nov 98 i.t., aveiro 1 maria joana soares departamento de matemática universidade do minho instituto...

1I.T., AveiroNov 98

Maria Joana Soares

Departamento de Matemática

Universidade do Minho

Instituto de Telecomunicações

Aveiro, Novembro 98

Nov 98 I.T., Aveiro 2

Notações

• Transformada de Fourier

)()( 2 RLtf dttgtfgf

)()(,

ti

ti

ef

dtetffFf

,

)()(ˆ)}({


Localização tempo-frequência

• Transformada de Fourier com janela g

dtetgtffF tig

)()(:),}({

,,),}({ gffFg

tietggg )(:,


Transformada de Fourier com janela

Janela

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Janela ondas Transladada

-2 -1 1 2

-0.5

0.5

1

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

2 3 4 5

-1

-0.5

0.5

1


Transformada contínua com ôndula

•A janela já oscila (onda)



A onda é expandida ou contraída e transladada



a

t

aa

1

:,

,,),}({ afafW

dta

ttf

aafW

)(

1:),}({



• Quando a aumenta, a função alarga

-10 -5 5 10

-1

-0.5

0.5

1

-10 -5 5 10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

)(t

)2(t

-10 -5 5 10

-2

-1

1

2

• Quando a diminui, a função estreita

)2( t


Plano tempo-frequência

Transformada de Fourier com janela




dC0

2|)(ˆ|

•Ser bem localizada (pequena)•Satisfazer condição de admissibilidade

A função deve :

0)(0)0(ˆ dtt (onda)



da

daafW

Ctf a 2,

0

),}({1

)(

Fórmula de inversão

Reconstrução

da

daf

Ctf aa 2,

0

,,1

)(

Decomposição


Transformada discreta. Ôndulas ortogonais

• Transformada contínua é altamente redundante.

• Restringir valores dos parâmetros:ja 2 Zkjkj ,;2

Zkjktjjkj ,;22: 2/

,

)( de o.n. base}{ortogonal ôndula 2, RLkj

jkkj

jkff ,

,


Transformada discreta. Ôndulas ortogonais

• Existem tais bases?– Base de Haar (Base de Haar (19101910))

– StrömbergStrömberg– MeyerMeyer– Battle; LemariéBattle; Lemarié

)1,2/1[)2/1,0[)( tH


Análise de Resolução Múltipla (ARM)

0

1

2

2101

de o.n. base}:)({5.

)2()(4.

}0{.3

)(2.

.1

VZkkt

VtvVtv

V

RLV

VVVV

jj

j

j



Exemplo: (ARM de Haar)Exemplo: (ARM de Haar)

)1,[ intervalo cada em constantes funções0 kkV

))1(2,2[ intervalo cada em constantes funções kkV jjj

)1,0[



jjj

jk Vkt de base22 2/

10 VV 0V

)2(2)( kthtk

k Equação de dilataçãoou

de dupla escala

Filtro}{ kh



• Dada como surge a base o. n. de ôndulas?} ), {( j V

jjjjj VWWVV ,1

Espaços de detalhe jW

jjjjjj WWVWVV 111

jZjWRL

)(2



0 de n. o. base)(: Wkt

jjk WZk de base }:{

)( de base },:{ 2 RLZkjjk

ôndula ortogonal



ARM }),{( jV existe!

)2(2)( ktgtk

k

)2(2)( kthtk

k

kk

k hg 1)1(

Equação de ôndula



)2(2)( ktgt k )2(2)( kthtk

k

kk

k hg 1)1(ARM de HaarARM de Haar

2

210 hh

2

2,

2

210 gg


Transformadas Rápidas com Ôndulas

kkc }{ 0 00 )()( Vktctf

kk

1110 WWVWVV JJ

jjk V de base jjk W de base

jk

J

j k

jkJk

k

Jk dcf

1



• Da equação de dilatação obtém-se facilmente

jn

nkn

jk chc 21

jn

nkn

jk cgd 21

• Da equação de ôndula vem



• Cálculo recursivo das sequências

121 Jccc

1d 2d Jd

Jc 0c Input

Output

1 Jd


• Pode ser invertida facilmente

121 Jccc

1d 2d Jd

Jc 0c Output

Input

1 Jd

n

jnnk

jnnk

jk dgchc 1

21

2



Transformdas Rápidas com Ôndulas

• Utilizam apenas o filtro

• Fáceis de implementar (cálculo recursivo)• Sequências e filtros finitos (truncados)

– Várias formas de lidar com as fronteiras (periodização, reflexão,...; ôndulas no intervalo)

• Algoritmos rápidos: número de operações O(N)

• Generalizam-se facilmente para várias variáveis

}{ kh


Ôndulas e Bancos de Filtrosj

nn

knj

k chc 21

kk hh ~

jn

nnk

jk chc 21 ~

2]~

[1 jj chc2]~[1 jj cgd

)2][()2][( 11 jjj dgchc

n

jnnk

jnnk

jk dgchc 1

21

2


Ôndulas e Bancos de Filtros

22

22 22

22h~

g~ g

h

jcjc

Decomposição Reconstrução

Esquema de filtragem de duas bandas com capacidade de reconstrução perfeita



)2(2)( kthtk

k

No espaço de FourierNo espaço de FourierNo espaço físicoNo espaço físico

)2/(̂)2/()(̂ H

ki

kk ehH

2

1)(

Função de transferência

kjjtkt )(),( 1)()(22 HH



1)0( H

)(2 RLV j 1)0(ˆ

Filtro passa-baixo

No espaço físicoNo espaço físico No espaço de FourierNo espaço de Fourier

kjjtkt )(),( 1)()(22 GG

00 WV 0)()()()( HGHG

0)0( GFiltro passa-alto

0)( H

1)( G



1)()(22 HH

1)()(22 GG

0)()()()( HGHG

)()(

)()(

GH

GH

matriz unitária

H e G par de filtros de quadratura conjugada

(CQF)



• ARM H filtro CQF

?

• Impor propriedades a escolhendo adequadamente o filtro?

• Importância, na prática, das propriedades

de ?

,

,

,



4ˆ422ˆ2)(ˆ HHH

H ( ) 2periódica, regular

1)()(22 HH

1)0( H

0)(inf]

2,

2[

H

)2()(ˆ1

k

kH

função escala de ARM

11

2)0(ˆ2k

k

k

k HH


Ôndulas e Bancos de Filtros• Impor propriedades a escolhendo o filtro {hk} de

forma adequada?

Exemplo: Famíla das Ôndulas de Daubechies– Suporte compacto número finito de hk´s FIR.

– Certo número de momentos nulos (máximo permitido pelo tamanho do suporte)

– Regularidade aumentando linearmente com tamanho do suporte.

1,,0;0)(:

Nkdtttm kk

.1,,0;0)()( NkH k


Ôndulas de Daubechies



• Importância, na prática, das propriedades de

– Regularidade: importante na síntese (imagens, p. ex.).

Erro “suave” é menos perceptível. Regularidade óptima?

– Número de momentos nulos:

Coeficientes associados a (com j grande) são quase

nulos onde a função é suave. Há apenas necessidade de

“reter” tais coeficientes onde a função é irregular.

Importante em algoritmos de análise numérica (baseados

em compressão de operadores) e em supressão de ruído.

jk



– Localização na frequência:

mais importante em sinal audio do que em processamento de

imagem; “aliasing” é mais relevante no primeiro caso.


Generalizações

• Ôndulas de várias variáveis - várias abordagens.

• Ôndulas bi-ortogonais - filtro de síntese dual do filtro de análise. (Mais flexibilidade)

• Referenciais de ôndulas- redundância. (Importante, por exemplo, na redução do erro de reconstrução)


Generalizações

• “Wavelet-packets” - bancos de filtros com estrutura em árvore arbitrária; pavimentações mais gerais do plano tempo-frequência.

Mais escolha ! Algoritmo da melhor base

$$$$


Generalizações

• Transformadas trigonométricas locais - senos e

co-senos definidos em intervalos finitos e “ligados” de forma suave.

• Multiwavelets -várias funções escala e ôndulas-mãe.


Referências

• I. Daubechies, Ten Lectures on WaveletsTen Lectures on Wavelets

SIAM, Philadelphia, 1992

• B. B. Hubbard, The World According to WaveletsThe World According to Wavelets Prentice-Hall, 1995


Referências

• A. Akansu, R. Haddad,

Multiresolution Signal DecompositionMultiresolution Signal Decomposition

Academic Press, 1993

• S. Mallat,

A Wavelet Tour of Signal ProcessingA Wavelet Tour of Signal Processing

Academic Press, 1998


Referências

• G. Strang, T. Nguyen,

Wavelets and Filter BanksWavelets and Filter Banks

Wellesley-Cambridge Press, 1996

• M. Vetterli, J. Kovacevic,

Wavelets and Subband CodingWavelets and Subband Coding

Prentice-Hall, 1995


Software

• Mathematica Wavelet ExplorerMathematica Wavelet Explorer, Wolfram Research

• Wavelet Toolbox for use with MATLABWavelet Toolbox for use with MATLAB, Toolbox do MATLAB

• WaveLabWaveLab : (para usar com MATLAB)

– ftp://playfair.stanford.edu/pub/wavelab

• Ver também: http://www.wavelet.org

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