nas próximas aulas - josé fajardo · 2 Ìndices financeiros • em 1860 , henry varnum poor...

11

Risco, Retorno e o Custo de Oportunidade do Capital

José Fajardo

EBAPE-FGV

Nas próximas aulas

• Risco

• Medindo o Risco

• Risco de Carteiras

• Fronteira Eficiente

• Carteiras de Markowitz

Notícias Financeiras – Introdução de pequenas maquinas de impressão

mediados-1880

• Charles Dow (co-fundador com Edward Jones do

Dow, Jones & Co em 1882) foi o primeiro editor do

Wall Street Journal (fundado em 1885).

• A teoria de Dow:

– « tendências são persistentes até que o mercado envie sinais

mostrando que a tendência esta perdendo seu momento e va

reverter ».

– Dow Jones Average (1884): 12 companhias

– Desde então somente General Electric faz parte até hoje do

DJA.

22

Ìndices Financeiros

• Em 1860, Henry Varnum Poor publica

History of Railroads and Canals in the

United States. – Em 1906 Luther Lee Blake funda the Standard

Statistics Bureau

– 1913: Primeira publicação do indice que se

tornaria (em 1941) o famoso S&P500 cobrindo

97% do 1933 market cap.

» O Objetivo deste índice é mostrar que

obteria um investidor se tivesse investido em

cada ativo do NYSE a inicios de1871.

The Value of an Investment of $1 in 1926

Source: Ibbotson Associates

0.1

10

1000

1925 1940 1955 1970 1985 2000

S&PSmall CapCorp BondsLong BondT Bill

Ind

ex

Year End

1

6402

2587

64.1

48.9

16.6

0.1

10

1000

1925 1940 1955 1970 1985 2000

S&PSmall CapCorp BondsLong BondT Bill


Ind

ex

Year End

1

660

267

6.6

5.0

1.7

Real returns

The Value of an Investment of $1 in 1926

33

Rates of Return 1926-2000


-60

-40

-20

0

20

40

60

26

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

2000

Common Stocks

Long T-Bonds

T-Bills

Year

Per

cen

tage

Ret

urn

• Cowles

– Pideu a um matemático fazer uma regressão com 20 variáveis

• Dados: 7.500 recomendações de serviços financeiros, 4 anos de transações de companhias de seguros, 255 editoriais do WSJ de 1903 a 1929 e 3.300 recomendações de publicações financeiras

– Cowles’ Conclusion: « even if I did my negative surveys every five years, or others continued when I’m gone, it wouldn’t matter. People are still going to subscribe to these services. They want to believe that somebody really knows. A world in which nobody really knows can be frightening. »

Análise Quantitativo

Estudo Pioneiro

Em 1952, Markowitz publico um artigo no JF : « Portfolio Selection »

– Esta discusão somente comezou nos 60s.

– “...investors have a real desire of diversification and that somewhere, the RISK dimension is as important as the RETURN dimension”

– Aparece a ideia de « Fronteira Eficiente! »

– Markowitz obteve seu Ph.D na Univ. de Chicago, mesmo que Milton Friedman não estivesse de acordo em aceitar que a Tesis estaba no campo da economia e nem da matemática . Foi a primeira vez que as finanças foram consideradas um campo de pesquisa.

44

Principais ìdeias

• Dimensões

– Valor/Retorno

– Risco

– Tempo

Tempo

RiscoValor/Retorno

Risco

Questões Importantes?

• Que se entende por risco?

• Como posso medir este risco?

55

Tipos de Risco

• Risco Operacional

• Risco de Crédito

• Risco de Liquidez

• Risco Legal

• Risco Soberano

• Risco de Mercado

Risco Operacional

• Definição– Risco inerente à administração

da empresa.

• Tipos:– Risco Organizacional

• Organização ineficiente

– Risco de Equipamentos• Falhas de equipamentos

– Risco de Pessoal• Empregados pouco qualificados

Risco de Crédito

– Aspectos Objetivos

• análise econômico-

financeira

• qualidade das garantias

oferecidas

• existência de títulos

protestados

• análise do desempenho

do setor de atividade

• Análise de Crédito

– Aspectos Subjetivos

(Qualitativos)

• experiências em

relacionamentos

anteriores

• tradição

• idoneidade dos

controladores

Possível não recebimento dos recursos a que se tem direito.

66

Risco de Liquidez

• Desequilíbrio de Caixa

• Descasamento dos

prazos de vencimento

das operações ativas e

passivas

Risco Legal

• Documentação

inadequada

• Proibição legal para

operar

• Problemas na

execução de garantias

Risco Soberano

• Decisões unilaterais de

governos que podem

prejudicar ou adiar a

liquidação de

operações previamente

assumidas

77

Risco de Mercado

• Mudanças nos preços

dos ativos e passivos.

– Ações

– Câmbio

– Juros

– Commodities

• Descasamento dos

indexadores dos ativos

e passivos e de seus

prazos

Risco de Mercado e Específico

• Na gestão de carteiras de costuma usar o

termo Risco de Mercado ou Risco Sistemico

para identificar incertezas produzidas por

fatores de mercado q afetam os ativos como

um todo.

• E o termo Risco Específico identifica

incertezas produzidas por fatores que

afetam únicamente uma carteira, que não

representa o mercado.

Definições e Conceitos de Risco

• Retorno Esperado

– Aumento do capital

investido

• Risco

– Incerteza mensurada

[ ] ∑=

=←Ε=n

i

iObsn

X1

1µ̂µ

( )[ ] ( )∑=

−−

=←−Ε=n

i

iObsn

X1

222

1

1ˆ µσµσ

88

Variância Problemas

• Que captura a medida:

• Imagine duas carteiras uma com mais observações

a direita da média e outra simétrica somente que

agora a esquerda da média.

( )[ ] ( )∑=

−−

=←−Ε=n

i

iObs

nX

1

222

1

1ˆ µσµσ

Existem outras medidas importantes

• Skewness

• Kurtosis

( )[ ]3

3

σ

µ−Ε=

Xs

( )[ ]3

4

4

−−Ε

=σ

µXk

99

Daqui em diante assumiremos que os retornos são “Normais”

Testes de Normalidade

• Existem vários testes de Normalidade

• Importante a frequência considerada.

• Veremos no Lab.

Risco de Carteiras

1010

Retorno esperado:

rc = w1r1 + w2r2

w1 = proporção de recursos no ativo 1

w2 = proporção de recursos no ativo 2

r1 = retorno esperado de 1

r2 = retorno esperado de 2

1=∑=

n

1iiw

Carteira de dois ativos: RetornoCarteira de dois ativos: Retorno

σσσσc2 = w1

2σσσσ12 + w2

2σσσσ22 + 2w1w2 σσσσ12

σσσσ12 = variância de 1

σσσσ22 = variância de 2

σσσσ12 = Cov(r1r2) = Covariância dos retornos de 1 e 2

Carteira de dois ativos:Carteira de dois ativos: VariânciaVariância

∑∑= =

=2

1

2

1i j

ijjiww σ

σσσσ2c = w1

2σσσσ12 + w2

2σσσσ22 + w3

2σσσσ32 +

2w1w2σσσσ12 + 2w1w3σσσσ13+ 2w2w3σσσσ23

rc = w1r1 + w2r2 + w3r3

Carteira com 3 ativosCarteira com 3 ativos

∑∑= =

=3

1

3

1

2

i j

ijjic ww σσ

1111

Se a carteira c tem n ativos:

'**

1

22

1 1

2

1

wCovw

wwwww

rwr

n

i ji

ijjiii

n

i

n

j

ijjic

n

i

iic

=

+==

=

∑ ∑∑∑

∑

= ≠= =

=

σσσσ

Risco da carteiraRisco da carteira

rc = média ponderada de n ativos

σσσσc2= (considera todas as covariâncias)

Em geral, para Em geral, para nn ativos:ativos:

Número

de ativos

Desvio Padrão

Risco do Mercado

Risco Específico

Redução do risco pela diversificaçãoRedução do risco pela diversificação

0lim 22 ≠=∞→ mcn σσ

1212

Como:

σσσσ12 = ρρρρ1,2σσσσ1σσσσ2

onde: ρρρρ1,2 = coeficiente de correlação dos retornos,

e:

,

temos que:

CovariânciaCovariância

11 12 ≤≤− ρ

2112 σσσ ≤

Intervalo de valores para ρρρρ1,2

+ 1.0 > ρρρρ > -1.0

Se ρρρρ = 1.0, ativos são positiva e perfeitamente correlacionados

Se ρρρρ = - 1.0, ativos são negativa e perfeitamente correlacionados

Possíveis valores do coeficiente de correlaçãoPossíveis valores do coeficiente de correlação


[ ]

( ) 21

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

1221

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2211

2

2

2

σρσσσσ

σρσσσ

σσσσ

wwww

wwww

wwww

rwrwrrE

c

c

cc

++=

++=

++=

+==

1313

Retorno Esperado vs. Desvio PadrãoRetorno Esperado vs. Desvio Padrão



1414

Ef2.Ef2.jpgjpg


Se ρ = 1:

( )2211

21

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

σσ

σσσσσ

σσσσσ

ww

wwww

wwww

c

c

+=

++=

++=

ρ = 1

13%

%8

E(r)

σ12% 20%

2 ativos com correlações diferentes2 ativos com correlações diferentes

•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%

•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%

1515


Se ρ = -1:

( )

2211

21

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

σσ

σσσσσ

σσσσσ

ww

wwww

wwww

c

c

−=

−+=

−+=

13%

%8E(r)

σ12% 20%

ρ = -1

ρ = -1


•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%

•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%


Se –1< ρ < 1:

( )

( )

2211

21

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

2211

21

2121

2

2

2

2

2

1

2

1

212121212121

2

2

222

σσ

σσρσσσ

σσ

σσρσσσ

σσσσρσσ

ww

wwww

ww

wwww

wwwwww

c

c

−>

++=

+<

++=

<<−

1616

ρ = 1

13%

%8

E(r)

σ12% 20%

ρ =.3

ρ = -1

ρ = -1


•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%

•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%

• A relação depende da magnitude do

coeficiente de correlação

• -1.0 < ρ < +1.0

• Correlações menores implicam maior

potencial de redução do risco

• Se ρ = +1.0, não há redução possível

Efeito da correlaçãoEfeito da correlação

Variância mínima com 2 ativosVariância mínima com 2 ativos

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

12

2

2

2

1

12

2

21

121

2

21

2

11

12

2

11

2

2

2

11

2

1

2

1

2

1211

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

0212222

:...

221min

121

1

σσσ

σσ

σσσ

σσσσ

σσσσ

−+

−=

=−++−+

−++−+=

−+−+=

w

www

opc

wwwww

wwww

cw

c

Lembrando que w2 = (1-w1):

1717

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) 21

12

*

1

*

1

2

2

2*

1

2

1

2*

1

12

*

1

*

1

2

2

2*

1

2

1

2*

1

2

21

*

122

*

11

*

1

121

121

1

σσσσ

σσσσ

wwww

wwww

rrwrrwrwrE

c

c

c

−+−+=

−+−+=

−+=−+=

E para a carteira de variância mínima temos:

Variância mínima com 2 ativosVariância mínima com 2 ativos

1

σσσσ22- σσσσ12

w1= σσσσ1

2 + σσσσ22 - 2σσσσ12

w2 = (1 - w1)

2E(r2) = .14 = .20Ativo212 = 0.2

E(r1) = .10 = .15Ativo1 σσσσ

σσσσρρρρ

ExemploExemplo

w1=

(.2)2 - (.2)(.15)(.2)

(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)

w1 = .6733

w2 = (1 - .6733) = .3267

ExemploExemplo ((ρρρρ = 0.2)= 0.2)

1818

E[rc] = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131

c = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +

2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)] 1/2

c = [.0171] 1/2 = .1308

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

Mínima Variância: retorno e riscoMínima Variância: retorno e risco

Conjunto FactívelConjunto Factível

E(r)

σ

1

3

2

4

Com três ativos primitivos (1, 2, 3) temos:

Conjunto FactívelConjunto Factível

E(r)

σ

1

3

2

4

• Como 4 pode ser qualquer ponto no arco 23, o conjunto

factível será uma região bi-dimensional sólida.

• O conjunto factível é convexo à esquerda: dados dois

pontos no conjunto, a reta unindo estes dois pontos não

cruza a fronteira esquerda.

1919

•Cada “curvinha” representa as possíveis combinações de dois

ativos.

•A combinação de todos os ativos do conjunto constitui a fronteira

de variância mínima.

fronteira de variância mínima com ativos fronteira de variância mínima com ativos arriscadosarriscados

Desvio Padrâo

Retorno Esperado (%)

1

2 3

4

Retorno Esperado

Variância ou Desvio Padrão

• 2 domina 1; tem maior retorno• 2 domina 3; tem menor risco• 4 domina 3; tem maior retorno

Se o agente gosta de retorno e não gosta de desvio-padrão, vale o princípio da dominância:

Princípio da DominânciaPrincípio da Dominância

• A combinação ótima resulta no mais baixo nível

de risco para um dado retorno

• O trade-off ótimo é descrito como a fronteira

eficiente

• As carteiras na fronteira eficiente são

“dominantes”

ImplicaçõesImplicações

2020

E(r)

Fronteira

Eficiente

Mínimo

Global

Fronteira de

variância mínima

Ativos

Individuais

Desv. Pad.

A fronteira de variância mínima com ativos A fronteira de variância mínima com ativos arriscadosarriscados

CarteirasCarteiras de Markowitzde Markowitz

Prf. José Fajardo

O Modelo de MarkowitzO Modelo de Markowitz

1

:..

min

1

1

1 1,...,1

=

=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

A

a

a

A

a

aa

A

a

A

b

abbaww

w

rrw

as

wwA

σ

Assuma que existam A ativos: a=1, 2,..., A

Para achar a carteira de variância mínima, que tem retorno esperado r, formulamos o seguinte problema:

2121

Solução: caso geralSolução: caso geral

−⋅−

−⋅−= ∑∑∑∑

=== =

A

a

a

A

a

aa

A

a

A

b

abba wrrwwwL111 1

12

1µλσ

A carteira ótima do problema acima atende as c.p.o.:[ ]e

A

eewww ,...,, 21

1

10

11

1

==

≥∀=−⋅−

∑∑

∑

==

=

A

a

e

a

A

a

ae

a

a

A

b

ab

e

b

werrw

arw µλσ

Solução para dois ativosSolução para dois ativos

( ) [ ][ ]1

2

1

21

2211

2

2

2

221121221

2

1

2

1

−+⋅−

−+⋅−+++=

ww

rrwrwwwwwwwL

µ

λσσσσ

A carteira ótima do problema acima atende as c.p.o.:[ ]eeww 21 ,

( )

( )

1

022

1

022

1

212211

22

22211121

1212122

2

11

=+=+

=−⋅−++

=−⋅−++

eeee

eee

eee

wwerrwrw

rwww

rwww

µλσσσ

µλσσσ

Teorema dos dois fundosTeorema dos dois fundos

Teorema dos dois fundos: Combinando duas carteiras eficientes quaisquer, podemos replicar todos as carteiras da fronteira de variância mínima.

Prova: Suponha duas soluções conhecidas e

com retornos esperados

respectivamente.

Qualquer combinação linear satisfaz as A+2equações:

[ ] 1111

2

1

1

1 ,,,...,, µλAwwww =

[ ] 2222

2

2

1

2 ,,,...,, µλAwwww =21

rer

( ) 21 1 wwwe αα −+=

1

10

11

1

==

≥∀=−⋅−

∑∑

∑

==

=

A

a

e

a

A

a

ae

a

a

A

b

ab

e

b

werrw

arw µλσ

2222

• Possível dividir os recursos entre ativos

arriscados e seguros:

• Sem risco: T-bills (proxy);

• Arriscado: portfólio de ações

Inclusão do ativo sem riscoInclusão do ativo sem risco

rf = 7% σσσσf = 0%

E(rP) = 15% σσσσP = 22%

y = % em P (1-y) = % em f


Exemplo:

E(rC) = yE(rP) + (1 - y)rf

onde: rC = carteira combinada.

Por exemplo, y = .75:

E(rC) = .75(.15) + .25(.07)

= .13 ou 13%

Retorno esperado para combinaçõesRetorno esperado para combinações

2323

PC =

Como f

y

= 0, entãoσσσσ

σσσσσσσσ *

Variância da carteira combinadaVariância da carteira combinada

C = .75(.22) = .165 or 16.5%

• Se y = .75, então:

C = 1(.22) = .22 or 22%

• Se y = 1:

C = (.22) = .00 or 0%

• Se y = 0:

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

Combinações sem alavancagemCombinações sem alavancagem

Possíveis CombinaçõesPossíveis Combinações

E(r)

E(rP) = 15%

rf = 7%

22%0

P

F

σσσσσσσσc

E(rC) = 13%C

2424

Alavancagem: pega emprestado à taxa sem

risco e investe em ações.

Usando 50% de alavancagem:

E[rC] = (-.5) (.07) + (1.5) (.15) = .19

σC = (1.5) (.22) = .33

Usando alavancagem com a Linha de Alocação de Usando alavancagem com a Linha de Alocação de CapitalCapital

Possíveis CombinaçõesPossíveis Combinações

E(r)

E(rP) = 15%

rf = 7%

22%0

P

F

σσσσσσσσc

E(rC) = 13%C

LAC = Linha de Alocação de Capital

Linha de alocação de capital: é a linha que

tem origem em rf e intercepta o ponto P do

portifólio arriscado.

Lembrando que de:

temos:

LAC (Linha de Alocação de Capital)LAC (Linha de Alocação de Capital)

P

CPC yy

σ

σσσ =⇒=

[ ] [ ]( )fPfC rrEyrrE −+=

[ ] [ ]( ) [ ][ ]( )

C

P

fP

fCfP

P

CfC

rrErrErrErrE σ

σσ

σ −+=⇒−+=

2525

O retorno esperado de uma carteira como função do seu desvio padrão E[rC] = f(σC) é uma linha reta:

;

com inclinação :


[ ] CfC SrrE σ⋅+=

[ ][ ]( )

C

P

fP

fC

rrErrE σ

σ

−+=

[ ]( )P

fP rrES

σ

−=

E(r)

E(rc) = 15%

rf = 7%

σσσσc = 22%0

P

F

) S = 8/22E(rc) - rf = 8%

σσσσ


M

E(r)

LAC (variância mínimaglobal)

LAC (A)LAC (P)

P

A

F

P P&F A&FM

A

G

P

M

σσσσ

LAC AlternativasLAC Alternativas

2626

• Se os investidores gostam de retorno e não gostam de variância, escolherão combinações na linha de maior inclinação ( rf P ).

• A combinação ótima fica linear.

• Uma única combinação do ativo arriscado e sem risco dominará.


Teorema de um fundo: Existe um fundo P de ativos arriscados tal que qualquer carteira eficiente pode ser construída como a combinação do fundo P com o ativo sem risco

Como achar o ponto tangente?

• O retorno esperado de uma carteira que combina a

renda fixa a uma portifólio arriscado Q é dado pela

linha reta:

;

com inclinação: .

• O agente escolhe Q de forma a maximizar a inclinação

S.

O O PortifólioPortifólio Tangente (Tangente (PP))

[ ][ ]( )

C

Q

fQ

fC

rrErrE σ

σ

−+=

[ ]( )Q

fQ

Q

rrES

σ

−=

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