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UNIVERSIDADE DE ITANA Nivelamento em Matemtica

Prof. Tarcsio Valrio Diniz 1

UNIDADE II NOES ALGBRICAS

I - ) MONMIOS

1-) Monmio a uma varivel

Chamamos monmio a uma varivel a toda expresso da forma nxa. onde Ra (coeficiente),

Nn ( expoente da varivel ). A letra x chamada de varivel, pois pode assumir qualquer

valor real.

Exemplo: 37

5x

==

=

ivelx

iveldaoente

ecoeficient

var

varexp37

5

Obs: A varivel no tem necessariamente de ser representada pela letra x , podendo ser qualquer letra do alfabeto.

Se no monmio 37

5x fizermos 2=x , seu valor numrico passa a ser ( ) ( )8.

7

52.

7

5 3 =

= 7

40+

O grau de um monmio de uma varivel dado pelo valor do expoente dessa varivel. O monmio do exemplo acima de terceiro grau.

2-) Monmio com mais de uma varivel

Como o nome j indica, o monmio que possui mais de uma varivel e elas formam um

produto. Exemplo: 237

5yx um monmio de duas variveis ( x e y ).

Neste caso, o grau do monmio dado pela soma dos expoentes das variveis. O monmio do nosso exemplo de quinto grau.

Um monmio dividido em duas partes: coeficiente ( parte numrica ) e parte literal ( expresso formada pelas letras ).

No nosso exemplo, o coeficiente 7

5 e a parte literal 23 yx .

3-) Monmios semelhantes

Dois monmios so semelhantes quando tm a mesma parte literal. Ex: 237

5yx e

239 yx so monmios semelhantes.



4-) Operaes com monmios

A-) Adio e Subtrao

Somente podemos somar ou subtrair monmios que forem semelhantes e para isto, somamos ou subtramos os coeficientes e conservamos a parte literal.

Exemplos

1-) 222 853 xxx =+

2-) 535353 572 yxyxyx =+

Obs: A adio 23 32 xx + no pode ser efetuada pois os monmios no so semelhantes.

B-) Multiplicao

Mostraremos a multiplicao atravs de exemplos:

1-) ( ) ( ) 853253 105.2 yxyxyx = ( veja que multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes das variveis pois para multiplicar potncias de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. )

2-) ( ) ( ) 28525332 62.3 dcbadbacba = C-) Diviso

Procedemos do mesmo modo da multiplicao

Exemplos:

1-) ( ) ( ) 32

525 4

3

123:12 x

x

xxx == ( na diviso de potncias de mesma base conservamos a base

e subtramos os expoentes.

2-) ( ) ( ) 332

45245

2

3

2

32:3 yx

yx

yxyxyx ==

D-) Potenciao

Para elevarmos um monmio a um expoente, elevamos o coeficiente e a parte literal a esse expoente.



Exemplos:

1-) ( ) ( ) 20124534453 16.22 yxyxyx == ( Para efetuarmos uma potncia de outra potncia, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.)

2-) 2462

239

4

3

2cbacba =

E-) Radiciao

Procedemos do mesmo modo da potenciao

Exemplos:

1-) 53106 525 yxyx = ( Note que os expoentes das variveis foram divididos por 2, que o

ndice da raiz.)

2-) 53106 77 yxyx =

II - ) POLINMIOS

Chamamos polinmio soma indicada de dois ou mais monmios no semelhantes.

Se forem dois monmios, teremos um polinmio chamado de binmio e se forem trs, trinmio. Se forem quatro ou mais, ser chamado simplesmente de polinmio

Exemplos:

1-) 53 2 +x um binmio de uma varivel.

2-) yxyxyx 352 5423 + um trinmio de duas variveis.

O grau de um polinmio dado pelo grau do monmio de maior grau. Assim, nos exemplos acima, o primeiro um polinmio de segundo grau e o segundo, um polinmio de nono grau.

Valor Numrico de um Polinmio

o valor que o polinmio assume quando atribumos valores numricos s suas variveis.

Exemplo: calcule o valor numrico do polinmio ( ) 51032 23 ++= xxxxP quando 2=x .

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

35201216

52104382

521023222 23

=+=+++=

++=P



Operaes com polinmios

Iremos enfocar em nosso curso as operaes com polinmios a uma varivel.

1-) Adio e Subtrao

Fazemos as adies e subtraes dos monmios semelhantes , montando um novo polinmio

Veja o exemplo seguinte:

Sejam ( ) 51032 23 ++= xxxxP e ( ) 1745 23 ++= xxxxQ

Calcule:

A) ( ) ( )xQxP + B) ( ) ( )xQxP

Soluo:

A) ( ) ( )xQxP + = ( ) +++ 51032 23 xxx ( )1745 23 ++ xxx = 51032 23 ++ xxx + 1745 23 ++ xxx

= 157104352 2233 +++++ xxxxxx

= 4173 23 + xxx

B) ( ) ( )xQxP = ( ) ++ 51032 23 xxx ( )1745 23 ++ xxx = 51032 23 ++ xxx - 1745 23 + xxx

= 157104352 2233 +++ xxxxxx

= 6377 23 ++ xxx

2-) MULTIPLICAO

Multiplicamos cada monmio do primeiro polinmio por cada monmio do segundo, juntamos os

monmios semelhantes e formamos um novo polinmio

Ex: Considerando os polinmios ( )xP = 532 23 + xx e ( )xQ = 1745 23 ++ xxx calcule

( ) ( )xQxP



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15754555

13734353

12724252

23

222232

332333

++++++

+++++++++++

++++++=

xxx

xxxxxxx

xxxxxxx

Fazendo os produtos, temos:

53520253211215214810 2323453456 +++++ xxxxxxxxxxx

Agrupando e ordenando os termos semelhantes:

( ) ( ) ( ) ( ) 53520325212121415810 2233344556 +++++++++ xxxxxxxxxxx = 535236262310 23456 ++ xxxxxx que o resultado da multiplicao.

3-) Diviso

Trataremos neste item operaes que envolvem polinmios de uma varivel.

A-) Diviso de polinmio por monmio

Dividimos cada termo do polinmio pelo monmio

Ex: ( ) ( ) xxxxxxx 5346301824 24235 +=+ B-) Diviso de polinmio por polinmio

Usaremos o mtodo da chave que montaremos a seguir:

- Ordenamos e completamos os polinmios dividendo e divisor

- Colocamos na chave de diviso e comeamos a operao que descreveremos passo a passo a seguir,

utilizando de um exemplo.

Seja calcular o quociente e o resto da diviso seguinte:

( ) ( )37353 234 ++ xxxx 1 passo: 3073053 2234 ++++ xxxxxx

Observe que os termos 20 x e x0 foram colocados para completar os polinmios em potncias

decrescentes de x



2 passo: Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, colocamos abaixo da chave e, a seguir, multiplicamos o resultado encontrado por cada termo do polinmio divisor, invertemos os sinais e colocamos abaixo do dividendo, somando as parcelas e obtendo o primeiro resto.

3073053 2234 ++++ xxxxxx

3 passo: Baixamos o prximo termo do dividendo,dividimos o primeiro termo do resto pelo primeiro termo do divisor, colocamos abaixo da chave e, a seguir, multiplicamos o resultado encontrado por cada termo do polinmio divisor, invertemos os sinais e colocamos abaixo do resto, somando as parcelas e obtendo o segundo resto.

30730532234 ++++ xxxxxx

4 passo: procedemos como no terceiro passo e conclumos a diviso.

30730532234 ++++ xxxxxx

Observe que neste mtodo, repetimos a operao at que o resto da diviso ficou com o grau menor que o grau do divisor.

Portanto, o quociente da diviso ( ) 953 2 = xxxQ e o resto ( ) 2018 += xxR

Quando o resto da diviso zero, dizemos que um polinmio divisvel pelo outro.

23 x234 903 xxx

23 95 xx

x3+

23 x234 903 xxx

23 95 xx

x5

xxx 1505 23 ++

x3+

xx 189 2 + 7

9

2709 2 ++ xx

2018 +x

x5234 903 xxx

23 95 xx

xxx 1505 23 ++

23 x

xx 189 2 +



4-) Diviso por ( )cx

Teorema do resto:

O resto da diviso de um polinmio por ( )cx igual a ( )cP

Exemplo: Determine o resto da diviso de ( ) 3752 23 += xxxxP por ( ) 2= xxQ

( ) ( ) ( ) ( ) 32.72.52.22 23 +=P = 7

Assim, o resto da diviso de ( ) 3752 23 += xxxxP por ( ) 2= xxQ igual a 7

Verificao: 3752 23 + xxx 2x

Observe que o resto da diviso ficou igual a 7 como estava previsto.

Para efetuarmos a diviso de um polinmio por podemos usar um dispositivo chamado dispositivo prtico de Briot-Ruffini, que descreveremos a seguir, utilizando o exemplo anterior:

1 passo:

O nmero 2 colocado no dispositivo o valor de c em x - c

Os nmero 2 , - 5, 7, - 3 so os coeficientes do polinmio dividendo.

22 x23 42 xx +

xx 72 +

x

xx 22

35 x

5+

105 + x

7

( )cx

2

2 3752



2 passo: baixamos o primeiro coeficiente :

3 passo: Efetuamos as operaes indicadas abaixo, pelas setas

4 passo: procedemos como no terceiro passo at chegarmos ao ltimo nmero.

5 passo: colocamos as variveis no quociente obtido:

Portanto, o resultado da diviso 52 2 + xx e o resto ,o que confere integralmente com

o resultado obtido pelo mtodo da chave feito anteriormente.

A nossa sugesto que voc refaa os exemplos contidos neste texto, seguindo as orientaes dos mesmos e, a partir da, resolva os exerccios que sero sugeridos.

III- PRODUTOS NOTVEIS

A-) Quadrado da soma de dois termos

( ) ( ) ( ) 22222 2 bbaababbaabababa ++=+++=++=+

Ento, ( ) 222 2 bbaaba ++=+

Aplicao: calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )255323253 3322232 yyxxyx ++=+

2 3752

2

2 3752

2 1

+

5

2 3752

2

+

1

7

2 3752

2 1

+

5 7

2x x

7

RESTO

DIVISOR



Da, ( ) 10536253 912432 yyxxyx ++=+ B-) Quadrado da diferena entre dois termos

( ) ( ) ( ) 22222 2 bbaababbaabababa +=+==

Temos, ( ) 222 2 bbaaba +=

Aplicao: calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )255323253 3322232 yyxxyx += Portanto, ( ) 10536253 912432 yyxxyx +=

C-) Produto da soma pela diferena de dois termos

( ) ( ) 2222 bababbaababa =+=+

Ento, ( ) ( ) 22 bababa =+

Aplicao: calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) 6423223232 259535353 yxyxyxyx ==+ Conclumos : ( ) ( ) 643232 2595353 yxyxyx =+ D-) Quadrado da soma de trs termos

( ) ( ) ( ) 2222 cbcaccbbabcabaacbacbacba ++++++++=++++=++

Ou seja, ( ) cbcabacbacba 2222222 +++++=++

Veja o exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )532522322532532 232322223223 +++++=+ yxyxyxyx Teremos: ( ) 232346223 3020122594532 yxyxyxyx +++=+ E-) Cubo da soma de dois termos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3222232223 222 bbabababaabbaababababa +++++=+++=++=+ Da, ( ) 32233 33 bbabaaba +++=+

Veja o exemplo:



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3222322333323 3323323232 yyxyxxyx +++=+ Efetuando os clculos:

F-) Cubo da diferena de dois termos

Quando fazemos ( ) 3ba , do mesmo modo que fizemos o cubo da soma no item E, encontramos:

Veja o exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3222322333323 3323323232 yyxyxxyx += Efetuando os clculos:

OBSERVAO

Existem dois produtos que no so muito difundidos no ensino mdio, porm so de grande importncia para facilitarem vrios clculos algbricos.

A-) ( ) ( ) 3332222322 babbaabbabaabbaaba +=+++=++ Portanto, ( ) ( ) 3322 babbaaba +=++ Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 363322242 12527532515953 yxyxyyxxyx +=+=++ B-) ( ) ( ) 3332222322 babbaabbabaabbaaba =++=++ Portanto, ( ) ( ) 3322 babbaaba =++ Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 363322242 12527532515953 yxyxyyxxyx ==++

IV-) FATORAO

Uma parte da lgebra que de grande importncia para simplificaes de expresses, a fatorao.

Fatorar um polinmio, significa transform-lo em um produto.

Existem algumas regras bsicas de fatorao que merecem ser estudadas.

( ) 643269323 275436832 yyxyxxyx +++=+

( ) 32233 33 bbabaaba +=

( ) 643269323 275436832 yyxyxxyx +=+



A-) Colocar em evidncia um fator comum

Considere o polinmio ( ) 423453 241812 yxyxyxxP += .

Este polinmio poderia ser escrito sob a forma:

( ) ( )yxyxyxxP 432.6 2232 += que a forma fatorada do polinmio. Observe que os monmios dentro dos parnteses so o resultado da diviso de cada

monmio do polinmio dado por 326 yx que chamado fator comum entre os termos do

polinmio e foi colocado em evidncia ( vista, destacado ).

Quando efetuamos as operaes indicadas no polinmio fatorado, voltamos ao polinmio original.

O fator comum deve ser o maior divisor comum entre os termos.

B-) Fatorao por agrupamento

Existem polinmios que no tem um fator comum em todos os termos, porm, quando os agrupamos, temos fatores comuns dentro dos grupos.

Para fatorar esses polinmios, usamos a mesma tcnica da fatorao por evidncia duas vezes.

Veja o exemplo:

( ) 162045 23 += xxxxP

Ou seja, ( ) ( ) ( )45.445.2 = xxxxP

O polinmio ainda no est fatorado mas contm em seus dois termos um fator comum que 45 x

Usando novamente a tcnica da fatorao por evidncia:

( ) ( ) ( )4.45 2 = xxxP que a forma fatorada do polinmio dado. As outras tcnicas de fatorao so oriundas dos produtos notveis, atravs de uma anlise invertida.

( )45.2 xx ( )45.4 x



C-) Trinmio quadrado perfeito

( ) 222 2 babbaa +=++

( ) 222 2 babbaa =+

Vejamos como identificar um trinmio quadrado perfeito e como efetuar sua fatorao atravs de exemplos:

Ex 1: 93025 3264 ++ yxyx

Observemos que o ltimo sinal + ( condio obrigatria ) e a seguir:

3264 525 yxyx = ( o primeiro e o ltimo termos tm razes exatas )

39 =

A seguir, faamos o seguinte teste:

3264 525 yxyx =

39 =

Quando acontecem as condies acima, o trinmio quadrado perfeito e sua fatorao consiste em escrev-lo na forma de um quadrado da soma, ou seja,

( ) ( ) ( )35353593025 32322323264 ++=+=++ yxyxyxyxyx , que sua forma fatorada.

Ex 2: 93025 3264 + yxyx

Observemos que o ltimo sinal + ( condio obrigatria ) e a seguir:

3264 525 yxyx = ( o primeiro e o ltimo termos tm razes exatas )

39 =

A seguir, faamos o seguinte teste:

3264 525 yxyx =

39 =

mdiotermooqueyxyx 3232 30352 =

mdiotermooqueyxyx 3232 30352 =



Quando acontecem as condies acima, o trinmio quadrado perfeito e sua fatorao consiste em escrev-lo na forma de um quadrado da soma, ou seja,

( ) ( ) ( )35353593025 32322323264 ==+ yxyxyxyxyx , que sua forma fatorada. D-) Diferena de dois quadrados

Observe o binmio 2549 46 yx

( ) ( )5757525749

2323

2346

+=

=

yxyx

yxyx

Que a forma fatorada do polinmio.

E-) Soma e diferena de dois cubos

A-) 278 3 +x

( ) ( )9643232728

23

3 3

++=

=

xxx

xxPortanto, =+ 278 3x ( ) ( )96432 2 ++ xxx

B-) 6427 63 yx

( ) ( )1612943464327

24223

23 63

++=

=

yxyxyx

yxyx

Portanto, =+ 278 3x ( ) ( )1612943 422 ++ xyxyx F-) Usando o dispositivo de Briot-Ruffini

Quando conhecemos um nmero que anula um polinmio podemos fator-lo utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Este mtodo de fatorao muito utilizado no clculo de limites.

Veja o exemplo: O nmero -2 anula o polinmio ( ) 652 3 += xxxP pois quando calculamos

a b2a

ba. 2b

a b2a

ba. 2b



( ) ( ) ( ) 061016625222 3 =++=+=P

0342

65022

Portanto, ( ) 3422652 23 +=++ xxxxx e da,

( ) ( )3422652 23 ++=+ xxxxx EXERCCIOS

01-) Calcule:

A)

2324

5

3

2zyxyx Resp: 243

6

5zyx

B) 4

23

2

3

ba Resp: 81216

81ba

A) 6425 yx Resp: 325 yx

02-) Sendo ( ) 452 3 += xxxP , calcule:

A) ( )1P Resp: 7

B)

2

1P Resp:

4

7

03-) Considere os polinmios ( ) 13 35 ++= xxxxP , ( ) 324 += xxxQ e ( ) 2+= xxR . Calcule:

A) ( ) ( )xQxP + Resp: 43 2345 +++ xxxxx

A) ( ) ( )xQxP Resp: 334723 234579 ++++ xxxxxxx

04-) Considerando os polinmios ( )xP e ( )xR do exerccio anterior, determine o quociente e o resto da diviso de ( )xP por ( )xR atravs do mtodo da chave.

Resp: quociente: 51261363 234 ++ xxxx

resto: 101

05-) Resolva o exerccio anterior utilizando o mtodo de Briot-Ruffini

Resp: quociente: 51261363 234 ++ xxxx

resto: 101



06-) Calcule o resto da diviso de 172 23 ++ xx por 3+x utilizando o teorema do resto.

Resp: 10

07-) Desenvolva as operaes indicadas utilizando os produtos notveis:

A) ( )23 12 +x Resp: 144 36 ++ xx

B) ( ) 22 23 x Resp: 4129 24 + xx

C)

+ 5252 33

23

3

2yxyx Resp: 104 9

9

4yx

D) ( )32 1+x Resp: 133 246 +++ xxx

E) ( )33 12 x Resp: 16128 369 + xxx

F) ( )( )46923 242 ++ xxx Resp: 827 6 x

G) ( )( )96432 2 ++ xxx Resp: 278 3 +x 08-) Fatore os polinmios seguintes:

A) 3223 64 yxyx Resp: ( )yxyx 322 22

B) 1535 23 + xxx Resp: ( ) ( )532 xx C) 2549 64 ba Resp: ( ) ( )5757 3232 + baba D) 25204 2 ++ xx Resp: ( ) 252 +x

E) 133 23 + xxx Resp: ( ) 31x

F) 278 6 x Resp: ( ) ( )96432 242 ++ xxx 09-) Considere o polinmio ( ) 2652 3 += xxxP .

A) Calcule ( )2P Resp: 0

B) Fatore o polinmio ( )xP Resp: ( ) ( )13422 2 ++ xxx

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