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O ÂNGULO DE ELEVAÇÃO DO SOL E A ENERGIA SOLAR  

Antonio da Silva Gomes  Júnior1,  José Paulo Rodrigues da Silveira, Thatiane de Almeida Oliveira, Eugenia Brunilda Opazo Uribe  Universidade  Federal  de Mato  Grosso  do  Sul  –  Campus  de  Três  Lagoas.  E‐mail:  antonio_3lagoas@hotmail.com. 1Bolsista do Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS 

  RESUMO O  trabalho apresenta resultados de um estudo sobre o  texto “A Geometria do Globo Terrestre” que  foi  desenvolvido  como  parte  das  atividades  do  projeto  Grupos  de  Estudo  em  Ensino  de Matemática,  vinculado  às  disciplinas  de  Prática  de  Ensino  de Matemática,  com  o  objetivo  de entender o conceito de ângulo de elevação do Sol e sua relação com a intensidade relativa solar, como aplicações de conceitos de Geometria e Trigonometria. Foram estudados alguns conceitos geográficos  importantes para o desenvolvimento do trabalho, bem como a  leitura de mapas. Em seguida, foram determinados o ângulo de elevação do Sol e a intensidade relativa do Sol nos dias de Equinócios e de Solstícios, reproduzindo primeiro os dados apresentados pelo autor do texto e em seguida foram determinados dados de outras cidades de diferentes latitudes, para estabelecer comparações.  Palavras‐chave: Ângulo de Elevação do Sol, Intensidade relativa do Sol, Ensino de Matemática  

INTRODUÇÃO 

O  trabalho  apresenta  resultados  de  um  estudo  sobre  o  texto  “A  Geometria  do  Globo 

Terrestre” produzido para a  II Bienal de Matemática e que foi disponibilizado para utilização em 

nível de Iniciação Científica. O texto é desenvolvido em 6 capítulos e explora segundo o seu autor 

“a  geometria  da  esfera  que  encontra  na Geografia  uma  natural  contextualização  por meio  do 

estudo do globo terrestre e dos vários assuntos a ele relacionados” (Alves, 2009). Este trabalho foi 

desenvolvido como parte das atividades do projeto Grupos de Estudo em Ensino de Matemática, 

que  busca  desenvolver  conteúdos  de  Matemática  do  Ensino  Básico,  complementados  por 

aplicações  e  exemplos  motivadores  e  está  vinculado  às  disciplinas  de  Prática  de  Ensino  de 

Matemática. O objetivo do presente  trabalho é entender os  conceitos de ângulo de elevação e 

intensidade relativa solar e a relação existente entre eles, como aplicações de alguns conceitos de 

Geometria e Trigonometria. 

Para desenvolver o presente  trabalho houve  a necessidade de desenvolver um  trabalho 

teórico,  fazendo uma revisão de vários conceitos de Geometria, como por exemplo, a superfície 

esférica e seus elementos, posições relativas de um plano em relação a uma superfície esférica, 

bem como posições relativas de uma reta em relação a uma superfície esférica e posições relativas 

entre  duas  superfícies  esféricas  (Gerônimo,  2010).  Em  seguida,  foram  estudados  com  bastante 

atenção  alguns  conceitos  de Geografia,  necessários  ao  desenvolvimento  do  trabalho,  como  as 

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coordenadas  geográficas  latitude  e  longitude, movimentos  da  Terra  e  estações,  equinócios  e 

solstícios.  Estes  conceitos  foram  estudados  com  base  em  Alves  (2009),  Grimm  (1999)  e  Silva 

(2010), cujos textos foram utilizados para apresentar, a seguir, os principais conceitos de maneira 

resumida. 

O  globo  terrestre  e  os  mapas  permitem  localizar  uma  determinada  cidade  ou  região, 

utilizando as chamadas coordenadas geográficas: latitude e longitude. A latitude de um ponto P é 

a medida  do  arco  do meridiano  que  passa  por  P  situado  entre  o  paralelo  que  contém  P  e  o 

Equador, é expressa em graus, minutos e segundos e varia de  S  (Pólo Sul) a  N (Pólo Norte). 

A  longitude  de  um  ponto  P  é  a medida  do  arco  do  paralelo  que  passa  por  P  situado  entre  o 

meridiano que contém P e o meridiano de Greenwich, é expressa em graus, minutos e segundos e 

se mede de   a  E  (leste) ou de   a  W (oeste) (Silva, 2010). 

90 90

0 180 0 180

A Terra tem dois movimentos principais, o movimento de rotação, em torno de seu eixo, e 

o movimento de translação, em torno do Sol. Como conseqüência do movimento de rotação da 

Terra,  o  Sol  vá  iluminando  progressivamente  diferentes  regiões,  resultando  em  dia  nas  partes 

voltadas para o Sol e noite nas outras. Uma das conseqüências do movimento de translação é o 

ciclo das estações do ano, que ocorrem porque o eixo da Terra está  inclinado  relativamente ao 

plano da sua órbita. Devido à  inclinação existente, os dias e as noites não têm a mesma duração 

em  todos  os  lugares  da  Terra,  porque  a  orientação  da  Terra  em  relação  ao  Sol  muda 

continuamente durante o movimento. Existem duas exceções, que ocorrem aproximadamente em 

21 de março e 23 de setembro, são os chamados equinócios, nestes dias os raios solares incidem 

perpendicularmente  sobre a  linha do Equador, que  recebe mais  calor. Existem outros dois dias 

especiais,  são  os  chamados  solstícios,  que  ocorrem  aproximadamente  em  21  de  dezembro 

(solstício de verão para o Hemisfério Sul e o solstício de  inverno para o Hemisfério Norte), neste 

dia o Hemisfério Sul tem o dia mais longo e a noite mais curta e no Hemisfério Norte a situação se 

inverte. Aproximadamente em 21 de junho ocorre o solstício de inverno para o Hemisfério Sul e o 

solstício de verão para o Hemisfério Norte, neste caso o Hemisfério Sul tem a noite mais longa do 

ano, enquanto no Hemisfério Norte esta data indica o dia mais longo do ano (Grimm, 1999). 

A quantidade relativa de energia solar recebida por um lugar também está relacionada com 

a  inclinação  da  Terra.  A  grande maioria  da  energia  solar  nunca  alcança  a  superfície  da  Terra. 

Porém,  a  intensidade  de  radiação  que  a  alcança  varia  de  acordo  com  o  chamado  ângulo  de 

elevação do Sol (Alves, 2009).  

 

 

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METODOLOGIA 

O  trabalho é  resultado de uma pesquisa  teórica desenvolvido em grupo como parte das 

atividades  do  projeto Grupos  de  Estudo  em  Ensino  de Matemática,  vinculado  às  disciplinas  de 

Prática de Ensino de Matemática. O  trabalho  incluiu uma etapa de  leitura e discussão do  texto, 

divisão  dos  tópicos,  desenvolvimento  das  atividades  propostas  e  a  tabulação  dos  resultados 

obtidos.  Foi  realizada uma  atividade experimental no  Laboratório de  Ensino de Matemática do 

Campus de Três Lagoas da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. O estudo e as atividades 

desenvolvidas foram avaliados através da apresentação de seminários de discussão.  

 

RESULTADOS 

Desenvolvimento Teórico 

  Em primeiro  lugar foi necessário fazer a  leitura e discussão do texto de Alves (2009), para 

entender os conceitos de ângulo de elevação e sua relação com a intensidade relativa solar. Para 

isto,  consideraremos uma  circunferência C, um ponto P do  globo  terrestre  representando uma 

localidade qualquer e uma reta t tangente a C em P. O ângulo de elevação ao meio‐dia solar em P, 

será o menor ângulo formado pelos raios solares e pela reta t, como representado na figura 1. 

 

Figura 1. Ângulo de Elevação do Sol Alves (2009). 

 

Estamos  interessados em calcular a  intensidade relativa solar que alcança a superfície da 

Terra,  para  isto  precisamos  do  conceito  apresentado  por  Alves  (2009)  e,  entenderemos 

intensidade  relativa como a  razão da  intensidade de  radiação  solar  incidente na  superfície pela 

intensidade  de  radiação  se  os  raios  incidissem  perpendicularmente  à  superfície  (ângulo  de 

elevação  igual  a  ).  Quanto mais  próximo  de    a medida  deste  ângulo  estiver, maior  a 

intensidade da radiação solar.  

90 90

Esta situação pode ser representada através de uma atividade experimental sugerida por 

(Alves, 2009), que foi reproduzida pelos autores no Laboratório de Ensino de Matemática e que é 

facilmente  reproduzível  em  sala  de  aula,  utilizando  duas  folhas  de  papel  e  uma  lanterna.  Esta 

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atividade  oferece  um  bom  modelo  para  quantificar  a  relação  entre  a  medida  do  ângulo  de 

elevação do Sol e a intensidade relativa da radiação solar recebida por uma cidade particular. Em 

primeiro  lugar, escurecemos o  local e acendemos uma  lanterna  sobre um papel branco A e em 

seguida sobre um papel branco B, como indicado na figura 2. Como resultado, observamos através 

da sombra que B projeta em A, que ao inclinarmos o papel B, diminui a sombra mostrando que a 

quantidade de luz que incide sobre B também diminui. A quantidade de energia luminosa recebida 

pelo  papel  inclinado  é  a mesma  recebida  por  C,  que  é  paralelo  a  A.  Neste modelo,  o  papel 

representa uma área da Terra e o ângulo do papel representa o ângulo de elevação do Sol. 

Figura 2. M ntre a medida do ângulo de elevação do 

Sol e a intensidade relativa solar (Alves, 2009). 

a energia luminosa recebida pelo papel a medida que o ângulo 

de elevação do Sol (α) é reduzido.  

odelo experimental para quantificar a relação e

 

A figura 3 apresenta uma ilustração da visão lateral do modelo experimental. De esquerda 

para direita, mostra como diminui 

 

Figura   Ilustração da visão lateral do modelo experimental (Alves, 2009). 

z  sol

comprimento  d

3.

 

Considerando  o  triângulo  retângulo  da  figura  3,  observamos  que  podemos  obter  uma 

medida  da  intensidade  relativa  da  lu ar,  através  da  razão  entre  o  comprimento  de  C  e  o 

e  B,  que  representa  sen .  Se  o  comprimento  de  B  é  tomado  como tão   1,  en

CCsen 1 .  Por  exemplo,  se  B  é  perpendicula ireção  da  luz  solar,  isto  é,  90 ,  a 

intensidade relativa da luz  r (neste caso igual a  90sen ) é 1 ou, em porcentagem, 10 e o 

ângulo  de  elevação  é  de  57 en

r  à  d

sola

  por    tã   recebe  aproximadament da 

diação solar disponível,    

0%. S

e  84%  ,

pois 

exemplo,

0,8387

o  o  papel

57sen .ra

 

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O Ângu

s  valores  obtidos  tanto  para  o  ângulo  de  elevação  como  para  a 

intensi

é tangente a Terra no 

repres Terra. que  as retas

lo de Elevação do Sol e a Intensidade Relativa Solar nos Equinócios 

Determinaremos  a medida  do  ângulo  de  elevação  do  Sol  ao meio‐dia  solar,  isto  é,  o 

momento em que o Sol está mais alto no céu, nos dias de equinócios de primavera e outono, para, 

com estes dados, obter a intensidade relativa solar. Em primeiro lugar reproduzimos os resultados 

apresentados por Alves (2009) para a cidade de Porto Alegre e em seguida, efetuamos o mesmo 

desenvolvimento para obter e apresentar resultados para outras cidades, de diferentes  latitudes 

mostrando  a  variação  do

dade relativa solar. 

Consideremos a cidade de Porto Alegre  localizada a 30° de  latitude sul e representada na 

figura 4 pelo ponto P. Nesta mesma figura, a reta ponto P e o ponto O 

enta o centro da   Observamos  0  pois

 

PB  

B  ( ) ( ) 3m OP m APC ,

AP    e

sma  la

madamente  86%  da  que  seria  se  os  raios  solares  incidissem 

perpendicularmente à superfície. 

  

BO     são paralelas  aos  raios  solares.  Logo  60)( APBm ,  considerando que  ( ) 90m BPC . 

Assim,  o  ângulo  de  elevação  do  Sol  ao meio‐dia  solar,  durante  os  equinócios  de  primavera  e 

outono, na cidade de Porto Alegre mede 60°, o mesmo acontece com outras cidades que tenham 

a me titude. Como vimos anteriormente, a  intensidade relativa da radiação solar será dada 

por  60sen , isto é, aproximadamente 0,8660, indicando que a intensidade de Sol em Porto Alegre 

nos  dias  de  equinócios  é  aproxi

 

  Representação  do  ânguFigura  4  ‐ lo  de  elevação  do  Sol  para  a  cidade  de  Porto  Alegre  nos 

Equinócios (Alves 2009). 

 

Analogamente, podemos  calcular  a  intensidade  relativa da  radiação  solar que  incide em 

qualquer  cidade  cuja  latitude  seja  conhecida.  Com  a  utilização  de  mapas  obtivemos  dados 

aproximados de latitude de algumas cidades, para as quais foi calculada a intensidade relativa da 

radiação solar ao meio‐dia solar nos dias de equinócios. Foram escolhidas cidades de diferentes 

latitudes, para observar as variações dos valores obtidos, os resultados são apresentados na tabela 

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1. Por exemplo, a cidade de Três Lagoas em Mato Grosso do Sul (Brasil), está  localizada a 20° de 

rtanto, o ângulo de elevação do Sol ao meio‐dia solar nos dias de equinócios mede 

702090 . Indicando que a intensidade relativa da radiação solar que a cidade rece  nesses 

dias,  é aproximadamente de 94%. Observamos que a cidade de João Pessoa no Brasil ( 07 S) tem 

a  maior  intensidade  relativa  solar,  aproximadamente  99%,  enquanto    a  cidade  de  Nuuk 

latitude sul. Po

be

na 

latitude N, tem a menor intensidade relativa solar, aproximadament  

. Ângulo de do So r nos Equ

Groenlândia de    64 e 44%.

 

Tabela 1  Elevação  l e Intensidade Relativa Sola inócios 

Cidade  Latitude  Ângulo de Elevação do Sol  Intens lativa idade Re

Três Lagoas  20 S  S 70 0.9397 

João Pessoa 

ia 

  N  N  0,4384 

07  S  83  S  0.9925 

Ushua 54 S  36 S  0.5878 

Nuuk 64 26

 

O Ângu

em perpendicularmente sobre o Trópico 

de Cân

ng

tada lo p

representa  o  centro  Terra.  Como 

lo de Elevação do Sol e a Intensidade Relativa Solar nos Solstícios 

Agora iremos calcular a medida do ângulo de elevação do Sol ao meio‐dia solar nos dias de 

solstício do mês de junho. Nesse dia os raios solares incid

cer, aproximadamente a 23°30’ N de latitude.  

Em primeiro  lugar,  foram  reproduzidos os dados  apresentados por Alves  (2009) para  as 

cidades de Cleveland e Porto Alegre. Em seguida, apresentamos  resultados para outras cidades, 

como  no  caso  dos  equinócios.  A  figura  5  (esquerda) mostra  o  â ulo  de  elevação  do  Sol  em 

Cleveland, localizada a  41 N e represen  pe onto P. A reta    é tangente a Terra em P, O 

PB

da 

AP  

(EOB

e 

)

BO  

41

são  paralelas   solares,  temos  que 

 

  aos

´30

  raios

17´3023)(()( mEOPBOPmAPCm .) m

 

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Figura  resentação    eleva

spectivamente, no 

5  ‐  Rep do  ângulo  de ção  do  Sol  para  as  cidades  de  Cleveland  e  Porto 

Alegre, re solstício de junho (Alves 2009). 

 

Como  90BPC ,  segue que  APB , que  é o  ângulo de  elevação do  Sol  ao meio‐dia 

solar,  tem medida  90 17 30́ 72 30´ .  Assim,  Cleveland  e outras  cidades  localizadas  a  41° de 

latitude norte  recebem o maior brilho  solar direto do  ano durante o dia de  solstício de  junho, 

quando

e  ce   de   da  que  âng e  d

no solstício de junho.  

a), p

 Assim, e o menor 

o 

para  as  cidades 

adas anterio o cas os estão 2. 

ulo de Elevação do Sol e Intensidade  iva Solar Solstício Junho

  o  ângulo  de  elevação  do  Sol mede  72°30’  ao meio‐dia  solar,  indicando  que  Cleveland 

receb rca   95% radiação  solar    incidiria  se  o ulo  foss e  90°  ao meio‐dia 

De maneira análoga, utilizando a figura 5 (direit odemos reproduzir o desenvolvimento 

para  o  caso  da  cidade  de  Porto  Alegre;  obtemos  que  

´3053´302330)()(( EOBmEOPmBOm ,  assim  ´3053)( APCm , portanto o 

ângulo de elevaç  do Sol ao meio‐dia solar mede  36

) P

ão ´30

brilho s

ângulo  osse de  90  ao meio‐dia no solstício de junho. 

.  Porto Alegre  receb

olar direto do ano durante o dia de solstício de junho, quando o ângulo de elevação do Sol 

mede  ´3036 ,  indicando que Porto Alegre recebe cerca de 59% da radiação solar que incidiria se 

f

Seguindo  o  mesmo  raciocínio,  determinamos  estes  mesmos  dados 

consider rmente n o dos equinócios, os resultad  registrados na tabela 

 

Tabela 2. Âng Relat  

Cidade  Latitude  Ângulo de Elevação do Sol  Intens lativa idade Re

Três Lagoas  S 20 43 30́ S  0.7254 

João Pessoa  S  S  0.8616 

Ushua

07   30 30́  

ia  54 S  77 30́ S  0.2164 

Nuuk  64 N  40 30´ N  0,7604 

 

O  solstício de  junho marca o  início do  inverno no hemisfério  sur e o  início do  verão no 

hemisfério norte. Os dados da tabela 2 mostram que, a cidade de Ushuaia na Argentina, recebe a 

menor intensidade  relativa  solar,  aproximadamente  22%,  enquanto  a  cidade  de  Nuuk  na 

recebe  aproximadamente  76%.  Através  de  raciocínio  análogo  podemos  obter 

resulta

 

Groenlândia 

dos para o caso do solstício de dezembro.  

 

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dias de equinócios, bem como para o solstício de junho em várias cidades, de diferentes 

latitudes, o que permitiu  fazer  comparações entre os  resultados obtidos. Os dados obtidos  são 

devido  à  aproximação  dos  dados  utilizados  para  a  latitude,  que  é  utilizada  nos 

cálculo

tiva do Sol nos dias de Equinócios e Solstícios, a partir do conhecimento 

da  latitude  de  uma  cidade. O  trabalho  oferece  uma  oportunidade  para  o  desenvolvimento  de 

isciplinares,  vinculando  conceitos  utilizados  em Geometria  e  Trigonometria  com 

conceitos da Geografia. 

 

REFERÊNCIAS 

ALVES, S. A geometria do Globo Terrestre. Programa de Iniciação Científica OBMEP. No. 6. 2009. 

cial: Um Estudo Axiomático. 2ª. Ed. Editora 

da Universidade Estadual de Maringá.2010. 

GRIMM, A.M. Radiação Solar e Terrestre. Balanço de Calor. Notas de Aula de Meteorologia Básica. 

Universidade Federal do Paraná. 1999. Disponível em: 

ia.  2010.  Disponível  em: 

<http://docs.fct.unesp.br/docentes/carto/JoaoFernando/EngCart/>. Consultado em: 22/09/2012. 

E DE  LISBOA. O Nosso  Sistema  Solar. PRISMA: À  Luz da  Física.   CFTC – Centro de 

Física Teórica e Computacional. Disponível em: 

<http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo1/modulo5/topico3.php>.  Consultado  em: 

15/09/2012. 

 

DISCUSSÃO 

Foram obtidos  resultados para o ângulo de elevação do Sol e para a  intensidade relativa 

solar nos 

aproximados, 

s. 

 

CONCLUSÃO 

Através do trabalho foram obtidos resultados que permitem calcular o ângulo de elevação 

do Sol e  intensidade rela

projetos multid

GERÔNIMO, J.R. FRANCO, V.S. Geometria Plana e Espa

<http://fisica.ufpr.br/grimm/aposmeteo/index.html>. Consultado em: 16/09/2012. 

SILVA,  J.F.C. Notas de Aula de Cartografia. Capítulo V. Universidade Estadual Paulista. Faculdade 

de  Ciência  e  Tecnolog

UNIVERSIDAD