natureza

UNIVERSIDADE DE COIMBRA Faculdade de Cincias e Tecnologia Departamento de Matemtica

Fundamentos e Ensino da lgebra 2004-2005

Ana Batanete

Andreia Castro

Hirllany Lago

Natureza Caos ou Ordem?

ndicePrefcio . 5 Introduo ...............................................................................................6

CAPTULO I Geometria Fractal1.1. Cronologia.........................................................................................8 1.2. O que um fractal?..........................................................................14 1.3. Benoit Mandelbrot..15 1.4. Definio matemtica de fractal......18 1.5. Onde se encontram os fractais na natureza?..19 1.6. Caractersticas de um fractal.23 1.6.1. Como calcular a dimenso fractal ?.24 1.7. Tipos de Fractais existentes..26 1.8. Os fractais na arte.28 1.8.1. Escultura fractal.29 1.8.2. A msica fractal..30 1.9. Geometria Euclidiana versus Geometria Fractal.32

CAPTULO II Estudo de alguns fractais2.1. Curva de Peano .............................................................................................................34 2.2. Curva de Von Koch.........................................................................................................35 2.3. Floco de Neve de Koch...................................................................................................37 2.4. O Tringulo de Sierpinski................................................................................................43 2.5. Conjunto de Mandelbrot....................................................................48 2.6. Linha costeira de uma regio ..........................................................53

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CAPTULO III Teoria do Caos3.1. Conceito .57 3.2. Efeito Borboleta ..58 3.3. A funo logstica ..58

3.4.Objecto Catico ..61

CAPTULO IV Caos e Geometria Fractal no Ensino Secundrio4.1. A utilizao da linguagem do caos e da geometria fractal...65 4.2. Actividades.....67 4.2.1. Construo de carto fractal.....67 4.2.2. Construo do Conjunto de Cantor.....69 4.2.3. Construo do Tringulo de Sierpinski.........71 4.3. Consideraes gerais......74 Concluso....76 Bibliografia...78

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Nos primeiros tempos o mundo era visto como algo completamente imprevisvel, governado por divindades caprichosas. A revoluo

newtoniana veio depois trazer a ideia de que possvel prever quase tudo (). Mas podemos estar hoje no incio de uma nova oscilao do pndulo, com o reconhecimento de que muitas das regras deterministas mais simples provocam, afinal, comportamentos dinmicos caticos e imprevisveis. Ian Stewart

PrefcioCom a realizao deste trabalho pretendemos apresentar de forma simples e clara um tema, que tem vindo a ser desenvolvido ao longo das ltimas dcadas, e cujas aplicaes nas cincias naturais parecem ser infindveis: a geometria fractal e a teoria do caos. No contexto da disciplina de Fundamentos e Ensino da lgebra pretendemos fornecer, aos nossos colegas, as bases tericas necessrias insero do tema nos contedos programticos do ensino secundrio. Contudo a abordagem que fazemos superficial. Muito mais teria merecido ser considerado. No entanto, relativamente a todos os aspectos apresentados, citamos referncias onde podero ser aprofundadas as, em muitos casos breves, dissertaes includas.

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IntroduoDesde os primrdios que o Homem ambiciona dominar a natureza, e, para isso, desvendar os seus mistrios. Aquilo a que chamamos hoje cincia, s foi possvel graas a esta crena. As descobertas foram ao longo dos tempos surgindo, com base na observao exaustiva, na experimentao, no ensaio de teorias. No entanto a matemtica, no universo das cincias foi muito mais longe, no se limitou a interpretar fenmenos naturais ou fsicos. Partiu para um mundo muito mais vasto: o da abstraco. A busca no meio fsico e social de aplicaes das suas descobertas vem, frequentemente, depois A teoria do caos e a geometria fractal so exemplos claros deste facto. Embora os primeiros estudos remontem do incio do sculo XX, as suas (inmeras) aplicaes comearam a surgir s na dcada de setenta. No contexto das cincias naturais as aplicaes parecem, hoje, no ter fim e fomentam uma nova viso da natureza. Na Cincia que herdmos dos nossos professores e de outros

estudiosos o desejo de compreender fixava-se na busca do simples, do regular, do equilbrio estvel, do peridico. No entanto, a Natureza apresenta fenmenos que exibem tanto de perfeito, como de irregular, instvel e no peridico. A geometria fractal e a teoria do caos vieram permitir que a busca pelo menos comum na natureza (o regular, o peridico) desse lugar ao estudo da sua verdadeira identidade.

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O sculo que agora finda teve um desenvolvimento na Matemtica quase to grande como todo o anterior desenvolvimento: o estudo do simples deu lugar ao estudo do complexo, o do regular ao do irregular, o do equilbrio estvel, dialctica (estvel-instvel) do hiperblico, o do peridico deu lugar ao do aperidico, to comum nos estudos de Economia ou de Meteorologia. A Natureza apresenta-se Fractal e Catica. No entanto, a Geometria Fractal e a Teoria do Caos esto apenas no princpio. J. Sousa Ramos - DM-IST-UTL

7


Para

melhor

explicar

a

forma,

como

os

temas

em

questo,

desencadearam mudanas to relevantes no pensamento cientfico, faamos uma analepse.

CAPTULO I Geometria Fractal1.1. Cronologia

Sculos XVII e XVIII Kepler, Galileu, Newton, Leibniz

Kepler, dinmicos, astronomia.

Galileu a

iniciam

estudo do

do

comportamento dos

dos

sistemas na antiga

com

investigao

movimento

planetas

Porqu usar palavras? A geometria existia antes de ns. co-eterna com o esprito de Deus, o prprio Deus. A geometria com as suas esferas, cones, hexgonos, espirais, deu a Deus um modelo para a criao e foi implantada no homem como imagem e semelhana de Deus. Johannes Kepler, 1610

O universo (...) no pode ser compreendido a menos que primeiro aprendamos a linguagem no qual ele est escrito. Ele est escrito na linguagem da matemtica e os seus caracteres so os tringulos, crculos e outras figuras geomtricas, sem as quais impossvel compreender uma palavra que seja dele: sem estes ficamos deriva num labirinto escuro. Galileu Galilei, 1626

8


Apoiados nos seus estudos Newton e Leibniz (entre outros) estudando as regularidades dos movimentos e fenmenos naturais criaram o clculo diferencial e integral, com base na ideia de infinitsimo e de limite. Com este, no s descreveram leis do mundo fsico e natural, como as formalizam em teoremas. Depois de rduo estudo com sucesso, a Natureza aparecia simples, espantosamente compreensvel.

Gottfried Wilhelm Sir Isaac Newton Leibniz (1646-1716) (1643-1727) Muitos outros foram motivados a desenvolver a Matemtica e a interpretar fenmenos, tudo no paradigma do regular, do estvel e do peridico. O mundo fsico e natural parecia apresentar-se de tal modo, que era possvel com um determinado conjunto de equaes prever todos os seus estados futuros. Acreditava-se que evoluo da cincia consistia

essencialmente em encontrar novas equaes que descrevessem um maior nmero fenmenos. Emergiu a revoluo tecnolgica com base no regular, na criao de mquinas cujo comportamento perfeitamente determinado priori.

No mercado da fsica matemtica encontram-se agora expostos os produtos da loja determinista() se o dono da loja pudesse ver o futuro ficaria espantado com as maravilhas tecnolgicas que saram das suas mercadorias. Rdio, televiso. Automveis. Telefones. Radar. () Pontes suspensas. Satlites de comunicao. Computadores. Discos compactos. Mas tambm metralhadoras, ogivas nucleares MIRV e poluio. () Mas no nos enganemos! A tecnologia criao nossa () Ian Stewart 9


Sculos XIX e XX Weierstrass, Cantor, Peano, von Koch, Poincar

Monstros Matemticos Nos finais do sc. XIX grande parte da comunidade matemtica titulava de lamentvel praga o fascnio que demonstravam, alguns dos mais conhecidos investigadores da altura, por objectos que punham em causa algumas das bases da matemtica da poca. Estas novas estruturas, em pleno desenvolvimento no mesmo momento histrico do movimento cubista estabelecem-se como um padro de gosto nas Artes: foram consideradas "patolgicas" ou ainda uma "galeria de monstros". Em 1872 Weierstrass exibe a primeira funo contnua, que no admite derivada em nenhum dos seus pontos.

Fig. 1: Curva de Weierstrass Uma dcada mais tarde, em 1882, Cantor reproduz um mtodo que transforma uma recta numa poeira de pontos. Segue-se a sua construo.

Tomemos um segmento de recta qualquer (por exemplo o intervalo [0,1] da recta real), agora subdividamos o mesmo em trs partes iguais e retiremos o segmento central; repitamos o processo para os dois segmentos restantes. Iterando este processo uma infinidade de vezes obtemos o chamado conjunto de Cantor.

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Fig. 2: Conjunto de Cantor

O sistema de medidas usado na poca (medida de Labesgue) admitia que este tinha dimenso nula. Hoje admite-se que assim no .

Outro dos mais conhecidos casos patolgicos conhecido como curva de Peano (designao genrica aplicada a toda uma famlia de curvas concebidas entre 1890 e 1925), que preenche na totalidade uma regio do plano. Os passos da sua construo so apresentados, com pormenor mais frente.

Fig. 3: Trs primeiros passos da construo da Curva de Peano Em 1904 Helge von Koch (matemtico sueco) exibe uma curva que oculta uma propriedade surpreendente: o permetro infinito delimita uma rea finita.

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Fig.4: Curva de von Koch

Ainda no incio do sculo XX, Poincar apoiado em exemplos da fsica e da astronomia verifica que o comportamento, mesmo sistemas simples, pode ser muito complexo, instvel, no-linear. Nasce a topologia como novo campo de viso para a fsica e para a matemtica.

Embora seguissem isoladamente, todas estas descobertas caminhavam no mesmo sentido. O pensamento determinista mostrou-se falvel e

inadaptvel a muitas situaes reais. Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram, em 1918, um trabalho sobre processos iterativos envolvendo nmeros complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como Conjuntos de Julia.

Alguns semelhantes deformados.

conjuntos a crculos

de

Julia

so e

comprimidos

Outros esto quebrados em regies.

12


Outros ainda parecem partculas de poeira separadas.

Fig.4, 5 e 6: Conjuntos de Julia obtidos por computador

Mas nem palavras nem os conceitos da geometria euclidiana servem para os descrever. O matemtico francs Adrien Douady disse: Podemos obter uma variedade incrvel de conjuntos de Julia: alguns formam uma gorda nuvem, outros formam um esqueltico arbusto de espinhos, outros parecem as fascas que flutuam no ar depois de um fogo-de-artifcio. Obtemos, ainda, a forma de um coelho e muito deles tm cauda de cavalo-marinho.

Na

dcada

de

sessenta

Sharkovsky,

verificou

com

a

ajuda

do

computador, que iterando funes simples (como quadrtica) se obtinham objectos com propriedades inslitas e ordens muito estranhas, tal como as formas idealizadas antes por Cantor, Peano, von Koch e Julia. Assim, o desenvolvimento das tecnologias da informao e do

computador, como laboratrio precioso de clculo, vieram incentivar a anlise e discusso destes objectos, j que tornaram possvel a reproduo com maior detalhe do comportamento de funes iterativas.

Tanto o conjunto de Cantor, como as curvas de Peano e von Koch e os conjuntos de Julia, se inserem hoje, numa classe mais ampla de objectos denominados fractais.

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1.2. O que um fractal?

O termo fractal foi criado por Benoit Mandelbrot, para designar um objecto geomtrico que nunca perde a sua estrutura qualquer que seja a distncia de viso. Fractal acima de tudo significa auto-semelhante.

Mandelbrot classificou desta forma os seus objectos de estudo pois estes possuam dimenso fraccionria. As dimenses no inteiras tornaram-se, ento, uma forma de quantificar qualidades que, de outro modo,

permaneceriam inquantificveis: o grau de irregularidade ou tortuosidade de um objecto. Se repararmos, todas as formas geomtricas ortodoxas, degeneram quando so ampliadas ou diminudas. Um crculo numa escala muito maior no nada mais do que uma recta. Basta ter em mente que h apenas 500 anos pensava-se que a Terra era plana. Isto, porque escala humana no vemos mais do que uma linha recta no horizonte. No entanto, a maior parte dos objectos com que lidamos no nosso dia-a-dia no so rectas, nem esferas, nem cones. Olhando, por exemplo, para um tronco de uma rvore, verificamos que extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno pedao desse tronco ao microscpio observamos novas rugosidades e irregularidades que antes no tnhamos observado. No entanto esta imagem assemelha-se bastante anterior. esta irregularidade regular que

caracteriza um fractal.

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1.3. Benoit Mandelbrot

Mas quem ento Mandelbrot?

Benoit MandelbrotNasceu em Varsvia, em 1924, numa

famlia de judeus lituanos; o pai era vendedor de roupas e a me dentista. Era um matemtico faz-tudo, acolhido e adoptado pela seco de investigao pura da IBM (International Fora para e Business para a os Machines assuntos dos numa

Corporation). econmicos pequenos economia.

atirado estudar

distribuio

grandes

rendimentos

Ao contrrio de outros matemticos, ele enfrentava os problemas com a ajuda da sua intuio para formas e padres. Desconfiava de anlises mas confiava nas suas representaes mentais e j tivera a ideia de que outras leis, com um comportamento diferente, governariam os fenmenos do acaso. Ao estudar os preos do algodo e ao passar os dados para os computadores da IBM, deparou com o resultado incrvel que tanto procurava. Os nmeros responsveis pelas aberraes, do ponto de vista da distribuio normal, produziam simetria do ponto de vista da escala. Cada variao de preos era casual e imprevisvel, mas a sequncia das variaes era independente das escalas: as curvas das variaes dirias e das variaes mensais combinavam perfeitamente (como mostra a figura).

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Fig. 7: Grfico de distribuio normal dos preos do algodo em funo do tempo.

Inacreditavelmente, a anlise de Mandelbrot mostrava que o grau de variao se mantivera constante ao longo de um perodo tumultuoso de sessenta anos que assistira a duas guerras mundiais e uma depresso. Mais tarde a IBM deparou com problemas de rudo nas linhas

telefnicas que eram utilizadas para transmisso de dados. A existncia desses rudos provocava erros nos dados transmitidos. Quando Mandelbrot analisou o problema, descobriu que os rudos, apesar de aleatrios,

apresentavam caractersticas peculiares: em certos perodos havia muito 16


poucos rudos, noutros havia vrios erros de transmisso e mais: dentro de perodos de erro havia perodos de transmisso perfeita. A previso dos rudos era aparentemente impossvel. Mandelbrot, com a sua intuio

geomtrica, associou a frequncia dos erros de comunicao ao conjunto de Cantor (figura 2). Mais tarde a sua intuio confirmara-se: de facto esta abstraco matemtica representava com uma exactido impressionante, o rudo nas transmisses. Assim, a soluo que a IBM podia tomar era nula. A estratgia a utilizar era descobrir e corrigir os erros, pois no era possvel preveni-los. Na histria do caos, Mandelbrot seguiu uma via prpria. A

representao da realidade que elaborava mentalmente em 1960 evoluiu de uma excentricidade para uma geometria complexa. No entanto fez o

cruzamento de muito do conhecimento avulso sobre o tema j existente, dando especial nfase aos j mencionados conjuntos de Julia. Numa tarde invernosa de 1975, preparando a sua primeira obra importante para a publicao em livro, Mandelbrot decidiu que precisava de um nome para as suas formas, as suas dimenses e a sua geometria. Num dicionrio de latim encontrou o adjectivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. A ressonncia das palavras inglesas afins fracture e fraction pareceu-lhe adequada. Criou ento a palavra (substantivo e adjectivo, tanto em ingls como em francs) fractal. O termo fractal veio para ficar, como meio de descrever, calcular e pensar as formas irregulares e fragmentrias, complexas e recortadas.

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1.4 Definio matemtica de fractal

Mandelbrot apresentou como primeira definio de fractal um conjunto para o qual a dimenso de Haussdorf (tambm conhecida por dimenso fractal) estritamente superior sua dimenso topolgica. No entanto esta definio mostrou-se insuficiente, pois exclui alguns conjuntos que podem ser considerados fractais. Foram propostas outras definies mas nenhuma foi satisfatria.

Estamos, portanto, perante um conceito geomtrico para o qual no existe, at data uma definio formal. Assim, cingimo-nos definio intuitiva: um fractal um objecto gerado atravs de uma frmula matemtica a partir funes reais ou complexas, muitas vezes simples, mas que quando aplicadas de forma iterativa,

produzem formas geomtricas abstractas, com padres complexos que se repetem infinitamente.

18


1.5 Onde se encontram os fractais na natureza?

As imagens que calculei com a minha teoria matemtica assemelhavamse curiosamente realidade: e se eu podia imitar a natureza, era porque provavelmente teria descoberto um dos seus segredos() Benot Mandelbrot

Muitas formas naturais como nuvens, montanhas, linhas costeiras, razes, ramos de rvores, estruturas vitais (como vasos sanguneos, sistema nervoso) e, segundo algumas teorias at mesmo a estrutura do universo, tm formas que se assemelham a objectos fractais .

Fig. 8: Sistema circulatrio humano. Estudos atribuem-lhe estrutura fractal.

Fig. 9: Gengibre. O seu crescimento fractal: cada nova parte igual ao todo.

Fig. 10: Couve-flor Um dos mais comuns exemplos de fractal na natureza

19


Analisemos agora dois dos exemplos mais comuns: o brculo e o feto. Se cortarmos uma parte da flor do brculo (como mostra a figura) verificamos a sua semelhana com a restante flor. Este possui um nmero infinito de pequenas cpias (pelo menos aproximadamente) de si prprio.

Outro exemplo o feto que exibe, melhor ainda, a auto-semelhana, caracterstica dos fractais.

Isto , o brculo e o feto tm propriedades fractais. Contudo, os objectos da Natureza no so verdadeiramente fractais, pois eles no so infinitamente complexos, ou seja no possuem auto-semelhana exacta.

20


Tambm na descrio de fenmenos naturais ditos caticos como a turbulncia de fludos, a distribuio do caudal dos rios em funo do tempo, os alguns fractais movimentos encontraram

fisiolgicos, aplicaes.

No final da dcada de oitenta, alguns estudos revelaram que um corao saudvel bate a um ritmo fractal e que um batimento cardaco quase peridico, um sintoma de insuficincia cardaca. Os vasos sanguneos, da aorta aos capilares, tm tambm propriedades fractais. Ramificam-se, dividem-se e voltam a ramificar-se at se tornarem to finos que as clulas sanguneas so foradas a passar em fila indiana. A natureza dessa ramificao fractal. A estrutura evoca a dos monstruosos objectos imaginrios concebidos pelos matemticos do incio do sculo, queridos de Mandelbrot. Por necessidade fisiolgica, os vasos sanguneos realizam uma espcie de magia dimensional. Tal como a curva de Koch, por exemplo, define uma linha de comprimento infinito numa rea de superfcie finita. A natureza da estrutura fractal operou com tal eficincia que, em muito tecidos, nenhuma clula se encontra a mais de trs ou quatro clulas de distncia de um vaso sanguneo. No tubo digestivo, o tecido apresenta ondulaes nas ondulaes. Foram feitas muitas abordagens diferentes de modelao matemtica dos ritmos fisiolgicos. Modelos criados para o by pass, procuram traduzir quantitativamente as correntes inicas que fundamentam a sua actividade. Como existem inmeros canais diferentes, a interpretao das experincias e a formulao de modelos tericos torna-se um procedimento complexo. Trabalhos recentes demonstram que pequenas modificaes dos parmetros em modelos matemticos para os by pass podem levar a dinmicas caticas. 21


Na General Electric, os fractais tornaram-se um princpio organizador do estudo dos polmeros e tambm ainda que tal trabalho fosse em segredo dos problemas de segurana dos reactores nucleares.

Assim, ao longo das ltimas dcadas a geometria fractal no s foi alargando o seu domnio de interveno, como foi conquistando cada vez mais adeptos. Muitos so os domnios da cincia e das artes que exibem hoje as suas aplicaes que parecem no ter fim.

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1.6. Caractersticas de um fractal

Um fractal possui trs caractersticas muito particulares: a sua auto-semelhana; a sua dimenso; a sua complexidade infinita.

A auto-semelhana de um fractal baseia-se no facto de o conjunto ser constitudo por pequenas cpias de si mesmo. Assim, pode dizer-se que todas as escalas so indicadas para representar um fractal: a sua forma independente da escala considerada. No entanto verificamos que esta afirmao tem limites quando abandonamos os modelos matemticos e consideramos objectos naturais. Distinguem-se, assim, aproximada (ou estatstica). A auto-semelhana exacta uma abstraco, s existe no seio da matemtica. Os objectos naturais no possuem ( como j foi dito ) autosimilaridade perfeita. Formalmente, uma figura possui auto-semelhana exacta se, para qualquer dos seus pontos, existe uma vizinhana que contm uma parte da figura semelhante sua totalidade. Relativamente auto-semelhana aproximada, embora no seja dois tipos de auto-semelhana: a exacta e a

tambm real, pois estamos limitados escala visvel, encontra aproximaes surpreendentes em formas da natureza.

A dimenso fractal relaciona-se com o grau de irregularidade ou tortuosidade de um fractal e representa o seu grau de ocupao no espao.

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1.6.1. Como calcular a dimenso fractal?

1. Considere-se um segmento de recta e divida-se 4 (=4 1 ) partes iguais.

2. Efectuando um processo semelhante para cada um do lados de um quadrado obtm-se 16 (= 4 2 ) partes iguais.

3. Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtm-se 64 (=4 3 ) partes iguais.

Sejam: R a razo na qual dividimos cada segmento da figura (coeficiente de reduo)

N o nmero de partes resultantes da transformao de um segmento da figura anterior, em cada iterao

d - a dimenso 24


Para a recta (dimenso 1)

N = 1R 1 N = 1R 2

Para o quadrado (dimenso 2) Para o cubo (dimenso 3)

N = 1R 3

Generalizando para qualquer dimenso N = 1R d

Ou seja,

1 N= d R

1 N = R

d

1 N = R

d

Logo,

d = log (1/ R) N

Isto , d=

ln N ln(1 / R)

A d chamamos dimenso fractal ou dimenso de Haussdorf. Este processo vlido para todas as figuras com auto-semelhana exacta, fractais ou no e confirma o valor da dimenso atribuda pela geometria euclidiana. Por exemplo, para o cubo temos

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R=

1 4

N = 64 = 43

d=

ln 43 3 log 4 = =3 ln 4 log 4

A complexidade infinita dos objectos fractais advm do facto de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um nmero infinito de iteraes.

1.7. Tipos de fractais existentesNuma anlise exaustiva as imagens fractais podem subdividir-se numa quantidade considervel de tipos. No entanto inserem-se essencialmente em duas categorias: -Fractais geomtricos que derivam da geometria tradicional atravs de funes iterativas a partir de uma figura inicial (ex. conjunto de Cantor, a curva de von Koch, o triangulo de Sierpinski, a esponja de Menger). As primeiras figuras fractais deste tipo surgiram entre finais do sc. XIX e o incio do sc. XX.

Fig. 11: Pirmide de Sierpinski

Fig. 12: Esponja de Menger

26


-Fractais aleatrios gerados por computadores so o resultado de iteraes, operadas num sistema no linear, de forma recursiva.

Fig. 13: Fractais aleatrios obtidos por computador atravs de funes iterativas complexas.

Fig. 14: Fractais aleatrios obtidos por computador a partir de funes iterativas quaterninicas.

27


Estes

possibilitam

a

quem

os

observa,

imagens

de

uma

beleza

impressionante, bem como um vasto leque de aplicaes artsticas que vai desde a indstria cinematogrfica msica.

1.8. Os fractais na arteAs paisagens fractais geradas por processos aleatrios, concebidas por computador foram uma das primeiras aplicaes artsticas da geometria fractal e so usadas, por exemplo, na indstria cinematogrfica. Em

Hollywood tornaram-se uma ferramenta poderosa para a criao de paisagens terrestres e extraterrestres realistas, para efeitos especiais de filmes.

Fig. 15: paisagem fractal concebida por computador atravs dos programas 3DEM e Terragen

28


1.8.1. Escultura fractal

Fig. 16: Esculturas fractais que participaram no Concurso Anual de Arte Fractal de 2002.

Fig. 17: Exemplo de aplicao da geometria fractal arquitectura

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1.8.2. A msica fractalA msica fractal, tal como os fractais, o resultado de um processo repetitivo no qual um algoritmo aplicado mltiplas vezes para elaborar a sua anterior produo, resultando em de hoje, os fractais na tm vindo por isso a melodias auto-semelhantes. Nos dias fornecer tem vindo resultados a ganhar extremamente entusiastas e

interessantes apreciadores.

msica,

Assim, uma aplicao visvel de que msica, natureza e Matemtica so trs reas extremamente interligadas, o facto dos fractais poderem ser convertidos em msica, apesar de isto requerer processo complexo. Existem vrios mtodos para converter imagens fractais em msica. No entanto, este processo s pode ser feito com recurso a algum do mais avanado software e de tecnologia informtica. Os fractais mais conhecidos so tambm os mais utilizados na criao de msica fractal. Entre estes destaca-se o conjunto de Mandelbrot, do qual falaremos mais adiante.

Fig. 18: Conjunto de Mandelbrot Como se consegue obter uma msica a partir desta imagem

aparentemente to simples? Sabemos, pelo que foi referido anteriormente, que s possvel "fabricar" msica fractal com o auxlio de um computador devidamente

equipado com o software necessrio. Mas, antes disso, ser preciso passar a imagem do fractal para o programa que se esteja a utilizar. Assim, este

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fractal pode ter um pedao dele transferido para um quadrado no computador denominado de "pixel". Geralmente, cada "pixel" tem cores separadas. Depois cada cor transferida para uma nota numa escala musical. Usando estas cores como guias e procurando ao longo da imagem linha por linha, obtm-se uma cano. Outro mtodo transferir notas baseadas na localizao do "pixel" no visor do computador, na ordem pela qual o fractal foi criado. Estes so apenas dois dos mtodos possveis para a transformao de uma imagem fractal em msica fractal, uma vez que existem muito mais processos. A melhor maneira para converter fractais em msica depende do fractal que se est a converter, pois todos eles actuam de uma forma diferente. Vendo as coisas deste ponto de vista, pode at parecer extremamente simples a produo de msica fractal; e se bem que verdade que qualquer um de ns a poderia fazer com o auxlio de programa informtico indicado, tambm no menos verdade que tudo aquilo que est "por detrs" do programa ultrapassa em muito os conhecimentos de um mero curioso. Existe algo em comum em todos os programas que convertem o fractal de Mandelbrot em msica: todos eles se regem pelo mesmo processo iterativo que d origem a este belssimo fractal.

Por mais estranho que possa parecer, desde h muito tempo que a msica e a matemtica se encontram associadas. Hoje em dia, os

computadores perpetuam essa ligao.

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1.9. Geometria Euclidiana versus geometria fractal

Dois graus de ordem no caos: a ordem euclidiana e a ordem fractal()

A geometria fractal caracterizada por duas escolhas: a escolha de problemas no seio do caos da natureza, uma vez que descrever todo o caos seria uma ambio sem esperana e sem interesse, e a escolha de ferramentas no seio da matemtica, pois procurar aplicaes das

matemticas pelo simples facto de serem belas acabou sempre por causar dissabores.()depois de progressivamente amadurecidas, estas duas

escolhas, criaram algo de novo: entre o domnio do caos desregulado e a ordem excessiva de Euclides existe agora uma nova zona da ordem fractal. Benot Mandelbrot

Conta a tradio

H mais de dois mil anos, Euclides enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfcie contnua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visveis. Desde ento empenhou-se em provar que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geomtricas simples (cubos,

tringulos, prismas). Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento fulcral neste tipo de anlise: a dimenso. No entanto, inconscientemente, esta foi a chave do seu pensamento inicial: um gro de areia, apresenta isoladamente trs dimenses

(comprimento, altura e profundidade), enquanto que a superfcie arenosa da praia visualmente plana (duas dimenses). Ou seja, a fronteira do conjunto tridimensional composto pelos gro de areia, bidimensional. O conceito de dimenso topolgica formaliza precisamente esta ideia. Como vimos o

32


conceito

de

fractal

est

directamente

relacionado

com

o

conceito

de

dimenso topolgica. Onde parou Euclides comeou a geometria fractal: no conceito de dimenso. H alguma razo para a geometria no descrever o formato das nuvens, das montanhas, das rvores ou da sinuosidade dos rios? Nuvens no so esferas, montanhas no so cones, troncos de rvores no so hexgonos e rios no desenham espirais. Benot Mandelbrot

Geometria EuclidianaT rad ic ion al ( ma is de 2 000 anos ) Bas ead a em tam anh o o u esca la p r-

Geometria fractalCo n te mpor nea (u l ti mos tr i nta an os)

T am anh o ou esca la esp ec fic a d e fi ni da Ad equ ada a ob jec tos cr ia dos p elo h om em D im ens o in tei ra { 0 ,1 ,2 ,3} D im ens o re al no in ter val o [0 ,3 ] Ad equ ada a form as na tura is

Desc ri ta po r frm u las e equ aes

Uso de a lgo ri tmos r ecu rsi vos

33


CAPTULO II Estudo de alguns fractais

2.1. Curva de Peano

Apresentada em 1890, a Curva de Peano, um exemplo de fractal que preenche todo o plano. A Curva de Peano construda por um processo iterativo.

Construo da Curva de Peano:

Passo 0: Constri-se um segmento de recta. (Figura de partida)

Passo 1: Divide-se esse segmento em trs partes iguais. Passo 2: Sobre o segmento mdio, constri-se um rectngulo bissectado pelo segmento, formando dois quadrados com lado igual ao segmento que lhes deu origem.

Passo 3: Em cada segmento dos nove restantes, repetem-se os passos 1 e 2, e assim sucessivamente, at ao infinito.

Observe-se que as curvas obtidas nas diferentes iteraes da recurso, a partir da primeira, intersectam-se a si prprias, nos vrtices dos pequenos quadrados que se vo formando em cada iterao. Pode-se demonstrar que no limite (levando a construo

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anterior at uma infinidade de iteraes), a Curva de Peano, no mais do que uma superfcie completamente preenchida.

Qual a dimenso da Curva de Peano? Supondo que o segmento inicial tem comprimento 1 ( L=1). Em cada iterao um segmento d origem a 9 segmentos (N=9), e o coeficiente de reduo 1/3. (R=1/3). Portanto, a dimenso da curva de Peano :

d=

log(9) log(3) =2 =2 log(3) log(3)

A Curva de Peano o exemplo de uma curva, dimenso 1 segundo a Geometria Euclidiana, que preenche uma superfcie de dimenso 2. Podemos ento dizer que a Curva de Peano bidimensional.

2.2 Curva de Von Koch Um dos exemplos de fractais mais simples a Curva de Koch. Esta foi apresentada pelo matemtico sueco Helge Von Koch, construda, tal como a Curva de Peano por um processo iterativo.

Construo da Curva de Von Koch: Passo 0: Constri-se um segmento de recta. (Figura de partida)

Passo 1: Divide-se esse segmento em trs partes iguais.

35


Passo 2: Substitui-se o segmento mdio por dois segmentos iguais, de modo a que, o segmento mdio e os dois novos segmentos formem um tringulo equiltero. Obteve-se uma linha poligonal com quatro segmentos de comprimento igual.

Passo 3: Posteriormente, repetem-se os passos 1 e 2 para cada um dos segmentos obtidos

Passo 4: E repete-se este processo at ao infinito.

Fig. 18: Sequncia de imagens da construo da Curva de Von Koch.

Esta curva tem comprimento infinito, no tem derivada em nenhum dos seus pontos.

Qual a dimenso da Curva de Von Koch? Supondo que o segmento inicial tem comprimento 1. Em cada iterao um segmento d origem a 4 segmentos (N=4), e o coeficiente de reduo 1/3. (R=1/3). Portanto, a dimenso da curva :

d=

log(4) = 1.26 log(3) 36


2.3. Floco de Neve de Koch

A Curva de Koch deu origem a um outro fractal, conhecido como ilha de Von Koch ou Floco de Neve, (recebeu este nome por sua semelhana com um floco de neve). Estes dois fractais so muito semelhantes, mas o Floco de Neve parte de um tringulo equiltero, e no de um segmento de recta, aplicando-se o mesmo processo de construo. Fig. 19: Floco de Neve de Koch.

Construo do Floco de Neve de Koch: Passo 0: Constri-se um tringulo equiltero (Figura de partida). Passo 1: Divide-se em trs partes iguais cada um dos lados de um tringulo, construindose sobre cada um dos segmentos mdios um novo tringulo equiltero. Obtendo-se a Estrela de David, com 12 lados;

Passo 0

Passo 1

Fig. 3: Esquema de construo de um Floco de Neve (primeiros dois passos).

37


Passo 2: Repete-se o processo de construo sobre cada um dos lados da figura obtida anteriormente. Para as figuras seguintes o processo repete-se. Obtm-se assim a seguinte sequncia de figuras:

Fig. 20: Sequncia de transformaes do Floco de Neve de Koch.

Em cada passo desta construo, a figura vai mudando de forma, e medida que o nmero de passos aumenta, essas modificaes tornam-se cada vez menos visveis. Quando estas mudanas se tornam invisveis a olho nu, diz-se que o processo se tornou visualmente estvel. Vamos agora estudar alguns aspectos do Floco de Neve de Koch. Desprezemos o interior da figura e consideremos apenas a fronteira do Floco de Neve. Tendo em conta o seu processo de construo, fcil de perceber que medida que se vo fazendo transformaes o nmero de lados da curva aumenta, mas o comprimento de cada um deles diminui.

Como varia o nmero de lados da curva com as transformaes? Por cada nova transformao que se faz, cada lado d origem a quatro lados Assim, temos a seguinte tabela:

38


Passos Figura de partida 1 Transformao 2 Transformao 3 Transformao 4 Transformao ...

Nmero de lados 3 3x4 = 12 12x4 = 48 = 3 x 40 = 3 x 41 = 3 x 42

48x4 = 192 = 3 x 43 192x4 = 768 = 3 x 44 .

Quadro 2 - Variao do nmero de lados da curva com as respectivas transformaes. Podemos ento concluir que o nmero de lados de cada figura em funo do nmero de transformaes dado pela progresso geomtrica Ln = 3 4 n . Esta sucesso montona crescente e medida que o nmero de transformaes cresce (isto , n + ) a sucesso tambm tende para + . Isto significa que a curva vai ter um nmero infinito de lados.

Como varia o comprimento dos lados da curva com as transformaes? Suponhamos que o lado do tringulo inicial tem uma unidade de medida. Os lados de cada nova figura so trs vezes mais pequenos que os da figura anterior. Assim: Passos Figura de partida 1 Transformao 2 Transformao 3 Transformao 4 Transformao ... Medida de cada lado 1 1/3 = 1/31 = 3-1 1/9 = 1/32 = 3-2 1/27 = 1/33 = 3-3 1/81 = 1/34 = 3-4

Quadro 3 - Variao da medida de cada lado da curva com as respectivas transformaes.

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A medida dos lados de cada figura em funo do nmero de transformaes dado pela progresso geomtrica de termo geral M n = 3 n . Esta sucesso montona decrescente e quando o nmero de transformaes n tende para + , a sucesso tende para zero (lim Mn = 0). Isto significa que a medida de cada lado da curva tende para zero.

Como varia o permetro da curva com as transformaes? Podemos definir a sucesso dos permetros Pn custa das duas sucesses

4 anteriores. Assim Pn = Ln M n = (3 4 ) (3 ) = 3 . Esta sucesso uma progresso 3n n n

geomtrica de primeiro termo 3 (exactamente o permetro do tringulo inicial) e de razo

4 . 3

Quando n tende para + , a sucesso tende para + , (lim Pn = +) pois o primeiro termo positivo e a razo maior do que um, logo o permetro do Floco de Neve de Koch infinito.

Qual a rea do Floco de Neve de Koch? Consideremos, para facilitar os clculos, que a rea do tringulo inicial que serve de ponto de partida para a construo da Curva de Koch tem uma unidade de medida. Ser que a rea do floco de neve tambm cresce para o infinito?... Comecemos por estimar a rea do Floco de Neve de Koch traando um hexgono envolvendo a Estrela de David (passo 1). Ao continuar-se a construo, constata-se que a figura resultante do passo 2 ainda est contida no hexgono. imediato verificar que isso vai acontecer em todos os passos, e que portanto no limite tambm acontece.

Fig. 21: Hexgono envolvendo a estrela de David e a figura resultante da transformao 2.

40


Pode-se ento concluir que a rea do Floco de Neve inferior rea do hexgono (a qual igual ao dobro da rea do tringulo inicial, ou seja, 2). Como a rea do tringulo inicial 1, a rea da curva estar compreendida entre 1 e 2. Determinemos o seu verdadeiro valor: sabe-se que a rea do polgono, em cada passo, obtm-se adicionando rea do polgono do passo anterior a rea de um tringulo equiltero, cujo lado do polgono anterior. Como foi dito anteriormente, no passo 0 (figura de partida) o tringulo tem rea (A0) igual a 1. Pela semelhana de figuras planas, sabe-se que, se o lado de um polgono sofre uma reduo de razo

1 do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o nmero de lados 3

1 1 , a rea sofre uma reduo de . 3 9

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Fig. 22: Esquema da diviso do tringulo equiltero em nove tringulos equilteros.

Sendo assim tem-se: No passo 1,

1 1 A1 = 1 + 3 1 = 1 + 3 9

No passo 2, como se obtm 3 4 segmentos de recta, vem

1 1 1 4 1 A2 = 1 + + (3 4) = 1 + + 3 3 3 9 92

No passo 3, como se obtm 3 42 segmentos de recta, vem

1 1 4 1 1 4 1 4 1 A3 = 1 + + + 3 4 2 = 1 + + + 3 3 9 3 3 9 3 9 9

(

)

3

2

41


Continuando, sucessivamente, no passo n + 1, obtm-se

1 1 4 1 4 1 4 An+1 = 1 + + + + K + 3 3 9 3 9 3 92

n

que a soma de 1 com os termos de uma progresso geomtrica em que o primeiro termo

1 4 e a razo . 3 9n

4 1 1 9 Ento An+1 = 1 + Sn, sendo Sn = . 4 3 1 9

n 4 1 1 9 Calculando Sn quando n tende para infinito tem-se lim Sn = lim 4 3 1 9

3 =5.

Ento, a rea total limitada pelo Floco de Neve 1 +

3 = 1,6 . 5

Podemos ento concluir que, embora o permetro do Floco de Neve seja infinito, a sua rea finita, nunca excedendo 1,6 unidades. Isto quer dizer que sendo a rea do tringulo inicial A, a rea do Floco de Neve construda a partir deste ser 1,6A.

Qual a dimenso do Floco de Neve de Koch? O coeficiente de reduo da construo R = origem a 4 segmentos de igual medida, N=4. A dimenso do Floco de Neve ser ento: d=

1 e em cada iterao um segmento d 3

log 4 1,26. log 3

Podemos interpretar este resultado do seguinte modo: por ser mais "enrugada" a curva ocupa mais espao do que uma simples linha recta (dimenso 1), mas menos espao do que uma superfcie (que tem dimenso 2). O Floco de Neve de Koch possui auto-semelhana exacta.

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Fig. 23: Floco de neve de Koch com uma secco ampliada.

2.4. O Tringulo de Sierpinski No incio do sculo XX o matemtico polaco Waclav Sierpinski (1882-1969) estudou uma figura geomtrica que ficou conhecida por Tringulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski ou Fractal de Sierpinski, que se obtm como limite de um processo iterativo.

Construo do Tringulo de Sierpinski:

Passo 0 Constri-se um tringulo equiltero (slido);

Passo 1 Determina-se os pontos mdios de cada um dos lados de um tringulo; une-se por segmentos esses pontos mdios (2 a 2) e considera-se os 4 tringulos resultantes. Retira-se o tringulo central; ficamos assim com 3 tringulos slidos; Passo 2 Aplica-se o procedimento descrito no passo 1 a cada um dos 3 tringulos resultantes, obtemos 9 tringulos slidos; ...

Passo N Aplica-se o procedimento descrito no passo 1 a cada um dos tringulos slidos obtidos no passo N-1, at ao infinito. Obtm-se assim o Tringulo de Sierpinski. Fig. 23: Sequncia do processo iterativo de construo do Tringulo de Sierpinski

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O tringulo de Sierpinski a figura limite deste processo e no qualquer um dos passos finitos referidos anteriormente.

Fig. 24: Tringulo de de Sierpinski.

Qual a rea do Tringulo de Sierpinski? Consideremos A como sendo a rea do tringulo inicial (passo 0) e vejamos como varia a rea ao longo dos primeiros passos: Passo 0 rea = A Passo 1 rea =

3 A 42

9 3 A = A Passo 2 rea = 16 4 27 3 Passo 3 rea = A = A 64 43

...................

3 Passo n rea = A 4n

3 Ento, no passo n, a figura ter rea dada por An = A . 4n

Obtemos uma progresso geomtrica de razo

3 (maior do que zero e menor do que 4

um) e primeiro termo positivo (pois A designa uma rea logo positiva) o que significa que a progresso geomtrica tende para zero quando n + . Ento a rea do tringulo de Sierpinski tende para zero.

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Como a rea, formada pelos tringulos retirados no processo de construo (a

3 branco), dada por Bn = A A , esta vai tender para A. 4n

O nmero de tringulos em cada passo da Carpete de Sierpinski dado pela sucesso de termo geral Tn = 3n (logo o nmero de tringulos tende obviamente para o infinito).

Qual o permetro do Tringulo de Sierpinski? Consideremos o tringulo inicial (passo 0) com permetro igual a P e vejamos como varia o permetro ao longo dos primeiros passos: Passo 0 Permetro = P Passo 1 Permetro = P

3 2

Passo 2 Permetro = 3 2 Passo 3 Permetro = 33 ...................

P 3 = P 2 2 2 P 3 = P 3 2 2

2

3

3 Passo n Permetro = P 2

n

3 Ento, no passo n, a figura ter permetro dado por Pn = P . 2n

Obtemos uma progresso geomtrica de razo

3 (maior do que um) e primeiro termo 2

P positivo (pois um permetro), o que significa que a progresso geomtrica tende para infinito quando n + . Ento o permetro do Tringulo de Sierpinski tende para infinito.

Qual a dimenso do Tringulo de Sierpinski? Em qualquer um dos passos da construo do tringulo de Sierpinski, o coeficiente de reduo R =

1 (do comprimento do segmento de recta do passo anterior) sendo o 2

nmero de tringulos obtidos o triplo do obtido no passo anterior, isto , N=3.

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A dimenso do Tringulo de Sierpinski ser ento (atendendo ao passo 1 da construo): d=log 3 1,59 log 2

O tringulo de Sierpinski e o tringulo de Pascal: Pascal (1623-1662) estudou e demonstrou, no Tratado do Tringulo Aritmtico publicado em 1654, diversas propriedades do tringulo que ficou conhecido com o seu nome e aplicou-as tambm no estudo das Probabilidades. Antes de Pascal, j Tartaglia (1499-1557) usara o tringulo aritmtico e, muito antes, tambm os matemticos rabes (sc. XIII) e Chineses (sc. XIV) o utilizavam. Consideremos o passo 1 do tringulo de Sierpinski:

Consideremos tambm as quatro primeiras linhas do tringulo de Pascal:

Alm da semelhana geomtrica, podemos reparar que sobrepondo estes dois tringulos, os nmeros mpares, do tringulo de Pascal, ficam sempre sobre os tringulos pretos do Tringulo de Sierpinski, enquanto os nmeros pares ficam sobre os tringulos retirados no processo de construo. Resta questionar o facto da propriedade enunciada anteriormente se manter quando ampliado os dois tringulos. Vejamos que sim.

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Consideremos o passo 3 do Tringulo de Sierpinski e consideremos tambm as oito primeiras linhas do tringulo de Pascal:

Sobrepondo um tringulo no outro conclui-se o pretendido.

ainda importante referir que o tringulo de Sierpinski possui auto-semelhana exacta.

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2.5. Conjunto de Mandelbrot Ao conjunto de Mandelbrot tambm se chama o homem do gengibre por se assemelhar com um corpo gordo e uma cabea redonda, como podemos observar na figura 8.

Fig. 25: Conjunto de Mandelbrot.

Se examinarmos a cor do conjunto de Mandelbrot atravs da janela ajustvel dum ecr de computador, observamos a sua complexidade ao longo das diversas escalas. Uma catalogao das diferentes imagens no seu interior ou uma descrio numrica no seu contorno iria exigir uma

quantidade infinita de informao. O conjunto de Mandelbrot parece mais fractal do que os fractais, to rica a sua complexidade ao longo das escalas. Uma catalogao das diferentes imagens do seu interior ou uma descrio completa do conjunto atravs de uma linha de transmisso preciso apenas umas dezenas de caracteres de cdigo. Um sucinto programa de computador contm a informao suficiente para reproduzir todo o conjunto. Podem ser formadas muitas formas fractais por processos iterativos no plano complexo, mas existe apenas um conjunto de Mandelbrot. Comeou a aparecer, vago e espectral, quando Mandelbrot estava a tentar descobrir uma

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maneira de generalizar uma classe de formas conhecidas por conjuntos de Jlia. Estas tinham sido concebidas e estudadas durante a primeira Guerra Mundial por Julia e Fatou, como j foi referido, trabalhando sem as imagens que um computador pode fornecer. Em 1979, Mandelbrot descobriu que podia criar uma imagem num plano complexo que poderia servir como um catlogo dos conjuntos de Julia, um guia para qualquer um deles (como podemos observar na figura 26). Um programa para o conjunto de Mandelbrot precisa apenas de alguns elementos essenciais. O motor principal um ciclo de instrues que tomam o seu nmero complexo inicial e aplicam a este a sua regra aritmtica. Para o conjunto de Mandelbrot, a regra esta: z z2+

c, onde z comea em zero e c

o nmero complexo correspondente ao ponto que est a ser calculado. Assim, tomamos 0, multiplicamo-lo por ele prprio e somamos o nmero inicial; tomamos o resultado o nmero inicial - multiplicamo-lo por ele prprio e somamos o nmero inicial; tomamos o novo resultado, multiplicamolo por ele prprio e somamos o nmero inicial.

Como se pode desenhar o Conjunto de Mandelbrot? Para responder a esta pergunta, basta explicar como se atribui a cor a um nmero complexo a + ib qualquer, que vai ser desenhado como um ponto (a, b) no plano. Denotemos por z o nmero anterior (a + ib). Submete-se o nmero z ao seguinte processo iterativo:2 Z n +1 = Z n W +

em que w um nmero complexo constante.

Observando o comportamento de z n + 1 , ou seja, do seu mdulo |z n + 1 |, temos as seguintes possibilidades: |z n | se mantm sempre finito Atribui-se a cor preta a z.

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|z n | tende para infinito Atribuem-se diferentes cores a z, dependendo do comportamento de |z n |. A classificao definida por quem desenha o fractal. Um ponto marcado neste fractal no quando satisfaz a equao, mas sim segundo um certo tipo de comportamento. Um comportamento possvel pode ser um estado estacionrio; outro pode ser a convergncia para uma repetio peridica de estados; e outro ainda pode ser um corrida

descontrolada para o infinito. Este comportamento de convergncia para uma repetio peridica de estados passvel de ser observada e, depois, todos nos podemos interrogar se o resultado infinito ou no. Este comportamento assemelha-se ao processo de feedback no mundo do dia-a-dia. Pode imaginar-se que estamos a montar um microfone,

amplificador e colunas de som num auditrio estamos preocupados com o rudo estridente de feedback acstico. Se o microfone capta um som suficientemente alto, o som amplificado vindo das colunas ir entrar de novo no microfone num ciclo infinito, com um som cada vez mais elevado. Por outro lado, se o som baixo ir apenas desaparecendo, at deixar de ser ouvido. Para construir um modelo para este processo por de si feedback mesmo,

poderamos

escolher

um

nmero

inicial,

multiplic-lo

multiplicar o resultado por si mesmo, e assim sucessivamente, Iramos descobrir que os grandes nmeros conduzem rapidamente ao infinito:

10,100,10000... Mas os nmeros pequenos levam a zero:

1 1 1 2,4,6

...

O conjunto de Mandelbrot tem uma forma muito particular de autosemelhana aproximada existe uma repetio infinita do conjunto mas tambm uma infinita variedade de formas rodeando esse conjunto, se o ampliarmos suficientemente.

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Fig. 26: Alguns conjuntos Julia que se podem encontrar no Conjunto de Mandelbrot.

Efectuando diversas ampliaes podemos encontrar formas fascinantes que nos fazem lembrar botes de flor, cavalos-marinhos, arabescos, vrtices, torres, cactos a deitar rebentos, espirais, cobras finas, ondas ou plantas exticas encontramos um nmero infinito de cpias do prprio conjunto numa diversidade impressionante de escalas. a auto-semelhana levada ao seu extremo mais belo, como se pode observar pelas sucessivas ampliaes do conjunto de Mandelbrot:

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Fig. 27: Sequncia de ampliaes do conjunto de Mandelbrot.

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Em qualquer destas ampliaes (e em quaisquer outras), podemos descobrir rplicas do conjunto de Mandelbrot original, rodeadas por novas e impressionantes imagens, que mudam infinitamente. O conjunto de Mandelbrot descrito como o objecto mais complexo alguma vez concebido pelo Homem, apesar de s depois da introduo dos computadores ampliaes como as anteriores puderam ser geradas.

2.6. Linha costeira de uma regio

Uma linha costeira um bom exemplo de um fractal que ocorre na Natureza. Mapas de linhas costeiras, desenhados em escalas diferentes, mostram uma distribuio semelhante de baas e cabos. Cada baa tem as prprias baas e cabos; estes ltimos tambm, e assim sucessivamente.

O texto de Swifh, depois de ser parodiado por Richardson, um lugarcomum entre a comunidade fractal, mas to adequado que no podemos deixar de o citar:

Assim, observam os naturalistas, uma pulga, Tem pulgas menores, que dela se alimentam, E estas tm pulgas menores, que lhes picam, E assim sucessivamente ad infinitum.

Considerando um pedao de linha costeira numa regio acidentada, vamos tentar determinar qual o seu comprimento efectivo. evidente que essa linha , no mnimo, igual distncia em linha recta entre as duas extremidades da linha costeira que considermos. Assim, se a costa fosse direita, o problema estaria resolvido neste primeiro passo.

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Contudo, uma verdadeira costa natural extremamente sinuosa e, por conseguinte, muito mais longa que a dita distncia em linha recta. A linha da costa em geral calculada a partir de fotografias de satlite. Mas se as fotografias fossem tiradas de uma avioneta, as irregularidades seriam mais visveis e obter-se-ia um outro valor. Se em vez de fotografia fossem medidas directamente todas as salincias e reentrncias, obter-se-ia um valor muito maior. Se, em seguida, fosse usada uma rgua de um decmetro e repetindo a tarefa, obter-se-ia maior preciso nas medidas dos contornos rochosos, comeando a ter em conta a irregularidade das pedras, e o comprimento final obtido seria ainda maior.

Fig. 28: Ampliao de uma parte de uma linha costeira

Poder-se-ia repetir esta tarefa indefinidamente, mas sempre reduzindo a escala de medio da costa, que o seu comprimento iria aumentar. Em concluso, o comprimento da costa de um pas tende para infinito, embora a rea que a limita seja finita. Quanto o comprimento de uma determinada linha de costa? Como a dimenso de uma curva fractal o nmero que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento entre dois pontos aumenta medida em que a escala diminui, podemos defini-la de um modo um pouco diferente, mais conveniente para estudar uma linha costeira. Assim, temos

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L log 2 L 1 d= S log 2 S 1onde L 1 e L 2 so as medidas dos comprimento das curvas (em unidades) e S 1 e S 2 so os tamanhos das unidades (ou seja, as escalas) usadas na medio.

A figura seguinte representa a linha costeira de uma regio, onde foram utilizadas unidades de medida de tamanhos diferentes (S) para estimar o comprimento (L) do litoral.

Para

este

litoral,

as

medidas

de

S=1

e

S=0.5

resultam

nos

comprimentos L=7 e L=20, respectivamente. Ento: 20 log 7 1.51 d= 1 log 0.5

De modo anlogo, a transio de S=1 para S=2 leva-nos menor estimativa aproximada de d1,22 e de S=2 para S=3, d1,13.

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O litoral um fractal: em vez de ter somente uma dimenso (como uma linha num mapa) tem uma dimenso fractal que varia entre 1 e 2, consoante as unidades de medida escolhidas( isto , consoante a aproximao que fazemos).

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CAPTULO III - Teoria do Caos3.1. Conceito

Caos um campo da matemtica que estuda sistemas dinmicos ou seja, sistemas em movimento. A Teoria do Caos baseia-se em demonstraes matemticas e teorias que tentam descrever processos em movimento ou seja, sistemas matemticos que se modificam com o tempo, como por exemplo o tempo, a bolsa ou a distribuio gentica de uma populao. Vejamos um exemplo do quotidiano. Certamente todos ns j planeamos algo do tipo: amanh tarde irei casa do meu colega para irmos praia. Mas no dia seguinte acordmos com o cu cinzento, mesmo tendo a previso meteorolgica sido favorvel. Podemos ento dizer, correntemente, que o que aconteceu de inesperado nesse dia culpa do caosou at mesmo dizer que o clima mundial realmente um caos. Pois bem, vamo-nos deter um pouco nesta palavra: caos. Ela era usada pelos gregos e significava vasto abismo ou fenda. A palavra tambm alude ao estado de matria sem forma e espao infinito, que existia antes do Universo ordenado, suposto por vises cosmolgico-religiosas. E, finalmente, o sentido mais usual de caos: desordem, confuso.

O desenvolvimento do estudo do Caos cresceu explosivamente, nos ltimos anos, devido preciosa ajuda prestada pelos computadores. No s, pela sua capacidade de clculo (necessrio para estudar os padres caticos), mas tambm porque permitem representar graficamente os padres (como o caso dos fractais).

Mas, detenhamo-nos no exemplo anterior. Poderemos ento pensar: devido a esta desordem do caos, nunca poderemos saber quando o clima estar propcio a ir praia. Ser que por detrs desta desordem climtica h uma ordem escondida?

A teoria do caos no uma teoria de desordem, mas busca no aparente acaso uma ordem intrnseca determinada por leis precisas. Alm do clima, outros processos aparentemente casuais apresentam certa ordem, como por exemplo crescimento populacional, flutuao do mercado financeiro e como j vimos os batimentos cardacos e o quebrar das ondas do mar, que possuem propriedades fractais.

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A

geometria

fractal

constitui,

portanto,

uma

parte

da

teoria

do

caos.

3.2. O Efeito Borboleta

Num trabalho de previso do futuro, precisamente o clima, o matemtico norteamericano Edward Lorenz percebeu a ordem na aparente desordem dando o pontap inicial na Teoria do Caos. Lorenz descobriu que um pequeno acontecimento agora pode significar uma imensa catstrofe mais tarde. Ocorre um fenmeno denominado tecnicamente de "dependncia sensvel das condies iniciais", mais conhecido como "Efeito Borboleta" e sugere que o vo de uma borboleta deste lado do mundo pode causar uma grande tempestade daqui a um ms do outro lado do planeta. A descoberta foi possvel porque, numa simulao, Lorenz digitou nmeros com seis casas decimais, por exemplo: 0,506127, noutra com trs: 0,506, isto , uma nfima diferena. Mas comparando os dois grficos resultantes, depois de processados os dados as diferenas eram enormes nos grficos de um e de outro. Uma nfima mudana agora pode resultar numa grande diferena depois.

3.3. A Funo logstica

Vejamos o comportamento da funo logstica (de grande utilidade na biologia para o estudo de crescimento de populaes), atravs da calculadora.

xn+1=k.xn.(1-xn2)onde xn+1 o valor da iterao n, k um valor constante e xn o valor da iterao anterior. Faamos k=2,5 e o valor inicial x0=0,700000000.

o prximo valor ser x0+1=k.x0.(1-x02),

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substituindo o valor de x0, teremos x1=2,5*0,700000000*(1-0,7000000002).

x1+1=k.x1.(1-x12). Substituindo o valor de x1 que encontramos, temos x2=2,5*0,8925*(1-0,89252)= 0,453933867

Faamos agora, uma tabela com os valores obtidos. x0= 0,700000000 x1= 0,892500000 x2= 0,453933867 x3= 0,900995226 x4= 0,423935380 x5= 0,869363005 x6= 0,530763428 x7= 0,953105400 x8= 0,218237538 x9= 0,519608507 x10= 0,948294618

Para ver o resultado da dependncia sensvel das condies iniciais necessrio termos uma outra condio inicial. Usemos agora como valor inicial 0,700000001. Obtemos ento, os seguintes valores:

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x0= 0, 700000001 x1= 0, 892499999 x2= 0, 453933871 x3= 0, 900995230 x4= 0, 423935366 x5= 0, 869362989 x6= 0, 530763479 x7= 0, 953105420 x8= 0, 218237453 x9= 0, 519608324 x10= 0, 948294531

Comparemos as duas tabelas. Notamos diferena apenas na ltima, penltima ou no mximo na antepenltima casa decimal. primordial notar que esta diferena, embora oscilante, aumenta com n, ou seja, a cada iterao a diferena tende a aumentar. Com um nmero de iteraes suficiente as diferenas tomam propores espantosas.

3.4. Objecto Catico Podemos construir objectos cujo movimento apresenta dependncia sensvel das condies iniciais sendo, portanto, caticos.

Material necessrio: quatro magnetos cilndricos; uma base rectangular de madeira; uma haste em forma de L; fio de material resistente. Segue-se um desenho esquemtico da montagem.

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Directizes para a montagem 1. Na base, os manes devem ser fixados configurando-se como vrtices de um tringulo equiltero. Todos devem apresentar o mesmo plo voltado para cima (verifique isto

utilizando outro man, de forma que este ltimo seja atrado por cada um dos outros trs da base ou repelido).

2. A haste deve ser presa firmemente base, conforme a figura. Nesta haste encontra-se um pndulo.

3. Este pndulo consiste num fio, em cuja extremidade pende um quarto magneto. O man deve manter uma face voltada para baixo. Tal face deve ser de plo oposto aos plos dos magnetos da base, para que se atraiam (o inverso tambm funciona, embora de forma um pouco diferente). Use fita adesiva para fixar do magneto ao fio. Ainda pode ser usado, ao invs do fio, uma haste rgida mas com liberdade de giro na sua conexo com a haste em L.

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Ajuste da posio do pndulo Para melhor funcionamento, o magneto do pndulo, quando em repouso, deve encontrar-se exactamente no centro do tringulo da base, para que seja atrado igualmente para cada magneto. Funcionamento Quando deslocamos o magneto pendular de sua posio de equilbrio, o mesmo tende a voltar a sua posio de inicial, devido fora da gravidade. O campo magntico de cada man intensifica este efeito, aumentando a velocidade do man em infinitas direces.

O resultado disto uma infinidade de movimentos, majestosamente interessantes. O pndulo ora gira entre dois magnetos, movendo-se em forma de 8; ora gira em crculos em torno de um magneto e ora movimenta-se num caminho conjugado destes dois estilos.

A sequncia destes movimentos depende da posio em que se solta o pndulo. Mesmo que nos esforcemos para colocar o pndulo exactamente num certo ponto, para que uma certa sequncia de movimentos ocorra, no conseguiremos.

Isto acontece devido dependncia sensvel das condies iniciais ou efeito borboleta. Assim, pequenas modificaes na posio inicial dos componentes do sistema, e mesmo pequenas perturbaes no ambiente, causam grandes modificaes na trajectria do magneto no decorrer do tempo.

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A Teoria do Caos, prope ento, sistemas para os quais no podemos fazer previses precisas para o futuro. Ou seja, h uma determinao, at ao ponto em que um efeito borboleta incida sobre o sistema. Em termos filosficos, podemos dizer que o destino existe, mas ns modificamo-lo sempre que fazemos determinadas escolhas que vo influenciar o futuro. Visualmente, isso pode ser imaginado como uma estrada com diversas bifurcaes. A cada bifurcao, a escolha daquele que caminha, muda o caminho e, portanto, o seu destino.

A Teoria do Caos tem influenciado os mais diversos campos do conhecimento. Na rea da comunicao, esta teoria tem sido usada para descrever filmes, programas televisivos e at obras literrias que apresentam caractersticas caticas.

Um exemplo recente o filme Cidade de Deus. Nele podemos encontrar todas as caractersticas do caos: factos fragmentados, muita informao em pouco tempo, padres estticos complexos, dependncia sensvel das condies iniciais, padres mais complexos medida em que nos aprofundamos nos fenmenos e na vida dos personagens... A Dependncia sensvel das condies iniciais pode ser percebida, no filme Cidade de Deus, por exemplo, no momento em que o personagem Busca-p tenta praticar um assalto. O facto do assalto falhar vai evitar que ele entre no mundo do crime e, portanto, molda o seu destino. Como esse, h vrios outros Efeitos Borboleta no filme. Como num fractal, medida em que aprofundamos a vida das

personagens, percebemos uma maior complexidade. Para quem observa apenas superficialmente, o Trio Ternura apenas um grupo de bandidos. medida em que os conhecemos melhor, percebemos toda a complexidade que envolve cada um deles, inclusiv em termos de contradies.

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A teoria do caos tambm tem sido usada para explicar o facto de as novas geraes terem uma maior capacidade de captao de informao. medida que o mundo e as comunicaes se tornam mais complexos, caticos, a nossa mente expande-se para acompanhar esse desenvolvimento. Por outro lado, o aumento da capacidade de captar informao faz com que surjam cada vez mais obras caticas, tais como Cidade de Deus, Matrix, Butterfly Effect, Jurassic Park, etc.

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CAPTULO IV: Caos e geometria fractal no Ensino SecundrioA grande fora da Matemtica a sua capacidade para construir estruturas complexas, a partir de algumas ideias-chave simples. Assim que surge o esqueleto de uma tal estrutura, cada novo bocado pode ser acrescentado no lugar certo. Sem haver a percepo do esqueleto, os bocados jazem dispersos e indevidamente avaliados. Temos, agora, o esqueleto de uma teoria dos Fractais. O desafio para os matemticos do prximo sculo ser moldar a carne para esses j fascinantes ossos. Ian Stewart

4.1. A utilizao da linguagem do caos e da geometria fractal Segundo Piaget, em sua classificao dos estdios de desenvolvimento da criana, no estgio de desenvolvimento Operatrio Formal (de 12 anos em diante), a representao permite a abstraco total, no se limitando ao imediato ou s relaes pr-existentes. Neste perodo o indivduo capaz de pensar em todas as relaes possveis logicamente, buscando solues a partir de hipteses e no apenas pela observao da realidade. Neste estdio as estruturas cognitivas alcanam seu nvel mais elevado e tornam-se capazes de aplicar o raciocnio lgico a todas as classes de problemas. Conclui-se, portanto, que para este estdio do desenvolvimento, o estudo da Geometria Fractal e da Teoria do Caos totalmente apropriado. Os alunos tm, atravs dele, a oportunidade de investigar tpicos da Matemtica numa nova perspectiva e de fazer conexes com quotidiano. A utilizao de fractais, para ilustrar tpicos como reas e permetros de polgonos ou volumes de poliedros pode tornar o seu estudo mais motivador. Por exemplo, o "Floco de Neve" que, como j referimos apresenta permetro infinito e rea finita, suscitar naturalmente a curiosidade dos alunos. A construo e estudo deste fractal pode ser uma boa forma de consolidar conhecimentos j adquiridos envolvendo frmulas algbricas, reas e permetros, assim como o calculo do nmero de segmentos e o comprimento total do Conjunto de Cantor poder servir de base para o estudo posterior de limites devido ao facto deste comprimento total se aproximar mas no ser igual a zero. No 12 ano o estudo

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do Conjunto de Mandelbrot poder servir de exemplo da aplicao dos Nmeros Complexos.

No mundo que nos cerca os fractais esto a ser utilizados num crescente nmero de reas, desde a identificao dos sobreviventes de cancro, contaminao do ar, at a criao de modernos desenhos () James Gleick, 1987

Reforando a ideia da necessidade de experimentar a Matemtica por caminhos diferentes para alm da resoluo de exerccios com papel e lpis, a Geometria Fractal permite explorar conceitos matemticos de uma forma mais apelativa e criativa. Nomeadamente, atravs da construo de modelos e quadros com os resultados de sucessivas iteraes. Este tipo de construo induz o esforo intelectual nos alunos, pois as figuras no podem ser totalmente desenhadas, estimulando o pensamento abstracto, para alm de lhes despertar o interesse para a beleza e complexidade destas formas no euclidianas, inserindo-se no conceito de ensino que se pretende hoje: a conexo dos fundamentos tericos com conhecimentos empricos.

4.2. Actividades Prticas

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4.2.1. Actividade 1 : Construo de carto fractal

A partir desta actividade os alunos chegaro a concluses mais simples, mas que, para efeito de pesquisa, so vlidos para anlise do nvel de abstraco conseguido e da capacidade de adequao dos conhecimentos adquiridos a novas situaes.

Construo: 1) Dobre uma folha de papel ao meio;

2) Faa cortes de comprimento a/2 a um quarto de cada lado;

3) Dobre ao longo do segmento produzido pelos dois cortes;

4) Repita o processo de cortar e dobrar enquanto possvel;

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5) Abra as dobras e empurre o fractal;

Figura final:

4. 2. 2. Act i vi dade 2: Cons t ru o do Conj unt o de Cant or

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Os alunos, com esta actividade tero a oportunidade de iniciar o estudo intuitivo de limite. 1) Desenhar, na folha fornecida, uma linha de 20cm, posicionada conforme a indicao C0 no exemplo ao lado, considerando-a como unidade de medida (esta linha ser chamada de "semente do fractal)"

2) Remover mentalmente o tero do meio de C0 e desenhar o resultado, chamando-o de C1; 3) Remover mentalmente, agora, os teros do meio de cada segmento de C1 e desenhar o resultado, chamando-o de C2; 4) Desenhar C3 e C4, utilizando as mesmas instrues; 5) Completar a tabela abaixo: Iterao Comprimento de cada segmento Nmero de Segmentos Comprimento Total 0 1 2 3 4 5 6 1 1/3 1/9 1 2 1 2/3

6) Discutir com o grupo como se apresentaria o Conjunto de Cantor em suas 10 e 100 iteraes; 7) Mostrar como o Conjunto de Cantor apresenta as duas caractersticas bsicas dos fractais: auto-semelhana e complexidade infinita;

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8) Introduzir a noo que este processo matemtico pode continuar indefinidamente e que o Conjunto de Cantor o resultado deste processo; 9) Solicitar o preenchimento da tabela; 10) Pedir que o grupo identifique a lei de formao de cada valor em cada coluna; 11) Discutir as implicaes desta lei de formao.

NOTA.: Alterando-se a proposta de remoo para o desenho de 2 segmentos de igual tamanho teramos a confeco da Curva de Koch.

4.2.3. Actividade 3: Construo do Tringulo de Sierpinski Atravs desta actividade os alunos, alm de conhecerem o Tringulo de Sierpinski, uma imagem fractal bem conhecida, podero reforar os conceitos apresentados nas actividades anteriores: iteraes e auto-semelhana.

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1)Desenhar um tringulo equiltero slido; 2)Unir os pontos mdios dos lados do tringulo;

3)Dos quatro novos tringulos equilteros, retirar o tringulo central;

4)Repetir a instruo 2 para cada um dos tringulos restantes;

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5)Repetir a instruo 4, 3 vezes (3 iteraes), lembrando que a cada iterao cada tringulo conduzir a 3 novos tringulos com o comprimento do lado igual a metade do que os originou;

6)Verificar que a figura resultante dever apresentar 81 pequenos tringulos, que representa a quarta iterao na construo do Tringulo de Sierpinski; sombrear estes tringulos;

7) Discutir com a turma: Imaginar a repetio do processo. Visualizar e descrever como a figura muda. Se o processo continuasse indefinidamente, o que aconteceria ?

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O que aconteceria com o tringulo maior (original) depois de 4 iteraes se o algoritmo fosse mudado para desenhar os novos tringulos apenas no tringulo do centro da figura ?

4.3. Consideraes Gerais

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A pergunta que propomos agora : at que ponto as actividades realizadas so apropriadas para a aprendizagem dos contedos previstos? . Para responder a estes questionamentos, argumentamos que os princpios da concepo construtivista

estabelecem que a aprendizagem uma construo pessoal realizada pelo aluno com o auxlio de outras pessoas e relaciona uma srie de aspectos que permitem caracterizar as actividades apropriadas esta concepo, conforme transcreve-se a seguir: 1. Que nos permitam conhecer os conhecimentos prvios dos alunos em relao aos novos contedos de aprendizagem; 2. Que os contedos sejam colocados de tal modo que sejam significativos e funcionais para os alunos; 3. Que possamos inferir que so adequadas para o nvel de desenvolvimento dos alunos; 4. Que apaream como um desafio acessvel para o aluno, isto , que levem em conta suas competncias actuais e as faam avanar com a ajuda necessria; que permitam criar zonas de desenvolvimento proximal e nelas intervir; 5. Que provoquem um conflito cognoscitivo e promovam a actividade mental do aluno necessria ao

estabelecimento de relaes entre os novos contedos e os conhecimentos prvios; 6. Que fomentem uma actividade favorvel, isto , que sejam motivadoras em relao aprendizagem de novos contedos; 7. Que estimulem a auto-estima e o auto conceito em relao s aprendizagens propostas, isto , que com elas o aluno possa experimentar que aprendeu em algum grau, que seu esforo valeu a pena; 8. Que ajudem a fazer com que o aluno v adquirindo destrezas relacionadas com aprender a aprender e que lhe permitam ser cada vez mais autnomo em suas aprendizagens.

Pela anlise da fundamentao terica referente ao Construtivismo e comparando os aspectos necessrios aplicao de actividade construtivista com as actividades propostas neste trabalho, conclui-se, finalmente, que esto perfeitamente adaptadas esta teoria de aprendizagem. As actividades foram aplicadas a um grupo de alunos do Colgio de Aplicao Fernando Rodrigues da Silveira UERJ( Universidade Estadual do Rio de Janeiro), que tm como caracterstica comum o interesse por temas ligados Matemtica. Isto, de certa forma, facilitou as aplicaes propostas. No caso especfico da experincia , assinala-se que o grupo foi conduzido a chegar ao conceito de fractal e suas caractersticas bsicas a partir de actividades simples e intervenes eventuais, que proporcionaram tanto a utilizao de conhecimentos prvios de Geometria Euclidiana, como a manipulao de conceitos intuitivos de limites - finitos e

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infinitos -, progresses, leis de formao. Levou, enfim, a contextos que sero tratados em graus mais adiante nos currculos tradicionais, mas que, conforme o resultado apurado, apresenta condies de ser introduzido, ainda que baseados somente na experimentao, sem a formalizao do terico. A importncia da relao professor aluno pde ser comprovada ao longo da aplicao descrita, atravs dos dilogos que permitiram o desenvolvimento cognitivo para cada conceito construdo. A cada pergunta formulada procurou-se nas estruturas cognitivas dos alunos as ideias relevantes para a construo dos conceitos de esquemas mentais mais slidos. Atravs dos questionamentos procurou-se verificar se cada conceito havia sido compreendido e ao permitir ao aluno expor com as suas prprias palavras o conceito apreendido, puderam detectar-se as reestruturaes das relaes que ocorriam no mbito interindividual. Ao mesmo tempo, procurou associar-se as exposies feitas pelos alunos com o trabalho voltado para que conhecessem o significado dos termos criados e normalmente empregados pelos matemticos, e isto facilitava a passagem para novos conhecimentos que envolviam estes termos. Ressalte-se, finalmente, que o grupo de alunos, apesar de pequeno, produziu resultados bastante proveitosos. Espera-se que este facto sirva de estmulo aos professores para que repitam a experincia.

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ConclusoHouve quem criticasse a matemtica por falta de contacto com a realidade. A histria do caos apenas uma das muitas que se desenrolam correntemente e que mostram que esta crtica descabida. como criticar um pulmo por no bombear sangue. Ian Stewart

A elaborao deste trabalho, ao estudar caos e a geometria dos fractais foi, antes de tudo, uma rara oportunidade de entender o quanto nossa viso subjectiva do mundo condiciona o desenvolvimento da Matemtica. Se Euclides tivesse pesquisado no s as formas perfeitas da natureza, como os hexgonos dos favos, mas tambm os amorfos formigueiros, certamente a sua geometria incorporaria outros elementos fundamentais, que no apenas os tradicionais pontos, rectas e planos. Existe, por mais dificuldade que tenhamos em admiti-lo, o conceito de esttica que nos orienta ao perfeito. Para os criadores da Geometria, por uma questo cultural, as estrelas-do-mar, com seus exoesqueletos pentagonais, so mais perfeitas que os desajeitados polvos. Assim, atravs de mudanas radicais no conceito de esttica, terminamos o sculo XX voltados para o irregular e aleatrio. Buscamos explicaes fsico-matemticas atravs da Teoria do Caos para o formato das nuvens, das montanhas, dos ramos de rvores e at mesmo do nosso corpo. Parece que os cientistas de hoje redescobriram a natureza ao questionarem Euclides. Afinal, ningum at o presente encontrou uma laranja perfeitamente esfrica; muito menos um tronco de bananeira cilndrico. A irregularidade da natureza, o seu lado descontnuo e errtico constituram em tempos charadas ou, pior, monstruosidades para a cincia. O caos deu origem a tcnicas especficas de utilizao de computadores e a tipos especficos de imagens grficas, quadros que capturam uma estrutura fantstica e delicada por detrs da complexidade. A nova cincia criou a sua prpria linguagem, que usa elegantemente termos como fractais, bifurcaes, ponto peridico, aleatrio, autosemelhana, etc. O caos atravessou as linhas de separao entre as disciplinas cientficas. Porque uma cincia da natureza global dos sistemas separados, coloca problemas que desafiam os

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mtodos consagrados do trabalho cientfico. Levanta questes perturbantes a propsito do comportamento universal da complexidade. Assim conclumos este singelo trabalho, deixando como perspectiva que outros alunos se interessem pelo tema que sem dvida magnfico e de uma beleza extraordinria.

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natureza

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