método de análise de taludes reforçados sob condições de

Método de Análise de Taludes Reforçados sobCondições de Trabalho

Método de Análisis de Taludes Reforzados bajo Condiciones de TrabajoWorking Stress Analysis Method for Reinforced Soil Slopes

Bruno Teixeira Dantas, M.Sc.Professor Assistente, Universidade Tuiuti do Paraná

Maurício Ehrlich, D.Sc.Professor Adjunto, COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro

Resumo. Neste trabalho, desenvolve-se um método analítico fechado para o dimensionamento interno de estruturasde solo reforçado de inclinação qualquer baseado em condições de trabalho. Mostra-se a importância da consideraçãoda compactação e da rigidez relativa solo-reforço na análise e projeto deste tipo de estrutura. A comparação com osresultados de análises numéricas mostrou a boa capacidade de previsão do método. Umprocedimento para a determinaçãoda tensão vertical no talude foi desenvolvido baseado na posição dos pontos de tração máxima. O método pode seraplicado através de equações ou de ábacos adimensionais. Um exemplo de dimensionamento é fornecido.

Resumen. En este trabajo, se desarrolla un método analítico cerrado para el dimensionamiento interno deestructuras de suelo reforzado de cualquier inclinación bajo condiciones de trabajo. Se muestra la importanciade la consideración de la compactación y de la rigidez relativa suelo-refuerzo en el análisis y proyecto de estetipo de estructura. Con base en estudios numéricos, se desarrolló un procedimiento para la determinación de latensión vertical aplicada en los puntos de máxima tracción en el refuerzo. Se demuestra la buena capacidad deprevisión del método a través de comparación de resultados obtenidos analiticamente y a través de análisisnuméricos. El método puede ser aplicado a través de ecuaciones o utilizando ábacos adimensionales. Un ejemplode dimensionamiento es mostrado

Abstract. This work presents a closed form analytical method for the internal design of reinforced soil slopes basedon working stresses. It is shown that compaction and relative soil-reinforcement stiffness are important factors to beconsidered in the analysis and design of these structures. Good predictive capability of the proposed method wasdemonstrated by comparison with finite elements analyses. A procedure based on the position of the maximumreinforcement tension point was developed to determine the overburden stress on reinforced slopes. The method can beapplied either through equations or using design charts. A design example is included.

1. Introdução

Um grande número de procedimentos para di-mensionamento de estruturas de solo reforçadovem sendo desenvolvido nas últimas décadas.

Os métodos convencionais de análise e projetosão essencialmente baseados em fundamentaçãoempírica, como resultado de observações de campoe modelos em laboratório (Mitchell e Villet, 1987;Christopher et al., 1990). Entretanto, todo procedi-

mento empírico tem a limitação intrínseca de seraplicável somente a casos similares aos que o fun-damentam.

Um outro enfoque é baseado na análise limite(Juran e Chen, 1989; Juran et al., 1990) ou nométodo do equilíbrio limite (Leshchinsky e Boe-deker, 1989; Jewell, 1991). Trata-se de procedi-mentos bastante elaborados para determinar ascondições de ruptura da massa. Zornberg et al.(1998a) mostra que, mesmo baseados em diferentes

Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): 113-133, Agosto, 2000. 113

hipóteses, diversos métodos de equilíbrio limitetendem a apresentar pequenos desvios nos resul-tados, quando utilizada uma distribuição uniformede tração com a profundidade. No entanto, taismétodos são incapazes de levar em consideraçãofatores de importância no comportamento da massareforçada, tais como a compactação do solo e arigidez relativa solo reforço.

Uma outra abordagem baseia-se no equilíbrioda estrutura nas condições de trabalho (Adib, 1988;Ehrlich e Mitchell, 1994). Nestes procedimentostem-se a complexa modelagem do estado de tensõese deformações do solo e do reforço, envolvendo ainteração de dois elementos, além da influência doprocesso construtivo, destacando-se o efeito dacompactação, induzindo tensões e deformações nocorpo do aterro. No entanto, a formulação analíticadesenvolvida por Adib (1988) e Ehrlich e Mitchell(1994) é restrita apenas a taludes verticais.

Neste trabalho, apresenta-se um novo métodode análise baseado em condições de trabalho, apli-cável a taludes de inclinação qualquer, desenvol-vido por Dantas (1998). A abordagem utilizada nodesenvolvimento deste método é similar à adotadapor Ehrlich e Mitchell (1994). Trata-se de um pro-cedimento analítico desenvolvido sob forma deequações fechadas, que permite levar em conside-ração explicitamente a influência da compactaçãodo solo e da rigidez relativa solo reforço.

Análises numéricas (Dantas, 1998) foram utili-zadas para verificar as hipóteses adotadas no desen-volvimento analítico e indicaram uma boacapacidade de previsão do método.

2. Análise de Estruturas de Contençãode Solo Reforçado

A análise da estabilidade interna de uma estru-tura de solo reforçado passa pela determinação datensão máxima atuante nos reforços, que é o aspectomais importante nesta etapa de projeto. Esta tensãoé decorrente da interação solo-reforço, que pro-move a transferência de esforços, seja por atrito oupor resistência passiva, do solo para o reforço.Dividindo-se a massa em zona ativa (instável) ezona resistente (estável), Fig. 1, a estabilidade daprimeira está assegurada desde que, sob ação dascargas, não haja ruptura por tração do reforço e oembutimento na zona resistente seja suficiente paraevitar o seu arrancamento.

2.1. Equilíbrio interno

Considera-se que cada reforço é responsávelpelo equilíbrio horizontal da camada correspon-dente na zona ativa de espessura Sv e largura Sh, Fig.1, onde Sv e Sh são os espaçamentos vertical ehorizontal entre reforços adjacentes, respectiva-mente. Admite-se que os esforços internos dessacamada são os atuantes na região ABCD da Fig.1.

A inclinação da face da estrutura leva a umaredução da tração máxima a ser suportada pelosreforços, em relação a uma mesma estrutura comface vertical. Neste caso, a hipótese adotada porEhrlich e Mitchell (1994) de se considerar nula aresultante das tensões cisalhantes atuantes ao longode AB e DC, F→AB e F→DC, respectivamente, não seapresenta válida.

Dantas & Ehrlich

114 Solos e Rochas, São Paulo, 23, (2): 113-133, Agosto, 2000.

Figura 1. Equilíbrio interno de uma estrutura de solo reforçado de inclinação qualquer.

F→AB + F→DC ≠ 0 (1)

Considerou-se, no desenvolvimento do método,que a resultante das tensões cisalhantes é equiva-lente à tensão τxzEC

, atuante ao longo de EC, devidoà diferença de comprimento entre AB e DC. Nocaso de taludes verticais, tal resultante é nula já queos pontos E e C são coincidentes. Dessa forma, aEq. 2 pode ser representativa das condições deequilíbrio da fatia, Fig. 1. Trata-se, esta hipótese, deum procedimento simplificador que levou a bonsresultados quando cotejados com obtidos por vianumérica (Dantas, 1998).

T − Sv . Sh . (σh)méd + EC___

. Sh . τszEC = 0 (2)

onde: T = tração máxima no reforço; τxzEC= tensão

cisalhante no solo atuante ao longo de EC;(σh)méd = tensão horizontal média no solo entre zm

e zn atuando no plano vertical normal ao reforço noponto de tração máxima; EC = comprimento entreos pontos E e C da Fig. 1 (EC = Sv/tan ω); eω = ângulo de inclinação da face da estrutura coma horizontal.

A tensão cisalhante τxzECnão é facilmente

obtida diretamente por via analítica. Considerou-seτxzEC

como função da tensão cisalhante no soloatuante no ponto de máxima tensão no reforço (τxz):

τxzEC = f . τxz (3)

onde f = fator de ajuste.Com base em comparações entre resultados nu-

méricos (Dantas, 1998) e analíticos definiram-sevalores para f, conforme apresentado na Fig. 4.

Desta forma, a Eq. (2) pode ser reescrita como:

T − Sv . Sh . (σh)méd + Sv . Sh .f . τxz

tanω= 0 (4)

A Eq. (4) apresenta 3 incógnitas (T, (σh)méd eτxz), sendo 2 independentes. As tensões (σh)méd e τxz

atuantes no ponto de tração máxima estão re-lacionadas pelo círculo de Mohr, Fig. 2, conside-rando a rotação δ das tensões principais em relaçãoà horizontal ou vertical.

Admitindo-se,

(σh)méd = σx = K . σz

e

δc = 90 − ω2

(5)

δ =δd = 0,90 . δc

onde: σx = tensão horizontal atuante no ponto demáxima tensão; K = coeficiente de empuxo lateralno nível do reforço considerado; σz = tensão verti-cal atuante no ponto de máxima tensão; δc = ânguloque os planos principais fazem com a horizontal ouvertical no carregamento, resultante de θ = (ω + φm)/2(θ = ângulo da superfície potencial de ruptura,adotado, por simplificação, idêntico ao correspon-dente à condição ativa de Rankine); φm = ângulo deatrito mobilizado no solo; e δd = ângulo que osplanos principais fazem com a horizontal ou verti-cal no descarregamento, considerado de forma amelhor representar os resultados das análises numé-ricas (Dantas,1998).

A tensão τxz pode ser escrita como:

τxz = σz

2. ( 1 − K ) . tan2δ (6)

A Eq. (4) pode, então, ser escrita como:

T − Sv . Sh . K . σz + Sv . Sh . f . σz .( 1 − K )

2.

tan2δtanω

= 0 (7)

A Eq. 7 passa agora a 2 incógnitas (T e K), jáque a tensão vertical σz ao longo do talude pode serconsiderada um dado de entrada. Um procedimentobastante simples para a determinação da tensãovertical, baseado nos resultados das análises numé-ricas, é apresentado mais adiante (item 4.1).

Análise de Taludes Reforçados


Figura 2. Círculo de Mohr de um elemento de solo próximo aoponto de tração máxima.

Uma solução analítica fechada para determi-nação da tração máxima em cada nível de reforço édesenvolvida a seguir, relacionando as incógnitas Te K, de forma análoga à apresentada em Ehrlich eMitchell (1994).

2.2. O reforço e a interação solo-reforço

Ehrlich e Mitchell (1994) mostraram que asincógnitas T e K são interdependentes. Modelandoo reforço como elástico linear, a tração máxima noreforço, T, é determinada por:

T = Er . Ar . εxr (8)

onde Er = módulo de Young do reforço; Ar = áreatransversal do reforço; e εxr = deformação espe-cífica do reforço no ponto de tração máxima.

Baseados nos estudos de Jewell (1980) e Dyere Milligan (1984), Ehrlich e Mitchell (1994) admi-tiram a hipótese de aderência perfeita solo reforçono ponto de máxima tração. Tal hipótese implicaque não ocorre deslizamento entre o solo e o reforçoneste ponto. Daí tem-se:

εxr = εxs (9)

onde εxs = deformação específica do solo na direçãodo reforço no ponto de tração máxima

A deformação εxs do solo depende do modeloconstitutivo adotado e do caminho de tensões a quese sujeita o ponto de tensão máxima durante oprocesso construtivo, que são apresentados a se-guir.

2.3. O solo

O solo é admitido como elástico não linear,sendo utilizada na sua representação a expressãoadotada por Ehrlich e Mitchell (1994). Esta ex-pressão é uma reformulação do modelo hiperbólicode Duncan et al. (1980).

A expressão para o módulo de Young no carre-gamento é apresentada a seguir.

E = κ . Pa . (σ3

Pa)n . (1 − Kaa

Kp )2 . (1 − Kaa)−2 (10)

onde: E = módulo de Young para carregamento;Pa = pressão atmosférica; κ, n = parâmetros adi-mensionais do modelo de Duncan et al. (1980);Kp = coeficiente de empuxo lateral em termos detensões principais; σ3 = tensão principal menor;

Kaa = Ka / {(1 - Ka).[1 + c / (σ3c.tanφ)] / Rf + Ka},é o coeficiente de empuxo ativo equivalente; c =coesão do solo; φ = ângulo de atrito do solo; Rf = re-lação de ruptura (Duncan et al., 1980); Ka = coefi-ciente de empuxo ativo de Rankine;

Para descarregamento, tem-se

Eur = κur . Pa . ( σ3

Pa)n (11)

onde Eur = módulo de Young para descarregamentoe recarregamento; κur = parâmetro adimensional domódulo de Young para descarregamento e recarre-gamento.

O coeficiente de Poisson durante o carrega-mento é considerado constante e igual ao corres-pondente às condições de carregamento Ko:

vo = Ko

1 + Ko(12)

onde νo = coeficiente de Poisson durante o carre-gamento; e Ko = 1 - sen φ (Jaky, 1944) = coeficientede empuxo no repouso.

Durante o descarregamento ou recarregamento,o coeficiente de Poisson é considerado constante eigual ao valor para condições de descarregamentoKo, baseado no procedimento de Duncan e Seed(1986), conforme adotado por Ehrlch e Mitchell(1994):

vun =K∆2

1 + K∆2(13)

em que

K∆2 = Ko .OCR − OCRα

OCR− 1(14)

onde: vun = coeficiente de Poisson durante o descar-regamento ou recarregamento; K∆2 = coeficiente dedecréscimo do empuxo lateral para o descarrega-mento sob condições Ko; α = parâmetro adimen-sional de Duncan e Seed (1986) para o descarre-gamento; OCR = razão de sobreadensamento =σzc/σze, considerada constante; σzc = máxima ten-são vertical atuante durante todo o processo cons-trutivo, incluindo as tensões induzidas pela com-pactação; e σze = tensão vertical atuante no reforçodevido apenas a uma camada da estrutura.

Dantas & Ehrlich


Ehrlich e Mitchell (1994) propuseram a seguin-te correlação para o parâmetro α, baseando-se emresultados de ensaios de laboratório de Belloti et al.(1983):

α = 0,7 . senφ (15)

A definição de K∆2 acima é uma alteração daformulação de Ehrlich e Mitchell (1994), já que aOCR é considerada constante, independente do ní-vel do reforço, o que resulta em K∆2 e vun tambémconstantes.

Com o modelo constitutivo acima, a deforma-ção εxs do solo é calculada considerando o caminhode tensões apresentado a seguir.

2.4. O caminho de tensões

O processo construtivo de estruturas de soloreforçado envolve o lançamento e compactação decamadas sucessivas até atingir a altura final pre-vista. Desta forma, não apenas as tensões geostáti-cas, mas também as tensões induzidas pelacompactação devem ser consideradas no cálculodas deformações.

Segundo procedimento sugerido por Duncan eSeed (1986), a compactação pode ser modeladacomo uma tensão vertical, unidimensional e tran-sitória aplicada no topo da camada em construção,alterando o estado de tensões no solo. A modelagemproposta por Duncan e Seed (1986) é aplicável paracondições Ko, isto é, para muros indeslocáveis arri-mando aterros compactados.

Ehrlich e Mitchell (1994) sugerem uma abor-dagem capaz de modelar condições outras que nãoKo. A tensão vertical equivalente induzida pelacompactação (σzc,i) pode ser considerada constantee independente do nível de deformação do solo,entretanto, a tensão horizontal induzida não. Paraestabelecer o estado de tensões induzido pela com-pactação, Ehrlich e Mitchell (1994) utilizaram oartifício de calcular a tensão horizontal máxima(σxp,i) - que ocorre para a situação de deformaçõesnulas, ou seja, um estado Ko de tensões - e a partirdela obter σzc,i (=σxp,i/Ko ), com a qual se calcula adeformação durante o carregamento. Ao ser reti-rado o equipamento de compactação, a tensão ver-tical no solo é a geostática (σz), envolvendo, assim,um descarregamento. Ao ser lançada e compactadanova camada, as camadas já construídas são sub-

metidas a um novo ciclo, mas, agora, de recarre-gamento e descarregamento.

Em vez de considerarem todos os ciclos decarregamento, descarregamento e recarregamento aque cada camada é submetida, Ehrlich e Mitchell(1994) adotaram um procedimento simplificado ba-seado em apenas um ciclo de carga e descarga, quefoi adaptado para taludes de inclinação qualquer,considerando a rotação das tensões principais, Fig.3. Neste caso, considera-se que o solo é submetidoa um carregamento (segmentos 1-2-3 da Fig. 3) atéa maior tensão vertical de sua história (σzc) - σ1c em

termos de tensão principal maior (rotação δc) - e aum único posterior descarregamento (segmentos

3-4-5 da Fig. 3) até a tensão vertical geostática (σz)para a situação de fim de construção - σ1 em termos

de tensão principal maior (rotação δd).

Por conveniência analítica, o carregamento nocaminho de tensões principais da Fig. 3 foi divididoem 2 etapas: (1) carregamento sem deformaçãolateral (segmento 1-2) até a tensão principal menor

de equilíbrio (σ3c); e (2) carregamento com defor-mação lateral (segmento 2-3) sob tensão principalmenor constante. Da mesma forma, o descarre-gamento foi dividido em 2 etapas: (1) descarre-gamento sem deformação lateral (segmento 3-4) até

a tensão principal menor de equilíbrio (σ3R - tensãoresidual); e (2) descarregamento com deformaçãolateral (segmento 4-5) sob tensão principal menorconstante.

Os coeficientes de empuxo lateral em termos detensões principais Ko

p, K∆2p, Kc

p e Krp são definidos

por

Figura 3. Caminho de tensões a que se sujeita um elemento desolo no ponto de tração máxima.



Kpo =

1 + Ko −( 1 − Ko )cos 2δc

1 + Ko +( 1 − Ko )cos 2δc

;

Kpc

=1 + Kc − ( 1 − Kc )

cos 2δc

1 + Kc + ( 1 − Kc )cos 2δc

;

(16)

K p∆2

=1 + K∆2 −

( 1 − K∆2 )cos 2δd

1 + K∆2 +( 1 − K∆2 )

cos 2δd

;

Kpr =

1 + Kr −( 1 − Kr )cos 2δd

1 + Kr +( 1 − Kr )cos 2δd

A tensão σzc, a máxima tensão vertical da his-tória do solo, é definida a partir da comparação datensão vertical induzida pela compactação (σzc,i)com a tensão geostática (σz):

Se

σz < σzc,i → σzc = σzc,i (17a)

ou caso

σz > σzc,i → σzc = σz (17b)

A expressão (17b) indica o caso em que a tensãovertical geostática supera a induzida pela compac-tação. Neste caso, não se considera o descarre-gamento no caminho de tensões da Fig. 3 (ossegmentos 3-4-5 são resumidos ao ponto 3≡5),admitindo-se no solo somente deformação devidoao carregamento. Assim, modela-se a tensão indu-zida pela compactação como uma espécie de so-breadensamento do solo. Enquanto σz < σzc,i, oefeito da compactação prevalece no comportamen-to tensão-deformação do solo, sendo apagado quan-do σz > σzc,i.

Definido, então, o caminho de tensões, as defor-mações do solo durante o carregamento (εxs1-3

) e

durante o descarregamento (εxs3-5) têm as seguintes

expressões:

εxs(1−3) =(1− υ2

o) . (1 − Kaa)2 . (Kp

o . σ1c − σ3c) . σ3c

κ . Pa . (σ3c

Pa)n . (σ3c − Kaa . σ1c) . (Kp

o− Kaa)

.

(sen2δc − Ko . cos2δc) (18)

εxs(3−5) =1 − υ 2

un

κur . Pa . (σ3r

Pa)n

. (σ1c − σ1 −σ3c − σ3r

K p∆2

) .

(K∆2 . cos2δd − sen2δd) (19)

2.5. As tensões induzidas pela compactação

A tensão σzc,i pode ser obtida a partir do pro-cedimento proposto por Ehrlich e Mitchell (1994).Estes autores admitem que esta tensão é constantee igual em todos os níveis de reforço, se for utilizadoum mesmo esforço, e é função do tipo de equi-pamento de compactação utilizado. Ou seja, se to-das as camadas forem compactadas exatamente damesma forma, a tensão vertical induzida (σzc,i) seráidêntica em todas as camadas. Para placas vi-bratórias, σzc,i é calculada diretamente e é igual àtensão vertical máxima capaz de atuar na base daplaca. Admitindo-se como Q a força vertical má-xima de impacto e a área da base como A, tem-se:

σzc,i = QA

(20)

Para rolos compactadores, a tensão σzc,i é calcu-lada indiretamente a partir de σxp,i (σzc,i = σxp,i/Ko),utilizando uma expressão desenvolvida por Ehrliche Mitchell (1994) baseada na teoria de capacidadede carga, dada por:

σxp,i = υο . (1 + Ka) . [12

. γ . Q .Nγ

L]

12 (21)

com

Ka = tan2 (45 − ϕ2

)

e

Nγ = tan(45 + ϕ2

) . [ tan4( 45 + ϕ2

) − 1 ]

Dantas & Ehrlich


onde Ka = coeficiente de empuxo ativo de Rankine;γ = peso específico do solo; Q e L = força verticalmáxima de operação e comprimento do rolo, res-pectivamente; e Nγ = fator de capacidade de carga,calculado pela teoria das cunhas de Rankine.

No caminho de tensões da Fig. 3, esta mode-lagem da compactação é considerada através datensão principal maior σ1c, a partir da comparaçãoda tensão vertical induzida (σzc,i) com a tensãogeostática (σz):

Se

σz < σzc,i,

σ1c =σzc,i

2[ (1 + Ko) + (

1 − Ko

cos 2δc) ] (22a)

ou caso

σz > σzc,i,

σ1c =σz

2[ (1 + Kc) + (

1 − Kc

cos 2δc) ] (22b)

2.6. Determinação da tração máxima

A tração máxima é obtida a partir do cálculo doscoeficientes de empuxo lateral no carregamento,incluindo os esforços de compactação durante oprocesso construtivo (Kc), e no descarregamentopara a condição final ao término da construção (Kr).A substituição das Eqs. (18) e (19) na Eqs. (9), (8)e depois em (7) conduz às expressões abaixo indi-cadas.

Para o carregamento, Kc é calculado por tenta-tivas utilizando a seguinte expressão:

(1 − υ2o) . (1 − Kaa)2 . (Kp

o . σ1c − σ3c) . σ3c

Kc . σzc . (σ3c − Kaa . σ1c) . (Kpo − Kaa)

.

(Ko . cos2δc − sen2δc) −

1Si

. (σ3c

Pa)n . [ 1 − f .

1 − Kc

2 . Kc.

tan 2δc

tanω] = 0 (23)

onde σ1c é definida pelas Eqs. (22a) e (22b);

σ3c =σzc

2. [ (1 + Kc) − (

1 − Kc

cos 2δc) ]

e

Si = Er . Ar

Sv . Sh . κ . Pa

é o índice de rigidez relativa reforço-solo; e

Kaa = Ka

(1 − K a) .[ 1 + c

(σ3c . tanφ)]

Rf+ Ka

Caso a coesão (c) não seja nula, a solução da Eq.(23) envolve um procedimento iterativo, pois, nestecaso, Kaa também é função de Kc.

Caso não haja compactação ou σz seja superiora σzc,i, a tração máxima (T) é calculada por

T = Sv . Sh . Kc . σzc − Sv . Sh . f .σzc

2.

(1 − Kc) .tan2δc

tanω(24)

Para o descarregamento, Kr é calculado portentativas, sendo também função de Kc, σ1c e σ3c,utilizando a seguinte expressão:

( 1 − υ 2un )

κur

κ

. ( σ1c − σ1 − σ3c − σ3r

K p∆2

) .

( K∆2 . cos2 δd − sen2 δd) − 1Si

. (σ3r

Pa)n .

[ Kc . σzc − Kr . σz − f . [σzc

2. (1 − Kc) .

tan2δc

tanω−

σz

2. |1 − Kr| .

tan 2δd

tanω] ] = 0 (25)

onde

σ1 = σz

2[ (1 + Kr) + ( 1 − Kr

cos 2δd) ];

σ3 = σz

2[ (1 + Kr) − ( 1 − Kr

cos 2δd) ];

e |1 - Kr| é o módulo de (1 – Kr).Neste caso, a tração máxima (T) é dada por:

T = Sv . Sh . Kr . σz − Sv . Sh . f .σz

2.

|1 − Kr| .tan 2δd

tan ω(26)



As expressões acima mostram que as incógnitasT e K da Eq. (7) não são independentes. O fator fvaria com a inclinação do talude e deve ser conside-rado conforme apresentado na Fig. 4. A partir deω = 70°, f torna-se constante e igual a 2,00.

2.7. Ábacos

De acordo com as expressões apresentadas paraa determinação da tração máxima nos reforços, osprincipais fatores de influência neste cálculo são:(1) a inclinação da face da estrutura; (2) a coesão,c, e o ângulo de atrito, φ, do solo; (3) a tensãovertical, σz; (4) a relação entre a tensão verticalatuante no ponto considerado e a máxima tensãovertical a que já se submeteu o solo, incluindo acompactação, σz/σzc; e (5) a extensibilidade relativaentre solo e reforço, β, definida por Ehrlich eMitchell (1994) como:

β = (σzc

Pa)n .

1Si

(27)

Os ábacos adimensionais das Figs. 5 a 8 são umacompilação da influência de todos estes fatores parao caso de (c = 0) e (Rf = 0,8). O erro máximo emusar estes ábacos para a faixa normal de variaçãodo Rf, de 0,7 a 1,0 (conforme resultados em Duncanet al., 1980), é de cerca de 20%. Os estados ativo,de repouso e passivo estão indicados nestas figuraspor linhas tracejadas. Observa-se que estes ábacossão similares aos de Ehrlich e Mitchell (1994),sendo acrescentada a inclinação da estrutura.

A relação σz/σzc expressa o efeito da compac-tação. Para a situação em que não há compactaçãoou a partir da profundidade em que a tensão verticalinduzida pela compactação (σzc,i) for menor do que

a tensão vertical geostática no ponto (σz), σz/σzc éigual a 1.

Dantas e Ehrlich (1999a) fornecem ábacos simi-lares considerando o efeito da coesão do solo, re-duzindo a máxima tração no reforço.

3. Influência Típica da Compactaçãodo Solo e da Rigidez do Reforço

A importância da consideração da influência dacompactação e da rigidez relativa solo-reforço podeser visualizada na Fig. 9, para taludes de 45°, 60° e70° com altura (H) de 5 m. A influência destesfatores também varia com a altura da estrutura,sendo apresentado na Fig. 10 um estudo consid-erando um talude de 60° com três alturas diferentes(5, 10 e 15 m). Comportamento semelhante ocorrepara taludes de 45° e 70°.

Nestas análises, foram considerados os seguin-tes parâmetros para o solo, o reforço e a compac-tação. Para o solo: γ = 19,6 kN/m3, n = 0,5, Rf = 0,8,c = 0, φ = 35°. Os valores de Si de 0,01, 0,1 e 1representam reforços típicos: geotêxtil, geogrelha e

Figura 4. Fator de ajuste da tensão cisalhante. Figura 5. Ábacos adimensionais para taludes 1 (H) : 1 (V) (45°).

Dantas & Ehrlich


metálico, respectivamente. Considerou-se um equi-pamento de compactação equivalente ao rolo vi-bratório DYNAPAC CA25 (Q = 160 kN,L = 2,1 m).

Nas Figs. 9 e 10 também são apresentadas ascurvas calculadas de tensão nos reforços utilizandoo método de Leshchinsky e Boedeker (1989). Deforma a se ter uma semelhança de parâmetros dosolo para efeito de comparação com o método pro-posto, considerou-se coeficiente de segurança iguala 1 no cálculo destas curvas.

Na Fig. 11 apresenta-se para a situação de di-mensionamento interno de um talude hipotético(1:2) reforçado por geogrelha do tipo Tensar SR2,a comparação dos resultados de tração nos reforçosobtidos com o método proposto e os determinadoscom o método de Leshchinsky e Boedeker (1989).Considerou-se para o talude as seguintes carac-terísticas: geometria: H = 5 m; Sv = 0,5 m; Sh = 1 m;

reforço: Er . Ar = 290 kN/m; Rt (resistência admis-sível) = 17,19 kN/m; solo: γ = 19,6 kN/m3; c = 0;φ = 35º; κ = 480; n = 0,5; Rf = 0,8; equipamento decompactação: rolo vibratório DYNAPAC CA25(Q = 160 kN; L = 2,1 m). No cálculo pelo métodode Leshchinsky e Boedeker (1989) utilizou-se umfator de segurança para o ângulo de atrito igual a1,5, que é o recomendado por estes autores. Autilização de tal fator de segurança no método pro-posto não corresponderia à situação de equilíbrio damassa de solo sob condições de trabalho, não sendo,portanto, utilizado neste método. O cálculo com-pleto pelo método proposto é apresentado noapêndice.

A análise destas figuras conduz às seguintesconclusões:

• A modelagem adotada indica que, para taludescom altura (H) menor do que 10 m e inclinação (ω)

Figura 6. Ábacos adimensionais para taludes 1 (H) : 2 (V)(63,4°).

Figura 7. Ábacos adimensionais para taludes 1 (H) : 3 (V)(71,6º).



menor do que 60°, a compactação é o fator determi-nante da tração máxima no reforço;

• A influência da compactação varia com ainclinação (ω), tendo maior importância relativanos taludes menos inclinados;

• O efeito da compactação varia com a rigidezdo reforço (Si), tendo maior influência relativa parabaixos valores de Si. Note que, para Si = 0,01, atração máxima no reforço é praticamente constante,independente da profundidade;

• Verifica-se, em todas as condições estudadas,uma significativa influência da rigidez do reforço.De forma geral, quanto mais rígido o reforço, maioré a tração desenvolvida. Entretanto, pode ocorrer ocontrário a pequenas profundidades e próximo àbase do talude, quando se considera a compactação;

• Taludes menos íngremes levam a tensões maisbaixas no solo e no reforço;

• A tensão máxima no reforço varia conforme aposição da camada no talude. Existe uma corres-

pondência entre esta tensão e a altura de terra acimado ponto de tração máxima. Para os taludes es-tudados (45° ≤ ω ≤ 70°), as tensões mais elevadasocorreram em camadas situadas entre 0,55 H e0,80 H. Resultado similar também foi obtido porZornberg et al. (1998b) a partir de modelagemcentrífuga de taludes reforçados por geossintéticos,indicando que o maior valor da tração no reforçonão ocorre no pé do talude;

• Para Si = 1 (reforço metálico), as tensões noreforço são próximas à correspondente à condiçãode repouso, afastando-se ligeiramente à medida queaumenta a inclinação. Para Si = 0,01 (geotêxtil),tem-se as tensões no reforço próximas à correspon-dente à condição ativa, aproximando-se ainda maiscom o aumento da inclinação.

• Nota-se nas Figs. 9 e 10 que, não considerandoo efeito da compactação, os resultados obtidos utili-zando o método proposto e o sugerido por Lesh-chinsky e Boedeker (1989) apresentam resultadossemelhantes para z/H menor do que 0,7. A dis-tribuição linearmente crescente com a profundidadenão é válida a partir de então;

• Quando, no entanto, considera-se a compac-tação, as tensões máximas nos reforços determi-nadas através do método proposto para Si ≤ 0,1(geogrelhas, geotêxteis ou outros geossintéticos fle-xíveis) pouco variam com a profundidade, e, emgeral, são superiores às previstas por Leshchinskye Boedeker (1989) para a ruptura da estrutura(FS = 1). Este resultado indica que uma análise nacondição de colapso iminente pode estar compro-metida caso o esforço de compactação seja signifi-cativo em relação ao peso próprio. Isto podeocorrer, tipicamente, para estruturas com até 10 mde altura (Fig. 10);

• Outro aspecto que pode ser ressaltado é quantoà rigidez do reforço. Apesar de o método de Lesh-chinsky e Boedeker (1989) ter sido desenvolvidogenericamente para materiais extensíveis (geossin-téticos), existem diferenças de comportamentodevido à rigidez do reforço, por exemplo, geogrelha(Si = 0,1) e geotêxtil (Si = 0,01) nas Figs. 9 e 10. Talmétodo, entretanto, não considera essas diferenças.Uma discussão sobre a influência da compactaçãoe da rigidez do reforço na análise de estruturas desolo reforçado utilizando métodos de equilíbriolimite pode ser encontrada em Ehrlich e Dantas(1999);

Figura 8. Ábacos adimensionais para taludes de 90°.

Dantas & Ehrlich


• No caso de aterros compactados, verifica-se,no entanto, sob o aspecto prático (considerandofator de segurança maior do que 1), que o dimen-sionamento utilizando Leshchinsky e Boedeker(1989) pouco diferirá dos resultados obtidos pelométodo proposto, Fig. 11. Considerando que geral-mente no projeto não se varia o espaçamento e tipode reforço para as diferentes camadas e o dimen-sionamento é comumente efetuado para a condiçãomais crítica, que no caso da ruptura dos reforços



Figura 10. Influência típica da compactação e da rigidez em

taludes de diferentes alturas com ω = 60º.Figura 9. Influência típica da compactação e da rigidez parataludes com H = 5 m.

Figura 11. Tração nos reforços para a situação de dimensiona-mento interno de um talude hipotético (1:2) obtida pelo métodoproposto e pelo de Leshchinsky e Boedeker (1989).

corresponde à última camada, a diferença entre osresultados obtidos pelos dois métodos seria de cercade 15%, Fig. 11. No entanto, o mesmo não severifica quando o arrancamento é a condição maiscrítica, já que esta ocorrerá no topo do aterro.

4. Análises NuméricasAs análises numéricas de Dantas (1998) foram

realizadas com o programa de elementos finitosCRISP92-SC (“CRISP92 with Soil Compaction”),versão do programa CRISP92 (Britto e Gunn, 1990)implementada por Iturri (1996).

Um total de 89 análises foram conduzidas deforma que representassem adequadamente a com-pilação de todos os fatores que influem no compor-tamento de uma estrutura de solo reforçado. Foramrealizadas análises paramétricas considerando a va-riação da inclinação da face, da altura, do ângulo deatrito do solo, da rigidez do reforço e as tensõesinduzidas pela compactação do solo. Dantas eEhrlich (1999b) fornecem maiores detalhes da mo-delagem numérica.

Os resultados numéricos, além de serem com-parados com os resultados previstos pelo métodoanalítico, também serviram como base para o de-senvolvimento de um procedimento analítico paradeterminação das tensões verticais geostáticas emtaludes reforçados, apresentado a seguir.

4.1. Determinação das tensões verticaisgeostáticas

Com base nos resultados numéricos, mostradosna Fig. 12 para as estruturas com H = 10 m, esta-beleceu-se um procedimento para o cálculo dastensões verticais geostáticas em estruturas de soloreforçado, atuantes nos pontos de máxima tensãonos reforços. Como se verifica, a locação destespontos não é significativamente influenciada pelarigidez e espaçamento dos reforços e pelo ângulode atrito do solo.

No procedimento proposto, a tensão vertical noponto de tração máxima no reforço deve ser tomadacomo o peso de solo acima deste ponto, levando emconta a geometria do talude. Portanto, para a deter-minação desta tração, a localização destes pontosdeve ser conhecida.

Na Fig. 13 apresenta-se uma proposta para a de-terminação dos pontos de tração máxima no reforçopara um talude genéricocom inclinaçãoω, a partir dos

resultados das análises numéricas de Dantas (1998).Essa proposta representou adequadamente tais pon-tos (curvas tracejadas na Fig. 12) para todos ostaludes modelados. Consiste em traçar, a partir doponto B, uma reta paralela à inclinação do taludeobtendo o ponto D, e uma outra unindo o ponto Bao ponto A, situado no pé do talude.

A tensão vertical (σz) num ponto qualquer destacurva, por exemplo o ponto E, é igual a

σz = γ . zE (28)

onde γ = peso específico do solo; e zE = altura desolo acima do ponto E.

A análise das diferentes estruturas modeladasconduziu às seguintes expressões para a posição doponto B, determinada pelos comprimentos x e h daFig. 13, função da geometria do talude:

Para 45° ≤ ω ≤ 65°

x = 0,75 . Htanω

e h = x3

(29)

Para 65° < ω < 90°

x = 0,8 . Htanω

e h = x2

(30)

Por este procedimento, verifica-se que, parataludes verticais, tem-se A ≡ B e a reta BD passa,então, a facear o talude, em contradição com oobservado em obras reais e também com os resul-tados numéricos. Nesta condição, ω = 90º, deve serutilizada a Eq. (31), apresentada em Ehrlich eMitchell (1994), para o cálculo da tensão verticalem taludes sem sobrecarga, fazendo uma analogia,para muros de solo reforçado, com a distribuição detensões proposta por Meyerhof (1955) para o casode carregamento excêntrico em sapatas (videFig. 14).

σz = γ . z . Lr

Lr − 2 . e= γ .

z

[ 1 − ( K a

3) . ( z

Lr)2 ]

(31)

onde e = excentricidade; e Lr = comprimento doreforço.

A excentricidade das cargas pode se tornar im-portante para muros esbeltos (H/Lr elevados) ousujeitos a carregamentos externos. No entanto, suainfluência é pequena para muros típicos de solo

Dantas & Ehrlich


reforçado (0,6 < Lr/H < 0,8) e decresce significati-vamente com a inclinação da face.

4.2. Comparação entre resultados analíticos enuméricos

As Figs. 15 e 16 apresentam os resultados naforma de gráficos adimensionais para os casos de

Si = 0,01 (geotêxtil) e Si = 0,1 (geogrelha), osdemais casos apresentam resultados similares e en-contram-se em Dantas (1998). A Fig. 17 apresentaos resultados nos quais a compactação foi incluídana análise.

Verifica-se, de maneira geral, uma boa con-cordância entre os resultados numéricos e analíti-



Figura 12. Posição dos pontos de tração máxima nas estruturas com 10 m de altura, com talude de: a) 45º; b) 60º; c) 70º; d) 80º; e) 90º.

cos. Os estudos paramétricos demonstraram que aformulação analítica forneceu, relativamente aosobtidos por via numérica, resultados conservativos.

A excessão ocorre para as análises correspon-dentes ao talude com inclinação, ω, de 45º. Há umafranca discordância entre os resultados, para asanálises sem compactação, quando é considerado oângulo de atrito do solo, φ, de 40º (ω – φ = 5º). Nestacondição, os resultados analíticos apresentaram-semuito inferiores aos numéricos. No entanto, paraφ = 25º, 30º e 35º, os resultados apresentaram-sebons (ω – φ ≥ 10º). O mesmo se verifica para asanálises nas quais inclui-se a compactação. Acre-dita-se que esta discordância tenha origem, princi-palmente, nas simplificações adotadas no

desenvolvimento do método analítico, particular-mente, nas hipóteses da rotação de tensões princi-pais e da tensão cisalhante.

Sob aspecto prático, recomenda-se a utilizaçãodo método analítico somente quando se tenha:

ω − φ ≥ 10° (32)

Para os casos que não se encaixam nesta con-dição, o método analítico pode ser aplicado utili-zando um ângulo de atrito reduzido para:

φ = ω − 10° (33)

A utilização deste procedimento fornece semprevalores conservativos para a tração no reforço, tantomaiores quanto maior for o ângulo de atrito do solo.

5. Procedimento de Cálculo

A tração máxima no reforço pode ser determi-nada por equações ou através de ábacos adimen-sionais (Figs. 5 a 8). Os ábacos foram construídosconsiderando quatro inclinações típicas: taludes(1:1), taludes (1:2), taludes (1:3) e taludes verticais.

A utilização dos ábacos envolve as seguintesetapas:

1. determinar σzc,i usando a Eq. (20) ou a Eq.(21) e depois (σzc,i = σxp,i/Ko), função do tipo deequipamento de compactação utilizado;

2. determinar a tensão vertical geostática σz nonível do reforço em questão, utilizando o procedi-mento descrito no subitem 4.1;

3. determinar σzc de acordo com as Eqs. (17a) e(17b);

4. assumir um valor adequado de Si para o tipode reforço em questão, baseado na Tabela 1, edeterminar β, Eq. (27);

5. Com os valores de β, σz e σzc, determinar atração máxima a partir dos ábacos das Figs. 5 a8;

6. Com a tração máxima, determinar as dimen-sões necessárias ao reforço e calcular um novo Si,comparando-o com o valor assumido previamente;

7. Repetir as etapas 2 a 6 até que os valorescalculado e assumido para o Si sejam coerentes.

Se a rigidez (Er . Ar) do material for conhecida,não é necessária iteração, eliminando-se a etapa 7acima, pois, neste caso, já fica estabelecido o Si daestrutura. Isto ocorre, tipicamente, quando são utili-zados geossintéticos como elementos de reforço.

Dantas & Ehrlich


Figura 14. Tensão vertical em taludes de 90º, conforme Ehrliche Mitchell (1994).

Figura 13. Lugar geométrico dos pontos de tração máxima.

O reforço ainda deve ser verificado quanto aosefeitos de corrosão, no caso de metálicos, e de perdade resistência, para os geossintéticos. Estas análisespodem ser encontradas, por exemplo, em Mitchelle Villet (1987).

O comprimento do reforço deve ser verificadoquanto ao arrancamento na zona resistente.

Mitchell e Villet (1987) fornecem expressões, paravários tipos de reforços, que possibilitam esta aná-lise.

Com relação aos parâmetros hiperbólicos dosolo (n, κ, κu e Rf), ensaios triaxias com diferentespressões de confinamento podem ser utilizados pa-ra determiná-los. Outra alternativa é utilizar uma



Figura 15. Gráficos adimensionais da tração máxima no reforço nos taludes de 45º e 60º.

tabela de valores conservativos para vários tipos desolo fornecida em Duncan et al. (1980), adequadapara análises preliminares, reproduzida na Tabe-la 2.

No apêndice, encontra-se um exemplo do di-mensionamento interno de um talude hipotético(1:2) reforçado com geogrelha.

6. Conclusões

O método desenvolvido no presente trabalhopossibilita o dimensionamento interno de estruturasde solo reforçado de inclinação qualquer, sob con-dições de trabalho, utilizando um procedimentoanalítico fechado para o cálculo da tração máximanos reforços. As tensões induzidas pela compac-

Dantas & Ehrlich


Figura 16. Gráficos adimensionais da tração máxima no reforço nos taludes de 70º e 90º.

tação e a rigidez do solo e do reforço são conside-radas explicitamente na formulação.

A tração máxima é função da inclinação do talude(ω), da coesão do solo (c), do ângulo de atrito do solo(φ), do índide de rigidez relativa solo-reforço (Si), datensão vertical (σz) e da compactação (σzc,i), sendo

este último o fator preponderante no dimensiona-mento interno de taludes de até 10 m de altura cominclinação da face de até 60º. No entanto, os pro-cedimentos convencionais de análise não conside-ram os esforços devido à compactação do solo, oque pode levar a resultados contra a segurança.



Figura 17. Gráficos adimensionais da tração máxima no reforço incluindo o efeito da compactação.

No caso de taludes inclinados, a posição dospontos de tração máxima é o fator determinante datensão vertical nestes pontos. As análises numéricasmostraram que, sob condições de trabalho, aposição destes pontos não é significativamente afe-tada pelo ângulo de atrito do solo ou pela rigidez eespaçamento do reforço. Baseado nestes resultados,foi desenvolvido um procedimento para a determi-nação da tensão vertical como função apenas dageometria do talude, tendo sido obtidas boas com-parações com as análises numéricas.

A comparação com os resultados das análisesnuméricas mostrou a boa capacidade de previsão dométodo, considerando a variação de parâmetros dosolo, do reforço e da geometria dos taludes es-

tudados. Neste sentido, o programa CRISP92-SC,implementado por Iturri (1996), mostrou-se umaboa ferramenta para a modelagem de estruturas desolo reforçado.

Apêndice

Considera-se, a título de exemplificação da uti-lização do método, o dimensionamento de um talu-de hipotético (1:2) reforçado por geogrelha do tipoTensar SR2 com as seguintes características:

Geometria:H = 5 m;Sv = 0,5 m;Sh = 1 mReforço:Er . Ar = 290 kN/m; Rt (resistência

admissível) = 17,19 kN/mSolo:γ = 19,6 kN/m3;φ = 35º;κ = 480; n = 0,5Compactação: Rolo vibratório DYNAPAC

CA25 (Q = 160 kN; L = 2,1 m)Solução• σxp,i = 51,11 kN/m2 (conforme Eq. 22);• σzc,i = 119,86 kN/m2 (σzc,i = σxp,i/Ko);• A posição dos pontos de tração máxima é

mostrada na Fig. 19;• Si = 290 / (480 . 101,325 . 0,5 . 1) = 0,012;

f = 1,57 (Fig. 4)

Dantas & Ehrlich


Tabela 2. Parâmetros conservativos do solo (apud Duncan et al., 1980).

Class. Unificada Grau de Compact.AASHTO

γm

kN/m3φo

deg∆φdeg

ckN/m2

κ n Rf

GW, GP 105 24 42 9 0 600 0,4 0,7

SW, SP 100 23 39 7 0 450 0,4 0,7

95 22 36 5 0 300 0,4 0,7

90 21 33 3 0 200 0,4 0,7

SM 100 21 36 8 0 600 0,25 0,7

95 20 34 6 0 450 0,25 0,7

90 19 32 4 0 300 0,25 0,7

85 18 30 2 0 150 0,25 0,7

SM-SC 100 21 33 0 24 400 0,6 0,7

95 20 33 0 19 200 0,6 0,7

90 19 33 0 14 150 0,6 0,7

85 18 33 0 10 100 0,6 0,7

CL 100 21 30 0 19 150 0,45 0,7

95 20 30 0 14 120 0,45 0,7

90 19 30 0 10 90 0,45 0,7

85 18 30 0 5 60 0,45 0,7

Tabela 1. Valores típicos de Si função do tipo de reforço (apudErhlich e Mitchell, 1994).

Tipo de Reforço Si

Metálico 0,500 - 3,200

Plástico 0,030 - 0,120

Geotêxtil 0,003 - 0,012

• Comprimento do reforço: adotado Lr = 0,8H = 4 m;

• Os cálculos são mostrados na Tabela 3 e naFig. 11, a comparação com o método de Lesh-chinsky e Boedeker (1989).

Os valores utilizados para a rigidez (Er . Ar) epara a resistência admissível Rt da geogrelha repre-sentam o comportamento do material para um pe-ríodo de 100 anos, considerando o solo como umaareia média a fina (Mitchell e Villet, 1987, p. 57).

O coeficiente de segurança com relação ao ar-rancamento foi verificado utilizando a expressão deJewell (Mitchell e Villet, 1987, p.58). Adotou-se asuperfície potencial de ruptura para o estabele-

cimento da zona resistente como idêntica à posiçãodos pontos de tração máxima, Fig. 18.

A estrutura ainda deve ser verificada quanto àestabilidade externa, ou seja, ao deslizamento, tom-bamento, capacidade de carga da fundação e rupturaglobal.

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Tabela 3. Dimensionamento interno da estrutura.

Nível doReforço

Prof.(m)

σz

(kN/m2)σzc,i

(kN/m2)σzc

(kN/m2)β T

(kN/m)FS

RupturaFS

Arrancamento

1 0,50 9,8 --- --- --- 8,64 1,99 2,40

2 1,00 19,6 --- --- --- 8,68 1,98 4,78

3 1,50 29,4 --- --- --- 8,70 1,98 7,14

4 2,00 39,2 --- --- --- 8,72 1,97 9,50

5 2,50 49 --- --- --- 8,75 1,96 11,84

6 3,00 58,8 119,86 119,86 91,20 8,77 1,96 14,18

7 3,50 61,25 --- --- --- 8,77 1,96 14,77

8 4,00 61,25 --- --- --- 8,77 1,96 14,77

9 4,50 49 --- --- --- 8,75 1,96 12,13

10 5,00 0 --- --- --- 0 --- ---

Figura 18. Posição dos pontos de tração máxima.

Condições de Trabalho”, Geossintéticos’99,Rio de Janeiro.

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Lista de Símbolos

A = áreaAr = área transversal do reforçoc = coesão do soloe = excentricidadeE = módulo de Young do solo para carre-

gamentoEr = módulo de Young do reforçoEur = módulo de Young do solo para descarre-

gamento e recarregamentoh = distância vertical entre o ponto B e o pé do

taludeH = altura do taludeK = coeficiente de empuxo lateral no nível do

reforço consideradoKa = coeficiente de empuxo ativo de RankineKaa = coeficiente equivalente ao empuxo ativo

de RankineKc = coeficiente de empuxo de equilíbrio no

carregamentoKc

p = coeficiente de empuxo de equilíbrio nocarregamento em termos de tensões principais

Dantas & Ehrlich


Kδ2 = coeficiente de decréscimo das tensõeshorizontal e vertical

Ko = coeficiente de empuxo no repousoKo

p = coeficiente de empuxo no repouso emtermos de tensões principais

Kr = coeficiente de empuxo de equilíbrio nodescarregamento

Krp = coeficiente de empuxo de equilíbrio no

descarregamento em termos de tensões principaisL = comprimento do roloLr = comprimento do reforçon = parâmetro adimensional do modelo de Dun-

can et al. (1980)Nγ = fator de capacidade de cargaOCR = razão de sobreadensamentoPa = pressão atmosféricaQ = força de operação máxima do equipamento

de compactaçãoRf = relação de rupturaSh = espaçamento horizontal entre reforços ad-

jacentesSi = índice de rigidez relativa solo-reforçoSv = espaçamento vertical entre reforços ad-

jacentesT = tração máximax = distância horizontal entre o ponto B e o pé

do taludez = profundidade ou altura de soloα = parâmetro adimensional de Duncan e Seed

(1986) para o descarregamentoβ = extensibilidade relativa entre solo e reforçoδ = rotação das tensões principais em relação à

horizontalδc = rotação das tensões principais em relação à

horizontal no carregamentoδd = rotação das tensões principais em relação à

horizontal no descarregamentoεxr = deformação específica do reforço no ponto

de tração máximaεxs = deformação específica do solo na direção

do reforço no ponto de tração máxima

φ = ângulo de atrito do soloφm = ângulo de atrito mobilizado no soloγ = peso específico do soloκ = parâmetro adimensional do modelo de Dun-

can et al. (1980) para carregamento;κur = parâmetro adimensional do modelo de

Duncan et al. (1980) para descarregamento e recar-regamento.

νo = coeficiente de Poisson durante o carre-gamento

νun = coeficiente de Poisson durante o descarre-gamento ou recarregamento

θ = ângulo que a superfície potencial de rupturafaz com a horizontal no ponto de tração máxima

σ1 = tensão principal maiorσ1c = máxima tensão principal maior que já

atuou durante todo o processo construtivoσ3 = tensão principal menor

σ3c = tensão principal menor de equilíbrio nocarregamento

σ3r = tensão principal menor de equilíbrio nodescarregamento

(σh)méd = tensão horizontal médiaσx = tensão horizontalσxp,i = tensão horizontal induzida pela compac-

tação

σz = tensão verticalσzc = máxima tensão vertical que já atuou no

solo durante todo o processo construtivoσzc,i = tensão vertical equivalente induzida pela

compactaçãoσze = tensão vertical atuante no reforço devido

apenas a uma camada da estruturaτxz = tensão cisalhante no solo atuante no ponto

de máxima tensão no reforçoτxzEC

= tensão cisalhante atuante ao longo de EC

ω = ângulo de inclinação da face da estruturacom a horizontal

Recebido em 10/12/1999Aceitação final em 10/8/2000

Discussões até 31/08/2001



método de análise de taludes reforçados sob condições de

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