número complexo – wikipédia, a enciclopédia livre

18/03/13 Nmero complexo Wikipdia, a enciclopdia livre

pt.wikipedia.org/wiki/Nmero_complexo 1/10

Conjuntos de nmeros

Naturais Inteiros

Racionais

Reais Imaginrios

Complexos Nmeros hiper-reais

Nmeros hipercomplexos

Quaternies Octonies Sedenies

Complexos hiperblicos

Quaternies hiperblicosBicomplexos

BiquaterniesCoquaternies

Tessarines

Nmero complexo

Origem: Wikipdia, a enciclopdia livre.

O fato de um nmero negativo no ter raiz quadrada parece tersido sempre claro para os matemticos que se depararam com estaquesto, at a concepo do modelo dos nmeros complexos .Um nmero complexo um nmero que pode ser escrito naforma , em que e so nmeros reais e denota

a unidade imaginria. Esta tem a propriedade , sendo

que e so chamados respectivamente parte real e parteimaginria de .

O conjunto dos nmeros complexos, denotado por , contm oconjunto dos nmeros reais. Munido de operaes de adio emultiplicao obtidas por extenso das operaes de mesmadenominao nos nmeros reais, adquire uma estrutura algbricadenominada corpo algebricamente fechado, sendo que essefechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuirtodas as solues de qualquer equao polinomial com coeficientesnaquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos). Oconjunto dos nmeros complexos tambm pode ser entendido porseu isomorfismo com um espao vetorial sobre , o conjunto dosreais.

Alm disso, a cada nmero complexo podemos atribuir um nmeroreal positivo chamado mdulo, dado por:

.

O mdulo de z, visto como uma norma no espao vetorial, conduz a um espao normado topologicamentecompleto.

Os nmeros complexos so representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a partereal, , no eixo horizontal e a parte imaginria, , no eixo vertical.

Os nmeros complexos so utilizados em vrias reas do conhecimento, tais como engenharia,eletromagnetismo, fsica quntica, teoria do caos, alm da prpria matemtica, em que so estudadas anlisecomplexa, lgebra linear complexa, lgebra de Lie complexa, com aplicaes em resoluo de equaesalgbricas e equaes diferenciais.

Em algumas situaes, comum a troca da letra pela letra , devido ao frequente uso da primeira como

indicao de corrente eltrica.

ndice

[1][2]

[3][4]



1 Histria2 Definies

2.1 Plano complexo

2.2 Operaes elementares

2.3 O mdulo

3 Propriedades algbricas

3.1 Radical algbrico

4 Propriedades topolgicas e analticas

4.1 Convergncia nos complexos

5 O conjunto dos nmeros complexos como extenso algbrica

5.1 Logaritmos

5.1.1 Funo logartmica natural5.1.2 Funo logartmica decimal

6 Grficos de funes complexas

7 Ver tambm

8 Referncias9 Ligaes externas

Histria

O conceito de nmero complexo teve um desenvolvimento gradual. Comearam a ser utilizados formalmente nosculo XVI em frmulas de resoluo de equaes de terceiro e quarto graus .

Os primeiros que conseguiram dar solues a equaes cbicas foram Scipione del Ferro e Tartaglia. Esteltimo, depois de ter sido alvo de muita insistncia, passou os resultados que tinha obtido a Girolamo Cardano,que prometeu no divulg-los. Cardano, depois de conferir a exatido das resolues de Tartaglia, no honrousua promessa e publicou os resultados, mencionando o autor, em sua obra Ars Magna de 1545, iniciando umaenorme inimizade.

A frmula deduzida por Tartaglia afirmava que a soluo da equao era dada por

Um problema inquietante percebido na poca foi que algumas equaes (as equaes que tem trs razes reais,chamadas de casus irreducibilis) levavam a razes quadradas de nmeros negativos.

Por exemplo, a equao:

tem trs razes reais, como se pode observar facilmente ou pelo grfico da funo:

ou por fatorao:

[5]



se e somente se:

;;

ou:

.

Entretanto, usando-se a frmula de Tartaglia, chega-se a:

Essa questo evidenciou o fato de que havia mais a se investigar e a se aprender sobre os nmeros.

Rafael Bombelli experimentou escrever as expresses:

e

na forma:

e

respectivamente. Admitindo vlidas as propriedades usuais das operaes tais como comutativa, distributivaetc., usou-as nas expresses obtidas, obtendo e . Com isso, chegou a:

No incio, os nmeros complexos no eram vistos como nmeros, mas sim como um artifcio algbrico til parase resolver equaes. Descartes, no sculo XVII, os chamou de nmeros imaginrios.

Abraham de Moivre e Euler, no sculo XVIII comearam a estabelecer uma estrutura algbrica para osnmeros complexos. Em particular, Euler denotou a raiz quadrada de -1 por . Ainda no sculo XVIII osnmeros complexos passaram a ser interpretados como pontos do plano (plano de Argand-Gauss), o quepermitiu a escrita de um nmero complexo na forma polar. Com isso, conseguiu-se calcular potncias e razesde modo eficiente e claro. Ainda no sculo XVIII, Gauss demonstrou o Teorema Fundamental da lgebra.

Definies

Plano complexo

O plano complexo, tambm chamado de plano de Argand-Gauss uma representao geomtrica doconjunto dos nmeros complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta est associado um nmero real,o plano complexo associa biunivocamente o ponto ( x , y ) do plano ao nmero complexo x + yi. Estaassociao conduz a pelo menos duas formas de representar um nmero complexo:

Forma retangular ou cartesiana:



No plano de Argand-Gauss, parte real

representada pela reta das abscissas (x, horizontal) e

a parte imaginria pela reta das ordenadas (y,

vertical)

representa o nmero Z em coordenadas cartesianas separando a parte real da parte imaginria.

Forma polar:

onde r a distncia euclidiana do ponto:

at a origem do sistema de coordenadas, chamada de mdulo do nmero complexo e denotada:

Enquanto o ngulo entre a semi-reta e o semi-eixo real, chamado de argumento do nmero

complexo Z e denotado por .

Atravs da identidade de Euler .

A forma polar equivalente chamada forma exponencial:

Operaes elementares

O conjunto dos nmeros complexos um corpo. Portanto, fechado sobre as operaes de adio emultiplicao, alm de possuir a propriedade de que todo elemento no-nulo do conjunto possui um inversomultiplicativo. Todas as operaes do corpo podem ser performadas atravs das propriedades associativa,



Exemplo nmero complexo com

mdulo 2 e argumento 120. Em

vermelho o conjugado deste nmero

em em verde o oposto.

comutativa e distributiva, levando em considerao a identidade

Sejam z e w dois nmeros complexos dados por e ento definem-se as relaes e

operaes elementares tal como segue:

Identidade:

se e somente se e .

Soma:

Produto:

Conjugado:

, onde denota o conjugado de z. Outra

notao usada para o conjugado de .

O conjugado de um nmero complexo seu simtrico no planocomplexo em relao ao eixo real. A soma e o produto de umnmero complexo com seu conjugado tem parte imaginria nula.

Soma de um Complexo por seu Conjugado:

.

Produto de um Complexo por seu Conjugado:

.

Como , temos que o produto de um Nmero Complexo pelo seu Conjugado

se d por: .

Mdulo:

Inverso multiplicativo (para ):

.

As operaes de subtrao e diviso so efetuadas transformando em adio com o oposto aditivo e em

multiplicao com o inverso multiplicativo, respectivamente. Algumas operaes so mais facilmente

realizadas na forma polar:

.



Produto:

Inverso multiplicativo (para ):

Diviso:

Potenciao:

Conjugado:

A produto de um nmero complexo pelo seu conjugado :

O mdulo

Sejam z e w dois nmeros complexos dados por e , o mdulo possui as seguintes

propriedades:

A distncia entre dois nmeros complexos definida como:

Propriedades algbricas

O conjunto dos nmeros complexos formam um corpo algebricamente fechado. Isso significa que toda equaoalgbrica de grau no nulo pode possuir como soluo um nmero complexo. Mais formalmente, a seguinteequao



Gauss demonstrou que o conjunto

dos nmeros complexos

algebricamente fechado.

possui pelo menos uma soluo complexa.

Este resultado conhecido como teorema fundamental da lgebra e foi demonstrado primeiramente pelomatemtico alemo Carl Friedrich Gauss. Uma consequncia deste teorema que todo polinmio de grau npode ser decomposto em um produto de n fatores lineares complexos:

Radical algbrico

O radical algbrico definido no conjunto dos nmeros complexos como uma funo multivalente, devido aofato que a equao algbrica:

possui n solues distintas para cada , que so dadas pela frmula de De Moivre:

onde .

Propriedades topolgicas e analticas

O conjunto dos nmeros complexos munido da distncia forma um espao mtrico

completo. De fato, o mdulo possui todas as caractersticas de uma norma.

Convergncia nos complexos

Diz-se que uma sequncia de nmeros complexos convergente se existe um nmero complexo tal que:



neste caso, denota-se:

fcil verificar que se , ento converge para se e somente se

converge para e converge para .Do fato de que , vlido que se ento

O conjunto dos nmeros complexos como extenso algbrica

No campo da lgebra abstrata, o nmero pode ser interpretado como o elemento que gera a extensoalgbrica dos nmeros reais contendo a raiz do polinmio . Isto , o corpo isomorfo ao corpo

quociente pela aplicao , homomorfismo de anis tal que restrito

aos reais a aplicao identidade e que leva em .

Logaritmos

Funo logartmica natural

Definimos a funo logartmica natural de uma varivel complexa z pela equao:

= + ( )

onde o mdulo e o argumento medido em radianos do nmero complexo ; e

define o logaritmo natural real positivo de . Assim, a funo multivalente com infinitos valores - mesmopara nmeros reais. Chamamos de valor principal de o nmero definido por:

+

Funo logartmica decimal

Em termos de logaritmos decimais, podemos definir a funo logartmica anterior como:

( )

Essa funo tambm multivalente e tm seu valor principal quando .

Grficos de funes complexas

A representao grfica de uma funo com domnio e imagem no campo dos complexos impraticvel, poistal funo reside na quarta dimenso, ou seja, seria preciso um sistema de coordenadas com quatro eixosperpendiculares entre si para a construo da curva, a qual seria uma "superfcie-2D" representada num"hiperespao-4D".

Todavia, existem diversas maneiras de se estudar o comportamento de tais funes sem sair de nosso espaoeuclidiano de trs dimenses.



Uma delas, pouco usual, representar uma funo complexa, por exemplo "f(z)=-z", no prprio plano deArgand-Gauss, utilizando cores para representar o "jeito" da funo. Este mtodo denomina-se "Color Domain"ou Domnio de Cores.Temos ento que para todo ponto do plano complexo est associada uma cor quecorresponde imagem da funo neste ponto.Para mais informaes veja "Links Externos".

Outra opo representar apenas os valores da funo que tm imagem real, como na figura ao lado.Estaseco da curva de uma funo complexa ir resultar em uma nova curva unidimensional que est distribuda noespao tridimensional.A representao dos valores reais da imagem da funo complexa interessanteprincipalmente porque nos ajuda a compreender, por exemplo, as razes complexas de um polinmio, comoP(x)=x^2+1, cujas razes so "i" e "-i".

Observe que na figura ao lado o plano X/Y corresponde ao plano de Argand-Gauss, e o eixo Z de valoresreais representa a imagem de apenas nmeros complexos cuja transformao "z^ 2+1" possui parte imaginrianula.Isso no quer dizer que a funo no tenha imagem no campo complexo, apenas que essa imagem nopode ser representada na figura.

Ver tambm

Nmero complexo hiperblico

Quaternies

Quaternies hiperblicos

Referncias

1. Whitehead, Alfred North & Russell, Bertrand: Principia Mathematica. 3 vols, Merchant Books, 2001, ISBN978-1603861823 (vol. 1), ISBN 978-1603861830 (vol. 2), ISBN 978-1603861847 (vol. 3)

2. Russell, Bertrand (1919), Introduction to Mathematical Philosophy, George Allen and Unwin, London, UK.Reimpresso, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993

3. Trigonometria e Nmeros Complexos, por M. P. do Carmo, A. C. Morgado, E. Wagner; IMPA-VITAE,Brasil, 1992

4. GELSON, Iezzi. Fundamentos de Matemtica elementar. 3 ed. So Paulo: Atual, 1977. p. 1-9. vol. 6.5. Cerri, Cristina; Monteiro, Martha S. (setembro de 2001). Histria dos Nmeros Complexos

(http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf) . Instituto de Matemtica e Estatstica da Universidade deSo Paulo. Pgina visitada em 17 de janeiro de 2012.

Ligaes externas

Domnio de Cores, Funes Complexas (http://sorzal-df.fc.unesp.br/~edvaldo/dominiocores.htm) (em

portugus)

Projeto MatWeb - Nmeros Complexos (http://www.interaula.com/matweb/medio/213/ncomplex.htm)

Nmeros Complexos, uma abordagem cientfica

(http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplexos.htm) (em portugus)

Funes de uma Varivel Complexa: Visualizao e Interpretao Grfica

(http://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo/) (em portugus)

Obtida de "http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nmero_complexo&oldid=34441639"

Categorias: Nmeros complexos Anlise complexa

Esta pgina foi modificada pela ltima vez (s) 20h15min de 14 de maro de 2013.

Este texto disponibilizado nos termos da licena Atribuio-Partilha nos Mesmos Termos 3.0 no



Adaptada (CC BY-SA 3.0); pode estar sujeito a condies adicionais. Consulte as condies de uso

para mais detalhes.

número complexo – wikipédia, a enciclopédia livre

Documents