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MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

Movimento de um projétil Componentes da velocidade inicial Movimento horizontal Movimento vertical Alcance Altura máxima

2

MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

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MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

A bola faz uma trajetória curva

Para analisar este movimento consideraremos que

• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direcionada para baixo

• o efeito da resistência do ar é desprezável

Com estas suposições a trajetória do projétil é sempre uma parábola

444

Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong

A Figura mostra que a trajetória da bola é uma parábola

A fotografia estroboscópica regista a trajetória de objetos em movimento

555

yyxx evevv 000

0

0v

Componentes da velocidade inicial

xe

ye

0

00cos

vv x

0

00sin

vv y

As componentes iniciais x e y da velocidade são

000 sinvv y 000 cosvv x

Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente

0v

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ANÁLISE DO MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

MOVIMENTO HORIZONTAL

0xaNa horizontal não há aceleração, portanto

000 cosvv x

tvxtx x00

tvxx 000 cos

mas

MRU

7

Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.

gay

A componente y da velocidade da partícula varia com o tempo devido a aceleração, logo:

MOVIMENTO VERTICAL

gtvv yy 0

200 2

1 gttvyty y

000 sinvv y como

gtvvy 00 sin

A coordenada y da partícula será

2000 2

1sin gttvyty ou

MRUV

888

EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉTIL

constante cos 000 vvv xxComponente horizontal da velocidade

Componente vertical da velocidade gtvgtvv yy 000 sin

Componente vertical da posição

tvxtvxtx xx 00000 cosComponente horizontal da posição

2000

200 2

1sin21 gttvygttvyty y

Movimento retilíneo uniforme na horizontal (MRU)

Movimento retilíneo uniformemente variado na vertical (MRUV)

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O diagrama mostra movimento de um projétil perto da superfície da Terra

1010

Exemplo1: Movimento de um projétil

11

Exemplo 2:

1212

Duas esferas saem simultaneamente da mesma altura

A bola move-se horizontalmente enquanto está caindo, mas isso não interfere no seu movimento vertical

porque os movimentos horizontal e vertical são independentes entre si.

131313

Fotografia estroboscópica das esferas que saem simultaneamente da mesma altura

As duas esferas chegam ao mesmo tempo ao solo

As duas esferas saem sob a ação da gravidade

A cada instante as esferas têm a mesma altura

A esfera rosa é solta v0y = 0

(queda livre)

A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x

1414

Exemplo 3: Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajetória do pacote vista pelo piloto é igual à trajetória vista pelos refugiados?

Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajetória retilínea vertical:

Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajetória parabólica:

1515

Visão do piloto e visão dos refugiados

1616

O tempo para atingir a altura máxima y=h (quando ) :

16

Alcance e altura máxima dum projétil

0

0v

ALTURA MÁXIMA0yv

gvh

2sin 0

220

g

vg

vgg

vvh2

sinsin21sinsin

200

2

000000

hhyy

yy

gtvgtvv

gtvv

000

0

sin

0yv

sin sin0

00

00

vgtgtv

h

h

gvth

00 sin

Substituindo th na outra expressão

21sin

21sin 2

002

000 hh gttvhgttvyy (y=h e y0=0)

17

ALCANCE

1818gvR 0

20 2sin

ALCANCE

22 htt

gvvR 00

00sin2cos

tvxtvxx xxx 00000 cos

)2(cos)2( 000 hhx tvtvR

gv 00 sin

0

0v

00 yv

R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicialO movimento é simétrico a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível

Portanto o tempo para percorrer R é

191919

Um projétil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de m/s 50para vários ângulos 0

Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R

22 0 / o450

gv

R2

max0

0

2

2sin0 gv

R

1for quando máximo é 2sin 0

Alcance máximo Rmáx

O que acontece quando

20

Exemplo 4: ALCANCE PARA OS ÂNGULOS DE 30, 45 , 60

21

Examplo 5. Um cão está correndo na rua, e de repente dá um salto com uma velocidade inicial de 11 m/s fazendo um ângulo de 300 com a horizontal. Em que ponto o cão entra em contato com o solo depois do salto?

vo = 11 m/s

=300

vox = 11 cos 300

voy = 11 sin 300

4.9 t = 5.50

Com a ajuda do esquema ao lado, determinamos as componentes da velocidade inicial:

vox = 9.53 m/svoy = 5.50 m/s

a = g=-9.8 m/s2

4.9 t2 = 5.50 t

200 2

1 attvyy y )8.9(21)5.5(0 2tt

2m/s 4.9m/s 5.50 t

É preciso determinar o tempo que o cão leva para dar o salto

t = 1.12 s

22

Examplo 5 (Cont.)

v = 10 m/s

=310

x = vxt; t = 1.12 s

vox = 10 cos 310

voy = 10 sin 310

x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m

Alcance do cão:

vx =vox = 9.53 m/s

A velocidade horizontal é constante

Assim:

O alcance é x = 10.7 m

Exemplo 6. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.

a) Determine o alcance máximo da esfera

tvtvxtvxx xx )45(cos)(cos 000000

O alcance é máximo quando 450

)7071.0(m/s 100 tx tx 71.70

23

21sin 2

000 gttvyy

Cálculo de t

021sin

21sin 00

200

tgtvgttv

21sin00 2

00 gttv

s 43.14m/s 8.9

45sinm/s 1002sin22

200

gvt

Substituindo em x: m102043.1471.7071.70 tx

242424

b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.

e o ângulo complementar

tvxtvxx xx )(cos 00000

ttvx 000 cos 100cos

21sin 2

000 gttvyy

m/s 8.9

sin 1002sin22

000 g

vt

21sin00 2

00 gttv

cos100800 0t

0sin41.20 t

t0cos8

Substituo t na outra equação :

41.208cossin

)sin41.20)(cos(8

00

00

2

7839.02sin41.2082cossin2 000

o01

o01 26 522 ooo

02 642690 -

252525

Exemplo 7. Uma pedra cai dum penhasco com velocidade v = 10 m/s na horizontal. a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t). b) Obtenha os ângulos e de e com a horizontal em t =1.0 s.

vr

a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t) e os vetores e .

rv

As componentes da velocidade são:

tgtgtvv oyy 8.90 m/s 10xv

m/s )8.910( yxyyxx eteevevv

Velocidade:

As componentes do vetor posição são:

tttvxx xx 1010000

2

2200

9.4

8.92100

21

t

tgttvyy y

Posição: m ) 9.4 10( 2yxyx eteteyexr

26

m ) 9.4 10( 2yxyx eteteyexr

b) Obtenha os ângulos e que e fazem com a horizontal em t =1.0 s.

' r

v

xytg

Obtemos a partir do vetor posição que

-0.49s) 1)(49.0(

49,010

9.4

t

o26

m/s )8.910( yxyyxx eteevevv

Obtemos a partir da velocidade que

-0.98s) 1)(98.0(98,010

8.9 t

vv

tgx

y o44'