RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM PORCENTAGEM Santina Elza Inácio - Professora da rede

pública do Estado do Paraná, integrante do

programa PDE- 2010, graduada em

Matemática - seinacio@seed.pr.gov.br.

Tânia Stella Bassoi - Professora adjunta do

Colegiado de Matemática da Unioeste –

Campus Cascavel - taniastella@ibest.com.br.

Resumo: A resolução de problemas é uma estratégia didática importante e

fundamental para o desenvolvimento intelectual do aluno e para o ensino da matemática. Porém, em sala de aula, constata-se o uso exagerado de regras, resoluções por meio de procedimentos padronizados, desinteressantes para os alunos, empregando-se problemas rotineiros e que não desenvolvem a criatividade e autonomia em matemática. Este artigo mostrou a importância da resolução de problemas com porcentagem como estratégia didática para o ensino da matemática. O caminho escolhido para o desenvolvimento deste trabalho foi uma pesquisa feita durante da implementação do conteúdo porcentagem tendo como objetivo coletar informações que os alunos apresentaram durante a aprendizagem sobre esta temática. Os resultados mostram que não se pode programar ou mecanizar o ensino da resolução de problemas e que a aprendizagem só será significativa se alunos e professor se empenharem na construção do conhecimento, despertando o gosto pelo raciocínio autônomo. PALAVRAS-CHAVE: Resolução de problemas, Porcentagem, Aprendizagem.

Quando me propus a fazer o PDE tinha a intenção de trabalhar com

Resolução de problemas com Porcentagem pois o conteúdo proposto faz com

que os alunos utilizem a Matemática em situações cotidianas. Ensinar e

aprender Matemática através da resolução de problemas possibilita aos

estudantes investigar e compreender melhor os conteúdos matemáticos

trabalhados no Ensino Fundamental vivenciando problemas que realmente o

coloquem no caminho da aprendizagem.

No dia-a-dia nossos alunos se deparam com diversas situações tais

como: propagandas de lojas, preços a vista e outras situações que envolvem

porcentagem. Sendo assim a porcentagem é um conteúdo da Matemática que

deve ser bem explorado e presente no nosso dia-a-dia, até porque ela nos dá a

medida de uma dívida a prazo, de um desconto que teremos se comprarmos

uma mercadoria à vista, de impostos embutidos nas mercadorias e, ainda,

percebemos o índice de gasto de nosso salário em contas de água, energia

elétrica, telefone fixo ou móvel, alimentação, material escolar, medicamentos,

vestuário e outros gastos.

Muitos de nossos alunos e suas famílias nem sabem que estão pagando

impostos nessas despesas. De outra forma, não têm a noção do significado

das propagandas das lojas e do comércio em geral referentes aos descontos

praticados quando da aquisição de produtos que incidem as taxas de

descontos ofertadas. Poucos sabem que se juntarem o dinheiro e comprarem

as mercadorias e os produtos à vista eles têm mais vantagens do que

comprando à prazo, pois muitas vezes ao pagar em prestações, o preço destas

mercadorias ou produtos podem até duplicar de valor.

A utilização da resolução de problemas com uso das porcentagens pode

auxiliar os alunos na compreensão das vantagens de comprar à vista e alertar

seus pais para a importância deste fato.

Fazer esta investigação reportou às dificuldades que os alunos encontram

ao resolver problemas de Matemática utilizando porcentagem, não apenas pelo

produto final, mas durante o processo de solução. Este estudo objetivou:

identificar e descrever as estratégias que os alunos da 6ª série estão utilizando

para resolver diferentes problemas que envolvam o conceito de porcentagem;

oportunizar aos alunos a experiência de elaborarem e fazerem um

levantamento de dados do seu cotidiano; ampliar o conhecimento matemático,

envolvendo diferentes operações.

Para cumprir os objetivos procurou-se utilizar a Resolução de Problemas

em problemas desafiadores, interessantes, bem como estimular processos

construtivos e significativos para continuar aprendendo Matemática quando se

usa porcentagem.

A implementação de resolução de problemas de porcentagem

contemplados no dia-a-dia favorece a aprendizagem Matemática,

demonstrando que na resolução de situações problemas não basta saber fazer

mecanicamente as operações, é preciso aprender a refletir, a analisar e

contextualizar sua aprendizagem.

Para implementar a proposta apliquei os problemas, atividades e

exercícios numa turma de 6ª série por ser a série que mais gosto de trabalhar.

Analisei nos problemas, atividades e/ ou exercícios de maior índice de erros e

acertos, quais os fatores que poderia ter influenciado esses índices como a

leitura, a interpretação, as estratégias usadas nas soluções encontradas.

Sobre Resolução de Problemas.

A resolução de um problema, para Polya (1978), envolve etapas que

são: a identificação do problema; a compreensão do mesmo; a elaboração de

um plano para solucioná-lo; a execução deste plano (neste momento há a

mobilização de conhecimentos e estratégias, segundo o autor) para chegar a

uma solução. Após a possível solução, vem a verificação da resposta e

reflexão acerca dos procedimentos adotados para concluí-lo.

Para a Matemática um problema diz-se ser resolvido quando é passível

de prova. A prova representa o rigor, a solidez e a consistência da teoria

matemática e nada mais é do que uma sequência de raciocínios dedutivos que

parte de fatos de veracidade já conhecida – como teoremas e axiomas – e

chega até o resultado em demonstração, provando a veracidade ou não do

problema.

A resolução de problemas do ponto de vista do ensino matemático

requer outras ações e D’Ambrósio (1986) aponta que

[...] o verdadeiro espírito da matemática é a capacidade de modelar situações reais, codificá-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização de técnicas e resultados conhecidos em um contexto novo. Isto é, a transferência de aprendizado resultante de uma certa situação para uma situação nova é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da matemática e talvez o objetivo maior do seu ensino”. (D’ AMBRÓSIO,1986, p.44)

No contexto de Educação Matemática, um problema, ainda que simples,

deve suscitar o gosto pelo trabalho mental, desafiar a curiosidade e

proporcionar o gosto pela descoberta da resolução. Neste sentido, os

problemas podem estimular a curiosidade incrementar o interesse pela

aprendizagem da Matemática. A resolução pode levar ao aprimoramento do

raciocínio, desenvolver a criatividade, além de utilizar e ampliar o conhecimento

matemático.

A capacidade de explicar, de argumentar e compreender, de enfrentar, criticamente, situações novas, constituem a aprendizagem por excelência. Aprender não é a simples aquisição de técnicas e habilidades e nem a memorização de

algumas explicações e teorias. (D’AMBRÓSIO, 2001, p. 81)

A resolução de problemas desempenha um papel importante no ensino

da Matemática, pois, sob o ponto de vista formativo, ao estimularmos a

resolução de problemas, estamos direcionando a aquisição de uma cultura

baseada em hábitos de estratégias, análise, reflexão, entendimento, tentativas,

perspectivas, desafios e de ações que são fundamentais nas diversas

situações da vida cotidiana e também domínio de métodos, habilidades e

competência para buscar conhecimentos em outras áreas do conhecimento

para responder a um desafio.

Para atingir o nosso propósito, que é ensinar matemática pela resolução

de problemas, acreditamos que a busca por soluções pode se tornar um hábito

que se reflete em situações da vida cotidiana e nas atividades da realidade que

o cerca. Porém, o cotidiano da sala de aula insiste em caminhos mais simples

e rápidos como resolução de exercícios e suas correções. Mas até que ponto o

exercício é uma atividade condenada e a resolução de problemas uma

atividade redentora?

Muito se discute na literatura em Educação Matemática sobre as

diferenças entre problema e exercício.

É importante distinguir exercício de problema. Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais

habilidades algorítmicas. Problema ou problema-processo,..., é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema-processo exige uma certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias. (DANTE,1989,p 43)

Os exercícios são úteis e necessários para a familiarização com um

novo conhecimento, enquanto

O problema é o meio pelo qual a Matemática se desenvolve, ou

seja, o “alimento” da evolução matemática. Um problema tem seu grau de importância relacionado à quantidade de ideias novas que ele traz à matemática e o quão ele é capaz de impulsionar os diversos ramos da Matemática – sobretudo aqueles em que ele não está diretamente relacionado. (RAMOS, MATEUS, MATIAS,CARNEIRO, 2012, p. 03).

Das concepções para problema apresentadas acima, um dos autores,

de forma mais pontual, denomina problema-processo admitindo que o sujeito já

possui um repertório de conhecimento que o torna capaz de procurar

estratégias para resolvê-lo. Os outros defendem uma concepção de problema

mais ampla em que o sujeito produz novos conhecimentos na medida em que

tenta resolver um problema.

Como problema, entendemos que é aquilo que provoca uma

inquietação, uma busca por resolução.

O hábito de resolver problemas não se manifesta só pela escrita, ou pelo

domínio de certos conhecimentos matemáticos mas pelo gosto pelo trabalho

mental desafiando a capacidade de entendimento, discutindo com seus pares,

desenhando, buscando mais informações buscando a resolução.

Incentivar os alunos a buscarem diferentes formas de resolver problemas permite uma reflexão mais elaborada sobre os processos de resolução, sejam eles através de algoritmos convencionais, desenhos, esquemas ou até mesmo através da oralidade. Aceitar e analisar as diversas estratégias de resolução como válidas e importantes etapas do desenvolvimento do pensamento permitem a aprendizagem pela reflexão e auxiliam o aluno a ter autonomia e confiança

em sua capacidade de pensar matematicamente. (CAVALCANTE, 2001, p. 121)

A resolução de problemas lida com outras dificuldades. São dificuldades

anteriores a própria resolução como: ler, interpretar e compreender as

situações propostas

Cuidados com a leitura que faz do problema, cuidados em propor tarefas específicas de interpretação do texto de problemas, enfim um projeto de intervenções didáticas destinadas exclusivamente a levar os alunos a lerem problemas de matemática com autonomia e compreensão. (SMOLE, 2001, p. 72).

Para tanto, resolver um problema não implica apenas em compreender o

que foi proposto e em dar respostas aplicando métodos adequados. Mas

permitir o desenvolvimento de habilidades que ofereçam diferentes

procedimentos para obter a solução do problema.

As propostas pedagógicas voltadas para resolução de problemas

permitem estimular a curiosidade do aluno, proporcionando o prazer e o

interesse pela Matemática que, por meio do processo de resolução, amplia seu

conhecimento matemático desenvolvendo pensamento e o raciocínio.

Dessa forma, a resolução de problema é indicada como uma estratégia

metodológica que orienta e provoca aprendizagens, pois proporciona aos

alunos contextos significativos de pesquisa e exploração de novas situações a

partir dos quais se podem aprender conceitos, ideias e procedimentos

matemáticos. Nosso trabalho foi propor aos alunos possibilidades de

aprendizado no contexto da vida real e a proposta de levá-los a uma pesquisa

de campo partindo da sua realidade optamos pela resolução de problemas de

porcentagem.

Nesse sentido, a resolução de problemas não se apresentou como uma

atividade de reprodução por meio de procedimentos padronizados, o processo

de aprendizagem necessitou ser trabalhado de forma que desempenhasse seu

verdadeiro papel, o de desenvolver no aluno posicionamento crítico e

autonomia diante de situações novas e desafiadoras.

Dessa forma, a resolução problema foi utilizada como uma estratégia

que orienta e provoca aprendizagens, proporcionando contextos significativos

de pesquisa e exploração, a partir dos quais se podem explorar novos

conceitos, novas ideias e procedimentos matemáticos novos.

O encaminhamento metodológico começou com um pré-teste com

atividades de porcentagem. Em seguida após o pré-teste foi solicitado aos

alunos que coletassem panfletos de lojas e supermercados. Após a coleta os

alunos organizaram os dados em torno da resolução desses problemas, com o

intuito de conceber processos de resolução diferentes dos aprendidos dentro

da escola. Para verificar a aprendizagem apliquei um pós-teste.

A implementação do projeto aconteceu no Colégio Estadual Carlos

Gomes de Ensino Fundamental e Médio, no Município de Iguatu, onde a

professora PDE é lotada e efetiva com 20 horas na disciplina de Matemática. O

colégio possui 14 turmas, sendo 8 turmas no Ensino Fundamental (duas 6a

séries) e 6 no Ensino Médio. A intervenção desenvolveu-se com uma turma, a

6a série “A”. A escolha dessa turma aconteceu devido à porcentagem fazer

parte dos conteúdos e porque todos os alunos moravam na cidade o que

facilitou a coleta do material no comércio.

Apliquei um pré-teste que constou de exercícios de porcentagem para

levantar os conhecimento prévio dos alunos.

Muitas dessas questões elaboramos de tal forma a parecer “familiar” ou

seja, na forma que aprenderam nas séries anteriores.

As questões 1c, 1d, 2a, 3a, 3c, 4 e 8 tiveram mais acertos. O maior

número de acertos aconteceu possivelmente por serem muito parecidas com

os exercícios de seus livros didáticos.

As questões abaixo foram as que tiveram o maior número de acertos:

1-Em cada figura tem uma parte dela que está pintada.Represente esta parte

pintada na forma de fração.

a) b)

b) d)

2- Observe a figura e responda:

a) O quadradinho pintado representa uma fração igual a __________.

3- Cada figura foi dividida em partes iguais. A parte pintada corresponde a que

porcentagem da figura?

a) b)

c) d)

4- Uma pesquisa realizada em um colégio com 380 alunos revelou que 80%

deles gostam de Matemática e 20% deles gostam de outras disciplinas.

Responda qual é o número de alunos que gostam de Matemática.

8- Posso comprar 1 litro de leite por R$2,00. Se eu comprar 2,5 litros, quanto vou gastar?

A que apresentou o menor número de acertos encontra-se abaixo:

6- Escreva a fração, o número decimal e a porcentagem correspondentes à

parte verde de cada figura.

a) b)

c)

Acreditamos que a forma de apresentação das malhas pode ter

confundido os alunos. Para entender frações, razões, proporções e

porcentagens o aluno tem que entender as relações do todo com as partes.

Possivelmente não enxergaram a relação parte e todo das figuras.

Trabalho com os panfletos

Pedi aos alunos que trouxessem folhetos de lojas e supermercados.

Escolhemos alguns deles.Não poderíamos trabalhar com todos pois muitos

deles davam a mesma informação: preço à vista , preço parcelado, não tinha

como trabalhar com todos para o trabalho sobre juros e porcentagem.

Começamos pela comparação entre os preços à vista e a prazo. Os

alunos concluíram que comprar a prazo é muito mais caro que comprar à vista

e que dependendo do número de prestações, às vezes, o preço a prazo chega

a ser mais que o dobro do preço à vista.

Em seguida passamos a calcular os juros sobre o pagamento parcelado,

fazendo contas no caderno e usando calculadora, porque vários deles já

usavam e otimizamos o tempo para discutirmos por exemplo que quanto maior

o número de parcelas maiores eram os juros cobrados sobre a mercadoria.

Como exemplo, no panfleto de venda de moto, à vista ela custaria R$ 5 800,00

mas se fosse comprada em 24 meses custaria mais que o dobro, pagaríamos

R$ 12 240,00.

Perceberam que taxa de juros cobrada nas prestações era apresentada

na parte inferior do panfleto expresso com números bem pequenos. Os alunos

também concluíram que as mercadorias custavam ao final dos pagamentos,

conforme o número de prestações, o dobro do preço à vista.

Depois eles trabalharam em dupla com os panfletos elaborando

problemas: custa tanto à vista e tanto se for a prazo, quanto de juro pagarei se

for a prazo, quanto vou economizar se comprar à vista.

Escolhemos os melhores enunciados,que tinham como caracteristica

principal serem fáceis de entender

Concluiram que o melhor é juntar o valor da mercadoria e comprar a

vista.

Em duas aulas foram trabalhados problemas de porcentagem com

produtos da cesta básica, como: produtos de limpeza, frutas e verduras. Os

alunos foram divididos em três grupos, ficando cada grupo com um dos intens.

Um representante de cada grupo fez a pesquisa nos três supermercados

da cidade no dia anterior da aula. Cada grupo pegou itens mais baratos dos

três mercados e fizeram a comparação entre os três e fizeram a comparação

de preços e chegaram à conclusão, que para fazer economia vale a pena

comprar itens mais baratos em cada um dos três supermercados. Na pesquisa

foram usados produtos de mesma marca, mesmo peso, embalagem, com essa

pesquisa os pais dos alunos ficaram muito interessados, pois mesmo antes do

trabalho se interessavam em saber dos filhos como fazer para economizar na

compra da cesta básica e produtos de higiene e limpeza, frutas e verduras.

Ao final, o resultado foi produtivo. As aulas renderam pois os alunos

aprenderam a utilizar a porcentagem para suas famílias e para eles próprios.

Considerações finais No presente trabalho procurei mostrar a importância da porcentagem no

dia a dia dos nossos alunos já que constantemente deparam com situações

tais como: valores, números, propagandas de lojas, preços e outras situações e

muitas vezes a porcentagem está presente. Utilizamos como metodologia para

o ensino aprendizagem da matemática a resolução de problemas com

porcentagem, a qual teve como princípio o trabalho a partir da realidade do

aluno. Para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o valor

da Matemática escolar que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de

investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas, em

especial os que envolviam porcentagens. Desta forma, aos alunos da 6ª série

do Ensino Fundamental participantes das atividades desenvolvidas com

porcentagens construíram esse conhecimento a partir de atividades

desafiadoras, dinâmicas e atraentes, bem como, úteis ao contexto social dos

mesmos.

Utilizar a resolução de problemas como metodologia permitiu ao aluno

mobilizar os conhecimentos matemáticos prévios, ampliá-los e reconhece-los,

no nosso caso, a práticas do dia a dia.

REFERÊNCIAS

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de Problemas/ São Paulo: Ática, 1989. ______________. Didática da resolução de problemas de matemática. 2. ed. São Paulo: Ática, 1991. _________________. Tudo é Matemática/São Paulo: Ática,2005. D’ Ambrósio,U. Da realidade à ação:reflexões sobre Educação Matemática. Campinas, Papirus, 1986.

___________ U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. KRULIK, Stephen. REYS, Robert E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar.Trad. Hygino H. Domingues, Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997. MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: Análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez, 1999. PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Curitiba: SEED, 2008.

POLYA, G. A arte de resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.

CARRAHER, Terezinha Nunes; CARRAHER, David William e SCHLIEMANN, Analúcia Dias. Na Vida Dez e na Escola Zero, Porto Alegre: Cortez, 1988. ___________________________Ler, Escrever e Resolver Problemas: Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. IMENES, Luiz Marcio; LELIS, Marcelo. Matemática. 1a Edição, São Paulo:

Editora Scipione. BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Airton. Fazendo a Diferença/ São Paulo; FTD, 2006.

GIOVANI, José Ruy; Junior, José GIOVANI – Matemática: Pensar e Descobrir - Nova Edição – São Paulo:FTD, 2005. ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José – Praticando a Matemática – 1a Edição, São Paulo: Editora do Brasil, 2002. RAMOS, Agnelo Pires; MATEUS, Antonio Angelo; MATIAS, João Batista de Oliveira,CARNEIRO,Thiago Rodrigo Alves Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratégias de resolução.http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450/mat4502001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf Acessado dia 23 de junho de 2012.

VIANNA,Carlos Roberto. Resolução de problemas

http://200.189.113.123/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Carlos8.pdf . Acessado dia 23 de junho de 2012.