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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

Notas para Hemodinâmica

 

 

P.J. Oliveira

(Novembro 2018)

Departamento de Engenharia Electromecânica

6201-001 Covilhã

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Conteúdo 

  1. Noções básicas de mecânica dos fluidos ………………….…..……………………………..............5 

  2. Noções básicas de fluidos não newtonianos ……….....….………………………………………….21 

  3. Equações da mecânica de fluidos ….…………………..…...….…………………………………………37 

  4. Equações do movimento sob forma geral …..……..…...….…………………………………………45 

  5. Viscosidade do sangue …………………………..…..……..…...….…………………………………………55 

  6. Resolução das equações do movimento com método dos volumes finitos ……………63 

  7. Escoamento pulsante em tubo ………………………………………………………………………………75 

  8. Utilização de grandezas adimensionais – Normalização das equações …………………..83 

  9. Fluxo de sangue em tubo circular …………….……………………………………………………………91 

 

Este documento reúne algumas notas dispersas que tinham sido preparadas para as unidades curriculares  de  Hemodinâmica  e  de  Biotransporte  do  curso  de  Ciências  Biomédicas  e  que foram adaptadas para serem estudadas como um todo. A bibliografia indicada na disciplina de Hemodinâmica  é a  seguinte: 

“Alguns Conceitos Básicos de Hemodinâmica”, F.T. Pinho, FEUP, Abril 2009. 

“Biofluid Mechanics in Cardiovascular Systems”, Lee Waite, McGraw‐Hill, 2006. 

“Applied Biofluid Mechanics”, Lee Waite e Jerry Fine, McGraw‐Hill, 2007. 

“Modelling  the  Human  Cardiac  Fluid Mechanics”,  H. Oertel, Univ.  Karlsruhe, 2005. 

“O Livro de Coração”, Fernando de Pádua, Academia do Livro, 2008. 

 

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1. Noções Básicas de Mecânica dos Fluidos 

 

1.1 Propriedades materiais básicas 

Neste estudo  iremos considerar materiais que em geral  se comportam como  fluidos,  isto é, que se deformam continuamente quando sujeitos a uma força transversal (força de corte). 

As  propriedades  básicas  de  um material  com  interesse  para  a mecânica  dos  fluidos  são  a massa  volúmica,  ,  e  a  viscosidade,   ou  . A massa por unidade de  volume da  água a 

temperatura normal (25ºC) é  1000  kg/m3; para o sangue  1060  kg/m3. A viscosidade 

é  a  propriedade  relacionada  com  a maior  ou menor  facilidade  de  escorregamento  de  um material,  ou  seja  é  uma medida  da  sua  fluidez:  quanto mais  viscoso, menor  é  a  fluidez  do material. Para uma determinada temperatura, a viscosidade é constante quando esse material tem comportamento newtoniano. Neste caso usa‐se o símbolo   para a viscosidade. Quando 

o comportamento é não newtoniano o coeficiente de viscosidade pode variar com o estado de deformação do material e a viscosidade deixa de ser “constante”; neste caso usa‐se o símbolo   para representar a viscosidade.  

Ar  e  água  são  dois  exemplos  de  fluidos  newtonianos,  sendo  amplamente  utilizados  em aplicações da mecânica de  fluidos em áreas da engenharia. Qualquer  fluido  constituído por moléculas simples e de baixo peso molecular, sem formação de estruturas internas, comporta‐se em condições usuais como um fluido newtoniano (a definição exacta do que é newtoniano é dada pela Eq. 1 abaixo). Por outro lado, materiais com uma microestrutura interna complexa ou  formados por constituintes de elevado peso molecular  têm  tendência a comportar‐se de 

forma  não  newtoniana.  A  viscosidade  da  água  é  310   Pa.s  a  25ºC,  diminuindo  para 30.695 10   Pa.s  a  37ºC,  e  a  do  sangue,  assumido  como  fluido  newtoniano  (uma 

aproximação que só é válida em casos restritos), é  33.5 10  Pa.s a 37ºC. A viscosidade do 

ar, em condições padrão, é aproximadamente  52 10  Pa.s.  

A unidade de viscosidade no sistema internacional (MKS) é o Pascal x segundo: Pa.s = N.s/m2 = Kg/(m.s).  Para  evitar  a  utilização  de  valores  muito  pequenos  pode  usar‐se  o  mili  Pascal segundo, mPa.s = 0.001 Pa.s. Em alternativa usa‐se com frequência (sobretudo em aplicações biomédicas) a unidade de viscosidade do  sistema CGS  (com base em centímetros, gramas e segundos), o Poise P. Tem‐se 1 P= 0.1 Pa.s, ou 1 Pa.s = 10 P. O centi Poise, cP=0.01 P, é igual ao mPa.s.  É  fácil  recordar que  em  condições de  temperatura normais  a  viscosidade da  água  é 

1 mPa.s = 1 cP.      

 

1.2 Escoamento de Couette 

A viscosidade é determinada a partir de uma experiência (teórica) em que camadas de fluido deslizam umas sobre as outras ao longo de uma determinada direcção. A este arranjo chama‐se escoamento de Couette e está representado na Fig. 1 a. O material (um fluido, por exemplo) é  colocado entre duas placas paralelas e aplica‐se uma  força  constante à placa  superior de forma a esta se mover para a direita a uma velocidade constante. A placa inferior mantém‐se em repouso, e o espaçamento entre as placas, h, mantém‐se constante. 

Mostra‐se  (ver  abaixo)  que  neste  escoamento  a  tensão  a  que  cada  camada  de  fluido  está submetida  é  constante,  que  a  taxa  de  deformação  é  também  constante  e  que  o  perfil  de 

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velocidades  é  linear.  Pode‐se  assim,  através  de  várias  medições  com  este  escoamento, relacionar a tensão com a taxa de deformação. 

 

(a) x

y

u(y)

U

h

F

             (b)    x

yu(y+y)

u(y)

y

 

Fig. 1‐ (a) Escoamento de Couette plano: perfil de velocidades e definição da deformação de corte  . 

(b) esquema local das camadas de fluido com velocidades diferentes para definir a taxa de corte  .  

  

Um fluido newtoniano é definido através da lei da viscosidade de Newton:  

  ,                  (1) 

Esta equação define a viscosidade como a constante de proporcionalidade entre a tensão   e 

a  taxa de deformação de  corte  . A  taxa de  corte  local é definida  como a diferença entre 

velocidades para duas camadas separadas pela distância  y (Fig. 1 b): 

  0

( ) ( )limy

u u u y y u y

y y y

          (2) 

Para o escoamento de Couette temos: 

  tensão:F

A =  força / área de contacto, [N/m2]=[Pa];       (3) 

  taxa de corte: u U

y h

 = gradiente de velocidade = 

velocidade placa / espaçamento, [1/s].        (4) 

 

Demonstrações 

A taxa de deformação de corte  , além de representar o gradiente de velocidades, é também 

a taxa de variação temporal da deformação de corte ou distorção  /d dt . A distorção   é o 

ângulo formado entre uma linha de fluido que no tempo inicial é perpendicular aos planos das paredes (Fig. 1 a) e que após um certo intervalo de tempo t forma uma linha inclinada com a vertical. Nesse intervalo de tempo a camada de fluido colada à parede superior em movimento 

percorreu uma distância  l Ut  e a tangente do ângulo é: 

  tan( )l Ut

h h                 (5) 

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  Para intervalos de tempo pequenos,  t t , e ângulos pequenos,  , temos 

  tan( )U t

h

   0

limt

U

t h

      (6) 

onde a taxa de deformação, ou deformação por unidade de tempo, é definida como: 

/d dt .                  (7) 

 

x

y

u(y)

U

h

h

0

(y)

x

y

 

Fig. 2‐ Balanço de forças sobre elemento de fluido (a vermelho) em escoamento de Couette. 

 

Para mostrar que neste escoamento a tensão é constante faz‐se o balanço de forças sobre um 

elemento de  fluido de  forma paralelipipédica, com altura  y , comprimento  x  e espessura 

z ,  situado entre  0y  e  y y (Fig. 2). Considerando que não existem  forças normais de 

pressão, as únicas forças aplicadas são as resultantes das tensões de corte nas faces superior e inferior do paralelipípedo, com componentes segundo  x  de: 

0( )yx y x z x z    0( )yx y Cte         (8) 

onde  0  é a tensão constante que a parede inferior exerce sobre o fluido, em 0y . Fica assim 

provado que a tensão de corte, que designamos simplesmente por  yx , não depende da 

posição  y , sendo a tensão exercida pela placa superior sobre o fluido  h  , segundo  x , igual 

à  tensão  0 ,  com  direcção  x .  Uma  outra  forma  de  verificar  a  constância  da  tensão  é 

escrever as equações de movimento para o escoamento de Couette e verificar que se reduzem 

a  / 0yx y ; por consequência  yx  é constante. 

Na análise clássica do escoamento de Couette assume‐se à partida que o perfil de velocidades é linear, ou seja: 

  ( )u y Ay B                  (9) 

Aplicando as condições de não escorregamento, tem‐se para a parede inferior estacionária, 

0u  para  0y                 (10a) 

e para a parede superior em movimento uniforme, 

 u U  para  y h .                (10b) 

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o que fornece imediatamente   0B  e  /A U h . Por isso o perfil de velocidades vem dado por: 

  ( )y

u y Uh

                  (11) 

com um gradiente de velocidades  / /du dy U h  constante e igual à taxa de deformação de 

corte   (ver Eq. 6).  Outra forma de se chegar a este resultado é considerando que para cada 

fluido existe uma relação biunívoca entre tensão e taxa de deformação, 

  ( )f   1( )f             (12) 

Assim, se   é constante, como se mostrou acima, então   é  também constante. Logo, por 

integração da definição  /u y , com as condições fronteira de não escorregamento, tem‐

se de imediato: 

 u

Ctey

    u y   com  /U h .       (13) 

 

1.3 Viscosidade 

A viscosidade surge como a “constante” de proporcionalidade entre a tensão de corte aplicada sobre um elemento de fluido e a sua taxa de deformação de corte. Em geral escreve‐se 

                    (14) 

onde   é o coeficiente de viscosidade. De acordo com os resultados da secção anterior para 

escoamento  de  Couette,  a  viscosidade  é,  fisicamente,  a  razão  entre  a  força  aplicada  por unidade de área da placa superior, e a velocidade a que esta se move dividida pela separação entre placas: 

  Viscosidade = (força/área) / (velocidade/separação).        (15) 

Se o coeficiente de viscosidade for constante, não dependendo do estado de deformação do fluido,  diz‐se  que  se  trata  de  um  fluido  newtoniano  e  usa‐se  a  letra    para  indicar  a 

viscosidade. Uma  generalização  óbvia  do  fluido  newtoniano  é  tomar    como  uma  função 

genérica da taxa de deformação  , isto é 

                    (16) 

Estes  fluidos  denominam‐se  fluidos  não  newtonianos  de  tipo  GNF  (Generalized  Newtonian Fluids), ou  fluidos newtonianos generalizados. O caso mais comum é o de  fluidos em que a viscosidade diminui quando a taxa de corte aumenta  

   com                  (17) 

que se designam como fluidos reofluidificantes (shear‐thinning, em  inglês). O sangue é deste tipo, assim como as soluções poliméricas, por exemplo. A designação antiga para esta classe de materiais era de pseudoplásticos.  

  ‐9‐

O caso inverso é o de fluidos em que a viscosidade aumenta com a taxa de corte, 

   com                  (18) 

que  são  designados  como  fluidos  reoespessantes.  A  designação  antiga  era  de  fluidos dilatantes. O exemplo clássico é o de uma suspensão de grãos de areia em água líquida (areia movediça).  

 

newtoniano

.

reofluidificante

reoespessante

Bingham

0

 

Fig. 3‐ Comportamentos reológicos típicos no diagrama tensão – deformação. 

 

Portanto,  para  um  material  newtoniano  a  tensão  aumenta  linearmente  com  a  taxa  de deformação, sendo nula quando esta é nula. Para um material não newtoniano reofluidiciante a tensão de corte apresenta um aumento com a taxa de deformação que é  inferior a  linear. Para um material reoespessante o aumento é superior a linear. Tanto o reofluidificante como reoespessante  têm  tensão nula para  taxa de deformação nula. A Fig. 3  ilustra graficamente este  comportamento.  Inclui  ainda  um  outro  tipo  de material  designado  como  plástico  de Bingham, ou material com tensão de cedência. Nestes materiais (por vezes designados como viscoplásticos),  o  comportamento  é  de  sólido  indeformável  enquanto  a  tensão  é  inferior  à 

tensão de cedência ( 0 ), e de líquido newtoniano para valores superiores da tensão.  O sangue 

apresenta  este  tipo  de  comportamento,  embora  0   seja  pequeno;  outros  exemplos  são  a 

pasta de dentes e a maionese.   

A ciência que estuda o escoamento e a deformação dos materiais chama‐se Reologia. Daí as designações  de  reofluidificante  e  reoespessamte  para materiais  que  ficam mais  fluidos,  ou mais espessos, quando sujeitos a deformação. À Reologia cabe a medição da viscosidade, e de outras propriedades materiais que servem para caracterizar o escoamento e a deformação dos vários materiais. 

 

1.4 Medição de viscosidade 

Na  prática  a  utilização  do  escoamento  de  Couette  plano,  como  o  da  Fig.  1,  para medir  a viscosidade de um material não é viável porque se  torna  impossível  limitar o dispositivo. No entanto, um escoamento semelhante em coordenadas cilíndricas é já susceptível de realização prática. Um viscosímetro de copos  rotativos consiste em dois cilindros verticais concêntricos que podem ser submetidos a um movimento de rotação, em simultâneo ou só um deles. Estes cilindros  estão  separados  por  um  espaçamento muito  pequeno  em  relação  ao  seu  raio. O material  cuja  viscosidade  se  pretende medir  é  colocado  no  espaço  entre  os  cilindros,  no arranjo mais comum o cilindro exterior é submetido a uma rotação com velocidade angular  ,  

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e  o  binário  necessário  para manter  o  cilindro  interior  fixo  é medido  T .  A  relação  entre  o binário e a velocidade de rotação permite obter a viscosidade.  

 

(a)

fluidotestado

rotaçãoseparação

R2R1  (b)

R1

R2

2

        (c)     

R2

rU2 2

R1

u(r)

 

Fig. 4‐ Viscosímetro de copos concêntricos (a), escoamento de Couette circular (b), detalhe do perfil de velocidades (c). 

 

A  Fig.  4  mostra  esta  geometria.  Quando  a  separação  entre  cilindros  é  pequena, 

2 1 1h R R R  , as fórmulas dadas acima para a geometria plana de Couette continuam a 

ser  válidas.  Relembramos  que  um  binário  é  uma  força multiplicada  pelo  braço  ou  raio  de rotação, 

  T Fr                   (19) 

e que velocidade linear e velocidade angular estão relacionada por: 

  u r                    (20) 

em movimento rotativo circular de corpo sólido. Chama‐se a atenção de que a velocidade do fluido  contido  no  espaço  anular  da  Fig.  4  (c)  não  segue  esta  expressão  simples,  mas  a 

velocidade da cilindro exterior pode  ser calculada com base nesta equação:    2 2U R . No 

escoamento de Couette circular (Fig. 4 b) o binário conserva‐se, ou seja o binário aplicado no cilindro exterior é igual ao binário que o fluido exerce sobre o cilindro interior: 

  2 2 2T F R  e  1 1 1T F R  com  2 1T T             (21) 

Para que o cilindro interior fique estacionário (não se mova), é necessário que lhe seja aplicado 

um binário  igual a  1T  mas de sentido contrário. Este  será o binário medido pelo aparelho e 

relaciona‐se  com  a  viscosidade  da  seguinte  forma.  A  taxa  de  corte  é  aproximadamente constante sendo obtida de: 

  2 2

2 1

U R

R R h

                (22) 

Da Eq. (14), a viscosidade vem: 

 2

1 1 1 1 12

2 2 2 2 2 1

/ / 2

/ / 2

F A T LR T h

U h R h R R L

 

E a expressão final, com diâmetros em lugar de raios, é 

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  13

32 1

1

4 4

(1 2 )

T h T hh D LD LD

            (23) 

onde  a  aproximação na  igualdade da  esquerda  se baseia  em  1/ 1h D   e  se usam  valores 

nominais  para  o  diâmetro  D ,  o  binário  T (torque)  e  a  velocidade  angular  .  Esta  é 

relacionada com a frequência  f  [ 1s ]=[Hz] através de: 

 [ ]

2 260

n rpmf               (24) 

onde n  é o número de rotações por minuto impostas ao cilindro exterior. 

 

1.5 Escoamento laminar em tubos 

Uma aplicação biomédica óbvia da mecânica dos fluidos é o estudo do movimento do sangue nas  artérias  e  veias  do  corpo  humano.  Se modelarmos  estes  vasos  como  tubos  de  secção circular, e se considerarmos que as velocidades são relativamente baixas de forma ao regime de  escoamento  ser  laminar  (definição  abaixo)  então  será  útil  obtermos  expressões  que permitam  calcular  o  caudal  volumétrico  que  existe  para  uma  certo  gradiente  de  pressões aplicado ou, por exemplo, calcular a tensão de corte na parede. Em capítulos posteriores estes resultados serão obtidos novamente a partir das equações diferenciais básicas que regem os movimento dos fluidos. 

 

zu(r)

D

O

parede

eixo simetria

r

 

Fig. 5‐ Detalhe do escoamento em tubo circular. 

 

A  Fig.  5  mostra  o  esquema  da  geometria  com  simetria  cilíndrica.  O  tubo  tem  diâmetro 

/ 2D R ,  onde  R   é  o  raio,  e  assume‐se  que  o  escoamento  está  completamente desenvolvido, não havendo por isso variações das propriedades ao longo da direcção axial do 

tubo,  z . Como se verá, o perfil de velocidades  ( )u r  é então parabólico, isto é  2( )u r r .  

 

  ‐12‐

p

zh

z

u(r)

1

2

-dp/dz=Cte

U

reservatóriotubo circular

z0

 

Fig. 6‐ Geração de escoamento completamente desenvolvido em tubo circular. O perfil de velocidades parabólico acontece quando o decaimento da pressão é linear ao longo do tubo. 

 

A  Fig.  6  mostra  um  dispositivo  que  permitiria  criar  um  escoamento  completamente desenvolvido num tubo. A pressão na secção à entrada do tubo é  igual ao peso da coluna de 

água  desde  esse  ponto  até  à  superfície  livre  do  tanque,  2 1p p gh .  Se  o  tanque  for 

considerado  de  grandes  dimensões  comparativamente  ao  tubo,  essa  pressão  irá manter‐se constante durante o escoamento. O líquido dentro do tubo é submetido ao um diferencial de pressões e começa a movimentar‐se. O perfil de velocidades é inicialmente de tipo “tampão” (perfil uniforme), evoluindo para uma forma parabólica à medida que a secção onde o perfil é 

obtido  se  afasta  da  secção  de  entrada.  A  partir  de  determinada  distância  0z o  perfil  de 

velocidades deixa de mudar de forma, e mantém‐se constante. A variação da pressão é então 

linear, isto é  /dp dz Cte P . Diz‐se que se atingiu o desenvolvimento completo. 

 

z

u(r)

D=2RO

parede

eixo simetria

r

p2p1

z

z

r

Elemento fluidoAt=2rz

A=r2

força z:Fz=Ap-At=0

p=p1-p2

 

Fig. 7‐ Balanço de forças sobre elemento de fluido (a azul). 

 

Um  balanço  de  forças  a  uma  porção  cilíndrica  de  fluido  de  raio  r   e  comprimento  z , mostrado a azul na Fig. 7, dá: 

  2tA pA p r     com  1 2p p p  e  2 1z z z  

  ‐13‐

A  área de  contacto onde  a  tensão de  corte  (assumida  como positiva na direcção  z )  está 

aplicada é  2tA r z  e o balanço reduz‐se a: 

  1 12 2

pr Pr

z

  1

2 Pr             (25) 

onde  /P dp dz  é a magnitude do gradiente de pressão aplicado, a força motriz para gerar 

o movimento.  P  é constante e tem valor positivo para escoamento a processar‐se na direcção 

z . Esta expressão permite desde logo calcular a tensão de corte na parede,  ( )w r R : 

  12w PR                   (26) 

Para se obter o perfil de velocidades integra‐se a expressão anterior, após substituir   pela lei 

de Newton da viscosidade, com  /du dr  (para que   seja positivo): 

  12

duPr

dr  

2

du Pr

dr  

2

Pdu rdr

 

que dá: 

  214

Pu r C

 

Usando a condição fronteira de não escorregamento na parede, temos: 

  210

4

PR C

  2

1 4

PC R

 

e o perfil fica: 

 

22

14

PR ru

R

   

2

0 1r

u UR

      (27) 

onde a velocidade máxima, no eixo do tubo, é dada por: 

2

0 4

PRU

                  (28) 

A  forma  do  perfil  é  parabólica  (variação  em  2r )  com  velocidade  nula  na  parede  e  valor máximo  no  eixo,  como  é  mostrado  esquematicamente  na  Fig.  7.  O  caudal  é  calculado integrando o perfil de velocidades sobre a secção transversal do tubo: 

 

2

0

0 0

( )2 2 1R R r

Q u r rdr U rdrR

 

que dá: 

  ‐14‐

 22 4

00 2

12

2 4 2

R UR RQ U

R

 

A velocidade média está relacionada com o caudal através de 

 2

QU

R  

e vem dada por 

0

2

UU   ou  

2

8

PRU

.            (29) 

Esta  equação  representa  a  lei  de  Hagen‐Poiseuille,  que  permite  relacionar  o  caudal,  ou velocidade média  no  tubo,  com  o  gradiente  de  pressão  aplicado. Veja‐se  que  a  velocidade máxima é o dobro da velocidade média. A velocidade média é directamente proporcional ao quadrado do  raio  e  ao  gradiente de pressão,  e  inversamente proporcional  à  viscosidade. O caudal  volumétrico  é  directamente  proporcional  ao  raio  (ou  diâmetro)  levantado  à  quarta potência.    

O perfil de tensão de corte é linear como mostrado pela Eq. (25). O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede, e a Eq. (26) pode agora escrever‐se  como: 

  4w

U

R   ou  8w

U

D             (30) 

O coeficiente de atrito na parede é definido como: 

 21

2

wfU

                  (31a) 

vindo dado por: 

  16

fRe

                  (31b) 

onde o número de Reynolds foi definido como: 

 UD

Re

                  (32) 

 

1.6 Regimes de escoamento e comprimentos para desenvolvimento completo 

O regime dinâmico de escoamento é: 

  Laminar,  2000Re                 (33a) 

  Turbulento,  4000Re               (33b) 

  ‐15‐

  Transição, 2000 4000Re .             (33c) 

O escoamento do sangue ocorre tipicamente em regime  laminar, excepto por vezes na aorta descendente em situações de esforço  (treino de atletas, por exemplo), ou pontualmente em vasoconstrições  de  natureza  patológica  (estenoses),  onde  o  escoamento  é  localmente turbulento. Para escoamento turbulento a velocidade oscila  localmente de  forma aleatória e só  faz  sentido,  do  ponto  de  vista  de  engenharia  ou  em  aplicações  biomédicas,  considerar valores médios no tempo. O perfil da velocidade média (não confundir com a média na secção dada  pela  Eq.  29)  deixa  de  ser  dado  pela  Eq.  (27)  (de  facto  segue  uma  variação  do  tipo 

1/ 70 1 ( / )u U r R ), a  tensão na parede aumenta substancialmente, assim como o  factor 

de atrito  f  que fica muito maior do que o dado pela Eq. (31). 

O comprimento necessário para se atingir a condição de desenvolvimento completo a partir de uma entrada com perfil de velocidades uniforme (ver Fig. 6) é dado, em função do número de Reynolds, por: 

  0 0.06z

ReD                   (34) 

Por exemplo, para um número de Reynolds  típico de 200, é necessário um comprimento de tubo de 12 diâmetros para se atingir a situação de desenvolvimento completo. Na prática, é difícil  no  sistema  circulatório  satisfazer  esta  condição  porque  existem  ramificações consecutivas dos vasos, separadas por distâncias inferiores a esse comprimento.   

  

1.7 Equação de Bernoulli 

Esta  equação  exprime  a  conservação  de  energia mecânica  em  escoamento  invíscido  (sem 

viscosidade) e permite relacionar variações de pressão  p , velocidade u , e altura (cota) h :  

  2 21 11 1 1 2 2 22 2p u gh p u gh           (35) 

Os  valores  destas  propriedades  são  obtidos  nos  pontos  1  e  2  ao  longo  de  uma  linha  de corrente. 

Esta equação não toma em conta perdas de carga, devidas a atrito nas paredes duma conduta ou presença de obstruções ou variações de área  transversal, uma vez que estas perdas  são fenómenos  irreversíveis  relacionados  intimamente  com  a  existência  de  viscosidade.    É  no entanto  fácil generalizar a equação de Bernoulli por  forma a  contabilizar perdas de  carga e trabalho produzido: 

  2 21 21 11 1 2 22 2 v

p pu gh u gh w e

          (36) 

onde:  ve ‐ energia por unidade de massa [J/kg] dissipada devido a viscosidade; 

  w ‐ trabalho específico produzido pelo fluido (a sair do sistema). 

A  perda  de  carga  no  escoamento  completamente  desenvolvido  em  tubo  circular  de 

comprimento  L  e diâmetro  D  calcula‐se a partir de 

  ‐16‐

  2124v v

Lp e f U

D               (36a) 

onde  f  é o coeficiente de atrito definido pela Eq. (31) e U  é a velocidade média na secção 

(na Eq. 36,  1 2u u U ). 

As  velocidades  que  aparecem  na  Eq  (35)  são  valores  locais  quando  os  índices  1  e  2 correspondem a  localizações pontuais no  seio do campo de velocidades, pontos  ligados por uma  linha de corrente, a situação mais comum quando se aplica a equação de Bernoulli. Por outro lado, quando a equação é aplicada como um balanço de energia mecânica a um volume de  controlo,  essas  velocidades  são  valores médios,  com  os  índices  1  e  2  a  referirem‐se  às secções de entrada e de saída duma conduta (Fig. 8). Neste segundo caso os valores médios são    obtidos  por  integração  na  secção  transversal  do  cubo  da  velocidade  a  dividir  pela 

respectiva  velocidade média  ( 2 31 1 1( ) / ( )u u r u r ). Deve  referir‐se que esses  valores não 

são em geral  iguais ao  cubo da média  (isto é, 33 3

1 1 1( ) ( )u r u r U   ), pelo que  se deve 

introduzir um factor correctivo, 

  2 21 1 1u U  ou  2 2

2 2 2u U ,              (37)   

com   1  (perfil de velocidades uniforme; válido para escoamento turbulento) 

  2   (perfil  de  velocidades  parabólico,  Eq  27;  válido  para  escoamento 

laminar). 

 

u2

u1

p2

h2

h1

p1

1

2

wev

 

Fig. 8‐ Volume de controlo para aplicação do balanço de energia mecânica (Eq. Bernoulli). 

 

Como  indicado acima, usa‐se a notação da subsecção anterior para  indicar a média calculada segundo a Eq. (29),  

1

1 1 121 0

1( ) ( )2

R

U u r u r rdrR

            (38) 

ilustrada para uma secção circular de raio  1R . 

 

 

  ‐17‐

1.8 Exemplos de aplicação da equação de Bernoulli: 

 

1 2

p1

p2

U1

 

Fig. 9‐ Esquema do venturi 

(i)‐ Venturi 

Um venturi consiste numa contracção relativamente suave do escoamento numa conduta que permite  fazer a medição do caudal que circula nessa conduta, através de duas medições de pressão. A Fig. 9 mostra esquematicamente o dispositivo, com as pressões a serem medidas nas secções 1 (seio da conduta) e 2 (garganta do venturi). 

Considerando que o venturi é horizontal, a equação de Bernoulli dá: 

  2 21 11 1 2 22 2p U p U   2 21

2 1 1 22 U U p p  

Resolvendo  para  a  velocidade  no  ponto  1,  e  usando  a  conservação  de massa  (ver  abaixo) 

2 1 1 2/ /U U A A , onde  1A  e  2A  são as áreas das secções na conduta e na parte mais estreita 

do venturi, temos: 

  1 2

1 2

1

2

2

1

p pU

AA

 

As pressões em 1 e 2 são medidas com um manómetro diferencial, e a razão entre as áreas na conduta e na garganta do venturi é conhecida. Finalmente, o caudal vem dado por: 

  1 1Q CAU  

onde C  é um factor correctivo, a ser obtido por calibração, e que faz o ajuste para o facto do fluido não ser perfeito (na verdade, o fluido possui viscosidade). 

  

1 2

ab

QU

h

L .

 

Fig. 10‐ Manómetro diferencial. 

  ‐18‐

 

(ii)‐ Medição de pressão 

A  Fig.  10  mostra  um  manómetro  diferencial,  cuja  leitura  dá  o  desnível  h   do  líquido 

manométrico ( liq ), permitindo obter a perda de pressão no escoamento de um fluido, com 

massa  volúmica  ,  numa  conduta.  Assumindo  que  as  velocidades  nos  tubos  que  fazem  a 

ligação ao manómetro são desprezáveis, a aplicação da Eq. de Bernoulli (Eq. 35) entre o ponto 

1 e o ponto  a dá: 

  1 1 a ap gh p gh  

entre o ponto 2  e o ponto b : 

  2 2 b bp gh p gh  

e entre o ponto a  e o ponto b : 

  a liq a b liq bp gh p gh  

Combinando estas equações tem‐se: 

  1 2 ( )a b a bp p p p g h h   (uma vez que  1 2h h ) 

e 

  ( )a b liq b ap p g h h  

ou seja, 

1 2 ( )liqp p gh . 

com  b ah h h .  O  desnível  h   é  lido  do manómetro,  a  diferença  liq   entre  as 

massas volúmicas do líquido manométrico e do fluido que se pretende medir é conhecida, e a 

perda  de  pressão  na  conduta  vem  imediatamente  de  p gh .  Se  o  escoamento  na 

conduta estiver  completamente desenvolvido, o gradiente de pressão  (uma  constante)  vem 

/P p L   (onde o  p  é o  vp  da Eq  (36a) que  resulta duma perda de carga de natureza 

viscosa).   

 

1.9 Conservação de massa 

Para um volume de controlo (Fig. 11) com várias entradas e várias saídas de massa tem‐se: 

  in outentradas saídas

m m                 (39) 

uma vez que a massa é uma propriedade extensiva que se conserva. 

 

  ‐19‐

mmi me

vol. controlo

. .

outin

 

Fig. 11‐ Volume de controlo e conservação de massa. 

 

Esta  equação  de  conservação  de  massa  é  válida  em  regime  permanente.  O  símbolo  im  representa o caudal mássico através da conduta i, relacionado com a velocidade média através de: 

  i i i im AU   [kg/s]                (40) 

onde:    i ‐ massa volúmica na secção i [kg/m3] 

    iA ‐ área da secção transversal [m2] (para tubo circular,  2 / 4i iA D ) 

    iU ‐ velocidade média na secção i [m/s] 

 

Q1

Q3

Q2

.

.

.

 

Fig. 12‐ Ramificação de conduta 

  

Por exemplo, para a Fig. 12 a conservação de massa escreve‐se: 

  1 2 3m m m                   (41) 

Os escoamentos de  líquidos (água; sangue; etc) podem normalmente ser considerados como 

incompressíveis, com volume específico constante  Cte . Neste caso pode ser conveniente 

dividir  a  Eq.  (41)  pela  massa  volúmica  ( 1 2 3 )  e  trabalhar  com  o  caudal 

volumétrico: 

  ii i i

i

mQ AU

  [m3/s].              (42) 

Para a bifurcação ilustrada na Fig 12 tem‐se 

  1 2 3Q Q Q     1 1 2 2 3 3AU A U A U         (43) 

  ‐20‐

Sabendo o caudal de entrada  1Q , e a percentagem de caudal que segue pela conduta 3, por 

exemplo (fracção extraída,  3 1/Q Q ), podemos facilmente obter as velocidades médias nos 

ramais de saída,  2 1 2(1 ) /U Q A  e  3 1 3/U Q A . 

 

1

2

Q2Q1

. .

 

Fig. 13‐ Expansão em tubo redondo. 

 

Como segundo exemplo de ilustração da conservação de massa, veja‐se o caso do escoamento 

numa expansão, Fig. 13. O caudal  1Q  circula num tubo circular de diâmetro  1D  e subitamente 

passa para um tubo de maior dimensão  2D  (razão de expansão  2 1/D D ). A relação entre 

velocidades médias nas duas secções é obtida através da conservação de caudal, 

  1 2Q Q     1 1 2 2AU A U  

2

1 12 1 1

2 2

A DU U U

A D

 

ou seja, 

  2 12

1U U

                  (44) 

Se a razão de expansão for de 2, a velocidade no tubo maior será 4 vezes mais pequena do que a velocidade à entrada. Considerando que o fluido é perfeito e não há perdas de carga, pode aplicar‐se Eq. de Bernoulli entre as secções 1 e 2 para obter a variação de pressão: 

  2 21 11 1 2 22 2p U p U  

2 2 21 1

2 1 1 2 12 2 2

1 2

11

/p p U U U

U U

 

que se escreve, 

212 1 12 4

11p p U

               (45) 

Na  realidade  o  escoamento  na  expansão  (ou  numa  contracção,  se  o  escoamento  fosse  no sentido  inverso)  irá  implicar uma perda de carga  localizada e por  isso a equação de Bernoulli deveria  ser  aplicada  com  o  termo  de  perda  (Eq.  36). Mesmo  assim  esta  relação  é  útil  por mostrar um facto corrente: quando a velocidade aumenta, a pressão diminui (e vice‐versa).  

 

  ‐21‐

2. Noções Básicas de Fluidos Não Newtonianos 

Este capítulo  inclui a segunda parte de um relatório feito para a disciplina de Biotransporte e 

trata de modelos reológicos para suspensões e para líquidos não newtonianos. Em particular, 

são  fornecidas e discutidas  fórmulas que representam vários modelos de viscosidade válidos 

para  suspensões  e  para  líquidos  com  características  de  reofluidificação  (diminuição  da 

viscosidade com a  taxa de corte) e de  tensão de cedência  (comportamento sólido a  tensões 

inferiores a um determinado limiar). 

2.1 Suspensões 

Uma  suspensão  é um material  líquido  composto por uma mistura de duas  fases, uma  fase 

líquida  pura,  o  meio  contínuo,  e  uma  fase  discreta  formada  por  “partículas  sólidas”  em 

movimento no seio da fase líquida, sem se dissolverem nela. A noção de partícula é aqui usada 

num sentido lato com uma entidade que se distingue da fase contínua na qual está suspensa, 

podendo ser de facto uma partícula sólida (um grão de areia, por exemplo) ou uma cápsula de 

um líquido delimitada por uma membrana elástica. O sangue, por exemplo, é uma suspensão 

de glóbulos vermelhos, glóbulos brancos e plaquetas em plasma. O plasma é a fase contínua 

da suspensão, comportando‐se aproximadamente como um líquido newtoniano, e os glóbulos 

vermelhos  constituem  a  parte  preponderante  da  fase  discreta,  tendo  a  forma  de  um  disco 

bicôncavo e sendo  formados por um  líquido no  interior  (solução de hemoglobina) envolvido 

numa membrana elástica. A massa volúmica da fase sólida  p (índice  p para partículas) difere 

normalmente da massa volúmica da fase contínua  f  (índice  f para fluido), sendo no entanto 

importante que não seja muito superior para evitar a completa sedimentação das partículas, 

com separação completa entre as duas  fases e deixando de  facto de existir uma suspensão. 

Por  exemplo,  no  caso  do  sangue,  para  o  plasma  1035f   [kg/m3]  e  para  os  glóbulos 

vermelhos  1080 1100f   [kg/m3],  o  que  dá  um  valor  de  1060f   [kg/m3]  para  o 

sangue.  

Uma  suspensão,  como  mistura  bifásica,  é  caracterizada  pela  concentração  ou  fracção 

volumétrica da fase discreta,  

 pV

V                   (1) 

onde  pV  é o volume total ocupado pelas partículas que existem num determinado volume V .  

Para partículas esféricas de diâmetro  d , temos  3 / 6p pV N d  onde  pN  é o número total 

de  partículas  no  volume  V .  Para  outras  formas  geométricas  define‐se  um  diâmetro 

equivalente  ed  como o diâmetro da uma esfera que  tenha volume  igual ao da partícula em 

causa,  e  a  concentração  volumétrica  fica  relacionada  com  a  concentração  em  número 

( /p pn N V = nº de partículas por unidade de volume da suspensão) por 

  3 / 6p en d                  

  ‐22‐

A  fracção  volumétrica  em  percentagem  dos  glóbulos  vermelhos  no  sangue  chama‐se 

hematócrito,  H . Para uma pessoa saudável o hematócrito é cerca de 45%, ou seja 45 % em 

volume do sangue é ocupado pelos glóbulos vermelhos.  

2.2 Viscosidade de suspensões 

A  viscosidade  de  uma  suspensão  depende  da  concentração  de  partículas,  tendendo  a 

aumentar  quando  a  concentração  aumenta.  Quando  a  concentração  volumétrica  é  baixa, 

inferior a 5%, a viscosidade da suspensão pode ser estimada pela seguinte fórmula deduzida 

por Einstein (Ann. Phy 19 (1906) 289): 

 1

1f

                (2) 

com:  f ‐ viscosidade da fase fluida; 

  ‐ constante que depende da forma das partículas; para esferas  5 / 2 ; 

  ‐ fracção volumétrica das partículas. 

Mostra‐se  que  para  partículas  com  a  forma  de  disco  o  valor  da  constante  mantém‐se:  

2.5 .  Por  exemplo,  tomando  a  viscosidade  do  plasma  como  31.26 10f   [Pa.s],  a 

viscosidade  do  sangue  para  uma  concentração muito  pequena  de  glóbulos  vermelhos,  de 

somente 5 %,  vem  31.44 10   [Pa.s]; ou  seja, há um  aumento de 14 % na  viscosidade 

devido à introdução das partículas na suspensão. 

 

Para  valores  maiores  da  fracção  volumétrica,    deixa  de  ser  uma  constante  e  passa  a 

depender  da  própria  concentração.  Para  o  sangue,  por  exemplo,  obteve‐se  a  seguinte 

correlação, que integra ainda a dependência com a temperatura (T  [K]): 

  1.6911070.076exp 2.49 e

T

          (3) 

válida para 0.05 0.6 . 

Em condições normais,  37º 310T C K  e  0.45 , obtém‐se  1.237  (inferior ao 2.5 

da  equação  de  Einstein),  que  dá  uma  viscosidade  do  sangue  de  32.84 10   [Pa.s],  um 

aumento de 125 % relativamente à viscosidade do fluido (o plasma) no qual as partículas (os 

glóbulos vermelhos) estão  suspensas. A viscosidade dada pela Eq.  (2) aumenta  rapidamente 

com a concentração  , de acordo com a Eq. (3).  O efeito da temperatura, por outro lado, é de 

fazer diminuir a viscosidade. Estes efeitos são ilustrados na Fig. 1. 

 

  ‐23‐

0 20 40 60Hematócrito(%)

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

visc

osid

ade(

Pa.

s) T=37ºC

T=42ºC

.

. 

Fig. 1‐ Viscosidade do sangue em função da concentração de glóbulos vermelhos e temperatura (Eqs. 2‐

3). 

 

2.3 Tensão de cedência de suspensões 

Quando a densidade do material da  fase sólida é superior à densidade da  fase  fluida,  isto é 

p f ,  haverá  tendência  para  sedimentação  desde  que  as  velocidades  e  taxas  de  corte 

aplicadas  sejam  suficientemente baixas.  Em  repouso,  a  suspensão  tenderá  a  separar‐se nas 

fases  sólida e  líquida, e poderá ocorrer ainda  formação de estruturas entre as partículas da 

fase sólida que estão em contacto directo. A ruptura dessas estruturas para se iniciar de novo 

o  escoamento  do material  pode  requerer  que  a  tensão  aplicada  seja  superior  a  um  limiar 

mínimo abaixo do qual não há movimento. Diz‐se então que o material apresenta uma tensão 

de cedência, sendo uma situação típica no caso das suspensões. 

Para o caso do sangue foi desenvolvida a seguinte correlação empírica (Merrill et al., Biophy. J. 

3(1963)199) que  fornece a  tensão de cedência, em unidades no sistema CGS, em  função do 

hematócrito (fracção volumétrica dos glóbulos vermelhos): 

  1

30 mA H H   [din/cm2]            (4)  

onde:      0.008 0.002A , constante; 

    H ‐ hematócrito, em percentagem; 

    mH ‐ hematócrito mínimo para existir tensão cedência,  5mH  a 8 . 

Por  exemplo,  para  45H ,  obtém‐se  3

0 0.008 45 5 0.0328 [din/cm2 

] 3.28 [mPa]. Quando se varia a constante  A  entre os  limites de validade, verifica‐se que a 

tensão  de  cedência  do  sangue  poderá  variar  entre  1.4  e  6.4  [mPa]  em  condições  de 

hematócrito normais.   

  ‐24‐

2.4 Efeito de Fahraeus‐Lindqvist 

A viscosidade de uma  suspensão parece ainda depender do diâmetro do  tubo onde  circula, 

quando esse diâmetro é suficientemente pequeno (inferior a cerca de 100 vezes a dimensão 

das partículas em suspensão, mas superior à dimensão das partículas). Este efeito resulta do 

facto  de  se  formar  uma  zona  junto  à  parede  do  tubo  que  fica  livre  de  partículas,  onde 

localmente a viscosidade cai para o valor da viscosidade da fase fluida da suspensão, e que age 

como se tratasse duma camada de lubrificação.  O efeito só é relevante quando a espessura da 

camada sem partículas, que é da ordem da dimensão das partículas, começa a não ser muito 

inferior ao diâmetro do tubo. 

No caso do sangue esse efeito, de redução da viscosidade para diâmetros dos vasos inferiores 

a  cerca  de  300  m,  chama‐se  de  efeito  de  Fahraeus‐Lindqvist,  os  autores  que  primeiro  o 

relataram. A camada de plasma junto às paredes vasculares tem uma espessura de cerca de 2 

a 5 m (os glóbulos vermelhos têm cerca de 8 m de diâmetro). A medição da viscosidade foi 

feita com um viscosímetro capilar, que no fundo usa a equação de Poiseuille (Eq. 29 da Parte I) 

para  determinar  a  viscosidade  a  partir  de  medições  da  queda  de  pressão  p   num 

comprimento  L :  4 / 8p R L Q   ( R ‐  raio do  vaso;  Q ‐  caudal  volumétrico de  sangue). 

Esta  expressão  só  é  válida  para  fluido  newtoniano  e  deve  ser modificada  para  permitir  a 

medição  da  viscosidade  com  fluidos  não  newtonianos.  Este  efeito  ocorre  sobretudo  nas 

arteríolas e nos vénulos com diâmetros  inferiores a 1 mm; nos capilares, quando o diâmetro 

fica inferior a cerca de 10 m, os glóbulos começam a interagir com as paredes, precisando de 

se deformar para circularem, e a viscosidade volta a subir. 

 

2.5 Escoamento pulsante 

Um escoamento ocorre em regime variável cíclico quando o gradiente de pressão que o gera 

varia  no  tempo  de  forma  sinusoidal,  com  frequência  f [s‐1]  =  [Hz]  e  frequência  angular 

[rad/s] ( 2 f ). Por exemplo, o escoamento do sangue é pulsante, com uma frequência 

imposta pelo ritmo de batida do coração de cerca de 72 por minuto, o que dá uma frequência 

de 1.2 [s‐1]. O escoamento pulsante de fluido newtoniano em tubo circular foi analisado num 

relatório  para  disciplina  de  Hemodinâmica,  que  deve  ser  consultado  para  se  estudar  os 

detalhes do que é aqui apresentado de forma breve. A caracterização do escoamento continua 

a  ser  feita  com  o  número  de  Reynolds,  que  mede  a  relação  entre  forças  inerciais  (de 

convecção)  e  forças  viscosas  (de  difusão),  existindo  agora  um  parâmetro  sem  dimensões 

adicional, o número de Womersley (ou de Stokes) definido como 

  R

                  (5) 

Este  parâmetro  mede  a  proporção  das  forças  inerciais  devidas  à  oscilação  temporal, 

relativamente  às  forças  viscosas.  Pode  ser  visto  como  a  raiz  quadrada  de  um  número  de 

Reynolds oscilante:  2 ( ) / /o oR R U R Re , onde  oU R   é uma  velocidade 

  ‐25‐

característica da oscilação. Quando   é pequeno ( 1 ), o escoamento oscilante num tubo 

comporta‐se  como  um  escoamento  de  Poiseuille,  com  o  caudal  a  oscilar  em  fase  com  o 

gradiente de pressão  imposto e o perfil de velocidade a manter‐se basicamente parabólico, 

com  uma  velocidade máxima  que  também  oscila  com  frequência  . Quando    é  grande 

( 10 ),  a  frequência  imposta  é  alta  e  o  campo  de  velocidades  não  tem  tempo  para 

acompanhar a oscilação do gradiente de pressão que gera o movimento. Na zona central do 

tubo o perfil de velocidades  ficam basicamente uniforme  (perfil “tampão”), com magnitudes 

pequenas,  podendo  haver  uma  zona  estreita  de  velocidades  superiores  junto  à  parede  do 

tubo.  A  oscilação  das  velocidades  fica  desfasada  relativamente  à  frequência  imposta  pelo 

gradiente  de  pressão,  havendo  um  atraso  de  cerca  de  90  graus.  Ou  seja,  o  máximo  de 

velocidade ocorre cerca de ¼ de período depois do máximo da pressão (o período é o inverso 

da frequência,  1/T f  [s]). 

No sistema circulatório humano a frequência de pulsação é a mesma (imposta pelo coração) e 

por  isso o número de Womersley  vai diminuindo  com o  raio dos  vasos por onde o  sangue 

circula, ou  seja, é elevado nas grandes artérias, e vai diminuindo à medida que  se progride 

para artérias pequenas, arteríolas e capilares. Na microcirculação ( 50R m) a influência da 

pulsação é praticamente desprezável. Valores típicos de  : 16 (aorta); 3.2 (artéria pequena, 4 

mm diâmetro). 

  

2.6 Fluidos não newtonianos 

Nas  secções  anteriores  tratou‐se  o  caso  das  suspensões,  ou  seja  a  influência  sobre  a 

viscosidade  da  presença  de  uma  fase  com  partículas  “sólidas”  suspensas  numa  fase  fluida. 

Admitiu‐se que a viscosidade da  fase  fluida era newtoniana,  sendo portanto uma constante 

para uma dada temperatura. No entanto muitos  líquidos apresentam efeitos de fluidificação, 

ou  seja diminuição da viscosidade com o aumento da  taxa de corte, e efeitos de  tensão de 

cedência, só escoam quando a tensão é superior a um valor mínimo. 

Nesta  secção  serão  tratados modelos  reológicos para  fluidos não newtonianos do  tipo GNF 

(Generalizad Newtonian Fluids), cuja equação de estado é muito semelhante à newtoniana, 

                    (6) 

a única diferença consistindo no facto da viscosidade   poder ser agora uma função da taxa 

de  deformação  de  corte  ,  isto  é  ( ) .  Na  Eq.  (6)  assume‐se  que    e      são  as magnitudes da tensão e da taxa de deformação, sendo por isso valores positivos. 

 

2.7 Fluidificação 

  2.7.1 Modelo de lei de potência 

O modelo GNF mais simples que contabiliza o efeito de fluidificação ou espessamento (shear 

thinning ou shear thickening) é o modelo da lei de potência: 

  ‐26‐

  nK   ou  1nK               (7) 

onde:    K ‐ consistência [Pa.sn] 

    n ‐ índice da lei de potência 

Quando  1n   a  viscosidade  diminui  com  o  aumento  da  taxa  de  corte  e  o  fluido  é 

reofluidificante,  o  caso  mais  comum.  Usava‐se  anteriormente  a  designação  de  fluido 

pseudoplástico. Quando  1n   a  viscosidade  aumenta  com      e  o  fluido  é  reoespessante (designação antiga, fluido dilatante). Quando  1n  e viscosidade é constante e temos de novo 

o caso newtoniano com  K .  

O sangue é  fluidificante quando  100 [s‐1] e algumas propostas para ajuste entre a  lei de 

potência e viscosidades efectivamente medidas foram (unidades MKS): 

  0.0134K ,  0.785n      ( 0.00498  [Pa.s])      (8a) 

de Walburn e Schneck (Bioreology 13 (1976) 201);  e 

  0.0161K ,  0.63n       ( 0.00293  [Pa.s])      (8b) 

de Owen et al. (artigo de conferência 2005). Os valores de viscosidade indicados acima dentro 

dos  parêntesis  são  para 100 [s‐1].  Normalmente  tanto  K   como  n   variam  com  o 

hematócrito  e modelos de  lei de potência para o  sangue mais  sofisticados deveriam  incluir 

esses efeitos. 

  2.7.2 Modelo de Carreau‐Yasuda 

Uma variação realista da viscosidade com a taxa de deformação (  versus  ) deve apresentar um patamar   para taxas de corte elevadas  , igual à viscosidade do solvente no caso 

de uma suspensão ou solução, e outro patamar  0  para taxas de corte muito baixas,  0 . 

Nesses limites o modelo da lei de potência não tem um comportamento correcto (resulta em 

 quando  0 , e  0  quando  ). O modelo de Carreau‐Yasuda dado pela 

seguinte equação resolve esse problema, à custa de um número maior de parâmetros: 

  1

0 1n

a a

            (9) 

Onde:    n ‐ índice [‐] 

    a ‐ constante de Yasuda [‐] 

    0 ‐ viscosidade para   nulo [Pa.s] 

    ‐ viscosidade para    infinito [Pa.s] 

    ‐ constante de tempo [s] 

  ‐27‐

O  índica  n  tem  um  significado  semelhante  ao  índice  da  lei  de  potência,  com  –(1‐n)    a 

representar  a  taxa  de  decaimento  da  viscosidade  na  zona  de  variação  em  potência,  as 

viscosidades para  0  e   têm um significado físico  imediato, o  inverso da constante 

de tempo   corresponde ao valor de   a partir do qual a viscosidade começa a diminuir, e  a  

é obtido por ajuste a dados experimentais.    

Conjunto  de  valores  usados  para  a  viscosidade  do  sangue  (Cho  e  Kensey,  Biorheology  28 

(1991) 241): 

  2a ,  0.3568n ,  3.313  [s],  0 0.056 [Pa.s] e  0.00345  [Pa.s] .  (10a) 

Com  estes  parâmetros  obtém‐se  0.00471   [Pa.s]  para 100 [s‐1].  No  caso  do 

escoamento num tubo circular com diâmetro  10D  [mm] para um número de Reynolds de 

100  ( 1060 [kg/m3]),  obtém‐se  uma  taxa  de  corte  efectiva  de  / 14.7ef U R   [s‐1]  e 

uma viscosidade efectiva de  ( ) 0.00777ef  [Pa.s].   

Não  se  fique  com  a  ideia  que  os  parâmetros  dados  acima  são  únicos.  Outro  conjunto  de 

valores obtidos da literatura (Gijsen et al, J Biomechan. 32 (1999) 601) para representar com o 

modelo Carreau‐Yasuda a viscosidade do sangue é: 

      0.644a ,  0.392n ,  0.110  [s],  0 0.022 [Pa.s] e  0.0022  [Pa.s]  (10b) 

Neste  caso,  para  escoamento  em  tubo  com  Re=100  obtém‐se:  19.2ef   [s‐1]  e  uma 

viscosidade  efectiva  de  ( ) 0.0102ef   [Pa.s],  um  pouco  superior  à  do  exemplo  anterior.  

Para  100 [s‐1] estes parâmetros dão  0.00604 [Pa.s]. 

2.8 Tensão de Cedência 

2.8.1 Modelo de Bingham 

Consiste  na  sobreposição  de  uma  tensão  de  cedência  a  uma  tensão  newtoniana,  vindo 

definido pelas equações: 

  0      (para  0 )            (11a) 

  0        (para  0 )            (11b) 

com parâmetros:  0 ‐ tensão de cedência (yield stress) [Pa] = [N/m2] 

      ‐ coeficiente de viscosidade, constante [Pa.s] 

Fisicamente,  corresponde  a  um  material  que  se  comporta  como  um  sólido  indeformável 

quando  a  tensão  aplicada  é  inferior  à  tensão  de  cedência  ( 0 )  e  flui  como  um  fluido 

newtoniano  para  tensões  superiores.  A  viscosidade  de  corte  do modelo,  após  o  inicio  do 

escoamento, é dada por: 

  ‐28‐

  0

                (12) 

e só fica constante (igual a  ) quando a taxa de corte é suficientemente elevada. 

2.8.2 Modelo de Herschel‐Bulkley 

No  sentido  de  integrar  alguma  fluidificação  no modelo  de  Bingham,  considerou‐se  que  a 

resposta do material à tensão de corte aplicada é do tipo de  lei de potência após se  iniciar o 

escoamento. Assim, este modelo consiste na sobreposição de uma tensão de cedência a uma 

tensão dada pela lei de potência: 

  0nK      (para  0 )          (13a) 

  0          (para  0 )          (13b) 

com 3 parâmetros,  0 ,  K  e  n , que já foram explicados. A viscosidade de corte é: 

   1 0nK

                (14) 

seguindo a lei de potência para valores de   suficientemente elevados. 

  2.8.3 Modelo de Casson 

Este  modelo  foi  desenvolvido  para  representar  as  características  materiais  de  tintas  de 

impressão  sendo  também muito utilizado em hemodinâmica para modelar a viscosidade do 

sangue. Tem algum suporte teórico e permite obter analiticamente a solução para escoamento 

completamente  desenvolvido  em  tubo  (ver  relatório  de  Hemodinâmica).    A  equação  do 

modelo é: 

  0    (para  0 )              (15a) 

  0        (para  0 ).            (15b) 

e  tem  só  2  parâmetros  independentes:  tensão  de  cedência  0   [Pa]  e  coeficiente  de 

viscosidade de Casson (constante)   [Pa.s]. 

Desenvolvendo a expressão da tensão de corte vem 

  0.5

0 0

. _

2NewtBingham Lei Potencia

            (16) 

mostrando de forma mais clara a tensão de cedência (1º termo), termo linear newtoniano (2º 

termo), e termo não‐linear de lei de potência com  12n (3º termo). A viscosidade de corte é 

dada por: 

  ‐29‐

 00

0.5

2

.              (17) 

Valores ilustrativos dos parâmetros do modelo de Casson quando aplicado ao caso do sangue  

(Charm e Kurland, Nature 206 (1965) 617): 

  32.76 10  [Pa.s],  0 0.0108  [Pa]          (18) 

Para  100 [s‐1] este modelo de Casson dá  0.00396  [Pa.s]. 

A  tensão de cedência pode  também ser obtida com a correlação discutida acima quando se 

tratou de suspensões  (Eq. 4) que  tende a dar valores algo  inferiores ao da Eq.  (18). A Fig. 2 

compara a variação da viscosidade do sangue  tal como prevista por 3 modelos newtonianos 

generalizados: Carreau‐Yasuda  (parâmetros da Eq. 10a), Casson  (parâmetros da Eq. 18) e Lei 

de Potência (parâmetros da Eq. 8b). Verifica‐se que na zona de taxas de corte entre 1 e 100 [s‐

1]  as  viscosidades  não  são  muito  diferentes,  mas  fora  dessa  gama  surgem  discrepâncias 

significativas. Para o modelo de Casson  com  valores de  0.5 [s‐1]  a  viscosidade  aumenta 

muito mas  isso não deverá  influenciar a tensão de corte pois entra‐se então na zona de não 

cedência (sem deformação). Já o modelo da  lei de potência mostra os problemas de falta de 

realidade física para   muito pequenos e muito altos, sendo de facto válido numa zona de   bastante restrita (os autores referem 0.1 100  s‐1). 

 

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

[1/s]

0.001

0.01

0.1

1

10

[Pa.

s]

Carreau-YasudaCassonLei Potencia

.

. 

 

Fig. 2‐ Viscosidade em função da taxa de corte para três modelos GNF com parâmetros ajustados ao 

caso do sangue (Eqs. 10a, 18 e 8b). 

  

 

  ‐30‐

2.9 Escoamento em Tubo para Modelo de Lei de Potência 

Nesta  secção  faz‐se  a  dedução  do  perfil  de  velocidades  para  escoamento  completamente 

desenvolvido  em  tubo  circular  quando  a  viscosidade  varia  segundo  o  modelo  da  lei  de 

potência, e obtêm‐se ainda expressões para a velocidade média (caudal), velocidade máxima, 

tensão  e  taxa  de  deformação  na  parede.  A  dedução  segue  os mesmos  passos  usados  no 

relatório anterior para  fluido newtoniano. A equação de partida é a Eq  (25)  (Biotransporte – 

Parte  I)  que  representa  o  balanço  de  forças  num  elemento  de  fluido  cilíndrico  e  que  é 

independente do modelo de viscosidade: 

  12 Pr  

Igualando à Eq (6) que define o modelo da lei de potência, tem‐se 

  12

nPr K  

1

2

nPr du

K dr

        (19) 

Usou‐se  /du dr  porque o gradiente de velocidade é negativo e   deve ser positivo por definição.  Integrando  esta última  equação  e usando  a  condição de não  escorregamento na 

parede, obtém‐se: 

 

11 11 1

112 1

nn nP R ru

K Rn

 

11

0 1nr

u UR

    (20) 

Com velocidade máxima no eixo: 

   

11 1

0 12 1

nnP RU

Kn

              (21) 

A velocidade média vem da integração do perfil de velocidades sobre a secção circular: 

11 31 20

0 012 21

0

1121

1 212 1 3( 3)

R nn

n

Ur R R nU U rdr UR R R

Rnn

, 

ou seja: 

  0

13

11

U nU

n

   0 3 1

1

U n

U n

          (22) 

  ‐31‐

e a relação entre caudal e gradiente de pressão (o equivalente da lei de Poiseuille) fica: 

11

1

2 3 1

nnP n

U RK n

  ou  13

2

n

n

PR U

K R

      (23) 

É útil verificar que para  1n se recuperam as  fórmulas válidas para  fluido newtoniano, com 

K : 

 2

21

2 3 1 8

P PRU R

K K

    e   0 3 12

1 1

U

U

.      (23a) 

Por fim, deduzem‐se fórmulas para a tensão na parede e a respectiva taxa de corte. Da Eq. (23) 

e do balanço de forças tem‐se imediatamente: 

  12w PR  

1(3 )

n

w

UK

R n

           (24) 

Derivando o perfil de velocidades (Eq. 20) e calculando para  r R , obtém‐se 

  

1

00 1

1

1 11 1

n

ww n

Udu RU

dr n n RR

         (25a) 

ou 

13w

U

n R

.                (25b) 

De facto esta equação podia ter sido obtida imediatamente das Eqs. 19 (com  r R ) e 23. Para 

1n  tem‐se a taxa de corte na parede válida para fluido newtoniano,  4 /w U R . 

A Fig. 3 mostra uma comparação entre perfis de velocidade em tubo circular obtidos com a lei 

de potência (Eq. 20) e com a  lei newtoniana. Quando o  índice da  lei de potência diminui e o 

fluido  se  torna mais  fluidificante, o perfil  fica mais cheio e plano na  zona  junto ao eixo, e a 

velocidade máxima diminui. Repare‐se que todos estes perfis transportam o mesmo caudal, ou 

seja a velocidade média é igual para todos (em termos normalizados, tem‐se  1U  e  1R ). 

A  influência  da  fluidificação  torna‐se  mais  clara  representando  sob  forma  dimensional  o 

gradiente de pressão em função do caudal. A Fig. 4 mostra um gráfico desse tipo para o caso  

  ‐32‐

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

n=1

n=0.8

n=0.6

n=0.4

 

Fig. 3‐ Perfis de velocidade: Newtoniano, n=1; Lei Potência n=0.8, 0.6 e 0.4. 

 

do  escoamento  de  sangue  numa  artéria  de  diâmetro  igual  a  5  [mm],  tendo  o  sangue  sido 

modelado como fluido newtoniano ( 0.0035  [Pa.s]) ou fluido de  lei de potência (Eq. 8b). 

Observa‐se  que  a  relação  P   versus  Q   é  linear  para  o  fluido  newtoniano,  como  seria  de 

esperar pela lei de Poiseuille (Eq. 23a), mas é não linear, com tendência a diminuir a inclinação, 

para  o  fluido  que  segue  a  lei  de  potência.  Ou  seja,  este  fluido  tenderá  a  necessitar  um 

gradiente de pressão  inferior ao caso newtoniano para mover o mesmo caudal. Para valores 

de caudal baixos, a Fig. 4 mostra valores superiores de  P  para o caso não newtoniano, porque 

este  fluido  apresenta  uma  viscosidade  bastante  superior  à  viscosidade  newtoniana.  Neste 

exemplo  a  velocidade média  foi  variada  de  0  a  10  [cm/s],  que  corresponde  à  variação  de 

caudal de 0 a cerca de 2 [ml/s] da Fig. 4, e a taxa de corte efectiva ( /U R ) varia entre 0 e 

40 [s‐1].  Como foi já referido, esta gama encontra‐se na zona onde os efeitos não newtonianos 

são importantes no caso do sangue ( 100  [s‐1]). 

 

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2Q [ml/s]

0

100

200

300

400

500

P [Pa/m

]

newtoniano

lei potência, n=0.63

. 

Fig. 4‐ Gradiente de pressão versus caudal: escoamento em tubo. 

  ‐33‐

2.10 Número de Reynolds efectivo 

O número de Reynolds é definido pela Eq.  (32) da Parte  I. Para modelos de viscosidade não 

newtonianos, a viscosidade varia com a taxa de deformação e torna‐se necessário especificar 

como deve ser obtida a viscosidade que aparece na definição do número de Reynolds.   Para 

isso usa‐se uma viscosidade efectiva, calculada a uma taxa de deformação efectiva: 

 ef

UDRe

   com  ( )ef ef             (26) 

A escolha da taxa de deformação efectiva depende do escoamento. Para escoamento em tubo 

uma escolha adequada seria a taxa de corte na parede: 

  ef w                   (27a) 

Esta  é  dada  por  4 /U R para  fluido  newtoniano  e  pela  Eq.  (25b)  para  lei  de  potência.  No 

entanto, para  fluidos não newtonianos que seguem modelos de viscosidade mais complexos 

pode não ser fácil obter a taxa de corte na parede. Uma forma alternativa e mais simples de 

definir uma taxa de corte efectiva é: 

   ef

U

R                   (27b) 

No  exemplo  anterior,  a  variação do número de Reynolds  (Eqs. 26  e 27b)  com  a  velocidade 

média  imposta  à  partida,  é  mostrada  na  Fig.  5  a.  Re   aumenta  linearmente  no  caso 

newtoniano  e  tem  valores  algo menores  no  caso  da  lei  de  potência.  Os  valores menores 

resultam  do  facto  da  taxa  de  corte  efectiva  da  Eq  (27b)  ser  inferior  à  taxa  de  corte 

representativa do escoamento em tubo do fluido de lei de potência, o que por sua vez resulta 

em viscosidades maiores (ver Fig. 5 b). Veja‐se como a viscosidade do fluido de lei de potência 

é sempre superior ao valor de 0.0035 [Pa.s] do fluido newtoniano. 

 

(a) 

0 2 4 6 8 10U [cm/s]

0

40

80

120

160

Re

newtoniano

lei potência, n=0.63

 (b) 

0 10 20 30 40 [s‐1]

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

 [Pa.s]

lei potência, n=0.63

newtoniano

. 

Fig. 5‐ (a) Variação do número de Reynolds efectivo com a velocidade média e (b) da viscosidade com a 

taxa de corte efectiva Eq. (27b) (mesmo caso da Fig. 4).  

  ‐34‐

 

Em  geral,  sendo usada  a definição da  Eq.  (27b) para  a  taxa de  corte  efectiva,  é necessário 

inverter por iteração a equação: 

 

22

( )ef

ef

RRe

 2

( )

2ef

ef

Re

R

 (resolver por iteração)    (28) 

por forma a obter  ef  (e  efU R ) quando  Re  é dado. Quando se usa o modelo de Carreau‐

Yasuda,   por exemplo, este procedimento  tem de  ser  seguido para  se  saber que velocidade 

média deve ser imposta por forma a simular um determinado número de Reynolds. Os valores 

dados acima, nos parágrafos que seguem as Eqs. (10a) e (10b), foram calculados desta forma, 

usando o programa em Anexo. 

  ‐35‐

ANEXO – Programa para calcular a velocidade média quando o número de Reynolds é dado, 

para modelo Carreau‐Yasuda 

C C MODELO CARREAU-YASUDA C CALCULAR VALOR DA VELOCIDADE MEDIA PARA REYNOLDS DADO C - VIS0, VISINF, LAMBDA E N CONSTANTES C PROGRAM VISGNF AN=0.3568 DEN=1060. VIS0=0.056 VISI=0.00345 AL=3.313 AA=2. C H: largura canal ou diametro tubo H=0.01 PRINT *,' LARGURA CANAL OU DIAM TUBO=',H ITMAX=100 ITER=0 TOL=1.E-4 U1=0.0745 PRINT *,' RE ?' READ(*,*) RE PRINT *,' n' READ(*,*) AN 10 CONTINUE ITER=ITER+1 U1N=U1 GAM1=U1/(0.5*H) VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**AA)**((AN-1)/AA) U1=VIS*RE/DEN/H WRITE(*,*) ITER,U1 IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP END IF IF(ABS(U1-U1N)/U1N.GT.TOL) GO TO 10 VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**AA)**((AN-1)/AA) RE=DEN*U1*H/VIS PRINT *,' VIS EFF=',VIS,' (PA.S) RE=',RE PRINT *,' U1=',U1,' M/S' PRINT *,' GAM1=',GAM1 print *,' GAMA WALL canal=',3.*GAM1,' tubo=',4.*GAM1 STOP END

 

  ‐36‐

  ‐37‐

3. Equações da Mecânica de Fluidos 

3.1 Introdução 

Equações gerais de conservação da massa e da quantidade de movimento 

0t

v                   (1) 

Dp

Dt

vσ g τ g            (2) 

A Eq. (1) é também designada como equação da continuidade e pode reescrever‐se como: 

1 D

Dt

v                  (1a) 

que mostra, mais claramente, que 

0 v                   (3) 

para um fluido incompressível ( / 0D Dt ; Cte  ao longo duma linha de corrente). 

Nota: tensor tensões,  p σ I τ  ; aceleração, D

Dt t

v vv v  

Em  coordenadas  cartesianas  , ,x y zx   o  vector  velocidade  e  o  operador  “nabla”  têm 

componentes,  

, , , ,x y zu v w v v v v    

e   

ˆ ˆ ˆx y z

x y z  

 

x

yu(y+y)

u(y)

y

 

Fig. 1‐ Perfil de velocidade para definir a viscosidade. 

 

Um fluido newtoniano é definido através da lei da viscosidade de Newton (Figura 1):  

  ‐38‐

 ( ) ( )u u u y y u y

y y y

 

 

Quando se generaliza, esta equação escreve‐se: 

  2 T τ D v v   (tensor taxa deformação  12

T D v v ) 

 

x

y

z

v

vxvz

vy

 

 

Fig. 2‐ Coordenadas cartesianas 

 

3.2  Equações em coordenadas cartesianas  

As equações de conservação para fluido newtoniano com viscosidade constante são (Equações de Navier‐Stokes em coordenada cartesianas, Figura 2): 

Continuidade: 

0

yx zvv v

t x y z

 

Movimento: 

2 2 2

2 2 2x x x x x x x

x y z x

v v v v v v vpv v v g

t x y z x x y z

 

2 2 2

2 2 2

y y y y y y yx y z y

v v v v v v vpv v v g

t x y z y x y z

 

2 2 2

2 2 2z z z z z z z

x y z z

v v v v p v v vv v v g

t x y z z x y z

 

 

  ‐39‐

zr

 

 

Fig. 3‐ Coordenadas cilíndricas 

 

3.3 Equações em coordenadas cilíndricas 

Em coordenadas cilíndricas  , ,r zx o vector velocidade tem componentes   

, , , ,r zu v w v v v v  

As equações de conservação para viscosidade constante são (Equações de Navier‐Stokes): 

Continuidade:   

1 10r zrv v v

r r r r z

 

Movimento: 

2 2 2

2 2 2 2

1 1 2r r r r r rr z r r

v v vv v v v p v vv v rv g

t r r r z r r r r r z r

 

2 2

2 2 2 2

1 1 1 2r rr z

v v v v v v v v v vpv v rv g

t r r r z r r r r r z r

 

2 2

2 2 2

1 1z z z z z z zr z z

vv v v v v v vpv v r g

t r r z z r r r r z

 

 

Forma mais compacta: 

2

22 2

2r rr r r

v vv p vv v g

t r r r r

v  

22 2

1 2r rv v v vp vv v g

t r r r r

v  

2zz z z

v pv v g

t z

v  

com:   r z

vv v

r r z

v     e  2 2

22 2 2

1 1r

r r r r z

 

  ‐40‐

3.4 Exemplo de aplicação: (i) Escoamento laminar em canal plano 

Assume‐se um  campo de  velocidades bidimensional  com uma única  componente não nula: 

, , ,0,0x y zv v v u v . Não  se considera o efeito da gravidade e assume‐se ainda que o 

canal  é muito  comprido, não havendo por  isso  variações das propriedades  ao  longo de  x , / 0x . 

 

x

y

u(y)H

O

parede

plano simetria

 

Fig. 4‐ Escoamento em canal plano. 

 

As equações do movimento em coordenadas cartesianas segundo  x e  y  ficam: 

2

20

p u

x y

 e  0

p

y

  

o que implica que a velocidade só varia com y e que o gradiente de pressão é constante: 

  ( )u y  e  /dp dx  é constante. 

Integrando uma vez: 

 1

1u dpy C

y dx

 

Integrando outra vez: 

  21 2

1

2

dpu y C y C

dx  

As duas constantes de integração obtêm‐se das condições de fronteira: 

  0y ,  0u

y

 e  y H ,  0u  (velocidade zero na parede) 

que representam a simetria no plano central e o não escorregamento na parede. A primeira dá 

imediatamente  1 0C   e  a  segunda    22

1

2

dpC H

dx .  Finalmente,  o  perfil  de  velocidades 

vem: 

 22

( ) 12

dp H yu y

dx H

 

  ‐41‐

ou 

2

0 1 /u u y H    

onde  

2

0 2

dp Hu

dx

  

é  a  velocidade máxima,  que  ocorre  no  plano  central  do  canal,  0y .  A  forma  do  perfil  é 

parabólica, uma vez que u  varia com o quadrado de  y . 

 A velocidade média no canal é obtida por integração do perfil de velocidades: 

 2

0

1( )

3

H dp Hu u y dy

H dx  

e portanto 

0 1.5u u .   

O caudal é a velocidade média vezes a área de passagem, logo: 

32

3v

dp HQ

dx

 

O perfil de tensão de corte é linear e dado por: 

  yx

u dpy

y dx

 

O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede: 

  w

dpH

dx

   3w

u

H  

O coeficiente de atrito na parede é definido como: 

 21

2

wfu

      

e, para escoamento completamente desenvolvido num canal plano, vem dado por:   

12f

Re . 

Nesta equação o número de Reynolds é definido com a velocidade média e a largura do canal: 

  ‐42‐

  2u H

Re

. 

  ‐43‐

3.5 Exemplo de aplicação: (ii) Escoamento laminar num tubo de secção circular 

 

zu(r)

D

O

parede

plano simetria

r

 

Fig. 5‐ Escoamento em tubo circular. 

 

Neste caso usam‐se coordenadas cilíndricas. Para um  tubo de diâmetro  2D R , assume‐se um campo de velocidades cuja única componente não nula está alinhada com o eixo do tubo, 

z : , , 0,0,r zv v v u v .  Tal  como  no  exemplo  anterior,  assume‐se  escoamento 

completamente desenvolvido,  / 0 ( )z u u r . 

As equações ficam: 

0p u

rz r r r

 e  0

p

r

     

Implicando que  ( )u r  e  /dp dz  é constante. Integrando uma vez:  

 2

1

1

2

u dp rr C

r dz

    11

2

u dp r C

r dz r

 

Como o gradiente de velocidade não pode ser infinito no eixo do tubo,  0r , tem‐se  1 0C . 

Integrando outra vez: 

  22

1

4

dpu r C

dz  

Usando  a  condição  de  fronteira  de  não  escorregamento  na  parede:  0u   para  / 2r D , obtém‐se o perfil de velocidades (perfil parabólico): 

 22

( ) 116

dp D ru r

dz R

 

ou 

2

0 1 /u u r R  

com 

2

0 4

p Ru

L

  

  ‐44‐

onde  0u  é a velocidade máxima. A velocidade média no tubo é obtida por integração do perfil 

de velocidades: 

 2

2 0

1( )2

32

R dp Du u r rdr

R dz

 , e caudal 

4

128v

dp DQ

dz

 

com  0 2u u . O perfil de tensão de corte é linear e dado por: 

 2rz

u dp r

r dz

 

O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede: 

 4w

dp D

dz

  8w

u

D  

O coeficiente de atrito na parede resulta em: 

 21

2

16wfu Re

 

onde o número de Reynolds para escoamento em tubo é usualmente definido como: 

uDRe

. 

  ‐45‐

4. Equações do Movimento sob Forma Geral 

As equações do movimento sob forma geral, escritas em termos das componentes do tensor das  tensões,  são  úteis  para  resolver  problemas  com  fluidos  não  newtonianos.  Para  fluidos viscoelásticos  as  tensões  são  dadas  por  equações  diferenciais  ou  integrais  complexas.  Para 

fluidos  newtonianos  generalizados  (GNF),  2τ D ,  as  tensões  seguem  as  fórmulas  aqui 

dadas mas com a viscosidade   a ser uma função genérica da taxa de deformação  ,  ( ) . 

4.1 Coordenadas cartesianas 

 

x

y

z

v

vxvz

vy

 

Fig. 1‐ Componentes da velocidade em coordenadas cartesianas. 

 

As equações de conservação em coordenadas cartesianas: 

Continuidade: 

0

yx zvv v

t x y z

 

Movimento: 

yxx x x x xx zxx y z x

v v v v pv v v g

t x y z x x y z

 

y y y y xy yy zyx y z y

v v v v pv v v g

t x y z y x y z

 

yzxzz z z z zzx y z z

v v v v pv v v g

t x y z z x y z

 

 

Tensões (GNF) : 

2 xxx

v

x

;   2 yyy

v

y

;   2 zzz

v

z

 

yxxy

vv

y x

;  x zxz

v v

z x

;  y zyz

v v

z y

   

  ‐46‐

Taxa de deformação  12 : 2 : γ γ D D : 

2 2 22 222 2 2 2y y yx x xz z z

v v vv v vv v v

x y z y x z x z y

 

  

  ‐47‐

4.2 Coordenadas cilíndricas 

 

zr

 

Fig. 2‐ Coordenadas cilíndricas. 

 

As equações de conservação em coordenadas cilíndricas  , ,r zx ,  , ,r zv v vv : 

Continuidade:   

1 10r zrv v v

r r r r z

 

Movimento: 

2 1 1 rr r r r zr

r z rr r

v vv v v v pv v r g

t r r r z r r r r r z

 

22

1 1 1r zr z r

v v v v v v v pv v r g

t r r r z r r r r z

 

1 1 zz z z z zzr z rz z

vv v v v pv v r g

t r r z z r r r z

 

 

Tensões: 

2 rrr

v

r

;  12 rv v

r r

;  2 z

zz

v

z

 

1 1r rr

v v vv vr

r r r r r r

 

1 zz

v v

z r

 

z rzr

v v

r z

 

Taxa de deformação: 

22 22 2 22 1 1 1

2 2 2r r z r z z rv v vv v v v v v vr

r r r z r r r z r r z

 

  ‐48‐

4.3 Aplicação: Escoamento em tubo para fluido de Casson 

Para um escoamento de corte simples, o modelo de Casson é definido como: 

  0 ,  0  e   0 ,  0 .          (1) 

onde  0   é  a  tensão  de  cedência  e    um  coeficiente  de  viscosidade.  Num  escoamento 

completamente  desenvolvido  dentro  de  um  tubo  circular,  gerado  por  um  gradiente  de 

pressões constante  /P dp dz , o perfil de velocidades  só depende da coordenada  radial, 

( )u r , e a taxa de deformação é igual ao gradiente de velocidade,  /du dr .  As equações do 

movimento dadas acima, em coordenadas cilíndricas, reduzem‐se a: 

10 rz

pr

z r r

  Przr rr

 , integrando  

2rz

Pr      (2) 

Esta  equação é  sempre  válida, qualquer que  seja o  fluido,  e  representa o balanço  entre  as 

forças de corte sobre uma porção circular de raio  r  e comprimento  longitudinal  L  e a força 

de pressão aplicada na secção  2r do tubo:  2 2p r L r , com  rz  a representar a 

magnitude da tensão de corte.   

Na parte central do tubo existe uma zona de escoamento “tampão”, onde o material se move 

sem se deformar, como um sólido, uma vez que a  tensão é aí  inferior à  tensão de cedência 

0 .  Essa  zona  é  limitada  pela  circunferência  definida  por  um  raio  0r   onde  a  tensão  é 

exactamente  0  , isto é: 

  00 2

Pr ,    00 2

Pr

                (3) 

O  raio  0r   define  a  zona  tampão  (“plug  flow”,  no  inglês)  típica  do  escoamento  com  fluido 

viscoplástico, onde a velocidade é constante (definida adiante, Eq. 8): 

  0u u       para  00 r r            (4) 

Fora dessa zona,  0r r R , aplica‐se a equação (1) de Casson, reescrita como: 

  2 2

0 ,   0 02 du

dr

      (5) 

Com   da equação geral (2) e integrando para obter o perfil de velocidade, tem‐se 

  2 380 0 031 2 1 1u U y y y y y

  para   0 1y y   (6) 

onde  foi  já  inserida a condição  fronteira de não escorregamento  sobre a parede,  ( ) 0u R . 

Para  simplificar  a  notação  usou‐se  20 / 4U PR   (velocidade  no  centro  para  escoamento 

  ‐49‐

newtoniano  em  tubo)  e  /y r R .    Quando  a  tensão  de  cedência  é  nula,  0 0 ,  a  zona 

tampão  não  existe  0 0r ,  ou  seja  0 0 / 0y r R ,  e  esta  expressão  reduz‐se  ao  perfil 

parabólico em escoamento de Poiseuille. 

O caudal é obtido por integração do perfil de velocidade: 

 0

0 0

12 2

0 0

0

2 2 2 ( )r R

r y

Q u rdr u rdr u r R u y ydy  

O resultado escrito sob forma adimensional é: 

  1/ 2 416 4 10 0 0 07 3 21

0

( ) 1N

Q Ug y y y y

Q U     ( 2/U Q R )   (7) 

com  4 20 / 8 NQ PR R U  a representar o caudal para fluido newtoniano em tubo (isto 

é,  sem  tensão  de  cedência),  com  0 2 NU U . A  função  0( / )g r R   definida  pela  Eq.  (7)  está 

representada na Figura 1, onde  se pode observar o  rápido decaimento do  caudal quando o 

raio da zona central sem cedência aumenta. 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r0/R

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g

 

Fig. 1‐ Variação da razão de caudais com o aumento da zona sem cedência (“tampão”). 

Por último, a velocidade da zona  tampão usada na Eq.  (4) é obtida do perfil de velocidades,  

Eq. (6), fazendo  0r r  (ou  0y y ): 

  31

0 0 0 031 1u U y y .            (8) 

A  Figura 2 mostra o perfil de  velocidades obtido  com o modelo de Casson para  0 0.1r R , 

sendo  comparado  com  o  perfil  parabólico  do modelo  newtoniano.  Na  parte  (a)  da  figura 

ambos  os  perfis  são  normalizados  com  as  respectivas  velocidades médias  (da  Eq.  7  para 

Casson)  e  fica  visível  o  efeito  de  reofluidificação  sobre  a  forma  do  perfil.  Na  parte  (b)  as 

velocidades são normalizadas com o mesmo valor, a velocidade máxima do caso newtoniano, 

  ‐50‐

ficando notório que, para o mesmo gradiente de pressão, o caudal do fluido de Casson é muito 

menor do que o caudal do fluido newtoniano.  

 

(a)

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1r/R

Casson, y0=0.1

newtoniano

r0/R=0.1

(b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1u(r)/U0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

Casson, y0=0.1

newtoniano

r0/R=0.1

 

Fig. 2 – Perfis de velocidades para fluidos newtoniano e Casson  0 0.1y , normalizados com (a) 

respectiva velocidade média; (b) velocidade máxima do caso newtoniano 2

0/ 4U PR . 

 

O  aumento  do  atrito  na  parede  que  ocorre  com  o  fluido  de  Casson,  comparativamente  ao 

newtoniano,  é  ilustrado  de  forma  directa  na  Figura  3,  onde  o  grupo  efR   é mostrado  em 

função do tamanho da zona sem cedência  0 /r R .  Quando  0 / 0r R , que equivale a  0 0 , 

não há zona sem cedência e o modelo de Casson torna‐se igual ao modelo Newtoniano, para o 

qual o coeficiente de atrito multiplicado pelo número de Reynolds é constante  16fRe  (este 

grupo é por vezes chamado número de Poiseuille). Os valores da Fig. 3 foram obtidos com o 

programa dado em Anexo.     

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5r0/R

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

fRe/fRe N

 

Fig. 3 – Variação da razão entre o coeficiente de atrito para fluido de Casson e o correspondente 

newtoniano com o tamanho da zona tampão.  

O coeficiente de atrito é obtido a partir da sua definição 

  ‐51‐

 21

2

wfU

                  (9) 

onde a tensão na parede é dada por   / 2w PR (Eq. 2). Note‐se que a velocidade média que 

aqui  deve  aparecer  é  a  velocidade média para  o  fluido  de  Casson,  da  Eq.  (7).  Substituindo 

valores, e fazendo aparecer o número de Reynolds  2 / efRe U R ,  temos sucessivamente: 

 2

2 212

1 1 824

w

ef

ef

PR PRf

U RU U U

, 

ou 

 1 16

/ef N

fReU U

    

1

N

fRe

fRe gg

,          (10) 

com  16N

fRe   ,  2 / 8NU PR ,  a  função  / Ng U U   dada  pela  Eq.  (7),  e  a  função 

/efg  a representar a viscosidade efectiva adimensional. A viscosidade efectiva deve ser 

calculada com base na taxa de corte que existe junto à parede, ou seja: 

  wef w

w

 

A taxa de deformação na parede pode ser obtida da primeira parte da Eq. (5), com a tensão da 

parede dada acima  / 2w PR  e a tensão de cedência dada pela Eq. (3), 

  2 2

0 0

11

2w w

PRy

 

ou seja: 

2

01

ww

w y

  

2

0

1

1g

y

        (11) 

A Figura 3 mostra de forma inequívoca que o coeficiente de atrito na parede para o modelo de 

Casson  calculado  segundo  a  Eq.  (10)  é maior  do  que  o  correspondente  newtoniano.  Isto 

acontece  apesar  do modelo  de  Casson  ser  reofluidicante  o  que,  à  partida,  poderia  sugerir 

maior facilidade de escoamento para um dado gradiente de pressão. Conclui‐se que a tensão 

de cedência é a causa para o aumento da resistência ao movimento no modelo de Casson. 

  ‐52‐

Anexo 1 – Programa para preparar perfil de velocidades analítico para modelo de Casson 

program GNFVIS3 C C PREPARE velocity profile FOR BLOOD C in pipe flow - CASSON MODEL C OPEN(10,FILE='gnfvis3.dat') PRINT *,' GIVE Y0' READ(*,*) Y0 F=1.-16./7.*SQRT(Y0)+4./3.*Y0-1./21.*Y0**4 FF=1./(1.-SQRT(Y0))**2 FRE=1./F/FF Q0=1./2. Q=Q0*F U0=(1.-SQRT(Y0))**3*(1.+1./3.*SQRT(Y0)) PRINT *,' F=',F PRINT *,' U0=',U0 PRINT *,' FRE=',FRE C RANGE OF R ... Y1=0.0 Y2=1.0 N=100 DY=(Y2-Y1)/FLOAT(N) Y=Y1 UNM=0.0 UM=0.0 DO 10 I=1,N+1 UN=1.-Y**2 U=(1.-Y**2)+2.*Y0*(1.-Y)-8./3.*SQRT(Y0)*(1.-SQRT(Y**3)) IF(Y.LE.Y0) U=U0 DYY=DY IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.N+1) DYY=DY*0.5 UNM=UNM+UN*DYY*Y UM=UM+U*DYY*Y UUN=UN/Q0 UU=U/Q C Escrever resultados: Y=r/R; UU=u/U; UUN=(u/U)Newt; U=u/(U0)Newt WRITE(10,100) Y,UU,UUN,U,UN Y=Y+DY 10 CONTINUE C PRINT *,' NUMERICAL, MEAN UNM=',2.*UNM,' UM=',2.*UM 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END

  ‐53‐

Anexo 2 – Programa para preparar variação do coeficiente de atrito com o tamanho da zona 

sem cedência para modelo de Casson 

program GNFVIS4 C C PREPARE velocity profile FOR BLOOD C in pipe flow - CASSON MODEL c VARIED Y0 C OPEN(10,FILE='gnfvis4.dat') C RANGE OF Y0 ... Y1=0.0 Y2=1.0 N=100 DY=(Y2-Y1)/FLOAT(N) Y0=Y1 DO 10 I=1,N+1 F=1.-16./7.*SQRT(Y0)+4./3.*Y0-1./21.*Y0**4 FF=1./(1.-SQRT(Y0))**2 FRE=1./F/FF UN=1./2. U=UN*F U0=(1.-SQRT(Y0))**3*(1.+1./3.*SQRT(Y0)) WRITE(10,100) Y0,F,FRE,U0 Y0=Y0+DY 10 CONTINUE C 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END

 

  ‐54‐

  ‐55‐

5. Viscosidade do Sangue 

 

O  sangue é uma  suspensão de  células  (eritrócitos,  leucócitos e  trombócitos) em plasma. As 

células que  existem  em maior quantidade  são os  eritrócitos, ou  glóbulos  vermelhos,  sendo 

determinantes  para  definir  as  propriedades  reológicas  do  sangue.  A  sua  concentração 

volumétrica, o hematócrito  H , varia consoante a temperatura e o estado de saúde da pessoa, 

mas ronda os  42 45H % em situação normal. O sangue comporta‐se como um fluido não 

newtoniano,  sobretudo  para  valores  baixos  da  taxa  de deformação  ( 100   s‐1)  e  quando 

circula em  vasos de pequenas dimensões  ( 1d mm). Neste último  caso o  cariz bifásico da 

suspensão, plasma  com 45% de glóbulos vermelhos,  torna‐se notório.  Isto acentua‐se ainda 

mais  quando  o  diâmetro  dos  vasos  é  da  mesma  ordem  de  grandeza  das  dimensões  dos 

glóbulos vermelhos ( 8gvd m) como acontece nos capilares.  

5.1 Reofluidificação 

Para se contabilizar o efeito de reofluidificação do sangue, ou seja, a diminuição da viscosidade 

 com o aumento da taxa de deformação  , usam‐se modelos não newtonianos  inelástixos 

(sem  elasticidade),  também  designados  por  modelos  GNF  (Generalized  Newtonian  Fluid). 

Existem  vários modelos  empíricos  deste  tipo,  e  um  deles  é  o modelo  de  Carreau‐Yasuda, 

definido pela equação: 

  1

0( ) 1n

a a

 

Esta equação tem 5 parâmetros independentes que, para o caso do sangue, tomam os valores: 

Viscosidade para taxa de corte nula:  0 0.056  Pa.s 

Viscosidade para taxa de corte infinita:  0.00345  Pa.s 

Parâmetro Yasuda:  2a  

Tempo característico:  3.313  s 

Expoente:  0.3568n   

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

(1/s)

0.001

0.01

0.1

(Ns/

m2)

.

. 

Fig. 1 Variação da viscosidade do sangue, modelo Carreau‐Yasuda. 

  ‐56‐

A  Figura  1 mostra  a  variação  da  viscosidade  em  função  da  taxa  de  deformação  de  corte 

prevista  pelo modelo  de  Carreau‐Yasuda.  Para  taxas  de  deformação  baixas  a  viscosidade  é 

constante e  igual ao valor de  0 . A partir de um certo valor de  , dado aproximadamente 

pelo  inverso do tempo característico 1/ , a viscosidade começa a decair segundo uma taxa 

determinada  pelo  expoente  n . Quanto menor  for  n , maior  é  a  inclinação  da  variação  da 

viscosidade em função de  , a qual é dada por   (1 )n  em representação log‐log.  

Da definição do coeficiente de viscosidade de corte, obtém‐se a tensão de corte: 

   

A  sua  variação  em  escala  logarítmíca  é mostrada na  Figura  2. Observa‐se  que  para  valores 

elevados da  taxa de  corte  a  tensão  vai  aumentando  linearmente, o que  é  característico do 

comportamento newtoniano ( ,   constante).  

   

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

(1/s)

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

(N/m

2)

.

. 

Fig. 2 Tensão de corte em função da taxa de deformação para modelo Carreau‐Yasuda. 

 

A reofluidificação é mostrada de forma mais efectiva num gráfico em escala linear, como o da 

Figura 3, que dá a  tensão de  corte do modelo Carreau‐Yasuda  com os mesmos parâmetros 

dados  acima.  A  diminuição  do  aumento  da  tensão  de  corte  à  medida  que  a  taxa  de 

deformação aumenta é agora notória, sobretudo para baixos valores de  . Fica também claro 

que este modelo não tem tensão de cedência, uma vez que a tensão de corte tende para zero 

quando  0  . 

  ‐57‐

0 40 80 120 160 200

(1/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(N/m

2)

.

. 

Fig. 3 Tensão de corte versus taxa de corte em escala linear: modelo Carreau‐Yasuda. Reofluidificação. 

 

5.2 Efeitos de hematócrito e temperatura 

Quando  as  taxas  de  deformação  são  elevadas,  o  sangue  pode  considerar‐se  como  uma 

suspensão de  “partículas” num  fluido newtoniano.  Einstein deduziu uma  equação que dá  a 

viscosidade da suspensão quando as partículas são esféricas e a sua concentração volumétrica 

 é pequena ( 0.05 ) e que, quando aplicada ao sangue, se escreve: 

 1

1P

 

Aqui    é  a  viscosidade  do  sangue,  P   é  a  viscosidade  do  plasma  ( (1.2 1.8)P agua ; 

21.24 10P  Pa.s a 37ºC) e   é um parâmetro que depende da  forma geométrica das 

partículas, sendo  2.5  para esferas como na lei de Einstein. Para valores mais elevados de 

concentração  , ou seja do hematócrito  100H  no caso do sangue, este parâmetro varia 

não só com a própria concentração mas  também com a  temperatura. A seguinte correlação 

empírica permite obter  numa gama limitada de concentrações: 

  1.6911070.076exp 2.49

( )e

T K

     para  0.05 0.6 . 

A Figura 4 mostra a variação de viscosidade do sangue prevista com este modelo, onde se usou 

para viscosidade do plasma o valor acima  indicado (0.00124 Pa.s) e para temperatura o valor 

normal do  corpo humano, 37ºC, ou  seja  310T  K. Verifica‐se que a  viscosidade aumenta 

exponencialmente com o aumento do hematócrito, até valores de  60%H  ( 0.60 ) que 

correspondem  já  a  estados  patológicos  (policitemia).  Na  gama  normal  de  valores  do 

hematócrito, quando  H passa de 40 para 50%, a viscosidade aumenta de 28%. Este aumento 

de viscosidade  implica  trabalho adicional para bombear o  sangue. Por outro  lado, quando a 

  ‐58‐

temperatura  sobe de 37ºC para 40ºC, com  45%H  constante, a viscosidade decresce de 

2%.   

0 20 40 60Hematócrito(%)

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

visc

osid

ade(

Ns/

m2)

.

. 

Fig. 4 Variação da viscosidade do sangue em função do hematócrito (concentração volumétrica dos 

glóbulos vermelhos), para temperatura de 37ºC. 

 

5.3 Tensão de Cedência 

Quando  o  sangue  está  em  repouso,  existe  tendência  para  os  glóbulos  vermelhos  se 

aglomerarem  formando  estruturas.  Estas  estruturas  opõem‐se  ao movimento  quando  uma 

tensão relativamente pequena é aplicada. Por isso o sangue é um fluido que apresenta tensão 

de  cedência,  isto é, uma  tensão abaixo da qual o  sangue não  se deforma. Um modelo GNF 

incorporando tensão de cedência e que tem sido muito utilizado para descrever a viscosidade 

do sangue é o modelo de Casson, definido pelas equações: 

  0   se  0  

  0      se  0  

A tensão de cedência  0  depende do hematócrito, assim como o coeficiente de viscosidade da 

Casson  . Usando os valores  0 0.0108  Pa  e  0.00276 Pa.s  fornecidos na literatura, 

obtém‐se  a  variação da  viscosidade  apresentada na  Figura 5,  comparada  com  a do modelo 

Carreau‐Yasuda  dado  acima.  Observa‐se  que  para  0.3 s‐1,  quando  a  reofluificação  do 

sangue começa a ser mais acentuada, os valores de viscosidade dados pelos dois modelos são 

muito próximos. Para valores mais baixos da taxa de corte a viscosidade prevista pelo modelo 

de Casson continua a aumentar enquanto a prevista pelo modelo de Carreau tende para um 

patamar definido pela viscosidade a taxa de deformação nula  0 . 

 

  ‐59‐

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

(1/s)

0.001

0.01

0.1

1

10

(Ns/

m2)

Carreau-YasudaCasson

.

. 

Fig. 5 Modelo de Casson, variação da viscosidade. 

  

Nessa altura a tensão é próxima da tensão de cedência e o valor da viscosidade deixa de ter 

relevância uma vez que, para essa gama de deformações, se tem aproximadamente 0 . Isto 

torna‐se claro no gráfico da variação da  tensão com a  taxa de deformação da Figura 6. Para 

0.1 s‐1  tem‐se  00.01Pa  e o modelo de Casson  implica comportamento de sólido 

indeformável. 

 

0.01 0.1 1 10 100

(1/s)

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

(N/m

2)

CarreauCasson

.

. 

Fig. 6 Modelo de Casson, variação da tensão de corte. 

 

A variação da tensão de cedência com o hematócrito é correlacionada pela seguinte expressão 

(Merril et al, Biophysical J., 3 (1963) 199‐ 213; nota: hematócrito em percentagem): 

  1/3

0 0A H H   (din/cm2),   com  0 5H  e  0.008 0.002A   

  ‐60‐

Na  verdade o  valor do hematócrito  0H  acima do qual  começa a haver  tensão de  cedência 

pode  variar  entre  0 1.3 6.5H .  Nota  1  din/cm2 0.1 Pa  (Pa=N/m2.).  Para  45H   e 

0 5H ,  esta  expressão  dá  uma  tensão  de  cedência  de  3

0 0.008 40 0.033  

din/cm2 0.0033 .Pa 3.3 mPa. Para um  valor normal de hematócrito,  45H ,  a  gama de 

variação da constante  A  da correlação conduz a uma variação da  tensão de cedência entre 

0 0.001  Pa e  0 0.0064  Pa (1 e 6 mPa). A correlação acima pode escrever‐se em MKS: 

  3

0 051.2  mPa  

Existem  expressões  emelhantes  a  esta  na  literatura,  mas  sem  utilizar  o  valor  mínimo  do 

hematócrito abaixo do qual não ocorre tensão de cedência. Por exemplo (Picart et al., J. Rheol. 

42 (1998) 1‐12): 

  3

0 26.87  mPa  

Para  0.45  esta expressão dá  0 2.4  mPa. 

Outra expressão encontrada na literatura  (Das et al., Biorheology  37 (2000) 239‐258) é: 

  / 2

1/ 2

0

11

1

  din/cm2 

com:  2.0  e  0.3315  sangue humano;  1.621  e  0.627  sangue gato.  No caso 

de sangue humano, para um hematócrito de  45H ,  /100 0.45H , vem  0 0.005  

N/m2 5 mPa. 

 

  ‐61‐

Anexo 1‐ Programa para calcular a viscosidade de corte dos modelos de Carreau‐Yasuda e Casson 

program GNFVIS C C PREPARE SHEAR VISCOSITY FOR CARREAU AND CASSON MODELS C in simple shear C OPEN(10,FILE='gnfvis.dat') C Dados partida para modelo Carreau, C vis=visinf+(vis0-visinf)*(1+(al*gam)**a)**((n-1)/a) AL=3.313 VISINF=0.00345 VIS0=0.056 A=2.0 C Dados partida modelo Casson tau**1/2=tauy**1/2+(Kc*gam)**1/2 TAUY=0.0108 AKC=0.00276 print *,' AN ?' read(*,*) AN AN1=AN-1. C Gama de texas de corte ... GAM1=1.E-2 GAM2=1.E4 NGAM=200 gl1=alog10(gam1) gl2=alog10(gam2) DGAM=(gl2-gl1)/float(ngam) GLAM=GL1 DO 10 I=1,NGAM GAM=10.**(GLAM) C Modelo Carreau viscosidade e tensao corte VIS=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(AL*GAM)**A)**(AN1/A) TXY=VIS*GAM C Modelo Casson: tensao corte e viscosidade TAUC=(SQRT(TAUY)+SQRT(AKC*GAM))**2 VISC=TAUC/GAM C Escrever no ficheiro gnfvis.dat WRITE(10,100) GAM,VIS,TXY,VISC,TAUC GLAM=GLAM+DGAM 10 CONTINUE 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END

Anexo 2‐ Programa para calcular a viscosidade em função do hematócrito 

program GNFVIS2 C C PREPARE SHEAR VISCOSITY FOR BLOOD C in simple shear, FUNCTION OF HEMATOCRIT C OPEN(10,FILE='gnfvis2.dat') T=310.0 VIS0=1.24E-3 C RANGE OF H ... H1=0.0 H2=0.6 NGAM=200 DH=(H2-H1)/float(ngam) H=H1 DO 10 I=1,NGAM+1 A=0.076*EXP(2.49*H+1107/T*EXP(-1.69*H)) VIS=VIS0*(1.0/(1.-A*H)) WRITE(10,100) H*100,VIS,A H=H+DH 10 CONTINUE 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END

 

  ‐62‐

  ‐63‐

6. Resolução das Equações do Movimento com Método dos Volumes Finitos 

 

6.1 Introdução ao método dos volumes finitos ‐ discretização 

A equação do movimento em coordenadas cilíndricas (Fig. 1) para um fluido GNF é: 

10

p ur

z r r r

              (1) 

 

zu(r)

D

O

parede

plano simetria

r

 

Fig. 1‐ Escoamento completamente desenvolvido em tubo cilíndrico. 

 

em que a viscosidade de corte  ( ) pode ser uma função complexa da taxa de deformação de 

corte  /u r . Esta equação é integrada sobre um volume de controlo segundo a direcção 

radial,  de  forma  anelar,  centrado  no  nó  P ,  limitada  por  uma  circunferência  de  raio  nr   a 

“norte” e  sr  a “sul” (Fig. 2): 

10 2

n

s

r

r

p ur rdr

z r r r

   0n n

s s

r r

r r

p urdr r dr

z r r  

 

P

N

S

s

n

rn

rs

r

r

 

Fig. 2‐ Volumes de controlo axisimétricos usados na discretização. 

 

O gradiente de pressão  imposto é  constante,  sendo designado por  /G p z . Usando a 

regra do ponto médio para aproximar os integrais, obtém‐se: 

  ‐64‐

0n

P Ps

uGr r r

r

      0 P Pn s

u uGr r r r

r r

    (2) 

onde o espaçamento do volume de controlo centrado em  P  é  P n sr r r . Os gradientes da 

velocidade  são  aproximados  assumindo  uma  variação  local  linear  da  velocidade  entre  nós consecutivos, 

  N Pn

n n

u uu

r r   e   P S

ss s

u uu

r r           (3) 

Os volumes de controlo acima e abaixo do volume de controlo central  P  são designados por 

norte  N e  sul  S . As distâncias entre nós,  situados no centro dos volumes de controlo,  são 

n N Pr r r  e  s P Sr r r . Substituindo estas aproximações na equação integrada anterior 

obtém‐se finalmente a equação discretizada escrita na forma padrão: 

  P P N N S Sa u a u a u b               (4) 

Os coeficientes desta equação são definidos por 

  nN n

n

a rr

  ,  sS s

s

a rr

   e  P N Sa a a   (coeficiente central)    (5) 

e o termo fonte por 

  P Pb Gr r                   (6) 

Existe uma equação discretizada para cada volume de controlo  interno, e o conjunto destas equações  constitui  assim  um  sistema  de  equações  lineares  com  estrutura  tridiagonal:  a 

diagonal principal é  Pa , a diagonal  imediatamente acima é  Na  e a  imediatamente abaixo 

Sa . Estes sistemas são facilmente resolvidos pelo algoritmo TDMA. 

6.2 Algoritmo de correcção de pressão; sub‐relaxação 

O problema do escoamento no tubo pode ser resolvido segundo duas abordagens:  

(1) o gradiente de pressão é dado (problema directo);  

(2) o caudal é imposto (problema inverso).  

O  caso  1  é  o mais  fácil,  o  valor  conhecido  de  G   é  inserido  no  termo  fonte  e  a  equação discretizada é resolvida para se obter o campo de velocidades. Como em geral os coeficientes dependem da  velocidade,  a  incógnita principal, uma  vez que  a  viscosidade dum  fluido GNF 

varia com  /u r , é necessário iterar até que o resíduo da equação fique menor que uma 

determinada tolerância: 

 1

N

N N S S P Pi

res a u a u b a u TOL

          (7) 

O caso 2 resolve‐se segundo o método de correcção de pressão e é necessário  iterar mesmo com  viscosidade  constante  (fluido  newtoniano).  Começa‐se  com  um  valor  estimado  do 

  ‐65‐

gradiente de pressões,  *G ,  resolve‐se o  sistema de equações  tridiagonais para se obter um 

campo de velocidades  *iu  que no caso geral não fornecerá o caudal correcto, Q , e faz‐se uma 

correcção do gradiente de pressões e do campo de velocidades, de forma a este satisfazer a condição de caudal imposto. 

A  relação  entre  a  correcção  do  gradiente  de  pressões  e  das  velocidades  obtém‐se  por diferenciação da equação discretizada: 

0

P P N N S S P pa u a u a u b r r G

 P p

PP

r ru G

a

 

ou       i ii

Pi

r ru G

a

            (8) 

com  as  correcções  definidas  como  *i i iu u u   e  *G G G   (usando  o  índice  i   para 

indicar a posição, em vez de  P , para  facilitar os somatórios que se seguem). Repare‐se que neste caso simplificado unidimensional, a velocidade e os coeficientes dependem da posição espacial  (variam  com  i ),  mas  o  gradiente  de  pressão  é  uniforme.  O  caudal  volumétrico correcto  é  dado  pelo  somatório  das  velocidades  corrigidas multiplicadas  pelas  respectivas áreas: 

 1 1

2N N

i i i i ii i

Q Au r ru

              (9) 

Introduzindo a definição da correcção de velocidades  *i i iu u u  e a relação ente  u  e  G  

obtida acima, temos  

2

* *

1 1

2 2N N

i ii i i i

i i Pi

r rQ r r u u Q G

a

 

Ou seja, a correcção do gradiente de pressões é: 

 

*

2

1

2N

i i

i Pi

Q QG

r r

a

               (10) 

As novas velocidades juntamente com o novo gradiente de pressões 

  *i i iu u u  e  *G G G            (11) 

satisfazem o  constrangimento  imposto pelo  caudal, mas deixam de  satisfazer a equação da quantidade de movimento. Por isso este procedimento tem de ser repetido, um certo número de  iterações,  até haver  convergência. A  convergência deste processo  iterativo  é  controlada pelo valor do resíduo, e este ciclo  iterativo contém os passos necessários para  tratar as não linearidades  existentes  na  equação  de  partida,  como  por  exemplo  a  presença  de  uma expressão complexa para o coeficiente de viscosidade. Ou seja, um único ciclo  iterativo trata 

  ‐66‐

as duas questões: (i) correcção de pressões para satisfazer caudal, e (ii) viscosidade a variar de forma não linear com a taxa de deformação.   

Os passos deste algoritmo, designado de SIMPLE, são os seguintes: 

1. Para um dado caudal Q , estimar o gradiente de pressões  *G . 

2. Obter velocidades  *iu , por resolução da equação do movimento (Eq. 4) 

3. Calcular correcções de pressão  Q  e de velocidade  iu (Eqs. 10 e 8). 

4. Corrigir pressões e velocidades (Eqs. 11). 5. Verificar convergência (Eq. 7); caso seja necessário repetir (ir para passo 2). 

 

A  experiência mostra  que  para  que  este  procedimento  convirja  é  necessário  subrelaxar  a equação  discretizada  e  a  variação  do  gradiente  de  pressões. Ou  seja,  as  equações  que  se resolvem de facto são 

 

*

novo novo

1

P

P PP N N S S P

a b

a au a u a u b u

  e   *

pG G G   (12) 

em vez das equações originais. Aqui,   e  p são  factores de  subrelaxação, que devem  ser 

menores do que 1. Valores típicos,  0.95  para a velocidade e  0.05p  para a pressão. A 

Figura 1 mostra a evolução do resíduo para um caso newtoniano, numa malha uniforme com 

20 volumes de controlo  1/ 20 0.05r , quando o valor  inicial estimado do gradiente de 

pressões foi  1G  (o valor final em termos adimensionais é sempre 8, ver Fig. 1 b). Para uma tolerância de 10‐6 foram necessárias 34 iterações. 

 

(a)

0 5 10 15 20 25 30iteração

1E-007

1E-006

1E-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

resídu

o

SIMPLE, =0.95, p=0.05

  (b)

0 5 10 15 20 25 30iteração

0

4

8

12

16

G=‐dp

/dr

SIMPLE, =0.95, p=0.05

 

Fig. 1‐ Variação do resíduo com o número de iterações (a) e da estimativa do gradiente de pressões ao longo do processo iterativo (b). Caso newtoniano, malha N=20. 

   

6.3 Escoamento laminar num tubo de secção circular 

Já se viu em relatório anterior que a solução deste problema para fluido newtoniano é: 

2

0 1 /u U r R                 (13) 

  ‐67‐

com a velocidade máxima no centro dada por    20 ( / ) / 4U p L R  a ser  igual a duas vezes a 

velocidade média. Veja‐se que com  1R ,  1  e  1U , se deve ter  / 8G p L , como 

referido acima. 

Com o programa dado em anexo, para uma malha com 20 volumes de controlo (N=22), obtém‐se o perfil de velocidades representado pelos símbolos na Figura 2, onde o perfil parabólico da teoria é dado pela linha a cheio vermelha. O erro cometido é de 1.2 10‐3.  

 

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

numérico

teórico

 

Fig. 2‐ Escoamento newtoniano em tubo circular. Resultados numéricos com  0.05r . 

 

Vamos  considerar  agora  o  caso  de  um  líquido  não  newtoniano  cuja  viscosidade  segue  o modelo da lei de potência: 

  1nk                    (14) 

Como  sabemos,  este  é  o modelo mais  simples  a  representar  a  reofluidificação,  ou  seja,  a diminuição da viscosidade  com o aumento da  taxa de deformação. A  solução analítica para este caso é: 

  1

1

0 1 / nu U r R

              (15) 

com velocidade máxima no eixo dada por: 

 

11

1

0 2 1

nnG n

U Rk n

              (16) 

Nos  cálculos  apresentados na  Figura 3  (a) usou‐se o mesmo  gradiente de pressões do  caso 

newtoniano,  8G ,  e  um  valor  unitário  para  a  consistência,  tal  como  a  viscosidade 

newtoniana,  1k .  NU   é  a  velocidade  média  newtoniana,  ou  seja:  2 / 8NU GR . 

Observa‐se  desta  figura  que  à  medida  que  o  índice  da  lei  de  potência  diminui, 

1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5n , os perfis de velocidade tornam‐se mais cheios (aproximando‐se da 

forma  “tampão”) e  a  velocidade máxima aumenta  significativamente. Como os  cálculos  são feitos para o mesmo gradiente de pressão, isto significa que o atrito na parede diminui com  n , de  forma ao caudal ser muito maior quando o  fluido é não newtoniano com reofluidificação 

  ‐68‐

importante  (isto é, com  n  pequeno). A Figura 3  (b) mostra os mesmos dados mas agora as velocidades  estão  normalizadas  de  forma  consistente,  com  uma  escala  de  velocidades 

específica  para  cada  caso:  2 / 8 efU GR   com  a  viscosidade  efectiva  a  variar  com  n , 

( )ef ef  e  /ef U R . U é   a velocidade média de cada caso, calculada numericamente. 

Desta forma as variação ficam mais graduais e o aumento da velocidade máxima  (0) /u U  é quase  linear  com  a  diminuição  de  n .  Teoricamente,  (3 1/ ) / 4nU U n   e 

(0) / 4(3 1/ ) (3 1) /( 1)nu U n n n  As linhas coloridas na Figura 3 (b) são apenas uniões entre 

os valores numéricos obtidos, sendo estes representados por símbolos redondos.   

 

(a)

0 2 4 6u(r)/UN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

numérico

teórico

n=1 0.5

0.60.7

0.8

   (b)

0 1 2 3u(r)/U'

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

n=1

n=0.5

0.6

 

Fig. 3‐ Perfis de velocidade em tubo para modelo de lei de potência (mesmo gradiente de pressão). (a) 

normalização fixa  2 / 8 1NU GR ; (b) normalização variável  2 1/ 8 nefU GR U . 

 

Usando a abordagem 2, de caudal imposto, que equivale a normalizar os perfis de velocidade anteriores  com  a  respectiva  velocidade média, obtêm‐se os  resultados da  Figura 4. Quanto menor  for o  n , mais cheio  fica o perfil, menor é a velocidade máxima no eixo, e maior é o gradiente de  velocidades  junto  à parede.  Tudo  isto  em  consequência da  reofluidificação da 

viscosidade (em inglês, “shear thinning”). Com um valor baixo do índice de potência,  0.3n  (Figura 4 b), as diferenças entre perfis são mais notórias. Quando o modelo da lei de potência é  utilizado  para  representar  a  viscosidade  do  sangue,  os  valores  desse  índice  variam  entre 

n 0.68 e 0.8 para taxas de deformação de  5 a 200 s‐1.  

 

(a)

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

numérico

teórico

n=1‐0.5

0.5

  (b) 

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

numérico

teórico

n=1.0

n=0.3

 

  ‐69‐

Fig. 4‐ Comparação dos perfis de velocidade numéricos e teóricos, com normalização pela velocidade média (mesmo caudal). (a) Índice de potência a variar de 1 a 0.5; (b) 2 casos,  n 1 (newtoniano) e 0.3. 

 O efeito da reofluidifcação é  ilustrado de  forma mais directa na Figura 5. A parte  (a) mostra como  o  gradiente  de  pressões  diminui,  para  o mesmo  caudal,  quando  o  índice  da  lei  de potência  é  reduzido.  Integrando  a  Eq.  (15)  obtém‐se  a  seguinte  expressão  teórica  para  a velocidade média do fluido de lei de potência : 

 

11

1

2 3 1

nnG n

U Rk n

              (17) 

Portanto, o gradiente de pressões é dado por 

1

2 3 1nn

n

kU nG

R n

                (18) 

e a razão entre a velocidade máxima e a velocidade média por: 

  0 3 1

1

U n

U n

                  (19) 

Repare‐se que para n=1 se voltam a encontrar os resultados válidos para  fluido newtoniano, 

8G  e  0 / 2U U . Estas variações teóricas de G  e  0 /U U  com  n  são mostradas na Fig. 5 

pelas  linhas a vermelho. Existe boa  concordância  com os  resultados numéricos; o erro é da ordem dos 0.2 % embora  tenda a aumentar quando  n  diminui. Este erro pode ser reduzido 

usando malhas mais  refinadas; por  exemplo, quando  se passa de  20N  para  40N , o erro vem dividido por 4. 

O  gradiente  de  velocidade  mostrado  na  Figura  5  (a),  para  caudal  ou  velocidade  média constante,  pode  ser  também  interpretado  como metade  do  coeficiente  de  atrito,  definido como: 

 2 21

2

w GRf

U U

 

onde a tensão na parede  w foi substituída pelo gradiente usando o balanço global de forças  

/ 2w GR .  

  

  ‐70‐

(a)

0.2 0.4 0.6 0.8 1n

3

4

5

6

7

8

G

numérico

teórico

                (b)

0.2 0.4 0.6 0.8 1n

1.4

1.6

1.8

2

U0/U

numérico

teórico

 Fig. 5‐ Variação do gradiente de pressões (a) e da razão de velocidades (b) com o índice de potência, 

resultados numéricos e teóricos. 

   Ora  em  escoamento  completamente  desenvolvido  o  coeficiente  de  atrito  é  usualmente representado por 

 2 12 2 n

nef

GR GRfRe

U kU

 

Com  o  número  de  Reynolds  definido  como  2 / efRe U R   e  a  viscosidade  efectiva ef  

baseada numa taxa de corte efectiva  /ef U R . Para escoamento newtoniano  2 / 8U GR  

e com ef o  resultado é  16fRe . Para o modelo de  lei de potência a equação anterior 

mostra que para  U ,  k   e  R  unitários  se  tem  2fRe G , mostrando que o  coeficiente de 

atrito  e  a  perda  de  pressão  seguem  o  mesmo  andamento.  O  atrito  diminui  com  a reofluidificação (Fig. 5 a) e a velocidade máxima também (Fig. 5 b). 

Valores  típicos  de  aplicação  da  lei  de  potência  ao  caso  do  sangue:  317.35 10k   Pa.sn, 

0.639n .  A  viscosidade  do  sangue  quando  considerado  como  fluido  newtoniano  é 33.5 10   Pa.s.  Verifica‐se  que  esta  viscosidade  é  obtida  pela  lei  de  potência  quando 

84.3  s‐1.   

  

  ‐71‐

Anexo 1 ‐  programa velu1r.for  PROGRAM VELU C C resolver eq.NS para tubo circular, Laminar C Algoritmo SIMPLE (usa subrelaxacao U e P) C ** MALHA TIPO-B ** C IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION S(NMAX),U(NMAX),AP(NMAX),AN(NMAX),AS(NMAX),SP(NMAX), + R(NMAX),VIS(NMAX) OPEN(10,FILE='velu.dat') OPEN(11,FILE='veluit.dat') PRINT *,' MALHA TIPO B' PRINT *,' GIVE N (12, 22, 42, ...) ' READ(*,*) N PRINT *,' IDP, P (IDP=1-P DADO (P=8); 2- UIN DADO) ' READ(*,*) IDP,P PRINT *,' OMEGAU , OMEGAP ' READ(*,*) OMGU,OMGP PRINT *,' power law AN ' READ(*,*) PLN C DADOS (P= -dp/dx ) C OMGP=0.5 C OMGU=0.5 PI=4.0*DATAN(1.D0) SMALL=1.E-20 RTOT=1. VISC=1. UIN=1.0 ARTOT=PI*RTOT**2 QIN=UIN*ARTOT PP=0.0 ITMAX=5000 TOL=1.E-6 RESNORM=1.0 C NOTA: MALHA TIPO B DR=RTOT/FLOAT(N-2) NM1=N-1 NM2=N-2 IMON=N/2 C INICIALIZAR DO I=1,N R(I)=(I-1)*DR-DR/2. U(I)=UIN VIS(I)=VISC END DO R(1)=0.0 R(N)=RTOT C VELOCIDADES NAS FRONTEIRAS U(N)=0.0 C C ======== CICLO ITERATIVO ==================================== C ITER=0 print *,' iter res u(',imon,')' 100 CONTINUE ITER=ITER+1 C VERIFICAR SE ATINGIU NUMERO ITERACOES MAXIMO: PARAR IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' NAO CONVERGIU; ITER MAX',ITER GO TO 200 END IF C PREPARAR COEFICIENTES DO I=2,NM1 VISN=VIS(I) VISS=VIS(I-1) RFN=0.5*(R(I)+R(I+1)) RFS=0.5*(R(I)+R(I-1)) IF(I.EQ.NM1) RFN=R(N) IF(I.EQ.2 ) RFS=R(1) AN(I)=VISN/DR*RFN AS(I)=VISS/DR*RFS S(I)=P*DR*R(I)

  ‐72‐

SP(I)=0.0 END DO C C CONDICOES FRONTEIRA C plano simetria AS(2)=0.0 U(1)=U(2) C parede S(NM1)=S(NM1)+2.0*AN(NM1)*U(N) SP(NM1)=SP(NM1)+2.0*AN(NM1) AN(NM1)=0.0 C C PREPARAR COEFICIENTE CENTRAL E CALCULAR RESIDUO RES=0.0 DO I=2,NM1 AP(I)=AN(I)+AS(I)+SP(I) AP(I)=AP(I)/OMGU S(I)=S(I)+(1.0-OMGU)*AP(I)*U(I) RES=RES+ABS(AP(I)*U(I)-AN(I)*U(I+1)-AS(I)*U(I-1)-S(I)) END DO RESTOT=RES/RESNORM/float(nm2) WRITE(*,*) ITER,RESTOT,U(IMON),PP WRITE(11,101) ITER,RESTOT,U(IMON),PP,P,abs(pp) C VERIFICAR CONVERGENCIA IF(RESTOT.LT.TOL) THEN PRINT *, ' CONVERGIU' GO TO 200 END IF C C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL DE EQS. CALL TDMA(U,AP,AN,AS,S,2,NM1,N) C **** SIMPLE: CORRIGIR GRADIENTE DE PRESSAO, P=-DP/DX IF(IDP.EQ.2) THEN C CALCULAR NOVO CAUDAL E PREPARAR CORRECCAO PRESSAO Q=0.0 D=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI D=D+2.*PI*(R(I)*DR)**2/AP(I) END DO C CALCULAR CORRECCAO DE PRESSAO PP=(QIN-Q)/D C CORRIGIR PRESSAO P=P+OMGP*PP C CORRIGIR VELOCIDADES DO I=2,NM1 U(I)=U(I)+R(I)*DR*PP/AP(I) END DO END IF C C CALCULAR VISCOSIDADE (NAS FACES) DO I=1,NM1 DRR=DR IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.NM1) DRR=0.5*DR DUDR=ABS(U(I+1)-U(I))/DRR+SMALL VIS(I)=VISC*DUDR**(PLN-1.0) END DO VIS(N)=VIS(NM1) C GO TO 100 C FIM CICLO ITERATIVO C================================================================ 200 CONTINUE C C CAUDAL E VELOCIDADE MEDIA IF(IDP.EQ.1) THEN Q=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI END DO END IF UM=Q/ARTOT C ESCREVER PARA FICHEIRO DE DADOS ERTOT=0.0 PL=1.+1./PLN U0T=(P/2./VISC)**(1./PLN)*1./PL*RTOT**PL

  ‐73‐

UMT=(P/2./VISC)**(1./PLN)*(PLN/(3.*PLN+1.))*RTOT**PL GAMEF=UM/RTOT VISEF=VISC*GAMEF**(PLN-1.) UN=P*RTOT**2/8./VISEF C SOLU€AO TEORICA COM LEI DE POTENCIA... DO I=1,N UT=U0T*(1.0-(R(I)/RTOT)**PL) ERR=ABS(U(I)-UT) ERTOT=ERTOT+ERR WRITE(10,102) R(I),U(I),UT,ERR,U(I)/UM,U(I)/UN END DO PRINT *,' ERRO TOTAL MEDIO =', ERTOT/FLOAT(NM1) PRINT *,' P =', P PRINT *,' U MEDIO =', UM PRINT *,' U MAX =', U(1) PRINT *,' TEORICOS U MAX =', U0T,' U MED=',UMT 101 FORMAT(I6,10(1PE15.5)) 102 FORMAT(10(1PE15.5)) STOP END C******************************************************************* C C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL: C PHI(i) = AS(i).PHI(i-1) + AN(i).PHI(i+1) + SU(i) C SUBROUTINE TDMA(PHI,AP,AN,AS,SU,I1,IE,NC) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION A(0:NMAX),C(0:NMAX) DIMENSION PHI(NC), AN(NC),AS(NC),SU(NC),AP(NC) IA=I1-1 A(IA)=0.0 C(IA)=0.0 DO 1 I=I1,IE DEN=1./(AP(I)-AS(I)*A(I-1)) A(I)=AN(I)*DEN C(I)=(AS(I)*C(I-1)+SU(I))*DEN 1 CONTINUE DO 2 II=I1,IE I=IE-II+I1 PHI(I)=PHI(I+1)*A(I)+C(I) 2 CONTINUE RETURN END

 

  ‐74‐

  ‐75‐

7. Escoamento Pulsante em Tubo 

 

7.1 Introdução 

Para  o  caso  concreto  de  fluxo  unidireccional  e  completamente  desenvolvido  num  tubo  de secção circular (Figura 1), a equação do movimento para fluido newtoniano reduz‐se a: 

1u p ur

t z r r r

              (1) 

onde a viscosidade   é constante e o gradiente de pressões varia sinusoidalmente: 

  i tpPe

z

                  (2) 

com  frequência  angular  2 f   e  amplitude  P   constante.    Poder‐se‐ia  acrescentar  um 

gradiente  de  pressões  constante  ao  gradiente  variável  representado  pela  Eq.  (2).  Como  a equação de governo (Eq. 1) é linear em  u , isso implicaria simplesmente somar à solução aqui apresentada a solução válida para escoamento de Poiseuille. Note‐se também que a parte real 

do gradiente de pressão é  cos( )P t  (relembra‐se que  cos( ) sin( )i te t i t ).  

 

zu(r,t)

2R

O

parede

eixo tubo

r

 

Fig. 1‐ Escoamento pulsante num tubo circular. 

 

7.2 Escoamento laminar estacionário (Poiseuille) 

Já se viu em relatório anterior que a solução neste caso é: 

2

max 1 /u u r R                (3) 

com  a  velocidade máxima  no  centro  dada  por    2max / 4u PR   a  ser  igual  a  duas  vezes  a 

velocidade média, o que dá um caudal e uma velocidade média: 

   4

0 8

PRQ

 e   2

0 8

PRU

              (4) 

Note‐se que,  contrariamente a  relatórios anteriores,  0U designa aqui a velocidade média  (e 

não a máxima) para o caso  0 , sem oscilação.  

 

  ‐76‐

7.3 Escoamento periódico 

Assume‐se  que  a  velocidade  irá  também  variar  sinusoidalmente,  da mesma  forma  que  o gradiente de pressões, mas eventualmente com algum desfasamento: 

  ( , ) ( ) i tru r t U r e                 (5) 

A equação que a componente espacial da solução  rU deve satisfazer é 

 2

2

1r rr

d U dU i PU

dr r dr

 

cuja correspondente equação homogénea (sem termo fonte) tem solução geral: 

  0 0( ) ( )rU AJ iKr BY iKr  

onde  2 /K i , e  0J  e  0Y  são  funções de Bessel de argumentos complexos. Como  0Y  

tende  para  infinito  quando  r   tende  para  zero  (eixo  do  tubo)  tem  de  se  ter  0B . 

Introduzindo a parte não homogénea da solução ( /P i ) e usando a condição fronteira de 

não escorregamento na parede, a solução para escoamento pulsante em tubo vem: 

3/20

3/20

( / )( , ) 1 i t

J i r RiPu r t e

J i

             (6) 

ou, em termos adimensionais, 

3/ 20

2 3/ 20 0

( / )81 i t

J i r Ru ie

U J i

          (7) 

onde o número de Womersley é definido como: 

  R R

               (8) 

O quadrado deste parâmetro pode  ser  interpretado como uma  frequência adimensional ou, 

em alternativa, como um número de Reynolds pulsante,  2 2 /R . Nas Eqs.  (6) e  (7) 3/ 2i i . 

O caudal é obtido por integração do perfil de velocidades e o resultado é: 

23/ 2

0

2 ( )R i ti Pe R

Q u rdr g i

    

com a função  ( )g z  definida como:  1 0( ) 1 2 ( ) / ( )g z J z zJ z . 

Separando em parte real e imaginária, vem: 

  ‐77‐

 

2

Im Re Re Im( ) cos( ) ( )sin( ) ( )cos( ) ( )sin( )PR

Q g t g t i g t g t

(9) 

com  Re Img g ig . A parte  real desta  expressão  fornece o  caudal quando o  gradiente de 

pressões é  cos( )P t . 

A magnitude do caudal é 

  2 2

Re Im

20

8 ( ) ( )g gQ

Q

            (10) 

e o ângulo de desfasamento é: 

  Re

Im

tang

g .                  (11) 

A Figura 2 mostra perfis de velocidade obtidos em 4  tempos  igualmente espaçados durante 

um  ciclo,  0ºt , 90ºt , 180ºt  e 270ºt , para  valores  crescentes do número de Womersley.  As  velocidades  estão  normalizadas  com  o  valor  médio  em  escoamento 

estacionário  para  a  mesma  magnitude  do  gradiente  de  pressões,  isto  é  0U .  Os  pontos 

essenciais a reter desta figura são: 

i‐  Para  valores  baixos  de    ( 1 )  os  perfis  de  velocidade  estão  quase  em  fase  com  o gradiente de pressões, têm uma variação próxima da forma parabólica, e a velocidade máxima durante o ciclo atinge um valor quase de 2, como acontece no caso estacionário; 

ii‐ Para  valores  altos de    ( 5 ) os perfis de  velocidade  estão desfasados quase de 900 relativamente ao gradiente de pressões, a variação da velocidade na zona central do  tubo é 

quase uniforme (perfil “tampão”) com amplitudes em  0r  a diminuir com o aumento de  , e, por fim, realça‐se o aparecimento de um máximo de velocidade junto às paredes.  

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R

-2

-1

0

1

2

u(r)/U

0

Womersley=1

0º

90º

270º

180º

   

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R

-2

-1

0

1

2

u(r)/U

0

Womersley=20 º

90º

180º

270º

Womersley=2

0º

90º

270º

180º

 

  ‐78‐

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

u(r)/U

0

Womersley=5

90º

0º

180º

270º

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

u(r)/U

0

Womersley=10

90º

0º

180º

270º

  

Fig. 2 – Perfis de velocidade para  1, 2, 5 e 10. 

 A razão entre o valor absoluto do caudal oscilatório e o caudal sem oscilação, dado pela Eq. (10), e o ângulo de  fase entre o caudal e o gradiente de pressão, dado pela Eq.  (11), variam com o parâmetro de Womersley como mostrado na Figura 3. Estes gráficos corroboram o dito acima, sobre a existência de duas zonas com comportamento distinto: para baixos  , a razão dos caudais é quase 1 e o ângulo de desfasamento é zero; para altos  , a amplitude do caudal oscilante diminui substancialmente e existe um desfasamento de quase 900 entre a velocidade média e o gradiente de pressão. 

 

(a) 0 4 8 12 16

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Q/Q

0

  (b)0 4 8 12 16

0

20

40

60

80

100

(graus)

  

Fig. 3 – Variação da magnitude do caudal (a) e do ângulo de fase (b) com o parâmetro de Womersley. 

  

Finalmente,  a  Figura  4 mostra  a  variação  da  velocidade  no  eixo  do  tubo,  ao  longo  de  um período de oscilação do gradiente de pressão. Este varia como o co‐seno do ângulo  t , sendo portanto máximo a 00, nulo a 900 e 2700, e mínimo a 1800. A velocidade no eixo acompanha 

este  andamento  para  1 ,  mas,  à  medida  que  a  frequência  de  oscilação  aumenta,  a velocidade  tende a atrasar‐se relativamente à variação da pressão, e o seu valor máximo no eixo tende a diminuir.   

 

  ‐79‐

0 90 180 270 360t (graus)

-2

-1

0

1

2

u(0)/U

0

  

Fig. 4 – Evolução da velocidade no eixo durante um período.

  ‐80‐

Anexo 1 ‐ Programa para gerar a solução analítica  C----------------------------------------------------------------------- C TIMEPIPE: Program to obtain the analytical solution for C fully-developed pipe flow subject to a C sinusoidal pressure gradient: Newtonian fluids C ** writes profiles of r, u, at a given omg*t ** C C Written by: Prof. P.J. OLIVEIRA C Department Electromechanical Eng. C Universidade Beira Interior C 6201-001 Covilha, Portugal C email: pjpo@ubi.pt C C Copyright (C) 2009. Unauthorized use, distribution, C or duplication is prohibited. All rights reserved. C C----------------------------------------------------------------------- PROGRAM TIMEPIPE C C ANALYTICAL SOLUTION FOR PIPE FLOW SUBJECT TO A C SINUSOIDAL PRESSURE GRADIENT ** USING COMPLEX FORMULATION ** C VALID FOR NEWTONIAN C IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DIMENSION Y(1000) COMPLEX*16 Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8 C OPEN(10,FILE='timepipe.dat') OPEN(12,FILE='setx.dat') DO 1 I=1,10000 READ(12,*,END=32) A,B,C,Y(I) 1 CONTINUE 32 CONTINUE NN=I-1 PRINT *,' TOTAL POINTS READ FROM SETX.DAT: NN=',NN PI=4.0*DATAN(1.0D0) C GIVEN DATA (MKS UNITS); H: half width or radius PRINT *,' ALFA ?? ' READ(*,*) ALFA ALFA2=ALFA**2 DEN=1. VIS=1.0 UMED=1.0 FREQ=1. H=Y(NN) PRINT *, ' h=',H R=H FREQ=VIS*ALFA2/DEN/2./PI/R**2 OMG=2.0*PI*FREQ C VIS=DEN*OMG*R**2/ALFA**2 ANU=VIS/DEN AKOSC=8.*VIS*UMED/R**2 H0=2.*H U0=2.0*UMED C NON-DIMENESIONAL NUMBERS RE=UMED*H0/ANU UMOSC=AKOSC/OMG/DEN PRINT *,' UMOSC=', UMOSC PRINT *,' AKOSC=', AKOSC Z1=DCMPLX(0.0d0,-ALFA2) Z1=SQRT(Z1) CALL BESSEL(Z1,Z7,Z8,Z6,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8) z8=(1.,0.)-2.*Z6/Z7/Z1 XIRE=REAL(Z8) XIIM=DIMAG(Z8) QR=8.*SQRT(XIRE**2+XIIM**2)/ALFA2 PHI=DATAN(XIRE/XIIM)*180.0/PI PRINT *,' Q/Q0=',QR PRINT *,' PHI=',PHI Z5=DCMPLX(0.0d0,-UMOSC) C TIME npt=100 omgt1=0.0

  ‐81‐

omgt2=2.0*pi domgt=(omgt2-omgt1)/npt omgt=omgt1-domgt 500 CONTINUE omgt=omgt+domgt PRINT *,' GIVE: omega*time (graus) ?' READ(*,*) omgt omgt=omgt*(pi/180.0) T=OMGT/OMG C DO 10 I=2,NN-1 YY=Y(I) YN=YY/H U=U0*(1.-YN**2) Z2=Z1*YN CALL BESSEL(Z2,Z3,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8) Z3=(1.,0.)-Z3/Z7 Z4=Z5*Z3*EXP(DCMPLX(0.D0,OMGT)) UOSC=REAL(Z4) TXY=0.0 TXX=0.0 c WRITE(10,100)omgt*180./pi,(U+UOSC)/UMED,UOSC/UMED,TXY,TXX WRITE(10,100)YN,U/UMED,(U+UOSC)/UMED,UOSC/UMED,TXY,TXX 10 CONTINUE 100 FORMAT(1P20E15.4) STOP END

 

  ‐82‐

  ‐83‐

8. Utilização de Grandezas Adimensionais ‐ Normalização das Equações 

 

8.1 Introdução 

A  equação  do  movimento  sob  forma  dimensional,  para  escoamento  unidireccional  e completamente desenvolvido em tubo de secção circular (Figura 1), e para fluido newtoniano generalizado (GNF) é: 

1u p ur

t z r r r

              (1) 

 

zu(r,t)

2R

O

parede

eixo tubo

r

 

Fig. 1‐ Esquema do escoamento e da geometria. 

 

onde a velocidade só depende da coordenada radial e do tempo,  ( , )u r t , e a viscosidade   

pode  em  geral  ser  função  da  taxa  de  deformação,  ( )   com /u r . O  gradiente  de 

pressão é dado pela soma de uma componente estacionária e uma componente oscilatória: 

  cos( )e oe o

p p pP P t

z z z

          (2) 

com frequência angular  2 f , onde a frequência propriamente dita (em s‐1=Hz) é igual ao 

inverso do período  1/f T . As amplitudes estacionária e oscilatória do gradiente de pressão, 

eP  e  oP , são constantes. 

As grandezas físicas da Eq. (1) são todas dimensionais, com unidades no sistema SI dadas por: massa  volúmica    [kg/m3];  velocidade  u   [m/s];  tempo  t   [s];  pressão  p   [N/m2]  =  [Pa]; 

viscosidade   [kg/m.s] = [Pa.s]; distância radial  r , ou axial  z , [m].  

O objectivo desta nota é mostrar como se passa da  forma dimensional das equações para a forma adimensional (sem dimensões). 

 

8.2 Normalização 

Começa‐se por definir escalas características de comprimento,  cL , velocidade,  cU , e tempo, 

ct . A definição depende do problema concreto a resolver; para escoamento em tubo circular, 

o comprimento característico será o raio do tubo,  cL R , a velocidade característica será a 

  ‐84‐

velocidade média  obtida  do  caudal,  2/cU U Q R   e,  no  caso  do  regime  oscilatório,  o 

tempo característico é dado pelo período da oscilação,  ct T .  

Multiplicando a Eq. (1) por 

 21 c

c c

Lu p ur

t z r r r U

 

obtém‐se a equação de movimento sob forma adimensional: 

 2 1c

c c

L u p ur

t t z r r r

            (3) 

O  grupo  adimensional  que  surge  antes  do  1º  termo  depende  da  definição  do  tempo característico, podendo tomar diversas formas como se verá de seguida. 

As variáveis sem dimensões são indicadas por pelica, sendo definidas como: 

Distâncias: c

rr

L  e 

c

zz

L               (4) 

Velocidade: c

uu

U                 (5) 

Viscosidade: c

                (6) 

Da dedução verifica‐se também que: 

Pressão: /c c c

pp

U L               (7) 

Gradiente de pressão: 

2c

c c

L PP

U              (8) 

Quanto à definição da escala temporal, podem ocorrer dois casos, que conduzem a resultados diferentes para o grupo adimensional da Eq. (3) referido acima: 

 

1‐ Não existe uma escala de tempo que seja imposta externamente: 

(a) Escala convectiva,  c Ct t , com  /C c ct L U         (9) 

Repare‐se  que  a  escala  de  tempo  convectiva  resulta  das  escalas  de  velocidade  e espaço, fazendo simplesmente: espaço = velocidade X tempo. O grupo fica:    

 2 2

/c c

c c c c c

L L

t L U

  c c

c

U LRe

          (10) 

  ‐85‐

1u p uRe r

t z r r r

            (11) 

O número de Reynolds representa fisicamente a razão entre forças de inércia e forças viscosas.  Pode  também  ser  interpretado  como  a  razão  entre  os  tempos  difusivo  e convectivo. 

(b) Escala difusiva,  c Dt t , com  2 /D c ct L         (12) 

O grupo adimensional fica agora: 

2 2

2 1/

c c

c c c c c

L L

t L

 

1u p ur

t z r r r

            (14) 

Nota: nestas duas equações, o gradiente de pressão adimensional pode ser escrito: 

 p

Pz

 

Com  a  escala  difusiva  a  equação  do movimento  não  depende  de  qualquer  grupo adimensional, sendo por isso preferível à escala convectiva. De facto, é sabido que no escoamento completamente desenvolvido dentro de condutas o perfil de velocidades não depende no número de Reynolds. 

 

2‐ Existe escala de tempo imposta (por exemplo, o período, tal como referido acima): 

Neste caso,  ct T    2 2 2 2

2c c c

c c c c

L L f L

t T

 

onde o número de Womersley é definido como:  cc

L

      (15) 

2 1

cos(2 )2 e o

u uP P t r

t r r r

         (16) 

O grupo que aparece junto ao termo de variação no tempo não é mais do que a razão entre a escala de tempo difusiva e o período da oscilação de pressão imposta: 

2 22 /

2 2c c c D

c

L L t

T T

 .            (17) 

 

 

  ‐86‐

 

8.3 Relação Entre Escalas de Velocidade e de Pressão 

O  problema  do  escoamento  num  tubo  pode  ser  abordado  de  duas  formas:  (i)  o  caudal  é imposto; (b) o gradiente de pressões é imposto. 

No  caso  (i)  existe  desde  logo  uma  escala  de  velocidade,  definida  por  exemplo  como  a 

velocidade  média,  cU U   com  2/dadoU Q R .  Quando  se  tem  tudo  normalizado  a 

velocidade média é unitária. 

No caso (ii) a escala de velocidade pode ser definida indirectamente a partir do valor imposto do gradiente de pressão como: 

 

2

8dado c

cc

P LU

                (18) 

No  caso  particular  de  fluido  newtoniano,  esta  escolha  faz  com  que  um  valor  de  8dadoP  

implique uma escala de velocidade unitária, pois  2 / 8c NU U PR . Repare‐se que no caso 

não newtoniano o carácter  reofluidicante dos  fluidos  implica que um valor adimensional do gradiente de pressão de 8  irá produzir uma  velocidade média bastante  superior à unidade, 

pelo  que  as  velocidades  normalizadas  com  esta  escala  NU   tenderão  também  a  ser 

significativamente superiores à unidade (ver abaixo, Fig. 1 a). 

  

8.4 Normalização da viscosidade 

Em geral, para um modelo de viscosidade GNF,  ( ) , a viscosidade característica deve ser 

calculada para uma taxa de deformação característica, isto é: 

  ( )c c   com   cc

c

U

L             (19) 

Obviamente quando se trata do modelo newtoniano a viscosidade é constante e, nas equações 

anteriores,  c  transforma‐se na própria viscosidade  ; por exemplo o número de Womersley 

para escoamento em tubo fica: 

 2 f

R

                (20) 

Para os modelos GNF em uso corrente é preciso alguma atenção para transformar as fórmulas dimensionais  em  expressões  adimensionais.  Consideremos  o  caso  do modelo  de  Carreau‐Yasuda  como  exemplo,  uma  vez  que  contém  uma  série  de  outros  modelos  como  casos particulares. Neste modelo a viscosidade dimensional é obtida da expressão empírica: 

  1

0 1n

a a

            (21) 

Esta expressão pode escrever‐se da seguinte maneira sem dimensões 

  ‐87‐

 

(1 ) /

0

1

1n aa

              (22) 

e a o modelo adimensional de Carreau‐Yasuda deve ter a mesma forma funcional do membro 

da direita desta equação. Como o expoente deve ser  1n , a viscosidade diminui quando   aumenta, ilustrando o efeito de reofluidificação. 

Para adimensionalizar a equação de Carreau‐Yasuda começa‐se por dividi‐la pela viscosidade característica  

1

0 1

na a

cc c c c c

 

resultando na equação adimensional: 

  1

0 1n

a a

            (23) 

em  que  o  parâmetro  de  tempo  é  definido  como:  /c cU L . Os  parâmetros  a e  n   do 

modelo são à partida adimensionais. Como para 

  1 , se tem  1                 (24) 

os parâmetros adimensionais devem satisfazer 

  1

01 1n

a a

 

o que implica: 

 

1

10 1

1

a an

              (25) 

Para que as funções de   da equação original e do modelo adimensional se sobreponham é 

necessário: 

 0 0

, e para  c  vem 

0 0

1c

 

Para a forma adimensional pode escolher‐se sem perda de generalidade 

  0                    (26) 

e portanto 

  00

c

                  (27) 

  ‐88‐

com a Eq. (24) escrita de forma simplificada: 

 

1

10 1

a an

                (28) 

Estas  três  relações permitem obter os valores adimensionais a serem utilizados na aplicação do modelo de Careeau‐Yasuda, quando conhecidos os valores dimensionais. 

 

8.5 Exemplo 

Para  sangue humano  ( 1150  kg/m3), um grupo de parâmetros usuais para o modelo de 

Carreau‐Yasuda é: 

  0 0.056  Pa.s,  0.00345  Pa.s,  3.313  s,  2a ,  0.3568n .  

Em escoamento a  100Re  num  tubo  com diâmetro  10D mm  ( 0.005cL R  m), um 

procedimento iterativo (visgnf.for)  para resolver a equação 

  2 / ( )cRe U R ,  ( )c f Re   (com  /c U R )      (29) 

permite obter para a taxa de corte e viscosidade características: 

  13.8c

U

R  1/s,  ( ) 0.00794c c Pa.s,  0.0691U  m/s. 

Com estes valores, as Eqs. (26)‐(28) dão: 

    0 ,   0 11.704 ,  45.8 . 

Quando se muda o número de Reynolds, os parâmteros do modelo adimensional têm de ser novamente ajustados. Existe assim um efeito “escondido” do número de Reynolds através da normalização das propriedades, apesar de na equação que  rege o escoamento  (Eq. 14) não 

aparecer  Re . 

O perfil de  velocidades obtido para um  gradiente de pressão dado  ( 8P ) é mostrado na Figura  2.  A  linha  a  vermelho  corresponde  ao  perfil  teórico  obtido  com modelo  de  lei‐de‐

potência,  0.3568n ,  1K . Verifica‐se que os  resultados são quase  iguais, o que se pode 

esperar tendo em conta que o modelo Carreau‐Yasuda da Eq. (23) com  0  e  1  se 

reduz a: 

  1 10

n n  

Esta  relação  corresponde  de  facto  uma  lei  de  potência  com 1 0.3568 1

0 11.704 45.8 1.000nK , daí a quase  igualdade entre resultados. Na parte 

(a) da figura usou‐se com escala de velocidade a decorrente do gradiente de pressão imposto,  

o  NU  da eq. (18) . Na parte (b) usou‐se a velociade média, obtida por integração numérica do 

perfil de velocidades resultante do programa de simulação.   

   

  ‐89‐

(a)

0 4 8 12 16u(r)/UN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

numérico

teórico

   (b)

0 0.4 0.8 1.2 1.6u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

numérico

teórico

 

Figura 2 – Perfil de velocidades. Normalização com: (a) 2 / 8N cU PR ; (b) velocidade média. 

 

 

Nota: o programa usado nestas simulações é o mesmo do Cap. 9.

  ‐90‐

Anexo 1 – Programa para resolver iterativamente a Eq. (29). 

C C MODELO CARREAU-YASUDA C CALCULAR VALOR DA VELOCIDADE MEDIA PARA REYNOLDS DADO C - VIS0, VISINF, LAMBDA E N CONSTANTES C PROGRAM VISGNF AN=0.3568 DEN=1150. VIS0=0.056 VISI=0.00345 AL=3.313 RE=100. C H: largura canal ou diametro tubo H=0.01 PRINT *,' LARGURA CANAL OU DIAM TUBO=',H ITMAX=100 ITER=0 TOL=1.E-4 U1=0.0745 PRINT *,' RE ?' READ(*,*) RE PRINT *,' n' READ(*,*) AN C 10 CONTINUE ITER=ITER+1 U1N=U1 GAM1=U1/(0.5*H) VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**2)**((AN-1)/2.) U1=VIS*RE/DEN/H WRITE(*,*) ITER,U1 IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP END IF IF(ABS(U1-U1N)/U1N.GT.TOL) GO TO 10 VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**2)**((AN-1)/2.) RE=DEN*U1*H/VIS PRINT *,' VIS EFF=',VIS,' (PA.S) RE=',RE PRINT *,' U1=',U1,' M/S' PRINT *,' GAM1=',GAM1 print *,' GAMA WALL canal=',3.*GAM1,' tubo=',4.*GAM1 STOP END

 

  ‐91‐

9. Fluxo do Sangue em Tubo Circular 

 

9.1 Problema 

Trata‐se aqui de resolver a equação do movimento para fluido newtoniano generalizado (GNF) em  escoamento unidireccional  e  completamente desenvolvido num  tubo de  secção  circular (Figura 1).  

 

zu(r,t)

2R

O

parede

eixo tubo

r

 

 

Fig. 1‐ Geometria do escoamento. 

 

Sob forma dimensional, essa equação escreve‐se: 

10

dp d dur

dz r dr dr

              (1) 

sabendo‐se que a velocidade só depende da coordenada radial,  ( )u r , e a viscosidade   pode 

em geral ser função da taxa de deformação,  ( )  com /du dr .  

Neste trabalho emprega‐se o modelo de Carreau‐Yasuda para a viscosidade de corte: 

1

0 1n

a a

            (2) 

com parâmetros adequados à reologia do sangue: 

  0 0.056  Pa.s,  0.00345  Pa.s,  3.313  s,  2a ,  0.3568n .   (3) 

A  correspondente variação da viscosidade com a  taxa de  corte é mostrada na Figura 2  (ver Cap. 5 sobre Viscosidade do Sangue). 

  ‐92‐

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

(1/s)

0.001

0.01

0.1

(Ns/

m2)

.

. 

Fig. 2 – Viscosidade em função da taxa de deformação para o modelo Carreau‐Yasuda. 

 

Para o problema em causa a escala de comprimento é naturalmente o raio do tubo,  cL R , e 

a escala de velocidade pode ser definida com o gradiente de pressão,  

 2

8cc

PRU

                  (4) 

Em alternativa pode usar‐se para escala  característica de  velocidade a velocidade média do escoamento no tubo: 

  cU U    com 2

20 0

1( )

R

U u r rd drR

          (5) 

Esta  tem o  inconveniente de não ser conhecida à partida. O número de Reynolds é definido como: 

 2

c

U RRe

  com  ( )c c  e  cc

U

R           (6)  

onde  a  massa  volúmica  do  sangue  é  1150   kg/m3.  Repare‐se  que  a  viscosidade 

característica é calculada com a função de Carreau‐Yasuda para um valor característico da taxa de corte, definido pela razão entre a velocidade característica e o comprimento característico (o raio). 

 

9.2 Resultados 

Fez‐se primeiro variar o gradiente de pressão imposto, tendo‐se obtido os resultados da Figura 3.  A  velocidade média  é  obtida  a  partir  da  solução  numérica  do  perfil  de  velocidades,  por integração numérica: 

  21

12

N

i ii

U u r rR

              (7) 

  ‐93‐

Trata‐se  assim de um  “output” do programa,  enquanto o  “input”  é o  gradiente de pressão 

/P dp dz . Usou‐se sempre uma malha com  42N  nós ( / 0.025r R ) e  5R  mm.  

 

0 40 80 120 160 200P=‐dp/dz (Pa/m)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

U (m/s)

numérico

 

 

Fig. 3 – Velocidade média obtida em função do gradiente de pressão imposto.  

 

Para  facilitar  a  interpretação  dos  resultados  é  conveniente  apresentar  graficamente  o gradiente de pressão em ordenada e o caudal em abcissa, como na Figura 4. No caso de fluido 

newtoniano  a  variação  deveria  ser  linear,  pois  2 / 8U PR   2(8 / )P R U ,  ou 4(8 / )P R Q , com a viscosidade   constante. Com o modelo de Carreau‐Yasuda existe 

reofluidificação e a viscosidade vai diminuindo à medida que a taxa de deformação aumenta, 

pelo que o aumento de  P  com o aumento de caudal vai‐se reduzindo, como se vê na Figura 4.  

 

0

40

80

120

160

200

P=‐dp/dz (Pa/m

)

numérico

0 2 4 6 8 10Q (ml/s)  

 

Fig. 4 – Gradiente de pressão em função do caudal (modelo CY, n=0.3568). 

 

O  interesse agora é estudar a melhor forma de se fazer a normalização das velocidades para que os resultados variem o mínimo possível com o número de Reynolds. No fundo,  interessa obter uma sobreposição o mais perfeita possível dos perfis de velocidade adimensional, para vários valores do gradiente de pressão imposto. 

  ‐94‐

A Figura 5 mostra sob forma dimensional os perfis de velocidade para quatro valores típicos do gradiente de pressão. Como se vê, as velocidades aumentam quando este gradiente aumenta, mas a taxa de aumento não é linear. Isso fica claro no gráfico ao lado, mostrando a variação da 

velocidade no eixo,  0 ( 0)u u r , que é também a velocidade máxima. 

 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25u(r) (m/s)

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

r (m

)

Carreau‐Yasudan=0.3568

P=50

P=100

P=150

P=200

           0 40 80 120 160 200

P=‐dp/dz (Pa/m)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

u0 (m

/s)

 

 

Fig. 5 – Perfis de velocidade para 4 valores do gradiente de pressão (em Pa/m): modelo CY com n=0.3568. 

 

Fazendo a normalização das distâncias com  R  e das velocidades com  cU  da Eq. (4) obtêm‐se 

os  perfis  de  velocidade  da  Figura  6.  O  colapso  não  é  perfeito,  embora  tenda  a melhorar 

quando  P  aumenta. 

 

0 1 2 3u(r)/Uc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

Carreau‐Yasudan=0.3568

P=50

P=100

P=150

P=200

 

  

Fig. 6 – Perfis de velocidade normalizados com velocidade característica Eq. (4).  

 

Por fim, experimentou‐se a normalização com a velocidade média, e os resultados da Figura 7 mostram um  grau de  ajuste muito mais  efectivo. Ainda  existe  algum  efeito  da  variação  do 

  ‐95‐

número de Reynolds, visível na não concordância das velocidades máximas na Figura 7, mas a gama de variação é agora bastante reduzida se comparada com a da Figura 6. 

   

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

Carreau‐Yasudan=0.3568

P=50

P=100

P=150

P=200

 

 

Fig. 7 – Normalização com a velocidade média. 

 

A variação da razão entre a velocidade média e a velocidade característica calculada com base na Eq. (4), em função do número de Reynolds, é mostrada na Figura 8. Como se vê existe uma tendência para a  razão entre as duas velocidades  ficar constante à medida que Re aumenta 

mas  a  velocidade  cU   diminui mais  rapidamente  que  U   quando  o  número  de  Reynolds  é 

reduzido.   

 

0 50 100 150 200 250Re

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

U/U

c

numérico

 

 

Fig. 8 – Variação da razão entre velocidades características com o número de Reynolds. 

 

Tem  interesse  observar  a  variação  da  viscosidade  característica  (Eq.  6)  ou  da  viscosidade 

calculada junto à parede, ( )w w  onde  2 /w wu r , com o número de Reynolds ou com 

o gradiente de pressão imposto. Isto é mostrado na Figura 9. A taxa de corte junto à parede é superior à taxa de corte característica conforme a Eq. (6) e por isso a viscosidade de parede é inferior aquela viscosidade característica. Por outro  lado a viscosidade de parede mantém‐se 

  ‐96‐

quase  constante  até  Re  mais  baixos,  sendo  assim melhor  candidata  para  ser  utilizada  na normalização.  

 

(a)

0 50 100 150 200 250Re

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

(Pa.

s) parede

efectiva

    (b) 

0 40 80 120 160 200P=‐dp/dz (Pa/m)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

(P

a.s) parede

efectiva

 

 

Fig. 9 – Variação das viscosidades características com: (a) o número de Reynolds; (b) o gradiente de pressão imposto. 

 

A tensão de corte na parede é um  importante parâmetro hemodinâmico sendo mostrada na 

Figura 10 em função do gradiente de pressão e do número de Reynolds. A variação com  P  é 

linear como se esperaria teoricamente,  / 2w PR . A linha a vermelho representa um ajuste 

linear  através  dos  valores  previstos  numericamente,  feito  pelo  programa  de  gráficos.  Já  a 

variação com  Re  deixa de ser  linear devido à  relação não  linear entre  P  e U   (Figura 4) e 

também entre  c  e   Re (Figura 9).  

 

(a) 

0 40 80 120 160 200P=‐dp/dz  (Pa/m)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

w(P

a)

     (b)

0 50 100 150 200 250Re

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

w(P

a)

 

Fig. 10 – Tensão de corte em função de (a) gradiente de pressão e (b) número de Reynolds. 

 

 9.3 Conclusões 

Os  resultados  mostram  a  dificuldade  em  definir  de  forma  geral  uma  normalização  das equações e dos resultados para que não haja efeito do número de Reynolds na solução.  Isso 

  ‐97‐

parece não ser possível e a melhor opção é normalizar as velocidades com a velocidade média no tubo e a viscosidade característica ser calculada com base numa taxa de deformação obtida por divisão dessa velocidade média pelo raio do tubo.  

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Anexo 1  –  Programa usado nas simulações   PROGRAM VELU C C resolver eq.NS para tubo circular, Laminar C Algoritmo SIMPLE (usa subrelaxacao U e P) C ** MALHA TIPO-B ** C IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION S(NMAX),U(NMAX),AP(NMAX),AN(NMAX),AS(NMAX),SP(NMAX), + R(NMAX),VIS(NMAX) DIMENSION RF(NMAX),UF(NMAX) OPEN(10,FILE='velu.dat') OPEN(11,FILE='veluit.dat') PRINT *,' MALHA TIPO B' PRINT *,' GIVE N (12, 22, 42, ...) ' READ(*,*) N PRINT *,' IDP, P (IDP=1-P DADO (P=8); 2- UIN DADO) ' READ(*,*) IDP,P PRINT *,' OMEGAU , OMEGAP ' READ(*,*) OMGU,OMGP PRINT *,' power law AN ' READ(*,*) PLN PRINT *,' IREAD MALHA FINA 0/1 ' READ(*,*) IREADF IF(IREADF.EQ.1) THEN OPEN(12,FILE='veluf.dat') DO I=1,NMAX READ(12,*,END=66) RF(I),UF(I) END DO 66 NF=I-1 PRINT *,' NF=',NF CLOSE(12) END IF C DADOS (P= -dp/dx ) C OMGP=0.5 C OMGU=0.5 PI=4.0*DATAN(1.D0) SMALL=1.E-20 C RTOT=0.005 VISC=0.00794 UIN=0.0691 DENSIT=1150. c RTOT=1. c VISC=1. c UIN=1.0 c modelo Carreau ACY=2.0 VISINF=0.00345 VIS0=0.056 ALAM=3.313 c VISINF=0.0 c VIS0=11.704 c ALAM=45.8 C ARTOT=PI*RTOT**2 QIN=UIN*ARTOT PP=0.0 ITMAX=5000 TOL=1.E-6 RESNORM=1.0 C NOTA: MALHA TIPO B DR=RTOT/FLOAT(N-2) NM1=N-1 NM2=N-2 IMON=N/2 C INICIALIZAR DO I=1,N R(I)=(I-1)*DR-DR/2. U(I)=UIN VIS(I)=VISC END DO R(1)=0.0 R(N)=RTOT

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C VELOCIDADES NAS FRONTEIRAS U(N)=0.0 C C ======== CICLO ITERATIVO ==================================== C ITER=0 print *,' iter res u(',imon,')' 100 CONTINUE ITER=ITER+1 C VERIFICAR SE ATINGIU NUMERO ITERACOES MAXIMO: PARAR IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' NAO CONVERGIU; ITER MAX',ITER GO TO 200 END IF C PREPARAR COEFICIENTES DO I=2,NM1 VISN=VIS(I) VISS=VIS(I-1) RFN=0.5*(R(I)+R(I+1)) RFS=0.5*(R(I)+R(I-1)) IF(I.EQ.NM1) RFN=R(N) IF(I.EQ.2 ) RFS=R(1) AN(I)=VISN/DR*RFN AS(I)=VISS/DR*RFS S(I)=P*DR*R(I) SP(I)=0.0 END DO C C CONDICOES FRONTEIRA C plano simetria AS(2)=0.0 U(1)=U(2) C parede S(NM1)=S(NM1)+2.0*AN(NM1)*U(N) SP(NM1)=SP(NM1)+2.0*AN(NM1) AN(NM1)=0.0 C C PREPARAR COEFICIENTE CENTRAL E CALCULAR RESIDUO RES=0.0 DO I=2,NM1 AP(I)=AN(I)+AS(I)+SP(I) AP(I)=AP(I)/OMGU S(I)=S(I)+(1.0-OMGU)*AP(I)*U(I) RES=RES+ABS(AP(I)*U(I)-AN(I)*U(I+1)-AS(I)*U(I-1)-S(I)) END DO RESTOT=RES/RESNORM/float(nm2) WRITE(*,*) ITER,RESTOT,U(IMON),PP WRITE(11,101) ITER,RESTOT,U(IMON),PP,P,abs(pp) C VERIFICAR CONVERGENCIA IF(RESTOT.LT.TOL) THEN PRINT *, ' CONVERGIU' GO TO 200 END IF C C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL DE EQS. CALL TDMA(U,AP,AN,AS,S,2,NM1,N) C **** SIMPLE: CORRIGIR GRADIENTE DE PRESSAO, P=-DP/DX IF(IDP.EQ.2) THEN C CALCULAR NOVO CAUDAL E PREPARAR CORRECCAO PRESSAO Q=0.0 D=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI D=D+2.*PI*(R(I)*DR)**2/AP(I) END DO C CALCULAR CORRECCAO DE PRESSAO PP=(QIN-Q)/D C CORRIGIR PRESSAO P=P+OMGP*PP C CORRIGIR VELOCIDADES DO I=2,NM1 U(I)=U(I)+R(I)*DR*PP/AP(I) END DO END IF C

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C CALCULAR VISCOSIDADE (NAS FACES) DO I=1,NM1 DRR=DR IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.NM1) DRR=0.5*DR DUDR=ABS(U(I+1)-U(I))/DRR+SMALL C VIS(I)=VISC*DUDR**(PLN-1.0) VIS(I)=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(ALAM*DUDR)**ACY)**((PLN-1.0)/ACY) END DO VIS(N)=VIS(NM1) C GO TO 100 C FIM CICLO ITERATIVO C================================================================ 200 CONTINUE C C CAUDAL E VELOCIDADE MEDIA IF(IDP.EQ.1) THEN Q=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI END DO END IF UM=Q/ARTOT C ESCREVER PARA FICHEIRO DE DADOS ERTOT=0.0 PL=1.+1./PLN U0T=(P/2./VISC)**(1./PLN)*1./PL*RTOT**PL UMT=(P/2./VISC)**(1./PLN)*(PLN/(3.*PLN+1.))*RTOT**PL GAMEF=UM/RTOT VISEF=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(ALAM*GAMEF)**ACY)**((PLN-1.0)/ACY) c VISEF=VISC*GAMEF**(PLN-1.) UN=P*RTOT**2/8./VISEF C SOLU€AO TEORICA COM LEI DE POTENCIA... DO I=1,N IF(IREADF.EQ.1) THEN DO J=1,NF IF(RF(J).GT.R(I)) GO TO 70 END DO 70 CONTINUE WF=(R(I)-RF(J-1))/(RF(J)-RF(J-1)) UT=WF*UF(J)+(1.-WF)*UF(J-1) IF(I.EQ.1) UT=UF(1) IF(I.EQ.N) UT=UF(NF) ELSE UT=U0T*(1.0-(R(I)/RTOT)**PL) END IF CC UT=U0T*(1.0-(R(I)/RTOT)**PL) ERR=ABS(U(I)-UT) ERTOT=ERTOT+ERR WRITE(10,102) R(I),U(I),UT,ERR,U(I)/UM,U(I)/UN,R(I)/RTOT END DO PRINT *,' ERRO TOTAL MEDIO =', ERTOT/FLOAT(NM1) PRINT *,' P =', P PRINT *,' U MEDIO =', UM PRINT *,' U MAX =', U(1) PRINT *,' TEORICOS U MAX =', U0T,' U MED=',UMT C VISEF=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(ALAM*GAMEF)**ACY)**((PLN-1.0)/ACY) UNEF=P*RTOT**2/8./VISEF RE=DENSIT*UM*RTOT*2./VISEF VISW=VIS(N) TAUW=VIS(N)*U(NM1)/(0.5*DR) PRINT *,' CY: RE=',RE,' GAMEF=',GAMEF,' VISEF=',VISEF PRINT *,' CY: UNEF',UNEF PRINT *,' CY: VISW',VISW,' TAUW=',TAUW OPEN(14,FILE='qdata.dat',STATUS='APPEND') WRITE(14,102) P,UM,Q,RE,UM/UNEF,VISW,TAUW,U(1),VISEF CLOSE(14) 101 FORMAT(I6,10(1PE15.5)) 102 FORMAT(10(1PE15.5)) STOP END C******************************************************************* C

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C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL: C PHI(i) = AS(i).PHI(i-1) + AN(i).PHI(i+1) + SU(i) C SUBROUTINE TDMA(PHI,AP,AN,AS,SU,I1,IE,NC) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION A(0:NMAX),C(0:NMAX) DIMENSION PHI(NC), AN(NC),AS(NC),SU(NC),AP(NC) IA=I1-1 A(IA)=0.0 C(IA)=0.0 DO 1 I=I1,IE DEN=1./(AP(I)-AS(I)*A(I-1)) A(I)=AN(I)*DEN C(I)=(AS(I)*C(I-1)+SU(I))*DEN 1 CONTINUE DO 2 II=I1,IE I=IE-II+I1 PHI(I)=PHI(I+1)*A(I)+C(I) 2 CONTINUE RETURN END