CLCULO

Prof. Faria Pires

1

Noes elementarssimas de clculo para aplicaes em fsica O presente texto tem por objetivo proporcionar aos alunos uma ferramenta matemtica importantssima para a resoluo de problemas fsicos como, por exemplo, o clculo do campo eltrico que envolva distribuies contnuas de cargas eltricas, clculo do potencial eltrico partir do campo eltrico, variaes instantneas de grandezas fsicas, dentre outras. Do ponto de vista matemtico, o texto no pretende ser rigoroso, haja vista que ele objetiva o aprendizado de uma ferramenta, ou seja, ele no ousa ser um texto que possa se aplicar a um curso formal de clculo, apesar de ser de grande ajuda para um entendimento inicial do assunto. Ao final do texto o aluno poder ter acesso a uma bibliografia que o autor considera til. 1 - Funes de uma varivel real A definio de funo que mais se aproxima do esprito deste texto aquela que afirma que uma funo uma aplicao de um conjunto, denominado domnio, a outro conjunto, denominado contra-domnio, de tal forma que todo o elemento do domnio levado a somente um elemento do contra-domnio. A definio acima no impede que vrios elementos do domnio sejam levados mesma imagem. Ela tambm no impede que sobrem elementos do contradomnio. A regra diz que um mesmo elemento do domnio no pode ser levado a duas imagens diferentes. Abaixo observa-se a representao de uma funo, que a aplicao do conjunto A (domnio) no conjunto B(contra-domnio).

A B

Figura 1 Representao de uma funo

Caso, para cada elemento do contradomnio, haja a correspondncia com um, e somente um, elemento do domnio, a funo dita injetora. Caso no sobrem elementos do contradomnio, a funo dita sobrejetora. Se a funo for sobrejetora e injetora, ela dita bijetora.

A B

Figura 2 Representao de uma funo injetora

Figura 3 Representao de funo sobrejetora

Figura 4 Representao de funo bijetora

Observe que, se quisssemos inverter a funo, ou seja, transformar o domnio em contra-domnio e vice-versa, essa aplicao s seria uma funo se a funo inicial fosse injetora. (porque?). Pensando em funes onde o domnio e a imagem so os nmeros reais, as funes f :R R , assumem importante papel nas cincias, pois vrias delas so representadas como funo do tempo, de posio, da temperatura, etc. 1.2 - Representao grfica Uma forma muito til de representarmos as funes so os grficos. No caso de funes de uma nica varivel, podemos utilizar um plano cartesiano, onde o eixo dos x normalmente representa o domnio e o eixo y representa o contra-domnio. A seguir, o exemplo de representao da funo 3y x= .

-3 -2 -1 0 1 2 3-30

-20

-10

0

10

20

30Funo y=x3

Figura 5 representao da funo 3y x=

No eixo horizontal, tem-se um intervalo do domnio que varia de 3 a +3. Observa-se que a funo vlida para qualquer x R e que tambm para qualquer valor de y, h um e somente um valor de x

2

real. Sendo assim, a funo mostrada no grfico acima uma funo bijetora, e portanto, admite funo inversa. 2 - Limites Neste texto no trataremos da definio rigorosa de limites, vamos nos ater ao conceito intuitivo, o que ser suficiente para o que se deseja. Para tal, vamos utilizar a funo 3y x= , no intervalo de x,

variando de 0,5 a 3, o que mostrado no grfico abaixo.

0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

Funo y=x3

Figura 6 Representao do conceito de limite.

Observe que quando o valor de x tende para 2 (eixo horizontal) o valor de y tende para 8, j que 32 8= . Matematicamente, isto pode ser escrito como:

3

x 2lim x 8

=

A expresso acima lida da seguinte maneira: O limite da funo 3x quando x tende a 2 igual a 8.

Com esse exemplo possvel ento adquirir a noo intuitiva de limite. O limite pode ser entendido como sendo o valor para o qual a funo tende quando se aproxima o quanto se queira de um dado valor de x. muito importante que se entenda que o limite no est interessado no que acontece exatamente no ponto x = 2, mas sim em pontos infinitesimalmente prximos de x = 2. O limite de uma funo em um dado ponto nem sempre existe e nem sempre fcil de calcular, mas certamente, a primeira tentativa substituir o valor para o qual x tende na funo e calcular o limite. Exemplos:

x 1

x2

2x 4 2.x 2.2 4

x 2

limx 3 4 pois se x 1, x 3 1 3 4

lim sen(x) 1 pois se x 1, sen 12

lim e e pois se x 2, e e e

pi

+ = = + = + =

pi = = =

= = = =

Porm, nem sempre possvel determinarmos o limite diretamente como nos exemplos anteriores, pois a funo pode apresentar problemas exatamente nos pontos nos quais desejamos calcular o limite. Lembrando-se de que o limite no se importa com o que acontece exatamente no ponto para o qual a funo tende, podemos contornar este problema com vrias tcnicas diferentes. Vamos ilustrar isto com alguns exemplos:

2

x 1

x 1lim

x 1

Voc mesmo pode verificar que se simplesmente substituirmos o valor x = 1 na funo chegaremos em uma indeterminao do tipo 0

0, pois:

2 2

x 1

x 1 1 1 0lim

x 1 1 1 0

= =

Neste caso, a soluo do problema bem simples. Basta fatorarmos em funo de ( )x 1 , no numerador e no denominador e eliminarmos o ponto que nos d problema. Isso pode ser visto adiante:

( ) ( ) ( )2

x 1 x 1 x 1

x 1 . x 1x 1lim lim lim x 1 2

x 1 x 1 / +/

= = + =/ /

Outros exemplos so vistos a seguir:

( )( )

m m

n nx a

m 1 m 2 m 3 2 m 2 m 1

m termosn 1 n 2 n 3 2 n 2x a

x a1) lim

x aVerifica-se que ao se substituir x por a tem-se indeterminao

x a .(x x .a x .a ...... x.a a )

limx a .(x x .a x .a ...... x.a

+ + + + +/ /

+ + + + +/ /

n 1

n termos

m 1 m 2 m 3 2 m 2 m 1

m termosn 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1x a

n termos

a )

Ao substiturmos o valor de x a, tem-se que:

(a a .a a .a ...... a.a a )

lim(a x .a a .a ...... a.a a

=

+ + + + +

+ + + + +

( )m 1 m nn 1

)

m.a m.a

n.a n

=

= =

2

x a

2

x 2

x 42) lim

x 2Verifica-se que ao se substituir x por a tem-se indeterminao.

A soluo multiplicar no numerador e no denominador pelo

termo racionalizante da frao,

ou seja, x 2

x 4 x 2lim .

x 2 x

+

+

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

x 2

2

2

x 2

x 4 . x 2lim

x 22A partir da, recamos no exemplo anterior e devemos

fatorar o temos x 4

x 4 . x 2 x 2 . x 2 . x 2lim lim

x 2 x 2

2 2 . 2 2 8. 2

+=

+

/ + + +/= =

/ /

= + + =

Para os nossos propsitos, o que necessrio saber sobre limites o que foi demonstrado anteriormente, passemos ento a uma importantssima aplicao deles: as derivadas. Alguns limites importantes:

Limite trigonomtrico fundamental ( )

x 0

sin xlim 1

x=

Limite exponencial fundamental

( )x1

xx 0 x

1lim 1 x lim 1 e 2,71828....

x

+ = + =

3

O nmero e tambm chamado de nmero de Euler. Quando o nmero e a base de um logaritmo, este logaritmo chamado de logaritmo natural, tal que: elog a lna=

3 - As derivadas O conceito de variao na fsica fundamental, expressamos vrias grandezas fsicas como variao delas em funo de posio, da temperatura e do tempo. Como exemplo citemos por exemplo a velocidade mdia de um corpo. Ela definida como sendo a variao da posio (s), dividida pela variao do tempo (t). Isso

pode ser escrito matematicamente como: mdias

vt

=

Como o prprio nome diz, a velocidade assim calculada uma velocidade mdia. Ela no , necessariamente, a velocidade mantida em todo o trajeto, que, em alguns instantes pode ter sido maior do que a velocidade mdia, e em outros, menor do que ela. Se traarmos um grfico da posio em funo do tempo, a velocidade mdia entre os instantes de tempo t e t + t igual tangente do ngulo , tal que:

s

t

s(t)

s(t t)+

t t+ t

Figura 7 Grfico de s x t, com o ngulo representado.

( ) s(t t) s(t) stant t

+ = =

importante que voc compreenda que o smbolo representa uma variao finita de uma grandeza, por exemplo, o mvel andou 20 m (s) em 2 s (t). Desta forma, como a variao de posio e de tempo so finitos, possvel que o mvel tenha variado de velocidade nesse trajeto. O que quero dizer que a velocidade instantnea pode ter variado com o tempo. Sendo assim, como fazer para se determinar a velocidade instantnea?? Uma idia tomar intervalos de tempo cada vez menores, pois sendo o intervalo de tempo cada vez menor, fica mais difcil variar a velocidade nesse intervalo. Mas, ao diminuirmos o intervalo de tempo (t), a variao de posio tambm fica cada vez menor. A velocidade instantnea no instante de tempo t, ser igual ao limite quando t tende a zero da expresso anterior para a velocidade mdia ( ( )tan ).

instantneat 0

s(t t) s(t) dsv lim tan

t dt +

= = =

Como foi definido anteriormente, o intervalo de tempo t agora escrito como dt. A diferena que o intervalo de tempo dt infinitesimal, ou seja, no mensurvel. Ele no zero, pois o limite

no se importa com o que acontece em x = 0. Da mesma forma, a variao de posio s torna-se ds, que tambm infinitesimal. O

ngulo que representa exatamente essa razo ds

dt igual ao

coeficiente angular da reta tangente ao ponto de interesse, como pode ser visto no grfico a seguir.

s

tt

dt ds

Figura 8 Representao do grfico s x t, com o ngulo

representando a variao instantnea. O que foi feito at agora para a posio como funo do tempo, pode ser generalizado para qualquer funo y f(x)= (y como uma

funo de x), tal que:

x 0

dy f(x x) f(x)f '(x) lim

dx x +

= =

A notao dy

dxou f '(x) representam a primeira derivada de y com

relao a x. A este ponto claro que a derivada representa a variao instantnea da grandeza y com relao grandeza x (interpretao da fsica). Com esta definio, passemos ao clculo da derivada de duas funes muito importantes, a funo constante e a funo polinomial. 3.1 - A derivada da funo constante. Seja uma funo f(x) c= , cujo grfico mostrado a seguir.

y

x

c

Figura 9 Grfico da funo constante.

Para o clculo da derivada f '(x) da funo constante, basta

aplicarmos a definio feita anteriormente:

x 0 x 0

dy f(x x) f(x) c cf '(x) lim lim 0

dx x x +

= = = =

4

Podemos verificar que a derivada da funo constante igual a zero. Este resultado j era esperado, pois, como a derivada representa a variao instantnea da funo, se ela constante, ela no varia, logo a sua derivada nula.

Exemplos f(x) 3 f '(x) 0

f(x) f '(x) 0

= =

= pi =

3.2 - A derivada da funo polinomial Seja a funo nf(x) x=

Novamente, para o clculo da derivada, basta aplicar a definio:

( )n

n n

x 0 x 0

n n 1 n 2 2 n n

Expanso binomial de x x

x 0

n 1 n 2 2

x 0

dy f(x x) f(x) (x x) xf '(x) lim lim

dx x x

nx n.x . x .x . x .... x x

2

limx

nn.x . x .x . x .... x

2lim

+

+ + = = = =

+ + + + / /

= =

+ + +

=

n

x

Observe que todos os termos multiplicam x. Agora, basta dividirmos todos os termos por x e ento passar o limite de x tendendo a zero.

n 1 n 2 1 n 1

n 1

x 0

nn.x . x .x . x .... x

2lim n.x

x

/ + + + /

=

/ /

Assim, para a funo nf(x) x= , a sua derivada n 1f '(x) n.x = .

Exemplos:

( )3 25 4 3 2

4 3 2

f(x) 4.x f ' x 12.x

f(x) x 3.x 6.x 12.x 24.x 10 f '(x)

5.x 12.x 18.x 24.x 24

= =

= + + + =

= + +

Alguns exemplos cuja soluo pode envolver derivadas. 1) Um mvel tem uma equao horria de posio dada por:

4 3 2s t 3.t 12.t 8.t 20= + + Determine: a) Sua velocidade instantnea para t = 1 s b) Sua acelerao instantnea para t = 2 s Soluo: c) A velocidade instantnea a variao da posio com o tempo, ou seja:

3 2

3 2

dsv 4.t 9.t 24.t 8

dtm

v(1) 4.1 9.1 24.1 8 19s

= = +

= + =

d) A acelerao instantnea a variao da velocidade com o tempo, ou seja:

2

22

dva 12.t 18.t 24

dtm

12.2 18.2 24 60s

= = + =

= + =

2) Determine a equao da reta tangente curva 2y x x 3= + , no

ponto x = 2. Soluo: no ponto x =2 o valor de y dado por:

2y 2 2 3 3= + =

A reta que queremos passa pelo ponto (2,3). O coeficiente angular da reta obtido derivando-se a funo y(x) no ponto x = 2. (Lembrar que o valor da derivada exatamente isso, o coeficiente angular da reta tangente ao ponto) Dessa forma: y '(x) 2.x 1

y '(2) 5 (coeficiente angular da reta)

= +

=

Lembrando-se da equao da reta:

( )0 0y y m. x xy 3 5.(x 2)

y 5.x 7

=

=

=

3.3 - A funo seno Seja a funo ( )f(x) sin x= Novamente, para o clculo da derivada, basta aplicar a definio:

( )x 0 x 0

sin(x x) sin xdy f(x x) f(x)f '(x) lim lim

dx x x + +

= = =

Utilizando a transformao de soma em produto tem-se que:

( )x 0 x 0

x 0

x 2.x x2.sin( ).cos

sin(x x) sin x 2 2lim lim

x xx 2.x x

sin( ).cos2 2

lim cosxx

2

+ +

= =

+

= =

Observe que o limite trigonomtrico fundamental foi utilizado 3.4 - A funo exponencial Seja a funo xf(x) a=

Novamente, para o clculo da derivada, basta aplicar a definio:

( )

( x x) x

x 0 x 0

xx

x 0

dy f(x x) f(x) a af '(x) lim lim

dx x x

a 1f ' x lim a

x

+

+ = = =

=

Fazendo-se uma mudana de variveis tal que 1= xau , tem-se o novo limite, observando-se que quando x tende a zero, a varivel u tambm tende a zero, tal que:

5

( ) ( )( )

x xu a 1 a 1 u

xln a ln 1 u (Passando o logaritmo natural ln em ambos os lados)

ln 1 ux

lna

= = +

= ++

=

Substituindo-se no limite para o clculo da derivada, tem-se que:

( )

x

u 0

x x1u 0 u 0u

x x

dy u.lnaf '(x) lima

dx ln(1 u)

lna lnalima lima

1ln(1 u) ln(1 u)

u

lnaf ' x a . a .lna

lne

= = =

+

= =

+ +

= =

Observe que foi utilizado o limite exponencial fundamental. 3.5 - Regras de derivao A seguir duas regras de derivao que podem ajudar bastante 1) Regra do produto Se uma funo ( )f x escrita como o produto de duas outras funes ( )u x e ( )v x , tal que:

( ) ( ) ( )f x u x .v x= Ento a derivada da funo ( )f x , denotada por ( )f ' x igual ao produto da derivada de ( )u x por ( )v x somado ao produto de

( )u x pela derivada de ( )v x , ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f ' x u' x .v x u x .v ' x= + Exemplo:

( ) ( )2f x x .sen x= Aplicando-se a regra do produto e sabendo-se as integrais das funes ( ) 2u x x= e ( ) ( )v x sen x= , tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2f ' x u' x .v x u x .v ' x 2.x.sen x x .cos x= + = + 1) Regra do quociente Se uma funo ( )f x escrita como o quociente de duas outras funes ( )u x e ( )v x , tal que:

( ) ( )( )u x

f xv x

=

Ento a derivada da funo ( )f x , denotada por ( )f ' x igual ao produto da derivada de ( )u x por ( )v x subtrado do produto de

( )u x pela derivada de ( )v x , divididos pelo quadrado de ( )v x , ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2u' x .v x u x .v ' x

f ' xv x

=

Exemplo:

( ) ( )( )sen x

f xcos x

=

Aplicando-se a regra do produto e sabendo-se as integrais das funes ( ) ( )u x sen x= e ( ) ( )v x cos x= , tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

22

u' x .v x u x .v ' xf ' x

v x

cos x .cos x sen x . sen xsec x

cos x

= =

= =

4 - As integrais Vamos propor o seguinte problema: Dado um grfico, como aquele visto na figura a seguir, determinar a rea sob a curva entre dois pontos dados xA e xB.

y

xAx Bx

s

Figura 10 Formulao do problema

Uma primeira abordagem, seria dividir o intervalo xA e xB em um nmero finito de retngulos de base x e altura f(x), conforme se observa na figura adiante.

y

xAx Bxx

f (x )1 f (x )2 f (x )3f (x )4

f (x )5

Figura 11 Abordagem inicial do problema

A rea sob a curva pode ser escrita como sendo aproximadamente a soma das reas dos retngulos, ou matematicamente:

1 2 n

n

ii 1

S f(x ). x f(x ). x ... f(x ). x

S f(x ). x=

+ + +

6

fcil perceber que para um nmero finito de retngulos, sempre haver um erro no clculo da rea, ou seja, a rea calculada pelo mtodo acima e a rea real no sero as mesmas. Uma possvel soluo seria aumentar o nmero n de retngulos, mas isso s faria diminuir o erro. Porm, aumentar o nmero de retngulos significa fazer com que o x fique cada vez menor, assim, se fizermos o limite de x tendendo a zero, podemos dizer que a rea sob a curva dada por:

BB

A A

xx

x 0x x

S lim f(x). x f(x).dx

= =

A expresso B

A

x

x

f(x).dx (lida como integral da funo f(x) desde x = xA

a x = xB interpretada geometricamente como sendo a rea sob a curva da funo f(x). Observa-se que a integral pode ser interpretada como sendo uma soma de infinitsimos. 4.1 - Teorema fundamental do clculo Novamente dentro do esprito do texto, fugindo do formalismo matemtico, iremos ver o teorema fundamental do clculo que permite fazer a relao entre as integrais e as derivadas. Sejam duas funes F(x) e f(x), tal que:

dF(x)f(x)

dx=

A equao acima nos permite escrever que: dF(x) f(x).dx=

Lembrando-se que a notao d(.) representa um elemento infinitesimal de (.), se quisermos obter a funo F(x) a partir de seu infinitsimo dF(x) temos que somar (integrar) todos estes infinitsimos ( tambm chamados de elementos de integrao), tal que:

dF(x) f(x).dx

F(x) f(x).dx

=

=

Esse resultado importantssimo pois diz que se a funo f(x) a derivada da funo F(x), ento a funo F(x) a integral da funo f(x). Uma outra forma de dizer isto que as operaes so inversas. Graficamente:

dx

ddx

F(x)

F(x)

f(x)

f(x)

Figura 12 Demonstrao das inversibilidade das operaes integral e derivada.

Se observarmos que:

dF(x)f(x) e F(x) f(x).dx

dx= =

Verificamos que para se obter a integral da funo f(x)( f(x).dx ), temos que obter uma funo F(x), que derivada seja igual funo que queremos integrar (f(x)). Isto melhor ilustrado com exemplos. Exemplo 1

x.dx A funo que se deseja integrar a funo f(x)= x A resposta a essa pergunta outra pergunta: Qual a funo que derivada igual a x?

Por inspeo observa-se que o resultado 2x

C2

+ (onde C uma

constante), porque?

Porque a derivada de 2x

C2

+ igual a x. (confira!!!)

Exemplo 2

( )3x 2 dx+ A funo que se deseja integrar a funo f(x)= ( )3x 2+ A resposta a essa pergunta outra pergunta:

Qual a funo que derivada igual a ( )3x 2+ ? Por inspeo observa-se que o resultado

4x2.x c

4+ + , porque?

Porque a derivada de 4x

2.x C4

+ + igual a ( )3x 2+ . (confira!!!) Observao: O aluno deve estar se perguntando, porque necessria a constante? Devido ao fato de que sendo a derivada da constante igual a zero, a colocao da constante necessria para o caso de integrais indefinidas, ou seja, aquelas que no possuem limites de integrao (como as que estamos fazendo agora). Isso vai ficar mais claro no exemplo seguinte. Para o caso geral (exceto n = -1), tem-se que:

n 1n xx .dx C

n 1

+

= ++

Exemplo 3 Um mvel tem uma acelerao em funo do tempo dada pela seguinte expresso:

2a t t 1= + + Sabendo-se que v(0)=-5 e que s(0)=10 (essas so as denominadas condies iniciais do problema ou condies de contorno), determine: a) a funo velocidade em funo do tempo; b) a posio do mvel no instante de tempo t = 1 s. Soluo sabido que a acelerao igual variao instantnea da velocidade, tal que:

dva dv a.dt v a.dt

dt= = =

7

Se a acelerao a derivada da velocidade, logo a velocidade a integral da acelerao. Portanto:

( ) 3 22 t tv t t 1 .dt t c3 2

= + + = + + +

Fica fcil perceber o que significa a constante, ela exatamente igual a velocidade no instante de tempo t = 0 s (verifique!), logo, a funo horria de velocidade dada por:

3 2t tv t 5

3 2= + + +

Para determinarmos o item b, basta verificar que a posio a integral da velocidade pois:

3 2 4 3 2

dsv ds v.dt s v.dt

dt

t t t t tv t 5 dt 5.t c

3 2 12 6 2

= = =

= + + = + + +

Novamente, fcil perceber que a constante c, nesse caso, expressa posio inicial do mvel, tal que:

4 3 2t t ts 5.t 10

12 6 2= + + +

Para t = 1 s, basta substituirmos na equao anterior. 1 1 1 1 2 6 60 69

s(1) 5 10 m12 6 2 12 12

+ + += + + + = =

4.2 - Integrais definidas As integrais definidas so aquelas que possuem limites inferior e superior de integrao. Elas representam geometricamente a rea sob a curva. Vamos ilustrar o uso da integral definida com um exemplo:

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

5

10

15grfico da funo y=x2

O que se deseja calcular a rea debaixo da curva entre x = 1 e x = 3. Isto possvel sabendo-se que:

33 3 3 32

1 3

1 1

x 3 1 1 26S x .dx 9

3 3 3 3 3= = = = = u.a

Observe que para o caso da integral definida no h a necessidade de utilizarmos a constante de integrao e que basta substituirmos no resultado da integral o limite superior e subtrarmos o resultado da integral quando substitumos o limite inferior. Esses conhecimentos de clculo permitiro que possamos resolver problemas de fsica onde tivermos distribuies contnuas de carga, dentre outros.

Pequena tabela de derivadas e integrais:

( ) nf x a.x= ( ) n 1f ' x a.n.x = ( )n 1x

f x dx cn 1

+

= ++

(exceto para n= 1 )

1f(x) x= ( ) 2f ' x x= ( ) ( )f x dx ln x c= + ( ) ( )f x sin ax= ( ) ( )f ' x cos a.x .a= ( ) ( )cos axf x dx c

a= +

( ) ( )f x cos ax= ( ) ( )f ' x sin a.x .a= ( ) ( )sin axf x dx ca

= + +

( ) b.xf x a= ( ) bxf ' x a .b.lna= ( )b.xa

f x dx cb.lna

= +