mÉtodoanalÍticoparadescriÇÃo deimportantesfeixesÓpticos...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Juliano Carvalho Bento

MÉTODO ANALÍTICO PARA DESCRIÇÃODE IMPORTANTES FEIXES ÓPTICOS

OBSTRUÍDOS E O SPOT DEPOISSON-ARAGO

Campinas

2016

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Juliano Carvalho Bento

MÉTODO ANALÍTICO PARA DESCRIÇÃO DEIMPORTANTES FEIXES ÓPTICOS OBSTRUÍDOS E O

SPOT DE POISSON-ARAGO

Dissertação apresentada à Faculdade de En-genharia Elétrica e de Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas como partedos requisitos exigidos para a obtenção dotítulo de Mestre em Engenharia Elétrica, naÁrea de Telecomunicações e Telemática.

Orientador: Prof. Dr. Michel Zamboni-Rached

Este exemplar corresponde à ver-são final da tese defendida peloaluno Juliano Carvalho Bento, eorientada pelo Prof. Dr. MichelZamboni-Rached

Campinas2016

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaRose Meire da Silva - CRB 8/5974

Bento, Juliano Carvalho, 1983- B446m BenMétodo analítico para descrição de importantes feixes ópticos obstruídos e

o spot de Poisson-Arago / Juliano Carvalho Bento. – Campinas, SP : [s.n.],2016.

BenOrientador: Michel Zamboni Rached. BenDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Elétrica e de Computação.

Ben1. Eletromagnetismo. 2. Difração. 3. Física ótica. 4. Análise de ondas

localizadas. 5. Feixes óticos. I. Zamboni-Rached, Michel,1973-. II. UniversidadeEstadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Analytical method for describing important obstructed opticalbeams and the Poisson-Arago spotPalavras-chave em inglês:ElectromagnetismDiffractionOptical physicsLocalized waves analysisOptical beamsÁrea de concentração: Telecomunicações e TelemáticaTitulação: Mestre em Engenharia ElétricaBanca examinadora:Michel Zamboni Rached [Orientador]Marcos Roberto da Rocha GesualdiCesar José Bonjuani PaganData de defesa: 15-07-2016Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

COMISSÃO JULGADORA – DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Candidato: Juliano Carvalho Bento RA: 024203

Data da Defesa: 15 de julho de 2016

Título da Tese: “Método Analítico para Descrição de Importantes Feixes Ópticos Obstruídos e o Spot de Poisson-Arago”

Prof. Dr. Michel Zamboni Rached (Presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Marcos Roberto da Rocha Gesualdi (UFABC) Prof. Dr. Cesar José Bonjuani Pagan (FEEC/UNICAMP)

A ata da defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

A Jesus, Mestre e Professor de minha vida, e à minha querida e amada Família.

Agradecimentos

Pode parecer insólito um agradecimento a Deus numa dissertação em que se pro-movem hipóteses e novas contribuições ao mundo científico. Tendemos a possuir umacompartimentação do “eu que acredita em algo” daquele “eu que raciocina”, como se fôs-semos duas pessoas distintas. Apesar disso, gostaria de agradecer a Deus. Porém, realizaristo de forma insciente seria quase agradecer a um corpo de paradoxos de significados, ouainda a deuses pessoais (que Albert Einstein tanto combatia), que seria impossível defi-nir o que realmente estou gratulando. De modo a compreender tal significado, gostariade trazer parte do capítulo Ecce Deus do livro “Crônicas e Entrevistas”, do jornalistae educador Paiva Netto, a quem aproveito também para agradecer por ser esse grandeprofessor de toda minha vida, me ensinando, dentre as muitas lições, que “O Universo deDeus é a mais bela partitura musical jamais criada”...

Afirma o autor:

(...) Friedrich Nietzsche (1844-1900), filósofo e discutido autor de EcceHomo! (Eis o Homem!), Assim falava Zaratustra, entre outros trabalhos atéhoje instigantes, concluiu que Deus havia morrido... Muita gente ficou indig-nada com sua afirmativa. Porém, sabendo ou não, o velho Frederico valen-temente combatia o deus antropomórfico, criado à imagem e semelhança doHomem aturdido: o deus que persegue, se vinga e mata, o deus sem sensoalgum. Esse, Nietzsche tem toda a razão, está morto. Aliás, nunca existiu. Porisso, é chegada a hora de universalmente — porquanto, com atitude antifa-nática e/ou antipreconceituosa — aprimorarmos o nosso conhecimento sobreDeus, qualquer que seja a Sua verdadeira Essência.

[...]Para os que preferem pesquisá-Lo por efeito de análise racional, certamente

o farão de forma aliada ao indispensável antidogmatismo científico e, ipsofacto, libertos das restrições à convenção de leis consideradas cláusula pétreano campo luminoso da Ciência, o que não se pode conceber numa regiãodo intelecto em que a curiosidade sadia, pois isenta, é mola mestra de suasmagníficas realizações. Para os que já crêem Nele, de todo o sempre, o DeusDivino permanece. Está vivo, é como o moto-contínuo a transmutar energia etrabalho na intimidade humana. É eterno, mais do que uma individualidade,mais do que uma equação divinal... É um Poder de Amor, do sentimento quemove os mundos, na exclamação de Dante Alighieri (1265-1321), na DivinaComédia. [...]

E continua o autor:

[...] No debate que se instala na rejeição ou na defesa da idéia do Cria-dor, os Seus negadores “provocam” o Ser Humano religioso perseverante, masacomodado à visão prosaica, mesmo de assuntos sublimes. E, assim, o leva,pretendendo ou não, a caminhar para o juízo de que Deus é muito mais do quese pensa, até alcançar que a Grande Missão de Jesus e de tantos extraordiná-rios pregoeiros foi proclamar que o Mistério de Deus revelado é simplesmenteo Amor, de que toda a Humanidade carece, sabendo ou não, querendo ou nãoquerendo. Amar de verdade é a mais eficiente Política. [...]

Ainda a respeito da divindade, Paiva Netto escreve em seu artigo “Deus é Ciência”,publicado no Jornal “O Sul”, edição de 14 de janeiro de 2008, o seguinte pensamento:

O que vem de Deus é Ciência. Há tempos, comentamos que todos os ra-mos do saber universal compõem a Ciência Divina. Conforme estudaremosem outra oportunidade, Religião é Ciência, Ciência é Religião. Ambas devemhonrar a Ciência Moral, que tem pelas criaturas o mais elevado respeito, nãoas considerando instrumento para fanatização nem reles cobaias. O pensa-mento quando altamente sectário pode sustentar rancores que ensombreçamos olhos da alma de geniais cerebrações. Aliadas, muito além poderiam fazerpelos povos sequiosos de um mundo melhor. É fundamental afastar o tabu deque a fé religiosa esteja restrita aos tolos e radicais e a Ciência seja abrigoapenas dos que possuem intelecto aguçado, conquanto, de preferência, distan-tes do sentimento que liga a Razão ao Espírito imortal. Convém ressaltar queRacionalidade em demasia, sem o amparo do coração, promove, por exemplo,soluções econômicas que a uns privilegiam e aos demais destroem.

Em Reflexões e Pensamentos — Dialética da Boa Vontade (1987), sempretender dar uma de conselheiro Acácio (risos), escrevi: Muita aberraçãocatalogada na História como de autoria do Criador do Universo nada mais édo que projeções do deus antropomorfo, gerado pelo homem para satisfazeraos seus proveitos. São, portanto, as próprias deficiências humanas alçadas àcondição de divindade. [...]

Enfim, agradeço a Deus — Leis Naturais que regem o cosmos (como propunhaBaruch de Espinoza (1632—1677)) aliadas ao princípio do Amor Fraterno (termo queainda necessitamos de muito estudo e pesquisa para compreendê-lo em toda sua magni-tude), personificado, ao meu ver, no Novo Mandamento de Jesus: “Amai-vos como Eu vosamei1”.1 Evangelho de Jesus segundo João, 13:34.

Aproveito o momento para também agradecer a meu pai, Azarias, à minha mãe,Rosa Maria, e à minha irmã, Milena, que sempre estiveram presentes no apoio constantepara que eu estudasse, me fornecendo não só todo o amparo material necessário, mas, prin-cipalmente, me proporcionando todo o carinho e amor para hoje eu estar aqui; à minhacompanheira de jornada, Nataly, que me ajudou a tomar as grandes decisões transforma-doras de minha vida incluindo esta; à todos os meus grandes e verdadeiros amigos que,embora sejam poucos, sinto receio de me esquecer de citá-los nesse momento; à Marianade Assis, grande amiga dos tempos de graduação, sempre apta a me ouvir e disposta ame auxiliar em minha vida acadêmica; à Grazielle, Roger e Matheus, amigos do mestradodoando tempo e compartilhando vivências; à Patrícia Calicchio, minha coordenadora, quesempre me auxiliou em todos os momentos precisos para que eu conseguisse terminar esteprojeto; à diretora do Instituto de Educação José de Paiva Netto (IEJPN), Suelí Peri-otto; aos professores e alunos do IEJPN; à Danielle, amiga que me ajudou na revisão doscapítulos iniciais deste material; ao meu orientador, Michel, que gastou muito tempo eesforço tentando me instruir; e, por fim, a todos que, de alguma forma, num sorriso ounum gesto de amizade me fizeram ganhar o dia.

Resumo

Através do estudo de ondas não difrativas e da equação de onda para o caso escalar,mostramos algumas de suas possíveis soluções, bem como obtemos uma descriçãopara importantes feixes ópticos truncados por uma abertura finita. Para isso, utili-zamos a equação de onda na aproximação paraxial junto à Integral de Difração deFresnel, aliado ao método analítico proposto por Zamboni et al. Em seguida, esten-demos esse método para o caso vetorial, a fim de descrever feixes eletromagnéticosde maneira mais completa. Estudamos o caso dos feixes truncados cujas polariza-ções são dadas por uma componente transversal (cartesiana) e uma longitudinal. Ométodo escalar é então usado em conjunto com as equações de Maxwell, fornecendoo campo elétrico e magnético emanados da abertura finita usada para truncar ofeixe incidente. Na sequência, associamos o Princípio e Babinet ao método analíticoestendido referido anteriormente e, com isso, obtemos um novo método capaz dedescrever analiticamente o comportamento de importantes feixes ópticos quandoobstruídos por obstáculos circulares. Com essa formulação, importantes pontos po-dem ser descritos e confirmados, em particular, a formação do Spot de Poisson-Aragopara feixes ordinários (como a Onda Plana e o Feixe Gaussiano) e também a autorre-construção dos feixes não difrativos (Feixe de Bessel e de Bessel-Gauss). Realizamos,por fim, um estudo do comportamento do vetor de Poynting do campo em questãoapós a obstrução, bem como a distribuição de energia do feixe obstruído.

Palavras-chaves: Eletromagnetismo; Óptica; Difração.

AbstractBased on studies of nondiffracting waves, in this paper we demonstrate possiblesolutions for the wave equation for the scalar case and also get a description for im-portant optical beams truncated by a finite aperture. In order to obtain the desiredresults, we join the wave equation in paraxial approximation with the DiffractionFresnel Integral and couple both with the analytical method proposed by Zam-boni et al. Then, we extend the method to the vector analysis to fully describethe electromagnetic beams. We studied the case of truncated beams with polariza-tions given by a transverse (cartesian) and a longitudinal coordinate. The scalarmethod is then used in association with Maxwell’s equations providing the electricand magnetic field emanated from a finite aperture in order to truncate the incidentbeam. Following, we associate the Babinet Principle to again extend the analyticalmethod mentioned above and thereby obtain a new method to analytically describethe behavior of important optical beams when obstructed by circular obstacles. Rel-evant points can be described and confirmed from this, in particular the formationof Spot Poisson-Arago for ordinary beams (such as the Plane Wave and the Gaus-sian Beam) and also the self-reconstruction of nondiffracting beams (Bessel Beamand Bessel-Gauss beam). Finally, we obtained the Poynting vector’s componentsfrom the truncated and obstructed field, and then the distribution of energy of theobstructed beam was analyzed.

Keywords: Electromagnetism; Optics; Diffraction.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Imagem extraída do primeiro artigo de Durnin de 1987 buscando umasolução exata para feixes não difrativos, por meio de uma teoria escalar.No caso específico, observamos o feixe de Bessel conseguindo mantersua intensidade por alguns metros [DURNIN, 1987]. . . . . . . . . . . . 24

Figura 2 – Método atual de obtenção do spot de Poisson-Arago demonstrado pelaUniversidade de Berkeley [BERKELEY, 2016]. No esquema apresen-tado, um laser monocromático He-Ne é expandido por uma lente de 4polegadas, atingindo um pequeno objeto esférico preso a uma lâminade vidro. A imagem é então expandida por uma lente de 10 polegadase projetada em uma tela. Note que a necessidade de colocação de len-tes de ampliação nos aparatos experimentais atuais se deve ao fato doSpot necessitar, muitas vezes, de uma distância muito grande para serobservado em feixes comuns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 3 – Vetores de onda em diferentes direções formando um envelope gaussiano. 30Figura 4 – Gráfico 3D do módulo ao quadrado da parte real do feixe gaussiano de

𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezes o comprimentode onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 5 – Vetores de onda sob a superfície de um cone. . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 6 – Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na transversal da parte

real ao quadrado do feixe gaussiano de 𝜆 = 632, 8 · 10−9𝑚 com um 𝑟𝑜

na ordem de 100 vezes o comprimento de onda. Pode-se notar o motivode não se incluir o feixe gaussiano na classe de ondas localizadas, vistoque sua propagação na transversal se desvanece muito rapidamente. . . 34

Figura 7 – Gráfico 3D do módulo ao quadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 =600 · 10−9𝑚. Pode-se notar que o feixe não sofre difração. . . . . . . . 35

Figura 8 – Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na frontal do módulo aoquadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 = 600 · 10−9 𝑚. . . . . . . . . . 36

Figura 9 – Apresentação o campo fornecido pela equação (4.39) com alta fidelidadeao FB truncado no plano 𝑧 = 0. Sendo: 𝑘𝜌 = 4, 07 · 104 𝑚−1; 𝑅 =3, 5 𝑚𝑚; 𝑞 = 0; 𝐿 = 3𝑅2; 𝑞𝑅 = 6/𝐿 e 𝑁 = 23. [ZAMBONI-RACHEDet al., 2012b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 10 –Projeção ortogonal da intensidade mostrada na Figura (11). [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 11 – Intensidade do campo de Bessel truncado por uma abertura finita, comofornecido na solução de (4.35). [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b] . . 47

Figura 12 –Oscilações da intensidade do campo no eixo z, quando adotado 𝑁 =500. [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b] . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 13 –Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.4)para o caso da Onda Plana obstruída em 𝑧 = 0 (𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚,𝑁 = 300, 𝑅 = 1 · 10−3 𝑚, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 0, 𝐿 = 6𝑅2 e 𝑞𝑅 = 8

𝐿). . . . . . 51

Figura 14 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com𝜌 = 0 para o caso da Onda Plana obstruída. . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 15 –Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no casoda Onda Plana obstruída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 16 –Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig.15. Note o Spotde Poisson-Arago sendo formado a poucos centímetros do obstáculo nocaso da Onda Plana obstruída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 17 –Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.6)para o caso do Feixe de Bessel obstruído em 𝑧 = 0, onde se observaexatamente a região de obstrução (𝜆 = 632, 8 · 10−9, 𝑁 = 500, 𝑅 =0, 2 · 10−3 𝑚, 𝐿 = 3𝑅2, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, 𝑞𝑅 = 6

𝐿e 𝜃 = 0, 0041). . . . 54

Figura 18 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com𝜌 = 0 para o caso do Feixe de Bessel obstruído. . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 19 –Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo parao caso do Feixe de Bessel obstruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 20 –Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 19 para o casodo Feixe de Bessel obstruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 21 –Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.8)para o caso do Feixe de Bessel-Gauss obstruído em 𝑧 = 0, onde seobserva exatamente a região de obstrução (𝜆 = 632, 8 ·10−9 𝑚, 𝑁 = 30,𝑅 = 5Δ𝜌𝐵, 𝐿 = 10𝑅2, 𝜃 = 0, 0021, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐵 = 2.4

𝑘𝜌,

Δ𝜌𝐺 = 40Δ𝜌𝐵 e 𝑞𝑅 = 12Δ𝜌2

𝐺). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 22 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com𝜌 = 0 para o caso do Feixe de Bessel-Gauss obstruído. . . . . . . . . . 57

Figura 23 –Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no casodo Feixe Bessel-Gauss obstruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 24 –Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 23 para o casodo Feixe de Bessel-Gauss obstruído. As partes em branco ocorrem poruma limitação do software Matlab que acaba por fornecer alguns valoresnulos para o argumento da função, mediante os parâmetros escolhidos(geralmente relacionados ao número de termos). . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 25 –Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.10(𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041,𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8

𝐿).) para o caso do Feixe

Gaussiano obstruído em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a região deobstrução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 26 – Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com𝜌 = 0 para o caso do Feixe Gaussiano obstruído. . . . . . . . . . . . . 60

Figura 27 –Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no casodo Feixe Gaussiano obstruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 28 –Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 27 para o casodo Feixe Gaussiano obstruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 29 –Projeção ortogonal do [10 · log10 |𝐸𝑦|2] de um FG obstruído. Dados:𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆,

𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8𝐿

. Podemos notar a formação doSpot de Poisson-Arago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 30 –Projeção ortogonal do [10 · log10 |𝐸𝑧|2] de um FG obstruído. Dados:𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆,

𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8𝐿

. Podemos notar a formação do“Anel de Poisson” ao invés do Spot de Poisson-Arago. . . . . . . . . . . 65

Figura 31 –Projeção ortogonal do [10 · log10 |𝑆𝜌] de um Feixe Gaussiano Obstruídopara 𝜑 = 0. Dados: 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2,𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8

𝐿. . . . . . . . . 71

Figura 32 –Funções de Bessel 𝐽0, 𝐽1 e 𝐽2 com aplitude inicial ±1 e depois caindoassintoticamente com 𝑥−1/2 [ARFKEN; H, 2007]) . . . . . . . . . . . . 82

“(...) o Universo perspectiva um colossal poema em louvor à ação e à beleza (...)”Paiva Netto

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Princípios Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Breve contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 A difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 “Ondas não difrativas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Dispersão e Atenuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Ondas Localizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 O Spot de Poisson-Arago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Soluções para alguns Importantes Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 As Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 A Equação de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Soluções para Equação de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Feixe Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Feixe de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Feixes Gerados por Aberturas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1 A Equação de Onda na aproximação paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 A Integral de Difração de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Soluções para a Integral de Difração de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Solução Feixe Gaussiano (sem truncamento) . . . . . . . . . . . . . 424.3.2 Solução Feixe Bessel (sem truncamento) . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.3 Solução Feixe Bessel-Gauss (sem truncamento) . . . . . . . . . . . . 42

4.4 O Método Analítico (soluções analíticas com truncamento) . . . . . . . . . 434.4.1 A função 𝐺(𝑟) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.2 Conclusão do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.3 Aplicação do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Descrição Analítica de Importantes Feixes Obstruídos por Obstáculos Cir-culares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1 O Princípio de Babinet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Onda Plana obstruída por elemento circular finito . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 Feixe de Bessel obstruído por elemento circular finito . . . . . . . . . . . . 535.4 Feixe de Bessel-Gauss obstruído por elemento circular finito . . . . . . . . 565.5 Feixe Gaussiano obstruído por elemento circular finito . . . . . . . . . . . . 59

6 Versão Vetorial do Método e Padrões de Distribuição de Energia . . . . . . 626.1 Vetor Campo Elétrico e Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2 Cálculo das componentes do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Cálculo das componentes do Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . 666.4 O Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5 Cálculo das xomponentes do Vetor de Poynting Médio . . . . . . . . . . . 69

6.5.1 𝑆𝜌 para o FG obstruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Anexos 76

ANEXO A Solução da Equação de Onda – Onda Plana . . . . . . . . . . . . 77

ANEXO B Fundamentos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79B.1 Análise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B.1.1 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79B.1.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.1.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.2 A Transformada de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81B.3 Função de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.3.1 Algumas propriedades da Função de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 83

17

1 Introdução

A notável revolução propiciada pelas Equações de Maxwell, não só no campo doEletromagnetismo, mas na óptica, no desenvolvimento da física relativística, na com-preensão dos mais diversos fenômenos da mecânica quântica e na própria estrutura damatéria, impactou de tal forma a ciência, que levou Albert Einstein em ensaio intituladoA influência de Maxwell sobre a evolução da realidade física a concluir que:

“Esta mudança na concepção de realidade [proporcionada pelos trabalhosde Maxwell] representa a mais radical e mais frutífera revolução para a físicadesde Newton [EINSTEIN, 1931 (2015)]”.

A obtenção da equação de onda eletromagnética a partir dessas formulações, criounovos desenvolvimentos dentro da óptica ondulatória e inaugurou um novo ramo de estudoverificado na óptica eletromagnética e na óptica física. Algumas soluções para essa equaçãosão relativamente simples de se obter, como o caso da Onda Plana1 e da Onda Esférica.Já outras necessitam de um pouco mais de álgebra, como o Feixe Gaussiano2 e o Feixede Bessel3 – uma solução exata e não difrativa da equação de onda. Entretanto, soluçõesgerais, exatas e simples são muito raras de se alcançar.

Com isso, desenvolver uma descrição analítica para propagação de feixes de onda(ou feixes ópticos, mais especificamente) tende a ser uma tarefa complexa e praticamenteimpossível em alguns casos. Como afirma Zamboni et al., “(...) por conta das dificuldadesmatemáticas encontradas quando se procura soluções exatas, frequentemente a descriçãoanalítica é obtida por meios aproximativos, sendo que, na maioria das vezes, deve-serecorrer a soluções numéricas de equações de propagação (diferenciais ou integrais) emsuas formas exatas ou aproximadas [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]’.

Uma dessas aproximações, tanto no caso numérico como no analítico, é a para-xial4. Por meio desse cálculo, conseguimos obter a bem conhecida Integral de Difração deFresnel5. Todavia, embora existam soluções analíticas para essa integral, estas são escas-sas, fazendo-se necessário ainda recorrer a soluções numéricas. O processo se torna aindamais intricado ao se tentar obter a descrição de feixes gerados por uma abertura finita,ou seja, truncados no espaço.1 Vide Anexo A.2 Vide Seção 3.4.3 Vide Seção 3.5.4 Vide Seção 4.1.5 Obtida na Seção 4.2.

Capítulo 1. Introdução 18

Buscando solucionar esse impasse, surge o método analítico proposto por Zamboniet al.6, que de forma eficaz, consegue descrever alguns feixes ordinários e não difrativos.

Com o objetivo de ampliar e evidenciar a importância desse método, pensamos emavaliar sua eficácia ao ser aplicado a feixes obstruídos por uma abertura circular, comouma proposta interessante para iniciarmos este projeto.

A motivação para esse desenvolvimento específico se deu pela análise do artigoEnergy flow lines and the spot of Poisson–Arago [GONDRAN; GONDRAN, 2010], emque os autores propuseram solucionar a sugestão da Academia Francesa de Ciências em1818, em relação ao fenômeno difrativo, deduzindo matematicamente os movimentos dosraios durante a sua passagem perto dos corpos. Para isso, os autores se utilizaram delinhas de fluxo de potência num disco opaco, criando o Spot de Poisson-Arago por meiode simulação numérica.

Num primeiro momento, pensamos em aplicar o método a fim de se obter umasolução analítica para a pesquisa desenvolvida por Gondran, comparando posteriormenteos resultados. Contudo, depois de uma leitura atenta do citado artigo, verificamos que otipo de feixe escolhido pelos autores para o desenvolvimento do trabalho não satisfazia asequações de Maxwell (além de alguns outros problemas verificados), o que impossibilitoua utilização de seus resultados numéricos.

No entanto, a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários e a autorre-construção para feixes não difrativos nos pareceu um desenvolvimento muito interessante.Assim, parte dessa dissertação7 é voltada para o correto desenvolvimento dessa ideia.

Além disso, optamos por ampliar esse estudo desenvolvendo o método escalar parao caso vetorial tanto para o feixe truncado quanto obstruído. Somente esse desenvolvi-mento rendeu boa parte do tempo e esforço gasto nesse projeto. Com estas componentesvetoriais dos campos elétrico e magnético obtidas, nos pareceu razoável realizar uma dis-tribuição de energia do feixe obstruído através da obtenção das componentes do vetor dePoynting médio. Por fim, verificamos a eficácia das imensas equações geradas, buscandouma componente do vetor de Poynting, a fim de observar o notório Spot de Poisson-Arago.

1.1 ObjetivosAtravés da teoria da difração largamente desenvolvida, averiguado o princípio de

Huygens-Fresnel, utilizaremo-nos do estudo da propagação de feixes ordinários e de certos6 Quando citarmos no texto corrido “método analítico”, ”método escalar”, “o método de Zamboni

et al.” ou alguma variação próxima dessas construções, estamos nos referindo ao método propostono artigo [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b], evitando a necessidade de o referenciarmos a todoinstante.

7 Acesse <julianobento.com> para erratas, complementos e comentários sobre essa dissertação. Utilizeo próprio site para entrar em contato com o autor.

http://julianobento.com


feixes não difrativos bem conhecidos, a fim de:

1. Por meio da Equação de Onda Eletromagnética, propiciar a solução para o FeixeGaussiano e do Feixe de Bessel;

2. Apresentar um estudo sobre a aproximação paraxial, obtendo a Integral de Difraçãode Fresnel;

3. Apresentar o método analítico de Zamboni et al., aplicando-o para o caso do Feixede Bessel;

4. Ampliar o método analítico para o caso de um feixe obstruído por obstáculos circu-lares por intermédio do Princípio de Babinet;

5. Verificar a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários;

6. Verificar a autorreconstrução para feixes não difrativos;

7. Estender todo o estudo de feixes truncados e obstruídos para o caso vetorial;

8. Analisar a distribuição de energia através da obtenção de todas as componentescartesianas do vetor de Poynting médio.

1.2 OrganizaçãoApós propiciar uma contextualização dos temas aqui propostos (Cap. 2), focare-

mos no estudo da equação de onda, buscando algumas importantes soluções não difrativase ordinárias da mesma (Cap. 3). A seguir, passaremos para o estudo de feixes ópticostruncados por uma abertura finita, utilizando a equação de onda na aproximação para-xial e a Integral de Difração de Fresnel. Na sequência, apresentamos o método analítico[ZAMBONI-RACHED et al., 2012b], bem como sua aplicação (Cap. 4).

E então, associamos o Princípio e Babinet ao método analítico estendido supraci-tado e, com isso, obtemos um novo método capaz de descrever analiticamente o compor-tamento de importantes feixes ópticos quando obstruídos por obstáculos circulares (Cap.5).

Com essa formulação, importantes pontos podem ser descritos e confirmados, emparticular a formação do Spot de Poisson-Arago para feixes ordinários (como a ondaplana e o feixe gaussiano) e também a autorreconstrução dos feixes não difrativos (Feixede Bessel e de Bessel-Gauss). Ainda neste ponto, a partir das soluções analíticas obtidas,fazemos um estudo do comportamento do vetor de Poynting do campo em questão após aobstrução, obtendo figuras muito esclarecedoras e informativas sobre o processo difrativo


envolvido com o Spot de Poisson-Arago (para feixes usuais) e com a autorreconstrução(para feixes não difrativos).

Em seguida, estendemos o método para o caso vetorial, a fim de descrever feixeseletromagnéticos de maneira mais completa. Estudamos o caso dos feixes truncados cujaspolarizações são dadas por uma componente transversal (cartesiana) e uma longitudinal.O método escalar é então usado em conjunto com as equações de Maxwell, fornecendoos campos elétrico e magnético emanados da abertura finita usada para truncar o feixeincidente (Cap. 6).

Por fim, a última parte focará na distribuição de energia do feixe obstruído. Uti-lizamos para esse intento, e, durante todo o projeto, o software MathWorks - MATLABand Simulink for Technical Computing R○ como ferramenta de simulação e obtenção deresultados numéricos e analíticos.

21

2 Princípios Teóricos

A fim de aprimorar a compreensão dos desenvolvimentos expostos nessa disser-tação, contextualizaremos e definiremos alguns dos principais temas recorrentes nesseprojeto.

2.1 Breve contexto históricoA luz sempre foi objeto de grande fascínio por parte dos filósofos naturais. Sua

natureza tem sido estudada e debatida desde a Grécia antiga. Embora diversas expli-cações para seu fundamento tenham surgido, duas principais correntes de pensamentoprevaleceram: a luz seria composta por partículas ou por ondas. Leucipo (Indef.—século5a a.C) e Demócrito (460 a.C.—370 a.C.), com sua escola atomista, definiram a luz comoum sistema corpuscular. Já Aristóteles (384 a.C.—322 a.C.) foi quem primeiro assumiu aluz como uma onda [CARVALHO, 2005].

Somente séculos mais tarde, estudos significativos foram realizados por Leonardoda Vinci (1452—1519) sobre a luz e seus efeitos [ASSIS, 2013], seguido de pesquisas1 dopadre jesuíta italiano Francesco Maria Grimaldi (1618—1663). Nesse caso, por meio deum aparato experimental, o clérigo observou que a luz ao incidir num obstáculo formavapadrões luminosos que oscilavam entre claros e escuros, ou diffringere (do latim “quebrarem pedaços” [STEVENSON; WAITE, 2011]), fazendo surgir o termo usual “difração”.Esse fenômeno fortaleceu a teoria ondulatória da luz que, por sua vez, começava a seestabelecer como a mais correta [JONATHAN; RENNIE, 2015].

Após algumas décadas, trazendo ainda mais destaque ao caráter ondulatório daluz, o físico matemático e astrônomo Christiaan Huygens (1629—1695) propôs2 que cadaponto de um distúrbio ocasionado por uma frente de onda criaria uma fonte secundária dedistúrbio esférico construindo uma envoltória (envelope) [GOODMAN, 1996]. Huygens,assim, estabalecia uma teoria ondulatória que verificava, dentre outros pontos, a reflexão,refração e difração da luz. Importante salientar que, para o físico, esta propagação seprocessava no éter. “(...) Estava [este] para a luz como as ondas estavam para o mar[STEWART, 2012]”.

Entretanto, a defesa da teoria corpuscular luminosa proposta por Sir Isaac Newton3

1 Publicadas em livro póstumo Physicomathesis de Lumine, Coloribus et Iride (Tese Psicossomáticada Luz, Cores e Arco-íris); Bolonha, 1665.

2 Livro Traité de la lumière (Tratado sobre a luz); apresentada à Académie royale des sciences, 1678.Publicado em 1690.

3 Livro Opticks; Londres, 1704.

Capítulo 2. Princípios Teóricos 22

(1643—1727), alçada por sua imensa fama, se estabeleceu como um consenso na recentefísica clássica durante praticamente todo século 18.

Com isso, as pesquisas que defendiam a luz como onda praticamente se estagnaram,até que o físico inglês Thomas Young (1773—1829), em 1804, em seu célebre experimentodas duas fendas, trouxe o conceito de interferência, ocasionando certo desconforto no meiocientífico. Isso porque, a partir de dados de experimentos do próprio propositor da Leida Gravitação Universal, conseguia explicar diversos fenômenos antes verificados somentevia partículas (como, por exemplo, os “Anéis de Newton”).

Diante dessas descobertas, Augustin-Jean Fresnel (1788—1827), unificando o prin-cípio de Huygens com o da interferência de Young e propondo a distribuição da luz empadrões difrativos, estabelecia toda uma teoria ondulatória muito bem fundamentada.Apresentando seu trabalho para a Academia Francesa de Ciências que criara em 1818uma competição para definir a natureza da luz, recebeu resistência de Siméon Denis Pois-son (1781—1840), um de seus membros julgadores e defensor da teoria corpuscular deNewton para a luz. O cientista argumentava que, caso a teoria de Fresnel estivesse cor-reta, haveria um ponto brilhante no centro da sombra de um disco opaco iluminado, algoque em um primeiro momento parecia impossível de proceder.

Para resolver o embate, Dominique François Jean Arago (1786—1853), presidentedeste comitê, realizando posteriormente um experimento para analisar a proposta dePoisson, verificou a existência do mesmo, ao que hoje se conhece como Ponto Brilhante deFresnel, “Mancha” de Arago/Poisson, ou, como definiremos aqui, Spot4 Poisson-Arago.

Anos mais tarde, se utilizando dos trabalhos de Fresnel e dos estudos de MichaelFaraday (1791—1867) — que observou os efeitos do campo magnético na propagaçãoda luz em algumas substâncias —, Heinrich Hertz (1857—1894) — que demonstrou aexistência de Ondas Eletromagnéticas —, Pyotr Lebedev (1866—1912) — que mediua pressão da Luz — e de trabalhos de alguns outros importantes físicos, James ClerkMaxwell (1831—1879) unificava a Eletricidade ao Magnetismo por meio de suas equações[AKHMANOV; NIKITIN, 1997].

Um dos primeiros argumentos a favor da natureza eletromagnética da luz foi acoincidência da velocidade das ondas eletromagnéticas calculada por Maxwell com a ve-locidade da luz medida em 1849 por Armand Fizeau (1819—1896). Em 1857, WilhelmWeber (1804—1891) e Friedrich Kohlrausch (1840—1910) mediram a constante eletromag-nética c, igual à razão das unidades de carga eletromagnética e eletrostática, e obtiveramum valor muito próximo ao de Fizeau, o que possibilitou a Maxwell sugerir que a luz era4 Utilizaremos a palavra inglesa Spot ao invés de “ponto” para fugir da interpretação euclidiana usual

que o termo carrega, visto que em experimentação o que se observa seria uma espécie de “macha”bem definida ou até mesmo um pequeno disco, algo que imaginamos que o termo Spot conseguirámelhor representar.


uma onda eletromagnética [KRAPAS, 2011]:

“Esta velocidade [de propagação da perturbação magnética] é tão próximaà da luz que parece que temos uma forte razão para concluir que a próprialuz (incluindo o calor radiante e outras formas de radiações, se houver) é umdistúrbio eletromagnético na forma de ondas propagadas através do campoeletromagnético, de acordo com leis eletromagnéticas [MAXWELL, 1952]”

Em 1882, Gustav Kirchhoff (1824—1887) e Arnold Sommerfeld (1868—1951) de-senvolveram cada um, individualmente, um estudo e aprimoramento matemático do Prin-cípio de Huygens [STRATTON; CHU, 1939]. Através desses trabalhos, diversos avançossurgiram não só no campo da física, bem como junto das ciências aplicadas [ASSIS, 2013].

Todavia, a maior revolução sobre a real natureza da luz ainda estava por vir.No começo do século 19, Max Planck (1858—1947), estudando o problema da radiaçãode um corpo negro, sugeriu que a energia transportada por ondas eletromagnéticas sópodia ser liberada por meio de “pacotes” (quanta) de energia. Em 1905, Albert Einstein(1879—1955) através do Efeito Fotoelétrico, mostrou que a luz se portava como um feixede partículas com energia quantizada, cunhando-se posteriormente o termo “fótons”. Em1924, Louis de Broglie (1892—1987), diante dos resultados que a então recente físicaquântica desenvolvia, propôs que elétrons, dependendo do experimento, se portavam comoonda e partícula. Ao aplicar o mesmo conceito para fótons, verificou-se, por fim, a chamadadualidade onda-partícula da luz [EISBERG; RESNICK, 1979].

2.2 A difraçãoPodemos, assim, definir que a difração é “(...) um fenômeno inevitável, que afeta

ondas bi ou tridimensionais que viajam em um meio não guiado. Pulsos e feixes5 ar-bitrários contém componentes de ondas planas que se propagam em direções diferentes,causando um aumento progressivo na sua largura espacial ao longo de sua propagação[ZAMBONI-RACHED et al., 2008]”.

Seu estudo foi amplamente desenvolvido, visto que, com avanços nas técnicas degeração de ondas de rádio em altas frequências [UMTSEV, 2014], novas áreas nas ciênciasaplicadas surgiram e a difração passou de um fenômeno curioso para um problema efetivo.Embora tenhamos meios de amenizar os efeitos da difração em ondas não guiadas, o idealseria evitar a abertura espacial na transversal diretamente no feixe ou pulso durante suapropagação.5 Definindo de maneira simples, um feixe possui frequência fixa, enquanto o pulso possui multiplas

frequências associadas.


2.3 “Ondas não difrativas”Em 1940, Stratton [STRATTON; CHU, 1939] resgatou a solução do Feixe de Bes-

sel, que é uma onda imune aos efeitos da difração. Cunhou-se, assim, o termo ondasnão difrativas6. Contudo, o feixe não difrativo proposto (feixe de Bessel ideal), embora

Figura 1: Imagem extraída do primeiro artigo de Durnin de 1987 buscando uma soluçãoexata para feixes não difrativos, por meio de uma teoria escalar. No caso específico, obser-vamos o feixe de Bessel conseguindo manter sua intensidade por alguns metros [DURNIN,1987].

conseguisse se propagar na longitudinal de maneira intacta, possuía um fluxo de potênciainfinito. Para contornar o problema, tentou-se multiplicá-lo por uma função degrau queacompanhava o feixe, todavia posteriormente percebeu-se que comprometia as condiçõesde contorno. Diante desse impasse, o interesse por esse tipo de onda diminuiu considera-velmente.

A busca por essa classe de feixes e pulsos somente ressurgiu nos anos 1980 com apublicação dos resultados de um novo experimento realizado por Durnin et al. [DURNIN et6 É importante salientar que embora o nome dessa classe de feixes seja não difrativo, a difração con-

tinua ocorrendo, entretanto de forma suavizada. Uma total não difração só ocorre em feixes ideaisteóricos como no caso da onda plana, pois sua componente transversal é infinita, podendo somente serobservada de forma aproximada no trato de ondas eletromagnéticas em situações limites, advindasde regiões muito distantes.


al., 1988]. Sua pesquisa utilizou feixes de Bessel que, quando truncados, percorriam umadistância vinte oito vezes maior que os feixes gaussianos [ASSIS, 2013], mantendo sualocalização transversal praticamente intacta, ou seja, atenuando de forma muito eficienteà difração (vide Fig. 1). Já os pulsos não difrativos foram obtidos, posteriormente, comos trabalhos de Brittingam e Kiselev [ZAMBONI-RACHED et al., 2008].

2.4 Dispersão e AtenuaçãoCom o tempo, se percebeu que se poderia generalizar o conceito de ondas não

difrativas para também resistirem à dispersão, algo que ocorre “devido à dependênciado índice de refração com a frequência: por conseguinte, cada componente espectral deum pulso propaga-se com uma velocidade de fase diferente, de modo que um pulso eletro-magnético irá sofrer um aumento progressivo na largura temporal ao longo da propagação[ZAMBONI-RACHED et al., 2008]”. Ou seja, é um análogo temporal da difração. O efeitodisso seria um pulso começar a abrir, não na transversal, mas na longitudinal.

Entretanto, feixes e pulsos não difrativos e não dispersivos, ao mesmo tempo, nãosão simples de se obter. Um pulso dispersivo possui ondas em diferentes frequências, ecada uma se propaga com uma velocidade de fase própria. Uma primeira forma de secontornar isso seria realizar um acoplamento espaço-temporal específico no espectro dessepulso. Outra forma seria utilizando pulsos de Airy [SIVILOGLOU et al., 2007].

Além da dispersão em meios materiais, ainda existe o fenômeno da atenuação,emque o meio absorve e retira energia da onda. Assim, se generalizou o estudo de forma ase obter feixes resistentes também esse efeito.

2.5 Ondas LocalizadasPor conta disso, o termo “não difrativo”, quando em meios materiais, se torna

incompleto, optando-se por chamá-las de Ondas Localizadas.

Por fim, sua definição geral hoje pode ser compreendida como feixes que resistemaos efeitos da difração e atenuação por longas distâncias e pulsos resistentes (por longasdistâncias) aos efeitos da difração e dispersão. Recentemente, nosso grupo demonstrou queé possível se obter pulsos resistentes aos três efeitos concomitantes: difração, dispersão eatenuação. Diversas aplicações surgiram, como Pinças Ópticas, Comunicações Ópticas doEspaço Livre (FSO), dentre outras.


2.6 O Spot de Poisson-AragoPodemos definir o Spot de Poisson-Arago (através dos feixes ordinários) como uma

mancha luminosa que surge na sombra de um disco, ou objeto esférico (ambos opacos),quando se incide um feixe luminoso sobre o mesmo. Conforme verificamos, sua compro-vação foi um grande episódio na história da ciência, evidenciando a natureza ondulatóriada luz. Embora tenha sido proposto em 1818, Arago verificou que 100 anos antes, essefenômeno já era observado por Joseph-Nicolas Delisle (1688—1768) e Giacomo FilippoMaraldi (1665—1729). Contudo, seu nome e o de Poisson continuaram a definí-lo.

Sua verificação experimental é relativamente simples de se obter, conforme obser-vamos na Fig. 2. Já a justificativa teórica para sua existência pode ser demonstrada peloprincípio de Huygens–Fresnel considerado uma aproximação da Integral de Difração deKirchhoff [WOLF; BORN, 2005].

Diversas pesquisas já foram desenvolvidas desde então, buscando esse spot lumi-noso nos mais diversos tipos de experimentos, como, por exemplo, sua análise via simu-lação por processos de duas fendas utilizando o princípio de Babinet [DAUGER, 1996].

Figura 2: Método atual de obtenção do spot de Poisson-Arago demonstrado pela Universi-dade de Berkeley [BERKELEY, 2016]. No esquema apresentado, um laser monocromáticoHe-Ne é expandido por uma lente de 4 polegadas, atingindo um pequeno objeto esféricopreso a uma lâmina de vidro. A imagem é então expandida por uma lente de 10 polegadase projetada em uma tela. Note que a necessidade de colocação de lentes de ampliação nosaparatos experimentais atuais se deve ao fato do Spot necessitar, muitas vezes, de umadistância muito grande para ser observado em feixes comuns.

27

3 Soluções para alguns Importantes Feixes

O intuito do presente capítulo é realizar uma breve revisão teórica das equaçõesde Maxwell, bem como deduzir a equação de onda eletromagnética. A partir desse re-sultado, presumiremos uma aproximação escalar, obtendo algumas de suas soluções. Nocaso, trabalharemos com o Feixe Gaussiano (um feixe ordinário) e o Feixe de Bessel ideal(um feixe não difrativo). Posteriormente, compararemos esses resultados com as mesmassoluções dentro do método analítico para feixes não truncados.

3.1 As Equações de MaxwellConforme observamos na Seção 2.1, toda a base do eletromagnetismo clássico

surgiu com o advento das equações de Maxwell1. Podemos, desse modo, as definir emmeios não materiais da seguinte forma:

∇ · �� = 𝜌

𝜖∘, (3.1)

∇ · �� = 0, (3.2)

∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡, (3.3)

∇ × �� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0𝜕��

𝜕𝑡, (3.4)

onde �� e �� são os vetores campo elétrico e campo magnético, respectivamente; 𝜌 e 𝐽 sãoas densidades de carga e de corrente livre, respectivamente; e 𝜖0 e 𝜇0 são a permissividadeelétrica e a permeabilidade magnética respectivamente, ambas no vácuo.

A Eq. (3.1) é a chamada Lei de Gauss, que relaciona a distribuição de cargaelétrica com a resultante do campo elétrico. Em seguida, a Eq. (3.2) pode ser definidacomo a “Lei de Gauss para o Magnetismo”, afirmando que não existe um equivalentepara “carga magnética”, os chamados monopolos magnéticos.

Já a Eq. (3.3) é conhecida como a Lei de Indução de Faraday, que relaciona ofluxo magnético (que induz a formação de um campo elétrico circulante), com o surgimentode forças eletromotrizes num sistema. O sinal negativo garante que a corrente induzida1 Junto das Equações de Maxwell, consideramos também a eq. da Força de Lorentz, que afirma que

a força que atua sobre um ponto de carga 𝑞 na presença de um campo eletromagnético é dada por:𝐹 = 𝑞(�� + �� × ��), onde �� é o vetor velocidade de carga.

Capítulo 3. Soluções para alguns Importantes Feixes 28

produzirá um campo magnético que se opõe à variação que lhe deu origem (Lei de Lenz).Caso contrário, seria incompatível com a conservação de energia.

Também é importante enfatizar a Eq. (3.4), a Lei de Ampère-Maxwell, des-crevendo duas maneiras de se gerar um campo magnético circulante, sendo através decorrentes elétricas ou por variações no fluxo elétrico (corrente deslocamento) [JACKSON,1999].

3.2 A Equação de OndaSendo 𝑐2 = 1

𝜇0𝜖0(vide Seção 2.1), trabalharemos com as Equações de Maxwell para

o espaço livre e sem fontes, ou seja, 𝜌 = 0 e 𝐽 = 0.

Assim, aplicando o rotacional em ambos os lados da Eq. (3.3), teremos:

∇ × (∇ × ��) = ∇ ×

⎛⎝−𝜕��

𝜕𝑡

⎞⎠ . (3.5)

A partir da identidade vetorial ∇ × (∇ × ��) = ∇(∇ · ��) − ∇2�� e sendo a Eq.(3.1) no espaço livre definida como ∇ · �� = 0, as aplicaremos na Eq. (3.5), obtendo:

−∇2�� = − 𝜕

𝜕𝑡

(∇ × ��

)⇒

∇2�� = 𝜕

𝜕𝑡

⎛⎝𝜇0𝜖0𝜕��

𝜕𝑡

⎞⎠ ⇒

∇2�� − 1𝑐2

𝜕2��

𝜕𝑡2 = 0. (3.6)

Realizando processo similar na Eq. (3.4), verificamos a seguinte relação:

∇2�� − 1𝑐2

𝜕2��

𝜕𝑡2 = 0. (3.7)

Possuímos agora duas equações diferenciais, (3.6) e (3.7), que descrevem juntas apropagação de uma onda eletromagnética. Com esses resultados, podemos notar que:

“O acoplamento entre grandezas elétricas e magnéticas previsto nas Eqs.de Maxwell implica que o campo eletromagnético se manifesta como umaperturbação que pode se propagar no espaço na forma de uma onda. Ou seja,se em algum ponto do espaço é criada uma flutuação no tempo da carga,


o campo eletromagnético dessa flutuação se propaga no espaço e seu efeitopode ser sentido remotamente. Isso, em essência, permite o intercâmbio deinformação entre pontos remotamente localizados. Diferentemente de ondasmateriais, como as ondas acústicas que produzem o som, por exemplo, essapropagação pode se dar inclusive no vácuo [FONTANA, 2016]”.

A partir dessas equações, algumas soluções são possíveis, como a solução para ondaplana (Anexo A) e as que veremos a seguir.

3.2.1 Campo escalar

Antes, porém, embora a equação de onda possua componentes de campo vetoriais,podemos propor um campo escalar Ψ que representará somente uma componente carte-siana do campo �� linearmente polarizado [ZAMBONI-RACHED, 2013]. O interessante éque com esse resultado, temos uma aproximação do caso vetorial muito eficaz. Assim, aequação de onda pode ser escrita como:

∇2Ψ − 1𝑐2

𝜕2Ψ𝜕𝑡2 = 0. (3.8)

Desta forma, temos definida a Equação de Onda.

3.3 Soluções para Equação de OndaPara que se torne mais fácil a obtenção de soluções mais gerais, iremos supor uma

função escalar Ψ(��, 𝑡), que é constituída de uma superposição de ondas planas com amesma frequência:

Ψ(��, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ ∞

−∞d𝑘𝑥

ˆ ∞

−∞d𝑘𝑦

ˆ ∞

−∞d𝑘𝑧 ·

· S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑧𝑧 𝛿

(𝜔2

𝑐2 − 𝑘2𝑥 − 𝑘2

𝑦 − 𝑘2𝑧

), (3.9)

onde 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 e 𝑘𝑧 são os números de onda do vetor de onda �� (vide (A.2)), sendo que𝜔2

𝑐2 = 𝑘2𝑥 + 𝑘2

𝑦 + 𝑘2𝑧 . Além disso, S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) é a função espectral (função peso) a ser

escolhida, possibilitando soluções diferentes e, portanto, feixes distintos. A função 𝛿 é adelta de Dirac que garante que Ψ seja solução da eq. de onda. A fim de evitar ondas planasque possuam componentes 𝑘𝑧 negativas, iremos realizar a integração da Eq. (3.9) em 𝑘𝑧,assumindo que o espectro S detenha apenas valores positivos. Esta escolha, associada coma função delta do integrando da Eq. (3.9), implica em:

𝑘𝑧 =√

𝜔2

𝑐2 − 𝑘2𝑥 − 𝑘2

𝑦. (3.10)


Deste modo, saberemos que as ondas planas que compõem Eq. (3.9) são todaspropagantes (não evanescentes), onde 𝜔2

𝑐2 ≥ 𝑘2𝑥+𝑘2

𝑦. Assim, realizando as devidas mudançasde variáveis, podemos reescrever a Eq. (3.9) como:

Ψ(��, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ 𝜔𝑐

− 𝜔𝑐

d𝑘𝑦

ˆ √𝜔2𝑐2 −𝑘2

𝑦

−√

𝜔2𝑐2 −𝑘2

𝑦

d𝑘𝑥 S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥 𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 𝑒𝑖𝑧

√𝜔2𝑐2 −𝑘2

𝑥−𝑘2𝑦 . (3.11)

3.4 Feixe Gaussiano

Figura 3: Vetores de onda em diferentes direções formando um envelope gaussiano.

Supondo que uma função espectral é o produto de duas gaussianas centradas em𝑘𝑥 = 0 e 𝑘𝑦 = 0 , escrevemos:

S(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑟2𝑜

4𝜋𝑒

−𝑟2𝑜

4 𝑘2𝑥 𝑒

−𝑟2𝑜

4 𝑘2𝑦 , (3.12)

onde 𝑟𝑜 é uma grandeza que está relacionada ao spot do feixe. Se 𝑟𝑜 for grande, a gaussianaé bem estreita e vice-versa. Substituindo essa função na Eq. (3.11), teremos:

Ψ(��, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ 𝜔𝑐

− 𝜔𝑐

d𝑘𝑦

ˆ √𝜔2𝑐2 −𝑘2

𝑦

−√

𝜔2𝑐2 −𝑘2

𝑦

d𝑘𝑥𝑟2

𝑜

4𝜋𝑒

−𝑟𝑜4 𝑘2

𝑥 𝑒−𝑟𝑜

4 𝑘2𝑦 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥 𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦 𝑒

𝑖𝑧

√𝜔2𝑐2 −𝑘2

𝑥−𝑘2𝑦 , (3.13)

que é, em essência, uma soma de ondas planas em diferentes direções (Fig. 3). Infelizmente,não é possível resolver analiticamente essa equação. Assim, para darmos prosseguimentoao cálculo, assumiremos espectros gaussianos com as seguintes propriedades:

Δ𝑘𝑥 <<𝜔

𝑐⇒ 2

𝑟𝑜

<<𝜔

𝑐,

Δ𝑘𝑦 <<𝜔

𝑐⇒ 2

𝑟𝑜

<<𝜔

𝑐,

onde consideramos a propagação das componentes dos vetores de onda com um valormédio 𝑘𝑥 = 2

𝑟𝑜e 𝑘𝑦 = 2

𝑟𝑜, obtendo, assim, as larguras do espectro. Como veremos, isso


Figura 4: Gráfico 3D do módulo ao quadrado da parte real do feixe gaussiano de 𝜆 =632, 8 · 10−9 𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezes o comprimento de onda.

implica que o spot é muito maior que o comprimento de onda. Realizaremos agora duasaproximações:

1. Estenderemos os limites de integração para −∞ a ∞;

2. Sendo:

√𝜔2

𝑐2 − 𝑘2𝑥 − 𝑘2

𝑦 =√

𝜔2

𝑐2 − 𝑘2⊥ =

√𝑘2 − 𝑘2

⊥ = 𝑘

√1 − 𝑘2

⊥𝑘2 , (3.14)

onde 𝑘2⊥ ≡ 𝑘2

𝑥 + 𝑘2𝑦. Se utilizando da aproximação paraxial2 podemos dizer que:

𝑘

√1 − 𝑘2

⊥𝑘2 ≈ 𝑘

(1 − 𝑘2

⊥2𝑘

). (3.15)

Com essas duas aproximações, a Eq. (3.13) torna-se:

Ψ(��, 𝑡) = 𝑟2𝑜

4𝜋𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ ∞

−∞d𝑘𝑦

ˆ ∞

∞d𝑘𝑥 ·

· exp(

−𝑎2𝑘2𝑥 − 𝑎2𝑘2

𝑦 + 𝑖𝑘𝑥𝑥 + 𝑖𝑘𝑦𝑦 + 𝑖𝜔

𝑐𝑧 − 𝑖𝑘2

𝑥

2𝑘𝑧 −

𝑖𝑘2𝑦

2𝑘𝑧

), (3.16)

2 Para informações mais precisas sobre essa aproximação, vide Seção 4.1.


onde 𝑎 ≡ 𝑟2𝑜

4 . Como as integrais não estão acopladas, as reescrevemos como:

Ψ(��, 𝑡) = 𝑟2𝑜

4𝜋𝑒𝑖𝑘𝑧 𝑒−𝑖𝜔𝑡

{[ˆ ∞

−∞d𝑘𝑦 𝑒−(𝑎2+ 𝑖𝑧

2𝑘 )𝑘2𝑦𝑧 𝑒𝑖𝑘𝑦𝑦

]·[ˆ ∞

−∞d𝑘𝑥 𝑒−(𝑎2+ 𝑖𝑧

2𝑘 )𝑘2𝑥𝑧 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥

]}.(3.17)

Podemos notar que os argumentos das integrais são transformadas de Fourier(Anexo B). Utilizando a integral tabelada em [GRADSHTEYN; RYZHIK, 1995]:

ˆ ∞

−∞𝑒−𝑝2𝑥2

𝑒±𝑞𝑥d𝑥 = 𝜋

𝑝𝑒

𝑞2

4𝑝2 , (3.18)

verificamos que a solução da função será:

Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑟2𝑜

4

(𝑒𝑖𝑘𝑧 𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝑎2 + 𝑖𝑧2𝑘

)exp −(𝑥2 + 𝑦2)

4(𝑎2 + 𝑖𝑧

2𝑘

) ⇒

Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = eik(z−ct)

⎡⎣⎛⎝ 11 + 2𝑖𝑧

𝑘𝑟2𝑜

⎞⎠ exp −(𝑥2 + 𝑦2)𝑟2

𝑜

(1 + 2𝑖𝑧

𝑘𝑟2𝑜

)⎤⎦ , (3.19)

onde Ψ(��, 𝑡) ≡ Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Podemos notar algumas particularidades nessa função: reti-rando o termo da onda plana em destaque, todo o restante se assemelha a uma envoltóriagaussiana, com um confinamento na transversal com possuindo uma dependência em 𝑧.Não é um pulso e sim um feixe, pois apresenta uma única frequência, tendo energia natransversal, mas não na longitudinal.

Assim, definimos um feixe gaussiano como ondas planas que se propagam em di-ferentes direções, com amplitudes diversas, de tal forma que seus maiores valores ocorremquando a onda plana se propaga quase que paralelo a 𝑧 (Figs. 4 e 6). Por sua vez, quandoa onda plana adquire um vetor de onda que se afasta do eixo 𝑧, sua amplitude começa adiminuir. Ao se realizar uma superposição de ondas planas, temos esse feixe gaussiano.

Outras informações muito úteis podem ser extraídas. Escrevendo a Eq. (3.19) emcoordenadas polares, ou seja, 𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2, obtemos:

Ψ(𝜌, 𝑧, 𝑡) = eik(z−ct)

⎡⎣⎛⎝ 11 + 2𝑖𝑧

𝑘𝑟2𝑜

⎞⎠ exp −𝜌2

𝑟2𝑜

(1 + 2𝑖𝑧

𝑘𝑟2𝑜

)⎤⎦ . (3.20)

Pode-se demonstrar que, sendo Δ𝜌𝑜 o raio do spot inicial em 𝑧 = 0, esse é dadopor Δ𝜌𝑜 = 𝑟𝑜√

2 .


Com base nessa abertura, temos como mensurar o quanto o feixe se degrada de-pendendo dessa abertura inicial, ou seja, qual o valor de 𝑧 em que o Δ𝜌 dobrara emrelação a Δ𝜌𝑜. Chamamos essa medida de comprimento de difração que é dada por:

𝑍diff = 2√

3𝜋Δ𝜌2𝑜

𝜆, (3.21)

ou seja, quanto mais concentrado, menor será a abertura desse feixe com a distância.O guia de onda, por exemplo, por meio de reflexões em seu interior, busca evitar essefenômeno difrativo.

3.5 Feixe de Bessel

Figura 5: Vetores de onda sob a superfície de um cone.

Escolhamos agora uma função espectral de forma que os vetores de onda se pro-paguem sobre a superfície de um cone (Fig. 5). Para isso, convém escrever o versor 𝑘 emcoordenadas esféricas, tal como:

𝑘 = (sen 𝜃′cos 𝜑′�� + sen𝜃′sen𝜑′𝑦 + cos𝜃′𝑧) (3.22)

Para forçarmos �� a se estabelecer sobre a superfície de um cone, basta fixarmos𝜃 = 𝜃𝑜 que é o chamado de ângulo de axicon ou cônico. Com isso a função escalar(3.9), escrita sem a necessidade do vínculo 𝜔2

𝑐2 = 𝑘2𝑥 + 𝑘2

𝑦 + 𝑘2𝑧 , se torna:

Ψ(��, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ 2𝜋

0d𝜑′ˆ 𝜋

0d𝜃′ S(𝜃′, 𝜑′) 𝑒𝑖��·��. (3.23)

Substituindo a Eq. (3.22) em (3.23), temos:

Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ 2𝜋

0d𝜑′ˆ 𝜋

0d𝜃′ S(𝜃′, 𝜑′) 𝑒𝑖𝑘(𝑥 sen𝜃′cos𝜑′+𝑦 sen𝜃′sen𝜑′+𝑧 cos𝜃′). (3.24)


Escolhendo agora a função espectral como:

S(𝜃′, 𝜑′) = 𝑒𝑖𝑀𝜑′𝛿(𝜃′ − 𝜃𝑜), (3.25)

onde 𝑀 é um número inteiro. Substituindo a Eq. (3.25) na Eq. (3.24), obteremos:

Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡

ˆ 2𝜋

0d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀𝜑′

𝑒𝑖𝑘(𝑥 sen𝜃𝑜cos𝜑′+𝑦 sen𝜃𝑜sen𝜑′+𝑧 cos𝜃′) ⇒

Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜

ˆ 2𝜋


𝑒𝑖𝑘 sen𝜃𝑜 (𝑥 cos𝜑′+𝑦 sen𝜑′). (3.26)

Sendo, em coordenadas cilíndricas, 𝑥 = 𝜌 cos𝜑, 𝑦 = 𝜌 sen𝜑 e 𝑧 = 𝑧, reescrevemosa integral:

Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜

ˆ 2𝜋


𝑒𝑖𝑘𝜌 sen𝜃𝑜 (cos𝜑cos𝜑′+sen𝜑sen𝜑′) ⇒

Figura 6: Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na transversal da parte real aoquadrado do feixe gaussiano de 𝜆 = 632, 8 · 10−9𝑚 com um 𝑟𝑜 na ordem de 100 vezeso comprimento de onda. Pode-se notar o motivo de não se incluir o feixe gaussiano naclasse de ondas localizadas, visto que sua propagação na transversal se desvanece muitorapidamente.


Figura 7: Gráfico 3D do módulo ao quadrado do feixe de Bessel ideal de 𝜆 = 600 ·10−9𝑚.Pode-se notar que o feixe não sofre difração.


ˆ 2𝜋


𝑒𝑖𝑘𝜌 sen𝜃𝑜 [cos(𝜑′−𝜑)]. (3.27)

Realizando uma mudança de variável onde 𝑢 = 𝜑′ −𝜑, teremos a seguinte equação:


ˆ 2𝜋−𝜑

0−𝜑

d𝜑′ 𝑒𝑖𝑀𝑢 𝑒𝑖𝑘𝜌 sen𝜃𝑜cos(𝑢). (3.28)

Pela Eq. (B.17), podemos escrever a integral da Eq. (3.28) como uma função deBessel de ordem 𝑀 (vide Anexo B). Assim:

Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧 cos𝜃𝑜𝐽𝑀(𝑘 sen𝜃𝑜𝜌)𝑒𝑖𝑀𝜑. (3.29)

Chamamos essa solução de Feixe de Bessel que é uma solução exata da equaçãode onda. Conforme notamos pela Fig. 32, a função de Bessel possui caráter oscilatório quedecai em relação a seu argumento. Esse tipo de feixe possui fluxo de potência infinito, oque inviabiliza sua construção. É interessante notar que este nunca sofre difração, comose observa na Fig. 8.

Definindo agora 𝑘𝑧 = 𝑘 cos𝜃𝑜 e 𝑘𝜌 = 𝑘 sen𝜃𝑜, onde 0 ≤ 𝜃𝑜 ≤ 𝜋2 . Chamaremos,

assim, de 𝑘𝑧 o número de onda longitudinal e 𝑘𝜌 o número de onda transversal. Dessaforma a Eq. (3.29) torna-se:


Figura 8: Gráfico 2D priorizando a vista da propagação na frontal do módulo ao quadradodo feixe de Bessel ideal de 𝜆 = 600 · 10−9 𝑚.

Ψ(𝜌, 𝜑, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑧𝑧𝐽𝑀(𝑘𝜌, 𝜌)𝑒𝑖𝑀𝜑. (3.30)

Podemos agora extrair alguns resultados interessantes. Por exemplo, mediante algunscálculos, pode-se provar que o raio spot é dado por:

Δ𝜌 = 2, 4𝑘𝜌

Além disso, nota-se que quando 𝜃𝑜 = 0, a função volta a ser uma onda plana.

37

4 Feixes Gerados por Aberturas Finitas

Conforme apresentamos no Cap. 1, obter soluções exatas da equação de onda épossível (vide Cap. 3), embora em diversos casos não seja trivial. Porém, conseguir soluçõesexatas para um campo difratado por uma abertura beira o impossível. A melhor formade se abordar esse problema é utilizando integrais de difração.

Por exemplo, se quisermos saber o campo de uma onda propagante difratada agrandes distâncias da abertura, o mais simples seria utilizar a Integral de Difração deFraunhofer1. Já na região de campo próximo e na região de transição entre campo próximoe distante, o mais indicado é usar a Integral de Difração de Fresnel. Existe ainda a Integralde Difração de Sommerfeld que é exata, mas extremamente difícil de se trabalhar tantodo ponto de vista analítico quanto numérico.

Para nossos propósitos, utilizaremos a Integral de Difração de Fresnel. Todavia,esta também apresenta uma sérias dificuldades, necessitando fazer-se uso de simulaçõesnuméricas na maioria das vezes. Para solucionar isso, utilizaremos o método desenvolvidopor Zamboni et al., onde é feita justamente a descrição analítica de alguns feixes ópticostruncados por uma abertura.

Desta forma, como parte do nosso objetivo neste trabalho é fornecer uma ferra-menta analítica para o estudo do comportamento de alguns feixes importantes, quandoobstruídos por obstáculos circulares, o método será fundamental para esse posterior de-senvolvimento.

4.1 A Equação de Onda na aproximação paraxialA fim de se obter a Integral de Difração de Fresnel, necessário se faz estudarmos

a aproximação paraxial. Esta surge para verificar soluções analíticas de campos maiscomplexos, que de outra maneira seria praticamente impossíveis de se calcular2. Podemosutilizá-la quando o spot da onda é muito maior que o comprimento de onda associado.

Na Seção 3.4 já observamos uma primeira abordagem para realizar uma aproxima-ção paraxial para o feixe gaussiano. Visaremos agora essa aproximação para um campoescalar genérico.

Assim, seja um campo escalar Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) que satisfaça a equação de onda Eq.1 Aproximação da Integral de Difração de Kirchhoff para grandes distâncias.2 No caso, o feixe de Bessel ideal não necessitou de nenhuma aproximação paraxial, sendo um exemplo

clássico de solução obtida de forma exata.

Capítulo 4. Feixes Gerados por Aberturas Finitas 38

(3.8): (∇2 − 1

𝑐2𝜕2

𝜕𝑡2

)Ψ = 0 ⇒

(∇2

⊥ + 𝜕2

𝜕𝑧2 − 1𝑐2

𝜕2

𝜕𝑡2

)Ψ = 0, (4.1)

onde:

∇2⊥ = 𝜕2

𝜕𝑥2 + 𝜕2

𝜕𝑦2 , (4.2)

consideremos agora uma solução para a Eq. (4.1) do tipo:

Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒−𝑖𝜔𝑡, (4.3)

onde 𝑘 = 𝜔𝑐

e Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) um envelope de onda plana.

Iremos considerar situações onde a variação espacial e temporal de Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) sejamuito mais lenta que o mesmo tipo de variação para a componente 𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒−𝑖𝜔𝑡. Expressare-mos de maneira mais rigorosa essa hipótese derivando parcialmente em todas as variáveis[ZAMBONI-RACHED, 2013]:

𝜕Ψ𝜕𝑧

=(

𝜕Λ𝜕𝑧

𝑒𝑖𝑘𝑧 + 𝑖𝑘Λ𝑒𝑖𝑘𝑧

)𝑒−𝑖𝜔𝑡. (4.4)

Assumindo que Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) varia muito mais lentamente que 𝑒𝑖𝑘𝑧, podemos proporque em (4.4):

𝜕Λ𝜕𝑧

<< 𝑘 |Λ| . (4.5)

Realizando o mesmo procedimento para a diferencial parcial em 𝑡, teremos:

𝜕Ψ𝜕𝑡

=(

𝜕Λ𝜕𝑡

𝑒−𝑖𝜔𝑡 − 𝑖𝜔Λ𝑒−𝑖𝜔𝑡

)𝑒𝑖𝑘𝑧. (4.6)

Da mesma forma, por conta de Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) variar muito mais lentamente que 𝑒−𝑖𝜔𝑡,podemos assumir que em (4.4):

𝜕Λ𝜕𝑡

<< 𝜔 |Λ| . (4.7)

E também, pela definição de Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), temos ainda que :

𝜕Λ𝜕𝑥

<< 𝑘 |Λ| ,

𝜕Λ𝜕𝑦

<< 𝑘 |Λ| e (4.8)


𝜕2Λ𝜕𝑥2

𝑗

<< 𝑘

𝜕Λ𝜕𝑥𝑗

, (4.9)

onde 𝑥𝑗 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Substituindo agora a Eq. (4.3) na Eq. (4.1), podemos obter:

∇2⊥Λ + 𝜕2Λ

𝜕𝑧2 + 2𝑖𝑘𝜕Λ𝜕𝑧

− 1𝑐2

𝜕2Λ𝜕𝑡2 + 2𝑖

𝜔

𝑐2𝜕Λ𝜕𝑡

= 0. (4.10)

Pelas definições contidas nas Eqs. (4.5), (4.7), (4.8) e (4.9) os termos em deri-vada primeira são muito maiores que os em derivada segunda, possibilitando simplificara equação (4.10) e termos a seguinte relação:

𝜕Λ𝜕𝑧

+ 1𝑐

𝜕Λ𝜕𝑡

= 0. (4.11)

Essa aproximação não é muito interessante, pois não existe informação sobre ocomportamento transversal do envelope (da envoltória) Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Porém, derivandoparcialmente, em relação ao tempo, ambos os lados de (4.11) e depois realizando o mesmoprocedimento com a equação original, mas em relação a 𝑧, teremos:

𝜕2Λ𝜕𝑡𝜕𝑧

+ 1𝑐

𝜕2Λ𝜕𝑡2 = 0 ⇒ 𝜕2Λ

𝜕𝑡𝜕𝑧= −1

𝑐

𝜕2Λ𝜕𝑡2 e (4.12)

𝜕2Λ𝜕𝑧2 + 1

𝑐

𝜕2Λ𝜕𝑧𝜕𝑡

= 0 ⇒ 𝜕2Λ𝜕𝑡𝜕𝑧

= −𝑐𝜕2Λ𝜕𝑧2 . (4.13)

Como pode se observar, podemos igualar as Eqs. (4.12) e (4.13) obtendo, assim:

𝜕2Λ𝜕𝑧2 = 1

𝑐2𝜕2Λ𝜕𝑡2 . (4.14)

Finalmente, podemos substituir (4.14) na (4.10), e verificaremos que:

𝜕Λ𝜕𝑧

+ 1𝑐

𝜕Λ𝜕𝑡

− 𝑖

2𝑘∇2

⊥Λ = 0. (4.15)

que é definida como a aproximação paraxial da equação de onda3 [ZAMBONI-RACHED, 2013].3 O mais correto seria chamá-la de aproximação paraxial da envoltória, contudo para efeito de

simplificação dos conceitos aqui expostos, manteremos como informado.


4.2 A Integral de Difração de FresnelConsiderando agora que 𝜕Λ

𝜕𝑡= 0, ou seja, desprezaremos a componente temporal

(visto que trabalhamos com feixes com frequência única) obtemos da Eq. (4.15):

𝜕Λ𝜕𝑧

− 𝑖

2𝑘∇2

⊥Λ = 0. (4.16)

Considerando feixes com simetria azimutal, ou seja, Λ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Λ(𝜌, 𝑧) e trans-pondo Eq. (4.2) para coordenadas cilíndricas, ∇2

⊥ = 𝜕2

𝜕𝜌2 + 1𝜌

𝜕𝜕𝜌

, teremos:

𝜕Λ𝜕𝑧

− 𝑖

2𝑘

[𝜕2Λ𝜕𝜌2 + 1

𝜌

𝜕Λ𝜕𝜌

]= 0. (4.17)

Vamos agora escrever Λ(𝜌, 𝑧) através de uma transformada de Hankel e de umade Fourier, nas variáveis 𝜌 e 𝑧, respectivamente:

Λ(𝜌, 𝑧) =∞

0

d𝑘𝜌 𝑘𝜌

∞

−∞

d𝑘 S′(𝑘𝜌, 𝑘) 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) 𝑒𝑖𝑘𝑧, (4.18)

onde 𝑘 é, a priori, um vetor de onda com um vínculo ainda a ser descoberto; S′(𝑘𝜌, 𝑘) afunção expectral e 𝐽0 uma função de Bessel de ordem 0.

Utilizando agora (4.18) em (4.17) se obtém:

Λ(𝜌, 𝑧) =

⎡⎢⎣∞

0

d𝑘𝜌 𝑘𝜌

∞

−∞

d𝑘 S′(𝑘𝜌, 𝑘) 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) (𝑖𝑘) 𝑒𝑖𝑘𝑧

⎤⎥⎦−

− 𝑖

2𝑘

⎡⎢⎣∞

0

d𝑘𝜌 𝑘𝜌

∞

−∞

d𝑘 S′(𝑘𝜌, 𝑘) 𝑒𝑖𝑘𝑧

(𝜕2

𝜕𝜌2 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) + 1𝜌

𝜕

𝜕𝜌𝐽0(𝑘𝜌𝜌)

)⎤⎥⎦ = 0. (4.19)

Da Eq. (B.18), temos que 𝜕𝜕𝑥

𝐽0(𝑥) = −𝐽1(𝑥) e 𝜕𝜕𝑥

𝐽1(𝑥) = −𝐽0(𝑥) − 1𝐽1(𝑥) . Assim,

podemos reescrever o termo dentro dos parênteses como:

(𝜕2

𝜕𝜌2 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) + 1𝜌

𝜕

𝜕𝜌𝐽0(𝑘𝜌𝜌)

)= −𝑘2

𝜌𝐽0(𝑘𝜌𝜌), (4.20)

substituindo a Eq. (4.20) na Eq. (4.19), para qualquer S′(𝑘𝜌, 𝑘), teremos que a condiçãonecessária para que Λ, dado pela Eq. (4.19), seja solução da Eq. (4.17), será:

𝑘 = −𝑘2

𝜌

2𝑘. (4.21)


De (4.21), podemos expressar a solução da Eq. (4.19) para a Eq. (4.17) como:

Λ(𝜌, 𝑧) =∞

0

d𝑘𝜌 𝑘𝜌 S(𝑘𝜌) 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) 𝑒−𝑖𝑘2

𝜌2𝑘

𝑧. (4.22)

Imaginando agora que a função Λ(𝜌, 𝑧) sobre o plano 𝑧 = 0 seja conhecida, ouseja, Λ(𝜌, 𝑧 = 0), da Eq. (4.22) teremos:

Λ(𝜌, 0) =∞

0

d𝑘𝜌 𝑘𝜌 S(𝑘𝜌) 𝐽0(𝑘𝜌𝜌), (4.23)

que é uma típica transformada de Hankel (Anexo B), possibilitando assim encontrar S(𝑘𝜌)a partir de um dado 𝐴(𝜌, 0). Da Eq. (4.23) teremos:

𝑆(𝑘𝜌) =∞

0

d𝜌 𝜌 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) Λ(𝜌, 0). (4.24)

Com isso, utilizando a Eq. (4.24) em (4.22) e efetuando alguns cálculos, obtemos:

Λ(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘

𝑧𝑒

𝑖𝑘𝜌22𝑧

∞

0

Λ(𝜌′, 0) 𝑒𝑖𝑘𝜌′2

2𝑧 𝐽0

(𝑘𝜌𝜌′

𝑧

)𝜌′d𝜌′, (4.25)

onde a integração é feita sobre o plano 𝑧 = 0. Substituindo a Eq. (4.25) na Eq. (4.3),teremos o campo escalar definido como:

Ψ(𝜌, 𝑧, 𝑡) = −𝑖𝑘

𝑧exp

[𝑖

(𝑘𝑧 + 𝑘𝜌2

2𝑧

)]ˆ ∞

0Ψ(𝜌′, 0, 𝑡) exp

(𝑖𝑘

𝜌′2

2𝑧

)𝐽0

(𝑘

𝜌𝜌′

𝑧

)𝜌′ 𝑑𝜌′, (4.26)

onde Ψ(𝜌, 0, 𝑡) = Λ(𝜌, 0)𝑒−𝑖𝜔𝑡. Obtém-se, assim, a Integral de Difração de Fresnel naAproximação Paraxial [ZAMBONI-RACHED, 2013].

4.3 Soluções para a Integral de Difração de FresnelPor simplicidade, vamos reescrever a Eq. (4.26) sem a dependência temporal

harmônica, ou seja:

Ψ(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘

𝑧exp

[𝑖

(𝑘𝑧 + 𝑘𝜌2

2𝑧

)]ˆ ∞

0Ψ(𝜌′, 0) exp

(𝑖𝑘

𝜌′2

2𝑧

)𝐽0

(𝑘

𝜌𝜌′

𝑧

)𝜌′ 𝑑𝜌′. (4.27)


É importante enfatizar que 𝜌′ informa que a integração ocorre no plano 𝑧 = 0, vistoque Ψ(𝜌′, 0) indica o valor desse campo em 𝑧 = 0 [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b].

Se a integral descreve o campo propagante, pode também descrever as soluções jáobtidas para a equação de onda. Vejamos, assim, algumas soluções sem truncamento,ou seja, com abertura infinita:

4.3.1 Solução Feixe Gaussiano (sem truncamento)

Escolhendo um campo no plano 𝑧 = 0 comportamento gaussiano, no formatodemonstrado por [GOODMAN, 1996],

Ψ(𝜌′, 0) = Ψ𝐺(𝜌′, 0) = 𝐴 exp(−𝑞𝜌′2), (4.28)

onde 𝐴 e 𝑞 são constantes que possuem componentes complexas. Temos assim, a partirde (4.27):

Ψ𝐺(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘𝐴

2𝑧𝑄exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]exp

(− 𝑘2𝜌2

4𝑄𝑧2

), (4.29)

onde,

𝑄 = 𝑞 − 𝑖𝑘

2𝑧. (4.30)

Esta é a solução para o Feixe Gaussiano (FG) não truncado. Podemos compararesta com a solução obtida na Seção 3.4 e notar a correspondência existente entre ambas,principalmente analisando a Eq. (3.20).

4.3.2 Solução Feixe Bessel (sem truncamento)

Escolhendo agora o campo escalar em 𝑧 = 0 como:

Ψ𝐵(𝜌, 0) = 𝐴𝐽0(𝑘𝜌𝜌), (4.31)

obteremos a solução paraxial para o Feixe de Bessel (FB) de ordem zero não truncado:

Ψ(𝜌, 𝑧) = 𝐴𝐽0(𝑘𝜌𝜌) exp (𝑖𝑘𝑧𝑧), (4.32)

onde 𝑘𝑧 = 𝑘 − 𝑘2𝜌

2𝑘. Da mesma forma que no caso do FG, observando a Seção 3.5 no-

tamos a equivalência existente entre ambos os desenvolvimentos, evidenciando a ótimaaproximação que essa integral de difração fornece.

4.3.3 Solução Feixe Bessel-Gauss (sem truncamento)

Um feixe ainda não apresentado neste trabalho é o chamado Feixe de Bessel-Gauss,que basicamente é um campo composto por uma função de Bessel apodizada por uma


gaussiana [GORI; GUATTARI, 1987]. Considerando o campo em 𝑧 = 0 como sendo:

Ψ(𝜌, 0) = 𝐴 exp(−𝑞𝜌2)𝐽0(𝑘𝜌𝜌), (4.33)

obtemos da Integral de Difração de Fresnel o Feixe de Bessel-Gauss, dado por:

Ψ𝐵𝐺(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘𝐴

2𝑧𝑄exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝐽0

(𝑖𝑘𝑘𝜌𝜌

2𝑧𝑄

)exp

[− 1

4𝑄

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]. (4.34)

Sendo 𝑄 a mesma quantidade exposta na Eq. (4.30) e 𝑘𝜌 uma constante (lembrandoque este é o número de onda transversal associado ao feixe de Bessel modulado para umafunção gaussiana constante).

Temos, assim, a solução para o Feixe Bessel-Gauss (FBG) não truncado. Éinteressante notar, que ao contrário do FB ideal, o FBG possui fluxo de potência finitopor conta da apodização gaussiana. Ainda assim, o FBG apresenta resistência aos efeitosda difração por longas distâncias [GORI; GUATTARI, 1987].

4.4 O Método Analítico (soluções analíticas com truncamento)É interessante notar que o FG e o FBG são uma das poucas soluções para a

Integral de Difração de Fresnel que podem ser obtidas analiticamente. O grande problemasurge quando consideramos o truncamento feito por abertura finita em 𝑧 = 0. Nestecaso o tratamento analítico se torna bastante complexo e são pouquíssimas as soluçõesnão numéricas conhecidas, conforme já argumentamos. Algumas tentativa com relativosucesso foram feitas (vide [WEN; BREAZELE, 1988] e [DING; ZHANG, 2004]), contudocom algumas dificuldades no cálculo de certos coeficientes.

Por conta disso, utilizaremos o método analítico proposto por Zamboni et al. quedescreve uma solução simples e eficaz, para tratar da descrição analítica de FB, FBG, FG eOnda Plana (OP) truncados. A essência do método inicia-se a partir de uma superposiçãode Feixes de Bessel-Gauss evidenciado na Eq. (4.34):

Ψ(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)],(4.35)

onde os 𝐴𝑛 são os coeficientes da superposição, o 𝑘𝜌 é constante e os 𝑄𝑛 dados pelaseguinte quantidade:

𝑄𝑛 = 𝑞𝑛 − 𝑖𝑘

2𝑧, (4.36)


sendo os 𝑞𝑛 constantes e complexos. Dessa forma, um campo em 𝑧 = 0 dado pela Eq.(4.35) dará origem a seguinte função:

Ψ(𝜌, 0) = 𝑉 (𝜌) = 𝐽0(𝑘𝜌𝜌)𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛𝑒−𝑞𝑛𝜌2, (4.37)

ou seja, se pudermos descrever um campo truncado por uma abertura de raio𝑅, em 𝑧 = 0, através da série (4.37), saberemos que o campo emanado dessaabertura será dado pela Eq. (4.35). Como os 𝑞𝑛, são complexos, vamos então escolher:

𝑞𝑛 = 𝑞𝑅 + 𝑖𝑞𝐼𝑛 = 𝑞𝑅 − 2𝜋

𝐿𝑛, (4.38)

onde 𝐿 é uma constante com dimensões de comprimento ao quadrado. Fundamentadonisso e assumindo 𝑁 → ∞, a Eq. (4.37) torna-se:

𝑉 (𝜌) = 𝐽0(𝑘𝜌𝜌) 𝑒−𝑞𝑅𝜌2∞∑

𝑛=−∞𝐴𝑛𝑒−𝑖 2𝜋𝑛

𝐿𝜌2

, (4.39)

Nesse momento, podemos realizar algumas análises. Parece natural, observando aEq. (4.39), escolher um 𝑘𝜌 que seja igual ao número de onda transversal do FB truncadoou do FBG truncado. Também parece natural escolher 𝑘𝜌 = 0 para o caso da OP e do FGtruncados. Feito isso, podemos dizer que o problema estará resolvido se a seguinte série:

𝑒−𝑞𝑅𝜌2∞∑

𝑛=−∞𝐴𝑛𝑒−𝑖 2𝜋𝑛

𝐿𝜌2

, (4.40)

for capaz de representar as seguintes situações:

1. Uma função constante multiplicada por uma função4 𝑐𝑖𝑟𝑐 (𝜌/𝑅);

2. Uma função gaussiana multiplicada por uma função 𝑐𝑖𝑟𝑐 (𝜌/𝑅);

Resumindo, se encontrarmos os valores de 𝐴𝑛 e 𝑞𝑛 de tal forma que aEq. (4.37) descreva o truncamento, em 𝑧 = 0 da OP, do FG, do FB e do FBG,teremos que os respectivos feixes emanados da abertura finita serão dados pelasolução analítica dada pela Eq. (4.35).

4.4.1 A função 𝐺(𝑟)

Para provar isso, é necessário que realizemos um certo artifício matemático. Con-sideraremos uma função genérica 𝐺(𝑟) definida num intervalo |𝑟| ≤ 𝐿/2 e possuindo aseguinte expansão de Fourier:4 A função circ especificada nesta e nas demais ocorrências é uma função degrau no caso de simetria

cilindrica. Ou seja, 𝑐𝑖𝑟𝑐 (𝜌/𝑅) = 1 quando 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑅 e 0 nas demais regiões.


𝐺(𝑟) =∞∑

𝑛=−∞𝐴𝑛 exp

(𝑖2𝜋𝑛𝑟

𝐿

), (4.41)

onde 𝑟 e 𝐿 são expressos em 𝑚2.

Iremos impor que essa função 𝐺(𝑟) seja dada por:

𝐺(𝑟) =

⎧⎨⎩ exp(𝑞𝑅𝑟) exp(−𝑞𝑟) se |𝑟| ≤ 𝑅2

0 se 𝑅2 < |𝑟| < 𝐿/2,(4.42)

onde 𝑞 é uma constante dada. Nesse caso, os coeficientes 𝐴𝑛 na expansão de fourier de𝐺(𝑟) serão dados por:

𝐴𝑛 = 1𝐿(𝑞𝑅 − 𝑞) − 𝑖2𝜋𝑛

(𝑒(𝑞𝑅−𝑞−𝑖 2𝜋

𝐿𝑛)𝑅2 − 𝑒−(𝑞𝑅−𝑞−𝑖 2𝜋

𝐿𝑛)𝑅2)

. (4.43)

Fazendo 𝑟 = 𝜌2 e pelas Eqs. (4.42) e (4.43), teremos a Eq. (4.41) escrita como:∞∑


(𝑖2𝜋𝑛𝜌2

𝐿

)=

⎧⎨⎩ exp(𝑞𝑅𝜌2) exp(−𝑞𝜌2) se |𝜌2| ≤ 𝑅2

0 se 𝑅2 < |𝜌2| < 𝐿/2,(4.44)

O lado esquerdo da Eq. (4.44), que depende de 𝜌2, não será exatamente periódico,mas reassumirá seus valores em intervalos cada vez menores para |𝜌| >

√𝐿2 . Assim,

considerando 𝜌 ≥ 0 e para uma escolha adequada de 𝐿 e 𝑞𝑅, podemos afirmar que a Eq.(4.40) se torna:



(𝑖2𝜋𝑛𝜌2

𝐿

)=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑒−𝑞𝜌2 se 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑅

0 se 𝑅2 < 𝜌 ≤ 𝐿/2𝑒−𝑞𝑅𝜌2

𝐺(𝜌2) ≈ 0 se 𝜌 >√

𝐿/2(4.45)

onde 𝐺(𝜌2) é dada pela Eq. (4.42) (para 𝑟 = 𝜌2), possuindo como valor máximo quando:

∙ Max [𝐺(𝜌2)] = exp [(𝑞𝑅 − 𝑞)𝑅2] se 𝑞𝑅 > 𝑞,

∙ Max [𝐺(𝜌2)] = 1 se 𝑞𝑅 ≤ 𝑞.

Uma vez que 𝐿/2 > 𝑅, para escolhas adequadas de 𝑞𝑅 e 𝐿 teremos que:

exp (−𝑞𝑅𝜌2)𝐺(𝜌2) ≈ 0,

para 𝜌 >√

(𝐿/2). É simples mostrar que um bom critério para a escolha de 𝑞𝑅 e 𝐿 é pelaseguinte expressão: exp (−𝑞𝑅𝐿/2) Max [𝐺(𝜌2)] << 1. Assim, obtemos:



(𝑖2𝜋𝑛𝜌2

𝐿

)≈ 𝑒−𝑞𝜌2

𝑐𝑖𝑟𝑐 (𝜌/𝑅). (4.46)

Que é exatamente o que desejávamos para a Eq. (4.40).


4.4.2 Conclusão do Método

Com isso, temos agora um método analítico para descrever a OP, o FG, o FB e oFBG quando truncados por uma abertura finita de raio 𝑅. Esses campos truncados sãodescritos em 𝑧 = 0 pela Eq. (4.39), com os 𝐴𝑛 dados pela Eq. (4.43), os 𝑞𝑛 dados pelaEq. (4.38), sendo 𝑞𝑅 e 𝐿 escolhidos de acordo com o que foi explicado nos parágrafosanteriores, sendo os valores de 𝑘𝜌 e 𝑞 escolhidos da seguinte forma:

Figura 9: Apresentação o campo fornecido pela equação (4.39) com alta fidelidade ao FBtruncado no plano 𝑧 = 0. Sendo: 𝑘𝜌 = 4, 07 · 104 𝑚−1; 𝑅 = 3, 5 𝑚𝑚; 𝑞 = 0; 𝐿 = 3𝑅2;𝑞𝑅 = 6/𝐿 e 𝑁 = 23. [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]

Figura 10: Projeção ortogonal da intensidade mostrada na Figura (11). [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]


∙ No caso do FBG truncado: um valor de 𝑘𝜌 igual ao número de onda transversal doFB modulado pela função gaussiana exp (−𝑞𝜌2) em 𝑧 = 0, sendo 𝑞 relacionado aessa mesma função gaussiana;

∙ No caso do FB truncado: Mesmas especificações do FBG truncado, mas com 𝑞 = 0;

∙ No caso do FG truncado: Mesmas especificações do FBG truncado, mas com 𝑘𝜌 = 0;

∙ No caso da OP truncada: Mesmas especificações do FBG truncado, mas com 𝑘𝜌 = 0e 𝑞 = 0.

Figura 11: Intensidade do campo de Bessel truncado por uma abertura finita, como for-necido na solução de (4.35). [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]

Finalmente, o campo truncado resultante, emanado da abertura finita, será dadopela Eq. (4.35).

4.4.3 Aplicação do Método

Como exemplo, aplicaremos o método para o FB Truncado. Escolhendo 𝑘𝜌 =4, 07 · 104 𝑚−1; 𝑅 = 3, 5 𝑚𝑚; 𝑞 = 0; 𝐿 = 3𝑅2 e 𝑞𝑅 = 6/𝐿. Podemos observar na Fig. 9o Feixe de Bessel Truncado em 𝑧 = 0 para um 𝑁 = 23, obtido através da série (4.37).Já na Fig. 11 observamos o campo emanado pela abertura no caso de Bessel truncado.Ou seja, é o campo resultante (do FB truncado em 𝑧 = 0), descrito pela Eq. (4.35). NaFig. 10 observa-se a projeção ortogonal do mesmo, evidenciando seu caráter não difrativo,finalizando, assim, com a Fig. 12 onde é traçada as oscilações da intensidade do campo noeixo z para um 𝑁 = 500 [ZAMBONI-RACHED et al., 2012a]. Todos os resultado estãoem pleno acordo com aqueles obtidos via simulação numérica [ZAMBONI-RACHED etal., 2008].


Figura 12: Oscilações da intensidade do campo no eixo z, quando adotado 𝑁 = 500.[ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]

49

5 Descrição Analítica de Importantes FeixesObstruídos por Obstáculos Circulares

Uma vez que se está familiarizado com soluções de feixes truncados com aberturafinita (Vide Cap. 4), torna-se necessário compreender como adequar esse processo naobtenção de uma solução analítica na presença de um obstáculo, conforme proposto nesseprojeto. Podemos notar que o problema é quase que o extremo oposto do já trabalhado,ou seja, ao invés de uma pequena abertura num plano opaco e infinito, temos umobstáculo circular de pequena magnitude frente ao plano infinito de abertura.

Obtendo-se isso, poderemos verificar a autorreconstrução para o caso dos FB eFBG obstruídos e a formação do Spot de Poisson-Arago para a OP e o FG obstruídos.

5.1 O Princípio de BabinetPara abordamos esse problema, primeiramente devemos recorrer ao Princípio de

Babinet que afirma:

(...) [Quando] duas telas planas se encaixam formando um único plano, es-tas são ditas complementares; a abertura em uma tela é congruente ao materialda outra. Quando ondas eletromagneticas atingem, de modo complementar,uma tela plana perfeitamente refletiva, padrões de difração complementaressão formados atrás das telas. [BAKER; COPSON, 1987]

O que percebemos é que, para calcular o campo após o obstáculo, basta subtrair-mos do campo incidente o feixe truncado em questão:

Ψ = Ψ − Ψ, (5.1)

onde Ψ é o feixe emanado após a obstrução; Ψ é o feixe que incide no elemento circularfinito; e Ψ é é o feixe truncado por uma abertura finita circular, com o mesmo raio doelemento circular da obstrução. No caso, esse Ψ será descrito pela Eq. (4.35), vista nocapítulo anterior, que descreve a evolução da OP, FG, FB e FBG truncados por umaabertura circular de raio 𝑅. Ou seja:

Ψ(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)], (5.2)

Capítulo 5. Descrição Analítica de Importantes Feixes Obstruídos por Obstáculos Circulares 50

Com base nisso, realizaremos o procedimento proposto pela Eq. (5.1) para cadafeixe considerado.

5.2 Onda Plana obstruída por elemento circular finitoNo caso da onda plana, o campo incidente (omitindo, por simplicidade, o termo

exponencial de variação temporal harmônica) é dado por:

Ψ𝑂𝑃 = 𝑒𝑖𝑘𝑧. (5.3)

Assim, aplicando a Eq. (5.1) se utilizando da Eq. (5.2) e da Eq. (5.3), teremos ocampo escalar de uma OP obstruída por um elemento finito circular:

Ψ𝑂𝑃 = 𝑒𝑖𝑘𝑧 −

−

⎧⎨⎩−𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]⎫⎬⎭ . (5.4)

Agora, considerando 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑘 = 2𝜋𝜆

, 𝑘𝜌 = 0, 𝑞𝑅 = 8𝐿

, 𝑅 = 1 ·10−3 𝑚 e 𝐿 = 6𝑅2, podemos construir, via simulação, diversas possibilidades de gráficos.Utilizaremos 𝑁 = 300.

Na Fig. 13, podemos observar a projeção longitudinal do módulo ao quadrado docampo da Eq. (5.4) para o caso da OP em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a região deobstrução. Na Fig. 14, observa-se a intensidade do campo on-axis.

A Fig. 15 apresenta o quadrado da magnitude do campo da Eq. (5.4) emanadoapós um obstáculo para o caso da OP em 3D. Pode-se notar quase que imediatamenteapós o obstáculo, o Spot de Poisson-Arago. Já a Fig. 16, notamos a sua projeção ortogonal,visualizando a formação do Spot de Poisson-Arago alguns centímetros após a obstrução.


Figura 13: Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.4) para ocaso da Onda Plana obstruída em 𝑧 = 0 (𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 300, 𝑅 = 1 · 10−3 𝑚,𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 0, 𝐿 = 6𝑅2 e 𝑞𝑅 = 8

𝐿).

Figura 14: Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com 𝜌 = 0 parao caso da Onda Plana obstruída.


Figura 15: Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no caso daOnda Plana obstruída.

Figura 16: Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig.15. Note o Spot dePoisson-Arago sendo formado a poucos centímetros do obstáculo no caso da Onda Planaobstruída.


5.3 Feixe de Bessel obstruído por elemento circular finitoNo caso do FB, o campo incidente (omitindo, por simplicidade, o termo exponen-

cial de variação temporal harmônica) é dado por:

Ψ𝐵(𝜌, 𝑧) = 𝐴𝐽0(𝑘𝜌𝜌) exp(𝑖𝑘𝑧𝑧), (5.5)

Assim, aplicando a Eq. (5.1) se utilizando da Eq. (5.2) e da Eq. (5.5), teremos ocampo escalar do FB após a obstrução por um elemento finito circular:

Ψ𝐵 = 𝐴𝐽0(𝑘𝜌𝜌) exp(𝑖𝑘𝑧𝑧) −

−

⎧⎨⎩−𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]⎫⎬⎭ . (5.6)

Agora, considerando como exemplo um um feixe monocromático com 𝜆 = 632, 8 ·10−9 𝑚, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘 sin𝜃, 𝜃 = 0, 0041, 𝑅 = 0, 2 · 10−3 𝑚, 𝑞𝑅 = 6

𝐿e 𝐿 = 3𝑅2, podemos

construir, via simulação, diversas possibilidades de gráficos. Usaremos 𝑁 = 500.

Na Fig. 17, podemos observar a projeção longitudinal do módulo ao quadrado docampo da Eq. (5.6) para o caso do Feixe de Bessel em 𝑧 = 0, onde notamos exatamentea região de obstrução. Na Fig. 18, observa-se a intensidade do campo on-axis.

A Fig. 19 apresenta o quadrado da magnitude do campo da Eq. (5.6) emanadoapós um obstáculo para o caso do FB em 3D. Pode-se notar a reconstrução do feixe quaseque imediatamente após o obstáculo. Como o FB é um feixe não difrativo ideal comsolução exata, percebemos a sua não abertura longitudinal e não decaimento em 𝑧. Jáa Fig. 20, notamos a sua projeção ortogonal, visualizando sua autorreconstrução algunscentímetros após a obstrução, bem como seu carácter não difrativo.


Figura 17: Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.6) parao caso do Feixe de Bessel obstruído em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a região deobstrução (𝜆 = 632, 8 · 10−9, 𝑁 = 500, 𝑅 = 0, 2 · 10−3 𝑚, 𝐿 = 3𝑅2, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃,

𝑞𝑅 = 6𝐿

e 𝜃 = 0, 0041).

Figura 18: Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com 𝜌 = 0 parao caso do Feixe de Bessel obstruído.


Figura 19: Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo para o casodo Feixe de Bessel obstruído.

Figura 20: Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 19 para o caso do Feixede Bessel obstruído.


5.4 Feixe de Bessel-Gauss obstruído por elemento circular finitoNo caso do FBG, o campo incidente (omitindo, por simplicidade, o termo expo-

nencial de variação temporal harmônica) é dado por::

Ψ𝐵𝐺(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘𝐴

2𝑧𝑄exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝐽0


2𝑧𝑄

)exp

[− 1

4𝑄

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]. (5.7)

Assim, aplicando a Eq. (5.1) se utilizando da Eq. (5.2) e da Eq. (5.7), teremos ocampo escalar do FBG obstruído por um elemento finito circular:

Ψ𝐵𝐺 = −𝑖𝑘𝐴

2𝑧𝑄exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝐽0


2𝑧𝑄

)exp

[− 1

4𝑄

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]−

−

⎧⎨⎩−𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]⎫⎬⎭ .(5.8)

Agora, para um feixe monocromático com 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑘 = 2𝜋𝜆

, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃,𝜃 = 0, 0021, Δ𝜌𝐵 = 2.4

𝑘𝜌, Δ𝜌𝐺 = 40Δ𝜌𝐵, 𝑅 = 5Δ𝜌𝐵, 𝑞𝑅 = 1

2Δ𝜌2𝐺

e 𝐿 = 10𝑅2 podemosconstruir, via simulação, diversas possibilidades de gráficos. Usaremos 𝑁 = 30.

Na Fig. 21, podemos observar a projeção longitudinal do módulo ao quadrado docampo da Eq. (5.8) para o caso do FBG em 𝑧 = 0, onde se nota exatamente a região deobstrução. Na Fig. 22, observa-se a intensidade do campo on-axis.

A Fig. 23 apresenta o quadrado da magnitude do campo da Eq. (5.8) emanado apósum obstáculo para o caso do FBG em 3D. Pode-se notar a reconstrução do feixe quaseque imediatamente após o obstáculo. O FBG é uma solução exata da equação de ondaparaxial, e seu fluxo de energia é finito, possibilitando sua reprodução em laboratório.Pode-se notar o decaimento da intensidade em 𝑧. Já a Fig. 24, verificamos a sua projeçãoortogonal, visualizando o caráter não difrativo e sua autorreconstrução alguns centímetrosapós a obstrução. É interessante salientar que as ranhuras na imagem se deve a umalimitação do software de simulação diante do 𝑁 escolhido e da equação que está sendotrabalhada.


Figura 21: Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.8) para ocaso do Feixe de Bessel-Gauss obstruído em 𝑧 = 0, onde se observa exatamente a regiãode obstrução (𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 30, 𝑅 = 5Δ𝜌𝐵, 𝐿 = 10𝑅2, 𝜃 = 0, 0021, 𝑘 = 2𝜋

𝜆,

𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐵 = 2.4𝑘𝜌

, Δ𝜌𝐺 = 40Δ𝜌𝐵 e 𝑞𝑅 = 12Δ𝜌2

𝐺).

Figura 22: Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com 𝜌 = 0 parao caso do Feixe de Bessel-Gauss obstruído.


Figura 23: Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no caso doFeixe Bessel-Gauss obstruído.

Figura 24: Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 23 para o caso do Feixede Bessel-Gauss obstruído. As partes em branco ocorrem por uma limitação do softwareMatlab que acaba por fornecer alguns valores nulos para o argumento da função, medianteos parâmetros escolhidos (geralmente relacionados ao número de termos).


5.5 Feixe Gaussiano obstruído por elemento circular finitoNo caso do FG, o campo incidente (omitindo, por simplicidade, o termo exponen-

cial de variação temporal harmônica) é dado por:

Ψ𝐺(𝜌, 𝑧) = −𝑖𝑘𝐴

2𝑧𝑄exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]exp

(− 𝑘2𝜌2

4𝑄𝑧2

), (5.9)

onde 𝑄 = 𝑞 − 𝑖𝑘2𝑧

. Assim, aplicando a Eq. (5.1) se utilizando da Eq. (5.2) e da Eq. (5.9),teremos o campo escalar do FBG obstruido por um elemento finito circular:

Ψ𝐺 = −𝑖𝑘𝐴

2𝑧𝑄exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]exp

(− 𝑘2𝜌2

4𝑄𝑧2

)−

−

⎧⎨⎩−𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]⎫⎬⎭ . (5.10)

Agora, para um feixe monocromático com 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑘 = 2𝜋𝜆

, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃,𝜃 = 0, 0041, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4, 𝑞𝑅 = 8

𝐿e 𝐿 = 4𝑅2 podemos construir, via

simulação, diversas possibilidades de observação desse campo. Usaremos 𝑁 = 81.

Na Fig. 25, podemos observar a projeção longitudinal do módulo ao quadrado docampo da Eq. (5.10) para o caso do Feixe Gaussiano em 𝑧 = 0, onde notamos exatamentea região de obstrução. Na Fig. 26, observa-se intensidade do campo on-axis.

A Fig. 27 apresenta o quadrado da magnitude do campo da Eq. (5.10) emanadoapós um obstáculo para o caso do FG em 3D onde podemos notar o Spot de Poisson-Arago.O FG não é uma onda não difrativa, mas seu resultado não deixa de ser interessante paraefeitos de comparação e cálculo no caso do FBG. Já a Fig. 28, notamos a sua projeçãoortogonal e a formação do Spot de Poisson-Arago alguns centímetros após a obstrução.


Figura 25: Projeção longitudinal do módulo ao quadrado do campo da Eq. (5.10 (𝜆 =632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃,

Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8𝐿

).) para o caso do Feixe Gaussiano obstruído em 𝑧 = 0, onde seobserva exatamente a região de obstrução

Figura 26: Intensidade do campo on-axis, obtido da solução da Eq. (5.4), com 𝜌 = 0 parao caso do Feixe Gaussiano obstruído.


Figura 27: Quadrado da magnitude do campo emanado após um obstáculo no caso doFeixe Gaussiano obstruído.

Figura 28: Projeção ortogonal da intensidade apresentada na Fig. 27 para o caso do FeixeGaussiano obstruído.

62

6 Versão Vetorial do Método e Padrões deDistribuição de Energia

A partir da analíse do método analítico (Cap. 4) e sua utilização para o caso defeixes obstruídos (Cap. 5), realizamos nesse capítulo sua extensão para o caso vetorial, afim de descrever feixes eletromagnéticos de maneira mais ampla. Para tal intento, obtemostodas as componentes do campo elétrico e magnético emanados da abertura finita usadapara truncar o feixe incidente. Após isso, generalizamos a análise vetorial para o caso defeixes obstruídos, podendo assim observar, do ponto de vista de algumas componentes dovetor campo elétrico, a formação do Spot de Poisson-Arago para um determinado feixeorinário.

A seguir, realizamos uma análise da distribuição de energia do feixe obstruído pormeio do cálculo das componentes do vetor de Poynting.

6.1 Vetor Campo Elétrico e Campo MagnéticoPara nosso cálculo, primeiro definiremos os vetores campo elétrico e indução do

campo magnético e em coordenadas cartesianas. Assim:

��(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑥�� + 𝐸𝑦𝑦 + 𝐸𝑧𝑧, (6.1)

��(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝐻𝑥�� + 𝐻𝑦𝑦 + 𝐻𝑧𝑧 = 1𝜇0

(𝐵𝑥�� + 𝐵𝑦𝑦 + 𝐵𝑧𝑧). (6.2)

Ou seja, basta agora calcularmos essas componentes para a obtenção de todaestrutura vetorial de ambos campos.

6.2 Cálculo das componentes do Campo ElétricoConforme expusemos na Seção 3.2.1, assumiremos aqui que o campo escalar re-

presentado pela Eq. (4.34) irá descrever a componente 𝐸𝑦 do vetor campo elétrico1. Ouseja:

𝐸𝑦 = − 𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)], (6.3)

1 Poderíamos ter escolhido 𝐸𝑥, contanto que fosse uma componente transversal.

Capítulo 6. Versão Vetorial do Método e Padrões de Distribuição de Energia 63

onde o termo 𝑒−𝑖𝜔𝑡 foi suprimido de 𝐸𝑦, por não afetar as derivações e integrações a seguir.Os 𝐴𝑛 são constantes e os 𝑄𝑛 dados pela seguinte quantidade:

𝑄𝑛 = 𝑞𝑛 − 𝑖𝑘

2𝑧. (6.4)

Figura 29: Projeção ortogonal do [10 · log10 |𝐸𝑦|2] de um FG obstruído. Dados: 𝜆 = 632, 8 ·10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e

𝑞𝑅 = 8𝐿

. Podemos notar a formação do Spot de Poisson-Arago.

Considerando agora 𝐸𝑥 = 0, já que toda contribuição transversal (cartesiana) dofeixe se encontra bem descrita em 𝐸𝑦, podemos obter 𝐸𝑧 através da Lei de Gauss – Eq.(3.1) – para o espaço livre. Verificamos, assim, a seguinte relação:

𝐸𝑧 = −ˆ

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑦d𝑧 ⇒ 𝐸𝑧 = − 𝜕

𝜕𝑦

ˆ𝐸𝑦 d𝑧. (6.5)

Contudo, a Eq. (6.3) está em coordenadas cilíndricas, assim a derivação não podeocorrer diretamente. Entretanto, podemos transformar as derivadas parciais cartesianasem cilíndricas, mediante as seguintes relações [GRIFFITHS, 2007]:

𝜕

𝜕𝑥= cos 𝜑

𝜕

𝜕𝜌− sin 𝜑

𝜌

𝜕

𝜕𝜑, (6.6)


𝜕

𝜕𝑦= sin 𝜑

𝜕

𝜕𝜌+ cos 𝜑

𝜌

𝜕

𝜕𝜑, (6.7)

permanecendo 𝜕𝜕𝑧

inalterado. Como não existe nenhum termo 𝜑 em 𝐸𝑦, obtemos da Eq.(6.7) que 𝜕

𝜕𝑦= sin 𝜑 𝜕

𝜕𝜌. Assim:

𝐸𝑧 = − sin 𝜑𝜕

𝜕𝜌

ˆ𝐸𝑦 d𝑧. (6.8)

Dessa forma, para se obter 𝐸𝑧 consideremos, primeiramente, a integração de 𝐸𝑦

em relação a 𝑧.

De modo a conseguirmos uma solução analítica mais simples para essa integral, re-alizaremos a seguinte aproximação: como a exponencial 𝑒𝑖𝑘𝑧 varia muito mais rapidamentedo que os termos que possuem 𝑧, realizaremos a integração somente nessa componente.Obteremos, assim:

ˆ𝐸𝑦𝑑𝑧 =

ˆ−𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]dz ⇒

ˆ𝐸𝑦𝑑𝑧 = −𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)] ˆeikzdz ⇒


( 1ik

)−𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]⇒

ˆ𝐸𝑦𝑑𝑧 = − 1

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]. (6.9)

onde os termos em destaque enfatizam os cálculos, obedecendo a aproximação.

Agora, derivando parcialmente a Eq. (6.9) em relação a 𝜌, e nomeando a equaçãoabaixo de 𝐸𝑧, obtemos a seguinte expressão:

𝐸𝑧 = 𝜕

𝜕𝜌


= ikk𝜌

4z2 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

Qn2 J1


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]−

− ik𝜌

2z2 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]+

+k2𝜌

4z3 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

Qn2 𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]. (6.10)


onde os termos em destaque enfatizam as derivações em cadeia.

Assim, a componente 𝐸𝑧 será igual a:

𝐸𝑧 = −𝐸𝑧 sin 𝜑. (6.11)

Ao compararmos a projeção ortogonal de [10 · log10 |𝐸𝑦|2] (vide Fig. 29) com aprojeção ortogonal de [10 · log10 |𝐸𝑦|2] (vide Fig. 30), ambos de um Feixe Gaussiano Obs-truído, notamos, em especial, o quão intenso é a componente 𝐸𝑦 frente a componente 𝐸𝑧

do campo elétrico. Verificamos essa situação, visualizando a escala de intensidade norma-lizada em relação a um mesmo parâmetro (não esquecendo que estamos computando ologaritmo na base 10 de ambos os campos) denotando a disparidade entre as intensidades.Ainda observando a Fig. 30, apuramos a não criação de um Spot de Poisson-Arago (comoverificamos na Fig. 29), mas o surgimento do “Anel de Poisson”, visto que 𝐸𝑧 (Eq.(6.11))deve ser nulo sobre o eixo 𝑧 [MORALES et al., 2007].

Figura 30: Projeção ortogonal do [10 · log10 |𝐸𝑧|2] de um FG obstruído. Dados: 𝜆 = 632, 8 ·10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, e 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆, 𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4

e 𝑞𝑅 = 8𝐿

. Podemos notar a formação do “Anel de Poisson” ao invés do Spot de Poisson-Arago.


6.3 Cálculo das componentes do Campo MagnéticoJá no caso das componentes do campo magnético, podemos usar a Lei de Faraday

no espaço livre como:

∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡⇒ �� = −

ˆ(∇ × ��) d𝑡, (6.12)

Onde voltamos a incluir o termo temporal 𝑒−𝑖𝜔𝑡 junto de �� que havíamos supri-mido dos cálculos anteriormente. Entretanto, como o único termo temporal é 𝑒−𝑖𝜔𝑡, oextrairemos de todas as componentes reescrevendo, assim: ��(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ��(𝑥, 𝑦, 𝑧).Desse modo:

�� = −ˆ

𝑒−𝑖𝜔𝑡[∇ × ��(𝑥, 𝑦, 𝑧)] d𝑡 (6.13)

.

Ou seja, primeiramente precisamos encontrar o rotacional, para depois aplicar aLei de Faraday. Contudo, como o único termo que é função de 𝑡 a ser integrado é 𝑒−𝑖𝜔𝑡,temos:

�� = −[∇ × ��(𝑥, 𝑦, 𝑧)]ˆ

𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡. (6.14)

Portanto, o campo �� pode ser definido como:

�� = 1𝑖𝜔

𝑒−𝑖𝜔𝑡[∇ × ��(𝑥, 𝑦, 𝑧)] ⇒ �� = 1𝑖𝜔

(∇ × ��(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)). (6.15)

Finalmente, basta agora calcularmos o rotacional, para obtermos o campo. Defi-niremos ∇ × �� como:

∇ × �� =(

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝑦− 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧

)�� +

(𝜕𝐸𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝑥

)𝑦 +

(𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥− 𝜕𝐸𝑥

𝜕𝑦

)𝑧. (6.16)

Entretanto, sendo 𝐸𝑥 = 0, temos:

∇ × �� =(

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝑦− 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧

)�� +

(−𝜕𝐸𝑧

𝜕𝑥

)𝑦 +

(𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥

)𝑧. (6.17)

Realizaremos aqui uma aproximação: Pelo fato de 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝑦e 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝑥serem termos menos

intensos frente a 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧, os desprezaremos do cálculo de ��, já que contribuirão muito pouco

para cálculo do rotacional. Assim, teremos somente:


∇ × �� =(

−𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧

)�� +

(𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥

)𝑧 (6.18)

Com base nessa aproximação e substituindo as Eqs. (6.6) e (6.7) teremos escritocada um dos termos restantes do rotacional em coordenadas cilíndricas da seguinte forma:

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑥= cos 𝜑

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜌− sin 𝜑

𝜌

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜑⏟ ⏞ 0

(6.19)

onde o termo 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧se conserva inalterado.

Substituindo a Eq. (6.19) na Eq. (6.18), obteremos:

∇ × �� = −𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧�� + cos 𝜑

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜌𝑧 (6.20)

Temos assim da Eq. (6.15):

�� = (𝐵𝑥�� + 𝐵𝑧𝑧) (6.21)

onde,

𝐵𝑥 = − 1𝑖𝜔

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧, (6.22)

𝐵𝑧 = 1𝑖𝜔

cos 𝜑𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜌(6.23)

Ou seja, o cálculo se resume a encontrarmos 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧e 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜌. Assim, realizando as

derivações parciais desses campos, obteremos:

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑧= (6.24)

= ik2z2 exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]−

− k2

4z3 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

Q2n

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]+

+k2

2z

(1 − 𝜌2

2z2

)exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]−

− 𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)⎛⎝2ik(k2

𝜌 + k2𝜌2

z2

)z2(4Qn)2 + 2k2𝜌2

z34Qn

⎞⎠𝑒

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌+ 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]−

− 𝑖𝑘

2𝑧exp

[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

(ikk𝜌𝜌

2z2Qn− k2k𝜌𝜌

4z3(Qn)2

)J1


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)].


onde os termos em destaque enfatizam as derivações em cadeia.

Já 𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜌será:

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝜌= (6.25)

−k2k𝜌

4z2 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

Qn2 J1


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]+

+k2𝜌

2z2 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

𝑄𝑛

𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)]+

+ ik3𝜌

4z3 exp[𝑖𝑘

(𝑧 + 𝜌2

2𝑧

)]𝑁∑

𝑛=−𝑁

𝐴𝑛

Qn2 𝐽0


2𝑧𝑄𝑛

)exp

[− 1

4𝑄𝑛

(𝑘2

𝜌 + 𝑘2𝜌2

𝑧2

)].

onde, da mesma forma, os termos em destaque enfatizam as derivações em cadeia.

Com base nesses cálculos, temos enfim as componentes do campo magnético e elé-trico. Podemos iniciar agora uma análise da distribuição de energia via Vetor de Poyntingpara esses campos.

6.4 O Vetor de PoyntingA fim de estabelecer o comportamento da energia em um campo eletromagnético,

John Henry Poynting desenvolveu um estudo que culminou no teorema que leva seu nome.Por meio desse estudo podemos, de maneira geral, observar a energia acumulada peloscampos magnéticos e elétricos durante a sua propagação, processo similar ao teorema dotrabalho e energia da mecânica clássica [HEALD; MARION, 1995].

Para obtermos esse resultado para o presente estudo, primeiramente definimos ovetor Campo Magnético �� em termos do vetor Intensidade do Campo Magnético ��:

�� = 𝜇0��. (6.26)

Considerando um meio linear, homogêneo, istrópico e não dispersivo, o Teoremade Poynting na forma diferencial pode ser escrito como:

𝜕𝑈

𝜕𝑡= −∇ · �� − �� · 𝐽 (6.27)

onde 𝑢 = 1/2(�� · �� + �� · ��) é a densidade de energia do campo eletromagnético, e aquantidade �� é dada por:

�� = �� × �� (6.28)

que é denominado Vetor de Poynting. Esse fornece a densidade de potência (potênciapor unidade de área) associada ao campo. Já a Eq. (6.27) nos diz que:


A taxa de variação da densidade de energia do campo eletromagnético é igual aonegativo do fluxo por unidade de volume do vetor de Poynting menos o trabalho porunidade de volume realizado pelo campo sobre a cargas [GRIFFITHS, 2007].

Com isso podemos ter uma visualização da direção, sentido e magnitude do fluxode energia eletromagnético dos campos que se deseja tratar. Ou seja, aplicando a Eq.(6.28) aos campos eletromagnéticos obtidos a partir da análise das ondas localizadas,poderemos simular uma distribuição de energia para o feixe não difrativo obstruído.

6.5 Cálculo das xomponentes do Vetor de Poynting MédioSendo agora as componentes:

∙ 𝐸𝑥 = 0;

∙ 𝐸𝑦 dado pela Eq. (6.3);

∙ 𝐸𝑧 dado pelas Eqs. (6.11) e (6.10);

∙ 𝐵𝑥 dado pelas Eqs. (6.22) e (6.25);

∙ 𝐵𝑦 = 0 e

∙ 𝐵𝑧 dado pelas Eqs. (6.23) e (6.26),

podemos construir as componentes do Vetor de Poynting com base na Eq. (6.28). Sendo:

��(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑆𝑥�� + 𝑆𝑦𝑦 + 𝑆𝑥𝑧, (6.29)

aplicando o rotacional nas componentes de �� e ��, teremos as seguintes compo-nentes de 𝑆:

𝑆𝑥 = 12𝜇0

(𝐸𝑦 · 𝐵*𝑧 − 𝐸𝑧 · 𝐵*

𝑦), (6.30)

𝑆𝑦 = 12𝜇0

(𝐸𝑧 · 𝐵*𝑥 − 𝐸𝑥 · 𝐵*

𝑧 ), (6.31)

𝑆𝑧 = 12𝜇0

(𝐸𝑥 · 𝐵*𝑦 − 𝐸𝑦 · 𝐵*

𝑥), (6.32)

onde 𝐵*𝑥, 𝐵*

𝑦 e 𝐵*𝑧 , são os conjugados de seus respectivos campos.

A apresentação dessas componentes seria enorme diante da quantidade de termosa serem calculados. Todavia, podemos ter uma boa visualização do comportamento de ��


na transversal. Para isso, verificaremos um recorte de 𝑆𝜌 em relação a 𝑧 para o ângulofixo na origem. Além disso, trabalharemos somente com suaa parte real, ou seja, somentecomo o valor médio do Poynting:

< 𝑆𝑥 >= 12𝜇0

Re (𝐸𝑦 · 𝐵*𝑧 − 𝐸𝑧 · 𝐵*

𝑦), (6.33)

< 𝑆𝑦 >= 12𝜇0

Re (𝐸𝑧 · 𝐵*𝑥 − 𝐸𝑥 · 𝐵*

𝑧 ), (6.34)

< 𝑆𝑧 >= 12𝜇0

Re (𝐸𝑥 · 𝐵*𝑦 − 𝐸𝑦 · 𝐵*

𝑥), (6.35)

O que esperamos disso é exatamente uma convergência em determinado ponto dapropagação energética para a reconstrução do feixe, no caso não difrativo, e o Spot dePoisson-Arago para feixes ordinários.

6.5.1 𝑆𝜌 para o FG obstruído

Para obtermos o 𝑆𝜌 podemos nos utilizar das seguintes relações vetoriais [GRIF-FITHS, 2007]:

𝑆𝑥 = cos 𝜑 𝑆𝜌 − sin 𝜑 𝑆𝜑, (6.36)

𝑆𝑦 = sin 𝜑 𝑆𝜌 + cos 𝜑 𝑆𝜑. (6.37)

Por meio da Eq. (6.36) e da Eq. (6.37), temos exatamente a componente 𝑆𝜌 dovetor de Poynting escrito em componentes cartezianas que já calculamos.

A fim de verificar os resultados obtidos na análise vetorial do método, bem comoo cálculo envolvido na obtenção do vetor de Poynting, utilizaremos o Feixe GaussianoObstruído. Para isso, calcularemos a projeção ortogonal de [10 · log10 |𝑆𝜌] (utilizamos aescala logarítimica a fim de uma melhor distinção dos padrões de energia) para 𝜑 =0 de forma a verificar sua propagação em 𝑧. O feixe em questão possui as seguintescaracterísticas: 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆,

𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8𝐿

.

O resultado desse processo pode ser observado na Fig. 31. Utilizamos, nesse caso,um 𝑁 = 30 notando, de forma clara, a distribuição de energia e a formação do Spot dePoisson-Arago na altura de 𝑧 = 0, 2 𝑚. Portanto, esse resultado evidencia que toda aanálise vetorial e aproximações funcionaram para a descrição da componente 𝑆𝜌 do vetorde Poynting, e que a análise vetorial, junto de todas as suas aproximações, descreveramde forma efetiva o método.


Figura 31: Projeção ortogonal do [10 · log10 |𝑆𝜌] de um Feixe Gaussiano Obstruído para𝜑 = 0. Dados: 𝜆 = 632, 8 · 10−9 𝑚, 𝑁 = 81, 𝑅 = Δ𝜌𝐺, 𝐿 = 4𝑅2, 𝜃 = 0, 0041, 𝑘 = 2𝜋

𝜆,

𝑘𝜌 = 𝑘sin𝜃, Δ𝜌𝐺 = 1 · 10−4 e 𝑞𝑅 = 8𝐿

.

72

Conclusão

Neste trabalho mostramos a eficácia e abrangência do método analítico desenvol-vido por Michel Zamboni-Rached et al [ZAMBONI-RACHED et al., 2012b]. Por inter-médio de sua descrição analítica de alguns importantes feixes ópticos truncados por umaabertura finita, conseguimos obter importantes feixes ópticos obstruídos por obstáculoscirculares.

Com esses resultados, obtivemos uma descrição analítica da autorreconstrução dosFeixes de Bessel e Bessel-Gauss, bem como da formação do Spot de Poisso-Arago associadoà Ondas Planas e Feixes Gaussianos.

Sobre essa obtenção do Spot de Poisson-Arago, é importante ressaltar a distin-ção que ocorre entre os feixes ordinários em relação aos feixes não difrativos. Enquantono primeiro caso o Spot surge na sobra opaca, quando a luz passa pela borda de umobstáculo, atingindo a parede de captura da imagem em fase, criando, assim, interferên-cias construtivas (Fig. 2); no caso não difrativo o processo embora parecido, ocorre porconta das propriedades de autorreconstrução do feixe (vide [RECAMI; RACHED, 2009]e [RACHED, 2009]). Por conta disso, não englobamos no caso não difrativo o Spot dePoisson-Arago, embora aparentemente pareçam ser o mesmo fenômeno.

Outro importante resultado obtido é a comprovação da extensão dos métodosanalíticos que descrevem feixes truncados e obstruídos para o caso vetorial. Embora ocaso escalar seja suficiente para a descrição de todo o comportamento de importantesfeixes ópticos, conseguimos com o caso vetorial uma análise da distribuição de energiapor intermédio do Vetor de Poynting durante a propagação do feixe, mostrando inclusiveos pontos de maior intensidade no processo de autorreconstrução após o obstáculo circular.Verificamos assim, que todos os cálculos analíticos, bem como as aproximações realizadas,favoreceram a obtenção desses resultados e se mostraram, além de corretos, mais uma vez,muito eficazes.

Uma possibilidade para trabalhos futuros seria simular as linhas de fluxo de po-tência tal como observado no artigo Energy flow lines and the spot of Poisson–Arago[GONDRAN; GONDRAN, 2010], por meio de simulação analítica, e não numérica comoos autores realizaram, bem como obter resultados práticos dessas análises.

73

Referências

AKHMANOV, A.; NIKITIN, S. Physical Optics. 1. ed. Nova York, EUA: OxfordUniversity Press, 1997. Citado na página 22.

ARFKEN, G.; H, W. Física matemática: métodos matemáticos para engenharia e física.Rio de Janeiro, RJ: Elsevier, 2007. Citado 3 vezes nas páginas , 81 e 82.

ASSIS, M. C. de. Refletores Parabólicos usados na geração de feixes não difrativos.Dissertação (Mestrado) — UNICAMP - Universidade Estadual de Campinas, 2013.Disponível em: <www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=000907713fd=y>.Citado 3 vezes nas páginas 21, 23 e 25.

BAKER, B.; COPSON, E. The Mathematical Theory of Huygens’ Principle. 3. ed. NewYork, USA: AMS Chelsea Publishing, 1987. Citado na página 49.

BERKELEY, U. Poisson’s spot: Interference pattern within circular shadow. 2016.http://berkeleyphysicsdemos.net/node/546. [UC Berkeley Physics LectureDemonstrations Room – Online; acessado 06-Abril-2016]. Citado 2 vezes nas páginase 26.

CARVALHO, S. Einstein – Uma Luz sobre a Luz. Centro de Divulgação Científicae Cultural (CDCC -USP), 2005. Disponível em: <http://www.cdcc.usp.br/fisica-/Professores/Einstein-SHMCarvalho/Einstein-SHMCarvalho.pdf>. Citado na página21.

DAUGER, D. Simulation and study of Fresnel diffraction for arbitrary twodimensionalapertures. Computers in Physics, v. 10, p. 591, 1996. Citado na página 26.

DING, D.; ZHANG, Y. Notes on the Gaussian beam expansion. J. Acoust. Soc. Am.,v. 116, p. 1401–1405, 2004. Citado na página 43.

DURNIN, J. Exact solutions for nondiffracting beams. Journal of the Optical Society ofAmerica A., v. 4, p. 651–654, 1987. Citado 2 vezes nas páginas e 24.

DURNIN, J.; MICELI, J.; EBERLY, J. Comparison of Bessel and Gaussian beams. Opt.Lett., v. 13, p. 79–80, 1988. Citado na página 25.

EINSTEIN, A. Essays in Science. 1. ed. [S.l.]: Philosophical Library/Open Road, 1931(2015). Citado na página 17.

EISBERG, R.; RESNICK, R. Física Quântica. Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos epartículas. 1. ed. Rio de Janeiro, Brasil: Campus, 1979. Citado na página 23.

FONTANA, E. eBook “Eletromagnetismo 2”. 2016. https://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo2/. [Eduardo Fontana: Professor Titular do Departamento deEletrônica e Sistemas da Universidade Federal de Pernambuco – Online; acessado22-Agosto-2016]. Citado na página 29.

http://berkeleyphysicsdemos.net/node/546

http://www.cdcc.usp.br/fisica/Professores/Einstein-SHMCarvalho/Einstein-SHMCarvalho.pdf

http://www.cdcc.usp.br/fisica/Professores/Einstein-SHMCarvalho/Einstein-SHMCarvalho.pdf

https://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo2/

https://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo2/

Referências 74

GONDRAN, M.; GONDRAN, A. Energy flow lines and the spot of Poisson–Arago.American Journal of Physics, v. 78, n. 6, p. 598–602, 2010. Disponível em:<http://dx.doi.org/10.1119/1.3291215>. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 72.

GOODMAN, J. W. Introduction to Fourier Optics. USA: The McGraw-Hill Companies,Inc., 1996. Citado 3 vezes nas páginas 21, 42 e 79.

GORI, F.; GUATTARI, G. Bessel-Gauss beams. Opt. Commun, v. 64, p. 491–495,1987. Disponível em: <https://www.researchgate.net/publication/222390776 Bessel-Gauss Beams>. Citado na página 43.

GRADSHTEYN, I. S. A.; RYZHIK, I. M. Gradshteyn and Ryzhik’s Table of Integrals,Series, and Products. 5. ed. California, USA: Academic Press, 1995. Citado na página32.

GRIFFITHS, D. J. Introduction to Electrodynamics. 3. ed. [S.l.]: Pearson Education,2007. Citado 3 vezes nas páginas 63, 69 e 70.

HEALD, M. A.; MARION, J. B. Classical Electromagnetic Radiation. 3. ed. Orlando,USA: Saunders College Publishing, 1995. Citado na página 68.

JACKSON, J. Classical Electrodynamics. 3. ed. Hoboken,NJ; EUA: John Wiley Sons,Inc, 1999. Citado na página 28.

JONATHAN, L.; RENNIE, R. Oxford Dictionary of Physics. 7. ed. United Kingdom:Oxford University Press, 2015. Citado na página 21.

KRAPAS, S. Livros Didáticos: Maxwell e a Transposição Didática da Luz como Ondaeletromagnética. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 28, p. 564–600, 2011. Citadona página 23.

KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics. Jefferson City, MO: Elsevier, 2011.Citado na página 80.

MAXWELL, J. A dynamical theory of electromagnetic field In: NIVEN, D. The scientificpapers of James Clerk Maxwell. 1. ed. New York, EUA: Dover, 1952. Citado na página23.

MORALES, M.; OTERO, M.; CASTILLO, M.; S, C. Conical dynamics of Bessel beams.Opt. Eng., v. 46, 2007. Citado na página 65.

RACHED, M. Unidirectional decomposition method for obtaining exact localized wavesolutions totally free of backward components. Phys. Rev. A, v. 79, p. 013816„ 2009.Citado na página 72.

RECAMI, E.; RACHED, M. Localized waves: a review. Advances in Imaging andElectron Physics, v. 156, p. 235–353, 2009. Citado na página 72.

SIVILOGLOU, J.; BROKY, J.; DOGARIU, A.; CHRISTODOULIDES, D. Observationof Accelerating Airy Beams. Physical Review Letters, v. 99, p. 213901–1 – 213901–4,2007. Citado na página 25.

STEVENSON, A.; WAITE, M. Concise Oxford English Dictionary: Luxury Edition. 12.ed. United Kingdom: Oxford University Press, 2011. Citado na página 21.

http://dx.doi.org/10.1119/1.3291215

Referências 75

STEWART, I. Uma História Da Simetria Na Matemática. 1. ed. Brasil: Zahar, 2012.Citado na página 21.

STRATTON, J.; CHU, L. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves. PhysicalReview, v. 56, p. 99–107, 1939. Citado 2 vezes nas páginas 23 e 24.

UMTSEV, P. Fundamentals of the Physical Theory of Diffraction. 2. ed. Hoboken, NewJersey: John Wiley Sons, Inc, 2014. Citado na página 23.

WEN, J.; BREAZELE, M. A. A diffraction beam field expressed as the superposition ofGaussian beams. J. Acoust. Soc. Am., v. 83, p. 1752–1756, 1988. Citado na página 43.

WOLF, E.; BORN, M. Principles of Optics - Electromagnetic theory of propagationinterference and diffraction of light. 7. ed. United Kingdom: Cambridge University Press,2005. Citado na página 26.

ZAMBONI-RACHED, M. Notas de Aula do Prof. Michel Zamboni-Rached. 1. ed. [S.l.:s.n.], 2013. Citado 4 vezes nas páginas 29, 38, 39 e 41.

ZAMBONI-RACHED, M.; HERNANDEZ-FIGUEROA, H.; RECAMI, E. LocalizedWaves. 1. ed. Hoboken, USA: Wiley-Interscience, 2008. (Wiley Series in Microwave andOptical Engineering). Citado 3 vezes nas páginas 23, 25 e 47.

ZAMBONI-RACHED, M.; RECAMI, E.; BALMA, M. A Simple Analy-tical Method for Describing Important Optical Beams Truncated byFinite Apertures. Proceedings of PIERS, Moscow, RUSSIA, p. 464–468, 2012. Disponível em: <http://piers.org/piersproceedings/download-.php?file=cGllcnMyMDEyTW9zY293fDJBNV8wNDY0LnBkZnwxMjAzMDcyMjM4NTg=>.Citado na página 47.

ZAMBONI-RACHED, M.; RECAMI, E.; BALMA, M. Simple and effective methodfor the analytic description of important optical beams when truncated by finiteapertures. Applied Optics, v. 51, n. 16, p. 3370–3379, 2012. Disponível em: <http:/-/arxiv.org/abs/1203.2604>. Citado 9 vezes nas páginas , 17, 18, 19, 42, 46, 47, 48e 72.

http://piers.org/piersproceedings/download.php?file=cGllcnMyMDEyTW9zY293fDJBNV8wNDY0LnBkZnwxMjAzMDcyMjM4NTg=

http://piers.org/piersproceedings/download.php?file=cGllcnMyMDEyTW9zY293fDJBNV8wNDY0LnBkZnwxMjAzMDcyMjM4NTg=

http://arxiv.org/abs/1203.2604

http://arxiv.org/abs/1203.2604

Anexos

77

ANEXO A – Solução da Equação de Onda –Onda Plana

Seja a equação que descreve uma onda plana dada por:

�� = ��𝑜 𝑒𝑖��·�� 𝑒−𝑖𝜔𝑡, (A.1)

onde ��𝑜 é um campo vetorial constante, �� = 𝑟𝑥�� + 𝑟𝑦𝑦 + 𝑟𝑧𝑧 e 𝜔 a frequência. Com disso,�� faz dessa função uma solução da equação de onda, entretanto, faz-se necessário realizaro seguinte acoplamento:

𝑘 = |𝑘| = 𝜔

𝑐= 2𝜋

𝜆, (A.2)

denominado vetor de onda (número de onda). Esse informa o quão rápido uma per-tubação se modifica numa dada distância num ponto específico do tempo. Já 𝜆 é o com-primento de onda.

Para Eq. (A.1) ser solução da equação de onda eletromagnética, deve satisfazeras Eqs. (3.6) e (3.7). Assim, utilizando a Lei de Gauss – Eq. (3.1) – no espaço livre, esubstituindo em (A.1), temos:

∇ · �� = 0 ⇒ (A.3)

∇ · (��𝑜 𝑒𝑖��·�� 𝑒−𝑖𝜔𝑡) = 0 ⇒ (A.4)

��𝑜 · ∇ · (𝑒𝑖��·��) = 0. (A.5)

O diferencial de ��𝑜 é zero, pois a função é constante. Assim:

��𝑜 · ∇ · (𝑒𝑖��·��) = 0 ⇒ (A.6)

𝑖𝑒𝑖��·��(�� · ��𝑜) = 0, (A.7)

ou seja, ��𝑜 ⊥ (perpendicular) ��, onde �� · �� = 𝑘𝑥𝑥 + 𝑘𝑦𝑦 + 𝑘𝑧𝑧, satifazendo a Eq. (3.6).

Realizando o mesmo processo para o Campo Magnético, temos:

�� = ��𝑜 𝑒𝑖��·�� 𝑒−𝑖𝜔𝑡, (A.8)

ANEXO A. Solução da Equação de Onda – Onda Plana 78

e a substituindo em (3.3), temos que:

∇ × �� = 𝑖𝜔�� ⇒ �� = (−𝑖)𝜔

∇ × ��. (A.9)

Aplicando a Eq. (A.8), obtemos:

�� = (−𝑖)𝜔

∇ × (��𝑜𝑒𝑖��·��𝑒−𝑖𝜔𝑡). (A.10)

De forma parecida, o rotacional de ��𝑜 é zero, pois a função é constante. Assim:

�� = 1𝜔

𝑒𝑖��·��(�� × ��𝑜). (A.11)

Como �� = 𝜔𝑐𝑘, podemos reescrever a equação acima como:

�� = 1𝑐

𝑒𝑖��·��(𝑘 × ��𝑜). (A.12)

Podemos concluir com isso que �� ⊥ ��, �� ⊥ �� e �� ⊥ ��, o que caracteriza exa-tamente uma onda plana e satifaz a Eq. (3.7). Importante lembrar que se uma soluçãosatisfaz a equação de onda, não quer dizer que estará imediatamente satisfazendo asequações de Maxwell.

79

ANEXO B – Fundamentos Matemáticos

Trago aqui algumas ferramentas matemáticas essenciais, mas não muito triviais,utilizadas durante esse projeto.

B.1 Análise de FourierA transformada de Fourier em sistemas Ópticos e na Engenharia Elétrica nas áreas

de Telecomunicações e telemática é fundamental a compreensão de diversos fenômenos.Como afirma Goodman [GOODMAN, 1996]:

“Desde o final da década de 1930, o venerável ramo da física conhecidocomo óptica tem desenvolvido laços cada vez mais estreitos com as ciências dacomunicação e da informação na engenharia elétrica. A tendência é compreen-sível para os sistemas de comunicação e sistemas de imagem, visto que ambosforam projetados para coletar ou transmitir informações. No primeiro caso, ainformação é geralmente de natureza temporal (por exemplo, uma tensão mo-dulada ou na forma de onda de corrente), enquanto que no último caso, é denatureza espacial (por exemplo, uma amplitude de distribuição da intensidadeda luz ao longo do espaço), mas a partir de um ponto de vista abstrato, essa di-ferença é praticamente superficial. Talvez o laço mais forte entre os dois casosresida no trato matemático semelhante que pode ser utilizado para descreveros respectivos sistemas de interesse: a matemática da análise de sistemas e ateoria de Fourier (...)”.

Ou seja, a análise de fourier (com maior enfoque na transformada de Fourier) é umaferramenta fundamental para esse estudo. Dessa forma, apresentarei um breve resumo deseus principais pontos.

B.1.1 Série de Fourier

Assim, definindo uma função 𝑓(𝑥) como uma função periódica de período 2𝐿,pode-se representá-la por uma série de Fourier:

𝑓(𝑥) = 𝑎0

2 +∞∑

𝑛=1

[𝑎𝑛 cos

(𝑛𝜋𝑥

𝐿

)+ 𝑏𝑛 sin

(𝑛𝜋𝑥

𝐿

)], (B.1)

ANEXO B. Fundamentos Matemáticos 80

onde podemos definir:

𝑎𝑛 = 1𝐿

��

−𝐿

𝑓(𝜈) cos(

𝑛𝜋𝜈

𝐿

)𝑑𝜈, 𝑛 ≥ 0, (B.2)

𝑏𝑛 = 1𝐿

��

−𝐿

𝑓(𝜈) sin(

𝑛𝜋𝜈

𝐿

)𝑑𝜈, 𝑛 ≥ 1. (B.3)

B.1.2 Integral de Fourier

Substituindo (B.2) e (B.3) em (B.1), aplicando 𝐿 −→ ∞ e realizando algumasconsiderações sobre os limites da função (vide [KREYSZIG, 2011]) se obtém a integralde Fourier:

𝑓(𝑥) =∞

0

[𝐴(𝜔) cos(𝑥𝜔) + 𝐵(𝜔) sin(𝑥𝜔)] 𝑑𝜔, (B.4)

onde,

𝐴(𝜔) = 1𝜋

∞

−∞

𝑓(𝜈) cos(𝜔𝜈) 𝑑𝜈, 𝜔 ≥ 0, (B.5)

𝐵(𝜔) = 1𝜋

∞

−∞

𝑓(𝜈) sin(𝜔𝜈) 𝑑𝜈, 𝜔 ≥ 0. (B.6)

Substituindo agora (B.5) e (B.6) em (B.4), temos:

𝑓(𝑥) = 1𝜋

∞

0

∞

−∞

𝑓(𝜈)[cos(𝜔𝜈) cos(𝜔𝑥) + sin(𝜔𝜈) sin(𝜔𝑥)] 𝑑𝜔𝑑𝜈. (B.7)

Aplicando algumas relações trigonométricas e fazendo algumas análises quanto aparidade das funções (vide [KREYSZIG, 2011]), teremos:

𝑓(𝑥) = 12𝜋

∞

−∞

⎡⎢⎣∞

−∞

𝑓(𝜈) cos(𝜔𝑥 − 𝜔𝜈) 𝑑𝜈

⎤⎥⎦ 𝑑𝜔. (B.8)

Portanto, pode-se definir que a integração (B.8) em seno ao invés de cosseno serianula pelo fato de sin(𝜔𝑥 − 𝜔𝜈) ser uma função ímpar em seu intervalo de integração:


𝑓(𝑥) = 12𝜋

∞

−∞

⎡⎢⎣∞

−∞

𝑓(𝜈) sin(𝜔𝑥 − 𝜔𝜈) 𝑑𝜈

⎤⎥⎦ 𝑑𝜔 = 0. (B.9)

Assim, lembrando que a fórmula de Euler é 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃, e somando a Eq.(B.8) com (B.9), conseguimos escrever:

𝑓(𝑥) = 12𝜋

∞

−∞

∞

−∞

𝑓(𝜈)𝑒𝑖𝜔(𝑥−𝜈)𝑑𝜈𝑑𝜔, (B.10)

que é a integral de Fourier na forma complexa.

B.1.3 Transformada de Fourier

Separando e reagrupando a exponencial em (B.10):

𝑓(𝑥) = 1√2𝜋

∞

−∞

⎡⎢⎣ 1√2𝜋

∞

−∞

𝑓(𝜈)𝑒−𝑖𝜔𝜈𝑑𝜈

⎤⎥⎦ 𝑒𝑖𝜔𝑥𝑑𝜔. (B.11)

Isolando a expressão dentro dos colchetes, substituindo 𝜈 por 𝑥 podemos definí-lacomo a Transformada de Fourier:

𝑓 ′(𝜔) = 1√2𝜋

∞

−∞

𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥. (B.12)

Já a transformada de Fourier inversa é a própria Eq. (B.11) adaptada:

𝑓(𝑥) = 1√2𝜋

∞

−∞

𝑓 ′(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑥𝑑𝜔. (B.13)

Podemos observar que o núcleo 𝑒𝑖𝜔𝑥 da transformada está relacionado a descriçãoda onda que se deseja estudar, aparecendo com frequência em estudos de ondas e naextração de informações de ondas, em particular, quando são envolvidas informações defase [ARFKEN; H, 2007].

B.2 A Transformada de HankelOutra transformada importante é a de Hankel, definida como:

𝑓(𝑥) =∞

0

𝑓 ′(𝜔)𝜔𝐽𝑛(𝜔𝑥)𝑑𝜔, (B.14)


onde sua inversa é dada por:

𝑓 ′(𝜔) =∞

0

𝑓(𝑥)𝑥𝐽𝑛(𝜔𝑥)𝑑𝑥, (B.15)

que representam o caso limite de uma série de Fourier-Bessel, geralmente utilizada emcasos de potencial em coordenadas cilíndricas [ARFKEN; H, 2007].

O termo 𝐽𝑛 é uma função de Bessel traremos a seguir.

B.3 Função de Bessel

Figura 32: Funções de Bessel 𝐽0, 𝐽1 e 𝐽2 com aplitude inicial ±1 e depois caindo assinto-ticamente com 𝑥−1/2 [ARFKEN; H, 2007])

As funções de Bessel (observado nas Eqs. (B.2) e (B.2)) possuem rica aplicaçãoem diversas áreas da ciência e da matemática, sendo estudadas e pesquisadas até hoje.Embora o interesse primário nas Funções de Bessel fosse na obtenção de soluções deequações diferenciais, suas aplicações se expandiram muito além disso. [ARFKEN; H,2007].

Uma função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira 𝑛 é definida como:

𝐽𝑛(𝑥) =∞∑

𝑠=0

(−1)𝑠

𝑠!(𝑛 + 𝑠)!

(𝑥

2

)𝑛+2𝑠

= 𝑥𝑛

2𝑛𝑛! − 𝑥𝑛+2

2𝑛+2(𝑛 + 1)! + . . . . (B.16)

É importante ressaltar que as funções de Bessel oscilam, mas não são periódicas.A amplitude não é constante, mas decresce assintoticamente com 𝑥−1/2 (vide Fig. 32).

Sua forma integral pode ser escrita como:


𝐽𝑛(𝑥) = 12𝜋

ˆ 𝜋

−𝜋

𝑒−𝑖𝑛𝑥 𝑒(𝑖𝑥 sen𝑥) d𝑥 (B.17)

Que é uma função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira n.

B.3.1 Algumas propriedades da Função de Bessel

Alguma propriedades da função de Bessel utilizadas nesse projeto:

𝑑

𝑑𝑥𝐽𝑎(𝑥) = 𝐽𝑎−1(𝑥) − 𝑎

𝑥𝐽𝑎(𝑥). (B.18)

𝑑

𝑑𝑥𝑧𝑎𝐽𝑎(𝑥) = 𝑧𝑎 𝐽𝑎−1(𝑥). (B.19)

mÉtodoanalÍticoparadescriÇÃo deimportantesfeixesÓpticos...

Documents