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MVO-30/AB-103 Estabilidade e Controle deAeronaves 2013

(carga horaria: 64 horas)

Flavio Silvestre

Departamento de Mecanica do VooDivisao de Engenharia AeronauticaInstituto Tecnologico de Aeronautica

2013

IntroducaoDinamica do movimento

Equacoes completas do movimento

PARTE V

Dinamica Completa do Movimento da Aeronave

Flavio Silvestre MVO-30/AB-103



Aplicacao da 2a. Lei: resumoSistemas de referencia

Introducao

Ja estudamos a dinamica longitudinal:

equacoes do movimento

simulacao

modos de voo

estabilidade dinamica

estabilidade estatica

A seguir estenderemos as nossas analisespara o movimento completo da aeronave.

xb

zb

CM

V

velocidade

xa

za

xi

zi

a

g

ângulo deataque

ângulo detrajetória

ângulo dearfagem θ

L

sustentação

Darrasto

Mext

W

peso

CGxb

zb

yb

p

q

r





IntroducaoAplicacao da 2a. Lei: resumo

Como ja foi visto:Considerando a aeronave como corpo rıgido,a Terra como referencial inercial, a diadicade inercia constante, a atmosfera parada(sem vento), e desconsiderando a variacaode massa, a aplicacao da 2a. Lei de Newtonresume-se portanto a:

δV0

δt=

Fext

m− ω ×V0

e

δω

δt= J

−1(M

extCM − ω × (Jω)

)

xI yI

zI

Terra

CM

RR0

r

xB

zB

sistema de referência

do corpo (não inercial)

sistema de referência da Terra

(considerado inercial)

elemento

de massa





IntroducaoSistemas de referencia

As forcas e momentos, bem como velocida-des e aceleracoes da aeronave estao escritosem diferentes sistemas de referencia, em es-pecial:

sistema de referencia terrestre(considerado inercial)

sistema de referencia do corpo

sistema de referencia aerodinamico

sistema de referencia propulsivo

Faca uma revisao das definicoes e das ma-

trizes de transformacao!

yb

xb

zazb

ya

xa

CM

b

a

plano formadopor x e ya b

plano desimetria x zb b

V




Dinamica de translacaoDinamica de rotacaoSistema de equacoes diferenciaisCinematica de translacaoCinematica de rotacaoRelacao entre (u,v,w) e (V,α,β)

Dinamica do movimentoDinamica de translacao

Comecemos com a 2a. Lei aplicada a dinamica de translacao:

δV0

δt=

Fext

m− ω ×V0

soma das forcas externas, no referencial do corpo:

Fext = Lba

−D

Y

−L

+ Lbp

T

00

︸︷︷︸

Fx

Fy

Fz

+Lbt

00mg






vetor velocidade do CG, no referencial do corpo:

V0 =

u

v

w

Nao se esqueca que:

V0 = Lba

V

00

=

u

v

w

Daı saem as relacoes entre as componentes u, v , w com V , α e β queveremos adiante.






vetor velocidade de rotacao da aeronave em relacao ao referencial daTerra, escrito no referencial do corpo:

ω =

p

q

r

NOTA: o produto vetorial ω×V0 pode ser calculado pela produto matri-cial:

ω ×V0 =

0 −r q

r 0 −p

−q p 0

u

v

w

=

qw − rv

−pw + ru

pv − qu






A aplicacao de:

δV0

δt=

Fext

m− ω ×V0

resume-se portanto a:

u

v

w

=

Fx/mFy/mFz/m

︸︷︷︸

aero + prop

+

−g sin θg cos θ sinφg cos θ cosφ

︸︷︷︸

gravidade

+

−qw + rv

pw − ru

−pv + qu

︸︷︷︸

rotacao





Dinamica do movimentoDinamica de rotacao

Passemos a aplicacao da 2a. Lei a dinamica de rotacao:

δω

δt= J

−1(M

extCM − ω × (Jω)

)

soma dos momentos externos, no referencial do corpo:

Mext = MA

︸︷︷︸

aero

+MF︸︷︷︸

prop

=

L

M

N






Considerando simetria com relacao ao plano que corta a aeronave vertical-mente na linha de referencia da fuselagem:

J =

Jxx 0 −Jxz0 Jyy 0

−Jxz 0 Jzz

,

a solucao algebrica leva a (veja proximo slide a obtencao usando MATLABsimbolico):

p

q

r

=

−JzzL−JxzN+Jxz (−Jxx+Jyy−Jzz )pq+(J2

xz+J2

zz−JyyJzz )qrJ2xz−JxxJzz

M+(Jzz−Jxx )pr+Jxz (r2−p2)Jyy

−JxzL−JxxN+(JxxJyy−J2

xx−J2

xz )pq+Jxz (Jxx−Jyy+Jzz )qrJ2xz−JxxJzz






Usando MATLAB simbolico para calcular J−1 (MextCM − ω × (Jω)):

syms p q r Jxx Jyy Jzz Jxz L M N

% angular velocity

om=[p;q;r];

% inertia diadic

J=[Jxx,0,-Jxz;0,Jyy,0;-Jxz,0,Jzz];

% total external moment

Mext=[L;M;N];

simplify((J^(-1))*(Mext-cross(om,J*om)))

Obtem-se como resposta:ans =

- (Jxz*(N + q*(Jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jzz*(L + q*(Jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 -

Jxx*Jzz)

-(p*(Jxz*p - Jzz*r) - M + r*(Jxx*p - Jxz*r))/Jyy

- (Jxx*(N + q*(Jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jxz*(L + q*(Jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 -

Jxx*Jzz)





Dinamica do movimentoSistema de equacoes diferenciais

Chegamos ao seguinte sistema de equacoes diferenciais:

u = Fx/m − g sin θ − qw + rv

v = Fy/m + g cos θ sinφ+ pw − ru

w = Fz/m + g cos θ cosφ− pv + qu

p =−JzzL− JxzN + Jxz (−Jxx + Jyy − Jzz ) pq +

(J 2

xz + J 2

zz − JyyJzz)qr

J 2xz − JxxJzz

q =M + (Jzz − Jxx ) pr + Jxz

(r2 − p2

)

Jyy

r =−JxzL− JxxN +

(JxxJyy − J 2

xx − J 2

xz

)pq + Jxz (Jxx − Jyy + Jzz ) qr

J 2xz − JxxJzz





Dinamica do movimentoSistema de equacoes diferenciais

Para resolver esse sistema de equacoes diferencias e necessario conhecerainda:

α, β e V : modelo aerodinamico / modelo propulsivo

altitude H : modelo aerodinamico / modelo propulsivo

θ e φ: entram diretamente nas equacoes





Dinamica do movimentoCinematica de translacao

Da cinematica de translacao temos que:

dR0

d t= V0

Escrevendo-se os vetores no sistema terres-tre:

x

y

−H

= LTbt

u

v

w

onde, lembrando:

Lbt e a matriz de transformacao

u, v e w sao as componentes de V0

no sistema do corpo

xI yI

zI

Terra

CM

RR0

r

xB

zB





elemento

de massa





Dinamica do movimentoCinematica de translacao

No MATLAB simbolico:syms psi theta phi u v w real

% IRF to BRF

Lpsi=[cos(psi) sin(psi) 0;-sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1];

Ltheta=[cos(theta) 0 -sin(theta);0 1 0;sin(theta) 0 cos(theta)];

Lphi=[1 0 0;0 cos(phi) sin(phi);0 -sin(phi) cos(phi)];

% transformation matrix

Lbt=Lphi*Ltheta*Lpsi;

% vector velocity, written on IRF

simplify(Lbt’*[u;v;w])

Em regime sem a presenca de vento, x e y

sao ignoraveis. A equacao de H e:

H = u sin θ − v cos θ sinφ− w cosφ cos θ

xI yI

zI

Terra

CM

RR0

r

xB

zB





elemento

de massa





Dinamica do movimentoCinematica de rotacao

Da cinematica de rotacao, temos no sistemado corpo (lembre-se que os angulos de Eulernao estao definidos no sistema do corpo!):

φ00

+Lφ

0

θ0

+LφLθ

00

ψ

= ω =

p

q

r

Logo (use o MATLAB simbolico por exem-plo):

φ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)

θ = q cosφ− r sinφ

ψ =q sinφ+ r cosφ

cos θ

CGxb

zb

yb

p

q

r





Dinamica do movimentoRelacao entre (u,v,w) e (V,α,β)

Da relacao geometrica entre os sistemas ae-rodinamico e do corpo:

V =√

u2 + v2 + w2

α = arctanw

u

β = arcsinv

V

Porem, por vezes e conveniente usar as equa-coes com as variaveis do segundo conjunto.Logo:

V = (uu + v v + ww) /V

α = (uw − wu) /(u2 + w2

)

β =(V v − vV

)/(

V√

u2 + w2

)

yb

xb

zazb

ya

xa

CM

b

a

plano formadopor x e ya b

plano desimetria x zb b

V

u = V cosβ cosα

v = V sinβ

w = V cosβ sinα




Diagrama de blocosDiagrama de blocosModelo aerodinamicoModelo propulsivoDeterminacao do equilıbrio


V = (uu + vv + ww) /V


q =M + (Jzz − Jxx ) pr + Jxz

(

r2 − p2)

Jyy

α = (uw − wu) /(

u2 + w2)

H = u sin θ − v cos θ sinφ− w cosφ cos θ

β =(

V v − vV)

/(

V√

u2 + w2)

r =−JxzL− JxxN +

(

JxxJyy − J2xx − J2

xz

)

pq + Jxz (Jxx − Jyy + Jzz ) qr

J2xz − JxxJzz


p =−JzzL− JxzN + Jxz (−Jxx + Jyy − Jzz ) pq +

(

J2xz + J2

zz − JyyJzz)

qr

J2xz − JxxJzz






O sistema de equacoes diferenciais assim obtido pode ser integrado nume-ricamente, dados:

condicao inicial

comandos

Vetor de estado, no sistema completo:

X = [ V θ q α H β r φ p ]T

5 variaveis longitudinais 4 variaveis latero-direcionais





Equacoes completas do movimentoDiagrama de blocos

coluna do manche

pedais

manete

u

(controles)

X

(estados)

primários

manete

aileron

profundor

leme de direção





Equacoes completas do movimentoDiagrama de blocos

modelo aerodinâmico

modelo propulsivo

EoM's

dX

dt

Xu

(controles)

modelo atmosférico

estados

densidade

Mach

forças e momentos

aerodinâmicos

forças e momentos

propulsivos integrador

(estados)

atuadores





Equacoes completas do movimentoModelo aerodinamico

forcas e momentos atraves de coeficientes adimensionais

L =1

2ρV 2SCL (forca de sustentacao)

Y =1

2ρV 2SCY (forca lateral)

D =1

2ρV 2SCD (forca de arrasto)

L =1

2ρV 2SκCL (momento de rolamento)

M =1

2ρV 2ScCM (momento de arfagem)

N =1

2ρV 2SκCN (momento de guinada)

onde κ = b/2 (nem sempre, portanto atente para a definicao dos coefici-entes!).





Equacoes completas do movimentoModelo aerodinamico

modelo linearizado

coeficientes adimensionais: funcao dos estados e controles(derivadas de estabilidade e de controle)

CL = CL0 + CLαα+ CLδeδe + CLα

αc

Vref+ CLq

qc

Vref

CY = CY 0 + CY ββ + CY δaδa + CY δr

δr + CY p

pκ

Vref+ CY r

rκ

Vref

CD = CD0 + CDαα+ CDeδe

CL = CL0+ CLβ

β + CLδaδa + CLδr

δr + CLp

pκ

Vref+ CLr

rκ

Vref

CM = CM 0+ CMα

α+ CM δeδe + CM α

αc

Vref+ CMq

qc

Vref

CN = CN 0+ CN β

β + CN δaδa + CN δr

δr + CN p

pκ

Vref+ CN r

rκ

Vref





Equacoes completas do movimentoModelo propulsivo

Dependencias:

tipo de sistema propulsor

manete de combustıvel

altitude e Mach (ou velocidade edensidade)

De forma geral, em relacao a condicao deoperacao (Vi , ρi):

T = πTmax,i

(V

Vi

)nV(ρ

ρi

)nρ

(retirado da wikpedia.de)

(retirado e modificado de Bockhaus et al., Flugregelung)altitu

de

número de Mach

tra

ção

sem pós-queimador

número de Mach

tra

ção

altitu

de

com pós-queimador





Equacoes completas do movimentoDeterminacao do equilıbrio

Considerando-se apenas os controles primarios: 9 estados 4 controles

No equilıbrio: taxas de variacao nulas: p = q = r = 0 equacoes de θ e φ anulam-se identicamente, veja:



Logo:

restam 7 equacoes 6 estados + 4 controles a serem determinados

Portanto, 3 grandezas precisam ser estipuladas a priori:

velocidade de voo (V ), altitude de voo (H ),angulo de derrapagem (β,normalmente nulo)






Casos de excecao: voo de subida permanente

neste caso, H /V e igual aogradiente de subida

como a densidade varia, evalido somente nas redondezasda condicao de operacaoinformada

retirado de news.delta.com






Casos de excecao: curva permanente

neste caso, ψ = Ω e o gradiente de curva, e φ = θ = 0

da relacao entre as componentes da velocidade angular, 3 estadosficam estipulados:

pE = −Ωsin θE

qE = ΩsinφE cos θE

rE = ΩcosφE cos θE

7 equacoes: 4 controles + 3 estados podem ser determinados

3 estados estipulados (V, H, e β = 0 para curva coordenada)

NOTE: os comandos obtidos sao para manter a condicao de voo, enao para se chegar a ela!


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