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Efeito FotoeletricoO Modelo Fısico do Problema

A Taxa da Probabilidade de Transicao

O Efeito FotoeletricoAtraves da Regra de Ouro de Fermi

Gabriel Brognara 1

1Instituto de Fısica de Sao CarlosUniversidade de Sao Paulo

15 de Junho de 2017

Gabriel Brognara Mecanica Quantica A



Conteudo

1 Efeito Fotoeletrico

2 O Modelo Fısico do Problema

3 A Taxa da Probabilidade de Transicao




Natureza Fısica da Luz

Teoria Ondulatoria:James Maxwell ∇

2 ~E = µ0ε0∂2 ~E∂t2

∇2 ~B = µ0ε0∂2 ~B∂t2

Teoria Corpuscular:Max Planck e Albert Einstein

u(ν,T ) =8πhν3

c3

1

ehν/kBT − 1




Efeito Fotoeletrico

Emissao de eletrons de um metal devido a incidencia de luz




Efeito Fotoeletrico

Resultado experimentais:

A dependencia da quantidade de eletrons ejetados com afrequencia da luz (ν) e do metal utilizado;

A independencia da velocidade de ejecao maxima com aintensidade da luz;

A existencia de uma frequencia de corte (ν0);

Em 1905, Einstein propos que a luz fosse constituıda porpartıculas (fotons) de energia hν, obtendo:

hν = Kmax + w0




Conteudo







Ionizacao do Atomo de Hidrogenio

Estado Inicial:

|i〉 = Ψ100(r) =1

(πa30)1/2

e−r/a0

Estado Final:

|f 〉 =1√Ve−i

~k·~r

Luz Incidente:~ε(t) = εocos(ωt)z

Regra de Ouro de Fermi:

Ri→f =2π

~| 〈f |H′ |i〉 |2ρ(Ef )




Conteudo







Hamiltoniano da Regra de Ouro

Hamiltoniano dependente do tempo:

H ′(t) = eε0zcos(ωt) =eε0z

2(e iωt + e−iωt)

Na Regra de Ouro,

H ′(t) = H′e−iωt

Hamiltoniano da Regra de Ouro:

H′ =eε0

2z =

eε0

2rcosθ




Calculo do Elemento de Matriz

Considerando o estado inicial, final e o Hamiltoniano H′, temos:

〈f |H′ |i〉 =eε0

2(Vπa30)1/2

∫ ∞0

dr ′r ′3er′/a0

∫ΩdΩ′e i

~k ′·~r ′cosθ′




Integral Radial

Expansao da Onda Plana:

e i~k·~r ′ = 4π

∞∑l=0

l∑m=−l

i l jl(kr′)[Ym

l (θ, φ)]∗Yml (θ′, φ′)

Inserindo no Elemento de Matriz:

〈f |H′ |i〉 =4πeε0

2(Vπa30)1/2

∞∑l=0

i l∫ ∞

0dr ′r ′3er

′/a0 jl(kr′)

l∑m=−l

[Yml (θ, φ)]∗

∫ΩdΩ′cosθ′Ym

l (θ′, φ′)

cosθ′ =

(4π

3

)1/2

[Y 01 (θ′, φ′)]∗




Integral Radial

Devido a ortogonalidade dos Yml , temos:

〈f |H′ |i〉 =2πieε0cosθ

(Vπa30)1/2

∫ ∞0

dr ′r ′3e−r′/a0(

sin(kr ′)

k2r ′2− cos(kr ′)

kr ′

)∫ ∞

0dr ′r ′3e−r

′/a0

(sin(kr ′)

k2r ′2− cos(kr ′)

kr ′

)=

8ka50

(1 + k2a20)3

Elemento de Matriz

〈f |H′ |i〉 = 16ieε0cosθ

(πa5

0

V

)1/2ka0

(1 + k2a2o)3




Densidade de Estados

Numero de Estados com Energia entre Ef e Ef + dEf = ρ(Ef )dEf

Vetor de Onda k

k =nπ

L, n ∈ Z

Para uma partıcula livre:

ρ(Ef )dEf =1

8

1

(π/L)3k2dkdΩ

Como dEf = (~2/m)kdk, temos:

Densidade de Estados

ρ(Ef ) =V

(2π)3

mk

~2dΩ




Taxa da Probabilidade de Transicao

Para um dado angulo solido:

dRi→f

dΩ=

64ε20a

30cos

2θ

π~(ka0)3

(1 + k2a2o)6

Escrevendo k em funcao de ω:

~ω = ~ω0 +~2k2

2m⇒ k2a2

0 =ω − ω0

ω0

Integrando em todo o angulo solido:


Ri→f =256ε2

0a30

3~

(ω0

ω

)6(ω

ω0− 1

)3/2




Resultados


Ri→f =256ε2

0a30

3~

(ω0

ω

)6(ω

ω0− 1

)3/2

Dependencia com ω e ε20

ω/ω0 ≥ 1

Ri→f → 0 quando:ω → ω0 e ω →∞ωmax = 4

3ω0




Resultados

Ressonancia Tradicional

ω = ω0;

k2a20 = ω−ω0

ω0= 0

Se k = 0, Ef = 0;

Tal transicao violaria o Princıpio de Conservacao de Energia!

Assim, somente quando ω difere um pouco de ω0 e que se temum numero de estados nao nulo, possibilitando uma transicao.




Conclusao

Efeito Fotoeletrico

Ionizacao do Atomo de Hidrogenio;

Taxa da Probabilidade de Transicao;

Dependencia com ω e ε20;

ωmax = 43ω0.




Referencias

(1) Shankar, R.; Principles of Quantum Mechanics. Secondedition, 1994. Springer Science.

(2) Eisberg, R.; Resnick, R.; Quantum Physics of Atoms,Molecules, Solids, Nuclei and Particles. First edition, 1974.Jonh Willey & Sons, Inc.

(3) Cohen-Tannoudji, C.; Diu, B.; Laloe, F.; Quantum Mechanics.First edition, 1977. Jonh Willey & Sons, Inc.


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