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Notas para un curso de Algebra y Geometrıa

Jose Antonio Vallejo RodrıguezDepartamento de Matematicas

Facultad de CienciasUniversidad Autonoma de San Luis Potosı

Lat. Av. Salvador Nava s/n. CP 78290San Luis Potosı (SLP), Mexico

e-mail: [email protected]

21 Agosto 2006

ii

RESUMEN

Estas notas se corresponden con el contenido ampliado de unos cursos im-partidos en la Facultad de Ciencias de la Universidad Autonoma de SanLuis Potosı y el Centro de Investigacion en Matematicas A.C. en Guana-juato.Constituyen una introduccion al algebra a nivel intermedio y van acom-panadas de una extensa coleccion de problemas de diferentes grados dedificultad.

Indice

Prefacio VII

1. Repaso de teorıa de grupos y anillos 11.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Espacios vectoriales 7

3. Morfismos de espacios vectoriales. Matriz asociada a unaaplicacion lineal 13

4. Espacio dual. Reflexividad. Aplicacion adjunta 19

5. Formas bilineales. Metricas y formas simplecticas sobre unespacio vectorial 25

6. Incidencia y ortogonalidad. Angulos 31

7. El algebra tensorial T (V ) asociada a un espacio vectorial V 37

8. Accion del grupo de permutaciones en T 0p (V ). Los proyec-

tores Alt y Sym 438.1. Propiedades functoriales de T 0

p (V ) . . . . . . . . . . . . . . 48

iv Indice

9. El algebra exterior Λ(V ). Derivaciones en Λ(V ): operadorinsercion iv 519.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2. Orientacion y volumen en un espacio vectorial. . . . . . . . 629.3. Dualidad de Hodge. El operador ∗ . . . . . . . . . . . . . . 66

A. Propiedad Universal del producto tensorial 71

B. Indicaciones para algunos de los ejercicios 75

C. Problemas propuestos 87C.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

C.1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87C.1.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.1. Espacios vectoriales y subespacios . . . . . . . . . . 89C.2.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . 92C.2.3. Sistemas generadores. Bases . . . . . . . . . . . . . . 93C.2.4. Espacios suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . 96C.2.5. Espacio vectorial cociente . . . . . . . . . . . . . . . 96

C.3. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97C.3.1. Primeras definiciones y propiedades . . . . . . . . . 97C.3.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 98C.3.3. Aplicaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . 98

C.4. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99C.5. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

C.5.1. Metricas: ortogonalidad e incidencia . . . . . . . . . 100C.5.2. Aplicaciones ortogonales. Angulos . . . . . . . . . . 101C.5.3. Orientacion. Operador ∗ de Hodge . . . . . . . . . . 102

C.6. Algebra Multilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103C.6.1. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103C.6.2. Formas multilineales alternadas. Determinantes . . . 105

Indice alfabetico 106

A mi bebe, Alexandra

vi Indice

Prefacio

En general, los cursos de licenciatura sobre Algebra que se imparten enlas universidades de provinicia mexicanas son muy deficientes, y esto esası debido a diversos factores. A mi modo de ver uno de los mas decisivoses la escasa formacion de gran parte del profesorado. La mayor parte de losprofesores en las universidades de provincia se compone de gente ya entradaen anos, en muchos casos carentes de una titulacion adecuada (sin maestrıani doctorado, y en muchos casos ni siquiera una licenciatura en Matemati-cas), que ademas no ha tenido el mas mınimo interes por actualizar susconocimientos. La inercia natural en estos casos conlleva que se reutilice elmaterial que ellos mismos estudiaron en su momento. El resultado de esteestado de cosas se hace evidente cuando uno observa los programas de lasasignaturas relacionadas con el Algebra o se da un paseo por las bibliotecasde los centros docentes. Se puede comprobar entonces que los contenidosde las materias se adecuan a la de los “colleges” estadounidenses de losanos 50−60 y, en corcondancia, los textos que se ven en las bibliotecas sonediciones o reediciones de materiales de esos anos.

El problema es que estos libros ya eran anticuados en el momento en quese escribieron, y estaban a unos 150 anos de distancia del Algebra que secultivaba por aquella epoca. Su objetivo fundamental es el estudio de lassoluciones de sistemas de ecuaciones lineales (muchos de ellos lo expresanası, explıcitamente, en sus introducciones) y dan una vision tan elemental delos temas que tratan que los hace totalmente inservibles para un estudiantemoderno que simultaneamente al de Algebra siga (o vaya a seguir) un cursode Sistemas Dinamicos, Ecuaciones Diferenciales o Geometrıa Diferencial.

viii Prefacio

Por supuesto, en la literatura matematica existe una multitud de textosadecuados a la licenciatura que hacen una presentacion moderna, y cierta-mente algunos de ellos son difıcilmente mejorables, de manera que a la horade impartir un curso sobre el tema, si se quiere evitar la continuacion de lapenosa situacion que acabo de describir, uno puede optar por seguir unode ellos. El problema entonces es el idioma. Las casas editoriales en Ibe-roamerica parecen haberse puesto de acuerdo en traducir del ingles y editaral ano unos 200 tıtulos en la mejor tradicion de los famosos mamotretosde 1200 paginas titulados “Calculo con Geometrıa Analıtica”, “Algebra yTrigonometrıa”, “Algebra elemental”, “Algebra Intermedia”, etc. Casi to-dos estos libros estan dirigidos a estudiantes de “ciencias e ingenierıa” yaun al area de humanidades, pero practicamente no hay nada enfocado es-pecıficamente hacia el nicho de los estudios de matematicas. Como el inglestampoco es la especialidad de nuestros estudiantes, al final uno se enfrentacon la necesidad de contar con un material apto para un curso moderno deAlgebra para matematicos y cientıficos “serios” que este en espanol, y estaes la justificacion de haber escrito estas notas.

Su contenido se adecua al de algunas asignaturas que he impartido en laUniversidad Autonoma de San Luis Potosı (Temas selectos de Geometrıa,Algebra Lineal) y un curso que dicte en la I Escuela de Algebra del Centrode Investigacion en Matematicas A. C. de Guanajuato (Algebra Multili-neal). La idea que me ha guiado en su elaboracion es la de hacer un textosobre el que el alumno pueda trabajar, pero que tambien le sirva de ma-terial de referencia. Ası, hay muchos resultados teoricos que se proponenpara demostrar en forma de ejercicio, pero para la mayor parte de ellos seda la solucion en un apendice.

Un aspecto fundamental presente en todo el desarrollo y que se hacepatente desde un principio, es el de la utilizacion del lenguaje moderno delAlgebra y tecnicas actuales de demostracion, de forma que el estudiantepueda darse cuenta en cursos mas avanzados (y en otra asignaturas) que enrealidad esta tratando con cosas que ya conoce. Un estudio con cierto detallede las formas bilineales en espacios vectoriales, por ejemplo, le resultara utilcuando estudie Topologıa de espacios metricos, Geometrıa Riemannianao Geometrıa Simplectica; las formas lineales son indispensables para unposterior curso de Geometrıa Diferencial, etc.

Naturalmente, razones de espacio han determinado los topicos que sehan incluıdo, y no he dudado en eliminar los contenidos sobre resolucionde sistemas de ecuaciones lineales, operaciones con matrices, etc. Habitual-mente, los estudiantes que llegan a un curso de mitad de licenciatura sobreAlgebra Lineal o Geometrıa ya han visto estos temas en otros cursos (in-cluso es probable que eso sea lo unico que hayan visto en otros cursos...),ası que esta no parece ser una omision muy importante.

Hay algunas personas a las que tengo mucho que agradecer por diversosmotivos relacionados con la elaboracion de estas notas. A Gil Salgado pornumerosas discusiones e ideas, por la invitacion para impartir el curso en la I

Prefacio ix

Escuela de Algebra del CIMAT (donde presente una primera version de etasnotas) y por la inspiracion proporcionada por su curso de Algebras de Lie. AAfolfo Sanchez Valenzuela por todo su apoyo en mis estancias en el CIMAT,lo mismo que a Isabel Hernandez y Mary Carmen Rodrıguez. Y sobre todoa Juan Monterde y Jaime Munoz Masque, mis maestros, por numerosainformacion (de Jaime he utilizado sus notas del curso impartido en laETSAB de Barcelona y otros en Salamanca). Sin embargo, en un trabajode esta extension es inevitable que aparezcan erratas y aun errores, de losque la unica y exclusiva responsabilidad es mıa. Agradecere muchısimo lacomunicacion de cualquiera de ellos.

San Luis Potosı, Agosto 2006

x Prefacio

1Repaso de teorıa de grupos y anillos

1.1. Grupos

Sean X,Y conjuntos. El producto cartesiano X × Y es otro conjuntodado por los pares ordenados de elementos de X e Y :

X × Y = (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y .

En particular, podemos formar X ×X.

Definicion 1 Un grupo es un conjunto G junto con una aplicacion :G×G→ G (usualmente llamada “producto” y denotada (g, h) = g h, aveces incluso gh si no hay riesgo de confusion) con las propiedades:

1. Asociativa: f (g h) = (f g) h,∀f, g, h ∈ G.

2. Existencia de elemento neutro: ∃e ∈ G : f e = e f = f,∀f ∈ G.

3. Existencia de inverso: ∀f ∈ G,∃f−1 ∈ G : f f−1 = e = f−1 f .

Si solo se cumple (1), se dice que (G, ) es un semigrupo. Si se cumplen(1), (2) se dice que (G, ) es un semigrupo con identidad o monoide.

Se llama orden del grupo (G, ) al cardinal del conjunto G.

Ejemplo 2 Dado un conjunto cualquiera X, el conjunto

Σ(X) = f : X → X biyeccion

tiene estructura de grupo con la composicion habitual de aplicaciones.

2 1. Repaso de teorıa de grupos y anillos

Definicion 3 Un grupo (G, ) se dice que es abeliano (o conmutativo) siverifica

4. f g = g f,∀f, g ∈ G.

Ejemplo 4 El subconjunto U(1) = eiθ : θ ∈ [0, 2π[ = z ∈ C : |z| =1 ⊂ C con la operacion definida por

eiθ1 eiθ2 = ei(θ1+θ2) mod 2π

es un grupo abeliano. El conjunto Z2 = −1, 1 con el producto usual deenteros es tambien un grupo abeliano.

Ejercicio 5 Considerese N con la suma. ¿Es grupo?, ¿lo es (Z,+) ?, ¿esalguno abeliano?. ¿Que se puede decir de (Q, ·)?, ¿se puede modificar (Q, ·)para obtener un grupo?.

Ejercicio 6 Consideremos C0(R) = f : R → R continua. ¿Es un grupopara la suma definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x)?, ¿y para el productocon (f ∗g)(x) = f(x) ·g(x) (siendo · el producto de numeros reales usual)?.

Ejercicio 7 Sea (G, ) un grupo. Probar lo siguiente:

1. La identidad de G, e, es unica.

2. Si g ∈ G, su inverso g−1 ∈ G es unico.

3. Si g, h ∈ G, entonces (g h)−1 = h−1 g−1.

4. Si a, b, c ∈ G, la ecuacion a x b = c tiene solucion unica (ayuda:x = a−1 c b−1).

5. (g−1)−1 = g,∀g ∈ G.

6. Dado g ∈ G, la aplicacion Lg : G → G tal que Lg(h) = g h esuna biyeccion (ayuda: (Lg)−1 = Lg−1). Analogamente, la aplicacionRg : G → G tal que Rg(h) = h g tambien es una biyeccion. estasaplicaciones se denominan traslacion izquierda y derecha, res-pectivamente.

Nota 8 Dado un grupo (G, ), un subconjunto H ⊆ G se dice que es unsubgrupo de G, y se denota H ≤ G, si H con las operaciones restrin-gidas de G es un grupo. En ese caso, H induce una relacion binaria deequivalencia en G de la siguiente manera: para a, b ∈ G arbitrarios,

a ∼ b sii ∃h ∈ H tal que a = bh.

Las clases de equivalencia bajo esta relacion, llamadas coclases derechas,se denotan [a], a o La(H). Esta ultima notacion es la mas sugerente, yaque como se comprueba de forma inmediata:

[a] = La(H) = ah : h ∈ H.

1.1 Grupos 3

De analoga forma se definen las coclases izquierdas Ra(H), mediante larelacion

a ∼ b sii ∃h ∈ H tal que a = hb.

Definicion 9 Sea n ∈ N. Llamemos In = 1, 2, ..., n; entonces, a Σ(In)(definido en el ejemplo 2) se le denota Σn y se llama grupo de permu-taciones de n objetos o grupo simetrico de n elementos. Los elementosde Σn se escriben explicitando sus imagenes:

f ∈ Σn =⇒(

1 2 . . . nf(1) f(2) . . . f(n)

).

Las permutaciones f ∈ Σn siempre se pueden descomponer en unas per-mutaciones especiales que solo involucran dos objetos, las llamadas traspo-siciones. Para ello, se escribe f dando unicamente los elementos de In quemueve (la llamada descomposicion en ciclos) y luego se intercambianesos elementos dos a dos.

Ejemplo 10 En I6 = 1, 2, 3, 4, 5, 6:

f =(

1 2 3 4 5 63 5 6 2 1 4

)= (136452) = (13)(36)(64)(45)(52)

y

g =(

1 2 3 4 5 63 5 4 1 6 2

)= (134)(256) = (13)(34)(25)(56).

Definicion 11 Sea τ(f) el numero de trasposiciones en que se descomponeuna permutacion f ∈ Σn. A (−1)τ(f) se le llama signatura de f , y seescribe sig(f) o σ(f). Si sig(f) = +1(resp. −1) se dice que f es par (resp.impar). El subconjunto de las permutaciones pares (es decir, con signaturaigual a 1) forma un subgrupo de Σn que se denota An y se denomina grupoalternado de n elementos.

Ejemplo 12 Las permutaciones f, g ∈ Σ6 del ejemplo 10 tienen

sig(f) = σ(f) = (−1)5 = −1 (f impar)sig(g) = σ(g) = (−1)4 = 1 (g par).

Ejercicio 13 Calcular las signaturas de las siguientes permutaciones:

f =(

1 2 3 4 5 6 72 3 5 1 4 7 6

), g =

(1 2 3 4 5 6 7 86 4 5 1 8 3 2 7

).

Definicion 14 Sea f : (G, ) → (H, ∗) una aplicacion entre grupos. Sedice que es un morfismo de grupos si

f(g1 g2) = f(g1) ∗ f(g2),∀g1, g2 ∈ G.

Un morfismo que, como aplicacion entre cojuntos es inyectiva (resp. so-breyectiva, biyectiva) se dice que es un monomorfismo (resp. epimorfismo,isomorfismo).


Ejemplo 15 Dado el grupo de permutaciones Σp, la aplicacion signaturadefine un morfismo

sig : Σp → Z2.

En otras palabras, si f, g ∈ Σp, entonces sig(f g) = sig(f)sig(g).

Ejemplo 16 El conjunto de las matrices reales cuadradas de orden n queson invertibles, forman un grupo respecto del producto matricial. Este gru-po se denomina grupo general lineal1 (real) de orden n, y se denotaGLn(R).

Ejercicio 17 Considerar el conjunto SO(2,R) de las matrices 2 × 2 concoeficientes reales de la forma (

a b−b a

)tales que a2 + b2 = 1. Probar que (SO(2,R), ·), con · el producto usual dematrices, es un grupo isomorfo al U(1) del ejemplo 4.

Proposicion 18 Si f : (G, ) → (H, ∗) es un morfismo, entonces:

1. f(eG) = eH .

2. f(g−1) = (f(g))−1,∀g ∈ G.

Demostracion. La primera parte es inmediata: se tiene que, por ser eG

el neutro de G, f(eG) = f(eG eG) y por ser f morfismo: f(eG) = f(eG) ∗f(eG). Multiplicando a la izquierda por f(eG)−1 (que existe por ser Hgrupo), se obtiene eH = f(eG). Para la segunda, como consecuencia de laprimera, si g ∈ G:

f(g) ∗ f(g−1) = f(g g−1) = f(eG) = eH ,

luego f(g−1) = (f(g))−1.

Definicion 19 Si f : G→ G es morfismo (resp. isomorfismo), se dice quees un endomorfismo (resp. automorfismo). El conjunto de los endo-morfismos (resp. automorfismos) de G se denota End(G) (resp. Aut(G))..

Ejemplo 20 f : (R,+) → (R+, ·), dado por f(x) = ex, es un automorfis-mo.

Definicion 21 Sea X un conjunto. Se dice que el grupo (G, ∗) actua so-bre X (por la izquierda) si se tiene una aplicacion

Φ : G×X → X

1El espacio R puede sustituırse por cualquier otro cuerpo K, vease mas adelante ladefinicion de cuerpo.

1.2 Anillos 5

donde Φ(g, x) ∈ X se denota por g.x ∈ X y a veces por gx ∈ X, de maneraque:

1. (g1 ∗ g2).x = g1.(g2.x),∀g1, g2 ∈ G y ∀x ∈ X.

2. e.x = x,∀x ∈ X.

A Φ se la llama aplicacion accion. La definicion de accion por la derechaes totalmente analoga, en este caso Φ(x, g) ∈ X se denota por x.g o porxg.

Ejemplo 22 Consideremos X = R2 y G = R∗ = R− 0 con la multipli-cacion. Entonces, la aplicacion

Φ : R∗ × R2 → R2

t.(x, y) = (tx, ty)

es una accion (accion de las homotecias sobre el plano).

Ejercicio 23 Comprobar que tomando X = R2 y considerando sus ele-mentos como matrices columna, el producto de matrices usual determinauna accion del grupo SO(2,R) (vease ejercicio 17) sobre R2 (accion de lasrotaciones en el plano).

Proposicion 24 Sea Φ : G × X → X una accion del grupo G sobre elconjunto X.

1. Para cada g ∈ G, la aplicacion λg : X → X con λg(x) = Φ(g, x) =g.x, es biyectiva con inversa λg−1 .

2. La aplicacion λ : G → Σ(X) tal que λ(g) = λg es un morfismo degrupos.

Ejercicio 25 Probar la proposicion (24).

1.2. Anillos

Definicion 26 Un anillo es un conjunto A sobre el que se tienen dosoperaciones, usualmente denotadas suma + y producto ·, tales que:

1. (A,+) es un grupo abeliano (vease definicion 3).

2. (A, ·) es un semigrupo (vease definicion 1).

3. Se tiene la siguiente propiedad distributiva: si a, b, c ∈ A,

a · (b+ c) = a · b+ a · c.


En el caso de que (A,+, ·) admita algun neutro para el producto (i.e. que(A, ·) sea un monoide) se dice que es un anillo con unidad. El elementoneutro de la suma se suele denotar 0, el inverso de a ∈ A respecto de +como −a, y el neutro del producto (si existe) como 1. Si (A,+, ·) es unanillo con unidad, se denomina caracterıstica de A, denotado χ(A), al

menor p ∈ N tal que p · 1 = 1 +p)· · ·+ 1 = 0.

Ejemplo 27 El conjunto Z2 = 0, 1, con las operaciones dadas por lastablas

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

es un anillo. Tiene unidad, 1, y es de caracterıstica 2.

Ejercicio 28 ¿Es (N,+, ·) (suma y productos habituales) un anillo?¿Es(Z,+, ·) (suma y productos habituales) un anillo?, ¿lo es (Q,+, ·)?

Ejercicio 29 Comprobar que el conjunto C0(R) con la suma y el productodefinidos en el ejercicio 6 es un anillo. Probar que, si se restringe el con-junto soporte a C0

a([a, b]) (las funciones continuas definidas en el intervalo[a, b], con a > 0 fijo, y que se anulan en a), entonces se obtiene un anillosin identidad.

Ejercicio 30 Comprobar que el conjunto Mat2(R) de las matrices 2× 2con coeficientes reales, forma un anillo con respecto a la suma y productohabituales de matrices.

En general, dado un grupo abeliano (G, ∗), el conjunto (End(G), ∗, )(donde es la composicion de aplicaciones), tiene estructura de anillo.

En un anillo arbitrario, puede ocurrir que existan elementos a, b distintosde cero tales que a · b = 0. En ese caso, se dice que ambos elementos sondivisores de cero. Los anillos sin divisores de cero revisten particularinteres.

Definicion 31 Un anillo (K,+, ·) es un cuerpo si (K, ·) es un grupo. Siademas (K, ·) es abeliano, se dice que (K,+, ·) es un cuerpo conmutativo.

Ejemplo 32 (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) con las operaciones habituales, soncuerpos. Z2 con las operaciones dadas en el ejemplo 27 es un cuerpo.(Z,+, ·) no es un cuerpo, y tampoco lo es Mat2(R) con las operacioneshabituales de matrices.

Ejercicio 33 Dar una definicion analoga a la 14, es decir, enunciar lo queserıan los morfismos de anillos y cuerpos.

2Espacios vectoriales

Definicion 34 Sea (K,+, ·) un cuerpo y (V,) un grupo abeliano. Una es-tructura de espacio vectorial sobre K en V (o de K−espacio vectorial)es una aplicacion

K× V → V

(k, v) 7→ k.v

que verifica:

1. k.(u v) = k.u k.v, ∀k ∈ K,∀u, v ∈ V .

2. (k + k′).v = k.v k′.v, ∀k, k′ ∈ K,∀v ∈ V .

3. (k · k′).v = k.(k′.v), ∀k, k′ ∈ K,∀v ∈ V .

4. 1.v = v, ∀v ∈ V .

Los elementos de K se denominan escalares, y los de V vectores.

Observese que del cuerpo K no se utiliza la invertibilidad de sus elemen-tos. De hecho, la definicion de espacio vectorial puede darse igualmentepara el caso en que K es un anillo A (y entonces se habla de modulossobre A o de A−modulos).

Nota 35 Es frecuente escribir (la suma de vectores) con el mismo sımbo-lo que la suma en el cuerpo K (suma de escalares), y tambien se escribe

8 2. Espacios vectoriales

la accion de K sobre V con el mismo sımbolo que el producto de escala-res, pero hay que tener presente que son operaciones distintas. Ası, lo mascomun es encontrar la propiedad distributiva escrita como

k(v1 + v2) = kv1 + kv2.

Ejercicio 36 Comparar la definicion anterior con la definicion de espaciovectorial en un texto cualquiera de Algebra Lineal y comprobar que sonequivalentes.

Tras hacer este ejercicio, no deberıa haber problemas en utilizar la iden-tificacion mencionada en la nota 35. Por tanto, en lo que sigue y por como-didad, utilizaremos la misma notacion para la suma de escalares y vectores,ası como para el producto de escalares y de un escalar por un vector. Tam-bien, hablaremos de (K,+, ·) como del cuerpo K.

Ejemplo 37 Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre si mismo. Ası,(Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) con las operaciones habituales, son espacios vec-toriales. Z2 con las operaciones dadas en el ejemplo 27 es un espacio vecto-rial. Las matrices de Mat2(R) (de tipo 2× 2 con coeficientes reales) juntocon la suma forman un espacio vectorial sobre R; de hecho, las matricesMatm×n(K) (de tipo m filas, n columnas con coeficientes en un cuerpo K)con la suma habitual forman un espacio vectorial sobre K.

Ejercicio 38 Sea R3 = (x, y, z) : x, y, z ∈ R = R × R × R, con laestructura de grupo abeliano dada por la suma (x, y, z) + (x′, y′, z′) =(x + x′, y + y′, z + z′). Probar que es un espacio vectorial sobre (R,+, ·).Generalizar a Rn.

Este ejercicio aun se puede ampliar mas: de acuerdo con el ejemplo 37,dado un cuerpo cualquiera K, el producto cartesiano Kn = K × · · · × Ktiene una estructura de espacio vectorial totalmente analoga a la de Rn.Notese tambien que las matrices de Matm×n(K) actuan sobre Kn (si loselementos de Kn se ven como vectores columna, esto es, matrices n × 1)mediante el producto matricial usual.

Ejemplo 39 El espacio C0(R) de las funciones reales continuas (veaseejercicio 6) tiene estructura de espacio vectorial sobre R.

Definicion 40 Sea V un espacio vectorial sobre K. Se dice que un subcon-junto S ⊂ V es un subespacio vectorial si S es un espacio vectorial sobreK.

Ejercicio 41 Probar que la interseccion de subespacios vectoriales es unsubespacio vectorial.

Ejemplo 42 Si v1, ...vr ∈ V son vectores de V , entonces el subconjunto

〈v1, ..., vr〉 = v ∈ V : ∃k1, ..., kr ∈ K, v = k1v1 + ...+ krvr ⊂ V


es un subespacio vectorial de V , denominado subespacio generado porel subconjunto v1, ..., vr. Esta definicion se generaliza inmediatamente alcaso de un subconjunto S ⊂ V arbitrario, no necesariamente finito.

Ejercicio 43 Probar que 〈v1, ..., vr〉 es el menor subespacio vectorial quecontiene a v1, ..., vr (ayuda: utilizar el ejercicio 41).

Ejercicio 44 Probar que S = z = (a, b) ∈ C : b = 0 ⊂ C es un subespa-cio vectorial de C (con las operaciones habituales entre complejos).

Definicion 45 Sea V un espacio vectorial sobre K. Sean W1,W2 ≤ V dossubespacios tales que W1∩W2 = 0; entonces, se llama suma directa deW1,W2, y se denota W1 ⊕W2, al subespacio generado por la union:

W1 ⊕W2 = 〈W1 ∪W2〉 .

Ejercicio 46 Probar que V se descompone en suma directa de los subes-pacios W1,W2 si y solo si, para cada v ∈ V , existen w1 ∈ W1, w2 ∈ W2

unicos tales que v = w1 + w2.

Definicion 47 Sea V un espacio vectorial sobre K. Un subconjunto S ⊂ Vse dice que es linealmente dependiente (LD), o que forma un sistemalibre, si existen unos vectores disitntos v1, ...vp y unos escalares k1, ..., kp,no todos nulos, tales que

k1v1 + ...+ kpvp = 0.

Un conjunto que no es linealmente dependiente se dice que es linealmenteindependiente (LI) o que forma un sistema ligado. Si el conjunto Stiene solo un numero finito de vectores S = v1, ..., vs se dice que losv1, ..., vs son linealmente (in)dependientes, en lugar de S.

Ejercicio 48 Probar las siguientes propiedades:

1. Todo conjunto S ⊂ V que contiene un subconjunto LD es LD.

2. Todo subconjunto de un S ⊂ V LI, es LI.

3. Todo conjunto que contiene al 0 ∈ V , es LD.

4. Un subconjunto S ⊂ V es LI si y solo si cualquier subconjunto finitode S es LI.

Definicion 49 Sea V un espacio vectorial. Una base de V es un subcon-junto S ⊂ V linealmente independiente y tal que es un sistema genera-dor de V , esto es, 〈S〉 = V (recuerdese el ejemplo 42). Se dice que V esde dimension finita si admite una base formada por un numero finito devectores.


Ejemplo 50 Dado un cuerpo cualquiera K, en Kn = K × · · · × K (veaseejercicio 38) el subconjunto formado por los vectores

e1 = (1, 0, ..., 0)e2 = (0, 1, ..., 0)

...en = (0, 0, ..., 1)

es LI y ademas 〈e1, e2, ..., en〉 = Kn. Por tanto, e1, e2, ..., en es unabase de Kn, que se denomina base canonica.

Nota 51 Es posible probar (aplicando el Lema de Zorn al conjunto de lossistemas generadores de V ordenado por la inclusion) que todo espaciovectorial admite una base.

Ejemplo 52 El espacio Matn×n(K) de las matrices cuadradas de ordenn, tiene por base el conjunto de n2 matrices Ii

j (donde Iij es la matriz que

tiene un 1 en el lugar indicado por la fila i y la columna j y el resto 0): esobvio que si A ∈ Matn×n(K) tiene elementos A = (Aj

i )1≤i,j≤n, entoncesA = Aj

i Iij.

En estas notas, trabajaremos fundamentalmente con espacios vectorialesde dimension finita.

Teorema 53 Sea V un K−espacio vectorial generado por un numero fi-nito de vectores v1, ...vp. Entonces, todo conjunto LI de vectores de V esfinito y no contiene mas de p elementos.

Demostracion. Veamos que todo subconjunto S ⊂ V con mas de p vec-tores es LD. Por hipotesis, en S hay unos vectores diferentes u1, ..., uq conq > p, como estamos suponiendo que los v1, ..., vp generan V , existiran

unos escalares aij ∈ K tales que uj =

p∑i=1

aijvi y entonces para cualesquiera

escalares k1, ..., kq se tendra

k1u1 + ...+ kquq =q∑

j=1

kj

p∑i=1

aijvi

=p∑

i=1

q∑j=1

aijkj

vi,

pero como q > p el sistema de ecuaciones lineales definido por la matrizaij es compatible indeterminado (hay mas ecuaciones que incognitas), ysiempre admite una solucion no nula: existen unos k1, ..., kq (no todos nulos)

tales queq∑

j=1

aijkj = 0, 1 ≤ i ≤ p, ası que k1u1 + ...+ kquq = 0 y S es LD.


Corolario 54 Si V es un espacio vectorial de dimension finita, dos basescualesquiera de V tienen el mismo numero (finito) de elementos.

Ejercicio 55 Probar el corolario 54.

De acuerdo con este resultado, podemos dar la siguiente definicion.

Definicion 56 Se llama dimension del espacio vectorial V al cardinal deuna cualquiera de sus bases. Se denota dimV .

Resulta obvio que en un espacio vectorial de dimension finita n, no puedehaber mas de n vectores linealmente independientes.

Ejemplo 57 El espacio C0(R) de las funciones reales continuas es dedimension infinita. Es facil comprobar, por ejemplo, que los monomiosxkk∈N son LI, por lo que C0(R) no puede contener ninguna base fini-ta, de acuerdo con el teorema 53.

Proposicion 58 Sea V un K−espacio vectorial de dimension finita dimV =n. Entonces, todo subconjunto linealmente independiente de V , v1, ..., vr(con r ≤ n), puede completarse para dar una base de V .

Demostracion. Si 〈v1, ..., vr〉 = V no hay nada que probar. Sea u ∈ Vtal que u /∈ 〈v1, ..., vr〉; es inmediato que en ese caso v1, ..., vr ∪ u esLI (pues si a1v1+···+arvr +bu = 0 y fuese b 6= 0, se tendrıa u = − 1

b (a1v1+· · ·+ arvr) contra hipotesis). Llamemos u = vr+1; si 〈v1, ..., vr+1〉 = V elenunciado esta probado, en caso contrario se repite el algoritmo hasta queası sea (el procedimiento es finito por ser finito n).

3Morfismos de espacios vectoriales.Matriz asociada a una aplicacion lineal

Definicion 59 Sea K un cuerpo y V,W espacios vectoriales sobre el. Unaaplicacion L : V → W se dice que es un morfismo de K−espacios vec-toriales o una aplicacion lineal (sobre K) si es un morfismo de gruposL : (V,+V ) → (W,+W ) (donde +V denota la suma en V y lo mismo +W

con W ) y conmuta con la accion de los escalares, esto es

L(v +V v′) = L(v) +W L(v′),L(kv) = kL(v),

∀k ∈ K y ∀v1, v2 ∈ V . El espacio de los morfismos entre los K−espaciosvectoriales V,W se denota LK(V,W ), y con las operaciones suma (L1, L2 ∈LK(V,W )):

L1 + L2 : V → Vv 7→ L1(v) + L2(v)

y producto por un escalar (L ∈ LK(V,W ), k ∈ K):

kL : V → Vv 7→ kL(v)

tiene estructura de espacio vectorial.Cuando W = V , se dice que una aplicacion lineal L : V → V es un

operador lineal, y se escribe LK(V ) para el espacio de todos ellos (tambiense las llama endomorfismos, y se denota EndK(V )).

14 3. Morfismos de espacios vectoriales. Matriz asociada a una aplicacion lineal

Ejemplo 60 Recuerdese el ejemplo 37 y el ejercicio 38. Sea A ∈Matm×n(K);entonces, la aplicacion

PA : Kn → Km

PA(v) 7→ A · v

dada por el producto matricial sobre los vectores columna, es una aplicacionlineal.

Ejemplo 61 Sean A ∈Matm×m(K), B ∈Matn×n(K). Entonces, la apli-cacion

CAB : Matm×n(K) →Matm×n(K)

dada por CAB(M) = AMB es una aplicacion lineal.

Ejemplo 62 Consideremos el espacio vectorial C0(R) (vease ejemplo 39).Definimos una aplicacion I : C0(R) → C0(R) mediante

(If)(x) =∫ x

0

f(t)dt.

Entonces, la aplicacion I es lineal.

Ejercicio 63 Comprobar que la definicion de aplicacion lineal es equiva-lente a que se preserven las combinaciones lineales, esto es, a que

L(k1v1 + k2v2) = k1L(v1) + k2L(v2),

∀k1, k2 ∈ K y ∀v1, v2 ∈ V . Como consecuencia de este hecho, una aplica-cion lineal queda determinada por su actuacion sobre los vectoresde una base de V .

Ejercicio 64 Sea L : V → W un morfismo de K−espacios vectoriales.Probar lo siguiente:

1. Si U ⊂ V es un subespacio vectorial, L(U) es subespacio vectorial deW . En particular, la imagen de L, Im(L) = L(V ) es un subespaciovectorial de W .

2. Si T ⊂ W es un subespacio vectorial, L−1(T ) = v ∈ V : L(v) ∈T es un subespacio de V . En particular, el nucleo de L, kerL =L−1(0), es un subespacio de V .

3. Si V es de dimension finita se tiene la formula de las dimensio-nes:

dim kerL+ dim ImL = dimV .

El siguiente resultado y su corolario seran de gran utilidad mas adelante.

3. Morfismos de espacios vectoriales. Matriz asociada a una aplicacion lineal 15

Teorema 65 Sea V un K−espacio vectorial de dimension finita n = dimV ,con base ein

i=1. Sea W otro K−espacio vectorial y u1, ..., un vectores cua-lesquiera de W . Entonces, existe una unica transformacion lineal L : V →W tal que

L(ej) = uj , j = 1, ..., n.

Demostracion. Sea v ∈ V arbitrario, que escribimos como v =n∑

i=1

xiei.

Se define

L(v) =n∑

i=1

xiui.

Es claro que, en particular, L(ej) = uj , j = 1, ..., n. La linealidad tambien

es facil de probar, si v, w ∈ V con expresiones respectivas v =n∑

i=1

xiei, w =n∑

k=1

ykek, se tiene ∀a, b ∈ K, av + bw =n∑

l=1

(axl + byl

)el y por tanto

L(av + bw) =n∑

l=1

(axl + byl

)ul

= a

n∑l=1

xlul + b

n∑l=1

ylul

= aL(v) + bL(w).

Por ultimo, la unicidad. Si T es una aplicacion lineal T : V → W tal que

T (ej) = uj , j = 1, ..., n entonces es obvio que ∀v ∈ V , v =n∑

i=1

xiei se tiene

T (v) =n∑

i=1

xiT (ei) =n∑

i=1

xiui = L(v),

es decir, T = L.

Corolario 66 Si v ∈ V es un vector no nulo, existe una aplicacion linealL : V → K tal que

L(v) 6= 0.


Definicion 68 Un isomorfismo de K−espacios vectoriales es unaaplicacion lineal biyectiva. En ese caso, automaticamente la aplicacion in-versa es nuevamente un isomorfismo (esta propiedad es muy peculiar dela categorıa de espacios vectoriales). En el caso particular en que el espa-cio imagen es el mismo que el origen, se dice que el isomorfismo es unautomorfismo.


Nota 69 Los automorfismos de un K−espacio vectorial V , AutK(V ), for-man un subespacio vectorial del espacio de los endomorfismos de V (veasela definicion 59).

Como consecuencia del ejercicio 64, si L : U →W es inyectiva y dim ImL =dimW , entonces U es isomorfo a W , denotado U 'W .

Teorema 70 Todos los K−espacios vectoriales con una misma dimensionfinita n, son isomorfos.

Ejercicio 71 Probar el teorema 70 (ayuda: utilizar el ejercicio 63 y elteorema 65).

Veamos ahora la estructura algebraica de los espacios de morfismos deespacios vectoriales sobre un cuerpo K.

Sea K un cuerpo y V,W dos K−espacios vectoriales. En el conjuntoLK(V,W ) de las aplicaciones lineales entre V y W se definen las siguientesoperaciones: si L,L′ ∈ LK(V,W ) su suma, denotada L+L′, es la aplicacionL+L′ : V →W dada por (L+ L′) (v) = (L) (v) +L′(v),∀v ∈ V . Si k ∈ K,el producto de L por k es kL : V →W dada por (kL) (v) = k.L(v) = kL(v).Es inmediato que L+ L′, kL ∈ LK(V,W ).

Ejercicio 72 Probar que (LK(V,W ),+) es un grupo abeliano.

Ejercicio 73 Con las operaciones que se acaban de definir, LK(V,W ) tienela estructura de K−espacio vectorial.

Nota 74 Para el caso particular de V = W , el espacio resultante LK(V )tiene una estructura algebraica mucho mas rica que LK(V,W ). Esto se debea la posibilidad de definir en LK(V ) un producto mediante la composicionde aplicaciones, L L′, con lo que (LK(V ),+, ) se convierte en un anillo(con unidad la aplicacion identidad); pero no solo eso, sino que ademasLK(V ) resulta ser lo que se llama una K−algebra (vease mas adelante ladefinicion 149).

Ejemplo 75 Sea V un K−espacio vectorial. Entonces, la aplicacion lineal

ev1 : LK(K, V ) → V

L 7→ ev1(L) = L(1)

es un isomorfismo de K−espacios vectoriales, es decir, LK(K, V ) ' V .

Nos ocuparemos ahora de la representacion coordenada de los morfismosde K−espacios vectoriales, y de la determinacion de una base del espacioLK(V,W ).

Definicion 76 Sea K un cuerpo y V,W dos K−espacios vectoriales de di-mensiones respectivas n = dimV,m = dimW . Se llama matriz asociada

3. Morfismos de espacios vectoriales. Matriz asociada a una aplicacion lineal 17

a un morfismo L : V → W respecto de una pareja de bases eini=1 de

V , ujmj=1 de W , a la matriz m× n denotada λ =

(λj

i

)1≤j≤m

1≤i≤ny definida

por las condiciones

L(ei) =m∑

j=1

λjiuj ≡ λj

iuj , i = 1, ..., n.

Notese el empleo del Convenio de Einstein para las sumas, sera practi-ca comun a partir de ahora. De manera mas simple, podemos decir que λ esla matriz cuya columna i−sima esta formada por las coordenadas de L(ei)en la base ujm

j=1 de W .

Teorema 77 Dadas las bases eini=1 y ujm

j=1, de V y W respectivamen-te, la aplicacion LK(V,W ) →Matm×n(K) que a cada morfismo L le asociasu matriz λ respecto de dichas bases, es un isomorfismo de K−espacios vec-toriales.

Demostracion. Ya hemos visto que a toda aplicacion lineal le correspondeuna matriz. Por el ejercicio 63, tal asignacion es una aplicacion inyectiva, yes obvio que es lineal (por serlo L). Veamos que existe la aplicacion inversa.

Dada la matriz arbitraria A =(aj

i

)1≤j≤m

1≤i≤n∈ Matm×n(K), definimos L :

V →W mediante su actuacion sobre la base eini=1:

L(ei) = ajiuj ,

y extendiendo por linealidad, de modo que automaticamente L ∈Matm×n(K).Por otra parte, por construccion es evidente que la matriz λ asociada a laL ası definida no es otra que la propia A, de modo que la asignacion A 7→ Les la aplicacion inversa que estabamos buscando.

Ejercicio 78 Para el caso particular en que V = W , un endomorfismo L ∈LK(V ) vendra representado por una matriz cuadrada de tipo dimV ×dimV .Probar que L es un automorfismo (vease definicion 68) si y solo si su matrizasociada es invertible.

Fijadas las bases eini=1, ujm

j=1, consideremos los nm morfismos Lij :

V →W (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) definidos por

Lij(er) = δi

ruj , 1 ≤ r ≤ n,

con δir la delta de Kronecker (δi

r = 1 si i = r y δir = 0 en otro caso).

Teorema 79 Los morfismos Lij (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) forman una base

del espacio vectorial LK(V,W ). En consecuencia, dimLK(V,W ) = nm =


dimV dimW ; ademas, si λ =(λj

i

)1≤j≤m

1≤i≤nes la matriz de un morfismo

L ∈ LK(V,W ) respecto de las bases eini=1, ujm

j=1, se tiene

L = λjiL

ij.

Demostracion. Sea L ∈ LK(V,W ) con matriz λ =(λj

i

)1≤j≤m

1≤i≤nrespecto

de eini=1, ujm

j=1. Probaremos la segunda parte del enunciado, ya que laprimera se sigue inmediatamente de ella. Se tiene

λjiL

ij(er) = λj

i δiruj = λj

ruj = L(er),

para cada 1 ≤ r ≤ n, de modo que L = λjiL

ij .

Ejercicio 80 Sean U, V,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Con-sideremos unas aplicaciones L1 ∈ LK(U, V ), L2 ∈ LK(V,W ) con matrices

asociadas µ =(µj

i

)1≤j≤m

1≤i≤n, ν =

(νj

i

)1≤j≤m

1≤i≤n, respectivamente. Probar que la

matriz que corresponde a la composicion L1 L2 ∈ LK(U,W ) es el productode matrices µν.

Sea ahora V un espacio vectorial con bases eini=1, ujn

j=1 (ambas deV ).

Definicion 81 Se llama matriz del cambio de base de eini=1 a ujn

j=1

a la matriz Λ = (Λij)1≤i,j≤n que corresponde al morfismo identidad I : V →

V respecto de las bases respectivas ujnj=1 y ein

i=1 (¡notese el cambio deorden!). En otras palabras, es la matriz (Λi

j)1≤i,j≤n dada por

uj = Λijei.

Ejemplo 82 Si v = xiei = yjuj ∈ V es un vector arbitrario, la rela-cion entre sus coordenadas (xi)1≤i≤n, (yj)1≤j≤m en las bases respectivasein

i=1 , ujnj=1 esta dada por

xi = Λijy

j .

Ejercicio 83 Sea L ∈ LK(V ) un endomorfismo, sea λ =(λj

i

)1≤i,j≤n

su

matriz respecto de una base eini=1. Probar que la matriz que corresponde

a L en una nueva base es Λ−1 · λ · Λ (producto matricial), donde Λ es lamatriz de cambio de base.

4Espacio dual. Reflexividad. Aplicacionadjunta

En toda esta seccion, K sera un cuerpo y V un espacio vectorial sobreel.

Definicion 84 Se denomina espacio dual de V al K−espacio vectorialV ∗ = LK(V,K). Los elementos de V ∗ (morfismos f : V → K) se denominanformas lineales.

Ejercicio 85 Probar que una forma lineal no nula es un epimorfismo.

El hecho de que el espacio dual sea un espacio de morfismos, tiene con-secuencias inmediatas.

Proposicion 86 Si V es de dimension finita, tambien lo es V ∗ y ademasdimV ∗ = dimV .

Demostracion. De acuerdo con el teorema 79, se tiene dimV ∗ = dimLK(V,K) =dimV .

Nota 87 De acuerdo con este resultado, resulta que si V es de dimensionfinita, V y V ∗ son isomorfos. Sin embargo, no lo son canonicamente, esdecir, no existe ningun isomorfismo privilegiado ϕ : V ' V ∗. Si que es po-sible distinguir tal isomorfismo cuando V posee una estructura geometricaadicional, como una forma bilineal no degenerada (vease el teorema 120mas adelante).

El mismo teorema 79 nos proporciona una forma de obtener, dada unabase en V , una base asociada en V ∗, llamada base dual.

20 4. Espacio dual. Reflexividad. Aplicacion adjunta

Ejemplo 88 Consideremos V el espacio de las funciones reales polinomi-cas con grado a lo sumo 2:

V = p : R → R : p(x) = c0 + c1x+ c2x2, c0, c1, c2 ∈ R.

Consideremos las siguientes formas lineales sobre V :

f1(p) =∫ 1

0

p(t)dt

f2(p) =∫ 2

0

p(t)dt

f−1(p) =∫ 0

−1

p(t)dt.

Es facil ver que f1, f2, f−1 es una base de V ∗. En primer lugar, obser-vemos que por la proposicion 86, dimV ∗ = 3 = dimV , luego solo hemosde preocuparnos de ver si f1, f2, f−1 es LI. Si a, b, c ∈ R son tales queaf1 + bf2 + cf−1 = 0, entonces, ∀p ∈ V se tiene

a

∫ 1

0

p(t)dt+ b

∫ 2

0

p(t)dt+ c

∫ 0

−1

p(t)dt = 0.

Evaluando esta condicion para los polinomios particulares p(x) = 1, p(x) =x, p(x) = x2, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones que debe satis-facer a, b, c: a+ 2b+ c = 0

a+ 4b− c = 0a+ 8b+ c = 0

,

y este sistema implica a, b, c = 0. Ahora, para hallar la base de V de la cuales dual f1, f2, f−1, hay que hallar unos polinomios p1, p2, p−1 tales que

fi(pj) = δij , i, j ∈ 1, 2,−1.

Por ejemplo, para hallar p1(x) = c10 + c11x+ c12x2 tendrıamos el sistema f1(p1) = c10 + 1

2c11 + 1

3c12 = 1

f2(p1) = 2c10 + 2c11 + 83c

12 = 0

f−1(p1) = c10 − 12c

11 + 1

3c12 = 0

,

que conduce a c10 = 12 , c

11 = 1

2 , c12 = − 3

4 .

Ejercicio 89 Consideremos nuevamente el espacio V de los polinomiosde grado menor o igual a 2. Sean t1, t2.t3 tres numeros reales distintos ydefinamos:

gi(p) = p(ti) , ∀1 ≤ i ≤ 3.

Entonces, g1, g2, g3 son formas lineales sobre V . Probar que forman unabase. Calcular la base de V de la cual g1, g2, g3 es base dual.


Nota 90 La base de la cual g1, g2, g3 es dual en el ejercicio 89 se deno-mina base de los polinomios interpoladores de Lagrange de segundogrado. Los polinomios interpoladores de Lagrange proporcionan una herra-mienta muy util en el Calculo Numerico.

En los siguientes ejercicios se estudiara con cierto detalle una forma li-neal muy importante: la traza de matrices sobre el espacio vectorial V =Matn×n(K).

Definicion 91 La aplicacion traza tr es la forma lineal tr : V → K talque asigna a cada matriz la suma de sus elementos diagonales, esto es

tr(A) =n∑

i=1

Aii.

Ejercicio 92 Si A,B ∈Matn×n(K), probar que tr (A ·B) = tr (B ·A).

Ejercicio 93 Si f ∈ V ∗ es una forma lineal tal que f (A ·B) = f (B ·A),∀A,B ∈ Matn×n(K), probar que f es un mutiplo escalar de la traza. Si,ademas, f(Id) = n (donde Id es la matriz identidad), entonces, f es latraza.

Nota 94 El ejercicio 93 dice que, en cierto sentido, la traza es la unicaforma lineal que actua como si el producto matricial fuese conmutativo.

Ejercicio 95 Denotemos V = Matn×n(K) y por V0 al subespacio de lasmatrices C de la forma C = AB−BA (para algunas A,B ∈ V ). Demostrarque V0 es exactamente el subespacio de las matrices de traza nula.

A continuacion, repasamos el concepto de reflexividad en un espacio vec-torial de dimension finita.

Definicion 96 Sea V un K−espacio vectorial. Al espacio dual de V ∗, de-notado V ∗∗, se le denomina bidual de V .

Cada vector v ∈ V determina una forma lineal sobre el espacio dual V ∗

que denotaremos ϕv, mediante la expresion

ϕv(g) = g(v).

De esta manera, se tiene una aplicacion del espacio V en el bidual V ∗∗ quees claramente lineal:

ϕ : V → V ∗∗

v 7→ ϕv.

Teorema 97 La aplicacion ϕ : V → V ∗∗ es un morfismo inyectivo deK−espacios vectoriales y, por tanto, es isomorfismo cuando V es dedimension finita.


Demostracion. La unica parte no trivial es ver que kerϕ = 0. Peropor el corolario 66, el subespacio kerϕ de los vectores sobre los que seanulan todas las formas lineales es 0. Ademas, si dimV es finita, por laproposicion 86 se tiene dimV = dimV ∗ = dimV ∗∗.

Este resultado, conocido como teorema de reflexividad, es funda-mental: nos dice que un espacio vectorial de dimension finita se identificacanonicamente con su bidual, V ' V ∗∗ (comparese con la situacion deV y V ∗, nota 87), y los vectores v ∈ V pueden ser interpretados comoformas lineales sobre V ∗ por la formula v(f) = f(v), siendo ademas to-da forma lineal sobre V ∗ la obtenida de algun vector de V mediante esteprocedimiento.

Definicion 98 Sea L : V → W una aplicacion lineal entre K−espaciosvectoriales. Se denomina aplicacion adjunta de L a la aplicacion

L∗ : W ∗ → V ∗

dada por

L∗(f) = f L.

Ejercicio 99 Probar que L∗ es lineal.

Ejercicio 100 Probar que L∗ es compatible con la composicion de mor-fismos, esto es, si T es otra aplicacion lineal de U a V , se tiene que(L T )∗ = T ∗ L∗.

Ejercicio 101 Probar que si λ = (λji )

1≤j≤m1≤i≤n es la matriz de L : V → W

(con dimensiones respectivas n,m) en las bases eini=1, ujm

j=1, entoncesla matriz que corresponde a L∗ en las bases duales respectivas

f i

n

i=1,

gjm

j=1, es la traspuesta de λ.

Como consecuencia, probar que la matriz de cambio de base en el espaciodual V ∗, de la base fin

i=1 a la hini=1, es la inversa de la traspuesta de

la matriz de cambio de base en V respecto de las bases de las cuales sonduales.

Nota 102 Debido al resultado del ejercicio 101, a veces L∗ se denominaaplicacion traspuesta de la L (y se denota L>).

Ejemplo 103 Sean eini=1, ujn

j=1 bases del K−espacio vectorial V , ysean

f i

n

i=1,

gj

n

j=1las bases duales respectivas. Si L : V → V es el

automorfismo que lleva eini=1 en ujn

j=1 (esto es, L(ei) = ui para 1 ≤i ≤ n) entonces

L∗gj

n

j=1es la base

f i

n

i=1. En efecto: para todo v ∈ V


se tiene, por la linealidad:

(L∗gj)(v) = gj(L(v))

= gj(L(viei))

= vigj(Lei)

= vigj(ui)

= viδji = vj = f j(v).

5Formas bilineales. Metricas y formassimplecticas sobre un espacio vectorial

Sean V1, ..., Vs espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Consideremos elproducto cartesiano V1 × · · · × Vs.

Definicion 104 Una aplicacion T : V1 × · · · × Vs → K se dice que esmultilineal (de orden s) si para cada i ∈ 1, ..., s y µ, ν ∈ K se tiene

T (v1, ..., vi−1, µu+ νw, vi+1, ..., vs) =µT (v1, ..., vi−1, u, , vi+1, ..., vs) + νT (v1, ..., vi−1, w, vi+1, ..., vs).

Nota 105 Una aplicacion T : V1 × · · · × Vs → K se llama tambien formas−lineal o forma multilineal de grado s. En el caso particular de s = 2 sehabla de formas bilineales. El conjunto de todas las formas s−linealessobre V1 × · · · × Vs se denota L(V1 × · · · × Vs; K).

Ejercicio 106 Probar que con la suma de aplicaciones y el producto porescalares de K, L(V1×· · ·×Vs; K) tiene estructura de espacio vectorial, dedimension n1 · · · ns.

Nota 107 En el resto de la seccion, nos restringiremos al caso en queVi = V , 1 ≤ i ≤ s, y denotaremos V × · · · × V = V s.

Ejemplo 108 Si fi ∈ V ∗ , 1 ≤ i ≤ s, una forma s−lineal se obtienedefiniendo F : V s → K mediante

F (v1, ..., vs) = f(v1) · · · f(vs).

26 5. Formas bilineales. Metricas y formas simplecticas sobre un espacio vectorial

Ejemplo 109 Sea V = Matn×n(K). Entonces, la aplicacion (recuerdeselos ejercicios 92 al 95)

T : V × V → K(A,B) 7→ tr(AB),

es una forma bilineal.

Teorema 110 Sea T una forma bilineal sobre el K−espacio vectorial V .La aplicacion

PT : V → V ∗

v 7→ PT (v),

donde (PT (v))(u) = T (u, v), ∀u ∈ V , es una aplicacion lineal que se deno-mina polaridad de la forma bilineal T .

Ejercicio 111 Probar el teorema 110.

Definicion 112 Se llama radical de una forma bilineal T : V × V → Kal nucleo de su polaridad:

RadT = kerPT .

Nota 113 De la definicion se desprende la caracterizacion

RadT = v ∈ V : T (u, v) = 0,∀u ∈ V .

Los ejemplos 108 y 109 tienen una caracterıstica comun muy importante:las formas bilineales definidas en ellos son simetricas. Las formas bilinealescon un comportamiento definido ante la permutacion de sus argumentos,reciben nombres particulares por su relevancia especial.

Definicion 114 Una forma multilineal T : V s → K se dice que es simetri-ca si

T (vσ(1), ..., vσ(s)) = T (v1, ..., vs)

para cualquier permutacion de sus argumentos, σ ∈ Σs. Se dice que esantisimetrica (o alternada) si, en las mismas condiciones,

T (vσ(1), ..., vσ(s)) = sig(σ)T (v1, ..., vs),

donde sig(σ) es la signatura de σ ∈ Σs (recuerdese la definicion 11).

Definicion 115 Una forma bilineal se dice que es no degenerada (o , oregular) si su radical es cero, equivalentemente, si su polaridad es inyec-tiva.

Definicion 116 Una metrica (o producto escalar) sobre un K−espaciovectorial V , es una forma bilineal no degenerada y simetrica g : V ×V → K.Una forma simplectica sobre V es una forma bilineal no degenerada yantisimetrica ω : V × V → K.

5. Formas bilineales. Metricas y formas simplecticas sobre un espacio vectorial 27

Hemos mencionado la importancia de las formas bilineales con simetrıadefinida. Uno de los motivos de esta importancia, es el siguiente resultado.

Proposicion 117 Toda forma bilineal T sobre un K−espacio vectorial V ,se puede descomponer como suma de una forma bilineal simetrica y unaforma bilineal antisimetrica.

Demostracion. Dada T : V × V → K basta con hacer T = g + ω donde

g(u, v) =12(T (u, v) + T (v, u))

ω(u, v) =12(T (u, v)− T (v, u)).

Ejemplo 118 La aplicacion T : Matn×n(K)×Matn×n(K) → K del ejem-plo 109 es una metrica en V = Matn×n(K). En efecto, si A ∈ RadT , en-tonces tr(AB) = Aj

iBij = 0 para cualquier B ∈Matn×n(K). En particular,

Aji I

ij = 0 con Ii

j las matrices base de V . Pero, por ser estas un conjuntoLI, necesariamente Aj

i = 0 en ese caso (∀1 ≤ i, j ≤ n), luego A = 0.

Ejemplo 119 En V = R2, considerese la siguiente forma bilineal:

ω : R2 × R2 → R(u, v) 7→ ω(u, v) ,

donde ω(u, v) = u1v2 − v1u2 (si u = (u1, u2) y v = (v1, v2)). Entonces, ωdefine una forma simplectica en R2, pues claramente ω(u, v) = −ω(v, u) ysi u ∈ Radω, ω(u, v) = 0 ∀v ∈ R2 implica u1b − au2 = 0, ∀a, b ∈ R. Enparticular, tomando a = 1, b = 0 resulta u1 = 0, y eligiendo a = 0, b = 1 setiene u2 = 0, luego Radω = 0.

A continuacion, se estudiaran algunas propiedades comunes a metricasy a formas simplecticas, derivadas de la regularidad.

Teorema 120 Sea T una forma bilineal no degenerada sobre el K−espaciovectorial V . Entonces, la polaridad asociada es un isomorfismo

PT : V → V ∗.

Demostracion. Por ser T regular, PT es inyectiva y dim ImPT = dimV .Pero como sabemos, dimV = dimV ∗ (ver proposicion 86), luego dim ImPT =dimV ∗.

Nota 121 En las hipotesis del teorema 120, es frecuente cuando se trabajacon una forma bilineal no degenerada T llamar isomorfismo [ (o isomor-fismo bemol) al isomorfismo PT . Otra denominacion comun para PT = [es la de isomorfismo de bajada de ındices determinado por T . Analoga-mente, al isomorfismo inverso P−1

T : V ∗ → V se le denomina isomorfismo\ (isomorfismo sostenido) o isomorfismo de subida de ındices.


Definicion 122 Sea T : V ×V → K es una forma bilineal no degenerada,se define una operacion inducida en el dual, T : V ∗ × V ∗ → K, dada por

T (f, g) = T (P−1T (g), P−1

T (f)).

Ejercicio 123 Probar que T es bilineal y no degenerada.

Por el teorema de reflexividad (teorema 97), la polaridad asociada a Tes un morfismo PT : V ∗ → V , de manera que

(PT (f))(g) = g(PT (f)) = T (g, f)

(donde se ha usado la identificacion V ∗∗ ' V ).

Ejercicio 124 Probar que PT es el morfismo inverso de PT (esto es, quePT (f) = P−1

T (f)). En particular, PT es tambien isomorfismo (i.e, T es nodegenerada).

Por ultimo, veamos la expresion coordenada de una forma bilineal.Sea V un K−espacio vectorial de dimension finita n y ein

i=1 una basede V .

Definicion 125 Se llama matriz de la forma bilineal T : V × V → Ksobre V , respecto de la base ein

i=1, a la matriz de Matn×n(K), denotadat = (tij)1≤i,j≤n, cuyos coeficientes son

tij = T (ei, ej).

La accion de la forma bilineal sobre un par de vectores u = uiei, v = vjej :

T (u, v) = uivjT (ei, ej) = uivjtij ,

se expresa matricialmente como

T (u, v) = uT · t · v,

esto es:

T (u, v) = (u1, ..., un) ·

t11 . . . t1n

. .

. .

. .tn1 . . . tnn

·

v1

.

.

.vn

.

Ejercicio 126 Comprobar que la regularidad de T como forma bilinealequivale a que la matriz asociada sea no singular (esto es, de determinanteno nulo).

5. Formas bilineales. Metricas y formas simplecticas sobre un espacio vectorial 29

Segun hemos visto, dada una forma bilineal T se tienen dos matricesasociadas a ella de manera natural: la matriz de la definicion 125 y lamatriz de su polaridad como aplicacion LK(V, V ∗). El siguiente resultadonos da la relacion entre ambas.

Proposicion 127 Sean V un K−espacio vectorial de dimension finita n,ein

i=1 una base de V yf i

n

i=1su base dual en V ∗, T una forma bilineal

sobre V y t = (tij)1≤i,j≤n la matriz de T respecto de la base eini=1. En-

tonces, la matriz de la polaridad PT respecto de las bases eini=1 y

f i

n

i=1

es la matriz traspuesta t>.

Demostracion. Se tiene que, por definicion de matriz asociada a PT ,llamemosla p = (pij)1≤i,j≤n:

PT (ej) = pijfi.

Por otra parte, por definicion de t:

trs = T (er, es) = (PT (er)) (es)= pkrfk(es) = pkrδks

= psr.

6Incidencia y ortogonalidad. Angulos

En este capıtulo, V denotara un espacio K−vectorial de dimension finitan y U ≤ V un subespacio, ein

i=1 una base de V yf i

n

i=1su base dual en

V ∗, T una forma bilineal sobre V y t = (tij)1≤i,j≤n la matriz de T respectode la base ein

i=1.

Definicion 128 Se llama subespacio incidente con U al subespacio U ≤V ∗ de todas las formas lineales que son nulas sobre U :

U = f ∈ V ∗ : f(u) = 0,∀u ∈ U.

Teorema 129 Sea V un K−espacio vectorial y sean U1, U2 ≤ V . Se veri-fica:

1. Si U1 ⊆ U2, entonces U1 ⊇ U2.

2. 0 = V ∗ y V = 0.

3. (U1 + U2) = U1 ∩ U2.

4. Si V es de dimension finita, U = (U ) (por la identificacion canonicaV ' V ∗).

5. Si V es de dimension finita, U1 + U2 = (U1 ∩ U2).


Teorema 131 Sea V un K−espacio vectorial y U ≤ V . Se tiene entonces

dimU + dim U = dimV.

32 6. Incidencia y ortogonalidad. Angulos

Demostracion. Pongamos m = dimU . Consideremos eimi=1 base de

U de manera que ejnj=1 sea base de V (recordar la proposicion 58) y

denotemos por fknk=1 la base dual en V ∗. Sea φ ∈ U ≤ V ∗ de manera

que se podra escribir, para ciertos kj ∈ K,

φ =n∑

j=1

kjfj .

Esta forma lineal verifica φ(ei) = 0,∀1 ≤ i ≤ m, esto es,

n∑j=1

kjfj(ei) = kjδ

ji = ki = 0 , 1 ≤ i ≤ m.

Ası, φ ∈ U se puede escribir como φ =n∑

j=m+1

kjfj o, lo que es lo mismo,

U ≤ V ∗ es el subespacio

U =⟨fm+1, ..., fn

⟩.

Por tanto, dim U = n−m y se cumple

dimU + dim U = m+ n−m = n = dimV.

Definicion 132 Se dice que un vector v ∈ V es ortogonal a otro u ∈ Vrespecto de T si T (v, u) = 0.

Si U ≤ V , los vectores de V que son ortogonales a todos los de U cons-tituyen un subespacio de V , que se denota U⊥ y se llama subespacioortogonal a U :

U⊥ = v ∈ V : T (v, u) = 0,∀u ∈ U.

Proposicion 133 Si PT : V → V ∗ es la polaridad de T y U ≤ V , entonces

U⊥ = P−1T (U).

Demostracion. Por definicion, P−1T (U) esta formado por todos los vecto-

res v de V tales que su imagen por PT se anula al actuar sobre cualquiervector de U : 0 = (PT (v))(u) = T (v, u), esto es, U⊥.

Corolario 134 Si V es de dimension finita y T es regular (esto es, nodegenerada):

dimU⊥ = dimV − dimU.

Demostracion. Por hipotesis, la polaridad PT : V → V ∗ es un isomorfis-mo. Por la proposicion 133 se tiene dimU⊥ = dim U y por el teorema 131es dimU⊥ + dimU = dimV .


Nota 135 Observemos que, a pesar del resultado del corolario 134, engeneral no se puede escribir V como la suma directa U ⊕ U⊥.

Ejemplo 136 Consideremos V = R2 (cuyos elementos denotaremos, porejemplo, u = (u1, u2)) con la forma bilineal no degenerada

T (u, v) = u1v1 − u2v2,

y sea U ≤ R2 el subespacio dado por la diagonal U = w = (w1, w2) :w1 = w2. Entonces, U⊥ = U , se cumple dim R2 = dimU⊥ + dimU peroR2 6= U⊥ ⊕ U .

Ejemplo 137 Consideremos V = R3 con la forma bilineal no degenerada

T (u, v) = u1v1 + u2v2 − u3v3,

y sea U ≤ R3 el subespacio dado por la diagonal en el plano XZ:

U = w = (w1, w2, w3) : w1 = w3 y w2 = 0.

En este caso, U⊥ = w = (w1, w2, w3) : w1 = w3 de modo que U ⊂ U⊥,se cumple dimU = 1, dimU⊥ = 2 (luego dim R3 = dimU⊥ + dimU) peronuevamente R3 6= U⊥ ⊕ U .

Los ejemplos precedentes motivan los siguientes conceptos.

Definicion 138 Sea V un K−espacio vectorial y T una forma bilinealsobre el. Un vector v ∈ V se dice que es isotropo si T (v, v) = 0. Unsubespacio U ≤ V se dice que es un subespacio vectorial isotropo siU ∩ U⊥ 6= 0, y totalmente isotropo si U ⊂ U⊥.

Corolario 139 Si V es de dimension finita, T es no degenerada y U esun subespacio no isotropo se tiene la descomposicion en suma directa:

V = U ⊕ U⊥.

Ejemplo 140 Si T es una forma bilineal definida positiva (esto es T (v, v) ≥0 ∀v ∈ V y T (v, v) = 0 si y solo si v = 0) no puede tener subespacios isotro-pos: si v ∈ U ∩ U⊥ ocurre que T (v, v) = 0 y eso solo puede pasar si v = 0.Ademas, una tal forma T es automaticamente no degenerada: si v ∈ RadT ,es T (v, u) = 0 para todo u ∈ V en particular T (v, v) = 0 y la condicion dedefinicion positiva conduce a v = 0, esto es, RadT = 0. En este caso,por tanto, se tiene que para todo subespacio U ≤ V ,

V = U ⊕ U⊥.

Este es la situacion que se da con las metricas euclideas (formas bili-neales simetricas y definidas positivas). En el ejercicio 142 se explora unaparticularidad muy importante de las metricas euclideas.


Es comun representar las metricas por g. En adelante adoptaremos estanotacion.

Definicion 141 Sea V un K−espacio vectorial dotado de una metrica eu-clidea g. Se llama modulo o norma en V a la aplicacion ‖·‖ : V → Kdada por

‖v‖ =√g(v, v).

Ejercicio 142 (Ortonormalizacion de Gram-Schmidt) Probar que to-do espacio euclideo (i.e, dotado de una metrica euclidea) de dimensionfinita posee una base una base ortonormal, es decir, una base ein

i=1

de vectores ortogonales dos a dos (T (ei, ej) = δij) y de modulo unidad(‖ei‖ = 1 ∀1 ≤ i ≤ n).

Este resultado se puede generalizar al caso de una metrica arbitraria (nonecesariamente definida positiva).

Ejercicio 143 Sea V un K−espacio vectorial dotado de una metrica g.Entonces, existe una base ein

i=1 de V tal que T (ei, ej) = ±δij, ∀1 ≤i, j ≤ n.

Ejemplo 144 El espacio V = R4 junto con la metrica (no euclidea) η dadapor

η(u, v) = u1v1 − u2v2 − u3v3 − u4v4,

se denomina espacio-tiempo de Minkowski (se suele denotar por M4),y a η se la denomina metrica de Minkowski. En la base canonica ei4i=1

de R4, la expresion de η es

η =

1

−1−1

−1

.

Ejemplo 145 En R3 con la metrica euclidea g, veamos como ortonorma-lizar el sistema de vectores u1 = (1, 2, 0), u2 = (0, 3, 1). En primer lugar,observamos que ‖u1‖ =

√g(u1, u1) =

√5, de modo que el primer vector

ortonormal serae1 =

u1

‖u1‖=

1√5(1, 2, 0).

Ahora, como segundo paso, definimos

e′2 = u2 − g(u2, e1)e1 = (0, 3, 1)− 6√5

1√5(1, 2, 0) =

15(−6, 3, 5),

y, finalmente, dividimos por su norma:

e2 =e′2‖e′2‖

=1√70

(−6, 3, 5).

El sistema ortonormal asociado a u1, u2 es e1 = 1√5(1, 2, 0), e2 = 1√

70(−6, 3, 5).


Nota 146 En general, si en el ejemplo anterior hubieramos tenido r vec-tores u1, ..., ur, en el paso k−simo habrıamos formado

e′k = uk −k−1∑i=1

g(uk, ei)ei.

Ejemplo 147 Vamos a determinar una base ortonormal para el espaciode soluciones de la ecuacion en R3 dada por

x− y + z = 0. (6.1)

Consideremos la aplicacion lineal

L : R3 −→ R(x, y, z) 7→ x− y + z.

Entonces, el espacio de soluciones de la ecuacion (6.1) no es otra cosaque el subespacio (recuerdese el ejercicio 64) de R3 dado por S = kerL.Claramente, 1 ∈ ImL, de modo que dim ImL = 1 y la formula de lasdimensiones nos dice que

dimS = dim kerL = 2.

Por otra parte, en R3 tenemos la metrica euclidea standard, de manera queel producto de dos vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) respecto deesta metrica es

g(u, v) =3∑

i=1

uivi.

A la vista de esta formula, podemos decir que la ecuacion (6.1) expresael hecho de que sus soluciones (x, y, z) ∈ S son aquellos vectores de R3

ortogonales al vector (1,−1, 1):

g((x, y, z), (1,−1, 1)) = x− y + z = 0.

Es decir: S = kerL = 〈(1,−1, 1)〉⊥. Entonces, para hallar una base de Sextendemos (1,−1, 1) a una base de R3 siguiendo el procedimiento de laproposicion 58 (dado que R3 = 〈(1,−1, 1)〉 ⊕ 〈(1,−1, 1)〉⊥, los vectores quecompletan a (1,−1, 1) seran una base de S = kerL).

Tomemos un vector u ∈ R3 tal que u /∈ 〈(1,−1, 1)〉. Por ejemplo, po-demos elegir u = (1, 0, 0). Ahora, es obvio que 〈(1, 0, 0), (1,−1, 1)〉 6= R3

(pues dim R3 = 3); de hecho, es facil ver que un vector como (0, 1, 0) /∈〈(1, 0, 0), (1,−1, 1)〉 ası que, de acuerdo con lo que acabamos de decir:

S = kerL = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0)〉 .

En este caso la base de S ya es ortonormal respecto de g, pero en unasituacion mas general habrıamos obtenido un par de vectores u, v ∈ R3 quehabrıa que normalizar siguiendo el metodo del ejemplo precedente.


Ejercicio 148 Hallar una base ortonormal para el espacio de solucionesdel siguiente sistema lineal en R4:

3x− 2y + z + w = 0x+ y + 2w = 0.

7El algebra tensorial T (V ) asociada aun espacio vectorial V

Sea K un cuerpo y (A,+, ·) un anillo. En todo lo que sigue supondremosque A tiene unidad 1A. En particular, sabemos que (A,+) es un grupo, demodo que puede darse el caso de que (A,+) tenga la estructura adicionalde espacio vectorial.

Definicion 149 Se dice que el anillo (A,+, ·) es una K−algebra si (A,+)es un espacio vectorial sobre K. La dimension de (A,+) sobre K se llamadimension del algebra. A es conmutativa si lo es como anillo, y los mor-fismos de K−algebras se entenderan como morfismos entre las estructurassubyacentes de anillo y K−espacio vectorial.

Se dice que A es una K−algebra Z−graduada si se descompone, comoespacio vectorial, en suma directa de subespacios (recuerdese la definicion45) A =

⊕n∈Z

An y si se cumple que esta descomposicion es compatible con

el producto de vectores, en el sentido

An ·Am ⊆ An+m.

Nota 150 En general, dado un grupo cualquiera (G, ∗) se habla de K−alge-bra G−graduada si se tiene una descomposicion que puede ser indicadapor los elementos de G, A =

⊕g∈G

Ag y se cumple que

Ag1 ·Ag2 ⊆ Ag1∗g2 .

Ejemplo 151 Sea K un cuerpo y consideremos el anillo (Matn×n(K),+, ·).Si se define el producto por un escalar k ∈ K de manera que k.(aij) = (kaij)

38 7. El algebra tensorial T (V ) asociada a un espacio vectorial V

se tiene que Matn×n(K) adquiere la estructura de K−algebra (no conmu-tativa).

Ejemplo 152 Sea U ⊂ Kn abierto y consideremos C∞(U) (donde el caracterabierto y la diferenciabilidad se entienden respecto a la norma asociada a lametrica euclidea standard en Kn). Resulta que C∞(U) con la suma y pro-ducto puntual de funciones es un anillo. Ademas, si ∀k ∈ K y∀f ∈ C∞(U)se define k.f ∈ C∞(U) por k.f(p) = k · (f(p)), entonces C∞(U) es unaK−algebra conmutativa, trivialmente graduada por G = 0.

Ejemplo 153 Consideremos K = R y el anillo formado por todos los po-linomios reales, de variable real:

R[X] = p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ akxk : k ∈ N; a0, a1, ..., ak ∈ R

(la suma y el producto de polinomios es la habitual). Entonces, (R[X],+)tiene estructura de espacio vectorial sobre R y es, de hecho, una R−algebra.Aun mas, esta algebra se descompone segun el grado de los polinomios:

R[X] =⊕n∈Z

Rn[X],

donde Rn[X] es el subespacio vectorial de los polinomios de grado n (y seasume que R0[X] = R y Rn[X] = 0 para n < 0). Ademas, si p, q sonpolinomios de grados respectivos n,m, entonces, p · q es un polinomio degrado n+m. Por tanto, R[X] es una R−algebra Z−graduada.

Definicion 154 Un tensor p−contravariante, q−covariante definidosobre un K−espacio vectorial V (o tensor de tipo (p, q) sobre V ), es unaaplicacion multilineal

t : V q × (V ∗)p −→ K(v1, ..., vq, f1, ..., fp) 7→ t(v1, ..., vq, f1, ..., fp).

Los tensores de tipo (p, q) constituyen (como en el ejercicio 106) un espaciovectorial de dimension np+q, que se denota T p

q (V ). Por definicion, T 00 (V ) =

K.

Ejemplo 155 Los tensores de tipo (0, 1) son aplicaciones lineales t : V →K, es decir, las formas lineales. Ası: T 0

1 (V ) ' V ∗. Si V es de dimensionfinita, los vectores de tipo (1, 0) son los vectores, pues si t ∈ T 1

0 (V ) entonceses t : V ∗ → K lineal, es decir, t ∈ V ∗∗ ' V .

Ejemplo 156 Los tensores de tipo (0, 2) son las formas bilineales. Comocasos particulares tenemos las metricas y las formas simplecticas.

Ejercicio 157 Estudiar los tensores de tipo (1, 1).


Nota 158 Segun se deduce directamente de la definicion, T 0q (V ∗) = T q

0 (V ),de modo que el estudio de los tensores covariantes de tipo (0, q) se reduceal de los tensores contravariantes, de tipo (q, 0), sobre el espacio dual.

A continuacion, introduciremos un producto en los espacios T qp (V ) que

dara lugar a una K−algebra.

Definicion 159 Sean t ∈ T qp (V ), z ∈ T s

r (V ). Se llama producto tenso-rial de t y z al tensor de tipo (p+ r, q + s), denotado t⊗ z, dado por

t⊗ z(v1, ..., vp, ..., vp+r, f1, ..., fq, ..., fq+s) =t(v1, ..., vp, f1, ..., fq) · z(vp+1, ..., vp+r, fq+1, ..., fq+s).

Teorema 160 El producto tensorial ⊗ tiene las siguientes propiedades:

1. Define una aplicacion bilineal

T qp (V )× T s

r (V ) → T q+sp+r (V )

(t, z) 7→ t⊗ z.

2. Es asociativo: dados los tensores t, z, y se tiene (t⊗z)⊗y = t⊗(z⊗y).


El K−espacio vectorial T (V ) =⊕

p,q≥0

T qp (V ), suma directa de todos los

espacios tensoriales T qp (V ), junto con el producto tensorial que acabamos

de introducir, tiene estructura de anillo no conmutativo y con identidad (eltensor 1 ∈ T 0

0 (V ) ' K). Aun mas, de acuerdo con la definicion 149, si setoma T q

p (V ) = 0 cuando uno de los p, q es negativo, resulta que se tieneuna estructura de algebra graduada (recuerdese la definicion 149 y la nota150).

Definicion 162 El espacio T (V ) =⊕

(p,q)∈Z×ZT q

p (V ) es un algebra Z ×

Z−graduada (a veces se dice bigraduada) denominada el algebra tenso-rial sobre V.

Nos ocuparemos ahora de la estructura algebraica de los espacios detensores, en particular, de la determinacion de una base para ellos. Eshabitual escribir los elementos de las bases del dual (formas lineales) conletras griegas, ası que usaremos indistintamente esta notacion y la quevenıamos empleando.

En primer lugar, se tiene el siguiente resultado, consecuencia directa delhecho de que los tensores son aplicaciones multilineales.

Lema 163 Sea V un K−espacio vectorial de dimension finita, con baseein

i=1 y base dual ωjnj=1. Dos tensores de tipo (p, q) sobre V son igua-

les si y solo si coinciden sobre cualquier familia (ei1 , ..., eip , ωj1 , ..., ωjq )

formada con elementos de las bases.


Ejercicio 164 Probar el lema 163.

Teorema 165 Los tensores ωi1⊗ ...⊗ωip⊗ej1⊗ ...⊗ejq , donde los ındicesi1, ..., ip y j1, ..., jq toman todos los valores entre 1 y n, constituyen una basedel K−espacio vectorial T q

p (V ). Como consecuencia, dimT qp (V ) = np+q.

Demostracion. Sea t ∈ T qp (V ) un tensor de tipo (p, q). Denotemos por

V R(np

)el conjunto de las variaciones con repeticion de 1, ..., n tomados de

p en p, y para cada pareja de variaciones Ip = (i1, ..., ip), Jp = (j1, ..., jp) ∈V R

(np

)sea

λj1,...,jp

i1,...,ip= t(ei1 , ..., eip , ω

j1 , ..., ωjq ) ∈ K.Entonces, por la multilinealidad, los tensores t y∑

Ip,Jp∈V R(np)λ

j1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq

coinciden sobre cualquier familia (ek1 , ..., ekp , ωl1 , ..., ωlq ) de p vectores y q

formas de la base, ası que aplicando el lema 163 ambos tensores son iguales

t =∑

Ip,Jp∈V R(np)λ

j1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq .

Con esto, se tiene probado que

ωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq1≤j1,...,jq≤n1≤i1,...,ip≤n

es un sistema generador para T qp (V ). Ademas, es un sistema LI, pues si se

tiene0 =

∑Ip,Jp∈V R(n

p)λ

j1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq

fijando unos conjuntos de ındices K = (k1, ..., kp), Lp = (l1, ..., lp) ∈ V R(np

)y aplicando ambos miembros de esta igualdad a (ek1 , ..., ekp , ω

l1 , ..., ωlq ) seobtiene que todos los coeficientes λj1,...,jp

i1,...,ipse anulan, luego se tiene una

base.

Nota 166 Fijemonos en que en el curso de la demostracion del teorema165 se ha obtenido la expresion explıcita de un tensor t ∈ T q

p (V ) en termi-nos de la base ωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq

1≤j1,...,jq≤n1≤i1,...,ip≤n :

t =∑

Ip,Jp∈V R(np)λ

j1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq

conλ

j1,...,jp

i1,...,ip= t(ei1 , ..., eip

, ωj1 , ..., ωjq ).

En lo sucesivo, omitiremos el sumatorio sobre V R(np

), sobreentendiendo

que los dobles ındices indican precisamente esta suma.


Ejemplo 167 Veamos la expresion coordenada de una forma bilineal. Segunel teorema 165, una base para el espacio T 0

2 (V ) de las formas bilinealesesta formada por los tensores ωi ⊗ ωj, donde 1 ≤ i, j ≤ n = dimV . Por lanota 166, la expresion de una forma bilineal b ∈ T 0

2 (V ) es

b = bijωi ⊗ ωj

dondebij = b(ei, ej)

son los elementos de la matriz asociada a b en la base eini=1 (vease la

definicion 125).

Ejercicio 168 Estudiar la expresion coordenada de un operador lineal L ∈LK(V ).

Finalmente, estudiaremos el efecto de un cambio de base en el espacio Vsobre los tensores de T q

p (V ).Sean ein

i=1, ujnj=1 bases en V de las cuales son duales, respectivamen-

te, las ωknk=1, ϕln

l=1. Llamemos A = (Aij)1≤i,j≤n a la matriz de cambio

de base de eini=1 a ujn

j=1, de modo que uj = Aijei, y sea B = A−1 la

matriz inversa de A. Por el ejercicio 101, se tiene que el cambio de base deωkn

k=1 a ϕlnl=1 esta dado por B>, ası que

ϕl = (B>)lkω

k = (A−1)kl ω

k.

Teorema 169 Si t = λj1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq es la expresion

coordenada de un tensor de tipo (p, q) en las bases eini=1, ωkn

k=1, deV y V ∗ respectivamente, la expresion del mismo tensor t respecto de unasnuevas bases respectivas ujn

j=1, ϕlnl=1 viene dada por

t = µl1,...,lqk1,...,kp

ϕk1 ⊗ ...⊗ ϕkp ⊗ ul1 ⊗ ...⊗ ulq ,

dondeµ

l1,...,lqk1,...,kp

= Ai1k1· · ·Aip

kp(A−1)l1

j1· · · (A−1)lq

jqλ

j1,...,jp

i1,...,ip.

Demostracion. Expresemos el tensor t en las dos bases, de modo que

t = λj1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq

= µl1,...,lqk1,...,kp

ϕk1 ⊗ ...⊗ ϕkp ⊗ ul1 ⊗ ...⊗ ulq .

Ahora, aplicando las formulas de cambio de base (recordar ejercicio 101),se tiene (llamando B = A−1)

t = λj1,...,jp

i1,...,ipωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq

= µl1,...,lqk1,...,kp

(B>)i1k1· · · (B>)ip

kp(A)j1

l1· · · (A)jq

lqωi1 ⊗ ...⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ ...⊗ ejq ,


de donde

λj1,...,jp

i1,...,ip= µ

l1,...,lqk1,...,kp

(A−1)k1i1· · · (A−1)kp

ip(A)j1

l1· · · (A)jq

lq

y al despejar multiplicando por las matrices inversas:

µl1,...,lqk1,...,kp

= Ai1k1· · ·Aip

kp(A−1)l1

j1· · · (A−1)lq

jqλ

j1,...,jp

i1,...,ip.

8Accion del grupo de permutaciones enT 0

p (V ). Los proyectores Alt y Sym

En esta seccion, vamos a estudiar los subespacios del algebra tensorialformados por los tensores puramente covariantes sobre un K−espacio vec-torialV , T 0

p (V ) o Tp(V ).Sea p > 0 fijo y consideremos el grupo de permutaciones Σp, que opera

sobre Tp(V ) mediante la accion derecha (recuerdese la definicion 21):

Σp × Tp(V ) → Tp(V )(σ, t) 7→ tσ

en la que tσ es el tensor definido por

tσ(v1, ..., vp) = t(vσ(1), ..., vσ(p)).

Esta accion tiene la propiedad adicional de ser compatible con la estructuralineal de Tp(V ), en el sentido de que si µ, ν ∈ K, y t, z ∈ Tp(V ), entonces

(µt+ νz)σ = µtσ + νzσ.

Definicion 170 Un tensor s ∈ Tp(V ) es simetrico si sσ = s para todapermutacion σ ∈ Σp.

Un tensor t ∈ Tp(V ) es antisimetrico si tσ = sig(σ)t para toda permu-tacion σ ∈ Σp.

Ejercicio 171 Utilizando la descomposicion de una permutacion en tras-posiciones, probar que un tensor s ∈ Tp(V ) es simetrico si y solo si sτ = spara toda trasposicion τ ∈ Σp, y que un tensor es antisimetrico si y solo sitτ = −t para toda trasposicion τ ∈ Σp.

44 8. Accion del grupo de permutaciones en T 0p (V ). Los proyectores Alt y Sym

Proposicion 172 Si z ∈ Tp(V ) es un tensor que verifica z(v1, ..., vi, ..., vj , ..., vp) =0 siempre que vi = vj (es decir siempre que haya dos argumentos iguales),entonces z es antisimetrico. Si, recıprocamente, K es de caracterıstica dis-tinta de 2 y z es antisimetrico, z(v1, ..., vi, ..., vj , ..., vp) = 0 siempre quevi = vj.

Demostracion. Si z verifica las condiciones del enunciado, para cuales-quiera v1, ..., vp y i < j se tiene:

0 = z(v1, ..., vi + vj , ..., vi + vj , ..., vp)= z(v1, ..., vi, ..., vi, ..., vp)

+z(v1, ..., vj , ..., vj , ..., vp)+z(v1, ..., vi, ..., vj , ..., vp)+z(v1, ..., vj , ..., vi, ..., vp)

= z(v1, ..., vi, ..., vj , ..., vp) + z(v1, ..., vj , ..., vi, ..., vp),

luego z(v1, ..., vi, ..., vj , ..., vp) = −z(v1, ..., vj , ..., vi, ..., vp). Recıprocamen-te, si z es antisimetrico y vi = vj = u (con i < j) resulta 2·z(v1, ..., u, ..., u, ..., vp) =0 y, siendo la caracterıstica de K distinta de 2 (es la misma que tiene comoanillo, recuerdese la definicion 26) eso implica z(v1, ..., u, ..., u, ..., vp) = 0.

Como consecuencia inmediata, se tiene el siguiente resultado.

Corolario 173 Si la caracterıstica de K es distinta de 2 y z es antisimetri-co, z(v1, ..., vp) = 0 siempre que los v1, ..., vp sean linealmente dependientes.


Definicion 175 Los tensores simetricos de orden p forman un subespaciovectorial de T 0

p (V ) que se denota Sp(V ). Analogamente, los tensores an-tisimetricos de orden p forman un subespacio vectorial de T 0

p (V ) que sedenota Λp(V ).

Nota 176 Si la caracterıstica de K es distinta de 2 y V es de dimensionfinita n = dimV , el corolario 173 dice que Λp(V ) = 0 cuando p > n.

Nota 177 En lo que sigue, supondremos que el cuerpo base K tiene carac-terıstica distinta de 2.

Definicion 178 Sobre el espacio tensorial Tp(V ), se definen los operado-res:

1. De simetrizacion, Sym : Tp(V ) → Tp(V ) dado por

Sym(z) =1p!

∑σ∈Σp

zσ.

8. Accion del grupo de permutaciones en T 0p (V ). Los proyectores Alt y Sym 45

2. De antisimetrizacion, Alt : Tp(V ) → Tp(V ) dado por

Alt(z) =1p!

∑σ∈Σp

sig(σ)zσ.

Proposicion 179 Los operadores Sym y Alt verifican las siguientes pro-piedades:

1. Son lineales y Im Sym ⊆ Sp(V ), Im Alt ⊆ Λp(V ).

2. Sym |Sp(V ) = IdSp(V ), Alt |Λp(V ) = IdΛp(V ).

3. Sym Alt = 0 = Alt Sym y Alt Alt = Alt, Sym Sym = Sym(estas dos ultimas propiedades se conocen como idempotencia).

4. Si α1, ..., αp son formas lineales:

Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αp) =1p!

∑σ∈Σp

sig(σ)ασ(1) ⊗ · · · ⊗ ασ(p)

Sym(α1 ⊗ · · · ⊗ αp) =1p!

∑σ∈Σp

ασ(1) ⊗ · · · ⊗ ασ(p).

Demostracion. Para probar (1) considerese la trasposicion de los ındicesi, j, τij . Entonces, si t ∈ Tp(V ):

Alt t(v1, ..., vi, ..., vj , ..., vp)

=1p!

∑σ∈

Pp

sig(σ)t(vσ(1), ..., vσ(i), ..., vσ(j), ..., vσ(p))

=1p!

∑σ∈

Pp

sig(σ)t(vτijσ(1), ..., vτijσ(j), ..., vτijσ(i), ..., vστij(p))

=1p!

∑τijσ∈

Pp

−sig(τijσ)t(vτijσ(1), ..., vτijσ(j), ..., vτijσ(i), ..., vστij(p))

= − 1p!

∑ρ∈

Pp

sig(ρ)t(vρ(1), ..., vρ(p)).


Para la primera parte de (2), considerese por ejemplo:

Sym(Alt t) =1p!

∑σ∈

Pp

1p!

∑λ∈

Pp

sig(λ)tλσ

=

(1p!

)2 ∑σ∈

Pp

∑λ∈Ap

tλσ −∑

λ∈P

p Ap

tλσ

=

(1p!

)2 ∑

λ∈Ap

∑σ∈

Pp

tλσ −∑

λ∈P

p Ap

∑σ∈

Pp

tλσ

=

(1p!

)2p!

2

∑µ∈

Pp

tµ − p!2

∑µ∈

Pp

tµ

= 0,

donde se ha utilizado que λ 7→ λ σ es un isomorfismo en∑

p. La segundaparte de (2) es inmediata. (3) es consecuencia directa de (1) y (2). Por loque respecta a (4), para toda σ ∈

∑p y toda familia v1, ..., vp de vectores,

(α1 ⊗ · · · ⊗ αp)σ(v1, ..., vp) = α1(vσ(1)) · · · αp(vσ(p))= ασ−1(1)(v1) · · · ασ−1(p)(vp)

= (ασ−1(1) ⊗ · · · ⊗ ασ−1(p))(v1, ..., vp),

ası que (teniendo en cuenta que sig(σ) = sig(σ−1)):

Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αp) =1p!

∑σ∈

Pp

sig(σ)(ασ−1(1) ⊗ · · · ⊗ ασ−1(p))

=1p!

∑σ−1∈

Pp

sig(σ−1)(ασ−1(1) ⊗ · · · ⊗ ασ−1(p))

=1p!

∑ρ∈

Pp

sig(ρ)αρ(1) ⊗ · · · ⊗ αρ(p).

Nota 180 La propiedad de idempotencia (3) dice que tanto Sym comoAlt son proyectores en Tp(V ). El siguiente ejercicio explora algunas de laspropiedades de esta clase particular de operadores.

Definicion 181 Dado un K−espacio vectorial V , un operador lineal P ∈LK(V ) se dice que es un proyector de V si L2 = L L = L.

Ejercicio 182 Sea P ∈ LK(V ) un proyector, denotemos H = ImP y N =kerP . Probar que:

8. Accion del grupo de permutaciones en T 0p (V ). Los proyectores Alt y Sym 47

1. Para todo vector v ∈ V , se tiene que v ∈ H si y solo si Pv = v.

2. Se da la descomposicion en suma directa (recuerdese la definicion 45)V = H ⊕N .

3. Cualquier vector v ∈ V se expresa de manera unica como v = P (v)+(v − P (v)).

Proposicion 183 El espacio tensorial Tp(V ) se descompone segun

Tp(V ) = Im Alt(V )⊕ ker Alt(V ).

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de (3) en la proposicion179 y de (2) en el ejercicio 182.

Nota 184 Sin embargo, este resultado no implica que sea Tp(V ) = Λp(V )⊕Sp(V ). Por ejemplo se tiene que Sp(V ) ⊂ ker Alt(V ), pero no tiene porque darse la igualdad (esto si ocurre, sin embrago, para el caso p = 2).

Ejemplo 185 Consideremos V = R3, con la base canonica ei3i=1 y labase dual f j3j=1 de V ∗ = (R3)∗. Sea el tensor z ∈ T3(R3) dado por

z = f1 ⊗ f2 ⊗ f3 − f2 ⊗ f1 ⊗ f3 + f1 ⊗ f3 ⊗ f2.

Se tiene entonces que

Alt(z) =16f1 ⊗ f2 ⊗ f3 + f2 ⊗ f3 ⊗ f1 + f3 ⊗ f1 ⊗ f2

− f1 ⊗ f3 ⊗ f2 − f2 ⊗ f1 ⊗ f3 − f3 ⊗ f2 ⊗ f1,

y

z −Alt(z) =56f1 ⊗ f2 ⊗ f3 − f2 ⊗ f1 ⊗ f3+

76· f1 ⊗ f3 ⊗ f2

− 16f2 ⊗ f3 ⊗ f1 + f3 ⊗ f1 ⊗ f2 − f3 ⊗ f2 ⊗ f1.

Claramente, z−Alt(z) ∈ ker Alt, pero z−Alt(z) /∈ S3(R3) pues, por ejem-plo, no es simetrico bajo la permutacion σ = (13).

Ejercicio 186 Sean s ∈ Tp(V ), t ∈ Tq(V ).

1. Si s es tal que Alt(s) = 0, entonces Alt(s⊗ t) = Alt(t⊗ s) = 0.

2. Si z ∈ Tr(V ),

Alt(Alt(s⊗ t)⊗ z) = Alt(s⊗ t⊗ z) = Alt(s⊗Alt(t⊗ z)).

3. Para s, t arbitrarios: Alt(s⊗ t) = (−1)p+q Alt(t⊗ s).


8.1. Propiedades functoriales de T 0p (V )

Sea K un cuerpo y L : V →W un morfismo de K−espacios vectoriales.

Definicion 187 Se llama pull-back o retroaccion por L a la aplicacion

L∗ : Tp(W ) −→ Tp(V )t 7−→ L∗(t) = L∗t

definida por(L∗t)(v1, ..., vp) = t(L(v1), ..., L(vp)),

para t ∈ Tp(W ).

Nota 188 Fijemonos en que efectivamente L∗(t) ∈ Tp(V ), por la lineali-dad de L.

Teorema 189 La aplicacion L∗ es lineal y respeta las simetrıas, esto es,define morfismos

L∗|Sp(W ) : Sp(W ) → Sp(V )

L∗|Λp(W ) : Λp(W ) → Λp(V ).

Demostracion. Es obvio que L∗ es lineal. Ademas, si ω ∈ Λp(W ) yv1, ..., vp son vectores de V , para toda σ ∈

∑p se tiene:

(L∗ω)(vσ(1), ..., vσ(p)) = ω(L(vσ(1)), ..., L(vσ(p)))= sig(σ)ω(L(v1), ..., L(vp))= sig(σ)(L∗ω)(v1, ..., vp).

La prueba para Sp(W ) es analoga.

Ejercicio 190 Dar la prueba del teorema 189 para el caso de L∗|Sp(W ).

Teorema 191 Si se tienen morfismos L : V → W y P : W → U , enton-ces, los pull-backs asociados verifican

(P L)∗ = L∗ P ∗.

Demostracion. Si t ∈ Tp(U) y v1, ..., vp son vectores de V , resulta:

((P L)∗t)(v1, ..., vp) = t((P L)(v1), ..., (P L)(vp))= (P ∗t)(L(v1), ..., L(vp))= ((L∗ P ∗)t)(v1, ..., vp).

8.1 Propiedades functoriales de T 0p (V ) 49

Teorema 192 El pull-back es compatible con el producto tensorial, esto es,si t ∈ Tp(W ) y z ∈ Tq(W ), entonces, L∗ : Tp+q(W ) → Tp+q(V ) esta dadasobre t⊗ z por:

L∗(t⊗ z) = L∗t⊗ L∗z

(propiedad functorial de ⊗).

Demostracion. Si v1, ..., vp, ..., vp+1 son vectores de V , se tiene:

(L∗(t⊗ z))(v1, ..., vp+1) = (t⊗ z)(L(v1), ..., L(vp+q))= t(L(v1), ..., L(vp)) · z(L(vp+1), ..., L(vp+p))= (L∗t)(v1, ..., vp) · (L∗z)(vp+1, ..., vp+q)= (L∗t⊗ L∗z)(v1, ..., vp+1).

Nota 193 El teorema 192 nos dice que el morfismo lineal L∗ : T (W ) →T (V ) inducido por L (y que sobre cada subespacio Tp(W ) actua como en ladefinicion 187), es un morfismo de K−algebras (recuerdese la definicion149).

9El algebra exterior Λ(V ). Derivacionesen Λ(V ): operador insercion iv

Hasta ahora, hemos considerado solo productos escalares en un espaciovectorial (cfr. definicion 116), y resulta natural plantearse la construccionde un “producto vectorial” para un espacio vectorial arbitrario V , en elsentido de tener un aplicacion V × V → V , como sucede en R3 con elproducto vectorial usual. Resulta que, en general, no puede obtenerse unatal estructura para un espacio vectorial cualquiera (el caso de R3 es muyparticular debido a la dimension, y esta es la causa de que pueda definirse el“producto” vectorial ×), pero si se puede construir en Λp(V ), obteniendoseası lo que se conoce como algebra exterior, Λ(V ).

Definicion 194 Sean ζ ∈ Λp(V ), η ∈ Λq(V ). Se llama producto exte-rior de ζ, η al tensor antisimetrico denotado ζ ∧ η y definido por

ζ ∧ η =(p+ q)!p!q!

Alt(ζ ⊗ η) ∈ Λp+q(V )

(recuerdese (4) de la proposicion 179). Analogamente, se llama productosimetrico de α ∈ Sp(V ), β ∈ Sq(V ) al tensor simetrico denotado α β ydefinido por

α β = Sym(α⊗ β) ∈ Sp+q(V ).

Fijemonos en que si se toman α1, ..., αp y αp+1, ..., αp+q formas lineales,entonces α1 ∧ · · · ∧ αp ∈ Λp(V ), αp+1 ∧ · · · ∧ αp+q ∈ Λp(V ) y

(α1 ∧ · · · ∧ αp) ∧ (αp+1 ∧ · · · ∧ αp+q) ∈ Λp+q(V ).

52 9. El algebra exterior Λ(V ). Derivaciones en Λ(V ): operador insercion iv

Ejercicio 195 Probar que si ωi ∈ V ∗, 1 ≤ i ≤ p, entonces

ω1 ∧ · · · ∧ ωp = p! Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp);

de modo que, como consecuencia,

ω1 ∧ · · · ∧ ωp =∑

σ∈Σp

sig(σ)ωσ(1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(p).

Veamos algunas propiedades fundamentales del producto exterior.

Proposicion 196 El producto exterior ∧ satisface:

1. Es bilineal.

2. Si ζ ∈ Λp(V ), η ∈ Λq(V ), entonces

ζ ∧ η = (−1)pqη ∧ ζ.

3. Si L : V → W es una transformacion lineal, y ζ ∈ Λp(W ), η ∈Λq(W ), se tiene (propiedad functorial de ∧, cfr. el teorema 192):

L(ζ ∧ η) = L∗(ζ) ∧ L∗(η),

donde L∗ es el pull-back de L (vease la definicion 187).

4. Si ζ ∈ Λp(V ), η ∈ Λq(V ), γ ∈ Λr(V ), entonces (asociatividad de∧):

(ζ ∧ η) ∧ γ = ζ ∧ (η ∧ γ).

Demostracion. La primera parte es inmediata por la bilinealidad de ⊗(ver el ejercicio 161). Para la formula del producto basta considerar laparte (3) del ejercicio 186. La propiedad functorial del producto exteriores consecuencia de la correspondiente propiedad del producto tensorial: si

9. El algebra exterior Λ(V ). Derivaciones en Λ(V ): operador insercion iv 53

w1, ..., wp+q ∈W , se tiene:

L∗(ζ ∧ η)(w1, ..., wp+q)

= (ζ ∧ η)(L(w1), ..., L(wp+q))

=(p+ q)!p!q!

Alt(ζ ⊗ η)(L(w1), ..., L(wp+q))

=1p!q!

∑σ∈Σp+q

sig(σ)(ζ ⊗ η)σ(L(w1), ..., L(wp+q))

=1p!q!

∑σ∈Σp+q

sig(σ)ζ(L(wσ(1)), ..., L(wσ(p)))η(L(wσ(p+1)), ..., L(wσ(p+q)))

=1p!q!

∑σ∈Σp+q

sig(σ)(L∗ζ)(wσ(1), ..., wσ(p))(L∗η)(wσ(p+1), ..., wσ(p+q))

= (L∗(ζ) ∧ L∗(η))(w1, ..., wp+q).

La asociatividad se deduce directamente de la propiedad (2) del ejercicio186.

Con la estructura producto exterior ∧ ası definida, (Λ(V ) =⊕p∈Z

Λp(V ),∧)

(donde se supone que Λp(V ) = 0 si p < 0 y Λ0(V ) = K, recuerdese ladefinicion 162) tiene una estructura de K−algebra.

Definicion 197 El K−algebra (Λ(V ) =⊕p∈Z

Λp(V ),∧) se denomina alge-

bra exterior asociada al espacio vectorial V . Sus elementos se denominanformas exteriores sobre V .

Nos ocupamos ahora de la tarea de determinar una base para Λp(V ).

Lema 198 Sean α1, ..., αp formas lineales sobre V . Para toda permutacionσ ∈ Σp se tiene:

ασ(1) ∧ · · · ∧ ασ(p) = sig(σ)α1 ∧ · · · ∧ αp,

ασ(1) · · · ασ(p) = α1 · · · αp.

Por tanto, α1 ∧ · · · ∧ αp = 0 siempre que entre la familia α1, ..., αp hayados elementos iguales.


Demostracion. Se tiene que, por definicion de producto exterior,

p!ασ(1) ∧ · · · ∧ ασ(p) =∑

µ∈Σp

sig(µ)αµ(σ(1)) ⊗ · · · ⊗ αµ(σ(p))

= sig(σ)∑

ρ∈Σpρ=µσ

sig(ρ)αρ(1) ⊗ · · · ⊗ αρ(p)

= p!sig(σ)α1 ∧ · · · ∧ αp.

La segunda parte se prueba de manera analoga.

Ejercicio 199 Probar el lema 198 para el caso del producto simetrico.

Teorema 200 Sean V un K−espacio vectorial de dimension finita n, eini=1

una base de V yωj

n

j=1su base dual correspondiente. Entonces:

1. Si t ∈ Λp(V ) es un tensor antisimetrico de tipo (0, p) sobre V , conp ≤ n, se verifica:

t =∑

i1<···<ip

t(ei1 , ..., eip)ωi1 ∧ · · · ∧ ωip .

Por tanto, los productos exteriores ordenados ωi1 ∧· · ·∧ωip (1 ≤ i1 <· · · < ip ≤ n), forman una base del espacio vectorial Λp(V ), de modoque

dim Λp(V ) =(n

p

).

2. Si s ∈ Sp(V ) es un tensor simetrico de tipo (0, p) sobre V , se verifica:

s =∑

(a1,...,an)∈Nn

a1+···+an=p

s(e1, a1)... , e1, ..., en,an)... , en)

(ω1

)a1 · · · (ωn)an .

Por tanto, los productos simetricos arbitrarios de p formas de la baseforman una base del espacio vectorial Sp(V ), de modo que

dimSp(V ) =(n+ p− 1p− 1

).

Demostracion. De acuerdo con la nota 166, particularizada al caso deTp(V ), se tiene la expresion coordenada

t =∑

Ip∈V R(np)t(ei1 , ..., eip)ωi1 ⊗ ...⊗ ωip .

Ademas, como es antisimetrico, t(ei1 , ..., eip) = 0 si alguno de sus argu-mentos esta repetido (recordar la proposicion 172). Si no es este el caso, los


ındices i1, ..., ip se pueden ver como el resultado de aplicar una permutacionσ ∈ Σp a una familia creciente j1, ..., jp con j1 < ... < jp, ası que

t(ei1 , ..., eip) = t(ejσ(1) , ..., ejσ(p)) = sig(σ)t(j1, ..., jp).

Con esto:

t =∑

j1<...<jp

t(j1, ..., jp) ·∑

σ∈Σp

sig(σ)ωjσ(1) ⊗ ...⊗ ωjσ(p)

=∑

j1<...<jp

t(j1, ..., jp)ωj1 ∧ · · · ∧ ωjp .

Ejercicio 201 Probar el teorema 200 para el caso de tensores simetricos.

Corolario 202 En las condiciones del teorema 200,

1. Una condicion necesaria y sufuciente para que p vectores v1, ..., vp

sean linealmente independientes, es que exista un tensor antisimetricot ∈ Λp(V ) tal que t(v1, ..., vp) 6= 0.

2. Una condicion necesaria y sufuciente para que p formas lineales α1, ..., αp

sean linealmente independientes, es que α1 ∧ · · · ∧ αp 6= 0.


Ejercicio 204 Con las notaciones del teorema 200, un elemento descom-ponible de Λp(V ) es del tipo ω1 ∧ · · · ∧ωp, y un elemento descomponible deΛp(V ∗) es de la forma v1 ∧ · · · ∧ vp con vj ∈ V ∗∗ ' V (bajo el isomorfismocanonico del teorema 97) linealmente independientes para 1 ≤ j ≤ p. Sedefine

B : Λp(V ∗)× Λp(V ) −→ K

porB(v1 ∧ · · · ∧ vp, ω

1 ∧ · · · ∧ ωp) = ω1 ∧ · · · ∧ ωp(v1, ..., vp)

y se extiende por linealidad. Comprobar que B determina un isomorfismo

PB : Λp(V ∗) ' Λp(V )∗.

A continuacion, estudiaremos ciertos endomorfismos particulares del alge-bra exterior Λ(V ) =

⊕p∈Z

Λp(V ).

SeaA una K−algebra Z−graduada, que se descompone comoA =⊕p∈Z

Ap.

Observese que siempre es 1A ∈ A0 (en caso contrario ∀a ∈ Ap serıaa = a1A ∈ Ap+grado(1A)).


Definicion 205 Se denomina derivacion de grado p (con p ∈ Z) delalgebra A a todo endomorfismo δ : A→ A tal que δ(An) ⊆ An+p y

δ(a · b) = δ(a) · b+ (−1)npa · δ(b),

para todos a ∈ An y b ∈ A. El conjunto de las derivaciones de grado p deA se denota Derp(A). Tambien se escribe Der(A) =

⊕p∈Z

Derp(A) (y resulta

ser de manera natural una nueva K−algebra Z−graduada).

Ejemplo 206 Consideremos el algebra graduada de los polinomios realesR[X] =

⊕n∈Z

Rn[X], y el operador de derivacion formal ∂ : R[X] → R[X]

que sobre un polinomio

p = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn ∈ Rn[X]

actua como

∂(p) = a1x+ 2a2x2 + 3a3x

2 + · · ·+ nanxn,

de manera que ∂ es de grado 0 (intuitivamente podemos ver a ∂ como eloperador x · d

dx). Es inmediato comprobar que ∂ es una derivacion.

Ejercicio 207 Probar que si δ ∈ Der(A) y χ(A) 6= 2, entonces δ(1A) = 0.

Nota 208 Podemos ver a todo k ∈ K como un elemento de A bajo laaplicacion k 7→ k · 1A ∈ A. Entonces, el ejercicio precedente nos dice quepor ser δ morfismo para la estructura vectorial de A, δ(k) = kδ(1A) = 0.

Definicion 209 Sea v ∈ V . Se llama operador insercion de v al opera-dor del algebra exterior iv : Λp(V ) → Λp−1(V ) dado por la accion

(ivα)(u1, ..., up−1) = α(v, u1, ..., up−1),

para cualquier α ∈ Λp(V ) y u1, ..., up−1 ∈ V (en particular, iv|Λ0(V ) = 0).

Proposicion 210 El operador insercion es una derivacion del algebra ex-terior Λ(V ) con grado −1.

Demostracion. En primer lugar, veamos que es lineal. Si α, β ∈ Λp(V ) ya, b ∈ K, entonces para cualesquiera u1, ..., up−1 ∈ V :

(iv(aα+ bβ))(u1, ..., up−1) = (aα+ bβ)(v, u1, ..., up−1)= aα(v, u1, ..., up−1) + bβ(v, u1, ..., up−1)= a(ivα)(v, u1, ..., up−1) + b(ivβ)(v, u1, ..., up−1),

de modo que iv(aα + bβ) = aivα + bivβ. Ahora, comprobaremos comose comporta iv respecto del producto exterior. Se trata de probar que si


α ∈ Λp(V ) y β ∈ Λq(V ), entonces iv(α ∧ β) = (ivα) ∧ β + (−1)pα ∧ (ivβ).Esto es trivial para p = 0; procederemos por induccion, ası que supongamosque p = 1 y sean v1 = v, v2, ..., vq+1 ∈ V . Se tiene:

iv(α ∧ β)(v2, ..., vq+1) = (α ∧ β)(v1, v2, ..., vq+1)

=(q + 1)!

1!q!Alt(α⊗ β)(v1, v2, ..., vq+1)

=1q!

∑σ∈Σq+1

sig(σ)α(vσ(1))β(vσ(2), ..., vσ(q+1)).

Ahora bien, fijado un j ∈ 1, ..., q + 1 para cada permutacion σ ∈ Σq+1

tal que σ(1) = j, el resto de vectores vσ(2), ..., vσ(q+1) convenientementeordenados son los v1, ..., vj , ..., vq+1 (el circunflejo ˆdenota que ese terminose omite). Aun mas, existe una correspondencia biunıvoca

φ : σ ∈ Σq+1 : σ(1) = j → Σq

donde

φ(σ)(k) =σ(k)− 1, para k < jσ(k + 1)− 1, para k ≥ j

y sig(φ(σ)) = (−1)j−1sig(σ). Con esto:

iv(α ∧ β)(v2, ..., vq+1) =1q!

q+1∑j=1

(−1)j+1α(vj)β(v1, ..., vj , ..., vq+1)

=1q!α(v)β(v2, ..., vq+1)

+1q!

q+1∑j=2

(−1)j+1α(vj)β(v, v2, ..., vj , ..., vq+1)

= ((ivα) ∧ β)(v2, ..., vq+1)

− 1q!

q+1∑j=2

(−1)jα(vj)(ivβ)(v2, ..., vj , ..., vq+1)

= ((ivα) ∧ β + (−1)1α ∧ ivβ)(v2, ..., vq+1),

y se tiene probado el resultado para p = 1. Suponiendo que es cierto paratodo a ∈ Λp(V ), sea γ ∈ Λ1(V ), de manera que

iv((γ ∧ α) ∧ β) = iv(γ ∧ (α ∧ β))= (ivγ) ∧ (α ∧ β)− γ ∧ iv(α ∧ β)

= ((ivγ) ∧ α) ∧ β − γ ∧ (ivα) ∧ β + (−1)p+1γ ∧ α ∧ ivβ= (iv(γ ∧ α)) ∧ β + (−1)p+1(γ ∧ α) ∧ ivβ.


Como todo elemento de Λp+1 es una combinacion lineal de elementos dela forma γ ∧ α, con γ ∈ Λ1(V ) y a ∈ Λp(V ), y iv es lineal, el resultado escierto para cualquier elemento de Λp+1(V ).

9.1. Determinantes

De acuerdo con el teorema 200, si V es un K−espacio vectorial de di-mension finita dimV = n, se tiene que dim Λn(V ) =

(nn

)= 1.

Ejercicio 211 Probar que si F es un K−espacio vectorial de dimension1, toda aplicacion lineal L : F → F consiste en multiplicar por un escalar.

Si L ∈ EndK(V ) es un endomorfismo del espacio vectorial V , el pull-backinducido (recuerdese la definicion 187 y la proposicion 196) L∗ : Λn(V ) →Λn(V ) consiste, de acuerdo con el ejercicio 211, en multiplicar por un es-calar.

Definicion 212 Se denomina determinante del endomorfismo L ∈ EndK(V )al escalar detL determinado por el pull-back L∗|Λn(V ).

Nota 213 De la propia definicion se deduce que al endomorfismo identidadId ∈ EndK(V ) le corresponde det Id = 1.

Teorema 214 Sea L ∈ EndK(V ). El determinante detL tiene las siguien-tes propiedades:

1. Es multiplicativo: si L1, L2 ∈ EndK(V ) se tiene det(L1L2) = detL1 ·detL2.

2. Si eini=1 es una base de V y

ωj

n

j=1su base dual correspondiente,

se tieneL∗(ω1 ∧ · · · ∧ ωn) = detL · ω1 ∧ · · · ∧ ωn.

3. En las condiciones de (2), se cumple que

detL =(L∗(ω1 ∧ · · · ∧ ωn)

)(e1, ..., en)

= ω1 ∧ · · · ∧ ωn(Le1, ..., Len).

4. Se tiene detL 6= 0 si y solo si L es un automorfismo.

5. Se cumple que detL> = detL, donde L> = L∗ ∈ EndK(V ∗) es elendomorfismo traspuesto de L (recuerdese la nota 102. Utilizamosaquı la notacion L> para enfatizar la relacion con las matrices dondees la habitual para denotar la traspuesta, cfr. el ıtem siguiente).

9.1 Determinantes 59

6. Si A = (aji )1≤i,j≤n es la matriz de L respecto de una base ein

i=1, demodo que L(ei) = aj

iej,

detL =∑

σ∈Σn

sig(σ)a1σ(1) · · · a

nσ(n) = detA.

Demostracion. (1) Por las propiedades functoriales del producto exteriory el pull-back, (L1 L2)∗|Λn(V ) = L∗2|Λn(V ) L∗1|Λn(V ), luego det(L1 L2) =detL1 ·detL2. (2) Es la propia definicion de determinante. (3) Se sigue de ladefinicion de pull-back. (4) Si L ∈ EndK(V ) es un automorfismo, se deducede (1) que detL · detL−1 = det Id = 1, luego detL 6= 0. Recıprocamente,si detL 6= 0 y ein

i=1 es una base de V ,ωj

n

j=1su base dual, resulta por

(3) que0 6= detL = ω1 ∧ · · · ∧ ωn(Le1, ..., Len),

luego los Le1, ..., Len son linealmente independientes (vease el corolario202) y forman una base de V , por lo que L es un automorfismo. (5) Conlas notaciones anteriores, de la definicion de producto exterior y aplicaciontraspuesta, utilizando el teorema de reflexividad se tiene:

detL∗ = e1 ∧ · · · ∧ en(L>ω1, ..., L>ωn)

=∑

σ∈Σn

sig(σ)e1(L>ωσ(1)) · · · en(L>ωσ(n))

=∑

σ∈Σn

sig(σ)ωσ(1)(Le1) · · ·ωσ(n)(Len)

=∑

σ∈Σn

sig(σ)ωσ(1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(n)(Le1, ..., Len)

= ω1 ∧ · · · ∧ ωn(Le1, ..., Len)= detL.

(6) Por (3) y la definicion de producto exterior:

detL = ω1 ∧ · · · ∧ ωn(Le1, ..., Len)

=∑

σ∈Σn

sig(σ)ω1(Leσ(1)) · · ·ωn(Leσ(n)),

pero ωi(Leσ(i)) = ωi(ajσ(i)ej) = aj

σ(i)ωi(ej) = aj

σ(i)δij = ai

σ(i), luego

detL =∑

σ∈Σn

sig(σ)a1σ(1) · · · a

nσ(n).

Nota 215 La propiedad (6) es lo que se encuentra en muchos textos ele-mentales como definicion de determinante.


Recordemos que como caso particular del teorema 77, se establece unisomorfismo entre EndK(V ) y Matn×n(K). Dentro de Matn×n(K), el sub-conjunto de las matrices con determinante no nulo forma un grupo conrespecto al producto matricial, llamado el grupo general lineal en n di-mensiones y denotado GL(n; K). Como consecuencia inmediata del teorema97 se cumple el siguiente resultado.

Corolario 216 Se tiene un isomorfismo de grupos

AutK(V ) ' GL(n; K).

Ademas, el determinante tambien induce un morfismo de grupos multipli-cativos

det : AutK(V ) → K− 0.

Demostracion. La primera parte es consecuencia de (4) en el teorema, lasegunda de (1).

Por otra parte, la definicion de determinante no esta restringida a en-domorfismos. Cuando se dispone de un morfismo entre espacios vectorialescon la misma dimension L : V → W , puede definirse un determinante,pero esta vez depende de la eleccion de bases en ambos espacios.

Definicion 217 Sea L : V → W un morfismo de K−espacios vectorialesdonde dimV = dimW = n. Sean ein

i=1, eini=1 bases de V y W res-

pectivamente, yωj

n

j=1,

ωj

n

j=1sus bases duales correspondientes. Se

denomina determinante de L respecto de las bases anteriores al escalardetLe,e determinado de manera unica por la condicion

L∗(ω1 ∧ · · · ∧ ωn) = detLe,e · ω1 ∧ · · · ∧ ωn.

Teorema 218 Sea L ∈ LK(V,W ). El determinante detLe,e tiene las si-guientes propiedades:

1. Si T ∈ LK(W,U) es otro morfismo y uini=1 es una base de U , se

cumpledet(T L)e,u = detLe,e · detTe,u.

2. detLe,e = L∗(ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(e1, ..., en) = ω1 ∧ · · · ∧ ωn(Le1, ..., Len).

3. detLe,e 6= 0 si y solo si L es un isomorfismo.

4. detLe,e = detL>ω,ω.

5. Si A = (aji )1≤i,j≤n es la matriz de L respecto de las bases ein

i=1,ein

i=1 de modo que L(ei) = aji ej, se tiene

detLe,e =∑

σ∈Σn

sig(σ)a1σ(1) · · · a

nσ(n) = detA.

9.1 Determinantes 61

Ejercicio 219 Probar el teorema 218 (ayuda: seguir la demostracion delteorema 214).

Ejemplo 220 Sea el endomorfismo de R3 dado en la base canonica por laactuacion

L : R3 −→ R3

(x, y, z) 7→ (2x+ y, x+ y + 4z,−3x+ 2y + 5z).

Veamos como calcular su determinante. Segun la definicion, hemos de cal-cular el pull-back L∗|Λ3(R3), es decir, L∗(ω1 ∧ω2 ∧ω3) donde ωi3i=1 es labase dual de la base canonica ei3i=1 = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (respec-to de la cual esta definida L). Ahora bien, por la propiedad functorial delproducto exterior (proposicion 196):

L∗(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = (L∗ω1) ∧ (L∗ω2) ∧ (L∗ω3).

Para calcular, por ejemplo, L∗ω1 recurrimos a la definicion de pull-back(definicion 187). Como ω1 ∈ Λ1(R3), tambien es L∗ω1 ∈ Λ1(R3) y bastacon ver como actua sobre un vector arbitrario v = xe1 + ye2 + ze3:

L∗ω1(v) = ω1(L(v)) = ω1((2x+ y)e1 + (x+ y + 4z)e2 + (−3x+ 2y + 5z)e3)= 2x+ y.

Pero x = ω1(v), y = ω2(v) (tambien, z = ω3(v)), luego

L∗ω1(v) = 2ω1(v) + ω2(v),

de modo queL∗ω1 = 2ω1 + ω2.

Analogamente se ve que

L∗ω2 = ω1 + ω2 + 4ω3

L∗ω3 = −3ω1 + 2ω2 + 5ω3,

y por lo tanto:

L∗(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = (2ω1 + ω2) ∧ (ω1 + ω2 + 4ω3) ∧ (−3ω1 + 2ω2 + 5ω3).

Aplicando las propiedades del producto exterior (bilinealidad y antisimetrıa):

L∗(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = (2ω1 ∧ ω2 + 8ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω1 + 4ω2 ∧ ω3) ∧ (−3ω1 + 2ω2 + 5ω3)

= (ω1 ∧ ω2 + 8ω1 ∧ ω3 + 4ω2 ∧ ω3) ∧ (−3ω1 + 2ω2 + 5ω3)

= 5ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 + 16ω1 ∧ ω3 ∧ ω2 − 12ω2 ∧ ω3 ∧ ω1

= −23ω1 ∧ ω2 ∧ ω3,


ası quedetL = −23.

Este resultado, por supuesto, coincide con el que se obtendrıa tradicional-mente considerando la matriz asociada a L,

L =

2 1 01 1 4−3 2 5

,

y calculando su determinante matricial.

9.2. Orientacion y volumen en un espacio vectorial.

Volvamos a considerar el espacio Λn(V ), para el cual dim Λn(V ) = 1(con dimV = n). Nos restringiremos en esta seccion al caso real, K = R.

Sean eini=1 y vjn

j=1 dos bases de V , y sea L el automorfismo en Vque pasa de una a otra.

Definicion 221 Se dice que las bases eini=1 y vjn

j=1 estan relaciona-das si detL > 0.

Nota 222 Es inmediato que la relacion en el conjunto de las bases de V ,B(V ), dada en la definicion 221 es una relacion de equivalencia: lapropiedad reflexiva se deduce del hecho de que det Id = 1 > 0, la simetricade que el determinante es multiplicativo y la matriz de cambio de base devjn

j=1 a eini=1 la inversa de la de ein

i=1 a vjnj=1 (ası que detL−1 =

(detL)−1 > 0). Por ultimo, la propiedad transitiva es consecuencia directade que el determinante es mutiplicativo.

El objetivo del siguiente resultado, es probar que la relacion de la defi-nicion 221 solo tiene dos clases de equivalencia.

Teorema 223 Sean vjnj=1 , ein

i=1 ∈ B(V ) dos bases del R−espacio vec-torial V con bases duales respectivas

αj

n

j=1y

ωi

n

i=1. Sea L ∈ AutK(V )

la transformacion que pasa de vjnj=1 a ein

i=1. Entonces,

α1 ∧ · · · ∧ αn = detL · ω1 ∧ · · · ∧ ωn.

Demostracion. Por el ejemplo 103,L∗ωj

n

j=1es

αj

n

j=1, y por la pro-

piedad functorial del determinante combinada con (2) del teorema 214:

α1 ∧ · · · ∧ αn = L∗ω1 ∧ · · · ∧ L∗ωn

= L∗(ω1 ∧ · · · ∧ ωn)= detL · ω1 ∧ · · · ∧ ωn.

9.2 Orientacion y volumen en un espacio vectorial. 63

Consecuentemente, solo se tienen dos clases de equivalencia: fijada unabase cualquiera todas las restantes caen o bien en su clase (si el determi-nante del automorfismo que las relaciona es positivo) o bien en la otra (siel determinante del automorfismo que las relaciona es negativo).

Proposicion 224 Dado ξ ∈ Λn(V ) con ξ 6= 0, se tiene que existe unabase ein

i=1 en V tal que siωj

n

j=1es su base dual correspondiente, ξ =

ω1 ∧ · · · ∧ ωn, en particular ξ(e1, ..., en) = 1.

Demostracion. Si ujnj=1 ∈ B(V ) es una base arbitraria, entonces ξ(u1, ..., un) =

k 6= 0 para algun k ∈ R (recordar el corolario 173).Sea:

e1 =u1

ky ei = ui para 2 ≤ i ≤ n.

Claramente, eini=1 ∈ B(V ) (si fuese λ1e1 + · · · + λnen = 0 para algunos

coeficientes λ1, ..., λn ∈ R no todos nulos, serıa ei = − 1λi

(λ1e1 + · · ·+ λiei +

· · ·+λnen) para algun i ∈ 1, ..., n, esto es, ui = − 1λi

(λ1e1+· · ·+λiei+· · ·+λnen), lo que contradirıa que ujn

j=1 ∈ B(V )). Sea ahoraωi

n

i=1la base

dual de eini=1, queremos ver que es ω1 ∧ · · · ∧ωn(v1, ..., vn) = ξ(v1, ..., vn)

para cualesquiera v1, ..., vn ∈ V . Como ω1 ∧ · · · ∧ ωn ∈ Λn(V ), existe unλ ∈ R tal que ω1 ∧ · · · ∧ωn = λ · ξ, y se trata pues de ver que es λ = 1. Poruna parte:

ω1 ∧ · · · ∧ ωn(e1, ..., en) = λ · ξ(e1, ..., en)

= λ · ξ(u1

k, ..., un

)=

λ

k· ξ(u1, ..., un) =

λ

kk = λ,

y por otra, obviamente, ω1 ∧ · · · ∧ ωn(e1, ..., en) = 1, de donde λ = 1.

Definicion 225 Se dice que se ha dado una orientacion en el R−espaciovectorial V si se ha distinguido un elemento ξ ∈ Λn(V ) con ξ 6= 0 (esto es,un generador de Λn(V )).

De acuerdo con el teorema 223 y la proposicion 224, el dar una orientacionen V tambien se puede ver como la seleccion de una de las dos clases deequivalencia en B(V ) inducidas por la relacion de la definicion 221: aquellaa la cual pertenece la base asociada a ξ ∈ Λn(V ).

Definicion 226 Se dice que la base eini=1 de V esta orientada positi-

vamente (resp. negativamente) si su base dual cumple ω1∧· · ·∧ωn = kξcon k > 0 (resp. k < 0), es decir, si esta en la misma clase de equivalenciaque la de la base asociada a ξ ∈ Λn(V ) (resp. en la otra clase).


Ejemplo 227 En Rn se tiene la base canonica (base standard) eini=1 y

siωi

n

i=1es su base dual, ω1 ∧ · · · ∧ ωn ∈ Λn(Rn) determina la llamada

orientacion standard en Rn. Si se define una nueva base ujnj=1 me-

diante u1 = e2, u2 = e1 y uj = ej para 3 ≤ j ≤ n, se tiene que ujnj=1

esta orientada negativamente.

En general, no hay ninguna manera canonica de elegir un un generadorde Λn(V ) en un espacio vectorial arbitrario. Sin embargo, como veremos acontinuacion, esto si es posible cuando V esta orientado y provisto de unametrica.

Lema 228 Sea V un R−espacio vectorial dotado de la metrica euclideag ∈ S2(V ) y supongamos que se ha tomado una orientacion en V . Seanein

i=1 y ujnj=1 dos bases ortonormales respecto de g, con duales respec-

tivasωi

n

i=1y

αi

n

i=1tales que ambas bases estan en la misma clase de

orientacion. Entonces, se tiene que

ω1 ∧ · · · ∧ ωn = α1 ∧ · · · ∧ αn.

Demostracion. Sea C = (cji )1≤i,j≤n la matriz de cambio de base deein

i=1 a ujnj=1, de modo que ui = cjiej . Se tiene entonces (recuerde-

se el ejercicio 101)

δij = g(ui, uj)= g(cike

k, cjl el)

= cikcjl g(e

k, el)

= cikcjl δ

kl

=n∑

k=1

cikcjk.

En otras palabras, si 1 denota la matriz identidad en Matn×n(R),

1 = C>C.

Tomando determinantes (y utilizando el teorema 214),

(detC)2 = 1,

luego detC = ±1. Pero como por hipotesis ambas bases estan en la mismaclase de orientacion, detC > 0 (de acuerdo con el teorema 223), de modoque ha de ser detC = 1 y de aquı el enunciado.

Definicion 229 Sea V un R−espacio vectorial dotado de la metrica eucli-dea g ∈ S2(V ). Se llama elemento (o forma) de volumen µ, asociado ag, al generador de Λn(V ) determinado por µ = ω1∧· · ·∧ωn donde

ωi

n

i=1

es la base dual a una base ortonormal eini=1 positiva cualquiera (el lema

228 garantiza que esta definicion es independiente de la base elegida).

9.2 Orientacion y volumen en un espacio vectorial. 65

En otras palabras, podrıamos decir que dada una orientacion ξ ∈ Λn(V ),existe una unica µ ∈ Λn(V ) tal que µ(e1, ..., en) = 1 si ein

i=1 es una baseortonormal cumpliendo que ω1 ∧ · · · ∧ ωn esta en la clase de ξ. Esta unicaµ es la forma de volumen asociada a g.

Ejemplo 230 En Rn con la metrica euclıdea standard

g : Rn × Rn → R

(u, v) 7−→n∑

i=1

uivi,

la base canonica eini=1 y su base dualωin

i=1, determinan el volumenstandard en Rn: µ = ω1 ∧ · · · ∧ωn ∈ Λn(Rn) . El origen de la denomina-cion “elemento de volumen” reside en este ejemplo: si v1, ..., vn ∈ Rn sonn vectores linealmente independientes, podemos formar con ellos la matriz

A =

v11 · · · v1

n...

...vn1 · · · vn

n

y se tiene que µ(v1, ..., vn) = detA es el volumen del paralelepıpedo forma-do por los segmentos de recta que van desde el origen a cada uno de losextremos de los v1, ..., vn.

El siguiente ejercicio explora que ocurre en el caso de bases no necesa-riamente ortonormales.

Ejercicio 231 Sea V un R−espacio vectorial dotado de la metrica euclideag ∈ S2(V ). Consideremos en V una orientacion ξ ∈ Λn(V ), y sea uin

i=1

una base cualquiera de V conαi

n

i=1su base dual. Entonces, el elemento

de volumen en V esta dado por

µ = ±√

det g · a1 ∧ · · · ∧ αn,

donde det g = det(g(ui, uj))1≤i,j≤n.

Ejercicio 232 Hasta el momento, hemos supuesto que la metrica g eraeuclidea. Dar las modificaciones pertinentes del lema 228, la definicion 229y el ejercicio 231 para el caso de una metrica no necesariamente definidapositiva (ayuda: ahora g(ei, ej) no sera la matriz identidad, pero si se redu-cira a una con ±1 en la diagonal, recuerdese el ejercicio 143. Considerarentonces

√|det g|).


9.3. Dualidad de Hodge. El operador ∗Recordemos (teorema 200) la formula que da la dimension del espacio de

p−formas exteriores sobre un R−espacio vectorial V de dimension n finita:

dim Λp(V ) =(n

p

).

De esta expresion, se deduce que hay una correspondencia entre las dimen-siones p y n− p: (

n

p

)=

(n

n− p

)=

n!p!(n− p)!

de modo que los espacios Λp(V ) y Λn−p(V ) son isomorfos. El operador ∗de Hodge proporciona un isomorfismo canonico entre estos espacios cuandoV es orientado y posee una forma bilineal no degenerada g (se entiende elcaracter canonico salvo el estar asociado a g y la orientacion dada).

Recordemos (ver la nota 121) que [ = Pg denota el isomorfismo bajadade ındices asociado a la metrica. Si v ∈ V , escribiremos por comodidad[(v) = v[.

Sea α ∈ Λp(V ) y sean v1, ..., vn−p ∈ V . Entonces, se tiene que v[1, ..., v

[n−p ∈

V ∗ = Λ1(V ) y α∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p ∈ Λn(V ). Si µ es el elemento de volumendeterminado por g y la orientacion, existira un unico escalar k ∈ R tal que

α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p = k · µ.

Definicion 233 Se define el dual de Hodge de α ∈ Λp(V ) como el ele-mento ∗α ∈ Λn−p(V ) tal que

∗α(v1, ..., vn−p) = k.

Ası pues, ∗α tambien puede caracterizarse por ser el elemento de Λn−p(V )que verifica, ∀v1, ..., vn−p ∈ V :

∗α(v1, ..., vn−p) · µ = α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p.

Definicion 234 La aplicacion ∗ : Λp(V ) → Λn−p(V ) tal que a cada α ∈Λp(V ) le asigna ∗α ∈ Λn−p(V ), se denomina operador ∗ (estrella) deHodge.

Proposicion 235 El operador ∗ de Hodge es un isomorfismo de espaciosvectoriales (pero no de algebras).

Demostracion. Si α, β ∈ Λp(V ) y r, s ∈ R, entonces ∀v1, ..., vn−p ∈ V setiene

∗(rα+ sβ)(v1, ..., vn−p) · µ = (rα+ sβ) ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p

= rα ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p + sβ ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p

= r ∗ α(v1, ..., vn−p) · µ+ s ∗ β(v1, ..., vn−p) · µ,

9.3 Dualidad de Hodge. El operador ∗ 67

luego ∗(rα + sβ) = r ∗ α + s ∗ β. Ahora, para ver que ∗ es isomorfismobasta con probar que es inyectivo (recordar la formula de las dimensiones,ejercicio 64). Sea α ∈ Λp(V ) y supongamos ein

i=1 base de V y f jnj=1

su dual, de modo que α tendra una expresion del tipo

α =∑

i1<···<ip

ai1...ipfi1 ∧ · · · ∧ f ip ,

con 1 ≤ ij ≤ n para 1 ≤ j ≤ p. Si v1, ..., vn−p ∈ V por definicion es

∗a(v1, ..., vn−p) · µ =∑

i1<···<ip

ai1...ipf i1 ∧ · · · ∧ f ip ∧ v[

1 ∧ · · · ∧ v[n−p.

Fijemos uno de los factores de α, es decir, fijemos unos ı1 < · · · < ıp yconsideremos los correspondientes f ı1 , ..., f ıp ∈ V ∗. Sean f ıp+1 , ..., f ın ∈ V ∗linealmente independientes con ellas y tomemos vj = ](f ıj ) para p + 1 ≤j ≤ n. Entonces:

∗a(v1, ..., vn−p) · µ =∑

i1<···<ip

ai1...ipfi1 ∧ · · · ∧ f ip ∧ f ıp+1 ∧ · · · ∧ f ın

= aı1...ıpfı1 ∧ · · · ∧ f ıp ∧ f ıp+1 ∧ · · · ∧ f ın .

Pero si α ∈ ker ∗, ocurre que

∗a(v1, ..., vn−p) = 0 = aı1...ıpfı1 ∧ · · · ∧ f ın ,

de donde resulta que aı1...ıp = 0. Variando los ındices ı1 < · · · < ıp en elconjunto de los que aparecen en el desarrollo de α, se llega a α = 0.

Proposicion 236 Sea V un espacio vectorial orientado y provisto de unametrica euclidea g. El operador ∗ de Hodge tiene las siguientes propiedades:

1. Si µ es el elemento de volumen determinado por g y la orientacion,∗µ = 1 y ∗1 = µ. Ademas, para cualquier k ∈ R, ∗(k · µ) = k.

2. Para cualquier α ∈ Λp(V ) y v1, ..., vn−p ∈ V ,

(∗α)(v1, ..., vn−p) = ∗(α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p).

3. Para cualquier α ∈ Λp(V ) y v ∈ V :

∗(α ∧ v[) = iv(∗α),

donde iv es el operador insercion del vector v (recuerdese la definicion209).

4. Para cualquier α ∈ Λp(V ) y v ∈ V :

∗(ivα) = (−1)n−1(∗α) ∧ v[.


5. Para cualquier α ∈ Λp(V )

∗ ∗ α = (−1)p(n−1)α

y si v1, ..., vp ∈ V ,

(∗α) ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

p = (−1)p(n−1) ∗ (ivp · · · iv1α).

6. Si α, β ∈ Λp(V ),

α ∧ ∗β = β ∧ ∗a= (iα\β) · µ,

donde (ver la nota 121) \ = P−1g denota el isomorfismo de subida de

ındices.

Ejercicio 237 Probar la proposicion 236.

Ejemplo 238 (Producto vectorial en R3) Sea V = R3 dotado de lametrica euclidea g. Consideremos ei3i=1 la base canonica de R3 y αj3j=1

su dual. Sean u, v ∈ R3 dos vectores y consideremos sus 1−formas asociadasbajando ındices mediante g; es facil ver que:

u[ = u1α1 + u2α2 + u3α3

v[ = v1α1 + v2α2 + v3α3.

Consideremos tambien la 1−forma en R3 dada por ∗(u[ ∧ v[). Segun lapropiedad 3 de la proposicion 236, se tiene que

∗(u[ ∧ v[) = iv(∗u[).

Calculemos ∗u[. Por la linealidad del operador de Hodge:

∗u[ = u1 · (∗α1) + u2 · (∗α2) + u3 · (∗α3),

ası que debemos estudiar los factores ∗αi (1 ≤ i ≤ 3). Claramente, ∗αi ∈Λ2(R3) y, de hecho, aplicando la definicion con a, b ∈ R3 vectores arbitra-rios, se tiene por ejemplo:

(∗α1)(a, b) = ∗(α1 ∧ a[ ∧ b[).

Esta expresion nos permite calcular las componentes (∗α1)ij de la 2−forma∗α1 =

∑i<j

(∗α1)ijαi ∧ αj, sin mas que tomar en lugar de a, b los elementos

de la base canonica ei3i=1. En efecto, por una parte:

(∗α1)(ei, ej) = ∗(α1 ∧ e[i ∧ e[

j)

= ∗(α1 ∧ αi ∧ αj),

9.3 Dualidad de Hodge. El operador ∗ 69

y esto (por la antisimetrıa del producto exterior) es distinto de cero solosi (i, j) = (2, 3) (en cuyo caso (∗α1)(e2, e3) = ∗(α1 ∧ α2 ∧ α3) = 1) o si(i, j) = (3, 2) (en cuyo caso (∗α1)(e3, e2) = ∗(α1 ∧ α3 ∧ α2) = −1). Porotra parte:

(∗α1)(ei, ej) =∑k<l

(∗α1)klαk ∧ αl(ei, ej)

=∑k<l

(∗α1)klδki δ

lj

= (∗α1)ij .

De estas ecuaciones concluımos1 que:

∗α1 =∑i<j

(∗α1)ijαi ∧ αj = α2 ∧ α3.

De modo semejante, se prueba que

∗α2 = α3 ∧ α1,

∗α3 = α1 ∧ α2.

Con esto:

∗u[ = u1 · (α2 ∧ α3) + u2 · (α3 ∧ α1) + u3 · (α1 ∧ α2),

y

iv(∗u[) = (v1 · ie1 + v2 · ie2 + v3 · ie3)(u1 · (α2 ∧ α3) + u2 · (α3 ∧ α1) + u3 · (α1 ∧ α2))

= −v1u2α3 + v1u3α2 + v2u1α3 − v2u3α1 − v3u1α2 + v3u2α1

= (u2v3 − u3v2)α1 + (u3v1 − u1v3)α2 + (u1v2 − u2v1)α3.

Por ultimo, calculemos el vector asociado a esta 1−forma subiendo ındicesmediante g:

\iv(∗u[) = (u2v3 − u3v2)\α1 + (u3v1 − u1v3)\α2 + (u1v2 − u2v1)\α3

= (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3.

En definitiva: si definimos

u× v.= \ ∗ (u[ ∧ v[) = \iv(∗u[),

resulta que

(u1, u2, u3)× (v1, v2, v3) = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1),

1Fijemonos que en la expresion coordenada de ∗α1 los ındices cumplen i < j, demodo que no hay que tener presente la posibilidad (i, j) = (3, 2) que mencionabamosantes


que es la expresion habitual del producto vectorial en R3.Fijemonos en que la posibilidad de definir este producto de Rn × Rn en

Rn, descansa en el hecho de que ∗(u[ ∧ v[) es una 1−forma, y esto solosucede para n = 3 (pues ∗ envıa la 2−forma u[ ∧ v[ a una n − 2 forma).En este sentido, la existencia del producto vectorial en R3 se debe a una“casualidad” ligada a la dimension del espacio, y no es generalizable a otrasdimensiones.

Ejercicio 239 Consideremos el espacio-tiempo de Minkowski M4 (esto es,R4 con la metrica no euclidea η = diag(1,−1,−1,−1), recuerdese el ejem-plo 144). Calcular ∗(u[∧v[) siendo u = (2, 3, 0, 1) y v = (1, 0,−1,−2). ¿Esposible definir un producto vectorial en M4 analogo al existente en R3?.

Apendice APropiedad Universal del productotensorial

Tal y como se ha definido el producto tensorial de dos espacios en laseccion 7, hay algunas sutilezas que se han de resaltar. Por ejemplo, dadoun K−espacio vectorial V el espacio de los tensores 2−covariantes se vepor una parte como T1(V )⊗ T1(V ), y por otra como L(V × V ; K). Ahorabien, claramente todo elemento de T1(V )⊗T1(V ) = V ∗⊗V ∗ define uno deL(V ×V ; K), pero el recıproco no es tan evidente. Solo despues del teorema165 queda claro que todo tensor (0, 2), t ∈ L(V × V ; K), se expresa comocombinacion lineal de objetos del tipo ωi ⊗ ωj , es decir, es un elemento deV ∗ ⊗ V ∗.

Existe otro enfoque para introducir el producto tensorial, mas elegantepero menos directo. La motivacion pasa por observar primero que la defi-nicion que dimos de aplicacion multilineal (definicion 104) puede ampliarseal caso en que los valores se toman en otro K−espacio vectorial (¡sobre elmismo cuerpo K!) de la siguiente forma:

Definicion 240 Sean V1, ..., Vs, E espacios vectoriales sobre un mismo cuer-po K. Una aplicacion T : V1× · · ·×Vs → E se dice que es multilineal (deorden s) si para cada i ∈ 1, ..., s y µ, ν ∈ K se tiene

T (v1, ..., vi−1, µu+ νw, vi+1, ..., vs) =µT (v1, ..., vi−1, u, , vi+1, ..., vs) + νT (v1, ..., vi−1, w, vi+1, ..., vs).

El espacio de tales aplicaciones se suele denotar L(V1, ..., Vs;E). Nosrestringiremos en lo que sigue al caso s = 2 por simplicidad (el caso generalsolo requiere modificaciones en la notacion).

72 Apendice A. Propiedad Universal del producto tensorial

Ahora supongamos que dados unos espacios vectoriales sobre K, V,Wy E, tenemos una aplicacion bilineal φ : V ×W → E. Se puede obtenertoda una familia de aplicaciones multilineales sin mas que considerar lacomposicion con morfismos L : E → F (donde F es de nuevo un K−espaciovectorial), es decir, L φ : V ×W → F es una nueva aplicacion bilineal.

La pregunta que surge de manera natural es si cualquier otra aplicacionbilineal de V ×W en F se puede obtener de esta forma, es otras palabras:si es posible definir un K−espacio vectorial U y una aplicacion bilineali : V ×W → U tal que cualquier otra aplicacion bilineal φ : V ×W → Ffactorice a traves de (U , i), o sea, exista un unico morfismo de K−espaciosvectoriales Lφ : U → F tal que

φ = Lφ i.

Definicion 241 El problema de construir el par (U , i) se denomina pro-blema universal para el producto tensorial, y cualquier par (U , i) conesas caracterısticas se llama producto tensorial de V y W , aunque esfrecuente reservar ese nombre solo para U (cuando no existe peligro deconfusion).

De acuerdo con esto, parece que no se pueda hablar de “producto tenso-rial” en singular, ya que pueden existir muchos productos para los mismosespacios V y W , sin embargo todos los posibles productos tensoriales deV y W son isomorfos en un sentido muy preciso, de manera que si tienesentido utilizar la expresion “producto tensorial de V y W”. De hecho, setiene el siguiente resultado.

Teorema 242 Sean V y W dos K−espacios vectoriales. Entonces, existeotro K−espacio vectorial U y una aplicacion bilineal i : V ×W → U talesque:

1. Si F es otro K−espacio vectorial, dada una aplicacion φ : V ×W → Fbilineal, existe un unico morfismo de K−espacios vectoriales Lφ :U → F tal que φ = Lφ i.

2. El par (U , i) es unico salvo isomorfismos. En otras palabras: si dos pa-res (U , i), (U ′, i′) satisfacen la condicion (1) anterior, entonces existeun unico isomorfismo de K−espacios vectoriales f : U → U ′ tal quei′ = f i.

Demostracion. Veamos primero la unicidad. Sean (U , i), (U ′, i′) cumplien-do la condicion (1). Como, en particular, i′ : V ×W → U ′ es bilineal, resultaque existe un unico Li′ : U → U ′ tal que

i′ = Li′ i. (A.1)

Analogamente, i : V ×W → U es bilineal, luego existe un unico morfismoLi : U ′ → U cumpliendo

i = Li i′. (A.2)

Apendice A. Propiedad Universal del producto tensorial 73

Combinando (A.1) y (A.2):

i = Li i′ = Li Li′ i.i′ = Li′ i = Li′ Li i′.

Ahora bien, tanto idU como idU ′ verifican de forma obvia

i = idU ii′ = idU ′ i′,

y aplicando la unicidad de (1) al par (U , i) tomando φ = i, y al par (U ′, i′)tomando φ = i′ respectivamente, resulta que

Li Li′ = idU

Li′ Li = idU ′ ,

luego Li′ : U → U ′ (que ers el unico morfismo entre U y U ′ cumpliendoi′ = Li′ i) es isomorfismo.Para probar la primera parte del enunciadodel teorema, definimos explicitamente (el sımbolo .= significa precisamente“por definicion”):

U .= L(V ∗ ×W ∗; K) = ϕ : V ∗ ×W ∗ → K ;ϕ bilineal

y

i : V ×W −→ U = L(V ∗ ×W ∗; K)(v, w) 7→ i(v, w) : V ∗ ×W ∗ −→

(f, g) 7−→K(i(v, w))(f, g) .= f(v)g(w).

Antes de nada, vamos a ver una propiedad muy importante del par (U , i)que acabamos de definir. Se trata de que la imagen de i genera U obien, en la notacion del ejemplo 42, 〈i(V ×W )〉 = U .Sean ein=dim V

i=1 ,ujm=dim W

i=1 bases de V , W respectivamente, con bases duales αini=1,

βjmi=1. Definimos las m·n aplicaciones ϕij : V ∗×W ∗ → K (con 1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ j ≤ m) mediante

ϕij = i(ei, uj) ∈ i(V ×W ),

y extendiendo por bilinealidad, de modo que con

ϕij(αk, βl) .= (i(ei, uj))(αk, βl) = δki δ

lj

se puede calcular la actuacion sobre elementos arbitrarios como f = fkαk ∈

V ∗, g = glβl ∈ W ∗. Ahora, es inmediato que cualquier elemento ϕ ∈ U =

L(V ∗ ×W ∗; K) se expresa como combinacion lineal1 de las ϕkl, pues las

1Esta construccion es la generalizacion a aplicaciones multilineales de la presentadaen el teorema 79.

74 Apendice A. Propiedad Universal del producto tensorial

aplicaciones bilineales ϕ y ϕ(αk, βl) · ϕkl actuan de la misma forma sobrepares (f, g) ∈ V ∗ × W ∗, luego ϕ = ϕ(αk, βl) · ϕkl. Ademas, las m · naplicaciones ϕkl son claramente independientes en el K−espacio vectorialU = L(V ∗ ×W ∗; K) (que tiene dimU = m · n, recuerdese el ejercicio 106),por lo que forman una base para U y, por tanto:

〈i(V ×W )〉 = U . (A.3)

Por otra parte, si T es otro K−espacio vectorial, dada φ : V ×W → Tbilineal definimos una aplicacion Lφ : U → T mediante su actuacion sobreun elemento arbitrario ϕ = aijϕij ∈ U (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m):

Lφ(ϕ) = Lφ(aijϕij).= aijφ(ei, uj).

Claramente, para cualquier par de vectores v = viei ∈ V , w = wjuj ∈W ,

(Lφi)(v, w) = Lφ(viwji(ei, uj)) = Lφ(viwjϕij) = viwjφ(ei, uj) = φ(v, w),

luegoLφ i = φ.

Solo nos falta ver que esta aplicacion es unica, y para ello utilizaremosla propiedad (A.3). Supongamos que existiese otro morfismo L′ : U → Tcumpliendo

L′ i = φ.

Resultarıa entonces que tendrıamos dos aplicaciones lineales (Lφ y L′) quecoinciden sobre i(V ×W ) (ambas tienen por imagen φ(V ×W )), que esun conjunto generador de U segun (A.3); por tanto, Lφ y L′ serıan igualesactuando sobre cualquier elemento de U y en consecuencia L′ = Lφ.

Nota 243 Es comun denotar la aplicacion i por ⊗ y escribir

i(ei, uj) = ⊗(ei, uj) = ei ⊗ uj .

Con esto, ei ⊗ uj es la aplicacion multilineal definida sobre V ∗ ×W ∗ queactua segun

ei ⊗ uj : V ∗ ×W ∗ −→ K(f, g) 7−→ f(ei)g(uj).

Tambien, se suele escribir U = L(V ∗×W ∗; K) como U = V ⊗W y ası que-da aclarada la identificacion entre tensores entendidos como elementos delproducto tensorial V ⊗W y aplicaciones multilineales sobre los duales, esdecir, elementos de L(V ∗ ×W ∗; K).

Apendice BIndicaciones para algunos de losejercicios

Ejercicio 6(C0(R),+

)es un grupo, pero no

(C0(R), ∗

): las funciones que

se anulan en algun punto no tienen inverso.

Ejercicio 13 sig(f) = −1, sig(g) = −1.

Ejercicio 17 Dados a, b ∈ R tales que a2 + b2 = 1, existe un unico θ ∈[0, 2π[ tal que a = cos θ, b = sin θ. El isomorfismo es(

a b−b a

)7→ θ.

Ejercicio 29 Para la segunda parte del ejercicio, basta con darse cuentade que la identidad para el producto, de existir, deberıa ser la funcion1(x) = 1. Pero si a > 0, claramente 1 /∈ C0

a([a, b]), pues 1(a) = 1 6= 0.

Ejercicio 43 Se trata de probar que 〈v1, ..., vr〉 es la interseccion de to-dos los subespacios vectoriales que contienen a v1, ..., vr (medianteuna doble inclusion, por ejemplo).

Ejercicio 55 Como V es de dimension finita, digamos n = dimV , tieneuna base finita e1, ..., en. Por el teorema 53, toda base de V esfinita y no contiene mas de n elementos, luego si u1, ..., um es otratal base, m ≤ n. Del mismo modo se prueba m ≥ n, de donde m = n.

Ejercicio 64 Veamos que dim kerL + dim ImL = dimV . Sea v1, ..., vruna base de kerL. Por la proposicion 58 sabemos que existen vr+1, ..., vn

76 Apendice B. Indicaciones para algunos de los ejercicios

tales que el conjunto v1, ..., vr, vr+1, ..., vn es base de V (con dimV =n). Se trata de ver que L(vr+1), ..., L(vn) es base de ImL.

Claramente, 〈L(v1), ..., L(vn)〉 = ImL y como L(vi) = 0 para1 ≤ i ≤ r, tambien es 〈L(vr+1), ..., L(vn)〉 = ImL. Para ver la inde-pendencia lineal, se observa que si aj ∈ K (r+1 ≤ j ≤ n) son tales que

n∑j=r+1

ajL(vj) = 0, entonces L(n∑

j=r+1

ajvj) = 0 yn∑

j=r+1

ajvj ∈ kerL,

como v1, ..., vr es base de kerL, existen escalares bs ∈ K (1 ≤ s ≤ r)

tales quen∑

j=r+1

ajvj =r∑

s=1bsvs, es decir,

n∑j=r+1

ajvj−r∑

s=1bsvs = 0. Pe-

ro los v1, ..., vr, vr+1, ..., vn son LI, por lo que necesariamente aj = 0(r + 1 ≤ j ≤ n).

Ejercicio 67 Dado v ∈ V , consideremos 〈v〉, que es un espacio vectorunidimensional sobre K con base v. Por su parte K es un espaciovectorial (tambien unidimensional) sobre si mismo, y de acuerdo conel teorema 65, L(v) = 1 ∈ K define una aplicacion lineal.

Ejercicio 71 De acuerdo con el ejercicio 63, para dar el isomorfismo pedi-do es suficiente con especificar la actuacion sobre una base. De hecho,lo que se puede ver es que todos los espacios con dimension nson isomorfos al Kn del ejemplo 50: si u1, ..., un es una base(ordenada) del espacio n−dimensional V , se establece la correspon-dencia

L(ui) = ei , 1 ≤ i ≤ n

donde u1, ..., un es la base canonica de Kn, y el teorema 65 nosasegura que esta correspondencia se extiende a una unica aplicacionlineal. La biyectividad es obvia.

Ejercicio 85 Si f : V → K es una forma lineal sobre V , Im f es unsubespacio de K (recuerdese el ejercicio 64), que es unidimensionalsobre si mismo, luego o bien Im f = 0 o bien Im f = V . Si f 6= 0solo puede ser el ultimo caso.

Ejercicio 89 La base de la cual g1, g2, g3 es dual es la

p1(x) =(x− t2) (x− t3)(t1 − t2) (t1 − t3)

p2(x) =(x− t1) (x− t3)(t2 − t1) (t2 − t3)

p3(x) =(x− t1) (x− t2)(t3 − t1) (t3 − t2)

,

Apendice B. Indicaciones para algunos de los ejercicios 77

o, en la notacion con la que suelen encontrarse, para i = 1, 2, 3:

pi(x) =3∏

j=1j 6=i

x− tjti − tj

.

Ejercicio 93 Llamemos V = Matn×n(K). Supongamos f ∈ V ∗ tal quef (A ·B) = f (B ·A). Por la linealidad de f , esto equivale a quef(AB−BA) = 0; si C = AB−BA = Cj

i Iij (recuerdese el ejemplo 52)

esto quiere decir que Cji f(Ij

j ) = (AkiB

jk−Bl

iAjl )f(Ij

j ) = 0. Como A,Bson arbitrarias, podemos elegirlas de manera que Ak

iBjk − Bl

iAjl 6= 0

si i 6= j (por ejemplo, dados los ındices fijos i, j tomando A = Iii ,

B = Iji +Ii

j , pues se tiene AkiB

jk = δk

i Bjk = Bj

i = 1 y BliA

jl = Bl

i0 = 0,luego Ak

iBjk −Bl

iAjl = 1), ası puesf(Ij

j ) = 0 si i 6= j. Sin embargo, sii = j lo que se tiene es(

AkiB

ik −Bl

iAil

)f

(Iii

)= (tr(AB)− tr(BA))f

(Iii

)= 0,

y esto es cierto con independencia del valor de f(Iii

), pues tr(AB) =

tr(BA). Por tanto, f esta definida solo por sus valores sobre las ma-trices diagonales Ii

i , 1 ≤ i ≤ n. Lo que falta por ver es que todos esosvalores tienen un factor comun, esto es, que f

(Iii

)= f(Ij

j ) para cua-lesquiera i, j. Bastara con que probemos que f

(Iii

)= f

(Ii+1i+1

)para

todo 1 ≤ i ≤ n− 1, y para eso fijado i consideramos unas matrices

A = a1Ii+1i + a2I

ii+1

B = b1Ii+1i + b2I

ii+1

tales que a1b2 − b1a2 6= 0. Ası:

AB = a1b2Iii + a2b1I

i+1i+1

BA = b1a2Iii + b2a1I

i+1i+1 ,

y como por hipotesis f(AB −BA) = 0, se tendra

0 = (a1b2 − b1a2)f(Iii ) + (a2b1 − b2a1)f(Ii+1

i+1 )

= (a1b2 − b1a2)(f(Iii )− f(Ii+1

i+1 )),

de donde f(Iii ) = f(Ii+1

i+1 ). Naturalmente, si f(Id) = n es que f(Iii ) =

1 para cada 1 ≤ i ≤ n y se trata pues de la traza.

Ejercicio 95 Consideremos la forma lineal traza tr : V → K, con dimV =n2. Queremos ver que V0 = ker tr; en primer lugar, observamos quetr 6= 0 luego por el ejercicio 85 es un epimorfismo y aplicando el


ejercicio 64 dim ker tr = n2 − 1. Por tanto, para ver que V0 = ker tr,bastara con probar que dimV0 = n2−1; esto lo haremos construyendon2 − 1 matrices independientes de la forma AB − BA (fijemonos enque no puede haber n2 matrices independientes ası, pues para todasellas la traza es nula y, por ejemplo, tr(Id) = n 6= 0). La base de laconstruccion ya se ha hecho en el ejercicio 93: si i 6= j, la matriz Ij

i

se obtiene como el producto de A = Iii y B = Ij

i + Iij . Por tanto, se

tienen n2−n matrices de la forma pedida. No se ha dicho nada sobrelas matrices diagonales, que se especifican dando sus n elementosdiag(a11, ..., ann), pero para estas se pueden tomar las n− 1 matrices

diag(1,−1, 0, ..., 0), diag(0, 1,−1, 0, ..., 0), ..., diag(0, ..., 0, 1,−1),

todas con traza nula: cada una de ellas se puede poner como unasuma Ii

i − Ii+1i+1 , pero

Iii − Ii+1

i+1 =12(AB −BA)

donde A = Ii+1i + Ii

i+1, B = −Ii+1i + Ii

i+1. Se tienen ası las n2 − n+n− 1 = n2 − 1 matrices buscadas.

Ejercicio 101 Sea λ =(λj

i

)1≤j≤m

1≤i≤nla matriz de L : V → W en las bases

eini=1, ujm

j=1. Queremos ver que L∗(gi) =∑

1≤j≤n

λijf

j , es decir,

que (L∗(gi))(ej) = λjj . Pero, por definicion de aplicacion traspuesta:

(L∗(gi))(ej) = gi(L(ej)) = gi(λrjer)

= λrjδ

ir = λi

j .

Sean ahora eini=1, bjn

j=1 bases en V de las cuales son duales, res-pectivamente, las f in

i=1, hjnj=1. La matriz de cambio de base de

eini=1 a bjn

j=1 es la matriz de la aplicacion identidad en estas ba-ses, llamemosla A. La matriz de cambio de base en el dual es la matrizde la identidad en las bases f in

i=1, hjnj=1, que es la inversa de la

matriz de la identidad en las bases hjnj=1, f in

i=1; y esta, a su vez,es la traspuesta de A.

Ejercicio 124 Dada una forma f ∈ V ∗, se tiene que PT (f) ∈ V es el vectorcaracterizado por cumplir que ∀g ∈ V ∗ es (PT (f))(g) = g(PT (f)) =T (f, g). Dada una g ∈ V ∗ forma arbitraria, llamemos v = PT−1(f),u = PT−1(g), de manera que (por la definicion 122)

(PT (f))(g) = T (g, f) = T (P−1T (f), P−1

T (g))= T (v, u) = (PT (u))(v)= v(PT (u)) = v(g),


(se ha usado la identificacion V ∗∗ ' V para ver a v como elementode V ∗∗), ası: PT (f) = v = PT−1(f).

Ejercicio 130 Los ıtems (1) y (2) son inmediatos. Para la parte (3), obser-vemos que U1, U2 ⊆ U1+U2, luego por (1) tendremos (U1+U2) ⊆ U1

y (U1 + U2) ⊆ U2 de donde (U1 + U2) ⊆ U1 ∩ U2. Para la inclu-sion recıproca, consideremos una forma ω ∈ U1 ∩ U2 que sera nulasobre los vectores de U1 y de U2, luego tambien sobre sus sumas, esdecir, ω ∈ (U1 +U2). Para probar (4), via la identificacion V ' V ∗∗

podemos escribir

(U) = v ∈ V : v(ω) = ω(v) = 0,∀ω ∈ U,

de modo que U ⊆ (U). Para probar la inclusion recıproca, suponga-mos que u ∈ (U) pero u /∈ U . En ese caso, existe una forma linealα ∈ V ∗ tal que

α(u) 6= 0,α(v) = 0,∀v ∈ U.

En efecto: sea e1, ..., em (con m = dimU ≤ n = dimV ) una basede U y f1, ..., fm su base dual en U∗, que puede completarse a labase f1, ..., fm, fm+1, ..., fn de V ∗ (dual de la e1, ..., em, em+1, ..., en

en V ). Entonces, como u /∈ U , u tendra componentes en alguno delos fm+1, ..., fn: supongamos (sin perdida de generalidad) que u =um+1f

m+1 + · · · + unfn con um+1 6= 0. Ası, tomando α = fm+1

se cumplen las anteriores condiciones. Pero en ese caso α ∈ U yα(u) = u(α) 6= 0 implican que u /∈ (U), contra hipotesis.

Finalmente, la parte (5) es consecuencia de (4) y (2):

U1 + U2 = (U1 + U2) = ((U1) ∩ (U2)) = (U1 ∩ U2).

Ejercicio 142 Procederemos por induccion sobre n = dimV . El caso n =1 es trivial; supuesto el resultado probado para n − 1 y sea U ≤ Vcon dimU = n− 1, al cual se puede restringir la metrica T . Segun elejemplo 140, se tiene V = U ⊕U⊥ y por el corolario 134 es dimU⊥ =1, luego U⊥ = 〈u〉 para un cierto u ∈ V . Por induccion, U tieneuna base ortonormal e1, ..., en−1 y el resultado se deduce tomandoen = u

‖u‖ .

Ejercicio 143 Por induccion sobre n = dimV . Si n = 1, el resultado estrivial; supuesto cierto para n−1, sea un v ∈ V tal que g(v, v) 6= 0, queexiste por ser g no degenerada. Consideremos el subespacio ortogonaldel generado por v: 〈v〉⊥ = u ∈ V : g(v1, u) = 0. Por el corolario134, resulta que dim 〈v〉⊥ = n − 1, y existe una base e1, ..., en−1para 〈v〉⊥ con la propiedad del enunciado. Como v es independiente


de los e1, ..., en−1 (pues si fuese dependiente serıa v ∈ 〈v〉⊥, o sea,g(v, v) = 0 contrariamente a la hipotesis sobre v), haciendo en = v

‖v‖se tiene el resultado.

Ejercicio 157 Se tiene entonces definida una aplicacion lineal Ψ : LK(V ) →T 1

1 (V ) donde dado el endomorfismo L : V → V su imagen es la apli-cacion tL : V × V ∗ → K tal que tL(v, f) = f(L(v)). De aquı se sigueque Ψ es un isomorfismo, pues dimT 1

1 (V ) = n2 = dimLK(V ) y Ψes sobreyectiva (recuerdese la formula de las dimensiones, ejercicio64); en efecto: si t ∈ T 1

1 (V ) se tiene que t = Ψ(Lt), donde Lt esel endomorfismo que resulta de definir, dado v ∈ V , L(v) como elvector dado por la condicion (L(v))(f) = f(L(v)) para toda f ∈ V ∗(haciendo uso de la identificacion V ' V ∗).

Ejercicio 161 Son simples calculos directos. Por ejemplo, sean t, z ∈ T qp (V ),

y ∈ T sr (V ), µ, ν ∈ K. Veamos que (µt + νz) ⊗ y = µt ⊗ y + νz ⊗ y.

Para cualesquiera vectores v1, ..., vp+q y formas lineales f1, ..., fr+s setiene:

(µt+ νz)⊗ y(v1, ..., vp+r, f1, ..., fq+s)= (µt+ νz)(v1, ..., vp, f1, ..., fq) · y(vp+1, ..., vp+q, fq+1, ..., fq+s)= µt(v1, ..., vp, f1, ..., fq) · y(vp+1, ..., vp+q, fq+1, ..., fq+s)+ νz(v1, ..., vp, f1, ..., fq) · y(vp+1, ..., vp+q, fq+1, ..., fq+s)= µt⊗ y(v1, ..., vp+r, f1, ..., fq+s)+ νz ⊗ y(v1, ..., vp+r, f1, ..., fq+s).

Ejercicio 168 Se tiene L = λjiω

i ⊗ ej , donde λ = (λji ) es la matriz del

endomorfismo en la base eini=1 (vease ejercicio 78).

Ejercicio 182 Para la parte (1), supongamos primero que v ∈ H, de ma-nera que ∃u ∈ V tal que v = P (u). Entonces P (v) = P 2(u) = P (u) =v, por ser P proyector. Recıprocamente, si v = P (v), es obvio quev ∈ ImP = H. De acuerdo con esto, el unico vector que puede estaren H y en N es el vector nulo, y por tanto para probar (2) solo hayque ver que todo vector de V esta en H o en N . Pero esto es la parte(3): todo v ∈ V se descompone como v = P (v) + (v − P (v)) conP (v) ∈ H y v − P (v) ∈ N , pues P (v − P (v)) = P (v)− P 2(v) = 0.

Ejercicio 186 Consideremos el subgrupo H de Σp+q dado por los elemen-tos que dejan fijos los ultimos q elementos, cuyo orden es |H| = p!(de hecho es isomorfo a Σp):

H = π ∈ Σp+q : π|p+1,...,p+q = Id|p+1,...,p+q,

y el conjunto (de coclases izquierdas, recuerdese la nota 8) C =RρH : ρ ∈ Σp+q. Es facil ver que las clases RρH para distintos


ρ o bien son disjuntas o bien son iguales (esto es una propiedad ge-neral de cualquier relacion de equivalencia). Ademas, cada una deestas clases tiene |H| elementos, por ser Rρ biyeccion (recuerdese elejercicio 7) y ya que forman una particion de Σp+q (cuyo orden es(p+ q)!) hay |C| = (p+ q)!/p! de ellas distintas. Es decir, si llamamosk = (p+ q)!/p!, existiran ρ1, ..., ρk ∈ Σp+q tales que

Σp+q =⋃

1≤i≤k

RρiH.

De hecho, la clase de cualquier elemento deH es el propioH, de modoque podemos afinar un poco mas y escribir que existen ρ1, ..., ρk−1 ∈Σp+q tales que

Σp+q = H ∪

⋃1≤i≤k−1

RρiH

.

Ahora, por definicion, para v1, ..., vp+q ∈ V :

(p+ q)! Alt(s⊗ t)(v1, ..., vp+q)

=∑

σ∈Σp+q

sig(σ)(s⊗ t)σ(v1, ..., vp+q)

=∑

σ∈Σp+q

sig(σ)s(vσ(1), ..., vσ(p))t(vσ(p+1), ..., vσ(p+q)).

Pero de la separacion en clases de Σp+q resulta:

(p+ q)! Alt(s⊗ t)(v1, ..., vp+q)

=∑

σ∈H'Σp

sig(σ)s(vσ(1), ..., vσ(p))t(vp+1, ..., vp+q)

+k−1∑i=1

∑σ∈Rρi

H

sig(σ)s(vσ(1), ..., vσ(p))t(vσ(p+1), ..., vσ(p+q)).

Por una parte, de acuerdo con la hipotesis sobre s,∑σ∈H'Σp

sig(σ)s(vσ(1), ..., vσ(p))t(vp+1, ..., vp+q)

= p! Alt(s)(v1, ..., vp)t(vp+1, ..., vp+q) = 0;

y por otra, si σ ∈ RρiH es que σ = π ρi para algun π ∈ H, encuyo caso sig(σ) = sig(π)sig(ρi) y si ponemos vρi(1), ..., vρi(p+q) =


u1, ..., up+q resultara

k−1∑i=1

∑σ=πρi

π∈H

sig(σ)s(vσ(1), ..., vσ(p))t(vσ(p+1), ..., vσ(p+q))

=k−1∑i=1

sig(ρi)∑π∈H

sig(π)s(uπ(1), ..., uπ(p))t(up+1, ..., up+q)

=k−1∑i=1

sig(ρi)t(up+1, ..., up+q)p! Alt(s)(u1, ..., up) = 0.

Ası, Alt(s⊗t) = 0; el caso Alt(t⊗s) = 0 se prueba de manera analoga.Para la parte (2), considerar que, de acuerdo con la idempotencia deloperador Alt (vease la proposicion 179):

Alt(Alt(s⊗ t)− s⊗ t) = 0.

Por tanto, aplicando la parte (1):

0 = Alt((Alt(s⊗ t)− s⊗ t)⊗ z)= Alt((Alt(s⊗ t)⊗ z)−Alt(s⊗ t⊗ z).

Por ultimo, la parte (3) se prueba como sigue. Sea τ la permutacionde Σp+q dada por

(τ(1), ..., τ(p), τ(p+ 1), ..., τ(p+ q)) = (p+ 1, ..., p+ q, 1, ..., p);

es claro que sig(τ) = (−1)pq. Se tiene que (t ⊗ s)τ = s ⊗ t, pues siv1, ..., vp+q ∈ V :

(t⊗ s)τ (v1, ..., vp+q) = (t⊗ s)(vp+1, ..., vp+q, v1, ..., vp)= t(vp+1, ..., vp+q)s(v1, ..., vp)= s⊗ t(v1, ..., vp+q).

De aquı, por ser Rτ una biyeccion en Σp+q:

(p+ q)! Alt(s⊗ t) =∑

σ∈Σp+q

sig(σ)(s⊗ t)σ(v1, ..., vp+q)

=∑

σ∈Σp+q

sig(σ)((t⊗ s)τ )σ(v1, ..., vp+q)

= sig(τ)∑

σ∈Σp+q

sig(σ τ)(t⊗ s)στ (v1, ..., vp+q)

= (−1)pq∑

ρ∈Σp+q

sig(ρ)(t⊗ s)ρ(v1, ..., vp+q)

= (−1)pq(p+ q)! Alt(t⊗ s).


Ejercicio 195 Por la definicion de producto exterior aplicada a ω1, ω2 ∈V ∗, se tiene:

ω1 ∧ ω2 =2!

1!1!Alt(ω1 ⊗ ω2) = 2! Alt(ω1 ⊗ ω2).

Supongamos que ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1 ∈ Λp−1(V ) se expresa como

ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1 = (p− 1)!Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp−1),

entonces, por la definicion de ∧:

(ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1) ∧ ωp =(p− 1 + 1)!(p− 1)!1!

Alt(ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1 ⊗ ωp)

=p!

(p− 1)!Alt((p− 1)!Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp−1)⊗ ωp)

= p · (p− 1)!Alt(Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp−1)⊗ ωp),

y, por el ejercicio 186, (2), esto es

(ω1 ∧ · · · ∧ ωp−1) ∧ ωp = p! Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp−1 ⊗ ωp).

Ejercicio 203 Para la parte (1), si existe un t ∈ Λp(V ) tal que t(v1, ..., vp) 6=0, entonces, los v1, ..., vp son linealmente independientes por el corola-rio 173. Recıprocamente, si los v1, ..., vp son linealmente independien-tes forman parte de una base v1, ..., vp, vp+1, ..., vn de V (recuerdesela proposicion 58), luego si ω1, ..., ωn es la base dual,

ω1 ∧ · · · ∧ ωn(v1, ..., vp) = 1 6= 0.

Para la parte (2), supongamos que α1, ..., αp son formas linealmenteindependientes, de modo que formaran parte de una base del dualV ∗, α1, ..., αp, ..., αn. Por el teorema 200, α1 ∧ · · · ∧ αp 6= 0. Parael recıproco, basta considerar que α1 ∧ · · · ∧ αp = 0 siempre que seaαi = αj para algun par de ındices i 6= j; por tanto, si α1∧· · ·∧αp 6= 0es que no hay ningun ındice repetido y, por el teorema, las α1, ..., αp

son parte de una base, luego linealmente independientes.

Ejercicio 204 Basta con probar que kerPB = 0 (ya que es lineal entreespacios con la misma dimension finita, recuerdese la formula de lasdimensiones del ejercicio 64). Si v1 ∧ · · · ∧ vp ∈ Λp(V ∗) es tal quev1 ∧ · · · ∧ vp ∈ kerPB , sera que ω1 ∧ · · · ∧ ωp(v1, ..., vp) = 0, ∀ωi ∈Λ1(V ) = V ∗ con 1 ≤ i ≤ p, luego ζ(v1, ..., vp) = 0 ∀ζ ∈ Λp(V ).Pero entonces, por el corolario 202, los v1, ..., vp serıan linealmentedependientes, de modo que v1 ∧ · · · ∧ vp = 0.


Ejercicio 211 Supongamos que F = 〈k〉 con k ∈ K (estamos utilizandola notacion del ejemplo 42). Entonces, L(k) = λk para cierto λ ∈ K ydado otro elemento cualquiera f ∈ F , que se expresara como f = αk,se tiene (por la linealidad) L(f) = L(αk) = αL(k) = αλk = λf .

Ejercicio 231 Supongamos primero queuini=1 esta positivamente orien-

tada. Sea eini=1 una base ortonormal de V positivamente orientada,

conωi

n

i=1su base dual. Llamemos C = (cji )1≤i,j≤n a la matriz de

cambio de base, de manera que uj = cijei. Se tiene entonces que

g(ui, uj) = cri csjg(er, es) = cri c

sjδrs =

n∑r=1

cri crj .

Matricialmente, esto es U = C>C, donde U = (g(ui, uj))1≤i,j≤n. To-mando determinantes det g(ui, uj) = det g = (detC)2, luego detC =√

det g y por definicion de determinante, siαi

n

i=1es la base dual

de uini=1: √

det g · a1 ∧ · · · ∧ αn = ω1 ∧ · · · ∧ ωn = µ.

Si uini=1 no esta positivamente orientada, entonces u2, u1, u3, u4, ..., un

si lo esta, y se tiene que√det g · a2 ∧ α1 ∧ α3 · · · ∧ αn = −

√det g · a1 ∧ · · · ∧ αn

= ω1 ∧ · · · ∧ ωn = µ.

Ejercicio 237 La parte (1) es inmediata a partir de la definicion. La parte(2) se deduce de la definicion y de (1):

∗(α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p) = ∗(∗α(v1, ..., vn−p) · µ)

= ∗α(v1, ..., vn−p).

Para probar (3), consideremos v1, ..., vn−p−1 ∈ V arbitrarios; enton-ces:

∗(α ∧ v[)(v1, ..., vn−p−1) = ∗(α ∧ v[ ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p−1)

= ∗α(v, v1, ..., vn−p−1)= iv(∗α)(v1, ..., vn−p−1).

Por su parte, para la parte (4) tomamos nuevamente unos vectoresarbitrarios v1, ..., vn−p+1 ∈ V y aplicamos (2):

(∗ivα)(v1, ..., vn−p+1) = ∗(ivα ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p+1),


pero como α∧v[1∧· · ·∧v[

n−p+1 ∈ Λn+1(V ) = 0 y iv es una derivacionde grado −1 en Λ(V ):

0 = iv(α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p+1)

= ivα ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

n−p+1 +n−p+1∑

j=1

(−1)p+j−1α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ ivv[

j ∧ · · · ∧ v[n−p+1,

de donde

ivα∧v[1∧· · ·∧v[

n−p+1 =n−p+1∑

j=1

(−1)p+jv[(vj)α∧v[1∧· · ·∧v[

j∧· · ·∧v[n−p+1,

y sustituyendo:

(∗ivα)(v1, ..., vn−p+1) = ∗

n−p+1∑j=1

(−1)p+jv[(vj)α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

j ∧ · · · ∧ v[n−p+1

.

Por otra parte,

(−1)n−1(∗α) ∧ v[(v1, ..., vn−p+1)

=n−p+1∑

j=1

(−1)n−1(−1)n−p+1−j(∗α)(v1, ..., vj , ..., vn−p+1)v[(vj)

= ∗

n−p+1∑j=1

(−1)p+jv[(vj)α ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

j ∧ · · · ∧ v[n−p+1

,

luego∗ivα = (−1)n−1(∗α) ∧ v[.

Con esto, la parte (5) resulta de aplicar reiteradamente (4) y (2):

(∗ ∗ α)(v1, ..., vp) = ∗((∗α) ∧ v[1 ∧ · · · ∧ v[

p)

= ∗((−1)n−1(∗iv1α) ∧ v[2 ∧ · · · ∧ v[

p)

= · · ·= ∗((−1)p(n−1) ∗ ivp · · · iv1α)

= (−1)p(n−1) ∗ ∗(ivp · · · iv1α)

= (−1)p(n−1) ∗ ((ivp · · · iv1α) · µ)

= (−1)p(n−1)ivp · · · iv1α.

Por ultimo, probaremos (6) teniendo en cuenta que, como ∧ y ∗ sonlineales, basta con hacer la prueba para el caso en que α, β son ele-mentos descomponibles, esto es,

α = u[1 ∧ · · · ∧ u[

p,

β = v[1 ∧ · · · ∧ v[

p,


para unos ciertos ui, vi ∈ V, 1 ≤ i ≤ p. Se tiene entonces:

α ∧ ∗β = (−1)p(n−p) ∗ β ∧ α= (−1)p(n−p) ∗ (v[

1 ∧ · · · ∧ v[p) ∧ u[

1 ∧ · · · ∧ u[p,

y aplicando (4):

α ∧ ∗β = (−1)p(n−p)(−1)n−1(∗iu1(v[1 ∧ · · · ∧ v[

p)) ∧ u[2 ∧ · · · ∧ u[

p

= · · ·= (−1)p(n−p)(−1)p(n−1) ∗ (iup · · · iu1(v

[1 ∧ · · · ∧ v[

p))

= (−1)p(p+1)v[1 ∧ · · · ∧ v[

p(u1, ..., up) · µ.

Ahora bien, uno de entre p, p+1 es par, de modo que (−1)p(p+1) = 1y queda, deshaciendo el argumento:

α ∧ ∗β = v[1 ∧ · · · ∧ v[

p(u1, ..., up) · µ

= u[1 ∧ · · · ∧ u[

p(v1, ..., vp) · µ= β ∧ ∗α.

Nota importante: Observemos que en la demostracion de (6) se haobtenido ademas la expresion

α ∧ ∗β = v[1 ∧ · · · ∧ v[

p(u1, ..., up) · µ

= det(v[i (uj)) · µ.

Apendice CProblemas propuestos

Por diversas razones, entre ellas la adecuacion al ritmo de desarrollo delos temas en el aula, el orden y la clasificacion de los problemas en seccionesno se corresponde exactamente con los de los temas teoricos expuestos enel texto. La divergencia sin embargo es mınima y el estudiante deberıaatacar tras leer un determinado tema aquellos problemas cuyo enunciadopuede comprender, pues en ese caso seguro que ya tiene a su disposicion lasherramientas necesarias para resolverlo. La idea es que los encabezamientosde las secciones de problemas den una pista sobre el tipo de resultadosteoricos que se deben aplicar en la resolucion.

C.1. Preliminares

C.1.1. Grupos

1. Comprobar en cada uno de los casos siguientes si se trata o no de ungrupo:

i) El conjunto N para la ley a ∗ b = |b− a|.ii) El conjunto N∗ para la ley a ∗ b = mcd(a, b).

iii) El conjunto Q∗ para la ley a ∗ b = ab2 .

2. Sean H y K dos subgrupos de un grupo G. Demostrar:

i) H ∪K es subgrupo de G si y solo si H ⊆ K o K ⊆ H.

88 Apendice C. Problemas propuestos

ii) Si H y K son propios, entonces G 6= H ∪K.

3. Escribir la tabla de composicion de todos los posibles grupos de orden3. Hacer lo mismo para orden 4.

4. Construir la tabla de composicion de∑

3 y obtener todos los subgru-pos.

5. En el grupo (Z,+) justificar que todos los subgrupos propios son dela forma aZ = ar : r ∈ Z con a ∈ Z y a > 1. Calcular las claseslaterales de aZ en Z.

6. Sean Gf−→ G′

g−→ G′′ morfismos de grupos. Demuestrese que g fes tambien morfismo.

7. Justificar que si f es un isomorfismo de grupos, f−1 tambien lo es.

8. Dar un ejemplo de dos grupos del mismo orden que no sean isomorfos.

9. Demostrar que si G es un grupo finito de orden n, entonces xn = e,∀x ∈ G.

10. Sea

σ =(

1 2 3 4 5 6 7 83 4 1 6 8 2 7 5

)∈

∑8.

Hallar el orden del subgrupo generado por σ. Calcular σ250 y calcularla signatura de σ.

11. Dadas las permutaciones de∑

6,

σ =(

1 2 3 4 5 64 2 5 1 3 6

)y τ =

(1 2 3 4 5 63 2 1 4 6 5

),

hallar una permutacion β de∑

6 tal que β σ = τ β. ¿Es β unica?.

C.1.2. Anillos

1. Dado n ∈ N∗, justificar que el grupo (Z/nZ,+) puede dotarse conestructura de anillo unitario con la ley x · y = xy. Caracterizar loselementos invertibles y demostrar que Z/nZ es cuerpo si y solo si nes primo.

2. Sea A un anillo y sean a y b dos elementos suyos que conmuitan entresi. Justifıquese que se verifica la siguiente igualdad (conocida como“binomio de Newton”):

(a+ b)n = an +∑

1≤i≤n−1

(n

i

)an−ibi + bn.

C.2 Espacios vectoriales 89

3. Sean A y B dos anillos. Justifıquese que el producto cartesiano A×Bpara las leyes

(a, b) + (a′, b′) = (a+A a′, b+B b′)(a, b) · (a′, b′) = (a ·A a′, b′ ·B b)

constituye un anillo (denominado anillo producto). Estudiar la exis-tencia de neutro para la segunda ley y de divisores de cero.

4. Dar un ejemplo de dos anillos unitarios y un morfismo f entre ellosde manera que f(1) 6= 1.

5. Sean Af−→ A′

g−→ A′′ morfismos de anillos. Justifıquese que g ftambien lo es.

6. Si A es un anillo conmutativo de caracterıstica prima p, demuestreseque la aplicacion

A −→ A

a 7−→ ap

es un endomorfismo de anillos.

7. Consideremos en el anillo Z/12Z los subconjuntos H = 0, 4, 8 yK = 0, 2, 4, 6, 8, 10. Compruebese que ambos son subanillos. ¿Sontambien ideales?. Hallense en cada uno de ellos los divisores de cero.Compruebese si alguno de ellos es unitario.

8. Comprobar que Zy 2Z son isomorfos como grupos, pero no lo soncomo anillos.

C.2. Espacios vectoriales

C.2.1. Espacios vectoriales y subespacios

1. Estudiar la posible estructura de espacio vectorial en cada uno de loscasos siguientes.

i) En R3 sobre los reales para las leyes

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′)λ(x, y, z) = (x, y, z).

ii) En R3 sobre los reales para las leyes

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′)λ(x, y, z) = (λx, y, z).


iii) El conjunto R[X] de los polinomios en la indeterminada X concoeficientes reales, sobre R, para la suma habitual de polinomiosy el producto habitual de un numero real por un polinomio.

iv) El conjunto V de las aplicaciones de R en R sobre el cuerpo Rpara las leyes

f + g : R → Rx 7→ f(x) + g(x)

λf : R → Rx 7→ λf(x).

v) El conjunto V1 × · · · × Vn sobre el cuerpo K, siendo cada Vi unK−espacio vectorial para las leyes

(v1, ..., vn) + (v′1, ..., v′n) = (v1 + (v′1, ..., vn + v′n)

λ(v1, ..., vn) = (λv1, ..., λvn).

2. Estudiar si los siguientes subconjuntos de Rn son subespacios vecto-riales (con las operaciones usuales).

i) S1 = (1, x2, ..., xn) : xi ∈ R.ii) S2 = (0, x2, ..., xn) : xi ∈ R.iii) S3 = (x1, x1, x3, ..., xn) : xi ∈ R.iv) S4 = (x1, x2, ..., xn) : x1 + · · ·+ xn = 0.v) S5 = (x1, x2, ..., xn) : x1x2 = 0.

3. Pruebese que el grupo abeliano (R2,+) no admite estructura deR−espacio vectorial para las siguientes leyes externas.

i) λ(x, y) = (λx2, λy)

ii) λ(x, y) = (λ3x, λ3y)

iii) λ(x, y) = (λy, λx)

iv) λ(x, y) = (λx, 0).

4. Estudiar la posible estructura de subespacio vectorial en cada uno delos casos siguientes y obtener cuando corresponda una base.

i) En R[X] los polinomios de grado menor o igual que un numeronatural dado n.

ii) El conjunto de polinomios de R[X] divisibles por x2 + 1.


iii) Cada uno de los siguientes subconjuntos de Kn, siendo K uncuerpo:

A = (x1, ..., xn) ∈ Kn :∑

1≤i≤n

xi = 0

B = (x1, ..., xn) ∈ Kn :∑

1≤i≤n

xi = 1

C = (x1, ..., xn) ∈ Kn :∏

1≤i≤n−1

xi = xn

D = (x1, ..., xn) ∈ Kn : xi = nxi−1 para 2 ≤ i ≤ n.

5. Determınese cuales de los siguientes subconjuntos de R3 son subes-pacios.

i) A = (x, 0, z) : x, z ∈ Rii) B = (x, y, 2) : x, y ∈ Riii) C = (x, y, z) : x, y, z ∈ Ziv) D = (2x, x,−3x) : x ∈ Rv) E = (x, y, z) : 2x+ y + z = 4vi) F = (x, y, z) : 2x+ y + z = 0.

6. Se denota por Rn[X] el espacio de los polinomios con coeficientesreales de grado menor o igual que n. Establezcase razonadamentecuales de los siguientes subconjuntos son subespacios de Rn[X].

i) A = p(x) : δp = n ∪ p(x) ≡ 0.ii) B el conjunto de todos los polinomios con termino constante igual

a 0.

iii) C el conjunto de todos los polinomios que se anulan en c1, c2, ..., ckcon k < n.

iv) D el conjunto de todos los polinomios multiplos de un p(x) ∈Rn[X] dado.

v) E el conjunto de todos los polinomios cuyo valor en c ∈ R es 1.

vi) F el conjunto de todos los polinomios tales que 3p(0)+ p(1) = 1.

vii) G el conjunto de todos los polinomios tales que 3p(0)+p(1) = 0.

7. Una funcion f : [a, b] → R se dice que es escalonada si existen nume-ros a0 = a < a1 < · · · < an = b tales que para cada i ∈ 1, ..., n larestriccion de f al intervalo ]ai−1, ai[ (denotada f |]ai−1,ai[

) es constan-te. Sea E[a,b] el conjunto de las funciones escalonadas definidas sobre[a, b]. Pruebese que E[a,b] con la suma de funciones y el producto porun escalar habituales es un R−espacio vectorial.


8. En el R−espacio vectorial E = C2(R) de las funciones reales de va-riable real de clase 2, se considera el subconjunto

F = f ∈ E : f ′′ + af ′ + bf = 0.

Pruebese que F ≤ E.

9. Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para que la unionde dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V sea un sub-espacio, es que uno de ellos este contenido en el otro.

10. Se considera el subconjunto de los numeros reales dado por

W = a+ b√

2 + c√

3 : a, b, c ∈ Q.

Demuestrese que W es un subespacio vectorial de R con las opera-ciones inducidas. Dar una base y la dimension.

11. Pruebese que (Z,+) no puede admitir ninguna estructura de Q−espaciovectorial.

12. Pruebese que (Q,+) no puede admitir ninguna estructura de R−espaciovectorial.

13. Pruebese que (Z,+) no puede admitir ninguna estructura de R−espaciovectorial.

14. Construir un espacio vectorial con 9 elementos. Construir un espaciovectorial con pn elementos (p primo).

C.2.2. Dependencia e independencia lineal

1. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes sis-temas de vectores.

i) (0, 1,−2, 1), (−1, 7, 2,−4), (1, 3, 2,−1), (1, 0, 0, 1) en R4 sobre R.

ii) (i,−i, i,−i), (1, 1, 1, 1), (1 + i,−i, 1,−i) en C4 sobre C.

iii) x+ x3, 1− x2 + x3, x3,−1 + 2x+ x2 + 2x3 en R[X] sobre R.

iv) x2n + x2n+1 : n ∈ N en R[X] sobre R.

2. Compruebese si son libres o ligados los siguientes sistemas de vectoresen R3, encontrando la relacion de dependencia lineal en su caso.

i) F1 = (1, 0,−2), (−1, 1, 3), (1, 2, 0).ii) F2 = (1,−1, 3), (0,−1, 2).


3. En el espacio vectorial P4(x) de los polinomios de grado menor o igualque 4 con coeficientes reales, compruebese si

P1 = 3 + x4, P2 = 5− x− x2, P3 = 2x3, P4 = x+ 2x4

forman un sistema libre.

4. Sea E el R−espacio vectorial E = RR de las funciones reales devariable real. Determınese la dependencia o independencia lineal delas siguientes familias.

i) F1 = 1, eax, ebx : a 6= b, a 6= 0, b 6= 0.ii) F2 = eax, xeax, x2eax : a ∈ R.iii) F3 = ex, xe−x, coshx.iv) F4 = ex cosx, e−x sinx.

5. Compruebese que los vectores u1 = (1, 0,−2, 5), u2 = (2, 1,−1, 4) yu3 = (−1, 2, 0, 2) en Q4 son linealmente independientes.

6. Sean E = RR y los vectores f1(x) = sinx, f2(x) = cosx, f3(x) =sin 2x.

i) Demostrar que f1, f2, f3 es un sistema linealmente independien-te.

ii) ¿Es x, sinx, cosx, sin 2x linealmente dependiente?

C.2.3. Sistemas generadores. Bases

1. Determınense a y b para que −→u = (1, 0, a, b) pertenezca a 〈F 〉, conF = (1, 4,−5, 2), (1, 2, 3,−1). El vector (2, 4, 6,−2), ¿es combina-cion lineal de −→u ?.

2. En R3 se consideran A = (1, 1, 1), (0, 1, 0) y B = (2, 3, 2), (1, 0, 1).Compruebese que 〈A〉 = 〈B〉.

3. En Rn se pide hallar las ecuaciones del subespacio vectorial W = 〈S〉,donde

S = −→v 1 = (1,−1, 0, 0),−→v 2 = (0, 1, 1, 0),−→v 3 = (2,−1, 1, 0),−→v 4 = (3,−3, 0, 0).

¿Pertenece el vector (1, 1, 1, 0) al subespacio W?.

4. En el espacio vectorial real Rn[X] se consideran unos polinomiosp0, ..., pn tales que δpk = k para k ∈ 0, 1, ..., n. Pruebese queentonces forman una base de Rn[X].


5. En R3[X] se consideran p0(x) = 1, p1(x) = x + 1, p2(x) = (x + 1)2,p3(x) = (x+ 1)3.

i) Pruebese que B = p0, p1, p2, p3 es base de R3[X].

ii) Hallar en esa base las coordenadas del polinomio p(x) = 2x3 +x2 − 4x− 4.

6. Se considera el sistema libre −→u 1, ...,−→u n con n 6= 1.

i) ¿Como es el sistema −→u 1 − −→u 2,−→u 2 − −→u 3, ...,

−→u n−1 − −→u n,−→u n −−→u 1?

ii) ¿Como es el sistema −→u 1 +−→u 2,−→u 2 +−→u 3, ...,

−→u n−1 +−→u n,−→u n +

−→u 1?

7. Pruebese:

i) Todo sistema que contiene al−→0 es ligado.

ii) Todo sistema F = −→u , con −→u 6= −→0 , es libre.

iii) Si a un sistema ligado se le anade un vector, resulta un sistemaligado.

iv) Si a un sistema libre se le quita un vector, resulta un sistemalibre.

8. Considerese P3(x). Discutir segun los valores de a, b, c la dependencialineal de

−→u 1 = 2x3 − 5x2 + 4x− c−→u 2 = −x3 + x2 + 3x+ 2−→u 3 = x3 − 2x2 + ax+ b.

9. Probar que S = (x, y, z) : x− 3y+ z = 0 es subespacio vectorial deR3 y dar una base. ¿Es G = (1, 1, 2), (−1, 0, 1), (2, 1, 1) un sistemagenerador de S?.

10. Se considera el subconjunto S ⊂ Rn formado por las n−tuplas cuyoselementos estan, consecutivamente, en progresion aritmetica. Pruebe-se que S ≤ Rn y determınese una base. ¿Cuales son las coordenadasdel vector (2, 4, 6, ..., 2n) respecto a la base hallada?.

11. Hallese la dimension y una base del espacio vectorial C2 sobre R,denotado C2(R).

12. Consideremos en R3 el subconjunto S formado por los elementos dela forma (1, 1, z). Calculese una base de 〈S〉.


13. Sea el cuerpo K = Z/5Z ≡ Z5. Calcular el numero de vectores en K3

y obtener v + v + v + v + v siendo un vector de K3.

14. Sea K = Z/3Z ≡ Z3 el cuerpo de las clases de restos modulo 3. Seconsidera el espacio vectorial de las n−tuplas sobre K, Kn = Zn

3 .

i) ¿Cuantos vectores hay en este espacio?

ii) Siendo −→u ∈ Zn3 , ¿que puede decirse de 3−→u ?

iii) Expresar (0, 0, 2) como combinacion lineal de (1, 1, 1) y (1, 1, 2).

15. Se considera el Z3−espacio vectorial Z33. Se pide:

i) Probar que un subconjunto S ⊂ Z33 es subespacio vectorial si y

solo si es un subgrupo.

ii) Hallar el numero de subespacios de Z33.

iii) Hallar el numero de bases de Z33.

16. En el espacio R3 hallese una base que contenga al vector (1, 1, 1).

17. En R2[X] sea M el subespacio generado por el sistema

F = x2 − 1, x+ 1, 3x2 − 7x− 10.

Hallese una base de R2[X] que contenga una base de M . ¿Cuales sonlas coordenadas de p(x) = x en la base hallada?.

18. En R4 se consideran −→u 1 = (1,−2, 1, 3), −→u 2 = (2,−4, 0, 2), −→u 3 =(3,−6, 1, 5), −→u 4 = (2,−4,−4,−6). Se pide:

i) Determinar si −→u 1,−→u 2,

−→u 3,−→u 4 son o no linealmente independien-

tes.

ii) Dimension y una base de L = 〈−→u 1,−→u 2,

−→u 3,−→u 4〉.

iii) Formar combinaciones lineales nulas no triviales, en caso de queexistan.

iv) Ecuaciones implıcitas de L = 〈−→u 1,−→u 2,

−→u 3,−→u 4〉.

v) Coordenadas de los vectores dados respecto de la base hallada enii).

vi) Prolongacion de una base de L a una base de R4.

19. En el Q−espacio vectorial Q3 se pide la dimension, una base con-tenida en el sistema de genradores y unas ecuaciones implıcitas delsubespacio generado por el sistema

−→v 1,−→v 2,

−→v 3 = (2,−1,−2), (4,−3,−2), (−2, 5,−6).


C.2.4. Espacios suplementarios

1. Sean H y T dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial Vsobre un cuerpo K. Demuestrese que

dimK(H + T ) = dimK(H) + dimK(T )− dimK(H ∩ T ).

2. En Q3 como espacio vectorial sobre el cuerpo Q, consideremos lossubespacios H = (x, y, z) ∈ Q3 : x = 0 y T = 〈(1, 1, 1), (1, 2, 3)〉.Hallese una base de H ∩ T y otra de H + T .

3. Probar que todo subespacio vectorial propio de un espacio vectorialposee al menos un suplementario.

4. Consideremos el subespacio de R3 dado por H = (x, y, z) ∈ R3 : z =0. Hallense dos suplementarios distintos de H en R3.

5. En el espacio vectorial V de las aplicaciones de R en R compruebeseque los conjuntos H = f ∈ V : f(−x) = f(x),∀x ∈ R y T = f ∈V : f(−x) = −f(x),∀x ∈ R son subespacios suplementarios.

C.2.5. Espacio vectorial cociente

1. En R3 se considera −→a = (1, 1, 1). En el conjunto A de los vectoresuno a uno independientes con −→a , se define la relacion

−→xR−→y sii −→a ,−→x ,−→y es un sistema ligado.

i) Compruebese que R es una relacion binaria de equivalencia.

ii) Calcular [−→v ] si −→v = (1, 2, 1).

iii) ¿Como son las clases de equivalencia?.

2. Consideremos en R4 el subespacio H = (x, y, z, t) ∈ R4 : 2x − y +z + 2t = 0. Hallese una base del espacio vectorial cociente R4/H.

3. En R3 se considera el subespacio vectorial

L = 〈−→v 1,−→v 2,

−→v 3〉 = 〈(2, 0,−1), (1, 2, 0), (0, 4, 1)〉 .

Se pide determinar una base de E = R3/L y las coordenadas respectoa ella de −→a + L = [−→a ], siendo −→a = (1, 1, 1).

4. En R3 se considera el subespacio vectorial

S = 〈−→v 1,−→v 2,

−→v 3,−→v 4〉

= 〈(−1, 3, 1, 4), (1, 0, 2, 5), (2,−3, 1, 1), (1,−2, 0,−1)〉 .

Se pide determinar una base de E = R4/S y las coordenadas respectoa ella de −→a + S = [−→a ], siendo −→a = (1, 2, 3, 4).

C.3 Aplicaciones lineales 97

5. En Q4 se considera el subespacio

T = 〈−→v 1,−→v 2,

−→v 3,−→v 4〉

= 〈(1, 1,−1,−1), (1,−4,−3, 1), (3,−2,−5,−1), (2,−3,−4, 0)〉 .

Se pide determinar una base de E = Q4/T y las coordenadas respectoa ella de −→a + T = [−→a ], siendo −→a = (1,−4, 0, 1).

6. Sea V un espacio vectorial real y B = −→e 1,−→e 2,

−→e 3,−→e 4 una base su-

ya. Se considera el subespacio F = 〈−→v 1,−→v 2,

−→v 3,−→v 4〉 donde, en la

base B, −→v 1 = (2,−4,−3, 2), −→v 2 = (−1, 2, 0, 5), −→v 3 = (1,−2,−2, 3),−→v 4 = (3,−6,−4, 1). Se pide: determinar una base de E = V/L y elvalor de m para que los vectores −→a = (2, 3, 0,−1),

−→b = (1,m, 1, 0)

esten en la misma clase de E.

C.3. Aplicaciones lineales

C.3.1. Primeras definiciones y propiedades

1. Estudiar en cada uno de los casos siguientes si se trata o no de unaaplicacion lineal.

i) hα : V → V dada por hα(v) = αv, donde V es un K−espaciovectorial y α ∈ K.

ii) tw : V → V dada por tw(v) = v + w, donde V es un K−espaciovectorial y w ∈ V .

iii) πi : Kn → K dada por πi(x1, ..., xn) = xi donde K es un cuerpoe i ∈ 1, ..., n.

iv) f : R3 → R3 dada por f(x, y, z) = (2x− z, y + z, x).v) g : R3 → R4 dada por g(x, y, z) = (x− z, 2x, 4z − y, z).vi) h :: R3 → R2 dada por h(x, y, z) = (x− y, x− z).

2. Analizar la inyectividad y suprayectividad de cada una de las aplica-ciones lineales del problema anterior y calcula bases de ker f e Im f .Si alguna de ellas es invertible, obtener la aplicacion inversa.

3. Sea f ∈ HomK(V, V ′) y dimK V = dimK V′. Justifıquese que f es

inyectiva si y solo si es suprayectiva.

4. Estudiar, segun los valores de λ el rango de la aplicacion f ∈ HomR(R3,R3)definida por

f(x, y, z) = (x− y + λz, x+ λy − z,−λx+ y + z).

5. Sea f ∈ HomK(V, V ′). Si f(v) = v′, pruebese que f−1(v′) = v+ker f .


C.3.2. Teoremas fundamentales

1. Encontrar un f ∈ EndR(R3) tal que ker f = 〈(0, 0, 1)〉 e Im f =(x, y, z) ∈ R3 : z = 0.

2. Sea λ ∈ R y f ∈ EndR(R3) tal que

f(x, y, z) = (3x+ 4y + z, 2x+ 6y + 3z, x+ 3y + λz).

Analıcese para que valores de λ es f ∈ AutR(R3).

3. Encontrar un f ∈ EndR(R4) que verifique las siguientes condiciones:f2 = 0dim Im f = 2(1, 0, 0, 2) ∈ Im f(0, 1, 1, 0) ∈ ker f.

C.3.3. Aplicaciones lineales y matrices

1. Dada una matriz cuadrada A = (aij)1≤i,j≤n (i ındice de fila, j ındice

de columna) con coeficientes en un cuerpo K, recordamos que se llamamatriz traspuesta AT a aquella con componentes AT = (aj

i )1≤i,j≤n

(es decir, se obtiene de A intercambiando filas con columnas). Tam-bien recordamos que la traza de una matriz es la suma de los terminosde su diagonal principal. Demuestrese:

i) tr(λA) = λtr(A), ∀λ ∈ K.

ii) tr(A+B) = tr(A) + tr(B), ∀B ∈Matn(K).

iii) tr(AB) = tr(BA), ∀B ∈Matn(K).

iv) tr(A) = tr(AT ).

2. Calcular la potencia n−sima de la matriz

A =

1 0 01 1 01 1 1

.3. Sea A ∈ Matn(K). Demuestrese que las matrices A + AT , AAT yATA son simetricas y la matriz A−AT es antisimetrica.

4. Sea S el conjunto de las matrices simetricas del espacio vectorialMatn(K) y H el de las hemisimetricas (o antisimetricas). Demuestre-se que si K es de caracterıstica distinta de 2 entonces Matn(K) =S ⊕H.

C.4 Espacio dual 99

5. Demostrar que el producto de dos matrices simetricas no necesaria-mente es una matriz simetrica. Obtener una condicion necesaria y su-ficiente para que el producto de dos matrices simetricas sea simetrica.Idem con matrices antisimetricas.

6. Dada una forma bilineal con matriz asociada B en el K−espacio vec-torial V , se dice que un f ∈ EndK(V ) es B−ortogonal (o simplementeortogonal si se sobreentiende B) si para todos u, v ∈ V se cumple

B(f(u), f(v)) = B(u, v).

Si A es la matriz de f ∈ EndK(V ), probar que f es ortogonal si y solosi ATBA = B = ABAT .

7. Como caso particular del problema precedente, una matrizA ∈Matn(K)se dice que es ortogonal (se sobreentiende respecto a la metrica eu-clidea) si y solo si ATA = Idn = AAT . Compruebese que las matricesortogonales de Matn(K) forman un subgrupo de GLn(K), denotadoOn(K).

8. Sean B = (1, 1), (1, 0) una base de R2 y B′ = (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)una base de R3. Sea f ∈ HomR(R2,R3) tal que

f(x, y) = (2x− y, x+ y, x− y).

Calcular la matriz de f en esas bases, MBB′(f), y dimR ker f .

9. Sea f ∈ HomR(R2,R4) tal que

f(2,−1) = (1, 0,−1, 3)f(4, 1) = (2,−2, 3, 1).

Calcular la matriz asociada a f respecto a las bases canonicas de R2

y R4 respectivamente.

C.4. Espacio dual

1. En el espacio vectorial (R3)∗ se consideran los vectores u1, u2, u3 de-finidos segun su actuacion en R3:

u1(x, y, z) = 2x− y + z

u2(x, y, z) = x+ 2y

u3(x, y, z) = x+ y + z.

i) Compruebese que forman una base de (R3)∗ y calcular una basede R3 cuya dual sea la u1, u2, u3.


ii) Encuentrense las coordenadas en la base u1, u2, u3 de un ele-mento f ∈ (R3)∗ tal que

f(x, y, z) = 2z.

2. Sean V un espacio vectorial real, B = e1, e2 una base de V yψ1, ψ2 ∈ V ∗ tales que verifican

ψ1(e1) = 2

ψ1(e2) = −3

ψ2(e1) = 3

ψ2(e2) = −5.

Justifıquese que ψ1, ψ2 es una base de V ∗ y hallar una base de Vde manera que esta sea su base dual.

3. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean H y T dossubespacios vectoriales. Demuestrese que si V = H ⊕ T entoncesV ∗ = H ⊕ T .

4. Sea V un espacio vectorial real y B = e1, e2, e3, e4 una base deV . Sea L el subespacio vectorial de V formado por los vectores cu-yas coordenadas en la base B verifican las siguientes ecuaciones pa-rametricas:

x1 = λ− 2µx2 = 3λ+ µx3 = 2λ+ 5µx4 = −λ+ µ.

,∀λ, µ ∈ R.

Calculese L.

C.5. Formas bilineales

C.5.1. Metricas: ortogonalidad e incidencia

1. Justificar que en el espacio vectorial real Rn la siguiente aplicacionconstituye un producto escalar para el que la base canonica es orto-normal:

〈., .〉 : Rn × Rn −→ Rn

(x = (x1, ..., xn),y = (x1, ..., xn)) 7→ 〈x,y〉 =∑

1≤i≤n

xiyi

C.5 Formas bilineales 101

2. En el espacio vectorial real Matn(R), justifıquese que la siguienteaplicacion constituye un producto escalar:

T : Matn(R)×Matn(R) →Matn(R)(A,B) 7−→ tr(A ·BT )

3. Sea V un espacio vectorial real y ui31=1 una base de V . Supongamosque f es una forma bilineal simetrica sobre V verificando f(ui, ui) = 1 para 1 ≤ i ≤ 3

f(u1, u2) = f(u1, u3) = 0f(u2, u3) = −1.

Estudiese si se trata o no de un producto escalar.

4. Sea V un espacio vectorial euclideo cuya matriz metrica respecto deuna base B tiene por expresion

M =

1 1 11 2 21 2 3

.Si W es el subespacio vectorial de V cuyas ecuaciones en B son x1 =x2 = −x3, calculese una base ortonormal de W⊥. Si v es un vectorcon coordenadas en B (1, 0, 1), determınese su proyeccon ortogonalsobre W .

5. Algun problema sobre incidencia, subespacios hiperbolicos, etc...

C.5.2. Aplicaciones ortogonales. Angulos

1. Sea f un endomorfismo de R2 cuya matriz asociada en la base canoni-ca es

f ≡

[ √3

2 − 12

12

√3

2

].

Consideremos en R2 el producto escalar habitual. Estudiese si f es ono una transformacion ortogonal.

2. Sea B = ei1≤i≤3 una base ortonormal de R3 y sea f ∈ GL(R3) talque

f(e1) = e2, f(e2) = e3, f(e3) = e1.

Estudiese si f es o no una transformacion ortogonal.

3. Sean B = ei1≤i≤n y B′ = e′i1≤i≤n dos bases ortonormales de unespacio vectorial euclideo V . Demuestrese:


i) Si B y B′ estan igualmente orientadas, ∃!f ∈ O+(V ) : f(ei) = e′i.

ii) Si B y B′ tienen opuesta orientacion, ∃!f ∈ O−(V ) : f(ei) = e′i.

4. Sean u y v dos vectores de un espacio vectorial euclideo orientado dedimension 3; entonces,

‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ |sinα|

donde α = ](u, v) es el angulo que forman u y v.

5. Sean u y v dos vectores no nulos de un espacio vectorial euclideoorientado. Demuestrese que son ortogonales si y solo si forman unangulo recto.

6. Si α es un angulo no recto definimos su tangente como

tanα =sinαcosα

.

Demuestrense, cuando tengan sentido, las siguientes identidades tri-gonometricas:

i) cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ

ii) sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

iii) tan(α+ β) = tan α+tan β1−tan α tan β

7. Sea V un espacio vectorial euclideo de dimension 2. Sea B = e1, e2una base de V de manera que la matriz metrica respecto de B es[

3 11 1

].

Si u = 2e1 + 3e2 y v = 4e1 − e2, calculese el coseno del angulo queforman u y v.

C.5.3. Orientacion. Operador ∗ de Hodge

1. Sea V un espacio vectorial euclideo orientado de dimension 3. De-mostrar que si u y v son dos vectores cualesquiera de V , entonces

‖u× v‖2 + (u · v)2 = ‖u‖2 ‖v‖2 .

2. Sea V un espacio vectorial euclideo orientado de dimension 3. Jus-tifıquese qe si u, v es un sistema ortonormal entonces u, v, u× ves una base ortonormal positiva.

C.6 Algebra Multilineal 103

C.6. Algebra Multilineal

C.6.1. Tensores

1. Estudiar la posible naturaleza tensorial del sistema de segundo ordendenominado “delta de Kronecker”, construıdo sobre un espacio vec-torial V de dimension n y cuyas componentes respecto de cualquierbase toman los valores de la matriz unidad Idn, es decir:

λ(i, j) =

1 si i = j0 si i 6= j.

2. Sea V un espacio vectorial real de dimension 2 y sean H,T ∈ T2(V )de manera que respecto a una base B de V se tiene

Tij =[

1 20 1

],Hij =

[2 01 1

](i fila, j columna).

Si consideramos en V una base B′ de manera que

MB′B (IdV ) =

[1 31 −1

],

obtener las coordenadas del tensor Sij = Tij − 2Hij respecto de labase asociada a B′.

3. Sea V un espacio vectorial de dimension 2 sobre un cuerpo K. SeaB = e1, e2 una base de V y sea T ∈ T 1

2 (V ) un tensor de maneraque

T = 2e1 ⊗ e1 ⊗ e1 − e1 ⊗ e1 ⊗ e2 + 3e1 ⊗ e2 ⊗ e2

− 2e2 ⊗ e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e2 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 ⊗ e2.

Sea B′ = u1, u2 otra base de V verificando e1 = 3u1 − u2 y e2 =u1 + u2. Calcular la expresion de T en la base asociada a la base B′.

4. Sea V1 un espacio vectorial real de dimension 2 y V2 otro espaciovectorial real de dimension 3. Sean B1 = e1, e2 y B′1 = e′1, e′2bases de V1 tales que

e′1 = 2e1 − e2

e′2 = 3e1 + e2.

Sean tambien B2 = d1, d2, d3 y B′2 = d′1, d′2, d′3 bases de V2 talesque

d1 = d′1 − 2d′2d2 = d′1 + 4d′3d3 = d′2 + d′3.


Compruebese que los sistemas

B = ei ⊗ dj : 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3B′ = e′i ⊗ d′j : 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3

forman una base del espacio vectorial L(V ∗1 × V ∗2 ). Si

F = 2e1 ⊗ d1 − e1 ⊗ d3 − 3e2 ⊗ d2,

obtener sus coordenadas en la base B′.

5. Sea B = e1, e2, e3 una base de un espacio vectorial real V . Con-sideremos los tensores T , H ∈ T 2

1 (V ) cuyas coordenadas en la baseasociada a la B son

T ijk =

1 0 02 1 00 0 1

1 1 11 0 01 0 1

−1 0 00 −1 00 0 3

Hijk =

1 0 00 1 00 0 1

0 0 00 0 00 0 1

0 0 20 2 02 0 1

,

i filaj columnak matriz

.

i) Calculese el tensor T +H.ii) Calculense todas las contracciones posibles del tensor T .

6. Sea V un espacio vectorial real de dimension 2 y consideremos lostensores S ∈ T 1

1 (V ) y T ∈ T 21 (V ) cuyas coordenadas en las bases

asociadas a la base B = e1, e2 son

Sij =

[1 02 1

],

i filaj columna

T ijk =

[[1 11 1

] [0 01 0

]],

i filaj columnak matriz

.

Calcular todos los poisbles productos contractos de S por T .

7. Consideremos un tensor de segundo orden contravariante simetricoT ij y otro covariante antisimetrico Hij . Calculese su producto com-pletamente contracto en el caso en que la caracterıstica del cuerpobase sea distinta de 2.

8. Determinar todos los tensores de tercer orden sobre un espacio vecto-rial real (o, en general, un K−espacio vectorial con K de caracterısticadistinta a 2) que son simultaneamente simetricos respecto a los ındices1 y 3, y antisimetricos respecto al 2 y 3.

C.6 Algebra Multilineal 105

C.6.2. Formas multilineales alternadas. Determinantes

1. Sea K un cuerpo de caracterıstica 2. Demuestrese que la aplicacion

F : K×K → K(a, b) 7−→ ab

es bilineal, antisimetrica y no alternada.

2. Sea F una forma bilineal alternada (i.e: una 2−forma) sobre unK−espacio vectorial V y sea f ∈ T1(V ). Consideremos la aplicacion

F ∧ f : V × V × V → K

definida por

F ∧ f(v1, v2, v3) = F (v1, v2)f(v3) + F (v2, v3)f(v1) + F (v3, v1)f(v2).

Se pide:

i) Demostrar que F ∧ f es trilineal alternada (i.e: una 3−forma).

ii) Si V es el R−espacio vectorial R3, la matriz de F asociada a labase canonica es

F =

0 1 −3−1 0 03 0 0

,y f(x, y, z) = x− y, calcular en este caso F ∧ f(v1, v2, v3) comofuncion de las componentes de cada uno de los vectores v1, v2, v3.

3. Calculese el determinante de la siguiente matriz,

A =

1 2 −3 12 0 −2 0−3 5 1 1−2 4 −1 4

.

Indice alfabetico

K−algebra, 16, 37G−graduada, 37Z−graduada, 37, 55

K−algebrasmorfismo, 49

algebrabigraduada, 39exterior, 51, 53tensorial, 39

accionde un grupo, 5

anillo, 5caracterıstica, 6con unidad, 6

aplicacion adjunta, 22aplicacion lineal, 13

imagen, 14matriz asociada, 16nucleo, 14

aplicacion traspuesta, 22, 58

baseortonormal, 34, 64

base canonica, 10, 47, 64, 65

base dual, 19bases relacionadas, 62

convenio de Einstein, 17cuerpo, 6

conmutativo, 6

delta de Kronecker, 17dependencia lineal, 9derivacion

de un algebra graduada, 56,85

formal en R[X], 56descomposicion en ciclos, 3determinante

de un endomorfismo, 58de un morfismo, 60

divisor de cero, 6

elementoinverso, 1neutro, 1

elemento de volumen, 64espacio euclideo, 34espacio vectorial, 7

Indice alfabetico 107

base, 9bidual, 21dimension, 11dimension finita, 9dual, 19

espacios vectorialesautomorfismo, 15, 58, 62endomorfismos, 13espacios de morfismos, 13isomorfismo, 15, 60, 66

con Kn (dimension finita),76

morfismo, 13

formula de las dimensiones, 14,67, 83

formade volumen, 64exterior, 53, 66

forma bilineal, 25definida positiva, 33expresion coordenada, 41irreducible, 26matriz asociada, 28no degenerada, 26, 28operacion inducida, 28polaridad, 26, 27, 32radical, 26, 33regular, 26, 28, 32

forma lineal, 19forma multilineal, 25

antisimetrica, 26simetrica, 26

forma simplectica, 26

Gram-Schmidt, proceso, 34grupo, 1

SO(2,R), 4U(1), 2abeliano, 2alternado, 3coclases, 2de permutaciones, 3general lineal, 4general lineal GL(n; K), 60

orden, 1simetrico, 3traslaciones, 2

gruposaccion, 5automorfismo, 4endomorfismo, 4morfismo, 3

Hodgedual de una forma, 66operador ∗, 66operador estrella, 66

idempotencia, 45independencia lineal, 9isotropo

subespacio, 33vector, 33

isomorfismo[, 27\, 27bajada de ındices, 27, 66subida de ındices, 27, 68

metrica, 26de Minkowski, 34euclidea, 33, 64, 67euclidea standard en Rn, 65

modulo, 7de un vector, 34

matrices, 8, 10, 14, 17, 21, 27, 60matriz de cambio de base, 18matriz ortogonal, 99Minkowski

espacio-tiempo, 34metrica, 34

monoide, 1

norma, 34

operadorAlt, 45insercion, 56, 67Sym, 44

operador lineal, 13

108 Indice

expresion coordenada, 41orientacion, 63

negativa, 63positiva, 63standard en Rn, 64

ortogonalidadrespecto de una forma bili-

neal, 32ortonormalizacion, 34

polinomios interpoladores, 21producto escalar, 26producto exterior, 51producto simetrico, 51producto tensorial, 39, 72

propiedad universal, 72producto vectorial, 70propiedad

asociativa, 1distributiva, 5

propiedades functorialesdel producto exterior, 52del producto tensorial, 49

proyector, 46pull-back, 48, 58

relacionbinaria de equivalencia, 2, 62

retroaccionver pull-back, 48

semigrupo, 1signatura, 3sistema generador, 9sistema libre, 9sistema ligado, 9subespacio vectorial, 8

generado, 9incidente, 31isotropo, 33ortogonal, 32totalmente isotropo, 33

subgrupo, 2suma directa, 9

descomposicion, 33

tensorantisimetrico, 43de tipo (p, q), 38simetrico, 43

tensorescambio de base, 41expresion coordenada, 40subespacio Ωp(V ), 44subespacio Sp(V ), 44

teorema de reflexividad, 22, 59traza, 21

volumenstandard en Rn, 65

Zornlema, 10

notas para un curso de algebra y geometr´ıa´galia.fc.uaslp.mx/~gsalgado/libro2.pdf · para...

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