1. TRIGONOMETRIA NOES DE GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA PROFESSORA ROSNIA 1

2. NOES DE GEOMETRIA PERMETRO soma dos lados de um polgono qualquer. O permetro do quadrado : 12 O permetro do tringulo 12 PROFESSORA ROSNIA 2 3. REA - a medida de superfcie rea de um tringulo base altura PROFESSORA ROSNIA 3 4. rea do quadrado A = a PROFESSORA ROSNIA 4 5. rea do retngulo A = a . b PROFESSORA ROSNIA 5 6. rea do Paralelogramo A = a . b PROFESSORA ROSNIA 6 7. rea do losango PROFESSORA ROSNIA 7 8. rea do Trapzio PROFESSORA ROSNIA 8 9. Circunferncia e Crculo Circunferncia lugar geomtrico dos pontos que possuem a mesma distncia de um determinado ponto, chamado CENTRO. .C PROFESSORA ROSNIA 9 10. Crculo a unio da circunferncia com o seu anterior. .C PROFESSORA ROSNIA 1 0 11. CONCEITOS IMPORTANTES RAIO a distncia do centro a qualquer ponto da circunferncia. .C O raio a metade do dimetro PROFESSORA ROSNIA 11 12. Dimetro uma corda que passa pelo centro ( mede o dobro do raio). . C Dimetro duas vezes o raio PROFESSORA ROSNIA 12 13. O NMERO (Pi) Imagine uma circunferncia e seu respectivo dimetro. . C Imagine que o crculo seja cortado e esticado. Se compararmos o tamanho do dimetro com essa linha, veremos que ela 3,14 vezes maior. PROFESSORA ROSNIA 13 14. Permetro da circunferncia rea do crculo PROFESSORA ROSNIA 14 15. EXERCCIOS RESOLVIDOS PROFESSORA ROSNIA 15 16. 1. Calcule o permetro das figuras abaixo: P = 2 + 4 + 5 + 7 = 18 P = 4 . 5 = 20 PROFESSORA ROSNIA 16 17. 2. Calcule a rea das figuras abaixo: QUADRADO A = a A = 5 = 25 PROFESSORA ROSNIA 17 18. CRCULO RETNGULO PROFESSORA ROSNIA 18 19. TRINGULO PARALELOGRAMO A = a . bA = 5.3 = 15 Obs: a altura perpendicular ao lado PROFESSORA ROSNIA 19 20. LOSANGO PROFESSORA ROSNIA 20 21. NOES DE TRIGONOMETRIA RETA, SEMI-RETA E SEGMENTO DE RETA r s t reta Semi-reta Segmento de reta PROFESSORA ROSNIA 21 22. NGULOS a unio de duas semi-retas distantes que possuem uma origem comum. r s O A B NGULO PROFESSORA ROSNIA 22 23. ngulos Consecutivos quando dois ngulos possuem um lado em comum. r s O A B t C AB e AC so consecutivos porque tem um lado em comum PROFESSORA ROSNIA 23 24. ngulos Adjacentes - quando dois ngulos consecutivos no possurem pontos internos comuns eles sero adjacentes. s O A B t C AB e BC so consecutivos, pois OB um lado comum e so adjacentes pois no possuem pontos internos comuns PROFESSORA ROSNIA 2 4 25. MEDIDA DE NGULOS Se dividirmos um crculo em 360 fatias finas, cada uma dessas fatias poder ser chamada de grau. 0 90 180 270 PROFESSORA ROSNIA 25 26. ngulo Raso o ngulo formado entre um segmento de reta e o seu prolongamento. (180) 180 PROFESSORA ROSNIA 26 27. ngulo Reto possui a metade de um ngulo raso e mede 90. PROFESSORA ROSNIA 27 28. TRINGULO Figura geomtrica que apresenta 3 lados e 3 ngulos internos. PROFESSORA ROSNIA 2 8 29. Tringulo retngulo Aquele em que um dos ngulos internos apresenta 90 pai da trigonometria PROFESSORA ROSNIA 29 30. ELEMENTOS DO TRINGULO RETANGULO HIPOTENUSA lado oposto ao ngulo de 90 (maior lado) CATETOS lados que formam o ngulo de 90 PROFESSORA ROSNIA 30 31. TEOREMA DE PITGORAS RELAO ENTRE OS LADOS DO TRINGULO RETNGULO a = b + c EX: Em um tringulo retngulo os catetos medem 3 e 4. determine a medida da hipotenusa. a = 3 + 4 a = 9 + 16 a = 25 a = 5 PROFESSORA ROSNIA 31 32. CATETO OPOSTO E CATETO ADJACENTE CATETO OPOSTO o cateto que no participa de um ngulo. CATETO ADJACENTE o cateto que participa de um ngulo. PROFESSORA ROSNIA 32 33. Razes Trigonomtricas SENO razo entre cateto oposto e a hipotenusa COSSENO razo entre cateto adjacente e a hipotenusa. TANGENTE razo entre cateto oposto e cateto adjacente.(ou seno sobre cosseno PROFESSORA ROSNIA 3 3 34. Exemplificando PROFESSORA ROSNIA 34 35. ngulos Notveis So ngulos de 30, 45 e 60 e seus respectivos valores de seno, cosseno e tangente. 30 45 60 SENO COSSENO TANGENTE PROFESSORA ROSNIA 35 36. EXERCICIOS RESOLVIDOS 1. Calcule x: x = 3 + 4 x = 9 + 16 x = 25 x = 5 10 = x + 8 100 = x + 64 - x = 64 - 100 - X = - 36 X = 36 x = 6 PROFESSORA ROSNIA 36 37. x + 5 (x + 6) = (x + 5) + (x - 2) x +12x + 36 = (x + 10x + 25) + (x - 4x + 4) x +12x + 36 = x + 10x + 25 + x - 4x + 4 x +12x + 36 = 2x + 6x + 29 x +12x + 36 2x - 6x 29 = 0 - x + 6x + 7 = 0 (-1) x - 6x 7x = 0 x = -1 ou x = 7 Obs: subst. X por qualquer lado no pode ficar negativo no resultado. Ex: x 2 - 1 2 = 3 ??? PROFESSORA ROSNIA 37 38. 2. Qual a medida da diagonal de um quadrado de lado 3? PROFESSORA ROSNIA 38 39. 3. Qual a medida da altura de um tringulo equiltero de lado 6? 6 h 6 6h 3 273 9 3 3 3 1 PROFESSORA ROSNIA 39 40. 4. Determine x e seno de alfa: . x 104 2 52 2 26 2 13 13 1 Seno de alfa = co/h PROFESSORA ROSNIA 40 41. E se quisssemos achar a Tangente de 17 ???? Desenhe um tringulo retngulo com um ngulo de 17, mea seus lados. A razo entre o cateto oposto ao ngulo de 17 graus e o cateto adjacente ao mesmo ngulo dar a tangente do ngulo de 17. 19,2cm 5,2cm 17 PROFESSORA ROSNIA 41 42. Exemplo de aplicao Um navegador avista do seu barco uma montanha de altura conhecida (4000m). Observando a montanha com um instrumento especial (ex: um astrolbio) ele consegue medir um ngulo de 17 entre a base e o topo vistos se sua posio atual. A qual distncia est a montanha? x 4000m 17 PROFESSORA ROSNIA 42 43. x 4000m 17 Cateto oposto Cateto adjacente PROFESSORA ROSNIA 43 44. 1. Um avio levanta voo sob um ngulo constante de 20. Aps percorrer 2 000 metros em linha reta, qual ser a altura atingida pelo avio, aproximadamente? (Utilize: sem 20 = 0,342; cos 20 = 0,94 e tg 20 = 0,364) EXERCICIOS A altura atingida pelo avio ser de 684 metros. PROFESSORA ROSNIA 44 45. 2. Um avio decola, percorrendo uma trajetria retilnea, formando com o solo, um ngulo de 30 (suponha que a regio sobrevoada pelo avio seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avio? A altura ser de 500 metros. PROFESSORA ROSNIA 45 46. a) No tringulo retngulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14) cos 65 = y / 9 0,42 . 9 = y y = 3,78 sen 65 = x /9 0,91 . 9 = x x = 8,19 PROFESSORA ROSNIA 46 47. b) Considerando o tringulo retngulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60 = 0,866) PROFESSORA ROSNIA 47 48. Nos tringulos das figuras abaixo, calcule tg , tg , tg : tg = 48 / 14 = 24 / 7 tg = 14 / 48 = 7 / 24 tg = / = 1 tg = / = 1 16 = 2 + x x = 252 x = tg = 2 / = / 21 tg = / 2 = 3 PROFESSORA ROSNIA 48 49. MEDIDAS DO NGULO Nossas duas principais medidas so o GRAU e o RADIANO 90 180 270 400 = 360 + 40 PROFESSORA ROSNIA 49 50. CONVERSO DE GRAUS EM RADIANOS Ex: converter 30 em radianos GRAUS RADIANOS PROFESSORA ROSNIA 50 51. y x 1 1- 1 - 1 0 O crculo trigonomtrico uma circunferncia de raio unitrio com centro na origem do plano cartesiano. PROFESSORA ROSNIA 51 52. Qualquer ponto no crculo trigonomtrico possui pelo menos 3 caractersticas: a) Um ngulo associado b) Uma abscissa (cosseno) c) Uma ordenada (seno) y x 1 1- 1 - 1 0 30 30 PROFESSORA ROSNIA 52 53. OS QUADRANTES 90 180 270 X Y O crculo trigonomtrico possui 4 quadrantes Para os ngulos localizados nos eixos (0, 90, 180, 270 e 360 no definido o quadrante. PROFESSORA ROSNIA 53 54. NGULOS CNGRUOS Se dois valores esto relacionadas com as mesmas posies no Ciclo Trigonomtrico, dizemos que eles so CNGRUOS y x 0 y x 0 45 405 Os ngulos de 45 e 405 so CNGRUOS PROFESSORA ROSNIA 54 55. Os ngulos no crculo trigonomtrico so medidos no sentido anti-horrio. Um ngulo negativo significa que ele est sendo medido no sentido horrio. y x 0 45 y x 0 - 315 Os ngulos de 45 e - 315 so CNGRUOS PROFESSORA ROSNIA 55