LUCKESI, C. L. Filosofia da educação. São Paulo,Cortez, 1994.

LUZURIAGA,L. História da educação e da pedago-gia. 8°* ed., São Paulo, Companhia Editora Na-cional, 1976.

PASTOR, J. R. e ADAM P. P. Metodologia de la ma-tematica elemental. 2” ed., Buenos Aires, IberoAmericano, 1948.

POPPER, K. A lógica da pesquisa cientifica. SãoPaulo, Cultrix, 1974.

QUILLET, P. Introdução ao pensamento de Bachelard.Rio de Janeiro, Zahar, 1977.

REZENDE, A. M. Concepção fenomenológica daeducação. São Paulo, Cortez, 1990.

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CONTRATO DIDÁTICO

Benedito Antonio da Silva

Introdução

As idéias de Contrato Didático aqui apresenta-das baseiam-se na definição devida a Guy Brousseaue nas contribuições sobre o assunto encontradas nostrabalhos de Régine Douady. Os leitores que preten-dam se aprofundar na matéria, encontrarão subsídiosnas obras que constam nas referências bibliográficasapresentadas no final deste capítulo. Nelas também seencontra uma ampla listagem de materiais que versamsobre o assunto.

A relação professor-aluno está subordinada amuitas regras e convenções que funcionam como sefossem cláusulas de um contrato. Essas regras, porém,quase nunca são explícitas, mas se revelam principal-mente quando se dá a transgressão das mesmas. Oconjunto das cláusulas, que estabelecem as bases dasrelações que os professores e os alunos mantêm como saber, constitui O chamado contrato didático.

Segundo Brousseau (1986),

Chama-se contrato didático o conjunto de comportamentosdo professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de

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comportamentos do aluno que são esperados pelo profes-sor... Esse contrato é o conjunto de regras que determinam,

uma pequena parte explicitamentemas sobretudo implícita-mente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir

e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestarconta perante o outro.

A noção de contrato didático supõe a compreen-são da escola como instituição social responsável pelatransmissão do saber escolar e, portanto, a idéia de

uma tradição cultural. Franchi (1995) enfatiza que

a escola constitui um contexto característico, onde deter-minados esquemas de interação se fixaram social, históricae culturalmente como um conjunto específico de pressupos-tos, de atitudes, de normas e de representações. Também

na interação que se dá no interior da sala de aula, se estabe-lece o que cada parceiro tem a responsabilidadede gerir. Oprofessor é o responsável por garantir ao aluno o acesso aosaber escolar e por definir a forma de sua participação noprocesso de aprendizagem. A ele cabe propor questões aces-síveis aos alunos, bem como, determinar os passos em querecebem informações relevantes, dominam conceitos e ope-rações necessários para as respostas. O aluno deve respon-der a essas diretrizes e determinações, resolvendo as tarefaspropostas, ajustando-se aos moldes de comunicação socialconvencionados para as diferentes atividades escolares. Seuacerto na resolução de uma tarefa é geralmente visto comoo indicador de ganho em seu repertório de conhecimentos.Ele tem até o direito de errar, desde que aceite as conse-qüências prescritas para o caso. Tanto o professor quantoos alunos constroem uma imagem recíproca do papel quedevem desempenhar, dos comportamentos desejáveis, daexpectativa de suas respostas e reações, dos lances sucessi-

vos do "jogo" que estão jogando.

Devemos notar que o contrato didático dependeda estratégia de ensino adotada, adaptando-se a diver-

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sos contextos, tais como: as escolhas pedagógicas, otipo de trabalho solicitado aos alunos, os objetivos docurso, as condições de avaliação, etc. Se a relação di-datica se desenvolve num ambiente em que o profes-sor dá aulas expositivas, onde predominam defini-çoes, exemplos e listas de exercícios para os alunosresolverem, a1 o COHJUUÍO de regras, explícitas ou im-PÍICIÍHS. que regem o gerenciamento da atividade serámuito .diferente daquele que direciona uma prática pe-dagogica em que os alunos trabalham, realizando ati-vidades propostas e, no final, o professor, em umasessao coletiva, procura institucionalizar o conceitotrabalhado e propõe exercícios de fixação e/ou verifi-caçao do aprendizado.

A prática pedagógica mais comum em Matemá-tica parece ser aquela em que o professor cumpre seucontrato dando aulas expositivas e passando exercí-cios aos alunos; em suas aulas ele deve selecionar par-tes do conteúdo que o aluno possa aprender e proporproblemas cujos enunciados contenham os dados ne-cessarios e tao-somente esses, cuja combinação racio-nal, aliada aos elementos da aula, permite encontrar asoluçao do problema. O aluno, por seu lado, cumpreseu contrato se ele bem ou mal compreende a auladada econsegue resolver, corretamente ou não, osexercicios. Se ISSO nao acontecer, o professor deveráajuda-lo, dmgindo o seu trabalho através de indica-çoes que esclareçam suas dúvidas ou de pequenasquestoes elementares que conduzam ao resultado.

Há casos extremos em que o professor se refugiana segurança dos algoritmos prontos, fraciona a ativi-dade matematica em etapas pelas quais passa mecani-

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camente, esvaziando o seu significado. Sua atuação seresume em apresentar uma definição, dar algunsexemplos e solicitar exercícios “idênticos” aosdos exemplos dados. Aos alunos cabe memorizar asregras para repeti-las nas provas repletas de questõesrotineiras que permitem a reprodução dos modelosfornecidos pelo professor. Nesta situação de ensino, aconstrução do saber fica quase que exclusivamentesob a responsabilidade do aluno. É o que se dá, porexemplo, quando o “estudo” de integrais se reduz aotreino de uma extensa lista de técnicas de integração,sem que se trabalhe efetivamente o significado do ob-jeto de estudo, nem mesmo se questionando a integra-bilidade de funções. Pelo tipo de trabalho realizado(primitivação), o aluno, além de não construir o co-nhecimento de integral, ainda pode imaginar que to-das as funções sejam integráveis.

Já na estratégia de ensino em que o aluno traba-lha individualmente ou em duplas, seguindo as orien-tações contidas em seqüências didáticas organizadaspelo professor, e a institucionalização do saber se dáatravés de sessões coletivas, o contrato didático é to-talmente diferente. O professor se apóia nas produ-ções pessoais ou coletivas dos alunos (resultados deatividades propostas através de um problema) para fa-zer progredir o aprendizado de toda classe. Nesta si-tuação, o problema proposto não e' necessariamenteresolúvel, no seguinte sentido: pode acontecer quenão se saiba que existe uma resposta; a resposta, seexistir, pode não ser única; os dados podem não seradequados, isto é, podem não ser suficientes ou po-dem ser superabundantes. A procura de dados perti-

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nentes à questão proposta assim como a verificaçãoda validade dos resultados obtidos fazem parte docontrato didático.

Ruptura e renegociação

O contrato didático se manifesta principalmentequando é transgredido por um dos parceiros da rela-ção didática. Em muitos casos é preciso que haja aruptura e a renegociação do mesmo para o avanço doaprendizado. Um exemplo bastante elucidativo deruptura do contrato didático, nesta situação, é o casoem que o professor pretende introduzir um conceitonovo por meio não de uma aula expositiva (definição,propriedades, exemplos, lista de exercícios), mas deatividades em que os alunos, partindo de urna situa-ção-problema, resolvem questões trabalhando indivi-dualmente ou em dupla e, no final, o professor fazcom toda a classe o fechamento, visando a institucio-nalização do conceito que se pretende construir. Osalunos recebem a ficha de atividade e aguardam queo professor inicie o trabalho. Quando este lhes diz quesão eles que devem trabalhar, a primeira reação vemimediatamente, através de questões do tipo: “não seifazer", "como começa?”, “a teoria não foi dada",“você não vai explicar o enunciado?" ,"não entendi oque é para fazer”, e assim por diante.

Observamos que nesta práticapedagógica o con-trato do aluno tem semelhança com o contrato de umpesquisador e que sua ruptura não é mais necessáriapara avançar o aprendizado. O contrato já prevê a pro-gressão do saber, propondo o exame de concepções

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provisórias e relativamente boas, rejeitando ou reto-rnando umas e aprofundando outras, para formar no-vas concepções. O erro não é mais uma falha que sedeve evitar a qualquer preço. Ele pode contribuir paraa construção do conhecimento. Entretanto, convémnotar que existem muitos tipos de erros e que nem to-dos são, necessariamente, construtivos do conheci-mento.

Chevallard (1988) faz uma extensa análise didá-tica dos resultados de uma experiência realizada poruma equipe do Irem de Grenoble, que se tornou co-nhecida não só na França mas também no Brasil e emoutros países. O trabalho da equipe se iniciou com aproposta do seguinte problema a 97 alunos do CursoElementar (7-8 anos de idade):

Num navio há 26 cameiros e lO cabras. Qual é a idade docapitão?

Dos 97 alunos, 76 calcularam a idade do capitãoutilizando os números que figuravam no enunciado.Outros problemas semelhantes a este foram propostosa alunos dessa e também de outras faixas etárias e osresultados do estudo foram bastante difundidos entreos profissionais do ensino de Matemática, com onome genérico de “A Idade do Capitão”.

O autor citado, analisando as respostas dos alu-nos, desloca a questão da logicidade para a questão docontrato didático. Observa que a "lógica" que norteiaas respostas dos alunos não é aquela que questiona apertinência dos dados contidos na questão proposta. Alógica que vigora é a do contrato didático segundo aqual um problema tem uma e uma só resposta e, para

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se chegar a ela, todos os dados propostos devem serutilizados sem que haja necessidade de nenhuma ou-tra indicação. A utilização pertinente dos dados se fazsegundo um esquema de jogos familiares, tais comooperações aritméticas, regras de três, falsa posição,etc., que constituem o campo de ação e a margem demanobra do aluno.

Ao ser perguntado a um aluno, que responderaque a idade do capitão era 26 anos, o que ele achavado problema, ele disse que era born, mas que não viarelação entre cameiros e um capitão. Essas duas atitu-des contraditórias seriam suficientes para se pôr emdúvida a capacidade do aluno? O autor citado é deopinião que os estudantes dispõem de duas "Iógicas”,uma que é a do contrato didático e uma outra que éabandonada fora da sala de aula, ao se transpor suaporta. No quadro da interação didática, essas duas ló-gicas assumem funções essencialmente diferentes. Oscomentários críticos que, às vezes, o aluno faz junta-mente com suas respostas não fazem parte de sua res-posta no estrito senso. Somente a resposta do proble-ma é exigida pelo contrato e somente ela poderá serobjeto de uma avaliação. Ela se integra à lógica docontrato e se situa no registro didático propriamentedito.

Querendo investigar o que acontece quando ocontrato didático, vigente por muito tempo no decor-rer da vida escolar dos alunos, é transgredido por umdos parceiros da relação didática (no caso, o profes-sor), propus o seguinte problema, em junho de 1998,a 2] alunos do primeiro ano de um curso de CiênciasExatas (18 anos de idade):

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O elevador de um edifício de 10 andares parte do térreo com4 pessoas: 2 mulheres, 1 homem e l criança. Pára no 4" an-dar e aí sai l mulher e entram 3 homens. No 7°, saem 2 pes-soas. Sabendo-se que houve apenas mais uma parada no 9°

onde não desceu nenhuma criança e que o elevador chegouao 10” andar com ll pessoas, pergunta-se qual é a idade doascensorista.

Dos 21 alunos, 10 operaram com os números doproblema e apresentaram uma resposta, explicitando aidade do ascensorista; 4 responderam que os dadosapresentados não se relacionavam com a pergunta; 3responderam que o ascensorista era a criança; 2 indi-caram, pelas suas respostas, que perceberam a questão("O elevador não tem ascensorista, porque o condo-mínio não tem dinheiro para pagar um" e "Não façoa mínima idéia”) e 2 não responderam.

Reproduzimos abaixo, a título de ilustração,uma das respostas apresentadas.

Térreo (4) - 2M - lH - lC4° andar (6) - 1M - 4H - lC7°andar(4)-M-H- C9°andar(?)-M-H-1C10° andar (ll) - M - H - C

Idade do ascensorista:n” de pessoas que partiram do térreo x n” de andares - n”de pessoas que chegaram ao 10” andar

(4x 1o) . 1140- 11

:29Apesar de os meus alunos terem idade e esco-

laridade bastante diferentes das crianças da experiên-

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cia francesa (por isso a adaptação do problema pro-posto), muitas respostas foram semelhantes. Por queos alunos agiram desse modo, como se o ensino damatemática os tivesse transformado em autômatos,respondendo de modo absurdo a questões absurdas?Qual a origem do grande respeito que eles demons-tram por regras não compreendidas?

Esse comportamento por parte dos alunos revelaque existem regras vigentes, ainda que implícitas,completamente internalizadas por eles, regras essasque, quando aplicadas, conduzem a uma grande quan-tidade de erros dos alunos e a incoerências no trata-mento desses erros pelos professores. Retomando aanálise de Chevallard (1988), vejamos algumas dessasregras:

- sempre há uma resposta a uma questão mate-mática e o professor a conhece. Deve-se sempre daruma resposta que eventualmente será corrigida;

- para resolver um problema é preciso encontraros dados no seu enunciado. Nele devem constar todosos dados necessários e não deve haver nada de super-fluo;

- em matemática resolve-se um problema efe-tuando-se operações. A tarefa é encontrar a boa ope-ração e efetua-la corretamente. Certas palavras-chavecontidas no enunciado permitem que se adivínhe qualé ela;

- os números são simples e as soluções tambémdevem ser simples, senão, é possível que se engane;

- as questões colocadas não têm, em geral, ne-nhuma relação com a realidade cotidiana mesmo quepareçam ter, graças a um habilidoso disfarce. Na ver-

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dade elas só servem para ver se os alunos compreen-deram o assunto que está sendo estudado.

O contrato didático existe em função do' apren-dizado dos alunos. A cada nova etapa da construçãodo conhecimento o contrato é renovado e renegocia-do. Em geral essa renegociação passa despercebidapelos parceiros da relação didática. Por exemplo, noensino da geometria, na etapa de observação, os alu-nos de aproximadamente 10-12 anos são solicitados areconhecer as figuras e as configurações e também asaber utilizar instrumentos de desenho para desenvol-ver aptidões gráficas; nessa etapa, as figuras são ob-jetos geométricos concretos sobre os quais se podeexercer uma ação direta; elas são os significados dostermos utilizados para designa-los.

Aos 13-15 anos aproximadamente, os alunossão solicitados progressivamente a dar um outro esta-tuto às figuras, a saber, elas passam a ser repre-sentações de objetos ideais e abstratos. Nesta fase,quando cada um dos quarenta alunos de uma classedesenha um triângulo em seu caderno, não haverámais quarenta figuras desenhadas, como na fase ante-rior, mas sim quarenta desenhos representativos deum só triângulo, sobre o qual todos poderão buscar aspropriedades que o caracterizam. Aqui, as figuras de-senhadas adquirem o estatuto de significante*

Ao se solicitar que os alunos verifiquem se doissegmentos AB e MN são iguais, no primeiro contrato,eles deverão fazer um desenho cuidadoso com instru-

1. Para informações sobre os termos significado e significan-te, ver o capítulo: Registros de Representação, neste livro.

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mentos adequados e proceder à verificação. Já no se-gundo contrato, os alunos deverão levantar hipótesesque permitam construir a figura de modo que umapropriedade conhecida permita justificar sua resposta,válida para qualquer figura que cada um dos alunostenha desenhado. (Na verdade, podemos dizer queaqui houve uma ruptura do contrato.)

Os alunos, em geral, encontram muita dificulda-de em se adaptar a uma mudança de contrato. É certoque a renovação e a renegociação, bem como a trans-gressão do mesmo, dependem não só do tipo de tra-balho como também do meio onde se dá a prática pe-dagógica. Por exemplo, ao se realizar uma atividadepara se verificar a apreensão de um objeto e preten-dendo-se trabalhar em duplas, foram estabelecidas ex-plicitamente algumas regras, tais como:

- o trabalho pode ser realizado individualmenteou em duplas, à escolha dos alunos;

- é permitida a consulta de todo e qualquer ma-terial (anotações, livros, calculadoras, etc.) da própriadupla ou do indivíduo;

- a produção da dupla deve ser apresentada emconjunto, com os nomes dos dois participantes;

- não é permitida a comunicação com alunos quenão pertençam à própria dupla;

- não é permitido o empréstimo de qualquer ma-terial de colegas alheios à dupla;

Durante a realização da atividade ocorreram fa-tos que evidenciam que muitas vezes a negociação,ainda que explícita, passa despercebida. Citemos al-gumas:

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- pergunta: "Cada aluno deve entregar uma folhacom as respostas?”;

- comunicação entre alunos de duplas diferentese, quando alertado dessa transgressão, são bastantecomuns respostas do tipo: "Mas eu estou apenas per-guntando se ele vai estudar depois da aula”; (aquitambém está presente implicitamente a regra que dizque o aluno sempre deve justificar, a qualquer custo,toda intervenção do professor e que este deve acharque toda justificativa do aluno é satisfatória.)

- aluno que escolheu trabalhar individualmente,durante a realização da atividade, se dirige a outroaluno, trabalha um pouco com ele e retorna ao seu lu-gar para continuar executando sua tarefa sozinho.Quando alertado que seu trabalho não poderá ser acei-to, justifica-se candidamente: "Mas eu só fui pediruma ajudazinha". (Regra implícita: "desde que o alu-no apreenda um conceito, tudo é permitido, mesmocom prejuízo dos aspectos formativo-educacionais",que também pode ser traduzida por “desde que ocentro-avante faça o gol para o Brasil, nada mais im-porta")

Efeitos do Contrato Didático

Grande parte das dificuldades dos alunos é cau-sada pelos efeitos do contrato didático mal-colocadoou mal-entendido. Este traz no seu bojo a marca daexpectativa do professor em relação à classe ou mes-mo a um aluno em particular. Este fato pode estabe-lecer um acordo tácito entre ele e o aluno: o professorlimita sua exigência à imagem que fez da capacidade

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do aluno e este, por sua vez, limita seu trabalho à ima-gem de si próprio que o professor lhe refletiu.

Desejando que seus alunos obtenham bons re-sultados, o professor tende a facilitar-lhes a tarefa devariadas maneiras como, por exemplo, fornecendo-lhes abundantes explicações, ensinando pequenos tru-ques, algoritmos e técnicas de memorização ou mes-mo indicando-lhes pequenos passos nos problemas.Às vezes o tiro pode sair pela culatra, pois, ao contrá-rio do que o professor pretende, as explicações exces-sivas podem na realidade impedir a compreensão.Tais práticas, movidas pela sensação de que o esforçoexigido dos alunos esteja sendo grande demais, po-dem propiciar uma revisão dos objetivos da aprendi-zagem, ocasionando um rebaixamento dos mesmos.

O parágrafo anterior descreve o fenômeno queBrousseau (1986) denomina “efeito Topázio”. Essenome provém da peça de teatro homônimaf cuja pri-meira cena se passa em uma sala de um colégio inter-no. Seu protagonista, Topázio, faz um ditado a umaluno, que demonstra muita dificuldade em executar atarefa. Ele não pode aceitar um excesso de erros gros-seiros, mas também não deve dizer abertamente aoaluno qual é a ortografia correta. Começa, então, a su-gerir-lhe a resposta, dissimulando-a sob códigos didá-ticos cada vez mais transparentes. Aqui e em outrassituações de ensino, tais códigos evidenciam que "aresposta que o aluno deve dar já está determinada de

2. Esta obra, lançada em 1928, tornou-se célebre em poucassemanas e com ela Marcel Pagnol começou sua verdadei-ra carreira de autor dramático.

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antemão: o professor escolhe as questões às quais essaresposta pode ser dada. Evidentemente os conheci-mentos necessários para produzir tais respostas mu-dam, assim como a sua significação. Escolhendoquestões cada vez mais fáceis, ele tenta obter signifi-cação máxima para o máximo de alunos. Ocorre o“efeito Topázio" quando os objetivos anteriormentevisados desaparecem por completo.

Em nome do que se costuma ter como máximada relação didática: “o professor deve ser amigo doaluno”, sacrificam-se, muitas vezes, os principais ob-jetivos do ensino. O professor passa a ensinar apenasaquelas “pai-tes" do assunto que os alunos aparente-mente têm mais facilidade de "aprender" e colocarcomo objetos de estudo suas próprias explicações eseus meios heurísticos, em vez de ter como objeto overdadeiro conhecimento matemático. Como o alunotem sucesso nas provas e avaliações, ele acha que esseé o bom professor, pois sabe explicar bem e é amigodos alunos.

O desejo de inserir o conhecimento em ativida-des familiares pode conduzir o professor a substituira problemática real e específica por outra, talvez me-tafórica, mas que não confere sentido correto à situa-ção. Chega-se a ouvir professores dizendo enfatica-mente que uma pessoa sem nenhuma escolaridade, aofazer café, está aplicando o conceito e propriedadesde proporção. Ao interpretar um comportamento ba-nal do aluno como sendo a manifestação de um saberculto, o professor evita debater seus conhecimentoscom o aluno e, eventualmente, constatar um fracasso.Isto permite evitar a aprendizagem de um saber que,

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pretensamente, já teria sido alcançado. Cada parceiroda relação didática se satisfaz ao livrar-se da situaçãosem grandes problemas. Aqui ocorreu uma ruptura decontrato ocasionada pelo professor.

Outro efeito do contrato didático é o de se tomarcomo objeto de estudo uma técnica que se presumeseja útil para a resolução de um problema, perdendo-se de vista o verdadeiro saber a ser desenvolvido. Oexemplo mais extremo deste efeito talvez seja o dosdiagramas de Venn que representam conjuntos e quesão estudados como se eles fossem a própria teoriados conjuntos.

Por último, cítaremos o efeito do uso abusivo daanalogia. As metáforas são sempre úteis para ajudar acompreensão, mas seu abuso pode limitar o conceitoem questão. Resolver um problema procurando asrespostas num contexto análogo é uma boa práticaheurística, mas, no entanto, limitar a conclusão à fa-mosa frase: “caímos de novo no problema anterior”pode fazer com que o aluno evite abordar o problemacolocado diretamente. Um exemplo típico é fornecidoquando se estudam números relativos, fazendo refe-rências exclusivas ao jogo de perdas e ganhos. O usoabusivo de analogias produz o efeito anteriormente ci-tado em que o professor fornece dicas e desenvolvetécnicas para "ajudar” o aluno a resolver a questãoproposta.

Em Franchi (1995) encontramos, dentre outros,um episódio bastante ilustrativo do modo como o pro-fessor conduz a correção de um problema verbal roti-neiro, que resumimos a seguir. A autora, trabalhandoem sua pesquisa sobre a compreensão das situações

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multiplicativas elementares, atuava em uma classe da4° série do Ensino Municipal de São Paulo juntamentecom a professora da classe, que propôs aos seus alu-nos o problema: “Camila foi à loja levando Cr$2.000,00; comprou 4 canetas e voltou com Cr$ 200,00de troco. Qual o preço de cada caneta?". (As expres-sões que figuram entre parênteses são as anotações daautora.)

Quando o tempo para a resolução da tarefa seesgota, uma aluna (Paula) vai à lousa e não consegueresolver o problema. A professora tenta ajudá-la, di-zendo: "Se sei o preço de muitos, quando quero sabero preço de um, que conta faço?”. (Esta fala constituiuma "muleta" ao pensamento do aluno.) Diante dosilêncio da aluna, formula um problema análogo aoanterior, com números menores: “5 pirulitos custamCr$ 5.000,00. Qual o preço de 1?". Silêncio. (O re-curso à analogia ficou prejudicado. Sabe-se que mul-tiplicaçães e divisões, incluindo o 1 como um de seustermos, trazem dificuldades para os alunos.) Segue-seentão o seguinte diálogo entre a professora e a aluna:P: “Zzpirulitos custam Cr$ 10.000,00. Qual o preço de1?”. A: "Cr$50.000,00". P: "Que conta você fez 7".A: “10 - 2”. P: “10 - 2? Quanto que dá ?”. A: “10 -2 = 8". P: “Você disse que custava 5. Agora é 8 ?".(A seqüência de perguntas e respostas privilegia a"conta" a ser feita como o critério básico de verifi-cação do acerto. Além disso, desvia a aluna da ques-tão a ser resolvida.) A professora repete a questão ea aluna agora efetua: 2 x 5.000 = 10.000 e a profes-sora pergunta: “Qual a operação inversa da mpltipli-cação? o contrário?? A aluna responde: “E divi-

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dir”. E efetua 10.000 - 2 = 5. (A aluna acerta. Masisso não é explicitamente reconhecido. A comparaçãodo problema com a igualdade proposta penrzitiria àaluna interpretar 2 e I0.000 como dados do problemae 5.000 como a solução. 0 procedimento da aluna se-ria valorizado.)

Este protocolo ressalta os aspectos anteriormen-te apontados no "efeito Topázio" sobre a natureza dasquestões colocadas pelo professor e a mudança de sig-nificação do objeto de estudo, assim como a utiliza-

'ção indiscriminada da analogia. Um recurso heurísti-co, a saber, a relação entre a multiplicação e a divisão(o significado de operação inversa parece não ser cla-ro para a aluna), acaba se transformando no objeto deestudo.

Em sua análise deste e de outros protocolos, aautora ressalta aspectos relativos à natureza do discur-so escolar nas atividades de sala de aula que é, de cer-to modo, “ritualizadd”. O núcleo discursivo é forma-do de interrogações e respostas. O professor faz ques-tões para as quais já conhece a resposta, e o objetivodo aluno passa a ser o de dar uma resposta “certa",enquanto o do professor é avaliar essa resposta e cor-rigir o caminho de uma resposta “errada”.

Por seu lado, o aluno não fica indiferente a esseprocesso: esforça-se para encontrar a "conta que épara fazer”, não entendendo as operações matemáti-cas propostas nos problemas, por tratá-los não comoum texto com propósitos específicos a compreender,mas como um "sina ” para a tarefa a resolver. Buscaindicações provindas de palavras-chave ou da formahabitual da estruturação dos textos verbais dos proble-

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mas, inclusive desviando-se do caminho da resolução,na ânsia de interpretar essas “dicas” no sentido cor-rente de sua linguagem coloquial. Utiliza-se de seme-lhanças superficiais entre problemas para transportar asolução de uns para outros em um processo mecânico.Busca a solução dos problemas pela leitura de indica-ções didáticas e não por investimento em uma ativi-dade de descoberta.

Podemos sintetizar os efeitos do contrato didáti-co analisados neste item em:

- resolver a questão no lugar do aluno, quandoeste encontra uma dificuldade;

- acreditar que os alunos darão naturalmente aresposta esperada;

- substituir o estudo de uma noção complexa poruma analogia;

- interpretar um comportamento banal do alunocomo uma manifestação de um saber culto;

- tomar como objeto de estudo uma técnica quese presume seja útil para a resolução de um problema,perdendo de vista o verdadeiro saber matemático a serdesenvolvido.

Conclusão

Segundo Chevallard (1988),

o contrato didático reúne (criando-os como tal) três termos(três instâncias) e não duas como se acredita algumas vezes.O aluno (o sujeito a quem se ensina), o professor (o sujeitoque ensina) e o saber, considerado como o "saber ensina-do". O contrato rege, portanto, a interação didática entreprofessor e alunos a propósitodo saber -isto é o que chamo

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de relação didática (que não e a tão famosa "relação pro-fessor-aluno") ...as cláusulas do contrato organizam as rela-ções que os alunos e professores mantêm com o saber. Ocontrato rege até os detalhes do processo. Cada noção ensi-nada, cada tarefa proposta está submetida à sua legislação.

Essencialmente, o contrato didático é o conjuntodas condições que determinam, quase sempre implíci-tamente, aquilo que cada um dos dois parceiros (pro-fessor e aluno) da relação didática tem a responsabi-lidade de gerenciar, e do que tem que prestar conta aooutro. Ele depende da estratégia de ensino adotada,adaptando-se a diferentes contextos, tais como: as es-colhas pedagógicas, o tipo de trabalho proposto aosalunos, os objetivos de formação, a história do profes-sor, as condições de avaliação, etc.

O contrato estabelece as atribuições dos parcei-ros da relação didática no processo de aquisição doconhecimento pelos alunos. Entretanto, esta tarefa ébastante pesada e, muitas vezes, impossível de serrealizada somente pelo estudante. Encarar o ensinocomo a transferência ao aluno da responsabilidade douso e da construção do saber pode dar origem a umasituação paradoxal. O professor deve conseguir que oaluno resolva problemas que ele lhe propõe a fim deconstatar, e fazer com que o próprio aluno constate,que ele cumpriu sua tarefa. Mas se o aluno produz suaresposta sem ter feito ele mesmo as escolhas que ca-racterizam o saber conveniente e que diferenciam essesaber de conhecimentos insuficientes, sua produçãonão é aquela indicada para o objetivo da construçãodo conhecimento. Isso se dá, em particular, quando oprofessor foi levado a dizer ao aluno como resolver o

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problema proposto. O aluno, não tendo feito nem es-colhas nem tentativas de métodos, nem modificaçõesde seus próprios conhecimentos ou de suas convic-ções, não deu a prova esperada da apropriação dese-jada. Ele apenas tem a ilusão de que cumpriu a tarefaproposta e que apreendeu o objeto que o professorpretendia lhe ensinar.

O professor tem a obrigação social de ensinartudo o que é necessário sobre o saber. O aluno, so-bretudo aquele que está tendo dificuldades em resol-ver a questão, solicita sua interferência, sua “ajuda”.Quanto mais o professor cede às solicitações do alu-no, desvendando aquilo que almeja, quanto mais elediz precisamente aquilo que o aluno deve fazer, maisarrisca perder suas chances de obter e de constatar ob-jetivamente a aprendizagem que ele realmente devevisar. O contrato didático coloca o professor diante deuma verdadeira injunção paradoxal: tudo aquilo queele empreende para fazer produzir no aluno os com-portamentos que ele espera tende a privar este últimodas condições necessárias para a aprendizagem da no-ção desejada. O aluno, por seu turno, também se vêdiante de uma injunção paradoxal: se ele aceita que,de acordo corn o contrato, o professor lhe ensine osresultados, ele próprio não os produz e daí ele nãoaprende Matemática, ele não se apropria dela. Se, aocontrário, ele recusa toda informação do professor, arelação didática se rompe.

Isto não constitui uma contradição, porém, o sa-ber e o projeto de ensino não devem avançar sob esse“faz de conta", sob uma máscara. Aprender implica,por si mesmo, que o aluno aceite a relação didática,

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mas que ele a considere provisória e se esforce para-“caminhar com seus próprios pés". Para isso muitocontribuirá o desempenho do professor, não só duran-te a execução das atividades, como também na elabo-ração e reelaboração de situações/problemas que pos-sam estimular e instigar esses seus alunos.

A maior parte das regras do contrato didáticoestá implícita, mas nem por isso deixa de ser coerci-tiva e seguida. A renegociação contínua do contratopropicia uma revisão dos objetivos do ensino-aprendi-zagem, podendo contribuir para um rebaixamento detais objetivos. Ao mesmo tempo que o professor de-seja que seus alunos obtenham bons resultados, elepode achar que o esforço deles exigido é grande de-mais. Assim, tende a facilitar-lhes a tarefa de diferen-tes modos: ora com explicações abundantes, que po-dem impedir a compreensão, ora com “pequenos pas-sos” nos problemas, ora com o ensino de algoritmose técnicas de memorização.

Contratos didáticos mal-adaptados ou malcom-preendidos podem originar muitos mal-entendidos esensação, por parte dos alunos, de terem sido engana-dos. Por um lado, os alunos desejam se adaptar às re-gras e, de outro lado, a versatilidade de um professorpode gerar a idéia de que nunca se sabe o que esseprofessor quer. Esses descontentamentos podem de-sembocar em recusas ou, até mesmo, em verdadeirosfracassos escolares.

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Referências bibliográficas

BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de 1a

dídactique des mathématiques. Recherches enDidactique des Mathématiques, vol. 7, n” 2,

pp. 33-115. Grenoble, 1986.. Le contrat didactique: le milieu. Recherches enDidactique des Mathématiques, Vol.9, n° 3,pp. 309-336. Grenoble, 1988.

CHEVALLARD, Y. Sur Fanalyse didactique: deuxétudes sur les notions de contract et de situation.Publication de FIREM d'Aix Marseille, 14.1988.

DOUADY, R. De la didactique des mathématiques àPheure actuelle. Cahiers de Didactique desMathématiques n° 6. IREM de Paris 7, 1985.

FRANCHI, A. Compreensão das situações multipli-Cativas elementares Tese de doutoramento.PUC-SP, 1995.

HENRY, M. Didactíque des mathématiques: unepresentation de la didactique en vue de la for-mation des enseignants. IREM de Besançon,1991.

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SITUAÇÕES DIDÁTICAS

José Luíz Magalhães de Freitas

Introdução

O que descrevemos neste capítulo é uma análisedas diferentes formas de apresentação do conteúdomatemático ao aluno através da chamada teoria dassituações didáticas. Trata-se de uma descrição forte-mente inspirada no modelo teórico desenvolvido naFrança por Brousseau (1986), com o qual procuramosmelhor compreender o fenômeno da aprendizagem damatemática principalmente no que diz respeito à nos-sa realidade educacional. Nosso interesse por essaanálise se deve ao fato de que, entre as várias teoriaspedagógicas, desenvolvidas nas últimas décadas, agrande maioria aborda aspectos excessivamente ge-rais que não contemplam a especificidade do sabermatemático.

No entanto a teoria desenvolvida por Brousseaurepresenta uma referência para o processo de aprendi-zagem matemática em sala de aula envolvendo pro-fessor, aluno e conhecimento matemático. Todo esseprocedimento didático visa principalmente realizaruma educação matemática mais significativa para o

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