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Métodos de Modulação - Fabio Montoro - UnB - Departamento de. Engenharia Elétrica 1/58

Real

Imaginário

Métodos de Modulação

fabio de azevedo montoro

Fabio Montoro

UnB

1997


Conteúdo

1 Interferência intersimbólica 3 1.1 Transmissão sem distorção 4 1.2 Caracterização inicial do canal de

comunicação 5

1.3 Definição de símbolo 6 1.4 Transmissão de um sinal digital 6 1.5 Condição de Nyquist para não haver IIS 8 1.6 Distorção de pico 10 1.7 Distorção média quadrática 12 1.8 Equalizador transversal para eliminar IIS 13 2 Filtros de Nyquist 15 2.1 Filtro retangular ideal 15 2.2 Filtro cosseno levantado puro 17 2.3 Filtro cosseno levantado 19 2.4 Filtro de fase linear 20 3 Modulação AM-SC 23 3.1 Introdução 23 3.2 Modulação AM e AM-SC 24 3.3 AM-SC 24 3.4 AM 26 4 Modulação AM-SSB 31 4.1 AM-VSB 35 5 Modulação em fase - PM 37 6 Modulação QAM 39 6.1 Modulação QAM 39 6.2 Demodulação convencional 42 6.3 Demodulação com transformador de Hilbert 43 6.4 Modulação QAM implementada digitalmente 45 6.5 Lugar geométrico do vetor QAM 49 6.6 Constelações QAM 50 7 Modulação Delta 53 Conclusões 56 Bibliografia 57


Capítulo 1

Interferência inter-simbólica 1.1 Transmissão sem distorção A transmissão de dados digitais entre dois pontos pressupõe a existência de um transmissor (fonte de sinal) , um canal, por onde o sinal vai trafegar, e um receptor. Para que não haja distorção no sinal recebido, o canal deve satisfazer duas condições:

1) Atenuar todas as componentes de

frequência, do sinal transmitido, na mesma intensidade.

2) Provocar um retardo constante em todas

as componentes do sinal transmitido.

A primeira condição é mais evidente e significa que o canal deve se comportar como um atenuador puro. A atenuação do sinal será facilmente compensada no receptor com uma amplificação. No entanto, apesar de necessária, a primeira condição é insuficiente para garantir que o sinal chegará sem distorção. A segunda condição significa que todas as componentes do sinal transmitido devem chegar após um retardo constante. Em outras palavras, para cada instante, as componentes instantâneas do sinal, que saem juntas, devem chegar juntas. É como se a cada instante, grupos de senóides (componentes em frequência do sinal) se deslocassem do transmissor para o receptor.Esse efeito é chamado de retardo de grupo. Portanto, o retardo de grupo do canal deve ser constante. Então, supondo que o sinal transmitido é f(t), para que não haja distorção, o sinal na recepção deve ser: r t kf t t( ) ( )= − 0 A transformada de Fourier do sinal recebido será, considerando a propriedade do deslocamento no tempo de f(t)1

1 Ref[1] pág 115

:


( ) ( ) 0tjekFR ωωω −= ainda, considerando que o canal pode ser representado por um filtro h(t), o sinal de recepção é a convolução do sinal de transmissão com a resposta impulsional do canal. A transformada de Fourier do sinal na recepção, portanto, é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) 0tjkeFHFR ωωωωω −== Então, concluímos que: ( ) 0tjkeH ωω −= ...[1.1] Note que o filtro H(ω) possui respostas, constante na amplitude e linear na fase. Na verdade esse filtro não está "filtrando" nenhuma componente do sinal de transmissão, mas a condição geral para que não haja distorção é:

( )( )

−=

=

0tkFωωθ

ω ...[1.2]

1.2 Caracterização inicial de canal de comunicação A principal característica do canal é sua resposta em frequência, ou seja, como ele se comporta quando sinais senoidais (em uma certa faixa de frequências) são aplicados em sua entrada. Vamos considerar, agora, que o canal somente permite passar, mantendo a mesma amplitude, sinais senoidais cujas frequências se situam dentro de dois limites: f1 e f22

. Se a frequência do sinal senoidal a ser transmitido, estiver fora desses limites, o canal simplesmente o bloqueia. Diz-se que esse canal é um filtro passa-banda ideal, com resposta em frequência plana (e igual a 1), dentro da banda passante. Para se obter a saída do filtro multiplica-se o sinal senoidal de entrada pela resposta em frequência do filtro, então, podemos dizer que a resposta em frequência do canal é:

≤≤<<

=21

12

10

fffsefffse

resposta ...[1.3]

Note que o canal definido é muito especial, pois sua resposta em frequência é bem comportada e fácil de representar matematicamente. Vamos partir desse modelo, às vezes chamado de filtro passa-banda perfeito, apesar de só ser realizável, na prática, por uma aproximação. 2 As frequências f1 e f2 são positivas. Um filtro realizável possui resposta em frequência simétrica em relação ao eixo das frequências, ou seja, a curva no semi-eixo para f > 0, se reflete no semi-eixo para f < 0.


Se, por acaso, o filtro perfeito deixar passar frequências a partir de f1 = 0, diz-se que é um filtro passa-baixo, com frequência de corte em f2. Note que a banda passante positiva desse filtro fica entre f1 = 0 e f2. De forma mais ampla, normalmente a "frequência de corte de um filtro" é definida como sendo a frequência em que o canal atenua o sinal de entrada para a metade de sua potência (ponto de 3 dB). 1.3 Definição de símbolo Podemos dizer que um símbolo é um estado, ou uma transição entre estados, de um determinado sinal, que carrega "N" bits de informação". A taxa de símbolo é chamada de "baud" (símbolos por segundo). Quando se transmite dados digitais, é fundamental saber a taxa de símbolos ("vm"), ou seja, em quantos símbolos por segundo a transmissão está sendo feita. No caso particular em que cada símbolo carrega um bit de informação, a taxa de transmissão é igual à taxa de símbolo: vt (bits por segundo) é igual a vm (baud). 1.4 Transmissão de um sinal digital Na análise que se segue, estarei considerando que o sinal a ser transmitido está na sua forma básica (digital, banda básica ou banda-base) e que o canal por onde ele deve passar é um filtro passa-baixo. O que acontece quando se passa um sinal, diferente de uma senóide, composto de um espectro de frequências, por um canal de banda limitada, que nada mais é que um filtro passa-baixo quando f1 = 0, ou seja, o filtro deixa passar senóides com frequência entre zero3

e f2 ?

Ao invés de considerar um sinal qualquer na entrada do canal, vamos analisar um caso particular, mas muito importante: a transmissão de impulsos. Imaginemos a transmissão de uma sequência de impulsos a uma taxa fixa de vm = 1/T [impulsos por segundo], ou seja, um impulso a cada "T" segundos. O caso mais geral é considerar que a amplitude dos impulsos pode assumir qualquer valor. No caso de transmissão digital, no entanto, cada impulso pode ter uma amplitude selecionada de um conjunto finito de valores, ou seja,

an ∈ {conjunto de valores possíveis}. Cada impulso corresponde a um símbolo. Note que a informação está sendo carregada nos valores de amplitude dos impulsos. A figura 1.1 mostra a sequência de impulsos que forma o sinal de transmissão. Então, a equação do sinal transmitido é: 3 Senoide com frequência igual a zero é um sinal com nivel fixo, ou seja, um sinal que não varia com o tempo e possui um valor fixo de voltagem.


( )∑∞

−∞=

−=n

n nTtata δ)( ...[1.4]

onde: an = amplitude do enésimo impulso δ(t - nT) = impulso que ocorre em t = nT Essa é uma transmissão em banda-base, de símbolos no formato de impulsos. Suponha que essa transmissão se dê através de um canal de banda limitada, cpomo ilustra a figura 1.2, ou seja, de um filtro passa-baixo com resposta impulsional h(t). O sinal na recepção será a convolução do sinal transmitido com a resposta impulsional do canal:

( ) ( ) ( ) ( ) ξξξ dthathtatx ∫+∞

∞−

−=∗=)( ...[1.5]

Como a(ξ) só existe para ξ=nT. então:

( ) ξξξδ dthnTatxn

n )(.)( −

−= ∫ ∑+∞

∞−

∞

−∞=

( )nTthnTtatxn

n −−= ∑∞

−∞=

)()( δ

( )nTthatxn

n −= ∑∞

−∞=

)( ...[1.6]

Na recepção o sinal deve ser amostrado a cada "T" segundos, a fim de se recuperar o sinal original a(t). Note, pela equação 1.6, que o sinal x(t) é contínuo e corresponde a uma sequência de réplicas da resposta impulsional do canal (filtro), escalonadas pelos fatores an. A amostragem na recepção corresponde a multiplicar o sinal recebido por um trem de impulsos, espaçados de "T" segundos e sincronizados com a(t), que chamaremos de δT(t)4

O sinal recuperado na recepção será:

, conforme ilustra a figura 1.3.

4 Estou supondo o sincronismo exato do receptor no momento correto da amostragem. O receptor deve amostrar no centro de cada símbolo. O problema de sincronizar o receptor para uma correta amostragem é um assunto importante.


r(t) = x(t) δT(t) ...[1.7] Substituindo o valor de x(t) dado pela equação 1.6, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )kTtnTthakTttxtrk n

nk

−

−=−= ∑ ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

δδ)(

Tendo em vista que o sinal r(t) só existe nos instantes t=kT, a equação anterior fica:

( ) ( )TnkhanTkThakTrn

nn

n ][)( −=−= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

...[1.8]

Se usarmos uma notação mais simplificada para o sinal r(t), considerando que ele possui um valor a cada "T" segundos, e esse valor possui um índice "k", podemos reescrever a equação anterior da seguinte forma:

r a hk nn

k n==−∞

∞

−∑ ...[1.9]

rk = ak ho + ak+1 h-1 + ak+2 h-2 + ak+3 h-3 + ...... + ak-1 h1 + ak-2 h2 + ak-3 h3 O sinal a(t) original é formado por uma série de amostras. Então, para recuperar o sinal a(t), ou seja, extraí-lo do sinal r(t), devemos recuperar cada uma de suas amostras. Para obter cada amostra ak devemos, de alguma forma, eliminar os outros termos da equação [1.9], deixando somente akho. Todos os outros termos são indesejáveis e são chamados de IIS, ou Interferência Inter-Simbólica

, pois nada mais são do que as amplitudes dos símbolos adjacentes multiplicadas por um coeficiente da resposta impulsional do canal. Note que o fator ho é um fator constante em todas as amostras e se considerarmos ho = 1, obteremos a equação:

rk = ak + IIS ... [1.10] ⇒ IIS = ak+1 h-1 + ak+2 h-2 + ak+3 h-3 + ...... + ak-1 h1 + ak-2 h2 + ak-3 h3 1.5 Condição de Nyquist para não haver IIS A condição para que a IIS seja nula, é que a resposta impulsional do canal cruze o eixo "t" em múltiplos de "T", que é o período de amostragem. Em outras palavras, para que IIS = 0 devemos ter rk = x(kT) = a(kT) = ak ho , ou ainda, a resposta impulsional do canal deve satisfazer as seguintes condições:


( )( )

≠∀==

0......00 0

nnThhh

...[1.11]

Finalmente, a condição no domínio do tempo, para que o canal não introduza IIS, pode ser expressa por:

( ) ( ) ( )thtth T δδ 0= ...[1.12] Passando a equação [1.12] para o domínio da frequência fica:

( ) ( ) ( ){ }thT

HT

δωδπωπ π F02

221

=

∗

... [1.13]

onde: δT(t) = trem de impulsos espaçados de T e sincronizados com t = 0 H(ω) = transformada de Fourier de h(t)

(2π/T) δ2π/T(ω) = transformada de Fourier da sequência de impulsos espaçados de "T"

F{δ(t)} = transformada de Fourier do impulso unitário = 1

Desenvolvendo a equação [1.13] e fazendo 2 2π π ωT

vm m= = , obtemos:

Finalmente obtemos a condição que Nyquist estabeleceu em 19285

:

; onde ωm = 2π/T ... [1.14] Note que vm = 1/T é a taxa de símbolos (baud) e ωm = 2π/T é a frequência angular da taxa de símbolos.

Observe que a soma de infinitas réplicas da resposta em freqüência do canal, espaçadas de wm, deve ser uma constante.

Portanto, podemos verbalizar a condição de Nyquist dessa forma:

5 Nyquist desenvolveu esse critério, conhecido como primeiro critério de Nyquist, em um estudo sobre a transmissão telegráfica, datado de 1928.

∑∞

−∞=

=−n

m ThnH 0)( ωω

ThHmw 0)()( =∗ ωδω


As condições, no domínio da freqüência, para que não exista IIS, são: o canal deve ser um filtro passa baixo com freqüência de corte em ωm/2, onde ωm = taxa de símbolo, e a soma das réplicas de sua resposta em freqüência, espaçadas de ωm, seja uma constante.

Note que, se o canal for um filtro perfeito, que possui uma descida abrupta na sua frequência limite superior, vai satisfazer a essa condição, desde que a frequência de corte seja ωm/2.

No entanto, a resposta em frequência do canal pode ultrapassar vT

m

21

2= desde

que a descida da curva espectral seja simétrica em relação ao ponto de meia potência. Os filtros, na prática, possuem uma descida com um certo grau de inclinação, ou seja, não possuem descidas abruptas como o filtro perfeito que foi visto.

Vamos investigar o filtro real um pouco mais. Seja "r" o percentual de faixa de frequência do filtro utilizada para sua descida

até o ponto de meia potência. Vamos definir a banda passante total do filtro (do canal), como sendo toda a extensão de frequências, positivas e negativas, que o filtro deixa passar de alguma forma. A resposta em frequência do filtro H(ω) ocupa a faixa que denominaremos de BW: ...[1.15] O fator "r" é conhecido como fator de "roll-off" ou fator de filtragem. Quanto mais abrupta for a descida do filtro, ou seja, quanto menor for o seu fator de "roll-off" mais difícil será a tarefa do receptor em recuperar o sinal transmitido. 1.6 Distorção de pico Vimos que cada amostra do sinal recuperado é, na verdade, dada por uma soma de fatores: rk = ak ho + ak+1 h-1 + ak+2 h-2 + ak+3 h-3 + ...... + ak-1 h1 + ak-2 h2 + ak-3 h3 Podemos reescrever a equação, separando o sinal desejado da IIS:

Tr

TrHzBW +

=+

=1

2)1(2][

)1(][ rvHzBW m +=


r a h a hk k nnn k

k n= +=−∞≠

∞

−∑0 ...[1.16]

Vamos definir distorção de pico (de amplitude) como sendo a interferência (IIS) indesejada normalizada com relação ao valor central da resposta impulsional do canal, ho: ...[1.17] A maior distorção de pico ocorrerá quando todos os impulsos do sinal transmitido tiverem seu valor máximo e o mesmo sinal da respectiva amostra da resposta impulsional do canal. Nesse caso podemos definir a distorção de pico máxima como:

Fazendo k=0 para simplificar: ...[1.18] Se a distorção de pico for maior que a metade da distância até o valor do próximo símbolo, ou seja, se ultrapassar o limiar de decisão do receptor, haverá um erro de símbolo na recepção, em outras palavras, haverá um erro de detecção quando:

a h

h

máx nnn=−∞≠

∞

∑>0

0

12∆min ; onde ∆min é a menor distância até o próximo símbolo.

Com um erro de símbolo, os bits representados por ele não corresponderão aos transmitidos, gerando erros de bits. Um símbolo errado pode gerar mais de um bit errado, dependendo da quantidade de bits no símbolo, da codificação utilizada e da intensidade da distorção de pico. A amostra recuperada no receptor também está sujeita à contaminação de ruído. Podemos acrescentar o ruído na eq. 1.16 e obter uma representação mais real do sinal amostrado. Os dois fatores, interferência intersimbólica e ruído, provocarão uma distorção que pode levar a erros de decisão de símbolos.

0

)(h

ha

kD knn

nkn∑∞

≠−∞=

−

=

0

max

max )(h

ha

kD knn

nk∑∞

≠−∞=

−

=

0

0

max

max h

ha

D nn

n∑∞

≠−∞=

=


A equação 1.19 ilustra o sinal de recepção em função da distorção intersimbólica e do ruído, representado por ηk

.

r a h a hk k nnn k

k n k= + +=−∞≠

∞

−∑0 η

...[1.19]

1.7 Distorção média quadrática Vimos que cada amostra do sinal recuperado é na verdade dada por uma soma de fatores:

r a h a hk k nnn k

k n= +=−∞≠

∞

−∑0

O erro é dado por:

e r a h a hk k k nnn k

k n= − ==−∞≠

∞

−∑0

O erro médio quadrático é definido como:

( ) mknk

kmm

knn

mn

knn

nknmk

kmm

mnk

knn

nkkk hhaahahahahare −−

∞

≠−∞=

∞

≠−∞=

∞

≠−∞=

−−

∞

≠−∞=

−

∞

≠−∞=

∑ ∑∑∑∑ ==

=−=

2

20

2

Considerando que os símbolos são estatisticamente independentes, temos que: a a a an m n m= ⋅ = 0 para n≠k Então, fazendo a an

2 2= O erro médio quadrático será:

e a hk nnn k

2 2 2==−∞≠

∞

∑ ....[1.20]

Podemos definir distorção média quadrática como:


ε2

2 2

02=

=−∞≠

∞

∑a h

h

nnn k

....[1.21]

1.8 Equalizador transversal para eliminar IIS Vimos que a interferência intersimbólica (IIS) provoca uma distorção no sinal transmitido e que essa distorção pode gerar erros na recepção. Vimos que a IIS é provocada pelo filtro do canal, quando ele não satisfaz a condição de Nyquist, ou seja, podemos dizer que a filtragem do sinal foi incorreta.

Se o filtro do canal satisfizer a condição de Nyquist não haverá IIS, mas isso é querer demais. É possível diminuir ou mesmo eliminar essa interferência na recepção? A resposta é sim, pelo menos teoricamente. Apresentarei uma forma de se fazer isso, que pode ser deduzida imediatamente das equações comentadas. Na prática, poder-se-ia pensar que a IIS, em uma amostra, seria provocada somente pelas amostras anteriores do mesmo símbolo, mas como há retardos envolvidos na transmissão, a interferência ocorre dos dois lados. A fim de simplificar a apresentação, vamos supor que a amostra rk sofre IIS somente dos três símbolos anteriores, então, teremos a seguinte situação: rk = ak ho + ak-1 h1 + ak-2 h2 + ak-3 h3 ...[1.22] A simples observação da equação [1.22], sugere que um filtro transversal instalado no receptor pode eliminar a IIS se seus coeficientes forem exatamente aqueles amostrados da resposta impulsional do canal e se, de alguma forma, as decisões forem corretas, ou seja, o circuito de decisão sempre acertaria. Veja a figura 1.6. O sinal x(t) chega ao receptor e é amostrado a cada intervalo de tempo "T", resultando no sinal r(t), que está representado na figura 1.6 pelas suas amostras rk. A partir desse ponto todo o circuito do receptor é digital, ou seja, manipula valores numéricos. As operações aritméticas são executadas por um microprocessador de sinal. De cada amostra rk é subtraído um valor proveniente do filtro transversal e o resultado entra no circuito de decisão. O símbolo decidido corretamente, ak, entra no circuito de retardo do filtro a cada intervalo de símbolo (T segundos). Os três últimos símbolos decididos corretamente são multiplicados pelos coeficientes do filtro, que são os mesmos do canal, e que somados, obtentém-se um sinal que é exatamente a IIS. Finalmente esse sinal é subtraído do sinal que chega no receptor. A esse tipo de circuito dá-se o nome de "equalizador transversal com a resposta direta do canal". Naturalmente, na prática, não se dispõe desses coeficientes para implementar o equalizador, mas há métodos para se determinar tais coeficientes por técnicas adaptativas convergentes.


Capítulo 2

Filtros de Nyquist Vimos no capítulo 1 que a condição para que um canal, ou um filtro6

Há uma infinidade de filtros que satisfazem essa condição. Três são particularmente interessantes e importantes:

, não provocar interferência intersimbólica (IIS) em um sinal é que ele satisfaça a equação de Nyquist (eq. 1.12).

• o filtro retangular ideal (fator de filtragem igual a zero), • o filtro cosseno levantado puro (fator de filtragem igual a 1) e • o filtro cosseno levantado com fator de filtragem maior que zero e menor que 1.

O filtro retangular não é realizável na prática mas é fundamental que seja estudado. Os outros dois são realizáveis e muito utilizados nos projetos de equipamentos, principalmente o que possui fator de filtragem menor que 1. A seguir apresentarei os três filtros. Esse assunto é fundamental para o estudo das modulações que veremos adiante. 2.1 Filtro retangular ideal Um filtro com resposta em frequência da forma retangular, ou filtro ideal, atende ao critério de Nyquist para evitar IIS. Tal filtro não é realizável na prática e, mesmo para se conseguir uma boa aproximação, é muito difícil. O filtro desejável é aquele que tenha um maior "roll-off" realizável e não o filtro ideal que possui "roll-off" igual a zero. A fim de embasar o próximo item vamos falar sobre o filtro retangular e calcular sua resposta impulsional. A resposta em frequência do filtro retangular, com corte em vm/2 é dada por:

6 Uma das características de um canal de comunicação é que ele se comporta como um filtro de frequências para o sinal de entrada. Estou me referindo a "canal" e "filtro" indistintamente, neste trabalho, principalmente quando estou tratando da resposta em frequência.


−>−<

+≤≤−=

2;

2..0

22....

)(0

mm

mm

vfvfpara

vfvparaThH ω ...[2.1]

A resposta impulsional será:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )m

vtjvtjvm

vm

tjvm

vm

tjtj

vjee

tje

ThdfeThdeHth

mm

πωωω

π

ππωωω

221 2

22

22/

2/

0

2/

2/0

−+

−

+

−

∞+

∞−

−=

=⋅=⋅

⋅= ∫∫ ...[2.2]

( )tv

tvhthm

m

ππsen)( 0= ...[2.3]

As figuras 2.1 e 2.2 ilustram, respectivamente, a resposta em frequência do filtra e sua resposta impulsional.

A equação [2.3] possui zeros em h(t) = kT, ou seja, h(t) é zero no centro de todos os outros símbolos e tem valor "ho" na origem. Note que, se um trem de impulsos passar por esse filtro, não haverá IIS pois a cada impulso será gerada uma função h(t-nT), conforme já vimos. Fica, portanto, provado que o filtro retangular ideal não gera IIS. É importante notar que para não haver interferência inter-simbólica, a resposta impulsional do filtro deve ser sempre zero em "nT" e pode ter um valor qualquer, que estamos chamando de "ho", em t = 0. Na prática, o instante de amostragem pode não ocorrer exatamente no centro do símbolo, e assim ocorrerá IIS apesar do filtro satisfazer a condição de Nyquist. Então, vemos que, apesar do filtra satisfazer o critério de Nyquist, se a amostragem ocorrer nos instantes corretos, haverá IIS. É desejável que nas proximidades de "nT", ou seja, em cada instante que a resposta impulsional do filtro corta o eixo t, a função tenha um valor pequeno para que, nos casos de erro no instante da amostragem, a IIS ser "reduzida". O filtro retangular é fraco nesse sentido: sua resposta impulsional possui passagens pelo zero muito verticais, ou seja, A derivada da curva de sua resposta impulsipnal, nas cercanis dos ponto de amostragem, é alta, muito inclinada. Então, um pequeno erro na amostragem tende a gerar uma alta IIS. Na verdade, quanto maior for o fator de "roll-off", melhor será o filtro com relação a esse aspecto, ou seja, mais a sua resposta impulsional vai cruzar o eixo "t" com um ângulo horizontal menor.


2.2 Filtro cosseno levantado puro A curva da resposta em frequência desse filtro é um cosseno levantado (daí seu nome), de forma que os mínimos tangenciam o eixo "x" (veja a figura 2.3). A curva do cosseno possui um "roll-off" de 100%, que é uma descida suave. Sua resposta impulsional cruza o eixo "t" mais horizontalmente que o filtro retangular, o que melhora o desempenho da amostragem. A resposta em frequência desse filtro é:

>−<

=+≤≤−

+=

mm

mmm

vfvfparaT

vvfvparaTThH

;.........................0

1:2

cos12)(0 ω

ω ...[2.4]

Para satisfazer a condição de Nyquist a sua resposta em frequência deve satisfazer: ( ) ( ) ThHH m 0=−+ ωωω ...[2.5] substituindo [2.4] em [2.5] obtemos:

=

−++

+

22

2cos1

22cos1

200 TvTThTTh mπωω

ThTTTh0

0

2cos

2cos2

2=

−+

+= πωω

Assim concluimos que esse filtro satisfaz a condição de Nyquist. Agora vamos calcular sua resposta impulsional, partindo da eq. 2.4. Sabemos que a resposta impulsional

( ) ( ) ( ) =⋅=⋅⋅

= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

dfefHdeHth tjtj ωω ωωπ2

1

( )[ ] =

++=+= ∫∫

+

−

−+

−

dfeeeThdfefTTh vm

vm

tjfTjfTjvm

vm

tj ωππ

ωπ2

12

cos12

00

=

++= ∫

+

−

−+

dfee

eTh vm

vm

TtfjTtfjftj

22

)2()2(20

πππ


=

−+

++=

+

−

−+ m

m

v

v

TtfjTtfjftj

Ttje

Ttje

tjeTh

)2(21

)2(21

22

)2()2(20

πππ

πππ

=

−

−+

+

−+

−=

−−−+−+−

)2(21

)2(21

22

)12()12()12()12(220

Ttjee

Ttjee

tjeeTh tvjtvjtvjtvjtvjtvj mmmmmm

πππ

ππππππ

( ) ( ) ( )=

−−

+++

+=ππππ

ππππ

ππ

tvtv

tvtv

tvtvh

m

m

m

m

m

m

22sen

21

22sen

21

22sen

0

( ) ( ) ( )

=

−−

+−=

12

2sen

12

2sen2sen

20

tv

tv

tv

tv

tv

tvh

m

m

m

m

m

m πππ

π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) =

−+

+−−−−=

12122sen122sen122sen14

2

220

tvtvtvtvtvtvtvtvtvtvtvh

mmm

mmmmmmmm ππππ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) =

−+

−−+−−=

1212sensen2sensen2sensen4

2

2222220

tvtvtvxtvxtvxtvxtvxxtvh

mmm

mmmmm

π

( )( )( ) =

−+

−=

12122sen

20

tvtvtvtvh

mmm

mππ

Finalmente, a resposta impulsional do filtro cosseno levantado puro é:

( ) ( )( )22

0

4122sen

tvtvtvhth

mm

m

−=

ππ

...[2.6]


2.3 Filtro cosseno levantado O filtro cosseno levantado puro, visto anteriormente, corresponde exatamente a um cosseno levantado, sem uma região de resposta unitária, ou seja, corresponde a um "roll-off" de 100%. No entanto, o caso mais geral é aquele em que existe um "roll-off" "r" que pode variar de 0 a 100%, e cuja resposta em frequência pode ser especificada da seguinte forma (vm = 1/T):

( )

( )( )[ ]{ } ( ) ( )

( )( )

<−−>

+<<−−−−<<

=

0;2/1;0

2/12/1;/2/1sen12/2/10;

0

0

fHvrf

vrfvrrTTfThvrfTh

Hm

mm

m

ω

πω

Da mesma forma que nos casos anteriores, porém com um pouco mais de manipulação matemática, pode-se chegar à resposta impulsional do filtro cosseno levantado genérico:

( ) ( )

( )20

21cossen)(

trvtvr

tvtvhth

m

m

m

m

−=

ππ

π ...[2.7]

Se você fizer r = 1 na equação [2.7], o que corresponde a um roll-off de 100%, vai encontrar a equação [2.6].


2.4 Filtro de fase linear Vimos que o filtro de Nyquist deve ter fase linear e esse tipo de filtro é facilmente implementado pelo filtro digital transversal, onde os coeficientes são exatamente os valores de sua resposta impulsional. Qualquer filtro digital transversal, que tenha sua resposta impulsional simétrica em relação à origem, possui fase linear. Os coeficientes do filtro devem atender à seguinte condição7

:

( ) ( )nhnh −= ...[2.8] A implementação de filtros de Nyquist, portanto, é praticamente mandatória que seja em filtros digitais transversais, desde que o equipamento seja baseado em processamento digital de sinais, naturalmente.

Além da questão anterior, é preciso considerar se o retardo causado pelo filtro é aceitável no projeto do equipamento em questão. Por exemplo, em equipamentos de áudio, o retardo pode ser crítico em situação de utilização em tempo real, como um show, uma apresentação musical, ou uma conferência, por exemplo, onde há interação em tempo real do som (sinal mecânico percebido no ambiente) e o áudio (sinal elétrico resultante de processamento digital de sinais), ou ainda dois sinais que precisam de sincronismo e retardo limitado.

O importância de uma IIS reduzida deve ser confrontata com o compromisso com o retardo no processamento. Implementações de filtros na configuração FIR (resposta impulsional finita) podem ser utilizadas para obter retardos menores desde que sejam observados os demais requistos. Se queremos implementar um filtro que não provoque distorção no sinal a ser transmitido, e isso é fundamental quando modulamos sinais, devemos construir um filtro digital transversal, ou filtro transverso. Se o filtro deve atender ao critério de Nyquist, o cosseno levantado é a melhor opção para a implementação. Partindo da equação [2.7] podemos obter os coeficientes do filtro. A fim de ilustrar esse assunto, vamos ver um exemplo de implementação de um filtro real. Considerando que h0 = 1, e que o sinal de entrada é uma série de amostras e só

existe nos instantes t nT nf

= =00

, onde T0 e f0 são, respectivamente, o período e a

frequência de amostragem, a equação [2.7] fica:

2

0

0

0

0

21

cossen)(

−

=

fnrv

fvnr

fvnfvn

nhm

m

m

m π

π

π

...[2.9]

Vamos supor, agora, um caso prático e real: um modulador gera um sinal a 2400 baud e possui uma frequência de amostragem de 9600 Hz. Note que a frequência de

7 Ref[4] página 238. Pode ser mostrado que essa condição é nescessária e suficiente. Somente filtros digitais transversais simétricos possuem fase linear.


amostragem é um múltiplo da taxa de modulação: vm/fo = 0,25. Supondo que o fator de filtragem é 15%, obtemos facilmente os coeficientes do filtro de transmissão:

h(0) = 1 h(1) = 0,899 h(2) = 0,633 h(3) = 0,297 h(4) = 0 h(5) = - 0,161 h(6) = - 0,202 h(7) = - 0,121 h(8) = 0 h(9) = 0,009

Calculei do primeiro ao nono coeficiente e poderia continuar indeterminadamente. A equação [2.9] nos leva a um filtro de comprimento infinito, mas para realizá-lo, na prática, temos que escolher um comprimento finito. Note que h(4k) = 0 para k = 1,2,3.... Neste nosso exemplo vamos definir que o filtro tenha comprimento de 19 coeficientes (os coeficientes de um filtro transverso são também chamados de taps). Então, os coeficientes serão h(-9) até h(9). Note que, como o filtro é simétrico, os coeficientes são iguais para n = ± 1, ± 2, ± 3, etc. Como foi visto, esse tipo de filtro transversal, cuja resposta impulsional é simétrica em torno da origem, tem uma resposta em fase linear, ou seja, não introduz nenhuma distorção de fase. Podemos considerar que o projeto está pronto, pois temos os 19 coeficientes. O que fizemos foi escolher os 19 coeficientes em torno da origem e desprezar os demais e isso correspondeu a multiplicar a resposta impulsional completa do filtro, que tem comprimento infinito, por uma janela, que nesse caso é retangular e vale "1" no intervalo de -9 ≤ n ≤ +9 e "0" para |n| > 9. Este é um dos métodos utilizados para se obter um filtro transversal finito a partir de um filtro de comprimento infinito. É rápido e fácil, mas, como tudo na vida, não é a melhor escolha. Posso citar dois métodos para projeto de filtros FIR: o algoritmo dos polinômios (Parks-McClellan) e o método de janelas (menor erro quadrático). O que fizemos, conforme descrito anteriormente para limitar a quantidade de taps do filtro, foi simplesmente escolher os primeiros coeficientes e isso corresponde ao método da janela, utilizando uma janela retangular. O método de janelas para projeto de filtros FIR permite a adoção de outros tipos de janelas, com formatos específicos, como por exemplo: Hanning, Bartlet-Hanning, Kaiser-Bessel, Hamming e Blackman, entre outros. Esse assunto é tratado em literaturas específicas sobre processamento digital de sinais e projetos de filtros digitais8

.

fabio de azevedo montoro fabio de azevedo montoro

8 Ref [4] página 239. Projeto de filtros FIR utilizando janelas.


Capítulo 3

Modulação AM-SC 3.1 Introdução Antes de iniciar propriamente o assunto, vamos relembrar alguma relações matemáticas, que usarei no decorrer deste capítulo. A simbologia utilizada é a seguinte:

( )

( )x

AA

ta

j

c

sgn

)()(

ω

ω

δπ

∗

∗

•

↔

( )

( ) ( )0,0)0(,1xsgn:sinal2

emdorepresentainalsensinal

1

...141592,3

<>==

−

=

xsexsefunçãofportadoradafrequência

Adeconjugadocomplexofrequênciastemponotadorepre

convoluçãodeoperador

unitárioimpulsofunçãopi

çãotransformadeiaequivalênc

cc πω

ω

Trigonometria: cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )A B A B sen A sen B± = ⋅ ⋅ ...[3.1]

{ })cos()cos(21)cos()cos( BABABA ++−=⋅ ...[3.2]

{ })cos()cos(21)sen()sen( BABABA +−−=⋅ ...[3.3]


{ })sen()sen(21)cos()sen( BABABA ++−=⋅ ...[3.4]

Transformada de Fourier: a t A( ) ( )↔ ω ...[3.5] { })()()cos( ccc t ωωδωωδπω −++↔ ...[3.6] { })()()sen( ccc jt ωωδωωδπω −−+↔ ...[3.7]

{ })()(21)()( ωωπ

BAtbta ∗↔⋅ ...[3.8]

A A( ) ( )ω ω= −∗ ; ( )a t ∈ℜ ...[3.9] A equação [3.9] afirma que sinais reais possuem transformada de Fourier com amplitude par (simétrica em torno de ω = 0) e fase ímpar (inverso do simétrico em torno de ω=0). 3.2 Modulação AM e AM-SC A modulação em amplitude, da sigla em inglês "Amplitude Modulation", possui duas variações: o AM e o AM-SC. Na modulação AM a portadora é transmitida de forma destacada. O AM ficou popularizado pelas transmissões de rádio e é facilmente demodulado por um receptor bem simples e barato. O AM-SC, ou "Amplitude Modulation with Suppressed Carrier", é mais simples sob o ponto de vista da modulação, pois a portadora é suprimida (não é transmitida), mas é mais complexo para ser demodulado, pois exige que o receptor gere uma portadora própria e a sincronize com a do transmissor. Alguns autores chamam a modulação AM de AM-DSB ("Dual Side Band") para diferenciá-la da modulação AM-SSB ("Single Side Band"), que veremos mais adiante. Particularmente acho desnecessário anexar essa sigla ao AM, por motivos que tembém veremos adiante. Para manter uma sequência mais didática, vou apresentar primeiro a modulação AM-SC. A modulação AM será abordada no mesmo sub-item 3.3. 3.3 AM-SC A sigla significa "modulação em amplitude com portadora suprimida". Considere um sinal a(t), limitado em frequência, ou seja, seu espectro está confinado em uma faixa de frequências. A modulação AM-SC translada o espectro desse


sinal, que está originalmente centralizado em torno da frequência zero, para uma frequência ωc. A modulação AM-SC consiste simplesmente em multiplicar o sinal modulante a(t) por cos(ωct). O sinal "cos(ωct)" é chamado de portadora pois a aplicação básica desta modulação é permitir o transporte do sinal original a(t) por um determinado canal cuja faixa de frequência é diferente daquela do sinal a(t). O sinal modulado, portanto, será: s t a t tc( ) ( ) cos( )= ⋅ ω ...[3.10] Para visualizar o que acontece no domínio da frequência, vamos encontrar o sinal S(ω), que é a transformada de Fourier de s(t), aplicando as equações [3.8] e [3.6]:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }ccASts ωωδωωδπωπ

ω −++∗=↔21)(

( ) ( ){ }cc AAS ωωωωω −++=21)( ...[3.11]

Essa equação nos diz que a modulação criou duas réplicas do espectro do sinal modulante original, A(ω), em +ωc e -ωc, multiplicando por 1/2. Em outras palavras, a modulação deslocou o espectro original de ω = 0 para ω = ωc.

Fig. 3.1a

Fig. 3.1b

Fig. 3.1c A figura 3.1b mostra o efeito da modulação AM-SC, representado pela equação [3.11], sem considerar a constante 1/2 que na verdade atenua o sinal, a fim de simplificar as representações. Na verdade podemos imaginar que sempre existe um amplificador no receptor, que compensa esses fatores constantes.


Fig. 3.2 Na recepção, se o sinal S(ω) for multiplicado por cos(ωct), e filtrado por um filtro H(ω), teremos:

( ) { })2cos(12

)(cos)()cos()()( 2 ttattattstu ccc ωωω +=⋅=⋅=

u t a t a t tc( ) ( ) ( ) cos( )= +2 2

2ω ...[3.12]

Passando a equação [3.12] para o domínio da frequência, encontramos:

( ) ( ) ( ){ }cc AAAU ωωωωωω 22

41

2)( −+++= ...[3.13]

O sinal U(ω) está representado na figura 3.1c. Note que U(ω) é formado por três réplicas de A(ω), a menos das constantes. O sinal U(ω) passa pelo filtro H(ω), e obtemos o sinal R(ω). O filtro, na verdade, realiza, no domínio da frequência, a operação de multiplicação do sinal de entrada pela sua resposta em frequência:

( ) ( ) ( )2

)( ωωωω AHUR =⋅= ...[3.14]

O filtro H(ω), do tipo passa-baixo, corta as réplicas de A(ω) situadas em ±2ωc e somente deixa passar opróprio sinal A(ω), que está em sua posição original (ω = 0). Note que o sinal original A(ω) na verdade não foi transmitido pelo canal. O sinal S(ω), que possui réplicas de A(ω) centradas em ±ωc é que foi transmitido. Esse é o mérito da modulação: fazer réplicas do sinal a ser transmitido, na faixa que o canal de comunicação oferece. Por exemplo: a linha telefônica, ou canal de voz, oferece uma faixa que vai de 300 a 3.400 Hz. 3.4 AM Modulação em amplitude com adição da portadora. É semelhante ao caso anterior. A literatura tradicional sobre modulação diz que nesse caso a portadora é adicionada ao sinal modulante. Podemos ver sob um outro ângulo: na modulação AM, um sinal


constante é adicionado ao sinal modulante a(t) antes dele ser multiplicado pela portadora. Esse efeito também vai aparecer se o sinal a(t) possuir uma componente DC. A figura 3.3 ilustra a modulação e a demodulação AM. Note que tivemos que adicionar um bloco antes do filtro H(ω) a fim de eliminar a componente DC do sinal, após ter sido multiplicado pela portadora local.

Fig. 3.3 { } )cos()()( tptats cω⋅+= ...[3.15] Passando para o domínio da frequência, fica:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }cccc pAAS ωωδωωδπωωωωω −+++−++=21)( ...[3.16]

Comparando as equações [3.11] e [3.16], notamos que apareceram dois impulsos, em +ωc e -ωc, somados às réplicas de A(ω). Talvez por esse motivo o AM-SC ganhou o nome de AM com portadora suprimida. Poderíamos também chamar de "AM" e "AM com portadora adicionada".

Fig. 3.4 Note que na modulação AM o sinal a(t) é o envelope do sinal s(t) e é facilmente identificado pelo diagrama de tempo apresentado pela figura 3.6. No caso da modulação AM, pode-se utilizar um demodulador bem mais simples que o da figura 3.3, em termos de implementação. Um demodulador formado por um retificador de meia onda, seguido de um capacitor para eliminar a componente DC e do filtro H(ω) é o suficiente. Note que assim não há necessidade de se gerar a portadora no local do receptor.

Fig.3.5


Fig. 3.6 Retificar um sinal modulado em amplitude dessa forma, equivale a multiplicar o sinal de recepção por um trem de pulsos (uma onda quadrada) de frequência igual à da portadora. Lembrando que a transformada de Fourier da onda quadrada é uma sequência de impulsos, o sinal Sr(ω) pode ser determinado pela convolução entre o trem de impulsos (onda quadrada) e o sinal S(ω), conforme ilustra a fugura 3.7.

Fig. 3.7 Importante salientar que, para que o sinal AM possa ser demodulado dessa forma simples (utilizando um retificador) o fator "p" deve ser maior que o maior valor do sinal a(t), pois o demodulador extrai o envelope do sinal recebido. Então: p a t máx> ( ) ...[3.17]


Caso a equação [3.17] não seja satisfeita, na modulação AM, a demodulação só pode ser feita pelo método síncrono (utilizando uma portadora local). fabio de azevedo montoro


Capítulo 4

Modulação AM-SSB Modulação em amplitude com uma única banda lateral, ou "Amplitude Modulation with Single Side Band", é um processo de modulação que suprime uma das bandas laterais do espectro do sinal modulado s1(t), antes que ele seja transmitido. Lembrando que todo sinal real (só estamos tratando deles) possui um espectro em frequência redundante, simétrico em torno de ω = 0, conforme indica a equação 3.9, podemos imaginar que a mesma informação é transmitida duas vezes ! No caso do sinal S(ω), gerado pela modulação AM-SC (veja a equação 3.11), a mesma informação está presente quatro vezes, pois temos duas réplicas de A(ω). O princípio da modulação AM-SSB é eliminar a metade do espectro do sinal a transmitir, de forma a continuar satisfazendo a equação 3.9, pois queremos gerar um sinal real. A vantagem da modulação AM-SSB, que se pode ver imediatamente, é que o sinal resultante ocupa a metade da banda que o AM-SC. Uma forma trivial de se obter o sinal AM-SSB é filtrando uma banda lateral do sinal AM-SC, conforme ilustram as figuras 4.1 4.2.

Fig. 4.1

Fig. 4.2a


Fig. 4.2b

Fig. 4.2c

Fig. 4.2d O sinal S(ω) é obtido pela filtragem do sinal S1(ω): ( ) ( ) ( )ωωω 1SKS ⋅= ...[4.1] O filtro K(ω) é de difícil implementação pois exige uma região de corte com inclinação bastante abrupta. Fácil de representar teoricamente, esse filtro é praticamente impossível de ser realizado. Uma outra forma de se implementar a modulação AM-SSB é utilizando um circuito chamado "transformador de Hilbert". A fim de visualizar melhor o que ocorre na modulação AM-SSB, vamos imaginar um caso particular, onde a(t) é uma cossenóide de frequência ωs. Então: ( ) ( )tta sωcos= ...[4.2] Passando pelo multiplicador, fica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttats csc ωωω coscoscos1 ⋅=⋅= ...[4.3] Aplicando a equação [3.2], fica:

( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }ttts scsc ωωωω −++= coscos21

1 ...[4.4]

Filtrando a banda inferior, fica: ( ) ( )[ ]tts sc ωω += cos ...[4.5]


Aplicando a equação 3.1, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsentsenttts cscs ωωωω ⋅−⋅= coscos ...[4.6]

Note que cos(ωst) é o sinal a(t) e que sen(ωst) é o sinal a(t) defasado de − π2

, pois:

sen(ωst) = cos(ωst− π2

)

Vamos chamar o sinal a(t) de ar(t) e de ai(t), sua versão defasada de − π2

. O fato

de que qualquer sinal pode ser representado por uma soma contínua de sinais senoidais, faz com que esse raciocínio se extenda para qualquer sinal real. Então, podemos re-escrever a equação [4.6] da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsentattats cicr ωω ⋅−⋅= cos ...[4.7] A equação [4.7] sugere que o modulador AM-SSB seja implementado conforme ilustra a figura 4.3, onde B(ω) é o circuito defasador. Qualquer sinal aplicado na entrada de B(ω) terá todas as suas

componentes defasas de − π2

.

Devemos fazer mais duas observações sobre o circuito defasador: - Não deve atuar na amplitude do sinal de entrada. - Deve atuar na fase de forma ímpar com relação a ω = 0, caso contrário sua saída seria um sinal não real.

Fig. 4.4 Podemos dizer que a função de transferência do defasador é: ( ) ( ) ( )ωθωω jeBB = ...[4.8] Tendo em vista o que foi comentado, podemos escrever:

Fig. 4.3


( ) 1=ωB ...[4.9]

( ) ( )ωπ

ωπ

ωπ

ωθ sgn20

2

02 ⋅−=

<+

>−=

se

se ...[4.10]

Então, substituindo em [4.8], fica:

( ) ( )ωπ

ωsgn

2j

eB−

= ...[4.11] Analisando a equação [4.11] vemos que:

( )

<

⋅+

>

⋅−

=0

22cos

022

cos

ωππ

ωππ

ωsesenj

sesenjB ...[4.12]

Então, finalmente, encontramos a resposta em frequência do circuito defasador, conhecido como transformador de Hilbert: ( ) ( )ωω sgn⋅−= jB ...[4.13] Vamos, agora, determinar a transformada inversa do circuito defasador, ou seja, queremos achar a resposta impulsional do transformador de Hilbert. ( ) ( )ωBtb ↔

( ) ( ){ } ( ){ }ωω sgn11 FF ⋅−== −− jBtb

( ) ( ){ }ωsgn1F−⋅−= jtb

Sabendo que1 ( ){ }tjπ

ω −=− sgn1F , encontramos finalmente:

( )t

tbπ1

−= ...[4.14]

As equações [4.13] e [4.14] definem o transformador de Hilbert nos domínios do tempo e da frequência. O transformador de Hilbert não deve ser confundido com um circuito de retardo, que proporciona um retardo fixo para todas as componentes de frequência, ou seja,

1Ref. bibliográfica [1] equação 1.113


provoca uma variação linear na fase. A próxima tabela mostra as respostas impulsional e em frequência, dos dois circuitos.

Resposta impulsional Resposta em frequência

Circuito retardador ( )0Tt −δ e j T− ω 0

Transformador de

Hilbert −

1πt

( )ωsgnje−

Note que, conforme mostra a figura 4.4, o demodulador AM-SSB é o mesmo utilizado no AM-SC. Vejamos: Na demodulação, o sinal recebido passa pelo multiplicador e resulta em: ( ) ( ) ( ) ( )ttsentattattstu ccicc ωωωω coscos)()cos()()( 2 ⋅⋅−⋅=⋅=

( ){ } ( ) ( )tsentattatu ci

c ωω 22

2cos12

)()( ⋅−+⋅= ...[4.15]

O filtro H(ω) corta as componentes centradas em 2ωc, conforme já vimos no caso do AM-SC. Então, na saida o filtro, obtemos o sinal original a(t). Confirmamos, portanto, que o mesmo demodulador serve para AM-SC e AM-SSB. 4.1 AM-VSB Foi mencionado que a implementação do modulador AM-SSB pelo método tradicional, utilizando os filtros K(ω), é difícil. Como a implementação de transformador de Hilbert também é difícil no domínio analógico, na época em que surgiu a modulação SSB também surgiu uma alternativa para superar essa dificuldade: a modulação VSB, ou "Vestigial Side Band". Essa modulação é igual ao AM-SSB, porém, ao invés de filtrar completamente a banda lateral, o filtro deixa um vestígio da banda que deveria ser suprimida, de tal forma que a encosta do filtro seja simétrica do mesma forma que no filtro de Nyquist. Se a transmissão for feita com adição da portadora, um simples receptor baseado em retificador vai funcionar do mesmo modo que no AM. Se a transmissão for feita com portadora suprimida, a recepção deverá ser feita pelo processo síncrono e, nesse caso, o filtro de Nyquist é mais importante.


Fig. 45 fabio de azevedo montoro


Capítulo 5

Modulação em fase - PM A modulação em fase também herdou do inglês a sigla PM, "Phase Modulation", comumente utilizada. Essa modulação consiste em alterar a fase da portadora de forma proporcional à amplitude do sinal modulante a(t). ( ) ( ){ }ttsts c θω +⋅= cos ; ( ) ( )takt ⋅=θ ...[5.1] onde: θ(t) = fase (variável com o tempo) k = constante s = amplitude máxima da portadora Desmembrando a equação [5.1], obtemos: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )ttsttsts cc ωθωθ sensencoscos ⋅−⋅= ...[5.2]

fazendo: ( ) ( ){ }( ) ( ){ }

⋅=⋅=

tstatsta

i

r

θθ

sencos

...[5.3]

Obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttattats cicr ωω sencos ⋅−⋅= ...[5.4] A equação [5.4] sugere que o modulador seja implementado conforme apresentado na figura 5.1, onde o sinal modulante foi desmembrado em duas componentes em quadratura (equação [5.3]).


Fig. 5.1 É importante notar que: ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }{ }ttstststata ir θθθθ 222222222 sencossencos +=⋅+⋅=+ ...[5.5] Então: ( ) ( ) 222 stata ir =+ ...[5.6] A equação [5.6] indica que o sinal a(t) pode ser visto como um vetor ( )ta cujas coordenadas nos eixos "R"e "I" (real e imaginário) são, respectivamente, ( )tar e ( )tai . Ou seja, é preciso desmembrar o sinal vetorial ( )ta em suas coordenadas axiais para alimentar o modulador em fase. Pela equação [5.6] notamos que o lugar geométrico do vetor ( )ta , considerando sua origem coincidente com o sistema de coordenadas, é um círculo de raio "s", ou seja, a amplitude desse vetor é constante.

Fig. 5.2 fabio de azevedo montoro


Capítulo 6

Modulação em Quadratura - QAM 6.1 Modulação QAM A modulação em quadratura, QAM, "Quadrature Amplitude Modulation", consiste em, simultaneamente, modular a amplitude e a fase de uma portadora senoidal. Esse tipo de mudulação, apesar de poder transmitir sinais analógicos, teve seu nome associado à transmissão digital, ou seja, o sinal a ser transmitido assume valores discretos, pertencentes a um conjunto finito conhecido. Quando se fala em QAM, imediatamente se pensa em transmissão digital.

Veremos que os métodos de modulação AM-SC, SSB e PM, anteriormente apresentados, são casos particulares do QAM

Vimos, na modulação em fase, que os dois sinais de entrada do modulador, ( )tar e ( )tai , possuem uma relação fixa entre eles, dada pela equação [5.6]. Esses sinais representam um vetor de intensidade constante. A modulação QAM é a generalização do modulador PM. No caso do QAM o vetor de entrada é qualquer, ou seja, suas componentes em quadratura podem assumir qualquer valor. Podemos representar o vetor de entrada ( )ta por sua amplitude e fase ou por suas coodenadas. seja: θ(t) = fase do vetor de entrada A(t) = amplitude do vetor de entrada s = amplitude máxima da portadora

coordenadas do vetor ( )ta = ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

⋅=⋅=

ttAtattAta

i

r

θθ

sencos ...[6.1]


Sendo assim, o sinal QAM pode ser representado como: ( ) ( ) ( ){ }tttAts c θω +⋅= cos ; ...[6.2] Desmembrando a equação [6.2], obtemos: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )tttAtttAts cc ωθωθ sensencoscos ⋅−⋅= ...[6.3] Substituindo os valores da eq. [6.1] em [6.3] obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttattats cicr ωω sencos ⋅−⋅= ...[6.4] A equação [6.4] é a mesma da modulação PM (eq. [5.4]) e sugere a mesma implementação de modulador, repetido na figura 6.1, por conveniência. As componentes do sinal a(t) são chamados de: ( )tar = sinal em fase ( )tai = sinal em quadratura

Fig. 6.1 O vetor ( )ta cujas coordenadas nos eixos "R"e "I" são, respectivamente, ( )tar e

( )tai , agora não tem a restrição da modulação em fase, mas do mesmo modo é preciso desmembrar o sinal vetorial ( )ta em suas coordenadas para alimentar o modulador e isso é bastante oportuno para a transmissão digital. O lugar geométrico do vetor ( )ta agora é livre no plano, mas pode ser limitado a pontos específicos no caso da transmissão digital. O conjunto de pontos que define o lugar geométrico do vetor QAM, em uma transmissão digital, é chamado de constelação.


Fig. 6.2 Vamos agora analisar o sinal transmitido no domínio da frequência. Para isso vamos calcular a transformada de Fourier da eq. [6.4]. ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ttattaS cicr ωωω sencos FF ⋅−⋅= ...[6.5] Lembrando que ( ){ } ( )c

tj Fetf c ωωω −=.F ...[6.6] Obtemos:

( ) ( ){ } ( )

+

⋅⋅−

2=cos FF

tjtj

rcr

cc eetatta

ωω

ω

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }crcrcr AAtta ωωωωω −++=⋅21cosF ...[6.7]

( ) ( ){ } ( )

−

⋅⋅−

jee

tattatjtj

rcr

cc

2=sen FF

ωω

ω

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }cicici AAjtta ωωωωω −−+=⋅2

senF ...[6.8]

Substituido as equações [6.7] 2 [6.8] em [6.5], obtemos:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }cicicrcr AAjAAS ωωωωωωωωω −++−+−++=22

1 ...[6.9]

Podemos ver sob outra ótica, particularmente interessante na modulação QAM digital, considerando o sinal modulante como um número complexo: ( ) ( ) ( )tjatata ir += ...[6.10] Fazendo: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }tjttjataeta ccir

tj c ωωω sencos +⋅+=⋅


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ttattajttattaeta cicrcicr

tj c ωωωωω cossensencos ++−=⋅ ...[6.11] Então, podemos dizer que: ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )ttattaetaets cicr

tj c ωωω sencos −=⋅ℜ= ...[6.12] Então, o modulador QAM pode ser visto simplesmente como a multiplicação de dois números complexos e o sinal de saida é a parte real do resultado.

Fig. 6.3 6.2 Demodulação convencional A demodulação consiste em recuperar os dois sinais em quadratura, ( )tar e ( )tai , ou seja, recuperar o número complexo transmitido. O sinal recebido no receptor, a menos de constantes, e sem considerar qualquer distorção do canal, é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cicicrcr jAjAAAS ωωωωωωωωω −++−−++=' ...[6.13] A figura 6.1 mostra o demodulador. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ωωωωωωωωωωωωω iciciircrcrrr jAjAjAjAAAAAU +−++−−+−+++= 2222

21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22

22

22

2 cicicrcrrr

jAjAAAAU

ωωωωωωωωωω

−+

+−

−+

++= ...[6.14]

O sinal ( )ωiU pode ser obtido de forma similar. Após o filtro H(ω), recupera-se o sinal ( )ωrA . Como os sinais modulantes ( )ωrA e

( )ωiA são limitados em frequência, os filtros H(ω) podem ser exatamente iguais e devem possuir frequência de corte em ωo de tal forma que:

−<<

22

2 0b

cb ω

ωωω ...[6.15]


Fig.6.4 6.3 Demodulação com transformador de Hilbert Essa técnica não utiliza nenhum filtro no demodulador, no sentido de seleção de faixa de frequências, mas sim outro princípio, baseado no transformador de Hilbert10

O transformador de Hilbert é muito difícil de ser implementado na forma analógica, com amplificadores operacionanais e componentes passivos, mas é muito fácil de ser projetado e implementado com processamento digital de sinal.

.

A figura 6.5 apresenta o esquema do demodulador. Usaremos a seguinte notação para as transformadas de Hilbert nos domínios do tempo e frequência: ( ) ( ){ }tsHilbertTransfts .ˆ = ( ) ( ){ }ωω SHilbertTransfS .ˆ =

10 Referências bibliográficas [1] e [4]


Fig. 6.5 O sinal recebido é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }cicicrcr jAjAAAS ωωωωωωωωω −++−−++=21 ...[6.15]

Como o transformador de Hilbert multiplica por -j as componentes com ω>0 e por +j as com ω<0, então, podemos escrever que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }cicicrcr AAjAjAS ωωωωωωωωω −+++−−+=21ˆ ...[6.16]

Observando a figura 6.5, podemos escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ωωωωωωωωωωωωω iciciircrcrr jAjAjAjAAAAAU +−++−−+−+++= 2222

41

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ωωωωωωωωωωωωω iciciircrcrr jAjAjAjAAAAAU +−−++−+−−+−= 2222

41

2

Somando as duas equações anteriores, confirmaremos que o sinal original transmitido, ( ) ( ) ( )ωωω 21 UUAr += , será extraido corretamente. Ainda, por observação da figura 6.5, escrevemos:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ωωωωωωωωωωωωω iciciircrcrr AAAAjAjAjAjAU −−+++−+−−++−= 2222

41

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ωωωωωωωωωωωωω iciciircrcrr AAAAjAjAjAjAU +−++++−−−++

−= 2222

41

4

Somando as duas equações anteriores, confirmaremos que o sinal original transmitido, ( ) ( ) ( )ωωω 43 UUAi += , será extraido corretamente. A análise anterior demonstra que o demodulador QAM baseado no transformador de Hilbert, conforme apresentado na figura 6.5, opera corretamente. 6.4 Modulação QAM implementada digitalmente As análises realizadas sobre a modulação QAM, até agora, consideraram todos os sinais como contínuos, que também chamaremos de "analógicos". Tanto os sinais modulantes ( )tar e ( )tai , como as portadoras ( )tcωcos e ( )tcωsen , são sinais analógicos. Nesta parte do trabalho vou considerar que, tanto os sinais modulantes quanto as portadoras são sinais discretos, que chamaremos de "digitais". Estou chamando de sinal digital um sinal discreto no tempo e na amplitude, ou seja o sinal é uma sequência de amostras codificadas em binário. Como já foi mencionado anteriormente, a modulação QAM é bastante apropriada para transmissão de dados e por isso é utilizada em praticamente todos os equipamentos de transmissão de dados conhecidos, como os modems analógicos, os modems para transmissão satélite, os rádios digitais de micro-ondas, os modems de alta velocidade, para distância limitada com tecnologia CAP, e até equipamentos transmissores para rede local, na tecnologia ATM, operando a 155 Mbps em par trançado blindado ou 51.84 Mbps operando em par trançado sem blindagem (UTP). A passagem do cenário "analógico", anteriormente descrito, para o "digital", como o existente em um ambiente de processamento digital de sinais, nos leva a representar os sinais como sequências. Utilizaremos a seguinte simbologia: T0 = período de amostragem T = intervalo intersimbólico n = número sequencial da amostragem sen(ωcnT0) e cos(ωcnT0) = sinais senoidais A(nT0) = amplitude do sinal modulante θ(nT0) = fase do sinal modulante Então, podemos representar o sinal QAM assim: ( ) ( ) ( ){ }0000 cos nTnTnTAnTs c θω +⋅= ...[6.17] Pensando em QAM digital, onde as combinações das duas ordenadas são limitadas (há um conjunto de símbolos possíveis bem definido), identificamos a existência do par {A(k) ; θ(k)} para cada símbolo possível.


O conjunto de símbolos possíveis é finito e conhecido como constelação. A constelação, portanto, é formada por todos os pontos no plano RI que poderão ser transmitidos. Inicialmente os sinais ( )tar e ( )tai devem ser digitalizados, e isso está representado na figura 6.6 pela multiplicação do respectivo sinal por uma sequência de

impulsos ( )∑∞

−∞=nnT0δ .

A cada símbolo serão transmitidas várias amostras do sinal s(nT) para um mesmo valor de {A(k) ; θ(k)} e isso pode ser representado pela equação:

( ) ( ) ( ) ( ){ }kTnTkTnTgkTAnTs ck

T θω +⋅−⋅= ∑∞

−∞=000 cos ...[6.18]

Onde: gT(nT0 ) = janela no tempo, de largura igual a T, iniciando em t = 0. Na verdade, a equação [6.18] traduz a sobreposição de vários segmentos da portadora. Desenvolvendo a equação [6.18]:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ){ }0000 sensencoscos nTknTkkTnTgkTAnTs cck

T ωθωθ ⋅−⋅⋅−⋅= ∑∞

−∞=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )00000 sensencoscos nTkTnTgkTkTAnTkTnTgkTkTAnTs c

kTc

kT ωθωθ ⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅= ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

fazendo:

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )kTakTkTA

kTakTkTA

i

r

=⋅

=⋅

θ

θ

sencos

...[6.19]

Obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00000 sencos nTkTnTgkTanTkTnTgkTanTs ck

Tick

Tr ωω ⋅

−⋅−⋅

−⋅= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

Cada um dos somatórios pode ser visto como a convolução dos sinais ( )0nTar e

( )0nTai que possuem uma única amostra na primeira posição da janela ( )0nTgT , sendo as demais igauis a zero. Possuem um único valor por símbolo. Note que os sinais ( )0nTar e ( )0nTai são diferentes de ( )nTar e ( )nTai , que são constantes por símbolo. Então: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )0000000 sencos nTnTgnTanTnTgnTanTs cTicTr ωω ⋅∗−⋅∗= ...[6.20] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00000 sencos nTnTqnTnTpnTs crcr ωω ⋅−⋅= ...[6.21]


Note a semelhança entre as equações [6.21] e [6.4]. Note que os sinais ( )0nTpr e ( )0nTqr possuem amostras de valor constante dentro de cada intervalo de símbolo, que dura T segundos, pois a resposta impulsional do filtro ( )0nTgT é uma janela retangular.

Fig. 6.6 A equação [6.20] diz que os sinais ( )0nTar e ( )0nTai foram filtrados por filtros cujas respostas impulsionais são ( )0nTgT , resultando nos sinais ( )0nTpr e ( )0nTqr . Então, podemos alterar a figura 6.6, por uma representação equivalente, substituindo os sinais mencionados e o amostrador. A figura 6.6 representa a situação onde os sinais se originam de uma forma analógica. A figura 6.7 ilustra a situação onde os sinais ( )0nTar e

( )0nTai foram gerados digitalmente, uma amostra por símbolo, e entram em um filtro digital transversal com resposta impulsional retangular, conforme mostra a equação [6.20].

Fig. 6.7 Vimos anteriormente, quando foi abordado o filtro de Nyquist, que é desejável filtrar o sinal a ser transmitido com um filtro que não provoque interferência intersimbólica e que tenha a melhor condição para recuperação do sinal na recepção. Em outras palavras, esse filtro deve atender ao critério de Nyquist e ter o maior "roll-off" possível. Um desses filtros é o cosseno levantado, que já analisamos anteriormente.


O que foi visto até aqui corresponde a uma modulação digital sem filtragem de limitação de banda. Isso vai provocar um espectro de saida infinito, o que é indesejável. Se adequarmos a resposta impulsional do filtro H(ω) da figura 6.7, poderemos atender aos critérios de Nyquist. Vamos determinar a resposta em frequência do filtro H(ω), supondo que existem "L" amostras em cada símbolo, sendo "L" ímpar, então:

( ) nj

L

L

nj

L

LTT eengWG ωω −

−

−−

−

−

−−

∑∑ ==2

1

21

21

21

)( [6.22]

22

2221

221

22

1

111

)( ωω

ωω

ω

ωω

ω

ωω

jj

LjLj

j

LLjLj

j

LjLj

T

ee

eeeee

ee

eWG−

−

−

−−

−

−

−

−

−

−=

−

−=

−

−=

=

2sen

2sen

)(ω

ωL

WGT ...[6.23]

Para não haver IIS o filtro deve ser um passa-baixo com frequência de corte igual a v

Tm

21

2= , onde vm é a taxa de modulação em baud.

Este artigou se limitou a investigar os tipos comuns de modulações de portadora, dando ênfase à comunicação digital e se restringindo à modulação propriamente dita, sem abordagem das codificações que possam ser executadas antes do modulador, com objetivos de melhoria na taxa de erro do sistema, como a codificação não linar, a codificação convolutional, inventada por Peter Elias em 1955, e a codificação convolucional TCM (Trellis Coded Modulation), inventada por Ungerboeck em 1976 e utilizada nos modems.

Convém salientar que, apesar do nome TCM induzir ao entendimento de que isto seria uma "modulação codificada" e do fato de que alguns autores preferirem dizer que é "modulação", prefiro separar as duas coisas: modulação é a ação direta de modificar a portadora e qualquer outra ação anterior a esta será entendida como uma codificação.

É fundamental que a terminologia seja bem entendida e, quando isto ocorrer, ela deixa de ser importante.

Importante é o entendimento do conceito. A terminologia, uma vez que faz parte da liguagem técnica, é fundamental, sim,

para a comunicação entre as pessoas. fabio de azevedo montoro


6.5 Lugar geométrico do vetor QAM Comparando os moduladores discutidos nos capítulos anteriores, AM-SC, AM-SSB

e PM podemos ver claramente que a diferença entre essas modulações é a regra que correlaciona as duas componentes em quadratura.

Fica demonstrado que o QAM é o caso geral e essas modulações são casos particulares.

Resumindo, as regras de correlação são:

AM-SC Só há uma dimensão. O vetor transmitido assume qualquer valor, mas sempre no eixo horizontal (eixo "R"). A componente do eixo "I" é sempre nula. O lugar geométrico é o eixo horizontal. ( ) 0=tai

e ( ) ∀=tar

AM-SSB A componente do eixo vertical (eixo "I") é sempre a transformada de Hilbert da componente do eixo horizontal. O lugar geométrico será formado pelos

pontos ( ) ( )

∗

⋅ta

tta ri π

1,

PM O vetor transmitido pode assumir qualquer ângulo,

porém sempre com a mesma amplitude (intensidade). Em outras palavras o lugar geométrico do vetor é um círculo centrado na origem e comprimento igual à intensidade do sinal, ou seja: ( ) ( ) Atata ri =+ 22 onde "A" é uma constante.

QAM O vetor transmitido pode ser qualquer. Suas componentes não possuem qualquer relação obrigatória e podem ser definidas à vontade pelo padrão que se quer estabelecer. Se a trasmissão for anaçógica, o vetor pode, teoricamente assumir qualquer posição no plano, observado naturalmente uma distância máxima do centro que definirá o valor de pico máximo do sinal transmitivo. Se a trasmissão for digital o vetor assumirá pontos específicos, definidos pelo padrão estabelecido, que formarão a constelação, ou seja:

( ) ∀=tar e ( ) ∀=tai


Im

Re

ImIm

Re

Modem V.26 Modem

V.27 Modem V.29

0001

11 10

000

001

101100

110

111

011010

0011

0000 100001001100

0101 0111

1101 11110110

1110

1011

0001

1001

1010

6.6 Constelações QAM Este nome é dado quando a modulação é digital e o vetor somente pode assumir

pontos específicos no plano RI. Em outras palavras, o lugar geométrico do vetor é discreto e o conjunto de pontos é definido por um padrão específico.

6.6.1 Constelações dos modems V.26, V.27 e V.29 Como exemplo, a figura ilustra as constelações dos modems citados. O modem V.26 transmite a uma taxa de 2400 bits por segundo e modula a 1200

baud, possuindo, portanto, 2 bits por símbolo. O modem V.27 transmite a uma taxa de 4800 bits por segundo e modula a 1600

baud, possuindo, portanto, 3 bits por símbolo.

Fig. 6.8: Constelações dos modems V.26, V.27 e V.29

O modem V.29, finalmente, transmite a uma taxa de 9600 bits por segundo e

modula a 2400 baud, possuindo, portanto, 4 bits por símbolo. Nenhum desses modems possui qualquer tipo de codificação especial para ampliar

a eficiência no uso do espectro, pois tais tecnologias surgiram após a ITU-T publicar as respectivas recomendações, que padronizaram tais equipamentos.

As dificuldades tecnológias foram sendo superadas ao longo do tempo e viabilizando esse aumento na taxa de transmissão de dados pela linha telefônica, a partir do modem V.26 que surgiu por volta de 1962.

A invençao do equalizador adaptativo viabilizou o desenvolvimento do modem V.27 sete anos depois e, logo em seguida, em 1971 foi possível produzir o modem v.29.

As invenções da codificação não linear, do TCM e do cancelamento de eco adaptativo permitiram o surgimento de modems operando para operar full-duplex a 28.800 bps em 1994.

O modem para linha telefônica convencional chegou ao limite de Shanon com o crescimento exponencial das dificuldades para subir a velocidade, chegando a 33.600 bits por segundo, com o padrão V.34


6.6.2 Constelação do modem V.34

A constelação do modem V.34 possui 1664 pontos. A figura 6.9 mostra um quarto

da constelação (416 pontos). Para se obter a constalação total soma-se os pontos obtidos pela rotação em 90, 180 e 270 graus da que está representada na figura.

Fig. 6.9: Constelação parcial do modem V.34 A taxa máxima que se conseguiu transmitir pela linha telefônica convencional foi

33.600 bits por segundo. O lançamento das recomendações V.90 e V.92 da ITU-T já especificavam

modems para transmitir de forma digital (PCM). No ano de 2000 a ITU-T lançou a recomendação V.92, que especifica um modem

que transmite de forma digital (PCM) a 48.000 bps no sentido up-stream e recebe a 56.000 bps no sentido downstream, podendo também operar com modulação QAM até 33.600 bps.


Capítulo 7

Modulação Delta

Acabamos de falar em terminologia e surge mais uma, que põe a questão novamente em evidência.

A modulação Delta é a codificação de um sinal analógico em uma sequência de bits que podem ser transmitidos de forma serial.

Então é codificação? Ou será modulação? Como já disse, prefiro chamar de "codificação". Como a literatura em geral chama de "modulação", deixei o título assim, mas com

pulga atrás da orelha. Cada bit da codificação Delta indica se amplitude do sinal está crescendo ou

diminuindo com relação à amostragem anterior. Portanto, a codificação Delta utiliza um quantizador de somente dois níveis onde um único bit vai representar o sinal. Como a codificação Delta é um caso particular da codificação PCM diferencial, vou apresentar esta pois a explanação fica mais genérica. O teorema da amostragem, um dos conceitos mais importantes em toda a teoria de comunicações, determina que a menor frequência em que se pode amostrar um sinal s(t), de banda limitada, preservando todas as informações que esse sinal carrega, é o dobro da maior componente de frequência do espectro de s(t). A amostragem não precisa ser periódica, mas, no limite, ou seja, se quisermos amostrar com a menor frequência possível, sim. Vamos supor que a amostragem possui uma período constante, "T" (é o que se faz na prática). Uma vez amostrado, o sinal s(t) se transforma em um sinal discreto no tempo, sa(t). O sinal sa(t) só existe em instantes espaçados de "T" segundos, onde tem o valor exato do sinal s(t), ou seja, sa(t) possui amostras do sinal s(t), tomadas a cada "T" segundos: s(nT) = sa(nT) Podemos dizer, ainda, que:


nTtpara

nTtparatstsa

≠

=

=

0

)()(

Fig. 7.1: Digitalização do sinal de voz

Para transmitir o sinal amostrado através de equipamentos digitais, é preciso transformar cada amostra sa(nT), que é o valor da voltagem no instante "nT", em um número binário, ou seja, é preciso transformar a amostra de "analógico" para "digital". Essa técnica é chamada de PCM ("Pulse Code Modulation"). No processo de conversão para digital, escolhe-se uma quantidade "N" de bits a ser utilizada para codificar a amostra. O valor analógico será aproximado para o valor digital mais próximo, sendo que existe 2N = M possibilidades. A diferença entre o valor do sinal sa(nT) e o sinal representado em binário, é o erro de quantização. Naturalmente, deseja-se que o erro seja tão pequeno ao ponto de não prejudicar a qualidade do sinal quando ele for reproduzido e, ao mesmo tempo, deseja-se que a quantidade de bits utilizada em cada amostra seja a menor possível a fim de diminuir a quantidade de bits a ser transmitida. Por exemplo, o sinal de voz limitado de 300 a 3400 Hz, deve ser amostrado, teoricamente, em pelo menos a 6800 Hz para manter suas características. Na prática utiliza-se a frequência de 8000 Hz, para garantir as variações de filtros e outros circuitos envolvidos. Veja a figura 7.1. O sinal de voz entra em um filtro passa baixo, para cortar as componentes de frequência acima do permitido. O sinal filtrado é amostrado a conevertido para digital. Se, portanto, desejamos transmitir o sinal de voz sob a forma digital, devemos utilizar um canal de dados com a velocidade vt = N.8000.

O quantizador logaritmico também é chamado de compansor pois a codificação corresponde a uma compressão do sinal de entrada, que será expandida na recepção. Vimos até agora dois tipos de quantizadores, o linear e o logaritmico. Podemos representar esse quantizador por um único bloco, veja figura 7.2, que corresponde aos blocos amostrador e conversor A/D da figura 7.1. O sinal de voz s(t), na entrada, é convertido para um sinal digital q(n), com "N" bits por amostra.


DPCM O sinal de voz possui uma componente periódica, envolta em um envelope que varia lentamente com o tempo, cuja forma é determinada pelo tubo do trato vocal humano, e essa propriedade permite estimar a próxima amostra com boa precisão, devido à correlação existente entre uma amostra e a próxima. A codificação DPCM, ou PCM diferencial, explora essa propriedade. Veja, pela figura 10.5, que o codificador DPCM é formado por um quantizador linear e um preditor que estima o valor da próxima amostra. O preditor é um filtro digital. A saida do preditor é subtraida da entrada a fim de se obter somente a diferença, que será codificada e transmitida. Note que o quantizador codifica somente a diferença, que, somada à estimativa anterior, entra no preditor. A decodificação DPCM é a operação inversa. A modulação Delta é um caso particular do DPCM, onde o incremento é sempre constante e igual a um bit.


Conclusões

O último capítulo pode parecer fora de contexto, já que estamos falando de modulação, mas foi incluído pelas seguintes razões:

1) Mostrar a evolução no tratamento dos sinais contínuos sob a

forma de sinais discretos, especialmente na telefonia, com o advento do PCM, tendo em vista que esse fato pode ser considerado uma mudança de paradigma tecnológico;

2) Ressaltar que toda terninologia deve ser perfeitamente compreendida;

3) Mostrar que a transmissão de voz, originalmente sob a forma "analógica", como um sinal contínuo, pode ser feita sob a forma digital e tratado como uma transmissão de dados;

4) Que a modulação QAM passa a ter uma importância global na questão da transmissão da informação e pode ser utilizada para transmissão de voz em canais limitados de diversas naturezas, reforçada ainda pelas codificações de otimização de espectro e redução da taxa de erro, as quais não fizeram parte do escopo deste trabalho.

A visão de todos os tipos de modulação como sendo casos particulares do QAM, demonstra a importância dessa metodologia e facilita o entendimento global da questão da modulação.

Esse fato permite a construção de equipamentos gerais, de ampla aplicação e configurados por software, para atuarem como vários tipos de transmissores e receptores, principalmente após o advento do processamento digital de sinais, que oferece uma plataforma conveniente a esse trabalho, já que os algoritmos, filtros e equalizadores podem ter diversos parâmetros definidos pelo usuário, ou ajustados adaptativamente, e manipulados pelo software.

Técnicas de reconhecimento da intenção do transmissor, coma as que são utilizadas pelos modems mais modernos, chamadas de "sequências de treinamento", podem ser desenvolvidas para identificar o que será transmitido pelo equipamento remoto, além das funções de análise do desempenho do canal, como ocorre atualmente.

Um protocolo de troca de parâmetros, capacidades e recursos pode viabilizar a construção de equipamentos mais versáteis que, observando a aquestão do custo, naturalmente, podem servir a mais de uma aplicação, como trasmissão de voz e dados, dados de automação e áudio, vídeo com parametrização configurável, e assim por diante. fabio de azevedo montoro


Bibliografia [1] Lathi, B.P., Communication Systems, John Wiley & Sons, NY, 1968 [2] Bennett, W.R e Davey, J,R, Data Transmission, McGraw-Hill, NY, 1965 [3] Schwartz, Micha, Information Transmission, Modulation and Noise,

Mcgraw-Hill, NY, 1980 [4] Oppenheim, Alan V. e Shafer, R. W., Digital Signal Processing, Prentice

Hall, New Jersey, 1975 [5] Mueller, Kurt. H e Muller, Markus, Timing Recovery in Digital

Synchronous Data Receivers, IEEE Transactions on Communications vol.COM-24 nº 5 pág 516, maio de 1976

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