Ênio silveira matemÁtica

ÊNIO SILVEIRA

MATEMÁTICACOMPREENSÃO E PRÁTICA

Componente curricular:MATEMÁTICA

6oano

MANUAL DO PROFESSOR

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o.

MANUAL DO PROFESSOR

5a edição

São Paulo, 2018

Componente curricular: MATEMÁTICA


ÊNIO SILVEIRAEngenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará.

Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.

oano6

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.

18-16948 CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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2018Impresso no Brasil

Coordenação editorial: Fabio Martins de LeonardoEdição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva RibeiroAssistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti MesquitaPreparação de texto: Mariane GenaroGerência de design e produção gráfica: Everson de PaulaCoordenação de produção: Patricia CostaSuporte administrativo editorial: Maria de Lourdes RodriguesCoordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira LeiteProjeto gráfico: Mariza de Souza PortoCapa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: DKart/Getty Images Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da SilvaEditoração eletrônica: Teclas EditorialEdição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio CohenIlustrações de vinhetas: ShutterstockCoordenação de revisão: Maristela S. CarrascoRevisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane OshimaCoordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza GabarronPesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana AlencarCoordenação de bureau: Rubens M. RodriguesTratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. BuzzinaroPré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória SousaCoordenação de produção industrial: Wendell MonteiroImpressão e acabamento:


Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática : manual do professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.

Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliografia.


18-16950 CDD-372.7



1 3 5 7 9 10 8 6 4 2







Coordenação editorial: Fabio Martins de LeonardoEdição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva RibeiroAssistência editorial: Carla Aparecida Loge, Thais Toldo AntonagiPreparação de texto: Mariane GenaroGerência de design e produção gráfica: Everson de PaulaCoordenação de produção: Patricia CostaSuporte administrativo editorial: Maria de Lourdes RodriguesCoordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira LeiteProjeto gráfico: Mariza de Souza PortoCapa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: DKart/Getty Images Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Paula de Sá BelluominiEditoração eletrônica: Teclas EditorialIlustrações de vinhetas: ShutterstockCoordenação de revisão: Maristela S. CarrascoRevisão: Cárita Negromonte, Know-how Editorial Ltda.Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza GabarronPesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana AlencarCoordenação de bureau: Rubens M. RodriguesTratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. BuzzinaroPré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória SousaCoordenação de produção industrial: Wendell MonteiroImpressão e acabamento:

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III

Sumário

Orientações gerais

• Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

• Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

• Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

• Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

• Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

• Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 6o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

• Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

• O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII

• A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX

• As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX

• O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

• Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI

• Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII

Orientações para o desenvolvimento das unidades

Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9Capítulo 1 Números naturais e sistemas de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Capítulo 2 Operações com números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Capítulo 3 Figuras geométricas espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Unidade II ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 87

Capítulo 4 Igualdades e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Capítulo 5 Múltiplos e divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Capítulo 6 Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Capítulo 7 Números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

Unidade III ............................................................................................................................................................................................................................................................................184

Capítulo 8 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

Capítulo 9 Figuras geométricas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Capítulo 10 Ampliação e redução de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Unidade IV ...........................................................................................................................................................................................................................................................................242

Capítulo 11 Grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Capítulo 12 Probabilidade e estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

IV

Orientações gerais

APRESENTAÇÃOEsta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do

Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na organização e gestão de suas aulas.

Esta coleção foi reformulada para atender os requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em suas reflexões.

O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer que o objetivo da aprendizagem escolar é a formação humana integral e que por esse motivo é necessário levar em consideração a vida pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, sejam de ordem científica.

Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área que estuda os processos de ensino e de aprendizagem e da Matemática; ou seja, partimos da compreen-são de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola.

Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate-mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado para continuar seus estudos.

1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, jul./dez.FE/Unicamp, 2006.

2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.

V

OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃOAo escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es-

colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas competências gerais e específicas e nas habilidades estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular.

Destacamos que, de acordo com a BNCC:

É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e na formação de atitudes e valores.Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico,

social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

VI

Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para cada área do conhecimento. As de Matemática são:

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.

ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃOEsta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas

de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento.A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar

a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que os alunos reflitam sobre o que aprenderam.

A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.

VII

Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números naturais: os alunos já possuem algum conhecimento adquirido nos anos anteriores; retomá-los permite ao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno.

Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or-ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras habilidades e competências.

Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex-tualizar alguns assuntos.

Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criati-vidade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. A seção é dividida em três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e "Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apresentadas anteriormente no capítulo. Incentive--os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. O “Aplicando” traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC.

Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer sobretudo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo.

O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe-tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.

VIIIVIII

Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

• o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;• a pesquisa individual ou coletiva;• a elaboração, em grupo, do produto proposto;• a apresentação e exposição do produto;• a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec-tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.

Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor – Digital, que apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atua-ção do professor, entre outras sugestões. Apresenta ainda um projeto integrador para ser desenvolvido em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece a compreensão do conteúdo.

Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade de uso dos recursos do Material do Professor – Digital.

MATEMÁTICA ESCOLAR Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi-

mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma:

Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática como componente curricular. (p. 1)

A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul-tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição (nesse caso, a escola).

3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: <http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018.

4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M-A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.

http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058

IXIX

6o ano

Unidades Capítulos Habilidades

I

1 Números naturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02

2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12

3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18

II

4 Igualdades e desigualdades EF06MA14

5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06

6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15

7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11

III

8 Porcentagem EF06MA13

9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27

10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23

IV11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29

12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34

Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado.

Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.

APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOSA Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema-

tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano.

Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos (seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos, quanto para iniciar a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade.

O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permita a construção de significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento.

A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe-tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. Para isso, sugere-se que cada unidade, composta por dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta na coleção à realidade de suas turmas.

Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental.

X

8o ano


I

1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11

2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02

3 Sistemas de equações do 1o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08

II

4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18

5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16

6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22

III

7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14

8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21

9 Equações do 2o grau EF08MA06 e EF08MA09

IV

10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13

11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27

12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27

7o ano


I

1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04

2 Múltiplos e divisores EF07MA01

3 Retas e ângulos EF07MA23

II

4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09

5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12

6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18

III

7 Porcentagem e juro simples EF07MA02

8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17

9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21

IV

10 Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32

11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33

12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37

XI

9o ano


I

1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18

2 Matemática financeira EF09MA05

3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14

II

4 Fatoração e equações do 2o grau EF09MA09

5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08

6 Função quadrática EF09MA06

III

7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16

8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11

9 Polígonos regulares EF09MA15

IV

10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19

11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22

12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23

QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 6o ANO

Na sequência, focamos o quadro do 6o ano estabelecendo relações entre alguns objetos de conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores ou posteriores, indicados após cada quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, de leitura, de vídeo, de atividade extra etc.

Unidade I (1o bimestre)

Capítulos Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

1 Números naturais e sistemas de numeração

Números Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal. (1)

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

XII




2 Operações com números naturais

Números Operações (adição, subtração, multi-plicação, divisão e potenciação) com números naturais. Divisão euclidiana. (2)

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múlti-plos de potências de 10. (3)

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

3 Figuras geométricas es-paciais

Geometria Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas). (4)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados. (5)

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

(1) • Sistema de numeração decimal: leitura, escrita e ordenação de números naturais (de até seis ordens) – 5o ano.• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.

(2)• Problemas: adição e subtração de números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita – 5o ano.• Problemas: multiplicação e divisão de números racionais cuja representação decimal é finita por números naturais – 5o ano.• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.

(3)

• Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais – 6o ano.

(4)

• Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características – 5o ano.

(5)

• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos – 5o ano.• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.

Unidade II (2o bimestre)




4 Igualdades e desigual-dades

Álgebra Propriedades da igualdade. (6) (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igual-dade matemática não se altera ao adicionar, sub-trair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

5 Múltiplos e divisores Números Fluxograma para determinar a pari-dade de um número natural.Múltiplos e divisores de um número natural.Números primos e compostos. (7)

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

XIII




6 Frações Números Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, compara-ção, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações. (8)

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Álgebra Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo. (9)

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

7 Números decimais Números Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal. (10)

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, compara-ção, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações. (11)

(EF06MA08) Reconhecer que os números racio-nais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma repre-sentação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

Operações (adição, subtração, multi-plicação, divisão e potenciação) com números racionais. (12)

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na represen-tação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

(6)• Propriedades da igualdade e noção de equivalência – 5o ano.• Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano.(7)• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita e ordenação de números naturais (de até seis ordens) – 5o ano.• Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais. Divisão euclidiana – 6o ano.• Múltiplos e divisores de um número natural – 7o ano.(8)• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.• Comparação e ordenação de números racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de equivalência – 5o ano.• Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador – 7o ano.• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.(9)• Grandezas diretamente proporcionais – 5o ano.• Problemas envolvendo a partição de um todo em duas partes proporcionais – 5o ano.• Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 7o ano.(10)• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.(11) • Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica – 5o ano.• Representação fracionária dos números racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica – 5o ano.• Comparação e ordenação de números racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de equivalência – 5o ano.• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.(12)• Problemas: adição e subtração de números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita – 5o ano.• Problemas: multiplicação e divisão de números racionais cuja representação decimal é finita por números naturais – 5o ano.• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano.

XIV

Unidade III (3o bimestre)




8 Porcentagem Números Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”. (13)

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

9 Figuras geométricas planas

Geometria Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados. (14)

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

(EF06MA19) Identificar características dos triân-gulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de retas paralelas e per-pendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares. (15)

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

Grandezas e medidas Ângulos: noção, usos e medida. (16) (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

(EF06MA27) Determinar medidas da aber-tura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

10 Ampliação e redução de figuras

Geometria Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados. (17)

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras pla-nas em malhas quadriculadas. (18)

(EF06MA21) Construir figuras planas semel-hantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano carte-siano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e per-pendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares. (19)

(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

(13) • Cálculo de porcentagens e representação fracionária – 5o ano.• Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples – 7o ano.(14), (15), (16) e (19)• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos – 5o ano.• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal – 7o ano.• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos – 7o ano.• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano.(17)• Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1o quadrante) e representação de deslocamentos no plano cartesiano – 5o ano.• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e

à origem – 7o ano.(18) • Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas: reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados correspondentes – 5o ano.• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e

à origem – 7o ano.

XV

Unidade IV (4o bimestre)




11 Grandezas e medidas Grandezas e medidas Problemas sobre medidas envolven-do grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume. (20)

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retân-gulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Plantas baixas e vistas aéreas. (21) (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado. (22)

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

12 Probabilidade e estatística Probabilidade e estatística

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável.Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experi-mento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista). (23)

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas. (24)

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de grá-ficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Coleta de dados, organização e registro. Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e inter-pretação das informações. (25)

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pes-quisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas. (26)

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxo-gramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

(20) • Medidas de comprimento, área, massa, tempo, temperatura e capacidade: utilização de unidades convencionais e relações entre as unidades de medida mais usuais –

5o ano.• Noção de volume – 5o ano.• Problemas envolvendo medições – 7o ano.• Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais – 7o ano.(21) e (22)• Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações – 5o ano.• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como tri-

ângulos e quadriláteros – 7o ano.(23) • Espaço amostral: análise de chances de eventos aleatórios – 5o ano.• Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis – 5o ano.• Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências – 7o ano.(24), (25) e (26)• Leitura, coleta, classificação, interpretação, e representação de dados em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas agrupadas, gráficos pictóricos e gráficos de

linhas – 5o ano.• Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações –

7o ano.• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados – 7o ano.

XVI

UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA

No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temática Números, espera-se que o aluno perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois apresentar o sistema de numeração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreensão dos resultados obtidos na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo de ensino e de aprendizagem.

Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual.

Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos processos de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos conteúdos dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, mas não devem se constituir em abordagem principal.

O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve ser retomado e aprofundado nos Anos Finais.

De acordo com a BNCC:

Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numé-ricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alu-nos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvol-vidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos.

Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e esta-tística), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alu-nos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.

A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o trabalho com as funções: a introdução das letras como variável, como incógnita ou como símbolo pode ser trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos.

A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente favorecida pelo uso de ambiente computacional.

O papel da Geometria é fundamental na construção do conhecimento matemático pelo aluno. O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação desejável entre a Geometria plana e a Geometria

XVII

espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geomé-tricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos.

Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da percepção espacial, dos deslocamentos no plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno.

O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um cenário de construção da cidadania.

A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamente seus conhecimentos para análise estatística desses dados coletados. O objetivo será sempre responder a um questionamento por meio da análise desses dados.

Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, o estudo da probabilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor tem a possibilidade de utilizar tanto materiais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres (por exemplo, o GeoGebra). O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados de experimentos aleatórios.

A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam fornece importantes elementos para decisões no campo pessoal, nutricional, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em proces-sos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação.

Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os instrumentos de medida.

Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta:

As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e das relações entre elas ‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico.

XVIIIXVIII

O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA

No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Matemá-tica não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curriculares. Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos interdisciplinares na escola.

Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos.

O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado” 5. Essa formulação, embora tenha em vista especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores.

Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e Dufour 6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamente se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as dife-rentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da desintegração do saber disciplinar.

Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social.

Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen-volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo Ribeiro Nogueira 7:

Uma atitude interdisciplinarÉ importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a interdisciplinaridade; deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume uma atitude interdisciplinar."... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao diálogo ‒ ao diálogo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante a possibilidade de desvendar novos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82)

5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32.

6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.

7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: Érica, 2010.

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Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a hipótese de que o aprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores essenciais à construção do conhecimento. Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação mediadora do professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o acesso aos materiais de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., sempre preocupado mais com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do processo de aprendizagem.Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade reside em disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das ações, que ora podem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns professores, comprometendo o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve possuir perfeito canal de comunicação. A regra decisória passa a ser o consenso, já que desta forma pode-se cobrar o comprometimento; há de se estabelecer divisões de tarefas e equidade nas informações tanto de ordem procedimental como de resultados.Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe comprometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no máximo com o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo.

Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjunto, por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno.

A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICAA abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a

Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do tempo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar os horizontes da aprendizagem matemática.

No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto matemático em estudo se desenvolveu.

A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo aprofundado da história, mas, sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para complementação e aprofundamento dos conteúdos abordados.

AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICAA utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expansão

das oportunidades de aquisição de conhecimento– por exemplo, a calculadora e os softwares para aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para resolução de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),5

A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64)

5 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: <http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018.

http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf

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A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam.

O PAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEMO erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na

aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos a desistirem da escola por se sentirem incapazes.

A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual destacamos os trechos a seguir.

[...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa de matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências sobre o cérebro revelam algo mais significativo.O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segunda resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e a atenção consciente é dada a ele.Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes c orrigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, o estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que come-temos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assunto agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado e, nesse momento, ele cresce.[...]O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com frequência se sentem péssimos quando cometem um erro matemático. Eles pensam que isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados – ou pior – são punidos.

Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões:• o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de

frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender;• a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos

alunos para que juntos os compreendam e encontrem caminhos para o acerto;• atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, em lugar das ati-

vidades que induzam ao acerto pela sua simplicidade.

Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, que muitas vezes veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas.

XXI

AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEMA avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do

trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”.Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo

construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que a aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanhamento do processo de aprendizagem visado.

Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem matemática. É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, processos, pla-nejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avaliação da aprendizagem desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: o tempo didático e o tempo cronológico não correm da mesma forma, o que muitas vezes explica as dificuldades detectadas.

Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das situações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, a cada aula, a cada momento.

Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especial-mente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los.

Cabe ao professor, a partir do conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios utilizados devem ser explicitados aos alunos.

Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do aluno deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também devem ser considerados. Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem papel fundamental nesse processo.

Para a elaboração do plano de avaliação, devem-se considerar os objetivos propostos em cada um dos níveis de escolaridade. Uma listagem desses objetivos permite sua operacionalização, e, a partir daí, escolhem-se os melhores instrumentos.

Veja a seguir uma sugestão de listagem que considera não apenas os aspectos cognitivos específicos, mas também os atitudinais. Observe que a construção da autonomia é um objetivo perene, que acom-panha toda a formação do aluno.

Meu aluno é capaz de:• “enfrentar” a resolução do problema;• entender o contexto das atividades propostas;• compreender o texto das atividades propostas;• explicitar o problema com suas palavras;• selecionar dados da questão de forma autônoma;• resolver o problema;• verificar se a solução é adequada;• fazer uso adequado de calculadora e outros materiais de forma a buscar soluções para o que é

proposto de forma autônoma;• trabalhar em grupo de forma colaborativa;• trabalhar individualmente com autonomia;• utilizar corretamente a linguagem matemática.

Para ajudar o professor no processo de avaliação contínua dos alunos, o Material do Professor ‒ Digital traz sequências didáticas relacionadas aos conteúdos bimestrais da coleção, com organização aula a aula, oferecendo uma ficha de autoavaliação para o aluno. Além disso, esse material traz avaliações bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e ficha para acompanhamento de aprendizagem dos alunos.

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FORMAÇÃO DO PROFESSOR — SUGESTÕES DE LEITURA E SITESA. Sugestões de leitura

BARBEIRO, Eulália da Conceição. A aprendizagem das equações do 1o grau a uma incógnita: uma análise dos erros e das dificuldades de alunos de 7o ano de escolaridade. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

BERNAL, Márcia Maria. Estudo do objeto proporção: elementos de sua organização matemática como objeto a ensinar e como objeto ensinado. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1>. Acesso em: 16 ago. 2018.

BOALER, Jo. Mentalidades matemáticas . Porto Alegre: Penso, 2018.

BORRALHO, A.; BARBOSA, Elsa. Pensamento algébrico e exploração de padrões. Disponível em: <http://www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

_______. CABRITA, I.; PALHARES, P.; VALE, I. Os padrões no ensino e aprendizagem da Álgebra. Disponível em: <https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

BRANCO, Neusa Cristina Vicente. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento algébrico. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

BRASIL. Base Nacional Comum Curricular ‒ versão final. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

CAMPOS, Tania M. M.; SOUZA, Vera Helena G. de. Resolução de desigualdades com uma incógnita: uma análise de erros. Disponível em: <http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

COLLARES, Bruno Marques; LIMA, Diego Fontoura. Por que inverter o sinal da desigualdade em uma ine-quação? Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Pensamento aritmético e pensamento algébrico no Ensino Fundamental. Disponível em: <http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

HUMMES, Viviane Beatriz; NOTARE, Marcia Rodrigues. Aprendizagem significativa de equações do 1o grau: um estudo de caso com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.eventos.ulbra.br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350>. Acesso em: 16 ago. 2018.

LIMA, Duílio Tavares de. Fichas temáticas: resolvendo equações do 1o grau. Disponível em: <http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4>. Acesso em: 16 ago. 2018.

LOPES, Celi Aparecida Espasadin. A Probabilidade e a Estatística no currículo de Matemática do Ensino Fundamental Brasileiro. Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/ce_lopes/prob_est.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

______; MEIRELLES, Elaine. O desenvolvimento da Probabilidade e da Estatística. Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018

MAGALHÃES, Adil Ferreira. Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações. Disponível em: <https://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2013/Adil%20Ferreira.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

MARTINI, Grasiela. Estratégias de trabalho para a aprendizagem de operações com números inteiros. Disponível em: <https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29143/000775907.pdf?sequence=1>. Acesso em: 16 ago. 2018.

http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf

http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf

https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1

https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1

http://www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf

http://www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf

https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf

https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf

http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf

http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf

http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf

http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf

http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE38.pdf

http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf

http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_Claudia.pdf

http://www.eventos.ulbra.br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350

http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224.pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4



https://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/ce_lopes/prob_est.pdf

https://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/ce_lopes/prob_est.pdf

https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf

https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf

https://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2013/Adil%20Ferreira.pdf

https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29143/000775907.pdf?sequence=1

XXIII

MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Desenvolvendo o raciocínio matemático: generalização e justificação no estudo das inequações. Disponível em: <http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.021>. Acesso em: 16 ago. 2018.

MEGID, M. A. Construindo Matemática na sala de aula: uma experiência com os números inteiros. In: FIORENTINI, D. & MIORIM, M. A. (Org.) Por trás da porta, que Matemática acontece? Campinas: Unicamp; Cempem, 2001.

MENEGAT, Maristela Ferrari. Uma nova forma de ensinar razão e proporcionalidade. Disponível em: <https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1>. Acesso em: 16 ago. 2018.

MIYASAKI, Dirce Mayumi. Modelagem matemática e educação ambiental: possibilidades para o Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/359-4.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

NOGUEIRA Júnior, Dárcio Costa. Ensino de razão e proporção na perspectiva curricular da rede. Disponível em: <http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/CC/T8_CC1664.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

ROCHA Neto, Francisco Tavares da Rocha. Dificuldades na aprendizagem operatória de números inteiros no Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

SCHMITIZ, Ilda; SCHNEIDER, Deborah Sandra Leal Guimarães. A leitura de mundo através da estocástica: um olhar crítico da realidade, através da mídia e das tecnologias. Disponível em: <http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

SILVA, Ana Claudia da. Dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas envolvendo equações do 1o grau. Disponível em: <http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12008/AnaClaudiadaSilvaPetronilo.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

SILVA, Maria José Ferreira da. As concepções de números fracionários. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018.

B. Sites ‒ Acessos em: 16 ago. 2018.• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM): <http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/>.• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM): <https://www.sbm.org.br/>.• Portal do Professor – MEC: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html>.• Centro de Referência em Educação Mário Covas: <http://www.crmariocovas.sp.gov.br/>.

C. Laboratórios de Educação Matemática ‒ Acessos em: 16 ago. 2018.• LEDUM – Laboratório de Educação Matemática (UFC): <http://www.ledum.ufc.br/>.

• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (Unesp – Rio Claro): <https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/>.

• LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (USP): <https://www.ime.usp.br/lem/>.• Laboratório de Matemática (Faculdade de Educação – USP): <http://www2.fe.usp.br/~labmat/>.• LEMAT – Laboratório de Educação Matemática (UFG): <http://lemat.mat.ufg.br/>.• Laboratório virtual de Matemática (Unijuí – RS): <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/>.

Além desses links, diversas revistas sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática estão disponí-veis para acesso livre, on-line. Por exemplo, o Portal do Professor (MEC) permite acessar artigos, livros, periódicos, entre outros recursos. Basta buscar por publicações relativas à Matemática, e o professor obterá como resultado diversos links para ajudá-lo com materiais, leituras etc.

O site da SBEM dará acesso à Educação Matemática em Revista (disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr>; acesso em: 16 ago. 2018), contendo artigos destinados ao professor que ensina Matemática nos diversos níveis de escolaridade. Também dará acesso ao anúncio dos eventos organizados.

Já o site da SBM dará acesso ao link para a Revista do Professor de Matemática (disponível em: <http://www.rpm.org.br/>; acesso em: 16 ago. 2018), para a revista Professor de Matemática OnLine (disponível em: <https://pmo.sbm.org.br/>; acesso em: 16 ago. 2018) e outras publicações.

http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.021

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https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31572/000783440.pdf?...1

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http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/359-4.pdf

http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/CC/T8_CC1664.pdf

http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf

http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/1440/1/2010_dis_ftrneto.pdf

http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf

http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_ilda_schmitz.pdf

http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12008/AnaClaudiadaSilvaPetronilo.pdf

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/def_mat_concepfracoes1.pdf

http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/

https://www.sbm.org.br/

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

http://www.crmariocovas.sp.gov.br/

http://www.ledum.ufc.br/

https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/

https://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gfp/lem/

https://www.ime.usp.br/lem/

http://www2.fe.usp.br/~labmat/

http://lemat.mat.ufg.br/

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/

http://www.sbembrasil.org.br/revista/index.php/emr

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ÊNIO SILVEIRAEngenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará.

Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.

Componente curricular: MATEMÁTICA


5a edição

São Paulo, 2018

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2


Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliografia.


18-16948 CDD-372.7



1 3 5 7 9 10 8 6 4 2







Coordenação editorial: Fabio Martins de LeonardoEdição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva RibeiroAssistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti MesquitaPreparação de texto: Mariane GenaroGerência de design e produção gráfica: Everson de PaulaCoordenação de produção: Patricia CostaSuporte administrativo editorial: Maria de Lourdes RodriguesCoordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira LeiteProjeto gráfico: Mariza de Souza PortoCapa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: DKart/Getty Images Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Paula de Sá BelluominiEditoração eletrônica: Teclas EditorialIlustrações de vinhetas: ShutterstockCoordenação de revisão: Maristela S. CarrascoRevisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane OshimaCoordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza GabarronPesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana AlencarCoordenação de bureau: Rubens M. RodriguesTratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. BuzzinaroPré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória SousaCoordenação de produção industrial: Wendell MonteiroImpressão e acabamento:

http://www.moderna.com.br

3

Caro aluno,

Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem sentido maior quando encontram aplicação no dia a dia.

A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas, sim, como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos cotidianos ou científicos.

Com as situações apresentadas neste livro, você adquirirá conhecimentos que ajudarão no desenvolvimento da sua formação escolar, pessoal e profissional. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou atividade solucionada, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa que pode ajudá-lo a resolver muitos problemas.

O autor

Aos meus pais,Isaías, Maria Amélia (in memoriam)

Apresentação

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Estrutura das unidades

Ícones utilizados na obra

Dupla CalculadoraCálculo mentalGrupo Tecnologia

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Observe o total de pontos conquistados pelos cinco pilotos de Fórmula 1 mais bem colocados no Mundial de Construtores de 2017.

Posição Piloto Pontos

1a Lewis Hamilton 363

2a Sebastian Vettel 317

3a Valtteri Bottas 305

4a Kimi Räikkönen 205

5a Daniel Ricciardo 200

Dados obtidos em: <https://www.formula1.com/en/results.html/2017/drivers.html>. Acesso em: 27 jul. 2018.

Qual foi o total de pontos alcançado pelos pilotos que conquistaram as três primeiras posições?

Para obter essa resposta, devemos juntar, unir ou reunir quantidades, ou seja, efetuar a operação denominada adição.

Veja como obter esse total:

Nessa adição, os números 363, 317 e 305 são as parcelas, e 985 é a soma (ou total).

Outra ideia da adição é a de acrescentar uma quantidade a outra. A situação a seguir exemplifica essa ideia.

Em um campeonato esportivo entre escolas, a escola Aprender estava com 50 pontos. Duas alunas dessa escola conquistaram, então, o 1o e o 3o lugares em uma corrida de 100 metros, ganhando, respectivamente, 25 e 11 pontos. Qual passou a ser o total de pontos dessa escola após essas conquistas?

Primeiro, podemos efetuar esta adição:

25 1 11 5 36

Em seguida, acrescentamos 36 a 50, efetuando a adição 50 1 36.

50 1 36 5 86

Concluímos, portanto, que a escola Aprender passou a ter 86 pontos.

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parcela

parcela

soma ou total

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Adição com números naturais1

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Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES

EtapaNome 1a 2a 3a

Júlio 3 650 5 995 7 036

Marcelo 3 543 2 786 9 999

Antônio 4 119 3 830 8 678

Estado Área (km2)

Paraná 199 308

Santa Catarina 95 738

Rio Grande do Sul 281 738

Dados obtidos em: <https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/panorama>; <https://

cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama>; <https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/

panorama>. Acessos em: 20 ago. 2018.

Cidade População

São Paulo 12 106 920

Rio de Janeiro 6 520 266

Brasília 3 039 444

Salvador 2 953 986

Fortaleza 2 627 482

Belo Horizonte 2 523 794

Dados obtidos no Diário Oficial da União, Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017,

p. 60, 62, 70 e 76.

1 Considere os números abaixo.

2 Observe o quadro de pontos de uma gincana e responda às questões.

4 Observe o quadro com as seis cidades mais populosas do Brasil.

5 Quando Laerte nasceu, o pai dele tinha

6 Determine a soma de todos os números

7 Ana vai usar a calculadora para determinar a soma de três números consecutivos, sabendo que o menor deles é 549. Quando foi realizar os cálculos, Ana percebeu que as teclas 0 e 9 da sua calculadora estavam com defeito. Como Ana poderá realizar essa adição? Qual será o seu resultado?

8 Forme dupla com um colega para responder à questão: quais são os quatro

1 576 8 916 7 435

2 050 794

Agora, determine os totais obtidos com:

a)

b) a adição dos dois menores números;

c) a adição do menor número com omaior número.

a)

b) Algum dos candidatos conquistou maisde 17 mil pontos nessa gincana?

c) Quem obteve mais pontos nessa gincana?

Calcule a população das cidades:

a) do Su deste listadas no quadro;

b) do Nor deste listadas no quadro.

a adição dos dois maiores números;

Quantos pontos Júlio obteve nas três etapas?

3 Com base nos valores aproximados do quadro abaixo, calcule a área total, em quilômetro quadrado (km2), da Região Sul do Brasil.

28 anos. Atualmente, Laerte tem 18 anos. Determine a soma das idades de Laerte e de seu pai hoje.

de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 3, 4 e 5.

números ímpares cuja soma é 29?

UNIDADE I

Nesta unidade você vai estudarCapítulo 1 Números naturais e sistemas de numeraçãoCapítulo 2 Operações com números naturaisCapítulo 3 Figuras geométricas espaciais

É hora de começar1 Você sabe como as civilizações antigas representavam uma

quantidade? Quais eram os símbolos que elas utilizavam? 2 Em que situações do dia a dia você utiliza os números? E para

que você os utiliza?3 Quais operações matemáticas você já estudou?4 Quais objetos ao seu redor lembram sólidos geométricos?

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Trocando ideias

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Qual é a capacidade dessa piscina olímpica?

Qual foi a menor temperatura registrada na cidade de Bom Jardim da Serra em Santa Catarina?

Qual é o comprimento da ponte Juscelino Kubitscheck de Brasília? Em quanto tempo

o ciclista poderá completar o percurso?

No dia a dia, medidas são usadas em muitas situações. Há diversos tipos de medida: de massa, de capacidade, de tempo, de temperatura, de comprimento, de superfície, de espaço ocupado por algo etc. Observe alguns exemplos de perguntas relacionadas a medidas.

Para medir uma grandeza, é necessário compará-la com outra grandeza da mesma espécie, tomada como unidade de medida.

Que grandeza e que unidade de medida estão relacionadas a cada situação acima?

Neste capítulo, vamos estudar as grandezas e as medidas que fazem parte de diversas situações do nosso cotidiano.

Para evitar acidentes, em algumas pontes há placas que sinalizam a altura máxima permitida.

Unidades de medida de comprimento

A primeira grandeza que vamos estudar será o comprimento, cuja unidade-padrão é o (símbolo: m).

Observe algumas situações que envolvem medidas em metro.

Um pouco de história

O sistema métrico decimalNa Antiguidade, cada povo utilizava uma unidade de medida, o que dificultava as trocas

de produtos entre pessoas de sociedades diferentes. Com o desenvolvimento do comércio, tornou-se cada vez mais difícil a troca de informações e as negociações.

Por causa dessa dificuldade, em 1789, a Academia de Ciências da França unificou o sistema de medidas no país com base em padrões precisos, científicos e simples. Dessa forma, foi criado o sistema métrico decimal, instituído oficialmente em junho de 1799. Ele recebeu esse nome porque, com base em uma unidade-padrão, as demais unidades são obtidas por meio da multiplicação ou da divisão dessa unidade por 10, por 100, por 1

O Sistema Internacional de Unidades (SI), aprovado em 1960 e utilizado hoje em quase todos os países, é a versão atualizada do sistema métrico decimal.

A palavra metro vem do grego métron e significa “o que mede”.O metro é a unidade-padrão para medir comprimentos no

Internacional de Unidades (SI).

Algumas piscinas apresentam placas que indicam sua profundidade. Nessa piscina, a placa indica que a profundidade é de 0,90 metro.

Grandeza comprimento1

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É hora de observar e refletir

O holandês Pieter Cornelis Mondrian (1872-1944), mais conhecido como Piet Mondrian, foi um artista plástico que se baseava em muitas ideias da Geometria para criar suas obras. Mondrian pintava tanto paisagens quanto formas geométricas abstratas e foi um dos fundadores do movimento artístico conhecido como abstracionismo geométrico. Observe a pintura de Mondrian reproduzida ao lado.

Piet Mondrian, Composição com grande plano vermelho, amarelo, preto, cinza e

azul, 1921, 59,5 cm # 59,5 cm.

Exposição Mondrian no Centro Cultural Banco do Brasil (CCBB), Brasília, DF. 2016.

É possível encontrar representações de figuras geométricas na obra desse artista? Cite algumas que você identificou na obra acima.

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CAPÍTULO

Figuras geométricas planas9

Abertura de capítuloPropõe a observação e a reflexão de uma

situação relacionada ao conteúdo do capítulo.

Cada volume está dividido em quatro unidades, que são formadas por dois ou mais capítulos, organizadas de acordo com esta estrutura:

Apresentação do conteúdoO conteúdo é

apresentado com linguagem clara

e direta.

Abertura de unidadeApresenta o título dos capítulos que integram a unidade e propõe questões sobre os assuntos que serão estudados.

AtividadesCom diferentes níveis de dificuldade, algumas atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo, o trabalho com cálculo mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias como planilha eletrônica e softwares de construção de gráficos e de geometria dinâmica.

Trocando ideiasIncentiva o diálogo sobre assuntos do

capítulo.

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Lembre-se:Não escreva no livro!

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Resolva com um colega a atividade a seguir.

(Obmep) As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra a planificação de uma pirâmide; quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na figura é 1 1 3 1 4 5 8.

a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide acima?

b) A figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondenteao ponto indicado?

c) A figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor dovértice correspondente ao ponto A?

d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior?

5 1

3

4

6 2

5

4

67

A B

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3

2

Elaborando

Observe os poliedros a seguir e faça o que se pede.

• No caderno, elabore três questões que podem serrespondidas observando os poliedros.

• Troque de caderno com um colega e responda àsquestões elaboradas por ele.

• Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele,dizendo o que ele respondeu corretamente e em queele se equivocou.

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Resolvendo em equipe

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(Enem) A figura ao lado apresenta dois gráficos com informações sobre as recla-mações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorar mais de um dia para serem resolvidas. O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de efi- ciência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas.

O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na

a) segunda e na terça-feira.b) terça e na quarta-feira.c) terça e na quinta-feira.

d) quinta-feira, no sábado e no domingo.e) segunda, na quinta e na sexta-feira.

• Junte-se a três colegas. • Cada integrante do grupo deverá apresentar seu plano de resolução aos demais. • Após a discussão sobre as estratégias, elaborem uma resolução única. Para isso,

escolham um dos planos apresentados e organizem um processo de resolução. ObservaçãoResolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.

• Na quinta-feira, o número de reclamações recebidas foi maior ou menor que o número de reclamações resolvidas? Explique.

• Observando o gráfico, o que podemos concluir a respeito do sábado e do domingo? • Elabore um plano de resolução explicitando suas estratégias.

• Identifique as informações representadas nos eixos horizontal e vertical do gráfico.• O gráfico apresenta duas linhas distintas: uma tracejada e outra contínua. O que essas

linhas representam?

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Faça as atividades no caderno.

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Lendo e aprendendo

Conhecimento indígena

Em pleno século XXI, muitos brasileiros ainda não conhecem a riqueza e a diversidade das culturas indígenas, acreditando que todos os grupos indígenas falam a mesma língua, têm os mesmos costumes e que sua cultura é primitiva, que é uma maneira de dizer que é inferior à nossa cultura. Esse é um erro muito comum.

Os povos indígenas do Brasil somavam, segundo o Censo IBGE 2010, 896.917 pessoas. Desse total, 324.834 viviam em cidades e 572.083 em áreas rurais. Atualmente, existem no território brasileiro 254 povos, que falam mais de 150 línguas diferentes. As línguas e as culturas indígenas ainda são pouco estudadas, mas algumas pesquisas mostram como é a organização do pensamento matemático em algumas dessas culturas.

Os grupos Aruak do Alto Xingu, por exemplo, têm uma forma bem diferente de contar. Eles não usam símbolos numéricos, e os cálculos são feitos pela correspondência 1 a 1, ou seja, uma pessoa do grupo não pensa, por exemplo: “Vou cortar quatro estacas de madeira para fazer uma casa”; ela pensa: “Vou cortar uma estaca para cada canto da casa”. Com esse tipo de raciocínio, não é preciso usar símbolos numéricos; por isso esse sistema funciona e é adequado para as necessidades dos povos que o utilizam.

Como você pode ver, cada povo cria e utiliza o que é mais adequado à sua realidade, então não existe cultura superior ou melhor que outra. Existem culturas diferentes, e conhecê-las nos ajuda a ampliar nossa compreensão sobre o mundo.

Fontes: <https://pib.socioambiental.org/pt/Línguas>, <http://www.educacao.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=15916> e

<https://oprofessorweb.wordpress.com/2014/05/05/a-ciencia-indigena/>. Acessos em: 25 jul. 2018.

Para criar cestos e pás para virar beiju, como os da foto, entre outros objetos, é preciso utilizar um pensamento matemático cuja base está nas tradições indígenas e na transmissão oral dos conhecimentos.

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Trabalhando os conhecimentos adquiridosFaça as atividades no caderno.

Aplicando

Revisitando

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1 Entre os sólidos geométricos estudados neste capítulo, quais foram os dois tipos destacados?

4 Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos?

6 Com a planificação de um octaedro regular obtemos:

a) 4 triângulos idênticos.

b) 8 triângulos idênticos.

c) 6 triângulos idênticos.

d) 20 triângulos idênticos.

2 Cite uma aplicação industrial dos poliedros.

3 Que objetos de seu cotidiano lembram corpos redondos?

5 As embalagens de vários produtos podem ser desmontadas e decompostas em figuras planas. Qual é o conceito visto neste capítulo que está associado a essa situação?

1 Qual das figuras a seguir não representa

b) d)

um poliedro?"alternativa d

a)" c)

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2 (Saresp) A figura abaixo representa uma

a) 6

b) 7

c) 10

d) 12

pirâmide de base hexagonal. O número de vértices dessa pirâmide é:

a) um cilindro.

b) uma pirâmide de base pentagonal.

c) um prisma de base pentagonal.

d) um paralelepípedo.

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4 (Saresp) A forma geométrica espacial que pode ser associada à planificação abaixo é:"

3 Qual é o sólido geométrico cuja superfície corresponde à planificação?

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203


O início da GeometriaA palavra Geometria vem do grego, geo, que significa

“terra”, e metria, “medida”. Alguns estudiosos atribuem a origem da Geometria aos

egípcios, por causa da técnica que eles desenvolveram para remarcar as terras às margens do rio Nilo, após as enchentes que ocorriam anualmente. Dessa forma, a Geometria teria nascido da necessidade prática de de-marcação de terras feita pelos “esticadores de corda”. Outros acreditam que a Geometria teria surgido como uma forma de lazer praticada por sacerdotes e filósofos. De qualquer maneira, há vários registros que datam de, aproximadamente, 3 000 a.C. que mostram figuras geo-métricas e cálculos relacionados a elas. Sabe-se que as civilizações antigas, como a egípcia, a babilônica, a assíria, a hindu e a chinesa, acumularam diversos conhecimentos nessa área.

Muitos desses conhecimentos foram organizados, por volta de 300 a.C., por Euclides de Alexandria, matemá-tico grego, em uma obra conhecida como Os elementos. A obra é composta de treze livros, dos quais nove deles tratam de Geometria.

Representação de Euclides.

E G I T O

Cairo

MAR MEDITERRÂNEO

Rio Nilo

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A O B

α

A O O B

Semirreta

Observe a reta r contida no plano a e os pontos A, O e B pertencentes a ela.

O ponto O determina duas semirretas em r. Veja:

O ponto O é chamado de origem das semirretas. A semirreta de origem em O que passa pelo ponto A e a semirreta de origem em O que passa pelo ponto B podem ser representadas, respectivamente, por OA OBe .

Semirreta e segmento de reta2

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250 km

Mapa do território atual do Egito. Elaborado com base em: Graça

Maria Lemos Ferreira. Atlas geográfico: espaço mundial. São

Paulo: Moderna, 2013. p. 81.

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VOCÊ JÁ PENSOU EM COMO OS MURAIS SÃO FEITOS?

A arte do grafite, diretamente conectada ao movimento hip-hop, tornou-se popular na década de 1970 nos bairros de Nova Iorque como um tipo de manifestação, por meio de desenhos e mensagens, para expressar e refletir sobre a realidade dos menos favorecidos. Ao mesmo tempo, artistas brasileiros desenvolveram suas próprias técnicas, alguns com um toque de brasilidade, e se tornaram conhecidos mundialmente. Hoje em dia, os grafites estão cada vez mais presentes nos espaços públicos: tornando a arte acessível à população, propiciando a reflexão e a crítica a problemas sociais e contribuindo para a revitalização urbana, como o mural Etnias do artista brasileiro Eduardo Kobra.

1. Reúna-se em grupo com os colegas, analisem o mural da foto e respondam às questões.a) Quais povos foram representadas no mural?b) Em entrevista, Kobra disse que o mural procura passar a mensagem de paz e união dos povos.

Vocês acham que, de fato, a obra transmite essa mensagem? Justifiquem. c) Como vocês acham que foi feita essa obra de arte? Que materiais e técnicas foram usados?

2. Leiam o texto sobre a quantidade de tinta e o tempo de elaboração do mural.“Na confecção da obra, foram usadas 3 mil latas de spray, 700 litros de tinta colorida e

1800 litros de tinta branca para o fundo. Para que ficasse pronta antes da Rio-2016, Eduardo Kobrae sua equipe encararam uma maratona de 12 horas de trabalhos diários durante dois meses. E essanão foi a única parte complicada: ele estima ter levado três meses para chegar ao resultado final dodesenho, fruto de uma pesquisa profunda sobre povos nativos ao redor do globo.”

Disponível em: <http://www.eduardokobra.com/etnias/>. Acesso em: 16 ago. 2018.

a)

b)

Objetivos: Pesquisar sobre a arte do grafite e a técnica de ampliação de desenhos para a realização de obras de arte, que serão expostas na sala de aula e na escola.Etapa 1: Análise do mural Etnias.

Qual foi o total de tinta, em litro, usado no mural? Que porcentagem representa a quantidade de tinta colorida? E de tinta branca? Quantos meses foram necessários para finalizar o mural, considerando todas as etapas? Que porcentagem representa o tempo gasto apenas para chegar ao resultado final do desenho, antes de iniciar o trabalho na parede?

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Etapa 2: Pesquisa sobre a arte do grafite e o uso da técnica de ampliação de desenhos.

3. Pesquisem em jornais, revistas e na internet:• o significado da expressão “grafite”;• técnicas usadas por grafiteiros; • mulheres grafiteiras e suas obras.

4. Para a realização de suas obras, Kobra, assim como muitos artistas, desenha primeiro nopapel. Em seguida, usa uma malha quadri-culada com referências de localização,como no jogo “batalha-naval”, numerando aslinhas e as colunas. Assim, depois de preparare quadricular o muro, com quadradosmaiores, usando as mesmas referênciasdo papel, é necessário reproduzir nomuro o que foi feito no papel.a) Em uma malha quadriculada,

numerem as linhas e as colunas edesenhem figuras geométricasplanas (retângulos, triângulos,pentágonos etc.).

b) Em uma cartolina, tracem uma ma-lha quadriculada, com quadradosmaiores, e reproduzam as figurasgeométricas feitas anteriormente,respeitando as referências de locali-zação de cada quadrado.

Etapa 3: Elaboração de obras de arte com a técnica de ampliação.

5. Escolham um tema ou uma mensagem que julguem importante e que possa ser representado(a) com um desenho: meio ambiente, diversidade cultural, cidadania etc.

6. Façam em uma malha quadriculada um desenho que expresse a mensagem escolhida pelo grupo.

7. Reproduzam o desenho em uma cartolina, mas em tamanho maior, usando a técnica estudada.

8. Agora, façam um desenho em um malha quadriculada e peçam a outro grupo que faça a ampliação do desenho em uma cartolina.

Etapa 4: Exposição e análise das obras de arte.

9. Disponibilizem as obras criadas pelo grupo para que os outros analisem e opinem sobre o signi-ficado e a mensagem representada em cada obra.

10. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.

11. Se possível, escolham uma ou mais obras para serem reproduzidas em paredes da escola.

Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.

12. Algumas questões que devem ser discutidas:a) As obras de arte atenderam aos objetivos propostos?b) Vocês acreditam que a arte pode levar à reflexão de problemas sociais?

13. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.

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É hora de extrapolar Faça as atividades no caderno.

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Em 2016, Eduardo Kobra e sua equipe realizaram o maior grafite do planeta, o mural Etnias, com 3 mil metros quadrados, na zona portuária da cidade do Rio de Janeiro. O mural traz os representantes de cinco povos, um de cada continente: os Mursi (África), os Kayin (Ásia), os Tapajós (Américas), os Supi (Europa) e os Huli (Oceania).

Técnica utilizada por Eduardo Kobra para a confecção de suas obras de arte.

Lendo e aprendendo

Seção que complementa

e enriquece o conteúdo

principal.

É hora de extrapolarAtividade em grupo proposta

como fechamento da unidade. Explora a pesquisa,

a comunicação e a elaboração de um produto final, que será

compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.

Um pouco de históriaTexto que aborda a história da Matemática para contextualizar alguns assuntos.

Resolvendo em equipe

Atividade em grupo que explora a análise e o desenvolvimento

de estratégias para a resolução de

problemas.

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Trabalhando os conhecimentos adquiridosAtividades diversificadas que abordam o conteúdo apresentado no capítulo. A seção é composta dos itens:• Revisitando: promove a revisão de conteúdos.• Aplicando: traz desafios, questões de concursos e exames.• Elaborando: estimula a criatividade e a elaboração de questões.

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245

A primeira grandeza que vamos estudar será o comprimento, cuja unidade-padrão é o metro

Observe algumas situações que envolvem medidas em metro.

O sistema métrico decimalNa Antiguidade, cada povo utilizava uma unidade de medida, o que dificultava as trocas

de produtos entre pessoas de sociedades diferentes. Com o desenvolvimento do comércio, tornou-se cada vez mais difícil a troca de informações e as negociações.

Por causa dessa dificuldade, em 1789, a Academia de Ciências da França unificou o sistema de medidas no país com base em padrões precisos, científicos e simples. Dessa forma,

, instituído oficialmente em junho de 1799. Ele recebeu esse nome porque, com base em uma unidade-padrão, as demais unidades são obtidas por meio da multiplicação ou da divisão dessa unidade por 10, por 100, por 1 000 etc.

O Sistema Internacional de Unidades (SI), aprovado em 1960 e utilizado hoje em quase todos os países, é a versão atualizada do sistema métrico decimal.

e significa “o que mede”.O metro é a unidade-padrão para medir comprimentos no Sistema

Sistema Internacional de UnidadesÉ o sistema utilizado para padronizar unidades de medida em todo o mundo.

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Algumas piscinas apresentam placas que indicam sua profundidade. Nessa piscina, a placa indica que a profundidade é de 0,90 metro.

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Sumário

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UNIDADE

I Capítulo 1 – Números naturais e sistemas de numeração 10

1. Sistemas de numeração .................................. 12Sistema de numeração egípcio ............................ 12Sistema de numeração romano ........................... 13

2. Sistema de numeração decimal ...................... 17Leitura e escrita de um número no sistema decimal ............................................... 24

3. Os números naturais ........................................ 27Números pares e números ímpares .................... 28Número e numeral ............................................... 29

4. Comparação de números naturais .................. 30A reta numérica e os números naturais ............... 31

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ......... 33

Capítulo 2 – Operações com números naturais 36

1. Adição com números naturais ......................... 38Algumas propriedades da adição .......................... 40

2. Subtração com números naturais .................... 41Relação fundamental da subtração ....................... 43Expressões numéricas com adições e subtrações .......................................................... 45

3. Multiplicação com números naturais .............. 47Algumas propriedades da multiplicação .............. 52

4. Divisão com números naturais ......................... 54Divisão exata ......................................................... 54Expressões numéricas com as quatro operações ...... 56Divisão não exata .................................................. 58Relação fundamental da divisão ........................... 58

5. Potenciação com números naturais ................ 60Leitura de potências .............................................. 61Potências de base 10 ............................................ 62Expressões numéricas com potenciações .............. 64

6. Arredondamentos e estimativas ..................... 65

Resolvendo em equipe ............................................. 67


Capítulo 3 – Figuras geométricas espaciais 70

1. Sólidos geométricos ......................................... 72

2. Poliedros ........................................................... 73Prismas e pirâmides ............................................. 75

3. Corpos redondos .............................................. 76

4. Planificação da superfície de sólidos geométricos ......................................................... 78

Resolvendo em equipe ............................................. 81


É hora de extrapolar ................................................ 85

Capítulo 4 – Igualdades e

desigualdades 88

1. Sentenças matemáticas ................................... 90

2. Igualdades ........................................................ 91

Adição e subtração de números naturais .............. 91

Multiplicação e divisão por números naturais ....... 94

Resolvendo problemas com igualdades ................ 96

3. Desigualdades .................................................. 99

Adição e subtração de números naturais ............100

Multiplicação e divisão por números naturais .....102

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... 104

Capítulo 5 – Múltiplos e divisores 106

1. Múltiplos de um número natural .................. 108

2. Divisores de um número natural .................. 111

3. Critérios de divisibilidade ............................. 115Divisibilidade por 2 .............................................115Divisibilidade por 3 .............................................115Divisibilidade por 4 .............................................116Divisibilidade por 5 .............................................117Divisibilidade por 6 .............................................118Divisibilidade por 8 .............................................118Divisibilidade por 9 .............................................119Divisibilidade por 10 ...........................................119Divisibilidade por 100 .........................................119Divisibilidade por 1000 .......................................119

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4. Números primos e números compostos ....... 121

Verificando se um número é primo ...................122

Decomposição em fatores primos .......................124


Capítulo 6 – Frações 128

1. A ideia de número fracionário ...................... 130

Leitura de frações ................................................133

2. Número misto ................................................ 134

3. Frações equivalentes ..................................... 136

Propriedade das frações equivalentes ..............136

Simplificação de frações ......................................138

4. Comparação de frações ................................. 140

5. Fração de uma quantidade ............................ 142

6. Adição e subtração de frações ...................... 144

Frações com denominadores iguais ...................144

Frações com denominadores diferentes ............145

7. Multiplicação de frações ................................ 147

Multiplicação de um número natural

por uma fração ...................................................147

Multiplicação de duas frações ...........................148

8. Divisão de frações .......................................... 150

Divisão de um número natural por uma fração ....150

Divisão de uma fração por um número natural ....150

Divisão de uma fração por outra fração ................151

9. Potenciação de frações .................................. 153Expressões numéricas ........................................154

Resolvendo em equipe ....................................... 155


Capítulo 7 – Números decimais 160

1. Décimos, centésimos e milésimos ................ 162Décimos ..............................................................162Centésimos .........................................................163Milésimos ...........................................................163Números decimais na reta numérica ..................164

2. Leitura dos números decimais ...................... 164

3. Comparação de números decimais ............... 166

4. Adição e subtração com números decimais ......................................................... 168

5. Multiplicação com números decimais........... 169

6. Divisão com números decimais .................... 172Divisão por um número natural

diferente de zero ................................................172Divisão por um número decimal .......................174

7. Decimais exatos e dízimas periódicas .......... 176

8. Expressões numéricas com números decimais ......................................................... 178


É hora de extrapolar ......................................... 182

UNIDADE

III Capítulo 8 – Porcentagem 185

1. Porcentagem .................................................. 187

Porcentagem de um valor ..................................187

Porcentagem de figuras .....................................188

Porcentagem escrita na forma decimal .............191

2. Problemas envolvendo porcentagem .......... 192

Determinação de uma porcentagem .................192

Determinação do total com base

em uma taxa percentual ....................................193

Resolvendo em equipe ...................................... 195


Capítulo 9 – Figuras geométricas planas 199

1. Representação de ponto, reta e plano ......... 201

2. Semirreta e segmento de reta ...................... 203Semirreta ............................................................203Segmento de reta ..............................................204

3. Ângulos ........................................................... 207Medida de um ângulo ........................................208Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ......209Construção de um ângulo com o transferidor ....210

4. Retas paralelas e retas perpendiculares ...... 212Construção geométrica de retas paralelas com régua e esquadro .......................................213

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UNIDADE

IV Capítulo 11 – Grandezas e medidas 243

1. Grandeza comprimento ................................ 245Unidades de medida de comprimento ...............245 Perímetro .............................................................250

2. Grandeza tempo ........................................... 251Unidades de medida de tempo ...........................251

3. Grandeza superfície ...................................... 254Unidades de medida de superfície ou unidades de área ................................................254Área de um retângulo ........................................258Área de um triângulo retângulo .........................262

4. Grandeza volume .............................................263Unidade de medida de espaço ou unidade de volume ...........................................263 Volume de um paralelepípedo reto-retângulo ...267

5. Grandeza capacidade ......................................269Unidades de medida de capacidade ..................269

6 Grandeza massa ............................................ 272Unidades de medida de massa ..........................272

7. Grandeza temperatura .................................. 276

Resolvendo em equipe ...................................... 277

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 278

Capítulo 12 – Probabilidade e estatística 282

1. Probabilidade ................................................ 284Cálculo do número de possibilidades .................284Cálculo de probabilidade ....................................285

2. Estatística ....................................................... 288O processo estatístico .........................................288Gráficos estatísticos ............................................290

Resolvendo em equipe ......................................... 294

Trabalhando os conhecimentos adquiridos .......295

É hora de extrapolar ............................................ 298

Respostas .................................................................301

Bibliografia .............................................................312

Construção geométrica de retas perpendiculares

com régua e esquadro ...................................... 213

5. Polígonos ........................................................ 214

Polígonos convexos e polígonos

não convexos ......................................................217

Elementos de um polígono ................................217

Classificação dos polígonos ................................218

6. Triângulos ....................................................... 220

7. Quadriláteros .................................................. 222

Paralelogramos ...................................................222

Trapézios .............................................................223


Capítulo 10 – Ampliação e redução de figuras 228

1. Representação de um polígono no plano cartesiano .........................................................230Plano cartesiano .................................................230Par ordenado ......................................................230Representação de um polígono .........................231

2. Figuras semelhantes ..................................... 232Ampliação e redução de figuras planas na malha quadriculada ........................................232Ampliação e redução de figuras planas no plano cartesiano .............................................233

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 235

É hora de extrapolar ............................................ 240

9

UNIDADE I

Nesta unidade você vai estudarCapítulo 1 Números naturais e sistemas de numeraçãoCapítulo 2 Operações com números naturaisCapítulo 3 Figuras geométricas espaciais

É hora de começar1 Você sabe como as civilizações antigas representavam uma

quantidade? Quais eram os símbolos que elas utilizavam? 2 Em que situações do dia a dia você utiliza os números? E para

que você os utiliza?3 Quais operações matemáticas você já estudou?4 Quais objetos ao seu redor lembram sólidos geométricos?

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• Nesta unidade, os alunos estudarão o conteúdo das unidades temáticas Números (capítulos 1 e 2) e Geometria (capítulo 3). Em Números, apresentaremos os sistemas de numeração e serão estu-dados e retomados as carac-terísticas do sistema decimal, os números naturais e as operações. Em Geometria, relembraremos e aprofun-daremos o estudo sobre os sólidos geométricos.• O objetivo dessas questões é instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados nos capítulos que integram esta unidade. As questões não precisam ser respondidas neste momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unida-de para que os alunos refli-tam sobre o que aprenderam.

Veja plano de desenvolvi-mento e projeto integrador no Material do Professor – Digital.

10

Algumas peças de diferentes tipos de jogos: damas, xadrez, dominó, cartas etc.

CAPÍTULO

1

10

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Você já percebeu como os números estão presentes no cotidiano? Eles podem ser encontrados em várias situações: nas notas e nas moedas de real, no letreiro dos ônibus, na numeração dos calçados, nos jogos, entre outras.

Você já participou de algum jogo que tivesse números?

Em que outras situações podemos observar os números?

Resposta pessoal.

Resposta pessoal.

Números naturais e sistemas de numeração

Objetivos• Classificar os números de acordo com a função em de-terminada situação.• Identificar e representar nú-meros no sistema de numera-ção egípcio, no sistema de nu-meração romano e no sistema de numeração decimal. • Comparar, ordenar, ler e es-crever números naturais.• Localizar os números natu-rais na reta numérica.

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvi-mento das seguintes habili-dades da BNCC: EF06MA01 e EF06MA02.• Neste capítulo, abordare-mos apenas os números na-turais. Os números racionais serão abordados nos capítu-los 6 e 7, complementando a habilidade EF06MA01.

É hora de observare refletir• Converse com os alunos so-bre a importância dos núme-ros em nossa vida. Aproveite a imagem de abertura, que explora alguns jogos, possi-velmente conhecidos pelos alunos, para contextualizar diferentes situações que en-volvam os números e algumas de suas utilidades.• A situação apresentada per-mite realizar um diagnóstico do que foi apreendido nos anos anteriores e reforçar os conteúdos que não tenham ficado claros, a fim de mo-ti var os alunos com proble-mas mais desafiadores. É viável iniciar a discussão perguntando aos alunos quais jogos ou situações em um evento, como o Carnaval, eles conhecem e, depois, pedir a eles que registrem as respostas. Em seguida, questione-os em quais desses jogos (ou even-tos) encontramos números. As respostas podem envolver, por exemplo, o placar de um jogo ou mesmo a ordem em que os competidores são or-ganizados.

EF06MA01: Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.EF06MA02: Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

11

Trocando ideias

Nas várias situações do dia a dia em que os números estão presentes, eles podem indicar contagem, ordem, código ou medida.

Veja, nos exemplos abaixo, a classificação dos números de acordo com o que indicam.

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K

Pense em outras situações nas quais os números são utilizados e verifique se eles se enquadram em uma dessas classificações. Troque ideias sobre o assunto com os colegas de turma e o professor.

Neste capítulo, vamos estudar as aplicações e as formas de escrita e leitura dos núme-ros naturais. Além disso, vamos conhecer alguns dos sistemas de numeração utilizados por diferentes povos e aprender a usar o sistema de numeração decimal.

Contagem

Um jogo de xadrez é composto de

32peças.

Ordem

A equipe brasileira obteve o

2o

lugar no quadro de medalhas da Copa do Mundo de Ginástica Artística de 2017.

Código

O veículo de número

59venceu a competição.

Medida

A massa da Terra é de aproximadamente

5 980 000 000 000 000 000 000 000quilogramas.

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Resposta pessoal.

Se achar necessário, diga aos alunos que as imagens nesta página não foram apresentadas em escala de tamanho.

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Trocando ideias• Esta seção foi criada para incentivar uma conversa en-tre os alunos sobre os assun-tos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Suge-rimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, so-licite a eles que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca fa-vorecer o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 da BNCC.• Dando continuidade ao trabalho de diagnóstico dos co-nhecimentos prévios dos alu-nos, a atividade proposta pode ser realizada em grupo, o que propicia a discussão e a sistematização das funções dos números de acordo com a classificação apresentada: contagem, ordem, código ou medida.• Peça aos alunos que classifi-quem os números que foram citados na discussão proposta como ampliação da abertura (números encontrados nos jogos e em outras situações). Supondo que, além dos jogos, a situação citada seja o Carna-val, veja alguns exemplos:

� Contagem: quantidade de palitos, de pinos/peças, de vidas, de jogadores, de fo-liões em um bloco de rua, de pessoas em cada ala da escola de samba. � Ordem: ordem de jogada

dos jogadores, ordem em que as escolas vão desfilar, pódio do resultado dos des-files das escolas de samba. � Código: cadastro em jo-

gos on-line, senhas. � Medida: comprimento da

avenida em que as escolas de samba desfilam.

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A ideia de contar objetos e de utilizar uma forma de registrar essa contagem é muito antiga. É possível que tenha surgido na pré-história, há milhares de anos, mas não se tem certeza.

O estudo de locais onde antigas civilizações viveram levou à descoberta de objetos que prova-velmente eram utilizados para marcar quantidades. O que se sabe é que os marcadores surgiram muito antes da escrita, pois o mais antigo objeto encontrado até hoje é um osso com entalhes cuja idade foi estimada entre 25 mil e 30 mil anos, e a escrita foi criada muito depois disso.

Nós, seres humanos, somos seres tecnológicos, pois sempre utilizamos alguma técnica para alterar a natureza e nos beneficiar. Assim, as práticas de coleta de frutos e raízes, a criação de animais e o cultivo de plantas comestíveis, iniciadas na Pré-história, podem ter dado origem à necessidade de controle e de registro de quantidades, por meio, por exemplo, da corres-pondência 1 a 1: um animal – uma pedrinha. Com o tempo, esses registros foram sendo alterados e, posteriormente, deram origem a sistemas de contagem mais precisos e à utilização de símbolos.

Ao conjunto de símbolos e regras usados para representar números dá-se o nome de sistema de numeração. Diversas civilizações da Antiguidade, como a egípcia e a romana, criaram um sistema de numeração próprio.

Sistemas de numeração1

Para representar os números, os egípcios usavam o processo aditivo. Desse modo, o valor do número for-mado correspondia à soma dos valores de cada símbolo representado.

Sistema de numeração egípcio

A civilização egípcia teve início por volta de 3200 a.C., no nordeste da África, às margens do rio Nilo. Os egípcios registravam quantidades utilizando sete símbolos. Veja abaixo quais são esses símbolos e o valor corres-pondente a cada um.

E G I T O

Cairo

MAR MEDITERRÂNEO

Rio Nilo

Mapa do território atual do Egito. Elaborado a partir de: IBGE.

Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. p. 45.

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220 km

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EGITO ATUAL

1 1 00010 100

1 325 (1 000 1 300 1 20 1 5)5 32 (30 1 2) 123 (100 1 20 1 3)

Exemplos

100 000 1 000 00010 000

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Sugestão de vídeo • Episódio 1 2 Tema: Origem dos Números 2 Série: A Matemática na HistóriaDescrição: A equipe do Jornal Numeral mostra formas diferentes de contar e registrar quantidades e, também, a origem dos algarismos indo-arábicos utilizados hoje.Disponível em: <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_a.html>. Acesso em: 28 jul. 2018.

• Esse tópico inicia o desen-volvimento da habilidade EF06MA02, ao introduzir o conceito de sistema de nu-meração e as características dos sistemas de numeração egípcio e romano.• Se achar oportuno, apre-sente aos alunos o vídeo in-dicado no fim desta página, que traz fatos históricos que levaram a humanidade à cria-ção dos números. Como o vídeo aborda vários aspectos da origem dos nú-meros, ele é longo (15 minu-tos). Por isso, apresentá-lo em partes será mais interessante e dará a oportunidade aos alunos de compreender me-lhor o tema. • Na introdução de “Sistemas de numeração”, apresente a parte do vídeo sugerido, que aborda a criação dos núme-ros e os primeiros registros numéricos. Se achar conve-niente, explique o método de registro dos números feito pelos incas.

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

Material Digital Audiovisual• Videoaula: Sistemas de numeração

http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_a.html

http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_a.html

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EUROPA – IMPÉRIO ROMANO – SÉCULOS I E II

V&V/

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CK

No sistema de numeração egípcio: não havia símbolo que representasse a ausência de quantidade (o número zero); cada símbolo podia ser repetido até nove vezes;

os valores correspondentes a cada símbolo eram sempre adicionados, não importando a ordem em que os símbolos estavam escritos.

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KAREN ROACH/SHUTTERSTOCK

Detalhe da fachada de um museu localizado em Berlim, Alemanha, 2008.

Símbolos romanos podem ser observados no relógio (à esquerda) e em livros, como no leitor digital (acima).

Sistema de numeração romano

O Império Romano foi um dos mais poderosos e exten-sos da Antiguidade. Do Estado Romano, chegaram até nós conhecimentos de arquitetura, de arte, de leis, com o Direito romano, o latim, uma língua que foi usada durante séculos e que deu origem ao português e a outras línguas, e até mesmo um sistema de numeração, que ainda hoje é usado.

Veja alguns exemplos de uso do sistema de numeração romano:

no mostrador de relógios; na indicação de capítulos e volumes de livros; na designação de séculos; em nomes de papas e de reis e rainhas.

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MY

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ES

Elaborado a partir de: Cláudio Vicentino. Atlas histórico: geral e Brasil. São Paulo: Scipione, 2011. p. 47.

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345 3 428

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ou19

40° N

MAR ADRIÁTICO

10° L

MARJÔNICO

MARTIRRENO

M A R M E D I T E R R Â N E O

Sicília

Córsega

Sardenha

ITÁLIA

Roma

FRANÇA

SANMARINO

BÓSNIA- -HERZEGÓVINA

CROÁCIA

HUNGRIAÁUSTRIA

ALEMANHA

ESLOVÊNIA

LIECHTENSTEINSUÍÇA

MALTA

MÔNACO

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SO

200 km

Sugestão de atividade extra• Após a apresentação das características do sistema de numeração egípcio, peça aos alunos que representem os números 12 e 21 nesse sistema.• Pergunte a eles qual é a principal diferença entre a representação do registro no sistema egípcio e a que usamos hoje em dia. Ques-tione também o que essa diferença poderia acarretar no dia a dia de quem usa-va o sistema de numeração egípcio. Espera-se que os alunos per-cebam que, pelo fato de o sis-tema de numeração egípcio ser aditivo, os símbolos eram adicionados independente-mente da ordem em que eram apresentados. Entre-tanto, no sistema que usa-mos hoje, isso não ocorre, pois respeitamos o valor posicional dos algarismos; logo, 12 não será confundido com 21, já que representam números diferentes.

Sugestão de leitura• Anne Rooney. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a explora-ção do infinito. São Paulo: M.Books, 2012.Nesse livro, são apresentadas as grandes proezas da hu-manidade desde a época dos povos que viviam em cavernas até os dias de hoje. Permeiam a narrativa figuras importantes que con tribuíram com grandes des cobertas do universo da Matemática, como Pitágoras, Galileu, Pascal, Newton, entre outros.

• No vídeo sugerido para complementar o estudo dos sistemas de numeração (veja indicação na página 12), o sistema romano também é abordado.

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No sistema de numeração romano, há sete símbolos, que correspondem a letras maiús culas do alfabeto latino. Observe.

Nesse sistema de numeração:

não existe símbolo que represente a ausência de quantidade (o número zero);

os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos seguidamente até três vezes, e seus valores são adicionados;

I 5 1 X 5 10 C 5 100 M 5 1 000

II 5 2 XX 5 20 CC 5 200 MM 5 2 000

III 5 3 XXX 5 30 CCC 5 300 MMM 5 3 000

um símbolo colocado à esquerda de outro de maior valor indica que o menor valor deve ser subtraído do maior;

IV 5 5 2 1 5 4 XL 5 50 2 10 5 40 CD 5 500 2 100 5 400

IX 5 10 2 1 5 9 XC 5 100 2 10 5 90 CM 5 1 000 2 100 5 900

Só podemos escrever:

• I antes de V e X;

• X antes de L e C;

• C antes de D e M.

um símbolo colocado à direita de outro de valor igual ou maior indica a soma de seus valores;

VII 5 5 1 2 5 7

XXVIII 5 20 1 5 1 3 5 28

CLXXVI 5 100 1 50 1 20 1 5 1 15 176

MMLXV 5 2 000 1 50 1 10 1 5 5 2 065

MMMDCCL 5 3 000 1 500 1 200 1 50 5 3 750

um traço horizontal colocado sobre um número indica que o seu valor deve ser multiplicado por mil.

V 5 5 # 1 000 5 5 000

LX 5 60 # 1 000 5 60 000

Com as mudanças econômicas, políticas e sociais que ocorreram ao longo da história, o sistema de numeração romano foi substituído pelo sistema de numeração decimal, que usamos hoje.

I1

V5

X10

L50

C100

D500

M1 000

• Durante a apresentação das regras do sistema de numera-ção romano, verifique se os alunos apresentam alguma dificuldade. Peça que identi-fiquem as características co-muns e as diferenças entre os sistemas de numeração roma-no e egípcio.

�Características comuns: não apresentam símbolo que represente a ausência de unidade (o zero). �Diferenças: no sistema

egípcio, os símbolos pode-riam ser repetidos até nove vezes e a ordem da escrita não importava quando eram adicionados; já no sistema romano, os sím-bolos fundamentais eram repetidos seguidamente até três vezes e a ordem importava na representa-ção dos números.

• Após a abordagem dos sis-temas de numeração egípcio e romano, além de incen-tivar os alunos a comparar esses sistemas, pode-se pedir que criem um sistema novo e compartilhem com os co-legas. Eles devem perceber que a simples escrita ou a re-presentação de um número não consiste em um sistema de numeração. É importante discutir padrões nessas re-presentações, sem, contudo, abordar aspectos formais não adequados ao nível de escolaridade.

Veja sequência didática 1 do 1o bimestre no Material do Professor – Digital.

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Lendo e aprendendo

Conhecimento indígena

Em pleno século XXI, muitos brasileiros ainda não conhecem a riqueza e a diversidade das culturas indígenas, acreditando que todos os grupos indígenas falam a mesma língua, têm os mesmos costumes e que sua cultura é primitiva, que é uma maneira de dizer que é inferior à nossa cultura. Esse é um erro muito comum.

Os povos indígenas do Brasil somavam, segundo o Censo IBGE 2010, 896.917 pessoas. Desse total, 324.834 viviam em cidades e 572.083 em áreas rurais. Atualmente, existem no território brasileiro 254 povos, que falam mais de 150 línguas diferentes. As línguas e as culturas indígenas ainda são pouco estudadas, mas algumas pesquisas mostram como é a organização do pensamento matemático em algumas dessas culturas.

Os grupos Aruak do Alto Xingu, por exemplo, têm uma forma bem diferente de contar. Eles não usam símbolos numéricos, e os cálculos são feitos pela correspondência 1 a 1, ou seja, uma pessoa do grupo não pensa, por exemplo: “Vou cortar quatro estacas de madeira para fazer uma casa”; ela pensa: “Vou cortar uma estaca para cada canto da casa”. Com esse tipo de raciocínio, não é preciso usar símbolos numéricos; por isso esse sistema funciona e é adequado para as necessidades dos povos que o utilizam.

Como você pode ver, cada povo cria e utiliza o que é mais adequado à sua realidade, então não existe cultura superior ou melhor que outra. Existem culturas diferentes, e conhecê-las nos ajuda a ampliar nossa compreensão sobre o mundo.

Fontes: <https://pib.socioambiental.org/pt/Línguas>, <http://www.educacao.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=15916> e

<https://oprofessorweb.wordpress.com/2014/05/05/a-ciencia-indigena/>. Acessos em: 25 jul. 2018.

Para criar cestos e pás para virar beiju, como os da foto, entre outros objetos, é preciso utilizar um pensamento matemático cuja base está nas tradições indígenas e na transmissão oral dos conhecimentos.

RU

BE

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LSA

R IM

AG

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S

ISM

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ES

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GE

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Sugestão de atividade extra• Visando ao desenvolvimen-to das competências gerais 1 e 3 e da competência especí-fica 1 e estimulando o apren-dizado, o reconhecimento e a valorização de outras cultu-ras e pontos de vista diversos, além de incentivar o trabalho em equipe com foco na or-ganização do planejamento e na tomada de decisões, explore o texto do “Lendo e aprendendo”, promovendo, com o auxílio dos professo-res de Geografia, História e Língua Portuguesa, uma ati-vidade de pesquisa sobre as características, a riqueza e a diversidade das culturas in-dígenas brasileiras. Pode-se organizar a turma em grupos e destinar a cada um deles um tema específico, como: Quem são? (apresentando as diferentes etnias); O que são as Terras indígenas? Como a Matemática está presente na cultura indígena? etc.

Sugestão de sites para a pesquisa• Além dos apresentados como fonte do texto, a pes-quisa de informações poderá ser feita nos seguintes sites (acessos em: 28 jul. 2018):

� Fundação Nacional do Ín-dio (Funai). Disponível em: <http://www.funai.gov.br/>. Site do órgão indigenista oficial do Estado brasileiro, vinculado ao Ministério da Justiça. � IBGE Educa 2 Jovens. Dispo-

nível em: <https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20506-indigenas.html> e <https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html>. Dados es-tatísticos sobre a população indígena brasileira e sobre a porção do Território Nacional, que é habitada por um ou mais povos indígenas.

Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

https://pib.socioambiental.org/pt/L�nguas

http://www.educacao.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=15916

https://oprofessorweb.wordpress.com/2014/05/05/a-ciencia-indigena/

http://www.funai.gov.br/

https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20506-indigenas.html




https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/territorio/18312-terras-indigenas.html






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a) 1

b) 170

c) 1o

d) 27

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OTT

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OU

R/G

ETT

Y IM

AG

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codificar

medir

ordenar

contar

Resposta pessoal.

I, V, X, L, C, D e M

I, X, C e M

Não, pois XL vale 40 e LX, 60.

Seu valor é multiplicado por 1 000.

1532: MDXXXII; 1699: MDCXCIX; 1765: MDCCLXV

1 Os números têm quatro importantes funções:

• contar;

• ordenar;

• medir;

• codificar.

Leia o texto abaixo.

3 Escreva com símbolos egípcios:

a) o ano em que você nasceu;

b) o número de alunos da sua turma;

c) o ano atual.

2 Escreva três situações do dia a dia em que você utiliza números.

4 Responda às questões.

a) Quais eram os símbolos usados pelos romanos para escrever os números?

b) Quais são os símbolos que podem ser repetidos seguidamente no sistema de numeração romano?

c) O número XL tem o mesmo valor que LX?

d) O que acontece com o valor do número VII quando colocamos um traço hori-zontal sobre ele?

5 Leia o texto abaixo.

O forte mais antigo do Brasil foi erguido em Bertioga, no litoral sul do estado de São Paulo, em 1532. Destruído em uma guerra com os tupinambás, o forte foi recons-truído e reaberto em 1699. A partir de 1765, passou a ser chamado de Forte de São João. Atualmente, é protegido pelo Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional (Iphan).

• Escreva os números que aparecem no texto usando o sistema de numeração romano.

6 Represente os números 130 e 310 no siste-ma egípcio e no sistema romano e, depois, responda: quais são as características comuns e as diferenças entre os sistemas de numeração egípcio e romano?

Grand SlamNome usado para indicar os quatro eventos mais importantes de tênis do ano: o Australian Open (Austrália), o Torneio de Roland ‑Garros (França), o Torneio de Wimbledon (Ingla terra) e o US Open (EUA).

RU

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AV

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LSA

R IM

AG

EN

S

Forte de São João, Bertioga, SP, 2016.

Caroline Wozniacki, vencedora do Aberto da Austrália, 2018.

• Agora, classifique os números selecio-nados nos itens a seguir, de acordo com suas funções no texto.

Em uma partida que durou 170 minutos, a dinamarquesa Caroline Wozniacki, de 27 anos, venceu a romena Simona Halep e conquistou o Aberto da Austrália, o 1o troféu de Grand Slam de sua carreira. Com essa vitória, a tenista tornou-se a número 1 do mundo.

Respostas pessoais.

130

CXXX

310

CCCX

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• As atividades referentes aos tópicos apresentados até aqui podem ser propostas em articulação com desafios que demandem observação de regularidades, identifi-cação de padrões e explicita-ção de ideias tanto oralmen-te como na forma escrita. A utilização de desafios facilita a com preensão do conceito de sistema de numeração.• Na atividade 2, os alunos poderão responder: identi-ficação do número de uma casa, numeração dos calça-dos, data, quantidade de pontos marcados em uma partida de futebol, colocação do time no campeonato etc. • Na atividade 3, para ajudar na compreensão das caracte-rísticas de cada sistema visto, peça aos alunos que também escrevam os números com os símbolos romanos. Isso os ajudará a identificar as carac-terísticas comuns e as diferen-ças entre os sistemas egípcio e romano. • No item c da atividade 4, verifique se todos os alunos chegam à conclusão de que no sistema de numeração romano a ordem em que os símbolos são representados altera o valor do número.• Na atividade 6, espera-se que os alunos deem como características comuns: não apresentam símbolo que re-presenta a ausência de quan-tidade e são sistemas aditivos; e como diferenças: no sistema egípcio, os símbolos podiam ser repetidos até 9 vezes e não importava a ordem em que eram escritos; já no sis-tema romano, apenas alguns símbolos são repetidos segui-damente (até 3 vezes) e a or-dem dos símbolos importa na representação dos números.

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Sistema de numeração decimal2

O sistema de numeração mais utilizado atualmente é o indo-arábico. As regras desse sistema foram inventadas pelos hindus, mas foram os árabes que, ao invadir a Europa, levaram-no para lá no século XIII; daí o nome “indo-arábico”.

Nesse sistema são utilizados dez sím-bolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, denomi-nados algarismos. A palavra algarismo tem origem no nome do matemático árabe Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi. Ele foi responsável pela introdução desse sistema de numeração na Europa e pelos estudos iniciais de Álgebra. Como esse sistema é decimal, também o chamamos de sistema de numeração decimal.

Esse sistema é posicional. Com seus 10 símbolos é possível representar qualquer número de forma simples, o que não ocorre com o sistema egípcio, em que, por exem-plo, para representar o valor 100 000 000, seria preciso repetir 100 vezes o símbolo

, que vale 1 000 000.O sistema de numeração decimal obedece às seguintes regras e orientações: Existe um símbolo que representa a ausência de quantidade: o zero (0). A contagem de grupos com menos de 10 elementos é feita por meio da associação do

número de elementos de determinado grupo a um algarismo indo-arábico. Observe:

ORIGEM E DIFUSÃO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

AN

DE

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ON

DE

AN

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L

Elaborado a partir de: Graça Maria Lemos Ferreira. Atlas geográfico: espaço mundial. São Paulo: Moderna, 2016. p. 12-13.

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1.430 km

M C D U

M C D U

representação de 3 unidades no ábaco

3 patinetes

representação de 9 unidades no ábaco

LILK

IN/S

HU

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TOC

K

ILU

STR

AÇ

ÕE

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AS

AG

RA

ND

I

9 amoras

VALE

NTI

NA

RA

ZU

MO

VA/S

HU

TTE

RS

TOC

K

• Com esse tópico, damos con-tinuidade ao desenvolvimen-to da habilidade EF06MA02, apresentando as principais ca-racterísticas sobre o sistema de numeração decimal.• Se achar oportuno, apresen-te o trecho do vídeo indicado como sugestão na página 12, que traz um breve relato so-bre a origem dos algarismos indo-arábicos. • Oriente os alunos a cons-truir um ábaco. Comente com eles que o instrumento pode-rá ser usado para facilitar a visualização de situações e a melhorar a compreensão da aritmética. Assim, eles po-derão realizar as atividades propostas nesse tópico por meio da manipulação desse material.

Sugestão de atividade extra• Material: uma caixa de ovos (cortar e deixar apenas uma fileira da base da caixa, com seis gomos) para a base, seis palitos de churrasco, ar-golas ou tampas de garrafa PET com um furo no centro da base para passar pelos palitos.• Deve-se marcar na caixa de ovos as posições nas quais os palitos serão fixados, corres-pondendo a cada determina-da posição (unidade, dezena etc.). Em seguida, posicio-nam-se os palitos (verifique se há necessidade de utilizar cola para fixá-los). Se optar pela utilização das tampas de garrafa PET, todas devem ter o mesmo tamanho e pre-ferencialmente a mesma cor, a fim de facilitar a compreen-são dos alunos. As tampas precisam ser perfuradas, o que pode dificultar a cons-trução do ábaco.

18

18

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rod

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84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

1ª or

dem

2ª or

dem

1ª or

dem

01 dezena

0 unidade

1M C D U M C D U

Observe que 10 unidades de 1a ordem correspondem a 1 unidade de 2a ordem. Ou seja, 1 dezena corresponde a 10 unidades.

FED

OR

OV

OLE

KS

IY/S

HU

TTE

RS

TOC

K

10 escovas de dente

É possível representar um grupo de 10 elementos assim:

62 dezenas

6 unidades

2M C D U

36 dezenas

3 unidades

6M C D U

ILU

STR

AÇ

ÕE

S: G

UIL

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RM

E C

AS

AG

RA

ND

I

A contagem de grupos com mais de 10 e menos de 100 elementos é feita pela associação do número de elementos de determinado grupo a um número de dois algarismos, por meio da notação posicional. Veja:

2 # 10 1 6 5 26 6 # 10 1 3 5 63

É importante destacar o valor posicional do algarismo 6 nos dois números estudados:

O valor posicional do algarismo 6 é 60.

63O valor posicional do algarismo 6 é 6.

26

1a or

dem

9 # 109 1 1

M C D U

Observe que 10 unidades de 2a ordem correspondem a 1 unidade de 3a ordem, ou seja, 1 centena corresponde a 10 dezenas.

Como 100 5 9 # 10 1 9 1 1, é possível representar um grupo com 100 elementos assim:

9 # 10 1 9 1 1 5 100

2a or

dem

10 # 10M C D U

orde

m

01 0

1a or

dem

2a or

dem

3a or

dem

1 centena0 dezena

0 unidade

U M C D U

• As peças (tampas ou argo-las) utilizadas no ábaco cons-truído (sugestão de atividade extra da página 17) podem ajudar na resolução de pro-blemas envolvendo mudança de base.• O sistema de numeração decimal possibilita a discus-são sobre o valor posicional. Retome com os alunos o con-ceito das representações dos números 12 e 21 no sistema egípcio e peça que registrem esses números no sistema romano, comparando esse registro com o sistema que usamos hoje: o sistema de numeração indo-arábico. Os alunos poderão representar esses números no ábaco, ve-rificando o valor posicional de cada um dos algarismos (1 e 2).

19

19

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.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

523

3 centenas2 dezenas

5 unidades

M C D U246

6 centenas4 dezenas

2 unidades

M C D U

ILU

STR

AÇ

ÕE

S: G

UIL

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RM

E C

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AG

RA

ND

I

3 # 100 1 2 # 10 1 5 5 325 6 # 100 1 4 # 10 1 2 5 642

A contagem de grupos que apresentam de 100 a 1 000 elementos é feita pela associação do número de elementos de determinado grupo a um número de três algarismos, por meio da notação posicional. Veja:


SANTI S/SHUTTERSTOCK

O ábaco

O ábaco é um dos mais antigos instrumentos de cálculo. É utilizado em contagens e operações matemáticas. Não sabemos com certeza quando e onde ele surgiu, mas sabemos que os antigos romanos o utilizavam, pois há registros históricos do século I d.C. que mostram um funcionário com uma tábua de cálculos semelhante a um ábaco.

Também utilizado na China e no Japão, o ábaco faci-litava os cálculos de comerciantes e vendedores. Muitas vezes, o vendedor não sabia ler ou escrever, mas era muito hábil ao fazer cálculos, com várias operações, usando o ábaco.

Em 1945, no Japão, houve uma competição com o objetivo de provar que as modernas calculadoras elétricas americanas eram superiores aos tradicionais ábacos. Os competidores eram um japonês que usava um ábaco em seus cálculos e um soldado americano que utilizava uma calculadora elétrica. Depois de disputar cinco partidas, com cálculos cada vez mais complicados, chegou-se ao resultado final: o japonês do ábaco venceu o soldado americano da calculadora por 4 a 1.

Ao longo da história, diferentes tipos de ábaco foram inventados. Em um dos modelos mais simples, a correspondência é feita com contas móveis dispostas em fileiras paralelas, que representam as unidades, as dezenas, as centenas etc. O ábaco facilita tanto o registro dos objetos quanto a leitura das contagens.

Fontes: Georges Ifrah. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1996; Carl Boyer; Uta C. Merzbach. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.

Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Um pouco de história• Esta seção visa promover o desenvolvimento das com-petências gerais 1 e 3 e da competência específica 1 da BNCC.

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98.

O sistema de numeração decimal é posicional já que o mesmo algarismo representa quantidades diferentes, de acordo com a posição que ocupa no número.

Na contagem de grupos com 1 000 ou mais elementos, devemos escrever os algarismos agrupados em classes, considerando que cada classe é formada por 3 ordens, definidas da direita para a esquerda. Observe:

À esquerda da classe dos bilhões, são representadas a dos trilhões, a dos quatrilhões, a dos quintilhões, a dos sextilhões e assim por diante.

12a

ordem: centenasde bilhão

11a

ordem: dezenas

de bilhão

10a

ordem: unidadesde bilhão

9a

ordem: centenas

de milhão

8a

ordem: dezenas

de milhão

7a

ordem: unidadesde milhão

6a

ordem: centenasde milhar

5a

ordem: dezenas

de milhar

4a

ordem: unidadesde milhar

3a

ordem:

centenas

2a

ordem:

dezenas

1a

ordem:

unidades

4a classe: bilhões 3a classe: milhões 2a classe: milhares 1a classe: unidades simples

Quadro de ordens4a 3a 2a 1a

5 4 7 8

Quadro de ordens5a 4a 3a 2a 1a

6 3 0 4 2

Quadro de ordens6a 5a 4a 3a 2a 1a

7 2 3 1 3 2

• 5 478 É formado por cinco unidades de milhar, quatro centenas, sete dezenas e oito unidades.

5 478 5 5 000 1 400 1 70 1 8 ou 5 478 5 5 # 1 000 1 4 # 100 1 7 # 10 1 8

• 63 042 É formado por seis dezenas de milhar, três unidades de milhar, quatro dezenas e duas unidades.

63 042 5 60 000 1 3 000 1 40 1 2 ou 63 042 5 6 # 10 000 1 3 # 1 000 1 4 # 10 1 2

• 723 132 É formado por sete centenas de milhar, duas dezenas de milhar, três unidades de milhar, uma centena, três dezenas e duas unidades.

723 132 5 700 000 1 20 000 1 3 000 1 100 1 30 1 2

ou

723 132 5 7 # 100 000 1 2 # 10 000 1 3 # 1 000 1 1 # 100 1 3 # 10 1 2

Exemplos

Observe o valor posicional de cada algarismo.



• Peça aos alunos que representem os números no ábaco: 5 478, 63 042 e 723 132. Isso poderá ajudá-los a observar melhor o valor posicional de cada algarismo, facilitando a compreensão do conceito de classes e a decomposição dos números. Caso considere necessário, peça aos alunos que representem outros números e, então, indiquem o valor posicional de cada algarismo e decomponham esses números.

• Nesse momento, verifique se os alunos compreenderam as principais características do sistema decimal:

� a base do sistema é 10, pois a contagem é feita em agrupamentos de 10 em 10 (o ábaco poderá ajudar nes-sa compreensão); � é preciso respeitar o valor

posicional dos algarismos, pois um mesmo algarismo, dependendo da notação posicional em que se encon-tra (unidade, dezena, cente-na etc.), terá um valor dife-rente (12 é diferente de 21); � existe um símbolo que

representa a ausência de quantidade: o zero (0).

É importante discutir as ca-racterísticas, sem, contudo, abordar aspectos formais não adequados ao nível de escolaridade.• Pergunte aos alunos se nos sistemas vistos até aqui (egípcio e romano) existia um símbolo que representa-va a ausência de quantidade. Espera-se que eles digam que nesses sistemas não existe tal símbolo.

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Observação

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0 2 3 5


2 3 5 0

Lendo e aprendendo

Base de um sistema de numeração

No sistema de numeração decimal, a contagem é feita agrupando os objetos de 10 em 10. Porém, existem situações em que utilizamos agrupamentos diferentes de 10 para contar. Por exemplo:

Em uma contagem, o número de elementos do agrupamento é chamado de base. Assim, na contagem de bananas, ovos e laranjas, é comum usarmos a base 12; já na contagem do tempo, utilizamos a base 60. Os computadores digitais operam no sistema binário (base 2), isto é, todas as informações são armazenadas ou processadas no compu-tador com a utilização de apenas dois algarismos: 0 e 1.

Bananas, ovos, laranjas etc. costumam ser agrupados de 12 em 12 (em dúzias).

A contagem do tempo, desde os antigos babilônios, é feita de 60 em 60 (60 segundos correspondem a 1 minuto, e 60 minutos correspondem a 1 hora).

RU

SLA

N IV

AN

TSO

V/S

HU

TTE

RS

TOC

K

em dúzias em grupos de 60

MTKANG/SH

UTTE

RS

TOC

K

Veja os números 235 e 2 350 representados no quadro de ordens.

Nesse caso, o valor que indica a maior ordem é o 2, que representa duas centenas.Caso o zero esteja no quadro de ordens e não exista outro valor (diferente de zero) à sua esquerda, ele deve ser desconsiderado. Então, não consideramos o zero à esquerda do 2 para determinar a ordem desse número.

Nesse caso, o valor que indica maior ordem é o 2, que representa duas unidades de milhar, ou seja, consideramos o zero, pois há outros valores à sua esquerda: 5, 3 e 2.

Lendo e aprendendo • Para ajudar os alunos com relação ao conceito de base numérica, sugerimos que apresente o intervalo do ví-deo indicado a seguir rela-cionado a esse tema.

Sugestão de atividade extra• O vídeo sugerido ainda apresenta a base numérica de outros sistemas de numera-ção, como o maia e o babilô-nico, os quais não serão abor-dados nesta obra. Se achar oportuno o enriquecimento do estudo sobre sistemas de numeração, proponha uma pesquisa sobre os sistemas maia e babilônico, pedindo que ressaltem as característi-cas de cada um, como a quan-tidade de símbolos usados, se o sistema é posicional ou se é aditivo.

Sugestão de vídeo • Episódio 2 2 Tema: Números naturais e base numérica 2 Série: A Matemática na História.• Descrição: A equipe do Jornal Numeral exibe uma matéria sobre os números naturais, mostrando quais são e como são utilizados no dia a dia. Os repórteres também apresentam o conceito de base numérica e discutem o significado matemático de expressões como um meio, um quarto e um oitavo.Disponível em: <http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_b.html>. Acesso em: 29 jul. 2018.

http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_b.html

http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/videos_historia_matematica_b.html

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98.

Faça as atividades no cadernoATIVIDADES Faça as atividades no caderno.

M C D U

M C D UM C D U

M C D U

a) c)

d)b)GU

ILH

ER

ME

CA

SA

GR

AN

DI

base 100

base 60; resposta pessoal

268, 286, 628, 682, 826 e 862

753

8 560

10 070

2 600 098

36

7 009284

a) Quantas ordens tem esse número?

b) Qual é o algarismo da quarta ordem?

c) Qual é o algarismo que representa a ordem das centenas?

d) Qual é o algarismo que representa a maior ordem?

e) Quantas classes tem esse número?

9 678

duas décadas e dois anos

cinco décadas

seis décadas e nove anos

duas semanas e um dia

oito semanas

31 semanas

578

7 895

25 438

508 503

quatro

9

6

duas

9

2 Escreva o número formado por:

a) sete centenas mais cinco dezenas mais três unidades;

b) oito unidades de milhar mais cinco centenas mais seis dezenas;

c) uma dezena de milhar mais sete de zenas;

d) duas unidades de milhão mais seis centenas de milhar mais nove dezenas mais oito unidades.

3 Usando os algarismos 2, 6 e 8, sem repetilos, escreva seis diferentes números de três algarismos.

4 Que base utilizamos para contar folhas de papel em pacotes de 100 unidades?

5 Na contagem do tempo (minutos e segundos), qual é a base utilizada? Explique, com suas palavras, como funciona a contagem do tempo com essa base.

6 As décadas são contadas em agrupamentos de 10 anos. Assim, 36 anos correspondem a três décadas e seis anos.

Escreva no caderno, de forma semelhante, o correspondente a:

a) 22 anos;

b) 50 anos;

c) 69 anos.

10 Em uma calculadora, digite as teclas 3, 5, 3 e 8, nessa ordem.

a) Que número aparece no visor?

b) Com que valor posicional ficou o algarismo 3 após você teclar 8?

c) Se você teclar 2 após teclar 8, qual será o novo valor posicional do algarismo 3?

9 Observe o número abaixo e responda às questões.

7 As semanas são contadas em agrupamentos de sete dias. Assim, 20 dias correspondem a duas semanas e seis dias. Escreva no caderno, de modo semelhante, o correspondente a:

a) 15 dias;

b) 56 dias;

c) 217 dias.

8 Determine o número formado por:

a) (5 # 100) 1 (7 # 10) 1 8

b) (7 # 1 000) 1 (8 # 100) 1 (9 # 10) 1 5

c) (2 # 10 000) 1 (5 # 1 000) 1 1 (4 # 100) 1 (3 # 10) 1 8

d) (5 # 100 000) 1 (8 # 1 000) 1 1 (5 # 100) 1 3

1 Escreva, utilizando algarismos, os números representados nos ábacos.

11 Em um campeonato de lançamento de dardos, Pedro lançou 15 dardos, atingindo o disco conforme mostra a figura ao lado.

Quantos pontos Pedro obteve?

3 518

3 538

3 000 e 30

30 000 e 300

366 pontos

EN

ÁG

IO C

OE

LHO

• Como propusemos anterior-mente, o ábaco poderá ser utilizado na resolução das ativi-dades, principalmente nas ati-vidades 2, 6, 8 e 11, que abor-dam o sistema de numeração decimal. • As atividades 4, 5 e 7 abor-dam bases diferentes da base 10 (base decimal) 2 base 100, base 60 e base 7, respectiva-mente. Para resolver a ativida-de 7, os alunos poderão utili-zar o ábaco como norteador, porém terão que se orientar conforme a nova base: base 7, já que 1 semana equivale a 7 dias.• Na atividade 6, observe se os alunos compreendem que a base utilizada para décadas e anos é a base 10, já que 1 década equivale a 10 anos. Assim, poderão utilizar o ábaco para auxiliá-los, porém a haste da unidade passa a representar a haste dos anos e a haste que representa as dezenas passa a representar as décadas.

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176 limões


FRE

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H S

CH

OO

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7TH

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CH

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L D

ES

AR

TS E

T M

ETI

ER

S, P

AR

IS

La pascaline (1642).

A calculadoraA calculadora é um instrumento utilizado para realizar operações aritméticas. A primeira

calculadora manual que se conhece, chamada de la pascaline, foi inventada por Blaise Pascal (1623-1662) em 1642. Essa calculadora está exposta no Conservatório de Artes e Medidas de Paris.

ou

�

�

�

�

OFF

ACCE

ON

MRC

•

M–

M+

�

%

Liga

Apaga valores do visor

Desliga

Lê a memória

Adiciona

Representa a vírgula

Subtrai

Multiplica

Divide

Calcula a raiz quadrada

Calcula a porcentagem

Indica o resultado

Indica memória mais

Indica memória menos

SE

RG

IGN

/SH

UTT

ER

STO

CK

EN

ÁG

IO C

OE

LHO

GU

ILH

ER

ME

CA

SA

GR

AN

DI

12 Carla contou os limões que havia levado à feira para vender. Para cada grupo de 10 limões, ela fez um traço, conforme mostra a ilustração. Terminada a contagem, sobraram seis limões em cima da mesa.

Quantos limões ela levou para a feira?

13 Retome as representações dos números 130 e 310 nos sistemas de numeração egípcio e romano, da atividade 6 da página 16, e faça o que se pede.

a) Represente esses números no ábaco e verifique o valor posicional de cada um dos algarismos (0, 1 e 3).

b) Compare os sistemas vistos até aqui: egípcio, romano e indo-arábico.

Como sugestão, apresente para os alunos diferentes modelos de calculadora.

Blaise Pascal nasceu em Clermont-Ferrand, na França, e foi filósofo e matemático. Pascal inventou sua calculadora para agilizar os cálculos que eram feitos com o ábaco, mas sua invenção, apesar de eficiente, só podia ser utilizada em adições e subtrações.

Posterior mente, em 1694, o matemático alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) criou um mecanismo que permitia fazer multiplicações por meio de adições repetidas. Em 1822, Charles Babbage (1791-1871) construiu uma pequena máquina de somar e, em 1833, criou uma máquina de subtração, precursora do computador digital.

Na maioria das calculadoras modernas, encontramos estas teclas:

• Antes de iniciar a correção da resolução da atividade 12, peça aos alunos que levan-tem situações em que não utilizamos os algarismos para representar números. Espera--se que eles citem os núme-ros romanos e/ou marcações como pontinhos e risquinhos (como a usada na ilustração da atividade). Amplie a atividade propon-do a seguinte situação: Carla, além das marcações indica-das, usou outras, conforme ilustração a seguir. Então, questione os alunos: “Com qual delas é mais fácil fazer a contagem?”.

Espera-se que os alunos per-cebam que contar de cinco em cinco é algo que nos pa-rece mais natural – prova-velmente por termos cinco dedos nas mãos. Esse pode ser um dos motivos que leva-ram a humanidade a manter como preferência a base 10, ainda que utilizemos outras bases em alguns casos.• Na atividade 13, verifique se os alunos compreenderam as principais características do sistema decimal: que a base do sistema é 10, é um sistema posicional e possui símbolo para representar a ausência de quantidade (zero). A atividade favorece o desenvolvimento da habi-lidade EF06MA02, solicitando aos alunos que destaquem semelhanças e diferenças do sistema de numeração deci-mal com os demais sistemas vistos no capítulo.

AN

DE

RS

ON

DE

AN

DR

AD

E P

IME

NT

EL

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Saber ler e escrever números pode ser muito útil em situações do cotidiano, como reconhecer e distinguir valores.

Para ler um número:1o) separamos o número em classes;2o) lemos, da esquerda para a direita, o número formado em cada classe, seguido do nome

da classe.

De modo inverso, se conhecemos a leitura de um número, podemos escrevê-lo usando algarismos. Observe:

• setenta e três mil, seiscentos e oitenta e dois

Milhares Unidades simples7 3 6 8 2 73 682

Bilhões Milhões Milhares Unidades simples2 0 1 3 0 0 0 5 0 6 2 013 000 506

• dois bilhões, treze milhões, quinhentos e seis

Leitura e escrita de um número no sistema decimal

Observação

Quando todas as ordens de uma classe são formadas por zero, não lemos essa classe.Veja um exemplo:

8 000 321trezentos e vinte e um

oito milhões

Lemos: oito milhões, trezentos e vinte e um.

duzentos e setenta

trinta e quatro mil

seis milhões

dezessete

trezentos e dezesseis mil

dezenove milhões

um bilhão

• 1 019 316 017

Lemos: seis milhões, trinta e quatro mil, duzentos e setenta.

Lemos: um bilhão, dezenove milhões, trezentos e dezesseis mil e dezessete.

Exemplos

• 6 034 270

• O conteúdo desenvolvido neste tópico favorece o de-senvolvimento da habilidade EF06MA01, apresentando a leitura e a escrita de números, e da habilidade EF06MA02, com a composição e a decom-posição de números. Peça aos alunos que digam em que situações do cotidiano encon-tramos o registro escrito de números. Se possível, solicite que levem exemplos. Eles po-dem citar o preenchimento de recibos, o emprego em notícias veiculadas nos meios de comunicação etc. Nesse último caso, podem citar os números de forma abreviada; por exemplo, 9 bi, que corres-ponde a 9 bilhões, conforme será visto na página 25.

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Um número pode ser representado de várias maneiras. Vamos considerar, por exemplo, o número 8 515 767, que corresponde, aproximadamente,

à medida da superfície do Brasil em quilômetro quadrado. Podemos representá-lo:

• com algarismos: 8 515 767;• com palavras: oito milhões, quinhentos e quinze mil, setecentos e sessenta e sete;• com algarismos e palavras: 8 milhões, 515 mil e 767;• por meio da decomposição: 8 000 000 1 500 000 1 10 000 1 5 000 1 700 1 60 1 7 ou 8 # 1 000 000 1 5 # 100 000 1 1 # 10 000 1 5 # 1 000 1 7 # 100 1 6 # 10 1 7.

Observações

MídiaConjunto dos meios de comunicação de massa.

1 Para facilitar a leitura de números naturais grandes, a mídia costuma apresentá-los de forma abreviada, usando uma vírgula.

Veja: Segundo a ONU, em 2017 havia no mundo 1,7 bilhão de pessoas

vivendo em moradias inadequadas.

1,7 bilhão correspondem a um bilhão e setecentos milhões ou 1 700 000 000.

2 Em alguns textos, a palavra milhão é substituída por mi, e a palavra bilhão, por bi. Observe:

A população brasileira deve chegar a 233 mi de pessoas em 2050, segundo projeções da ONU.

233 mi correspondem a duzentos e trinta e três milhões ou 233 000 000. De acordo com estimativas da ONU, na Terra haverá 9,8 bi de

pessoas em 2050.

9,8 bi correspondem a nove bilhões e oitocentos milhões ou 9 800 000 000.

EstimativaCálculo para obter um resultado apro-ximado.

NE

LO

SES

NNO

SO

1 330 km

Mapa elaborado a partir de: Graça Maria Lemos Ferreira. Atlas geográfico: espaço mundial. São Paulo: Moderna, 2013. p. 119.

MA

PA: A

ND

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SO

N D

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ND

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: EN

ÁG

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OE

LHO

• Se achar conveniente, mos-tre outras formas de represen-tação dos números. Durante o processo de decomposição, esclareça as possíveis dúvidas que surgirem. Entender o pro-cesso de decomposição de um número facilitará a compreen-são das operações com núme-ros, auxiliando no desenvolvi-mento de estratégias para o cálculo mental.

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O Brasil ganhou medalha de ouro no futebol masculino ao vencer a Alemanha no estádio do Maracanã, no Rio de Janeiro, em 20 de agosto de 2016.

SIM

ON

BR

UTY

/SP

OR

TS IL

LUS

TRAT

ED

/GE

TTY

IMA

GE

S

12 106912 300

1 010 013

90 016 008

2 012 100 000

dois bi

1. a) trezentos e quarenta e cinco b) mil, seiscentos e setenta e

nove c) oito mil, novecentos e

cinquenta d) oitocentos e quinze mil e

duzentos e) dezoito milhões, quinhentos

e quarenta mil e trinta e cinco f ) noventa e cinco milhões,

treze mil e seiscentos

sete milhões, seiscentos e cinquenta e quatro mil, trezentos e vinte e um

026-f-nova-MCP6-C01-G20<Foto da seleção brasileira masculina de futebol levantan-do a taça de campeã no Rio de Janeiro em 2016.>

2 Escreva os números a seguir usando alga-rismos indo-arábicos.

a) Doze mil, cento e seis.

b) Novecentos e doze mil e trezentos.

c) Um milhão, dez mil e treze.

d) Noventa milhões, dezesseis mil e oito.

e) Dois bilhões, doze milhões e cem mil.

1 Escreva como se leem os números abaixo.

a) 345

b) 1 679

c) 8 950

d) 815 200

e) 18 540 035

f) 95 013 600

4 Luciana efetuou, em um caixa eletrônico, o pagamento das contas de água, energia, telefone, aluguel e condomínio. O valor da conta de água era igual a quarenta e cinco reais. Veja o valor das demais contas e escreva por extenso essas quantias.

Energia elétrica ...................... R$ 86,00

Telefone .................................. R$ 127,00

Aluguel .................................... R$ 415,00

Condomínio ............................ R$ 169,00

5 O tiranossauro rex viveu há 145 000 000 de anos, e o tricératops, há 67 000 000 de anos. Escreva esses números por extenso.

6 Escreva os números destacados nas frases abaixo usando mi para milhões e bi para bilhões.

a) A abertura dos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, em 2016, foi vista por mais de 2 000 000 000 de pessoas.

b) A partida final do futebol masculino, entre Brasil e Alemanha, nas Olimpíadas do Rio de Janeiro em 2016, foi assistida por mais de 25 000 000 de pessoas.

7 Forme dupla com um colega e leiam atentamente o texto abaixo.

Em uma cidade, foram reciclados durante um ano os seguintes materiais: papel (110 248 080 kg), vidro (45 230 196 kg) e plástico (7 500 420 kg).

Agora, respondam:

a) De que material foram reciclados aproxi-madamente 45 milhões de quilogramas?

b) De que material foram reciclados aproxi-madamente 100 milhões de quilogramas?

• Escrevam um pequeno texto sobre a importância da reciclagem de resíduos.

3 Lucas digitou as teclas 7, 6, 5, 4, 3, 2 e 1, nessa ordem, em sua calculadora. Escreva como se lê o número que Lucas obteve no visor da calculadora.

5. 145 000 000: cento e quarenta e cinco milhões 67 000 000: sessenta e sete milhões

EN

ÁG

IO C

OE

LHO

4. Energia elétrica: oitenta e seis reais Telefone: cento e vinte e sete reais Aluguel: quatrocentos e quinze reais Condomínio: cento e sessenta e nove reais

vinte e cinco mi

Resposta pessoal.

7. a) vidro b) papel

• Para resolver os itens da ati-vidade 7, os alunos poderão representar os números de outra forma:

� papel: 110 milhões, 248 mil e 80; � vidro: 45 milhões, 230 mil

e 196; � plástico: 7 milhões, 500 mil

e 420.Com isso, foram recicladas a pro ximadamente 45 milhões de quilogramas de vidro (item a) e aproximadamente 100 milhões de quilogramas de papel (item b).Essa atividade abre espaço para que se converse com os alunos sobre formas de gerar menos lixo e recicla-gem, favorecendo o desen-volvimen to da competência geral 7, podendo levá-los à conclusão de como essa redu-ção associada à reciclagem de lixo diminui o impacto causa-do ao meio ambiente.

Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

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Os números são usados em diferentes situações. Observe como eles aparecem na notícia abaixo, que trata da inclusão de pessoas com deficiência através da arte.

Os números 15 e 29, destacados no texto, são exemplos de números naturais.

Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos a sequência dos números naturais.

Os números naturais dessa sequência formam um conjunto numérico, denominado conjunto dos números naturais, que pode ser assim representado:

v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...}

Observando a sequência dos números naturais, verificamos que:

Todo número natural tem um sucessor, também natural e único, e é obtido pelo acréscimo de uma unidade a ele.

Como todo número natural tem um sucessor, a sequência dos números naturais é infinita.

NIL

SO

N C

AR

DO

SO

Os números naturais3

• O sucessor de 0 é 1, pois: 0 1 1 5 1• O sucessor de 99 é 100, pois: 99 1 1 5 100

Exemplos

CA

RLO

S A

NG

EL/

BA

RC

RO

FT M

ED

IA/G

ETT

Y IM

AG

ES

Jovens artistas ministram oficina de pintura com os pés e a boca em São Paulo

Jovens pintores ministraram nessa quarta-feira (15) uma oficina de pintura com os pés e a boca no Memorial da Inclusão, na zona oeste da capital paulista. [...]

Uma das telas [...] estava exposta no mesmo salão onde era realizada a oficina, em uma mostra de 29 obras retratando monumentos e locais icônicos da cidade de São Paulo. [...]

Daniel Mello. Jovens artistas ministram oficina de pintura com os pés e a boca em São Paulo. Agência Brasil, 16 fev. 2017. Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2017-02/

jovens-artistas-ministram-oficina-de-pintura-com-os-pes-e-boca-em-sao-paulo>. Acesso em: 25 jul. 2018.

• Os próximos tópicos (“Os números naturais” e “Comparação de números naturais”) desenvolvem a habilidade EF06MA01 exclu-sivamente para os números naturais, abordando carac-terísticas do conjunto e com-paração de números. • Se achar oportuno, peça aos alunos que realizem as suges-tões de atividades indicadas a seguir antes de iniciar o es-tudo. Avalie o conhecimento prévio deles com relação às ideias de antecessor e suces-sor de um número natural.

Sugestão de atividades extras • Como as atividades sugeridas são on-line, programe-se antecipadamente para aplicá-las. Elas estão disponíveis nos seguintes endereços (acessos em: 29 jul. 2018):

� <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg1.html>. � <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg2.html>. � <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg3.html>.

http://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2017-02/jovens-artistas-ministram-oficina-de-pintura-com-os-pes-e-boca-em-sao-paulo

http://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2017-02/jovens-artistas-ministram-oficina-de-pintura-com-os-pes-e-boca-em-sao-paulo

http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/antseg1.html



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O número natural zero não é sucessor de nenhum outro número natural. Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. Para obter o antecessor de

um número natural, subtraímos dele uma unidade.

Números pares e números ímpares

A professora Carla escreveu no quadro a sequência dos números naturais pares e a dos núme-ros naturais ímpares.

Sequência dos números naturais pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Sequência dos números naturais ímpares:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... Ao observar as sequências escritas pela professora, os alunos notaram que:• os números pares são números naturais que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8;• os números ímpares são números naturais que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9.

• O antecessor de 10 é 9, pois: 10 2 1 5 9• O antecessor de 50 é 49, pois: 50 2 1 5 49

Exemplos

Observações

1 As palavras sucessivo e consecutivo têm o mesmo significado que “sucessor”. Assim:• o sucessivo de 89 é 90;• o consecutivo de 1 175 é 1 176.

• o sucessivo de 1 é 2, e o de 2 é 3.• os números 35, 36 e 37 são consecutivos.

2 As palavras precedente e antecedente têm o mesmo significado que “antecessor”. Assim:• o precedente de 32 é 31;• o antecedente de 101 é 100.

Lendo e aprendendo

Código de barras

O código de barras é uma representação gráfica de dados numéricos ou alfanuméricos. A decodificação, ou seja, a lei-tura dos dados, é realizada por um tipo de scanner, o leitor de código de barras. Os dados capturados nessa leitura óptica são convertidos em letras ou números, como você deve ter observado quando acompanha um adulto nas compras.

O código de barras evoluiu muito e ganhou uma segunda dimensão.

O código de barras bidimensional, conhecido como código QR (sigla do nome em inglês Quick Response — “Resposta rápida”), pode ser facilmente escaneado com celulares equipados com câmera.

Código QR.

AD

ILS

ON

SE

CC

O

Código de barras padrão composto de 13 dígitos.

• Antes de iniciar o conteúdo sobre números pares e núme-ros ímpares, avalie os conhe-cimentos prévios dos alunos, perguntando:

� Em que situação vocês já utilizaram números pares e números ímpares? � Como vocês sabem que

o número é par ou ímpar? � Quais são os números pa-

res que vocês conhecem? Liste os números no quadro de giz e peça aos alunos que digam as características comuns. � Quais são os números ím-

pares que vocês conhecem? Liste os números no quadro de giz e peça aos alunos que digam as características co-muns.

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Número e numeral

Número é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Numeral é toda representação escrita, falada ou digitada de um número. Para repre-sentar um número, podemos utilizar diferentes numerais.

O número de rodas do jipe-robô Curiosity, por exemplo, pode ser representado de várias maneiras.

Por meio de palavras denominadas numerais:• seis (numeral da língua portuguesa);

• six (numeral da língua inglesa).

Por meio de símbolos também chamados de numerais:• 6 (numeral indo-arábico);

• VI (numeral romano).


zero

1

sim

601 e 599

1 002 e 1 000

8 021 e 8 019

50 001 e 49 999

14, 15 e 16

98, 99 e 100

697, 698 e 699

1 119, 1 120 e 1 121

997

10 002

81; 98

999, 1 001 e 1 003

29

JPL-

CA

LTE

CH

/NA

SA

O jipe-robô Curiosity pousou na superfície de Marte em agosto de 2012, após uma viagem de 567 milhões de quilômetros e quase nove meses.

SenhaCadeia de caracteres que autoriza o acesso a um con-junto de operações em um sistema de computadores ou em equipamentos computa-dorizados, como caixas eletrô-nicos de bancos.

Cuidado!

Não confunda número, numeral e algarismo. Ob serve os exemplos:• O numeral 4 567 representa uma quantidade (número) e

é escrito com os algarismos 4, 5, 6 e 7.• Minha senha bancária é formada por quatro algarismos, e não

por quatro números.


a) Qual é o menor número natural?

b) Qual é o sucessor do zero?

c) Todo número natural tem sucessor?

2 Escreva o sucessor e o antecessor dos nú-meros naturais a seguir.

a) 600 c) 8 020

b) 1 001 d) 50 000

3 Escreva três números naturais consecuti-vos sabendo que o maior deles é:

a) 16. c) 699.

b) 100. d) 1 121.


a) Qual é o antecessor do maior número natural par de três algarismos?

b) Qual é o sucessor do menor número natural ímpar de cinco algarismos?

c) Qual é o sucessor ímpar de 79? E o pre-cedente par de 100?

5 Observe a sequência abaixo:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...

Agora, responda: qual é o próximo número dessa sequência?

6 Escreva três números naturais ímpares consecutivos, entre os quais o me nor é 999.

• Acompanhe os alunos durante a resolução da atividade 5, verificando se todos compreendem o padrão da sequência:

• É importante que os alunos percebam a diferença entre número, numeral e algaris-mo. Podem-se utilizar os di-ferentes sistemas de nume-ração estudados para auxiliar na distinção entre as ideias de número e numeral. • As atividades propostas nes-te tópico reforçam as ideias de antecessor e de sucessor, e algumas articulam essas no-ções com a de paridade.• Ao comentar o problema proposto no item a da ati-vidade 4, é possível solicitar aos alunos que representem o número 997 nos sistemas romano, egípcio e indo-ará-bico, reforçando a ideia de numeral e distinguindo-a de algarismo e de número.

1, 2, 7, 16,4, 11, 22, 29

1 1 1 4 1 3 11 1 5 22 1 7

2 1 2 7 1 4 16 1 6

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Os jogos olímpicos são realizados com o objetivo de incentivar a integração entre os povos por meio de diferentes modalidades esportivas. Os primeiros jogos olímpicos modernos ocorreram em 1896, em Atenas, na Grécia. Em 2016, os jogos foram realizados na cidade do Rio de Janeiro (RJ).

Cerimônia de abertura dos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, em 2016.

Logotipo oficial dos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, em 2016.

* Apesar de o Reino Unido ter conquistado menos medalhas que a China, ela ficou em segundo lugar porque o primeiro critério utilizado para classificação ou desempate é o número de medalhas de ouro conquistadas por determinado país.

Medalhas conquistadas no Rio de Janeiro

País Ouro Prata Bronze Total

Estados Unidos 46 37 38 121

Reino Unido 27 23 17 67*

China 26 18 26 70

Rússia 19 18 19 56

Alemanha 17 10 15 42

Dados obtidos em: <https://www.olympic.org/olympic-results>. Acesso em: 26 jul. 2018.

RV

ISO

FT/S

HU

TTE

RS

TOC

K

Com base nos dados da tabela, podemos afirmar que: O número de medalhas de bronze conquistadas pela China é maior que o número de

medalhas de bronze conquistadas pela Rússia. Escrevemos: 26 . 19. O número de medalhas de prata conquistadas pela Alemanha é menor que o número

de medalhas de ouro que esse país conquistou. Escrevemos: 10 , 17. O número de medalhas de prata conquistadas pelos Estados Unidos é diferente do

número de medalhas de prata conquistadas pela China. Escrevemos: 37 % 18. O número de medalhas de ouro conquistadas pela Alemanha é igual ao número de

medalhas de bronze conquistadas pelo Reino Unido. Escrevemos: 17 5 17.

A tabela abaixo apresenta os cinco países que mais conquistaram medalhas nos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro.

SH

AH

JEH

AN

/SH

UTT

ER

STO

CK

Comparação de números naturais4

• O tópico desta página re-toma a comparação entre números naturais, possivel-mente abordada em anos anteriores.

https://www.olympic.org/olympic-results

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Faça as atividades no cadernoATIVIDADES Faça as atividades no caderno.

A reta numérica e os números naturais

O A B C D ...

0 21 4 …3 5 6

E F

O A B C D...

O

Podemos representar a sequência dos números naturais em uma linha chamada reta numérica. Observe:

Traçamos uma reta e marcamos o ponto O (origem).

À direita de O, marcamos pontos consecutivos com a mesma distância entre eles, determinando os pontos A, B, C, D, …

Aos pontos O, A, B, C, D, …, fazemos corresponder os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, ..., respectivamente.

Assim, estabelecemos uma correspondência entre os números naturais e os pontos marcados na reta.

Com o auxílio da reta numérica, podemos fazer a comparação de números naturais.

ILU

STR

AÇ

ÕE

S: L

UIZ

RU

BIO

Paula458, 485, 548, 584, 845 e 854; maior: 854; menor: 458

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10, 11, 12, 13, ...

13, 14, 15, 16

12, 13, 14, 15, 16, 17

16, 17, 18, 19, 20, 21

• Como 5 está representado à direita de 2 na reta numérica, então 5 é maior que 2, ou seja: 5 . 2

• Como 1 está representado à esquerda de 6 na reta numérica, então 1 é menor que 6, ou seja: 1 , 6

Exemplos

3 Marina, Paula e Carla são jogadoras de vôlei. Carla é mais alta que Marina, e Paula é mais baixa que Marina. Qual delas é a mais baixa?

2 Escreva a sequência de números indicada em cada caso.

a) Números naturais menores que 8.

b) Números naturais maiores ou iguais a 10.

c) Números naturais entre 12 e 17.

d) Números naturais de 12 a 17.

e) Números naturais maiores que 15 e menores que 22.

1 Escreva seis números diferentes utilizan-do os algarismos 4, 5 e 8 sem repeti-los. Qual é o maior deles? E o menor?

EN

ÁG

IO C

OE

LHO

• Na atividade 2, explore com os alunos a interpretação de cada caso para formar a sequência de números:

� no item a, o número 8 não faz parte da sequên-cia, mas apenas os núme-ros naturais menores que 8, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; � no item b, o número 10

fará parte da sequência, por conta da expressão “ou iguais a 10”. Então: 10, 11, 12, 13, ...; � no item c, a expressão “en-

tre” significa “a meio de” ou “intervalo numa série”; então, para essa sequên cia devemos considerar os nú-meros que são maiores que 12 e menores que 17, ou seja: 13, 14, 15, 16; � no item d, temos que con-

siderar os números maiores ou iguais a 12 (“de 12”) e os números menores ou iguais a 17 (“a 17”), ou seja: 12, 13, 14, 15, 16, 17.

• Na atividade 3, observe como os alunos resolvem o problema. Os dados são:

� Carla é mais alta que Ma-rina; � Paula é mais baixa que

Marina.Então, como Paula é mais baixa que Marina, que, por sua vez, é mais baixa que Carla, temos que Paula é mais baixa que Carla. Se com-pararmos as alturas, temos:

altura de Paula

altura de Marina

altura de Carla , ,

Logo, Paula é a mais baixa e Carla é a mais alta.

• A correspondência dos números com os pontos na reta numérica complementa o estudo de comparação entre números, possibilitando a articulação do assunto com o que foi abordado nos tópicos anteriores, como a locali-zação do antecessor e do sucessor de um número natural na reta numérica. Pode-se perguntar aos alunos, por exemplo, quantos números existem entre dois números pares sucessivos e entre dois números naturais sucessivos.

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0 6

O R TS

O

0 1

A B C D E

CBA

cba 6

0

1

P Q R

Agora, responda: qual é o número natural que corresponde ao ponto:

a) R ? b) S ? c) T ?

Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?

a) a . 6

b) b . 6

c) 6 , c

d) c . b

e) c , a

f) b . a

No caderno, escreva que ponto representa:

a) o número 9;

b) o número 12;

c) o número 4;

d) o número 15.

Em seguida, indique os pontos P, Q e R na reta de acordo com as informações a seguir.

I. P e R são pares.

II. P , 3.

III. Q . 4 e R . 4.

IV. R , 7 e Q , 6.

a)A B C D E

28 31 34 37 40

b)F G H I J

14 20 26 32 38

2 4 5

1.0 3 5 7

D

C

A

E

26

17

46 e 87, respectivamente

30 horas extras

391 algarismos

1 392 algarismos

144 páginas

4. Observe que é evidenciada uma parte da reta, sendo a ela associados números naturais, não necessariamente iniciando pelo zero.

Podemos marcar pontos na reta considerando marcações de 2 em 2, de 3 em 3, ..., respeitando a distância entre eles.

4 Observe a reta numérica em que a, b e c representam números naturais correspon-dentes aos pontos A, B e C.

5 De acordo com as retas numéricas, escreva, no caderno, os números naturais corres-pondentes às letras C, D, F e I.

6 Reproduza a reta numérica abaixo em seu caderno.

1 Desenhe, no caderno, uma reta numérica e registre os números 0, 3, 5 e 7.

2 Observe a reta numérica.

3 Dada a reta numérica, faça o que se pede.

9 Quantos algarismos escrevemos para re-presentar todos os números de 35 até 186?

10 Quantos algarismos são necessários para numerar as 500 páginas de uma apostila?

11 Fazendo uma pesquisa na internet sobre aquecimento global, Luís encontrou uma reportagem completa sobre o assunto, com mais de 200 páginas.

Depois de ler a pesquisa, ele imprimiu da página 35 até a 178. Quantas páginas foram impressas?


a) Quantos números naturais existem de 25 até 50?

b) Quantos números naturais existem entre 30 e 48?

c) Para numerar de 5 até 50, quantos núme ros e quantos algarismos escre-vemos?

8 Paulo vai trabalhar em um novo projeto em sua empresa. Para se dedicar a esse novo trabalho, ele passou a fazer duas horas extras por dia.

Sabendo que Paulo não trabalha aos fins de semana e que o projeto durou 3 semanas, quantas horas extras Paulo trabalhou nesse projeto?

Alternativas b, c, d, f.

ILU

STR

AÇ

ÕE

S: L

UIZ

RU

BIO

• Para a atividade 4, espera--se que os alunos entendam que não precisam determi-nar os valores de a, b e c, mas basta fazer a comparação utilizando a reta numérica. É interessante estimulá-los a corrigir as sentenças falsas. Com isso, temos:

� a sentença do item a (a . 6) é falsa, pois o ponto A, que representa a, está à esquerda do ponto que representa o 6 na reta; portanto, a , 6; � a sentença do item e (c , a)

é falsa, pois C está à direi-ta de A na reta numérica, portanto, a , c ou c . a.

• Para resolver a atividade 7, os alunos poderão utilizar a reta numérica como auxílio ou se organizar para analisar intervalos menores. Veja o quadro a seguir com a aná-lise de intervalos menores para a resolução do item c.Assim, de acordo com o qua-dro, para numerar de 5 até 50, são necessários 46 núme-ros (6 1 10 1 10 1 10 1 10) e 87 algarismos (5 1 2 1 20 1 1 20 1 20 1 20).Essa estratégia poderá ser utilizada na resolução das atividades 9, 10 e 11.

• Quadro referente à resolução do item c da atividade 7:Quantidade de números Quantidade de algarismos

5 até 10 6 números 5 números com 1 algarismo: 5 # 1 5 5 e 1 número com 2 algarismos: 1 # 2 5 2 11 até 20 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 2021 até 30 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 2031 até 40 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 2041 até 50 10 números 10 números com 2 algarismos: 2 # 10 5 20

33

Trabalhando os conhecimentos adquiridosFaça as atividades no caderno.

Aplicando

Revisitando

Conceito A) Sucessor de um número natural

B) Antecessor de um número natural di ferente de zero

C) Números pares

D) Números ímpares

Definição I) É obtido pela subtração de uma unidade

desse número.

II) Terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.

III) É obtido pelo acréscimo de uma unidade a esse número.

IV) Terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9.

contagem, ordem, código e medida

Resposta pessoal. Espera-se que os alunos identifiquem o sistema numérico decimal e os sistemas egípcio e romano, trabalhados no capítulo.

Base 10. Respostas pessoais.

Resposta pessoal.

A – III; B – I; C – II; D – IV

1 Este capítulo aborda os números naturais. Quais são as quatro funções (usos) desses números?

2 Com qual(is) das quatro funções listadas na questão anterior você mais utiliza os números naturais no dia a dia?

4 Qual é a base do sistema numérico decimal? Você conhece outras bases? Se sim, quais?

5 Relacione cada conceito à sua definição:

3 Que sistemas de numeração você conhece?

R$ 894,00

1 3 5 7 9 11

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98.

1 Escreva no caderno:

a) o antecessor e o sucessor de 519;

b) o antecessor e o sucessor do maior número natural de três algarismos;

c) o sucessor do sucessor de 1 000;

d) todos os números de quatro algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 0, 4, 7 e 9.

2. Os números formados são: 1 234, 1 243, 1 324, 1 342, 1 423, 1 432, 2 134, 2 143, 2 314, 2 341, 2 413, 2 431, 3 124, 3 142, 3 214, 3 241, 3 412, 3 421, 4 123, 4 132, 4 213, 4 231, 4 312, 4 321

2 Considere o número natural 1 234. Efetuando todas as trocas possíveis de seus algarismos, podese formar certa quantidade de nú meros naturais de quatro algarismos, como 2 341 e 1 342. No caderno, escreva todos esses números em ordem crescente e, em seguida, responda às questões.

a) Qual é o primeiro número?

b) Qual é o último número?

c) Qual é o total de números?

3 Desenhe uma reta numé rica e indique nela os seis primeiros números ímpares.

4 Um artista foi contratado para numerar as 185 páginas de uma filatelia, recebendo R$ 2,00 por algarismo desenhado. Quanto ele deverá receber pelo trabalho?

Filatelia Coleção de selos postais, do grego fila (amigos) e telos (selo).

JOS

É L

UÍS

JU

HA

S

antecessor: 518, sucessor: 520

antecessor: 998, sucessor: 1 000

1. d) 4 079, 4 097, 4 709, 4 790, 4 907, 4 970, 7 049, 7 094, 7 409, 7 490, 7 904, 7 940, 9 047, 9 074, 9 407, 9 470, 9 704, 9 740. Espera-se que os alunos percebam que os números não devem iniciar com o zero.

1 002

1 234

4 321

24

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimen-tos vistos no capítulo, in-centivando a revisão, a au-toavaliação e a criatividade por meio da resolução e ela-boração de problemas. Essa seção é composta de ativida-des de diversos níveis de difi-culdade, incluindo desafios, questões de exames e con-cursos, cuidadosamente es-colhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Revisitando• Essa seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolida-dos. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos con-teúdos avaliados na seção, sugira que retomem as pági-nas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conheci-mento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.

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98.

5 Junte-se a um colega e determinem quantas vezes usamos o algarismo 2 para escrever todos os números de:

a) 1 a 50;

b) 1 a 100.

340 000 10 Escreva, no caderno, o número que satisfaz

as condições abaixo.

• Está situado entre 300 000 e 400 000.

• Seus quatro últimos algarismos são zeros.

• A soma dos seus algarismos é 7.

DESAFIO

Para numerar as páginas de uma apostila, foram usados 816 algarismos. Determine o número de páginas dessa apostila. 308 páginas

15

20

10 503

7 000 071

6 No caderno, escreva o número formado por:

a) uma dezena de milhar mais cinco centenas mais três unidades;

b) sete unidades de milhão mais sete dezenas mais uma unidade.

DESAFIO

Leia atentamente a questão e determine a única alternativa correta.

O algarismo das unidades de um número de dois algarismos é m, e o algarismo das dezenas é n. Colocando um algarismo p à direita desse número, obtém-se um novo número, que é:

a) 100n 1 100m 1 p

b) n 1 m 1 p

c) 10n 1 m 1 p

d) 1 000n 1 100m 1 p

e) 100n 1 10m 1 p

alternativa e

7 Escreva, no caderno, como se lê o número que aparece abaixo.

GE

OR

GE

TU

TUM

I

8 Leia o texto a seguir.

O monte Everest, localizado na cordilheira do Himalaia, no Nepal, é a montanha mais alta do mundo, com 8 848 metros em relação ao nível do mar.

O pico da Neblina, localizado na serra do Imeri, no Amazonas, é o ponto mais alto do Brasil, com 3 014 metros acima do nível do mar.

11 Escreva como se leem os números destaca-dos a seguir.

a) A Região Sudeste do Brasil tem 924 511 quilômetros quadrados de área.

b) O Homo sapiens viveu há 160 000 anos.

c) Em 2017, a população total do Brasil era de, aproximadamente, 208 129 000 habitantes.

d) Um ano-luz corresponde a 9 460 800 000 000 quilômetros.nove trilhões, quatrocentos e sessenta bilhões e oitocentos milhões

novecentos e vinte e quatro mil, quinhentos e onze

cento e sessenta mil

duzentos e oito milhões, cento e vinte e nove mil

• Agora, responda às questões.

a) No número 8 848, qual é o valor posicional:

• do algarismo da 3a ordem?


b) No número 3 014, qual é o valor posi cional:



800

8 000

4

0

12 Apresentamos a seguir o número de habitantes dos seis estados mais populosos do Brasil, em 2017, de acordo com esti ma-tivas do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

outubro

sábado

9 Responda às questões abaixo.

a) Qual é o 10o mês do ano?

b) Qual é o 7o dia da semana?

São Paulo .................................. 45 094 866

Minas Gerais ............................ 21 119 536

Rio de Janeiro ........................... 16 718 956

Bahia ......................................... 15 344 447

Rio Grande do Sul .................... 11 322 895

Paraná ....................................... 11 320 892

Fonte: Dados obtidos no Diário Oficial da União, Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017, p. 58.

seiscentos e dezessete milhões, sessenta e cinco mil, trezentos e vinte

• Na resolução da atividade 5, os alunos devem descobrir quantas vezes o algarismo 2 aparece nas sequências de 1 a 50 e de 1 a 100. Para isso, vamos analisar intervalos me-nores:

� de 1 a 19: 2 vezes (2 e 12); � de 20 a 29: 11 vezes (20,

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 e 29); � de 30 a 50: 2 vezes (32 e

42); � de 50 a 100: 5 vezes (52,

62, 72, 82 e 92).Portanto, de 1 a 50, o alga-rismo 2 se repete 15 vezes (2 1 11 1 2) e, de 1 a 100, 20 vezes (2 1 11 1 2 1 5). • Para resolver o Desafio após a atividade 10, podemos utilizar o quadro de ordens:

� 1o número formado:

C D U

n m

Usando a forma decompos-ta, podemos escrever o nú-mero da seguinte maneira: 10 n 1 m;

� 2o número formado: co-locar o algarismo p à direi-ta do 1o número formado (algarismo da unidade). Com isso, m passa a ser o algarismo das dezenas, e n, o algarismo das centenas. Assim:

C D U

n m p

Usando a forma decompos-ta, podemos escrever o nú-mero da seguinte maneira: 100 n 1 10 m 1 p (alter-nativa e)

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Elaborando

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DESAFIO

(Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é cons-tituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.

O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:

a) 2 614 b) 3 624 c) 2 715 d) 3 725 e) 4 162

AN

DE

RS

ON

DE

AN

DR

AD

E P

IME

NTE

L

01

2

3

45

6

7

8

90

9

8

7

65

4

3

2

10

1

2

3

45

6

7

8

90

9

8

7

65

4

3

2

1

milhar centena dezena unidade

a) Quais são os três estados mais populosos do Brasil?

b) Qual é o estado mais populoso do Nordeste?

c) Em qual dos números apresentados na estimativa o al garismo 6 tem valor posicional 6 000 000?

d) Escreva em um quadro de ordens o número que representa a população do Paraná.

e) O estado em que você mora tem mais ou menos que 5 milhões de habitantes?

13 Escreva, com algarismos indo-arábicos, o número dezessete bilhões, cinco milhões e noventa.

14 Com os algarismos 1, 3, 4, 6 e 2 e sem repetir nenhum deles, escreva:

a) o maior número possível;

b) o menor número possível;

c) o maior número que tenha o algarismo 1 na ordem das centenas;

d) um número maior que 43 200 que tenha 6 como algarismo das unidades.

1 Diga a um colega um valor maior que 500 e menor que 2 000 e peça a ele que escreva esse número no sistema de numeração romano. Em seguida, verifique se ele acertou.

2 Junte-se a um colega e peça a ele que trace uma reta numérica no caderno. Em seguida, solicite a ele que indique na reta três números escolhidos por você. Depois, verifique se ele indicou os números nos locais apropriados.

Resposta pessoal.

8a 7a 6a 5a 4a 3a 2a 1a

1 1 3 2 0 8 9 212. d)

São Paulo, Minas Gerais e Rio de Janeiro

Bahia

16 718 956

17 005 000 090

alternativa a

Resposta pessoal.Caso haja necessidade, oriente os alunos no traçado e na distância entre os pontos na reta numérica.

Resposta pessoal.

64 321

12 346

64 132

43 216

• Para resolver o Desafio, os alunos deverão ficar aten-tos, pois, para determinar os algarismos que compõem o número da leitura do “reló-gio de luz”, é preciso saber o sentido em que devemos ler o relógio e identificar o último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. Diante disso, temos:

� algarismo da classe do mi-lhar: o ponteiro gira no sen-tido anti-horário; então, o último algarismo ultrapas-sado pelo ponteiro é o 2; � algarismo da classe da

centena: o ponteiro gira no sentido horário; então, o último algarismo ultrapas-sado pelo ponteiro é o 6; � algarismo da classe da

dezena: o ponteiro gira no sentido anti-horário; então, o último algarismo ultrapas-sado pelo ponteiro é o 1; � algarismo da classe da

unidade: o ponteiro gira no sentido horário; então, o último algarismo ultrapas-sado pelo ponteiro é o 4.

Então, o número obtido na lei-tura é 2 614 (alternativa a).

Elaborando • Essa seção incentiva a cria-tividade e a elaboração de questões pelos alunos, favo-recendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência espe-cífica 5 da BNCC.

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

36

CAPÍTULO

36


O catamarã giganteTûranor PlanetSolar foi a primeira embarcação a completar uma volta ao mundo usando apenas energia solar. O veículo partiu do porto de Mônaco em setembro de 2010 e retornou a esse local em maio de 2012. A viagem durou 585 dias.

O barco foi construído com materiais leves e resis tentes, como fibra de carbono e resina plástica. Com 31 metros de comprimento e 15 metros de largura, o Tûranor é coberto por 537 metros quadrados de painéis solares fotovoltaicos. Sua massa é de aproximadamente 85 toneladas, sendo 21 toneladas de fibra de carbono, 23 toneladas de resina plástica e 41 toneladas de outros materiais.

Agora, responda às questões em seu caderno.

Qual é a massa total, em tonelada, dos materiais que compõem a embarcação?

Quantas semanas durou a viagem do Tûranor ao redor do mundo?

VALE

RIE

GA

CH

E/A

FP

/GE

TT

Y IM

AG

ES

Painéis solares fotovoltaicos Dispositivos utilizados para con-verter a energia da luz do Sol em energia elétrica.

2 Operações com números naturais

Tûranor PlanetSolar é o maior navio movido a energia solar do mundo, 2014.

85 toneladas

83 semanas e 4 dias

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Objetivos • Compreender a importân-cia das operações com nú-meros naturais na resolução de problemas.• Conhecer e entender as ideias da adição (juntar, unir e acrescentar), da subtração (comparar e completar), da multiplicação (adição de par-celas iguais, disposição retan-gular, número de possibilida-des, proporção), da divisão (repartir em partes iguais e medida) e da potenciação. • Aplicar as propriedades das operações como recurso para facilitar a resolução de problemas. • Resolver problemas com expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação, divisão e po-tenciação.

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvi-mento das seguintes habili-dades da BNCC: EF06MA03 e EF06MA12.

• Neste capítulo, são abor-dadas as operações de adi-ção, subtração, multiplica-ção e divisão com números naturais – operações que já foram trabalhadas nos Anos Iniciais do Ensino Funda-mental. É importante fazer o levantamento do conhe-cimento prévio dos alunos sobre esse tema para plane-jar o tipo de abordagem, o tempo, as atividades e a ava-liação, de forma que eles se sintam desafiados em cada etapa da aprendizagem.

É hora de observar e refletir• O contexto apresentado na abertura sobre uma embarcação movida a energia solar permite discutir a utilização das operações, bem como os aspectos para o desenvolvimento da criticidade. Dessa forma, tende-se a favorecer o desenvolvimento da competência geral 6. Pode-se conduzir a discussão propondo questões como: “Quais são as vantagens e as desvantagens de se utilizar um meio de transporte movido a energia solar?”; “Que outros usos pode ter a energia solar?”; “Que outros tipos de energia não poluem o meio ambiente?”.

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Trocando ideias


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98.

Produto Valor em real

Trem 55

Bola de basquete 40

Carro de controle remoto 100

Moto de controle remoto 60

Quebra-cabeça 65

Jogo de tabuleiro 45

Jogo de montar 30

1. IM

AG

ED

B.C

OM

/SH

UTT

ER

STO

CK

; 2. M

ALA

CH

Y66

6/S

HU

TTE

RS

TOC

K; 3

. AN

DR

EY

VO

/SH

UTT

ER

STO

CK

1

2

3

No nosso dia a dia, há situações que podem ser resolvidas utilizando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

Leia o problema abaixo.

Pedro foi a uma loja de brinquedos e comprou para sua filha um jogo de tabuleiro, um carrinho de controle remoto e um quebra-cabeça.

Veja no quadro abaixo o preço de alguns dos brinquedos que havia na loja. Em segui-da, res ponda às questões.

a) Qual foi o valor total da compra? Que operação você utilizou para obter a resposta?

b) Se Pedro realizou o pagamento em três parcelas iguais, qual foi o valor de cada prestação? Que operação você utilizou para obter a resposta?

c) Pedro usou uma nota de 100 reais para pagar a primeira parcela. Quanto ele re-cebeu de troco? Que operação você utilizou para obter a resposta?

d) Antes da compra, Pedro havia definido um limite para seus gastos de até 80 reais por parcela. Considerando esse limite, que brinquedo ele poderia ter adicionado à compra?

e) Se o limite de cada parcela fosse de 90 reais, qual dos brinquedos Pedro poderia comprar a mais? Explique.

f) Por que é importante fazer uma pesquisa de preços antes de comprar algum produto?

g) Por que, às vezes, parcelamos algumas compras?

Neste capítulo, vamos ampliar nossos conhecimentos sobre operações com números naturais.

210 reais; adição

70 reais; divisão

30 reais; subtração

jogo de montar

Qualquer um, pois ele poderia comprar um brinquedo de até 60 reais.

Resposta pessoal.Resposta pessoal.

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar o diálogo entre os alunos sobre os assuntos que serão tratados no capítulo (adição, subtração e divisão), mobilizando seus conheci-mentos. Sugerimos explorá--la oralmente; se você julgar necessário, solicite que res-pondam às questões por es-crito no caderno.• É introduzido o trabalho com algumas das operações com números naturais. A atividade proposta pode ser complementada de for-ma que os alunos percebam melhor as ideias exploradas pela explicitação da estraté-gia de resolução construída.• Ao comentar a questão do item d, solicite aos alunos que expliquem como chega-ram à resposta e pensem em outra estratégia para deter-minar o brinquedo que po-deria ser comprado. Esse tipo de questionamento permite que explicitem os procedi-mentos e escolham em razão do significado atribuído às operações envolvidas. O mes-mo vale para o item e.• Os itens f e g trabalham com a noção de educação financei-ra. Proponha um debate com a turma sobre os temas levan-tados nas questões: pesquisa de preço e parcelamento de compra. Incentive a comuni-cação e o desenvolvimento do pensamento crítico, criando oportunidade para o desen-volvimento do tema educação para o consumo.

EF06MA03: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números na-turais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.EF06MA12: Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

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98.

Observe o total de pontos conquistados pelos cinco pilotos de Fórmula 1 mais bem colocados no Mundial de Construtores de 2017.

Posição Piloto Pontos

1a Lewis Hamilton 363

2a Sebastian Vettel 317

3a Valtteri Bottas 305

4a Kimi Räikkönen 205

5a Daniel Ricciardo 200

Dados obtidos em: <https://www.formula1.com/en/results.html/2017/drivers.html>. Acesso em: 27 jul. 2018.

Qual foi o total de pontos alcançado pelos pilotos que conquistaram as três primeiras posições?

Para obter essa resposta, devemos juntar, unir ou reunir quantidades, ou seja, efetuar a operação denominada adição.

Veja como obter esse total:

Nessa adição, os números 363, 317 e 305 são as parcelas, e 985 é a soma (ou total).

Outra ideia da adição é a de acrescentar uma quantidade a outra. A situação a seguir exemplifica essa ideia.

Em um campeonato esportivo entre escolas, a escola Aprender estava com 50 pontos. Duas alunas dessa escola conquistaram, então, o 1o e o 3o lugares em uma corrida de 100 metros, ganhando, respectivamente, 25 e 11 pontos. Qual passou a ser o total de pontos dessa escola após essas conquistas?

Primeiro, podemos efetuar esta adição:

25 1 11 5 36

Em seguida, acrescentamos 36 a 50, efetuando a adição 50 1 36.

50 1 36 5 86

Concluímos, portanto, que a escola Aprender passou a ter 86 pontos.

parcela

parcela

parcela

soma ou total

363317

1 305985

CR

ÉD

ITO

DA

S F

OTO

S: R

EIN

O U

NID

O E

ALE

MA

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A: B

RIL

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DIA

: NAY

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/SH

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STO

CK

; A

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LIA

: MA

XIM

UM

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R/S

HU

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RS

TOC

K

Adição com números naturais1

EN

ÁG

IO C

OE

LHO

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• Este capítulo é organiza-do em tópicos, destinados a um tema específico. As atividades propostas em cada tópico contemplam os conteúdos ali desenvolvidos. Cumprem, assim, os objeti-vos referentes à familiariza-ção, permitindo aos alunos identificar a operação ou a propriedade a ser empre-gada na resolução em razão dos significados atribuídos às operações com núme-ros naturais. Dessa forma, é importante que esses signi-ficados sejam discutidos no momento de correção e de sistematização.• Explore outras maneiras de realizar os cálculos nas si-tuações apresentadas (pon-tos alcançados pelos pilotos de Fórmula 1 e o total de pontos em um campeonato). Pergunte aos alunos como fariam para resolver esses problemas usando o cálculo mental. De acordo com as respostas dadas, apresente a possibilidade de realizar o cálculo por meio da decom-posição dos números (par-celas da adição). Isso poderá proporcionar aos alunos a compreensão do algoritmo usual e o desenvolvimento de uma estratégia para o cálculo mental. Veja a seguir a resolução para obter o total de pontos da situação que explora o campeonato esportivo entre escolas usan-do a decomposição:

25 5 20 1 5

11 5 10 1 11

30 1 6 5 36

https://www.formula1.com/en/results.html/2017/drivers.html

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EtapaNome 1a 2a 3a

Júlio 3 650 5 995 7 036

Marcelo 3 543 2 786 9 999

Antônio 4 119 3 830 8 678

Estado Área (km2)

Paraná 199 308

Santa Catarina 95 738

Rio Grande do Sul 281 738

Dados obtidos em: <https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/panorama>; <https://

cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama>; <https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/

panorama>. Acessos em: 20 ago. 2018.

Cidade População

São Paulo 12 106 920

Rio de Janeiro 6 520 266

Brasília 3 039 444

Salvador 2 953 986

Fortaleza 2 627 482

Belo Horizonte 2 523 794

Dados obtidos no Diário Oficial da União, Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017,

p. 60, 62, 70 e 76.

1 Considere os números abaixo.

2 Observe o quadro de pontos de uma gincana e responda às questões.

3 Com base nos valores aproximados do quadro abaixo, calcule a área total, em quilômetro quadrado (km2), da Região Sul do Brasil.

4 Observe o quadro com as seis cidades mais populosas do Brasil.

5 Quando Laerte nasceu, o pai dele tinha 28 anos. Atualmente, Laerte tem 18 anos. Determine a soma das idades de Laerte e de seu pai hoje.

6 Determine a soma de todos os números de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 3, 4 e 5.

7 Ana vai usar a calculadora para determinar a soma de três números consecutivos, sabendo que o menor deles é 549. Quando foi realizar os cálculos, Ana percebeu que as teclas 0 e 9 da sua calculadora estavam com defeito. Como Ana poderá realizar essa adição? Qual será o seu resultado?

8 Forme dupla com um colega para responder à questão: quais são os quatro números ímpares cuja soma é 29?

1 576 8 916 7 435

2 050 794

Agora, determine os totais obtidos com:

a) a adição dos dois maiores números;

b) a adição dos dois menores números;

c) a adição do menor número com o maior número.

a) Quantos pontos Júlio obteve nas três etapas?

b) Algum dos candidatos conquistou mais de 17 mil pontos nessa gincana?

c) Quem obteve mais pontos nessa gincana?

Calcule a população das cidades:

a) do Su deste listadas no quadro;

b) do Nor deste listadas no quadro.

16 351

2 370

9 710

16 681

não

Júlio

576 784 quilômetros quadrados

21 150 980

5 581 468

64 anos

2 664

É impossível, uma vez que o resultado da adição de quatro números ímpares sempre será um número par.

7. O resultado da adição é 1 650. Ana poderá realizar os seguintes cálculos usando a calculadora: (548 1 1) 1 (551 2 1) 1 551

• A atividade 1 propõe aos alunos que, antes de realizar as operações, façam as com-parações dos números dados.• As atividades 3 e 4 possibi-litam uma conexão com Geo-grafia. Em parceria com o pro-fessor dessa disciplina, peça aos alunos que pesquisem a população dos demais esta-dos brasileiros e façam uma tabela com a área aproxima-da (usando apenas números naturais) de cada estado. Os alunos deverão analisar as in-formações obtidas por região (Norte, Nordeste, Centro-Oes-te, Sudeste e Sul), comparan-do a área da região com a população, além de relacio-nar os padrões climáticos, as formações vegetais, os tipos de solo e a interação humana. Por exemplo, o Norte apre-senta uma população menor que a do Sudeste, ainda que a área seja maior, por abri-gar grande parte da Floresta Amazônica.• Na atividade 6, os alunos podem ser incentivados a explicitar todas as seis possi-bilidades: 345, 354, 435, 453, 543, 534.

https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/panorama

https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/panorama

https://cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama

https://cidades.ibge.gov.br/brasil/sc/panorama

https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/panorama

https://cidades.ibge.gov.br/brasil/rs/panorama

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Algumas propriedades da adição

Observe algumas propriedades da adição.

• Que resultados você obteve?• O que você percebeu?

Escolha outros dois números naturais e, em seu caderno, escreva uma adição cujas parcelas são somente esses números. Depois, escreva outra adição trocando a ordem das parcelas. Finalmente, calcule o resultado das duas adições. O que você observou?

Escolha três outros números naturais. Adicione, em seu caderno, a soma dos dois primeiros números com o terceiro. Em seguida, adicione o primeiro número com a soma dos dois últimos. O que você observou?


Adicione mentalmente: 12 1 28 28 1 12

Adicione mentalmente: 58 1 0 0 1 45

(8 1 12) 1 10 5 20 1 10 5 30 8 1 (12 1 10) 5 8 1 22 5 30

Propriedade associativa

Vamos efetuar 8 1 12 1 10 associando as parcelas de dois modos.

Propriedade comutativa

Elemento neutro

Resposta pessoal.

Em uma adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.

Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de diferentes modos sem alterar a soma.

O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma. Por isso, ele é chamado de elemento neutro da adição.

Observação

Nas três situações anteriores, realizamos adições em que as parcelas são números naturais. Note que as somas também são números naturais.

40; 40

Espera-se que os alunos percebam que o resultado foi o mesmo apesar da troca de ordem das parcelas.

Oriente os alunos a efetuar primeiro as operações entre parênteses.

Espera-se que os alunos percebam que, embora tenham alterado a forma de associar as parcelas, a soma permaneceu a mesma.

Espera-se que os alunos percebam que, ao adicionar o zero a um número, a soma é o próprio número.

58; 45

• Ressalte a importância do cálculo mental, por exemplo, nas atividades práticas do dia a dia, e discuta algumas técnicas que facilitem essa operação. O uso dos algorit-mos da adição (o usual e o da decomposição) e das pro-priedades da adição permite uma reorganização das par-celas, ajudando a realizar o cálculo com maior facilidade.• Comente com os alunos que a verificação de alguns exemplos não é suficiente para provar as proprieda-des. Explique a eles que para cada uma dessas proprieda-des há uma demonstração.

Sugestão de leitura• Princípio da indução mate-mática: fundamentação teó-rica e aplicações, de Hudson de Souza Félix.Para o seu conhecimento, in-dicamos esse texto que con-tém as demonstrações das propriedades da adição.Disponível em: <http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/r iufc /11675/1/2015_dis_hsfelix.pdf>. Acesso em: 6 ago. 2018.

Sugestão de atividade extra• A atividade interativa Magnetos da Adição poderá ser realizada pelos alunos organizados em duas equipes (A e B). Um dos integrantes da equipe A deverá indicar apenas os algarismos das parcelas da adição, para que os colegas da equipe B montem a adição corretamente. Lembre que aqueles que forem indicar os algarismos não deverão fazê-lo aleatoriamente, mas realizar a adição antes para que o grupo adversário consiga realizar a operação.Disponível em: <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_adic.html>. Acesso em: 6 ago. 2018.

http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11675/1/2015_dis_hsfelix.pdf




http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_adic.html

41


Mansão MargaridaCosta Pinto

154 mSalvador (BA)

Ipês158 m

São Paulo (SP)

Edifício Itália165 m

São Paulo (SP)

Rio Sul Center163 m

Rio de Janeiro (RJ)

Mirante do Vale170 m

São Paulo (SP)

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Utilizando as propriedades da adição, cada um de vocês deverá sugerir um modo de obter o total dessa compra. Depois, determinem um modo comum de resolução que considerem ser o mais simples e apresentemno aos demais colegas da classe.

Casa R$ 11,00Avião R$ 18,00Carro R$ 16,00Navio R$ 24,00Soldado R$ 7,00Trem R$ 19,00

Observe no esquema abaixo a representação da altura, em metro (m), de cinco dos prédios mais altos do Brasil.

Dados obtidos em: <http://www.terra.com.br/economia/infograficos/predios-mais-altos-do-brasil/>. Acesso em: 27 jul. 2018. IL

US

TR

AÇ

ÕE

S: L

UIZ

RU

BIO

Subtração com números naturais2

1 Calcule.

a) 16 1 35 1 14 1 15

b) (16 1 14) 1 (35 1 15)

• Você achou mais fácil determinar a soma do item a ou a do item b? Explique.

5 Reúnase com um colega para resolver o problema abaixo.

Breno foi a uma loja de brinquedos e comprou seis miniaturas. Vejam a lista dessas miniaturas e o preço de cada uma.

4 Por que o zero é o elemento neutro da adição?

2 Utilizando as propriedades comutativa e associativa, resolva as adições da maneira que julgar mais simples.

a) 26 1 30 1 4 1 20

b) 33 1 12 1 7 1 0 1 8

3 Sabendo que 577 1 323 5 900, escreva o valor de 323 1 577 sem efetuar a adição. Justifique sua resposta.

80

Espera-se que os alunos percebam que a expressão do item b torna a resolução mais simples.

900, pois como as parcelas não foram alteradas, usamos a propriedade comutativa.

O valor total da compra é de R$ 95,00. A explicação sobre o modo de resolução é pessoal.

80

80

60

Resposta pessoal.

2. Se achar oportuno, peça para os alunos explicarem como determinaram a soma e o motivo que os levou a considerar a forma mais simples.

• Explore com os alunos a realização do cálculo mental e do cálculo aproximado na subtração. Por exemplo, uti-lizando a situação apresen-tada, pergunte aos alunos: “Qual diferença é maior: en-tre as alturas dos prédios Rio Sul Center e Mirante do Vale ou entre as alturas do Man-são Margarida e Mirante do Vale?”. Para responder a essa pergunta, os alunos deverão comparar as duas operações 170 2 163 e 170 2 154; se fizermos um cálculo apro-ximado, para a ordem das dezenas, vamos obter, res-pectivamente, 10 e 20 como resultado estimado das ope-rações. Como 20 . 10, então 170 2 154 . 170 2 163 e, portanto, a diferença entre as alturas Mirante do Vale e Mansão Margarida é maior.

Sugestão de leitura• Aperfeiçoamento de técnicas de cálculo mental para resolução de adições e subtrações com números natu-rais, de Silene Rodolfo Cajuela e coautores.Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=49974>. Acesso em: 25 maio 2018.

http://www.terra.com.br/economia/infograficos/predios-mais-altos-do-brasil/

http://www.terra.com.br/economia/infograficos/predios-mais-altos-do-brasil/

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=49974

42


42

2 5

Mirante do Vale(170 m)

170

Edifício Itália(165 m)

165

A diferença de altura entre o Mirante do Vale e o Edifício

Itália é de 5 metros.

5

Qual é a diferença na altura dos dois maiores prédios representados no esquema?

Para resolver esse problema, vamos usar a ideia de comparar uma medida com outra.

Assim:

A subtração também está relacionada à ideia de completar e de tirar unidades. Analise as situações abaixo e classifique-as, em seu caderno, substituindo o pelo nome

da ideia envolvida (comparar, completar ou tirar). Em seguida, resolva-as.

Chamamos a operação realizada de subtração. Veja abaixo o nome de seus termos.

minuendo170

resto ou diferença5subtraendo2 165

Situação Ideia envolvida

I. Luís tem 52 figurinhas. Quantas figurinhas faltam para ele completar uma centena?

II. Ana tinha 5 blusas e doou 3 delas. Com quantas blusas ela ficou?


1 Calcule, quando possível, o resultado das subtrações. Nem sempre é possível efetuar uma subtração entre dois números naturais.

a) 189 2 86 d) 1 050 2 867

b) 856 2 799 e) 2 160 2 3 000

c) 654 2 830 f) 5 555 2 5 555

• Quando é possível efetuar uma subtração entre dois números naturais?

2 Responda, no caderno, às questões.

a) Qual é a diferença entre dois números iguais?

b) Qual é a diferença entre dois números pares e consecutivos?

c) Podemos afirmar que a propriedade comutativa é válida para a subtração?

A propriedade comutativa não é válida para a subtração. Os alunos poderão dar exemplos, como: 15 2 10 5 5, mas 10 2 15 % 5 e não tem solução nos naturais.

3 Pedro nasceu em julho de 1993. Que idade ele terá em agosto de 2025?

5 Quantos anos você completará no ano 2030?

6 Luís utilizou R$ 700,00 para pagar um telefone celular. Calcule o preço desse aparelho, sabendo que Luís recebeu R$ 25,00 de troco.

4 Efetue as subtrações.a) 67 056 2 9 453b) 136 917 2 85 862c) 235 000 2 196 417d) 76 432 2 65 321

7 Calcule mentalmente o resultado das subtrações.a) 189 2 29 c) 974 2 101b) 768 2 59 d) 2 358 2 202

I. 48 figurinhas; completarII. 2 blusas; tirar

zero

2

32 anos

103

57

183

1. c) Não tem solução nos naturais.e) Não tem solução nos naturais.

0

57 603

51 055

38 583

11 111

Resposta pessoal.

Peça a alguns alunos que compartilhem a estratégia usada para efetuar mentalmente os cálculos desta atividade.

R$ 675,00

Uma subtração em v só pode ser efetuada quando o minuendo é maior ou igual ao subtraendo.

160

709

873

2 156

• Assim como feito na adi-ção, a utilização do algorit-mo da decomposição ajuda-rá os alunos a compreender o algoritmo usual. Veja:

170 5 100 1 70 1 0

165 5 100 1 60 1 52

0 1 0 1 5 5 5

• Nos exemplos das figuri-nhas de Luís (I) e das blu-sas de Ana (II), destaque as ideias de completar e tirar, enfatizando que o resultado pode ser obtido por meio da subtração dos dois números.

60 10

• O item c da atividade 2 dará continuidade à discussão feita na atividade 1, já que, na subtração de números naturais, o minuendo deve ser maior que o subtraendo; logo, a propriedade comutativa não é válida. • Na atividade 7, peça a alguns alunos que compartilhem a estratégia usada para efetuar mentalmente os cálculos. Se achar conveniente, diga para que exponham no quadro de giz os procedimentos utilizados, expli-cando o passo a passo do raciocínio.

• Na atividade 1, verifique se os alunos percebem que a subtração de dois números naturais só será válida quan-do o minuendo for maior que o subtraendo. Caso essa verificação não aconteça, dê exemplos contextualizados para a turma, como:

� Ana é florista e tem um estoque de 160 rosas. Rita é organizadora de even-tos e comprou 200 rosas de Ana. Quantos rosas so-braram para Ana?

Os alunos deverão perceber que Rita comprou mais ro-sas do que Ana possuía no estoque; portanto essa com-pra não poderia ter aconte-cido e, com isso, não temos como realizar a operação 160 2 200 para determinar quantas rosas sobraram no estoque de Ana. Para um aprofundamento da dinâ-mica, solicite aos alunos que modifiquem o problema, para que consigamos resolvê-lo. Veja uma possibilidade:

� Ana é florista e tem um estoque de 160 rosas. Rita é organizadora de eventos e precisa comprar 200 ro sas. Quantas rosas Ana precisa completar no seu estoque para atender ao pedido de Rita? Resposta: 40 rosas (200 2 160).

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98.

Cidade População

Salvador 2 953 986

Fortaleza 2 627 482

Recife 1 633 697

Dados obtidos no Diário Oficial da União, Seção 1, no 167, de 30 de agosto de 2017, p. 60 e 68.

3 A76

2 C BA1

1 C9B

2 5

minuendo

100

diferença

17

subtraendo

83

2 5R$ 100,00

valor pago troco recebido

R$ 17,00

preço do tênis

R$ 83,00

por meio de uma subtração:

Relação fundamental da subtração

Observe a cena.

8 Salvador (BA), Fortaleza (CE) e Recife (PE) são as três cidades mais populosas do Nordeste. Efetue os cálculos e verifique o quanto a população total dessas cidades supera 7 milhões de habitantes.

9 Criptografia é a arte de escrever utilizando caracteres secretos ou palavras de uma escrita que não é compreendida por todos. Decifre o criptograma abaixo e registre o valor de cada letra, sabendo que cada uma delas indica um algarismo, que letras iguais representam algarismos iguais e que letras diferentes representam algarismos diferentes.

Podemos conferir o troco de duas maneiras:

EN

ÁG

IO C

OE

LHO

Se o tênis custa R$ 83,00 e você está pagando com uma cédula de R$ 100,00, preciso lhe dar R$ 17,00

de troco, certo?

3 876

2 581

1 295

A 5 8, B 5 5 e C 5 2

215 165 habitantes

PDF-036-069-MCP6-C02-G20.indd 43 8/21/18 11:42

• Na atividade 9, pode-se or-ganizar os alunos em grupos e solicitar a cada um que crie um criptograma a ser de-cifrado por outra equipe. Essa atividade, que envolve criptografia, oferece uma oportunidade de explorar a observação de padrões e re-gularidades.Para continuar esse traba-lho, pode ser proposta a ati-vidade a seguir.

� Nas quatro primeiras li-nhas abaixo são apresen-tadas quatro palavras es-critas de forma usual. Nas linhas seguintes, as duas primeiras palavras estão escritas de maneira cripto-grafada. Obtenha a forma criptografada da terceira e da quarta palavra.

AMORESCOLA

FUNDAMENTALUNIFICADO

DPRUHVFROD

??

Resposta: A terceira pa-lavra criptografada é IXQGDPHQWDO, e a quar-ta é XQLILFDGR.

• Comente com os alunos que a relação fundamental da subtração é um impor-tante instrumento para a conferência do resultado de problemas que envolvem adição ou subtração.

Sugestão de atividade extra• A atividade interativa Magnetos da Subtração poderá ser realizada pela turma organizada em duas equipes (A e B). Um dos integrantes da equipe A deverá indicar apenas os algarismos do minuendo e subtraendo, para que os colegas da equipe B montem a subtração. Lembre que aqueles que forem indicar os algarismos não deverão fazê-lo aleatoriamente, mas realizar a subtração antes para que o grupo adversário consiga realizar a operação.Disponível em: <http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_sub.html>. Acesso em: 6 ago. 2018.

AN

DER

SON

DE

AN

DRA

DE

PIM

ENTE

L

http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/magnetes_sub.html

44

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subtraendo

83

minuendo

100

diferença

17

1 5

troco recebido

R$ 17,00

valor pago

R$ 100,00

preço do tênis

R$ 83,00

por meio de uma adição:

Para verificar se uma subtração está correta, podemos fazer uma adição, pois a adição do subtraendo com o resto (ou diferença) deve ser sempre igual ao minuendo.

Assim, podemos escrever a relação fundamental da subtração da seguinte maneira:

Por isso, dizemos que a adição e a subtração são operações inversas.

Se o minuendo menos o subtraendo é igual ao resto, então o subtraendo mais o resto é igual ao minuendo.

Se 370 2 120 5 250, então: 120 1 250 5 370

Exemplo


5 3 9

2 1 7 4

3 4 5 5

a) 9 3 5

2 6 7 8

2 7 0 7

b)

1 O piloto norteamericano Josef Newgarden conquistou o Campeonato de Fórmula Indy em 2017 com 642 pontos, 44 a mais que o piloto brasileiro Hélio Castroneves, que concluiu a temporada em 4o lugar. Qual foi o total de pontos obtidos pelo brasileiro na Fórmula Indy em 2017?

2 Resolva os problemas.

a) Em uma subtração, o subtraendo é 4 738 e o resto é 149. Determine o minuendo.

b) Em uma subtração, o minuendo é 1 001 e o resto é 956. Determine o subtraendo.

3 Se, em uma subtração, aumentarmos o minuendo em 20 unidades e diminuirmos o subtraendo em 15 unidades, em quanto aumentará a diferença?

4 Descubra, em cada item, o valor dos algarismos representados por e .

5 Copie os itens a seguir no caderno, substituindo cada pelo número adequado.

a) 1 860 2 5 357 b) 2 3 545 5 1 283

6 A soma de três números é 8 470. O primeiro é 4 319 e o segundo é 1 843. Determine o terceiro número.

7 Forme dupla com um colega e escrevam dois exemplos que ilustrem a afirmação: “A soma dos termos de uma subtração é sempre igual ao dobro do minuendo”.

RO

BE

RT

RE

INE

RS

/GE

TTY

IMA

GE

S

Josef Newgarden durante o grande Prêmio de Fórmula Indy em Sonoma, na Califórnia, Estados Unidos, em 2017.

45

35 unidades

598 pontosa) 2; 8b) 4; 2

4 887

1 503 4 828

2 308

Resposta pessoal.

• Auxilie os alunos na resolu-ção da atividade 3, sugerin-do uma subtração cujo sub-traendo seja maior ou igual a 15, por exemplo: 30 2 20 5 5 10. Seguindo as orienta-ções do enunciado, temos: (30 1 20) 2 (20 2 15) 5 50 2 2 5 5 45. Comparando as diferenças: 45 2 10 5 35Chegamos à conclusão de que a diferença aumentará em 35 unidades. Peça a al-guns alunos que comparti-lhem as estratégias empre-gadas para a resolução, a fim de que a turma conheça outros exemplos. • Para a atividade 7, as res-postas possíveis são todas as subtrações em que o minuen-do é igual ao subtraendo.• Peça aos alunos que con-firam os cálculos realizados nas resoluções das ativida-des. Registrando essa con-ferência, eles colocarão em prática o fato de que a adi-ção e a subtração são opera-ções inversas.

45

45

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

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o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

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iro d

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98.

Em uma expressão numérica composta por adições e subtrações, as operações devem ser efetuadas na ordem em que aparecem, calculando, assim, o valor da expressão.

Em uma expressão em que aparecem parênteses, devemos efetuar inicialmente as operações que estão dentro deles.

Expressões numéricas com adições e subtrações

24 1 32 2 8 1 12 5

5 56 2 8 1 12 5

5 48 1 12 5 60

Júlia ganhou de seu pai um álbum de figurinhas. Para começar o álbum, sua mãe lhe deu 24 figurinhas. No dia seguinte, Júlia foi à banca de jornal e comprou 32 figurinhas, porém 8 delas eram repetidas; por isso, ela deu essas figu-rinhas para sua irmã. Seu pai, vendo sua atitude, comprou mais 12 figurinhas. Com quantas figurinhas Júlia ficou?Para responder a essa questão, podemos calcular o valor da seguinte expressão numérica:

Logo, Júlia ficou com 60 figurinhas.

Exemplo

• 12 2 4 1 (5 2 2 1 4) 5

5 12 2 4 1 (3 1 4) 5

5 12 2 4 1 7 5

5 8 1 7 5

5 15

• 8 1 20 2 (7 1 10 2 8) 1 (12 2 9) 5

5 8 1 20 2 (17 2 8) 1 3 5

5 8 1 20 2 9 1 3 5

5 28 2 9 1 3 5

5 19 1 3 5 22

Exemplos

Cuidado!

Em uma expressão numérica na qual uma das operações é a subtração, a mudança dos parên-teses pode levar a resultados diferentes. Veja:

• 10 2 (7 1 2) 5

5 10 2 9 5 1

• (10 2 7) 1 2 5

5 3 1 2 5 5

• 15 2 (6 2 3) 5

5 15 2 3 5 12

• (15 2 6) 2 3 5

5 9 2 3 5 6

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• Comente com os alunos so-bre o cuidado que devemos ter nas expressões em que os parênteses são aplicados. Os parênteses indicam a prio-ridade da operação durante a resolução; é importante que os alunos entendam que a mudança de posição dos parênteses ou mesmo resol-ver a expressão ignorando a existência deles modificam o resultado da expressão.

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46

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ibid

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CA

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Lendo e aprendendo

Para efetuar cálculos com a calculadora, podemos usar as funções de memória. Digite as sequências abaixo e confirme o resultado no visor.

Confira a função das teclas que você usou: M+ Armazena na memória um número digitado ou adiciona o número digitado ao

número armazenado na memória. M– Subtrai um número daquele armazenado na memória.

MR Mostra no visor o conteúdo da memória. Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno a expressão numérica que corresponde ao

cálculo efetuado em cada exemplo acima.

M+ MRM– MRM–M+ 24 500

M– MRM+ MRM+M+1 2 500

1 Calcule o valor de cada expressão nu mérica.

a) (18 2 15 1 3) 1 2

b) 30 1 (50 2 12) 2 15

c) 13 2 8 1 7 2 4 2 2

d) (60 2 12) 2 (10 1 20) 2 14

e) (100 2 35 1 15) 1 (200 1 135 2 98)

f) 200 2 (40 1 50) 2 90 2 10

2 Copie as expressões numéricas no caderno, colocando parênteses quando necessário, para determinar o resultado indicado.

a) 8 2 3 1 4 2 5 2 1 5 5

b) 15 2 8 1 7 1 8 5 8

c) 9 2 8 1 7 2 6 1 3 5 5

d) 35 1 15 2 20 1 18 5 12

e) 19 2 8 1 5 2 4 2 3 5 5

f) 200 2 120 1 80 1 70 2 20 1 50 5 0

3 Sérgio pensou em um número. Em se guida, adicionoulhe 10. Depois, subtraiu 13 do resultado anterior, obtendo 12. Em que número Sérgio pensou?

4 Leia as frases abaixo e escreva uma expressão numérica que corresponda a cada uma delas. Em seguida, calcule seu valor.

a) Subtraia da soma de 180 com 45 a diferença entre 210 e 107.

b) Adicione 72 à diferença entre 315 e 285.

5 Em uma sapataria, havia 950 pares de sapatos. Nos dois primeiros meses do ano, foram vendidos 380 e 420 pares de sa patos, respectivamente. Depois, foram enviados à sapataria mais 330 pares para venda. Quantos pares de sapatos há agora nessa sapataria?

EN

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2. a) 8 2 3 1 4 2 (5 2 1) 5 5 b) 15 2 (8 1 7) 1 8 5 8 d) 35 1 15 2 (20 1 18) 5 12 e) 19 2 (8 1 5) 2 (4 2 3) 5 5 f ) 200 2 (120 1 80) 1 70 2 (20 1 50) 5 0

(10 1 20 1 5) 2 35(40 2 20 2 5) 1 15

15

4

317

10

(180 1 45) 2 (210 2 107) 5 122

(315 2 285) 1 72 5 102

480

8

53

6

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Lendo e aprendendo • A seção traz uma breve orientação para que os alu-nos utilizem a função me-mória de uma calculadora. No planejamento da ativida-de, certifique-se de que haja calculadoras como material didático: os alunos podem levar a própria calculadora ou a escola pode fornecê-las para utilização na sala de aula. Não havendo calcula-doras para todos os alunos, reúna-os em grupos. Vale lembrar que os celulares podem ser uma opção no uso da calculadora. Assim, pode-se conversar com os pais e com a escola para que o uso do celular seja plane-jado e possa ser liberado nas aulas com esse intuito.• Como aprofundamento, peça aos alunos que discutam e resolvam a sugestão de ativi-dade extra indicada.

• Verifique se os alunos constroem corretamente a expressão que representa a situação da atividade 3, utili-zando as operações inversas realizadas por Sérgio, já que precisam determinar o nú-mero pensado a partir do re-sultado final das operações.

12 1 13 2 10 5 15

operação inversa de:“subtraiu

13”

operação inversa de:“adicionou

10”

número pensado

número obtido

Sugestão de atividade extra• Peça aos alunos que confiram os seguintes cálculos usando uma calculadora: a) 2 589 1 369 5 2 958 b) 15 1 200 1 163 5 378 c) (200 2 15) 1 (25 2 10) 5 200

Mas existe uma regra: não pode usar as teclas 1 e M1 . Respostas: a) 2 958 2 369 5 2 589 ou 2 958 2 2 589 5 5 369; b) Uma possibilidade é fazer: 378 2 163 2 200 5 15; c) Uma possibilidade é encontrar os valores das expressões entre parênteses primeiro: 200 2 15 5 185 e 25 2 10 5 15 e, depois, verificar: 200 2 15 5 185 G

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RM

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Observe as situações a seguir.

Situação 1

Pedro é professor de dança de salão e está preparando uma apresentação de gafieira. Todos os alunos vão participar, formando 8 casais. Quantos alunos vão participar dessa apresentação?

O total de alunos pode ser determinado por uma adição de parcelas iguais:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 16

Logo, 16 alunos vão participar dessa apresentação.

Para simplificar o registro dessa operação, fazemos:

8 # 2 5 16 Lemos: "oito vezes dois é igual a dezesseis".

Chamamos essa operação de multiplicação. Os números 8 e 2 são os fatores, e 16, o produto.

fator

produto

fator8

# 216

GE

OR

GE

TU

TUM

I

Multiplicação com números naturais3

• 12 1 12 1 12 1 12 5 4 # 12 5 48

4 parcelas

7 parcelas

• 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 7 # 3 5 21

3 parcelas

• 20 1 20 1 20 5 3 # 20 5 60

Exemplos

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• Neste tópico, apresenta-remos situações relaciona-das à multiplicação, com o desenvolvimento das ideias da multiplicação como: adição de parcelas iguais, disposição retangular, com-binatória (determinar as possibilidades) e proporcio-nalidade. A cada ideia apre-sentada, peça aos alunos que citem outros exemplos de sua aplicação.

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Situação 2

Sandra coleciona figurinhas de animais da fauna brasileira ameaçados de extinção.Observe como são as páginas do álbum de Sandra.

Quantas figurinhas cabem em cada página?Para chegar à resposta, não há necessidade de contar individualmente os espaços onde as

figurinhas são coladas, pois em cada fileira há a mesma quantidade. Esse tipo de organização é conhecido como disposição retangular.

Nesse caso, há 4 fileiras e cabem 3 figurinhas em cada uma.Então, para determinar o total de figurinhas, fazemos 4 8 3 ou 3 8 4, obtendo 12.Logo, cabem 12 figurinhas em cada página do álbum.

Para obter o total de potes de gelatina que há na bandeja, podemos fazer:

3 8 5 5 15ou

5 8 3 5 15

Logo, há 15 potes de gelatina na bandeja.

Exemplo

Observações

1 Para indicar uma multiplicação, podemos utilizar um ponto (8) ou o sinal de vezes (#). Assim:• 8 # 2 5 8 8 2 5 16• 4 # 12 5 4 8 12 5 48

2 Veja os nomes especiais utilizados para indicar algumas multiplicações.• O dobro de 5 é o mesmo que 2 8 5.• O triplo de 8 é o mesmo que 3 8 8.• O quádruplo de 10 é o mesmo que 4 8 10.• O quíntuplo de 12 é o mesmo que 5 8 12.

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EN

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Se achar oportuno, comente com os alunos que, nesta obra, optou-se por utilizar o ponto para indicar uma multiplicação.

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• Ao abordar a situação 2, comente com os alunos que a disposição retangular é uma forma organizada de ordenar os elementos, e isso nos ajuda em situações em que não é possível realizar a contagem um a um. Peça aos alunos que determinem a multiplicação que representa a quantidade de quadradi-nhos da figura abaixo.

Resposta: 10 3 10

AD

ILS

ON

SE

CC

O

49

49

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Situação 3

Para fazer aulas de tênis, Carlos tem 2 calções e 5 camisetas.

De quantas maneiras diferentes Carlos pode se vestir para praticar tênis?

Para encontrar a resposta, é necessário determinar todas as possibilidades que existem. Observe o esquema abaixo, que representa a situação.

Como há 2 calções e, para cada um, há 5 camisetas, o total de possibilidades é dado por:

2 8 5 5 10

Podemos pensar, ainda, em 5 camisetas e, para cada uma, 2 calções, ou seja, 5 8 2 5 10.

Logo, Carlos pode se vestir de 10 maneiras diferentes.

Em uma lanchonete, são oferecidos 4 sabores de suco (laranja, cajá, morango e uva) e 3 tipos de sanduíche (natural, queijo e misto).Se Ana escolher um suco e um sanduíche dessa lanchonete, de quantas maneiras diferentes poderá lanchar?

Exemplo

Portanto, Ana poderá escolher entre 12 combinações de suco e sanduíche.

ILU

ST

RA

ÇÕ

ES

: GE

OR

GE

TU

TU

MI

4 8 3 5 12 ou 3 8 4 5 12

• A situação 3 trabalha a ideia de combinatória (determinar a quantidade de possibilida-des). Comente com os alunos que os esquemas auxiliam na resolução desse tipo de situa-ção, pois ajudam a ilustrar as possibilidades existentes. Além disso, para uma única si-tuação podemos construir es-quemas diferentes. Veja outro modo de construir o esquema da situação apresentada no exemplo:

Natural

LaranjaNatural e laranja

CajáNatural e cajá

MorangoNatural e morango

UvaNatural e uva

Queijo

LaranjaQueijo e laranja

CajáQueijo e cajá

MorangoQueijo e morango

UvaQueijo e uva

Misto

LaranjaMisto e laranja

CajáMisto e cajá

MorangoMisto e morango

UvaMisto e uva

AN

DE

RS

ON

DE

AN

DR

AD

E P

IME

NTE

L

50

Com R$ 28,00, compro 3 miniaturas de carro. Quanto vou pagar por 15 dessas miniaturas?

Logo, vou pagar R$ 140,00 por 15 miniaturas.

RIC

HA

RD

HE

YE

S/

ALA

MY

/GLO

W

IMA

GE

S

DA

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HU

NTL

EY

C

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RA

ÇÕ

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: GE

OR

GE

TU

TU

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© IC

PIX

_HK

/ALA

MY

/LA

TIN

STO

CK

Situação 4

Cada garrafão, como o da figura, contém 20 litros de água. Quantos litros de água teriam 3 garrafões iguais a esse?

E 4 garrafões?Podemos resolver essa situação com base na ideia de

proporção direta, relacionando a quantidade total de água com a quantidade de água que há em um garrafão. Observe.

1 garrafão

4 garrafões

20 litros

80 litros# 4 # 4

1 garrafão

3 garrafões

20 litros

60 litros# 3 # 3

R$ 28,00

R$ 140,00

3 miniaturas

15 miniaturas# 5 # 5

Logo, 3 garrafões contêm 60 litros de água, e 4 garrafões, 80 litros.

Exemplo


1 Represente cada uma das adições por uma multiplicação.a) 8 1 8 1 8 1 8b) 1 1 1 1 1c) 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9d) a 1 a 1 a 1 ae) 0 1 0 1 0 1 0 1 0

2 Em uma loja de materiais esportivos, há 36 caixas com 12 bolas em cada uma. Podemos calcular o total de bolas nessa loja fazendo apenas uma operação.

a) Que operação é essa?

b) Qual é o resultado dessa operação?

4 8 83 8 1

6 8 94 8 a

5 8 0 432

multiplicação

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• Na resolução da atividade 2, observe como os alunos rea-lizam a multiplicação; eles podem utilizar os algoritmos (usual e de decomposição). Veja:

�Algoritmo usual:

3 6

# 1 2

7 2 P 2 3 36

1 3 6 0 P 10 3 36

4 3 2

�Algoritmo de decomposição:

30 1 6 5 36

# 10 1 2 5 12

1 2 P 2 3 6

6 0 P 2 3 30

6 0 P 10 3 6

1 3 0 0 P 10 3 30

4 3 2

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a) Qual é o total de vagas do setor?

b) Quantos automóveis estão estacionados?

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GR

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ILU

STR

AÇ

ÕE

S: G

EO

RG

E T

UTU

MI

3 Efetue.

a) 35 8 16 c) 850 8 101 e) 367 8 51

b) 179 8 45 d) 89 8 242 f) 1 003 8 55

4 Observe o Setor A do estacionamento de uma indústria automobilística.

5 Calcule mentalmente cada multiplicação e registre os resultados no caderno.

a) 17 8 10 e) 9 8 8 8 0b) 85 8 100 f) 59 8 1 000

c) 19 8 0 g) 1 043 8 10d) 174 8 1 000 h) 75 8 10 000

• O que podemos observar nas multiplicações realizadas?

6 Calcule mentalmente o resultado de cada multiplicação. Em seguida, registre os resultados.

a) Dobro de duas centenas.

b) Triplo de meio milhar.

c) Quádruplo de uma dúzia.

d) Quíntuplo de 17.

7 Calcule.

546 1 546 1 546 1 546 1 546 1 546 1 1 546 1 546 1 546

8 Segundo cálculos de uma empresa de distribuição de água, uma torneira gotejando representa 46 litros de água desperdiçada por dia. Quantos litros de água são desperdiçados em 90 dias?

9 Observe o esquema de uma pista utilizada para provas de atletismo com barreiras. Determine, em metro, a extensão dessa pista considerando que as medidas são dadas em metro.

10 Um automóvel percorre, em média, 8 quilômetros com 1 litro de combustível e vem equipado com um tanque com capaci dade de 40 litros. Supondo que o tanque de combustível esteja cheio, qual é a distância máxima que esse veículo pode percorrer sem reabastecer?

11 Efetue as multiplicações no caderno, observando o que elas apresentam de curioso.

a) 37 8 15 c) 37 8 21b) 37 8 18 d) 37 8 24

• Agora, um desafio para você: determine o produto 37 8 2 700 sem efetuar o cálculo.

555 777666 888

99 900 12 Um motor bombeia 3 700 litros de água

por minuto para uma cisterna. Quantos litros de água esse motor bombeará em 30 minutos? 111 000 litros

14 Bruno foi a uma loja de roupas e sapatos e comprou os seguintes itens:• uma bermuda branca, uma azul e uma

vermelha;• uma camiseta amarela, uma lilás, uma

verde e uma cinza;• um par de tênis branco e um preto.De quantas maneiras diferentes ele pode combinar as roupas com os tênis?

15 Em uma fábrica de eletrodomésticos, são produzidas 220 lavadoras por dia. Em 25 dias, quantas lavadoras são fabricadas?

13 De quantas maneiras diferentes é possível pintar as três faixas de uma figura como a mostrada abaixo, usando, sem repetir, as cores vermelha, verde e azul? Desenhe todas as possibilidades no caderno.6 maneiras diferentes


45 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35

170

8 500

0

174 000

0

59 000

10 430

750 000

84 vagas

80 automóveis

400

1 500

48

85

4 914

4 140 litros

395 metros

320 quilômetros

Ele pode combinar as peças de 24 maneiras diferentes.

5 500 lavadoras

a) 560b) 8 055

c) 85 850d) 21 538

e) 18 717f ) 55 165

PDF-036-069-MCP6-C02-G20.indd 51 8/21/18 11:43

• O cálculo mental pode ser incentivado em diversas ati-vidades, além das destaca-das com o ícone. Estimule os alunos a buscar o modo pró-prio de elaborar os proces-sos para chegar ao resultado mentalmente.• Na atividade 5, pode-se orientar os alunos para que façam o cálculo utilizando o algoritmo de decomposição como referência. Espera-se que eles observem que, para multiplicar um número por 10, 100, 1 000, ..., basta acres-centar à direita desse número um, dois, três, ... zeros. Obser-vamos também que, se um dos fatores da multiplicação for zero, o produto também será zero (o zero é o elemen-to neutro da multiplicação).• Na atividade 6, peça a al-guns alunos que comparti-lhem a estratégia de reso-lução que utilizaram para determinar o resultado das multiplicações. Por exemplo, eles poderão apresentar como estratégia de resolução para o item d o seguinte raciocí-nio: determinar o quíntuplo de 17 é o mesmo que fazer 5 3 17. Como 17 é 10 1 7, en-tão faço 5 3 10, que é igual a 50. Agora, faço 5 3 7, que é igual a 35. Adicionando 50 e 35, obtenho 85, que é o quíntuplo de 17. • Para a atividade 11, peça aos alunos que observem os itens e percebam que o fator 37 está em todos eles e que o outro fator vai aumentando de três em três: 15, 18, 21 e 24; então 27 seria o próximo. Acompanhando a sequên-cia de números iguais como produto, teremos 999 acres-cido de dois zeros do fator 2 700; portanto:37 3 2 700 5 99 900

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Algumas propriedades da multiplicação

Vamos conhecer algumas propriedades da multiplicação.

Propriedade comutativa

Propriedade associativa

Elemento neutro


Escolha outros dois números naturais e, em seu caderno, multiplique um pelo outro. Em seguida, multiplique os mesmos números trocando a ordem dos fatores. O que você observou?


Escreva, em seu caderno, três outros números naturais e multiplique o produto dos dois primeiros pelo terceiro. Em seguida, multiplique o primeiro número pelo produto dos dois últimos. O que você observou?


7 8 8

1 8 25

(6 8 2) 8 3 6 8 (2 8 3)

8 8 7

34 8 1

Calcule mentalmente:



Em uma multiplicação de números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.

Em uma multiplicação com mais de dois números naturais, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto.

O número 1, quando multiplicado por outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o 1 como fator da multiplicação não altera o valor do produto. Por isso, ele é chamado elemento neutro da multiplicação.

Escreva em seu caderno alguns números naturais. Em seguida, multiplique cada um desses números por 1. O que você observou? Resposta pessoal.

56; 56

36; 36

25; 34

Espera-se que os alunos percebam que, ao alterar a ordem dos fatores, o produto permaneceu o mesmo.

Espera-se que os alunos percebam que, apesar de terem associado os fatores de formas diferentes, o produto permaneceu o mesmo.

Espera-se que os alunos percebam que, ao multiplicar um número por 1, o produto é o mesmo número.

Resposta pessoal.

Resposta pessoal.

(6 8 2) 8 3 5 12 8 3 5 36 6 8 (2 8 3) 5 6 8 6 5 36

• Comente com os alunos que a verificação de alguns exemplos não é suficiente para provar as proprieda-des. Explique a eles que para cada uma dessas proprieda-des há uma demonstração.• Para o seu conhecimento, a sugestão de leitura da pá gi na 40 também traz as demonstrações dessas pro-priedades da multiplicação.

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8

13

6

5

O número de quadradinhos vermelhos pode ser obtido por meio da multiplicação de 6 por 8, e o número de quadradinhos azuis, por meio da multiplicação de 6 por 5.

Como o número total de quadradinhos do painel é igual ao número de quadradinhos vermelhos mais o número de quadradinhos azuis, temos:

6 8 13 5 6 8 (8 1 5) 5 6 8 8 1 6 8 5

Podemos observar que a multiplicação foi distribuída pelas parcelas de um dos fatores; depois, foram adicionados os resultados. Nesse caso, foi aplicada a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Propriedade distributiva

O painel abaixo é composto de quadradinhos vermelhos e azuis.

Essa propriedade também pode ser aplicada à subtração.

GU

ILH

ER

ME

CA

SA

GR

AN

DI

• 4 8 (6 1 8) 5 4 8 6 1 4 8 8 5 24 1 32 5 56• 10 8 (7 1 3) 5 10 8 7 1 10 8 3 5 70 1 30 5 100

Exemplos

• 8 8 (5 2 3) 5 8 8 5 2 8 8 3 5 40 2 24 5 16• 15 8 (7 2 4) 5 15 8 7 2 15 8 4 5 105 2 60 5 45

Exemplos

Para multiplicar um número natural por uma adição (ou subtração) com dois ou mais termos, podemos multiplicar esse número por cada um dos termos da adição (ou da subtração) e adicionar (ou subtrair) os resultados obtidos.

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• Questione os alunos e veja se eles percebem que já aplicaram a propriedade distributiva para resolver algumas multiplicações, por exemplo na estratégia uti-lizada como cálculo mental para a resolução da ativida-de 5 da página 51.

Sugestões de atividade extra• Peça aos alunos que se organizem em duplas e realizem as atividades interativas Seis em linha e Flores para as na-moradas. A ideia é que eles possam praticar o cálculo mental e sejam estimulados a desenvolver o raciocínio lógico.Disponíveis em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19597/seis_em_linha_multiplicacao.pdf?sequence51%3E> e <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19484/num_op_16.html?sequence56>. Acessos em: 29 jul. 2018.

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19597/seis_em_linha_multiplicacao.pdf?sequence51%3E

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19597/seis_em_linha_multiplicacao.pdf?sequence51%3E

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19484/num_op_16.html?sequence56

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/19484/num_op_16.html?sequence56

Ênio silveira matemÁtica

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