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Analise III (Analise no IRn)

Notas de aulas

Andre Arbex Hallack

Agosto/2008

Indice

1 Nocoes Topologicas no IRn 1

1.1 O espaco vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Norma de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Diferenciabilidade 25

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Funcoes reais de m variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8 As classes de diferenciabilidade Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.9 O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

i

3 Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 63

3.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 A Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 O Teorema da Aplicacao Inversa 71

4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 O Teorema da Aplicacao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Integrais Multiplas 89

5.1 A definicao de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3 Integrabilidade em domınios mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5 Integracao repetida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.6 Mudanca de variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Referencias 115

Capıtulo 1

Nocoes Topologicas no IRn

1.1 O espaco vetorial IRn

Consideremos o conjunto IRn = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n das n-uplas de

numeros reais.

Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)

Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos

numeros reais.

Produto interno no espaco IRn:

Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:

< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn

Normas:

A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA(?)

EUCLI-

DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:

‖x‖e =√< x, x > ∀ x ∈ IRn

1

2 CAPITULO 1

Obs.: Outras duas normas(?)

se destacam no IRn:

A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por

‖x‖m = max |x1| , |x2| , . . . , |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

E facil mostrar(?)

que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.

Para todo x ∈ IRn temos(?)

:

‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m

Metricas, bolas e conjuntos limitados:

A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma metrica

d : IRn × IRn → IR (nocao de distancia), pondo:

d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ IRn

Seguem definicoes de certos lugares geometricos basicos:

Definicao 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um

numero real r > 0, definimos:

(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ < r

(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ ≤ r

(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ = r

Obs.: E claro que os lugares geometricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖considerada.

A seguir definimos uma relacao de equivalencia entre normas:

Definicao 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao ditas EQUIVALENTES quando,

sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e possıvel obter uma

bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.

Nocoes Topologicas no IRn 3

A “equivalencia”, assim definida, alem de SIMETRICA (por definicao), e REFLEXIVA E

TRANSITIVA, sendo portanto uma RELACAO DE EQUIVALENCIA(?)

.

Proposicao 1.3.(?)

Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes se, e somente se,

existem constantes k, l > 0 tais que:

l. ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ k. ‖x‖2 ∀ x ∈ IRn

Ja vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m , para todo x ∈ IRn.

Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES!

Definicao 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (“em relacao a norma ‖ ‖”) quando existir

uma constante c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c para todo x ∈ X.

E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto

X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a

norma ‖ ‖2.(?)

Proposicao 1.5.(?)

Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equi-

valente a Norma do Maximo) se, e somente se, todas as suas projecoes

X1 = π1(X), X2 = π2(X), . . . , Xn = πn(X)

sao conjuntos limitados em IR.

1.2 Sequencias

Definicao 1.6. Dizemos que uma sequencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn

(“em relacao a norma ‖ ‖”) quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice

k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ ‖xk − a‖ < ε. Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.

De modo equivalente temos que, para cada ε > 0 , os termos xk estao na bola aberta

B(a; ε) (em relacao a norma considerada), para todo k suficientemente grande.

Uma consequencia importante da definicao acima e que, se duas normas no IRn sao

equivalentes, entao a convergencia de uma sequencia independe de qual das nor-

mas equivalentes e considerada(?)

.

4 CAPITULO 1

Consequencias imediatas:(?)

(i) limxk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0

(ii) Toda sequencia convergente e limitada.

(iii) Se lim xk = a entao toda subsequencia de (xk) converge para a.

(iv) O limite de uma sequencia convergente e unico.

Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo

k ∈ IN , xk =(x

(k)1 , x

(k)2 , . . . , x

(k)n

), onde x

(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n

sequencias sao ditas as Sequencias DAS COORDENADAS de (xk).

Proposicao 1.7.(?)

Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma

equivalente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para

cada i = 1, 2, . . . , n tem-se limx(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a

coordenada correspondente de a.

Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam

limxk = a, lim yk = b e limαk = α. Entao:

(i) lim(xk + yk) = a+ b

(ii) limαk.xk = α.a

(iii) lim < xk, yk > = < a, b >

A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:

Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass)(?)

Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer

norma equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-

nadas, juntamente com a proposicao anterior)

Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.

Demonstracao:

Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn

e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.


Temos:

(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema

estara demonstrado.

(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e equivalente a Norma

do Maximo.

Consideremos a Base Canonica β = e1, e2, . . . , en do IRn.

Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:

‖x‖ = ‖x1e1 + . . .+ xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . .+ |xn|) = b. ‖x‖s

onde b = max ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o

maximo em um conjunto finito de numeros reais).

Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)

Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.

De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn

tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).

Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk

‖xk‖s

(note que a sequencia (uk) esta bem definida,

pois ‖xk‖s > 0 ∀k )

Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma

da Soma.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na

Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.

Temos entao que∥∥ukj

∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.

Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0

− u∥∥

s<

ε

2be

1

kj0

<ε

2.

Logo

‖u‖ ≤∥∥ukj0

− u∥∥+

∥∥ukj0

∥∥ ≤ b.∥∥ukj0

− u∥∥

s+

1

kj0

< b.ε

2b+

ε

2= ε .

Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!)

Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)

Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.

6 CAPITULO 1

Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.

Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os resultados anteriores sao

validos para qualquer norma considerada no IRn.

Proposicao 1.10. (IRn e Banach)(?)

Uma sequencia (xk) no IRn e convergente (em

relacao a qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e uma Sequencia de Cauchy.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use a norma do maximo, a proposicao 1.7 e o resultado ja

conhecido para sequencias de numeros reais)

Prove tambem o resultado acima sem usar o que ja foi provado para sequencias de numeros

reais(?)

.

1.3 Topologia usual

Conjuntos abertos:

Definicao 1.11. Um ponto a e dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe ε > 0 tal que B(a; ε) ⊂ X. Se denotarmos por intX o conjunto dos pontos

interiores a X (INTERIOR de X), e imediato que intX ⊂ X. Se a ∈ intX entao X e dito

uma VIZINHANCA de a.

Um conjunto A ⊂ IRn e dito ser ABERTO (em IRn) quando A = intA.

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto

aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .


(i) φ e IRn sao abertos.

(ii) A intersecao A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma colecao FINITA de abertos e um aberto.

(iii) A reuniao A =⋃λ∈L

Aλ de uma colecao arbitraria Aλλ∈L de abertos e um aberto.

(iv) Toda bola aberta B(a; r) e um conjunto aberto.

(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: intX =⋃

A ⊂ X

A aberto

A


Conjuntos fechados:

Definicao 1.12. Um ponto a e dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe uma sequencia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por

clX o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e imediato que X ⊂ clX.

Um conjunto F ⊂ IRn e dito ser FECHADO (em IRn) quando F = clF .

Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto

fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .

Dado X ⊂ IRn , definimos frX = clX ∩ cl (IRn\X) (FRONTEIRA de X).

Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e DENSO em X quando X ⊂ clY (todo ponto

de X e limite de uma sequencia de pontos de Y ).


(i) a ∈ clX ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X.

(ii) F ⊂ IRn e fechado ⇔ A = IRn\F e aberto.

(iii) φ e IRn sao fechados.

(iv) A reuniao F = F1 ∪ . . . ∪ Fl de uma colecao FINITA de fechados e um fechado.

(v) A intersecao F =⋂λ∈L

Fλ de uma colecao arbitraria Fλλ∈L de fechados e um fechado.

(vi) Toda bola fechada B[a; r] e um conjunto fechado.

(vii) Toda esfera S[a; r] e um conjunto fechado.

(viii) Qn e denso no IRn.

(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: clX =⋂

F ⊃ X

F fechado

F

Pontos de acumulacao:

Definicao 1.13. Um ponto a e dito um PONTO DE ACUMULACAO de um conjunto

X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X\ a ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que

xk → a . Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Se a ∈ X nao e ponto de acumulacao de X, entao a e um PONTO ISOLADO de X.

Se todos os pontos de X sao isolados, X e chamado um conjunto DISCRETO.

8 CAPITULO 1


(i) a ∈ X ′ ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X\ a.

(ii) a ∈ X ′ ⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X.

(iii) Se X ′ 6= φ entao X e infinito.

(iv) O conjunto X ′ dos pontos de acumulacao de X e fechado.

(v) Se X ⊂ IRn e infinito e limitado, entao X ′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)

1.4 Limites e continuidade

Estudaremos agora nocoes de limites e continuidade para aplicacoes f : X → IRn ,

com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicacoes como esta atraves de suas funcoes

coordenadas:

A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR

dadas por fi = πi f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao f .

Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .

Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).

Limites:

Definicao 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao de X).

Dizemos que b ∈ IRn e o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos

b = limx→a

f(x)

quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que

x ∈ X, 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < ε

Proposicao 1.15.(?)

Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ .

A fim de que limx→a

f(x) = b ∈ IRn e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk)

em X\ a com xk → a se tenha f(xk) → b .

Proposicao 1.16.(?)

Seja a um ponto de acumulacao de X ⊂ IRm. Dada a aplicacao

f : X → IRn , cujas funcoes coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se

limx→a

f(x) = b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn se, e somente se, limx→a

fi(x) = bi ∀ i = 1, 2, . . . , n.


Continuidade:

Definicao 1.17. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e CONTINUA NO PONTO a ∈ X


x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε

Se f como acima e contınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que

f e uma aplicacao CONTINUA.

Proposicao 1.18.(?)

Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja contınua em a ∈ X

e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk) em X com xk → a se tenha

f(xk) → f(a) .

Proposicao 1.19.(?)

Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua se, e somente se, para

cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e

um conjunto aberto em X (ou f−1(F ) e um conjunto fechado em X).

Proposicao 1.20.(?)

A composta de duas aplicacoes contınuas e contınua.

Proposicao 1.21.(?)

Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicacao f : X → IRn , cujas funcoes

coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se: f e contınua em a se, e somente se, cada

uma das suas funcoes coordenadas fi = πi f : X → IR e contınua no ponto a.

Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada

por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.

Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas

entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,

(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por

< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.

Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),

para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto

x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.

Exemplos: f(x, y) = (( senx).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.

A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.

10 CAPITULO 1

Continuidade uniforme:

Ao estudarmos a continuidade de uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do

domınio X, o δ obtido para cada ε (veja a definicao) depende, em geral, nao apenas do ε

dado, mas tambem depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .

Quando, para cada ε dado, for possıvel obter um δ que dependa apenas de ε e portanto

sirva (como na definicao) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenomeno conhecido

como Continuidade Uniforme:

Definicao 1.22. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita UNIFORMEMENTE CONTINUA


x, y ∈ X, ‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε

Resultados relacionados com a continuidade uniforme:(?)

(i) Uma aplicacao f = (f1, . . . , fn) : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente

se, suas funcoes coordenadas f1, . . . , fn : X → IRn o sao.

(ii) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente se, para todo

par de sequencias (xk), (yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk)− f(yk)] = 0 .

(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua entao, para todo a ∈ X ′ , existe o

limite limx→a

f(x) .

Uma fonte natural de aplicacoes uniformemente contınuas:

Definicao 1.23. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita LIPSCHITZIANA quando existe

uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que

‖f(x)− f(y)‖ ≤ k. ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X

Alguns resultados:

(i) Toda aplicacao lipschitziana e uniformemente contınua.(?)

(ii) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente

contınua e portanto contınua.

(iii) Se ϕ : IRm× IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ

e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.

Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.

Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico

( < x, y > = x1y1 + . . .+ xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A,B) = A.B )


(iv) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm

( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.

1.5 Homeomorfismos

Definicao 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre

X e Y e uma bijecao contınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambem e contınua.

Diz-se entao que X e Y sao conjuntos homeomorfos.

Resultados imediatos:

(i) O inverso de um homeomorfismo e um homeomorfismo.

(ii) A composta de dois homeomorfismos e um homeomorfismo.

(iii) Se dois conjuntos X e Y sao homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topologica,

ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”

abertos de Y em abertos de X.(?)

Exemplos:

1) Qualquer aplicacao linear invertıvel A : IRn → IRn e um homeomorfismo.

2) As translacoes Ta : IRm → IRm , onde Ta(x) = x+ a, a ∈ IRm (fixado).

3) As homotetias Hλ : IRm → IRm , onde Hλ(x) = λ.x, 0 6= λ ∈ IR (fixado).

4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas

bolas fechadas arbitrarias no IRm ou duas esferas no mesmo espaco.(?)

5) Toda bola aberta no IRm e homeomorfa ao espaco IRm.(?)

6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicacao contınua. Seu GRAFICO e o conjunto G ⊂IRm × IRn formado pelos pontos (x, f(x)) , com x ∈ X . O domınio X e o grafico G da

aplicacao contınua f sao homeomorfos.

12 CAPITULO 1

7) Sejam Sm =x ∈ IRm+1 ; < x, x > = 1

⊂ IRm+1 a esfera unitaria m-dimensional e

p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sm seu POLO NORTE.

A PROJECAO ESTEREOGRAFICA ϕ : Sm\ p → IRm e um homeomorfismo.

1.6 Compacidade

Definicao 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera dito um conjunto COMPACTO quando for

limitado e fechado.

Buscaremos agora novas caracterizacoes para os compactos do IRn:

Teorema 1.26.(?)

Um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda sequencia

(xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.

Teorema 1.27.(?)

(Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos

compactos e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1

Ki (limitada e

fechada) nao e vazia.

Lema 1.28.(?)

Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel

E = x1, x2, . . . , xl, . . . ⊂ X, E denso em X.


Lema 1.29. (Lindelof) Considere um conjunto arbitrario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta

X ⊂⋃

Aλ admite uma subcobertura enumeravel.

Chegamos entao ao resultado que nos interessa:

Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de

K admite uma subcobertura finita.

Demonstracao:

(⇐) (Exercıcio)(?)

(⇒) Borel-Lebesgue:

Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).

Seja K ⊂⋃

Aλ uma cobertura aberta de K.

Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel

K ⊂∞⋃i=1

Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .

Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha

Ki = K⋂

(IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))

Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.

Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi

) e fechado. Como K e fechado, temos

entao que Ki e fechado.

Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.

Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .

Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂

∞⋃i=1

Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′

Logo∞⋂i=1

Ki = φ .

Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos

φ = Ki0 = K⋂ (

X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0

)

Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.

14 CAPITULO 1

Destacamos a seguir os principais resultados relativos a compacidade:

Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e uma aplicacao

contınua, entao sua imagem f(K) e um conjunto compacto do IRn.

Corolario 1.(?)

(Weierstrass) Toda funcao real contınua f : K → IR definida num compacto

K ⊂ IRm atinge seu maximo e seu mınimo em K, isto e, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para qualquer x ∈ K.

Corolario 2.(?)

Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicacao contınua f : K → IRn e fechada,

ou seja, se F ⊂ K e fechado, entao f(F ) ⊂ IRn e fechado.

Corolario 3.(?)

A inversa de uma bijecao contınua definida num compacto e uma funcao

contınua, isto e, toda bijecao contınua definida num conjunto compacto e um homeomorfismo

sobre sua imagem.

Teorema 1.32.(?)

Toda aplicacao contınua f : K → IRn definida num conjunto compacto

K ⊂ IRm e uniformemente contınua.

1.7 Conexidade

Definicao 1.33. Uma CISAO de um conjunto X ⊂ IRn e uma decomposicao X = A ∪ B ,

onde A e B sao disjuntos ( A ∩B = φ ) e abertos em X.

Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISAO TRIVIAL X = X ∪ φ .

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO quando so admite a cisao trivial. Caso contrario

ele e dito DESCONEXO.


Proposicao 1.34.(?)

Uma decomposicao X = A ∪ B e uma cisao de X se, e somente

se, nenhum dos conjuntos A, B contem um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos

clA ∩B = φ = A ∩ clB .

Proposicao 1.35.(?)

X ⊂ IR e conexo se, e somente se, X e um intervalo da reta.

Destacamos a seguir o principal resultado relativo a conexidade:

Teorema 1.36. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e uma aplicacao

contınua, entao sua imagem f(X) e um conjunto conexo do IRn.

Corolario 1.(?)

(Teorema do Valor Intermediario) Seja f : X → IR uma funcao real

contınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que

f(a) < d < f(b) , entao existe c ∈ X tal que f(c) = d .

Veremos a seguir uma serie de resultados sobre conexidade:

Proposicao 1.37.(?)

(Teorema da Alfandega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo

C ⊂ IRn contem um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , entao C contem algum ponto da

fronteira de X.

Sugestao: use que IRn = intX ∪ frX ∪ int (IRn\X)

Lema 1.38.(?)

Seja X = A ∪ B uma cisao do conjunto X ⊂ IRn . Se Y ⊂ X e conexo e

nao-vazio entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .

16 CAPITULO 1

Proposicao 1.39.(?)

Se X ⊂ IRn e conexo e X ⊂ Y ⊂ clX , entao Y e conexo.

Corolario 1. Se X ⊂ IRn e conexo e Y e formado a partir de X adicionando-se alguns ou

todos os pontos de seu fecho, entao Y e conexo.

Teorema 1.40. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos com um ponto em comum e

um conjunto conexo.

Corolario 1.(?)

A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e (necessario e) suficiente que, para

quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X .

Corolario 2.(?)

Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e

conexo se, e somente se, X e Y sao conexos.

Definicao 1.41. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos

a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuniao Cx de todos os

subconjuntos conexos de X que contem o ponto x.

E imediato que Cx e o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que

contem o ponto x.

Segue tambem que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas Cx, Cy em

X, ou coincidem ou sao disjuntas(?)

.

Assim, a relacao “x e y pertencem a mesma componente conexa em X” e uma relacao

de equivalencia em X(?)

e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de

equivalencia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.


Proposicao 1.42.(?)

Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e a componente conexa

do ponto x em X, entao Dy = h(Cx) e a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .

Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijecao entre as componentes

conexas de X e as componentes conexas de Y .(?)

(Exemplos)

Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida

num intervalo I ⊂ IR.

Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X

quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)

Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um

caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] .

Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho

ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.(?)

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos

a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.

Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.

Teorema 1.43. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo. (Exercıcio)

Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:

Exemplo: X = (x, sen 1/x) ; x ∈ (0,+∞) ∪ (0, 0) ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo

por caminhos.

Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:

Teorema 1.44. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.

Prova: Exercıcio.

18 CAPITULO 1

1.8 Norma de uma transformacao linear

Seja A : IRm → IRn uma transformacao linear.

Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que

‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

Temos entao: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir ...

Definicao 1.45. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , definimos

uma norma(?)

em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformacao linear

A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :

‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m = 1

Proposicao 1.46. Nas condicoes da definicao acima, temos:

‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m ≤ 1

= inf c > 0 ; ‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma

em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, nao vamos esquecer que as normas

obtidas neste ultimo espaco sao todas equivalentes.

Proposicao 1.47.(?)

Nas mesmas condicoes da definicao anterior, temos:

‖Ax‖n ≤ ‖A‖ . ‖x‖m ∀ x ∈ IRm

‖AB‖ ≤ ‖A‖ . ‖B‖ se B ∈ L(IRp; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)

Obs.: Na segunda parte da proposicao acima, consideramos a mesma norma em IRm .


1.9 Exercıcios

1. Se c ∈ [a, b] = t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] entao ‖b− a‖ = ‖b− c‖+ ‖c− a‖ . Se a norma

provem de um produto interno, vale a recıproca. Para uma norma arbitraria, pode-se ter a

igualdade acima com c 6∈ [a, b] .

2. Se a norma provem de um produto interno e a 6= b em IRn sao tais que ‖a‖ ≤ r e ‖b‖ ≤ r

entao ‖(1− t).a+ t.b‖ < r para todo t ∈ (0, 1) (ou seja, a esfera nao contem segmentos de

reta).

3. Qualquer que seja a norma adotada no IRn (n > 1), a esfera unitaria Sn−1 = x ∈ IRn ; ‖x‖ = 1 e um conjunto infinito.

4. Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a, b ∈ X,

o SEGMENTO (RETILINEO) [a, b] = t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] que os liga cumpre [a, b] ⊂X . Mostre que a intersecao de uma famılia arbitraria de conjuntos convexos e um conjunto

convexo.

5. Dado X ⊂ IRn, a ENVOLTORIA CONVEXA DE X e a intersecao co (X) de todos os

subconjuntos convexos do IRn que contem X. Prove que co (X) e o conjunto de todas as

combinacoes lineares α1x1 + . . . + αkxk tais que x1, . . . , xk ∈ X , α1 ≥ 0, . . . , αk ≥ 0 e

α1 + . . .+ αk = 1 .

6. Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IRn e tambem convexo.

7. As seguintes afirmacoes a respeito de uma sequencia (xk) de pontos do IRn sao equivalentes:

(a) lim ‖xk‖ = +∞ ;

(b) (xk) nao possui subsequencia convergente ;

(c) Para todo conjunto limitado L ⊂ IRn, o conjunto dos ındices k tais que xk ∈ L e finito.

8. Prove que limxk = a em IRn se, e so se, lim < xk, y > = < a, y > para todo y ∈ IRn .

9. Toda matriz n× n e limite de uma sequencia de matrizes invertıveis n× n .

10. Se nenhum ponto do conjunto X ⊂ IRn e ponto de acumulacao entao se pode escolher,

para cada ponto x ∈ X, uma bola aberta Bx, de centro x, de tal maneira que, para x 6= y

em X se tenha Bx ∩By = φ .

11. Todo conjunto discreto e enumeravel. Em outras palavras: todo conjunto nao-enumeravel

contem (pelo menos) um ponto de acumulacao.

20 CAPITULO 1

12. Se A ⊂ IRn e aberto entao sua fronteira frA tem interior vazio. De exemplo de um

conjunto X ⊂ IRn cuja fronteira frX seja um conjunto aberto.

13. Se F ⊂ IRn e fechado entao sua fronteira frF tem interior vazio.

14. Seja E ⊂ IRn um subespaco vetorial. Se E 6= IRn entao intE = φ .

15. A ⊂ IRn e aberto se, e somente se, A ∩ cl (IRn\A) = φ .

16. Seja B(X; ε) a reuniao das bolas abertas B(x; ε) de raio ε e centro em algum ponto

x ∈ X . Prove que clX =⋂ε>0

B(X; ε) .

17. (i) Mostre que para toda sequencia decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fk ⊃ . . . de conjuntos

fechados e nao-vazios Fk ⊂ IRn , com lim diamFk = 0 ( diamX = sup d(x, y) ; x, y ∈ X ),

existe um ponto a ∈ IRn tal que∞⋂

k=1

Fk = a.

(ii) (Teorema de Baire) Mostre que se F =∞⋃

k=1

Fk , onde cada Fk e fechado em IRn e tem

interior vazio, entao intF = φ . (Sugestao: olhe o livro sobre Espacos Metricos do Elon)

(iii) O que podemos concluir se IRn =∞⋃

k=1

Fk , onde cada Fk e fechado no IRn ?

18. Seja f : X → IRn contınua. Dada uma sequencia xk em X com limxk = a ∈ X e

‖f(xk)‖ ≤ c para todo k ∈ IN entao ‖f(a)‖ ≤ c .

19. Sejam f, g : X → IRn contınuas no ponto a ∈ X . Se f(a) 6= g(a) entao existe uma

bola B de centro a tal que x, y ∈ B ⇒ f(x) 6= g(x) .

20. Seja f : X → IRn contınua no ponto a ∈ X . Se f(a) nao pertence a B[b; r] ⊂ IRn

entao existe δ > 0 tal que x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ f(x) 6∈ B[b; r] .

21. Sejam f : X → IRn e a ∈ X . Suponha que, para todo ε > 0 , exista g : X → IRn ,

contınua no ponto a, tal que ‖f(x)− g(x)‖ < ε para todo x ∈ X . Entao f e contınua no

ponto a .

22. Seja f : IRm → IRn contınua. Se X ⊂ IRm e limitado entao f(X) ⊂ IRn e limitado.

23. Se f : IRm → IRn e contınua entao, para cada parte limitada x ⊂ IRm , a restricao f |Xe uniformemente contınua.


24. Se a aplicacao linear A : IRm → IRn e injetiva, entao existe c > 0 tal que ‖Ax‖ ≥ c ‖x‖para todo x ∈ IRm .

25. Se B e a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IRn, a aplicacao contınua f : B → IRn

definida por f(x) =x

1− ‖x‖nao e uniformemente contınua.

26. Considerando as sequencias de pontos zk = (k, 1/k) e wk = (k, 0) no IR2 , prove que

a aplicacao ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = xy nao e uniformemente contınua. Use

um argumento analogo para provar que uma aplicacao bilinear ϕ : IRm × IRn → IRp so e

uniformemente contınua se for identicamente nula.

27. O cone C =

(x, y, z) ∈ IR3 ; z ≥ 0 , x2 + y2 − z = 0

e homeomorfo ao IR2 .

28. Estabeleca um homeomorfismo entre IRn+1\ 0 e Sn × IR .

29. O quadrante P =

(x, y) ∈ IR2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0

e homeomorfo ao semi-plano superior

S = (x, y) ; y ≥ 0 .

30. Os conjuntos X =

(x, y) ∈ IR2 ; y = 0 , 0 < x < 1

e Y =

(x, y) ∈ IR2 ; y = 0

sao homeomorfos, mas nao existe um homeomorfismo h : IR2 → IR2 tal que h(X) = Y .

31. Estabeleca um homeomorfismo entre os conjuntos X = x ∈ IRn ; 0 < ‖x‖ ≤ 1 (bola

unitaria fechada menos a origem) e Y = y ∈ IRn ; ‖y‖ ≥ 1 (complementar da bola unitaria

aberta).

32. Seja f : IR2 → IR definida por f(x, y) =(x2 − y)y

x4se 0 < y < x2 e f(x, y) = 0 nos

demais pontos. Prove que o limite de f(x, y) e zero quando (x, y) tende para (0, 0) ao

longo de qualquer reta que passe pela origem, mas nao se tem lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 .

33. Seja f : IR2 → IR definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0) .

Mostre que limx→0

(limy→0

f(x, y)

)6= lim

y→0

(limx→0

f(x, y))

.

34. O conjunto das matrizes invertıveis n× n e aberto no IRn2

.

35. O conjunto das aplicacoes lineares injetivas e aberto em L(IRm; IRn) . Idem para as

sobrejetivas.

36. f : X → IRn e contınua se, e so se, para todo Y ⊂ X , tem-se f(X ∩ clY ) ⊂ cl f(Y ) .

22 CAPITULO 1

37. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 e um conjunto fechado, ilimitado e

com interior vazio em IRn2

.

38. O conjunto dos valores de aderencia de uma sequencia limitada e um conjunto compacto

e nao-vazio.

39. As matrizes ortogonais n× n formam um subconjunto compacto do IRn2

.

40. Todo conjunto infinito X ⊂ IRn possui um subconjunto nao-compacto.

41. Seja X ⊂ IRn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, entao X e compacto.

42. Seja f : IRm → IRn contınua. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) limx→∞

f(x) = ∞ ;

(b) A imagem inversa f−1(K) de todo compacto K ⊂ IRn e compacta.

43. Sejam X ⊂ IRm , K(compacto) ⊂ IRn , f : X ×K → IRp contınua e c ∈ IRp . Suponha

que, para cada x ∈ X , exista um unico y ∈ K tal que f(x, y) = c . Prove que esse y

depende continuamente de x .

44. Toda aplicacao localmente lipschitziana definida num conjunto compacto e lipschitziana.

45. Um subconjunto conexo nao-vazio X ⊂ Qn consta de um unico ponto.

46. Um conjunto conexo enumeravel X ⊂ IRn possui no maximo um ponto.

47. O conjunto das matrizes invertıveis n× n e um aberto desconexo em IRn2

. Tambem e

desconexo (mas nao aberto) o conjunto das matrizes ortogonais.

48. Se X ⊂ IRn e compacto, entao toda aplicacao contınua aberta f : X → Sn e sobrejetiva.

49. Seja X ⊂ IRm . Uma aplicacao f : X → IRn diz-se localmente constante quando

para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f |(B∩X) e constante. X e conexo

se, e somente se, toda aplicacao localmente constante f : X → IRn e constante.

50. Se X ⊂ IRn e conexo por caminhos e f : X → IRn e contınua, entao f(X) e conexo

por caminhos.

51. Se X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn sao conexos por caminhos entao X × Y ⊂ IRm+n e conexo por

caminhos.


52. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum

e conexa por caminhos.

53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode nao ser conexo por caminhos.

54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IRn sao conjuntos abertos.

55. Dada uma aplicacao linear A : IRm → IRn e fixadas normas em IRm e IRn, a imagem por

A da esfera unitaria S = x ∈ IRm ; ‖x‖ = 1 e um conjunto limitado no IRn . Pondo, para

cada A ∈ L(IRm; IRn) , ‖A‖ = sup ‖Ax‖ ; x ∈ S , a funcao A 7→ ‖A‖ e uma norma no

espaco vetorial L(IRm; IRn) , para a qual vale a desigualdade ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ para todo

x ∈ IRm . Alem disso, se A ∈ L(IRm; IRn) e B ∈ L(IRn; IRp) entao, fixadas normas em

IRm , IRn e IRp , tem-se ‖BA‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖ .

56. Seja G o grupo das matrizes invertıveis n×n . Mostre que se A ∈ G e ‖Ax‖ ≥ |c| . ‖x‖para todo x ∈ IRn entao ‖A−1‖ ≤ 1/c . Conclua que se X ∈ G e ‖X − A‖ < c/2 entao

‖X−1‖ ≤ 2/c . Em seguida, use a identidade X−1 − A−1 = X−1(I − XA−1) para mostrar

que limX→A

X−1 = A−1 . Logo, f : G→ G dada por f(X) = X−1 e contınua.

57. Dada A ∈ L(IRm; IRn) , supomos fixadas normas em IRm e IRn e definimos, como antes,

‖A‖ = sup ‖Ax‖ ; x ∈ IRm , ‖x‖ = 1 . Mostre que, com essa definicao de ‖A‖ , temos

tambem ‖A‖ = inf c ∈ IR ; ‖Ax‖ ≤ c ‖x‖ para todo x ∈ IRm .

58. Defina convergencia e convergencia absoluta (ou normal) de uma serie∑xk , cujos

termos xk = (xk1, xk2, . . . , xkn) pertencem ao IRn . Prove que a serie∑xk converge (resp.

converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1, . . . , n , a serie∑

k xki converge

(resp. converge absolutamente). Conclua que toda serie absolutamente convergente no IRn e

convergente.

59. Dada uma sequencia de aplicacoes lineares Ak : IRm → IRn , suponha que para todo

x ∈ IRm exista Ax = limk→∞

Akx . Prove que a aplicacao linear A : IRm → IRn assim definida e

linear, que limAk = A relativamente a qualquer norma em L(IRm; IRn) e que a convergencia

Akx→ Ax e uniforme em qualquer parte limitada de IRm .

60. Mostre que para toda aplicacao X ∈ L(IRn) ' IRn2

, a serie∞∑

k=0

Xk

k!e absolutamente

convergente. Indiquemos sua soma por eX . Usando que eX · eY = eX+Y se XY = Y X ,

conclua que para toda X ∈ L(IRn) temos que eX e invertıvel, com (eX)−1 = e−X .

24 CAPITULO 1

Capıtulo 2

Diferenciabilidade

2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao

Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenciavel

no ponto a ∈ U quando existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo

v ∈ IRm com a+ v ∈ U , temos

f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximacao

linear”para f numa vizinhanca de a. Essa boa aproximacao de f(a+ v) por f(a)+T (v) numa

vizinhanca de a e expressa pela condicao limv→0

r(v)

‖v‖= 0.

Pondo ρ(v) =r(v)

‖v‖se v 6= 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f no

ponto a por:

f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0

ρ(v) = 0

Alguns resultados imediatos:

Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U .

Entao existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com

a+ v ∈ U :

f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0

ρ(v) = 0

25

26 CAPITULO 2

(A) f e contınua em a

Antes do proximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.

Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.

A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e, por

definicao:∂f

∂v(a) = lim

t→0

f(a+ tv)− f(a)

t∈ IRn quando existir tal limite

Se f = (f1, f2, . . . , fn) , onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de

f , entao∂f

∂v(a) =

(∂f1

∂v(a) , . . . ,

∂fn

∂v(a)

)

Quando v = ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm, escrevemos∂f

∂xj

(a).

(B) T (v) =∂f

∂v(a) ∀ v ∈ IRm

Diferenciabilidade 27

Consequencias de (B):

(i) A derivada direcional de f em a , se f e diferenciavel em a, depende linearmente do

vetor relativamente ao qual e considerada.

(ii) A transformacao linear T : IRm → IRn que da a boa aproximacao para f perto de

a e unica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f ′(a) ou Df (a).

(iii) Podemos obter a matriz que representa a transformacao linear f ′(a) em relacao as

bases canonicas de IRm e IRn, que sera uma n×m matriz chamada a matriz jacobiana de f

no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-esima coluna e dada por

f ′(a).ej = T (ej) =∂f

∂xj

(a) =

(∂f1

∂xj

(a) , . . . ,∂fn

∂xj

(a)

)∈ IRn

onde ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm (j = 1, 2, . . . ,m).

Entao:

Jf(a) = [f ′(a)] =

∂f1

∂x1

(a)∂f1

∂x2

(a) . . .∂f1

∂xm

(a)

∂f2

∂x1

(a)∂f2

∂x2

(a) . . .∂f2

∂xm

(a)

......

...

∂fn

∂x1

(a)∂fn

∂x2

(a) . . .∂fn

∂xm

(a)

(C) Temos: f(a+ v) = f(a) + f ′(a)(v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Se f = (f1, f2, . . . , fn) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condicao acima e equivalente a

fi(a+ v) = fi(a) +

[∂fi

∂x1

(a)∂fi

∂x2

(a) . . .∂fi

∂xm

(a)

]· v + ri(v) com lim

v→0

ri(v)

‖v‖= 0

para todo ∀ i = 1, 2, . . . , n.

Temos entao o ...

28 CAPITULO 2

Teorema 2.2. A aplicacao f : U → IRn e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se,

cada uma das suas funcoes coordenadas f1, f2, . . . , fn : U → IR e diferenciavel em a.

Corolario 1. A aplicacao f = (g, h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x), h(x)) e

diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicacoes g : U → IRn e

h : U → IRp e diferenciavel em a.

Em caso afirmativo, temos: f ′(a) = (g′(a), h′(a)) : IRm → IRn × IRp.

2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis

A) Aplicacoes constantes: Uma aplicacao constante e diferenciavel em todo ponto e sua

derivada em qualquer ponto e a transformacao linear nula O .

B) Transformacoes lineares: Qualquer transformacao linear T : IRm → IRn e diferen-

ciavel em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T ′(a) = T ∀ a ∈ IRm.

C) Aplicacoes bilineares: Qualquer aplicacao bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e diferenciavel

em cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IRp e a transformacao

linear dada por:

ϕ′(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn


D) Aplicacoes k-lineares: Qualquer aplicacao k-linear µ : IRm1× IRm2× . . .× IRmk → IRp

e diferenciavel em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e

Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)

Exemplo: det : IRn2

= IRn × IRn × . . .× IRn → IR e n-linear e portanto e diferenciavel em

cada n× n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) e

a i-esima linha de A, temos que det′(A) : IRn2 → IR e a transformacao linear dada por

det′(A)(V ) =n∑

i=1

det(A1, . . . , Ai−1, Vi, Ai+1, . . . , An) ∀ n× n matriz real V

30 CAPITULO 2

E) A derivada da “analise na reta” :

Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U .

Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite

limt→0

f(a+ t)− f(a)

t= f ′(a) ∈ IR

Ja vimos que f e derivavel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,

para todo t ∈ IR onde a+ t ∈ U , tenhamos

f(a+ t) = f(a) + c · t + r(t) com limt→0

r(t)

t= 0

Em caso afirmativo, temos ainda que f ′(a) = c.

Se considerarmos a transformacao linear T : IR → IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR e

observarmos que limt→0

r(t)

t= 0 ⇔ lim

t→0

r(t)

|t|= 0 podemos entao concluir que

f e derivavel em a ⇔ f e diferenciavel em a

F) Caminhos diferenciaveis:

Um caminho em IRn e uma aplicacao f : I → IRn cujo domınio e um intervalo I ⊂ IR.

O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I e

definido por:

df

dt(a) = lim

t→0

f(a+ t)− f(a)

t∈ IRn desde que esse limite exista


Temos f = (f1, f2, . . . , fn) , fi : I → IR , i = 1, 2, . . . , n.

O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for derivavel

(ou seja, diferenciavel) em a. Isto ocorrera portanto se, e somente se, f for diferenciavel em

a. (ver teorema 2.2).

Teremos, em caso afirmativo:

df

dt(a) =

df1

dt(a)

...

dfn

dt(a)

=

f ′1(a)

...

f ′n(a)

que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidadedf

dt(a) de f em a)

quanto como uma transformacao linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por

f ′(a)(t) =df

dt(a) · t ).

Aplicacao: Dada uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciavel em a ∈ U ,

tentaremos obter, via caminhos, uma interpretacao para f ′(a)(v) , onde v ∈ IRm.

Dado v ∈ IRm, consideremos um caminho α : (−ε, ε) → U ⊂ IRm dado por

α(t) = a+ tv

Temos que ∃ dα

dt(0) = lim

t→0

α(0 + t)− α(0)

t= lim

t→0

a+ tv − a

t= v (v e o vetor veloci-

dade de α em t = 0)

Geometricamente, a imagem do caminho α e uma curva (neste caso um segmento de reta)

em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.

Vamos agora olhar para o caminho γ = f α : (−ε, ε) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a

aplicacao de f ao caminho α (composicao).

Geometricamente, a imagem do caminho γ e uma curva em f(U) , passando por f(a).

Temos:

∃ dγ

dt(0) = lim

t→0

(f α)(t)− (f α)(0)

t= lim

t→0

f(a+ tv)− f(a)

t=

∂f

∂v(a) = f ′(a)(v)

32 CAPITULO 2

Portanto, f ′(a)(v) e o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e o vetor tangente

a imagem de γ, em f(a) ):

G) Funcoes de uma variavel complexa:

Seja f : U ⊂ C → C funcao de uma variavel complexa z definida num aberto U ⊂ C.

f e derivavel em z0 ∈ U quando existe o limite

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h= f ′(z0)

Temos que f e derivavel em z0 se, e somente se, existe uma constante complexa

c = a+ ib tal que, se z0 + h ∈ U , temos

f(z0 + h) = f(z0) + c · h+ r(h) com limh→0

r(h)

h= 0

Em caso afirmativo, temos ainda f ′(z0) = c = a+ ib.

Seja f : U (aberto) ⊂ C → C derivavel em z0 ∈ U com f ′(z0) = a+ ib ∈ C.

Pela associacao C ↔ IR2 , que faz corresponder a cada complexo x+ iy o par (x, y) e

vice-versa, podemos enxergar f como uma aplicacao definida num aberto U ⊂ IR2 e tomando

valores em IR2: f : U ⊂ IR2 → IR2 , z0 = (x0, y0)

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) ⇒ f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

Consideremos a transformacao linear T : IR2 → IR2 correspondente a multiplicacao pelo

numero complexo c = a+ ib


Dado h ∈ IR2 tal que z0 + h ∈ U temos:

f(z0 + h) = f(z0) + T (h) + r(h) com limh→0

r(h)

‖h‖= 0

Portanto f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) vista como aplicacao f : U ⊂ IR2 → IR2 e diferen-

ciavel no ponto z0 = (x0, y0) e temos ainda:

H) Inversao de matrizes:

Seja U = GL(IRn) o conjunto das n× n matrizes invertıveis.

Temos que o conjunto U ⊂ IRn2

e aberto em IRn2

(espaco das n × n matrizes), pois

U = det−1 (IR \ 0) e det e uma funcao contınua.

Seja f : U → IRn2

dada por f(X) = X−1 (inversao da matriz X) ∀ X ∈ U .

Esta aplicacao f e diferenciavel em toda matriz A ∈ U e sua derivada em cada matriz

A ∈ U e a transformacao linear f ′(A) : IRn2 → IRn2

dada por:

f ′(A)(V ) = −A−1 · V · A−1

34 CAPITULO 2

2.3 Funcoes reais de m variaveis

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao real de m variaveis definida num aberto U ⊂ IRm.

Temos: f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformacao linear

T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a+ v ∈ U , temos:

f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Em caso afirmativo, temos T = f ′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.

Equivalentemente, f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existirem constantes

A1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U , tem-se:

f(a+ v) = f(a) + A1v1 + A2v2 + . . .+ Amvm + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0

Como Jf(a) =

[∂f

∂x1

(a)∂f

∂x2

(a) . . .∂f

∂xm

(a)

], chegamos a outra definicao equivalente:

f e diferenciavel em a ∈ U se, e so se, existirem as derivadas parciais∂f

∂x1

(a), . . . ,∂f

∂xm

(a)

e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U tivermos

f(a+ v) = f(a) +∂f

∂x1

(a).v1 + . . .+∂f

∂xm

(a).vm + r(v) com limv→0

r(v)

‖v‖= 0


A diferencial

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma funcao diferenciavel em a ∈ U .

Sua derivada f ′(a) , em a, e uma transformacao linear f ′(a) : IRm → IR, ou seja, um

funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f

no ponto a:

df(a) = f ′(a) : IRm → IR , df(a) ∈ (IRm)∗

Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df(a)(v) =∂f

∂v(a) =

m∑j=1

∂f

∂xj

(a).vj

Nosso interesse agora sera, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinacao

linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da

base canonica de IRm:

Sejam B = e1, e2, . . . , em a base canonica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.

Temos B∗ = π1, π2, . . . , πm , onde πj : IRm → IR e dado por πj(x1, . . . , xm) = xj , para

todo j = 1, 2, . . . ,m (πj e a projecao na j-esima coordenada).

E comum denotarmos πj por xj . Logo B∗ = x1, x2, . . . , xm (aqui cada xj e um

funcional linear).

Para todo j = 1, . . . ,m temos que xj = πj : IRm → IR e uma transformacao linear, logo

diferenciavel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e a propria

transformacao linear xj .

Portanto: xj = dxj(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . ,m. Logo escreveremos xj = dxj , para

todo j = 1, . . . ,m.

Assim, B∗ = dx1, dx2, . . . , dxm e a base dual da base canonica do IRm.

Para todo j = 1, . . . ,m temos: df(a)(ej) =∂f

∂xj

(a) e pela relacao entre B e B∗ , temos:

df(a) =∂f

∂x1

(a).dx1 +∂f

∂x2

(a).dx2 + . . . +∂f

∂xm

(a).dxm

Conseguimos portanto escrever df(a) como combinacao linear dos funcionais da base B∗

(que sao tambem diferenciais), dual da base canonica B de IRm.

36 CAPITULO 2

Uma util condicao suficiente

Teorema 2.3. Se uma funcao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos

os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e cada uma delas e contınua no ponto a ∈ U , entao

f e diferenciavel em a.


Um exemplo interessante

Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua definida num aberto U ⊂ IR2.

Considere o conjunto S = gr f = (x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f).

Seja g : U → S a aplicacao dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)).

Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas funcoes coordenadas dadas por:

g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f(x, y)

Ja vimos que g e um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e topologicamente identico a

um “pedaco” U do plano (S e uma superfıcie).

Consideremos agora f diferenciavel em a ∈ U .

E imediato entao que g e diferenciavel em a (olhe para as funcoes coordenadas de g).

Fixemos v ∈ IR2.

O caminho α : (−ε, ε) → U dado por α(t) = a+ tv e geometricamente um segmento de

reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)

Temos entao (veja Aplicacao do exemplo F) que g α : (−ε, ε) → S e um caminho cuja

imagem e uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tan-

gente:

38 CAPITULO 2

Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor

tangente a uma curva na superfıcie S, no ponto g(a)

Vamos dar uma olhada para

Jg(a) = [g′(a)] =

∂g1

∂x(a)

∂g1

∂y(a)

∂g2

∂x(a)

∂g2

∂y(a)

∂g3

∂x(a)

∂g3

∂y(a)

=

1 0

0 1

∂f

∂x(a)

∂f

∂y(a)

(matriz de g′(a) em relacao as bases canonicas)

Temos que a dimensao da imagem de g′(a) e igual a 2 e portanto o conjunto dado por

Tg(a)(S) =g(a) + g′(a)(v), v ∈ IR2

e um plano (plano tangente ao grafico S de f em

g(a) = (a, f(a)) ).


2.4 Exercıcios

1. (Derivadas direcionais) Sendo f ′(x)(h) = limt→0

f(x+ th)− f(x)

te admitindo a existencia

das derivadas em questao, calcule:

a) f ′(z)(h), com z = (4,−1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f(x) = (x2 + y, x+ y2).

b) ϕ′(x)(v), onde x, v ∈ IRm sao vetores quaisquer e ϕ : IRm → IR e definida por

ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.

c) ξ′(x)(h), onde h ∈ IRm e um vetor arbitrario e ξ : U → IR e definida do seguinte modo

no aberto U ⊂ IRm : sao dadas f, g : U → IRp diferenciaveis e ξ(x) = < f(x), g(x) > , para

todo x ∈ U , e o produto interno dos vetores f(x) e g(x).

2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaco das matrizes n× n (se achar conveniente, identifique

E com IRn2

). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e

diferenciavel em todos os pontos de E (use o metodo do exercıcio anterior para determinar o

candidato a f ′(X)).

3. (Diferenciabilidade) Sejam f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn e a ∈ U .

Mostre que se f e diferenciavel em a nao podemos garantir a existencia do limite

limv→0

f(a+ v)− f(a)

‖v‖.

Mostre tambem que se existe o limite limv→0

f(a+ v)− f(a)

‖v‖entao nao podemos garantir a

diferenciabilidade de f em a.

4. (Diferenciabilidade e derivadas direcionais) Seja det : IR32 → IR a funcao determinante.

Se

A =

1 1 1

2 0 3

3 1 0

e V =

0 1 2

0 0 0

−2 −1 1

,obtenha

∂ det

∂V(A) de duas maneiras diferentes:

(i) Usando∂ det

∂V(A) = det ′(A) (V ) (lembre que det e funcao 3-linear neste caso);

(ii) Pela definicao (via limite) de derivada direcional.

5. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U ,

com f(a) = g(a). Mostre que f ′(a) = g′(a) se, e so se, limv→0

f(a+ v)− g(a+ v)

‖v‖= 0.

40 CAPITULO 2

6. (Diferenciabilidade e matriz jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 a aplicacao dada por

f(x, y, z) = (x2 +3y2

2+z2

2− z, y + z, z − x+ 5).

Mostre que f e diferenciavel (em todos os pontos do IR3).

Dado a = (x, y, z) ∈ IR3 , obtenha a matriz jacobiana de f em a e responda: em quais

pontos a ∈ IR3 temos que f ′(a) e isomorfismo ?

Qual o posto de f ′(b) nos pontos b ∈ IR3 tais que f ′(b) nao e isomorfismo ?

O conjunto X =a ∈ IR3 ; f ′(a) e isomorfismo

e conexo ? Justifique.

7. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR4 dada por

f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, zy)

a) Prove que f e diferenciavel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.

b) Mostre que a derivada f ′(x, y, z) : IR3 → IR4 e uma transformacao linear injetora, exceto

no eixo Oz (isto e, para x = y = 0).

c) Determine a imagem de f ′(0, 0, z) : IR3 → IR4.

8. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciavel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o

conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulacao a ∈ U entao f ′(a) : IRm → IRn nao e injetiva.

9. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR2 definida por f(x, y) = (ex cos y, ex sen y).

Considere a transformacao linear T = f ′(3, π/6) : IR2 → IR2, e os vetores h = (1, 0) e k = (1, 1).

Qual e o angulo formado pelos vetores T 100(h) e T 101(k) ?

10. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada por

f(x, y) = (x2, y2, (x+ y)2)

Mostre que f ′(x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto e, f ′(x, y)(e1) e f ′(x, y)(e2)

sao linearmente independentes salvo quando x = y = 0).

11. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciavel, com f(0) = 0. Se a transformacao linear

f ′(0) nao tem valor proprio 1 entao existe uma vizinhanca V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x

para todo x ∈ V − 0.

12. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por

f(x, y, z) = (x+ y + z, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3)

Mostre que f ′(x, y, z) : IR3 → IR3 e uma aplicacao biunıvoca, salvo se duas das coordenadas

x, y, z sao iguais.


13. (Derivada; matriz Jacobiana) Mostre que a derivada da aplicacao f : IR2 → IR2, dada por

f(x, y) = (ex + ey, ex + e−y) e uma transf. linear invertıvel f ′(x, y) : IR2 → IR2 para todos os

pontos z = (x, y) ∈ IR2. Diga se f , considerada como uma funcao complexa, e holomorfa.

14. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2

o espaco vetorial formado pelas matrizes n× n. Indi-

cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicacao f : E → E definida por

f(X) = XX∗. Descreva a derivada f ′(X) : E → E. Mostre que f ′(X)(H) e simetrica, para

cada H ∈ E e que se X e ortogonal (isto e, X∗ = X−1) entao, para toda matriz simetrica S,

existe pelo menos uma matriz H tal que f ′(X)(H) = S.

15. (Maximos e mınimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um

maximo (ou mınimo) relativo no ponto x ∈ U , e f e diferenciavel no ponto x, entao f ′(x) = 0

(transformacao linear nula).

16. (Condicoes necessarias, nao suficientes) Obtenha aplicacoes f : U(aberto)⊂ IRm → IRn

tais que:

a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas nao existem todas as derivadas

direcionais (f nao e diferenciavel neste ponto).

b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto

(f nao e diferenciavel neste ponto).

c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto

(f nao e diferenciavel neste ponto).

d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse ponto,

mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, nao depende linear-

mente de v (f nao e diferenciavel neste ponto).

e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse ponto,

a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v,

mas f nao e diferenciavel neste ponto.

17. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2

o espaco vetorial das matrizes n× n. Sabemos

que a funcao determinante det : E → IR e diferenciavel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo

D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4× 4, a validade da expressao

∂ det

∂xij

(A) = (−1)i+j detA[i,j], onde A[i,j] e a n−1×n−1 matriz obtida eliminando-se a i-esima

linha e a j-esima coluna da matriz A (a expressao foi obtida tambem no exemplo D), escolhendo

uma variavel xij.

42 CAPITULO 2

18. (Caminhos diferenciaveis) Determine as equacoes parametricas das retas tangentes as

seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:

a) g : t→ (x, y, z) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

b) f : t→ (x, y, z) = (t− 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

c) h : t→ (x, y, z) = (2 cos t, 2 sen t, t) nos pontos correspondentes a t = π/2 e t = π.

19. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho

y = y(t) : I ⊂ IR → IRp tal que:

y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), y′′(t), ..., y(n−1)(t))

y(0) = η1

y′(0) = η2

...

y(n−1)(0) = ηn

Sao dados

F : IRnp+1 → IRp

η1, η2, ..., ηn ∈ IRp

Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equacoes de primeira

ordem, que equivale ao problema da forma:

x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

...

x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))

x1(0) = η1

x2(0) = η2

...

xn(0) = ηn

x1, x2, ..., xn : I ⊂ IR → IRp

Sao dados

f1, f2, ..., fn : IRnp+1 → IRp

η1, η2, ..., ηn ∈ IRp

Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:

x′(t) = f(t, x(t))

x(0) = η0

x : I ⊂ IR → IRnp

Sao dados

f : IRnp+1 → IRnp

η0 ∈ IRnp

Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autonomo

(“independente” de t):w′(t) = g(w(t))

w(0) = ηw : I ⊂ IR → IRnp+1

Sao dados

g : IRnp+1 → IRnp+1

η ∈ IRnp+1


20. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Usando a ideia do exercıcio anterior, reduza cada pro-

blema abaixo a um formado por uma unica equacao de primeira ordem:

a) y′′ + y′2 = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

b) (1− t2)y′′ − 2ty′ + 2y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

c) y′′′ − 2y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y′′(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

21. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema:x′(t) = f(t, x(t))

x(0) = x0

Sao dados

f : IRn+1 → IRn, contınua

x0 ∈ IRn

a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn e solucao do problema acima se, e somente se:

x(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, x(s)) ds , para todo t ∈ I

b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e lipschitziana em relacao

a variavel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ k ||x− y||, para todos

(t, x), (t, y) ) numa vizinhanca de (0, x0) entao existe uma solucao para o problema acima,

definida numa vizinhanca de t = 0 de modo unico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece

uma sequencia de caminhos x1, x2, ... : I → IRn que converge para a solucao, sequencia esta

dada por:

x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +

∫ t

0

f(s, xn(s))ds ,...

Use a sequencia acima para obter a unica solucao x = x(t) : IR → IRn do problema:x′(t) = A(x(t)) (x′ = Ax)

x(0) = x0

A : IRn → IRn, linear, n× n matriz de coef. constantes

x0 ∈ IRn

OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes

x′ = Ax se encontram nao so no fato de que uma serie de problemas sao desta natureza,

bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo

diz que, dado um problema x′ = f(x), f ∈ C1 (note que f nao e necessariamente linear), se

x0 e ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) tem todos parte real nao nula

(neste caso x0 e dito ser um ponto singular hiperbolico), entao o comportamento das solucoes

x = x(t) numa vizinhanca de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das solucoes do

sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e linear) numa vizinhanca de 0 (origem do IRn).

44 CAPITULO 2

22. (Funcoes reais de m variaveis) Mostre que se uma funcao f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui

derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e m−1 delas sao contınuas

no ponto a, entao f e diferenciavel em a.

23. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua

definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = (x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f),

sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)) e um homeomorfismo entre U e S

(de uma olhada na Secao 2.3). Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao e imediato que

g tambem e diferenciavel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a S (grafico de f) no

ponto g(a): Tg(a)(S).

Seja f : IR2 → IR a funcao dada por f(x, y) = x2 + y2.

Faca um esboco de S (grafico de f).

Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o

caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e uma

reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g γ)(IR)

e uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x, y, f(x, y)), conforme acima) e que o vetor

tangente a (g γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g γ)′(0) = g′(a)(v), e um vetor tangente a S

em g(a) (g(a) + g′(a)(v) ∈ Tg(a)(S)).

Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3,−2)

em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g′(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns

vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), faca um esboco considerando os vetores tangentes

g′(a)(v1) e g′(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em

g(a) = (2, 1, 5) sao coplanares, como era de se esperar.

24. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Com as mesmas consideracoes do exercıco anterior

para uma funcao f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos

Tangentes a S (grafico de f) nas situacoes abaixo (faca os esbocos):

a) f1(x, y) = x2 + y2 . Determine T(0,0,f1(0,0))(S) e T(1,2,f1(1,2))(S) .

b) f2(x, y) = x2 − y2 . Determine T(0,0,f2(0,0))(S) e T(1,2,f2(1,2))(S) .

c) f3(x, y) = (4− (x2 + y2))1/2

. Determine T(0,0,f3(0,0))(S) e T(1,1,f3(1,1))(S) .


2.5 A Regra da Cadeia

Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos,

f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp

uma aplicacao diferenciavel no ponto b = f(a) ∈ V .

Entao a aplicacao composta g f : U → IRp e diferenciavel no ponto a e temos ainda que

(g f)′(a) = g′(b) f ′(a) : IRm → IRp

46 CAPITULO 2

Algumas consequencias:

(A) Interpretacao geometrica para f ′(a)(v):

Corolario 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,

seja α : (−ε, ε) → U um caminho em U , diferenciavel em t = 0 (existe vetor velocidade em

t = 0), com α(0) = a e α′(0) = v.

Entao f ′(a)(v) e o vetor velocidade do caminho f α : (−ε, ε) → IRn em t = 0 (geometri-

camente e o vetor tangente a curva (f α) (−ε, ε) em f(a) ).

(B) Derivada da aplicacao inversa:

Corolario 2. Seja f : U → IRn diferenciavel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma

inversa g = f−1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f(U) = V, g(V ) = U, f g = idV e g f = idU)

que e diferenciavel no ponto b = f(a).

Entao f ′(a) : IRm → IRn e um isomorfismo cujo inverso e g′(b) : IRn → IRm e em particular

temos que m = n.


(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:

Corolario 3. No teorema anterior, suponha f = (f1, f2, . . . , fn) e g = (g1, g2, . . . , gp).

Entao para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . ,m , temos:

∂(gi f)

∂xj

(a) =n∑

k=1

∂gi

∂yk

(b) · ∂fk

∂xj

(a)

(D) Regras de diferenciacao:

Corolario 4. Sejam f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um

numero real. Entao:

f + g : U → IRn e diferenciavel em a , com (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

λf : U → IRn e diferenciavel em a , com (λf)′(a) = λ · f ′(a)

Se ϕ : IRn × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear entao a aplicacao ϕ(f, g) : U → IRp ,

definida por x 7→ ϕ(f(x), g(x)) e diferenciavel no ponto a , com

[ϕ(f, g)] ′(a)(v) = ϕ (f ′(a)(v), g(a)) + ϕ (f(a), g′(a)(v))

48 CAPITULO 2

Algumas aplicacoes:

(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferenciaveis (derivaveis) em

a ∈ U . Entao fg : U → IR dada por fg(x) = f(x) · g(x) e derivavel em a com

(fg) ′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a)

(ii) Seja f : IRm → IR dada por f(x) = ‖x‖2 = < x, x > . Entao

f ′(a)(v) = 2 < v, a > ∀ v, a ∈ IRm

(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = ‖x‖ = < x, x >1/2 (norma proveniente de um

produto interno). Entao

n′(a)(v) =< v, a >

< a, a >1/2∀ v ∈ IRm, a 6= 0 ∈ IRm


2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio

Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Medio de Lagrange, estudado no

curso de analise na reta.

Teorema 2.5. (Generalizacao do TVM de Lagrange da “Analise na Reta”)

Seja f : U ⊂ IRm → IR diferenciavel em todos os pontos do segmento de reta aberto

(a, a + v) = a+ tv , 0 < t < 1 ⊂ U e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado

[a, a+ v] ⊂ U seja contınua.

Entao existe t0 ∈ (0, 1) tal que f(a+ v)− f(a) = f ′(a+ t0v)(v)

OBS.: Apesar de conseguirmos acima generalizar o Teorema do Valor Medio de La-

grange para funcoes (contradomınio = IR), o mesmo nao pode ser feito para aplicacoes

f : U ⊂ IRm → IRn em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo.

Contra-Exemplo:

Seja f : IR → IR2 a aplicacao (caminho) dada por f(t) = (cos t, sen t) ∀ t ∈ IR

Para todo t ∈ IR , temos: f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0)

Agora f(2π)− f(0) = (0, 0) 6= f ′(t).2π ∀ t ∈ IR

OBS.: Conforme veremos a seguir, o teorema do valor medio, quando temos uma aplicacao

f : U ⊂ IRm → IRn , n > 1, aparece sob a forma de desigualdade.

Isto nao impede que dele seja extraıda uma serie de resultados significativos, conforme

veremos adiante.

50 CAPITULO 2

Teorema 2.6. (“Versao fraca” da Desigualdade do Valor Medio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja

contınua.

Entao existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tais que

‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖

Em particular, se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) , temos

‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ.M. ‖v‖ se ‖f ′(x)‖ ≤M


Teorema 2.7. (“Versao completa” da Desigualdade do Valor Medio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja

contınua.

Se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) entao ‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ M. ‖v‖.

52 CAPITULO 2

OBS.: Se a norma considerada em IRn provem de um produto interno, entao podemos

garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tal que

‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖

Algumas consequencias:

(A) Uma fonte natural de aplicacoes Lipschitzianas:

Corolario 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn e diferenciavel, com

‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ U entao f e Lipschitziana, com ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M. ‖y − x‖quaisquer que sejam x, y ∈ U .

OBS.: Para concluırmos que f e Lipschitziana basta a “Versao fraca”(Teo 2.6)


(B) Generalizacao de um resultado canonico:

Corolario 2. Se f : U → IRn e diferenciavel no aberto e conexo U ⊂ IRm e f ′(x) = O

(transformacao linear nula) para todo x ∈ U entao f e constante.

(C) Um lema muito util:

Corolario 3. Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, a+ v] ⊂ U e f : U → IRn diferenciavel em cada

ponto do segmento aberto (a, a+ v) com f∣∣[a,a+v]

contınua.

Seja T : IRm → IRn uma transformacao linear.

Se ‖f ′(x)− T‖ ≤M ∀ x ∈ (a, a+ v) entao ‖f(a+ v)− f(a)− T (v)‖ ≤M. ‖v‖

54 CAPITULO 2

2.7 Exercıcios

1. (Regra da Cadeia)

a) Se f(x, y) = x2 + y2 e g(t) = (3t+ 1, 2t− 3), seja F (t) = (f g)(t).Calcule F ′(t) diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.

b) Se f(x, y, z) = xyz e g(s, t) = (3s+ st, s, t), seja F (s, t) = (f g)(s, t).

Calcule∂F

∂se∂F

∂tdiretamente e aplicando a Regra da Cadeia.

2. (Regra da Cadeia e Equacoes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares)

Seja f = f(z) : A(aberto)⊂ C → C uma funcao complexa de uma variavel complexa

z = x + iy. Sabemos que f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde u, v : U → IR sao as funcoes

coordenadas de f (pela identificacao de C com IR2, dada por z = x+ iy → (x, y)).

Para que f seja derivavel em um ponto z0 = x0 + iy0 = (x0, y0) ∈ A, e necessario que as

Equacoes de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas em z0, isto e:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) e

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0)

Agora, se z0 6= 0 entao z0 = r0eiθ0 , de modo que z0 pode ser representado por suas coordenadas

polares (r0, θ0). Desse modo, cada ponto z = x + iy = (x, y) numa vizinhanca de z0 tambem

pode ser representado por suas coordenadas polares: z = reiθ. Temos entao x = r cos θ e

y = r sen θ.

Portanto (x, y) = m(r, θ) = (m1(r, θ),m2(r, θ)) = (r cos θ, r sen θ), onde m e a aplicacao de

mudanca de variaveis (de coordenadas polares para coordenadas retangulares).

Pondo U = u m e V = v m, temos:

u(x, y) = u(m(r, θ)) = (u m)(r, θ) = U(r, θ)

v(x, y) = v(m(r, θ)) = (v m)(r, θ) = V (r, θ)

Temos portanto f(z) = U(r, θ) + iV (r, θ) numa vizinhanca de (r0, θ0). Utilizando a Regra

da Cadeia, obtenha as Equacoes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares (supondo f

derivavel em z0 = r0eiθ0 = (r0, θ0), z0 6= 0):

∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r0

∂V

∂θ(r0, θ0) e

∂V

∂r(r0, θ0) = − 1

r0

∂U

∂θ(r0, θ0)

3. (Regra da Cadeia) Seja f : U → IRn\ 0 diferenciavel no aberto conexo U ⊂ IRm. A fim de

que seja ‖f(x)‖ =constante, e necessario e suficiente que f ′(x)(v) seja perpendicular a f(x),

para todo x ∈ U e todo v ∈ IRm (considere a norma euclidiana e o produto interno canonico).


4. (Regra da Cadeia) Sejam U(aberto)⊂ IRm e p ∈ IRm\U . Prove que a funcao f : U → IR

dada por f(x) = ‖x− p‖, para todo x ∈ U (funcao distancia a p) e diferenciavel em U e

obtenha df(a)(v) = f ′(a)(v), onde a ∈ U e v ∈ IRm.

5. (Diferenciabilidade e Regra da Cadeia)

Sejam E o espaco das 3× 3 matrizes reais e M =

1 0 2

0 −1 3

1 0 −1

.

Seja f : E → IR a funcao dada por f(X) = det (X +M) .

(a) f e diferenciavel (JUSTIFIQUE).

(b) Dadas A e V em E, mostre que f ′(A)(V ) = det′(A+M)(V ) .

(c) Obtenha f ′(A)(V ) se A =

0 1 −1

−1 2 −1

0 3 1

e V =

1 0 0

1 0 2

−1 1 1

.

6. (Regra da Cadeia: mudanca de coordenadas e EDPs) Suponhamos que se queira obter

solucoes para a equacao da onda :

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2, onde c ∈ IR, c 6= 0, e u = u(x, t) : U(aberto)⊂ IR2 → IR

Introduzindo a mudanca de variaveis (ξ, η) = m(x, t), onde

ξ = m1(x, t) = x+ ct

η = m2(x, t) = x− ct, temos:

(ξ, η) = (x+ ct, x− ct) = (m1(x, t),m2(x, t)) = m(x, t)

Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos u = v m.

Impondo a equacao acima, mostre que chegamos a∂2v

∂ξ∂η= 0 .

Obtenha v = v(ξ, η), solucao geral desta ultima equacao, “volte” atraves da mudanca de

variaveis m para obter u = u(x, t), solucao da equacao inicial, e verifique algumas solucoes

particulares.

7. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm um aberto e f : U → IRn. Suponha que

U contem os pontos a, b e o segmento de reta [a, b] que os une, e que f e diferenciavel em

todo ponto de [a, b]. Mostre que existe uma transformacao linear L : IRm → IRn tal que

f(b)− f(a) = L(b− a).

8. (Desigualdade do valor medio) Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, b] ⊂ U, f : U → IRn contınua

em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Mostre que para cada y ∈ IRn existe cy ∈ (a, b) tal que

< f(b)− f(a), y > = < f ′(cy)(b− a), y >.

56 CAPITULO 2

9. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm convexo. Dada f : U → IRn diferenciavel,

considere as seguintes afirmacoes:

a) ‖f ′(x)‖ ≤ c para todo x ∈ U ;

b) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ U ;

c) f e uniformemente contınua ;

d) Para todo x0 ∈ clU , existe limx→x0

f(x) ;

e) Se U e limitado entao f(U) e limitado.

Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e , mas as demais implicacoes sao todas falsas.

10. (Desigualdade do valor medio - Extensao) Sejam U ⊂ IRm aberto e c ∈ U . Se a aplicacao

contınua f : U → IRn e diferenciavel em U\ c e existe o limx→c

f ′(x) = T ∈ L(IRm; IRn),

entao f e diferenciavel no ponto c, com f ′(c) = T .

2.8 As classes de diferenciabilidade Ck

A aplicacao derivada e a Classe C1

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

Definimos a APLICACAO DERIVADA DE f como a aplicacao

f ′ : U → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)

Agora questionamos: dado a ∈ U , quando a aplicacao derivada f ′ e contınua em a ?

Para cada x ∈ U vamos identificar f ′(x) com sua Matriz Jacobiana:

Jf(x) =

∂f1

∂x1

(x)∂f1

∂x2

(x) . . .∂f1

∂xm

(x)

∂f2

∂x1

(x)∂f2

∂x2

(x) . . .∂f2

∂xm

(x)

......

...

∂fn

∂x1

(x)∂fn

∂x2

(x) . . .∂fn

∂xm

(x)

onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de f : f = (f1, f2, . . . , fn).


Observamos entao que

∂fi

∂xj

: U → IR

x 7→ ∂fi

∂xj

(x)

i = 1, . . . , n

j = 1, . . . ,m

sao as funcoes coordenadas da aplicacao derivada (de f) f ′ : U → L(IRm; IRn).

Ora, sabemos que uma aplicacao e contınua em um ponto se, e somente se, suas funcoes

coordenadas sao contınuas nesse ponto.

Podemos entao concluir: a aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em um

ponto a ∈ U se, e somente se, as funcoes∂fi

∂xj

: U → IR sao contınuas em a , para todos

i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m.

Dizemos que f pertence a classe C1(U) se, e somente se, sua aplicacao derivada

f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua (em todos os pontos de U).

Exercıcio: Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao de classe C1(U) .

Prove que f e LOCALMENTE LIPSCHITZIANA, ou seja, dado x ∈ U , e possıvel obter

uma vizinhanca Vx de x tal que f e lipschitziana em Vx .

As classes de diferenciabilidade Ck

Definicao 2.8. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita ser de classe Ck

(k = 1, 2, . . .) no aberto U ⊂ IRm quando existem e sao contınuas em U todas as derivadas

parciais de ordem ≤ k das funcoes coordenadas de f . Notacao: f ∈ Ck(U) .

Dizemos que f e de classe C0 se f e contınua.

Dizemos que f e de classe C∞ em U quando f ∈ Ck(U) para todo k = 0, 1, 2, . . . .

Obs.: Dizer que f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, 3, . . .) equivale a dizer que f e diferenciavel e sua

aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e uma aplicacao de classe Ck−1 em U .

Temos, com o estudo das derivadas de ordem superior, que a condicao acima ainda e equiva-

lente a dizer que f e k vezes diferenciavel e sua derivada de ordem k, f (k) , e contınua em U .

O resultado a seguir e um corolario da Regra da Cadeia e fica como exercıcio:

Proposicao 2.9. A composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.

58 CAPITULO 2

Exercıcio: Usando o resultado anterior, mostre que a inversao de matrizes:

i : GL(IRn) → GL(IRn)

A 7→ A−1

e uma aplicacao de classe C∞ em GL(IRn).

2.9 O vetor Gradiente

Definicao 2.10. (Vetor Gradiente)

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao definida num aberto U ⊂ IRm .

Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao existe um unico vetor ua ∈ IRm tal que

df(a)(v) = f ′(a)(v) = < ua, v > para todo v ∈ IRm ,

onde <,> e o produto interno canonico no IRm (Justifique).

Tal vetor ua e chamado o vetor gradiente de f em a, sera denotado por grad f(a) ou ∇af

e e dado por:

grad f(a) =

(∂f

∂x1

(a),∂f

∂x2

(a), ...,∂f

∂xm

(a)

)

Consideremos o caso em que grad f(a) 6= 0 (vetor nulo) e f ∈ C1 .

Podemos obter informacoes interessantes sobre o crescimento de f a partir do ponto a e do

vetor gradiente de f em a.

• O gradiente aponta para uma direcao segundo a qual f e crescente (EXERCICIO).

Os vetores v que apontam para direcoes ao longo das quais a funcao f cresce sao aqueles

tais que∂f

∂v(a) =< grad f(a), v > e positivo, ou seja, sao aqueles que formam um angulo

agudo com grad f(a) ).

• Dentre todas as direcoes ao longo das quais a funcao f cresce, a direcao do gradiente e

a de crescimento mais rapido, ou seja, se v for um vetor tal que ‖v‖ = ‖ grad f(a)‖, entao

∂f

∂v(a) ≤ ∂f

∂ grad f(a)(a) (EXERCICIO).

Veremos (nos exercıcios a seguir) uma terceira e importante propriedade do vetor gradiente.


2.10 Exercıcios

1. (Gradiente) Para cada uma das funcoes f : U(aberto)⊂ IR2 → IR dadas abaixo, faca:

a) Um esboco do grafico de f .

b) Considerando um ponto a ∈ U dado, tente, a partir de seu esboco e sem calcular o grad f(a),

descobrir a direcao ao longo da qual f tem o crescimento mais rapido a partir do ponto a dado.

c) Calcule o gradiente de f no ponto a e verifique se sua tentativa na letra b) acima foi bem

sucedida.

i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto a = (1, 2).

ii) f2(x, y) = (4− x2)1/2

no ponto a = (1, 1).

iii) f3(x, y) = (9− (x2 + y2))1/2

no ponto a = (2, 2).

2. (Pontos crıticos, valores regulares, etc.) Seja f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel

definida num aberto U ⊂ IRm.

Pontos crıticos de f : dizemos que um ponto a ∈ U e um ponto crıtico de f quando a

derivada f ′(a) : IRm → IRn nao e sobrejetiva. Neste caso dizemos que a imagem f(a) ∈ IRn do

um ponto crıtico a e um valor crıtico de f .

Valores regulares de f : um ponto c ∈ IRn que nao e um valor crıtico de f (ou seja, nao e

imagem por f de nenhum ponto crıtico de f) e dito um valor regular de f .

a) Se f : U ⊂ IRm → IR e uma funcao diferenciavel, entao caracterize seus pontos crıticos.

Um resultado importante (veremos mais tarde) nos garante que se f : U ⊂ IRm → IR e

uma funcao diferenciavel, f ∈ C1(U) (o que equivale a dizer que as derivadas parciais de f sao

contınuas) e c ∈ f(U) e um valor regular de f , entao o conjunto

M = f−1(c) = x ∈ U ; f(x) = c

e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m− 1, o que significara que:

• M e localmente homeomorfo ao espaco IRm−1

• M e “suave” (sera de classe C1, neste caso)

Dois casos serao de nosso maior interesse:

i) m = 2 : neste caso temos f : U ⊂ IR2 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 1 : M sera uma

curva (de nıvel c)

ii) m = 3 : neste caso temos f : U ⊂ IR3 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 2 : M sera uma

superfıcie (de nıvel c)

60 CAPITULO 2

Por enquanto nos restringiremos ao segundo caso (superfıcies).

b) Para cada uma das superfıciesM dadas abaixo, faca: um esboco deM , verifique as condicoes

para que o resultado acima enunciado possa ser valido e descreva qual a superfıcie dada.

i) f1(x, y, z) = x− 2y + 3z, M1 = f−11 (3)

ii) f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2, M2 = f−12 (4)

iii) f3(x, y, z) = x2 + y2 + z, M3 = f−13 (−1)

iv) f4(x, y, z) = x2 + y2, M4 = f−14 (1)

c) Mostre agora que, nas condicoes do resultado apresentado anteriormente, o vetor gradiente

da funcao f no ponto a ∈ M = f−1(c) e perpendicular a variedade M em a, ou seja, para

todo caminho diferenciavel γ : (−ε, ε) → M em M (sua imagem e uma curva contida em M)

passando pelo ponto a ∈M , o vetor grad f(a) (gradiente de f em a) e perpendicular ao vetor

tangente a curva γ(−ε, ε) em a. Dizemos tambem que o gradiente e perpendicular ao espaco

tangente a M no ponto a (Ta(M), que tem a mesma dimensao de M).

(Sugestao: olhe para a composicao f γ e aplique a Regra da Cadeia)

d) Para cada uma das superfıcies M da letra b) escolha um ponto a ∈M e tente, sem calcular

o gradiente de f em a obter a direcao do gradiente (visualmente mesmo!). Agora calcule o

gradiente de f em a e verifique a validade da letra c) anterior.

3. (Mais superfıcies) Seja f : U(aberto)⊂ IR2 → IR diferenciavel e tal que f ∈ C1(U).

Ja fizemos uma serie de consideracoes a respeito de S = (x, y, f(x, y)) ; (x, y) ∈ U(grafico de f) (ver Secao 2.3).

a) Mostre, indo na direcao do resultado utilizado no exercıcio anterior, que S e a imagem

inversa de um valor regular c de uma funcao h = h(x, y, z) de classe C1.

Consequencia importante deste fato: o vetor gradiente de h em um ponto b = (a, f(a)) ∈ S

(obtenha gradh(b)) e o vetor normal ao plano tangente a S em b = (a, f(a)) (Tb(S)).

b) Obtenha as equacoes dos planos tangentes aos graficos das seguintes funcoes nos pontos

especificados abaixo (tente fazer um esboco):

i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto b1 = (−1, 3, 10)

ii) f2(x, y) = x2 − y2 no ponto b2 = (0, 2,−4)

iii) f3(x, y) = cos y no ponto b3 = (2, π,−1)


4. (Vetor Gradiente e plano tangente) Consideremos f : (0,3π

2) × IR → IR dada por

f(x, y) = senx e S = (x, y, f(x, y)) , (x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f).

(a) Faca um esboco do grafico de f .

(b) Dado um ponto a = (xa, ya) no domınio de f , utilize uma propriedade do gradiente

(diga qual) para obter a direcao e o sentido do grad f(a) sem fazer nenhum calculo.

(c) Obtenha 3 vetores tangentes ao grafico de f em (π, 5, 0) (justifique).

(d) Descreva S com h−1(r), sendo r valor regular de uma funcao h : A(aberto) ⊂ IR3 → IR

e obtenha, justificando, a equacao do plano tangente a S em (π

6, 3 ,

1

2) .

62 CAPITULO 2

Capıtulo 3

Derivadas de ordem superior e a

Formula de Taylor

3.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz

Seja f = (f1, f2, . . . , fn) : U(aberto) ⊂ IRm → IRn .

Para todos j = 1, 2, . . . ,m temos as derivadas parciais de 1a ordem (m aplicacoes):

∂f

∂xj

: U → IRn

x 7→ ∂f

∂xj

(x)

Admitindo que cada uma dessas aplicacoes pode ser derivada parcialmente, temos para

todos k, j = 1, 2, . . . ,m as derivadas parciais de 2a ordem (m2 aplicacoes):

∂2f

∂xk∂xj

: U → IRn

x 7→ ∂2f

∂xk∂xj

(x)

(primeiro em relacao a xj e depois em relacao a xk)

Prosseguindo desta forma (se possıvel), temos as derivadas parciais de 3a ordem, de 4a

ordem, etc.

A questao e: Mudancas na ordem de derivacao parcial alteram o resultado ?

Por exemplo:∂2f

∂x1∂x3

=∂2f

∂x3∂x1

?

63

64 CAPITULO 3

Veremos uma condicao suficiente: se as derivadas parciais em questao sao contınuas entao

elas coincidem.

Observacoes:

1) Como∂f

∂xj

=

(∂f1

∂xj

,∂f2

∂xj

, . . . ,∂fn

∂xj

), podemos considerar, sem perda de generali-

dade, f : U(aberto) ⊂ IRm → IR (funcao).

2) Como derivadas parciais de ordem superior a 1 sao sempre tomadas iteradamente

Exemplo:∂3f

∂x1∂x3∂x2

=∂

∂x1

(∂2f

∂x3∂x2

)vamos considerar, novamente sem perda de generalidade, f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR , para

obtermos∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂ysob certas condicoes.

O lema tecnico abaixo ira nos ajudar na obtencao do resultado desejado

Lema 3.1. Sejam f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e (a, b) ∈ U .

Se existem∂f

∂xe

∂2f

∂y∂xem U e

∂2f

∂y∂x: U → IR e contınua em (a, b) entao

∂2f

∂y∂x(a, b) = lim

(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b)− f(a, b+ k) + f(a, b)

h · k

Demonstracao:

Seja dado ε > 0 . Como∂2f

∂y∂xe contınua em (a, b) , existe δ > 0 tal que

|h| < δ , |k| < δ ⇒∣∣∣∣ ∂2f

∂y∂x(a+ h, b+ k) − ∂2f

∂y∂x(a, b)

∣∣∣∣ < ε (I)

Fixemos |k| < δ e definamos para todo |h| < δ :

Bk(h) = f(a+ h, b+ k)− f(a+ h, b)

Como existe∂f

∂xem U , temos que Bk e derivavel e

B′k(z) =

∂f

∂x(a+ z, b+ k)− ∂f

∂x(a+ z, b) (II)

Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 65

Observemos que A(h, k) = f(a+h, b+k)−f(a+h, b)−f(a, b+k)+f(a, b) = Bk(h)−Bk(0)

e segue portanto do Teorema do Valor Medio de Lagrange que

A(h, k) = B′k(h0) · h , com 0 < |h0| < |h|

Agora, de (II) e novamente do TVML, temos

B′k(h0) =

∂f

∂x(a+ h0, b+ k)− ∂f

∂x(a+ h0, b) =

∂2f

∂y∂x(a+ h0, b+ k0) · k , com 0 < |k0| < |k|

Assim, obtemos:

A(h, k)

h · k=

∂2f

∂y∂x(a+ h0, b+ k0) , com

0 < |h0| < |h|0 < |k0| < |k|

(III)

De (I) e (III) temos finalmente:

0 < |h| < δ , 0 < |k| < δ ⇒∣∣∣∣ A(h, k)

h · k− ∂2f

∂y∂x(a, b)

∣∣∣∣ < ε

Finalmente temos o ...

Teorema 3.2. (Schwarz) Sejam f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e (a, b) ∈ U .

Se existem∂f

∂x,∂f

∂y,∂2f

∂y∂xem U e

∂2f

∂y∂x: U → IR e contınua em (a, b) , entao

existe∂2f

∂x∂y(a, b) e temos ainda

∂2f

∂x∂y(a, b) =

∂2f

∂y∂x(a, b) .

66 CAPITULO 3

Corolario 1. Se f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn e de classe Ck em U entao suas derivadas

parciais ate a ordem k nao dependem da ordem em que sao calculadas.

Observacoes:

1) Seja f : IR2 → IR dada por f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0 .

Temos:∂2f

∂y∂x(0, 0) 6= ∂2f

∂x∂y(0, 0) (faca as contas)

Este exemplo mostra que a simples existencia das derivadas parciais de segunda ordem nao

garante o resultado obtido com o Teorema de Schwarz.

2) Existe uma outra versao do Teorema de Schwarz, pela qual exigimos apenas que f

seja k−vezes diferenciavel (veremos o significado das derivadas de ordem superior na proxima

secao) para garantirmos que as derivadas parciais ate a ordem k nao dependam da ordem em

que sao obtidas, ou seja, as aplicacoes nao precisam ser rigorosamente de classe Ck .


3.2 Derivadas de ordem superior

Vamos comecar estudando as derivadas de segunda ordem...

Definicao 3.3. Dizemos que uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 VEZES

DIFERENCIAVEL no ponto a ∈ U quando existe um aberto V ⊂ IRm , com a ∈ V ⊂ U ,

tal que f e diferenciavel em V (∃ f ′(x) ∀ x ∈ V ) e a aplicacao derivada f ′ : V → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)e diferenciavel em a .

Observacoes:

1) Uma aplicacao e diferenciavel num ponto se, e somente se, suas funcoes coordenadas sao

todas diferenciaveis neste ponto.

2) As funcoes coordenadas de f ′ : V → L(IRm; IRn) sao as m.n derivadas parciais

∂fi

∂xj

: V → IR .

Pelas observacoes acima, temos entao a seguinte caracterizacao:

Proposicao 3.4. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no

ponto a ∈ U se, e somente se, f e diferenciavel numa vizinhanca aberta V de a (V ⊂ U) e

as m.n derivadas parciais∂fi

∂xj

: V → IR sao todas diferenciaveis em a.

Obs.: Fixado v = (v1, . . . , vm) ∈ IRm temos, para cada x ∈ V na proposicao acima:

∂f

∂v(x) = f ′(x)(v) = f ′(x)(v1e1 + . . .+ vmem) =

= v1f′(x)(e1) + . . .+ vmf

′(x)(em) = v1∂f

∂x1

(x) + . . .+ vm∂f

∂xm

(x)

Conseguimos assim uma nova caracterizacao:

Proposicao 3.5. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no

ponto a ∈ U se, e somente se, f e diferenciavel numa vizinhanca aberta V de a (V ⊂ U) e,

para cada vetor v ∈ IRm , a derivada direcional∂f

∂v: V → IRn e diferenciavel em a.

Consideremos entao, a partir de agora, uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , 2

vezes diferenciavel em um ponto a ∈ U .

68 CAPITULO 3

O que e f ′′(a) ?

Como f ′′(a) e a derivada de f ′ : V ⊂ IRm → L(IRm; IRn)x 7→ f ′(x)

no ponto a , temos entao

f ′′(a) : IRm → L(IRm; IRn) (LINEAR), ou seja,

f ′′(a) ∈ L( IRm;L(IRm; IRn) )

Ora, existe um isomorfismo natural entre L( IRm;L(IRm; IRn) ) e o espaco L(2 IRm; IRn)

das aplicacoes BILINEARES de IRm × IRm no IRn .

De fato, dada ϕ ∈ L( IRm;L(IRm; IRn) ) , ϕ pode ser vista como uma aplicacao bilinear

ϕ : IRm × IRm → IRn da seguinte forma:

ϕ(v, w) = [ϕ(v)] (w) ∀ v, w ∈ IRm

E claro que ϕ e bilinear, pois ϕ ∈ L( IRm;L(IRm; IRn) ) .

Voltando a derivada segunda de f no ponto a, tınhamos f ′′(a) ∈ L( IRm;L(IRm; IRn) ) .

Podemos portanto enxergar f ′′(a) ∈ L(2 IRm; IRn) da seguinte forma:

f ′′(a)(v, w) = [f ′′(a)(v)] (w) ∀ v, w ∈ IRm

Portanto f ′′(a) e uma aplicacao bilinear de IRm × IRm no IRn !!!

Uma vez esclarecida a natureza de f ′′(a) , vamos agora tentar enxergar melhor sua atuacao

enquanto aplicacao bilinear.

Dados v, w ∈ IRm , temos:

f ′′(a)(v, w) = [f ′′(a)(v)] (w) =

[∂f ′

∂v(a)

](w) =

[limt→0

f ′(a+ tv)− f ′(a)

t

](w) =

= limt→0

[f ′(a+ tv)− f ′(a)

t

](w)

= lim

t→0

f ′(a+ tv)(w)− f ′(a)(w)

t=

= limt→0

∂f

∂w(a+ tv)− ∂f

∂w(a)

t=

∂

∂v

(∂f

∂w

)(a) =

∂2f

∂v∂w(a) .


Obs.: Considerando ainda o Teorema de Schwarz (∂2f

∂v∂w(a) =

∂2f

∂w∂v(a) quando f e

2 vezes diferenciavel em a) segue que f ′′(a) e uma aplicacao bilinear e SIMETRICA.

Podemos portanto resumir os resultados obtidos da seguinte forma:

Se f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no ponto a ∈ U entao

f ′′(a) e uma aplicacao bilinear e simetrica de IRm × IRm no IRn e temos

f ′′(a)(v, w) =∂2f

∂v∂w(a) ∀ v, w ∈ IRm .

Definimos entao diferenciabilidade para ordens superiores, de maneira indutiva:

Definicao 3.6. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita k VEZES DIFEREN-

CIAVEL no ponto a ∈ U quando existe um aberto V ⊂ IRm , com a ∈ V ⊂ U , tal que

f e diferenciavel em V e a aplicacao derivada f ′ : V → L(IRm; IRn)

x 7→ f ′(x)

e (k − 1) vezes

diferenciavel em a .

Prosseguindo de forma analoga ao estudo que fizemos para a derivada segunda, podemos

chegar a conclusoes semelhantes para derivadas de 3a ordem, de 4a ordem, etc.

Assim, de um modo geral, podemos concluir que...

Se f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e k vezes diferenciavel no ponto a ∈ U entao

f (k)(a) e uma aplicacao k-linear e simetrica de IRm × . . .× IRm (k vezes) no IRn e

temos

f (k)(a)(v1, . . . , vk) =∂kf

∂v1∂v2 . . . ∂vk

(a) ∀ v1, . . . , vk ∈ IRm .

Obs.: NOTACAO: Dado v ∈ IRm , iremos considerar

f (k)(a) · v(k) = f (k)(a)(v, . . . , v) .

sendo (v, . . . , v) ∈ IRm × . . .× IRm (k vezes).

70 CAPITULO 3

3.3 A Formula de Taylor

A Formula de Taylor infinitesimal

Lema 3.7. Seja B ⊂ IRm uma bola aberta de centro 0. Se r : B → IRn e s vezes diferenciavel

em B, s + 1 vezes diferenciavel no ponto 0 e, alem disso, r(j)(0) = 0 para 0 ≤ j ≤ s + 1 ,

entao

limx→0

r(x)

‖x‖s+1 = 0 .

Teorema 3.8. (Taylor infinitesimal) Seja U (aberto) ⊂ IRm . Se f e s vezes diferenciavel

em U e, num ponto a ∈ U , existe f (s+1)(a) , entao

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+1

2!f ′′(a) · h(2) + . . .+

1

(s+ 1)!f (s+1)(a) · h(s+1) + r(h) ,

com

limh→0

r(h)

‖h‖s+1 = 0

A Formula de Taylor com resto integral

Teorema 3.9. (Taylor com resto integral) Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao de classe

C(s+1) . Se o segmento de reta [a, a+ h] esta contido no aberto U , entao

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+1

2!f ′′(a) · h(2) + . . .+

1

s!f (s)(a) · h(s) + r(h) ,

com

r(h) =

∫ 1

0

(1− t)s

s!f (s+1)(a+ th) · h(s+1) dt .

A Formula de Taylor com resto de Lagrange

Teorema 3.10. (Taylor com resto de Lagrange) Seja f : U ⊂ IRm → IRn; uma aplicacao de

classe C(s+1) . Se o segmento de reta [a, a+ h] esta contido no aberto U e se tivermos ainda∥∥f (s+1)(x) · w(s+1)∥∥ ≤M. ‖w‖(s+1) para todo x ∈ [a, a+ h] e todo w ∈ IRm , entao

f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+1

2!f ′′(a) · h(2) + . . .+

1

s!f (s)(a) · h(s) + r(h) ,

com

‖r(h)‖ ≤ M

(s+ 1)!‖h‖s+1 .

Capıtulo 4

O Teorema da Aplicacao Inversa

4.1 Preliminares

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

A essencia do estudo de diferenciabilidade se traduz no fato de que podemos obter in-

formacoes significativas sobre o comportamento de f numa vizinhanca de um ponto a ∈ U

atraves de sua derivada f ′(a) neste ponto (lembremos que f ′(a) : IRm → IRn e uma

transformacao linear).

Por exemplo: sob certas condicoes, temos:

(i) f ′(a) injetiva(m≤n)

=⇒ existe uma vizinhanca V de a tal que f e injetiva em V .

(ii) f ′(a) sobrejetiva(m≥n)

=⇒ existe uma vizinhanca V de a que e “levada” (aplicada) por f

sobre uma vizinhanca W de f(a).

(iii) f ′(a) bijetiva(m=n)

=⇒ existe uma vizinhanca V de a que e “levada” biunivocamente

por f sobre uma vizinhanca W de f(a).

Dois lemas uteis

Lema 4.1. Se T : IRm → IRn e uma transformacao linear (T ∈ L(IRm; IRn) ) INJETIVA

entao existe r > 0 tal que

‖T (x)‖ ≥ r. ‖x‖ ∀ x ∈ IRm

Este e o Exercıcio 24 do Capıtulo 1 desta apostila.

71

72 CAPITULO 4

Veremos agora mais um lema fundamental para os resultados que nos interessam:

Lema 4.2. (Lema de Aproximacao) Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao

diferenciavel e tal que sua aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em a ∈ U .

Entao, dado ε > 0 , podemos obter δ > 0 tal que

x1, x2 ∈ B [a; δ] ⇒ x1, x2 ∈ U e ‖f(x1)− f(x2)− f ′(a)(x1 − x2)‖ ≤ ε. ‖x1 − x2‖

Prova:

4.2 O Teorema da Aplicacao Injetiva

Teorema 4.3. Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.

Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e uma transformacao linear INJETIVA (em

particular m ≤ n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existe um numero δ > 0

tal que a restricao de f a B[a; δ] e injetiva.

Mais ainda, podemos garantir que a inversa da restricao f∣∣B[a;δ]

e uma aplicacao contınua

de f (B[a; δ]) em B[a; δ].

Demonstracao:

O Teorema da Aplicacao Inversa 73

Obs.: Note que, apesar de termos um homeomorfismo entre B[a; δ] e f (B[a; δ]) , nao

podemos garantir que f (B[a; δ]) seja uma vizinhanca de f(a) .

Por esta razao nao podemos fazer nenhuma afirmacao sobre a diferenciabilidade da inversa

em f(a).

A seguir veremos um resultado que nos ajudara a ir nessa “direcao”.

4.3 O Teorema da Aplicacao Sobrejetiva


Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e uma transformacao linear SOBREJETIVA

(em particular m ≥ n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existem numeros

c > 0 e α > 0 tais que, se y ∈ IRn e ‖y − f(a)‖ ≤ α/2c entao existe um x ∈ U tal que

‖x− a‖ ≤ α e f(x) = y , ou seja, f (B[a;α]) e uma vizinhanca de f(a).

74 CAPITULO 4

Demonstracao:


Obs.: A sobrejetividade de f ′(a) (e a continuidade de f ′ em a) nos garante portanto que

f(a) e ponto interior de f (B[a;α]), sem garantir porem a injetividade de f numa vizinhanca

de a (como era garantido no Teorema da Aplicacao Injetiva).

76 CAPITULO 4

Antes de combinarmos estes dois importantes resultados (Teoremas das Aplicacoes In-

jetiva e Sobrejetiva) para obter o Teorema da Aplicacao Inversa, veremos uma importante

consequencia do Teorema da Aplicacao Sobrejetiva:

Corolario 1. (Teorema da Aplicacao Aberta) Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao

tal que f ∈ C1(U) , ou seja, f e diferenciavel e a aplicacao derivada f ′ e contınua (em todo

x ∈ U).

Se f ′(x) e sobrejetiva para todo x ∈ U entao f e uma aplicacao aberta, isto e, f(A) e

um conjunto aberto para todo A (aberto) ⊂ U .

Prova:

4.4 O Teorema da Aplicacao Inversa

O que faremos agora sera combinar os dois teoremas anteriores (Aplicacoes Injetiva e So-

brejetiva) para produzir o Teorema da Aplicacao Inversa.

Apresentaremos tal resultado em duas partes:


Se a ∈ U e tal que f ′(a) : IRm → IRn e um ISOMORFISMO (transformacao linear

bijetiva - em particular m = n ) e a aplicacao derivada f ′ e contınua em a, entao existe um

numero δ > 0 tal que B[a; δ] e homeomorfa (“por f”) a f (B[a; δ]), f (B[a; δ]) e vizinhanca

de b = f(a) e f−1 = g : f (B[a; δ]) → B[a; δ] e diferenciavel em b = f(a) .

Em particular: g′(b) = [f ′(a)]−1.


Demonstracao:

78 CAPITULO 4

Mais ainda, se f ∈ Ck(U) ( k ≥ 1 ) entao existem vizinhancas abertas V de a e

W de b = f(a) tais que f e um DIFEOMORFISMO entre os abertos V e W e

g = f−1 : W → V ∈ Ck(W ).

(f : V → W difeomorfismo significa que e bijecao diferenciavel com inversa diferenciavel)

Demonstracao:


4.5 O Teorema da Aplicacao Implıcita

Teorema 4.6. Sejam Ω (aberto) ⊂ IRm × IRn = IRm+n e (a, b) ∈ Ω , de forma que

a = (a1, a2, . . . , am) ∈ IRm e b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn. Seja f : Ω → IRn uma aplicacao,

f = f(x, y) = f(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) , tal que f ∈ C1(Ω) e f(a, b) = r ∈ IRn .

Se

det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(a, b)

]6= 0

(ou equivalentemente: se L : IRn → IRn dada por L(v) = f ′(a, b)(0, v) e um isomorfismo),

entao existe uma vizinhanca V de (a, b) em IRm × IRn tal que:

(x, y) ∈ V ∩ f−1(r) ⇔ y = ϕ(x) e x ∈ U ,

onde ϕ : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , U e vizinhanca de a, ϕ(a) = b , ϕ ∈ C1(U) e

ϕ′(x) = −[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(x, ϕ(x))

]−1

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (x1, x2, . . . , xm)(x, ϕ(x))

]∀ x ∈ U .

“Descricao Esquematica”:

80 CAPITULO 4

Demonstracao:


4.6 Exercıcios

1. Nas condicoes do Teorema da Aplicacao Injetiva (Teorema 4.3), apesar de termos, pela f ,

um homeomorfismo entre B[a; δ] e f(B[a; δ]) , NAO PODEMOS GARANTIR que f leve

uma vizinhanca de a em uma vizinhanca de f(a). Ilustre isto atraves de um contra-exemplo.

2. Nas condicoes do Teorema da Aplicacao Sobrejetiva (Teorema 4.4), apesar de termos

f(B[a;α]) como vizinhanca de f(a) , NAO PODEMOS GARANTIR que f seja injetiva

numa vizinhanca de a. Ilustre isto atraves de um contra-exemplo.

3. Mostre que as projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x1, x2, . . . , xm) = xi sao aplicacoes

abertas.

4. Se f : U → IR3 e de classe C1 e tem posto 3 em todos os pontos do aberto U ⊂ IR4

entao |f(x)| nao assume valor maximo para x ∈ U .

(Obs.: O posto de f em x e o posto de f ′(x) )

5. Seja f : U → C uma funcao holomorfa, de classe C1, no aberto U do plano complexo.

Se f ′(z0) 6= 0 entao z0 possui uma vizinhanca, restrita a qual f tem uma inversa derivavel

(como funcao complexa), de classe C1.

(Sugestao: “olhe” f como f : IR2 → IR2 e use o Teorema da Aplicacao Inversa)

6. Seja f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x+ y, 2x+ ay) .

(a) Calcule Df (x, y) e mostre que Df (x, y) e invertıvel se, e somente se, a 6= 2 .

(b) Examine a imagem do quadrado unitario (x, y) ; x, y ∈ [0, 1) quando a = 1, 2, 3.

7. Seja f : IR2 → IR2 a aplicacao que leva o ponto (x, y) no ponto (u, v) dada por

u = x, v = xy .

A aplicacao e um-a-um (injetora) ? f e aplicada sobre todo o IR2 ?

Mostre que se x 6= 0 , entao f leva uma vizinhanca de (x, y) , de modo um-a-um, sobre uma

vizinhanca de (x, xy).

Em que regiao do plano uv a aplicacao f leva o retangulo (x, y) ; 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 ?

Que pontos do plano xy sao levados pela f no retangulo (u, v) ; 1 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 2 ?

8. Seja f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (y, x+ y2) .

Mostre que f ∈ C1(IR2) e que f e invertıvel em alguma vizinhanca de qualquer ponto do IR2.

Esboce a imagem, pela f , das retas x = 0, 1,−1, 2,−2 e y = 0, 1,−1, 2,−2.

Determine a inversa g = f−1 : IR2 → IR2 e verifique que Dg(f(x0, y0)) = [Df (x0, y0)]−1.

82 CAPITULO 4

9. Mostre que a composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.

(Sugestao: INDUCAO, utilizando a observacao logo apos a definicao de classe Ck , alem da

Regra da Cadeia)

Utilizando o resultado acima e o fato de que a inversao de matrizes e uma aplicacao de

classe C∞ em GL(IRn) , conclua que no Teorema da Aplicacao Inversa (Teorema 4.5)

temos f−1 ∈ Ck(W ) , desde que tenhamos f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, . . .) . Conclua tambem

que, no Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 4.6), tambem obtemos ϕ ∈ Ck(U) se

f ∈ Ck(Ω) (k = 1, 2, . . .) .

10∗. Uma IMERSAO do aberto U ⊂ IRm no IRp e uma aplicacao diferenciavel f : U → IRp

tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′(x) : IRm → IRp e uma transformacao linear injetiva

(em particular m ≤ p ⇒ p = m+ n ).

A inclusao i : IRm → IRm × IRn dada por i(x) = (x, 0) ∀ x ∈ IRm e o exemplo canonico

de imersao: i e imersao e i ∈ C∞ (verifique).

O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que toda imersao de classe Ck (k ≥ 1) se

comporta localmente (de certa forma) como o exemplo canonico acima.

Seja f : U (aberto)⊂ IRm → IRm+n = IRm × IRn uma imersao de classe Ck (k ≥ 1) .

Dado a ∈ U vamos mostrar que existem abertos V1 3 a no IRm , V2 3 0 no IRn (de modo

que (a, 0) ∈ V1 × V2 (aberto)⊂ IRm × IRn ), W 3 f(a) no IRm+n e existe um difeomorfismo

h : W → V1 × V2 tais que h ∈ Ck(W ) e

(h f)(x) = (x, 0) ∀ x ∈ V1

1) Seja E = f ′(a)(IRm) (imagem de f ′(a) ) ⊂ IRm+n . Conclua que dimE = m e

portanto existe (pelo menos um) subespaco F ⊂ IRm+n com dimF = n e IRm+n = E ⊕ F .

Fixemos uma base β = v1, v2, . . . , vn , base ordenada de F .

2) Considere ϕ : U × IRn → IRm+n dada por

ϕ(x, y) = ϕ(x, (y1, . . . , yn)) = f(x) + y1v1 + y2v2 + . . .+ ynvn

e mostre que ϕ ∈ Ck(U × IRn) e ϕ′(a, 0) : IRm+n → IRm+n e um ISOMORFISMO.

3) Use o Teorema da Aplicacao Inversa (Teo 4.5) para obter o difeo h : W → V1× V2 que

atenda as condicoes descritas anteriormente.

Obs.: Podemos obter um resultado mais flexıvel, ou seja, uma composicao que fornece

uma outra inclusao (imersao canonica). Basta considerar ξ : IRm+n → IRm+n dada por

ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm+n) e fazer h = ξ h : W → ξ(V1 × V2) . Assim teremos

(h f)(x) = ξ(x, 0) . ξ representa uma reordenacao na base canonica do IRm+n. Este tipo de

reordenacao sera muito util a frente.


11. De acordo com o enunciado do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 4.6), obtenha a

expressao da derivada da aplicacao implıcita, ou seja, mostre que

ϕ′(x) = −[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(x, ϕ(x))

]−1

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (x1, x2, . . . , xm)(x, ϕ(x))

]∀ x ∈ U

Sugestao: Use que f(x, ϕ(x)) = r (constante) se x ∈ U e aplique a Regra da Cadeia.

12. Seja F : IR5 → IR2 dada por F (u, v, w, x, y) = (uy + vx + w + x2, uvw + x + y + 1) .

Note que F (2, 1, 0,−1, 0) = (0, 0).

(a) Mostre que podemos resolver F (u, v, w, x, y) = (0, 0) e obter (x, y) = ϕ(u, v, w) para as

solucoes desta equacao, numa vizinhanca de (2, 1, 0) .

(b) Se (x, y) = ϕ(u, v, w) e a solucao na parte (a), obtenha a matriz jacobiana Jϕ(2, 1, 0) .

13∗. O objetivo agora e obter o Teorema da Aplicacao Implıcita no seu contexto mais geral.

Consideremos Ω (aberto)⊂ IRm+n , c ∈ Ω e f = f(z1, . . . , zm+n) : Ω → IRn uma aplicacao

tal que f ∈ Ck(Ω) (k ≥ 1) e f(c) = r ∈ IRn . Suponhamos ainda que

det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

(observe que agora as variaveis zj1 , . . . , zjn nao sao necessariamente as ultimas)

Notacao: zl1 , . . . , zlm serao as outras variaveis (que nao zj1 , . . . , zjn ) em z = (z1, . . . , zm+n) .

Nosso objetivo e mostrar que existe uma vizinhanca aberta V de c em IRm+n tal que

z ∈ V ∩ f−1(r) ⇔ (zj1 , . . . , zjn) = ϕ(zl1 , . . . , zlm) e (zl1 , . . . , zlm) ∈ U ,

onde ϕ : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , (cl1 , . . . , clm) ∈ U , ϕ(cl1 , . . . , clm) = (cj1 , . . . , cjn) e

ϕ ∈ Ck(U).

Roteiro:

1) Seja ξ : IRm+n → IRm+n dada por ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm , zj1 , . . . , zjn)

( ξ representa uma reordenacao na base canonica do IRm+n de modo que as ultimas variaveis

passam a ser zj1 , . . . , zjn )

Tomando η = ξ−1 , considere g = f η : ξ(Ω) ⊂ IRm+n → IRn .

Mostre que ξ(Ω) e aberto, g ∈ Ck(ξ(Ω)) e, se considerarmos (x, y) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)

no IRm+n tem-se, para todo i, s = 1, . . . , n :

∂gi

∂ys

(ξ(c)) =∂fi

∂zjs

(c) (use a Regra da Cadeia em g = f η )

84 CAPITULO 4

Portanto

det

[∂ (g1, g2, . . . , gn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(ξ(c))

]= det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

2) Utilize entao o Teorema 4.6 considerando a aplicacao g = f η : ξ(Ω) → IRn , uma vez

que para g temos

det

[∂ (g1, g2, . . . , gn)

∂ (y1, y2, . . . , yn)(ξ(c))

]6= 0

3) Com o resultado a respeito de g obtido acima, “volte para f”, concluindo a demonstracao

do Teorema da Aplicacao Implıcita na sua forma mais geral.

Obs.: Descreva ainda a expressao para ϕ′(zl1 , . . . , zlm) , dado (zl1 , . . . , zlm) ∈ U .

14. Seja f : IR3 → IR2 dada por f(x, y, z) = (x+ y + z, x− y − 2xz)

(a) Mostre que podemos resolver f(x, y, z) = (0, 0) , obtendo (x, y) = ϕ(z) para as solucoes

desta equacao, numa vizinhanca de z = 0 .

(b) Mostre que Jϕ(0) =

[−1/2

−1/2

](c) Explicite a solucao de (x, y) = ϕ(z) e verifique o resultado da parte (b).

(d) Repita os procedimentos das letras (a), (b) e (c), so que agora obtendo (y, z) = ψ(x)

numa vizinhanca de x = 0 para as solucoes da equacao f(x, y, z) = (0, 0) .

15. Funcoes implıcitas: Enuncie o classico Teorema da Funcao Implıcita como um caso par-

ticular do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teo 4.6).

16. Seja f : IR3 → IR dada por f(x, y, z) = x2 · y · z .

Prove que numa vizinhanca de (1, 1, 1), a equacao f(x, y, z) = 1 define x como funcao de

classe C∞ das variaveis y e z e obtenha as derivadas parciais dessa funcao.

Agora obtenha essa funcao explicitamente e verifique os resultados obtidos acima.

17. Seja g : IR5 → IR dada por g(u, v, w, x, y) = uy + vx+ w + x6 .

Prove que numa vizinhanca de (2, 1, 0,−1, 0), a equacao g(u, v, w, x, y) = 0 define x como

funcao de classe C∞ das variaveis u, v, w e y, x = ξ(u, v, w, y) , e obtenha grad ξ (2, 1, 0, 0) .

Agora pense como seria difıcil (senao impossıvel !) obter a expressao explıcita da funcao

x = ξ(u, v, w, y) .


18. Seja f : IR4 → IR dada por f(x, y, z, w) = yw2 − 2xz − 5 + z5 .

(a) Utilize o Teorema da Funcao Implıcita para provar que numa vizinhanca de (4,−1, 2,−3)

a equacao f(x, y, z, w) = 2 define (implicitamente) w como uma funcao de classe C∞ das

variaveis x, y e z.

Use o Teorema da Funcao Implıcita para obter as derivadas parciais dessa funcao (sem

utilizar ainda qualquer expressao explıcita da funcao).

Obtenha a expressao explıcita dessa funcao e utilize-a para verificar os resultados obtidos

acima.

(b) Prove que numa vizinhanca de (−3, 1, 0, 2) a equacao f(x, y, z, w) = −1 define z

como funcao de classe C∞ das variaveis x, y e w , z = ξ(x, y, w) , e obtenha grad ξ(−3, 1, 2)

usando as expressoes das derivadas parciais de ξ fornecidas pelo Teorema da Funcao Implıcita.

19. Seja f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua e tal que

(x2 + y4)f(x, y) + f(x, y)7 = 1 para todo (x, y) ∈ U .

Prove que f ∈ C∞(U) .

20. Um conjunto S ⊂ IR3 e dito uma SUPERFICIE REGULAR quando para cada ponto

p ∈ S existem uma vizinhanca V de p no IR3 e uma aplicacao χ : U → V ∩ S definida

num aberto U ⊂ IR2 tal que:

(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);

(2) χ e um homeomorfismo;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.

(a) Mostre que se uma funcao f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e de classe C∞ entao o conjunto

S = (grafico de f) e uma superfıcie regular no IR3 ;

(b) Seja r um valor regular de uma funcao f : Ω(aberto) ⊂ IR3 → IR , com f ∈ C∞(Ω) .

Prove que S = f−1(r) ⊂ IR3 e uma superfıcie regular no IR3 .

(c) Mostre que os seguintes conjuntos sao superfıcies regulares no IR3 :

(i) Todo plano π ⊂ IR3 e uma superfıcie regular.

(ii) Esfera: S2 ⊂ IR3. S2 =

(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 + z2 = 1.

(iii) Cilindro: C =

(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 = 1.

(iv) Consideremos uma circunferencia e uma reta, coplanares e disjuntas, no IR3. Girando

a circunferencia em torno da reta, obtemos um solido de revolucao chamado TORO.

Mostre que o Toro e uma superfıcie regular no IR3 e faca um esboco.

(Pode considerar o caso em que a reta - eixo de rotacao - e um dos eixos cartesianos).

(v) S =

(x, y, z) ∈ IR3 ; (√x2 + z2 − 3)2 = 4− y2

⊂ IR3

86 CAPITULO 4

21. Seja χ : U (aberto)⊂ IR2 → IR3 tal que:

(1) χ ∈ C1(U)

(2) χ : U → χ(U) e BIJECAO;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.

Use o Teorema da Aplicacao Inversa para mostrar que χ−1 : χ(U) → U e contınua (o que

implica em χ ser um homeomorfismo).

Sugestao: Para cada ponto p ∈ χ(U) , escolha uma projecao adequada π : IR3 → IR2 ,

use o Teorema da Aplicacao Inversa em π χ e conclua que χ−1 e contınua em p .

• NOTA : Um subconjunto M ⊂ IRn e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DI-

MENSAO m (m ≤ n ) quando, para cada ponto p ∈ M existem uma vizinhanca V de p

em IRn e uma aplicacao χ : U → V ∩M definida num aberto U ⊂ IRm tal que:

(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);

(2) χ e um homeomorfismo;

(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IRm → IRn tem posto m, isto e, χ′(q) e injetora.

Observacoes:

1) Comparando as definicoes apresentadas, e facil ver que uma superfıcie regular no IR3 e,

em particular, uma variedade diferenciavel de dimensao 2 no IR3 .

As variedades de dimensao 2 sao geralmente chamadas SUPERFICIES e as de dimensao 1

sao chamadas CURVAS.

2) Assim como utilizamos fortemente o Teorema da Funcao Implıcita para obtermos su-

perfıcies regulares (Exercıcio 20), e possıvel produzir variedades diferenciaveis de dimensao m

no IRm+1, quando olhamos imagens inversas de valores regulares de funcoes de IRm+1 em IR e

utilizamos o mesmo Teorema da Funcao Implıcita.

3) Existe tambem a definicao de variedade de classe Ck, quando na primeira condicao

pede-se que a parametrizacao χ seja apenas de classe Ck em U (k ≥ 1).

4) A terceira condicao na definicao de variedade diferenciavel, que χ′(q) : IRm → IRn seja

uma transformacao linear injetora para todo q ∈ U , confere a chamada REGULARIDADE a

variedade, garantindo a existencia de um ESPACO TANGENTE a variedade em cada um de

seus pontos.

Se a variedade em questao tem dimensao m, entao esse espaco tangente (em cada ponto)

e um espaco vetorial m-dimensional. No caso particular das SUPERFICIES (de dimensao 2)

temos o chamado PLANO TANGENTE em cada um de seus pontos.


22. Enucie e prove o resultado referente a segunda observacao na nota anterior, sobre va-

riedades diferenciaveis.

23. Prove que a esfera unitaria S[0; 1] no IRm+1 (norma euclidiana) e uma variedade

diferenciavel de dimensao m (por isso usamos a notacao Sm: S1 e a circunferencia unitaria no

IR2, S2 e a esfera unitaria no IR3, etc.).

24∗. Ao demonstrarmos o Teorema da Aplicacao Implıcita (Teorema 4.6), utilizamos forte-

mente o Teorema da Aplicacao Inversa (Teorema 4.5). Mostre que ambos os resultados sao

EQUIVALENTES, demonstrando o Teorema da Aplicacao Inversa a partir do Teorema da

Aplicacao Implıcita.

25∗. Uma SUBMERSAO do conjunto aberto U ⊂ IRq no IRn e uma aplicacao diferenciavel

f : U → IRn tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′(x) : IRq → IRn e uma transformacao

linear sobrejetiva (em particular q ≥ n ⇒ q = m+ n ).

Uma projecao s : IRm+n → IRn dada por s(z1, . . . , zm+n) = (zj1 , . . . , zjn) ∀ z ∈ IRm+n e

um exemplo canonico de submersao: s e submersao e s ∈ C∞ (verifique).

O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que toda submersao de classe Ck (k ≥ 1)

se comporta localmente (de certa forma) como o exemplo canonico anteriormente descrito.

Seja f : Ω (aberto)⊂ IRm+n → IRn uma submersao de classe Ck (k ≥ 1) .

Dado c ∈ Ω vamos mostrar que existem abertos V 3 c e W do IRm+n e um

difeomorfismo G : W → V de classe Ck(W ) tais que

(f G)(z1, . . . , zm+n) = (zj1 , . . . , zjn) ∀ (z1, . . . , zm+n) ∈ W

1) Como f ′(c) : IRm+n → IRn e sobrejetora, entao Im f ′(c) = IRn . Considerando entao

z = (z1, . . . , zm+n) ∈ IRm+n , existem (mostre) variaveis zj1 , . . . , zjn tais que

det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

Vamos separar a demonstracao em duas partes:

1a PARTE) Caso particular: js = m+s ∀ s = 1, . . . n , ou seja, as variaveis zj1 , . . . , zjn

representam as ultimas n coordenadas de z ∈ IRm+n = IRm × IRn :

2) Sendo c = (a, b) ∈ Ω ⊂ IRm × IRn , consideremos H : Ω → IRm × IRn dada por

H(x, y) = (x, f(x, y)) , H ∈ Ck(Ω) e H ′(c) e isomorfismo.

3) Exatamente como na demonstracao do Teorema da Aplicacao Implıcita (Teo 4.6),

obtenha o difeomorfismo G = H−1 : W → V conforme desejamos: (f G)(x, y) = y .

88 CAPITULO 4

2a PARTE) Caso geral: as variaveis zj1 , . . . , zjn tais que det

[∂ (f1, f2, . . . , fn)

∂ (zj1 , . . . , zjn)(c)

]6= 0

nao sao necessariamente as n ultimas:

4) Assim como no exercıcio 13 desta mesma lista, considere ξ : IRm+n → IRm+n dada por

ξ(z1, . . . , zm+n) = (zl1 , . . . , zlm , zj1 , . . . , zjn) e, tomando η = ξ−1 , considere a aplicacao

g = f η : ξ(Ω) ⊂ IRm+n → IRn

5) Aplique a 1a parte a g (mostre antes, como o feito no exercıcio 13, que isto e possıvel) e

finalmente use novamente ξ e η para concluir a demonstracao - o aberto W a ser obtido sera

uma vizinhanca de (d1, . . . , dm+n) , sendo dlk = clk para todo k = 1, . . . ,m e djs = fjs(c)

para todo s = 1, . . . , n ).

26∗. O objetivo deste exercıcio e demonstrar o importantıssimo Teorema de Mudanca de

Parametrizacao para o caso de superfıcies regulares no IR3 .

Podemos citar, como aplicacoes, que ele tem papel fundamental nos conceitos de diferencia-

bilidade de aplicacoes definidas em superfıcies regulares e de plano tangente (a uma superfıcie

regular em um certo ponto).

E claro tambem que existe uma versao mais geral do mesmo resultado para variedades

diferenciaveis de dimensao m no IRn (m ≤ n), com as mesmas consequencias.

Sejam p um ponto de uma superfıcie regular S ⊂ IR3 , χ : U(aberto) ⊂ IR2 → S ⊂ IR3

e ψ : V (aberto) ⊂ IR2 → S ⊂ IR3 duas parametrizacoes tais que p ∈ χ(U) ∩ ψ(V ) = W

(aberto em S).

Mostre que a “mudanca de coordenadas” h = χ−1 ψ : ψ−1(W ) → χ−1(W ) e um difeo-

morfismo entre abertos do IR2, ou seja, h e diferenciavel e tem inversa diferenciavel.

Roteiro:

1) Faca um esboco da situacao.

2) Ja temos que h e um homeomorfismo (justifique).

3) Seja r ∈ ψ−1(W ) . Vamos mostrar que h e diferenciavel em r.

4) Se h(r) = q ∈ U , defina adequadamente uma F : U × IR (aberto) ⊂ IR3 → IR3 tal

que se tenha F (u, v, 0) = χ(u, v) , F ∈ C∞(U × IR) e sobretudo det[F ′(q, 0)] 6= 0 .

5) Use o Teorema da Aplicacao Inversa na F para obter A(aberto) ⊂ U tal que q ∈ A e

χ−1 = π F−1∣∣χ(A) : χ(A) → A , sendo π F−1 : W1(aberto) ⊂ IR3 → IR2 de classe C∞ e

π : IR3 → IR2 dada por π(u, v, t) = (u, v) .

6) Conclua que h e diferenciavel em r e, mais ainda, h ∈ C∞ .

7) Raciocınio analogo vale para h−1 .

Capıtulo 5

Integrais Multiplas

5.1 A definicao de integral

Definicao 5.1. (Blocos) Um BLOCO m-DIMENSIONAL e um produto cartesiano

A =m∏

i=1

[ai, bi] = [a1, b1]× . . .× [am, bm] ⊂ IRm (ai < bi ∀ i)

de m intervalos compactos [ai, bi] , cada um dos quais se chama uma ARESTA do bloco A.

O VOLUME m-dimensional do bloco A =m∏

i=1

[ai, bi] e, por definicao,

vol. A =m∏

i=1

(bi − ai) .

Definicao 5.2. (Particoes) Uma PARTICAO do bloco A =m∏

i=1

[ai, bi] e um subconjunto

finito do tipo P = P1 × . . .× Pm , onde cada Pi e uma particao do intervalo [ai, bi] .

Uma particao P = P1 × . . . × Pm do bloco A determina uma decomposicao de A em

sub-blocos do tipo B = I1 × . . .× Im , onde cada Ii e um intervalo da particao Pi .

Cada um desses sub-blocos B e dito um BLOCO DA PARTICAO P e escreve-se B ∈ P .

Se P e uma particao de um bloco A, segue que o volume do bloco A e soma dos volumes

de todos os blocos em que a particao P decompoe A

vol. A =∑B∈P

vol. B .

A NORMA |P | de uma particao P =∏Pi e o maior comprimento de um subintervalo

de qualquer das particoes Pi, ou seja, e o maior comprimento das arestas dos blocos B ∈ P .

89

90 CAPITULO 5

Definicao 5.3. (Refinando particoes) Dadas P e Q, particoes do bloco A, dizemos que Q e

MAIS FINA do que P , ou equivalentemente, que Q REFINA P , quando P ⊂ Q .

Se P = P1 × . . . × Pm e Q = Q1 × . . . × Qm , temos P ⊂ Q se, e somente se,

P1 ⊂ Q1 , . . . , Pm ⊂ Qm .(ex)

Neste caso ( P ⊂ Q ), cada bloco da particao Q esta contido num unico bloco da particao

P e cada bloco de P e a reuniao dos blocos de Q nele contidos.

Se P =∏Pi e Q =

∏Qi sao particoes do bloco A, a reuniao P ∪ Q NAO E, em

geral, uma particao de A.

Mas existe uma particao P +Q =∏

(Pi ∪Qi) que refina P e Q simultaneamente.

Definicao 5.4. (Somas inferiores e superiores)

Seja f : A→ IR uma funcao real limitada, definida num bloco A ⊂ IRm.

Dada uma particao P do bloco A, a cada bloco B ∈ P associaremos os numeros

mB = inf f(x) ; x ∈ B e MB = sup f(x) ; x ∈ B

com os quais definimos

s(f ;P ) =∑B∈P

mB · vol. B (SOMA INFERIOR de f relativamente a particao P )

S(f ;P ) =∑B∈P

MB · vol. B (SOMA SUPERIOR de f relativamente a particao P )

Dada qualquer particao P , e imediato que s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) .

E imediato tambem que se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ A , entao

m · vol. A ≤ s(f ;P ) ≤ S(f ;P ) ≤ M · vol. A

qualquer que seja a particao P do bloco A.

Proposicao 5.5. Se P e Q sao particoes do bloco A ⊂ IRm com P ⊂ Q e f : A → IR e

uma funcao limitada, entao

s(f ;P ) ≤ s(f ;Q) ≤ S(f ;Q) ≤ S(f ;P )(ex)

Proposicao 5.6. Seja f : A→ IR limitada. Dadas particoes P e Q do bloco A, tem-se

s(f ;P ) ≤ S(f ;Q) .

Integrais Multiplas 91

Definicao 5.7. (Integral Inferior e Integral Superior)

Seja f : A→ IR uma funcao limitada no bloco A. Definimos:

−

∫A

f(x) dx = supP

s(f ;P ) (INTEGRAL INFERIOR de f )

−∫A

f(x) dx = infP

S(f ;P ) (INTEGRAL SUPERIOR de f )

E imediato dos resultados anteriores que se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ A entao

m · vol. A ≤−

∫A

f(x) dx ≤−∫A

f(x) dx ≤ M · vol. A

Definicao 5.8. (Funcoes (Riemann-)integraveis)

Uma funcao f : A→ IR , limitada no bloco A ⊂ IRm , e dita INTEGRAVEL quando sua

integral inferior e sua integral superior forem iguais.

Esse valor comum e chamado a INTEGRAL de f em A e denotado por∫A

f(x) dx

Teorema 5.9.(?)

A fim de que uma funcao limitada f : A → IR seja integravel no bloco

A ⊂ IRm e necessario e suficiente que, para cada ε > 0 dado, se possa obter uma particao P

do bloco A tal que S(f ;P )− s(f ;P ) < ε .

Definicao 5.10. (Oscilacao)

Se f : X → IR e limitada em X ⊂ IRm , definimos a OSCILACAO de f em X como

wX = w(f ;X) = sup |f(x)− f(y)| ; x, y ∈ X .

Se indicamos por mX e MX respectivamente o ınfimo e o supremo de f em X, temos

wX = MX −mX .

Teorema 5.11. Toda funcao contınua f : A→ IR e integravel.(ex)

92 CAPITULO 5

Teorema 5.12.(?)

Sejam f, g : A→ IR funcoes integraveis no bloco A ⊂ IRm . Entao

(a) A funcao f + g e integravel e∫A

[f(x) + g(x)] dx =

∫A

f(x) dx+

∫A

g(x) dx

(b) Para todo c ∈ IR , a funcao c · f e integravel e∫A

(c · f)(x) dx = c ·∫

A

f(x) dx

(c) Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A entao

∫A

f(x) dx ≥ 0 .

(d) A funcao |f(x)| e integravel e∣∣∣∣∫A

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|f(x)| dx .

Em particular, se |f(x)| ≤ K para todo x ∈ A entao∣∣∣∣∫A

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ K · vol. A .

(e) (Valor medio para integrais) Se f e contınua, existe c ∈ A tal que∫A

f(x) dx = f(c) · vol. A .

Uma consequencia interessante do Teorema acima:

Toda funcao (limitada) f : A→ IR pode ser escrita como a diferenca f = f+ − f− entre

duas funcoes nao-negativas naturais:

f+ : A→ IR e chamada a PARTE POSITIVA de f ( f+(x) = max f(x), 0 ).

f− : A→ IR e chamada a PARTE NEGATIVA de f ( f+(x) = −min f(x), 0 ).

Temos:

f+(x) =|f(x)|+ f(x)

2, f−(x) =

|f(x)| − f(x)

2e f(x) = f+(x)− f−(x) ∀ x ∈ A .

Segue do Teorema acima que f e integravel se, e somente se, f+ e f− sao ambas

integraveis.


5.2 Caracterizacao das funcoes (Riemann-) integraveis

Embora ja tenhamos no Teorema 5.9 uma caracterizacao para as funcoes integraveis em

blocos, nos interessa ainda obter uma caracterizacao que “funcione melhor” no sentido de

fornecer condicoes (necessarias e suficientes) de integrabilidade que sejam mais simples de se

analisar.

Para tal, introduziremos os conceitos de oscilacao de uma funcao em um ponto e de con-

juntos de medida nula, com os quais iremos trabalhar nessa nova caracterizacao que estamos

buscando.

Oscilacao de uma funcao em um ponto:

Seja f : X ⊂ IRm → IR uma funcao limitada. Fixemos x ∈ X .

Para cada δ > 0 , consideremos

wf (x; δ) = wf [X ∩B(x; δ)] = w(f ;X ∩B(x; δ) )

(oscilacao de f no conjunto X ∩B(x; δ) )

Nos interessa fazer δ → 0 .

E claro que wf (x; δ) , como funcao de δ , e monotona (nao-decrescente).

E tambem obvio que 0 ≤ wf (x; δ) ≤ wf = wf (X) ∀ δ > 0 .

⇓

Existe o limite

wf (x) = limδ→0

wf (x; δ) = infδ>0

wf (x; δ) ,

que definimos como a OSCILACAO DE f NO PONTO x.

Algumas propriedades:

• wf (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X .

• wf (x) = 0 se, e somente se, f e contınua no ponto x.(ex)

• Se x ∈ intY e Y ⊂ X , entao wf (x) ≤ wf (Y ) .(ex)

94 CAPITULO 5

Conjuntos de medida nula:

Definicao 5.13. (Conjuntos de medida nula)

Dizemos que um conjunto X ⊂ IRm tem MEDIDA NULA quando, para cada ε > 0 ,

e possıvel obter uma cobertura (enumeravel) X ⊂⋃k∈IN

Ak de X por blocos m-dimensionais

abertos Ak tais que a soma de seus volumes e∑

k

vol. Ak < ε .

Observacoes:

- Um BLOCO m-DIMENSIONAL ABERTO e um produto cartesiano

A =m∏

i=1

(ai, bi) = (a1, b1)× . . .× (am, bm) ⊂ IRm (ai < bi ∀ i)

de m intervalos abertos e limitados (ai, bi) , e cujo volume e dado por vol. A =m∏

i=1

(bi−ai) .

- Na definicao de conjunto de medida nula podemos usar tambem blocos fechados.

- Todo conjunto finito tem medida nula.

- Todo conjunto enumeravel tem medida nula.

- O conjunto (usual) de Cantor K ⊂ IR (nao-enumeravel) tem medida nula. (Existem

“Conjuntos de Cantor” de medida positiva)

Algumas propriedades:

• Todo subconjunto de um conjunto de medida nula tem tambem medida nula.

• Toda REUNIAO ENUMERAVEL de conjuntos de medida nula e ainda um conjunto

de medida nula.(?)

• Seja A ⊂ IRm um bloco m-dimensional.

Dada qualquer cobertura enumeravel A ⊂⋃k∈IN

Ak de X por blocos abertos Ak tem-se∑k

vol. Ak ≥ vol. A > 0 . Em particular, A nao tem medida nula.(ex)

• Se X ⊂ IRm tem medida nula, entao intX = φ .(?)

• Se X ⊂ IRm tem medida nula e f : X → IRm e localmente lipschitziana, entao f(X)

tem medida nula.(ex)


Caracterizacao das funcoes integraveis (em blocos)

Teorema 5.14. (Lebesgue)

Uma funcao f : A→ IR , limitada no bloco m-dimensional A ⊂ IRm , e integravel (em A)

se, e somente se, o conjunto Df dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula.

Demonstracao:

(⇐) Suponhamos que Df = x ∈ A ; f e descontınua em x tenha medida nula.

Seja dado ε > 0 .

Se w = supf A − inff A e a oscilacao de f em A, temos que existe uma colecao

enumeravel Dk de blocos m-dimensionais abertos Dk tais que

Df ⊂⋃k

Dk e∑

k

vol. clDk <ε

2w.

Por outro lado, dado x ∈ A\Df (f e contınua em x), temos que existe δx > 0 tal que

wf [A ∩B(x; δx) ] <ε

2 vol. A.

Consideremos entao um blocom-dimensional aberto Cx tal que x ∈ Cx e clCx ⊂ B(x; δx).

E imediato que A ⊂⋃k

Dk ∪⋃

x 6∈Df

Cx e cobertura aberta do conjunto compacto A .

Essa cobertura admite portanto uma subcobertura finita

A ⊂ Dk1 ∪ . . . ∪Dkm ∪ Cx1 ∪ . . . ∪ Cxl

Consideremos agora a particao P do bloco A obtida “prolongando-se as faces dos blocos

da subcobertura acima”.

96 CAPITULO 5

Vamos denotar por Bα os blocos da particao P que estao contidos em algum clDk

original e por Bβ os demais blocos da particao P .

Temos entao:

S(f ;P )− s(f ;P ) =∑

i

wi · vol. Bi =∑

α

wα · vol. Bα +∑

β

wβ · vol. Bβ ≤

=∑

α

w · vol. Bα +∑

β

ε

2 vol. A· vol. Bβ =

= w ·∑

α

vol. Bα +ε

2 vol. A·∑

β

vol. Bβ <

= w ·∑

vol. clDk +ε

2 vol. A· vol. A <

< w · ε

2w+

ε

2 vol. A· vol. A = ε

Segue do Teorema 5.9 que f e integravel.

(⇒) Suponhamos agora que a funcao limitada f : A→ IR seja integravel.

Seja Df o conjunto dos pontos de descontinuidade de f .

Queremos mostrar que Df tem medida nula.

Para cada k ∈ IN , definimos: Dk =

x ∈ A ; wf (x) ≥

1

k

.

Temos entao:

Df =⋃k

Dk .

Se mostrarmos que cada Dk tem medida nula, e claro que Df tambem tera medida nula.

Fixemos portanto k ∈ IN .

Seja dado ε > 0 .

Como f e integravel, e possıvel obter uma particao P do bloco A tal que

∑B∈P

wB · vol. B <ε

2k.


Vamos denotar por Bα os blocos da particao P que tem algum ponto de Dk no seu

interior.

Consideremos tambem o conjunto F =⋃

B∈P

frB .

E claro que

Dk ⊂⋃α

Bα ∪ F .

O conjunto F =⋃

B∈P

frB tem medida nula(?)

(verifique) e portanto existe uma colecao

enumeravel Cβ de blocos m-dimensionais tais que

F ⊂⋃β

Cβ e∑

β

vol. Cβ <ε

2.

Para cada um dos blocos Bα , temos wBα ≥1

kpois cada um desses blocos tem um ponto

de Dk no seu interior.

Temos entao

1

k

∑α

vol. Bα ≤∑

α

wBα · vol. Bα ≤∑B∈P

wB · vol. B <ε

2k,

de onde tiramos: ∑α

vol. Bα <ε

2.

Juntando os resultados obtidos, obtemos finalmente:

Dk ⊂⋃α

Bα ∪⋃β

Cβ , com

∑α

vol. Bα +∑

β

vol. Cβ < ε .

Logo Dk tem medida nula (para todo k ∈ IN ) e podemos concluir portanto que

Df =⋃k

Dk tem medida nula.

98 CAPITULO 5

5.3 Integrabilidade em domınios mais gerais

Volume segundo Jordan (Conjuntos J-mensuraveis)

Definicao 5.15. (Funcoes caracterısticas)

A FUNCAO CARACTERISTICA do subconjunto X ⊂ Y e a funcao χX : Y → IR dada

por χX(x) =

1 se x ∈ X0 se x 6∈ X

Definicao 5.16. (Conjuntos J-mensuraveis e seus volumes)

Um conjunto limitado X ⊂ IRm e dito J-MENSURAVEL quando, tomando-se um bloco

m-dimensional A ⊂ IRm com X ⊂ A , a funcao caracterıstica χX : A→ IR; e integravel.

Neste caso (X J-mensuravel) definimos o VOLUME de X pondo

vol. X =

∫A

χX(x) dx

Teorema 5.17. Um conjunto limitado X ⊂ IRm e J-mensuravel se, e somente se, sua

fronteira frX tem medida nula.

Demonstracao:


Exemplos e observacoes:

• E imediato a partir do Teorema anterior que o fato de um conjunto X ⊂ IRm ser

J-mensuravel (bem como o valor de seu volume) independe do bloco A ⊃ X tomado na

definicao.

• Todo bloco m-dimensional A ⊂ IRm e J-mensuravel e seu volume segundo Jordan

coincide com o volume antes definido apenas para blocos m-dimensionais no IRm .(ex)

• Considerando que toda variedade diferenciavel M ⊂ IRm de classe C1 e dimensao

< m tem medida nula (por exemplo, as superfıcies regulares que estudamos anteriormente,

sao variedades diferenciaveis de classe C∞ e dimensao 2 no IR3 ), podemos concluir:

Um conjunto limitado X ⊂ IRm cuja fronteira e uma reuniao enumeravel de variedades

diferenciaveis de classe C1 e dimensoes < m e J-mensuravel.

Em particular, toda bola (aberta ou fechada) no IRm e J-mensuravel, pois sua fronteira e

uma esfera de dimensao m− 1 .

• Se X ⊂ IRm e J-mensuravel, temos:

vol. X = 0 ⇔ X tem medida nula ⇔ intX = φ(ex)

Em geral, X ⊂ IRm pode ter medida nula sem ser J-mensuravel.(?)

Em geral, X ⊂ IRm pode ter interior vazio sem ter medida nula.(?)

Teorema 5.18.(?)

Sejam X, Y subconjuntos J-mensuraveis do bloco A ⊂ IRm . Entao:

a) X ∪ Y , X ∩ Y e A\X sao J-mensuraveis;

b) vol. (X ∪ Y ) + vol. (X ∩ Y ) = vol. X + vol. Y .

Corolario 1. Se X e Y sao J-mensuraveis e int (X ∩ Y ) = φ entao

vol. (X ∪ Y ) = vol. X + vol. Y .

100 CAPITULO 5

Integracao em domınios J-mensuraveis

Definicao 5.19. (Integrabilidade em domınios J-mensuraveis)

Seja f : X → IR uma funcao limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Consideremos um bloco A ⊂ IRm que contenha X e a extensao de f a uma funcao

f : A→ IR dada por f(x) =

f(x) se x ∈ X

0 se x ∈ A\X.

Dizemos que f : X → IR e INTEGRAVEL quando a funcao f : A→ IR dada acima for

integravel e definimos ∫X

f(x) dx =

∫A

f(x) dx

Teorema 5.20. (Caracterizacao das funcoes integraveis)

Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel.

Uma funcao limitada f : X → IR e integravel se, e somente se, o conjunto Df de seus

pontos de descontinuidade tem medida nula.

Demonstracao:

Se f e descontınua em x ∈ X , entao f tambem e descontınua em x. Daı segue Df ⊂ Def .

Se f e descontınua em x, entao x ∈ Df ou x ∈ frX . Logo Def ⊂ Df ∪ frX .

Podemos escrever portanto

Df ⊂ Def ⊂ Df ∪ frX .

Como frX tem medida nula (X e J-mensuravel), temos que

Df tem medida nula ⇔ Def tem medida nula

e o resultado segue.

Note que, a partir da demonstracao acima, a integrabilidade de f nao depende do bloco

A ⊃ X tomado para a construcao da extensao f .

Mostra-se tambem que o valor da integral nao depende do bloco A ⊃ X tomado para a

construcao da extensao f .(ex)


Teorema 5.21. Sejam f, g : X → IR integraveis no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Entao:

(a) A funcao f + g : X → IR e integravel e∫X

[f(x) + g(x)] dx =

∫X

f(x) dx+

∫X

g(x) dx

(b) Para todo c ∈ IR , a funcao c · f : X → IR e integravel e∫X

(c · f)(x) dx = c ·∫

X

f(x) dx

(c) Se f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ X entao

∫X

f(x) dx ≥∫

X

g(x) dx .

Em particular, se m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ X entao

m · vol. X ≤∫

X

f(x) dx ≤ M · vol. X .

(d) A funcao |f(x)| e integravel e∣∣∣∣∫X

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f(x)| dx .

Em particular, se |f(x)| ≤ K para todo x ∈ X entao∣∣∣∣∫X

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ K · vol. X .

(e) (Valor medio para integrais) Se f e contınua e X e conexo, entao existe c ∈ X tal que∫X

f(x) dx = f(c) · vol. X .

Teorema 5.22. Sejam X, Y ⊂ IRm conjuntos J-mensuraveis. Uma funcao f : X ∪ Y → IR

e integravel se, e somente se, suas restricoes a X e a Y sao integraveis. Em caso afirmativo,

temos ∫X∪Y

f(x) dx+

∫X∩Y

f(x) dx =

∫X

f(x) dx+

∫Y

f(x) dx(?)

Corolario 1. Seja f : X → IR integravel no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Se Y ⊂ X e J-mensuravel e X\Y tem interior vazio, entao

∫X

f(x) dx =

∫Y

f(x) dx .(ex)

102 CAPITULO 5

5.4 Somas de Riemann

Definicao 5.23. (Decomposicoes pontilhadas)

Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel.

Uma DECOMPOSICAO de X e uma colecao finita D = X1, X2, . . . , Xk de conjuntos

J-mensuraveis tais que X = X1 ∪ . . . ∪Xk e int (Xi ∩Xj) = φ se i 6= j .

A NORMA da decomposicao D e o numero ‖D‖ = maior diametro dos conjuntos Xi ∈ D .

Uma DECOMPOSICAO PONTILHADA de X e um par D∗ = (D, (ξi) ) , onde

D = X1 ∪X2 ∪ . . . ∪Xk e uma decomposicao de X ,

ξ1 ∈ X1 , ξ2 ∈ X2 , . . . , ξk ∈ Xk .

Definicao 5.24. (Somas de Riemann)

A SOMA DE RIEMANN de f relativamente a decomposicao pontilhada D∗ = (D, (ξi) )

e definida por ∑(f ;D∗) =

k∑i=1

f(ξi) · vol. Xi .

O principal objetivo desta secao e provar o seguinte resultado:

Teorema 5.25. (A integral como limite de somas de Riemann)

Seja f : X → IR uma funcao limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

A fim de que f seja integravel e necessario e suficiente que exista o limite I = lim‖D‖→0

∑(f ;D∗) .

No caso afirmativo, temos ∫X

f(x) dx = lim‖D‖→0

∑(f ;D∗) .

Obs.: A existencia do limite acima significa que, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter

δ > 0 tal que ∣∣∣∣ ∫X

f(x) dx −∑

(f ;D∗)

∣∣∣∣ < ε

seja qual for a decomposicao D de X com ‖D‖ < δ e seja qual for a maneira D∗ de pontilhar

essa decomposicao.


Para demonstrar o Teorema 5.25, utilizaremos os seguintes resultados:

Lema 5.26. Sejam Y ⊂ X ⊂ IRm J-mensuraveis, com vol. Y = 0 . Para todo ε > 0 dado,

existe δ > 0 tal que, se D e qualquer decomposicao de X com |D| < δ entao a soma dos

volumes dos conjuntos Xi ⊂ D tais que d(Xi, Y ) < δ e menor do que ε .

Teorema 5.27. Para toda funcao f : X → IR , limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm ,

tem-se

−

∫X

f(x) dx = lim|D|→0

s(f ;D) e

−∫X

f(x) dx = lim|D|→0

S(f ;D)

Corolario 1. (da demonstracao) Se f : X → IR e limitada e nao-negativa no conjunto

J-mensuravel X ⊂ IRm entao

−

∫X

f(x) dx = supDs(f ;D) e

−∫X

f(x) dx = infDS(f ;D)

Demonstracao do Teorema 5.25:

104 CAPITULO 5

Outro resultado que nos sera util no futuro e o ...

Corolario 1. (Lema de Duhamel) Seja f : X → IR integravel no conjunto J-mensuravel

X ⊂ IRm . Para cada decomposicao D = X1, . . . , Xk de X, suponhamos dados numeros

η1 = η1(D), . . . , ηk = ηk(D) tais que lim|D|→0

ηi = 0 .

(isto significa que, para qualquer ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que |D| < δ ⇒|ηi(D)| < ε ∀ i = 1, . . . , k ).

Nestas condicoes, tem-se

lim|D|→0

∑[f(ξi) + ηi] vol. Xi =

∫X

f(x) dx


5.5 Integracao repetida

Teorema 5.28. (Teorema da integracao repetida) Seja f : A1 × A2 → IR integravel no

produto dos blocos A1 ⊂ IRm e A2 ⊂ IRn . Para todo x ∈ A1 , seja fx : A2 → IR definida

por fx(y) = f(x, y) e ponhamos

ϕ(x) =−

∫A2

fx(y) dy , ψ(x) =

−∫A2

fx(y) dy .

As funcoes ϕ , ψ : A1 → IR assim definidas sao integraveis, com∫A1

ϕ(x) dx =

∫A1

ψ(x) dx =

∫A1×A2

f(x, y) dxdy , isto e

∫A1×A2

f(x, y) dxdy =

∫A1

(−

∫A2

f(x, y) dy

)dx =

∫A1

( −∫A2

f(x, y) dy

)dx

Demonstracao:

106 CAPITULO 5

Corolario 1. Se f : A1 × A2 → IR e integravel entao∫A1

( −∫A2

f(x, y) dy

)dx =

∫A2

( −∫A1

f(x, y) dx

)dy =

∫A1×A2

f(x, y) dxdy e

valem mais 3 igualdades analogas, que se obtem tomando outras integrais inferiores e superiores

dentro dos parenteses.

Em particular, se fx e fy sao contınuas para quaisquer x ∈ A1 e y ∈ A2 (por exemplo,

se f e contınua) entao∫A1×A2

f(x, y) dxdy =

∫A1

(∫A2

f(x, y) dy

)dx =

∫A2

( ∫A1

f(x, y) dx

)dy

5.6 Mudanca de variaveis

Lema 5.29. Sejam ϕ : IR → IR dada por ϕ(x) = αx + β , com α 6= 0 e I ⊂ IR um

intervalo compacto. Dada f : J → IR limitada no intervalo J = ϕ(I) , tem-se−∫J

f(y) dy =

−∫I

f(αx+ β) |α| dx

Corolario 1. Sejam Y ⊂ IR um conjunto arbitrario, [a, b] um intervalo contendo Y e sua

imagem ϕ(Y ) (onde ϕ(x) = αx+β ) e f : [a, b] → IR uma funcao limitada que se anula fora

de ϕ(Y ). Entao−∫ b

a

f(y) dy =

−∫ b

a

f(αx+ β) |α| dx


Exercıcio∗: Mostre que toda transformacao linear invertıvel T : IRm → IRm se exprime

como produto (composicao) de transformacoes elementares (e invertıveis) dos dois tipos abaixo:

Tipo 1: x = (x1, x2, . . . , xm) 7→ T1(x) = (ϕ(x), x2. . . . , xm) sendo ϕ ∈ (IRm)∗ ;

Tipo 2: x = (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xm) 7→ T2(x) = (x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xm) .

Teorema 5.30. (Caso linear) Sejam T : IRm → IRm uma transformacao linear invertıvel,

X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel e f : T (X) → IR uma funcao integravel. Entao∫T (X)

f(y) dy =

∫X

f(Tx). |detT | dx

Demonstracao:

108 CAPITULO 5

Corolario 1. Seja X ⊂ IRm um conjunto J-mensuravel. Para toda transformacao linear

T : IRm → IRm tem-se

vol. T (X) = |detT | . vol. X

Lema 5.31. Sejam X(compacto) ⊂ U(aberto) ⊂ IRm e ϕ : U × U → IR contınua, com

ϕ(x, x) = 1 para todo x ∈ X . Dado ε > 0 , pode-se obter δ > 0 tal que |ϕ(x, y)− 1| < ε

quaisquer que sejam x, y ∈ X com |y − x| < δ .


Lema 5.32. Sejam U, V ⊂ IRm abertos, h : U → V um difeomorfismo de classe C1 ,

X ⊂ U um compacto J-mensuravel e N = N(h;X) = sup |h′(x)| ; x ∈ X .

Entao h(X) e J-mensuravel e vol. h(X) ≤ Nm · vol. X .

110 CAPITULO 5

Teorema 5.33. (Teorema de mudanca de variaveis) Sejam h : U → V um difeomorfismo de

classe C1 entre abertos U, V ⊂ IRm , X ⊂ U um compacto J-mensuravel e f : h(X) → IR

uma funcao integravel.

Entao f h : X → IR e integravel e∫h(X)

f(y) dy =

∫X

f(h(x)). |deth′(x)| dx

Demonstracao:

112 CAPITULO 5

5.7 Exercıcios

1. Se P = P1 × . . . × Pm e Q = Q1 × . . . × Qm sao particoes de um bloco m-dimensional

A ⊂ IRm , temos P ⊂ Q se, e somente se, P1 ⊂ Q1 , . . . , Pm ⊂ Qm .

2. Se P e Q sao particoes do bloco A ⊂ IRm com P ⊂ Q e f : A → IR e uma funcao

limitada, entao

s(f ;P ) ≤ s(f ;Q) ≤ S(f ;Q) ≤ S(f ;P )

3. Seja A ⊂ IRm um bloco m-dimensional. Use o Teorema 5.9 para provar que toda funcao

contınua f : A→ IR e integravel.

4. Sejam f : X ⊂ IRm → IR uma funcao limitada, x ∈ X e wf (x) a OSCILACAO DE f

NO PONTO x. Mostre que:

(a) wf (x) = 0 se, e somente se, f e contınua no ponto x.

(b) Se x ∈ intY e Y ⊂ X , entao wf (x) ≤ wf (Y ) .

5. Seja A ⊂ IRm um bloco m-dimensional. Mostre: Dada qualquer cobertura enumeravel

A ⊂⋃k∈IN

Ak de X por blocos abertos Ak tem-se∑

k

vol. Ak ≥ vol. A > 0 . Em particular,

A nao tem medida nula.

6. Se X ⊂ IRm tem medida nula e f : X → IRm e localmente lipschitziana, entao f(X)

tem medida nula.

7. Se f, g : A → IR sao funcoes integraveis no bloco m-dimensional A ⊂ IRm , prove que o

produto f.g e integravel em A e vale a desigualdade de Schwarz[∫A

f(x).g(x) dx

]2

≤∫

A

f(x)2 dx ·∫

A

g(x)2 dx .

8. Prove que todo bloco m-dimensional A ⊂ IRm e J-mensuravel e seu volume segundo

Jordan coincide com o volume antes definido apenas para blocos m-dimensionais no IRm .

9. Se X ⊂ IRm e J-mensuravel, mostre que

vol. X = 0 ⇔ X tem medida nula ⇔ intX = φ

10. Se X ⊂ IRm tem volume zero, mostre que o mesmo ocorre com clX . E medida nula ?


11. Se uma sequencia de funcoes fk : A→ IR , integraveis no bloco m-dimensional A ⊂ IRm ,

converge uniformemente para uma funcao f : A→ IR entao f e integravel em A e

limk→∞

∫A

fk(x) =

∫A

f(x) dx .

12. Se f : A→ IR e integravel no bloco m-dimensional A ⊂ IRm entao, para todo δ > 0 , o

conjunto Eδ = x ∈ A ; ω(f ;x) ≥ 0 tem volume zero.

13. Seja h : U → V um difeomorfismo de classe C1 entre abertos U, V ⊂ IRm .

Mostre que X ⊂ U e J-mensuravel se, e somente se, Y = h(X) e J-mensuravel.

14. Seja f : X → IR uma funcao integravel no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm .

Mostre que o valor da integral,∫X

f(x) dx =

∫A

f(x) dx

nao depende do bloco m-dimensional A ⊃ X tomado para a construcao da extensao f .

15. Sejam f : X → IR contınua, limitada no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm e x0 ∈ X .

Para cada n ∈ IN seja Xn um conjunto J-mensuravel de volume positivo tal que

Xn ⊂ X ∩B(x0; 1/n) . Prove que

limn→∞

1

vol. Xn

∫Xn

f(x) dx = f(x0) .

16. Seja f : X → IR integravel no conjunto J-mensuravel X ⊂ IRm . Prove:

Se Y ⊂ X e J-mensuravel e X\Y tem interior vazio, entao

∫X

f(x) dx =

∫Y

f(x) dx .

17. Seja T2 : IRm → IRm uma transformacao linear do tipo

x = (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xm) 7→ T2(x) = (x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xm) .

Se B ⊂ IRm e um bloco m-dimensional, e claro que vol. T2(B) = vol. B . Mostre que:

(a) Z ⊂ IRm J-mensuravel ⇒ vol. T2(Z) = vol. Z

(b) X = X1 ∪X2 ∪ . . . ∪Xk e uma decomposicao de X se, e somente se, temos que

Y = T2(X) = T2(X1) ∪ T2(X2) ∪ . . . ∪ T2(Xk) e uma decomposicao de Y = T2(X) .

18. Sejam ϕ : [a, b] → IR e ψ : [c, d] → IR integraveis. A funcao f : [a, b] × [c, d] → IR ,

definidano retangulo A = [a, b]× [c, d] por f(x, y) = ϕ(x).ψ(y) e integravel e∫A

f(x, y) dxdy =

(∫ b

a

ϕ(x) dx

).

(∫ d

c

ψ(y) dy

).

114 CAPITULO 5

19. Supondo o Teorema de Mudanca de Variaveis (Teo 5.33) valido apenas para funcoes nao-

negativas, prove o resultado geral (ou seja, mostre que em sua demonstracao podemos supor

f ≥ 0 SEM PERDA DE GENERALIDADE).

20. Sejam f : U(aberto) ⊂ IRm → IRm ∈ C1(U) e a ∈ U tais que f ′(a) e um isomorfismo.

Mostre que

limr→0

vol. f(B[a; r])

vol. B[a; r]= | det f ′(a) | .

21. Seja f : IRm → IRm um difeomorfismo tal que f(B) ⊂ B , onde B e a bola unitaria

fechada do IRm , e | det f ′(x) | < 1 para todo x ∈ B .

Prove que, para toda funcao contınua g : B → IR tem-se

limn→∞

∫fn(B)

g(x) dx = 0 onde fn = f f . . . f (n fatores)

22. Sejam B4 a bola unitaria fechada (norma euclidiana) no IR4 e B3 a bola analoga em IR3.

(a) Use coordenadas polares para calcular o volume de B3 .

(b) Usando coordenadas esfericas, mostre que vol. B4 = π2/2 e generalize para obter o

volume de uma bola fechada de raio r em IR4 .

Referencias

[1] Bartle, Robert G., Elementos de Analise Real, Editora Campus

[2] Lima, Elon L., Curso de Analise, vol. 2, Projeto Euclides, IMPA

[3] Lima, Elon L., Analise no Espaco IRn, Editora Edgard Blucher LTDA.

[4] Lima, Elon L., Analise Real, vol. 2, Colecao Matematica Universitaria, IMPA

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notas de aulas andr´e arbex hallack agosto/2008 - ufjf.br · pdf file3 derivadas de...

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