade 6: Adição e Subtração de Frações com o mesmo

Denominador ...................................................................................................................... 149

2.1.3.6 Atividade 7: Adição e subtração de Frações com denominadores

diferentes..............................................................................................................................153

2.1.3.7 Atividade 08: Multiplicação de Frações ......................................................... 156

2.1.3.8 Atividade 09 – Divisão de Frações .................................................................. 158

2.1.3.10 Atividade de Aprofundamento ....................................................................... 161

3. EXPERIMENTAÇÃO .......................................................................................... 162

3.1 Perfil dos Estudantes ........................................................................................ 166

3.2 Aplicação do Pré-teste ...................................................................................... 187

3.3 Sessão de Ensino I ........................................................................................... 187

3.4 Sessão De Ensino II .......................................................................................... 202

3.5 Atividade De Aprofundamento – 01/12/2017 ..................................................... 215

3.6 Sessão de ensino III .......................................................................................... 218

3.7 Sessão de Ensino IV ......................................................................................... 230

3.8 Sessão De Ensino V ......................................................................................... 235

3.9 Sessão de Ensino VI ......................................................................................... 242

3.10 Sessão De Ensino VIII..................................................................................... 246

3.11 Sessão De Ensino IX ...................................................................................... 251

3.12 O 17º Encontro ................................................................................................ 255

3.13 Sessão De Ensino VII ..................................................................................... 255

3.14 Considerações Sobre O Experimento ............................................................. 262

4. ANÁLISES A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ...................................................... 264

4.1 Análises A Posteriori ......................................................................................... 265

4.2 Análises A Posteriori dos Testes Avaliativos ..................................................... 271

4.3 Teste de Hipóteses ........................................................................................... 283

4.4 Cálculos da Correlação Linear nos Testes ........................................................ 286

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 297

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 300

APÊNDICES ........................................................................................................... 306

21

INTRODUÇÃO

A Matemática está presente na vida da maioria das pessoas, de maneira

fundamental, não somente no ambiente escolar, mas apresentando-se como forma

de expressão e compreensão da realidade, o que torna seu ensino indispensável

para o exercício da cidadania.

O ensino de números racionais na forma Fracionária é estabelecido no

currículo de Matemática como um conteúdo a ser desenvolvido nos ciclos iniciais do

ensino fundamental, com o objetivo gerar nos alunos a percepção de que os

números naturais não são mais suficientes para resolver determinadas situações.

O interesse pelo estudo do processo de ensino e aprendizagem de Fração

emergiu de observações empíricas, presentes nos momentos de atuação docente

em Matemática em escolas públicas e particulares das séries finais do Ensino

Fundamental. Em alguns momentos, pudemos observar e conviver com dificuldades

na aprendizagem deste conteúdo matemático, o que sinalizava uma aversão ou até

distanciamento dos alunos.

Neste contexto desafiador, conduzir o aluno à identificação em seu cotidiano

da presença das Frações se tornava um obstáculo, levando-o, algumas vezes, ao

consequente fracasso e rejeição às tarefas. Fato este retomou uma memória

pessoal, do momento em que ainda cursava o ensino fundamental, que apesar de

ter bom desempenho e sentir grande satisfação ao estudar matemática, tais

dificuldades também estavam presentes.

Anos antes, durante o curso de Licenciatura em Matemática, o estereótipo de

esta disciplina ser difícil, complicada e somente para alguns “escolhidos”, que

sempre esteve presente em nossa vida escolar, parecia manter-se, motivo este que

instigava a sempre procurar entender os “porquês” de tudo na Matemática.

O contato com disciplinas de cunho didático-pedagógicas, ainda na

Graduação, aumentou o interesse em conhecer, compreender e criar novas e

diferentes maneiras em ensinar Matemática. Na oportunidade, o conteúdo de

Fração, ministrado no 6º ano do ensino fundamental, mostrava-se um interessante

objeto de pesquisa para o desenvolvimento do Trabalho de Conclusão de Curso.

Então, como Trabalho de Conclusão de Curso, foi desenvolvido um estudo

acerca das principais dificuldades apontadas por alunos da 5ª série do Ensino

22

Fundamental na resolução de tarefas sobre Frações. Entretanto, pelas limitações

deste estágio acadêmico e (falta de) maturidade na pesquisa, pela complexidade do

objeto de estudo, o trabalho na graduação não exauriu as possiblidades para o

mesmo.

O período de curso das disciplinas da Especialização em Educação

Matemática proporcionou a possiblidade de retomar este estudo. Iniciamos, então,

uma pesquisa acerca dos Diferentes Significados da Fração, como possiblidade de

abordagem deste conteúdo.

Já no Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado

do Pará (Mestrado Acadêmico em Educação), o ensejo em aprofundar

conhecimentos e compreender, de modo pleno, o processo de aprendizagem de

Fração apresentou um campo fértil de pesquisa, pois os conhecimentos

provenientes das disciplinas realizadas no curso, bem como as discussões feitas

durante as aulas oportunizaram subsídios para o aprofundamento deste objeto.

Neste estudo analisamos o processo de ensino e aprendizagem do número

racional em sua forma fracionária que doravante denominaremos, simplesmente,

como Fração, buscando refletir na busca de novos caminhos que possam contribuir

para a melhora no ensino e no aprendizado deste conteúdo matemático.

Dessa maneira, dissertamos acerca da seguinte questão norteadora: Que

efeitos o desenvolvimento de uma sequência didática, baseada no ensino por

atividades, para o Ensino de Frações, em uma turma de 6º ano do Ensino

Fundamental de uma Escola Pública de Belém, provoca sobre a participação

em aulas de Matemática e no desempenho da resolução de questões

envolvendo conceitos relacionados a Frações?

Para tanto, buscamos, inicialmente, compreender como os docentes e

discentes percebem o ensino da Fração na Educação Básica, quais são abordagens

metodológicas mais frequentes no ensino de Frações, o que apontam os estudos

realizados acerca deste objeto, para obtermos subsídios suficientes para a

construção de nossa Sequência Didática. Assim, propomos experimentar e analisar

os efeitos de uma sequência didática que auxilie na tentativa de alcançar uma

alternativa metodológica, que atenda a necessidade de abordagem do conteúdo

Fração, tendo como sujeitos desta pesquisa discentes do 6º ano do nível

fundamental de uma escola pública da rede estadual do município de Belém (PA).

23

Portanto, o objetivo principal deste estudo foi avaliar os efeitos da aplicação

de uma sequência didática, baseada no ensino por atividades, para o Ensino

de Frações, sobre alunos de uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental de

uma Escola Pública de Belém, nas aulas de matemática e sobre o desempenho

de resolução de questões envolvendo este conteúdo.

Assim, nossos objetivos específicos foram: identificar as principais

dificuldades no processo de ensino e aprendizagem de Fração, bem como as

metodologias de ensino utilizadas para abordar este conteúdo matemático, conhecer

aspectos da formação e os saberes de professores de Matemática sobre Frações,

elaborar uma sequência de atividades para o ensino de Fração, analisar os efeitos e

as contribuições desta sequência para a aprendizagem deste conteúdo, avaliar a

participação destes alunos em aulas de Matemática durante o desenvolvimento da

sequência didática, avaliar o desempenho dos mesmos ao resolverem questões

sobre Frações após a aplicação da sequência.

Quanto à opção metodológica desta pesquisa, nos fundamentamos nos

Princípios da Engenharia Didática, de Michele Artigue (1996), pois se apresenta

adequada para tal proposta, visto que é uma metodologia de pesquisa com a

finalidade de analisar situações didáticas.

A Engenharia Didática caracteriza-se por ser uma metodologia qualitativa, na

qual a análise dos dados é feita a partir de uma abordagem comparativa com a

validação de hipóteses levantadas no processo da investigação. Elas são realizadas

confrontando-se expectativas, experimentação e resultados, e a validação dessas

análises é interna.

Conforme Oliveira (2013, p. 153), a Engenharia Didática “associa pesquisa

com ação didática no contexto da sala de aula”. Esta metodologia é caracterizada

por um esquema experimental de sequência de atividades didáticas no ensino, isto

é, na concepção, na realização, na observação, e na análise de sequências de

ensino, caracterizando-se pelos registros das observações feitas sobre o caso em

questão e sua validação.

Artigue (1996) relaciona o trabalho do pesquisador de didática ao trabalho de

um engenheiro, no que diz respeito ao processo de concepção, planejamento e

execução do projeto. Ela determina as características da Engenharia Didática como

metodologia de pesquisa. Escolhemos esta metodologia por confiarmos que seja

mais adequada para este tipo de estudo.

24

No Brasil, esta metodologia é objeto de estudo de Pais (2001, 2015) e

Almouloud (2007), importantes pesquisadores na área da Educação Matemática, os

quais também serviram de fonte para nosso embasamento.

Esta metodologia de pesquisa é dividida em quatro fases, proposta por

Artigue (1996): Análises prévias (ou análises preliminares); Concepção e análise a

priori; Experimentação; e, Análise a posteriori e validação. As quais descrevemos

como serão desenvolvidas em nosso estudo a seguir.

I- Análises Prévias: nesta primeira fase do estudo, buscamos estudar a

epistemologia do objeto, a partir do levantamento de referenciais teóricos sobre os

quais será elaborada a sequência didática; os aspectos históricos do objeto, o

estado da arte e uma consulta através da aplicação de questionários com 100

docentes e 100 discentes (7º ano, egressos do 6º ano, pois já estudaram este

conteúdo) sobre o ensino de Frações.

Os aspectos referentes ao conteúdo de Fração serão realizados sob três

óticas: Fração no Ensino de Matemática, o ensino de Fração na Escola e a Revisão

dos Estudos acadêmicos acerca do processo de ensino e aprendizagem de Fração.

No tópico Fração no Ensino de Matemática, abordaremos aspectos históricos sobre

a evolução do conteúdo de Fração, sua definição formal e propriedades; em o

ensino de Fração na Escola Básica, discutiremos as propostas presentes nos

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2008), os apontamentos dos Sistemas

de Avaliação, no âmbito regional (SISPAE, 2015) e no âmbito nacional, do Instituto

Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep), no que se refere a Provinha

Brasil, do Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) aplicada em 2015;

seguindo pela revisão de estudos, dividida em quatro categorias: Estudos sobre os

cinco significados da Fração, Estudos Diagnósticos, Estudos Experimentais e

Estudos sobre a formação de professores.

Nas consultas aos docentes, consultamos professores da rede pública de

ensino paraense, atuantes no Ensino Fundamental, para obter informações sobre

ensino de Fração, quais metodologias de ensino utilizam, quais os obstáculos de

ensino e o grau de dificuldade em aprender que os alunos apresentam.

Em relação aos discentes egressos do 6º ano do Ensino Fundamental, com o

objetivo de verificar qual a percepção deles com relação ao conteúdo de Fração,

suas possíveis dificuldades, utilizando para isso, um modelo de questionário análogo

25

ao aplicado ao docente como meio de coleta de dados. Para então, traçar o perfil

dos docentes e dos discentes.

II- Concepção e análise à priori: nesta fase da Engenharia Didática é

realizada a descrição das escolhas feitas e as características de cada situação

didática, analisando a importância dessas situações para o aluno, fundamentando-

se em hipóteses. Neste momento são delimitadas as variáveis de comando, as quais

permitem conhecer o que se pretende experimentar.

Conforme Artigue (1996), essas variáveis são classificadas como variáveis

globais e locais. As variáveis locais ou micro-didáticas dizem respeito ao

planejamento específico de uma fase (aula) da sequência didática, e as variáveis

globais ou macro-didáticas se referem à elaboração global da sequência didática.

Essas variáveis serão observadas e analisadas durante a aplicação da

sequência, relacionando o conteúdo em questão com a sequência proposta. O

confronto, operado na análise a priori e a posteriori resultará na validação dessas

hipóteses (ARTIGUE, 1996).

Esta segunda fase, contou com o subsídio da fase anterior, que contribuiu

para a construção das atividades da sequência. Dessa forma, realizada a descrição

da abordagem metodológica da Sequência de Atividade proposta, descrição das

escolhas e características de cada situação didática, análise da importância dessas

situações para o aluno, bem como as hipóteses levantadas.

Neste sentido, foram elaboradas 10 atividades para a Sequência Didática,

acerca do estudo do conteúdo de Fração, que possibilitem ao estudante a

construção de conceitos relacionados a este conteúdo.

As atividades construídas consideram fatores evidenciados nas análises

prévias decorrentes de todo o levantamento bibliográfico, bem como as variáveis

que mais se destacaram em relação às dificuldades de aprendizagem, evidenciado

em nas consultas a docentes e discentes sobre o processo de ensino-aprendizagem

de Frações.

III- Experimentação: a terceira fase é a realização da sequência didática

propriamente dita, que foi organizada com um número determinado de aulas

planejadas e com uma prévia análise, com a intenção da observação das situações

de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos na pesquisa. Nesse momento

realizamos registros que ajudaram na quarta fase da Engenharia Didática.

26

A Experimentação, diz respeito à aplicação da Sequência didática produzida

na fase anterior. As atividades utilizadas na Sequência Didática desse estudo foram

aplicadas em uma Escola Pública estadual do município de Belém. A

experimentação contou com a participação de uma turma do 6º ano do Ensino

Fundamental.

IV- Análise à posteriori e validação: A quarta e última fase da Engenharia

didática é focada em todos os aspectos do processo da sequência didática: as

observações, os registros das observações e representações professor/aluno, até a

análise dos resultados.

Essa fase se apoia no conjunto dos dados recolhidos na experimentação,

observações realizadas nas sessões de ensino, nas produções dos alunos dentro e

fora da sala de aula, conforme Artigue (1996). Adicionados a estes dados,

questionários, testes individuais ou em grupos, realizados em diversos momentos do

ensino ou no final completam a análise.

No momento da validação foi realizado o cruzamento entre os dados da

análise a priori e a posteriori para a verificação das hipóteses feitas no início do

estudo. Conforme Pais (2001) esta é uma etapa em que a vigilância deve ser

ampliada, pois ela irá garantir o caráter científico. Somente após vivenciar cada uma

destas fases chega o momento de fazer o relatório final dos resultados obtidos na

Engenharia Didática vivenciada num contexto escolar, segundo Oliveira (2013).

Nesta última etapa da pesquisa, a produção de informações para análise foi

realizada por meio de registros de um observador em diário de campo, roteiros das

atividades preenchidas pelos discentes e os testes (Pré e Pós-teste) realizados

pelos mesmos, avaliando sua participação e desempenho, verificamos as condições

e entraves que ocorreram durante a Experimentação, enfim, pontuamos as

mudanças ocorridas nas relações dos fenômenos discutidos em relação ao

conteúdo de Frações, o que nos possibilitou fazer as devidas avaliações e validação

da nossa sequência.

Dessa maneira, concluímos esta produção com nossas considerações finais.

27

1. ANÁLISES PRÉVIAS

No estudo do processo de ensino e aprendizagem de Fração, é de

fundamental importância a exploração de dois aspectos deste conteúdo: sua

disposição na Matemática enquanto ciência (sua evolução, aspectos matemáticos e

formalidade) e o da Matemática como disciplina escolar (sua localização no

currículo, seu ensino e aprendizagem).

Nesse sentido, apresentaremos nesta seção aspectos do conteúdo de Fração

sobre diferentes enfoques. O primeiro se refere à Fração no Ensino Matemática,

onde realizaremos uma breve descrição da evolução histórica deste conteúdo.

O segundo enfoque refere-se ao Ensino de Fração na Escola Básica,

destacando as recomendações presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL, 2008), os resultados e indicações das avaliações regionais do Sistema

Paraense de Avaliação Educacional (SISPAE, 2015) e das avaliações nacionais

realizadas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep), no

que se refere a Provinha Brasil, do Sistema de Avaliação da Educação Básica

(Saeb).

O terceiro enfoque diz respeito à Fração do ponto de vista da Educação

Matemática, através da revisão dos estudos realizados desde 2001 até os dias

atuais que buscam conhecer o processo de ensino e aprendizagem de números

racionais na forma de Fração, tecendo considerações a respeito do significado de

Fração, do uso de metodologias de ensino como proposta metodológica e práticas

de ensino, aos conhecimentos dos professores acerca do assunto e sua formação

inicial e/ou continuada, à aprendizagem e compreensão dos conceitos e as atitudes

em relação a este conteúdo matemático.

1.1 Fração no Ensino de Matemática

1.1.1 Aspectos Históricos

Para conhecermos os aspectos históricos que permeiam as Frações,

precisamos inicialmente, conhecer como se deu o desenvolvimento histórico deste

conteúdo matemático. A História da Matemática nos apresenta como se deu a

evolução deste conteúdo desde épocas mais remotas até os dias atuais com a

28

contribuição de alguns povos, com suas diferentes representações ao longo do

tempo.

Boyer (1996) conjectura não ter havido necessidade dos homens primitivos

usarem as frações. Somente com o aparecimento de culturas mais avançadas,

durante a Idade do Bronze, parece ter surgido a necessidade da utilização do

conceito de fração e notação para representar as frações. Para os egípcios, o

aspecto mais notável é o seu cálculo de frações, onde todas as frações eram

reduzidas a somas das chamadas frações unitárias e isso só era possível através de

tabelas, exemplo disso é o Papiro de Rhind.

Com a descoberta do Papiro de Rhind (descoberto em 1858; escrito por volta

de 1650 a. C. por Ahmes) e do Papiro de Moscovo e seus problemas matemáticos,

constata-se que já havia familiaridade com o uso das Frações unitárias, que

possuíam uma notação especial, presentes em inscrições hieroglíficas que se

apresentavam da seguinte maneira:

O recíproco de qualquer inteiro era indicado simplesmente colocando sobre

a notação para um inteiro um sinal oval alongado. A fração 1

8 aparecia então

como e 1

20 como . Na notação hierática dos papiros, o oval alongado é

substituído por um ponto, colocado sobre a cifra para o inteiro correspondente (ou sobre a cifra da direita no caso do recíproco de um

número multidígito). No Papiro de Ahmes, por exemplo a fração 1

8 aparece

como =̇ e 1

20 como

∙

^ (BOYER, 1996, p. 9).

Conforme Ifrah (1997a, p. 349) este sinal oval era o hieróglifo da boca, que

tinha o sentido de “parte” e era colocado embaixo do número que servia de

denominador.

Figura 1 – Frações Egípcias: notação

Fonte: Ifrah (1997a, p. 349)

Algumas Frações recebiam representações especiais, como 1

2 que era

representado por hieróglifo que exprimia a ideia de “metade”, 2

3 por um hieróglifo que

29

significava “duas partes” e como 3

4 por um hieróglifo que denotava “três partes”,

conforme Ifrah (1997a, p. 349).

Embora Cajori (1993, p. 13), Smith (1958) e Boyer (1996) anunciem a fração 1

4

como uma representação usual, com o símbolo oval; Bunt, Jones e Bedient (1988, p.

16) explicitam que os egípcios utilizavam um símbolo especial para esta fração

também. Vejamos a imagem (Figura 2) a seguir:

Figura 2 – Frações Egípcias: representações especiais

Fonte: Bunt, Jones e Bedient (1988, p.16)

Cajori (1993) nos apresenta as várias formas como as frações se

apresentavam no Egito:

Figura 3 – Frações Egípcias: variação dos símbolos

Fonte: Cajori (1993, p. 13)

Com exceção de 2

3 e

3

4 , os egípcios só utilizavam as frações unitárias, não

reconheciam frações de numerador além da unidade. Ifrah (1997a) apresenta que

para exprimir, por exemplo, o equivalente de nossa fração 3

5 , eles decompunham

em uma soma de frações com numerador 1. Assim:

3

5 =

1

2 +

1

10

30

Em notação egípcia da época, teríamos a fração 3

5 como na imagem 4:

Figura 4 – Frações Egípcias: não unitárias

Fonte: Ifrah (1997a, p. 349)

Para Boyer (1996), estas frações unitárias eram bastante manipuladas em

Ahmes, porém a fração geral era tomada como um enigma para os egípcios. A

fração 2

3 era utilizada de maneira livre e era atribuído um sinal hierático 2.

Ocasionalmente usavam sinais especiais para frações da forma 𝑛

(𝑛+1), os

complementos das frações unitárias.

Nos processos aritméticos, a fração 2

3 era utilizada de maneira especial, tal

que para encontrar a terça parte de um número, primeiramente calculavam dois

terços e tomavam depois a metade disso. Os egípcios conheciam e usavam o fato

de dois terços da fração unitária 1

𝑝 ser a soma de duas frações unitárias

1

2𝑝 e

1

6𝑝 .

Porém, como confirma Boyer (1996), parece que tirando a fração 2

3 os egípcios

consideravam a fração racional própria geral da forma 𝑚

𝑛 não como algo elementar,

mas como parte de um processo inacabado, assim, as frações eram sempre

pensadas como somas de frações unitárias.

A operação aritmética fundamental no Egito era a Adição, já as operações,

hoje conhecidas como multiplicação e divisão eram efetuadas por sucessivas

duplicações, o que levou esse povo a alcançar grande virtuosidade no processo de

duplicação e do conceito de Fração unitária, perceptível nos cálculos dos problemas

do Papiro de Ahmes.

Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 18) apresentam que os egípcios utilizavam

uma representação diferente para facilitar no momento de realizar cálculos com as

frações, por exemplo, 1

12 era representado por 12̅̅ ̅̅ ̅, e, generalizando,

1

𝑛 era �̅�.

Para Ifrah (1997b, p. 327), a notação moderna das frações ordinárias deve-se

aos hindus, que devido ao uso de um sistema decimal posicional, chegaram a

31

simbolizar de maneira semelhante, como usamos atualmente, uma fração como

34

1265; onde 34 é o numerador e 1265 é o denominador. Esta notação foi

aperfeiçoada e adotada pelos árabes, que inventaram a barra horizontal.

Os Babilônios, conforme Boyer (1996), a cerca de 5.000 anos atrás,

obtiveram um nível de superioridade matemática com relação aos egípcios. Esta

civilização da Mesopotâmia atingiu uma grande habilidade para calcular com um

sistema sexagesimal, utilizando uma notação posicional própria, apesar de o

sistema decimal já ser comum à maioria das civilizações, tanto antigas como

modernas, talvez justificado na astronomia, ou por uma grandeza de sessenta

unidades ser facilmente subdividida.

Figura 5 – Frações Babilônicas: notação

Fonte: Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 46)

Para Ifrah (1997b) os babilônios, partindo do principio de posição e ao

representar frações cujo denominador é uma potencia de 60, utilizavam o que hoje

chamamos de potências negativas de 60: (60-1 = 1/60, 60-2 = 1/602 = 1/3.600, 60-3 =

1/603 = 1/216.000 etc.). Dessa maneira, a numeração era desenvolvida à esquerda

em potências positivas de 60 (601, 602, 603 etc) e à direita em potências negativas

de 60 (1, 60-1, 60-2, 60-3 etc). Para o autor, este sistema era:

(...) exatamente da mesma maneira como o desenvolvimento dos números em potências positivas ou negativas de dez de nosso sistema decimal. A única diferença é que não houve no sistema nenhum sinal comparável a nossa vírgula para permitir a separação da parte inteira da parte fracionária (IFRAH, 1997b, p. 307).

A falta deste sinal para separar a parte inteira da parte fracionária foi razão

para dificuldades na interpretação das notações numéricas utilizadas pelos

babilônios.

32

Os gregos usavam uma representação simples, com frações unitárias. Na

carência de um sistema uniforme, os gregos usavam as frações unitárias egípcias,

as frações sexagesimais da Babilônia, além das frações cuja notação se assemelha

a nossa.

Para os gregos, conforme Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 68) e Smith (1958),

o numerador recebia um acento e o denominador era repetido e recebia dois

acentos, assim:

2

3 = β’γ”γ”

Posteriormente, durante o período alexandrino, o hábito grego antigo de usar

frações comuns com o numerador embaixo do denominador foi invertido,

começaram a usar como notação o denominador acima do numerador, ainda sem o

uso da barra, e foi nessa forma que os hindus o adotaram, sem a barra entre eles,

da seguinte maneira:

2

3=

γβ

Boyer (1996) indica que parece ter havido algum contato entre a Índia e a

China e desta com o Ocidente, mas os estudiosos não estão de acordo quanto à

extensão e ao sentido do conhecimento emprestado entre esses povos. O fato de a

notação chinesa permanecer essencialmente decimal, com notações diferentes das

de outros países, faz com que não se consiga perceber influencias dos babilônios e

dos gregos na matemática chinesa. Pois não há referência de os chineses terem

usado frações sexagesimais.

Os chineses conheciam as operações com frações comuns, para as quais achavam o mínimo denominador comum. Como em outros contextos, viam analogias com diferenças entre os sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”. A ênfase sobre yin e yang (opostos, especialmente em sexo) tornava mais fácil seguir as regras para manipular frações (BOYER, 1996, p. 137)

A descrição mais importante da numeração chinesa era a tendência ao uso

das frações decimais. Conforme Boyer (1996), a adesão à ideia decimal em pesos e

medidas teve como resultado um hábito decimal no tratamento de Frações que pode

ser encontrado já no século XIV a. C.

Os Árabes utilizavam as frações decimais, talvez por influência da China, e

percebendo a importância do notável matemático Jamshid Al-Kashi e sua

contribuição para este assunto, este foi considerado o inventor das frações decimais,

33

indicando que as decimais são igualmente convenientes para problemas que

exigiriam muitas casas exatas. Este matemático, embora tivesse precursores, foi o

primeiro, dentre os que usavam frações sexagesimais, a sugerir que as decimais

são igualmente convenientes para problemas que exigem muitas casas exatas

(BOYER, 1996, p. 167).

Já na Idade Média, Fibonacci usava regularmente a barra horizontal para

Frações, conforme afirma Boyer (1996). Este matemático foi um dos primeiros a

separar o numerador do denominador por um traço. Antes dessa época, quando as

frações eram escritas em algarismos hindu-arábicos, o denominador era escrito

embaixo do numerador, mas sem qualquer sinal de separação. Apenas no século

XVI o uso da barra tornou-se comum (a barra inclinada foi sugerida em 1845, por De

Morgan), conforme indica o autor (p.173).

13

= 1

3

A partir do século XVI, coube aos europeus tornar compreensível a aplicação

do princípio posicional aos submúltiplos da unidade, tornando possíveis os cálculos

com quantidades menores que a unidade, sem o uso de frações. A transição da

Renascença para o mundo moderno também se fez por meio de um grande número

de matemáticos, dentre eles, há alguns que contribuíram para a o surgimento das

frações decimais, conforme Jucá (2008).

Segundo Ifrah (1997b, p. 328), em 1582 o belga Simon Steven separou a

parte inteira da parte decimal de 679,567 da seguinte maneira:

679(0) 5 (1) 6 (2) 7 (3)

Dessa maneira, simbolizou 679 partes inteiras, 5 décimos, 6 centésimos e 7

milésimos, o que, para o autor, foi um passo decisivo ruma a nossa notação atual.

Simon Stevin, em 1585, fez uma recomendação em favor da escala decimal

para frações e inteiros. Boyer (1996) aponta que Stevin deu o primeiro tratamento

sistemático às frações decimais, que buscava ensinar como efetuar, com mais

facilidade, as computações por meio de inteiros sem frações.

A organização lógico-histórica do conceito de fração e da evolução de sua

representação numérica perpassa séculos, desde as frações unitárias dos egípcios

até o nosso sistema de numeração decimal posicional dos dias de hoje. A origem

deste conhecimento matemático está estreitamente relacionada ao problema de

medida e na busca de uma notação para representar esta medida.

34

1.1.2 A O Ensino de Fração na Escola

O estudo de Matemática no Ensino Fundamental leva o aluno,

gradativamente, a perceber que os números naturais são insuficientes para

representar todas as situações em que nos deparamos no cotidiano. Situações

como a divisão de uma barra de chocolate entre três crianças mostram a

necessidade de um novo número que possa representar tal situação.

Os PCN (BRASIL, 2008) apontam que aprendizagem dos números racionais

supõe rupturas com ideias construídas para os números naturais, assim, iniciamos

agora a definição a respeito dos números racionais na forma de Fração.

Uma delas é conceber que a representação 𝑎

𝑏 com 𝑏 ≠ 0 é um número e não

dois números naturais e um traço separando-os, ou seja, este novo número

representa o quociente entre dois números inteiros quaisquer, sendo o segundo não

nulo.

Giménez e Bairral (2005, p. 07) corroboram que existem três concepções

errôneas comumente apresentadas pelos estudantes sobre frações, as quais são:

(a) a fração é uma parte menor da unidade;

(b) são dois números separados por um traço;

(c) a fração é um operador que sempre indica uma subdivisão e, portanto, um

resultado menor.

No cotidiano, as frações mostram-se em diferentes aspectos: fração como

quantidade, como expressão de um escalar ou medida, função, símbolo ou como

probabilidade, e, a mais frequente, como parte de um todo.

A primeira ideia de Fração é distribuição de uma quantidade, caracterizada

por qualquer tipo de repartição de uma coleção de objetos em um número de partes,

com a conseguinte designação do que corresponde a cada uma e, traz consigo a

identificação do resto da divisão como parte do divisor.

A segunda ideia diz respeito à Fração como expressão de um escalar ou

medida, atribui-se à situações em que a Fração é utilizada explicitamente para

designar medidas ou processos de medição, ou estratégias de agrupamento. A

terceira indica o aspecto de Fração como função, ou seja, uma relação de objetos ou

35

realidades, como a relação entre duas partes distintas de um todo, ou as situações

de reduções ou ampliações.

A quarta ideia é de Fração como símbolo, que se subdivide em: Fração como

par ordenado; equivalência como diversidade de representações de uma mesma

realidade; inverso ou inversão de uma Fração; Fração como quociente de dois

números naturais; Fração como operador multiplicativo; como expressão de uma

medida e como resultado de equação linear do tipo:

ax = b (a≠0).

A quinta se refere à Fração como probabilidade, na qual expressa uma

relação ou uma determinada quantidade.

Convergindo com as ideias de Giménez e Bairral (2005), os PCN (BRASIL,

2008), com outra perspectiva, nos fornece que os racionais assumem diferentes

significados nos diversos contextos: relação parte/todo, divisão e razão. Neste

estudo, as atividades propostas serão sustentadas na relação parte/todo.

A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em

partes equivalentes, indicando uma relação que existe entre um número de partes e

o total de partes. Busca-se então, que o aluno seja capaz de identificar a unidade

que representa o todo (grandeza contínua ou discreta), compreenda a inclusão de

classes, saiba realizar divisões operando com grandezas discretas ou contínuas,

conforme os PCN.

No ensino de Matemática, o conceito de Fração é explorado, com maior

frequência, em situações em que está presente a relação parte-todo, na qual a

Fração indica uma relação existente entre um número de partes e o total de partes,

sendo esta abordagem comumente encontrada nos livros didáticos.

A ideia presente nessa relação é a da partição de um todo 𝑎 (contínuo ou

discreto) em b partes iguais e que cada parte pode ser representada como 𝑎

𝑏. Em

nosso estudo assumiremos a relação parte-todo como: dado um todo, dividido em

partes iguais, cuja utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente

para chegar a uma representação correta, ou seja, esse procedimento consiste em

quantas partes o todo foi dividido (denominador) e o número de partes tomadas

(numerador).

𝑎

𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0, 𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒)

𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑡𝑜𝑑𝑜)

36

1.1.3 O Ensino de Fração na Escola

O conteúdo de Frações é delimitado no currículo de Matemática para sua

abordagem nos ciclos iniciais do Ensino Fundamental, com aspectos iniciais no 4º

ano do fundamental e o desenvolvimento do conceito e operações no 6º ano deste

nível de ensino.

Um aspecto importante sobre o estudo e a aprendizagem dos números

racionais é destacado nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL,

2008) destacando que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os

significados associados a este tipo de número, nem seus procedimentos de cálculo,

embora sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais (p. 100).

O documento também aponta que a abordagem dos números racionais tem

como objetivo levar os alunos a perceber que os números naturais são insuficientes

para resolver determinadas situações-problema, sugerindo uma abordagem a partir

de problemas históricos envolvendo medidas como contexto para seu ensino.

Os PCN (BRASIL, 2008) destacam como pontos importantes do

desenvolvimento do conteúdo de números racionais: os significados (a relação

parte-todo, divisão, razão e operador) suas diferentes representações (fracionária,

decimal e porcentagem), equivalência, estudo do cálculo com racionais (adição e

subtração com denominadores iguais, adição e subtração com denominadores

diferentes, multiplicação com frações e a divisão om frações).

Avaliações oficiais, realizadas nos âmbitos federal e estadual corroboram com

os apontamentos dos PCN, pois tem encontrado resultados que apontam o baixo

desempenho dos alunos aos se depararem com questões envolvendo Fração.

Na esfera estadual, o Sistema Paraense de Avaliação Educacional (SISPAE,

2015), que é um processo avaliativo de larga escala, que investiga as habilidades e

competências para mobilizar conhecimentos adquiridos na escola, desenvolvidas

pelos alunos durante a trajetória escolar, apresenta para o Ensino Fundamental, em

seus descritores, os seguintes conteúdos referentes ao ensino de números

racionais.

Identificar diferentes representações de um mesmo número racional;

Identificar fração como representação que pode estar associada a

diferentes significados (parte/todo, quociente, razão);

37

Identificar a localização de números racionais representados na reta

numérica;

Reconhecer as representações decimais dos números racionais como

uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de

ordens como décimos, centésimos e milésimos;

Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais

(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação - expoentes inteiros e

radiciação);

Resolver problemas com números racionais que envolvam as

operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).

Diante da avaliação do Sistema Paraense de Avaliação Educacional

(SISPAE) realizada em 2015, os resultados que revelam que, das escolas estaduais,

63,6% dos alunos do 5º ano do Ensino Fundamental apresentam nível de

proficiência em Matemática abaixo do básico, ou seja, demonstram domínio

insuficiente dos conhecimentos, habilidades e competências desejáveis para o ano

escolar em que se encontram; 28,6% encontram-se no nível básico; 6,8 no nível

adequado e apenas 1% dos estudantes encontra-se no nível avançado.

Já para o 8º ano, 55,7% dos alunos alcançaram nível de proficiência abaixo

do básico; 34,9% básico; 8,5% adequado e 0,9% avançado. Para o 9º ano, o nível

de proficiência avançado caiu para 0,2%; ficando 2,8% dos alunos no nível

adequado, 33,2% no nível básico e 63,8% abaixo do básico.

Conforme o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep), o

Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), é composto por um conjunto de

avaliações externas em larga escala e tem como principal objetivo realizar um

diagnóstico da educação básica brasileira e de alguns fatores que possam interferir

no desempenho do estudante, fornecendo um indicativo sobre a qualidade do ensino

ofertado.

Este sistema de avaliação traz em sua matriz de referência, o destaque para

os seguintes objetivos inerentes ao conteúdo dos números racionais.

Para o 5º ano:

Identificar diferentes representações de um mesmo número racional;

38

Identificar a localização de números racionais representados na forma

decimal na reta numérica;


diferentes significados.

Resolver problema com números racionais expressos na forma decimal

envolvendo diferentes significados da adição ou subtração.

Para o 9º ano:

Identificar a localização de números racionais na reta numérica;

Reconhecer as diferentes representações de um número racional;


diferentes significados;

Identificar frações equivalentes;

Reconhecer as representações decimais dos números racionais como

uma extensão do sistema de numeração decimal identificando a existência de

“ordens” como décimos, centésimos e milésimos;

Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais

(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação);

Resolver problema com números racionais que envolvam as operações

(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

Resultados apontados pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas

Educacionais (Inep), no que se refere a Provinha Brasil, do Sistema de Avaliação da

Educação Básica (SAEB, 2015) aplicada em 2015 indicou que o estado do Pará

possui proficiência média em Matemática, no 5º ano do Ensino Fundamental, inferior

à média nacional, na qual mais da metade dos alunos pesquisados encontram-se no

3º nível (de um total de 10).

Assim, no que se refere à Fração, mais da metade dos alunos do estado do

Pará não alcançaram as habilidades exigidas a partir do 4º nível, que são:

reconhecer uma fração como representação da relação parte-todo, com o apoio de

um conjunto de até cinco figuras; associar a metade de um total ao seu equivalente

em porcentagem; localizar um número racional dado em sua forma decimal em uma

reta numérica graduada onde estão expressos diversos números naturais

consecutivos, com dez subdivisões entre eles; reconhecer uma fração como

representação da relação parte-todo, com apoio de um polígono dividido em oito

39

partes ou mais; associar a metade de um total a algum equivalente, apresentado

como fração ou porcentagem; reconhecer uma fração como representação da

relação parte-todo, sem apoio de figuras, etc.

Estes dados foram levados em consideração no momento da construção de

nossa Sequência didática, tanto no sentido de traçar objetivos de aprendizagem

para cada das Sessões de Ensino quanto na construção de estratégias para superar

estas dificuldades.

1.2 Revisão dos Estudos

As Frações, seu processo de ensino e de aprendizagem, seus elementos

curriculares, são objetos de estudo de pesquisas em Educação, educação

Matemática, Ensino de Matemática, etc. Os mais diversos olhares para este tema,

são influenciados e assumem as mais diversas interpretações a partir das

experiências, diagnósticos, estudos e experimentos dos pesquisadores. O objetivo

desta seção é fazer uma revisão de alguns estudos que foram realizados sobre o

ensino dos números racionais na forma fracionária, com o intuito de relacionar as

dificuldades de aprendizagem referentes a esse conteúdo para subsidiar nosso

experimento. Foram considerados 45 estudos sobre a problemática do processo de

ensino-aprendizagem das frações.

A seguir apresentamos uma breve análise desses estudos, apresentados a

partir das categorias explicitadas acima. Para alcançar este objetivo foram

pesquisados trabalhos na base de dados dos periódicos nacionais da Capes,

Periódicos Capes, mais especificamente o Google Acadêmico, com as chaves de

busca, com os termos livres: “Fração”, “Ensino de Fração”, “Significados de Fração”,

“Aprendizagem de Fração”, “Números racionais”. A seleção consistiu em considerar

os trabalhos publicados desde o ano 2001 até os dias atuais, garantindo a detecção

da maioria dos trabalhos publicados dentro destes critérios.

Os critérios utilizados para a organização destes estudos foram suas

abordagens, resultando em 14 que versam sobre os diferentes significados de

Fração; 13 que realizaram estudos diagnósticos, 16 que realizaram pesquisas

experimentais e 2 que exploram a temática da Formação do professor para o ensino

de número racional.

40

Quadro 01 – Quadro Geral da Revisão dos estudos

(continua)

Tipo de estudo Número de estudos Autor, ano

Os diferentes Significados de Fração

14 estudos

Bezerra, 2001

Rodrigues, 2005

Santos, 2005

Merlini, 2005

Moutinho, 2005

Maciel e Câmara, 2007

Vasconcelos, 2007

Lins e Silva, 2007

Malaspina, 2007

Onuchic e Alevato, 2008

Teixeira, 2008

Magina e Campos, 2008

Okuma, 2010

Lessa, 2011

Estudos Diagnósticos 13 estudos

Notari, 2002

Fonseca, 2005

Oliveira e Aguila, 2005

Canova, 2006

Silva, 2007

Cavalcante et al, 2007

Nascimento, 2008

Justulin e Pirola, 2008

Lopes, 2008

Silva et al, 2010

Silva e Ito, 2013

Santana et al, 2013

Souza, 2013

Estudos Experimentais 16 estudos

Monteiro et al, 2005

Silva, 2007

Druzian, 2007

Secco, 2007

Rosa, 2007

Costa e Sá, 2007

Guerra e Silva, 2008

Silva e Almouloud, 2008

Magina et al, 2009

Moreira, 2010

Sá et al, 2010

Moreira et al, 2010

Pasuch et al, 2013

Jesus, 2013

Lopes e Patrício, 2013

Schimitt et al, 2014

41

Quadro 01: Quadro Geral da Revisão dos estudos

(conclusão)

Sobre a Formação de

Professores

02 estudos

Damico, 2007

Pinto e Ribeiro, 2013

Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

1.2.1 Estudos sobre os cinco diferentes significados de fração

O processo de ensino e aprendizagem de Frações, envolvendo um ou mais

dos cinco significados: parte-todo, quociente, medida, operador multiplicativo e

número foi considerado como uma das categorias de análise para este levantamento

de estudos.

O quadro 02 a seguir nos apresenta os estudos selecionados a partir deste

critério.

Quadro 02 – Estudos sobre os diferentes significados de Fração

(Continua)

Autor Título Ano de

publicação

Bezerra Introdução do conceito de número fracionário e de suas

representações: uma abordagem criativa para a sala de aula

2001

Rodrigues Números racionais: um estudo das concepções dos alunos

após o estudo formal

2005

Santos O conceito de Fração em seus diferentes significados: Um

estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental

2005

Merlini O conceito de Frações em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do ensino

fundamental

2005

Moutinho Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos

de 4ª e 8ª séries do ensino fundamental

2005

Maciel e Câmara

Analisando o rendimento dos alunos das séries finais do ensino fundamental e do ensino médio em atividades

envolvendo Frações e ideias associadas.

2007

Vasconcelos Números Fracionários: a construção dos diferentes

significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do ensino fundamental

2007

Lins e Silva Intervenção docente na construção do conhecimento de

Frações de alunos do EJA

2007

Malaspina O inicio do ensino de Fração: uma investigação com alunos de

segunda série do ensino fundamental

2007

42

Onuchic e Alevato As diferentes personalidades do número racional trabalhadas

através da resolução de problemas

2008

Quadro 02: Estudos sobre os diferentes significados de Fração

(Conclusão)

Teixeira O professor, o ensino de Fração e o livro didático: um estudo

investigativo

2008

Magina e Campos A fração nas perspectivas do professor e do aluno dos dois

primeiros ciclos do ensino fundamental

2008

Okuma Ensino e aprendizagem de Fração: um estudo comparativo e

uma intervenção didática

2010

Lessa A compreensão do conceito de número fracionário: uma

sequencia didática para o significado de medida

2011

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A organização da apresentação das obras se dará a partir do ano de sua

publicação, ou seja, em ordem cronológica; e os aspectos apontados serão:

primeiramente, autor e ano da obra, destacando os objetivos ou questões de

pesquisa, apontando a metodologia utilizada, explicitando os resultados encontrados

e, finalizando com as conclusões ou considerações dos autores.

Bezerra (2001) realizou um estudo sobre números fracionários com o objetivo

de estudar a aquisição do conceito e de suas representações diante de situações

problema. Desenvolveu sua pesquisa com duas classes de 3ª série do Ensino

Fundamental de uma escola pública, com crianças entre oito e dez anos de idade,

dividas em um grupo experimental e outro de controle. No grupo experimental, foram

realizadas sequencias de ensino que envolviam o conceito de Fração, todas

elaboradas pelo autor. No grupo de controle, não houve nenhum contato com o

conteúdo de Fração.

Ambos os grupos foram submetidos a dois testes: um pré-teste (aplicado

antes da aquisição do conceito de Fração) e um pós-teste (aplicado depois do

contato com este conteúdo), cada um contendo 10 questões. Após análises, este

autor aponta que o grupo experimental obteve melhor desempenho em comparação

ao grupo de controle, sinalizando que o processo de aquisição do conceito de

Fração torna-se significativo quando é iniciado com a resolução de problemas; a

combinação entre os modelos parte-todo, quociente, medida, com quantidades

discretas e contínuas, favorecem a aprendizagem das frações.

Outro estudo que trata do mesmo tema é Rodrigues (2005), que teve como

objetivo identificar aspectos do conceito de Fração com relação ao significado parte-

43

todo e quociente. O estudo é orientado por três aspectos: a gênese do número

racional, os princípios da psicologia cognitivista e modelos específicos para o estudo

de números racionais.

As análises foram apoiadas na aplicação de instrumento composto por 48

questões que envolviam os significados parte-todo e quociente, em três níveis de

dificuldade, para 13 alunos da 8ª série, 31 do 3º ano do Ensino Médio e 29 alunos do

Ensino Superior.

Os resultados apontados pelo autor revelaram que diante de situações em

que o aluno deve estabelecer o referencial de como responder a questão, com

pequena preocupação em relação à fixação desse referencial, se torna tendencioso

em evitar a fração imprópria; nas situações de quociente envolvendo quantidades

discretas, há uma disposição da maioria dos alunos utilizar a cardinalidade do

conjunto a ser repartido, ainda quando esta é dispensável, ocasionando um grande

percentual de erros; ainda nesta situação, há uma obstinação a assumir um número

natural como fração, realizando um processo semelhante à divisão de grandezas

contínuas; e, utilizavam procedimentos intuitivos.

Em sua dissertação, Santos (2005), teve como objetivo compreender o estado

em que se encontra o conceito de Fração, para professores que atuam no Ensino

Fundamental, para isso, propôs a seguinte questão de pesquisa: É possível

reconhecer as concepções dos professores que atam no 1º e 2º ciclos (polivalentes)

e no 3º ciclo (especialistas) no Ensino Fundamental no que diz respeito ao conceito

de Fração? Se sim, quais? Se não, por que?

Para isso, o autor realizou um estudo diagnóstico com 67 professores do

Ensino Fundamental, em 7 escolas públicas estaduais. A pesquisa se deu em dois

momentos: no primeiro, o pesquisador solicitou aos professores que elaborassem

seis problemas que envolvessem o conceito de Fração; no segundo momento, pediu

para que resolvessem os próprios problemas elaborados.

Foram analisados os enunciados dos problemas elaborados e as estratégias

de resolução dos problemas. Os resultados apontaram que tanto os professores

polivalentes, quanto os professores especialistas, valorizavam a fração com o

significado operador multiplicativo na elaboração dos problemas; e, quanto à

resolução, há uma valorização dos aspectos procedimentais nos três grupos.

O autor concluiu que não existe diferença significativa entre a concepção dos

professores polivalentes e especialistas, seja na elaboração ou na resolução de

44

problemas de Fração em seus diferentes significados. Enfatiza que é provável que

essas concepções carreguem fortes influencias construídas na Educação Básica.

Merlini (2005), em sua dissertação, realizou um estudo com 120 alunos da 5ª

e 6ª série do Ensino Fundamental, distribuídos em duas escolas da rede pública

estadual da cidade de São Paulo. A pesquisadora teve como objetivo investigar as

estratégias de resolução de questões que abordavam o conceito de fração a partir

de seus cinco significados: parte-todo, quociente, medida, operador multiplicativo e

número. Apresentou como questão de pesquisa: Quais as estratégias de resolução

alunos de 5ª e 6ª séries utilizam frente a problemas que abordam o conceito de

Fração, no que diz respeito os cinco significados da Fração?

Como instrumentos de pesquisa foram aplicados um questionário e uma

entrevista. Os resultados encontrados após as devidas análises (quantitativa e

qualitativa) apontaram para um mesmo significado, os alunos utilizam uma mesma

estratégia de resolução, ou seja, a abordagem que se faz do conceito de fração, não

garante que o aluno construa o conhecimento deste conceito; o significado parte-

todo apresenta homogeneidade de desempenho em ambas as séries; os

significados número e medida apresentaram os piores resultados.

A autora revela também que avaliações oficiais realizadas nos âmbitos

estadual e federal têm encontrado resultados que apontam baixo desempenho dos

alunos em questões que envolvam Fração. Sendo assim, conclui a pesquisa

destacando que se faz importante elaborar sequencias de ensino para alunos de 5ª

série que trabalhem os cinco significados da Fração, as quais deverão apresentar

quantidades discretas e contínuas com representações icônicas e não icônicas.

Moutinho (2005), ao estudar o ensino de Fração, teve como objetivo

identificar as concepções que alunos de 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental

utilizam frente a problemas que abordam este conceito, e como questão de pesquisa

apresentou: Quais as concepções que são possíveis de identificar com relação aos

cinco significados de Fração a partir de um estudo diagnóstico com alunos de 4ª e 8ª

séries do Ensino Fundamental?

A metodologia contou com um estudo descritivo, com elaboração de um

instrumento diagnóstico, que foi aplicado a 65 alunos da 4ª e 8ª séries do Ensino

Fundamental, de duas escolas públicas estaduais de São Paulo. As análises

centraram-se no desempenho e nas estratégias utilizadas pelos alunos, quando

resolveram de forma errônea as questões propostas.

45

Os resultados apontaram que os alunos da 4ª série demonstraram possuir a

concepção do significado parte-todo como central apara a resolução de problemas,

já os alunos da 8ª série, além desta, buscaram resolver os problemas com um uso

mais intenso de operações sem, contudo, atingir um índice de acerto favorável, o

que resultou em um desempenho menor que dos alunos da 4ª série.

Maciel e Câmara (2007) buscou identificar como se comporta o rendimento de

alunos em atividades de resolução de problemas envolvendo as ideias associadas

às frações, em função de sua escolaridade.

Participaram da pesquisa 630 alunos de duas escolas públicas de

Pernambuco, com uma média de 90 alunos por série. O instrumento constou de 10

itens envolvendo três ideias associadas às frações (parte-todo, quociente e

operador), variando o tipo de quantidade envolvida (discreta e contínua), o registro

de representação (figuras ou linguagem natural).

Os resultados mostram um comportamento diferenciado dos alunos do

terceiro Ciclo (quinta e sexta séries) quando se faz variar o tipo de quantidade e a

ideia de fração envolvida no item. Foi possível identificar também que os tipos de

erros cometidos pelos alunos apresentam certa estabilidade com o desenvolvimento

da escolaridade.

Vasconcelos (2007) investigou a aquisição do conceito de número racional na

sua representação fracionária, com o objetivo de comparar as estratégias cognitivas

utilizadas por alunos com bom desempenho em Matemática com as estratégias

cognitivas utilizadas por alunos que apresentam baixo desempenho em Matemática,

durante o processo de aquisição dos diferentes significados dos números racionais:

parte-todo, quociente e operador multiplicativo.

O estudo foi realizado em uma escola da rede privada de Porto Alegre, com

50 alunos, de 4ª a 8ª séries do Ensino Fundamental. Os resultados mostraram uma

desconexão entre a compreensão dos alunos sobre a divisão e a aprendizagem de

Fração e a relacionou à tendência metodológica em ensinar fração somente o

significado parte-todo.

O autor constatou que embora existam semelhanças nas estratégias de

resolução dos dois grupos, eles apresentam diferenças na recuperação automática

de fatos na memória, que afetam a resolução de problemas mais complexos.

Conclui que é necessário a aquisição do conceito de números fracionários em várias

situações e diferentes contextos, valorizando conhecimentos extraescolares, a

46

interação entre os alunos para observar suas estratégias, proporcionando

diversidade no ensino para possibilitar um avanço de estratégias mais eficiente e

econômicas.

Lins e Silva (2007), no estudo: Intervenção docente na construção do

conhecimento de frações de alunos EJA: um estudo de caso, com uma pesquisa

qualitativa, baseada na observação em sala de aula, questionário e entrevistas,

utilizando quatro os professores como sujeitos de pesquisa, estudou os cinco

significados de Frações: parte-todo, quociente, medida, número e operado

multiplicativo.

Os autores após análises das aulas de uma das professoras EJA da 5º série

do Ensino Fundamental chegaram à reflexão de que esta professora não tinha

conhecimentos sobre os cinco significados, abordou o significado fração como

quociente nas frações próprias e impróprias e nos números mistos; já no significado

parte-todo, também em quantidades contínuas e com ícone em sua maioria, ela traz

frações própria e impróprias, frações equivalentes e simplificação de frações.

O terceiro dos cinco significados abordado pela professora foi situação

operador multiplicativo, onde ela o abordou ao ensinar os alunos a transformar um

número misto em número fracionário; os significados medida e número não foram

mencionados em suas aulas.

A pesquisa de Malaspina (2007) buscou realizar uma intervenção com o uso

de material manipulativo para a introdução do conceito de Fração com alunos da 2ª

série do Ensino Fundamental, com o objetivo de descobrir quais eram os efeitos que

cada um dos significados: parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida,

trazem para a aprendizagem inicial destes alunos.

O estudo se deu com 61 alunos da 2ª série do Ensino Fundamental de uma

escola pública estadual, divididos em dois grupos: um Grupo Experimental, que foi

submetido à intervenção; e um Grupo de Controle, que não passou pela intervenção,

mas que assim como o primeiro, resolveu o instrumento diagnóstico proposto. A

autora elaborou uma sequência didática com 28 situações problema que envolviam

os significados de parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.

A autora revela que os resultados de seu estudo poderão contribuir para a

construção do conceito de Fração em crianças nos níveis iniciais de ensino; aponta

que houve predominância expressiva do significado parte-todo, em seus valores

absolutos, em todos os testes-diagnóstico; a variável icônica sobressai em relação

47

às outras variáveis, o que indica interferência, para os alunos, na resolução de

situações com esta variável.

Onuchic e Alevato (2008), com o objetivo de abordar e analisar as diferentes

“personalidades” do número racional e o conceito de proporcionalidade, para isso

utilizou a metodologia ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da

resolução de problemas, com o uso de problemas geradores.

Os estudos apresentam alguns dados que foram desenvolvidos em cursos de

formação continuada de professores visando a compreensão das diferentes

“personalidades” do número racional. Para os autores os diferentes significados do

número racional: ponto racional, quociente, fração, razão e operador são construtos

que dependem das teorias matemáticas em que se inserem e das situações a que

se referem na resolução de problemas.

Os resultados apontam que, em geral, essas “personalidades” não são

facilmente identificadas, por professores e alunos, razão das grandes dificuldades

encontradas durante a resolução de problemas envolvendo números racionais. Uma

dessas “personalidades”, a razão, fundamenta o conceito de proporcionalidade,

relevante por ser uma ideia unificadora na Matemática.

Teixeira (2008), em sua dissertação contou com 52 professores como sujeitos

de pesquisa distribuídos em 15 escolas municipais. Teve como objetivo traçar um

diagnóstico das competências e concepções de professores do 2º ciclo do Ensino

Fundamental a respeito do conceito de Fração. Para isso, trouxe como questão de

pesquisa: Quais as concepções e competências apresentadas por professores que

atuam no 2º ciclo do Ensino Fundamental, sobre o conceito de fração e seu ensino?

O autor aplicou um instrumento de coleta de dados composto por 33 questões

subdivididas em três partes, dividias em dois cadernos. A primeira se referia ao perfil

do professor, com 10 questões; a segunda para a concepção, com 18 questões; e, a

terceira com 5 problemas cada um para cada significado da Fração, investigava a

competência.

A análise dos resultados mostrou que mais de 80% dos professores

pesquisados tinham entre 6 e 25 anos de carreira, suas concepções apresentaram

forte tendência em valorizar a Fração com os significados operador multiplicativo e

parte-todo, e, quanto a competência verificou que está fortemente ligada ao

significado parte-todo, seguido dos significados medida e quociente. No geral, o

autor aponta que os professores apresentaram baixo desempenho na resolução de

48

problemas com Fração, concluindo que é necessário ampliar o conhecimento

matemático dos mesmos, bem como realizar trabalhos que ajudem a expandir suas

concepções a respeito do conceito de Fração e de seu ensino.

O estudo de Magina e Campos (2008), traz a discussão do ensino e

aprendizagem do conceito de Fração nas séries iniciais do Ensino Fundamental,

teve como objetivo compreender como a Fração vem sendo concebida e ensinada

no 2º ciclo do Ensino Fundamental.

As autoras realizaram um estudo diagnóstico com 70 professores polivalentes

e 131 alunos da 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental em 7 escolas públicas de São

Paulo. As análises partiram de dois instrumentos de pesquisa, um para os

professores e outro para os alunos.

Os resultados indicam que os professores tem um prognóstico do

desempenho dos alunos longe do real, havendo uma tendência a superestimar o

nível de acertos, principalmente dos alunos da 4ª série, o que, conforme as autoras,

se deve ao fato da maioria dos professores não ter claro, os diferentes significados

de Fração, resumindo as estratégias de ensino ao uso do material concreto e de

desenhos pra realizar comparações, as quais nem sempre auxiliam os alunos a

superarem as falsas concepções sobre este conceito.

O estudo afirma que, embora a maioria dos professores conseguissem

identificar e explicar, de maneira aceitável, os erros cometidos pelos alunos em

diferentes situações, apenas apresentavam estratégias de ensino limitadas, não

oferecendo aos alunos condições de superarem suas dificuldades. Os alunos

apresentaram desempenhos insuficientes quanto ao significado número e operador

multiplicativo.

O trabalho de Okuma (2010) trata do ensino do conceito de fração e teve por

objetivo investigar as variáveis envolvidas na produção de respostas na resolução

dos problemas propostos que tratam do ensino e aprendizagem do conceito de

fração e seus significados: número, parte todo, quociente, medida e operador

multiplicativo.

A metodologia constou de um estudo comparativo dos resultados da

aplicação de uma sequência de situações-problema apresentados por 15 alunos do

5º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede particular.

Os resultados comparativos foram considerados equivalentes e mostraram

que os alunos apresentam dificuldades e estratégias similares na resolução das

49

situações-problema e, ainda, que o desempenho de ambas as turmas foi

considerado insatisfatório. Considerando os resultados apresentados e com a

finalidade de reverter o quadro referente ao baixo desempenho na resolução dos

problemas de fração, optou-se pela realização de uma intervenção por meio de

contação de três pequenas histórias que abordavam três dos quatro significados do

estudo de frações: parte-todo; número; operador multiplicativo. Os alunos se

mostraram interessados com as histórias. Duas semanas após a intervenção, a

autora aplicou a mesma sequência de situações problema e os resultados obtidos

foram analisados e comparados com os da aplicação inicial. Assim, constatou que

houve uma evolução da capacidade de resolução das situações-problema e também

das estratégias utilizadas.

Lessa (2011), ao desenvolver, em sua dissertação, uma proposta de ensino

com alunos do 6º ano em uma escola em Porto Alegre, envolvendo algumas etapas

da engenharia didática, discutiu os diferentes significados do número fracionário e

apresentou como proposta metodológica uma sequência para o significado de

Medida, com o objetivo de verificar a compreensão do conceito de número

fracionário na experimentação desta proposta didática para a escola básica, de

forma a qualificar o ensino-aprendizagem de Matemática.

Para atingir seu objetivo, a autora aplicou uma sequência de atividades a 12

alunos, em 9 módulos, durando no total um mês de intervenção. A autora observou

que é possível, através desta sequência, propiciar aos alunos uma melhor

compreensão do número fracionário e os alunos conseguiram identifica-los também

como medidas de segmentos e pontos na reta.

1.2.2 Estudos diagnósticos sobre frações

Na seleção de trabalhos referente à categoria Estudos Diagnósticos

encontramos 13 trabalhos. As pesquisas foram organizadas em ordem cronológica,

apontando os aspectos: autor e ano da obra, objetivos ou questões de pesquisa,

metodologia utilizada, resultados encontrados e as conclusões ou considerações

dos autores.

50

Quadro 03 – Estudos Diagnósticos sobre Fração

Autor Título Ano de publicação

Notari Simplificação de Frações aritméticas e algébricas: um

diagnóstico comparativo 2002

Fonseca A divisão de números racionais decimais: um estudo

diagnóstico junto aos alunos de 6ª série 2005

Oliveira e Aguila Dificuldade no processo de ensino-aprendizagem na

resolução de problemas envolvendo Fração na 5ª série do ensino fundamental

2005

Canova Crença, concepção e competência dos professores do 1º e

2º ciclos do ensino fundamental em relação à Fração 2006

Silva

O desafio do desenvolvimento profissional: análise da formação continuada de um grupo de professores das

séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagem das

frações

2007

Cavalcante et a Um olhar sobre os obstáculos que permeiam a aula de

matemática: um exemplo das Frações 2007

Nascimento Perspectiva de aprendizagem e ensino de números

racionais 2008

Justulin e Pirola Um estudo sobra as relações entre as atitudes em relação à

matemática e a resolução de problemas envolvendo Frações

2008

Lopes O que os nossos alunos podem estar deixando de aprender

sobre Frações, quando tentamos lhes ensinar Frações? 2008

Silva et al O ensino de Frações segundo a opinião docente 2010

Silva e Ito Conhecimento de estudantes de licenciatura em

matemática a respeito de situações para o ensino da divisão com frações

2013

Santana et al Fração e seus diferentes registros de representação

semiótica: uma análise da percepção de futuros pedagogos 2013

Souza Abordagem do conceito de fração: uma análise de livros

didáticos 2013


A pesquisa de Notari (2002) trouxe como objetivo um diagnóstico sistemático

dos principais erros e dificuldades manifestados por alunos do Ensino Fundamental

e do Ensino Médio nas operações de simplificação de frações aritméticas e

algébricas, procurando compreendê-los. Para isso, investigou os procedimentos

utilizados por alunos do Ensino Fundamental e Médio na simplificação de frações

aritméticas e algébricas, buscando, por um lado, verificar se estabelecem relações

de equivalência entre a fração dada e a fração obtida pela simplificação; por outro,

conhecer as manifestações dos sistemas conceituais aritméticos e algébricos no

tratamento dessas expressões.

O autor realizou um estudo de caso com alunos da oitava série do ensino

fundamental e do primeiro ano do ensino médio de duas escolas estaduais. Foi

aplicada como instrumento de coleta de dado: a observação in lócus, o estudo piloto,

51

a aplicação de um instrumento provisório para levantamento dos erros. Estes

instrumentos permitiram a identificação das dificuldades manifestadas pelos alunos

e a elaboração do instrumento definitivo a ser aplicado.

Notari (2002) aplicou, posteriormente, entrevistas e testes, que constavam de

oito questões, divididas em dois grupos: a primeira com frações aritméticas e a

segunda com frações algébricas. O autor considera que os estudos apontaram dois

resultados distintos: o elevado número de erros nas simplificações algébricas,

devido a uma generalização de regras de uma situação para outra, sem uma análise

das condições que validam essas generalizações; e no tratamento das expressões

aritméticas, há um predomínio de procedimentos computacionais realizados

automaticamente sem uma reflexão sobre a natureza da tarefa proposta.

A investigação de Fonseca (2005) trouxe como objetivo verificar a

compreensão de alunos de 6ª série sobre a divisão de números racionais na forma

decimal, trazendo como questões de pesquisa: “Os alunos conhecem a técnica da

divisão de números racionais?”, “Os alunos utilizam a operação de divisão para

resolver questões contextualizadas?”; “Que relações os alunos estabelecem entre

dividendos, divisor e quociente?”, “Que significados os alunos atribuem aos restos

parciais na operação de divisão?”.

O autor realizou um estudo preliminar em uma escola particular e a pesquisa,

de fato, em uma classe de trinta alunos dos quais somente 24 alunos participaram

da pesquisa, em uma turma de 6ª série do ensino fundamental de uma escola

pública de São Paulo. A pesquisa constou de teste escrito, com dois tipos de

questões, denominadas “operações aritméticas” e “questões contextualizadas”,

seguido de entrevista semiestruturada.

Fonseca (2005), assinala que entre as relações; dividendo, divisor e

quociente, são poucos os alunos que conhecem a técnica da divisão, a grande

maioria dos alunos utilizam a operação sem saber que está utilizando a técnica.

Dentre os que conhecem a técnica, os erros mais frequentes, se dão no momento

da colocação da vírgula e do zero no quociente. Todos os alunos que conhecem a

técnica da divisão utilizam-na para resolver problemas contextualizados ou não.

A pesquisa de Oliveira e Aguila (2005) trouxe como objetivo investigar uma

abordagem crítico-construtiva no que tange ao processo de ensino e aprendizagem

dos números fracionários, operações com frações, na 5ª série do Ensino

Fundamental a partir de situações-problemas. As autoras utilizaram a Técnica da

52

redescoberta e Resolução de Problemas para minimizar o caráter de “disciplina

difícil” que a matemática possui na cultura e na Educação Matemática. Para isso, as

autoras realizaram análise de três livros didáticos, dos quais, dois foram distribuídos

aos alunos através do programa de distribuição gratuita (PNLDMEC), o terceiro livro

não foi incluído nesta distribuição, sendo escolhido com o intuído de comparar o

conteúdo contido e também por apresentar características distintas na abordagem

do conteúdo Fração.

Os instrumentos de coleta de dados para formalizar seus estudos foram: um

pré-teste e um pós-teste, atividades de redescoberta e resolução de problemas,

realizados com 27 alunos na faixa etária de 09 a 14 anos, de uma turma de 5ª série

do ensino fundamental. O pré-teste teve como objetivo diagnosticar os

conhecimentos dos alunos com relação aos números racionais na referida série e as

dificuldades encontradas pelos alunos, nesse novo conjunto numérico e o Pós-teste,

o qual se tratou das mesmas atividades do pré-teste, teve o intento de reavaliar e

validar o estudo, através da melhoria na aprendizagem dos sujeitos da pesquisa.

Oliveira e Aguila (2005) apontam, após análises, ser de suma importância que

as atividades ou situações-problemas, que expressam os mais diferentes contextos

onde os números racionais estejam presentes, possam ser trabalhadas, como

grandezas contínuas e grandezas discretas, e que isso tem implicações conceituais.

Nesse caso, as frações necessitam que seus denominadores sejam divisores do

número que expressa o total da quantidade, grandeza discreta, isso porque, no

conjunto dos números racionais, a divisão nem sempre é exata.

Para as autoras, são exatamente esses contextos onde os números racionais

estão presentes que precisam ser trabalhados por meio de atividades ou situações-

problemas de forma que novas situações matemáticas possam ser construídas ou

adquiridas, assim como os seus significados. Portanto, o importante é operar com

os números racionais, nos contextos em que está presente, em situação

determinante para garantir um bom rendimento quanto aos procedimentos

numéricos, ou seja, utilizar certos princípios que precisam ter significado para os

alunos, através de uma adequada fundamentação teórica.

Canova (2006) realizou um estudo sobre números fracionários com o objetivo

de identificar e analisar as crenças, concepções e competências dos professores

que atuavam no 1º e no 2º ciclos no Ensino Fundamental no que diz respeito ao

conceito de Fração. Buscando responder à questão de pesquisa: “Qual o

53

entendimento que os professores dos 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental

apresentam em relação ao conceito de Fração?”, o autor sustentou sua pesquisa

nas ideias de Vergnaud, Nunes e Ponte.

O autor elaborou um instrumento de coleta de dados contendo 29 questões

com as categorias; perfil, crenças, concepções e competências, que foi aplicado a

51 professores do 1º e do 2º ciclo do Ensino Fundamental, distribuídos em três

escolas da Rede municipal da cidade de Osasco. E, posteriormente, realizou

entrevistas com 10% da amostra.

Como resultados principais da pesquisa, o autor revela que, as crenças dos

professores não são influenciadas pela sua prática docente, o que não é verdade

para as concepções, que estão mais restritas entre os professores do 1º ciclo do que

para os professores do 2º ciclo. Com relação à competência não houve um

desempenho equitativo entre os cinco significados da Fração e os invariantes.

Canova (2006) considera que há necessidade de se aumentar o campo conceitual

dos professores em relação ao objeto Fração.

A investigação de Angélica Silva (2007) teve como objetivo analisar os fatores

que podem interferir no desenvolvimento profissional de professores das primeiras

séries do Ensino Fundamental, como resultado de uma formação continuada com a

finalidade de discutir questões relacionadas à abordagem da representação

fracionária de números racionais e seus diferentes significados, quando estes

professores estão inseridos em projeto de pesquisa.

Os dados da pesquisa são provenientes de coletas realizadas em 16 sessões

de 4 horas cada, das quais: 3 sessões foram destinadas à aplicação de uma

avaliação diagnóstica; 9 sessões foram dedicadas a estudos dos significados das

frações e à vivência de metodologias diversificadas; uma das sessões foi dedicada à

elaboração de uma sequência de trabalho pelos professores, que foi desenvolvida

com seus alunos em sala de aula. As sessões restantes, três, foram destinadas a

entrevistas, sendo duas sessões, logo após a intervenção do professor em suas

salas de aula, e a última sessão, ocorrida um ano após a intervenção, com o objetivo

de verificar as reflexões feitas pelos docentes depois da pesquisa.

Angélica Silva (2007), em suas conclusões, aponta que alguns fatores que

podem exercer influência sobre o processo de desenvolvimento profissional dos

docentes. Um deles se refere às dificuldades relativas ao conhecimento matemático

do professor. Outro seria a concepção dos professores sobre ensino e

54

aprendizagem da Matemática e a constante reflexão sobre a prática, sobretudo em

ambientes que propiciem um trabalho colaborativo. A autora completa, articulando

que a pesquisa mostra a necessidade de rediscutir as formas como os conteúdos

matemáticos e, em especial, os números racionais, são introduzidos – quando o são

– nos cursos de formação, tanto inicial quanto continuada, sendo possível constituir

uma visão da influência das dificuldades relativas ao conhecimento matemático na

prática do professor.

Em 2007, no Encontro Nacional de Educação Matemática, Cavalcanti et al

apresentou em forma de Comunicação Oral, o estudo: “Um olhar sobre alguns

obstáculos que permeiam a aula de matemática: um exemplo com frações”. Os

autores trouxe como objetivo do estudo a discussão de alguns obstáculos na

construção de conceitos matemáticos onde os conhecimentos anteriores construídos

(na escola e fora dela) constituem-se em dificultadores.

A pesquisa foi realizada com 9 alunos da 6ª série e nove da 8ª série do ensino

fundamental de uma Escola Pública, e 41 professores do ensino fundamental I,

lecionando 3ª e 4ª séries. Todos os professores eram efetivos da Rede Municipal de

Educação e representavam 82% dos professores que lecionavam séries do 2º ciclo

(3ª e 4ª séries) do ensino fundamental no município.

O trabalho com os alunos consistiu em uma atividade investigativa, com

aplicação de um teste com oito itens envolvendo diferentes conceitos de matemática

dos quais utilizaram dois para análise. Com os professores foi realizada uma

pesquisa monográfica para identificar o comportamento dos sujeitos em relação ao

conceito de fração e de equivalência de frações, como instrumento de coleta de

dados foi aplicado um teste constituído de 8 quesitos, alguns delas com subitens.

Entre os resultados, os autores apontaram que o ensino de frações pode ser

um obstáculo, pois não favorece a compreensão de fração como um número distinto

e nem favorece o reconhecimento da fração como um quociente entre dois inteiros.

A pesquisa bibliográfica que resultou em um artigo de Nascimento (2008),

direcionado à formação do professor, teve como objetivo investigar as concepções

dos professores que atuam no Ensino Fundamental em relação ao conceito de

número racional em sua representação fracionária, para compreender como se

encontra o conceito de fração para professores desse nível do ensino escolar. A

pesquisa foi realizada com 67 professores, em 7 escolas públicas da cidade de São

Paulo.

55

As análises foram de trabalhos de: Dante (1987), que faz uma síntese no

ensino de matemática a respeito de métodos baseados na repetição e memorização;

Valera (2003), em uma pesquisa sobre fração na forma decimal; David e Fonseca

(1997), sobre o conceito de número racional em sua representação fracionária.

As perspectivas que fundamentam o trabalho com os números racionais, para

o autor, são: aspecto prático, aspecto psicológico, aspecto da evolução conceitual

da matemática, aspecto didático-epistemológico. Nascimento (2008) compreende

que aprender conceitos matemáticos significa mais que aprender técnicas e

memorizar regras, na realidade deve-se; ter raciocínio lógico, interpretar, construir

conceitos, criar alternativas, equacionar, desenvolver essas habilidades dentre

outras para a promoção da aprendizagem de conteúdos matemáticos, bem como o

conteúdo deve ser iniciado repensando as práticas docentes, métodos,

metodologias e estratégias de ensino.

Nascimento (2008) aponta uma tendência, tanto dos professores polivalentes

como dos especialistas, em elaborar problemas partindo de situações próximas do

cotidiano do aluno, resultando em três categorias nos tipos de resoluções, que são:

algoritmo, icônica e mista. A autora considera que a concepção dos professores,

sujeitos da pesquisa, explícita nos momentos da elaboração e da resolução de

problemas envolvendo o conceito de fração, sem apoio de nenhum tipo de material,

carrega fortes marcas da própria escolaridade, que podem mantê-los inertes em

adquirir novas concepções.

Os autores Justulin e Pirola (2008), com o objetivo de investigar as possíveis

relações entre as atitudes em relação à matemática e a resolução de problemas

envolvendo frações, realizaram uma pesquisa que foi realizada com 95 estudantes

do ensino médio de uma escola pública estadual, distribuídos em: 32 alunos do 1º

ano, 37 do 2º ano e 26 do 3º ano, todos do período da manhã.

Os instrumentos de coleta de dados contaram com um questionário pessoal,

uma escala de atitudes em relação à matemática, prova de matemática a ser

realizada por meio do recurso Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C), uma prova de

matemática para resolver operações com frações sem utilizar o M.M.C e entrevista

audiografada.

Após análises dos instrumentos aplicados, no que concerne às atitudes em

relação à matemática, os autores perceberam que em média os alunos do 3º ano

gostam menos de Matemática do que os alunos do 1º e 2º ano e, que as meninas

56

começam gostando mais da disciplina no 1º ano e no 3º ano gostam menos. Em

relação ao desempenho na prova de matemática os alunos apresentaram melhor

desempenho na prova de algoritmo, do que na prova que contém os problemas.

Afirmaram que a relação entre as atitudes e o desempenho na prova de Matemática

mostrou que a correlação geral entre variáveis série e gênero foi muito baixa,

embora significativa.

Lopes (2008) retoma discussões da Sociedade Brasileira de Educação

Matemática para advogar pela permanência das frações no currículo do ensino

fundamental. O autor fundamenta-se em resultados de pesquisas na área de

Educação Matemática e nos dados coletados de sua experiência de sala de aula,

apresentando uma perspectiva diferenciada daquela que existe hoje, e que é

adotada pela maioria dos livros didáticos e professores de matemática.

O autor aponta que não devemos ensinar frações do modo como tem sido

ensinada, problematizando que nós não precisamos ensinar frações como elas são

ensinadas hoje, na maioria dos programas elementares, na realidade, “nós nunca

deveríamos ter ensinado frações deste modo”, coloca (p.2).

Apresenta como propósito maior a abertura da discussão sobre possibilidades

não convencionais para o ensino das frações, que podem contribuir para uma

aprendizagem significativa e um enriquecimento das ideias matemáticas que

coabitam o campo conceitual das estruturas multiplicativas em que a

proporcionalidade é a ideia forte.

Os principais defeitos apontados no currículo de Frações pelo autor são:

marcas do século passado, como a aplicação de regras prontas e acabadas;

procuram-se frações no dia a dia, o que não quer dizer que as frações devam ser

abolidas, para o autor, temos que reconhecer sua importância em contextos não

utilitários, que atendem a outros significados e objetivos e não com uma

contextualização inadequada; o que sabemos sobre a aprendizagem de fração está

obsoleto, assim os professores deveriam ter atenção para as complexidades que

envolvem conceito tão delicado, bem como os obstáculos à aprendizagem são

muitos e de várias naturezas; o que os alunos deveriam estar aprendendo sobre

frações, professores, comumente, expõe sua incredulidade pelo fato de seus alunos

não responderem a atividades que envolvem frações com o desempenho esperado,

pois confinar o tema frações em algumas séries do currículo é um erro grave.

57

O autor finaliza explicando que apesar de as frações terem adquirido um outro

estatuto no currículo, devido à perda de força da componente utilitarismo, seu ensino

é essencial e inegociável, isto se atribuirmos a devida importância a outros aspectos:

o cultural, o formativo (de natureza cognitiva) e o matemático, apontando para uma

reflexão crítica sobre o currículo, as práticas e objetivos do ensino-aprendizagem da

matemática.

Silva et al (2010), no X Encontro Nacional de Educação Matemática,

apresentaram na forma de Comunicação Oral o estudo: O ensino de Frações

segundo a opinião docente. Os autores apresentam resultados preliminares de uma

pesquisa que teve objetivo de apresentar a opinião dos docentes sobre a forma de

abordagem e o grau de aprendizagem dos discentes referente ao ensino de fração.

A pesquisa foi realizada no período de 27 de dezembro de 2008 a 23 de

março de 2009. A amostra foi composta por 54 professores que atuam, já atuaram e

os que ainda não atuaram, na 5ª série ou 6º ano do ensino fundamental,

desenvolvendo o conteúdo de fração, em diversas instituições da região

metropolitana de Belém. Um formulário composto de questões acerca de alguns

dados pessoais dos professores e de que forma os conteúdos de fração são

abordados, bem como o grau de dificuldade de aprendizagem dos alunos neste

assunto.

As análises apontaram que a maioria dos professores devem abordar o

assunto iniciando com situações problemas, os alunos encontram grande dificuldade

de aprendizagem. É importante que o professor tente viabilizar uma forma,

diferenciada da tradicional, de como abordar o assunto sobre fração, seja por

resolução de problemas, seja por meio de jogos. Para os autores, o importante é

tornar a aprendizagem significativa e, consequentemente, formar pessoas mais

conscientes de seus saberes e potencialidades.

No mesmo evento, Silva e Ito (2013) teve como objetivo analisar os registros

textuais de um grupo de futuros professores de Matemática ao apresentar o estudo:

Conhecimento de estudantes de licenciatura em Matemática a respeito de situações

para o ensino da divisão com frações.

Com o intuito de investigar os conhecimentos necessários para explorar

noções relativas ao conceito de divisão com frações, os autores tomaram como base

um quadro teórico composto por Shulman (1986), Ball (2008), Vergnaud (1990), etc.

58

relacionado tanto à formação de professores quanto ao objeto matemático divisão

com frações.

As autoras apontam a importância do domínio dos professores acerca destes

três significados: a divisão como medida, a divisão como partilha equitativa, e a

divisão como a operação inversa da multiplicação.

A pesquisa mostra que há necessidade de rediscutir as formas como os

conteúdos matemáticos, em especial, os da divisão com vem sendo desenvolvidos

nos cursos de formação inicial de frações.

Em Santana, Lima, Silva e Oliveira (2013), uma comunicação oral

apresentada no XI Encontro Nacional de Educação Matemática, o objetivo foi avaliar

os conhecimentos dos sujeitos em relação à diversificação de registros de

representação de frações, bem como seu conhecimento em relação às regras de

conformidade quando da formação das diferentes representações semióticas.

O estudo aborda a diversificação dos registros de representação semiótica,

em especial, àqueles relacionados ao conceito de fração, utilizando a Teoria dos

Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval.

Os sujeitos da pesquisa foram 10 alunos, de ambos os sexos, do curso de

pedagogia de uma Universidade Estadual. Todos os alunos já haviam finalizado as

disciplinas de matemática contempladas em sua formação e consequentemente os

elementos referentes à fração. Para coleta de dados foi realizada uma entrevista

clínica baseada em um questionário com situações-problema acerca de fração. As

entrevistas foram realizadas individualmente e duraram duas horas.

Os resultados mostraram que as representações que foram escolhidas pelos

sujeitos são aquelas com as quais possuem maior familiaridade a partir de sua

própria escolarização, as representações mais contempladas foram à numérica

fracionária e decimal e a figural contínua, normalmente abordada no ensino de

fração.

Os autores acreditam apontar um caminho que vai além de um reforço do

discurso de que existe uma defasagem na formação dos professores. Isto porque ao

elucidar como futuros pedagogos pensam o conceito de fração torna-se possível

intervir de acordo com as concepções do conceito que estes sujeitos apresentam.

Portanto, é possível elencar alguns elementos para o repensar das práticas

formativas com relação à fração, quais sejam: propiciar a realização de conversões

entre os registros de fração; propor situações que evidenciam a relação entre

59

frações com outros conceitos matemáticos como porcentagem e razão; evidenciar

os invariáveis de equivalência e ordem nos diferentes registros de fração; explorar

situações que envolvam os registros figurais contínuos e discretos; explicitar as

diferenças de relações e propriedades entre o conjunto dos números inteiros e

racionais; possibilitar a coordenação de várias representações de fração de modo

simultâneo; trabalhar a formação das representações de fração partindo da

compreensão de suas relações com o conceito.

No XI Encontro Nacional de Educação Matemática, Souza (2013) apresentou

o estudo: “Abordagem do Conceito de Fração: Uma análise dos Livros Didáticos”, na

forma de comunicação oral. O objetivo do trabalho foi analisar as abordagens

metodológicas sobre os conceitos e significados de fração nos livros didáticos

adotados nas escolas da Rede Municipal de Ensino do Município de Itapororoca/PB,

com o intuito de identificar quais são as contribuições e implicações desse recurso

metodológico acerca deste conteúdo para a prática do professor.

A metodologia foi de cunho exploratória documental realizando um

levantamento dos livros adotados pelos professores do 6º ano das escolas da rede

municipal de ensino do município de Itapororoca/PB. Os livros didáticos adotados

foram: o intitulado Tudo é Matemática de Luiz Roberto Dante (DANTE, 2009),

Matemática de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis (IMENES; LELLIS, 2009), e

Matemática e Realidade de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado (IEZZI;

DOLCE; MACHADO, 2009).

Como resultados, o autor aponta que os livros apresentaram falhas como

fatos históricos pouco aprofundados, sugestões de atividades pouca

contextualizada. Os três livros analisados contemplam a relação parte/todo, porém,

apenas um destaca os demais conceitos fracionários, significando assim, que muitas

vezes a construção das situações em que os diferentes conceitos de fração são

abordados deixa de ser vistos em sala de aula.

1.2.3 Estudos Experimentais sobre Frações

Diante dos estudos encontrados, selecionamos 16 estudos na categoria

referente às pesquisas experimentais. Apresentamos os trabalhos em ordem

cronológica de publicação.

60

Quadro 04: Estudos Experimentais sobre Frações

Autor Título Ano de

publicação

Monteiro et al As Fracções e o desenvolvimento do sentido do número

racional 2005

Silva A compreensão de ideia de número racional e suas operações

na EJA; uma forma de inclusão em sala de aula 2007

Druzian Jogos como recurso didático no ensino aprendizagem de

Frações 2007

Secco Um ambiente interativo de aprendizagem em Fração 2007

Rosa Dificuldades na compreensão e na formação de conceitos de

números racionais: uma proposta de solução 2007

Costa e Sá Operações com Frações x dificuldade na resolução de

problemas 2007

Guerra e Silva As operações com Frações e o princípio da contagem 2008

Silva e Almouloud As operações com números racionais e seus significados a

partir da concepção parte-todo 2008

Magina et al Como desenvolver a compreensão de crianças sobre Fração? 2009

Moreira O ensino das operações envolvendo Frações com calculadora 2010

Sá et al Adição e Subtração de Frações com calculadora virtual 2010

Moreira et al Adição e Subtração de Frações com denominadores diferentes

a partir de situações-problema 2010

Pasuch et al A utilização do lúdico no processo de ensino-aprendizagem de

frações 2013

Jesus Uma proposta de ensino de Frações voltada para a construção

do conhecimento 2013

Lopes e Patrício O uso de jogos no ensino de Fração 2013

Schimitt et al O estudo das Frações através de investigações matemáticas

com uma turma de 5º ano do ensino fundamental 2014


A pesquisa dos autores Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005) apresentou como

objetivo a discussão de uma proposta metodológica como alternativa para abordar a

introdução do conteúdo de frações, de maneira distinta da tradicional, tomando

como ponto de partida da aprendizagem a própria Matemática. O conceito de fração

é construído através de figuras, que funcionam como modelos visuais - usadas com

alunos do 2º ciclo (3ª e 4ª séries) do ensino fundamental em Portugal. A proposta

iniciou com uma experiência em sala com alunos de 5º ano (5ª série).

Para os autores, as estratégias informais usadas pelos alunos na resolução

de tarefas em contextos de partilha equitativa, ajudam a construir o conceito de

fração de forma significativa, valorizando ao mesmo tempo, a compreensão e a

participação ativa do aluno no seu próprio processo de aprendizagem. Conforme os

autores, a abordagem apresentada no estudo, foi inspirada no trabalho de Stree

(1986, 1991), sobre o ensino e aprendizagem das frações e que se insere na

corrente matemática designada por Matemática Realista, uma teoria de Educação

61

Matemática vem sendo desenvolvida no Instituto Freudenthal na Holanda. Esta é

uma teoria em constante construção, mas que teve o seu ponto de partida na ideia

de Freudenthal, onde a Matemática é em primeira instância uma atividade humana,

que passou a constituir um corpo organizado de conhecimentos, no entanto a sua

essência está no processo que conduz a estruturas matemáticas. Segundo o teórico,

os alunos, deveriam aprender Matemática, através do fazer Matemática,

matematizando assuntos da realidade do dia-a-dia e matematizando a sua própria

atividade.

Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), mostram a fração, em situações de

partilha equitativa, onde o dividendo é quase sempre um múltiplo do divisor; no caso

do quociente não ser um número inteiro, os alunos, apresentaram os resultados na

forma de número decimal. Os trabalhos eram realizados em grupos à volta de

variados problemas de partilha equitativa, sem alguma explicação prévia de como

podiam ou deveriam resolvê-los.

Durante a investigação, no 5º ano (5ª série), os alunos não tinham estudado

frações no 1º ciclo (1ª e 2ª séries), o que, aliás, acontece com grande parte dos

alunos portugueses, apesar destas fazerem parte do programa do 1º ciclo em vigor.

Os autores concluíram que ao longo do tempo, os alunos, recorreram cada vez mais

ao uso dos símbolos das frações, notando-se também que nenhum dos grupos

apresentou respostas sem sentido, o que revela que possuem implicitamente

conceitos significativos. No caso das frações decimais, as produções permitiram

destacar a existência de diferentes designações para o mesmo número racional,

especificamente os numerais decimais, as frações e as percentagens – com

exemplo: 3/4 = 0,75 = 75%.

O fato dos autores partirem de estratégias informais dos alunos, dando

espaço ao trabalho e ao nível de compreensão de cada grupo, possibilitou que todos

os conceitos estudados, que são reconhecidos como complexos, fossem resgatados

pelos alunos. Assim, de acordo com Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), apontam

que uma primeira abordagem às frações em contextos significativos para os alunos,

proporciona, às crianças, um trabalho em diversificadas situações, onde as frações

surgem com diferentes significados. Os autores ainda apontam a necessidade de

dar tempo aos alunos para agregar todos os conceitos fracionários e as suas

relações, sem pressa em introduzir regras e algoritmos, correndo o risco de fazê-los

antes que estes possam ter significado.

62

O trabalho de Silva (2007), realizado com alunos da EJA (Educação de

Jovens e Adultos), através de atividades mediadas e sequência didática, teve como

objetivo melhorar a apreensão e compreensão no ensino e aprendizagem de

números racionais em sua representação decimal e fracionária, considerando os

conhecimentos prévios dos mesmos. A investigação tem como objetivo analisar o

potencial de uma sequência didática para a inclusão de alunos de EJA no processo

de ensino e aprendizagem de frações em suas formas fracionária e decimal.

O autor utilizou: relação parte-todo, operador, equivalência, razão, quociente

e decimal, escolhidos a partir dos resultados obtidos na aplicação de uma atividade

diagnóstica, em relação aos conhecimentos dos números racionais. Esta atividade

foi baseada nos erros detectados por Perez (1988), em sua pesquisa sobre o ensino

dos números racionais na representação decimal. Tácio Silva (2007) considera os

erros apontados por Perez (1988), como obstáculos à aprendizagem. Os erros

abordados pelo autor foram: erros relacionados com o zero; erros relacionados com

a ordem dos decimais e erros relacionados com as operações.

Assim, apresenta-se a proposta de uma sequência didática a ser

desenvolvida em 10 aulas, dirigida a 30 alunos do 3º nível da EJA. As atividades

foram elaboradas considerando os seguintes pontos: abordagem dos conhecimentos

prévios, conceito, objetivos, material necessário e procedimentos que os alunos

deverão realizar. Em suas conclusões, o autor, apresenta alguns resultados

positivos evidenciados na aplicação da sequência didática elaborada, como:

aumento na frequência escolar dos sujeitos da pesquisa e sua consequente inclusão

no processo de ensino e aprendizagem; superação de algumas hipóteses, que

levaram a identificação dos racionais e os naturais; a compreensão entre números

positivos e medida, a partir de figuras que representavam medidas; obtenção da

capacidade de relacionar os números racionais na representação fracionária e

decimal, superando, ao menos neste caso, a fragmentação excessiva do

conhecimento matemático.

O autor aponta também a obtenção de habilidade na resolução de algumas

questões relacionadas a operações de adição e subtração, sem a utilização da

técnica que utiliza o mínimo múltiplo comum, afirmando que, a sequência didática de

atividades aplicadas em sala de aula, colaborou para que os alunos superassem

algumas dificuldades, detectadas anteriormente, na aprendizagem de conceitos

fracionários. Apesar de projetar uma resistência dos alunos adultos em trabalhar

63

com material manipulativo, como palitos e material dourado, durante as aulas isto

não ocorreu. O autor comenta ainda, que tais materiais foram de grande ajuda na

compreensão das noções envolvidas nas atividades.

Druzian (2007), em seu estudo, teve como objetivo analisar, por meio do

emprego de uma metodologia lúdica, as contribuições de jogos didáticos no ensino

aprendizagem de frações. Para isso, utilizou como sujeitos de pesquisa, 28 alunos

de uma turma de 5a série do ensino fundamental de uma escola estadual, divididos

em 7 grupos. A metodologia escolhida para a investigação foi de cunho qualitativa,

na modalidade estudo de caso.

O autor utilizou as técnicas: observação participante, diário de campo,

gravações em áudio, análise, de documentos e questionário. Antes de iniciar a

aplicação dos jogos, a professora introduziu o conceito de fração e propôs aos

alunos várias atividades. Após os alunos assimilarem o conceito e o reconhecimento

das frações, iniciou-se a aplicação dos jogos para desenvolver o estudo das frações.

A análise constatou que o aluno, ao jogar, deixa de ser apenas ouvinte

passivo das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo sua

própria aprendizagem. Após duas semanas de trabalho, o autor, percebeu que os

jogos auxiliaram os alunos na aprendizagem dos conteúdos relacionados com

frações.

Com a finalidade de avaliar o desempenho dos alunos e compará-lo com o

trimestre anterior, no qual não se usou jogos nas aulas de Matemática, o autor

realizou uma análise de trabalhos, testes e provas: notou que 68% dos alunos da

turma apresentou um melhor rendimento; 14% mantiveram a mesma média; e os

outros 18% não obtiveram sucesso no rendimento do 2º trimestre.

A dissertação de Secco (2007) traz como proposta de ensino um ambiente

interativo de aprendizagem de Fração, para abordar as séries iniciais do Ensino

Fundamental, com o objetivo de melhorar a interação entre aprendiz e sistema. Para

a realização deste trabalho, a autora utilizou a Aprendizagem Baseada em

Problemas através da implementação de funcionalidades de um ambiente

computacional de aprendizagem, na modalidade Sistema Tutor Inteligente.

A autora, para obter uma avaliação do ambiente de aprendizagem proposto,

realizou um experimento com 26 alunos da quarta série de uma escola municipal de

Alagoas e dois professores da área. Inicialmente, a autora aplicou um pré-teste com

os estudantes, juntamente com interação e explicação sobre o sistema.

64

Posteriormente, aplicou-se um pós-teste, com o intuito de avaliar o conhecimento

dos alunos antes e depois do uso do ambiente.

Como principais resultados a autora assinala que: os estudantes sentiram um

pouco de dificuldade em interagir com o sistema devido a falta de conhecimento

básico em informática; os professores avaliaram o sistema como bom, porém um

pouco lento.

Com a finalidade de comprovar os resultados do experimento, a autora

organizou uma nova seção com seis alunos selecionados do universo de 26 alunos

pesquisados, pois estes usavam frequentemente o computador. Divididos em

duplas, os alunos interagiram durante 30 minutos com o ambiente.

Secco (2007) observou que os alunos não lembravam mais do conceito de

numerador e denominador de Fração, o que dificultou a resolução do problema

apresentado, porém após uma ajuda a respeito dessas dificuldades, conseguiram

seguir adiante com a atividade, explorando inclusive a operação de subtração de

Fração; os alunos sentiram dificuldade em capturar no texto as Frações e operações

a serem utilizadas na resolução do problema proposto. Após a atividade os alunos

demonstraram satisfação e curiosidade em relação ao ambiente.

O estudo de Rosa (2007) teve como objetivo determinar se o uso de planilha

como recurso no ensino dos números racionais na Educação Básica contribui para a

aprendizagem na compreensão e formação de conceitos que envolvem frações e

número decimais, e uma maior retenção desses conceitos a médio e longo prazo. A

investigação foi realizada com uma amostra de 62 alunos, de duas turmas da sexta

série de uma escola pública de Porto Alegre, em um ambiente informatizado. A

pesquisa utilizou apenas uma das turmas para a intervenção.

A autora explica que a planilha utilizada como recurso oferece a oportunidade

de visualizar os procedimentos, analisar os resultados, deixando o aluno no

comando de sua própria aprendizagem. Isso acontece porque não há necessidade

do aluno perder tempo com cálculos, já que o computador os faz. Para ela, a

planilha além de calcular também proporciona a visualização do processo que se

está executando não apresentando somente os resultados finais.

A pesquisa de Rosa (2007) aponta que o uso da planilha favorece a

aprendizagem e torna as aulas mais prazerosas para os alunos, que conseguiram

visualizar os processos com os quais trabalharam. Cinco meses após o primeiro, foi

65

aplicado um segundo teste que mostrou que os alunos que utilizaram a planilha

mostraram uma maior retenção do conteúdo.

Rosa (2007) assinala sugestões para um novo repensar, sobre o uso de

tecnologia nas escolas: não se podem oferecer simplesmente os computadores para

os professores utilizarem sem dar estrutura e treinamento, para um melhor

desenvolvimento das aulas; o uso da planilha eletrônica no desenvolvimento de

outros conteúdos.

Costa e Sá (2007) apresentaram como Comunicação Cientifica no evento IX

Encontro Nacional de Educação Matemática, o trabalho: Operações com Frações x

Dificuldade na resolução de problemas, como o objetivo de investigar a viabilidade

do ensino das operações fundamentais com frações (adição, subtração,

multiplicação e divisão) a partir da resolução de problemas.

Os procedimentos metodológicos se deram através de duas professoras em

uma turma de 5ª série de uma escola de ensino fundamental em regime de

cooperativa, localizada no município de Ananindeua, no Estado do Pará, durante os

meses de outubro e novembro de 2004. Participaram deste estudo 27 alunos com

faixa etária de 09 a 14 anos.

A pesquisa foi realizada nas seguintes etapas: aplicação de Pré-teste,

elaboração das aulas, desenvolvimento das aulas, aplicação de Pós-Teste. Os

resultados desse trabalho foram analisados após a realização das atividades, e para

verificar se persistiam algumas dificuldades que se mostraram evidentes no pré-

teste, foi aplicado um pós-teste contendo os mesmos problemas do referido pré-

teste, cujo intuito foi verificar os efeitos das atividades desenvolvidas junto aos

sujeitos investigados.

Os autores evidenciaram após a intervenção realizada por meio das

atividades propostas envolvendo as operações com frações, muitos dos alunos

investigados conseguiram eliminar a dificuldade de associação dos conceitos

matemáticos com situações práticas, apontam que é de fundamental importância

que no processo de aprendizagem matemática todos os conceitos trabalhados nos

currículos escolares devam partir de situações-problema que favoreçam uma análise

e discussão junto aos alunos para que alcancem um resultado satisfatório em suas

resoluções.

O trabalho de Guerra e Silva (2008) apresenta uma proposta de ensino de

operações entre frações, considerando a maturidade cognitiva dos alunos, bem

66

como subsidiar a prática docente de professores não-especialistas do conhecimento

matemático, mas que ensinam Matemática nas séries iniciais. Apoiados em

pressupostos da geometria grega, evocando o princípio da contagem para a

iniciação dos aprendizes sobre as operações com frações, admitindo que este

conceito se constitua um dos conhecimentos prévios de excelência que deve estar

presente na estrutura cognitiva dos alunos das séries iniciais, para a aprendizagem

de número e das operações com números racionais.

Os autores afirmam que o princípio da contagem evidenciado na contagem de

unidade mostra a estreita relação operatória entre frações e números inteiros

provendo de significados as técnicas algorítmicas adotadas no fazer escolar. Essas

técnicas algorítmicas são práticas e estabelecem modos de se operar com frações

que, posteriormente, são sistematizados em fazeres escolares, como o das regras

operatórias para expressões algébricas, ditas racionais, não apresentando conexão

com os números inteiros e, consequentemente, com o princípio de contagem.

Guerra e Silva (2008) relatam que as técnicas adotadas devem constituir um

fazer matemático de evocação epistemológico-conceitual, podendo subsidiar outros

fazeres docentes diretamente relacionados, como, por exemplo: o de medida de

áreas de figuras planas; construção de números com vírgula em diferentes sistemas

de base de numeração; a relação entre frações e áreas de retângulos que induz à

construção de uma relação de equivalência usada amiúde em textos da matemática

superior para o estudo da construção dos racionais; além de proporcionar, de modo

direto, a construção do conceito de grandezas comensuráveis; ou ainda, suscitar

questões das relações entre esse conceito e do conceito de enumerável na

construção dos números reais, etc.

Silva e Almouloud (2008) em seu artigo ponderam a respeito das operações

com números fracionários focalizando a concepção parte-todo por meio de

atividades que contribuam para a prática docente na escola básica, trazendo como

foco a possibilidade do tratamento das operações com números fracionários a partir

de representações de figuras planas, mobilizando a concepção parte-todo, a partir

de uma breve caracterização da concepção, tratando a seguir das quatro operações

fundamentais.

As informações foram coletadas a partir de observações da frequência do

conteúdo, tanto em livros didáticos, quanto na prática docente, provindas das várias

formações em projetos do qual participaram. Como resultados dessas participações

67

foram apresentados várias atividades, demonstrando a eficiência do estudo. Silva e

Almouloud (2008) acreditam que as atividades apresentadas podem auxiliar o aluno

na compreensão das regras operatórias sobre números fracionários com significado,

no entanto, são insuficientes para que sejam conceituadas adequadamente como

números racionais.

Os autores complementam explicitando a necessidade de descontextualizar

as situações para que as habilidades com o cálculo se desenvolvam independente

de representações visuais (figuras), oportunizando ao aluno um aprendizado

significativo, reconhecendo que o aluno precisa dos conhecimentos iniciais bem

fundamentados para ter sucesso na aprendizagem de novos conteúdos

matemáticos.

Magina, Bezerra e Spnillo (2009), em seu artigo apresentaram os resultados

de uma pesquisa de intervenção, com o objetivo de desenvolver o conceito de

frações em crianças de oito a dez anos. Os autores dividiram 57 crianças em três

grupos: Grupo Experimental (GE) e Grupo Controle (GC), formados por alunos da 3ª

série do ensino fundamental sem instrução prévia sobre frações, e Grupo de

Referência (GR), formado por crianças da 4ª série que já haviam tido instrução sobre

frações por meio de uma abordagem mecanicista e de aplicação de regras. Todos

os participantes realizaram um pré-teste e um pós-teste.

O Grupo Experimental, com 19 alunos, passou por uma intervenção no ensino

baseada na resolução de situações-problema de frações como quociente e como

relação parte-todo. Essas situações eram apresentadas por meio da combinação e

das comparações entre diferentes suportes de representação, gerando discussões

em que as crianças refletiam acerca dos processos de resolução adotados.

O Grupo Controle, com 20 alunos de 3ª série que nunca haviam recebido

qualquer tipo de instrução sobre fração no contexto escolar e o Grupo de

Referência, com 18 alunos de 4ª série com instrução formal sobre fração no contexto

escolar. Na escola investigada, o ensino de fração se caracterizava por um ensino

tradicional voltado, fundamentalmente, para uma abordagem mecânica e algorítmica

da fração, sendo enfatizada a aplicação de regras e o uso da representação

simbólica formal.

O pré-teste e o pós-teste consistiam na resolução de 15 itens cada, que se

caracterizavam como tarefas tipicamente escolares envolvendo quantidades

discretas, enfatizava-se a representação fracionária de uma relação parte-todo;

68

envolvia quantidades contínuas e requeria da criança realizar uma divisão e, então,

representar, sob a forma de fração, o resultado obtido.

A intervenção consistiu em dez sessões realizadas no contexto escolar

durante o horário regular de aula, foram ministradas duas sessões por semana no

período de cinco semanas, com duração de duas horas cada. A dinâmica da sala de

aula baseava-se na resolução de problemas de fração, em pequenos grupos ou em

pares, que envolviam tanto problemas verbais quanto jogos e situações baseadas

em atividades extraescolares, como a feira, por exemplo.

Os resultados após análises apontaram que as crianças do grupo

Experimental e do grupo Referência tiveram um melhor desempenho no pós-teste

do que no pré-teste, destacam ainda que embora as crianças dos dois grupos

tenham se beneficiado da instrução recebida (tradicional do GR e a intervenção

alternativa do GE), as crianças do GE tiveram um progresso muito mais expressivo

do que as do GR.

A dissertação de Moreira (2010) apresentou os resultados de uma pesquisa

que teve como objetivo investigar a viabilidade do ensino das operações com

frações por meio de atividades desenvolvidas a partir de situações-problema

mediadas por uma calculadora virtual de fração e jogos. O experimento foi

desenvolvido em uma escola pública do Município de Ananindeua no Estado do

Pará, os sujeitos foram 45 alunos da 5ª série (6º ano) do ensino fundamental.

A autora explica que utilizou a Engenharia Didática como metodologia,

realizou os estudos prévios a partir de uma revisão de trabalhos sobre o ensino de

frações e uma consulta a 100 docentes sobre o processo de ensino aprendizagem

de frações; a parte experimental deu-se por meio de atividades tendo situações

problemas como ponto de partida e uma calculadora virtual de frações como recurso

didático.

Durante o experimento os alunos foram solicitados a solucionar questões

envolvendo as operações com fração, sem que eles já tivessem estudado o assunto

em questão. Os cálculos necessários ao desenvolvimento das atividades foram

executados com a calculadora virtual. Após a resolução de cada atividade, os

discentes eram desafiados a descobrirem uma maneira de obter os mesmos

resultados produzidos pela máquina sem a utilizarem novamente. A maioria dos

alunos conseguiu descobrir algoritmos válidos para o cálculo das operações com

frações.

69

Após as devidas análises, a autora aponta que a comparação entre o

desempenho nos pré e pós-testes indicou que os discentes internalizaram os

algoritmos construídos durante as atividades, devido o significativo aumento do

percentual de acertos no pós-teste em relação ao pré-teste, possibilitando a

viabilidade da metodologia de ensino adotada.

Moreira (2010) indica como principais resultados: a viabilidade da calculadora

virtual de fração como recurso didático para o ensino de operações com frações; a

sensibilização para novas reflexões na formação de professores sobre o uso de

novas metodologias e um novo olhar na resolução das operações de frações com

denominadores diferentes sem a utilização da ferramenta m.m.c.

Em Sá et al (2010), uma comunicação oral apresentada no X Encontro

nacional de Educação Matemática, o objetivo foi avaliar a viabilidade de ensino da

adição e subtração de frações por meio de atividades mediadas por uma calculadora

virtual para frações.

A pesquisa foi realizada em uma turma de 4ª série de uma escola estadual de

ensino fundamental e médio, localizada no bairro do Telégrafo, em Belém-Pará,

composta por 24 alunos, nos meses de outubro de 2009 a janeiro de 2010, e

obedeceu às seguintes etapas: diagnóstico inicial, elaboração das atividades,

aplicação das atividades, fixação, diagnóstico final e análise dos resultados.

Para realizar um diagnóstico do conhecimento prévio dos alunos sobre as

operações de adição e subtração com frações foi aplicado um formulário contendo

questões sobre dados pessoais e 10 questões envolvendo as operações de adição e

subtração de frações. Com a aplicação do pré-teste, verificou-se que a maioria dos

discentes não conseguiu resolver corretamente as questões de adição e subtração

de frações, muitos as deixando em branco e outros, quando tentavam fazê-lo,

apenas davam como resposta números inteiros.

A pesquisa realizada pretendeu propor uma metodologia de ensino de frações

mediada pela utilização de recursos tecnológicos (a máquina de calcular virtual),

apresentar e analisar os resultados de sua aplicação em sala de aula.

Foram elaboradas quatro atividades de redescoberta, um jogo de baralho

sobre adição e subtração de frações com o mesmo denominador e outro envolvendo

as duas operações com denominadores iguais e diferentes. As atividades

apresentavam adição e subtração de frações com denominadores iguais, adição e

subtração de frações com denominadores diferentes. Cada atividade possuía uma

70

descrição com nome, objetivo e materiais utilizados (roteiro da atividade, lápis ou

caneta e a máquina de calcular virtual), as questões para resolução, conclusão e

fórmula.

Os autores, após análises, afirmam que em todas as questões houve um

aumento significativo na porcentagem de acertos no pós-teste, em comparação com

o pré-teste, apesar de alguns alunos ainda terem feito certas confusões entre

procedimentos de resolução.

Moreira et al (2010), no evento X Encontro nacional de Educação Matemática,

apresentado como comunicação cientifica, apresentam um estudo experimental com

o objetivo de avaliar a viabilidade do ensino das operações por meio de atividades

mediadas por uma calculadora virtual de fração a partir de problemas.

A metodologia do estudo se deu a partir de um pré-teste e um pós-teste que

participaram do estudo 45 alunos do 6º ano do ensino fundamental de uma

instituição pública estadual do município de Ananindeua-Pará, com faixa etária

variando entre 9 e 11 anos. A pesquisa foi desenvolvida por meio das seguintes

etapas: diagnóstico inicial; elaboração das atividades, aplicação das atividades,

fixação, diagnóstico final e analise dos resultados.

Com os resultados do pré-teste, os autores realizaram a elaboração das

atividades, sendo cinco atividades sobre adição e cinco sobre subtração de fração

com denominadores diferentes, as quais foram desenvolvidas pelos alunos, no

laboratório de informática, organizados em grupos de três pessoas e utilizando como

recurso pedagógico a Calculadora de Fração (máquina virtual). A Calculadora de

Fração é um software educativo, baseado em uma calculadora convencional.

Com o objetivo de avaliar os efeitos da aplicação das atividades propostas foi

aplicado um pós-teste com as mesmas questões do pré-teste. Como resultados,

Moreira et al (2010) indicam que o conteúdo trabalhado foi assimilado de forma

significativa, sugerindo que o aprendizado ocorreu, com boa intensidade, pois tem-

se um crescimento considerável das melhorias nas resoluções dos problemas,

consequentemente nas construções dos algoritmos, com atividades mediadas pela

Calculadora de Fração e sem o recurso do mmc.

No trabalho dos autores Pasuch, Barbosa e Bassani (2013) encontramos um

relato com a proposta de inserção do lúdico como recurso didático no processo de

ensino-aprendizagem, de modo a perceber sua importância na educação

matemática. Construído na forma de oficina, foi elaborada por acadêmicas do curso

71

de Matemática – Licenciatura do Instituto Federal Catarinense, realizada em uma

Escola Básica da rede municipal, com 24 alunos da turma da 6ª série, em 2012.

O lúdico foi utilizado no ensino de frações, abordando: conceito, equivalência,

simplificação, adição e as diferentes representações, com o objetivo de tornar as

aulas atrativas e possibilitar a interação entre aluno/material-manipulável/professor.

Os autores observaram que os alunos se interessavam em fazer as atividades

propostas, bem como a questionar e participar compartilhando suas ideias, pois o

fato de estarem brincando em grupo fazia com que eles se auxiliassem,

desenvolvessem limites por obedecerem às regras das atividades e construíssem

seu conhecimento, tornando a aula prazerosa.

Dessa forma, percebeu-se que se bem planejada a dinâmica da aula pelo

professor, o lúdico pode ser inserido no ensino com expectativas de bons resultados,

pois ele não só auxilia na dinâmica das aulas, como também pode ser utilizado na

inserção de novos conteúdos ou para relacionar diferentes conceitos, ao mesmo

tempo em que diverte e envolve os alunos.

A dissertação de Jesus (2013) teve como objetivo apresentar uma proposta

de ensino de Frações, pautada na experimentação do aluno que se mostrava,

conforme o autor, significativa e coerente com a etapa do desenvolvimento cognitivo

dos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.

Quanto à introdução do conteúdo de fração, o autor apresentou as cinco

primeiras atividades. A primeira atividade apresentada tratava de Fração como

Parte-todo, tinha como objetivo relacionar a unidade as suas partes fracionárias e

assim, identificar Frações; a segunda atividade apresentava o mesmo objetivo da

primeira. A terceira atividade era em forma de exercício e tinha como objetivo

aprofundar o conteúdo de identificação de Frações, a quarta também possui o

mesmo objetivo que a anterior. A atividade cinco busca reconhecer a função

denominador trabalhando a reconstrução do inteiro a partir de suas partes.

Com relação à equivalência de Frações, foram apresentadas as atividades de

6 a 9: a atividade seis tinha como objetivo a conceituação de frações equivalentes; a

sete idem a seis utilizando o circulo; a oito buscou a identificação de Frações

decimais equivalentes; a nove, concluir a operação matemática envolvida no

processo de equivalência de Frações.

No que concerne às operações com Frações, o autor propôs as atividades

10, 11 e 12. Na atividade 10, o autor buscou introduzir a noção de adição e

72

subtração de Frações, relacionando a parte do inteiro que cada um representa; na

atividade 11 o objetivo era de efetuar a adição e subtração de Frações através da

representação de seus termos; na 12, além das operações, o reconhecimento de

Frações equivalentes ou com denominadores diferentes para a resolução destes

cálculos.

Lopes e Patricio (2013), no evento X Encontro nacional de Educação

Matemática, apresentaram o estudo: “O uso de jogos no ensino de Fração” na forma

de comunicação oral, com o objetivo de apresentar uma compilação de três jogos

que envolvem o conteúdo de frações. Os autores buscaram contribuir para uma

prática mais lúdica por parte do professor, de modo que o mesmo possa introduzir o

conteúdo e fixá-lo utilizando-se de um destes jogos apresentados ou mesmo de

todos.

O primeiro jogo proposto consistiu em um baralho cujas cartas eram geradas

por todas as frações determinadas por dois dados, um maior que representaria o

numerador e um menor que representaria o denominador, o qual foi testado com

alguns alunos da 6ª série, 7º ano, em paralelo ao assunto que estavam vendo em

sala de aula. Lopes e Fabricio (2013) indicam que os alunos conseguiram a partir do

jogo fixar o conceito de fração e sua inversa, além de lerem a fração de forma

correta identificando numerador e denominador.

O segundo jogo se tratava de um Dominó de Frações Equivalentes, no qual

as peças do dominó convencional são substituídas por peças de frações

equivalentes e representações gráficas e o terceiro jogo foi composto por um

baralho com 32 cartas, uma tabela com tiras de frações e as regras do jogo para

cada grupo, que no momento ainda não haviam sido aplicados.

Os autores afirmam que além do aprendizado matemático, os alunos se

divertiam e partilhavam conhecimento. Os alunos ficaram entusiasmados com a

atividade lúdica a ponto de pedirem para que atividades deste tipo fossem realizadas

mais vezes. Ao submeter os alunos a uma lista de exercícios de fixação os autores

concluíram que eles aprenderam.

O artigo de Schmitt, Quartieri e Oliveira (2014), foi construído a partir do relato

que descreveu uma experiência desenvolvida com alunos do 5º ano do Ensino

Fundamental da Educação Básica na qual se utilizou a tendência Investigação

Matemática no contexto do ensino de frações. O objetivo deste trabalho foi introduzir

frações de forma não tradicional, desenvolvendo atividades de cunho investigativo e

73

concreto, de maneira que os alunos participassem do processo e elaborassem

conclusões, incentivando o trabalho de equipe e a escrita na aula de matemática.

Os autores apontaram como problema de pesquisa teve-se: Que conjecturas

alunos do 5º ano apresentam ao trabalharem com atividades envolvendo

investigação matemática e o assunto frações?

O material de coleta de dados da pesquisa constituiu-se dos diários de campo

da professora, e de cadernos dos alunos com observações realizadas no decorrer

das atividades, de uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola

filantrópica localizada no município de Roca Sales-RS, que atende alunos do

maternal até o 3º ano do Ensino Médio. A turma em estudo era constituída de 22

alunos sendo 11 meninos e 11 meninas, entre 10 e 13 anos, os quais eram muito

criativos e esforçados, destacam os autores.

A primeira atividade realizada foi com dobraduras e recortes, relacionada com

eixos de simetria; a segunda aula foi explorado o conteúdo de frações de

quantidades discretas; na terceira aula trabalhou-se com a determinação de uma

fração de uma quantidade; na quarta aula foi explorada a representação das

frações. Com essas atividades, os autores encerraram o trabalho com frações por

meio da metodologia Investigação Matemática com a turma do 5º ano e passaram à

análise dos dados coletados ao longo das atividades.

Como resultados observou-se que os alunos gostaram das atividades e

demonstraram criatividade na realização das atividades, chegando às respostas sem

solicitar auxílio da professora e perceberam as regularidades que aconteciam nas

questões e quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos, o destaque foi em

relação à escrita das conclusões no caderno, pois tinham muito receio de estarem

escrevendo errado.

1.2.4 Estudos sobre formação de professores

Estudos no campo da educação e da Educação Matemática discutem

processo de ensino e aprendizagem de Matemática relacionando-a, positivamente

ou negativamente, com a formação Inicial do professor. Vejamos o Quadro 05:

74

Quadro 05 – Estudos sobre formação de professores

Autor Título Ano de publicação

Damico Uma investigação sobre a formação inicial de professores

de matemática para o ensino de números racionais no ensino fundamental

2007

Pinto e Ribeiro Conhecimento e formação de futuros professores dos

primeiros anos – o sentido do número racional 2013


Este levantamento nos possibilitou a análise de 02 trabalhos mais específicos

sobre o ensino de Fração, que serão organizados e apresentados a partir do ano de

sua publicação, apontando os aspectos: primeiramente, autor e ano da obra,

destacando os objetivos ou questões de pesquisa, apontando a metodologia

utilizada, explicitando os resultados encontrados e, finalizando com as conclusões

ou considerações dos autores.

Damico (2007), em sua tese, com o objetivo de investigar a formação inicial

de professores de Matemática para o ensino dos Números Racionais no Ensino

Fundamental, pesquisou 346 estudantes para professores de Matemática, sendo

189 iniciantes e 157 concluintes, bem como 41 formadores de professores de duas

universidades do ABC paulista.

A coleta de dados para esta investigação foi realizada a partir de cinco

instrumentos. No primeiro os alunos concluintes foram solicitados a criarem oito

problemas envolvendo frações com o objetivo de avaliar alunos do Ensino

Fundamental; no segundo os alunos concluintes resolveram oito problemas que eles

mesmos criaram; no terceiro todos os alunos, iniciantes e concluintes, foram

submetidos a uma avaliação contendo vinte questões sobre conhecimentos

fundamentais sobre números racionais; no quarto instrumento, realizou-se uma

entrevista interativa com 10% dos alunos concluintes participantes da pesquisa e no

quinto e último instrumento, uma entrevista interativa com 41 professores.

Damico (2007) realizou uma análise que precedia de dados estatísticos,

seguidos de análise qualitativa, sempre especificando a categoria utilizada para a

mesma. Os resultados foram apresentados em três unidades de análise que

abordam o conhecimento matemático dos estudantes para professores em relação

aos cinco significados da Fração; o conhecimento matemático e o conhecimento

pedagógico (do conteúdo ou didático) em relação às operações básicas com

frações; os números racionais na formação universitária.

75

O autor evidencia que os estudantes para professores têm uma visão

sincrética dos números racionais, demonstrando um acentuado desequilíbrio entre o

conhecimento conceitual e processual, com prevalência do processual. Observou

também um baixo nível de conhecimento didático com relação às formas de

representação dos conteúdos ensinados no Ensino Fundamental referente aos

números racionais.

No artigo “Conhecimento e formação de futuros professores dos primeiros

anos – o sentido de número racional”, de Pinto e Ribeiro (2013), o objetivo central foi

identificar quais as situações matematicamente (mais) críticas para os professores

de modo que, pela formação facultada, possam deixar de o ser. Tomando como foco

o conhecimento matemático do professor e as suas especificidades, os autores

discutem alguns aspetos desse conhecimento de futuros professores sobre números

racionais, em concreto o sentido de número racional, identificando as suas

componentes mais problemáticas e equacionando alguns dos porquês em que se

sustentam.

Os autores apontaram como pretensão promover uma discussão e reflexão

sobre aspetos concretos do conhecimento dos futuros professores no âmbito dos

números racionais e, de forma mais ampla, problematizar as implicações desse

conhecimento (ou falta de evidências) na formação que facultamos, questionando,

também, o nosso papel como formador e responsabilidades associadas.

O estudo combinou uma metodologia quantitativa com um estudo de caso

instrumental, Pinto e Ribeiro (2013), primeiramente, aplicaram algumas tarefas a

futuros professores em duas Instituições de Ensino Superior (IES) que formam

professores dos Primeiros Anos, para aceder ao seu conhecimento relativo ao

conceito de número racional, que lhes permita: reconhecer diferentes significados

das frações, identificar e reconstruir a unidade de referência; reconhecer frações

equivalentes e relacionar diferentes representações; comparar e ordenar números

racionais, reconhecendo a sua densidade; e relacionar símbolos com ações e

conhecimentos informais, bem como com linguagem matemática formal (e

adequada) de forma significativa.

Como resultados, apontaram que relativamente aos diferentes significados

das frações, a maioria dos estudantes revelou pouca familiaridade, mesmo com o

significado que admitiram ter sido mais explorado durante o seu percurso escolar, ou

seja, a fração como parte-todo; revelam um conhecimento matemático

76

especificamente relacionada com a atuação docente de um nível bastante baixo,

alguns estudantes parecem não estar muito familiarizados com a representação

fracionária e revelaram sérias limitações ao nível do desenvolvimento do seu

raciocínio multiplicativo. Para os autores, a formação deverá focar-se onde é,

efetivamente, necessária, de modo a potenciar um incremento do conhecimento dos

alunos, pelo conhecimento (e práticas) dos professores.

Os diversos trabalhos consultados e analisados em nossa revisão dos

estudos nos possibilitaram informações importantes sobre o processo de ensino e

aprendizagem de Frações que subsidiaram a elaboração de nossa consulta aos

docentes e discentes, bem como contribuiu para a construção e aplicação de nossa

Sequencia Didática.

1.3 Consulta aos docentes

Para que possamos compreender melhor os fenômenos a serem

investigados, realizamos uma consulta a 100 professores de Matemática da rede

pública e particular de ensino. Realizada no município de Belém, no estado do Pará,

e sua aplicação ocorreu nos meses de Janeiro a Março de 2017.

O material usado para esta coleta foi um questionário (Apêndice A), com três

folhas de papel A4 contendo perguntas como nome, idade, escolaridade, tempo de

serviço, etc. Este instrumento foi elaborado e aplicado aos professores, com o

objetivo de caracterizá-los, bem como conhecer suas concepções sobre o ensino da

matemática, especificamente do ensino das frações.

O questionário, dividido em três partes, constituiu-se de 13 questões. A

primeira parte, com as questões da 1 a 7, eram sobre o perfil dos professores, que

se referem aos dados pessoais, tempo de serviço, formação acadêmica e

experiência profissional. Na segunda parte, as questões de 8 a 12, buscavam

conhecer as atividades dos professores no ensino dos números decimais e a 13ª

questão, teve como objetivo ter um panorama das dificuldades dos alunos a partir

das suas percepções.

As informações coletadas a partir da aplicação deste questionário nos

permitiram traçar o perfil destes docentes, o qual será explorado adiante.

77

1.3.1 Perfil dos docentes

Após análise das respostas encontradas nos questionários, organizamos os

resultados, prioritariamente, na mesma ordem em que as questões estavam

dispostas no questionário, podendo vim individualmente ou em conjunto com outro

item, em que foram apresentadas aos profissionais da área de Matemática.

Nesta consulta participaram 100 docentes, 20 professoras e 80 professores,

sendo que 56% são, exclusivamente, docentes de escolas públicas da rede estadual

do Pará; 29% são de escolas públicas e de outras instituições, dentre as municipais,

federais e privadas; e, 15% são de escola privada ou não estão atuando em sala de

aula, pois estão de licença. Os professores estão concentrados na faixa etária entre

26 e 45 anos, com 66%, como mostra o quadro 06 a seguir.

Quadro 06 – Faixa Etária Dos Docentes

Faixa Etária (anos) Frequência Absoluta Frequência Relativa

21 a 25 8 8,00%

26 a 30 9 9,00%

31 a 35 21 21,00%

36 a 40 16 16,00%

41 a 45 20 20,00%

46 a 50 18 18,00%

51 a 55 3 3,00%

56 a 60 3 3,00%

61 a 65 2 2,00%

Total Geral 100 100%


Gráfico 01 – Faixa Etária dos docentes


8,0%

9,0%

21,0%

16,0%

20,0%

18,0%

3,0%

3,0%

2,0%

21 a 25 26 a 30 31 a 35 36 a 40 41 a 45

46 a 50 51 a 55 56 a 60 61 a 65

78

Observando Quadro 06 e o gráfico 01, percebemos que as maiores

frequências estão entre as idades de 31 a 50 anos, somando 75% da amostra,

demostrando que os docentes consultados estão combinando juventude e atuação

docente.

Estes dados convergem com o estudo de Moreira (2010, p. 61), que aponta

que o maior percentual da construção de um perfil docente recaiu no gênero

masculino na faixa etária variando entre 15 a 45 anos.

Para discutirmos os resultados encontrados a respeito da formação dos

docentes consultados, buscamos Cunha (2007), Sánches-Amaya e Gonzáles-Melo

(2016) e Tardif (2002) para debatermos a respeito dos saberes docentes

necessários à atuação do professor em exercício.

Quanto à escolaridade dos docentes consultados, temos:

Quadro 07 – Escolaridade dos Docentes

Nível Frequência Absoluta Frequência Relativa

Somente a Graduação 45 45,00%

Possui uma especialização 38 38,00%

Possui mais de uma especialização 11 11,00%

Possui mestrado 5 5,00%

Possui doutorado 1 1,00%



Gráfico 02 - Escolaridade dos Docentes


45,0%38,0%

11,0%5,0% 1,0%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Somente aGraduação

Possui umaespecialização

Possui mais deuma

especialização

Possuimestrado

Possuidoutorado

79

O quadro 07 e o gráfico 02 apresentam todos os docentes possuem o nível de

graduação concluído, indicando que 38% possuem pelo menos uma especialização.

Os cursos apontados estão conectados à área da educação, sendo citadas as

Especializações em: Educação Matemática, Matemática Financeira, Matemática no

Ensino Médio, Matemática, Gestão Escolar, Atendimento Educacional

Especializado, Docência do Ensino Superior, Educação Especial, metodologia do

Ensino da Matemática, etc.

Dos docentes consultados, 17% indicaram estar cursando Mestrado, dos

cursos indicados estão: Profissional em Matemática e em Educação. Quanto ao

docente que declarou ter doutorado, relatou ser em Educação Matemática, na PUC

de São Paulo.

Com a leitura destes dados, percebemos que a população consultada

apresenta um relevante nível de formação, estando em sua maioria em processo de

formação continuada, o que nos permite indicar uma maior apropriação de técnicas

e teorias relacionadas ao campo da educação, ao processo de ensino e

aprendizagem.

O quadro 08 nos fornece os dados referentes ao tempo de serviço dos

docentes consultados, proporcionando um panorama dos diversos níveis de

experiência docente em que os docentes estão, apresentando razoável experiência

no trabalho docente, sendo o maior índice na faixa de 6 a 10 anos de atuação, com

30% dos consultados.

Quadro 08 – Tempo De Serviço Dos Docentes

Tempo de Serviço (anos) Frequência Absoluta Frequência Relativa

01 a 05 25 25,00%

06 a 10 30 30,00%

10 a 15 23 23,00%

16 a 20 17 17,00%

21 a 25 5 5,00%



Podemos notar que o período de 06 a 15 anos concentra o maior percentual

de tempo de atuação destes professores, o que nos indica uma considerável

experiência no trabalho docente.

80

Gráfico 03 - Tempo de Serviço dos Docentes


Em relação aos níveis de ensino em que os docentes consultados estão

lecionando, no que diz respeito à educação básica, atualmente temos que: 36% está

atuando no ensino fundamental e no ensino médio, 35% apenas no fundamental,

17% somente no ensino médio e 12% não está lecionando em nenhum dos dois

níveis de ensino, pois estão de licença para cursarem o Mestrado.

Estes dados estão dispostos no Quadro 09.

Quadro 09 – Níveis De Atuação Na Educação Básica

Situação Frequência Absoluta Frequência Relativa

Não está lecionando 12 12,00%

Somente Ensino Fundamental 35 35,00%

Fundamental e Médio 36 36,00%

Somente Médio 17 17,00%



Em uma das maiores frequências encontram-se os professores que atuam

nos dois níveis de ensino (Fundamental e Médio), 15 lecionam em todos os anos, ou

seja, 6º, 7º, 8º e 9º anos; 14 atuam em três anos (7º, 8º e 9º anos); 7 lecionam em

dois dos anos do ensino fundamental e, 1 atua somente no 9º ano.

No que se refere aos professores que lecionam apenas no ensino

fundamental, também uma das maiores frequências, estão distribuídos da seguinte

maneira: 15 atuam em todos os anos (6º, 7º, 8º e 9º anos); 10 trabalham nos 6º, 7º e

01 a 05 anos25%

06 a 10 anos30%

10 a 15 anos23%

16 a 20 anos17%

21 a 25 anos5%

81

8º anos; 7 apenas no 7º e no 9º ano; 2 professores ensinam somente no 7º ano e 1

na modalidade Eja.

Com relação aos professores que ensinam somente no nível médio, 8 deles

trabalham apenas em um ano (2º e 3º); 12 opera apenas em 2 anos (2º e 3º ano) e

16 deles nos três anos do ensino médio.

Informações que corroboram com os resultados encontrados no estudo de

Moreira (2010, p. 63) em sua consulta a docentes, na qual o maior resultado foi para

a categoria Ensino Fundamental/Médio com 39%, sendo que a opção Ensino

Fundamental tem uma votação significativa, 25%, podemos somar e dizer que o

percentual total para a análise equivale a 64%, ou seja, mais da metade dos

participantes da consulta já lecionou no ensino fundamental (5ª a 8ª série).

Gráfico 04 - Níveis de Atuação na Educação básica


Os docentes consultados, ao serem perguntados em quais séries da

educação básica já atuaram, mencionam que já lecionaram, conforme o Quadro 10:

Quadro 10 – Séries da Educação Básica em que os Docentes já lecionaram

Nível de Ensino Frequência Absoluta Frequência Relativa

Fundamental e Médio 74 74,00%

Apenas Fundamental 20 20,00%

Apenas Médio 6 6,00%



FUNDAMENTAL E MÉDIO12,0%

SOMENTE FUNDAMENTAL

35,0%

SOMENTE MÉDIO36,0%

NÃO ESTÁ LECIONANDO

17,0%

82

Os índices relativos nos demonstram que os docentes, em grande maioria

(74%), já atuaram nos níveis fundamental e médio, o que nos indica que estes,

possivelmente, possuem acúmulo de conhecimentos curriculares no que diz respeito

à educação básica, conforme podemos verificar no gráfico 5.

Destes professores que já atuaram tanto no ensino fundamental quanto no

ensino médio, 51 expressaram ter lecionado em todos os anos de ambos os níveis

de ensino; 13 apontaram todos os anos do nível médio, porém apenas 1, 2 ou 3

anos do ensino fundamental; 10 trabalharam em todos os anos do nível

fundamental, mas apenas em dois do nível médio.

Os docentes que lecionaram no somente no ensino fundamental, 12 disseram

ter trabalhado em todos os anos deste nível de ensino; 5 apontou ter ensinado nos

5º, 6º e 7º ano; 3 professores mencionaram ter lecionado em dois dos quatro anos

do fundamental. No que se referem aos professores que atuaram apenas no nível

médio, todos assinalaram ter trabalhado nos três anos deste nível de ensino.

Gráfico 05 - Séries da Educação Básica em que os Docentes já lecionaram


Indagamos se durante sua formação de professor de Matemática, o docente

realizou alguma disciplina sobre Metodologias de Ensino de Fração, e obtivemos:

Quadro 11 – Formação: Curso de Disciplina sobre Metodologias de Ensino de Fração

Realizou Frequência Absoluta Frequência Relativa

Sim 20 20,00%

Não 80 80,00%



0,0%

20,0%

40,0%

60,0%

80,0%

100,0%

Fundamental eMédio

ApenasFundamental

Apenas Médio

83

Observamos que 80% dizem não ter feito disciplina com esta característica,

os outros 20% dos docentes pesquisados apontam as disciplinas: Matemática I,

Metodologia do ensino de Matemática, Prática de Ensino I, Instrumentação para o

Ensino de Matemática e Fundamentos Metodológicos.

Esses dados sinalizam uma fragilidade na formação da maioria destes

professores em relação às possibilidades de abordagem e desenvolvimento de

diferentes metodologias para o processo de ensino do conteúdo de fração,

ocasionando problemas na apropriação dos saberes curriculares destes docentes

consultados, acarretando em lacunas na aprendizagem de seus estudantes ou até

mesmo um fator causador de aversão a esta disciplina.

Gráfico 06 - Formação: Curso de disciplina sobre

metodologias de ensino de Fração


Além dos saberes curriculares, ou seja, aqueles que os professores

constroem ao longo de sua carreira e dizem respeito aos discursos, objetivos,

conteúdos e métodos, o docente necessita manipular também diversos outros

saberes inerentes ao processo de ensino, ou seja, um saber plural como nos aponta

Tardif (2002, p. 54)

Saber plural, saber formado de diversos saberes provenientes das instituições de formação, da formação profissional, dos currículos e da prática cotidiana, o saber docente é, portanto, essencialmente, heterogêneo. Mas essa heterogeneidade não se deve apenas à natureza dos saberes presentes; ela decorre também da situação do corpo docente diante dos demais grupos produtores e portadores de saberes das instituições de formação (...).

0,0%

20,0%

40,0%

60,0%

80,0%

100,0%

Sim Não

20,0%

80,0%

84

Sendo assim, estes saberes estão intrinsecamente relacionados à formação

inicial e/ou continuada que este docente recebeu.

Ainda a respeito de sua formação, ao serem perguntados se, durante sua

atuação enquanto professor de matemática, já fez algum curso ou evento que

abordou o ensino de fração, os docentes sinalizaram que: 76% afirmaram que não

fizeram curso ou participaram de evento com a abordagem descrita, conforme o

Quadro 12:

Quadro 12 - Formação: Curso ou Evento sobre o Ensino de Fração

Realizou Frequência Absoluta Frequência Relativa

Sim 24 24,00%

Não 76 76,00%



O gráfico 07 aponta que sobram apenas 24% dos docentes que já realizaram

algum curso ou evento nesta área, citando: Formação Continuada, Mini-cursos,

CONNEPPI, Material dourado, Material do Positivo, formação anual e método da

redescoberta.

Consistente com os resultados revelados pelo Gráfico 06, notamos que além

da fragilidade na formação inicial do professor de Matemática no que diz respeito à

metodologias voltadas para o conteúdo de Fração, temos também a formação

continuada. Dos 100 professores consultados, 76 afirmaram não ter realizado algum

curso ou evento sobre o ensino de Fração.

Resultados semelhantes foram encontrados no estudo de Pinto e Ribeiro

(2013), apontando que os professores possuem pouca familiaridade com este

conteúdo, revelando um conhecimento matemático de um nível bastante baixo para

o ensino de Fração, possivelmente causado por estas lacunas em sua formação.

Para atuar em sala de aula o professor necessita utilizar diferentes saberes,

pois como define Tardif, Lessard e Lahaye (1991, p. 218, apud CUNHA, 2007, p. 34)

“a relação dos docentes com os saberes não se reduz a uma função de transmissão

dos conhecimentos já constituídos, (pois) sua prática integra diferentes saberes,

com os quais o corpo docente mantém diferentes relações”.

Sendo assim, conforme Cunha (2007), são necessários os saberes: das

disciplinas, curriculares, da formação profissional e os da experiência para que o

professor tenha condições de realizar o ensino.

85

O gráfico 07 demonstra claramente este resultado:

Gráfico 07 - Formação: Curso ou Evento sobre o Ensino de Fração


Quando perguntados com relação à maneira como os professores

consultados ensinam o conteúdo de fração, a maioria dos docentes apontou que as

aulas começam com uma situação problema para depois realizar a introdução do

referido conteúdo, conforme o Quadro 13 e o Gráfico 08.

Com a frequência de 50% dos docentes indicando que abordam o conteúdo a

partir de uma situação problema para posteriormente introduzir o assunto, notamos

um aspecto positivo quanto à metodologia destes docentes. Ainda que 42% ainda

permaneçam abordando o conteúdo de Fração de maneira tradicional, ou seja, pela

definição, seguida de exemplos e exercícios.

Os índices de frequência absoluta e relativa se encontram no Quadro 13:

Quadro 13 - Abordagem do Conteúdo de Fração pelos Docentes

ROTEIRO Frequência Absoluta

Frequência Relativa

Pela definição seguida de exemplos e exercícios 42 42,00%

Com uma situação problema para depois introduzir o assunto

50 50,00%

Com um modelo para a situação e em seguida analisando o modelo

6 6,00%

Nunca ensinou o assunto 2 2,00%



24,0%

76,0%

0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%

Sim

Não

86

Os demais docentes indicaram que abordam o conteúdo de Frações com um

modelo para a situação em seguida analisando o modelo (6%) e 2 docentes

declaram nunca ter ensinado este assunto.

A utilização de jogos para a abordagem deste conteúdo para a posterior

sistematização não foi apontada por nenhum dos docentes consultados, indicando

que esta alternativa metodológica, ainda não tem se aplicado com frequência em

sala de aula, possivelmente pela falta de recursos suficientes nas escolas públicas

estaduais para a aplicação e execução dos mesmos.

Gráfico 08 - Abordagem do Conteúdo de Fração pelos Docentes


Pasuch, Barbosa e Bassani (2013) destacam em seu estudo que o uso do

lúdico no ensino de Matemática é um aspecto pedagógico facilitador da

aprendizagem de Frações, bem como Silva (1997, p. 295) comenta que “um ensino

voltado à memorização e à aplicação de algoritmos, o conteúdo de frações

apresenta-se como um dos vilões do fracasso escolar”, o que implica na

necessidade do professor dominar um saber pedagógico, que para Sánchez-Amaya

e González-Melo (2016, p. 251)

(...) está constituído por um conjunto de fragmentos e recortes de saberes, de disciplinas e de discursos científicos, de práticas, de relações e interações que se entrelaçam no interior da ação educativa e que o professor põe em funcionamento cotidianamente em seu trabalho de ensinar.

42,0%

50,0%

6,0%2,0%

Pela definição seguida deexemplos e exercícios

Com uma situação problemapara depois introduzir oassunto

Com um modelo para asituação e em seguidaanalisando o modelo

Nunca ensinou o assunto

87

Ao perguntarmos aos docentes sobre como desenvolviam a fixação do

conteúdo de Fração com os alunos, como meio de identificar as diferentes maneiras

utilizadas para promover a aprendizagem de seus estudantes,

A maioria dos docentes expôs a maneira tradicional como a mais frequente

forma de fixação deste conteúdo, ou seja, apresentam uma lista de exercícios para

serem resolvidos pelos alunos, como podemos observar o Quadro 14.

Quadro 14 - Fixação Do Conteúdo De Fração Pelos Docentes

Maneira Frequência Absoluta

Frequência Relativa

Apresentam uma lista de exercícios para serem resolvidos

74 74,00%

Apresentam jogos envolvendo o assunto 9 9,00%

Solicitam que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

15 15,00%

Não propõe questões de fixação 2 2,00%



O gráfico 9 apresenta que as principais escolhas estão entre apresentar uma

lista de exercícios (74%) e solicitar que os alunos resolvam exercícios presentes no

livro didático (15%), dados que demonstram pouca variedade na utilização de

recursos didáticos para o desenvolvimento do ensino do conteúdo de Fração.

Resultados estes, que se pensarmos a maioria das Escolas Públicas do Estado do

Pará, possivelmente, são os únicos recursos didáticos disponíveis ao professor.

Gráfico 09 - Fixação Do Conteúdo De Fração Pelos Docentes


Com relação à quantidade de aulas destinadas ao ensino do conteúdo de

Frações, temos o Quadro 15:

74%

9%

15%

2%

Apresentam uma lista de exercícios paraserem resolvidos

Apresentam jogos envolvendo o assunto

Solicitam que os alunos resolvam osexercícios do livro didático

Não propõe questões de fixação

Para fixar o conteúdo, os docentes

88

Quadro15 - Carga Horária Dedicada Ao Ensino De Fração

Nº DE HORAS/AULA Frequência Absoluta Frequência Relativa

2 3 3,00%

4 3 3,00%

De 4 a 5 3 3,00%

5 30 30,00%

De 1 a 6 3 3,00%

6 12 12,00%

8 1 1,00%

De 08 a 10 3 3,00%

9 3 3,00%

10 6 6,00%

18 3 3,00%

20 12 12,00%

30 6 6,00%

45 3 3,00%

48 3 3,00%

50 3 3,00%

1 bimestre 3 3,00%



As respostas foram bastante variadas, demonstrando que não há uma

coerência entre as respostas fornecidas pelos docentes. Diversas opções foram

encontradas: 2 horas, 4 horas/aula, de 4 a 5 horas, 5 horas e até mesmo 1 bimestre,

como respostas dos docentes consultados.

Gráfico 10 – Carga Horária dedicada ao Ensino de Fração


Já no gráfico 10, podemos observar que a maioria dos professores

consultados (30%) utiliza em torno de 5 horas/aula para desenvolver o conteúdo de

3,00%3,00%3,00%

30,00%3,00%

12,00%1,00%

3,00%3,00%

6,00%3,00%

12,00%6,00%

3,00%3,00%3,00%3,00%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

2 horas/aula

De 4 a 5 horas/aula

De 1 a 6 horas/aula

8 horas/aula

9 horas/aula

18 horas/aula

30 horas/aula

48 horas/aula

1 bimestre

89

Frações. As demais respostas mostram uma discrepância considerável, enquanto há

indicações de 2 horas aulas, também há de 2 meses. Diante da extensão e

complexidade deste conteúdo, verificamos uma disparidade entre as respostas para

o desenvolvimento do ensino do conteúdo de Frações.

A terceira parte do questionário buscou conhecer a avaliação dos docentes

sobre o aprendizado dos discentes em Fração, para alcançarmos um panorama das

dificuldades dos alunos a partir das suas percepções.

Estas percepções estão intrinsecamente relacionadas à atuação em sala

destes docentes consultados, pois só com os saberes construídos através da

experiência é possível mensurar a dificuldades de seus estudantes a respeito de

determinados conteúdos.

Para Cunha (2007, p. 37), os saberes da experiência “são formados por todos

os outros saberes, retraduzidos e submetidos às certezas originadas da prática e da

vivência no contexto real profissional”.

Sendo assim, aliado a outros saberes, o saber da experiência é essencial à

atuação docente, visto que proporciona, a partir da realidade de cada sala de aula,

possibilidades de ensino enraizadas na história profissional de cada professor.

O quadro 16 nos fornece a relação entre os tópicos citados anteriormente e

se o professor costuma ou não ensiná-los em suas aulas. Esta análise foi realizada

ao perguntar se o docente costuma ensinar determinado tópico do conteúdo do

ensino de Fração, bem como sua avaliação pelos critérios “MUITO FÁCIL”, “FÁCIL”,

“REGULAR”, “DIFÍCIL” e “MUITO DIFÍCIL”.

Vejamos:

Quadro 16 - Relação Assunto X Ensino (continua)

Item ASSUNTO

COSTUMA ENSINAR

SIM (%) NÃO (%)

01 Conceito de fração 94 6

02 Tipos de fração 91 9

03 Representação de frações 97 3

04 Simplificação de frações 94 6

05 Comparação de frações 94 6

06 Adição de frações com o mesmo denominador 97 3

Quadro 16 - Relação Assunto X Ensino (conclusão)

Item ASSUNTO COSTUMA ENSINAR

90

SIM (%) NÃO (%)

07 Adição de frações com denominadores diferentes 97 3

08 Subtração de frações com o mesmo denominador 97 3

09 Subtração de frações com denominadores diferentes 97 3

10 Multiplicação de fração 97 3

11 Divisão de fração 97 3

12 Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte 94 6

13 Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer o todo 88 12

14 Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar outra

parte 88 12

15 Expressões numéricas com frações envolvendo adição e subtração 88 12

16 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e

multiplicação 85 15

17 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração,

multiplicação e divisão 85 15


Conteúdos básicos ao ensino de Fração, em sua maioria, são trabalhados

pelos docentes, como: Conceito de fração, tipos de fração, representação de

frações, simplificação de frações, comparação de frações, as quatro operações com

frações e problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte, todos

alcançando acima de 90% no índice relativo no costume de ensinar.

Percebemos que os itens mais frequentes que os professores mais costumam

deixar de ensinar referem-se às expressões numéricas envolvendo as operações de

adição, subtração, multiplicação e divisão com Frações.

Ainda que o docente possua uma formação bastante ampla em

conhecimentos matemáticos, se faz necessário o professor de matemática tenha

domínio das especificidades do conteúdo de Fração. Dessa maneira, concordamos

com o que indica Cunha (2007) ao explicitar que “os saberes dos professores

aprendidos durante a formação inicial (saberes das disciplinas e saberes da

formação profissional) irão ser reformulados e se reconstruindo no dia-a-dia da sala

de aula”.

O Gráfico 11 nos fornece os dados acima descritos através da relação

assunto x ensino.

91

Gráfico 11 – Relação Assunto X Ensino


Agora, apresentamos as opiniões dos docentes quanto ao grau de

dificuldades que os alunos sentem ao aprenderem os tópicos do conteúdo de fração

descritos na tabela acima. Utilizamos MF para referir-se à “Muito Fácil”, FA para

“Fácil”, RE para “Regular”, DI para “difícil” e MD para “Muito Difícil”.

A partir da opinião dos professores consultados, buscamos identificar o grau

de dificuldade de aprendizagem dos tópicos de Frações presentes no Quadro 17. A

confiabilidade das respostas dadas pelos sujeitos consultados seguindo uma escala

Likert em 5 pontos (1= muito fácil; 2= fácil; 3= regular; 4=difícil; 5= muito difícil) foi

medida pelo coeficiente Alfa de Cronbach.

Para o número de itens 𝑘 = 17, os dados mostram que a soma variância das

respostas de cada item é ∑ 𝑠𝑖2𝑘

𝑖=1 = 11,1416 e a variância total é 𝑠𝑡2 = 21,26 . Dessa

forma, encontramos 𝛼 = 0,50568, o que indica um valor de confiabilidade “regular”

na escala apresentada por Hill e Hill (2009).

Conforme o Quadro 17, com valores em percentual, os professores informam

sua opinião acerca do grau de dificuldade dos estudantes em relação aos

conhecimentos acerca do Conceito de Fração, assim, são fáceis (56%) ou regulares

(32%), sobrando apenas 9% que acreditam ser um conteúdo muito fácil e 3

docentes que declararam ser um conteúdo difícil.

94

%

91

%

97

%

94

%

94

%

97

%

97

%

97

%

97

%

97

%

97

%

94

%

88

%

88

%

88

%

85

%

85

%

6% 9

%

3% 6

%

6%

3%

3%

3%

3%

3%

3% 6

%

12

%

12

%

12

% 15

%

15

%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17SIM NÃO

92

Quadro 17 – Dificuldade dos Estudantes segundo os Docentes It

em

ASSUNTO

GRAU DE DIFICULDADE DOS

ESTUDANTES

MF (%)

FA (%)

RE (%)

DI (%)

MD (%)

01 Conceito de fração 9 56 32 3 0

02 Tipos de fração 12 41 44 3 0

03 Representação de frações 3 59 32 6 0

04 Simplificação de frações 0 24 58 18 0

05 Comparação de frações 0 18 47 35 0

06 Adição de frações com o mesmo denominador 18 44 32 6 0

07 Adição de frações com denominadores diferentes 0 6 47 35 12

08 Subtração de frações com o mesmo denominador 18 38 30 11 3

09 Subtração de frações com denominadores diferentes 0 23 38 27 12

10 Multiplicação de fração 15 44 29 12 0

11 Divisão de fração 3 26 35 30 6

12 Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte 0 15 67 15 3

13 Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer o todo 0 12 50 29 9

14 Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar outra parte 0 15 41 32 12

15 Expressões numéricas com frações envolvendo adição e subtração 0 12 37 42 9

16 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e multiplicação 0 6 35 41 18

17 Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão 0 3 30 43 24


Com relação aos tipos de fração, como mostra o Quadro 17, na qual os

professores afirmaram, de modo geral, que o grau de dificuldade à aprendizagem

deste conteúdo, indicado por 44% dos professores é considerável regular, 41% fácil,

12% muito fácil e 3% afirmaram ser um conteúdo difícil.

No que concerne às representações de frações, os docentes declararam que

este conteúdo são: 59% fácil, 32% regular, 6% difícil e 3% muito fácil.

O conteúdo de simplificação de frações foi considerado pela maioria dos

docentes como regular, alcançando 58% da amostra; 24% como fácil e 18% como

difícil.

93

Os valores de frequência relativa com relação ao conteúdo de comparação de

frações são: 47% dos docentes avaliaram este conteúdo como regular; 35% como

difícil e 18% como fácil.

Em relação à operação de adição de frações com o mesmo

denominador, 44% dos docentes avaliaram como um conteúdo fácil, 32% como

regular, 18% como muito fácil e 6% como difícil. Já para adição de frações com

denominadores diferentes, os apontamentos foram: 47% avaliou como regular; 35%

como difícil, 12% como muito difícil e 6% como fácil.

Quanto à operação de subtração de Frações com o mesmo denominador,

38% dos docentes apontaram que este conteúdo é considerado fácil; 30% como

regular; 18% como muito fácil; 11% como difícil e 3% como muito difícil. Já em

relação à operação de subtração com denominadores diferentes, os índices relativos

dos docentes são: 38% regular; 27% difícil; 23% fácil e 12% muito difícil.

A operação de multiplicação para 44% dos docentes consultados é

considerada fácil; 29% declarou ser regular; 15% disse ser um tópico do conteúdo

muito fácil e 12% difícil.

Com relação à operação de divisão de Fração, 35% dos docentes

consultados disseram ser um tópico do conteúdo de nível de dificuldade regular,

30% declarou ser difícil, 26% disse ser fácil, 6% pronunciou ser um conteúdo muito

difícil e apenas 3% muito fácil.

No que tange aos problemas envolvendo frações, exploramos três situações:

Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte, Problemas em que se

conhece uma parte e deseja conhecer o todo e Problemas em que se conhece uma

parte e deseja encontrar outra parte. Para a primeira situação 67% dos professores

consultados declararam ser um conteúdo regular; 15% disseram ser fácil, o mesmo

percentual proferiu ser difícil e 3% disse ser muito difícil.

Com relação aos problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer

o todo, 50% dos discentes disse ser um conteúdo regular; 29 difícil; 12% fácil e 9%

muito difícil. Já no que concerne aos problemas em que se conhece uma parte e

deseja encontrar outra parte, os professores declaram ser regular (41%), difícil

(32%), Fácil (15%) e muito difícil (12%).

Para as expressões numéricas envolvendo Frações, apresentamos três

casos: expressões numéricas com frações envolvendo adição e subtração,

Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e multiplicação e

94

Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração, multiplicação e

divisão.

Para o primeiro caso, os docentes julgaram um nível de dificuldade: difícil

(42%), regular (37%), fácil (12%) e muito difícil (9%). Para as expressões que

envolvem adição, subtração e multiplicação 41% indicou ser um conteúdo difícil;

35% regular, 18% muito difícil e 6% fácil.

Para as expressões que envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão,

os docentes apontaram como: 43% difícil; 30% regular; 24% muito difícil e apenas 3

docentes declararam ser um conteúdo considerado fácil.

Apesar de alguns conteúdos relacionados à Fração serem considerados

difíceis, ou até mesmo nem serem abordados pelos docentes, devem ser mais

valorizados em sala de aula para que o aluno, tendo o contato com esses tópicos

possa ter oportunidades de compreendê-los para a promoção da aprendizagem,

caso contrário, estará sendo cerceado seu acesso a esse conhecimento tão

fundamental para a sua vida escolar e cotidiana.

Estas dificuldades em desenvolver alguns conteúdos de Frações são

apontadas nos estudos de Damico (2007), Pinto e Ribeiro (2013) e Lopes (2016) e

nos inclina a refletir quanto às concepções e saberes destes professores de

Matemática sobre Frações. Ponderamos, então, a importância da formação docente,

tanto inicial como continuada, trazendo os saberes necessários para atuação em

sala de aula, para sanar ou amenizar estas dificuldades encontradas nos

professores e alunos.

Estes resultados nos forneceram informações que serviram de suporte na

elaboração de nossa Sequência Didática, bem como no momento de sua aplicação,

pois a partir dos apontamentos dos professores consultados, pudemos prever

algumas dificuldades.

1.4 Consulta a Estudantes egressos do 6º ano

Assim como os docentes em Matemática, também realizamos uma consulta a

100 estudantes, egressos do 6º ano do Ensino Fundamental, com o intuito de

compreender melhor os fenômenos a serem investigados. Realizada no município

de Belém, no estado do Pará, na mesma escola em que, posterior a esta consulta,

95

realizamos a Sequência didática, sua aplicação ocorreu nos meses de Fevereiro e

Março de 2017.

O material usado para esta coleta foi um questionário (apêndice B), contendo

perguntas como nome, idade, escolaridade, tempo de serviço, etc. Este instrumento

foi elaborado e aplicado aos alunos, com o objetivo de caracterizá-los, bem como

conhecer suas concepções e dificuldades sobre o ensino da matemática,

especificamente do ensino das frações.

Para realizar um diagnóstico, o instrumento continha questões referentes a

dados pessoais, conhecimentos oriundos das séries anteriores e as dificuldades que

os alunos pudessem ter em matemática. Após a análise das respostas do

questionário, conseguimos traçar um perfil dos discentes e esses dados serão

apresentados na sequência em que foram respondidos, porém virão relacionados

entre si, para contribuir nas reflexões das análises. As tabelas a seguir apresentam

os resultados das análises dos dados obtidos na aplicação do questionário.

1.4.1 Perfil dos estudantes consultados

A amostra contou com a participação de 100 estudantes, que estão cursando

o 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da rede estadual de ensino

do município de Belém (PA), distribuídos entre 47 alunas do sexo feminino e 53

alunos do sexo masculino.

Em relação à faixa etária, temos o Quadro 18:

Quadro 18 – Idade dos discentes

Idade (anos) Frequência absoluta Frequência relativa

10 1 1%

11 10 10%

12 45 45%

13 23 23%

14 16 16%

15 3 3%

16 2 2%

Total Geral 100 100,00%


Este quadro nos mostra que os estudantes de 12 anos corresponderam a

maioria, equivalendo a 45% do total da amostra; seguido do índice relativo de 23%

96

que encontram-se na idade de 13 anos; 16% com 14 anos; 10% com 11 anos; 3%

com 15 anos, 1 aluno com 10 anos e 2 aluno com 16 anos.:

Já gráfico a seguir, destaca que 45% dos discentes consultados encontram-

se na idade adequada para o ano em que estão cursando, pois atualmente os

estudantes iniciam o ensino básico com 6 anos e chegam ao 7º ano, possivelmente

com 12 anos. Porém há estudantes com atrasos, como os 21% que tem 14 anos ou

mais e ainda cursam o 7º ano.

Gráfico 12 - Idade dos discentes


Com relação à localização da escola em que os discentes estudam, temos a

tabela a seguir que nos apresenta que 68% dos alunos declarou que moram no

mesmo bairro em a escola fica localizada.

Quadro 19 - Localização da Escola dos Discentes

Localização da escola Frequência absoluta Frequência relativa

No mesmo bairro em que mora 68 68%

Em outro bairro 32 32%



0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

10 11 12 13 14 15 16

1,0%

10,0%

45,0%

23,0%16,0%

3,0% 2,0%

97

A localização da escola é um fator importante para o desenvolvimento da vida

escolar do estudante, visto que facilita sua locomoção até a escola e assim, facilita

sua participação nas diversas atividades da mesma.

O gráfico 14 mostra os índices relativos, em % da localização da escola dos

discentes em relação ao seu bairro de moradia:

Gráfico 13 - Localização da escola dos discentes


Em relação ao exercício de trabalho de forma remunerada, os discentes

indicaram que: 74% não exercem trabalho remunerado, porém, 26% responderam

sim ou às vezes. Conforme o Quadro 20:

Quadro 20 - Discentes que Trabalham de Forma Remunerada

Situação Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 8 8%

Não 74 74%

As vezes 18 18%



Ao relacionarmos estes dados à faixa etária (mínimo de 10 anos e máximo de

16 anos) destes discentes, percebemos que, embora seja uma minoria (08

trabalham e 18 às vezes), alguns deles já estão exercendo alguma forma de

trabalho remunerado, mesmo que este seja impróprio legalmente, o que nos remete

a uma questão social de grande importância em nosso país: o trabalho infantil.

O gráfico 16 explora os índices relativos destas informações.

68%

32%No mesmo bairro emque mora

Em outro bairro

98

Gráfico 14 - Discentes Que Trabalham De Forma Remunerada


A escola em que estudam os discentes consultados fica localizada em um

bairro periférico da cidade de Belém, cercada de outros bairros com igual ou maior

vulnerabilidade social. Somadas estas circunstâncias, podemos compreender os

casos de evasão e desistência que ocorrem durante o ano letivo nesta escola.

O Quadro 21 e o gráfico 16 apresentam dados com relação ao consumo

realizado pelos discentes. Perguntados se costumam fazer compras em comércio,

mercearia, supermercado, açougue, etc, os discentes informaram que:

Quadro 21 – Relação com o comércio

Situação Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 45 45%

Não 4 4%

As vezes 51 51%



Gráfico 15 - Relação com o comércio


8%SIM

74%NÃO

18%AS VEZES

SIM

NÃO

AS VEZES

0,0%

20,0%

40,0%

60,0%

80,0%

100,0%

SIM NÃO AS VEZES

45,0%

4,0%

51,0%

99

O gráfico 16 deixa nítido que uma pequena parte dos discentes (4%) não

costuma fazer compras, ou seja, a grande maioria já realiza. Assim, estes alunos

estão familiarizados com situações em que se utilizam cálculos de operações

fundamentais, como pagamento e troco, por exemplo.

Ao serem perguntados a respeito de seu responsável masculino, os

discentes, em sua maioria (62%) indicaram o pai. Conforme o Quadro 22:

Quadro 22 – Responsável masculino dos discentes

Responsável Frequência absoluta Frequência relativa

Pai 62 62%

Avô 8 8%

Tio 12 12%

Irmão 2 2%

Não possui 9 9%

Outro 7 7%



As figuras masculinas mais citadas, além do pai, foram: tio (12%), Avô (8%),

Irmão (2%) e outros (7%). Dos estudantes que escolheram a opção outros, 6 deles

citou o padrasto como seu responsável masculino e 01 não respondeu.

Para além das figuras masculinas citadas, o gráfico 17 destaca que 9% dos

estudantes não possui um responsável masculino.

Gráfico 16 - Responsável masculino dos Discentes


62,0%

8,0%

12,0%

2,0%

9,0%

7,0%

0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%

Pai

Avô

Tio

Irmão

Não possui

Outro

100

Ainda sobre o seu responsável masculino, quando perguntados a respeito da

escolaridade deste responsável, 44% dos estudantes consultados não soube

responder, os demais apontaram os seguintes dados:

Quadro 23 – Escolaridade do responsável masculino dos discentes

Nível de ensino Frequência absoluta Frequência relativa

Nunca estudou 0 0%

Fundamental completo 14 14%

Fundamental incompleto 16 16%

Médio completo 14 14%

Médio incompleto 7 7%

Superior completo 5 5%

Pós graduado 0 0%

Não soube responder 44 44%



Gráfico 17- Escolaridade do responsável masculino dos discentes


Podemos indicar que a escolaridade da maioria dos responsáveis masculinos

destes alunos encontra-se na educação básica, restando apenas 5% dos

responsáveis que alcançaram o nível superior.

Em relação à ocupação do responsável masculino, 9 alunos (9% da amostra)

declaram que seu responsável masculino não trabalha. Já 91 discentes, ou seja,

91% da amostra indicou que seu responsável masculino trabalha.

Dos discentes que declaram que seu responsável masculino trabalha, foram

destacadas as seguintes ocupações: capinador, mecânico, bicheiro, carpinteiro,

marceneiro, pedreiro, cobrador de ônibus, barbeiro, eletricista, dono de estância,

vigilante, professor, empresário, policial, com barco, com viagens, consertando

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Não soube responder

Fundamental completo

Fundamental incompleto

Médio completo

Médio incompleto

Superior completo

44,0%

14,0%

16,0%

14,0%

7,0%

5,0%

101

celular, mototaxi, agente prisional, fotógrafo, farmacêutico, administração, vendedor

de: frango, peixe, gás de cozinha, açaí, churrasco, roupas, pastel, toldos, películas

para carro. Ainda com relação a estes discentes, 17 deles não souberam responder

com o que o seu responsável masculino trabalha.

Conforme o Quadro 24:

Quadro 24 – Ocupação do responsável masculino dos Discentes

Trabalha Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 91 91%

Não 9 9%



Gráfico 18 - Ocupação do responsável masculino dos Discentes


Ao serem perguntados a respeito de seu responsável feminino, temos:

Quadro 25 - Responsável feminino dos discentes

Responsável Frequência absoluta Frequência relativa

Mãe 82 82%

Avó 13 13%

Tia 4 4%

Irmã 1 1%



Os alunos consultados apontaram em sua maioria (82%) que a mãe assume

esta posição. Para além da mãe, os discentes assinalaram como responsável

feminina: a avó com 13% dos alunos; a tia com 4% da amostra e a irmã com 1% dos

91,0%

9,0%

TRABALHA

NÃO TRABALHA

102

consultados. Conforme podemos observar no Quadro 25 e no gráfico 20 que nos

oferecem a distribuição dos índices absolutos e relativos das informações elucidadas

pelos alunos consultados

O gráfico 20 nos fornece as porcentagens referentes a estas informações:

Gráfico 19 – Responsável Feminino dos Discentes


Ainda sobre sua responsável feminina, perguntamos aos estudantes sobre a

escolaridade da mesma. Conforme os alunos, seu responsável feminino alcançou o

nível de escolaridade: fundamental incompleto (11%); fundamental completo (9%);

Médio incompleto (8%); médio completo (20%), superior completo (9%) e pós-

graduação (5%).

Os dados estão dispostos no Quadro 26 a seguir:

Quadro 26 – Escolaridade Do Responsável Feminino Dos Discentes

Nível de ensino Frequência absoluta Frequência relativa

Nunca estudou 0 0,0%

Fundamental completo 9 9%

Fundamental incompleto 11 11%

Médio completo 20 20%

Médio incompleto 8 8%

Superior completo 9 9%

Pós graduado 5 5%

Não soube responder 38 38%



0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

Mãe Avó Tia Irmã Nãopossui

Outro

82,0%

13,0%4,0% 1,0% 0,0% 0,0%

103

Gráfico 20 – Escolaridade do responsável feminino dos Discentes


O gráfico destaca que 38% dos alunos consultados não soube responder qual

a escolaridade de seu responsável feminino.

Quanto à ocupação que esta responsável exerce, dos 64% dos discentes que

indicaram que sua responsável feminina trabalha 12 alunos não soube responder

exatamente com o que. Dentre as ocupações citadas, temos: empregada doméstica,

cabelereira, padeira, manicure, professora, fotógrafa, segurança, faxineira, dentista,

babá, enfermeira, auxiliar de cozinha, promotora de vendas, operadora de caixa,

com barco, com viagens, em farmácia, comércio, escritório de advocacia,

recepcionista, técnica de enfermagem, vendedora de: açaí, sorvete, frango,

churrasco, sapato, pastel, avon. Conforme o Quadro 27:

Quadro 27 – Ocupação Do Responsável Feminino Dos Discentes

Trabalha Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 64 64,0%

Não 36 36,0%



0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%


Fundamental completo

Fundamental incompleto

Médio completo

Médio incompleto

Superior completo

Pós graduado

Nunca estudou

38%

9%

11%

20%

8%

9%

5%

0%

104

O gráfico 22 nos fornece os índices relativos (%) presentes no Quadro 27:

Gráfico 21 – Ocupação Do Responsável Feminino Dos Discentes


Perguntados a respeito da idade em que iniciaram sua vida escolar, os 33%

dos discentes indicaram que iniciaram seus estudos aos 3 anos de idade, conforme

o Quadro 28:

Quadro 28 - Idade de início da vida escolar dos discentes

Idade (anos) Frequência absoluta Frequência relativa

3 33 33%

4 14 14%

5 20 20%

6 20 20%

7 13 13%



Os percentuais das idades de início da vida escolar encontrados foram: 33%

para início com 3 anos; 14% com 4; 20% com 5; 20% com 6 e 13% com 7 anos.

Percebemos que uma somatória de 33 alunos, ou seja, 33%, indicou ter começado a

vida escolar com ou após os 6 anos de idade, fato que demonstra a ausência da

Educação Infantil, momento tão importante para o desenvolvimento de habilidades

necessárias para a evolução do Ensino Fundamental.

Ainda que o acesso à escola seja um direito da criança assegurado pelo

Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) e registrado também na Lei de

64%

36%

TRABALHA NÃO TRABALHA

105

Diretrizes e Bases da Educação (LDB), percebemos que estes 33% dos alunos não

tiveram o seu direito assistido.

As informações acima são destaques no gráfico 23 que nos proporciona a

exposição dos índices relativos (%) do Quadro 28:

Gráfico 22 - Idade de início da vida escolar dos Discentes


Agora, perguntados quanto à realização da educação infantil, encontramos

dados que confrontam com os resultados anteriores, vejamos o Quadro 29:

Quadro 29 – Histórico De Educação Infantil Dos Discentes

Realizou Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 80 80%

Não 20 20%



Dos alunos consultados, 80% declararam ter realizado a educação infantil,

resultado que pode ser confrontado com o gráfico 28, que aponta uma somatória de

apenas 67% dos alunos com início da vida escolar até os cinco anos.

Já para aqueles que declararam não ter realizado a educação infantil,

portanto, conforme o Quadro, 20% dos alunos consultados, incoerente com o gráfico

23 que mostra que 33% dos alunos iniciaram sua vida escolar com ou após os 6

anos de idade.

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

3 ANOS 4 ANOS 5 ANOS 6 ANOS 7 ANOS

33,0%

14,0%20,0% 20,0%

13,0%

106

O gráfico 24 aponta os percentuais do histórico de educação infantil dos

discentes consultados:

Gráfico 23 – Histórico De Educação Infantil Dos Discentes


Em relação ao seu histórico de repetência, 75% dos discentes assinalou não

ter tido episódio de repetência em sua vida escolar, já 25% disse já ter repetido

algum ano/série durante sua vida escolar. Estes dados estão dispostos no Quadro

30 a seguir:

Quadro 30 – Histórico De Repetência Dos Discentes

Repetência Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 25 25%

Não 75 75%



O gráfico 25 apresenta a distribuição dos percentuais das respostas dos

alunos a respeito de seu histórico de repetência:

80,0%

20,0%

REALIZOU NÃO REALIZOU

107

Gráfico 24 – Histórico de repetência dos discentes


Dos 25 estudantes que declaram já terem repetido alguma vez na vida

escolar, distribuímos no Quadro 31as indicações dos anos em que estes alunos

repetiram:

Quadro 31– Anos De Repetência Dos Discentes

Ano Frequência absoluta Frequência relativa

2º 1 4%

5º 17 68%

6º 4 16%

7º 3 12%

Total 25 100%


Gráfico 25 - Anos de repetência dos Discentes


25,0%

75,0%

JÁ REPETIU NUNCA REPETIU

4%

68%

16% 12%0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

2º 5º 6º 7º

108

O gráfico 26 destaca que a maioria dos alunos que já repetiram de ano, 68%,

indicou ter repetido o 5º ano, dentre as mais diversas causas que justificariam está

repetência, podemos inferir a ruptura em relação ao volume de conteúdo,

metodologias e viés pedagógico que a passagem do quinto para o sexto ano

representa para os alunos.

Das disciplinas citadas que ocasionaram está repetência, os alunos

destacaram: Matemática, Português, Estudos Amazônicos, História e Educação

Física.

Com relação à ajuda nas tarefas de matemática, o Quadro 32 e o gráfico 27

mostram que 30% dos discentes consultados tem auxílio em casa da sua

responsável feminina, 14% contam com a ajuda do responsável masculino e 15% de

um professor particular.

Quadro 32 – Pessoa que ajuda nas tarefas de Matemática dos Discentes

Pessoa Frequência absoluta Frequência

relativa

Ninguém 10 10%

Professor particular 15 15%

Responsável masculino 8 8%

Responsável feminino 30 30%

Irmão/irmã 7 7%

Responsável masculino e feminino 14 14%

Outras pessoas da família 10 10%

Colega da escola 4 4%

Outros 2 2%



Gráfico 26 – Pessoa Que Ajuda Nas Tarefas De Matemática Dos Discentes


0% 20% 40% 60% 80% 100%

Ninguém

Responsável masculino

Irmão/irmã

Outras pessoas da família

Outros

10%15%

8%30%

7%14%

10%4%

2%

109

O gráfico 27 nos indica que 10% dos alunos não possuem ajuda nas tarefas

de Matemática. Apesar da maioria dos alunos possuírem ajuda nestas tarefas, é

importante o aprimoramento das aulas, planejando a dimensão didática e

metodológica das aulas.

O Quadro 33, assim como gráfico 28, representam os cursos que os alunos

fazem nos horários livres da escola, predominando a ausência de atividades fora da

escola, pois 77% declararam que não fazem nenhum curso em outros horários. Os

cursos de informática, que representa 13% da tabela, bem como o de língua

estrangeira, que corresponde a 8% dos discentes, são os cursos frequentados pelos

discentes.

Quadro 33 – Cursos Realizados Pelos Discentes

Tipo Frequência absoluta Frequência relativa

Nenhum 77 77%

Informática 13 13%

Língua estrangeira 8 8%

Outros 2 2%



Os cursos citados na opção outros foram: Curso de desenho e Curso de

Mágico, correspondendo à 2% dos discentes consultados, conforme o Quadro 33.

O gráfico 28 traz os índices relativos dessas informações:

Gráfico 27 – Cursos Realizados Pelos Discentes


77%

13%

8% 2%

Nenhum Informática Língua estrangeira Outros

110

No que diz respeito à afinidade com a disciplina de Matemática, o Quadro 34,

mostra que:

Quadro 34 – Aceitação Da Matemática Pelos Discentes

Gosta Frequência absoluta Frequência relativa

Nenhum pouco 9 9%

Pouco 52 52%

Muito 39 39%



O gráfico 29 que apesar da maioria dos discentes consultados declararem

que gosta pouco, 52 alunos, ou seja, 39% da amostra afirmou gostar muito de

Matemática, e apenas 9% disse gostar de nenhum pouco da referida disciplina.

Gráfico 28 – Aceitação da Matemática pelos Discentes


No que diz respeito à dificuldade no aprendizado de matemática pelos

discentes, o Quadro 35 traz as informações declaradas pelos discentes consultados:

Quadro 35 – Dificuldade em aprender Matemática pelos Discentes

Apresenta dificuldade Frequência absoluta Frequência relativa

Não 32 32%

Um pouco 54 54%

Muita 14 14%



9,0%

52,0%

39,0%

Não gosta Nenhum pouco Gosta Pouco Gosta Muito

111

A maioria dos estudantes (54%) diz sentir um pouco de dificuldade ao aprender

matemática, já 32% relata não sentir dificuldade, restando 14% que declarou sentir

muita dificuldade. O gráfico 30 nos destaca a frequência relativa destas informações:

Gráfico 29 – Dificuldade Em Aprender Matemática Pelos Discentes


O Quadro 36 traz as informações coletadas dos discentes quando

perguntados quanto à sua distração durante as aulas de matemática:

Quadro 36 – Distração nas aulas de Matemática pelos Discentes

Distrai Frequência

absoluta Frequência

relativa

Não, eu sempre presto atenção. 36 36%

Às vezes, quando a aula está chata. 53 53%

Sim, eu não consigo prestar atenção. 11 11%



O gráfico 31 nos oferece estas informações destacadas em forma de

porcentagem:

Gráfico 30 – Distração nas Aulas de Matemática pelos Discentes


54%32%

14%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Um pouco de dificuldade

Não apresenta

Muita dificuldade

36,0%

53,0%

11,0%

Não, eu sempre presto atenção. Às vezes, quando a aula está chata.

Sim, eu não consigo prestar atenção.

112

Temos que 11% dos discentes consultados apontaram não conseguir prestar

atenção nas aulas de matemática, 36% disse sempre prestar atenção e a maioria

(53%) declarou que às vezes se distraem, quando a aula está chata.

A distração durante as aulas de matemática pode estar diretamente ligada à

qualidade do aprendizado nesta disciplina, visto que aquele aluno que consegue se

concentrar melhor e prestar atenção durante a aula, possivelmente, conseguirá

apreender melhor o que o docente explica.

Ainda neste contexto de rendimento do docente, perguntamos a respeito de

suas notas em Matemática. Destacamos que 75% dos alunos consultados disseram

obter notas nas avaliações de matemática acima de 5, enquanto 15% declarou que

suas notas são iguais a 5 e 10% que as notas são abaixo de 5.

Vejamos o Quadro 37:

Quadro 37 – Notas em Matemática dos Discentes

Notas (pontos) Frequência absoluta Frequência relativa

Acima de 5 75 75%

Iguais a 5 15 15%

Abaixo de 5 10 10%



Percebemos que o mesmo índice de alunos que se distraem durante as aulas

de matemática destacou-se também com os alunos que tiraram notas abaixo de 5

nas avaliações, o que nos demonstra uma intrínseca ligação entre a distração

durante as aulas e o rendimento do aluno em matemática.

O gráfico 32 nos mostra estas informações a respeito das notas dos discentes

em Matemática em forma de porcentagem.

Gráfico 31 – Notas em Matemática dos Discentes


75,0%

15,0%

10,0%

Acima 5 Iguais a 5 abaixo de 5

113

Ao perguntarmos sobre o hábito de estudo em Matemática, dos 100 discentes

informantes, a maioria absoluta não possui o costume de estudar todos os dias,

como mostra o Quadro 38 e o gráfico 33, apontando apenas 7 estudantes tem um

hábito diário de estudo em Matemática.

Ainda encontramos que 24% dos alunos estudam somente na véspera da

prova e 10% somente no período da prova, ou seja, em períodos próximos das

avaliações. Informação que pode nos levar à compreensão do baixo rendimento

destes alunos nestas avaliações, dada a dedicação aos estudos desta disciplina.

Quadro 38 – Hábito de Estudo em Matemática dos Discentes fora da Escola

Dias de estudo Frequência absoluta Frequência relativa

Nunca estudo matemática 12 12%

Uma vez por semana 14 14%

Duas vezes por semana 6 6%

Três vezes por semana 10 10%

Quatro vezes por semana 3 3%

Só na véspera da prova 24 24%

Só no período da prova 10 10%

Só nos finais de semana 8 8%

De segunda a sexta-feira 6 6%

Todo dia 7 7%



Gráfico 32 – Hábito de estudo em Matemática dos Discentes fora da escola


0% 20% 40% 60% 80% 100%

Nunca estudo matemática

Uma vez por semana

Duas vezes por semana

Três vezes por semana

Quatro vezes por semana

Só na véspera da prova

Só no período da prova

Só nos finais de semana

De segunda a sexta-feira

Todo dia

12%

14%

6%

10%

3%

24%

10%

8%

6%

7%

114

Em relação à escola em que os discentes estudaram o ano anterior, ou seja,

cursaram o sexto ano do ensino fundamental, os alunos, predominantemente, são

oriundos de Escola Pública, já que 94% declararam que estudaram o Ensino

Fundamental em Escola Pública Estadual e 5% dos alunos derivaram de Escolas

Públicas Municipais, e o restante são egressos de Escola Particular.


Quadro 39 – Escola em que os discentes cursaram o 6º ano

Tipo Frequência absoluta Frequência relativa

Pública estadual 94 94%

Pública municipal 5 5%

Particular 1 1%



Dos alunos consultados, todos aqueles que afirmaram ter estudado no ano

anterior em escola pública estadual, destacaram ter estudado na mesma escola em

que estão atualmente, ou seja, os alunos permaneceram na mesma escola em que

estudaram o 6º ano do ensino fundamental.

O gráfico 34 nos fornece os índices relativos do Quadro 39:

Gráfico 33 – Escola em que os Discentes cursaram o 6º ano


94,0%Pública

Estadual

5,0%Pública

Municipal

1,0%Particular

115

Em relação à prática de esportes, os discentes consultados declaram que:

praticam (53 estudantes) e não praticam (47 estudantes), conforme podemos

observar no Quadro 40:

Quadro 40 – Prática de Esporte dos Discentes

Pratica Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 53 53%

Não 47 47%



Percebemos que mais da metade dos consultados pratica algum esporte.

Estes alunos citaram como esporte que praticam: futebol, jiu jitsu, vôlei, futsal,

dança/balé, boxe, natação e outros.

Gráfico 34 – Prática de Esporte dos Discentes


Quando perguntados se já ficaram de dependência escolar em Matemática no

sexto ano, 91% dos alunos assinalaram que não e 9% que sim. Como mostra o

Quadro 41:

Quadro 41 – Dependência em Matemática no 6º Ano

Ficou Frequência absoluta Frequência relativa

Sim 9 9%

Não 91 91%



53,0%

47,0%PRATICA

NÃO PRATICA

116

O gráfico 36 traz as porcentagens referentes aos alunos que declararam ter

ficado ou não de dependência escolar em matemática no sexto ano.

Gráfico 35 – Dependência em Matemática no 6º ano


No que se refere à maneira como o seu professor ministrou as aulas

referentes ao conteúdo de Fração, no sexto ano, o Quadro 42 e o gráfico 37,

mostram que 84% dos alunos indicaram que docentes iniciaram suas aulas pela

definição seguida de exemplos e exercícios, portanto, da maneira tradicional, e o

segundo índice maior, em valores relativos, foi de aulas que começam por uma

situação-problema e depois introduz o assunto, o que equivale a 12% dos

informantes.

O Quadro 42 nos fornece todas as informações a respeito de como foi

abordado o conteúdo de frações no sexto ano pelos docentes, segundo os alunos.

Quadro 42 – Abordagem das aulas sobre Fração no 6º ano segundo Discentes

Abordagem Frequência

absoluta Frequência relativa

Pela definição, seguida de exemplos e exercícios 84 84%

Com uma situação problema para depois introduzir um assunto

12 12%

Com um experimento para chegar ao conceito 4 4%

Com jogos para depois sistematizar os conceitos 0 0,0%



O Quadro 42 destaca que nenhum dos alunos (0%) declarou que os docentes

utilizaram jogos para abordar o conteúdo de Fração, bem como apenas 4% disse ter

iniciado os estudos deste conteúdo a partir de um experimento para chegar ao

conceito.

9,0%

91,0%

SIM

NÃO

117

Gráfico 36 – Abordagem das aulas sobre Fração no 6º ano segundo Discentes


As respostas dos Estudantes diferem bastante daquelas encontradas na

consulta aos docentes, pois 42% destes apontaram que abordam o conteúdo de

Frações através da definição, seguida de exemplos e exercícios, contrapondo com

os 84% dos estudantes que indicaram esse tipo de abordagem.

Ao tecer comparações com as respostas encontradas, destacamos também

que 50% dos docentes declararam que iniciam este conteúdo com o uso de uma

situação problema, bastante diferentes dos 12% das respostas dos estudantes para

esta abordagem.

Em relação à fixação do conteúdo de Fração, temos o Quadro 43:

Quadro 43 – Fixação do conteúdo de Fração segundo Discentes

Maneira como o professor realizou Frequência

absoluta Frequência

relativa

Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos 36 36%

Apresentava jogos envolvendo o assunto 1 1%

Mandava resolver os exercícios do livro didático 51 51%

Não fazia proposta de questões de fixação 4 4%

Pedia que o aluno procurasse questões sobre o assunto em outras fontes

8 8%



84%

12%

4%

0,00%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Pela definição, seguida de exemplos eexercícios

Com uma situação problema para depoisintroduzir um assunto

Com um experimento para chegar ao conceito

Com jogos para depois sistematizar osconceitos

118

A maior parte dos alunos informou que o professor escolheu fazer uso de livro

didático (51%), solicitando a resolução de exercícios do mesmo; seguido da

apresentação de uma lista de exercícios para serem resolvidos (36%).

O gráfico 38 destaca que apenas 1 dos alunos declarou que os docentes

utilizaram jogos envolvendo o assunto de Fração para a fixação deste conteúdo.

Percebemos que a predominância é do uso de exercícios do livro didático ou lista de

exercícios.

Estes resultados nos fazem refletir sobre a necessidade da apresentação de

materiais diferenciados como recurso metodológico para o trabalho do professor

seja para a abordagem do conteúdo de Fração (ou até mesmo dos demais), seja

para a fixação do mesmo.

Gráfico 37 – Fixação do conteúdo de Fração segundo Discentes


A última parte do questionário buscou conhecer, a partir dos discentes,

informações a respeito do ensino e da aprendizagem de Fração, objetivando

construir um panorama das dificuldades dos alunos a partir das suas percepções.

Esta análise foi realizada ao se perguntar se o discente, ainda no sexto ano

estudou determinado tópico do conteúdo do ensino de Fração, bem como sua

avaliação pelos critérios “MUITO FÁCIL”, “FÁCIL”, “REGULAR”, “DIFÍCIL” e “MUITO

DIFÍCIL”.

36,0%

1,2%

51,2%

3,5%

8,1%

0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%

Apresentava uma lista de exercícios para seremresolvidos

Apresentava jogos envolvendo o assunto

Mandava resolver os exercícios do livro didático

Não fazia proposta de questões de fixação

Pedia que o aluno procurasse questões sobre oassunto em outras fontes

119

Embora todos os itens do conteúdo de Fração listados no questionário façam

parte deste componente curricular da Matemática, 24% dos docentes declaram não

ensinar um ou mais destes tópicos.

A partir das respostas dos estudantes consultados, buscamos identificar o

grau de dificuldade de aprendizagem dos tópicos de Frações presentes no Quadro

44 a seguir.

A confiabilidade das respostas dadas pelos sujeitos consultados segundo

uma escala Likert em 5 pontos (1= muito fácil; 2= fácil; 3= regular; 4=difícil; 5= muito

difícil) foi medida pelo coeficiente Alfa de Cronbach. Destacamos que para dados

não informados atribuímos o valor 0.

Para o número de itens 𝑘 = 17, os dados mostram que a soma variância das

respostas de cada item é ∑ 𝑠𝑖2𝑘

𝑖=1 = 38,4517 e a variância total é 𝑠𝑡2 = 63,4675.

Assim, encontramos 𝛼 = 0,418785, o que indica um valor de confiabilidade

“baixo” de acordo com a escala apresentada por Hill e Hill (2009).

O Quadro 44 nos fornece a relação entre os tópicos citados e o grau de

dificuldade dos discentes referente ao conteúdo de Frações. Vejamos:

Quadro 44 – Dificuldade de aprendizagem segundo discentes

Item ASSUNTO

GRAU DE DIFICULDADE

DOS ALUNOS

MF

(%)

FA

(%)

RE

(%)

DI

(%)

MD

(%)

01 Conceito de fração 20 36 38 6 0

02 Tipos de fração 15 39 30 15 1

03 Representação de frações 27 41 20 10 2

04 Simplificação de frações 16 25 35 17 7

05 Comparação de frações 20 40 27 12 1

06 Adição de frações com o mesmo denominador 20 27 29 20 4

07 Adição de frações com denominadores diferentes 16 34 27 15 8

08 Subtração de frações com o mesmo denominador 14 29 40 12 5

09 Subtração de frações com denominadores diferentes 14 29 29 20 8

10 Multiplicação de fração 23 36 30 8 3

11 Divisão de fração 21 29 31 15 4

12 Problemas em que se conhece o todo e deseja saber a parte 35 34 17 13 1

13 Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer 16 31 34 15 4

120

o todo

14 Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar

outra parte 10 27 38 21 4

15 Expressões numéricas com frações envolvendo adição e

subtração 15 30 29 19 7

16 Expressões numéricas com frações envolvendo adição,

subtração e multiplicação 14 28 28 22 8

17 Expressões numéricas com frações envolvendo adição,

subtração, multiplicação e divisão 10 14 40 26 10


Agora, apresentamos as opiniões dos discentes quanto ao grau de

dificuldades que sentem ao aprenderem os tópicos do conteúdo de fração descritos

no Quadro 44. Utilizamos MF para referir-se à “Muito Fácil”, FA para “Fácil”, RE para

“Regular”, DI para “difícil” e MD para “Muito Difícil”.

Conforme o Quadro 44a, com valores de frequência absolutos (FA) e relativos

(FR), de modo geral, os alunos informam que os conhecimentos acerca do conceito

de Fração possuem um grau de dificuldade regular (38% da amostra) ou fácil (36%).

Com relação aos tipos de fração, os discentes afirmaram que a aprendizagem

deste conteúdo possui um grau considerável fácil, alcançando 39% da amostra, já

30%, o que corresponde a 30 estudantes, afirmaram ser um conteúdo regular. No

que concerne às representações de frações, os alunos consultados declararam que

este conteúdo é: 41% fácil; 27% muito fácil; 20% regular; 10% difícil e 2% muito

difícil.

O conteúdo de simplificação de frações foi considerado pela maioria dos

discentes como regular, alcançando 35% da amostra; 25% como fácil e 17% como

difícil. Os valores de frequência relativa com relação ao conteúdo de comparação de

frações são: 40% dos discentes consultados avaliaram este conteúdo como fácil;

26,7% como regular e 19,8% como muito fácil.

Em relação à operação de adição de frações com o mesmo denominador,

29,0% dos alunos avaliaram como um conteúdo de grau de dificuldade regular, 27%

como fácil; 20% como difícil; 20% como muito fácil e 4% como muito difícil. Já para

adição de frações com denominadores diferentes, os apontamentos foram: 34% da

amostra avaliou como fácil; 27% como regular; 16% como muito fácil; 15% como

difícil e 8% como muito difícil.

121

Quanto à operação de subtração de Frações com o mesmo denominador,

40% dos discentes apontaram que este conteúdo é considerado regular e 29% como

fácil. Já em relação à operação de subtração com denominadores diferentes, os

índices relativos dos discentes são: 29% regular e 29% como fácil.

A operação de multiplicação para 36% dos alunos consultados é considerada

fácil seguida de 30% da amostra que declarou ser regular. E, com relação à

operação de divisão de Fração, 31% dos discentes consultados disseram ser um

tópico do conteúdo de nível de dificuldade regular e 29,0% declarou ser fácil.

No que tange aos problemas envolvendo frações, exploramos, assim como

com os docentes, três situações: Problemas em que se conhece o todo e deseja

saber a parte, Problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer o todo e

Problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar outra parte. Para a

primeira situação 35% dos alunos consultados declararam ser um conteúdo muito

fácil, seguido de 34% que proferiu ser fácil.

Com relação aos problemas em que se conhece uma parte e deseja conhecer

o todo, encontramos 34% dos discentes declarando ser um conteúdo regular,

acompanhado de 31% que disse ser um conteúdo de grau de dificuldade fácil. Já no

que concerne aos problemas em que se conhece uma parte e deseja encontrar

outra parte, os alunos declaram ser regular (38%), Fácil (27%), Difícil (21%), Muito

fácil (10%) e muito difícil (4%).

Para as expressões numéricas envolvendo Frações, apresentamos

novamente três casos: expressões numéricas com frações envolvendo adição e

subtração, Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração e

multiplicação e Expressões numéricas com frações envolvendo adição, subtração,

multiplicação e divisão.

Para o primeiro caso, os discentes julgaram um nível de dificuldade: fácil

(30%) e regular (29,0%). Para as expressões que envolvem adição, subtração e

multiplicação 28% indicou ser um conteúdo fácil e o mesmo percentual disse ser um

conteúdo regular. Para as expressões que envolvem adição, subtração,

multiplicação e divisão, os alunos apontaram como: 40% regular; 26% difícil; 14%

fácil; 10% muito difícil e o mesmo percentual declarou ser um conteúdo considerado

muito fácil.

Observamos que os estudantes apontam coo conteúdos de maior dificuldade

as operações de Adição e Subtração com denominadores diferentes e as

122

expressões com frações envolvendo as mais diversas operações de maneira geral.

Estes dados nos proporcionaram subsídios para a construção das tarefas de nossa

Sequência de Atividades.

No bojo dos resultados encontrados nestas Análises Prévias, construímos

nossa Concepção e Análise a priori, apresentada na seção a seguir.

123

2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE À PRIORI

Nesta fase são delimitadas as variáveis de comando (globais e locais), as

quais dizem respeito ao planejamento específico de cada uma das aulas da

sequência didática, e à elaboração global da sequência didática. Estas variáveis

foram observadas e analisadas durante a aplicação da sequência, relacionando o

conteúdo em questão com a sequência proposta.

Dessa forma, construção das atividades contou com o subsídio dos

resultados encontrados a partir das consultas a docentes e discentes, para

elaborarmos uma sequência didática constituída de atividades com o auxilio de

materiais manipuláveis, que denominamos kit de Frações, buscando oportunizar aos

alunos condições para uma melhor compreensão dos conceitos e regras referentes

ao conteúdo de frações.

Apoiados em Sá (2009, p. 18), nossa sequência didática foi construída no

ensino de matemática por atividades, metodologia de ensino que pressupõe “a

possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções

matemáticas presentes nos objetivos das atividades”.

A sequência foi estruturada com atividades, distribuídas em 12 encontros

destinados ao desenvolvimento do conteúdo de Fração a partir dos seguintes

tópicos: Conceito, representação, equivalência, adição e subtração de frações com

mesmo denominador; adição e subtração de frações com denominadores diferentes;

multiplicação de frações e divisão de frações, com o objetivo de produzir significados

e melhorar o desempenho em Matemática de estudantes do 6º ano do ensino

fundamental de uma escola pública estadual do município de Belém/PA.

No Quadro 45 apresentamos o planejamento da aplicação da sequência

didática que foi constituída por 10 atividades, que compreendeu um conjunto de

situações problemas de conteúdos diferenciados relacionados à Fração, nas quais

se empregou o uso de materiais manipuláveis (kit de Frações), como ferramenta

metodológica o ensino por atividades, dos conceitos e das regras que envolvem o

conteúdo de Frações. A sequência proposta foi planejada, inicialmente, em 12

encontros, 10 para a efetivação da atividade e 02 para a aplicação dos instrumentos.

124

Quadro 45 – Planejamento da aplicação Sequência Didática (continua)

Ordem dos encontros

Ação Tempo Objetivo Material utilizado

1º Aplicar o Pré-teste 45 minutos

Avaliar o desempenho

dos alunos na resolução de questões

envolvendo o conteúdo de Fração.

Pré-teste, contendo 12

problemas envolvendo o conteúdo de Fração, lápis

ou caneta.

2º Aplicar a Atividade

1: “Conceito de Fração”

90 minutos Levar o aluno a

conceituar Fração.

Roteiro da atividade para

o professor, roteiro da atividade para o aluno,

Folhas de papel A4, caneta ou lápis.

3º Aplicar a Atividade 2: “Representação

de Fração” 90 minutos

Levar o aluno a descobrir como se representa Fração.

Roteiro da atividade para

o professor, roteiro da atividade para o aluno,


4º Aplicar a Atividade de Aprofundamento

90 minutos

Aprofundar os

conhecimentos dos estudantes sobre o

conceito e representação de

Frações.

Questões tipo Prova Brasil

5º Aplicar a Atividade 3: “Equivalência de

Frações” 90 minutos

Levar o aluno a descobrir maneira de identificar e encontrar Frações equivalentes.

Kit de frações, roteiro da

atividade para o professor, roteiro da

atividade para o aluno, caneta ou lápis.

6º Aplicar a Atividade 4: “Simplificação de


Levar o aluno a descobrir maneira de

simplificar Fração.




7º Aplicar a Atividade 5: “Comparação de


Levar o aluno a descobrir maneira de comparar Frações.




125

Quadro 45 – Planejamento da aplicação Sequência Didática (conclusão)

8º

Aplicar a Atividade 6: “Adição e Subtração de

Frações com o mesmo

denominador”

90 minutos

Levar o aluno a descobrir maneira de

somar e subtrair Frações com o mesmo

denominador, realizando a

elaboração da regra a partir da resolução de

problemas com o auxílio do kit de

Frações.

Kit de frações, roteiro da atividade para o

professor, roteiro da atividade para o aluno,

caneta ou lápis.

9ª

Aplicar a atividade 7: “Adição e subtração de Frações com

denominadores diferentes”

90 minutos

Levar o aluno a Descobrir maneira de

Somar e subtrair Frações com

denominadores diferentes, realizando a elaboração da regra a partir da resolução de problemas com o

auxílio do kit de Frações.



caneta ou lápis.

10º Aplicar a atividade 8: “Multiplicação de

Fração” 90 minutos

Levar o aluno a

Descobrir maneira de Multiplicar Frações,

realizando a elaboração da regra a partir da resolução de


Frações.



caneta ou lápis.

11º Aplicar a atividade

9: “Divisão de Frações”

90 minutos

Levar o aluno a Descobrir maneira de

Dividir Frações, realizando a

elaboração da regra a partir da resolução de


Frações.



caneta ou lápis.

12º Aplicar o Pós-teste 45 minutos

Avaliar quais os efeitos da aplicação da

sequência didática, bem como o

desempenho dos alunos na resolução

de questões envolvendo este

conteúdo.

Pós-teste contendo 12 problemas envolvendo o

conteúdo de Fração, lápis ou caneta.


126

2.1 Abordagem metodológica da atividade

2.1.1 O Ensino por Atividades

As atividades que compõem a Sequência, apresentada como proposta para o

Ensino de Frações neste trabalho, possuem como abordagem metodológica do

Ensino por atividades, estudada por Fossa (2000), Sá (2008, 2009) e Mendes e Sá

(2006).

Esta metodologia de ensino propõe a inserção de uma dinâmica experimental

na sala de aula, respeitando o desenvolvimento físico e mental do aluno, bem como

suas necessidades e interesses para que este possa compreender e questionar seu

próprio conhecimento, pois, nessa abordagem metodológica, passa de mero

espectador a um criador ativo, conforme nos fornece Sá (2008, p. 15).

Convergindo com o que afirmam Mendes e Sá (2006), destacando que o

ensino de matemática por atividades possibilita aos alunos a construção das noções

matemáticas que estão inerentes aos objetivos das atividades.

Uma das vantagens para o aluno, no Ensino por Atividades, é a intenção de

que estes aprendam não somente “o que”, mas o “porque” se deve fazer uma tarefa

desta ou daquela maneira, desenvolvendo assim aspectos como a observação, a

criatividade e a criticidade, ao realizar os experimentos, interpretá-los e discutir os

resultados com o professor.

Para alcançar uma aprendizagem plena com o uso do Ensino por Atividades,

se faz necessário a disponibilidade do professor em querer e acreditar que pode

melhorar sua prática em sala de aula, adaptando-se às condições da escola e às

necessidades de cada turma. Outro ponto bastante relevante é o bom planejamento

das atividades, que possibilite a condução do aluno a uma construção constante dos

conhecimentos matemáticos envolvidos em cada uma delas.

Segundo Fossa (2000), o professor que for usar as atividades deve possuir

objetivos claros, estruturas as atividades a fim de permitir a familiarização pelos

alunos; conduzir os alunos a formular hipóteses a serem investigadas e discutidas

entre si, registrar os resultados obtidos no final de cada atividade. O autor propõe

um roteiro descrito em cinco etapas: Provocação, Participação, Precipitação,

Publicação e a Perturbação.

127

Cada uma destas etapas possui um alvo, a primeira é o lançamento de um

problema ou um desafio aos alunos, provocando-os; a segunda leva os alunos a

analisar o problema proposto e com isso formular e testar suas hipóteses, a terceira

conduz os alunos a registrar seus resultados em linguagem apropriada, a quarta, a

Publicação, consiste na revelação dos resultados, com objetivo de avaliar a

preparação do grupo a fim de continuar a sequência de atividades, e finalmente, e a

última, a Perturbação, que ajuda a relacionar as atividades com o mesmo objetivo ou

com objetivos semelhantes.

Os elementos essenciais, segundo Sá (2008, p. 19), para a elaboração das

atividades fundamentadas nesta concepção de ensino são:

As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os

alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;

Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções

matemáticas através de três fases: a experiência, a comunicação oral das ideias

apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;

As atividades devem prever um momento de socialização das informações

entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo.

Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito

mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do

grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;

As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam

conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas

construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele.

As atividades propostas pelo professor deve se apresentar de três maneiras:

desenvolvimento, conexão e abstração, de modo que sejam sequencialmente

apresentadas e possam contribuir para a construção gradual dos conceitos

matemáticos, conforme afirma o autor, convergindo com as ideias de Fossa (2000).

Dessa maneira, desenvolver a disciplina de matemática, mais

especificamente o conteúdo de Frações, auxiliada pelo Ensino por atividades pode

permitir aos docentes de matemática novas propostas para um ensino de maneira

diferente do tradicional, oferecendo aos estudantes um novo caminho para a

construção do conhecimento com a valorização dos saberes que eles já possuem

para alcançar os objetivos previstos para cada atividade, tornando-os atores de sua

aprendizagem.

128

2.1.2 O Kit de Frações

Para o desenvolvimento das atividades propostas para esta Sequência

Didática, elaboramos um material, que denominamos kit de Frações, que será

utilizado como possível facilitador no processo da construção do conhecimento

matemático do conteúdo de Fração. Descreveremos agora o kit de Frações.

Ao planejar e construir a sequência de Atividades, buscamos criar um

elemento que pudesse, além de facilitar o aprendizado, ser de fácil manipulação e

transporte, bem como de baixo custo para que seja acessível ao maior número de

educadores que desejarem fazer uso, para tanto escolhemos como material de

produção do kit de Frações o papel cartão nas mais variadas cores. O kit de Frações

consiste em um conjunto com 137 peças em papel que representam as frações.

Abaixo descrevemos cada um destes conjuntos.

Para representar um inteiro temos a figura 6:

Figura 6 – Kit de Frações: Um Inteiro


Para 1

2 temos 02 peças, conforme figura 7:

Figura 7 – Kit de Frações: Um meio


129

Para 1


Figura 8 – Kit de Frações: Um terço


Para a Fração 1

4 temos 04 peças, conforme imagem 9:

Figura 9 – Kit de Frações: Um Quarto


Para representar a Fração 1

5 temos 05 peças em formato retangular,

conforme figura 10:

Figura 10 – Kit de Frações: Um Quinto


130

Para a representação da Fração 1

6 temos um conjunto com 12 peças, sendo

06 em formato de tiras e 06 em formato retangular, em duas opções. Conforme as

figuras 11 e 12.

Figura 11 – Kit de Frações: Um sexto em tiras


Figura 12 – Kit de Frações: Um sexto retangular


Para 1


Figura 13 – Kit de Frações: Um Oitavo


131

Para 1


Figura 14 – Kit de Frações: Um nono


Para 1


Figura 15 – Kit de Frações: Um Décimo


Para 1

12 temos 24 peças, sendo 12 em formato de tiras e 12 em formato

retangular, em duas opções de representação para esta Fração. Conforme as

figuras 16 e 17:

Figura 16 – Kit de Frações: Um Doze Avos em Tiras


132

Figura 17 – Kit de Frações: Um Doze Avos retangular


Para 1


Figura 18 – Kit de Frações: Um Quinze Avos


Para 1


Figura 19 – Kit de Frações: Um Dezoito Avos


133

Para 1


Figura 20 – Kit de Frações: Um Vinte e Sete Avos


2.1.3 A Sequência Didática

As atividades que compõem a nossa sequência didática proposta abordam os

seguintes tópicos referentes ao conteúdo de Fração:

Conceito de Fração

Representação de Fração

Equivalência de Fração

Simplificação de Fração

Comparação de Fração

Adição de Frações com o mesmo denominador

Subtração de Frações com o mesmo denominador

Adição de Frações com denominadores diferentes

Subtração de Frações com denominadores diferentes

Multiplicação de Fração

Divisão de Frações

Para cada uma das atividades serão apresentados o título, o objetivo, o

material necessário e os procedimentos a serem realizados. Para as operações

envolvendo Frações, quadro com a solicitação de observações quanto ao número da

questão, a operação realizada, as Frações envolvidas, o cálculo realizado para que

os alunos possam expor suas observações acerca do desenvolvimento da atividade

e resolução dos problemas, e o espaço o aluno descrever a maneira de obter o

134

Um inteiro ou Um todo

resultado sem o uso do material, suas conclusões e registro da regra matemática

descoberta, sistematizando os conhecimentos matemáticos adquiridos na atividade.

Com a intenção de obter o tempo médio de realização das atividades para

comparar com tempo previsto no planejamento para a realização de cada uma das

atividades, registraremos o horário de início e fim de cada atividade,

A seguir exibiremos cada uma dessas atividades com suas respectivas

análises a priori.

2.1.3.1 Atividade1: Conceito de Fração

Título: O conceito de Fração

Objetivo: Conceituar de Fração

Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno,


Horário de Início da atividade: ______

Procedimento:

Utilize as folhas de Papel A4 para responder às perguntas abaixo:

Pegue as folhas de Papel A4 e divida-as ao meio no sentido do

comprimento para obter uma tira de papel. Conforme imagem abaixo:

Nesta tira, considere e escreva: Um inteiro ou Um todo.

Pegue um inteiro e divida, no sentido da largura, em duas partes iguais,

conforme imagem abaixo:

135

Responda às perguntas:

1) Que nome você daria a cada uma das partes obtidas?

2) Como se obtém a metade de um inteiro?

3) Quantas metades cabem em um inteiro?

Pegue um inteiro e divida em três partes iguais


4) Que nome você daria a cada parte obtida?

5) Como se obtém a terça parte de um inteiro?

6) Quantos terços cabem em um inteiro?

Pegue um inteiro e divida em quatro partes iguais


7) Qual é o nome de cada parte obtida?

8) Como se obtém um quarto de um inteiro?

9) Quantos quartos cabem em um inteiro?

Pegue um inteiro e divida em cinco partes iguais


10) Qual é o nome de cada parte obtida?

11) Como se obtém um quinto ou a quinta parte de um inteiro?

12) Quantos quintos cabem em um inteiro?

A metade, a terça parte, um quarto e um quinto de um inteiro são

exemplos de Frações de um inteiro.

A palavra Fração tem origem do latim Fraction e significa parte de um

todo. Este é o significado etimológico da palavra Fração.

136

Em Matemática, a palavra Fração significa Parte de um todo que foi

dividido igualmente.

Responda:

13) O que é necessário fazer para obter uma fração de um todo?

14) Quanto é a terça parte de 15?

15) Quanto é a metade de 20?

16) Quanto é a quarta parte de 8?

17) Quanto é a sexta parte de 36?

18) Quanto é a quinta parte de 20?

19) Quanto é a metade de 100?

20) O que são Frações?

Análise a Priori da Atividade 1:

Esta atividade aborda o conceito de Fração, dando enfoque no significado

parte-todo, utiliza material para que os alunos manipulem e construam significado

nas descobertas a se realizar. Nossa expectativa é que os alunos descubram o

conceito a partir da manipulação de um inteiro, obtendo, a partir das orientações,

diferentes frações deste inteiro.

A Atividade 1 possui 20 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90

minutos) para o seu desenvolvimento. Acreditamos que os alunos alcançarão os

objetivos esperados, pois a manipulação do material representando um inteiro nas

diversas situações mostra-se um facilitador na visualização destas e possíveis

direcionamentos para a formalização deste tópico do conteúdo de Frações.

2.1.3.2 Atividade 2: Representação de Fração

Título: Representação de Frações

Objetivo: Descobrir como se representa Frações.

137

Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno,

caneta ou lápis.


Procedimento:

Responda às perguntas abaixo:

1) Observe as figuras e informe que Fração de cada uma dela é a parte pintada:

2) Pinte o que se pede nas figuras abaixo:

138

Um pouco da História das Frações Os homens da Idade da Pedra não usavam frações, mas com a chegada da Idade do Bronze, parece ter surgido a necessidade de um conceito e de uma notação para frações. Os egípcios, em suas inscrições hieroglíficas, em monumentos e tumbas, utilizavam as frações unitárias com uma notação especial: “O inverso de um número inteiro era indicado colocando sobre a notação para o inteiro um sinal oval alongado”.

Para eles 1

3 , por exemplo, era representado como . Além de haver frações com notações

especiais, como: 1

2 = ;

1

4 = x ;

2

3 =

Os egípcios usavam um método diferente para representar aquelas frações que não eram

unitárias, por exemplo: para representar a fração 5

6 eles utilizavam a soma

1

3 +

1

2 .

Os Babilônios, utilizando a numeração cuneiforme, posicional, com leitura da direita para esquerda, com notação sexagesimal, obtiveram um nível de superioridade matemática em relação aos egípcios. Para eles:

1

5 =

12

60 era representado por

Os gregos usavam as frações unitárias egípcias, as frações sexagesimais da Babilônia, além das frações cuja notação se assemelha a nossa. Durante o período alexandrino, o hábito grego antigo de usar frações comuns com o numerador embaixo do denominador foi invertido, e foi nessa forma que os hindus o adotaram, sem a barra entre eles. Para os gregos, o numerador recebia um acento e o denominador era repetido e recebia dois acentos, assim:

2

3 = β’γ”γ”

Posteriormente, os gregos começaram a usar como notação o denominador acima do numerador, ainda sem o uso da barra, da seguinte maneira:

2

3=

γβ

Na China operações com frações eram comuns, viam analogias com diferenças entre os sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”. Os árabes, representados por Jamshid Al-Kashi, utilizavam as frações decimais, e percebendo sua importância e sua contribuição para este assunto, foi considerado o inventor das frações decimais. Já na Idade Média, um matemático chamado Fibonacci usava regularmente a barra horizontal para Frações, o qual foi um dos primeiros a separar o numerador do denominador por um traço. Antes dessa época, quando as frações eram escritas em algarismos hindu-arábicos, o denominador era escrito embaixo do numerador, mas sem qualquer sinal de separação. Apenas no século XVI o uso da barra tornou-se comum.

13

= 1

3

139

3) Com base no texto acima, responda as questões a seguir:

a) Na sua opinião, a maneira como os egípcios utilizavam para representar as

frações que não eram unitárias facilitava essa representação? Por quê?

b) O que você acha do modo como os babilônios realizavam em seus cálculos

com frações, sempre transformando o denominador em 60? Por quê?

c) Qual a diferença entre a notação que utilizamos atualmente para representar

frações daquela utilizada pelos gregos nos dois momentos apresentados no texto?

4) Escreva a Fração, com a notação atual, correspondente à parte pintada das

figuras abaixo:

5) Maria fez um bolo e dividiu em 8 fatias para vende-las. Após a venda,

sobraram apenas 2 fatias:

a) Que fração representa o número de fatias que

foram vendidas?

b) Que fração representa o número de fatias que

não foram vendidas?

6) Uma caixa possui bolinhas azuis e vermelhas. Observe a imagem abaixo e

responda:

a) Que fração representa o número de bolinhas vermelhas?

140

b) Que fração representa o número de bolinhas azuis?

7) Uma caixa de ovos possui capacidade para 6 ovos. Observe a figura abaixo e

responda:

a) Qual a fração que representa o

número de ovos que foram consumidos?

b) Que Fração representa o número de

ovos que estão na caixa?

8) Pedro possui um pacote com 15 bombons e quer distribuir igualmente entre

seus três irmãos. Que fração representa a quantidade de bombons que cada irmão

irá ganhar?

9) Uma coleção possui 24 figurinhas. Escreva a Fração que representa a

quantidade de:

a) 12 figurinhas dessa coleção

b) 8 figurinhas dessa coleção

c) 6 figurinhas dessa coleção

10) Descubra a Fração que representa cada uma das situações abaixo:

a) Nove em cada dez atrizes usam

a loção “Cheiro Bom”.

b) Três em cada cinco pessoas

consomem feijão diariamente.

c) Oito a cada doze homens

assistem o programa “TV Esporte”.

d) De cada cem pessoas, vinte e

cinco votam no candidato “Zé da

Praça”.

141

Após a resolução das tarefas acima, podemos concluir que:

O total de partes que o todo foi divido em uma fração é _____________

A quantidade de partes considerada é ________________

Análise a Priori da Atividade 2 Esta atividade que aborda o conteúdo de Representação de Fração utiliza

questões icônicas, questões com variáveis quantidades contínuas e discretas, assim

como também traz aspectos históricos da evolução da notação de Fração.

Acreditamos que os alunos percebam e identifiquem os termos da Fração a

partir do desenvolvimento da atividade, ao relacionar a parte com o todo.


minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos que esta atividade seja de nível

fácil e que os alunos conseguirão alcançar os objetivos esperados.

2.1.3.3 Atividade 3: Equivalência de frações

Título: Equivalência de Frações

Objetivo: Descobrir maneira de identificar e encontrar Frações Equivalentes.

Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno, kit

de Frações, caneta ou lápis.


Procedimento:

Utilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:

1) Tente sobrepor dois quartos em um meio.

a) Foi possível sobrepor?

b) Anote o que acontece:

c) As frações 1

2 e

2

4 representam a mesma parte do todo? Por quê?

2) Sobreponha três sextos em um meio.



c) As frações 1

2 e

3

6 representam a mesma parte do todo?

142

3) Sobreponha quatro oitavos em um meio.



c) As frações 1

2 e

4


4) Sobreponha cinco décimos em um meio.



c) As frações 1

2 e

5


5) Sobreponha seis doze avos em um meio.



c) As frações 1

2 e

6


6) Sobreponha quatro sextos em um meio.



c) As frações 1

2 e

4


Duas frações do mesmo inteiro que representam a mesma parte são

denominadas de Frações Equivalentes.

7) Dê dois exemplos de frações equivalentes a 1

2?

8) Dê dois exemplos de frações não equivalentes a 1

2?


3?


3?


4?

143


4?


5?


5?

15) O que são frações Equivalentes?

16) O que você faria para a partir da fração 1

4 , obter

2

8? Estas frações são

equivalentes?


3, obter

3


equivalentes?


5 , obter

4


equivalentes?


12 , obter

1


equivalentes?


20, obter

8


equivalentes?


9 , obter

1


equivalentes?

22) Como se obtém frações Equivalentes?

Análise a Priori da Atividade 3 Esta atividade aborda o tópico de Equivalência de Frações, nossa expectativa

é que os alunos descubram uma maneira de identificar e obter Frações

equivalentes. Provavelmente os alunos encontrarão os resultados esperados, pois a

utilização do kit de Fração e a sequência com que as tarefas lhe são apresentadas

poderá facilitar no momento da construção do conhecimento.

144


minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos que esta atividade seja de nível

médio e que os alunos conseguirão alcançar os objetivos esperados.

2.1.3.4 Atividade 4: Simplificação de Frações

Título: Simplificação de Frações

Objetivo: Descobrir maneira de simplificar de Frações.




Procedimento:


1) Considere a fração 7

14 e encontre seis frações equivalentes com termos

menores.

2) O que é necessário realizar com os termos da fração 1

2 para obter a fração

5

10

, conforme imagem a seguir?


12 , para obter

1

2 ,

conforme imagem a seguir?

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10 =

6

12 =

7

14…

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10 =

6

12 =

7

14…

145

1

3 =

2

6 =

3

9 =

4

12 =

5

15 =

6

18 =

7

21…

4) Considere a fração 1

3 e encontre seis frações equivalentes com termos

menores.


3 , para obter

6

18 ,



15 , para obter

1

3 ,



15 , para obter

6

30 ?


35 , para obter

1

5 ?

Simplificar uma fração consiste em __________________.

9) Utilizando a simplificação, escreva frações equivalentes a:

a) 10

15

b) 6

12

c) 12

18

d) 15

45

e) 14

42

1

3 =

2

6 =

3

9 =

4

12 =

5

15 =

6

18 =

7

21…

146

10) Como se simplifica uma fração?

11) Simplifique sucessivamente cada Fração a seguir até não ser mais possível

simplificar:

a) 4

20

b) 8

16

c) 4

12

d) 3

21

Quando simplificamos uma Fração até não ser mais possível dividir seus

termos por qualquer número, obtemos, então, ________________.

12) Utilizando a simplificação, obtenha a fração irredutível de:

a) 3

24

b) 8

20

c) 6

8

d) 5

50

13) Dona Maria fez um bolo de chocolate e um bolo de abacaxi. Do bolo de

chocolate, Dona Maria vendeu 1

2 e do bolo de abacaxi vendeu

2

4. De qual bolo

Dona Maria vendeu a maior quantidade? Porquê?

14) Miguel dividiu seus carrinhos entre seus dois irmãos menores. João, ficou

com 3

9 dos carrinhos e Felipe com

1

3. Qual irmão ficou com a maior

quantidade de carrinhos? Porquê?

Horário final da atividade: ______________ Análise a Priori da Atividade 4:

Esta atividade aborda o tópico Simplificação do conteúdo de Fração, utiliza

material para que os alunos manipulem e construam significado nas descobertas a

se realizar. Nossa expectativa é que os alunos descubram o modo como se

147

simplifica uma Fração através do manejo das Frações Equivalentes, que foram

estudadas na atividade anterior.


minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos ser esta uma atividade de nível de

dificuldade médio, pois os alunos deverão apresentar conhecimentos prévios das

operações de produto e divisão para realizar os cálculos necessários para o

desenvolvimento da atividade.

A disposição das tarefas mostra-se como ponto facilitador, assim,

acreditamos que os alunos alcançarão os objetivos esperados.

2.1.3.4 Atividade 5: Comparação de frações

Título: Comparação de Frações

Objetivo: Descobrir maneira de comparar Frações.




Procedimento:

1ª Parte


Considere o mesmo inteiro e responda:

1) Quem é maior 1

4 ou

3

4 ?

2) Quem é maior 1

5 ou

2

5 ?

3) Quem é maior 2

8 ou

7

8 ?

4) Quem é maior 1

3 ou

2

3 ?

5) Quem é maior 1

15 ou

10

15 ?

Descubra uma maneira de comparar Frações sem usar o Kit

Conclusão

2ª Parte

Utilizando o Kit de Frações e considerando o mesmo inteiro, responda:

6) Quem é maior 1

2 ou

1

3 ?

Para realizar a comparação entre duas ou mais frações de um mesmo inteiro, cujos denominadores são iguais, basta __________________.

148

7) Quem é maior 1

8 ou

1

6 ?

8) Quem é maior 2

3 ou

1

4 ?

9) Quem é maior 1

5 ou

3

8 ?

Descubra uma maneira de comparar Frações sem usar o Kit

Conclusão

Agora, responda: quem é maior:

10) 1

3 ou

1

2 ?

Calcule o que se pede nas questões de 11 a 16 e complete os espaços em branco

na tabela:

11) 1

3 de 1500 e

1

2 de 1000

12) 1

3 de 900 e

1

2 de 600

13) 1

3 de 1800 e

1

2 de 800

14) 1

3 de 1200 e

1

2 de 300

15) 1

3 de 3000 e

1

2 de 3000

16) 1

3 de 600 e

1

2 de 600

INTEIRO 𝟏

𝟑 INTEIRO

𝟏

𝟐 CONCLUSÃO:

1500 1000 Considerando inteiros diferentes,

𝟏

𝟑 e

𝟏

𝟐 podem ser ...........................

900 600

1800 800 Considerando inteiros diferentes,

𝟏

𝟑 e

𝟏

𝟐 podem ser ...........................

1200 300

3000 3000 Considerando inteiros iguais,

Para realizar a comparação entre duas ou mais frações de um mesmo inteiro, cujos denominadores são diferentes, basta _________________________

149

600 600 𝟏

𝟑 e

𝟏

𝟐 podem ser ...........................

A comparação de Frações de inteiros diferentes é realizada da mesma forma que de

frações de mesmo inteiro?

17) Qual fração de um mesmo inteiro é maior?

a) 1

2 ou

2

3

b) 4

5 ou

2

7

c) 3

5 ou

6

8

d) 7

8 ou

3

9

18) O que devemos observar antes de realizar a comparação entre duas ou mais

frações?

19) Como se faz para comparar frações?

Hora final da Atividade:_____________ Análise a Priori da Atividade 5

Nesta atividade contemplamos o tópico de comparação de Frações, com o

intuito de conduzir os alunos a descobrirem uma maneira de comparar frações

quando: os denominadores são iguais e quando os denominadores são diferentes.

Acreditamos que esta seja uma atividade de nível regular, pois os alunos poderão

encontrar dificuldade na compreensão de que a comparação frações é diferente da

comparação de números naturais, mas a manipulação do kit de Frações mostra-se

como facilitador.


minutos) para o seu desenvolvimento.

2.1.3.5 Atividade 6: Adição e Subtração de Frações com o mesmo

Denominador

Título: Adição e Subtração de Frações com denominadores iguais

150

Objetivo: Descobrir maneira de somar e subtrair Frações com o mesmo

denominador.

Material: Kit de frações, roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade

para o aluno, caneta ou lápis.


Procedimento:

Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações

para tentar resolvê-la;

QUESTÃO INICIAL - ADIÇÃO

Matilde repartiu um bolo em 8 pedaços. Ela comeu 1

8 e Rodolfo também comeu

1

8 do

bolo. Que fração representa a parte do bolo que Matilde e Rodolfo comeram?

Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o

uso do kit de Frações;

Resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do kit de

frações

QUESTÕES PROPOSTAS

1) Julia e Renato foram comer pizza. Julia comeu 1

4 e Renato

1

4 de uma

pizza de calabresa. Que fração da pizza eles comeram juntos?

2) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1

6 dos

apartamentos foi vendido e 1

6 foi arrendado. Que fração corresponde ao total de

apartamentos vendidos e arrendados?

3) Um motorista saiu de Belém para Brasília. No primeiro dia, percorreu 1

3

da distância que separa as duas cidades e no segundo dia, 1

3 dessa mesma

distância. Qual é a fração que representa a distância percorrida após os dois dias de

viagem?

Com os resultados obtidos preencha o quadro a seguir.

151

Questão Operação

realizada Cálculo realizado Resultado obtido

Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar o material:

Conclusão:

Para somar Frações que possuem o mesmo denominador, devemos

___________________

Complete a Fórmula:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑏=



QUESTÃO INICIAL - SUBTRAÇÃO

Dona Benta repartiu uma torta e deu 4

6 para seus sobrinhos Felipe e Tiago.

Felipe ganhou 1

6 da torta. Que fração da torta Tiago ganhou?


uso do kit de Frações / Resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do

kit de frações;

QUESTÕES PROPOSTAS

4) A fazenda de seu Francisco perde-se de vista. Ele reservou 8

12 de sua fazenda

para a agricultura, sendo que 2

12 foi para o plantio de milho. Que fração da reserva

ficou para o plantio de feijão?

152

5) Em um loteamento foram vendidos 18

30 lotes, sendo que

7

30 foram vendidos a vista.

Que fração do loteamento foi vendida a prazo?

6) Paulo e Ana ganharam 5

8 de uma torta. Paulo ganhou

3

8. Que fração da torta Ana

ganhou?


Questão Operação



Conclusão:

Para subtrair Frações que possuem o mesmo denominador, devemos

___________________

Complete a Fórmula:

𝑎

𝑏−

𝑐

𝑏=

Horário Final da atividade: ______


Esta atividade aborda as operações de Adição e Subtração de Frações com o

mesmo denominador, nossa expectativa é que os alunos descubram uma maneira

de somar Frações com denominadores iguais, e assim, percebam que há uma regra

para efetuar as operações de Adição e Subtração neste caso.

A Atividade 6 possui 8 problemas, divididos em uma questão inicial a ser

desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 3 problemas envolvendo

a Adição e o mesmo para a operação de subtração de Frações com o mesmo

153

denominador, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu

desenvolvimento.

Acreditamos que os alunos encontrarão os resultados esperados, pois a

utilização do kit de Fração poderá facilitar no momento da soma, juntamente com o

quadro que proporcionará a visão da sequência dos cálculos realizados e dos

resultados obtidos.

As estratégias de resolução previstas podem convergir com o que indicam os

estudos como Merlini (2005) e Monteiro e Pinto (2007), em que os erros dos alunos

ao realizar a operação de adição de Frações, tendem a se confundir e realizar algum

tipo de operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão) entre os termos das

frações envolvidas, o que acontece também com a subtração.

Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho de Costa e Sá (2007)

com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões de nossa autoria.

2.1.3.6 Atividade 7: Adição e subtração de Frações com denominadores

diferentes

Titulo: Adição e Subtração de Fração com denominadores diferentes

Objetivo: Descobrir maneira de somar e Subtrair Frações com denominadores

diferentes.

Material: Kit de frações, roteiro da atividade, caneta ou lápis.


Procedimento:



QUESTÃO INICIAL - ADIÇÃO

Numa fazenda em Castanhal, 1

2 da área total foi destinada para a plantação

de milho, enquanto 1

3 da área total foi destinada ao cultivo de frutas diversas. Qual é

a fração da área total da fazenda que está ocupada com a cultura de milho e frutas?

154


uso do kit de Frações e resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do

kit de frações;

QUESTÕES PROPOSTAS

1) Dona Carmem deu uma caixa de

bombons para seus filhos Carlos e

Raimundo. Carlos comeu 1

2 dos

bombons desta caixa e Raimundo

comeu 1

5 dos bombons. Qual é a fração

que representa a parte dos bombons

que eles comeram juntos?

2) Uma escola oferece aos seus alunos

duas atividades em educação Física:

basquete e vôlei. Entre os alunos da

escola, 2

4 se inscreveram em basquete e

1

6 em vôlei. Que fração corresponde aos

alunos inscritos?

3) Ana Maria está lendo um livro. Em

um dia, ela leu 1

2 do livro e, no dia

seguinte, leu 1

7 do livro. Qual a fração do

livro que ela já leu?

4) Miguel comeu 1

5 dos bombons de

uma caixa e Marcos comeu 2

3. Que

Fração dos bombons eles comeram?


Questão Operação



Conclusão:

Fórmula:



155

QUESTÃO INICIAL - SUBTRAÇÃO

De uma caixa de bombons, foi distribuído 1

2 dos bombons para Luiz Carlos e

Fabiana. Luiz Carlos ficou com 1

4. Com que fração da caixa de bombons Fabiana

ficou?



kit de frações;

QUESTÕES PROPOSTAS

1) Roberto Carlos e Ronaldinho

fizeram 1

2 dos gols de uma partida de

futebol de salão. Roberto Carlos fez 1

6

dos pontos da partida. Que fração de

pontos representa os pontos que

Ronaldinho marcou?

2) 3

4 da população de uma cidade

votou na eleição para prefeito. 1

2 das

pessoas que votaram são mulheres.

Que fração representa os votos dos

homens?

3) Augusto levou 7

8 de um chocolate

para a escola, mas só comeu 1

6. Que

fração do chocolate Augusto não

comeu?

4) Paulo e Ana ganharam 7

9 de uma

quantia como prêmio em um sorteio.

Após a divisão, Paulo ficou com 1

3.

Que Fração do prêmio Ana ficou?


Questão Operação



Conclusão:

Fórmula:

156



Nesta atividade abordamos as operações de Adição e Subtração de Frações

com diferentes denominadores, nossa intenção é que os estudantes descubram uma

maneira de realizar esta soma ou subtração, percebendo e registrando que há uma

regra para efetuar a operação de Adição e de subtração neste caso.

Acreditamos que esta seja uma atividade de nível regular, pois os alunos

poderão encontrar dificuldade mesmo com a utilização do kit de Fração, a presença

de denominadores diferentes pode gerar conflitos por não seguir a mesma regra de

adição e subtração de Frações com denominadores iguais, podendo ser facilitada

pela aplicação posterior à atividade 6.


desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 4 problemas envolvendo

cada um desses conteúdos citados, com tempo estimado de 2 horas-aula (90

minutos) para o seu desenvolvimento. A presciência dos erros antevistos coincide

aos da atividade 6. Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho de Costa e

Sá (2007) com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões de nossa

autoria.

2.1.3.7 Atividade 08: Multiplicação de Frações

Titulo: Multiplicação de Fração

Objetivo: Descobrir maneira de multiplicar Fração.


Horário de início da atividade: ______

Procedimento:



QUESTÃO INICIAL

Uma bandeira tem três cores em espaços igualmente distribuídos: vermelho,

amarelo e branco. Nessa bandeira, 1

3 corresponde à faixa vermelha e dessa faixa,

1

4

157

foi reservado para desenhar um emblema. Qual é a fração da bandeira na qual está

o emblema?

Observe a maneira como o professor resolve a questão inicial com o uso do

kit de Frações e resolva os cálculos das questões propostas como auxilio do kit de

frações;

QUESTÕES PROPOSTAS

1) Você dedica 1

2 do tempo livre para

estudar. Desse tempo de estudo, você

gasta 1

5 estudando Matemática. Qual é a

fração do tempo livre que você utiliza para estudar Matemática? 2) De uma folha de papel de seda,

Rodrigo só tem 1

2. Dessa metade, ele

usou 1

3 para fazer um remendo em sua

pipa. Que fração da folha de papel de seda ele usou para remendar a pipa?

3) Gastei 1

4 de hora para ir a pé da

escola para a casa da minha tia. Minha

irmã foi de bicicleta e gastou 1

6 do tempo

que gastei. Que fração da hora ela gastou?

4) Uma jarra de suco está preenchida

com 1

3 da sua capacidade. Fabiana

tomou 1

5 do suco que havia na jarra. Que

fração da jarra representa o que ela bebeu? 5) No passeio ao parque, Alexandre

levou 4

5 da sua merenda. No final do dia,

ele havia comido 1

3 da merenda. Que

fração da merenda ele comeu no parque?

6) Num recipiente, havia 7

9 de litro de

uma substancia, quando retirei 1

5 dessa

quantidade. Qual a fração do litro que representa a quantidade retirada?


Questão Operação



158

Conclusão:

Fórmula:

𝑎

𝑏 𝑥

𝑐

𝑑=



Nesta atividade contemplamos a operação de Multiplicação de Frações com o

intuito de conduzir os alunos a descobrirem uma maneira de realizar esta soma,

percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a operação de Produto

neste caso. Acreditamos que esta seja uma atividade de nível regular, pois os

alunos poderão encontrar dificuldade na compreensão de que a ideia de

multiplicação com frações é diferente da multiplicação com números naturais, ou

seja, agora o resultado não significa, necessariamente, um aumento.

A Atividade 08 possui 7 tarefas, divididas em uma questão inicial a ser

desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 06 problemas

envolvendo o conteúdo citado, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos)

para o seu desenvolvimento.

Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho de Costa e Sá (2007)

com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões de nossa autoria.

2.1.3.8 Atividade 09 – Divisão de Frações

Titulo: Divisão de Fração

Objetivo: Descobrir maneira de dividir Frações.


Procedimento:

Leia a questão inicial atentamente e utilize as peças do kit de Frações para tentar

resolvê-la;

159

QUESTÃO INICIAL

Do terminal rodoviário saem ônibus da empresa Transbrasiliana a cada 1

3 de

horas para fazer uma viagem para o Maranhão. Quantos ônibus da empresa

Transbrasiliana saem do terminal em uma hora?



kit de frações;

QUESTÕES PROPOSTAS

BLOCO 1

1) Na cozinha há um copo que

totalmente cheio pode conter 1

4 de litro

de um líquido. Para encher um litro

desse líquido são necessários quantos

copos?

2) Quantas vezes 1

5 do metro de areia

branca para construção cabem em um

metro de areia?

3) No período da propaganda

eleitoral na televisão, cada candidato a

vereador tem 1

8 de horas em um

espaço na televisão para fazerem

igualmente sua propaganda. Quantos

vereadores fizeram propaganda em

uma hora de programação?


Questão Operação


160


Conclusão:

BLOCO 2

4) Seu João comprou 2 kg de pirarucu

para vender em seu mercadinho em

pacotes de 1

4 . Quantos pacotes de

pirarucu seu João colocou para vender?

5) Uma caixa de papelão comporta 3

6

de cento de salgadinhos. Para embalar

um cento de salgadinhos serão

necessárias quantas caixas?

6) João comprou 2 kg de queijo prato e

pediu para que fosse embalado em

porções de 1

4 de kg. Quantas porções

foram necessárias para embalar o

queijo?


Questão Operação



Conclusão:

Bloco 3

7) Lourdes tem 1

3 de um bolo inteiro.

Ele preenche exatamente 1

2 do

recipiente. Quanto do bolo caberá no

recipiente inteiro?

8) José tem 1

5 de uma coleção de

figurinhas. Elas completam

exatamente 1

2 de um álbum. Quanto da

coleção de figurinhas preencherá o

álbum inteiro?

9) Ana tem 1

4 de um pacote de

biscoitos. Eles enchem exatamente 2

3

de um pote. Quanto do pacote de

biscoitos encherá o pote inteiro?

161

Fórmula:

𝑎

𝑏 ÷

𝑐

𝑑=

Horário Final da Atividade: ____


Nesta atividade trabalhamos a operação de Divisão de Frações com a

intenção de que os alunos descubram uma maneira de realizar esta operação,

percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a Divisão neste caso.

Acreditamos que esta seja uma atividade de nível difícil, pois os alunos poderão

encontrar dificuldade mesmo com a utilização do kit de Fração, utilizando

erroneamente, a mesma ideia de divisão de naturais, ou seja, de partição,

chocando-se ao encontrar como resultado um número menor (ou maior) que aquele

que ele dividiu.


desenvolvida pelo professor com o uso do Kit de Frações e, 09 problemas

envolvendo o conteúdo citado, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos)

para o seu desenvolvimento. Esta atividade possui questões inspiradas no trabalho

de Costa e Sá (2007) com adaptações ao uso do material kit de Frações e questões

de nossa autoria.

2.1.3.10 Atividade de Aprofundamento Título: Atividade de Aprofundamento

Objetivo: Aprofundar conhecimentos referentes à Conceito e representação de

Frações,

Material: Roteiro da Atividade, caneta ou lápis.

ATIVIDADE DE APROFUNDAMENTO

1. Em qual das figuras abaixo o número de bolinhas pintadas representa 2

3 do total

de bolinhas?

a)

162

b)

c)

2. Das 15 bolinhas de gude que tinha, Paulo deu 6 para o seu irmão. Considerando-se o total de bolinhas, a fração que representa o número de bolinhas que o irmão de Paulo ganhou é:

𝑎)6

15 𝑏)

9

15 𝑐)

15

9 𝑑)

15

6

3. Bianca e suas amigas saíram para comer uma pizza. Depois de 20 minutos

de conversa elas já haviam comido metade da pizza. Qual fração abaixo representa o total da pizza que elas já comeram?

𝑎) 1

5 𝑏)

3

4 𝑐)

1

8 𝑑)

1

2

4. Observe as figuras a seguir:

A parte pintada destas figuras é representada

pelas frações:

𝑎) 1

2 𝑒

1

4 𝑏)

1

4 𝑒

4

1 𝑐)

1

4 𝑒

1

3 𝑑)

2

4 𝑒

1

4

5. Carlinhos fez uma figura formada por vários triângulos e coloriram alguns.

Em qual das figuras abaixo o número de triângulos coloridos representa 1

3 do

total de triângulos?

a) b) c) d)

13


Nesta atividade trabalhamos os conteúdos referentes ao Conceito e

Representação de Fração, com a intenção de que os alunos aprofundem seus

conhecimentos nos respectivos assuntos. Acreditamos que esta seja uma atividade

de nível regular, pois, para sua elaboração, nos amparamos em questões do modelo

das questões abordadas na Avaliação em larga escala de nível nacional: Prova

Brasil.

A Atividade 10 possui 05 questões de múltipla escolha, envolvendo o

conteúdo citado, com tempo estimado de 1 hora-aula (45 minutos) para o seu

desenvolvimento. Esta atividade possui questões inspiradas na Prova Brasil.

162

3. EXPERIMENTAÇÃO

A terceira fase da Engenharia Didática refere-se à Experimentação, que “é a

realização da sequência didática propriamente dita, com participação ativa do

professor e alunos, por meio de observações sobre cada sessão e identificação das

concepções/representações sobre conteúdo de ensino e a aprendizagem”, conforme

Oliveira (2013, p. 135).

Nesta seção temos como objetivo descrever a fase da Experimentação e

apresentar os resultados obtidos a partir da aplicação da sequência didática para o

Ensino de Frações. Para tanto, utilizaremos os relatos das observações realizadas

em sala de aula, que foram escritas em diários de campo por um observador

presente em cada encontro com os estudantes, os testes avaliativos (pré e pós-

teste), bem como os registros dos próprios estudantes nos instrumentos utilizados

em sala de aula para o desenvolvimento das atividades.

Neste momento, destacamos que as falas apresentadas no estudo foram

coletadas durante a efetivação de cada encontro, através de gravação em celular e

registros feitos pelo observador em caderneta utilizada para registros diários – diário

de campo - porém, algumas foram transcritas de forma indireta, considerando a

fidelidade dos registros escritos e alguns equívocos linguísticos. Para esta

experimentação os estudantes foram escolhidos e identificados aleatoriamente por

meio da letra maiúscula do nosso alfabeto “E” acrescida de numerais (Ex: E1, E5,

E22,...).

As dez atividades que compunham nossa sequência foram desenvolvidas no

período de 13 de Novembro de 2017 a 04 de Janeiro de 2018, somando um total de

18 dias de aula, que nomearemos doravante de Sessões de Ensino. Descreveremos

o desenvolvimento das atividades, em cada sessão, conforme apresentado no

Quadro 46.

Para aplicação do nosso experimento, escolhemos como lócus da pesquisa

uma escola Pública Estadual de Ensino Fundamental, localizada no bairro do

Telégrafo, na cidade de Belém, no Estado do Pará. O contato com a escola realizou-

se anterior à intenção desta pesquisa, acontecendo partir da nossa atuação em um

projeto na referida escola em anos anteriores.

Em conversas informais com a direção e os docentes da disciplina de

Matemática da Escola houve demonstrações de interesse em realizarmos a

163

intervenção em uma das turmas da mesma, o que influenciou na escolha deste

lócus. Destacamos a importante contribuição do docente de Matemática da turma

que organizou seu plano anual de ensino de modo a não explorar o conteúdo de

Frações e disponibilizando as aulas necessárias para que pudéssemos realizar

nosso experimento.

Dessa maneira, além de se enquadrar nos nossos critérios de escolha (uma

escola da rede pública de ensino regular, vinculada à secretaria de educação do

estado (SEDUC-PA), que oferecesse o nível equivalente ao sexto ano do ensino

fundamental), apresentava a disponibilidade necessária para a nossa atuação. Os

sujeitos da pesquisa foram 25 estudantes de uma turma do 6º ano do Ensino

Fundamental do turno manhã.

A escola, que já possui mais de 50 anos, funciona nos três turnos, sendo o

terceiro (noite) apenas para turmas da educação de jovens e Adultos. O prédio

utilizado para seu funcionamento é alugado pela Igreja de Nossa Senhora do

Perpétuo Socorro, localizada ao lado da mesma. Quanto à estrutura, possui: Quadra

de esportes coberta, sala de multimídia (com recursos digitais: data-show, sistema

de som, entre outros recursos), sala de leitura e laboratório de informática.

Figura 21 – Lócus da pesquisa

Fonte: GoogleMaps (2017)

A Escola não possui salas climatizadas, e por isso apresenta problemas

estruturais que influenciaram nossa Experimentação. As salas de aula possuem um

dos lados construídos por meia parede e o restante de grades de metal, deixando

vazar ruídos que prejudicam o desenvolvimento das aulas e distraem os estudantes

164

ao terem contato direto com o meio externo (outros estudantes que passam no

corredor), bem como o calor que os incomoda bastante no interior destas.

No dia 13 de Novembro de 2017, nos reunimos com a direção da Escola e

com o professor turma para conversarmos sobre nossos objetivos em realizar a

pesquisa, como se daria seu desenvolvimento e o período necessário para a

realização da mesma. Ambos demostraram interessados com a realização de nosso

experimento didático para o ensino de Frações na Escola. Realizamos a leitura do

Termo de Autorização para a Realização da Pesquisa na Escola, esclarecendo as

possíveis dúvidas e finalizando com assinatura e consequente autorização da

diretora para a realização da nossa pesquisa, a qual se disponibilizou a contribuir no

que fosse necessário.

Ainda nesta reunião, explicamos como seria a execução da nossa Sequencia

de Atividades, e assim, junto com o docente da turma, montamos um cronograma da

aplicação das Sessões de Ensino, adequando-o às atividades anteriormente

programadas no calendário da Escola. No decorrer dos dias, esta programação

sofreu alterações e ajustes por motivos que serão esclarecidos no decorrer da nossa

descrição das sessões.

O Quadro a seguir apresenta uma organização das Sessões de Ensino

realizadas nesta fase da Experimentação, exibindo a data, quantidade de hora/aula

e Atividade Abordada, para que possamos oportunizar ao leitor uma visão geral das

atividades e dos conteúdos estudados no decorrer dos encontros realizados.

Quadro 46 – Cronograma das Sessões de Ensino desenvolvidas na Experimentação (continua)

Dias de Experimento

Data Horário de

Início Horário Final

Total de Alunos

Atividade desenvolvida

1º Dia 13/11/2017

08h30min 09h30min -

Reunião com a direção da Escola e docente da turma

Assinatura do Termo de Autorização

09h45min 10h05min 24 Entrega do termo de Consentimento Livre e

Esclarecido

2ªDia 14/11/2017 09h45min 11h10min 24 Aplicação do Questionário Socioeconômico

Pré-teste Geral

Quadro 46 – Cronograma das Sessões de Ensino desenvolvidas na Experimentação (conclusão)

165

3º Dia 27/11/2017 09h30min 11h00min 18 Sessão de Ensino I – Conceito

de Fração

4º Dia 29/11/2017 7h50min 10h00min 23 Sessão de Ensino II –

Representação de frações

5º Dia 30/11/2017 10h05min 11h05min 20 Sessão de Ensino II –

Representação de frações

6º Dia 01/12/2017 9h00min 09h45min 16 Atividade de Aprofundamento

7º Dia 06/12/2017 7h45min 09h50min 19 Sessão de Ensino III –

Equivalência de Frações

8º Dia 07/12/2017 10h10min 11h15min 18 Sessão de Ensino III –


9º Dia 11/12/2017 10h40min 11hh45min 18 Sessão de Ensino III –


10º Dia 13/12/2017 7h45min 09h45min 18 Sessão de Ensino IV –

Simplificação de Frações

11º Dia 14/12/2017 10h05min 11h15min Sessão de Ensino IV –

simplificação de Frações

12º Dia 15/12/2017 07h45min 10h50min 19 Sessão de Ensino V –

Comparação de Frações

13º Dia 18/12/2017 09h00min 11h00min 19 Sessão de Ensino V –

Comparação de Frações

14º Dia 20/12/2017 7h45min 09h00min 17 Sessão de Ensino VI – Adição e

Subtração de Frações com denominadores iguais

15º Dia 22/12/2017 9h20min 10h10min 23 Sessão de Ensino VIII – Multiplicação de Frações

16º Dia

26/12/2017 7h30min 18 Sessão de Ensino IX – Divisão

de Frações

17º Dia

28/12/2017 10h00min 10h45min

Explanação de conceitos estudados nas atividades

Realizadas Revisão

18º dia 04/01/2018 07h45min 10h50min 15

Sessão de Ensino VII – Adição

e Subtração de Frações com

denominadores diferentes

Pós-teste Geral


A seguir apresentamos as análises dos dados obtidos na aplicação do

questionário socioeconômico.

166

3.1 Perfil dos Estudantes

No dia 13 de Novembro de 2017, nos dirigimos à escola e, após reunião com

o docente de Matemática da turma e a direção da Escola, conhecemos a turma que

realizamos nosso experimento. O professor de Matemática nos apresentou aos

estudantes, destacando a realização de um trabalho anterior com o Programa Mais

Educação, e informou que estávamos naquele momento como pesquisadores do

Mestrado em Educação, com a finalidade de executarmos nossa pesquisa naquela

turma e pediu a colaboração de todos. Em seguida, o professor informou que

acompanharia todos os dias as Atividades a serem realizadas, bem como auxiliaria

quando necessário, e então, se retirou da sala naquele momento.

Ao nos apresentarmos aos estudantes, que mostravam-se curiosos,

destacavam perguntas do tipo: “Você será a nossa professora a partir de hoje?”, “O

que é mestrado?”, “Vai ter prova?”, entre outras. Nesse momento conversarmos

sobre como se dariam nossos encontros e destacamos que o conteúdo a ser

abordado, o qual ainda não haviam estudado naquele ano, seria o conteúdo a ser

cobrado na quarta avaliação.

Dessa maneira, iniciamos a distribuição do Termo de Consentimento Livre

Esclarecido e explicamos que precisávamos que os estudantes levassem aquele

documento para que seus responsáveis o assinassem autorizando a realização de

nosso experimento com eles e que nos devolvessem no próximo encontro, dia 14.

No dia seguinte, 14 de Novembro de 2017, retornamos ao lócus da pesquisa

e por volta das 09h45min, voltamos à turma da nossa experimentação e recolhemos

o Termo de Consentimento assinado pelos responsáveis dos alunos, logo depois

aplicamos um questionário socioeconômico, contendo 23 questões objetivas, com o

intuito de caracterizar os participantes da nossa experimentação, para analisarmos o

perfil dos estudantes. Os dados obtidos serão expostos por meio de Quadros e

gráficos, analisados a seguir. Em relação à faixa etária dos estudantes, temos o

Quadro 47 a seguir.

Quadro 47 - Faixa Etária dos Estudantes

IDADE QUANTIDADE ESTUDANTES (%)

11 3 12,50%

12 13 54,17%

13 5 20,83%

167

14 2 8,33%

15 1 4,17%

TOTAL 24 100,00%


Os dados nos apontam que a faixa etária dos estudantes varia de 11 a 15

anos, apresentando uma turma bastante diversa. Dessa forma, percebemos que a

turma da nossa experimentação encontra-se dentro dos padrões de idade

recomendados pelo MEC para cursar o 6º ano do Ensino Fundamental, ou seja, a

maioria encontra-se até os 12 anos.

Da turma, a maioria, 66,67% possui até 12 anos, seguido de 20,83% com 13

anos, 8,33% com 14 anos e 4,17% com 15 anos, conforme observamos no Gráfico

39.

Gráfico 38 – Faixa Etária dos Estudantes


No estudo de Merlini (2005), os sujeitos também foram estudantes em faixa

etária semelhante à nossa, de 10 a 14 anos e Druzian (2007) com estudantes de 10

a 15 anos, convergindo para uma homogeneidade dos sujeitos em diferentes

estados do Brasil, pois suas pesquisas foram realizadas, respectivamente em São

Paulo e Rio Grande do Sul, bem como em diferentes anos.

Quanto ao gênero sexual dos estudantes da nossa experimentação, 45,83%

são do gênero masculino e 54,17% são do gênero feminino, conforme destaca a

Quadro a seguir.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

12,50%

54,17%

20,83%8,33% 4,17%

11 anos 12 anos 13 anos 14 anos 15 anos

168

Quadro 48 - Gênero dos estudantes

GÊNERO QUANTIDADE ESTUDANTE (%)

MASCULINO 11 45,83%

FEMININO 13 54,17%

TOTAL 24 100,00%


Observamos que, apesar apresentar mais estudantes do gênero feminino, a

turma era bastante equilibrada em relação ao gênero.

Gráfico 39 – Gênero dos Estudantes


Em relação à localização da escola em que os estudantes cursam o 6º ano do

Ensino Fundamental, perguntamos se fica no mesmo bairro ou próximo da

residência onde mora, as respostas estão expostas no Quadro 49.

Quadro 49 - Localização da escola

Fica no Bairro onde mora? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)

SIM 14 58,33%

NÃO 10 41,67%

TOTAL 24 100,00%


O gráfico 41 a seguir destaca que, mesmo que a maioria dos estudantes

(58,33%) tenha declarado morar próximo ou no mesmo bairro, uma parcela

significativa da turma (41,67%) não reside nas proximidades da escola.

45,83%54,17%

GÊNERO DOS ESTUDANTES

MASCULINO FEMININO

169

Gráfico 40 – Localização da Escola


Consideramos esses resultados negativos, pois considerando que o aluno

que mora as proximidades de sua escola tem seu acesso facilitado, os demais

podem ter dificuldade em chegar à escola, o que pode refletir na sua frequência,

bem como em seu rendimento.

Observamos durante a nossa experimentação um alto índice falta dos alunos,

podendo ser justificado na distância entre a residência e a escola dos estudantes.

Ao perguntarmos se os estudantes costumam fazer compras (comércio,

mercearia, supermercado, açougue, etc), destacamos os seguintes resultados no

Quadro 50 e no Gráfico 42:

Quadro 50 - Relação com o comércio

Costuma fazer compras? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)

SIM 10 41,67%

NÃO 3 12,50%

AS VEZES 11 45,83%

TOTAL 24 100,00%


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

A escola fica no bairro onde mora?

58,33% 41,67%

Localização da Escola

SIM NÃO

170

Gráfico 41 – Relação com o Comércio


Podemos observar que apenas uma minoria (12,5%) não costuma realizar

compras, acreditamos ser um resultado positivo para o desenvolvimento da

Matemática em sala de aula, pois quando o estudante já tem contato com os

cálculos, ainda que básicos, envolvidos nas transações comerciais, já possui um

raciocínio que facilita a apreensão de modelos matemáticos.

Os dados expostos na Quadro 51 nos destaca a predominância entre os

participantes de nossa experimentação que possuem o pai como responsável

masculino (50%) e a mãe como responsável feminino em 62,5% dos casos.

Quadro 51 - Responsáveis pelos estudantes

Responsável Masculino

Quantidade de Respostas

Percentual (%) Responsável Feminino


Percentual (%)

Pai 12 50,00% Mãe 15 62,50%

Avô 3 12,50% Avó 5 20,83%

Tio 3 12,50% Tia 4 16,67%

Não tenho 6 25,00% Não tenho 0 0,00%

TOTAL 24 100,00% TOTAL 24 100,00%


Dentre as indicações de responsável feminino também sobressai a Avó com

20,83% das respostas e da tia com 16,67%.

Estes dados estão dispostos no gráfico 43, no qual as barras em azul

destacam o percentual de responsáveis masculinos e em vermelho, os responsáveis

femininos.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

41,67%

12,50%

45,83%

Relação com o Comércio

SIM NÃO AS VEZES

171

Gráfico 42 - Responsáveis pelos estudantes


Com relação ao responsável masculino ainda aparecem tio (12,5%) e o avô

(12,5%), além de 25% dos estudantes que declararam não possuir responsável

masculino. Para estes estudantes, o acompanhamento das atividades escolares

pelos responsáveis influencia diretamente em seu rendimento, apontando um

resultado que creditamos ser preocupante, pois 25% dos estudantes não possui

responsável masculino.

Neste sentido, Sousa (2012, p. 14) afirma que “deve haver um estreitamento

das relações entre família e escola em busca de uma qualificação com mais

qualidade, evitando uma confusa transferência de responsabilidades entre ambas as

partes para alcançar um bom desenvolvimento saudável dos educandos”.

Ainda em relação às informações sobre a família destes estudantes,

perguntamos a respeito da escolaridade de seus responsáveis. Para os

responsáveis masculinos apenas 12,5% possuem ensino médio completo, já entre

os responsáveis femininos, esse percentual sobe para 37,5%.

Sobre o responsável masculino ainda temos que 12,5% cursou o Ensino

Fundamental completo e 20,83%, o Fundamental Incompleto. Ressaltamos ainda os

50,00%

12,50% 12,50%

25,00%

62,50%

20,83%16,67%

0,00%0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Pai/Mãe Avô/Avó Tio/Tia Não tenho

Responsáveis pelos estudantes

Responsável Masculino Responsável Feminino

172

8,34% cujo responsável masculino nunca estudou e os 11 estudantes que

declararam não saber responder quanto à escolaridade do responsável, somando

45,83% da turrma.

Vejamos as frequências das demais respostas dos estudantes no Quadro 52

e no Gráfico 44 a seguir:

Quadro 52 - Escolaridade dos responsáveis

Até que série estudou seu responsável



Percentual (%)


Percentual (%)

Nunca estudou 2 8,34% 1 4,17%

Ens. Fundamental Incompleto

5 20,83% 3 12,50%

Ens. Fundamental completo

3 12,50% 3 12,50%

Ens. Médio Incompleto 0 0,00%

0,00%

Ens. Médio Completo 3 12,50% 9 37,50%

Ens. Superior Completo 0 0,00% 1 4,17%

Não sei responder 11 45,83% 7 29,16%

TOTAL 24 100,00% 24 100,00%


Em relação à responsável feminina, temos que 12,5% estudou até o Ensino

Fundamental Incompleto, 12,5% até o Ensino Fundamental Completo e 4,17% o

Ensino Superior completo. Notamos que apenas uma das respostas destacou que a

responsável feminina nunca estudou e, 29,16% declarou que não sabia responder

sobre a escolaridade de sua responsável.

Dados que podemos visualizar no gráfico 44:

173

Gráfico 43 – Escolaridade dos responsáveis


O nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes influencia no

rendimento e desenvolvimento escolar dos estudantes, como afirmam Santos e

Graminha (2005, p. 08) que nos aponta que “a baixa escolaridade e qualificação

profissional dos pais podem se estabelecer como risco, na medida em que as

famílias têm menos condições de orientar e auxiliar os filhos academicamente e

expectativas quanto ao seu estudo futuro (...)”.

Ao dar seguimento ao questionário, perguntarmos se o responsável dos

estudantes trabalhava, obtemos os dados descritos na Quadro 53:

Quadro 53 - Ocupação dos responsáveis

Seu responsável trabalha?



Percentual (%) Quantidade de

Respostas Percentual (%)

SIM 17 70,83% 16 66,67%

NÃO 1 4,17% 7 29,17%

0,00%

0,00%

8,34%

12,50%

12,50%

20,83%

45,83%

0,00%

4,17%

4,17%

12,50%

37,50%

12,50%

29,16%

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Ens. Médio Incompleto

Ens. Superior Completo

Nunca estudou

Ens. Fundamental completo

Ens. Médio Completo

Ens. Fundamental Incompleto


Escolaridade dos Responsáveis

Responsável Feminino Responsável Masculino

174

Não sei responder 6 25,00% 1 4,17%

TOTAL 24 100,00% 24 100,00%


Os estudantes revelaram em 70,83% das respostas que responsáveis

masculinos trabalham, apontando como ocupações: pedreiro, batedor/vendedor de

açaí, policial, porteiro, segurança, mototaxi, trabalhador da construção civil,

eletricista, militar, feirante e vendedor. A partir destas informações observamos que

dos responsáveis masculinos que trabalham, a incidência em atividade informal é

bastante relevante.

Para os demais estudantes, 4,17% responderam que seu responsável

masculino não trabalha e 25% não soube responder. Os dados quanto à

ocupação dos responsáveis dos estudantes estão dispostos no gráfico 45.

Gráfico 44 - Ocupação dos responsáveis


Com relação à responsável feminina, as principais ocupações reveladas

foram: empregada doméstica, zeladora, feirante, cabelereira, vendedora, manicure,

balconista, diarista, professora e costureira, somando 66,67% das respostas. Dos 24

estudantes, sete (29,17%) responderam que sua responsável feminina não trabalha

e apenas um não soube responder.

70,83%

4,17%

25,00%

66,67%

29,17%

4,17%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

SIM NÃO Não soube responder

Seu responsável trabalha?


175

Para as responsáveis femininas, além de grande incidência de trabalhos

informais, observamos que apesar de 29,17% dos estudantes responderem que esta

não possui ocupação, citou que sua responsável realiza trabalho domestico.

Sobre o início da vida escolar dos estudantes, perguntamos com quantos

anos começaram a frequentar a escola. Os dados estão dispostos no Quadro 54 que

revela que 41,67% dos participantes iniciou aos 3 anos de idade.

Quadro 54 - Início da vida escolar

IDADE QUANTIDADE ESTUDANTE (%)

3 ANOS 10 41,67%

4 ANOS 2 8,33%

5 ANOS 1 4,17%

6 ANOS 6 25,00%

7 ANOS 5 20,83%

TOTAL 24 100,00%


Estes dados podem ser visualizados no Gráfico 46, a seguir:

Gráfico 45 - Início da vida escolar


Com relação aos demais estudantes, 8,33% começou a frequentar a escola

aos 4 anos, apenas 1 aluno aos 5 anos, 25% com 6 anos e 20,83% com 7 anos.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

3 anos 4 anos 5 anos 6 anos 7 anos

41,67%

8,33% 4,17%

25,00% 20,83%

Com quantos anos voê começou a frequentar a escola?

176

Com relação à realização da educação Infantil, perguntamos aos estudantes

haviam feito, as respostas estão distribuídas no Quadro 55 a seguir:

Quadro 55 - Realização da educação infantil

Você fez educação Infantil? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)

SIM 18 75,00%

NÃO 6 25,00%

TOTAL 24 100,00%


As respostas dos alunos nos apontam que 25% dos estudantes da turma não

realizou a Educação Infantil, fase importante para o estímulo de muitas habilidades

necessárias ao desenvolvimento do conhecimento na vida escolar, como

coordenação motora, escrita, leitura, o que pode comprometer o desempenho

desejado em alunos que não foram oportunizados em realiza-la.

Em contrapartida, 45,83% dos estudantes declararam ter iniciado sua vida

escolar, o que contradiz as respostas quanto à realização da educação infantil.

Estes dados nos direcionam à reflexão do desenvolvimento de diversas capacidades

das crianças durante a Educação infantil, como física, cognitiva, ética, de convívio

social, etc. Acreditamos este ser um fator de dificuldade para os nossos estudantes,

pois estes estudantes não foram oportunizados a realização desta etapa de tamanha

relevância para sua evolução humana e acadêmica. O gráfico 47 destaca tais

resultados:

Gráfico 46 – Realização da Educação Infantil


0%20%40%60%80%

100%

75,00%25,00%

Você fez Educação Infantil?

SIM NÃO

177

Os dados do Quadro 56, assim como os do gráfico x, revelam que a maioria

(70,83%) dos estudantes que participaram de nossa fase da experimentação nunca

haviam sido retidos em uma série anterior ao 6º ano. Em contra partida, 29,17%

declarou ter repetido algum ano no Ensino Fundamental.

Quadro 56 - Repetência escolar

Você já repetiu algum ano? QUANTIDADE ESTUDANTE (%)

SIM 7 29,17%

NÃO 17 70,83%

TOTAL 24 100,00%


Ao observar as respostas dos estudantes, temos que E4 repetiu uma vez o 6º

ano por conta de baixo desempenho na disciplina Ciências Físicas e Biológicas –

CFB –, o E5 ficou retido no 5º ano por causa do baixo rendimento em Língua

Portuguesa, o E10 no 5º ano em Língua Portuguesa e Matemática, o E12 no 5º ano

na disciplina de Matemática, o E13 no 6ºano em Matemática, o E23 repetiu por dois

anos o 4º ano por causa de Matemática e o E25 repetiu o 5º ANO por conta do baixo

desempenho em Língua Portuguesa e Matemática.

. O gráfico 48 a seguir discrimina a frequência relativa das respostas dos

estudantes.

Gráfico 47 – Repetência Escolar


0%

20%

40%

60%

80%

100%

29,17%70,83%

Você já repetiu algum ano?

SIM NÃO

178

Entre os estudantes que já repetiram algum ano anterior, notamos que a

disciplina Matemática é bastante citada, demonstrando que estes alunos podem

sentir alguma dificuldade de aprendizagem da mesma.

Ao perguntarmos quem ajudava os estudantes nas tarefas de Matemática,

obtemos que a maioria destes contam com a responsável feminina (33,33%) ou

ninguém (28,17%) para auxiliá-los. O Quadro 57, a seguir, demonstra a distribuição

das respostas encontradas.

Quadro 57 - Ajuda nas tarefas de matemática

PESSOA Quantidade de Respostas Percentual (%)

Ninguém 7 29,17%

Responsável Masculino 2 8,33%

Responsável Feminino 8 33,33%

Irmão/Irmã 4 16,67%

Outras pessoas da família 2 8,33%

Colegas da escola 1 4,17%

TOTAL 24 100,00%


Gráfico 48 – Ajuda nas tarefas de Matemática


4,17%

8,33%

8,33%

16,67%

29,17%

33,33%

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Colegas da Escola

Responsável Masculino

Outras pessoas da familia

Irmão/Irmã

Ninguém

Responsável Feminino

Quem lhe ajuda nas tarefas de Matemática?

179

O Gráfico 49 também nos fornece que o 16,67% dos estudantes contam com

a ajuda do Irmão ou Irmã, 8,33% de outras pessoas da família, 8,33% do

responsável masculino e 4,17% de colegas da escola.

O acompanhamento escolar pelos responsáveis ou outras pessoas da família

através do envolvimento em tarefas de casa pode beneficiar a aprendizagem e

superação de dificuldades, pois dessa maneira é possível que “(...) identifiquem mais

rapidamente as dificuldades acadêmicas de seus filhos e, então, ajudem a resolvê-

las, evitando o desenvolvimento ou o agravamento de um problema” (SANTOS e

GRAMINHA, 2005, p.09), favorecendo um bom resultado quanto à aprendizagem

escolar destes estudantes.

Ao indagarmos os estudantes quanto à realização de cursos externos a

escola, uma minoria respondeu que sim. Com relação aos cursos citados pelos

alunos, podemos destacar: Informática (16,67%), Língua Estrangeira (8,33%) e

Música (4,17%), conforme mostra o Quadro a seguir.

Quadro 58 - Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo

CURSO Quantidade de Respostas Percentual (%)

Informática 4 16,67%

Língua Estrangeira 2 8,33%

Música 1 4,17%

Nenhum Curso 17 70,83%

TOTAL 24 100,00%


Gráfico 49 – Percentual de Estudantes que fazem algum curso externo


4,17%

8,33%

16,67%

70,83%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Música

Língua Estrangeira

Informática

nenhum curso

Você faz algum curso fora da Escola?

180

Com relação a afinidade que os alunos possuem com a disciplina de

Matemática, perguntamos aos estudantes: Você gosta de Matemática? As respostas

obtidas estão expostas no Quadro 59:

Quadro 59 - Afinidade dos estudantes com matemática

Você gosta de Matemática? Quantidade de Respostas Percentual (%)

Nenhum pouco 4 16,67%

Pouco 7 29,17%

Muito 13 54,17%

TOTAL 24 100,00%


A maioria (54,17%) dos estudantes declarou gostar muito da disciplina de

Matemática, acreditamos que este seja um fator facilitador do nosso trabalho com

esta turma, pois já apresentavam afinidade com esta disciplina.

Gráfico 50 – Afinidade dos estudantes com Matemática


Para compreender mais sobre a relação entre os estudantes que participaram

deste experimento com a disciplina de Matemática, perguntamos quanto ao grau de

dificuldade que estes alunos julgam ter em relação à Matemática.

O Quadro 60 nos mostra que 75% dos participantes possui um pouco ou

muita dificuldade em aprender matemática segundo sua própria opinião,

16,67%Nenhum pouco

29,17%

Pouco

54,17%

Muito

Você gosta de Matemática?

181

contradizendo com o nível de afinidade com a disciplina declarado pelos estudantes.

Apenas 25% dos alunos declararam não possuir dificuldade.

Quadro 60 - Dificuldade dos Estudantes em aprender Matemática

Você sente dificuldade para aprender Matemática?

Quantidade de Respostas Percentual (%)

Não 6 25,00%

Um pouco 15 62,50%

Muita 3 12,50%

TOTAL 24 100,00%


Gráfico 51 – Dificuldade dos Estudantes em Aprender Matemática


Dessa maneira, acreditamos que pelo fato de os estudantes, em sua maioria,

possuir dificuldades em compreender a matemática, este pode ser um dos fatores

que os fazem gostar pouco da disciplina e, por consequência, ter um rendimento

baixo na mesma, como veremos mais adiante. A seguir veremos mais um fator que

pode diretamente influenciar o desempenho em Matemática.

Ao perguntarmos aos estudantes: “Você se distrai nas aulas de Matemática?”,

obtemos que 62,5% declararam “Sim” ou “Ás vezes”, pois este pode ser um fator

que pode influenciar no aprendizado dos estudantes. O gráfico 53 demonstra estes

resultados, apontando que 9 dos 24 participantes, ou seja 37,5%, não se distrai nas

aulas de Matemática.


25%Não

62,5%

Um Pouco

12,5%

Muita

Você tem dificuldade para aprender Matemática?

182

Quadro 61 - Distração nas aulas de Matemática

Você se distrai nas aulas de Matemática?


Não 9 37,50%

Sim 6 25,00%

As vezes 9 37,50%

TOTAL 24 100,00%


Gráfico 52 – Distração nas aulas de Matemática


Para inferirmos a respeito, perguntamos sobre o desempenho dos estudantes

na disciplina. De acordo com a declaração sobre as notas que estes adquirem na

realização das avaliações de Matemática da escola, observamos que a maioria

(83,33%) declarou alcançar notas acima de 5 pontos. Vejamos o Quadro 62:

Quadro 62 - Desempenho em Matemática dos Estudantes

NOTAS Quantidade de Respostas Percentual (%)

ACIMA DE 5 20 83,33%

IGUAIS A 5 1 4,17%

ABAIXO DE 5 3 12,50%

TOTAL 24 100,00%


0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Sim Não As vezes

25,00%

37,50% 37,50%

Você se distrai nas aulas de Matemática?

183

Os demais estudantes indicaram que 12,5% obtém notas abaixo de 5 pontos

e apenas 4,17% notas iguais a 5 pontos, como expressa o gráfico 54:

Gráfico 53 – Desempenho em Matemática dos Estudantes


Com estes dados podemos observar resultados que convergem, pois mais de

70% dos estudantes disseram não se distrair ou às vezes e 83,33% declarou obter

nota acima de 5 pontos nas avaliações me Matemática. Estes resultados podem

estar relacionados também com a dedicação destes estudantes fora do ambiente

escolar.

Em relação à dedicação destes alunos ao aprendizado de matemática fora da

escola, apresentamos o Quadro 63:

Quadro 63 - Dedicação em Matemática dos Estudantes

Você costuma estudar Matemática fora da escola


Nunca estudo Matemática 5 20,83%

Uma vez por semana 5 20,83%

Três vezes por semana 3 12,50%

Só na véspera da prova 3 12,50%

Só no período da prova 2 8,33%

Só nos finais de Semana 2 8,33%

De segunda a sexta-feira 1 4,17%

Todo Dia 3 12,50%

TOTAL 24 100,00%


0%

20%

40%

60%

80%

100%

Acima de 5 Abaixo de 5 Iguais a 5

83,33%

12,50%4,17%

Suas notas em Matemática são:

184

Ao observarmos as respostas, percebemos que grande parte dos estudantes

dedica regularmente dias da semana para o estudo de Matemática fora da escola,

coincidindo com o nível de distração e rendimento dos alunos. Porém, ainda

detectamos um percentual relevante (20,83%) que estudam apenas na véspera ou

no período de prova e, também 20,83% que nunca estuda Matemática.

Para os demais, 4,17% disse estudar de segunda a sexta-feira, 8,33% só nos

finais de semana, 12,5% todos os dias, 12,5% três vezes por semana e 20,83% pelo

menos uma vez por semana, conforme destaca o gráfico 55:

Gráfico 54 – Dedicação em Matemática dos Estudantes


Com relação à prática de esportes dos estudantes, apresentamos o

Quadro 64 com as respostas obtidas:

Quadro 64 - Prática de esportes dos estudantes

Você pratica esportes? Quantidade de Respostas Percentual (%)

Não 11 45,83%

Sim 13 54,17%

TOTAL 24 100,00%


Percebemos que quase a metade (45,83%) da turma não pratica esporte. Ao

levarmos em consideração a faixa etária destes estudantes, acreditamos ser

20,83%

20,83%

12,50%

12,50%

12,50%

8,33%

8,33%

4,17%

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Nunca estudo Matemática

Uma vez por semana

Três vezes por semana

Só na véspera da prova

Todo Dia

Só no período da prova

Só nos finais de Semana

De segunda a sexta-feira

Você costuma estudar Matemática fora da escola:

185

bastante relevante a prática de esportes para o bom desenvolvimento físico e mental

dos mesmos, ficando esta parcela dos estudantes prejudicada nesse aspecto.

Para aqueles que praticam esporte, os mais citados nas respostas foram:

natação, futebol, queimada e vôlei.

Gráfico 55 – Prática de Esportes dos Estudantes


Perguntamos aos estudantes se as explicações do professor de Matemática

são suficientes para entender o que está sendo explicado. As respostas estão

dispostas no Quadro 65 a seguir:

Quadro 65 - Compreensão da Matemática a partir da explicação

As explicações do Professor de matemática são suficientes para você entender o que está

sendo explicado?


Percentual (%)

Sempre 10 41,67%

Quase sempre 11 45,83%

Quase nunca 2 8,33%

Nunca 1 4,17%

TOTAL 24 100,00%


0%

20%

40%

60%

80%

100%

54,17%

45,83%

Você pratica esportes?

SIM NÃO

186

Um percentual considerável declarou que as explicações são sempre

(41,67%) ou quase sempre (45,83%) suficientes para entender o que está sendo

explicado, restando apenas 8,33% dos estudantes que disseram que nunca e 4,17%

que declararam nunca ser suficiente.

O gráfico 57 expõe estes resultados:

Gráfico 56 – Compreensão da Matemática a partir da explicação


Uma explicação clara e objetiva pode ser um facilitador para a aprendizagem

de Matemática, porém acreditamos há muitos fatores que influenciam esse

processo. Um espaço físico adequado, o uso de recursos como jogos, materiais

diferenciados, tecnologia, etc podem se configurar agentes facilitadores do

entendimento dos conteúdos desta disciplina.

O uso de outros recursos pode tornar o professor um mediador na

aprendizagem, colaborando com a construção do conhecimento pelos alunos,

tornando este momento mais prazeroso e expressivo com troca de saberes.

Os alunos responderam ao questionário em um tempo de 20min, finalizando e

realizando a entrega por volta das 10h05min. Neste momento, iniciamos a entrega

do Pré-teste avaliativo. A seguir exporemos e analisaremos os dados relativos à

aplicação deste.

45,83%

41,67%

8,33%

4,17%

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Quase sempre

Sempre

Quase nunca

Nunca

As explicações do Professor são suficientes para você entender oo que está sendo explicado?

187

3.2 Aplicação do Pré-teste

Em 14 de Novembro de 2017, mesmo dia em que aplicamos o questionário

socioeconômico, após os 24 estudantes presentes responderem às perguntas do

mesmo, demos continuidade com a aplicação do pré-teste, iniciamos às 10h05min.

Então, pedimos para fazerem a leitura de doze questões sobre Frações e se

possível realizassem suas resoluções.

Observamos que os estudantes ficaram apreensivos, pois muitos diziam que

não sabiam resolver as questões propostas, sentindo dificuldade na leitura e

consequente, interpretação dos problemas propostos, então dissemos que ficassem

calmos e que se não soubessem realizar os cálculos poderiam deixar em branco,

mas que primeiro deveriam se esforçar tentar resolver.

Ao iniciarem a leitura, mesmo com a orientação de que a resolução deveria

ser feita de maneira individual, percebemos alguns estudantes conversando entre si,

dizendo que não iriam conseguir resolver e que parecia ser algo muito difícil.

Reiteramos que aquele momento era individual e tentassem resolver com o que

sabiam.

Ao final, apenas quatro alunos aproveitaram todo o tempo proposto para

resolver as questões de frações. Quando todos concluíram suas resoluções,

aproximadamente às 09h45min, entregamos uma autorização explicando aos

mesmos que deveriam levar para seus pais assinarem, para que assim fosse

possível divulgarmos suas imagens no decorrer da execução de nossas atividades e

que, por favor, nos devolvessem o documento no próximo encontro.

O pré-teste foi realizado em um tempo de 60 minutos e os dados obtidos

serão apresentados e analisados na seção que consta da análise a posteriori e

validação.

3.3 Sessão de Ensino I

No dia 27 de Novembro de 2017, adentramos o lócus da pesquisa por volta

das 9h00min da manhã, onde, na sala dos professores, ficamos aguardando a

chamada do Docente de Matemática da turma para que fossemos até a sala de

aula.

188

Desta forma, ao sermos chamados, nos dirigimos à sala de aula do 6º ano do

Ensino Fundamental, denominada pela escola de FM6902, aguardamos que os

alunos se acomodassem e percebemos que de um total de 25 alunos, 17 estavam

presentes. Em um primeiro momento, havíamos planejado dividir a turma em quatro

grupos, mas devido a quantidade de alunos presentes, os grupos ficaram desiguais,

dois com 5 alunos e dois com 4 alunos.

Para dar início à 1ª atividade, conversamos com os alunos sobre os

conhecimentos que eles já possuíam sobre o assunto de Frações, realizando

perguntas do tipo; “Vocês já estudaram Frações?”, “O que é uma Fração?”, “Alguém

pode citar um exemplo de Fração?’, com uma expressão de dúvida, a maioria da

turma respondeu que não havia estudado ou que não lembrava o que era,

destacando-se apenas um aluno que disse: “Professora, Fração é um número em

cima do outro com um traço!”. Neste momento declaramos o início da nossa

Atividade.

Para cada aluno foi entregue um roteiro da atividade e três folhas de papel A4

em branco, pedindo para que eles apenas observassem o que a pesquisadora ia

fazer. Demos início à leitura do roteiro juntamente com os alunos, apresentando a 1ª

atividade aos mesmos, por volta das 9h30min, a qual explicaremos a seguir.

Começamos a atividade deste dia com a AULA I, a qual faz parte da Sessão

de ensino I. Esta possui como título “O Conceito de Fração” e possui o objetivo de

levar os alunos a conceituar Fração.

Para esta atividade, consideramos cinco momentos até a formalização do

conceito de Fração. Descreveremos cada momento a seguir:

Primeiro momento: Corresponde às três primeiras questões que

proporcionam as ideias iniciais da divisão do todo em partes iguais, bem como a

obtenção de partes do todo e a nomenclatura destas partes, considerando o todo

dividido igualmente em duas partes iguais.

Segundo momento: corresponde à quarta, quinta e sexta questões, que

desenvolvem as ideias iniciais da divisão do todo em partes iguais trabalhado no

primeiro momento da atividade, considerando desta vez, o todo dividido igualmente

em três partes iguais.

Terceiro e quarto momentos: Correspondem às questões de número sete a

doze, desenvolvendo a nomenclatura e obtenção de uma fração, considerando o

todo dividido igualmente em quatro e cinco partes iguais, respectivamente.

189

Quinto momento: Após o quarto momento, inicia-se a apropriação do conceito

de Fração, com a apresentação da origem etimológica da palavra, dando subsídios

para que o aluno realize suas conclusões à respeito deste conceito. Corresponde às

questões de 13 a 20, que tratam da generalização de como fazemos para obter uma

fração de um todo, bem como quanto ao cálculo da parte de um todo, finalizando

com a formalização do que são Frações.

Para o desenvolvimento da Atividade, realizamos as seguintes orientações

aos estudantes: Primeiramente, com o papel A4 em mãos, as 4 equipes iniciaram a

dobra e divisão do mesmo para a obtenção de um inteiro, como indicado no roteiro

da atividade. Desta forma, a partir das observações, os grupos deveriam responder

às questões 1, 2 e 3 deste roteiro. Desta maneira, esperávamos que os alunos

respondessem da maneira exposta a seguir:

1) Que nome você daria a cada uma das partes obtidas?

Metades ou meio

2) Como se obtém a metade de um inteiro?

Dividindo “um inteiro” em duas partes iguais

3) Quantas metades cabem em um inteiro?

Duas metades ou duas partes

Durante a execução da atividade os alunos interagiram entre si e mostravam-

se bastante entusiasmados, apenas um dos grupos estava um pouco disperso e

distraído, mas sempre acompanhados da nossa presença, voltavam a atenção para

a atividade.

Ao tentarem responder as três primeiras questões, a aula foi interrompida

pelo docente de Matemática da Turma para que este pudesse conversar sobre uma

nota de uma prova com uma aluna. Fato que distraiu e dispersou a turma como um

todo. Para atrair a atenção dos alunos, começamos a citar exemplos como; “uma

barra de chocolate pode ser um exemplo de um inteiro, uma turma de alunos, uma

pizza, uma coleção de objetos, etc”, e caminhamos de grupo em grupo para

observar como os estudantes estavam desenvolvendo a atividade.

Os alunos debatiam entre si e citavam como resposta “se eu dividir em duas

partes iguais, então eu tenho a metade!”, “para obter a metade eu tenho que separar

duas partes” e “Duas partes formam um!”.

190

E, então começaram a registrar no roteiro suas respostas. Consideramos

conclusão correta àquelas que se adequavam à nossa análise a priori. Estes

registros foram expostos no Quando 66 a seguir:

QUADRO 66 – REGISTROS DOS ALUNOS NO PRIMEIRO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I

PERGUNTA/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE

Orienta

çã

o:

Peg

ue u

m inte

iro e

div

ida e

m d

uas p

art

es igu

ais

.

uma metade

E3, E6, E13, E18, E22

e E25. Válida

um

meio

E1, E14, E15, E17,

E20 e E21. Válida

Parcela

E2, E8, E16 e E19. Inválida

Não houve registro E10. Não houve registro

Dividindo em duas partes iguais

E6, E8, E15, E16 e

E19 Válida

Dividindo em duas partes

E3, E13, E20 e E22

Parcialmente Válida

(faltou concluir que a

divisão é em partes

iguais.)

Dividindo

E1 e E17


(faltou concluir que a

divisão é em partes

iguais.)

Por duas partes

E2, E10, E14, E18,

E21 e E25.


(possivelmente

compreendeu que

necessita a divisão,

porém não registrou)

Duas metades

E1, E2, E3, E6, E8,

E10, E13, E14, E15,

E16, E17, E18, E19,

E20, E21, E22 e E25.

Válida


191

Ao discutimos cada uma das respostas encontradas por cada grupo,

acreditamos ter resultados bastante positivos para este primeiro momento, pois as

conclusões corretas foram bastante frequentes nas perguntas 01 e 02 e na terceira

alcançando 100% de acerto.

Na primeira questão, um dos grupos respondeu de maneira incorreta dando

como resposta “parcela”. Observamos que os estudantes do grupo falavam

repetidas vezes em “juntar” as partes para formar o todo, entendemos dessa

maneira, que os alunos podem ter pensado nesta resposta como um dos termos da

adição.

Já na segunda questão, percebemos que os estudantes que concluíram de

maneira incompleta, desconsideraram que a divisão deve ser feita em partes iguais,

o que é muito relevante na construção do conceito de Fração posteriormente,

porém, ao perceber que se obtém a parte através da divisão já aponta um raciocínio

coerente.

Neste momento continuamos as orientações para o segundo momento da

atividade. Agora, conforme o roteiro, juntamente com os estudantes, dividimos um

inteiro em três partes iguais.

A partir das observações, os estudantes deveriam responder às questões 4, 5

e 6. Assim, esperávamos que os alunos respondessem da maneira exposta a seguir:

4) Que nome você daria a cada parte obtida?

Um terço ou terço.

5) Como se obtém a terça parte de um inteiro?

Dividindo “um inteiro” em três partes iguais

6) Quantos terços cabem em um inteiro?

Três terços

Neste momento os estudantes mostravam-se bastante interessados em

responder às perguntas do roteiro, dobravam o papel e realizavam e discutiam as

observações com os integrantes dos grupos. Porém, o barulho que vinha de fora da

sala atrapalhava bastante a concentração dos alunos, que mesmo com esforços,

acabavam se distraindo. As 09h55min a aula foi interrompida por causa do horário

de intervalo.

192

Ao retornarem do intervalo, às 10h05min, muito agitados e dispersos,

pedimos que retomassem a atividade respondendo as perguntas de 4 a 6. Os

grupos se reorganizaram e iniciaram diversas discussões sobre as conclusões

individuais e qual seria a reposta do grupo. Os registros do segundo momento desta

atividade foram disponibilizados no Quadro 67 a seguir:

QUADRO 67 – REGISTROS DOS ALUNOS NO SEGUNDO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I


Orienta

çã

o:

Peg

ue u

m inte

iro e

div

ida e

m trê

s p

art

es igua

is.

Um

terço

E1, E2, E3, E8, E10,

E15, E16, E17, E18,

E22 e E25.

Válida

Três metades

E20. Inválida

Um

lado um meio um outro todo

E19. Inválida

Uma metade

E6, E13 e E21. Inválida

Todo

E14 Inválida

Dividindo igualmente em três partes

E1, E2, E3, E8, E10,

E13, E14, E15, E16,

E17, E18, E19, E20,

E21, E22 e E25.

Válida

Divide em três

E6


(Conclusão

Incompleta, pois não

citou que a divisão

deve ser em partes

193

iguais)

3 terços

E1, E2, E3, E6, E8,

E10, E13, E14, E15,

E16, E17, E18, E19,

E20, E21, E22 e E25.

Válida


As discussões e desacordos entre os integrantes das equipes gerou

indisposição para alguns que solicitaram a realização individual da atividade,

ponderamos então a importância do trabalho em equipe e da cooperação. Estes

comportamentos distraiam os demais alunos e atrapalhavam o andamento da aula.

Na quarta questão, 64,7% dos estudantes responderam de maneira

desejável, porém, o restante apresentou conclusões confusas e incoerentes,

justificativas como para a resposta “três metades” eram: “cada parte é uma metade!”,

ou “mesmo que a gente divida em três, cada um é uma metade, professora!”, e

então os próprios alunos dos outros grupos começaram a se posicionar dizendo que:

“só é metade se for por dois!”, “quando é por três é terço!”.

Pedimos então que cada grupo falasse em voz alta suas conclusões e isso

gerou interesse em acertá-las, criando um ambiente competitivo. Para a questão 05

o desempenho foi surpreendente, já que apenas um estudante não respondeu

completamente de maneira desejável. Incompleto, mas de maneira muito coerente

falou:

Estudante: “Professora, é só dividir por três!”

Então perguntamos: “Dividir em três partes é suficiente?”.

Logo a turma inteira, num alvoroço, respondeu:

Estudantes: “Não! Tem que ser em partes iguais!”.

Com relação à questão 06, todas as conclusões foram registradas de maneira

correta. Dessa maneira, quando iniciamos as orientações para o terceiro momento

194

da atividade, alguns grupos já haviam se adiantado e realizado a dobra no papel e

logo começaram a discutir as soluções.

Neste momento, pedimos então que fizessem com calma e estipulamos dez

minutos para que todos pudessem responder às questões de 07 a 09. Observamos

que durante a dobra do papel, os estudantes gostavam bastante.

Enquanto as equipes trabalhavam para responder às perguntas, dois

estudantes de grupos diferentes brigaram e agiram com violência um com o outro,

precisamos realizar uma intervenção para leva-los até a coordenação da escola.

Os demais fizeram seus registros e, antes do tempo estipulado, pediram para

discutirmos as respostas encontradas.


QUADRO 68 – REGISTROS DOS ALUNOS NO TERCEIRO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I


Orienta

çã

o:

Peg

ue u

m inte

iro e

div

ida e

m q

uatr

o p

art

es igua

is.

E1, E2, E3, E8, E10,

E14, E16, E17, E18,

E19, E21, E22 e

E25.

Válida

E20 Inválida

E13 Inválida

E6 Inválida

E15 Inválida

E1, E2, E3, E6, E8,

E10, E13, E16, E17,

E18, E19, E21, E22

e E25.

Válida

195

E14 e E20 Parcialmente Válida

E15 Inválida

E1, E2, E3, E6, E8,

E10, E13, E15, E16,

E17, E18, E19, E20,

E21, E22 e E25.

Válida

E14 Inválida


Apesar de a turma estar dividida em grupos, alguns estudantes discordavam

de seus colegas e davam respostas diferentes dos demais. Na sétima questão, 13

dos 17 alunos presentes concluíram corretamente, porém quatro participantes

concluíram de maneira incorreta e inválida. Vejamos:

O estudante E20 respondeu “quatro metades” com relação ao nome de cada

parte de um ao inteiro que foi dividido em quatro partes iguais, possivelmente por

confundir parte com metade; o E13 expressou “Um inteiro”, confundindo,

possivelmente parte com todo; o E6 respondeu “Terços”, não observando que neste

momento o todo havia sido dividido em quatro partes iguais e não três; e, o E15 que

registrou “dividindo em partes iguais”, respondendo como se obtém uma parte e não

o nome da parte obtida.

Ao circular pelos grupos, observamos que alguns estudantes já não estavam

realizando a dobra do papel (todo) como havíamos orientado inicialmente, o que

pode explicar estas desatenções.

Para a oitava questão (Como se obtém um quarto de um inteiro?), apenas o

E15 respondeu de maneira inválida: “Três partes iguais”, possivelmente por falta de

atenção. Os estudantes E14 e E20 concluíram de maneira parcialmente válida, pois

responderam “Divide em quatro partes”, demonstrando que estavam

compreendendo o raciocínio da atividade, porém não se atentaram que deveriam ser

quatro partes iguais.

196

Para a última questão do terceiro momento da atividade (quantos quartos

cabem em um inteiro?), 16 dos 17 estudantes responderam de maneira válida,

restando apenas o E14 que expressou “todo”. Acreditamos que os estudantes ainda

confundiam parte com todo, o que é aceitável, pois a atividade ainda estava em

andamento e seu desenvolvimento proporcionaria condições para estes ajustes.

Neste momento, pedimos que cada grupo respondesse sozinho as demais

questões do roteiro e que evitasse a comunicação com os demais grupos, pois

notamos que alguns participantes estavam olhando e copiando as respostas de

outros colegas de turma.

A turma ficou silenciosa, pois os estudantes mostravam-se bastante

concentrados e interessados em responder antes dos outros grupos. Apenas um dos

grupos, composto apenas por meninos, sentiu dificuldade e pediu auxílio à

pesquisadora.

Os estudantes perguntavam “professora, como faço pra saber o nome da

parte obtida?”. Nesse instante, resolvemos refazer, passo-a-passo o terceiro

momento desta atividade com este grupo, dividindo o papel em partes iguais,

realizando as observações e fazendo as perguntas aos estudantes, que logo

perceberam a semelhança e antes que terminássemos as explicações, disseram “Já

sabemos como é!”, e voltaram ao roteiro para continuar a responder.

Para o quarto momento desta atividade, temos o quadro 69 com os registros

dos alunos e sua validade:

QUADRO 69 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUARTO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I


Orienta

çã

o:

Peg

ue u

m

inte

iro e

div

ida

em

cin

co

part

es igua

is.

Um quinto

E1, E2, E3, E6, E8,

E10, E13, E14, E16,

E17, E18, E19, E20,

E21, E22 e E25.

Válida

Um

meio ou um todo

E15 Inválida

197

Dividindo em cinco partes iguais

E1, E3, E6, E21 e E22 Válida

Cinco partes iguais

E2, E10, E13, E16,

E18, E19 e E25

Parcialmente

Válida

Dividindo em cinco partes

E8, E14, E15, E20 e

E17

Parcialmente

Válida

Cinco quintos

E1, E2, E3, E6, E8,

E10, E13, E14, E15,

E16, E17, E18, E19,

E20, E21, E22 e E25.

Válida


Os alunos começaram a concluir a atividade por volta das 10h45min e, com o

sinal sonoro indicando o final do horário, os estudantes começaram a se apressar

para ir embora.

Para finalizar, pedimos que os estudantes deixassem seus roteiros na mesa e

nos acompanhassem, realizando uma releitura dos quatro primeiros momentos

desta atividade. Com isso, percebemos o entusiasmo em mostrar que sabiam as

respostas, acertando as perguntas que estavam no roteiro, bem como outras como

“Se o todo for dividido em dez partes, como seria o nome de cada parte?”.

Para concluir a atividade, pedimos aos estudantes que respondessem às

questões de 14 a 20, que já demonstravam cansaço e que já queriam ir embora.

Observamos que, neste momento, os alunos sentiram bastante dificuldade na

realização das operações necessárias para a solução destas questões, como

multiplicação e divisão, e constantemente faziam perguntas do tipo: “três vezes

cinco é quinze?” como forma de se sentirem seguros ao dar a resposta.

Para estas perguntas, não ofertávamos a resposta final, mas íamos

reconstruindo a multiplicação através da tabuada daquele número ou lembrando-os

que a multiplicação nada mais é que sucessivas adições, como “Lembra que três

vezes cinco é cinco mais cinco mais cinco? E quanto dá essa soma?”. Então

conseguiam confirmar seus resultados.

198

Perguntas sobre a identificação da operação também surgiram, como “é pra

multiplicar ou é pra dividir?”. Indicávamos então: “o que precisamos fazer com o todo

para encontrarmos aa parte?”. E, facilmente, voltavam a tentar resolver as questões.

Os registros estão dispostos no quadro 70 a seguir:

Quanto

é a

terç

a p

art

e d

e 1

5?

5

E1, E2, E3, E6, E8, E10, E14,

E15, E16, E17, E19, E20, E21,

E22 e E25.

Válida

15

E13 e E18 Inválida

Quanto

é a

meta

de d

e 2

0?

10

E1, E2, E3, E6, E8, E10, E13,

E14, E15, E16, E17, E18, E19,

E20, E21, E22 e E25.

Válida

QUADRO 70 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUINTO MOMENTO DA SESSÃO DE ENSINO I

(continua)


O q

ue é

necessári

o fazer

para

obte

r um

a

fração d

e u

m tod

o?

E1, E2, E3, E8, E10, E13, E16,

E17, E19, E21, E22 e E25. Válida

E14, E15 e E20 Parcialmente

Válida

E6 Parcialmente

Válida

E18 Inválida


(Continua)

199

Quanto

é a

qu

art

a p

art

e d

e 8

?

2

E2, E3, E6, E8, E10, E13, E14,

E15, E16, E17, E18, E19, E20,

E21 e E25.

Válida

4

E1 e E22 Inválida

Quanto

é a

sexta

part

e d

e 3

6?

6

E2, E3, E8, E10, E13, E14, E15,

E16, E17, E19, E20, E21, E22 e

E25.

Válida

7

E18 Inválida

18

E1 e E6 Inválida


(Conclusão)

Quanto

é a

qu

inta

part

e d

e 2

0?

E8, E15 e E20. Válida

E1, E3, E6, E13, E17, E18, E21,

E22 e E25 Inválida

E2, E10, E16 e E19 Inválida

E14 Inválida

200

Quanto

é a

meta

de

100?

E1, E2, E3, E6, E8, E10, E13,

E15, E16, E17, E18, E19, E20,

E21, E22 e E25.

Válida

E14 Inválida

O q

ue s

ão F

rações?

Parte de um todo que foi dividido igualmente

E1, E2, E3, E6, E8, E10, E13,

E14, E16, E17, E18, E20, E21 e

E22.

Válida

Parte de um todo que foi dividido

E15 Parcialmente

válida

Parte de um todo

E19 e E25 Parcialmente

válida


Com relação à pergunta “O que é necessário fazer para obter uma fração de

um todo?”, apenas o participante E18 respondeu de maneira incorreta e inválida,

doze estudantes conseguiram alcançar conclusões válidas e os quatro restantes,

conclusões parcialmente válidas.

Para estes quatro estudantes, os E14, E15 e E20 deram como resposta

“dividir”, entendendo que o todo precisa ser dividido para obtenção da Fração,

porém não concluíram que essa divisão deve ser partes iguais, já o E6 respondeu

“em fatores iguais”, possivelmente querendo expressar uma divisão em partes

iguais, ou seja, o estudante compreendeu o raciocínio, porém não utilizou a

linguagem corretamente.

As perguntas 14, 15, 16, 17 e 19, sobre o cálculo de Frações, apresentaram

registros bastante animadores, pois apesar de os estudantes já estarem

demonstrando pressa em terminar para ir embora, responderam com uma validade

bastante relevante.

201

Na questão 14, apenas E13 e E18 responderam de maneira inválida; na

questão 15, todos os participantes concluíram de maneira válida; na questão 16,

apenas E1 e E22 responderam de maneira incorreta a quarta parte de 8, apontando

4 como resultado, possivelmente por erro de cálculo; na questão 17, o E18, E1 e E6

apresentaram conclusões inválidas, provavelmente também por erro no momento do

cálculo da divisão.

Os registros dos alunos para a questão 18 apresentaram resultados bastante

insatisfatórios, pois apenas três estudantes conseguiram encontrar a solução

correta. Para os demais participantes, a maior incidência de erro foi como resposta

“5”, acreditamos que por confundir os fatores do produto 5x4=20; os demais deram

como respostas “10” (E2, E10, E16 e E19) e “2” (E14), conclusões inválidas para a

questão.

A questão 19 obteve registros muito satisfatórios, com um alto índice de

validade, pois quase todos os participantes apresentaram a resposta esperada,

possivelmente pela facilidade e familiaridade em calcular a metade de algo,

sobressaindo apenas o estudante E14 que apresentou “10” como resposta.

Para finalizar, perguntamos a cada grupo o que eles entendiam sobre o que

são Frações, o que gerou certa discussão entre os estudantes, pois alguns

acreditavam que “parte de um todo” e “parte de um todo que foi dividido” seriam as

conclusões adequadas, porém muitos até gritavam que não estava completo, que

estava faltando dizer que o todo foi “dividido igualmente”. Satisfeitos, conversamos

que o todo precisa ser dividido igualmente para considerarmos uma parte sua

Fração.

Dessa maneira, alcançamos o objetivo desta Sessão com a construção do

conceito de Fração pelos estudantes, os quais demonstravam alegria em ter

finalizado a aula respondendo de maneira correta e festejavam entre si, devolveram

os roteiros e perguntaram quando teriam outra aula igual aquela.

De maneira geral, se faz necessário destacar que além da agitação dos

alunos, fatores como ruídos externos à sala, a curiosidade de outros estudantes de

outras turmas ao ficarem na porta da sala olhando a aula e distraindo os

participantes desta Experimentação dificultou bastante nosso trabalho, pois em

diversos momentos foi necessário nossa intervenção no sentido de pedir que esses

estudantes voltassem para suas salas ou que os nossos estudantes se acalmassem

um pouco mais.

202

Esta primeira Sessão de Ensino terminou às 11h00min.

3.4 Sessão De Ensino II

PARTE I – 29/11/2017

No dia 29 de Novembro de 2017 realizamos o quarto encontro com a turma,

referente à Segunda Sessão de Ensino da nossa Experimentação. Por volta das

7h15min da manhã, chegamos o lócus da pesquisa, pois, conforme combinado com

o professor de Matemática da turma, teríamos os primeiros horários disponíveis.

Aguardamos a autorização de irmos para a sala de aula na sala dos professores.

O horário de entrada dos alunos é às 07h30min, e ao ouvirmos o sinal sonoro

nos dirigimos até a sala de aula, porém poucos alunos cumpriram esse horário e,

como havíamos planejado um trabalho com os alunos divididos em grupos, optamos

por aguardar a chegada de mais estudantes.

Enquanto aguardávamos a chegada do restante da turma, conversamos com

o Professor de Matemática da turma sobre as interferências da aula anterior, que

nos propôs que realizássemos a aula na sala de leitura, pois seria um ambiente mais

calmo e sem interferência dos alunos das outras turmas. Aceitamos a proposta e

nos dirigimos, juntamente com os alunos, para a sala de leitura, que contava com

mesas bem grandes que, inicialmente, acreditamos que facilitaria o trabalho em

grupo.

O professor da turma nos informou que ficaria na sala dos professores para

realizar a correção das provas da terceira avaliação da turma e que iria até a sala

somente no final do horário para repassar as notas e que teríamos o primeiro e o

terceiro horário disponível para trabalhar com a turma, pois havia cedido o segundo

horário para a Professora da disciplina de Língua Portuguesa.

Esta mudança de sala deixou os estudantes mais agitados, pois para eles era

uma exceção estar ali. Conversamos sobre a necessidade de concentração para a

realização das tarefas, dividimos os grupos a partir da ordem alfabética de seus

nomes, distribuímos o roteiro referente à segunda sessão de Ensino e dialogamos

sobre o que havíamos aprendido na sessão anterior.

Neste momento havia 20 alunos presentes, organizamos em quatro grupos,

com cinco estudantes. Então, pedimos que realizassem a leitura do roteiro e

respondessem às questões 01 e 02.

203

O objetivo desta atividade foi de conduzir o estudante a descobrir como se

representa Frações e quais são seus termos.

A primeira questão solicita a indicação da Fração de cada da parte pintada

em algumas figuras e a segunda para pintar na figura a fração solicitada.

A turma ficou em silêncio, ouvia-se alguns murmúrios entre eles sobre a

atividade. Os quatro grupos estavam bem entusiasmados e pediam que fizéssemos

a leitura para facilitar a compreensão do que estava sendo pedido. Alguns

estudantes perguntavam se podiam responder com palavras e não com números.

Um estudante chegou às 08h50m e foi incluído a um grupo, totalizando agora

21 participantes. Neste momento o professor da turma interrompeu nossa atividade

para entregar as notas e provas aos estudantes, o que acabou os distraindo e fez

com que começassem a conversar sobre as notas recebidas. No entanto, ainda era

possível observar alguns concentrados na atividade.

Pedimos que quem estava recebendo a prova que a guardasse e voltasse

para a resolução das tarefas da atividade. Assim, mesmo depois de receber as

provas, os participantes estavam dedicados e concentrados em resolver as questões

da atividade.

As 08h15m a aula foi interrompida pois estava no horário da disciplina de

língua portuguesa, voltamos as 09h15m.

Retornamos pedindo que cada grupo respondesse em voz alta o que haviam

respondido na primeira questão. Eles respondiam e quando sua resposta estava

certa, comemoravam.

Alguns alunos já queriam ir direto para a segunda questão, pois já tinham

resolvido tudo e responderam corretamente à primeira questão.

Os registros dos estudantes na primeira questão foram bastante satisfatórios,

pois esperávamos que os alunos respondessem por extenso cada fração pedida,

porém as respostas foram dadas na representação fracionária correta.

No quadro 71 abaixo apresentamos alguns desses registros:

204

QUADRO 71 – REGISTROS DOS ALUNOS NA PRIMEIRA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II

REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE

E1, E3, E5, E6, E7, E9,

E11, E12, E13, E17, E21,

E23 e E25.

Válida

E10, E14, E15, E19, E22,

E24. Parcialmente Válida

Não houve registro E2 e E16. Não houve registro


Nos registros dos estudantes E10, E14, E15, E19, E22 e E24, observamos

erros que coincidem, nos quais há a inversão do numerador com o denominador,

neste caso o todo (apresentado como numerador) com a parte (apresentada como

denominador), bem como equívoco na relação parte/todo, representando na forma

parte/parte.

Estas situações são encontradas também nos resultados de Bezerra (2001);

Merlini (2005) e Moutinho (2006).

No diálogo sobre a segunda questão os alunos também estavam acertando

as respostas e riam bastantes felizes por terem acertado. Os grupos pareciam estar

sintonizados e com vontade de participar da aula.

Os registros da segunda questão foram detalhados no quadro 72 a seguir:

205

QUADRO 72 – REGISTROS DOS ALUNOS NA SEGUNDA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II


E1, E3, E5, E6, E7, E9, E10, E11,

E12, E13, E14, E15, E17, E19,

E21, E22, E23, E24 e E25.

Válida

E2 e E16. Inválida


Apenas os participantes E2 e E16 responderam de maneira incorreta e até

inesperada a questão 02, pois diante do registro, percebemos que ao menos

realizaram a leitura da questão, mostrando bastante desatenção. Estes estudantes

mostravam-se distraídos e conversavam bastante durante a aula, incomodando

inclusive os outros participantes do seu grupo.

Dois alunos voltaram somente as 09h30m, bastante atrasados da segunda

aula, fazendo com os demais alunos se distraíssem e dispersassem. Tivemos que

intervir para acalmar a turma, e começamos a contar como se deu a evolução das

Frações no decorrer da História da Matemática através de uma leitura dinâmica com

os grupos.

Os alunos sentiram dificuldade em alguns momentos com algumas

nomenclaturas. Por ser uma turma bastante numerosa, tivemos dificuldade em dar

atenção e manter a concentração de todos durante a leitura. Foi possível observar

que os alunos não ficaram entusiasmados com a parte histórica.

Nesse momento um aluno deu um soco em outro aluno e tivemos de leva-los

para a coordenação, interrompendo o desenvolvimento da atividade.

206

Ao voltarmos para a Sala de leitura, terminamos a leitura, explicamos os

termos de uma Fração, mas como o horário do intervalo, os estudantes já estavam

dispersos e desatentos. Pedimos que, agora como já conheciam os termos da

Fração, representassem na forma de fração suas respostas nas questões 01 e 02.

Apesar de não haver as distrações ocasionadas por fatores externos à sala

de aula, este encontro foi bastante conturbado por conta do comportamento inquieto

e por vezes até agressivo dos estudantes, por esse motivo resolvemos que a

realização do próximo encontro se daria na sala de aula.

Recolhemos os roteiros e terminando esta parte da segunda Sessão às

10h00m.

PARTE II – 30/11/17

A segunda parte da Segunda Sessão de Ensino foi realizada no dia 30 de

Novembro de 2017. Por volta das 10h00min da manhã, chegamos à escola e demos

início à Atividade às 10h05m, logo após o intervalo para o lanche dos estudantes, na

sala de aula.

No horário do Intervalo os estudantes correm e brincam, por conta disso

retornam para a sala de aula bastante agitados, falantes e suados. Estes fatores

tomam um tempo necessário para acalmá-los e concentrá-los novamente, por isso

organizamos os mesmos grupos do encontro anterior, redistribuímos os roteiros e

conversamos sobre tudo o que já havíamos estudado nos encontros anteriores: o

conceito de Fração, seus termos e sua representação.

Durante este diálogo, os estudantes respondiam atentamente às perguntas e

participavam ativamente, lembrando os momentos anteriores. Apesar de termos

divididos em grupos, pedimos que cada estudante tentasse resolver as demais

questões do roteiro de maneira individual e só depois debatesse com o restante do

grupo para dar uma resposta final no momento da exposição das conclusões.

Neste dia estavam presentes 22 estudantes, que mostravam-se concentrados

e atentos para a resolução das tarefas e nos chamavam quando sentiam alguma

dificuldade.

Quando solicitamos as respostas para a questão 03, todos os alunos

rapidamente se prontificaram em responder. Os três itens desta questão são

respostas subjetivas, sobre a opinião dos estudantes sobre a maneira como as

frações eram representadas em alguns momentos da História.

207

A quarta questão diz respeito à representação de Frações, destacamos as

respostas no quadro 73 a seguir:

QUADRO 73 – REGISTROS DOS ALUNOS NA QUARTA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II


E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7,

E9, E10, E12, E13, E16, E17,

E21, E22, E23 e E25.

Válida

E14 e E15.


(Conclusão

Incompleta, faz

inversão de

numerador com

denominador.)

E19 e E24.


(Conclusão

Incompleta, faz

relação parte/parte)

Não houve registro E11 Não houve registro


208

Apesar do entusiasmo dos estudantes, observamos que os erros presentes

nas questões 01 e 02 ainda permanecem nos registros da questão 04, como E14 e

e15 que fazem a inversão do numerador pelo denominador; E19 e E24 que

representam parte/parte invés de parte/todo.

Moutinho (2005, p. 157) afirma que “o aluno pode ter entendido a situação,

porém não foi capaz de representá-la utilizando corretamente a Fração, trocando a

ordem representativa da relação das grandezas envolvidas na situação (...)”.

Ainda houve o E11 que se recusou em realizar qualquer tarefa durante a aula.

Então, pedimos que os estudantes dedicassem mais atenção à representação

e solicitamos a resolução das questões de 05 a 10, são problemas matemáticos que

envolvem a representação das Frações.

Alguns participantes pediam auxílio na resolução, mesmo já tendo encontrado

a resposta ou já sabendo como fazer, sentiam-se inseguros em concluir. Como

reação, perguntávamos sempre a quantidade de partes que estavam considerando e

o total de partes que o todo foi dividido e, ao responder, percebiam que já sabiam as

respostas.

Os registros das questões 05 a 09 estão dispostos no quadro 74 abaixo:

QUADRO 74 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 05 A 09 DA SESSÃO DE ENSINO II

(Continua)


Maria

fez u

m b

olo

e d

ivid

iu e

m 8

fatias p

ara

ve

nde

-las.

Após a

vend

a,

sobra

ram

ape

nas 2

fatias:

E2, E3, E5, E6, E7,

E9, E13, E15, E16,

E17, E21, E22, E24

e E25.

Válida

E4 e E23

Parcialmente

Válida (Conclusão

Incompleta, acertou

apenas um dos

itens)

209

E1, E12, E14 e E19

Inválida (Conclusão

Incorreta,

relacionou

parte/parte)

Não houve registro

E10 e E11 Não houve registro


(Continua)

Um

a c

aix

a p

ossui b

olin

has p

reta

s e

bra

ncas. O

bserv

e a

ima

gem

ab

aix

o e

respo

nda

:

E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E10, E15, E16,

E17, E21, E22, E23

e E24.

Válida

E1, E12, E13 e E25


Incorreta,

relacionou

parte/parte)

E9, E14 e E19


Incorreta, só

considerou parte)


Um

a c

aix

a d

e o

vos p

ossui capacid

ade

para

6 o

vos. O

bserv

e a

fig

ura

ab

aix

o e

respond

a:

E2, E3, E4, E5, E6,

E15, E16, E17,

E21, E22.

Válida

E7, E10, E13, E23,

E24 e E25.

Parcialmente válida

(Conclusão

Incompleta,

considerou

parte/pare)

210

E1, E9, E12 e E19.


Incorreta, só

considerou parte)



(Conclusão)

Pedro

possui um

pacote

co

m 1

5 b

om

bo

ns e

quer

dis

trib

uir

igu

alm

ente

entr

e s

eu

s trê

s irm

ãos. Q

ue fra

çã

o r

epre

se

nta

a

quan

tid

ade

de b

om

bo

ns q

ue c

ada irm

ão irá

ga

nhar?

E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E9, E12, E13,

E15, E16, E17,

E21, E23, E24 e

E25

Válida

E1, E10 e e19 Parcialmente

Válida

E22

Parcialmente válida

(Conclusão

Incorreta, inverteu

numerador com

denominador)


Um

a c

ole

ção

possui 24

figuri

nh

as. E

scre

va a

Fra

çã

o

que r

epre

senta

a

quan

tid

ade

de:

E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E10, E13, E15,

E16, E17, E21,

E22, E23, E24 e

E25.

Válida

211

E1, E12, E19

Inválida

(Conclusão

Incorreta, inverteu

numerador com

denominador)

Não houve registro E9, E11 e E14 Não houve registro


Na resolução da quinta questão os estudantes sentiram um pouco de

dificuldade e pediram apoio, orientamos que tivessem atenção à parte que era

solicitada em cada questão, já que o total de partes consideradas era o mesmo para

ambos os itens. Ainda assim, quatro participantes concluíram de maneira incorreta e

inválida, além de dois participantes que não realizaram o registro das respostas.

Os estudantes E4 e E23 acertaram parcialmente, ou seja, resolveram

corretamente um dos itens da questão. E, os demais (14 participantes),

apresentaram uma conclusão correta para ambos os itens.

Em relação à sexta questão, 14 estudantes apresentaram conclusões

corretas e válidas e um não apresentou registro. Os erros observados nos registros

dos sete participantes que apresentaram conclusões incorretas e inválidas

consistem em relacionar parte/parte ou considerar apenas parte da fração,

desprezando o todo.

Os registros da sétima questão foram bastante satisfatórios, pois dezesseis

dos vinte e dois participantes produziram respostas válidas ou parcialmente válidas,

para as parcialmente válidas houve erro em apenas um item com representação da

fração como parte/parte, sem considerar o todo. Erro descrito no trabalho de Santos

(2005, p. 90-91), o qual destaca “o aluno procedeu à contagem da parte destacada

e, em seguida, procedeu à contagem das demais partes, esquecendo de relacionar

o todo.”.

Para os participantes que apresentaram respostas inválidas (E1, E9, E12 e E19),

o erro foi desconsiderar o todo e apresentar somente a parte. Além de dois

estudantes que não realizaram registro algum para esta questão.

212

No que se refere à oitava questão, 73% dos estudantes respondeu de

maneira correta e válida. Para aqueles que registraram conclusões incompletas,

destacamos dois tipos de erro: o primeiro diz respeito ao equívoco na identificação

da parte considerada, correspondente aos registros de E1, E10 e E19, que

consideraram como parte o número de irmãos e não o número de bombons que

cada um iria ganhar; o segundo erro se refere à inversão dos termos da Fração, no

qual o participante E22, possivelmente, identificou corretamente os termos pedidos

na questão, porém representou a fração de maneira equivocada.

Na nona questão eram solicitadas respostas para três itens, a qual

apresentou um considerável nível de validade, com 16 participantes registrando

conclusões válidas e três parcialmente válidas, com o registro da Fração

(identificando a parte e o todo solicitado), porém invertendo os termos da Fração.

Observamos que este erro tem sido bastante frequente nos registros dos

estudantes, coincidindo com os trabalhos de Merlini (2005) que destaca que o aluno

poderá ter pensado de maneira coerente, mas no momento da formalização da

resposta, inverter o numerador com o denominador.

Para os participantes que não realizaram registro nessa questão, temos E9,

E11 e E14.

No desenvolvimento destas questões observamos que alguns estudantes

ainda sentiam dificuldade em identificar a parte considerada em cada Fração, para

tanto, pedimos que cada grupo reunisse seus membros e respondesse às perguntas

em voz alta. Dessa maneira, podíamos ver a diferença nas respostas e pedíamos

para cada um que apresentasse uma resposta diferente, que a justificasse, assim

ajudando-os a superar esta dificuldade de maneira coletiva.

Inicialmente, os participantes ficaram um pouco indispostos em justificar suas

escolhas, porém, depois de estimulada a discussão, percebemos que a dificuldade

na leitura e, consequente, interpretação dos problemas eram os motivos que os

levavam aos erros de relacionar parte/parte ou inverter dispondo o termos da fração

a se representar.

Nesse momento também foi possível observar que a escolha da resolução

individual e posteriormente a socialização com o grupo para a elaboração de um

conclusão coletiva estimulou uma elaboração mais cuidadosa das respostas,

argumentando as escolhas, bem como o desejo em participar da discussão com a

turma.

213

Assim, solicitamos que os estudantes continuassem a resolução das tarefas

desta Atividade, agora respondendo à decima questão e posteriormente

completando os espaços na formalização da Atividade, identificando a descrição do

que significa cada termo da Fração.

Após a resolução, iniciamos o processo de discussão das respostas ofertadas

por cada grupo. É importante destacarmos que apesar de ser uma turma bastante

agitada, nesse momento cada grupo silenciava para ouvir a resposta do outro e

quando perguntados, tentavam argumentar suas escolhas.

Dos 22 alunos que estavam presentes, 15 acertaram completamente a

questão, respondendo todos os itens de maneira válida, alcançando um dos

objetivos desta atividade, que era descobrir como se representa Fração.

Para os estudantes E3, E6, E12 e E19, encontramos itens respondidos de

maneira correta e itens recorrentes ao erro de inversão todo/parte, como nas

questões anteriores, ou seja, conclusões parcialmente válidas e, os alunos E10, E11

e E14 que não responderam.

Os registros estão dispostos nos quadros a seguir:

QUADRO 75 – REGISTROS DOS ALUNOS NA DÉCIMA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO II


E1, E2, E4, E5, E7,

E9, E13, E15, E16,

E17, E21, E22, E23,

E24 e E25

Válida

E3, E6, E12 e E19

Parcialmente

Válida (Conclusão

Incompleta, há item

correto e demais

com inversão dos

termos)

Não houve registro E10, E11 e E14 Não houve registro

Fonte: pesquisa de Campo (2017)

214

Neste momento pausamos a Atividade para conversar com estes estudantes

como forma de superar este erro de inversão, voltamos ao comando das questões e

íamos perguntando “Qual o total e o que estamos considerando?”, que verbalizavam

de maneira correta os termos das Frações solicitadas.

Após a socialização das respostas da décima questão, pedimos para cada

grupo falar em voz alta a palavra que havia preenchido o espaço na formalização

desta atividade, no final do roteiro.

Entre os 22 participantes, 16 responderam corretamente ao conceito dos

termos Numerador e Denominador da Fração, totalizando 73% de validade para esta

formalização, alcançando o segundo objetivo dessa Atividade.

De maneira incoerente, E15 e E19 responderam à formalização dos termos

da Fração com números aleatórios e, ao serem perguntados o porquê das

respostas, declararam que pensavam que era pra colocar algum número, ou seja,

não conseguiram interpretar o que estava escrito.

Os participantes E1, E10, E11 e E14 não escreveram a conclusão no roteiro

desta atividade, na justificativa de já estarem cansados e não acostumados a

resolver tantas questões num dia só, mas responderam verbalmente de maneira

correta.

Os resultados foram:

QUADRO 76 – REGISTROS DOS ALUNOS NA FORMALIZAÇÃO DOS TERMOS DA FRAÇÃO NA

SESSÃO DE ENSINO II


E2, E3, E4, E5, E6, E7,

E9, E12, E13, E16, E17,

E21, E22, E23, E24 e

E25

Válida

E15 e E19 Inválida

Não houve registro E1, E10, E11 e E14 Não houve registro

Fonte: pesquisa de Campo (2017)

215

Algo que nos chamou atenção nesta sessão de ensino foi o estudante E11,

que desde o início da aula se recusou a escrever no roteiro da Atividade, deixando

todas as respostas em branco. Ao ser perguntado o porquê deste comportamento, o

aluno disse estar com problemas familiares que o deixavam sem vontade alguma de

estudar.

Ao liberarmos a turma, fomos até a coordenação da escola e informamos a

situação deste estudante, a qual se comprometeu de entrar em contato com a

família para verificar o que estava acontecendo.

A Segunda Sessão de Ensino terminou às 11h5min.

3.5 Atividade De Aprofundamento – 01/12/2017

As duas primeiras Sessões de Ensino nos proporcionaram uma aproximação

dos estudantes, gerando uma relação de confiança e conhecimento das dificuldades

de alguns deles, as quais se sobressaíram no tratamento dos registros dos

protocolos das atividades.

Para dar prosseguimento ao desenvolvimento da nossa Sequencia como

havíamos planejado, percebemos a necessidade de aprofundarmos os

conhecimentos referentes à Conceito e representação de Frações, para tanto

realizamos uma Atividade Extra, denominada “Atividade de Aprofundamento” para

que os estudantes pudessem se sentir mais seguros nas tarefas dos próximos

encontros.

Assim, no dia 01 de dezembro de 2017 realizamos o sexto encontro com a

turma, aplicando uma lista de Exercícios contendo cinco questões, as quais

respeitavam o modelo da Prova Brasil, justificado no fato de que estes alunos serão

submetidos à referida avaliação em algum momento de sua trajetória escolar.

Nosso encontro iniciou-se às 09h00min com a distribuição do protocolo da

Atividade, estavam presentes 16 alunos, os quais foram orientados que esta seria

uma tarefa para ser respondida individualmente.

Inicialmente, pensamos em um tempo de realização de pelo menos 40

minutos para a lista de exercícios, porém, dentro de 20 minutos, todos os estudantes

já haviam terminado a resolução e expressavam ter realizado com muita facilidade.

Quando percebemos que todos haviam terminado, apesar de serem questões

de múltipla escolha, pedimos que alguns estudantes (escolhidos aleatoriamente)

216

fossem até o quadro expor sua resolução e explicar como haviam chegado àquela

conclusão, o que foi aceito pela turma.

O Quadro 77 a seguir retrata o desempenho dos estudantes nesta atividade:

Quadro 77 – Desempenho dos estudantes na Atividade de Aprofundamento

QUESTÃO ACERTO (%) ERRO (%)

1 50,00% 50,00%

2 81,25% 18,75%

3 93,75% 6,25%

4 93,75% 6,25%

5 43,75% 56,25%


Na primeira questão, que solicitada a identificação de 2

3 de 6, na qual o

rendimento foi de 50% de acertos, os estudantes expressaram sentir dificuldade por

não ser uma fração unitária, marcando a opção “a” que trazia 1

3 de 6, ou seja 2, e

não a opção correta “c”, 4.

Figura 22: Q01 Atividade de Aprofundamento


Para a segunda questão, o índice de acerto (81,25%) foi satisfatório, tratava-

se da representação de uma fração cuja parte era 6 e o todo era 15, cuja solução

apresentava-se na opção “a”, 6

15 . Os estudantes sentiram bastante facilidade em

217

justificar a resposta. Para os que erraram, o destaque foi novamente para a inversão

dos termos, marcando a opção “d”, ou seja 15

6.



No que se refere à terceira questão, apenas um aluno respondeu

equivocamente. A questão tratava da representação de um meio, opção “d”, na qual

93,75% dos participantes acertaram.



A quarta questão também teve um rendimento muito bom, atingindo 93,75%

da turma. Os alunos facilmente identificaram as frações correspondentes às partes

pintadas nas figuras, marcando a opção “a”, 1

2 e

1

4.



218

A maior dificuldade encontrada pelos alunos foi na quinta questão, a qual

apenas 43,75% da turma conseguiu acertar. Esta questão solicita a identificação de

1

3 de 9 triângulos em uma figura, ou seja, opção “c”. A opção mais marcada foi “d”

que apresentava apenas um Triângulo. A justificativa dos alunos era corresponder

um triângulo com o numerador da Fração.



Após a explicação de cada um dos estudantes do porquê de sua resposta e

com o nosso auxilio, os estudantes esclareceram suas dúvidas e puderam superar

suas dificuldades com mais facilidade. Observamos então, que poderíamos avançar

com as demais Sessões de Ensino.

A Atividade de Aprofundamento finalizou às09h45min.

3.6 Sessão de ensino III

PARTE I – 06/12/17

A terceira Sessão de Ensino estava programada para acontecer no dia

04/12/17. Porém, por conta das condições da sala de aula (poeira, calor, acústica,

poluição sonora, etc), ficamos com a garganta prejudicada, necessitando prorrogar

este encontro para o dia 06 de Dezembro.

Em virtude dos horários disponíveis para trabalharmos com a nossa turma de

Experimentação, não foi possível realizar a Terceira Sessão de Ensino em um único

dia, sendo necessário dividi-la em três encontros diferentes, iniciando no dia

06/12/17, continuando no dia 07/12/17 e finalizando apenas no dia 11/12/17.

219

Esta atividade teve como objetivo levar o aluno a descobrir maneira de

identificar e encontrar Frações Equivalentes.

A primeira parte da Terceira Sessão foi realizada no dia 06 de Dezembro de

2017. Por volta das 7h25min da manhã, chegamos à escola e aguardamos até as

07h30min para a entrada dos alunos. Ao sinal sonoro que indica a entrada dos

alunos, nos dirigimos à sala de aula, em contrapartida, os estudantes só entraram na

sala por volta das 07h45min.

Os estudantes estavam bastante agitados e conversando bastante, pedimos

então que levassem em consideração nosso problema de saúde e que, por conta

disso, não poderíamos forçar e falar um pouco mais alto, e fizessem um semicírculo

em volta de nossa cadeira para que pudéssemos nos comunicar melhor naquele dia.

Todos os participantes colaboraram organizando as cadeiras, ficando em silêncio e

prestando atenção a tudo que falávamos.

Nas outras salas da escola estavam faltando cadeiras para os outros alunos,

os quais se dirigiam até a nossa sala para que pudessem pegar uma e retornar

apara sua sala de origem, fato que atrapalhou bastante a concentração de todos

neste dia, pois além de entrarem na sala, os outros alunos falavam alto e ficavam

fazendo perguntas para os nossos alunos, o que os distraia.

Com isso, perdemos um tempo que seria extremamente necessário para a

realização das tarefas desta Atividade. Assim, que a situação se acalmou,

distribuímos o roteiro da atividade e algumas folhas de papel A4 para a realização

dos procedimentos.

Quando todos estavam com o roteiro e o papel em mãos, pedimos que, de

uma tira da metade (divido ao meio no sentido do comprimento) do papel, os

estudantes obtivessem 1

2 e depois

2

4. Ao perceber que todos já haviam feito,

solicitamos que começassem a resolver o roteiro da atividade sobrepondo estas

frações e fazendo as anotações pedidas.

Os alunos estavam bastante concentrados e animados com a tarefa, porém,

neste momento, a aula foi interrompida pelo Professor de Matemática da turma para

dar alguns informes. Passado isso, os alunos voltaram a seguir as nossas

orientações com afinco.

220

Nesta etapa, dois alunos que não vinham demonstrando interesse em

participar das nossas atividades mostravam-se bastante empolgados, comparando

suas Frações e conversando sobre como tinham feito para obtê-la.

Como ponto negativo podemos destacar que alguns participantes não

conseguiam rasgar o papel de maneira que ficassem dividido igualmente e assim,

sentiam dificuldade em obter as Frações solicitadas. Estes estudantes,

possivelmente, pela frustração de não conseguir acompanhar os demais da turma,

começaram a conversar, trocar ofensas com outros estudantes e até falar palavras

de baixo calão (palavrões).

Este fato nos assustou, mas tentamos contornar conversando que aquele

vocabulário era inapropriado para aquele ambiente e que tentassem seguir as

normas de comportamento da escola, caso contrário precisaríamos comunicar a

coordenação.

Enquanto conversávamos o sinal sonoro tocou nos avisando que seria a troca

de horário, já eram 08h15min. Pedimos que todos guardassem o material que

retornaríamos no terceiro horário.

O terceiro horário, que iniciava às 09h00min estava à nossa disponibilidade

para darmos continuidade ao nosso trabalho. Ao voltarmos para a sala de aula,

pedimos que refizessem o semicírculo para retornarmos à resolução das tarefas do

roteiro.

Em relação à primeira questão, os estudantes sentiram dificuldade em

compreender a palavra “sobrepor”, por não saberem o seu significado. Ao

esclarecermos este significado, os estudantes mostraram-se empenhados em

terminar de resolver as demais tarefas.

Para amenizar a dificuldade e dar seguimento à Atividade, ao finalizar a

primeira questão, pedimos que respondessem em voz alta cada um dos itens desta

questão.

A primeira questão solicitava ao estudante que tentasse sobrepor dois quartos em

um meio e respondessem, primeiramente, se foi possível sobrepor; após, anotar o

que acontece e, por ultimo, perguntava se estas frações representavam a mesma

parte do todo e por quê.

Os resultados estão dispostos no Quadro 78 a seguir:

221

QUADRO 78 – REGISTROS DOS ALUNOS NA PRIMEIRA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO III


Orienta

çã

o: T

ente

so

bre

por

dois

quart

os e

m u

m m

eio

.

Sim

E1, E2, E3, E4, E5,

E6, E7, E9, E11,

E13, E14, E16, E17,

E22 e E25.

Válida

Não

E12 e E19 Inválida

Não houve registro E10 e E23 Não houve registro

São do mesmo tamanho

E1, E2, E3, E4, E5,

E6, E7, E9, E11,

E13, E14, E16, E17,

E19, E22 e E25.

Válida

Nada

E12 Inválida


Sim, porque representa a mesma quantidade do

todo.

E1, E2, E3, E4, E5,

E6, E7, E9, E11,

e12, E13, E14, E16,

E17, E19, E22 e

E25.

Válida



No primeiro item, apenas E12 e E19 não conseguiram sobrepor, além

de E10 e E23 que não realizaram o registro na questão, os demais (15 estudantes)

conseguiram fazer a sobreposição da maneira esperada.

No segundo item, 16 estudantes conseguiram responder como esperávamos,

concluindo que um meio e dois quartos se sobrepõem, pois possuem o mesmo

222

tamanho. Ofereceram também como resposta: “Eles são iguais”, “Encaixa”, “fica

igualmente pois são do mesmo tamanho” e “os tamanhos são iguais”.

Os participantes E10 e E23 novamente não realizaram registro de suas

respostas, mas verbalmente demonstraram suas conclusões de maneira correta.

Apenas o E12 respondeu que “nada” acontecia ao sobrepor um meio e dois quartos,

continuando, assim como no primeiro item, a oferecer conclusões inválidas.

No terceiro item, com exceção de E10 e E23 que novamente deixaram em

branco, 17 dos 19 estudantes concluíram de maneira almejada, oferendo como

respostas “Sim, porque tem a mesma quantidade do todo” e “Sim, porque são

iguais”, o que foi bastante satisfatório, pois já no primeiro momento demonstravam

que estavam desenvolvendo os saberes necessários para alcançarmos o objetivo

desta atividade.

Quando estávamos finalizando a exposição das respostas junto aos

estudantes, fomos surpreendidos por dois estudantes que estavam se agredindo,

justificados em uma brincadeira violenta, necessitando a interrupção da Atividade

para solicitarmos que parassem com tal comportamento. Estes foram os mesmos

estudantes que não realizaram os registros na questão um desta Atividade.

Com a turma mais calma, pedimos que com o kit de Frações, separassem as

peças três sextos e um meio para que resolvessem a segunda questão.

Percebemos que esta manipulação de materiais chamava bastante atenção dos

estudantes e os concentravam mais.

A partir da segunda questão os estudantes conseguiram desenvolver sem

grandes dificuldades as demais tarefas, só argumentavam “está dando tudo a

mesma coisa!”, pois as conclusões eram bastante semelhantes para que eles

percebessem um padrão nas Frações Equivalentes.

Para a comparação de frações equivalentes, nas questões de 02 a 05, as

respostas variavam em “são iguais”, “são do mesmo tamanho”, “representam a

mesma quantidade do todo” ou “os tamanhos são iguais”, como esperávamos.

Na análise dos registros surgiram respostas em forma de fração, como na

questão 03 e na questão 05, nas quais, interpretamos que os estudantes

responderam com a intenção de dizer que ambas as frações representavam aquela

parte do todo, portanto, consideramos uma conclusão Correta e válida. Embora, na

questão 04, o E17, também tenha respondido com uma fração, mas de maneira

incorreta e incoerente, ou seja, inválida.

223

Diante disso, o Quadro 79 a seguir expõe as conclusões das questões de 02

a 06:

QUADRO 79 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS CONCLUSÕES DAS QUESTÕES DE 02 A 05 DA

SESSÃO DE ENSINO III


Q02: T

en

te

sobre

por

três

sexto

s e

m u

m

meio

.

E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7,

E9, E11, E12, E13, E14,

E16, E17, E19, E22 e E25.

Válida


Q03: T

en

te s

obre

por

quatr

o

oitavos e

m u

m m

eio

.

E1, E2, E3, E4, E5, E7, E9,

E11, E12, E13, E16, E17,

E19, E22 e E25.

Válida

E6 e E14. Válida


Q04: T

en

te s

obre

por

cin

co

décim

os e

m u

m m

eio

.

E1, E2, E3, E4, E6, E7, E9,

E12, E13, E16, E19 e E22. Válida

E17 Inválida

Não houve registro E5, E10, E11, E14 E23 e

E25 Não houve registro

Q05: T

en

te s

obre

por

se

is d

oze a

vos e

m

um

meio

.

E1, E2, E4, E6, E7, E11, E13

e E22 Válida

E12, E16 e E17 Válida

E3 Inválida

224

Não houve registro E5, E9, E10, E14, E19, E23

e E25 Não houve registro


Na questão 05, o E6 demonstrou seguir um pensamento coerente, mas no

momento do registro da conclusão respondeu de maneira inválida, acreditamos que

tenha se confundido, pois seu desenvolvimento na Atividade era bastante

satisfatório e com poucos erros.

No decorrer da resolução dos alunos, observamos que iam deixando de usar

o kit de Frações para comparar as peças, percebemos que alguns estudantes

desenhavam a fração na forma geométrica e comparavam. Para socializar as

respostas e suas estratégias de resolução, pedimos que alguns participantes fossem

até o quadro mostrar como haviam resolvido, mostrando suas estratégias.

Este momento foi o ápice deste encontro, pois pudemos observar a riqueza

nas discussões e formas diferentes que cada um encontrou para justificar que duas

frações são equivalentes, como por exemplo: desenhar um retângulo para

representar o todo e com canetas de cores diferentes, destacar cada uma das

frações e perceber que coincidiam, ou tomar uma coleção de objetos como um todo

e obter as Frações de cada questão, entre outras situações apresentadas.

Nosso horário terminou às 09h50min. Finalizamos recolhendo os roteiros de

Atividade e informando que continuaríamos no outro dia.

PARTE II – 07/12/17

A segunda parte da terceira Sessão de Ensino foi realizada no dia 07 de

Dezembro de 2017, na Sala de leitura, pois o Professor de Matemática da turma nos

sugeriu que utilizássemos um espaço mais calmo e isolado para o desenvolvimento

da Atividade.

A aula teve início às 10h10min, logo após o intervalo de lanche dos alunos. Por este

motivo, estavam bastante agitados e conversando bastante, pedimos então que

alguns alunos sentassem separados, formando quatro grandes grupos, e se

concentrassem para terminarmos aquela atividade.

Em frente à turma, com várias peças do kit de Frações nas mãos, fomos

resolvendo passo a passo as questões de 02 a 05, que eles haviam resolvido no

225

encontro anterior. Após essa exposição, distribuímos os roteiros de atividade e o kit

de Frações, pedindo que resolvessem a sexta questão.

Para facilitar o desenvolvimento do trabalho, visitamos cada um dos grupos

pedindo que atentassem às diferenças na sobreposição destas Frações com as das

questões anteriores, estipulando 15 minutos para nos oferecerem as respostas.

Após o tempo dado, conversamos com a turma e pedimos que cada grupo

manifestasse a sua resposta, mas manter a tenção e concentração dos estudantes

era difícil e desgastante, pois se distraiam facilmente e começavam a conversar uns

com os outros.

Para chamar a atenção, pedíamos que os participantes identificassem no kit

de Frações, algumas frações aleatórias, como: 1

2,

4

6, etc. Os alunos se empenhavam

em encontrar rapidamente e mostrar que sabiam quais frações eram.

Neste encontro a agitação dos estudantes dificultou muito o desenvolvimento

da atividade, pois apenas dois grupos mostravam-se empenhados de fato em

aprender.

Os registros da sexta questão estão dispostos no Quadro 80 a seguir:

QUADRO 80 – REGISTROS DOS ALUNOS NA SEXTA QUESTÃO DA SESSÃO DE ENSINO III


Orienta

çã

o: te

nte

sobre

por

quatr

o s

exto

s e

m u

m m

eio

.

E1, E2, E3, E4, E5, E6,

E9, E11, E12, E13, E14,

E16, E17, E19, E23 e

E25.

Válida

E7 e E22. Inválida


E1, E2, E4, E5, E6, E9,

E11, E12, E13, E14, E16,

E17, E19, E23 e E25.

Válida

E3, E7 e E22. Inválida


226

E1, E2, E3, E4, E6, E7,

E9, E11, E12, E13, E16,

E17, E19 e E25.

Válida

E22 Inválida

Não houve registro E5, E10, E14 e E23 Não houve registro


A sexta questão diferenciava das anteriores pois trazia duas Frações que não

eram equivalentes entre si e tínhamos como objetivo, neste momento, que os

participantes percebessem essa mudança no padrão das questões. Apenas os

estudantes E3, E7 e E22, acreditamos que por distração em copiar as respostas das

questões anteriores, responderam de maneira inesperada.

Como grande parte das conclusões foram válidas, acreditamos que até este

momento da Atividade foi bastante satisfatório. Para dar seguimento, formalizamos o

conceito de Frações equivalentes com os alunos perguntando a respeito do padrão

presente nas cinco primeiras questões em comparação com os resultados da sexta.

Os participantes expressaram, em coletivo, “há frações com termos diferentes

e que tem o mesmo tamanho, ou seja, a mesma parte do inteiro”. A partir dessa

conclusão, explicamos que essas Frações recebem a denominação de Frações

Equivalentes.

Neste momento fomos interrompidos pelo Professor de matemática da turma,

que entrou na sala para fazer a frequência do dia. Quando acabou, retornamos

pedindo que resolvessem as questões de 07 a 14, que solicitavam Exemplos de

Frações equivalentes e não equivalentes a outras frações.

Apesar da interrupção, os estudantes demonstravam interesse em continuar a

atividade, manipulavam os kits de Frações, discutiam entre si e argumentavam, pois

cada um tinha uma fração diferente para dar como resposta.

Encerramos este encontro com a exposição das respostas dos participantes.

Pedíamos que um deles falasse em voz alta sua resposta e perguntávamos se

algum havia encontrado resposta diferente.

227

Para as questões 07 e 08, que solicitava, respectivamente, Frações

equivalentes e não equivalentes a 1

2 , algumas respostas para a primeira foram: “

4

8,

12

24 ,

3

6 ,

10

20” , etc, e para a segunda: : “

1

8,

5

7 ,

3

5,

2

3”.

As demais questões foram desenvolvidas sem dificuldades.

Nosso horário encerrou às 11h15min, e não conseguimos terminar toda a

Atividade, por isso solicitamos que os estudantes não faltassem o nosso próximo

encontro para podermos finalizar este conteúdo de Equivalência de Frações.

PARTE III – 11/12/17

A terceira parte da terceira Sessão de Ensino foi realizada no dia 11 de

Dezembro de 2017, estavam presentes na sala de aula 18 alunos. Iniciamos às

10h40min, relembrando o que já havíamos feito sobre esta Atividade nos encontros

anteriores.

A turma estava bastante agitada e logo após nossa entrada, a coordenação

da escola retirou dois estudantes da sala pois haviam se envolvido em uma briga

durante o intervalo. Além destes, mais dois alunos foram liberados, restando apenas

14 participantes para este encontro.

Como havíamos formalizado o conceito de Frações Equivalentes, pedimos

que os participantes respondessem à questão 16, explicando o que são Frações

equivalentes. Como respostas, obtivemos “São Quando representam a mesma

quantidade do todo”, com exceção do E10, declarou não saber responder.

Para explicar, pegamos peças do kit de Frações e comparamos junto com o

participante, que logo depois verbalizou que já havia entendido, dizendo “São

quando tem o mesmo tamanho do todo”.

Após este momento, solicitamos a resolução das questões de 16 a 21, que

perguntavam que o estudante faria para de uma determinada fração obter outra e,

se as referidas Frações eram equivalentes.

O quadro abaixo destaca a respostas dos participantes nestas questões.

228

QUADRO 81 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 16 A 21 DA SESSÃO DE ENSINO III

(Continua)


Q16

E1, E3, E4, E6, E7, E9, E10,

E12, E14, E16, E17 E19, E22

e E23.

Válida

Q17

E1, E3, E4, E6, E7, E9, E10,

E12, E14, E16, E17 E19, E22

e E23.

Válida

QUADRO 81 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 16 A 21 DA SESSÃO DE ENSINO III

(Conclusão)

Q18

E1, E3, E4, E6, E7, E9, E10,

E12, E14, E16, E17 E19, E22

e E23.

Válida

Q19

E4, E6, E9, E10, E12, E14,

E16, E17 E19 e E23. Válida

E7 Inválida

E1, E3, E22 Inválida

Q20

E4, E6, E7, E9, E10, E12,

E14, E16, E17 E19 e E23. Válida

E1, E3, E22 Inválida

229

Q21

E4, E6, E7, E9, E10, E12,

E14, E16, E17 E19 e E23. Válida

E1 e E3 Inválida

Sem registro E22 Sem registro


Na questão 16, por unanimidade a turma respondeu que para a partir da

fração 1

4, obter a fração

2

8, devemos “multiplicar por dois” e essas são Frações

equivalentes. Para as questões 17 e 18, obtivemos o mesmo resultado, com a

resposta devemos “multiplicar por três”, “devemos multiplicar por quatro”,

respectivamente e essas “são Frações equivalentes” em ambas.

Para a Questão 19 entramos respostas bastante diferentes. Tratando-se de

uma questão que pretendia que o aluno percebesse que para obter uma Fração

Equivalente, além de multiplicar, também pode dividir os termos da Fração por um

mesmo número, já aguardávamos soluções semelhantes às que encontramos.

Os estudantes ofereceram como resposta “dividir por 3”, de maneira correta e,

“subtrair” e “não multiplicar” como respostas que consideramos inválidas, porém

previstas.

Este erro em confundir divisão com subtração persistiu nas questões 20 e 21,

então, fizemos uma exposição no quadro de obtenção de Frações equivalente

reduzindo seus termos, o que esclareceu a diferença entre subtrair e dividir os

termos da Fração.

Os estudantes declararam que confundiram o nome das operações e,

aproveitando a exposição, perguntamos então o que deveríamos fazer para obter

uma Fração equivalente a outra, em coro, a turma respondeu que deveríamos

“multiplicar por um número”. Com essa resposta, perguntamos “multiplica o que

exatamente?”, enquanto alguns estudantes se olhavam, outros respondiam “em

cima e embaixo”, uma das alunas falou “numerador e denominador!”.

Para construirmos uma resposta mais completa, perguntamos se bastava

multiplicar os termos da Fração por um número e, todos responderam que

230

poderíamos dividir também. Neste momento, pedimos que elaborassem uma

resposta a partir da nossa discussão para a questão 22.

O quadro abaixo destaca a respostas dos participantes nesta questão.

QUADRO 82 – REGISTROS DOS ALUNOS NA QUESTÃO 22 DA SESSÃO DE ENSINO III


Dada u

ma F

ração, co

mo s

e

obté

m u

ma fra

çã

o

Equ

ivale

nte

a e

la?

E1, E3, E4, E6, E7,

E16, E17 e E19. Válida

Sem Registro E9, E10, E12, E14,

E22 e E23 Sem registro


Os estudantes já demonstravam cansaço e talvez por este motivo, alguns não

tenham realizado o registro na formalização da obtenção de Frações equivalentes

como gostaríamos. Porém, pra finalizar, pedimos que verbalizassem como se dá a

obtenção de Frações equivalentes, que responderam “Multiplicando ou dividindo o

numerador e o denominador por um mesmo número”.

Nesse momento, às 11h45min, alcançamos nosso objetivo para esta

atividade, recolhemos os roteiros, agradecemos e liberamos os alunos, finalizando a

Terceira Sessão de Ensino.

3.7 Sessão de Ensino IV

PARTE I

Em 13 de Dezembro de 2017 iniciamos a nossa Sessão de Ensino IV,

referente ao desenvolvimento do conteúdo de Simplificação de Frações com uma

conversa com os estudantes. Montamos um semicírculo e realizamos perguntas a

respeito de Equivalência de Frações, que havíamos trabalhado na Sessão Anterior.

Neste dia, tínhamos disponível para nossa Experimentação os três primeiros

horários, porém como os estudantes, comumente, se atrasavam, iniciamos a aula às

07h45min.

231

Os estudantes estavam bastante calmos neste encontro e mostravam-se

participativos respondendo verbalmente às perguntas feitas. Com 18 estudantes

presentes, separamos 4 grupos para o trabalho deste dia, distribuímos o material

(roteiro de atividade e kit de Frações) e autorizamos o início da resolução das

questões de 01 a 08.

Os membros dos grupos interagiam entre si e demonstravam bastante

interesse em responder ao que se pedia nas questões. Por diversas vezes nos

chamavam para ajuda-los a superar algumas dúvidas, uma bastante frequente se

tratava da obtenção de Frações Equivalentes através da divisão por um mesmo

número, pois os estudantes haviam fixado com mais propriedade a obtenção através

da multiplicação.

Apenas um dos grupos conversava bastante sobre coisas alheias à aula, o

que nos fez chama-los atenção e pedir que se concentrassem para resolver o que

havia sido pedido. De maneira bem rápida, os grupos resolveram as questões e

queriam expor suas respostas, pedindo para ir até o quadro escrever. Pedimos

então que cada grupo enviasse um estudante para ir até o quadro expor sua

resposta.

Neste momento, observamos que quando se tratava de obter frações

equivalentes pela multiplicação, o estudante desenvolvia facilmente, porém, quando

se tratava da obtenção pela divisão, sentia dificuldade e não conseguia realizar a

operação. Os auxiliamos lembrando de Múltiplos e divisores, o que facilitou a

realização das operações.

Algo que nos chamou bastante atenção neste momento foi a empatia da

turma, pois quando algum estudante não sabia ou estava tímido para responder, os

demais estudantes tentavam ajudar, dando dicas e indicando o que deviam fazer,

mostrando cooperação entre os estudantes.

A primeira questão solicitava frações equivalentes a 7

14 com termos menores,

a qual não houve muita dificuldade depois que lembramos que podemos obter

Frações equivalentes através da divisão. A partir de então as demais questões

foram desenvolvidas sem grandes dificuldades.

Após o registro destas questões, observamos que o grupo que estava

disperso no momento da resolução, não escreveu as respostas no roteiro da

Atividade até a 6ª questão. Aproximamos-nos do grupo e conversamos novamente,

232

falando da importância desse conhecimento para momentos futuros em outros

conteúdos.

Neste momento, com toda a turma atenta, explicamos que nestas questões

fizemos várias operações, de multiplicar ou dividir, para encontrar Frações

equivalentes, e quando esse procedimento obtém uma fração com termos menores

se chama simplificação de Frações.

Os registros dos estudantes das questões de 02 a 08 estão dispostos no

Quadro 83 a seguir:

QUADRO 83 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 02 A 08 DA SESSÃO DE ENSINO IV

(Continua)


Q02

Multiplicar por 5

E5, E6, E7, E9, E10, E11,

E12, E13, E14, E17, E19,

E21, E22 e E24.

Válida

Não houve registro E1, E2, E3, E4, E18 Não houve

registo


(Continua)

Q03

Dividir por 6

E5, E6, E7, E9, E10, E12,

E14, E17, E22 e E24. Válida

Multiplica por 6

E11, E13, E14, E19, E21. Inválida

233

Não houve registro E1, E2, E3, E4, E18 Não houve

registo

Q04

E1, E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E9, E10, E11, E12,

E13, E14, E17, E18, E19,

E22 e E24.

Válida

Não houve registro E21 Não houve

registro

Q05

Multiplica por 6

E5, E6, E12, E14, E17,

E18, E19, E21, E22 e

E24.

Válida

Divide por 7

E7, E9, E10 e E13 Inválida

Não houve registro E1, E2, E3, E4, E11, E18 Não houve

registro


(Conclusão)

Q06

multiplicar por 5

E5, E12, E14, E19 e E22 Inválida

Não houve registro E1, E2, E3, E4, E11, E18,

E21

Não houve

registo

Q07 / Q08

E1, E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E9, E10, E11, E12,

E14, E17, E18, E19, E21,

E22 e E24.


registo


234

Os estudantes deram continuidade à Atividade resolvendo a 9ª e a 10ª questões.

Pra a 9ª questão, todos os grupos responderam corretamente, com exceção

do E21, que não respondeu todos os itens, realizando parcialmente a questão. Para

a questão 10, temos o Quadro 84:

QUADRO 84 – REGISTROS DOS ALUNOS NA QUESTÃO 10 SESSÃO DE ENSINO IV


Com

o s

e s

implif

ica u

ma F

ração?

Dividindo ambos os termos por um mesmo número

E7, E10,E11, E12,

E13, E14, E19 Válida

Dividir os termos por o mesmo número

E6, E17, E22, E24 Válida

Dividido por termos menores

E1, E2, E5, E3, E4,

E18, E21. Váida


registo


Apenas o E9 não realizou registro nesta questão, os demais, apesar de

oferecerem respostas diferentes, responderam de maneira válida e coerente,

mostrando compreensão dos procedimentos feitos nas questões anteriores.

No momento em que estávamos discutindo estas conclusões com os

estudantes, acabou o nosso horário e tivemos de finalizar este encontro sem

terminar esta Sessão de Ensino, às 09h45min.

PARTE II

No dia 14 de Dezembro de 2017 demos continuidade à Sessão de Ensino IV.

Chegamos no lócus da pesquisa por volta das 10h00min e nos dirigimos à sala de

aula de nossa turma de experimentação às 10h05min.

Iniciamos nosso encontro pedindo que os estudantes se organizassem

mesmos grupos da aula anterior para então, começarmos a comentar o que

havíamos feito na anteriormente dessa atividade.

235

Neste dia a turma estava bastante agitada e dispersa, uma maneira que

encontramos de atrair a atenção foi registrar um placar de acertos no quadro para os

grupos, o que empolgou os estudantes para participar da aula.

Dessa maneira, resolvemos a questão 11 sem dificuldades e formalizamos o

conceito de Fração irredutível.

Para as demais questões, pedíamos que cada grupo resolvesse uma delas no

quadro, o que gerou bastante interesse por todos para obter um ponto no placar.

Dessa forma, conseguimos resolver todas as tarefas que restavam, com participação

e bom aproveitamento.

A aula terminou às 11h15min.

3.8 Sessão De Ensino V

PARTE I

No dia 15 de Dezembro de 2017 realizamos nosso 13º encontro com os

participantes de nossa experimentação para realizar a Quinta Sessão de Ensino,

referente à atividade de Comparação de Frações, com o objetivo de levar o aluno a

descobrir maneira de comparar Frações.

A Sessão iniciou às 07h45min, com 15 minutos de atraso, pois os estudantes

entraram na escola as 07h30min, mas não se dirigiram de imediato para a sala de

aula. Neste dia estavam presentes 19 alunos, então pedimos que formassem os

mesmos grupos da aula anterior, formando assim três grupos de 5 estudantes e um

grupo de 4.

Para darmos inicio, conversamos sobre a atividade anterior, referente à

Simplificação de Frações, perguntando como deveríamos proceder para simplificar

uma determinada Fração. Os participantes demonstraram conhecimento sobre o

assunto e responderam positivamente às perguntas dirigidas a eles.

Para começarmos de fato a Atividade, chamamos dois estudantes à frente da

turma e perguntamos quem tinha maior altura entre os dois, para que todos

pudessem compreender o conceito de comparação e como iríamos utilizar naquela

aula.

Posteriormente, distribuímos um kit de Frações para cada grupo e pedimos

que pegassem as peças referentes a sextos, solicitando que separassem em uma

mão um sexto e na outra mão, dois sextos. Com as peças em mãos, perguntamos o

236

que era maior, um sexto ou dois sextos, que rapidamente foi respondido

corretamente.

Neste momento pudemos observar que os participantes faziam uma

sobreposição das peças e percebiam, dessa maneira, que uma peça era maior que

outra, e falavam “sobra um pedaço, então é maior!”.

Então, distribuímos os roteiros da Atividade e autorizamos a resolução das

questões de 01 a 05, observassem as respostas e escrevessem uma conclusão a

respeito. A turma inteira mostrava-se empenhada em resolver as tarefas,

conversando e discutindo internamente aos grupos.

Ao perceber que os grupos haviam terminado a resolução destas questões,

pedimos que um representante de cada grupo fosse até o quadro escrever sua

resposta.

Na comparação de Frações que possuem o mesmo denominador obtemos

100% de aproveitamento nas respostas dos estudantes, porém de três maneiras

diferentes. A maioria respondeu registrando a fração maior como observamos no

Quadro x acima. Os E14, E15 e E20 simbolizaram a Fração maior com o sinal de “+”

e a menor com o sinal de “-“ e os E17, E19 e E23 com os sinais > e <.

Quanto à conclusão dos estudantes sobre estas comparações temos que o

E15 não apresentou registro. O E12 registrou “temos que comparar os

denominadores”, o que consideramos parcialmente válido, visto que o participante

realizou corretamente a comparação das Frações, identificando a Fração maior,

dessa forma acreditamos que ele apenas confundiu o nome do termo a ser

comparado, trocando a palavra “numeradores” por “denominadores”.

Os registros dos estudantes estão dispostos no Quadro 85 a seguir:

QUADRO 85 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 01 A 05 DA SESSÃO DE ENSINO V


Consid

ere

o m

esm

o

inte

iro e

respon

da:

E1, E2, E3, E5, E7,

E9, E10, E11, E12,

E13, E18, E21 e

E22.

Válida

237



Escre

va u

ma c

onclu

sã

o

E1, E2, E3, E5, E7,

E9, E10, E11, E13,

E14, E17, E18,

E19, E20, E21, E22

e E23.

Válida

E12 Parcialmente

Válida

Sem registro E15 Sem registro


Os demais estudantes responderam como esperávamos, expressando que

para compararmos duas ou mais frações de um mesmo inteiro, cujos

denominadores são iguais, basta compararmos seus numeradores.

No momento desta formalização, às 08h15min, o primeiro horário de aula

terminou. Pausamos nossa atividade, pois o segundo horário era de outra disciplina

e retornamos às 09h05min.

Diante disso, partimos então para um segundo momento desta Sessão de

Ensino, que diz respeito à comparação de Frações com denominadores diferentes,

pedindo que os estudantes resolvessem as questões de 06 a 09 e escrevessem

uma conclusão a respeito.

Ao observarmos a turma, notamos que os participantes estavam bastante

concentrados, porém algumas dúvidas surgiam, pois agora as Frações não tinham o

mesmo denominador. Já tínhamos previsto estas dúvidas.

238

Para conduzir os estudantes a uma solução, fomos até o quadro e colocamos

a Fração 1

2 , que estava presente na questão 06. Realizamos o seguinte diálogo:

Pesquisadora: Esta Fração possui o mesmo denominador que 1

3 ?

Estudantes: Não. São diferentes.

Pesquisadora: Como são diferentes, não podemos usar a mesma regra que

para denominadores iguais. Mas como faremos, então?

E17: Se tivessem o mesmo denominador, dava.

E5: Se a gente achar o mesmo denominador pras duas, dá.

Pesquisadora: Ótimo! O que devemos fazer para igualar estes

denominadores?

Neste momento a turma ficou em silêncio e foi muito gratificante ver todos os

participantes concentrados, pensando em uma solução. Até que o E5 mostrou uma

possibilidade válida.

E5: Tia, se a gente multiplicar, que nem a equivalente, por um número que dê

o mesmo pro 3?

Pedimos então, que ele fosse até o quadro para explicar melhor e o registro

foi: 1𝑥3

2𝑥3=

3

6 .

Pesquisadora: Mas ainda não é o denominador 3. O que fazemos com isso?

E5: Agora é transformar o 3 em 6 também. Daí dá pra comparar que nem as

outras.

Pedimos que ele escrevesse no quadro o que estava falando. O registro foi

1𝑥2

3𝑥2=

2

6.

Pesquisadora: E, o que fazemos agora?

E5: Só olhar o numerador. Aqui 3 é maior que 2 então um meio vai ser maior

que um terço.

239

Nesse momento parabenizamos o aluno e seu grupo que o ajudou no

desenvolvimento desta conclusão. A turma ficou agitada e empolgada com a

descoberta. Solicitamos que respondessem as demais questões e escrevessem a

conclusão.

QUADRO 86 – REGISTROS DOS ALUNOS NAS QUESTÕES DE 06 A 09 DA SESSÃO DE ENSINO V


Consid

ere

o m

esm

o inte

iro e

respon

da:

E1, E2, E3, E5, E9,

E10, E17, E18, E19,

E20, E21, E22 e E23

Válida

E7, E11, E12 e E13 Parcialmente

Válida

E14 e E15 Parcialmente

Válida

Escre

va u

ma c

onclu

sã

o

Igualar os denominadores e comparar os numeradores

E1, E2, E3, E5, E9,

E11, E12, E13,

E14, E17, E18,

E19, E20, E21, E22

e E23

Válida

Comparar os denominadores

E10 Inválida

Sem registro E7 e E15 Sem registro


Os estudantes E7, E11, E12 e E13 acertaram algumas questões e erraram os

resultados de outras, sendo suas respostas parcialmente válidas.

240

Os registros de E14 e E15 nos fazem pensar que eles compreenderam que

deveriam encontrar Frações Equivalentes, mas se perderam nos cálculos, obtendo

respostas incompletas, portanto, consideramos respostas parcialmente válidas.

Quanto às conclusões, os E7 e E15 não realizaram registro e o E10 apenas

escreveu “comparar os denominadores”, respondendo de maneira inválida. Para os

demais participantes, as respostas foram registradas de maneira válida.

Para dar prosseguimento, fizemos a pergunta da questão 10: Quem é maior, 1

3

ou 1

2 ?

Os estudantes logo responderam 1

2 . Apenas um dos grupos, compostos pelos

E1, E3, E5, E15 e E17 responderam que dependia, perguntamos o porquê e a

resposta foi: “sempre usamos as peças do kit de Frações, mas se a gente usar ou

um meio e um terço de tamanho diferente não vai dar pra dizer.”.

Neste momento pedimos a atenção de todos e conversamos que para

realizarmos a comparação entre duas ou mais Frações devemos atentar ao inteiro

considerado, pois se considerarmos inteiros diferentes, 1

3 pode ser maior que

1

2.

Para que os estudantes percebessem essa ponderação, solicitamos que

respondessem as questões de 11 a 16 e preenchessem o quadro, que conseguiram

resolver as questões, porém na hora do preenchimento do quadro terminou nosso

horário de aula, às 10h50min.

PARTE II

No dia 18 de dezembro de 2017 demos continuidade à Sessão de Ensino V.

O horário previsto para o inicio de nossa aula neste dia era às 09h00min,

porém quando chegamos na turma os estudantes haviam trocado de sala a pedido

da professora da aula anterior. Esse movimento de voltar para a sala original,

demandou tempo para organizá-los e concentrá-los para darmos início ao nosso

trabalho.

Iniciamos relembrando os conceitos trabalhados no encontro anterior e

devolvendo os roteiros de atividade para cada um dos estudantes, orientando-os a

terminar o preenchimento do quadro com as respostas das questões de 11 a 16.

241

Como já haviam resolvido as questões na aula anterior, o preenchimento do

quadro foi bastante rápido. Os registros estão dispostos no Quadro 87 a seguir.

QUADRO 87 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA SESSÃO DE ENSINO V


E1, E2, E3, E4, E5,

E7, E8, E11, E12,

E13, E14, E16, E18,

E19, E20, E22, E23,

E24

Válida

E17

Inválida

(dados incorretos,

preenchimento

incompleto)


Após a socialização dos resultados, pedimos que continuassem a resolução

até a questão 19. Os estudantes demonstravam interesse em resolver, porém, às

09h45min, terminou nosso primeiro horário.

Para voltarmos a sala, aguardamos até o sinal sonoro, às 10h10min. Após a

volta do intervalo, aguardamos até que todos terminassem a resolução e corrigimos

junto com estudantes todas as questões restantes. Neste momento, os estudantes

respondiam verbalmente às questões de maneira correta, formalizando a

comparação de Frações, com bastante atenção às explicações.

Após discutirmos essas conclusões, finalizamos esta Sessão de Ensino de

Comparação de fração às 10h55min.

O Quadro 88 traz os registros dos estudantes nas Questões 18 e 19:

242

QUADRO 88 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO DA SESSÃO DE ENSINO V

QUESTÃO/REGISTROS DOS ESTUDANTES ESTUDANTES VALIDADE

E1, E2, E3, E4, E5,

E7, E8, E11, E12,

E13, E14, E16, E17,

E18, E19, E20, E22,

E23, E24

Válida

E1

Inválida

(dados incorretos,

preenchimento

incompleto)

Sem registro E17, E18 Sem registro


3.9 Sessão de Ensino VI

No dia 20 de Dezembro de 2017 tivemos nosso 14º encontro com a turma de

nossa experimentação para realizar a Sexta Sessão de Ensino, referente à atividade

de Adição e Subtração de Frações com denominadores iguais, cujo objetivo era de

Levar o aluno a descobrir maneira de somar Frações com o mesmo denominador,

realizando a elaboração da regra a partir da resolução de problemas com o auxílio

do kit de Frações.

Os horários disponíveis para o nosso trabalho foram os primeiros, mas como

já citamos em outros momentos, só conseguimos iniciar por volta das 07h45min por

causa do atraso na entrada dos estudantes e a agitação com que chegam. Iniciamos

com uma conversa sobre o encontro anterior e pedimos que formassem grupos, que

diante dos 23 participantes presentes, ficaram com a seguinte configuração: 3

grupos de 4 alunos e 1 grupo de 5 alunos.

Para melhor exposição deste encontro, vamos dividi-lo em duas partes, a

primeira se refere à operação de Adição de Frações com o mesmo denominador e a

segunda à operação de Subtração de Frações com o mesmo denominador.

Parte I: Adição de Frações com o mesmo Denominador

Com os grupos organizados, distribuímos um roteiro de Atividade para cada

estudante, bem como um kit de Frações para cada grupo. Solicitamos que não

243

escrevessem nada, apenas prestassem atenção, pois íamos resolver a Questão

Inicial com o uso do kit de Frações para que eles tentassem resolver as questões de

01 a 03 da mesma maneira.

A Questão Inicial relava o seguinte problema: “Matilde repartiu um bolo em 8

pedaços. Ela comeu 1

8 e Rodolfo também comeu

1

8 do bolo. Que fração

representa a parte do bolo que Matilde e Rodolfo comeram juntos?”. Com o kit de

Frações em mãos, pegamos duas peças referentes a 1

8 e as aproximamos,

colocando uma do lado da outra, simbolizando a adição e respondendo à questão

inicial, 2

8.

Ao terminar a explicação, os grupos se reuniram bastante concentrados, e em

poucos minutos já nos chamavam para dizer que haviam acabado de responder as

questões. Observamos alguns alunos indo a outros grupos para ajudar.

Quando percebemos que haviam terminado, caminhamos de grupo em grupo

para verificar se de fato tinham resolvido todas as questões. De maneira

surpreendente, alguns estudantes não só tinham respondido às questões como já

haviam preenchido o quadro.

Os participantes não demonstraram dificuldades em resolver as questões e

nem no preenchimento do quadro, a qual está disponível os registros no quadro 89 a

seguir:

QUADRO 89 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DE ADIÇÃO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE

ENSINO VI


E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7,

E9, E11, E12, E13, E14, E15,

E16, E17, E18, E19, E20,

E21, E22, E23, E24 e E25.

Válida


244

A totalidade dos participantes presentes neste encontro responderam as questões

corretamente e preencheram a tabela também de forma correta, apresentando 100%

de Validade.

Dessa maneira, pedimos que os estudantes escrevessem uma conclusão que

descrevesse como devemos fazer para somar frações que possuem o mesmo

denominador. Os registros estão dispostos no quadro 90 a seguir:

QUADRO 90 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA ADIÇÃO NA SESSÃO DE

ENSINO VI


Devemos somar os numeradores e repetir os

denominadores

E1, E2, E3, E4, E5, E7, E9,

E11, E12, E13, E14, E15,

E16, E17, E18, E19, E20,

E21, E22, E23, E24 e E25.

Válida

Somar os numeradores, coloca os denominadores e

repete os denominadores

E6 Válida


No momento da escrita da conclusão, alguns alunos não compreenderam

muito bem o que havíamos pedido, solicitando que esclarecêssemos. Voltamos a

cada uma das questões e perguntamos o que tinham feito para encontrar aquele

resultado, depois fomos até a tabela preenchida e pedimos que observassem o que

acontecia com as frações quando realizamos a adição. Antes que terminássemos de

explicar, os estudantes já sinalizavam ter entendido.

Para a elaboração da conclusão desta atividade, consideramos que a maioria

dos estudantes registrou de maneira correta e também montou a fórmula

corretamente, apenas a E6 escreveu sua conclusão de maneira confusa, mas dentro

de uma coerência com o que havíamos esperado, portanto, válida.

Seguimos então para a Segunda parte desta Sessão de Ensino.

245

Parte II: Subtração de Frações com o mesmo Denominador

Com os mesmos grupos, pedimos que atentassem ao que íamos explicar.

Com as peças referentes a 1

6 resolvemos, de maneira semelhante como fizemos a

Adição, a Questão Inicial de Subtração, que relava o seguinte problema: “ Dona

Benta repartiu uma torta e deu 4

6 para seus sobrinhos Felipe e Tiago. Felipe ganhou

1

6 da torta. Que fração da torta Tiago ganhou?”. Com as peças do kit de Frações em

mãos, pegamos quatro peças referentes a 1

6 , montando assim,

4

6 e, destas, separei

uma peça, representando a subtração de 1

6 . Dessa maneira, ficaram apenas 3

peças do kit, ou seja, 3

6, respondendo à questão inicial.

Antes mesmo de terminar a explicação, os grupos já conversavam entre si e

alguns estudantes já iniciavam a resolução das questões de 04 a 06. Em poucos

minutos já nos chamavam para dizer que haviam acabado de responder as questões

e preencher o quadro.

QUADRO 91 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DE SUBTRAÇÃO DA

SESSÃO DE ENSINO VI


E1, E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E9, E11, E12, E13,

E14, E15, E16, E17,

E18, E19, E20, E21,

E22, E23, E24 e E25.

Válida


Todos os participantes presentes neste encontro responderam as questões

corretamente e preencheram a tabela também de forma correta, apresentando 100%

de Validade também na segunda parte.

246


descrevesse como devemos fazer para subtrair frações que possuem o mesmo

denominador. Os registros estão dispostos no quadro 92 a seguir:

QUADRO 92 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA SUBTRAÇÃO NA SESSÃO

DE ENSINO VI


E1, E2, E3, E4, E6, E7,

E9, E11, E12, E13, E14,

E15, E16, E17, E18,

E19, E20, E21, E22,

E23, E24 e E25.

Válida

E5


(Não apresentou

conclusão, porém a

regra está correta)


Os estudantes realizaram a escrita da conclusão com muita facilidade, com

entusiasmo, demonstrando compreensão da Atividade e quanto à regra, todos os

estudantes conseguiram escrever sem dificuldade, concluindo esta atividade

alcançando o objetivo com êxito.

Um fato importante que foi observado é que os estudantes fizeram as

questões de subtração sem ajuda do kit de Frações, mesmo estando autorizados a

utilizar.

Esta sessão foi finalizada às 09h00min.

3.10 Sessão De Ensino VIII

A Oitava Sessão de Ensino estava programada para acontecer no dia

21/12/17, nos dois últimos horários, conforme o professor de matemática da turma

havia disponibilizado. Já estávamos na escola aguardando o horário, porém, por

conta do período de avaliações da escola, uma professora de outra disciplina da

247

turma utilizou os horários para ministrar aula de revisão, o que nos privou de realizar

nosso experimento neste dia, tivemos então de reorganizar nosso planejamento.

Em conversa com o professor de Matemática da turma, fomos informados dos

conteúdos que iriam estar presentes na Prova que seria instrumento de Avaliação da

turma, não estando entre eles as operações de adição e subtração de Frações com

denominadores diferentes (correspondente a Sessão de Ensino VII), por isso

optamos em adiar a Atividade deste conteúdo e antecipar a Sessão de Ensino

referente à Multiplicação de Frações, conteúdo que seria contemplado na prova e

que ainda não havíamos trabalhado.

A Oitava Sessão de Ensino foi realizada no dia 22 de Dezembro de 2017 e

estavam presentes 23 estudantes, o objetivo para esta Atividade era levar o aluno a

descobrir maneira de Multiplicar Frações, realizando a elaboração da regra a partir

da resolução de problemas. Por volta das 7h25min da manhã, chegamos à escola,

pois o professor de Matemática da turma solicitou que ajudássemos a aplicar as

provas referentes à quarta avaliação da escola, e assim, por volta das 09h10min,

com a finalização da prova pelos alunos, entregamos as orientações para o Trabalho

de Matemática (instrumento de avaliação parcial), conforme havíamos combinado

com o referido professor.

Ao entregarem as provas os estudantes ficavam aguardando no lado de fora

da sala de aula, por isso tivemos de chama-los e reorganizá-los para dar início a

atividade, os quais mostravam-se chateados pois os alunos das demais turmas

haviam sido liberados após a prova.

Após organizá-los, conversamos sobre a importância daquela atividade para

um bom desempenho na Avaliação escolar, que seria uma semana depois, então às

09h20min iniciamos a distribuição dos roteiros e papéis para a realização da

Atividade.

Enquanto os estudantes observavam, íamos explicando através da dobradura

do papel como poderíamos resolver a questão Inicial do roteiro da Atividade. Ao

terminar a resolução, pedimos que os participantes, utilizando o exemplo da

dobradura do papel, resolvessem as questões de 01 a 06 e posteriormente

completassem o quadro que ficava abaixo das questões no roteiro.

Todos os alunos observaram a explicação com bastante atenção e

perguntavam se já podiam fazer, acreditamos que por estar ansiosos por fazer a

dobradura. Algumas interferências externas como outros alunos que ficavam

248

curiosos em saber o que a turma estava fazendo, ou até mesmo funcionários que

vinham perguntar a todo momento porque a turma não havia sido liberada com as

demais, nos atrapalharam e distraiam alguns alunos.

A turma aceitou positivamente a atividade, observamos que haviam

estudantes, como E7 que fizeram apenas a primeira questão com a dobradura e

começaram a resolver as demais sem fazer o uso desta, compreendendo o

raciocínio necessário para a resolução daqueles tipos de questões.

Para os estudantes resolverem com calma as questões, observamos e

aguardamos até que a maioria solucionasse a terceira questão para intervir e

perguntar se havia alguma dúvida, e em coro responderam que era fácil, que

bastava “multiplicar tudo”. Na ocasião, pedimos que parassem a resolução e

prestassem atenção, então pedimos que explicassem como se dava essa

multiplicação.

Neste momento o estudante E5 foi até o quadro, escreveu as frações da

primeira questão e disse: “multiplica os de cima e depois os de baixo”. Perguntamos

então qual era o nome de “os de cima”, e todos responderam: “numeradores e os de

baixo denominadores”.

Então, para tornar mais objetiva a construção do raciocínio, perguntamos de

que maneira resolveríamos aquelas questões, os estudantes responderam

“multiplica numerador com numerador e denominador com denominador”.

Gesticulando positivamente, pedimos que terminassem as demais questões.

De maneira muito rápida todos iam resolvendo as questões e preenchendo o

quadro, apenas o estudante E18 recusava-se em fazer ou responder qualquer coisa,

chegando a jogar o roteiro da atividade no chão, tentamos dialogar e ele não nos

respondia nada, apenas que queria ir embora.

Depois de preencherem o quadro sem apresentar dificuldade, pedimos a 6

alunos irem até o quadro apresentar suas respostas. Estes momentos foram

bastante rápidos, pois os estudantes não pareciam ter dúvidas do que respondiam.

A maioria dos estudantes (19 de 23) preencheu a tabela de maneira correta,

compreendendo que a operação utilizada era a multiplicação de Frações. Podemos

notar que três alunos que reclamaram pela aula e diziam estar com pressa de ir

embora da escola, preencheram o quadro de maneira incompleta e não registraram

o nome da operação realizada, porém há o registro dos cálculos realizados nas

questões, todos corretos, por esse motivo consideramos suas respostas

249

parcialmente válidas. O estudante E18, como já citamos, se recusou em realizar as

tarefas, não realizando registro algum no roteiro da Atividade.

Esta atividade de preencher esta tabela teve como objetivo descobrir uma

relação entre os termos das frações e seu produto. Após a socialização do

preenchimento do quadro com as respostas das questões, pedimos aos alunos para

escreverem o que eles haviam feito para resolver as questões, e mesmo sem pedir

que falassem alguns disseram: “multiplicar os termos”, dissemos então que tinham

condições de oferecer uma resposta mais completar.

A seguir o quadro 93 apresenta os registros do roteiro da Atividade:

QUADRO 93 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE ENSINO VIII


E1, E2, E3, E4, E5, E6,

E7, E8, E10, E11, E12,

E13, E16, E17, E19,

E21, E22, E23 e E25

Válida

E9, E14 e E20 Parcialmente

Válida


registro


Na ocasião, um dos alunos pediu para ir até o quadro colocar sua opinião, e

escreveu “devemos multiplicar seus denominadores”. A turma disse que estava

errado, então pedimos que alguém viesse até o quadro para corrigir, caso estivesse

250

errado. A estudante E1 foi até o quadro e escreveu: “multiplicar os termos,

numerador com numerador e denominador com denominador!”.

Dessa forma, solicitamos que cada um escrevesse em seu roteiro uma

conclusão com suas próprias palavras, bem como tentassem montar uma fórmula

que generalizasse qualquer multiplicação de Frações.

Os registros dos alunos estão dispostos no quadro 94 a seguir:

QUADRO 94 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA SESSÃO DE ENSINO VIII


E1, E2, E3, E4, E6, E7, E11,

E12, E13, E14, E17, E21, E22,

E23 e E25

Válida

E5, E9, E16 e E19.

Parcialmente

Válida

(Conclusão

incompleta,

Fórmula Correta)

E8 e E20

Inválida

(Conclusão

Incompleta,

Fórmula

Incorreta)

Não houve registro E10 e E18 Não houve

registro


Na elaboração da regra houve bastante discussão entre os alunos,

precisando nossa intervenção. Então, o estudante E5 pediu para ir ao quadro

escrever a regra. Ao registrar de maneira correta foi aplaudido pela turma, o que nos

gerou satisfação.

Assim, recolhemos os roteiros e finalizamos a Atividade às 10h10min.

251

3.11 Sessão De Ensino IX

No dia 26 de dezembro realizamos nossa Sessão de Ensino IX referente ao

conteúdo de Divisão de Frações, cujo objetivo era levar o aluno a descobrir maneira

de Dividir Frações, realizando a elaboração da regra a partir da resolução de

problemas. Chegamos ao lócus por volta das 07h25min e aguardamos o sinal

sonoro para nos dirigirmos até a sala de aula.

Iniciamos nosso 16º encontro com uma conversa sobre o que já havíamos

estudado até então, comentando todas as Atividades que já tínhamos realizado e

percebemos que os estudantes respondiam com interesse e atenção.

Este era o último conteúdo que os participantes iriam estudar antes de passar

pela prova de quarta avaliação, por isso pedimos que doassem o máximo de

atenção para aquele encontro.

Neste dia estavam presentes 20 estudantes, que foram divididos em quatro

grupos de cinco alunos para que pudéssemos ter um controle maior da turma

enquanto desenvolvíamos a atividade. Após organizá-los, iniciamos a distribuição

dos roteiros e papéis para a realização da Atividade.

Enquanto os estudantes observavam, íamos explicando através da dobradura

do papel como poderíamos resolver a questão Inicial do roteiro da Atividade. Ao

terminar a resolução, pedimos que os participantes, utilizando o exemplo da

dobradura do papel, resolvessem as questões de 01 a 03 e posteriormente

completassem o quadro que ficava abaixo das questões no roteiro.

Os estudantes observaram a explicação com bastante atenção, porém

declararam que sentiam dificuldade em fazer a tabuada de dividir. A turma aceitou

positivamente a atividade e demonstraram interesse em resolver as questões.

Para os estudantes resolverem com calma as questões, observamos e

aguardamos até que a maioria solucionasse a primeira questão para perguntar se

havia alguma dúvida, a resposta foi de que era “fácil contar os quadradinhos do

papel”.

De maneira muito rápida todos iam resolvendo as questões e preenchendo o

quadro, pedimos então que um aluno de cada grupo fosse até o quadro apresentar

suas respostas. Estes momentos foram bastante rápidos, pois os estudantes não

pareciam ter dúvidas do que respondiam.

252

Toda a turma conseguiu preencher o quadro de maneira correta,

compreendendo que a operação utilizada era a Divisão de Frações. Esta atividade

de preencher esta tabela teve como objetivo descobrir uma relação entre os termos

das frações e seu quociente. Após a socialização do preenchimento do quadro com

as respostas das questões, pedimos aos alunos para escreverem o que eles haviam

feito para resolver as questões, e mesmo sem pedir que falassem alguns disseram:

“multiplicar os termos”, dissemos então que precisávamos resolver as três questões

do bloco dois para elaborarmos uma resposta mais completa.

A seguir o quadro 95 apresenta os registros do roteiro da Atividade:

QUADRO 95 – REGISTROS DOS ALUNOS NO PRIMEIRO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE

ENSINO IX


E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8,

E9, E11, E12, E13, E14, E15,

E17, E19, E21, E22, E23, E24

Válida


Dessa forma, solicitamos que resolvessem as questões e preenchessem o

Quadro II para então começarmos a elaborar uma conclusão sobre a operação de

divisão de Frações.

Os registros dos alunos estão dispostos no quadro 96 a seguir:

253

QUADRO 96 – REGISTROS DOS ALUNOS NO SEGUNDO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE

ENSINO IX


E1, E3, E4, E5, E6, E7, E8,

E9, E11, E12, E13, E14, E15,

E17, E19, E21, E22, E23, E24

Válida



Sem qualquer dificuldade, os estudantes preencheram de maneira satisfatória

o segundo quadro, apenas o E2 não realizou o registro, porém resolveu duas das

três questões deste segundo bloco.

Um dos participantes achou estranhos os resultados encontrados e perguntou

“Como pode o denominador dessas frações ser menor que o numerador?”. Então,

aproveitamos para conversar sobre os tipos de Frações, explicamos sobre Frações

Próprias e Impróprias, oferecendo exemplos no quadro.

Os estudantes também notaram que, diferente do primeiro quadro, agora o

resultado da divisão havia dado uma terceira Fração. Perguntamos então se o

resultado da divisão de Frações sempre dá uma outra Fração.

A turma ficou em silencio e percebemos que cada grupo discutia entre si

antes de verbalizar uma resposta. Pedimos então que resolvessem as questões do

Bloco três, preenchessem o quadro para que pudéssemos chegar a uma conclusão.

Para os registros do quadro do bloco três, temos o Quadro 97 a seguir:

QUADRO 97 – REGISTROS DOS ALUNOS NO TERCEIRO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE

ENSINO IX


E1, E2, E4, E5, E7, E8, E9,

E11, E12, E13, E14, E15,

E17, E21, E22, E24

Válida

254

E3, E6, E19 e E23


(Dados preenchidos

de maneira

incompleta, cálculo

parcialmente

correto)


A turma respondeu facilmente às questões e preencheu rapidamente o

quadro do terceiro bloco de questões sobre divisão. Ao final, um dos estudantes

levantou a mão e disse “deu fração de novo”.

Após a finalização da resolução por todos os grupos, pedimos que cada um

dissesse sua resposta e o porquê daquele resultado. Dessa maneira, sem

demonstrar dificuldade, os estudantes iam falando corretamente as respostas. No

entanto, um dos grupos (E3, E6, E19 e E23), erraram o cálculo da última questão,

porém, mesmo antes que pudéssemos explicar, os próprios detectaram o erro e

falaram a resposta de maneira correta.

Logo após essa socialização, pedimos que os participantes observassem o

preenchimento dos três quadros e elaborassem uma conclusão e uma fórmula que

sintetizasse a operação de divisão de Frações.

Para os registros da conclusão e regra da divisão de Frações, temos o Quadro 98 a

seguir:

QUADRO 98 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E REGRA DA SESSÃO DE ENSINO IX


E1, E3, E4, E7, E8, E9,

E11, E12, E13, E15, E17,

E19, E21, E22 e E23.

Válida

255

E2, E5, E6, E14 e E24

Parcialmente

Válida (apresentou

apenas fórmula)


Para finalizar este encontro, socializamos a conclusão e a regra de cada

grupo. Alguns participantes disseram estar cansados e não preencheram

corretamente o roteiro, deixando a conclusão ou a regra em branco, como podemos

perceber com o Quadro 98 acima.

Neste momento a turma demonstrou ter apreendido o procedimento para

realizar a divisão de frações e conseguiu elaborar uma regra para tal operação,

alcançando o objetivo desta Sessão de ensino, finalizando com êxito mais um

encontro, às 10h00min.

3.12 O 17º Encontro

No dia 28 de dezembro de 2017 realizamos o nosso 17º encontro com a

nossa turma de Experimentação. Não denominamos este Encontro de Sessão de

Ensino, pois o objetivo deste dia era, na realidade, proporcionar aos estudantes uma

visão geral de todos os conteúdos que havíamos trabalhado até então, já que a

prova de 4ª avaliação seria aplicada no dia seguinte.

Em conversa com o Professor de Matemática da disciplina, coletamos

informações a respeito dos conteúdos presentes na prova e, juntamente com este,

fizemos uma aula expositiva de 45 minutos para explorar possíveis questões que

estariam presentes no instrumento de Avaliação.

Nossa aula iniciou às 10h00min e finalizou às 10h45min.

3.13 Sessão De Ensino VII

No dia 04 de Janeiro de 2018 realizamos nossa Sessão de Ensino VII alusiva

ao conteúdo de Adição e Subtração de Frações com denominadores diferentes, cujo

objetivo era levar o aluno a descobrir maneira de Somar e Subtrair Frações com

denominadores diferentes, realizando a elaboração da regra a partir da resolução de

256

problemas. Chegamos ao lócus por volta das 07h20min e aguardamos o sinal

sonoro para nos dirigirmos até a sala de aula.

Para este dia realizamos três momentos da nossa Experimentação: o primeiro

momento, das 07h30min às 08h40min, foi referente à Sessão de Ensino VII; o

segundo diz respeito à aplicação do Pós-teste, das 08h45min às 09h45min e; o

terceiro foi um diálogo seguido de lanche com os estudantes.

Iniciamos nosso 18º encontro com uma conversa sobre o que já havíamos

aprendido até então. Para isso, comentamos todas as Atividades que já tínhamos

realizado e percebemos que os estudantes respondiam com interesse e atenção,

mas ainda apresentavam erros de cálculo (tabuada) nas operações de multiplicação

e divisão. Aproveitamos também para conversar sobre como tinha sido a prova dos

alunos, pois havia sido no dia anterior.

Neste dia estavam presentes somente 15 estudantes, possivelmente porque

as provas e aulas das demais disciplinas já haviam encerrado, a turma estava de

férias e os mesmos foram apenas por conta da nossa Experimentação.

O objetivo deste encontro foi institucionalizar as regras gerais das operações

de adição subtração de frações com denominadores diferentes.

Para melhor exposição deste encontro, vamos dividi-lo em duas partes, a

primeira se refere à Adição de Frações com denominadores diferentes e a segunda

à Subtração de Frações com denominadores diferentes.

Parte I: Adição de Frações com Denominadores diferentes

Para a realização do trabalho, dividimos a turma em quatro grupos (três de

quatro estudantes e um trio) e, por volta das 07h45min, distribuímos os roteiros da

Atividade e folhas de papel A4 para cada dos participantes. Neste momento pedimos

que os estudantes não resolvessem ainda e que aguardassem a explicação da

questão inicial.

Com o uso de dobraduras, obtivemos um meio de um inteiro e posteriormente

um terço deste mesmo inteiro, pois a questão inicial solicitava: “Numa fazenda em

Castanhal, 1

2 da área total foi destinada a plantação de milho, enquanto

1

3 da área

total foi destinada ao cultivo de frutas diversas. Qual é a Fração da área total da

fazenda que está ocupada com a cultura de milho e frutas?”.

257

Para solucionar, mostramos a dobradura que após a obtenção de 12 e

1

3 ,

percebemos que o todo ficou divido em sextos. Assim, juntando a parte que

correspondia a1

2 e a

1

3 , obtínhamos

5

6.

Dessa forma, solicitamos que os estudantes tentassem resolver as questões

de 01 a 04 do roteiro e preenchessem o quadro com as respostas obtidas.

Os participantes demonstravam muita concentração e conversavam com os

colegas do grupo para tentar solucionar as questões. Alguns sentiam dificuldade em

fazer a dobradura no papel e solicitavam nossa ajuda.

Enquanto caminhávamos de grupo em grupo para observar a forma como

estavam resolvendo, dois grupos, sem qualquer auxilio, conseguiram terminar as

questões e pediram para verificar as respostas.

Surpresos com a situação, pedimos que estes grupos aguardassem um

pouco para que os demais pudessem terminar, o que também não demorou muito

tempo. Solicitamos um representante de cada grupo para que fosse até o quadro

expor sua resposta e modo de resolução.

As equipes foram ao quadro e responderam as questões facilmente e

explicando os procedimentos que haviam utilizado para a resolução. Apenas na

quarta questão houve um pouco de dificuldade na dobradura do papel e não

conseguiram chegar a um resultado para apresentar.

Com o uso da dobradura explicamos a quarta questão e pedimos que

registrassem os resultados no quadro do roteiro, os quais estão dispostos a seguir:

QUADRO 99 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DA SESSÃO DE ENSINO VII


E1, E3, E4, E5, E6, E7, E8,

E9, E10, E11, E12, E14,

E15, E16 e E19.

Válida


258

A totalidade dos participantes presentes neste encontro responderam as

questões corretamente e preencheram o quadro também de forma correta,

apresentando 100% de Validade.

Então, pedimos que os estudantes escrevessem uma conclusão que

descrevesse como devemos fazer para somar frações que possuem denominadores

diferentes. Os registros estão dispostos no quadro 100 a seguir:

QUADRO 100 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA ADIÇÃO NA SESSÃO

DE ENSINO VII



E1, E3, E4, E5, E6, E8,

E9, E14, E15 e E19.

Parcialmente

Válida (Conclusão

parcialmente

correta, sem

registro da

Fórmula)

Sem registro E10 e E12 Sem registro


No momento da escrita da conclusão, alguns alunos não conseguiram

escrever como realizaram os cálculos para a soma de Frações com denominadores

diferentes, apenas três participantes realizaram a conclusão de maneira válida.

Em virtude desta dificuldade, voltamos na resolução de cada uma destas

questões no quadro e perguntamos o que tinham feito para encontrar aquele

resultado, depois fomos até a tabela preenchida e pedimos que observassem o que

acontecia com as frações quando realizamos a adição, o que ou que operação

devíamos fazer para obter o numerador da Fração do resultado, etc.

Para a elaboração da conclusão desta atividade, consideramos parcialmente

válida aqueles que registraram a conclusão, porém não registraram a fórmula,

enquadrando 10 estudantes nesta situação.

259

Como os estudantes sentiram muita dificuldade em elaborar a Fórmula que

generaliza a adição de frações com denominadores diferentes, precisamos ir ao

quadro para explica-la e registrá-la para os participantes.

Após isso, oferecemos um exemplo para que pudessem visualizar a aplicação

da regra. Assim, demonstraram ter compreendido. Seguimos então para a Segunda

parte desta Sessão de Ensino.

Parte II: Subtração de Frações com Denominadores diferentes

Na primeira parte desta atividade, observamos que um dos grupos não estava

fazendo as tarefas, decidimos então diluí-lo nos demais grupos, ficando assim

apenas 3 grupos de 5 participantes cada um. Pedimos que atentassem ao que

íamos explicar. Novamente com a dobradura, de maneira semelhante como fizemos

a Adição, a Questão Inicial de Subtração, que relava o seguinte problema: “ De uma

caixa de bombons, foi distribuído 1

2 dos bombons para Luiz Carlos e Fabiana. Luiz

Carlos Ficou com 1

4 .Com que fração da caixa de bombons Fabiana ficou?

Com a dobradura obtivemos primeiro 1

2 , e depois

1

4 . Dessa maneira,

retiramos as partes que se referiam a 1

4, restando

2

8 respondendo à questão inicial.

Neste momento a turma estava em silencio e concentrada em responder as

questões de 01 a 04 de Subtração. Aguardamos até que as equipes sinalizaram o

término.

Para a socialização das respostas chamamos cada grupo para responder

uma pergunta no quadro, dessa forma poderíamos discutir caso houvesse respostas

diferentes.

A primeira equipe resolveu a primeira questão. É importante destacar que os

estudantes, mesmo com o uso autorizado, não utilizaram a dobradura no papel, já

resolveram montando o cálculo e realizando as operações, ou seja, utilizando a

regra da soma como referencia, “mudando a penas o sinal”, como justificativa dos

mesmos.

Desta mesma maneira aconteceu com a segunda e a terceira equipe. Os

estudantes mostravam-se bem felizes em conseguir resolver as questões de

maneira correta. Na quarta questão, resolvemos junto aos alunos no quadro,

260

fazendo as perguntas como; “quais são os termos?”, “qual operação devo usar?”,

“Como devo realizar o cálculo?”, etc, respondidas com interesse pelos estudantes.

Finalizadas as questões, pedimos que completassem o quadro do roteiro de

atividade, do qual os registros estão dispostos no quadro a seguir:

QUADRO 101 – REGISTROS DOS ALUNOS NO QUADRO DA ATIVIDADE DE SUBTRAÇÃO DA

SESSÃO DE ENSINO VII


E3, E4, E5, E6, E7,

E8, E9, E10, E11,

E12, E14, E15, E16

e E19.

Válida

E1 Inválida


A maioria dos participantes respondeu corretamente as questões e preencheu

o quadro de maneira correta, apenas a E1 respondeu corretamente as questões,

porém não preencheu o quadro de maneira satisfatória, invalidando seus resultados.


descrevesse como devemos fazer para subtrair frações que possuem

denominadores diferentes. Os registros estão dispostos no Quadro 102 a seguir:

261

QUADRO 102 – REGISTROS DOS ALUNOS NA CONCLUSÃO E NA REGRA DA SUBTRAÇÃO NA

SESSÃO DE ENSINO VII


E6,E8, E9, E11, E14, E16 e E19. Parcialmente

Válida

Sem registro E3, E4, E5, E7, E10, E12 e E15 Sem registro


Os estudantes não conseguiram realizar a escrita da conclusão. Até

conseguiam verbalizar os procedimentos que faziam para somar frações com

denominadores diferentes, mas não escrever. Propomos então uma retomada das

questões, e íamos perguntando quais os termos, qual operação e como resolvíamos

cada questão, os estudantes respondiam corretamente, porém no momento da

escrita não conseguiam finalizar.

Para colaborar, escrevemos a regra no quadro e realizamos a leitura coletiva,

bem como apresentamos um exemplo para facilitar a compreensão dos alunos.

Quanto à Fórmula, aqueles que registraram, a fizeram de maneira correta e válida.

Neste momento, às 08h40min, finalizamos a Sétima Sessão de Ensino.

Neste mesmo dia, aplicamos o pós-teste, com o intuito de verificar como os

alunos resolveriam questões sobre Frações depois da aplicação de nossa sequência

de atividades sobre o assunto.

Os estudantes resolveram o teste em 60 minutos, finalizando por volta das

09h50min.

Como forma de agradecimento à acolhida e empenho dos estudantes em

nossos dias da experimentação, oferecemos um lanche coletivo (pizza, a pedido

deles) com a turma, equipe de pesquisa e professor de Matemática da disciplina. Em

clima de confraternização desejamos sucesso e perseverança a todos e fomos

presenteados com palmas e o reconhecimento de termos realizado um trabalho tão

prazeroso que expressões do tipo “foi muito bom, professora!”, “Eu aprendi muito,

errando e aprendendo a acertar!”, “Agora não tenho vergonha de falar como eu acho

que se resolve uma conta”, “agora eu gosto de resolver problemas”.

262

Após o lanche, os participantes se despediram com abraços e

agradecimentos.

Os resultados do pós teste serão detalhados na seção de Análise a Posteriori

e Validação que trataremos na sessão seguinte.

3.14 Considerações Sobre O Experimento

Nossa experimentação aconteceu em 18 encontros, desde Novembro de

2017 a Janeiro de 2018, ou seja, durando mais de um mês a nossa presença na

escola. Neste período desenvolvemos as atividades que estavam previamente

planejadas e também atividades adequando-se às necessidades dos estudantes e

da instituição, sempre com um apoio ímpar do Professor de Matemática da turma, da

coordenação e direção da escola.

Esta vivência proporcionou experiências valiosas tanto para nós,

pesquisadores, quanto para os estudantes, visto que evidenciaram uma satisfatória

evolução na participação das aulas, na capacidade de observar, de fazer

inferências, na elaboração de respostas, na organização das ideias e capacidade de

escrita, e em destaque na habilidade em resolver problemas matemáticos

envolvendo Frações.

Ao final, pudemos ser agraciados com a demonstração afeto de afeto dos

alunos, mostrando que além de um trabalho didático-metodológico, desenvolvemos

um trabalho humano e sensível. Fomos parte do todo do aprendizado.

Em relação à escola, fomos convidados a participar da confraternização dos

professores na justificativa de termos feito um importante trabalho com nossos

alunos, o que indica um reconhecimento do nosso comprometimento e seriedade

com o que nos propomos fazer.

No momento, em conversa informal com o Professor da turma, tomamos

ciência de que a turma de nosso experimento obteve um rendimento de destaque na

ultima avaliação realizada na escola e que, estes resultados, foram decisivos na

aprovação dos alunos.

A contribuição do professor de Matemática da Turma com a nossa proposta

foi de extrema importância para alcançarmos tais resultados, o qual organizou seu

planejamento anual de forma que a turma com um período disponível somente para

263

a realização da nossa pesquisa, bem como sempre estava disponível para qualquer

solicitação e nos informando das mudanças de horário e atividades da escola.

Com relação às dificuldades encontradas no andamento das nossas Sessões

de Ensino podemos destacar, no que concerne à estrutura, as condições físicas da

escola, que dificultam a concentração dos alunos e facilitam a distração, bem como

as interrupções (sem aviso prévio) para dar informes à turma, pegar material nas

salas, etc. Em relação aos alunos, sobressai-se o mal comportamento, que chega à

agressividade entre eles; as dificuldades nas operações fundamentais, problemas na

leitura e interpretação textual, etc.

No decorrer do nosso trabalho tentamos, dentro das nossas possiblidades,

amenizar ou superar algumas dessas dificuldades. Porém, acreditamos que seja

necessário uma trabalho maior e de toda equipe escolar para avançarmos e

melhorarmos o desempenho destes estudantes.

A seguir apresentaremos a Seção referente à nossa Análise a posteriori e

Validação, trazendo as devidas análises dos dados obtidos a partir desta pesquisa,

os resultados dos testes, o confronto das Análises a priori e a posteriori.

Para a realização das Análises, faremos uso de análise comparativa

percentual, emprego de correlações e testes de hipóteses com o objetivo de gerar

conclusões acerca do nosso experimento.

264

4. ANÁLISES A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Esta seção tem por objetivo a apresentar os resultados obtidos na fase de

Experimentação, considerando o desempenho de cada participante do

desenvolvimento da Sequência de Atividades descrita na Seção anterior, além de

exibir os resultados das Análises a posteriori das atividades propostas.

O confronto entre a Análise a priori e a Análise a posteriori nos permitirão

realizar a Validação de nossa sequência, baseados nos resultados obtidos e nas

nossas hipóteses apresentadas anteriormente. As análises a posteriori, se apoiam

na produção dos alunos, com base no desempenho em sala de aula, no pré e no

pós-teste, que foram aplicados antes e depois da Experimentação.

Os registros dos alunos nos roteiros de atividade serão avaliados no que diz

respeito à superação de dificuldades, habilidade de criar estratégias de resolução de

problemas, de realizar cálculos matemáticos, de elaborar conclusões e regras com

uma linguagem matemática adequada, além de seus erros, bem como os

comentários feitos pelo observador em diário de campo, apoiarão nossas análises.

A participação dos estudantes foi estimada a partir das frequências

registradas em cada encontro, como ente importante para avaliação do desempenho

nos testes e nas atividades. A organização destas informações foi feita em forma de

quadros e gráficos, as quais facilitam a visualização e o tratamento estatístico destes

resultados.

Desta maneira, exibiremos os resultados dos testes com o intuito de ponderar

considerações acerca de nossa Sequência de Atividades e do desempenho dos

alunos em momentos avaliativos.

As análises prévias também foram retomadas, pois basearam nossas

Análises a priori e constituíram parte importante na construção de nossas

Atividades. Dessa forma, poderemos inferir sobre a evolução em relação ao estado

atual do ensino de Fração.

A validade e confiabilidade dos resultados expostos serão viabilizadas a partir

do uso de testes estatísticos, para verificarmos o alcance do objetivo do nosso

estudo, avaliando quais os efeitos da aplicação de uma sequência didática, diferente

da tradicional, para o Ensino de Frações, sobre alunos de uma turma de 6º ano do

265

Ensino Fundamental de uma Escola Pública de Belém, nas aulas de matemática e

sobre o desempenho de resolução de questões envolvendo este conteúdo.

4.1 Análises A Posteriori

A Análise a Posteriori e Validação, conforme Machado (2016, p. 246), “se

apóia sobre todos os dados colhidos durante a Experimentação constante das

observações realizadas durante cada sessão de ensino, bem como das produções

dos alunos em classe ou fora dela”. Dessa maneira, com o intuito de exibir os

resultados obtidos após a aplicação da nossa Sequência de Atividades, tomamos

mão das observações realizadas durantes os encontros, conforme descrito na seção

anterior, bem como dos registros dos alunos nos roteiros.

Inicialmente, faremos o confronto das nossas análises antes da aplicação de

nossa sequência, que chamamos de Análise a priori, e das que obtivemos após o

desenvolvimento das sessões de ensino, as Análises a posterior, pois “é da

confrontação das análises a priori e a posteriori que se validam ou se refutam as

hipóteses levantadas no início da engenharia”, de acordo com Machado (2016, p.

246).

Nossa intenção em realizar este confronto é de validar de nossa proposta ao

comparar o que estava previsto com o que, de fato, se efetivou durante nossa

experimentação.

Para isso, dispomos no Quadro a seguir, para cada uma das Atividades, sua

respectiva análise a priori, a análise a posteriori e se sua Validação.

O quadro 103 expõe este confronto em cada uma das atividades:

QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES (Continua)

ATIVIDADE EXCERTOS VALIDAÇÃO

Sessão de Ensino I – Conceito de

Fração Análise a priori

Esta atividade abordou o conceito de Fração, dando enfoque no significado parte-todo, utilizando material para que os alunos manipulassem e construíssem significado nas descobertas. Nossa expectativa era de que os alunos descobrissem o conceito a partir da manipulação de um inteiro, obtendo, a partir das orientações, diferentes frações deste inteiro. Com 20 tarefas, o tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.

POSITIVA

266

A manipulação do material representando um inteiro nas diversas situações mostrava-se um facilitador na visualização das mesmas e ofereciam direcionamentos para a formalização do Conceito de Frações.

QUADRO 103 – CONFRONTO ENTRE ANÁLISES A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES

(Continua)

Sessão de Ensino I – Conceito de

Fração

Análise a posteriori

Os estudantes não mostraram dificuldade na descoberta do conceito de Fração, apresentando 82,35% da conclusão do Conceito realizada de maneira Válida, com tempo estimado adequado, material utilizado favoreceu o desenvolvimento da Atividade.

POSITIVA

Sessão de Ensino II – Representação

de frações

Análise a priori

Esta atividade abordou o conteúdo de Representação de Fração, utilizando questões icônicas, questões com variáveis quantidades contínuas e discretas, assim como também traz aspectos históricos da evolução da notação de Fração. Acreditávamos que os alunos perceberiam e identificassem os termos da Fração a partir do desenvolvimento da atividade, ao relacionar a parte com o todo. Com 10 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos que esta atividade seria de nível fácil e que os alunos conseguiriam alcançar o objetivo de descobrir como se representa Fração.

POSITIVA


Os estudantes desenvolveram com facilidade as tarefas sobre representação de Fração, registrando de maneira correta seus termos, apresentando 72,73% de respostas válidas na conclusão da Atividade. Entretanto, o tempo utilizado para a realização desta sessão de ensino foi por volta de três horas/aula, extrapolando o tempo previsto na Análise a Priori.

Atividade de Aprofundamento

Análise a priori

Esta Atividade abordou o conceito e a representação de Fração e tinha o intuito de aprofundar os conhecimentos já estudados nas duas primeiras sessões de ensino, a partir da metodologia utilizada na “Prova Brasil”, para dar subsídios para a abordagem dos demais conteúdos referentes à Fração nas Sessões posteriores. Acreditávamos que os estudantes iriam desenvolver as tarefas com facilidade. Com 5 questões de múltipla escolha, estimamos 1 hora/aula para a sua realização.

POSITIVA


A atividade foi desenvolvida sem grandes dificuldades, alcançando um percentual de 72,5% de acerto nas tarefas,

267

com a argumentação verbal realizada de maneira coerente pelos estudantes no tempo adequado ao estimado a priori.


(Continua)

Sessão de Ensino III – Equivalência

de Frações

Análise a priori

Esta atividade abordou o tópico de Equivalência de Frações, nossa expectativa era de que os alunos descobrissem uma maneira de identificar e obter Frações equivalentes. Acreditamos que a utilização do kit de Fração e a sequencia com que as tarefas lhe eram apresentadas poderiam facilitar no momento da construção do conhecimento. Com 22 tarefas, estimamos um tempo de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos esta atividade de nível médio e que os alunos conseguiriam alcançar os objetivos esperados.

POSITIVA


Os estudantes, no geral, conseguiram desenvolver as tarefas desta atividade com facilidade, acompanhando o desenvolvimento do raciocínio das operações de multiplicação e divisão para obtenção de Frações equivalentes, finalizando com 57,14% dos registros das conclusões válidos e 42,86% sem registro no roteiro da Atividade, porém a totalidade da turma verbalizou o conceito e como se obtém uma Fração Equivalente. O tempo estimado não foi suficiente, sendo necessárias 5 horas/aula, porém o tempo real para o desenvolvimento desta sessão de ensino foi estimado em 3 horas/aulas, pois houveram várias interrupções causadas por motivos externos ao nosso trabalho, o que causou cansaço nos estudantes que, apesar de verbalizarem corretamente os conceitos, não estavam mais realizando os devidos registros.

Sessão de Ensino IV – Simplificação

de Frações Análise a priori

Esta atividade abordou o tópico Simplificação do conteúdo de Fração, utilizou material para que os alunos manipulassem e construíssem significado nas descobertas realizadas. Nossa expectativa era de que os alunos descobrissem o modo como se simplifica uma Fração através do manejo das Frações Equivalentes, que foram estudadas na atividade anterior. Com 14 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Avaliamos ser esta uma atividade de nível de dificuldade médio, pois os alunos deveriam apresentar conhecimentos prévios das operações de produto e divisão para realizar os cálculos necessários para o desenvolvimento da atividade. A disposição das

POSITIVA

268

tarefas mostrava-se como ponto facilitador, assim, acreditamos que os alunos alcançariam os objetivos esperados.


(Continua)

Sessão de Ensino IV – Simplificação

de Frações


Os estudantes, de maneira geral, conseguiram desenvolver as tarefas desta atividade, sentiram dificuldade no procedimento de cálculo a divisão para obter frações equivalente, alcançando 95% de validade na conclusão de como se simplifica Frações. O tempo estimado não foi suficiente, sendo necessárias 5 horas/aula, porém acreditamos que tempo real para o desenvolvimento desta sessão de ensino foi estimado em 3 horas/aula, pois houveram várias interrupções causadas por motivos externos ao nosso trabalho.

POSITIVA

Sessão de Ensino V – Comparação de

Frações

Análise a priori

Nesta atividade contemplamos o tópico de comparação de Frações, com o intuito de conduzir os estudantes a descobrir uma maneira de comparar frações quando: os denominadores são iguais e quando os denominadores são diferentes. Acreditamos que esta seria uma atividade de nível regular, pois os alunos poderiam encontrar dificuldade na compreensão de que a comparação frações é diferente da comparação de números naturais, mas a manipulação do kit de Frações mostra-se como facilitador. Apresentou 19 tarefas, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.

POSITIVA


O desenvolvimento desta atividade se deu de maneira tranquila, com os estudantes demonstrando facilidade e entusiasmo ao resolver as tarefas. O uso do material foi apenas inicial, pois os participantes abandonaram ao perceber um padrão regular na comparação de Frações. O horário de desenvolvimento extrapolou o tempo previsto inicialmente, necessitando de 5 horas/aula, porém, acreditamos que as interferências externas à nossa sequência podem reduzir a um tempo real de desenvolvimento de 3horas/aula. Como resultados, alcançando 89% de Validade nas conclusões a respeito da comparação de Frações com o mesmo denominador e 84% de validade nas conclusões sobre comparação de Frações com denominadores diferentes.

269

Sessão de Ensino VI – Adição e Subtração de Frações com

denominadores iguais

Análise a priori

Esta atividade abordou as operações de Adição e Subtração de Frações com o mesmo denominador, nossa expectativa era de que os alunos descobrissem uma maneira de somar e subtrair Frações com denominadores iguais, e assim, percebesse uma regra para efetuar estas operações. a operação de Adição neste caso.

POSITIVA


(Continua)

Sessão de Ensino VI – Adição e Subtração de Frações com

denominadores iguais

Análise a priori

Com 8 problemas, divididos em duas questões iniciais, a serem desenvolvidos om o uso do Kit de Frações estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento. Acreditamos que os alunos encontrariam os resultados esperados, pois a utilização do kit de Fração poderia facilitar no momento da soma, juntamente com o quadro que proporcionaria uma visão do padrão existente nos cálculos realizados e dos resultados obtidos, alcançando uma conclusão e uma regra para estas operações com frações.

POSITIVA


Os estudantes demonstraram facilidade e entusiasmo ao desenvolver esta Atividade, alcançando sem dificuldade a conclusão e uma regra para as operações de adição e subtração de Frações com mesmo denominador. O uso do material foi apenas inicial, pois os participantes abandonaram ao perceber a regularidade nos cálculos, facilitada no preenchimento dos quadros. Com o horário de desenvolvimento compatível com o estimado, alcançando 95,65% das conclusões válidas e elaboração da regra para tais operações de maneira válida.

POSITIVA

Sessão de Ensino VII – Adição e Subtração de Frações com

denominadores diferentes

Análise a priori

Nesta atividade abordamos as operações de Adição e Subtração de Frações com diferentes denominadores, nosso desejo era de que os alunos descobrissem uma maneira de realizar estas operações, percebendo que há uma regra para efetuá-las. Acreditamos que esta era uma atividade de nível regular, pois os alunos poderiam encontrar dificuldades, mesmo com a utilização do kit de Fração, na presença de denominadores diferentes poderiam gerar conflitos por não seguir a mesma regra de adição e subtração de Frações com denominadores iguais. Esta Sessão possuía 10 tarefas, divididas em duas questões iniciais e 8 propostas, para serem resolvidas com o auxilio do Kit de Frações. Com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.

POSITIVA


Os participantes conseguiram desenvolver esta Atividade com sucesso, alcançando sem dificuldade a conclusão e uma regra para as operações de adição e subtração de Frações com denominadores diferentes. O uso do material auxiliou a resolução das primeiras questões e abandonado no andamento das tarefas, pois os estudantes logo perceberam a regularidade nos cálculos e observações dos quadros. Com o tempo de desenvolvimento ajustado com o estimado, alcançando 86,67% das

270

conclusões válidas ou parcialmente válidas para elaboração da regra para a operação de Adição e, 46,67% das conclusões parcialmente válidas para elaboração da regra para a operação de Subtração. Apesar de, os estudantes não conseguirem realizar a escrita da conclusão, conseguiam verbalizar os procedimentos que faziam para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes.


(Continua)

Sessão de Ensino VIII - Multiplicação

de Frações

Análise a priori

Nesta atividade contemplamos a operação de Multiplicação de Frações com o intuito de conduzir os alunos a descobrirem uma maneira de realizar esta soma, percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a operação de Produto neste caso. Acreditávamos que esta seria uma atividade de nível regular, pois os alunos poderiam encontrar dificuldade na compreensão de que a ideia de multiplicação com frações é diferente da multiplicação com números naturais, ou seja, agora o resultado não significa, necessariamente, um aumento. Com 8 tarefas, correspondente a um quadro para preenchimento e 7 problemas divididos em uma questão inicial e 6 propostas, a serem desenvolvidas com o uso do Kit de Frações, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.

POSITIVA


Os estudantes não mostraram dificuldade na descoberta da regra e elaboração de uma conclusão para a operação de multiplicação de Frações, descobrindo uma maneira de realizar esta operação com o auxilio do kit de Frações, como era nossa pretensão. Observamos o registro de 82,61% das conclusões e construção da regra para esta operação de maneira válida ou parcialmente válida. O tempo estimado excedeu o tempo utilizado para o desenvolvimento desta Sessão, que foi de 50 minutos. O material utilizado favoreceu o desenvolvimento da Atividade.

Sessão de Ensino IX – Divisão de

Frações

Análise a priori

Nesta atividade trabalhamos a operação de Divisão de Frações com a intenção de que os alunos descubram uma maneira de realizar esta operação, percebendo e registrando que há uma regra para efetuar a Divisão neste caso. Acreditamos que esta seja uma atividade de nível difícil, pois os alunos poderão encontrar dificuldade mesmo com a utilização do kit de Fração, utilizando erroneamente, a mesma ideia de divisão de naturais, ou seja, de partição, chocando-se ao encontrar como resultado um número menor (ou maior) que aquele que ele dividiu. Com 10 tarefas, divididas em uma questão inicial e 9 questões propostas, a serem desenvolvidas com o auxilio do Kit de Frações, com tempo estimado de 2 horas-aula (90 minutos) para o seu desenvolvimento.

POSITIVA


Os participantes descobriram a regra e elaboraram uma conclusão para a operação de divisão de Frações,

271

descobrindo uma maneira de realizar esta operação com o auxilio do kit de Frações, como era nossa pretensão. Observamos o registro de 75% das conclusões e construção da regra para esta operação de maneira válida e 25% parcialmente válidas. O tempo de desenvolvimento foi compatível com o estimado para essa Sessão.


O Quadro 103 nos permite inferir que ocorreram semelhanças de nossas

Análises a priori e de nossas Análises a posteriori, visto que as previsões que

fizemos com base em nossas análises prévias, se realizaram no desenvolvimento de

nossa Experimentação.

4.2 Análises A Posteriori dos Testes Avaliativos

Neste momento, iremos expor os resultados dos testes com o objetivo de

fazer inferências sobre nossa Sequência de Atividades e do rendimento que esta

desenvolveu nos estudantes em momentos de avaliação.

A análise dos rendimentos será feita, primeiramente por questão e após por

aluno. O quadro 104 mostra, de forma percentual, os valores referentes ao

desempenho dos alunos em cada questão no pré-teste.

O pré-teste era composto por 12 questões, das quais as questões Q01 e Q02

referiam-se ao conceito e representação de Fração, levando em consideração o

significado parte-todo por meio da resolução de problemas; as questões Q03 e Q04

trabalhavam a comparação e equivalência de Frações; as Q05 e Q06 as operações

de Adição e Subtração de Frações de mesmo denominador; as questões Q07 e Q08

tratavam das operações de Adição e Subtração de Frações com denominadores

diferentes; as Q09 e Q10, da Multiplicação de Frações e, Q11 e Q12, da operação

de Divisão de Frações.

O quadro 104 a seguir, nos mostra a distribuição do desempenho dos

estudantes por questão no pré-teste:

Quadro 104 - Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste

QUESTÃO ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%) TOTAL

QUESTÃO 1 4,2% 95,8% 0,0% 100,0%

QUESTÃO 2 0,0% 100,0% 0,0% 100,0%

QUESTÃO 3 58,3% 41,7% 0,0% 100,0%

272

QUESTÃO 4 0,0% 95,8% 4,2% 100,0%

QUESTÃO 5 16,7% 79,2% 4,2% 100,0%

QUESTÃO 6 0,0% 95,8% 4,2% 100,0%

QUESTÃO 7 0,0% 100,0% 0,0% 100,0%

QUESTÃO 8 0,0% 100,0% 0,0% 100,0%

QUESTÃO 9 0,0% 91,7% 8,3% 100,0%

QUESTÃO 10 0,0% 87,5% 12,5% 100,0%

QUESTÃO 11 0,0% 87,5% 12,5% 100,0%

QUESTÃO 12 0,0% 95,8% 4,2% 100,0%


Gráfico 57 - Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste


0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00%

QUESTÃO 1

QUESTÃO 2

QUESTÃO 3

QUESTÃO 4

QUESTÃO 5

QUESTÃO 6

QUESTÃO 7

QUESTÃO 8

QUESTÃO 9

QUESTÃO 10

QUESTÃO 11

QUESTÃO 12

ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%)

273

As informações do Quadro 104 e do gráfico 58 nos apontam que na

realização do pré-teste houve alto índice de erro na resolução das questões por

partes dos estudantes, com exceção da questão 03, cujo índice de acerto foi de

58,3%. Assim, acreditamos que os estudantes possuem receio nas resoluções de

problemas matemáticos envolvendo os mais diversos conteúdos de Fração, com o

índice de erro acima de 75% para 11 de 12 questões.

A seguir, observamos os resultados do pós-teste realizado após aplicação de

nossa sequência didática, no quadro 105 e gráfico 58, que expõe estas informações.

Quadro 105: Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste

QUESTÃO ACERTO (%) ERRO (%) EM BRANCO (%)

QUESTÃO 1 66,7% 33,3% 0,0%

QUESTÃO 2 73,3% 26,7% 0,0%

QUESTÃO 3 86,7% 13,3% 0,0%

QUESTÃO 4 100,0% 0,0% 0,0%

QUESTÃO 5 73,3% 26,7% 0,0%

QUESTÃO 6 73,3% 26,7% 0,0%

QUESTÃO 7 80,0% 20,0% 0,0%

QUESTÃO 8 80,0% 20,0% 0,0%

QUESTÃO 9 73,3% 26,7% 0,0%

QUESTÃO 10 73,3% 26,7% 0,0%

QUESTÃO 11 20,0% 80,0% 0,0%

QUESTÃO 12 40,0% 60,0% 0,0%


274

Gráfico 58 - Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste


As questões que compunham o pós-teste eram as mesmas usadas no pré-

teste, das quais os conteúdos haviam sido trabalhados durante o desenvolvimento

das Sessões de Ensino e Atividade de Aprofundamento.

Os dados expostos pelo Quadro 59 e pelo gráfico 58 nos permitem observar

claramente os avanços no que diz respeito aos rendimentos dos alunos no pós-teste

em relação ao pré-teste, os índices de acertos pouco visualizados no gráfico 58,

referente ao rendimento do pré-teste, neste momento se destacam por aparecerem

com frequência nas questões, é possível também observar que em todas, houve

aumento percentual de acerto quando comparados pré- e pós-testes.

Os elevados índices de acertos das questões Q01 e Q02 demonstram o

desenvolvimento da habilidade que os alunos já possuem em resolver problemas

que envolvem assuntos relacionados ao conceito e representação de Frações.

As questões Q03 e Q04 exibiram rendimento de mais de 85% e 100%,

respectivamente, implicando no domínio dos conteúdos de comparação e

equivalência de Frações pelos estudantes.

66,7

% 73,3

%

86,7

%

100,0

%

73,3

%

73,3

% 80,0

%

80,0

%

73,3

%

73,3

%

20,0

%

40,0

%

33,3

%

26,7

%

13,3

%

0,0

%

26,7

% 26,7

%

20,0

%

20,0

%

26,7

%

26,7

%

80,0

%

60,0

%

0,0%

20,0%

40,0%

60,0%

80,0%

100,0%


275

Os problemas que envolviam as operações de Adição e subtração de Frações

com mesmo denominador (Q05 e Q06) alcançaram desempenho positivo acima de

70% e, para Frações com diferentes denominadores, o índice de acerto foi de 80%.

As questões que envolviam a operação de Multiplicação de Frações (Q09 e

Q10) atingiram mais de 70% de acertos e, as questões sobre divisão de Frações

(Q11 e Q12), nos surpreendendo, obtiveram índice de acerto de 20% e 40%,

respectivamente.

Para os problemas que envolvem as operações acreditamos que

precisávamos exercitar mais com os estudantes, porém o fator tempo disponível

com a turma nos impossibilitou de realizarmos mais tarefas nesse sentido.

Pensamos que, se os estudantes fossem oportunizados, a exercícios destes

conteúdos além da própria Sessão de Aprendizagem, como forma de

aprofundamento destes conhecimentos, seus respectivos desempenhos seriam

consideravelmente elevados.

A seguir o Quadro 106 e o Gráfico 59 trazem comparativos dos dados de

ambos os testes com o intuito de gerarmos uma melhor visualização dos avanços no

desempenho dos estudantes que relatamos até este momento.

Quadro 106 - Desempenho dos estudantes nos testes por questão


QUESTÃO PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

QUESTÃO 1 4,2% 66,7% 95,8% 33,3% 0,0% 0,0%

QUESTÃO 2 0,0% 73,3% 100,0% 26,7% 0,0% 0,0%

QUESTÃO 3 58,3% 86,7% 41,7% 13,3% 0,0% 0,0%

QUESTÃO 4 0,0% 100,0% 95,8% 0,0% 4,2% 0,0%

QUESTÃO 5 16,7% 73,3% 79,2% 26,7% 4,2% 0,0%

QUESTÃO 6 0,0% 73,3% 95,8% 26,7% 4,2% 0,0%

QUESTÃO 7 0,0% 80,0% 100,0% 20,0% 0,0% 0,0%

QUESTÃO 8 0,0% 80,0% 100,0% 20,0% 0,0% 0,0%

QUESTÃO 9 0,0% 73,3% 91,7% 26,7% 8,3% 0,0%

QUESTÃO 10 0,0% 73,3% 87,5% 26,7% 12,5% 0,0%

QUESTÃO 11 0,0% 20,0% 87,5% 80,0% 12,5% 0,0%

QUESTÃO 12 0,0% 40,0% 95,8% 60,0% 4,2% 0,0%


276

Gráfico 59 - Desempenho dos estudantes nos testes por questão


O gráfico 60 expõe, de forma mais clara, as mudanças nos rendimentos dos

estudantes por questão nos pré- e pós-testes, sobretudo, observamos o brusco

aumento dos percentuais de acerto nas questões, chegando a 100% na questão

Q04, e a supressão das deixadas em branco.

Para que possamos realizar um foco no desenvolvimento de cada

participante, de maneira individual, a seguir faremos a exposição dos rendimentos

nos pré- e pós-testes de cada um dos estudantes.

0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%

Q01 PRÉ

Q01 PÓS

Q02 PRÉ

Q02 PÓS

Q03 PRÉ

Q03 PÓS

Q04 PRÉ

Q04 PÓS

Q05 PRÉ

Q05 PÓS

Q06 PRÉ

Q06 PÓS

Q07 PRÉ

Q07 PÓS

Q08 PRÉ

Q08 PÓS

Q09 PRÉ

Q09 PÓS

Q10 PRÉ

Q10 PÓS

Q11 PRÉ

Q11 PÓS

Q12 PRÉ

Q12 PÓS

ACERTO ERRO EM BRANCO

277

Quadro 107 - Desempenho por Estudante no Pré-teste

Estudantes Em Branco (%) Erro (%) Acerto (%)

E1 0,00% 91,67% 8,33%

E2 0,00% 100,00% 0,00%

E3 0,00% 83,33% 16,67%

E4 50,00% 41,67% 8,33%

E5 8,33% 83,33% 8,33%

E6 0,00% 100,00% 0,00%

E7 0,00% 100,00% 0,00%

E9 0,00% 91,67% 8,33%

E10 8,33% 83,33% 8,33%

E11 0,00% 100,00% 0,00%

E12 0,00% 91,67% 8,33%

E13 0,00% 91,67% 8,33%

E14 0,00% 100,00% 0,00%

E15 0,00% 100,00% 0,00%

E16 0,00% 91,67% 8,33%

E17 0,00% 91,67% 8,33%

E18 25,00% 75,00% 0,00%

E19 0,00% 91,67% 8,33%

E20 0,00% 91,67% 8,33%

E21 0,00% 83,33% 16,67%

E22 0,00% 100,00% 0,00%

E23 8,33% 83,33% 8,33%

E24 0,00% 91,67% 8,33%

E25 0,00% 91,67% 8,33%


278

Gráfico 60 - Desempenho por Estudante no Pré-teste


Os altos percentuais erros nas questões são destaque ao examinarmos o

gráfico 60, os índices que mostram o percentual de acertos para a maioria dos

estudantes representam menos de 20% de acerto no pré-teste. Estes dados

retratam como foi o rendimento percentual antes da nossa intervenção em sala de

aula. Vejamos a seguir, no Quadro 108, os dados referentes ao aproveitamento dos

alunos após a aplicação nossa sequência didática.

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E9

E10

E11

E12

E13

E14

E15

E16

E17

E18

E19

E20

E21

E22

E23

E24

E25

Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)

279

Quadro 108 - Desempenho por Estudante no Pós-teste

Estudantes Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)

E1 83,33% 16,67% 0,00%

E3 41,67% 58,33% 0,00%

E4 50,00% 50,00% 0,00%

E5 83,33% 16,67% 0,00%

E6 50,00% 50,00% 0,00%

E7 83,33% 16,67% 0,00%

E8 75,00% 25,00% 0,00%

E9 83,33% 16,67% 0,00%

E10 66,67% 33,33% 0,00%

E11 50,00% 50,00% 0,00%

E12 41,67% 58,33% 0,00%

E14 50,00% 50,00% 0,00%

E15 75,00% 25,00% 0,00%

E16 25,00% 75,00% 0,00%

E19 75,00% 25,00% 0,00%


Gráfico 61: Desempenho por Estudante no Pós-teste


0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

E1

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11

E12

E14

E15

E16

E19

Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)

280

Diante da diminuição na frequência dos estudantes no decorrer da

Experimentação por conta da finalização das Atividades do ano letivo da escola em

que aplicamos nossas atividades, se faz necessário destacar que nem todos os

estudantes que participaram do pré-teste, realizaram o pós-teste, pois o calendário

escolar estava finalizando e alguns participantes estavam frequentando a escola

apenas para a realização da nossa pesquisa.

Podemos ressaltar os índices que representam os acertos, todos os alunos,

alcançaram aproveitamento superior ao pré-teste, pontuamos também os índices de

questões deixadas em branco serem nulos neste momento. Estes dados

representam o grau de confiança que os alunos foram desenvolvendo ao longo da

fase de experimentação.

O quadro 109 a seguir nos destaca o confronto destes resultados do

desempenho dos estudantes no pré-teste e no pós-teste.

Quadro 109 - Desempenho dos Estudantes nos testes

Estudantes Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

E1 8,33% 83,33% 91,67% 16,67% 0,00% 0,00%

E2 0,00% Não fez 100,00% Não fez 0,00% 0,00%

E3 16,67% 41,67% 83,33% 58,33% 0,00% 0,00%

E4 8,33% 50,00% 41,67% 50,00% 50,00% 0,00%

E5 8,33% 83,33% 83,33% 16,67% 8,33% 0,00%

E6 0,00% 50,00% 100,00% 50,00% 0,00% 0,00%

E7 0,00% 83,33% 100,00% 16,67% 0,00% 0,00%

E8 Não fez 75,00% Não fez 25,00% Não fez 0,00%

E9 8,33% 83,33% 91,67% 16,67% 0,00% 0,00%

E10 8,33% 66,67% 83,33% 33,33% 8,33% 0,00%

E11 0,00% 50,00% 100,00% 50,00% 0,00% 0,00%

E12 8,33% 41,67% 91,67% 58,33% 0,00% 0,00%

E13 8,33% Não fez 91,67% Não fez 0,00% Não fez

E14 0,00% 50,00% 100,00% 50,00% 0,00% 0,00%

E15 0,00% 75,00% 100,00% 25,00% 0,00% 0,00%

E16 8,33% 25,00% 91,67% 75,00% 0,00% 0,00%



E19 8,33% 75,00% 91,67% 25,00% 0,00% 0,00%








281

Gráfico 61: Comparativo do Desempenho dos Estudantes nos testes


Por meio do gráfico é notório a evolução do desempenho dos estudantes em

relação a aprendizagem e resolução de questões que envolvem frações, na maioria

dos casos, os alunos tiveram um aproveitamento muito baixo no pré-teste oscilando

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

E1 PRÉ

E1 PÓS

E3 PRÉ

E3 PÓS

E4 PRÉ

E4 PÓS

E5 PRÉ

E5 PÓS

E6 PRÉ

E6 PÓS

E7 PRÉ

E7 PÓS

E9 PRÉ

E9 PÓS

E10 PRÉ

E10 PÓS

E11 PRÉ

E11 PÓS

E12 PRÉ

E12 PÓS

E14 PRÉ

E14 PÓS

E15 PRÉ

E15 PÓS

E16 PRÉ

E16 PÓS

E19 PRÉ

E19 PÓS

Comparativo do Desempenho dos Estudantes nos testes

ACERTO ERRO EM BRANCO

282

entre erros e questões deixadas em branco, já no pós-teste, os alunos tiveram um

aproveitamento acima da média, acertando a maioria das questões do teste.

Dessa forma revelamos, através dessa comparativa, que a aplicação da

sequência de aulas propostas por nós surtiu um efeito positivo, aumentando o

desempenho dos estudantes em relação ao referido conteúdo matemático abordado.

Agora, no Quadro 110 dispomos a Frequência dos estudantes durante a

realização do Experimento.

Quadro 110 - Frequência dos Estudantes durante o Experimento

Estu

da

nte

Frequência dos Estudantes durante o Experimento

Novembro Dezembro Janeiro

Freq. (%)

14 27 29 30 1 6 7 11 13 14 15 18 20 22 26 28 4

Pré At.1 At. 2 Aprof. At. 3 At. 4 At. 5 At. 6 At. 8 At. 9 Revisão At. 7

e Pós-

E1 P P P F F P P P P P P P P P P P P 88

E2 P P P P P P P F P P P P F P P P F 82

E3 P P P P P P P P P P P P F P P P P 94

E4 P F F P F P P P P P F P P P P P P 76

E5 P F P P P P P F P P P P F P P P P 82

E6 P P P P P P P P P P F F P P P P P 88

E7 P F P P P P P P P P P P P P F P P 88

E8 F P F P F F F P F F F P F P P F P 41

E9 P F P P P P P P P P P F P P P F P 82

E10 P P P P P P P P P P P F F P F F P 76

E11 P F P F F P P F P P P P P P F P P 64

E12 P F P P P P P P F P P P P P P P P 88

E13 P P P P P P P F F P P P P P P P F 82

E14 P P P F P P P F P P P P P F P P P 82

E15 P P P P F F F P F F P F F F P P P 52

E16 P P P P F P F P P P F P P P P P P 82

E17 P P P P P P F P P P P F P P F F F 70

E18 P P P F F F F F F P P P P F F F F 41

E19 P P P P P P P P P P P P P P P P P 100

E20 P P P F F P F P P F P P P P F P F 64

E21 P P P P P P P P F P P F F P P P F 76

E22 P P P P P P P P P P P P P P F P F 88

E23 P F P P P F P P P P P P P P P P F 82

E24 P F P P P P P F P P F P F F P P F 64

E25 P P P P F F F P F F F F P P F F F 41


283

Notamos que há um índice de falta bastante considerável na turma, com

apenas o E19 com a totalidade de presença. Estudantes como E8, E18 e E25

possuem frequência abaixo de 50% nos encontros, dado que poderiam ser cruzados

com a medida de seus desempenhos no pós teste. Para os E18 e E25 que, no pré-

teste acertaram, respectivamente, 0% e 8,33% das questões, não há como balizar,

pois não realizaram o pós-teste. Entretanto, o E8, apesar do baixo índice de

frequência, alcançou 75% das questões do pós-teste.

Este resultado pode ser justificado na participação destes estudantes durante

as aulas, o qual sempre argumentava seus resultados e tirava suas dúvidas.

A seguir mostraremos algumas análises estatísticas, que fizemos no intuito de

uma verificação mais consistente das nossas conclusões em relação aos dados que

analisamos de forma percentual apenas até este momento. Para tanto, realizamos

alguns testes de hipóteses e análises da existência de correlações que indicam

estatisticamente que nossa sequência de aulas foi determinante para o aprendizado

de Frações.

4.3 Teste de Hipóteses

Na subseção anterior fizemos as comparações percentuais das notas dos

estudantes nos pré-teste e pós-teste, porém se faz necessário o uso de testes

estatísticos, para que possamos descartar a hipótese de melhorias ocorridas

casualmente.

Dessa forma, faremos uso do teste de hipótese para tecer comparações de

duas médias de uma mesma amostra em diferentes pontos do tempo, em nosso

caso iremos comparar as médias dos 14 estudantes que fizeram pré e pós-testes,

que foram realizados respectivamente antes da aplicação de nossa sequência

didática e depois dela.

Conforme Levin e Fox (2004, p. 241), “o teste t da diferença entre médias

para a mesma amostra medida duas vezes supõe, em geral, que os mesmos

indivíduos sejam examinados repetidamente”, em outras palavras, cada entrevistado

é comparado consigo mesmo em outro instante de tempo.

O autor denomina este caso de planejamento antes-depois, e é o que

queremos analisar com os resultados dos pré e pós-testes dos alunos. Dessa forma,

284

é justificável a aplicação do teste para verificar estatisticamente a diferença entre as

médias.

Assim, formulamos duas hipóteses, com o intuito de, por meio do teste t,

rejeitarmos uma delas. Em nosso caso queremos mostrar que o desempenho dos

alunos foi maior depois da aplicação da sequência didática, se faz necessário a

utilização do teste unilateral para duas medições da mesma amostra.

Dessa maneira, denominando 1 a média obtida pelos alunos no pré-teste e

2 a média do pós-teste, e nossa hipótese de pesquisa é que 1 < 2.

Tomemos então que: Hipótese nula (1 2), ou seja, o desempenho em

matemática não melhora após a aplicação da sequência didática e, Hipótese de

pesquisa (1 < 2 ), ou seja, o desempenho em matemática melhora após a

aplicação da sequência didática.

No quadro a seguir observamos a regra para nossa tomada de decisão diante

da situação.

Quadro 111 - Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral

Hipóteses Regiões de rejeição Regra de decisão

1 2 X 1 < 2

Rejeitar a hipótese nula se

tcalculado < -ttabelado

1 ≤ 2 X 1 > 2

Rejeitar a hipótese nula se

tcalculado > -ttabelado

Fonte: Adaptado de Levin e Fox (2004, p. 248)

Dessa forma, no cálculo do teste de hipótese (t), para obtermos o valor de

tcalculado, consideramos os valores absolutos correspondentes ao desempenho dos

estudantes nos testes aplicados, no caso, as notas de 0 a 12. Para isso, utilizaremos

o Programa Mocrosoft Excel para realizarmos os devidos cálculos.

Nossa amostra é de 14 estudantes, que participaram do pré e do pós-testes,

temos n = 14. Chamamos de X1 (desempenho no pré-teste) e X2 (desempenho no

pós-teste), e logo após, calculamos a diferença entre os desempenhos (D), portanto,

D = X2 – X1 e calculamos D2.

285

Após obter os resultados, somamos as notas dos estudantes no pré-teste e

obtemos ∑ X1 = 8,4, bem como as do pós-teste ∑ X2 = 86,52 e, finalmente também

fazemos a soma dos resultados D2 , em que encontramos ∑ D2 = 493,2144. Os

valores obtidos estão dispostos no Quadro 112 a seguir:

Quadro112 - Resultado dos desempenhos nos testes e diferença entre as médias

Estudantes DESEMPENHO NO

PRÉ-TESTE (X1)

DESEMPENHO NO PÓS-TESTE

(X2)

DIFERENÇA D

D2

E1 0,84 8,4 7,56 57,1536

E3 1,68 4,2 2,52 6,3504

E4 0,84 5,04 4,2 17,64

E5 0,84 8,4 7,56 57,1536

E6 0 5,04 5,04 25,4016

E7 0 8,4 8,4 70,56

E9 0,84 8,4 7,56 57,1536

E10 0,84 6,72 5,88 34,5744

E11 0 5,04 5,04 25,4016

E12 0,84 4,2 3,36 11,2896

E14 0 5,04 5,04 25,4016

E15 0 7,56 7,56 57,1536

E16 0,84 2,52 1,68 2,8224

E19 0,84 7,56 6,72 45,1584

n = 14 ∑ X1 = 8,4 ∑ X2 = 86,52 - ∑ D2 = 493,2144

Fonte: Adaptado de Levin e Fox (2004)

Dando prosseguimento, realizamos o cálculo das médias do desempenho no

pré e no pós-teste, e a média das diferenças dos testes. Assim:

Média do desempenho no pré-teste: 1 = 0,60

Média do desempenho no pós-teste: 2 = 6,18

Média das diferenças dos testes: D = 5,58

Também encontramos o desvio padrão das diferenças, que resultou em 𝜎 =

2,03 e o erro padrão das diferenças 𝜎 = 0,58 .

Para calcularmos então, o valor do teste de hipótese t = -9,582571109,

aproximadamente, tcalculado = -9,583, que também pode ser calculado pela fórmula

286

𝑡 = 𝜇1− 𝜇2

𝜎

√𝑛−1

.

Em pesquisas das áreas sociais e humanas adota-se, geralmente, o nível de

significância igual a 0,05, segundo Levin e Fox (2004). Dessa maneira, verificamos

na tabela de Nível de Significância para o teste unilateral (𝛼), de acordo com o grau

de liberdade (𝑔𝑙), o valor de t tabelado.

Assim, para calcularmos o grau de liberdade (𝑔𝑙) adotamos a fórmula 𝑔𝑙 =

𝑁 − 1 , em nosso caso, 𝑔𝑙 = 14 − 1

→ 𝑔𝑙 = 13. Com 13 graus de liberdade,

encontramos ttabelado = 1,771.

Conforme as regras de rejeição de hipótese nula, ao ser validado tcalculado < -

ttabelado, deve-se rejeitar a hipótese nula e aceitar a hipótese de pesquisa. Dessa

forma, com

tcalculado = -9,583

ttabelado = 1,771,

temos que -9,583 < - (1,771).

Portanto, rejeitamos a hipótese nula e afirmamos, estatisticamente, que o

experimento didático elaborado e aplicado ao ensino de Frações proporcionou

aos estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental um maior desempenho em

Matemática.

4.4 Cálculos da Correlação Linear nos Testes

Neste momento faremos análises estatísticas em relações às variáveis

socioeconômicas dos estudantes, com o objetivo de verificar o quanto as mesmas

influenciam nos resultados das médias dos testes.

Dessa forma, utilizamos o cálculo do coeficiente de correlação linear de

Pearson (𝑟) (calculado através do Programa Microsoft Excel), para compararmos

duas variáveis entre si, para analisarmos o que acontece com uma delas quando a

outra sofre alteração.

Levin e Fox (2004) nos apresentam que o coeficiente de correlação linear (𝑟)

possui nível de intensidade que pode variar de – 1 a 1, ou seja, a correlação

classifica-se de acordo com o valor de 𝑟 , como mostra o quadro a seguir.

287

Quadro 113 - Classificação da Correlação conforme o coeficiente 𝑟

(Continua)

CLASSIFICAÇÃO DA CORRELAÇÃO COEFICIENTE DA CORRELAÇÃO

Perfeita Positiva 𝑟 = 1

Forte Positiva 0,8 ≤ 𝑟 < 1

Moderada Positiva 0,5 ≤ 𝑟 < 0,8

Fraca Positiva 0,1 ≤ 𝑟 < 0,5

Ínfima Positiva 0 < 𝑟 < 0,1

Quadro 113 - Classificação da Correlação conforme o coeficiente 𝑟

(Conclusão)

Nula 0

Ínfima Negativa −0,1 < 𝑟 < 0

Fraca Negativa −0,5 < 𝑟 ≤ −0,1

Moderada Negativa −0,8 < 𝑟 ≤ −0,5

Forte negativa −1 < 𝑟 ≤ −0,8

Perfeita Negativa 𝑟 = −1

Fonte: Adaptado de Levin e Fox (2004)

Para realizarmos os cálculos de correlação linear de Pearson (𝑟) utilizamos o

programa Microsoft Office Excel e os dados parametrizados oriundos das respostas

dos estudantes às perguntas do questionário socioeconômico, em que realizamos as

correlações entre a diferença das notas dos testes e variáveis socioeconômicas no

que diz respeito à escolaridade do responsável masculino, escolaridade do

responsável feminino, ajuda nas tarefas de casa, afinidade dos estudantes com a

Matemática, hábito de estudo em Matemática fora da escola, notas em matemática e

Dificuldade em Matemática, bem como com a frequência dos estudantes.

Os primeiros dados a serem correlacionados com a diferença das notas nos

testes são os referentes à escolaridade do responsável masculino. Apresentamos

primeiramente, a parametrização das variáveis qualitativas.

Quadro 114- Parametrização das variáveis referentes à escolaridade do responsável

masculino

ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL

MASCULINO PARAMETRIZAÇÃO

Nunca Estudou / Não sei responder 1

Ensino Fundamental Incompleto 2

Ensino Fundamental Completo 3

288

Ensino Médio Incompleto 4

Ensino Médio Completo 5

Ensino Superior Completo 6

Pós-Graduação 7


Em seguida apresentamos a correlação entre a diferença dos desempenhos

nos testes e escolaridade do responsável masculino dos estudantes.

Quadro 115 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e escolaridade do

responsável masculino

Estudante DESEMPENHO NO PRÉ-TESTE


DIFERENÇA ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL

MASCULINO

E1 0,84 8,4 7,56 3

E3 1,68 4,2 2,52 2

E4 0,84 5,04 4,2 1

E5 0,84 8,4 7,56 1

E6 0 5,04 5,04 3

E7 0 8,4 8,4 3

E9 0,84 8,4 7,56 2

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 5

E12 0,84 4,2 3,36 2

E14 0 5,04 5,04 1

E15 0 7,56 7,56 3

E16 0,84 2,52 1,68 1

E19 0,84 7,56 6,72 2


Diante dos dados, ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de

Pearson (𝑟), encontramos 𝑟 = 0,25, classificando-se como “Fraca positiva”, o que

nos leva a afirmar que a escolaridade do responsável masculino exerce pouca

influência nos resultados encontrados nos testes aplicados.

No que diz respeito à Escolaridade do responsável feminino, temos o Quadro

116:

289

Quadro 116- Parametrização das variáveis referentes à escolaridade do responsável

feminino

ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL FEMININO PARAMETRIZAÇÃO

Nunca Estudou / Não sei responder 1

Ensino Fundamental Incompleto 2

Ensino Fundamental Completo 3

Ensino Médio Incompleto 4

Ensino Médio Completo 5

Ensino Superior Completo 6

Pós-Graduação 7


Quadro 117 - correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e escolaridade do

responsável feminino



DIFERENÇA ESCOLARIDADE DO RESPONSÁVEL

FEMININO

E1 0,84 8,4 7,56 5

E3 1,68 4,2 2,52 2

E4 0,84 5,04 4,2 3

E5 0,84 8,4 7,56 2

E6 0 5,04 5,04 5

E7 0 8,4 8,4 2

E9 0,84 8,4 7,56 6

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 3

E12 0,84 4,2 3,36 5

E14 0 5,04 5,04 1

E15 0 7,56 7,56 3

E16 0,84 2,52 1,68 5

E19 0,84 7,56 6,72 1


Ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟),

encontramos 𝑟 = −0,1459, classificando-se como “Ínfima Negativa”, o que nos indica

que a escolaridade do responsável feminino não é determinante nos resultados dos

testes aplicados.

290

Agora, analisaremos os dados sobre quem ajuda os estudantes nas tarefas

de matemática. Os resultados estão dispostos a seguir.

Quadro 118- Parametrização das variáveis referentes a quem ajuda os estudantes nas

tarefas de Matemática

Quem lhe ajuda nas tarefas de Matemática PARAMETRIZAÇÃO

Ninguém/Outros 1

Parentes ou amigos 2

Professor Particular 3


A Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e quem ajuda os

estudantes nas tarefas de Matemática está disposta no Quadro 119 a seguir:

Quadro 119 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e quem ajuda os estudantes

nas tarefas de Matemática



DIFERENÇA QUEM AJUDA NAS TAREFAS DE MATEMÁTICA

E1 0,84 8,4 7,56 2

E3 1,68 4,2 2,52 2

E4 0,84 5,04 4,2 2

E5 0,84 8,4 7,56 2

E6 0 5,04 5,04 1

E7 0 8,4 8,4 2

E9 0,84 8,4 7,56 1

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 2

E12 0,84 4,2 3,36 1

E14 0 5,04 5,04 1

E15 0 7,56 7,56 2

E16 0,84 2,52 1,68 2

E19 0,84 7,56 6,72 1


Como resultado do Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟),

encontramos 𝑟 = −0,0085, classificando-se como “Ínfima Negativa”, o que nos

sugere que a ajuda nas tarefas em Matemática não influencia no desempenho dos

testes aplicados.

A seguir analisaremos os dados sobre a afinidade dos estudantes por

Matemática. Os resultados estão dispostos a seguir.

291

Quadro 120- Parametrização das variáveis referentes à afinidade dos estudantes por

Matemática

Você gosta de matemática? PARAMETRIZAÇÃO

Nenhum pouco 1

Pouco 2

Muito 3


Após parametrizarmos e distribuirmos no quadro 121 a correlação entre a

diferença dos desempenhos e a afinidade dos estudantes em Matemática,

calculamos o resultado do Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), que foi

𝑟 = 0,4673, qualificado como “Fraca positiva”, o que nos indica que a afinidade do

estudante por Matemática exerce pouca influência nos resultados encontrados nos

testes aplicados.

Quadro 121 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e afinidade dos

estudantes por Matemática

Estudante DESEMPENHO NO

PRÉ-TESTE DESEMPENHO NO

PÓS-TESTE DIFERENÇA

AFINIDADE POR MATEMÁTICA

E1 0,84 8,4 7,56 3

E3 1,68 4,2 2,52 2

E4 0,84 5,04 4,2 1

E5 0,84 8,4 7,56 3

E6 0 5,04 5,04 2

E7 0 8,4 8,4 3

E9 0,84 8,4 7,56 3

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 2

E12 0,84 4,2 3,36 1

E14 0 5,04 5,04 3

E15 0 7,56 7,56 3

E16 0,84 2,52 1,68 3

E19 0,84 7,56 6,72 3


Os próximos dados a serem correlacionados com a diferença das notas nos

testes são os referentes ao hábito de estudo dos estudantes. Apresentamos

primeiramente, a parametrização das variáveis qualitativas.

292

Quadro 122 - Parametrização das variáveis referentes ao hábito de estudo dos estudantes

ESTUDA MATEMÁTICA PARAMETRIZAÇÃO

Nunca estuda/Só na véspera 1

Só no período da prova 2

Só aos fins de semana 3

Alguns dias na semana 4

Todos os dias 5


Em seguida apresentamos a correlação entre a diferença dos desempenhos

nos testes e o hábito de estudo dos estudantes.

Quadro 123 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e hábito de estudo dos

estudantes



PÓS-TESTE DIFERENÇA HÁBITO DE ESTUDO

E1 0,84 8,4 7,56 5

E3 1,68 4,2 2,52 5

E4 0,84 5,04 4,2 1

E5 0,84 8,4 7,56 4

E6 0 5,04 5,04 3

E7 0 8,4 8,4 4

E9 0,84 8,4 7,56 1

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 4

E12 0,84 4,2 3,36 4

E14 0 5,04 5,04 1

E15 0 7,56 7,56 4

E16 0,84 2,52 1,68 1

E19 0,84 7,56 6,72 2



Pearson (𝑟), encontramos 𝑟 = 0,177, classificando-se como “Fraca positiva”, o que

nos leva a afirmar que o hábito de estudo dos estudantes exerce pouca influência

nos resultados encontrados nos testes aplicados.

293

No que diz respeito ao fator notas de Matemática dos estudantes, temos o

Quadro 124:

Quadro 124 - Parametrização das variáveis referentes as notas em Matemática dos

estudantes

NOTAS EM MATEMÁTICA PARAMETRIZAÇÃO

Abaixo de 5 1

Iguais a 5 2

Acima de 5 3


A correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e as notas em

Matemática dos estudantes e descrita no quadro 125, a seguir.

Quadro 125 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e as notas em Matemática

dos estudantes



PÓS-TESTE DIFERENÇA NOTAS EM MATEMÁTICA

E1 0,84 8,4 7,56 3

E3 1,68 4,2 2,52 3

E4 0,84 5,04 4,2 3

E5 0,84 8,4 7,56 3

E6 0 5,04 5,04 3

E7 0 8,4 8,4 3

E9 0,84 8,4 7,56 3

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 3

E12 0,84 4,2 3,36 3

E14 0 5,04 5,04 2

E15 0 7,56 7,56 3

E16 0,84 2,52 1,68 3

E19 0,84 7,56 6,72 3



Pearson (𝑟), encontramos 𝑟 = −0,003, classificando-se como “Ínfima Negativa”, o

que nos leva a afirmar que a variação de notas em Matemática não exerce influência

nos resultados encontrados nos testes aplicados.

294

Em relação à dificuldade dos estudantes em aprender Matemática, temos:

Quadro 126- Parametrização das variáveis referentes à dificuldade dos estudantes em

aprender Matemática

DIFICULDADE EM MATEMÁTICA PARAMETRIZAÇÃO

MUITA 1

UM POUCO 2

NÃO 3


A correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a dificuldade

dos estudantes em Matemática está disposta no quadro 127, a seguir.

Quadro 127 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a dificuldade em

Matemática dos estudantes




DIFICULDADE EM MATEMÁTICA

E1 0,84 8,4 7,56 2

E3 1,68 4,2 2,52 2

E4 0,84 5,04 4,2 2

E5 0,84 8,4 7,56 2

E6 0 5,04 5,04 2

E7 0 8,4 8,4 2

E9 0,84 8,4 7,56 3

E10 0,84 6,72 5,88 1

E11 0 5,04 5,04 2

E12 0,84 4,2 3,36 2

E14 0 5,04 5,04 2

E15 0 7,56 7,56 2

E16 0,84 2,52 1,68 2

E19 0,84 7,56 6,72 2


Com Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), 𝑟 = 0,1569,

classificando-se como “Fraca Positiva”, o que nos indica que a dificuldade em

Matemática dos estudantes, teve pouca interferência nos resultados encontrados

nos testes aplicados.

295

Para finalizar, calculamos Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟) em

relação à frequência estudantes, parametrizado no Quadro 128:

Quadro 128- Parametrização das variáveis referentes à frequência dos estudantes

FREQUÊNCIA DOS ESTUDANTES PARAMETRIZAÇÃO

DE 0% A 25% 1

DE 26% A 50% 2

DE 51% A 75% 3

DE 76% A 100% 4


A correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a frequência

dos estudantes em nossa Experimentação está disposta no quadro 129, a seguir.

Quadro 129 - Correlação entre a diferença dos desempenhos nos testes e a frequência dos

estudantes




FREQUÊNCIA DOS ESTUDANTES

E1 0,84 8,4 7,56 4

E3 1,68 4,2 2,52 4

E4 0,84 5,04 4,2 4

E5 0,84 8,4 7,56 4

E6 0 5,04 5,04 4

E7 0 8,4 8,4 4

E9 0,84 8,4 7,56 4

E10 0,84 6,72 5,88 4

E11 0 5,04 5,04 3

E12 0,84 4,2 3,36 4

E14 0 5,04 5,04 4

E15 0 7,56 7,56 3

E16 0,84 2,52 1,68 4

E19 0,84 7,56 6,72 4


Ao calcularmos o Coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), 𝑟 = 0,1569,

classificando-se como “Fraca Positiva”, o que nos indica que a frequência dos

estudantes em Matemática dos estudantes, apesar de ter pouca interferência nos

296

resultados encontrados nos testes aplicados, mostra que é importante para estes

resultados.

Portanto, a partir de todas essas constatações de correlações muito fracas

entre os fatores socioeconômicos e os resultados encontrados nos testes aplicados,

podemos concluir que o bom desempenho dos estudantes nos resultados

comparativos entre pré e pós-testes, possui como fator determinante a maneira

como o professor conduz seu trabalho em sala de aula, as escolhas das

metodologias de ensino escolhidas para desenvolver os conteúdos matemáticos.

Em nosso caso, podemos inferir que, para o conteúdo de Frações, o bom

rendimento dos estudantes levados em consideração em nosso experimento, se

deve ao trabalho realizado para ensino de Frações, desenvolvido a partir da

metodologia do Ensino por Atividades.

297

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho teve por objetivo avaliar quais os efeitos da aplicação de uma

sequência didática, baseada no Ensino por Atividades, para o Ensino de Frações, a

alunos de uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental de uma Escola Pública de

Belém, nas aulas de matemática e sobre o desempenho de resolução de questões

envolvendo este conteúdo. Dessa forma, nossa pretensão foi de analisar que efeitos

a metodologia de ensino baseada no Ensino por Atividades proporciona ao

aprendizado matemático do aluno sobre Fração.

Como mencionamos, nossa escolha metodológica de pesquisa foi a

Engenharia Didática, então, para contemplar uma de suas fases, realizamos

análises prévias do ensino, destacamos os aspectos gerais do objeto ensino de

Frações, como a localização no currículo deste conteúdo, os aspectos históricos

deste objeto matemático, realizamos uma revisão de estudos presentes na literatura

atual referente a este conteúdo, consultamos docentes e estudantes egressos do 6º

ano do ensino fundamental, para elaboração e experimentação da nossa sequencia

didática.

Das informações obtidas nas análises prévias, os estudos levantados, no que

concerne ao ensino de Fração, suas considerações apontam para um predomínio de

procedimentos realizados automaticamente sem uma reflexão sobre a natureza da

tarefa proposta, ser de suma importância que as atividades ou situações-problemas,

que expressam os mais diferentes contextos onde os números racionais estejam

presentes, possam ser trabalhadas, como grandezas contínuas e grandezas

discretas, e que isso tem implicações conceituais, e uma abordagem às frações em

contextos significativos para os alunos, proporciona, às crianças, um trabalho em

diversificadas situações, onde as frações surgem com diferentes significados.

A consulta aos estudantes também revelaram que o ensino tradicional,

pautado no modelo definição, seguido de exemplos e exercícios ainda é

predominante, também houve indicação que o experimento didático é um

procedimento metodológico ainda pouco explorado em sala de aula, o que nos

indica a importância da elaboração de atividades que possam ser acessíveis às

condições das escolas e dos professores para serem possíveis de serem aplicadas

em sala de aula.

298

Com relação aspectos da formação inicial e continuada dos docentes

consultados, observamos apontamentos a respeito de lacunas deixadas nessa

formação que podem influenciar no ensino de conceitos matemáticos, bem como

nas escolhas metodológicas para abordar tais conhecimentos. Observamos

também, um esforço em novas possibilidades de abordagem deste conteúdo

matemático. Porém, ainda muito perseverante o modelo: definição-exemplo-

exercício, que, confrontados com pesquisas anteriores a respeito desta temática,

pode ser prejudicial ao aprendizado destes alunos, apontado ser salutar que o

professor pondere sobre sua prática docente.

A respeito de metodologias para ensino de Fração entendemos a importância

dos saberes oriundos da academia, dos saberes científicos, curriculares, entre

outros, que apoiarão as escolhas e a atuação profissional deste docente.

Em relação aos nossos resultados, num primeiro plano, pudemos perceber e

verificar estatisticamente um avanço dos alunos no desempenho em relação ao

conteúdo de Frações, conhecendo as variadas operações e significados pertinentes

a este conteúdo. O nível aproveitamento nos testes dos alunos que participaram da

fase de Experimentação de nosso estudo destaca o quão proveitosa no que diz

respeito a conhecimento adquirido do conteúdo, nossa sequência didática se mostra

no âmbito escolar.

Assim, podemos afirmar que, baseados em nossas análises, o experimento

didático elaborado e aplicado ao ensino de Frações proporcionou aos estudantes do

6º ano do Ensino Fundamental um maior desempenho em Matemática.

No desenvolvimento de nosso Experimento observamos que as discussões e

socializações das informações, realizadas a partir das dificuldades dos estudantes

nos procedimentos de cada Atividade, a comparação dos resultados encontrados

pelos mesmos, possibilitaram um ambiente rico para o pensamento, reflexão, auto

avaliação e evolução da linguagem matemática, potencializando a capacidade de

observar, de escrever, o poder de síntese e conclusão destes estudantes, levando-

os a construir conceitos a partir de suas inferências, com uma representação

simbólica matemática.

Nesta trajetória, vivemos algumas dificuldades que forçaram uma

reorganização de nosso planejamento inicial em alguns momentos. A adequação de

nossa Sequência ao período disponibilizado pela Escola para o seu

desenvolvimento em virtude das atividades pré-agendadas (jogos, reuniões, troca de

299

horários, etc.) no calendário da mesma, que escapavam de nosso domínio, mas que

eram completamente importantes para o desenvolvimento de nosso experimento.

Na realização das aulas, observamos que as interferências externas como:

interrupções para avisos, para entrega de documentos como provas, bem como

estruturais, como: o estado da sala de aula, a poluição sonora e o calor, foram

fatores que distraiam os estudantes e dificultavam sua concentração, tão necessária

para o bom aproveitamento de nossos encontros.

Estes limitantes nos mostram que, apesar de haver um planejamento inicial

bem organizado, há situações na sala de aula, no dia-a-dia, que fogem de nosso

controle e que também constroem nossa habilidade em contornar estes obstáculos e

construir nossos saberes da experiência, sendo assim, também relevantes para a

nossa formação docente.

A partir deste estudo, consideramos a necessidade de prosseguir com

pesquisas sobre este objeto, que aprofundem o entendimento sobre o processo de

ensino-aprendizagem de Frações numa perspectiva experimental, principalmente a

fim de superar as dificuldades no assunto que advém dos obstáculos de

aprendizagem em outros conteúdos matemáticos, apontados pelos erros

procedimentais no pós-teste.

As conclusões deste estudo nos direcionam a necessidade da reflexão acerca

das escolhas metodológicas para abordagem e desenvolvimento deste conteúdo

matemático, bem como dos diferentes saberes que ficam fragilizados por lacunas

deixadas tanto na formação inicial quanto continuada dos professores de

Matemática do Ensino Fundamental sobre o conteúdo de Frações. Ponderamos,

então, a importância de uma formação docente com qualidade, tanto inicial como

continuada, trazendo os saberes necessários para sua atuação docente, além de

estudos que apontem possibilidades para a sala de aula.

300

REFERÊNCIAS

ALMOULOUD, A. S. Fundamentos da Didática da Matemática. São Paulo: Editora UFPR, 2007.

ARTIGUE, M. Engenharia Didática. IN: BRUN, J. Didáctica da Matemática. Tradução Maria José Figueiredo. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996. 193-217p.

BEZERRA, J. B. Introdução do Conceito dos Números Fracionários e de suas Representações: uma abordagem criativa para a sala de aula. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC: São Paulo, 2001.

BOYER, C. B., História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. 2ª Ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1996.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto: Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC, 2008, 148 p.

BROUSSEAU. G. Fundamentos e métodos da didática da matemática. IN: BRUN, J. Didáctica da Matemática. Tradução Maria José Figueiredo. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996. 35 -111p.

BUNT, L. N. H.; JONES, P. S.; BEDIENT, J. D. The Historical roots of elementary mathematics. New York: Dover Publications Inc., 1988.

CAJORI, F. A History of Mathematical Notations. Two volumes bound as one. New York: Dover, 1993.

CANOVA, R. F. Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental com relação à Fração. 2006, 220 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC: São Paulo, 2006.

CAVALCANTI, J. D. B.; SANTOS, M. C.; JÓFOLI, Z. M. S. Um olhar sobre os obstáculos que permeiam a aula de matemática: um exemplo com frações. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 9, 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte – MG: UNIBH, 2007.

COSTA, A. C.; SÁ, P. F. Operações com frações x dificuldade na resolução de problemas. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 9, 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte – MG: UNIBH, 2007.

CUNHA, E. R. Os saberes docentes ou saberes dos professores. In: Revista Cocar. Programa de Pós-Graduação em educação. V. 1, n° 2, Jul-Dez. 2007. UEPA: Belém, p.31–39.

DAMICO, A. Uma investigação sobre a formação inicial de professores de Matemática para o Ensino de Números Racionais no Ensino Fundamental. 2007, 313 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - São Paulo: PUC, 2007.

301

DRUZIAN, M. E. B. Jogos como recurso didático no Ensino Aprendizagem de Frações. Vidya, v. 27, nº 1: p. 67 a 78. Jan/Jun, 2007. Santa Maria, 2009. ISSN 0104-270X

FONSECA, F. L. A divisão de números racionais decimais: um estudo diagnóstico junto a alunos de 6ª série. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.

FOSSA, J. A. Características de atividades para o ensino de matemática. In: Ferreira G. P. (Org.). Educação Básica. Ceará, CE: URCA. 2000.

GUERRA, R. B. SILVA, F. H. S. As operações com frações e o princípio da contagem. Bolema, ano 21, nº 31: p. 41 a 54. Rio Claro-SP, 2008.

IFRAH, G. História Universal dos Algarismos: A inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução Muñoz, Alberto e Katinky, Ana Beatriz. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.

_______. Os números: A História de uma grande invenção. Tradução Senso, Stella M. de Freitas. 9ª edição: Editora Globo, 1997.

JESUS, A. B. M. de. Uma proposta de ensino de Frações voltada para a construção do conhecimento. 2013, 71 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática). Lavras - MG: UFLA, 2013.

JUSTULIN, A.; PIROLA, N. A. Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à matemática e a resolução de problemas envolvendo frações. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS- GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 12, 2008, Rio Claro. Anais... Rio Claro – São Paulo: UNESP, 2008.

LESSA, V. I. A compreensão do conceito de número fracionário: Uma sequencia didática para o significado de medida. 2011, 167 f. Dissertação (Mestrado profissional em Ensino de Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2011.

LEVIN, J.; FOX, J. Estatística para as ciências humanas. 9. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004

LINS, A. F.; SILVA, E. J. Intervenção docente na construção do conhecimento de Frações de alunos do EJA: um estudo de caso. 2007. Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Html/posteres.html>. Acesso em: 29 out. 2016.

LOPES, A. J. O que Nossos Alunos Podem Estar Deixando de Aprender sobre Frações, quando Tentamos lhes Ensinar Frações. Bolema, ano 21, nº 31, p. 1 a 22. Rio Claro – SP, 2008.

LOPES, A.; PATRICIO, T. R. S. O uso de jogos no ensino de fração. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.11, 2013. Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.

302

MACIEL, A.; CÂMARA, M. Analisando o Rendimento de Alunos das Séries Finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio em Atividades Envolvendo Frações e Idéias Associadas. Bolema, ano 20, nº28: p. 163 a 177. Rio Claro - SP, 2007.

MAGINA, S.; BEZERRA, F. B.; SPINILLO, A. Como desenvolver a compreensão de crianças sobre Fração? Uma experiência de ensino. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, v. 90, nº 225: p. 411 a 432. Maio/ Ago, 2009.

MAGINA, S; CAMPOS, T. A fração nas perspectivas do professor e do aluno dos dois primeiros ciclos do Ensino Fundamental. Bolema, ano 21, nº 31: p. 23 a 40. Rio Claro-SP, 2008.

MALASPINA, M. da C. O. O Início do Ensino de Fração: uma investigação com alunos de segunda série do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2007.

MENDES, I. A; SÁ, P. F.; Matemática por atividades: sugestões para sala de aula. Natal: Flecha do Tempo, 2006.

MERLINI, V. L. O conceito de frações em seus diferentes significados; um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do Ensino Fundamental. 2005, 238 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.

MONTEIRO, C.; PINTO, H.; FIGUEIREDO, N. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. 2005. Disponível em: <http://arquivo.ese.ips.pt/ese/projectos/sentidonumero/Fraccoes_EM.pdf>. Acesso em: 01 nov. 2016.

MOREIRA, I. M. B. O Ensino das operações envolvendo frações com calculadora. Dissertação (Mestrado em Educação) 137 f. Universidade do Estado do Pará, Belém, 2010.

MOREIRA, I. M. B.; SÁ, P. F.; ALVES, F. J. C.; BARROS NETO, A. J. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes a partir de situações-problemas. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.10, 2010. Salvador. Anais... Salvador – Bahia: Via Litterarum, 2010.

MOUTINHO, L. V. Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos da 4ª e 8ª séries do ensino fundamental. 2005, 218 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.

NASCIMENTO, J. Perspectiva para aprendizagem e ensino dos números racionais. Revista de Iniciação Científica da FFC, v. 8, n. 2, p. 196 – 208, 2008.

NOTARI, A. M.. Simplificação de frações aritméticas e algébricas: um diagnóstico comparativo dos procedimentos. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2002.

NUNES, T.; CAMPOS, T. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educação Matemática 1: números e operações numéricas. 2ª ed. São Paulo: Cortez, 2009.

303

OKUMA, E. K. Ensino e aprendizagem de fração: um estudo comparativo e uma intervenção didática. 2010, 88 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Pedagogia). Lins: Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, 2010.

OLIVEIRA, M.M. Sequência Didática Interativa no processo de Formação de Professores. Petrópolis: Vozes: 2013.

OLIVEIRA, M. S. S.; AGUILA, M. J. S. D. Dificuldade no processo de ensino - aprendizagem na resolução de problemas envolvendo fração na 5ª série do Ensino Fundamental. Monografia (Licenciatura Plena em Matemática). Belém: UEPA, 2005.

ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. As diferentes “Personalidades” do número racional trabalhadas através da resolução de problemas. Bolema, ano 21, nº 31: p. 79 a102. Rio Claro-SP, 2008.

PAIS, L. C. Didática da Matemática: Uma análise da influência francesa. 3 ed. 1 reimp. Belo Horizonte: Autêntica Editora: 2015.

PASUCH, A.; BARBOZA, J. V.; BASSANI, L. T. A utilização do lúdico no processo de ensino-aprendizagem de Frações. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 25, 2013, Curitiba. Anais... Curitiba – PR: PUC, 2013.

PINTO, H.; RIBEIRO, C. M. Conhecimento e formação de futuros professores dos primeiros anos – o sentido de número racional. Rev. Da Investigação às Práticas, v. 3, nº 1, p. 80-98, 2013.

RODRIGUES, W. R. Números racionais: um estudo das concepções de alunos após o estudo formal. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.

ROSA, R. R. Dificuldades na compreensão e na formação de conceitos de números racionais: uma proposta de solução. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Faculdade de Física, Rio Grande do Sul: PUC, 2007.

SÁ, P. F. Atividades para o ensino de matemática no nível fundamental. Belém: EDUEPA, 2009.

SÁ, P. F.; JESUS, A. C. N.; BARROS NETO, A. J.; ALVES, F. J. C.; RODRIGUES, I. F. Adição e subtração de frações com calculadora virtual. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.10, 2010. Salvador. Anais... Salvador – Bahia: Via Litterarum, 2010.

SÁNCHEZ-AMAYA, T. y GONZÁLEZ-MELO, H. S. (2016). Saber Pedagógico: fundamento del ejercicio docente. Educación y educadores, v. 19, n. 2, p. 241-253, ago. 2016. ISSN 2027-5358. Disponível em: http://educacionyeducadores.unisabana.edu.co/index.php/eye/article/view/5905. Acesso em 05.08.2017.

SANTANA, L. E. L.; LIMA, L. H. M.; SILVA, S. H.; OLIVEIRA, B. P. Fração e seus diferentes registros de representação semiótica: uma análise da percepção de

304

futuros pedagogos. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n. 11, 2013, Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.

SANTOS, A. O conceito de Fração em seus diferentes significados: Um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental. 2005, 196 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC, 2005.

SANTOS, P. L.; GRAMINHA, S. S. V. Estudo comparativo das características do ambiente familiar de crianças com alto e baixo desempenho acadêmico. Revista Paidéia, ano IV, nº 3: p. 217 a 226. Belo Horizonte-MG, 2005.

SCHIMITT, F. E.; QUARTIERI, M. T.; OLIVEIRA, E. C. O estudo de Frações através de investigações matemáticas com uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental. Signos, ano 35, nº 1, p. 53 a 62, 2014. ISSN 1983-0378

SECCO, R. L. Um ambiente interativo de aprendizagem em fração. 2007, 111 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional de Conhecimento) – Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2007.

SILVA, A. F. G. O desafio do desenvolvimento profissional: análise da formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagem das frações. Tese (Doutorado em Educação Matemática), 308f. São Paulo: PUC, 2007.

SILVA, A. F. G.; ITO, V. C. C. Conhecimento de estudantes de licenciatura em matemática a respeito de situações para o ensino da divisão com frações. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.11, 2013. Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.

SILVA, M. J. F; AMOULOUD, S. A. As operações com números racionais e seus significados a partir da concepção parte-todo. Bolema, ano 21, nº 31: p. 55 a 78. Rio Claro-SP, 2008.

SILVA, N. S. M.; PIRES, E. C. P.; SÁ, P. F. O ensino de frações segundo a opinião docente. . In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.10, 2010. Salvador. Anais... Salvador – Bahia: Via Litterarum, 2010.

SILVA, T. V. da. A compreensão da idéia do número racional e suas operações na EJA: uma forma de inclusão em sala de aula. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) 132f. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Centro de Ciências Exatas e da Terra, 2007.

SMITH, D. E. History of Mathematics. Vol. 1. New York: Dover Publications Inc., 1958.

SOUSA, J. P. A importância da família no processo de desenvolvimento da aprendizagem da criança. Monografia. Ceará: Universidade Estadual Vale do Acaraú, 2012.

305

SOUZA, A. T. S.. Abordagem do conceito de fração: uma análise de livros didáticos. ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, n.11, 2013. Curitiba. Anais... Curitiba – Paraná: PUC/PR, 2013.

TARDIF, M. Os professores diante do saber: esboço de uma problemática do saber docente. In: __________. Saberes docentes e Formação Profissional. Petrópolis: Vozes, 2002, p. 31-35.

TEIXEIRA, A. M. O professor, o ensino de fração e o livro didático: um estudo investigativo. 2008, 194 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). São Paulo: PUC, 2008.

VASCONCELOS, I. C. P. Números Fracionários: a construção dos diferentes significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do ensino fundamental. 2007, 103 f. Dissertação (Mestrado em Educação). Porto alegre: UFRS, 2007.

306

APÊNDICE A – Questionário para Docentes

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO

Caro Professor (a),

Este instrumento faz parte de uma pesquisa e tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para a superação de obstáculos de ensino e aprendizagem de Matemática, encontrados por professores e alunos durante atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada.

Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho.

1 – Sexo: ( ) Feminino ( ) Masculino Data: ___/___/___ 2 – Faixa Etária: ( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos

( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos

( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos.

3 – Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações): ( )Ensino Superior.-_____________________________Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Especialização1. ____________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Especialização2. _________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Mestrado.__________________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Doutorado.________________________________ Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ 4 – Tempo de serviço como professor de Matemática: ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos

( )11-15 anos ( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos

( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( ) Mais de 35 anos

5 – Série(s) em que está lecionando atualmente: No ensino fundamental: _____________________No ensino Médio:____________ 6 – Quais as séries que você já lecionou matemática: No ensino fundamental: ________________No ensino Médio:_______________ 7 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( )Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( )Pública Federal

( )Privada ( )Outra. Qual?_______

307

8 – Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre metodologias de ensino de Fração? ( ) Não ( ) Sim. Qual? 9 – Durante sua atuação como professor de matemática você já fez algum curso ou participou de evento que abordou o ensino de Fração? ( ) Não ( ) Sim. Qual?_____ 10 – Quando você ensina Fração, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos ( ) nunca ensinei este assunto.

11 – Para fixar o conteúdo de Fração, você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver

12 – Quantas horas-aula você costuma dedicar ao ensino de Fração? __________ 13 – Preencha o quadro abaixo com base na sua experiência de professor(a).

ASSUNTO

COSTUMA ENSINAR

GRAU DE DIFICULDADE DOS ALUNOS

SIM NÃO MUITO FÁCIL

FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO DIFÍCIL

CONCEITO DE FRAÇÃO

TIPOS DE FRAÇÃO

REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÕES

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR

ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES

308

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÃO

DIVISÃO DE FRAÇÃO

PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE O TODO E DESEJA SABER A PARTE

PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA CONHECER O TODO

PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA ENCONTRAR OUTRA PARTE

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

309

APÊNDICE B – Questionário para Discentes

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO


Caro aluno (a),

Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino- aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato. Muito obrigado!

1 – Idade: ______anos 2 – Sexo: ( ) Feminino ( ) Masculino Data:__/___/_____ 3 – Escola:___________________________________ Ano: ___ 4 – A escola que você estuda fica no bairro que você mora? ( ) Sim ( ) Não 5 – Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( )Não ( ) As vezes 6 – Você costuma fazer compras (comércio, mercearia, supermercado, açougue, etc.)? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes 7 – Quem é o seu responsável masculino? ( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( ) Não tenho ( ) Outro. Quem?_________ 8 – Quem é a sua responsável feminina? ( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( ) Não tenho ( ) Outra. Quem?____________ 9 – Escolaridade do seu responsável masculino? ( ) Nunca estudou ( ) Ensino fundamental completo ( ) Ensino fundamental incompleto ( ) Ensino médio completo

( ) Ensino médio incompleto ( ) Ensino superior completo ( ) Pós-graduado ( ) Não sei responder

10 – Escolaridade do seu responsável feminino? ( ) Nunca estudou ( ) Ensino fundamental completo ( ) Ensino fundamental incompleto ( ) Ensino médio completo

( ) Ensino médio incompleto ( ) Ensino superior completo ( ) Pós-graduado ( ) Não sei responder

11 – Seu responsável masculino trabalha? _____ trabalha com que? 12 – Sua responsável feminina trabalha? _____ trabalha com que? 13 – Com quantos anos você começou a frequentar a escola? ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 () 7 14 – Você fez educação infantil? ( ) Não ( ) Sim 15 – Você já repetiu algum ano? ( ) Não ( ) Sim, qual? _______________. Qual a disciplina?_________________________. Quantas vezes? ______________. 16 – Quem lhe ajuda nas tarefas de Matemática? ( ) Ninguém ( ) Professor particular

( ) Responsável masculino ( ) Responsável feminino

310

( ) Irmão/Irmã ( ) Responsável masculino e feminino ( ) Outras pessoas da família ( tios, primos, .....)

( ) Colega de escola ( ) Outros, quem? _________________

17 – Você faz algum curso? ( )Informática ( )Língua estrangeira ( )Outro. Qual? _________________ 18 – Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito 19 – Você tem dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muita 20 – Você se distrai nas aulas de matemática? ( )Não, eu sempre presto atenção ( )Sim, eu não consigo prestar atenção ( )Às vezes, quando a aula está chata 21 – Suas notas em matemática são: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5 22 – Você costuma estudar matemática, fora da escola: ( ) Nunca estudo Matemática ( ) Uma vez por semana ( ) Duas vezes por semana ( ) Três vezes por semana ( ) Quatro vezes por semana

( ) Só na véspera da prova ( ) Só no período de prova ( ) Só nos finais de semana ( ) De segunda a sexta-feira ( ) Todo dia

23 – Você estudou o 6º ano em que tipo de escola: ( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal

( ) Particular ( ) Outro. Qual? ________________

24 – Você pratica esportes? ( )Não ( )Sim, qual?______________________ 25 – Você repetiu ou ficou em dependência em Matemática no 6º ano? ( ) Não ( ) Sim 26 – Quando você estudou o assunto Fração, a maioria das aulas era desenvolvida como? ( ) Pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) Com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) Com um experimento para chegar ao conceito ( ) Com jogos para depois sistematizar os conceitos

27 – Para fixar o conteúdo de Fração, o seu professor na maioria das aulas: ( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto ( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático

( ) Não fazia proposta de questões de fixação ( ) Pedia que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes (exemplo: internet, outros livros)

28 – As explicações do professor de Matemática são suficientes para você entender o que está sendo explicado? ( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) Quase nunca ( ) Nunca 29 – Quando você estudou Fração, alguma vez, o seu professor usou algum tipo de material além da explanação no quadro para ensinar o assunto? ( ) Não ( ) Sim. Qual (is)?_________________________ 30 – Preencha o quadro abaixo com base em seus conhecimentos sobre Fração:

311

ASSUNTO

GRAU DE DIFICULDADE

MUITO FÁCIL

FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO DIFÍCIL

CONCEITO DE FRAÇÃO

TIPOS DE FRAÇÃO

REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÕES

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR

ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÃO

DIVISÃO DE FRAÇÃO

PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE O TODO E DESEJA SABER A PARTE

PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA CONHECER O TODO

PROBLEMAS EM QUE SE CONHECE UMA PARTE E DESEJA ENCONTRAR OUTRA PARTE

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES ENVOLVENDO ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

312

APÊNDICE C Pré e Pós teste

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO


Caro aluno (a),

Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino- aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato. Muito obrigada!

Responda às questões a seguir: 1) Uma escola possui 100 livros didáticos para distribuir entre as turmas de 6º ano. Sabendo que cada turma receberá a quarta parte do total de livros, quantos livros cada turma receberá?

2) Joana fez um bolo e dividiu em 8 fatias para vendê-las. Após a venda, sobraram 3 fatias. Que fração representa o número de fatias que foram vendidas?

3) Miguel dividiu seus carrinhos entre seus dois irmãos menores. João, ficou com 2

5 dos

carrinhos e Felipe com 3

5. Qual irmão ficou com a maior quantidade de carrinhos? Por que?

4) Um terreno foi loteado para o cultivo de arroz, feijão e trigo. Para a plantação de

arroz ficou reservado 4

12 do terreno, para feijão separou-se

6

18 e para trigo sobrou

5

15. Para qual plantação ficou reservada a maior parte do terreno? Porquê?

5) Jade e Lúcio foram comer pizza. Jade comeu 1

4 e Lúcio

2

4 de uma pizza de calabresa.

Que fração da pizza eles comeram juntos?

6) Rodrigo toma 3

7 de litro de suco de laranja pela manhã, e

1

7 de litro durante o almoço.

Que fração de litro de suco ele consome a mais pela manhã?

313

7) Uma escola oferece aos seus alunos duas atividades em educação Física: Futebol e

vôlei. Entre os alunos da escola, 2

4 se inscreveram em Futebol e

1

8 em vôlei. Que fração

corresponde aos alunos inscritos?

8) 3

4 da população de uma cidade votou na eleição para prefeito.

1

2 das pessoas que

votaram são homens. Que fração representa os votos das mulheres?

9) Em uma prova de Matemática, 1

2 das questões eram sobre Aritmética. Destas

questões, 2

8 eram sobre adição. Que fração das questões da prova era sobre adição?

10) João comprou 2 kg de queijo prato e pediu para que fosse embalado em porções de 1

4 de kg. Quantas porções foram necessárias para embalar o queijo?

11) Um tanque cheio pode conter até 1

2 de metro cúbico de água. Para encher o tanque,

João utiliza porções de 2

10 de metros cúbicos de água. Quantas porções serão necessárias

para encher completamente o tanque?

12) O cachorro de Helena come 2

6 de um saco de ração por dia. Essa quantidade

preenche exatamente 2

3 do seu recipiente de alimentação. Quanto de ração seria necessário

para encher o recipiente inteiro?

314

Universidade do Estado do Pará

Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação

Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo 66113-200 Belém-PA

www.uepa.br/mestradoeducacao

o ensino de fraÇÕes por atividades -...

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