métodos formais - unidade acadêmica de sistemas e...

Métodos Formais

Notação Z - Revisão

Notação Z

✔ Utiliza lógica de predicado e teoria de conjuntos

✔ Permite dividir uma especificação em esquemas

✔ Esquemas descrevem aspectos estáti-cos e dinâmico

Notação Z

✔ Aspectos estáticos:✔ Estado que um sistema ocupa✔ As invariantes de relacionamento que são

mantidas

Notação Z

✔ Aspectos dinâmicos:✔ Operações possíveis✔ O relacionamento entre entradas e saídas✔ As mudanças de estado que acontecem

Notação Z

✔ Uma especificação Z consiste de pará-grafos matemáticos:

✔ Matemática: conjuntos, sequências, coleções, funções e relações

✔ Tipos básicos✔ Variáveis✔ Descrições axiomáticas

Notação Z

✔ Uma especificação Z consiste de pará-grafos matemáticos:

✔ 'Constraints'✔ Esquemas✔ Abreviações✔ Comentários ?

Notação Z - Tipos

✔ Tipos são interpretados como conjun-tos

✔ Fortemente tipada ✔ Todas as variáves, constantes e expressões

devem ter um nome✔ Tipos podem ser simples e compostos

Notação Z - Tipos

✔ Tipos simples podem ser:✔ Primitivos e básicos

✔ Tipo primitivo: ✔ Como todos os tipos são tratados como

conjuntos, operações como = e ∈ são definidas para todos os tipos

ℤ

✔ Tipos básicos:✔ São definidos para uma especificação✔ [Nome_1,...,Nome_n][NOME,MATRICULA]✔ Operações de conjuntos

[NOME]

Notação Z - Tipos

∀ x ,y :NOME •x≠y ⇒ ......x ∈ NOME ⇒ ...

Notação Z - Tipos

✔ Tipos compostos✔ Conjuntos✔ Produtos cartesianos✔ Esquemas

✔ Variáveis, predicados, expressões

✔ Conjuntos✔ Enumeração

status = {pronto, executando}✔ Compressão

pares = {x : | x < 1000 ∧ x mod 2 = 0}

Notação Z - Tipos

ℕ

Notação Z - Tipos

✔ Abreviações✔ Pode ser útil definir um novo nome no

modelo para representar expressões complexas

✔ ExemploTítulo X Autor X AnoLivro == Título X Autor X Ano

Notação Z - Tipos

✔ Tuplas e produto cartesianoLivro : Titulo X Autor X AnoLivro = (The Notation Z, J.M. Spivey, 2001)

Notação Z - Variáveis

✔ Variáveis✔ As variáveis são associadas a um tipo

através de declarações✔ ident_1, ..., ident_n : expressãop, q : 1..10livro : Titulo X Autor X Ano

Notação Z - Variáveis

✔ Expressões axiomáticas✔ Introduz variáveis e 'constraints' sobre

seus valores✔ Predicados podem não ser declarados

Declaração

Predicado;...;Predicado

Declaração

Predicado;...;Predicado

square : ℕℕ

∀n :ℕ•squaren=n∗n

Notação Z - Predicados

✔ Predicados✔ Expressões booleanas✔ Podem ser definidos isoladamente✔ Sobre variáveis pré-definidas✔ Exemplo: n_client < 5

Notação Z - Esquemas

✔ Esquemas

Declarações

Predicado;...;PredicadoPredicado;...;Predicado

Nome Esquema

NomeEsquema =̂⇔

nome : seq Char

∀n:nome,m:senha • n ≠m

Usuario

senha : seq Char ⇔ Usuario =̂[ nome : seq Char; senha : seq Char |

∀n:nome,m:senha • nome ≠senha ]

[D1,...,Dn | P1,...,Pm]

Notação Z

✔ Tipos✔ Simples e compostos

✔ Abreviações✔ Produtos Cartesianos✔ Expressões✔ Predicados✔ Variáveis✔ Esquemas

Notação Z - Predicados

✔ Formas de montar predicados em Z= ∀∈ ∃¬ ∃1∧ ∨ ⇒⇔

Notação Z - Operações

✔ Operações sobre tipos primitivosℤ ℕ+ < - >* ≤div ≥mod ..ℕ1 succ


✔ Operações sobre conjuntos∈ - pertence∪ - união∩ - intersecção\ - diferença# - cardinalidade⊆ - subconjunto⊂ - subconjunto próprio


✔ Operações sobre conjuntos= - igualdadeU - união generalizadaP - powerset


✔ Relações e funções✔ Relações binárias modelam objetos

que relacionam membros de dois con-juntos

A ↔ B = P(A x B)r : A ↔ B


✔ Funçõestotal

parcial

total injetora

parcial injetora

total sobrejetora

parcial sobrejetora

parcial bijetora

total bijetora


✔ Operadores em relações e funções↔ relação binária→ mapletdom domínioran contra-domínio 9 composição relacional

q:X↔Y,r:Y↔Z => X↔Zº volta da composição relacional

°


✔ Operadores em relações e funções◁ restrição de domínio

Conj ◁ Relação▷ restrição de contra-domínio◁ subtração de domínio▷ subtração de contra-domínio~ inverso relação_ ( _ ) imagem relacional

Relação ( Conj ) => AB X PA --> PB


✔ Sequência✔ Tipos são definidos a partir dos símbolos 〈

e 〉S1 = 〈a, b, c, d〉

✔ Variáveis são especificadas:✔ Sequência vazia - palavra chave seq✔ Sequência não vazia - palavra chave seq₁✔ Sequência com elementos duplicados - palavra

iseq


✔ Operações sobre sequências# – tamanho ⌒ – concatenaçãorev – reverso da sequênciahead – primeiro elementolast – último elementotail – sequência sem o primeiro elementofront – sequência sem o último elemento


✔ Operações sobre sequência ⌒/ – concatenação distribuída – sequência de sequência - ⌒/q

prefix – prefixosuffix – sufixoin – segmento⌉ – subsequência = índice + sequência⌈ – subsequência = sequência + elementos


✔ Coleções (Bags)✔ Conjunto contendo a quantidade de cada

elementos armazenado✔ Definido a partir de uma função parcial

nos naturaisBagX == X → ℕ1TipoFicha == {vermelho, amarelo, azul}BagFicha == {vermelho → 3, amarelo → 5}

✔ São especificados através da palavra reservada bag


✔ Operações em 'bags'count ou # – quantidade de um elemento no

bag⊗ – elemento que aparece 'n' vezes em um

bag – pertence

U –uniãoU – diferença – está contido

+

-

Notação Z - Exemplos

✔ Conta de usuário✔ Um usuário possui nome e senha✔ O nome é diferente da senha✔ A senha não deve ter mais que 8 dígitosCaracter = {a, b, c, d, ..., z}

nome : seq1 Caracter

nome ≠ senha#senha < 8

Login

senha : seq1 Caracter


✔ Livro de Aniversário✔ De uma lista de pessoas conhecidas, dese-

jo representar uma agenda que armazene datas de aniversário

✔ A agenda deve armazenar nomes e datas de aniversário

[NOME, DATA]

lNomes : P NOME

lNomes = dom aniversarios

Agenda

aniversarios : NOME →DATA


✔ Cliente X Servidor✔ Não podem existir 2 servidores com mes-

mo id✔ Um servidor pode atender até no máximo

5 requisiçõeslimite == ℕlimite < 5

Servidor

req: limiteid: ℕ lServ : P Servidor

SisServ

∀ s1, s2 ∈ lServ •s1.id = s2.id ⇔ s1 = s2


✔ Turmas X Alunos✔ Uma turma é formada por um conjunto de

disciplinas✔ Cada disciplina pode ter no máximo 30

alunos[DISCIPLINA]

lTurma : bag DISCIPLINATurma

∀n : ℕ • (n > 30 ∧ n ⊗ lTurma = ∅)

Notação Z - Decoração

✔ Z é uma linguagem que estrutura um conjunto de teorias matemáticas

✔ Convenções são utilizadas para permi-tir o uso desta teoria matemática es-truturada na descrição de programas

✔ O uso destas convenções permite-nos descrever espaço de estados e oper-ações


✔ Espaço de estados:✔ Conjunto de estados iniciais✔ Operações

✔ Cada operação possui variáveis de entrada e saída

✔ As operações são especificadas pela relação en-tre as variáveis de entrada e saída e um par de estados (o estado antes e depois da operação)


✔ Em Z, um esquema especifica um es-paço de estados sobre um tipo abstra-do

valor, limite : ℕContador

valor < limite

✔ O espaço de estados aqui é formado por todas as instâncias do contador que obedecem a invariante 0 ≤ valor


✔ Para uma especificação descrever sis-temas é necessário um estado inicial

ContadorIniciaContador

valor = 0limite = 100

Teorema: ∃Contador • IniciaContador


✔ Uma operação especifica um estado anterior e posterior sobre um espaço de estados

✔ O símbolo ' identifica o estado final

ContadorContador '

Incrementa

valor ' = valor + 1limite ' = limite

✔ As invariantes de relacionamentos de-vem ser mantidas antes e depois da operação


✔ Uma operação pode conter valores de entrada e saída

✔ Valores de entrada são decorados no esquema que descreve a operação com o símbolo '?'

ContadorContador 'incr? : ℕ

Add

valor ' = valor + incr?limite' = limite


✔ Valores de saída são decorados no es-quema que descreve a operação com o símbolo '!'

ContadorContador 'incr? : ℕretorno! : ℕ

AddComRetorno

valor ' = valor + incr?limite' = limiteretorno! = valor '


✔ O símbolo ∆ é usado para abreviar a escrita de operações em que há mu-dança de estado

✔ É apenas uma convenção, não é uma operação

∆ ContadorIncrementa


valor, limite : ℕvalor ', limite ' : ℕ

Incrementa

valor < limite valor ' < limite 'valor ' = valor + 1limite ' = limite


valor < limite

≡


✔ O símbolo Ξ é usado para abreviar a escrita de operações em que não há mudança de estado

✔ Como ∆ , é apenas uma convenção, não é uma operação

∆ ContadorIncrementa



valor < limite

Ξ Incrementaretorno! : ℕ

RetornaAposIncrementa

retorno! = valor '

valor, limite : ℕvalor ', limite ': ℕretorno! : ℕ

RetornaAposIncrementa

valor < limitevalor ' < limite 'valor ' = valor + 1limite ' = limiteretorno! = valor '

≡

Notação Z - Exemplo

✔ Exemplo do livro de aniversário✔ Uma agenda para armazenar nomes e

datas de aniversário[NOME, DATA]

lNome : P NOME

lNome = dom aniversario

Livro

aniverisario : lNomes →DATA


✔ Adicionar um novo nome no livro

∆ Livronome? : NOMEdata? : DATA

nome? ∉ lNomeaniversario ' = aniversario ∪ {nome? → data?}

AdicionaNoLivro


✔ Encontrar uma data de aniversário

Ξ Livronome? : NAMEdata! : DATA

nome? ∈lNomedata! = aniversario(nome?)

EncontrarAniversario


✔ Lembrete

Ξ Livrodia? : DATAaniversariantes! : P NOME

aniversariantes! = {a : lNome | aniversario(a) = dia?}

Lembrete


✔ Estado inicial

Livro

lNome = ∅

Inicializacao


✔ A especificação está correta, mas não considera entrada de dados não es-perados

✔ Adição de nomes que já existem✔ Busca de nomes que não existem

✔ O sistema deve parar ? Deve contin-uar operando e desconsiderar entrada de dados não esperadas ?


✔ Especificação adicional✔ Identificação de possíveis

erros/exceções✔ Cada operação vai possuir uma saída

resultado!✔ Operações com sucesso retornam ok✔ Os outros retornos são

entrada_existente ou entrada_nao_existente

RETORNO = {ok, entrada_existente,entrada_nao_existente}


✔ Retorno de sucesso para a opreação AdicionaNoLivro

✔ O retorno é ok

∆ Livronome? : NAMEdata? : DATA


AdicionaNoLivro

resultado! : RETORNO

resultado! = ok

Sucesso

AdicionaNoLivro ∧ Sucesso


✔ Para completar a operação Adicio-naNoLivro falta considerar o caso de que uma entrada existir

Ξ Livronome? : NOMEresultado! : RETORNO

nome? ∈lNomeresultado! = entrada_existente

EntradaExistente


✔ Um esquema AdicionarNoLivro mais robusto NovoAdicionarNoLivro =

(AdicionaNoLivro ∧ Sucesso) ∨EntradaExistente

^

∆ Livronome? : NAMEdata? : DATA


AdicionaNoLivro

resultado! : RETORNO

resultado! = ok

Sucesso


nome? ∈ lNomeresultado! = entrada_existente

EntradaExistente

∆ Livronome? : NOMEdata? : DATAresultado! : RETORNO

(nome? ∉lNome ∧aniversario ' = aniversario ∪ {nome? → data?} ∧ resultado! = ok) ∨ (nome? ∈lNome ∧aniversario ' = aniversario ∧ resultado! = entrada_existente)

NovoAdicionarNoLivro

≡


✔ No caso da operação Encon-trarAniversario o nome pode não exis-tir


nome? ∉lNomeresultado! = entrada_nao_existente

EntradaNaoExistente

NovoEncontrarAniversario = (EncontrarAniversario ∧ Sucesso) ∨

EntradaNaoExistente

^

Ξ Livronome? : NAMEdata! : DATA

nome? ∈ lNomedata! = aniversario(nome?)

EncontrarAniversario


✔ No caso da operação Lembrete não há erro a ser registrado

✔ Se não existe aniversariante na data pas-sada, o retorno é um conjunto vazio

Ξ Livrodia? : DATAaniversariantes! : P NOMEaniversariantes! =

{a : lNome | aniversario(a) = dia?}

Lembrete

resultado! : RETORNOSucesso

resultado! = ok

NovoLembrete = Lembrete ∧ Sucesso ^

métodos formais - unidade acadêmica de sistemas e...

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