números reais e equações. potenciação por exemplo: 2 4 = ( ‒ 5). ( ‒ 5) = 25 ( ‒ 5) 2 =...

Números reais e equações

Números reais e equaçõesPotenciação

Por exemplo: 24

= (‒5) . (‒5) = 25 (‒5)2

= 2 . 2 . 2 . 2 = 16

= . . =

onde: • a: base

an (a ≠ 0)= a . a . a . ... . an fatores

• n: expoente• resultado: potência

2

Números reais e equaçõesPropriedades da potenciação

am . an = am + n

Por exemplo: (‒3)2 + 4 = (‒3)6 (‒3)2 . (‒3)4 =

1ª propriedade: Multiplicação de potências de mesma base

(a ≠ 0)

2ª propriedade: Divisão de potências de mesma base

am : an = am – n

Por exemplo: 57 : 54 = 57 – 4 = 53

(0,2)5 : (0,2) = (0,2)5 – 1 = (0,2)4

(a ≠ 0)

. = =

3


(am)n = am . n

[ (‒0,1)3 ]2 = (‒0,1)3 . 2 = (‒0,1)6

(32)4 = 32 . 4 = 38

Por exemplo:

(a . b)n = an . bn ou = = an : bn = (a : b)n

(2 . 3)3 = (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) = (2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3) = 23 . 33

(5 : 2)2 = = = = 52 : 22

(a ≠ 0 e b ≠ 0)

(a ≠ 0)

Propriedades da potenciação

3ª propriedade: Potência de potência

Por exemplo:

4ª propriedade: Potência de um produto ou de um quociente

.

4


Observe as sequências que se seguem:

O padrão dessas sequências é sempre dividirmos o termo anterior pela base.

8 : 2 = 4 27 : 3 = 9

4 : 2 = 2 9 : 3 = 3

2 : 2 = 1 3 : 3 = 1

De modo geral, escrevemos:

a0 = 1 (a ≠ 0)

Expoente zero

23 22 21 20

8 4 2 1

33 32 31 30

27 9 3 1

5


35 : 36 = =

=

Veja esta divisão:

ou então: 35 : 36 = 35 – 6 = 3 –1

então: 3 –1 =

Analise agora a sequência:

Portanto: a –n = =

23 22 21 20 2‒1 2‒2 2‒3

8 4 2 1

Potenciação com número inteiro negativo no expoente

6


Um número escrito na notação científica corresponde ao produto de umnúmero decimal de 1 a 10, excluído o 10, por uma potência de base 10.

Por exemplo: O comprimento de uma célula do olho é de, aproximadamente, 0,0045 cm.

Em notação científica

4,5 . 10–3

Outros exemplos:

26 000 000 000 = 2,6 . 1010

0,0000942 = 9,42 . 10–5

Notação científica

0,0045 =

7

EY

E O

F S

CIE

NC

E /

SC

IEN

CE

PH

OTO

LIB

RA

RY

/ LA

TIN

STO

CK


A ideia de raiz quadradaExemplos: = 2 (22 = 4)

= 4 (42 = 16)

= 1,5 (1,52 = 2,25)

Raiz quadrada exataÉ uma raiz quadrada de um número real que dá um número racional.

= = = 1,5, pois (1,5)2 = 2,25

= 7, pois 72 = 49

= , pois =

Radiciação

15

15

225

75

25

1

3

3

5

55

8


Qual é a raiz de 18?

A raiz de 18 é maior que 4, pois 42 = 16, e menor que 5, pois 52 = 25.

Portanto fica entre 4 e 5, ou seja, 4 < < 5.

(4,1)2 = 16,81;

(4,2)2 = 17,64;

(4,3)2 = 18,49;

Portanto fica entre 4,2 e 4,3 (4,2 < < 4,3)

Podemos continuar o processo fazendo aproximações sucessivas.

RadiciaçãoRaiz quadrada não exata

≃ 4,2 (por falta)

≃ 4,3 (por excesso)

9


= 2, pois: Então: = 2

Raízes cúbicas exatas e não exatas

é raiz cúbica exata, pois:

2744 = 23 . 73 = 143

= 14

não é raiz cúbica exata, pois:

33 = 27 e 43 = 64

(3,5)3 = 42,875 e (3,6)3 = 46,656

≃ 3,5 (por falta) ≃ 3,6 (por excesso)

8: radicando3: índice2: raiz

: radical

RadiciaçãoRaiz cúbica

23842

222

1

4515

5

335

1

27441372

686

2

2

234349

71

7

7

7

10


Para a e b reais não negativos e n natural maior que 1, as afirmações an = b e = a são equivalentes e indicamos assim:

Quando n é ímpar, a e b podem ser negativos.

Exemplos: = 3, pois 34 = 81

an = b = a

RadiciaçãoRaiz enésima de um número real

= ‒10, pois (‒10)5 = ‒100 000

não existe em , pois nenhum número real elevado à quarta potência dá número negativo.

11


1ª propriedade

= a n natural maior que 1 a real não negativo, se n é par a real qualquer, se n é ímpar

Exemplos:

2ª propriedade m, n e p naturais maiores que 1 p divisor comum de n e m

Propriedades dos radicais

Exemplos: = =

= 2, pois = = 2

= e =

= =

= ‒ 2, pois = = –2

12


n natural maior que 1 a e b real não negativo, se n é par a e b real qualquer, se n é ímpar

4ª propriedade n natural maior que 1 a real não negativo e b real positivo, se n é par a real qualquer e b real não nulo, se n é ímpar


3ª propriedade

Exemplos: =

= . .

Exemplos: = .

= .

= ou = :

=

13


5ª propriedade

n e m natural maior que 1 a real não negativo, se n . m é par a real qualquer, se n . m é ímpar


=

=

14

= =Exemplos:


Operações com radicais: Multiplicação e divisão

Exemplos:

Operações com radicais: Adição e subtração

Exemplos:

Radiciação

. =

. = . =

. ( + ) = . + . = + = +

+ = + = 2

‒ = + = ‒ =

+ =

. =

15


Racionalização de denominadores

1º caso: O denominador contém radical de índice 2

= = =

2º caso: O denominador contém radical de índice diferente de 2

= = = =

3º caso: O denominador contém uma soma ou uma diferença envolvendo raiz quadrada

= = =

Radiciação

16

Números reais e equaçõesGrau de uma equação com uma incógnita

Um equação é toda igualdade que contém letras que representam números desconhecidos, chamados de incógnitas.

Observe os exemplos abaixo:

• 3x – 1 = 14 É uma equação de incógnita x.

É uma equação de incógnita x e y.

Não é uma equação.

Não é uma equação.• 1 + 1 = 2

• 2x + 5 < 3

• x2 + y = 5

17

Quais deles são equações? Quais as suas incógnitas?

Números reais e equaçõesExamine agora essas equações e seus respectivos nomes.

Você sabe o que define o grau da equação?

Observe novamente os exemplos acima e tente encontrar uma regra.

Depois de reduzir os termos semelhantes, quando todos os expoentes da incógnita forem número naturais, o maior desses expoentes é o que determina o grau da equação.

2x + 5 = 13

+ 5 = x2 + 1 = 10

x2 – 2x + 1 = 0 2x3 = 16

x3 + x2 + 2x -3 = 0

18


Então, a área de cada quadrado é x2.

A área total é a soma das áreas dos quadrados; então, é 2x2 = 162.

Leonel tem um terreno retangular de 162 m2 e deseja dar o terreno para seus dois filhos; para isso ele precisa dividi-lo em dois terrenos quadrados iguais.

Se a medida do lado de cada quadrado é x, como podemos calcular esse valor?

162 m2

x

x

19


ax2 + bx + c = 0 Forma geral ou forma reduzida.

Os números a, b, c são chamados coeficientes da equação, e x é a incógnita.

5x2 = 0(a = 5; b = 0 ; c = 0)

3x2 – 2x = 0(a = 3; b = 2 ; c = 0)

-4x2 +10 = 0(a = - 4; b = 0; c = 10)

3x2 + x + 8 = 0(a = 3; b = 1; c = 8)

Equações completas e incompletas

20

Números reais e equaçõesRaízes ou soluções de uma equação do 2º grau

Você se recorda do que significa resolver uma equação?

Resolver uma equação é calcular suas raízes ou encontrar suas soluções.

Substituindo por 2:

Vamos substituir e verificar se esses valores são realmente raízes?

Substituindo por 3:

22 – 5(2) + 6 = 0

4 – 10 + 6 = 0

0 = 0

Logo, x = 2 é solução da equação.

32 – 5(3) + 6 = 0

9 – 15 + 6 = 0

0 = 0

Logo, x = 3 é solução da equação.

21


Qual a medida de cada lado de uma região quadrada com área de 144 cm2?

Indicando ℓ como a medida do lado da figura têm-se:

ℓ2 = 144

Pode-se dizer então que ℓ = + 12 ou ℓ = –12 ou, ainda, que ℓ′ = + 12 e ℓ″ = –12.

ℓ = ±12

Fique atento ao uso do ou e do e!

Note que essa equação é equivalente a ℓ2 – 144 = 0.Ou seja, é uma equação incompleta.

ℓ = ±

22


3x2 = 0

Como +0 e –0 indicam o mesmo número, podemos concluir que esse tipo de equação sempre tem duas raízes reais e iguais a zero.

x2 = 0

x′ = x″ = 0

x2 =

x = ±

23


Como essa questão pode ser resolvida?

Qual o número que tem o dobro do seu quadrado igual ao seu quádruplo?

x 4x2x2

Então, montando a equação tem-se que: 2x2 = 4x

2x2 – 4x = 0

x . (2x – 4) = 0(2x – 4) = 02x = 4x = 2

x = 0

Note que nessa passagem foi feita uma fatoração.

Tente encontrar uma solução por meio de uma equação incompleta com b 0 e c = 0.

24


Equações do tipo ax2 + bx + c = 0 cujo primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito

9x2 – 30x + 25 = 0

O único número real que elevado ao quadrado dá zero é o próprio zero. Assim, 3x – 5 = 0.

(3x – 5)2 = 0

(3x)2 2 . 5 . 3x 52

3x – 5 = 0

3x = 5 Outros exemplo: x2 + 8x + 16 = 0(x + 4)2 = 0

x + 4 = 0x = –4

x =

25

Números reais e equaçõesMétodo de completar quadrados

Veja como podemos resolver a equação x2 + 6x – 7 = 0:

x2 + 6x – 7 = 0 x2 + 6x = 7

Quadrado de x 2 . x . 6

x2 + 6x + 9 = 7 + 9

Quadrado de 3

Essa é a interpretação geométrica desse “completamento de quadrado”.

O que fizemos foi completar o quadrado juntando 9 regiões quadradas de área 1 e então encontramos um quadrado perfeito.

x2

x

x x x

x

x

1 1 1

1 1 1

1 1 1

26

Números reais e equaçõesAgora vamos resolver a equação:

x2 + 6x – 7 = 0

(x + 3)2 = 16

x2 + 6x = 7

x2 + 6x + 9 = 7 + 9

x + 3 = ±4

x + 3 = + 4 x + 3 = – 4

x = + 4 – 3

x = + 1

x = – 4 – 3

x = – 7

x + 3 = ±

27


ax2 + bx + c = 0

Dividimos agora todos os membros por a.

Fatoramos o trinômio quadrado perfeito.

Completamos o quadrado do primeiro membro somando

x2 + x + = 0

x2 + x + = –

=

28


Extraindo a raiz quadrada temos x + = ±

Obtemos então a fórmula: x =

Podemos indicar o valor da expressão b2 – 4ac pela letra grega (delta).

Obtemos então a fórmula x =

29


O valor de (positivo, negativo ou nulo) é que determina quantas raízes reais a equação tem quando seus coeficientes são números reais.

a equação tem duas raízes reais distintas. Quando > 0

a equação tem duas raízes reais iguais. Quando = 0

a equação não tem raízes reais. Quando < 0

30


S = x′ + x″ =

P = x′ . x″ =

+ = = =

. =

= =

=

=

==

==

31


Como a soma deve ser –5, as raízes são –2 e –3.

O produto das duas raízes é positivo (6) e a soma é negativa (–5); então, as raízes são dois números negativos.

x2 + 5x + 6 = 0–1 e –6

–2 e –3

S = P =

32


Lembrando que a soma e o produto das raízes podem ser escritas como:

Exemplo:

oposto de ba

ac

Assim, a equação é:

ou

S = P =

x = ‒ e x =

S = ‒ + = ‒ + = =

P = ‒ . = ‒

x2 = ‒ x ‒ = 0

40x2 – 2x – 3 = 0

33


Uma expressão do tipo ax2 + bx + c = 0, sempre que tiver raízes reais (distintas ou iguais), pode ser fatorada e escrita como:

Equações biquadradas

A resolução desse tipo de equação é feita da seguinte forma:

ax2 + bx + c = a (x – x′)(x – x″)

34


Equação irracional é uma expressão em que há incógnita em um ou mais radicais.

Equações irracionais

Para resolver esse tipo de equação, precisamos eliminar os radicais utilizando algumas estratégias.

Testando as raízes:

Assim, só 10 é raiz. Assim, só 6 é raiz.

x – 1 = x2 – 14x + 49x2 – 15x + 50 = 0x’ = 10 ou x” = 5

4(x + 3) = x2

–x2 + 4x + 12 = 0

x’ = 6 ou x” = –2

7 + = x= x ‒ 7

( ) 2 = (x – 7)2

x = 10 7 + = 10(V)x = 5 7 + = 5(F)

2 = x

(2 )2 = x2

x = 6 2 2 = 6 (V)

x = – 2 2 2 = 2 . 1 = –2 (F)

Testando as raízes:

35


Examine esse problema:A diferença entre dois números é 10, e o produto deles, –16. Quais são esses números?

x – y = 10xy = –16

Para determinar x e y temos que resolver o sistema: x – y = 10

xy = – 16Isolando o x na primeira equação temos: x = 10 + y

Substituindo na segunda equação:

(10 + y )y = –16

y2 + 10y + 16 = 0

x = 10 + (–2) = 8

x = 10 + (–8) = 2

Solução: (x,y) = (8, –2)

Solução: (x,y) = (2, –8)y =

= 100 – 64

= 36y = = –2

y = = –8

36

números reais e equações. potenciação por exemplo: 2 4 = ( ‒ 5). ( ‒ 5) = 25 ( ‒ 5) 2 =...

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