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Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciencias Exata e da Terra

Programa de Pos-Graduacao em Matematica Aplicada e Estatıstica

Moizes da Silva Melo

Monitoramento das medias de um processobivariado por graficos de controle por atributos

e/ou variaveis

Natal - RN

Fevereiro de 2016



e/ou variaveis

Trabalho apresentado ao Programa de Pos-Graduacao emMatematica Aplicada e Estatıstica da Universidade Federaldo Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigenciaslegais para obtencao do tıtulo de Mestre.

Area de Concentracao: Probabilidade e Estatıstica

Orientador:

Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros

Coorientadora:

Profa. Dra. Linda Lee Ho

Natal, Fevereiro de 2016



e/ou variaveis

Trabalho apresentado ao Programa de Pos-Graduacao emMatematica Aplicada e Estatıstica da Universidade Federaldo Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigenciaslegais para obtencao do tıtulo de Mestre.

Area de Concentracao: Probabilidade e Estatıstica

Aprovado em: / /

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros

Departamento de Estatıstica - UFRN

Orientador

Profa. Dra. Linda Lee Ho

Departamento de Engenharia de Producao - Poli/USP

Coorientadora

Prof. Dr. Andre Luıs Santos de Pinho

Departamento de Estatıstica - UFRN

Examinador Interno

Prof. Dr. Roberto da Costa Quinino

Departamento de Estatıstica - UFMG

Examinador Externo

Melo, Moizés da Silva. Monitoramento das médias de um processo bivariado porgráficos de controle por atributos e/ou variáveis / Moizés daSilva Melo. - Natal, 2016. v, 92f: il.

Orientador: Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros. Coorientadora: Profa. Dra. Linda Lee Ho.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística.

1. Controle estatístico de processos. 2. Vetor de médias.3. Inspeção por atributos e por variáveis. 4. Gráfico MaxD. 5.Gráfico de controle combinado. I. Medeiros, Pledson Guedes de.II. Ho, Linda Lee. III. Título.

Catalogação da Publicação na FonteUniversidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeco a Deus, pois sem Ele esta jornada nao seria cumprida.

A minha famılia, em especial minha mae, Joseja, meu pai, Francisco e meus irmaos,

John Lennon e Moizaniel, pelo amor, carinho, e principalmente porque nao mediram

esforcos para que eu pudesse chegar ate aqui.

A minha namorada, Laıs, pelo amor, carinho, companherismo, incentivo e pelo cons-

tante apoio, que foi imprescindıveis principalmente durante a etapa final da elaboracao

deste trabalho.

Aos colegas e amigos pela amizade e companherismo.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros pelos ensinamentos

transmitidos, competencia e atencao nas revisoes e sugestoes, fatores cruciais para a

concluscao deste trabalho.

A minha coorientadora , Profa. Dra. Linda Lee Ho pelas valiosas sugestoes durante

a elaboracao dessa pesquisa.

Aos professores que participaram da banca examinadora, pelas crıticas e sugestoes

que certamente contribuıram para melhorar o conteudo deste trabalho.

Aos demais professores do PPGMAE/UFRN, com quem tive a oportunidade de

conviver e aprender.

Ao Departamento de Estatıtica, por terem colaborado com a minha formacao.

A CAPES, pelo apoio financeiro.

Resumo

A alta variabilidade de um processo esta diretamente relacionada a sua ma quali-

dade, portanto, reduzi-la e a maneira de melhorar o processo. Os metodos estatısticos

sao utilizados como ferramentas para a melhoria dos processos de qualidade e entre eles,

os graficos de controle sao os mais eficientes e empregados. Esta dissertacao propoe dois

novos graficos de controle para monitorar o vetor de medias de um processo bivariado.

O primeiro, chamado de MaxD, emprega um grafico por atributos. O procedimento

consiste em inspecionar e classificar, atraves dos limites discriminantes, cada unidade

da amostra como aprovada ou reprovada. Os limites discriminantes sao ajustados de

tal forma que tem-se uma fracao especificada de unidades reprovadas quando o pro-

cesso esta sob controle. Em seguida o numero de unidades reprovadas e plotado no

grafico, e caso seja maior que o limite de controle, o processo e parado para ajuste. O

segundo grafico utiliza os graficos MaxD e T 2. Este procedimento consiste em dividir

uma amostra de tamanho n em duas partes (n1 e n2 ), determinadas por um pro-

cesso de otimizacao. As unidades da primeira subamostra sao avaliadas por atributos

e plotadas no grafico de controle MaxD. Caso seja detectada a presenca de alguma

causa especial, inspeciona-se a subamostra de tamanho n2 por variaveis por meio do

grafico T 2. O procedimento e interrompido para ajuste se a presenca de alguma causa

especial for detectada em ambos os graficos de controle. A possibilidade de nao inspe-

cionar todos os itens da amostra pode promover uma reducao tanto no custo quanto

no tempo de inspecao. A analise de desempenho foi realizada comparando o numero

medio de amostras ate o alarme verdadeiro (NMA1). Verificou-se que os graficos pro-

postos apresentam desempenho satisfatorio e sao concorrentes com o grafico T 2. Os

resultados foram obtidos com o auxılio do software estatıstico R.

Palavras-chave: Vetor de medias; inspecao por atributos e por variaveis; grafico

MaxD; grafico de controle combinado MaxD − T 2.

ii

Abstract

The high variability of a process is directly related to the low quality of it, so that

reducing its variability is the way to improve the process. The statistical methods are

used as tools for the improvement of the quality process and among them, the control

charts are efficient and most employed. This dissertation proposes two new control

charts to monitor the mean vector of the bivariate process. The first one, named as

MaxD, uses a chart by attributes. The procedure consists of inspection and sorting

of each sample unit as approved or reproved through the discriminant limits. The

discriminant limits are set such a way that it has a specified fraction of reproved units

when the process is under control. Then the number of reproved units is plotted on

the control chart, and if it is higher than the control limit, the process is stopped for

adjustment. The second chart uses the control charts MaxD e T 2. Such a procedure

consists of dividing a sample of size n into two parts (n1 e n2) determined by an

optimization process. The units of the first subsample are evaluated by attributes and

plotted on the control chart MaxD. If the presence of some special cause is detected,

the subsample of size n2 is inspected on the control chart T 2 by a monitoring variable.

The procedure is interrupted to adjust if the presence of a special cause is detected

in both control charts. The possibility of not inspect all sample items can promote

a reduction in both the cost and the time of inspection. The performance analysis

was performed by comparing the out of control average run length (ARL1). It was

found that the proposed control charts presented a satisfactory performance and are

competing with the control chart T 2. The results were obtained with the help of

statistical software R.

Keywords: Mean vector; inspection by attributes and variables; control chart

MaxD; combined control chart MaxD − T 2.

iii

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Descricao dos capıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Controle Estatıstico de Processo 5

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Graficos de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Teste de Hipoteses e Graficos de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Planejamento do Grafico de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Grafico de Controle 11

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Grafico de Controle Univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Grafico npx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Grafico de Controle Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Distribuicao Normal Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Estimacao do Vetor de Medias e da Matriz de Variancia-Covariancia 19

3.3.3 Grafico de Controle de T 2 de Hotelling . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Grafico de Controle por atributos para monitorar um vetor de Medias

de um Processo Bivariado 23

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Planejamento do Grafico de Controle Proposto . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Desempenho do Grafico de Controle Proposto . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Exemplo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iv

5 Grafico de Controle Combinado Para Monitoramento do Vetor de

Medias de um Processo Bivariado 37

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Grafico de Controle Combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Uma Combinacao dos Graficos MaxD e T 2 . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3.1 Planejamento do Grafico MaxD - T 2 . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3.2 Otimizacao do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3.3 Estudo Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Conclusoes e Sugestoes Para Pesquisas Futuras 53

6.1 Sugestoes Para Pesquisas Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Referencias Bibliograficas 54

A Demonstracoes 59

A.1 Probabilidade β do grafico MaxD − T 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B Resultados 60

v

Capıtulo 1

Introducao

Desde o surgimento da revolucao industrial ate os dias atuais e crescente a producao

em larga escala. Como consequencia disso e cada vez maior a preocupacao em moni-

torar e controlar a qualidade de um produto. Atualmente, com a grande concorrencia

existente no mercado, as empresas buscam de todas as maneiras metodos mais rigoro-

sos para controlar a qualidade de seus produtos e/ou servicos com o objetivo de serem

mais competitivas. Essa busca por metodos mais rigorosos de controle de qualidade

conduziu ao desenvolvimento de tecnicas estatısticas aplicaveis ao ambiente industrial

e/ou empresarial. Uma dessas tecnicas estatısticas que se tornou indispensavel foi o

Controle Estatıstico de Processo (CEP).

Apresentado inicialmente por Shewhart (1925), o controle estatıstico de processo

tem como objetivo estabelecer, melhorar e assegurar a qualidade de uma producao, atu-

ando em todas as fases do processo produtivo. E para tais fins, a principal ferramenta

utilizada e o grafico de controle (MONTGOMERY, 2004).

O grafico de controle criado por Shewhart e uma ferramenta simples de monitora-

mento de processo que nao demanda recursos computacionais, tornando-se ideal para

a epoca que surgiu. Porem, a crescente disponibilidade de suporte computacional, e

o aumento da complexidade e dos nıveis de automacao dos processos industriais fi-

zeram crescer o interesse pelo monitoramento simultaneo de varias caracterısticas de

qualidade, tambem chamadas de variaveis do processo (LOWRY; MONTGOMERY,

1995). Inicialmente, foram utilizadas varias cartas univaridas de Shewhart simultanea-

mente e de forma independente para monitorar varias caracterısticas de qualidade, ver

Montgomery (2004). Contudo, esse modelo torna-se inviavel quando a quantidade de

caracterısticas de qualidade e grande.

Hotelling (1947) propos um grafico para monitorar, simultaneamente, duas ou mais

caracterısticas de qualidade. A estatıstica de teste do grafico incorpora a correlacao

1

2

entre as variaveis. Esse grafico ficou conhecido como grafico T 2 de Hotelling e, desde

que foi criado, passou a ser a ferramenta estatıstica mais utilizada no monitoramento

do vetor de medias de duas ou mais caracterısticas de qualidade correlacionadas.

Nas ultimas decadas, tanto a elaboracao de graficos mais eficientes como de estra-

tegias que visam melhorar o desempenho dos graficos ja existentes vem sendo continu-

amente desenvolvidas. Westgard et al. (1977), Lucas (1982) e Sampaio, Ho e Medeiros

(2014) propuseram e mostraram, em seus respectivos trabalhos, que a combinacao de

tipos diferentes de graficos de controle, para monitorar a media de um processo, e

um procedimento que pode melhorar a eficiencia do monitoramento. No trabalho de

Sampaio, Ho e Medeiros (2014) e apresentado um procedimento combinado que une os

graficos X e npx a fim de monitorar a media de um processo. O procedimento alcancou

o objetivo de concorrer e, em geral, superar o uso isolado do grafico X, e nao so do

ponto de vista estatıstico, mas tambem economico. O custo associado a inspecao do

procedimento combinado mostrou-se, muitas vezes, inferior ao uso apenas do grafico

X.

Motivado pelo crescente numero de pesquisas na area e pela importancia dessa

ferramenta no monitoramento de processos industriais, inicialmente, neste trabalho,

foi proposto um novo grafico de controle, chamado de grafico MaxD, que emprega

uma inspeccao por atributos (inspecionar se uma unidade esta aprovada ou reprovada)

para monitorar um vetor de medias de processos bivariados. A construcao desse grafico

tem por base a distribuicao binomial bivariada. Wu et al. (2009) apresentaram um novo

grafico de controle, chamado grafico npx, capaz de monitorar a media de um processo

por meio de uma inspecao por atributos. Ho e Costa (2015) propuseram duas cartas de

Shewhart, denotados graficos npxy e npw, que tambem usam a inspecao por atributos

para controlar o vetor de medias de processos bivariados.

Neste trabalho tambem e proposto um novo procedimento combinado, que une os

graficos MaxD e T 2 com o proposito de monitorar as medias de um processo bivari-

ado. Este procedimento e uma extensao, para processos bivariados, do procedimento

proposto por Sampaio, Ho e Medeiros (2014). Esse grafico utiliza tanto a inspecao por

atributos (por parte do grafico MaxD) quanto a inspecao por variaveis (por parte do

grafico T 2). O procedimento consiste em dividir a amostra em duas partes, em que

o tamanho de cada uma e determinadas por um processo de otimizacao. Cada suba-

mostra e utilizada em um dos graficos que integram o procedimento combinado para

o calculo das respectivas estatısticas amostrais. A vantagem desse procedimento, ex-

plicado com maiores detalhes no Capıtulo 5, e que ele e capaz de fornecer informacoes

para a decisao inferencial usando apenas a inspecao por atributos, quando esta nao

1.1 Objetivos 3

sinaliza um desajuste, nao havendo necessidade de proceder a inspecao por variaveis.

Cabe ressaltar que neste trabalho e usado, como notacao de quantidades numericas,

o ponto para separar unidades e decimais, em concordancia com notacao usada em

publicacoes internacionais.

1.1 Objetivos

O presente trabalho tem como objetivo principal propor dois novos graficos de

controle capazes de monitorar um vetor de medias de um processo bivariado: grafico

MaxD e grafico combinado.

Os objetivos especıficos deste trabalho sao os seguintes:

• Revisar a literatura sobre CEP e graficos de controle, suas peculiaridades e apli-

cacoes;

• Desenvolver a metodologia de construcao e avaliacao dos dois graficos propostos;

• Criar e descrever um processo de otimizacao para o grafico combinado bivariado;

• Comparar a eficiencia dos graficos propostos com os graficos npxy e T 2.

• Verificar o desempenho dos graficos quando ha o efeito da correlacao entre as

variaveis.

1.2 Descricao dos capıtulos

Este trabalho esta estruturado em cinco capıtulos. Neste primeiro capıtulo foi

apresentado um breve historico sobre CEP e graficos de controle, as justificativas para

a escolha do tema, os objetivos, seu carater inedito e a seguir descreve-se a organizacao

do texto.

O Capıtulo 2 e dedicado ao controle estatıstico de processo. Sao apresentados os

conceitos basicos, uma visao geral sobre os graficos de controle, a inferencia estatıstica

associada aos graficos de controle e o planejamento desta ferramenta.

O Capıtulo 3 e dedicado aos graficos de controle univariados e multivariados, apre-

sentando de forma detalhada algumas definicoes importantes dentro do contexto de

interesse.

No Capıtulo 4 e apresentada a primeira proposta deste trabalho, o grafico MaxD.

Nesse capıtulo e descrito com detalhes o novo grafico, bem como apresentados os resul-

tados e a comparacao do desempenho do grafico proposto com os graficos T 2 e npxy.

1.2 Descricao dos capıtulos 4

O Capıtulo 5 apresenta a proposta de combinar dois graficos para monitorar um

processo bivariado. Explica-se como utilizar o procedimento combinado, como escolher

o tamanho das subamostras e relata-se como ocorre o processo de otimizacao que

encontra os parametros otimos do grafico.

O Capıtulo 6 traz conclusoes e sugestoes para pesquisas futuras.

Capıtulo 2

Controle Estatıstico de Processo

2.1 Introducao

Shewhart (1925) foi o pioneiro na area de controle estatıstico de processo tendo

apresentado, pela primeira vez, um grafico de controle para monitorar o percentual de

defeitos em um processo de producao na Bell Telephone Laboratories. Pouco depois ele

estendeu a ideia do grafico para controlar a media e o desvio padrao de um processo.

Por sua facilidade de implementacao e analise, essa ferramenta foi amplamente utili-

zada pela industria. Neste capıtulo serao apresentados os conceitos basicos de controle

estatıstico de processo, dando enfoque maior para os graficos de controle.

2.2 Conceitos Basicos

A variabilidade e um fator que esta altamente ligada a qualidade, ela torna quase

impossıvel produzir dois produtos identicos. Shewhart percebeu que a qualidade e a

variabilidade sao caracterısticas antagonicas, ou seja, onde existir muita variabilidade,

havera pouca qualidade e vice-versa. Isso fez Shewhart entender que para gerar produ-

tos com qualidade era necessario medir, analisar e monitorar a variabilidade do produto

ou servico.

A variabilidade do processo esta relacionada a dois tipos de causas: as comuns e

as especiais. A variabilidade provocada por causas comuns, tambem conhecida como

variabilidade natural, e inerente ao processo e estara sempre presente mesmo que todas

as operacoes sejam executadas empregando metodos padronizados. Quando um pro-

cesso esta operando de maneira natural, ou seja, sem causas especiais de variabilidade

presentes, e dito estavel ou sob controle estatıstico. Lourenco Filho (1976) afirma que

5

2.2 Conceitos Basicos 6

as causas comuns nao provocam alteracoes apreciaveis na qualidade do produto, alem

disso, sua eliminacao e impossıvel ou antieconomica, e por esse motivo sao consideradas

como parte natural do processo.

Com a impossibilidade de eliminar a variabilidade nos processos de producao,

utiliza-se uma faixa admissıvel de variacao para a caracterıstica de qualidade do pro-

cesso. Essa faixa e determinada pelos limites de especificacao, limite inferior de especifi-

cacao (LIE) e limite superior de especificacao (LSE), que sao definidos pelos engenheiros

ou pessoal tecnico da area para o atendimento de normas pre-estabelecidas.

Quando as perturbacoes sao significativas de modo que a variabilidade do processo

seja considerada grande se comparada a variabilidade natural, dizemos que o processo

esta fora de controle. As fontes dessa variabilidade sao chamadas de causas especiais,

e essas fazem com que o processo nao se comporte de acordo com seu padrao natural.

Tal variabilidade, em geral, e resultada de ajustes inadequados das maquinas, erros de

operadores, diferencas no metodo de trabalho e nas condicoes ambientais, entre outros.

Essas causas reduzem significativamente o desempenho do processo, por isso devem

ser identificadas e neutralizadas. Cada vez que uma causa especial e identificada e

eliminada, o processo de producao se reestabiliza e a qualidade melhora (SAMOHYL,

2009).

O Controle Estatıstico de Processo (CEP) e um metodo preventivo em que os

resultados sao comparados continuamente a partir de dados estatısticos, identificando

as tendencias para variacoes significativas e eliminando ou controlando estas variacoes

com o objetivo de reduzi-las cada vez mais (TRIOLA, 2005).

Segundo Montgomery (2004) o principal objetivo do CEP consiste em analisar o

processo, estabelecer padroes, comparar desempenhos, verificar e estudar desvios, bus-

car e implementar solucoes, buscando a melhor performance de maquinas e/ou pessoas.

Shewhart (1925) introduziu o conceito de grafico de controle, com a intencao de

eliminar variacoes, diferenciando-as entre as causas comuns e causas especiais. Desde

entao, os graficos de controle tem sido a ferramenta do CEP mais conhecida e utilizada

por aqueles que precisam monitorar variacoes em um processo.

Inicialmente, o grafico desenvolvido por Shewhart foi utilizado como uma ferra-

menta no monitoramento de um processo processo de producao na Bell Telephone La-

boratories. Porem por sua facilidade de operacao acabou sendo utilizado em diversas

areas do conhecimento humano.

Diferentemente da inspecao apos a producao, o emprego dos graficos de controle

possibilita o controle da qualidade durante a producao, ou seja, os graficos de controle

exibem um enfoque na deteccao dos defeitos e acao corretiva imediata, caso alguma

2.3 Graficos de Controle 7

falha seja detectada. Desta forma, ao impedir a saıda de produtos imperfeitos, pode

ser considerado como um metodo de carater preventivo (DEMING, 1990).

2.3 Graficos de Controle

Alem de oferecer uma exposicao visual, ao longo do tempo, dos dados que repre-

sentam um processo, o principal foco do grafico de controle e a tentativa de separar as

causas de variacoes especiais das causas de variacoes comuns.

Em geral, o grafico de controle e formado por uma linha central (LC) que representa

o valor medio da estatıstica que esta sendo monitorada, e por duas linhas externas

denominadas limite superior de controle (LSC) e limite inferior de controle (LIC),

determinados de modo a satisfazer algum crıterio de desempenho. A Figura 2.1 mostra

um exemplo de um grafico de controle.

Segundo Montgomery (2004) se o processo esta sob controle praticamente todos os

pontos devem ser registrados dentro dos limites de controle e apresentar um padrao

essencialmente aleatorio. Ja quando alguns desses pontos estao fora dos limites de

controle ou seguem uma tendencia especial ou sistematica, o grafico sinaliza que esse

processo podera estar fora de controle estatıstico.

Figura 2.1: Grafico de controle

Seja g(X) uma estatıstica amostral para medir uma caracterıstica de qualidade,

com media µX e desvio padrao σX quando o proceso esta sob controle. Nesse caso, a

2.4 Teste de Hipoteses e Graficos de Controle 8

linha central, o limite superior e o limite inferior de controle sao dados por:

LSC = µX + kσX

LC = µX

LIC = µX − kσX

em que k e a constante de abertura do grafico.

Um fator importante na utilizacao dos graficos de controle e o tamanho da amostra

n, pois esta diretamente ligado ao desempenho do grafico. Quanto maior o tamanho

amostral, mais rapidamente o grafico detecta mudancas no processo, porem aumenta

tambem o custo de inspecao. Segundo Lourenco Filho (1976) independentemente do

tamanho, a amostra deve estar de acordo com o que Shewart chamou de subgrupo

racional. Esse conceito significa que cada amostra (subgrupo) deve ser formada por

unidades produzidas praticamente num mesmo instante, de forma que as variacoes den-

tro de cada amostra sejam atribuıdas as causas aleatorias e as variacoes entre amostras

sejam atribuıdas as causas especiais.

2.4 Teste de Hipoteses e Graficos de Controle

Como ja dito anteriormente, os graficos de controle sao utilizados com o objetivo de

monitorar se um processo esta ou nao sob controle estatıstico. Segundo Woodall (2000)

alguns autores consideram esse monitoramento por meio dos graficos de controle como

um sistema contınuo de testes de hipoteses.

Um teste de hipotese e um metodo de inferencia estatıstica cujo objetivo e decidir

se uma afirmacao, em geral, sobre parametros de uma ou mais populacoes e, ou nao,

apoiado pela evidencia obtida de dados amostrais.

Na aplicacao do grafico de controle sao testadas a hipotese nula (H0) e a hipotese

alternativa (H1), isto e, cada vez que um ponto e desenhado no grafico e aplicado um

teste a partir de uma estatıstica g(X). As hipoteses sao:

H0 : o processo esta sob controle estatıstico, ou seja, um ou mais parametros estao

estaveis.

H1 : o processo esta fora de controle estatıstico, ou seja, um ou mais parametros

nao estao estaveis.

A regiao de aceitacao de H0 e composta pelo conjunto de todos os resultados de uma

2.4 Teste de Hipoteses e Graficos de Controle 9

estatıstica g(X) que estejam dentro dos limites de controle LSC e LIC (para graficos

de controle bilaterais) ou em um deles (no caso de graficos de controle unilaterais). Ou

seja, o hipotese H0 e aceita se g(X) e verificada dentro dos limites de controle. Quando

a hipotese H0 e rejeitada, isto e, se g(X) e verificada fora dos limites de controle,

deve-se intervir no processo parando-o para ajustes.

Por se tratar de um teste estatıstico, ha sempre um risco de interpretar o processo

como fora de controle quando na verdade ele esta sob controle, esse tipo de erro e

conhecido, na literatura, como erro do tipo I. De acordo com a estrutura de um tıpico

grafico de controle de Shewhart, a probabilidade desse erro e denotada por α e dada

por:

PH0(g(X) /∈ [LIC;LSC] | H0) = α.

No caso em que o interesse no processo e monitorar apenas desvios unilaterais,

inferiores ou superiores, a probabilidade acima pode ser reescrita, respectivamente,

pelas seguintes probabilidades

PH0(g(X) < LIC | H0) = α

ou

PH0(g(X) > LSC | H0) = α.

Outro erro que pode ser cometido e interpretar que o processo esta sob controle

quando na verdade ele esta fora de controle, conhecido como erro do tipo II. A proba-

bilidade desse erro e denotada por β e dada por:

PH1(g(X) ∈ [LIC;LSC] | H1) = β,

ou seja,

PH1(LIC ≤ g(X) ≤ LSC | H1) = β.

Os dois tipos de erros levam a uma perda de tempo, de material e de dinheiro. A

ocorrencia de um alarme falso (erro do tipo I) causa uma intervecao desnecessaria no

processo. Ja no erro do tipo II temos o problema inverso, a nao intervencao do processo

quando ele esta fora de controle.

Quando o processo esta fora de controle o ideal e que o grafico sinalize o mais

2.5 Planejamento do Grafico de Controle 10

rapido possıvel, pois isso possibilitara uma rapida intervencao no processo garantindo

a producao de uma menor quantidade de produtos fora dos padroes de qualidade. O

poder do grafico de controle (Pd) em detectar uma causa especial no processo e dado

pela probabilidade:

Pd = 1− β.

2.5 Planejamento do Grafico de Controle

O planejamento do grafico de controle deve levar em conta tres parametros que

influenciam diretamente seu desempenho: o tamanho da amostra n, o intervalo de

tempo h entre a retirada de cada amostra e o fator k de abertura dos limites de controle.

Esse planejamento pode satisfazer criterios estatısticos e/ou economicos. O aumento

no tamanho da amostra possibilita uma deteccao mais rapida quando houver mudancas

no processo, porem aumentara o custo total de inspecao. Um intervalo de amostragem

mais curto tambem possibilita uma deteccao mais rapida. Esses parametros devem ser

ajustados a fim de que possam tornar o procedimento economicamente viavel e que

tenha eficacia de controle. Normalmente as industrias utilizam pequenas amostras e

intervalos de tempo menores entre as amostragens.

O desempenho dos graficos de controle e medido pelo numero medio de amostras ate

o sinal (NMA). Durante o perıodo em que o processo esta sob controle NMA0 = 1/α

(COSTA; EPPRECHT; CARPINETTI, 2005), indica o numero medio de amostras

retiradas ate o alarme falso. No perıodo em que o processo esta fora de controle

NMA = 1/Pd (COSTA; EPPRECHT; CARPINETTI, 2005), indica o numero medio

de amostras retiradas ate o alarme verdadeiro . Quando um processo esta sob controle,

e desejavel que o valor do NMA0 seja grande. Ja quando um processo esta fora de

controle, e desejavel que o NMA seja pequeno, de modo a garantir uma rapida deteccao

da causa especial (MONTGOMERY, 2004).

Capıtulo 3

Grafico de Controle

3.1 Introducao

No Capıtulo 2 foram apresentados os conceitos basicos dos graficos de controle.

Este Capıtulo fara uma revisao mais aprofundada sobre o assunto. Ha varios criterios

utilizados para classificar os graficos de controle. Um dos criterios e o numero de

caracterısticas monitoradas. Quando apenas uma caracterıstica esta sendo monitorada

o grafico e classificado com univariado, ja quando duas ou mais caracterısticas sao

monitoradas ele e classificado como multivariado. Outro criterio de classificacao e o

tipo de caracterıstica monitorada, nesse caso sao divididos em graficos de controle

por atributos ou graficos de controle por variaveis. Os graficos tambem podem ser

classificados de acordo com o numero de estagios, um estagio ou dois estagios.

3.2 Grafico de Controle Univariado

Os graficos de controle univariados sao amplamente utilizados na industria quando

o interesse e monitorar apenas uma caracterıstica do processo. A larga utilizacao desses

graficos pode ser explicada pela facilidade de manuseio.

Quando a caracterıstica estudada pode ser expressa em uma escala contınua de

medida sao utilizados os graficos de controle para variaveis. Quando e analisada uma

caracterıstica da qualidade que e uma variavel, em geral, sao monitorados o valor medio

da caracterıstica da qualidade e sua variabilidade. Por sua simplicidade, normalmente

o valor medio e monitorado por meio do grafico da media denominado grafico X,

enquanto que a variabilidade do processo pode ser acompanhada atraves do grafico do

desvio padrao, denominado grafico S, do grafico da amplitude, denominado grafico R,

ou do grafico da variancia amostral, denominado grafico S2.

11

3.2 Grafico de Controle Univariado 12

Embora os graficos de controle para variaveis tenham uma ampla utilizacao, nem

sempre podem ser utilizados. Segundo Montgomery (2004) muitas caracterısticas da

qualidade nao sao medidas em uma escala contınua ou mesmo em uma escala quan-

titativa. Ha casos em que se julga cada unidade do produto como conforme ou nao,

com base no fato de possuir ou nao certos atributos, ou entao um certo numero de

nao conformidades por unidade do produto. Os graficos de controle por atributos mais

usados sao os seguintes:

• Grafico p - o grafico de controle para a fracao defeituosa (ou fracao nao-conforme)

baseia-se na distribuicao binomial. Esse grafico e utilizado para monitorar a

proporcao de unidades nao-conformes na amostra.

• Grafico np - o grafico de controle para o numero de nao-conformes e similar ao

grafico p, a diferenca e que ele e utilizado para monitorar o numero de itens de-

feituosos na amostra de tamanho n. Tambem baseia-se na distribuicao binomial.

• Grafico c - dependendo do tipo de produto e mais natural considerar o numero

de defeitos por unidade amostral e nao o numero de itens defeituosos. Nesse caso

pode-se usar o grafico de controle para o numero de nao-conformes por unidade.

Este grafico baseia-se na distribuicao de Poisson.

• Grafico u - o grafico de controle para o numero medio de nao-conformidades

por unidade e similar ao grafico c, a diferenca e que ele e utilizado quando se

monitora a taxa de nao-conformidades por unidade. Este grafico tambem baseia-

se na distribuicao de Poisson.

Alem dos graficos mencionados, existem outros como os graficos de controle da

soma acumulada (CUSUM) e da media movel ponderada exponencialmente (EWMA)

que podem monitorar caracterısticas de qualidade do tipo variavel ou do tipo atri-

buto. Segundo Costa, Epprecht e Carpinetti (2005), os graficos CUSUM e EWMA sao

indicados para monitoramento de processos sujeitos a pequenas perturbacoes.

Geralmente, os graficos de controle para variaveis fornecem mais informacao acerca

do processo quando comparados aos graficos de controle para atributos. Porem estes,

geralmente, tem a classificacao mais rapida que a mensuracao, e seu custo operacional

e menor. Maiores detalhes sobre estes graficos podem ser vistos em Costa, Epprecht e

Carpinetti (2005) e Montgomery (2004).

Os graficos de controle para atributos sao amplamente utilizados em grande parte

devido a sua simplicidade de implementacao. Segundo Montgomery (2004), medicoes


caras e demoradas podem ser evitadas utilizando inspeccoes por atributos. Mesmo com

uma possıvel economia de tempo e dinheiro dos graficos de controle para atributos, a

eficiencia deste tipo de grafico pode ser questionada quando a caracterıstica de quali-

dade monitorada e do tipo variavel. Geralmente, para ter um mesmo desempenho, o

tamanho amostral dos graficos por atributos e muito maior do que o dos graficos por

variaveis. Montgomery (2004) apresentou um exemplo em que um grafico de X e um

grafico np sao comparados para detectar a mudanca na media de uma caracterıstica

de qualidade X com uma distribuicao normal N(50, 22). O exemplo mostrou que o

tamanho da amostra do grafico np deveria ser seis vezes maior que do grafico de X

para que ambos tivessem o mesmo poder de deteccao.

3.2.1 Grafico npx

Proposto por Wu et al. (2009), o grafico npx utiliza uma inspeccao por atributo

(inspecionar se uma unidade esta aprovada ou reprovada) para monitorar a media do

processo. Ou seja, ele e utilizado para monitorar uma caracterıstica de qualidade do

tipo variavel, mas o modo de inspecionar os itens nao ocorre por meio de mensuracoes.

Esse grafico utiliza os limites discriminantes na classificacao das unidades amostrais.

O que distingue o grafico npx do np e a utilizacao dos limites discriminantes em

substituicao aos limites de especificacao na classificacao dos itens. Enquanto os limites

de especificacao sao fixados por engenheiros visando atender normas tecnicas, os limites

discriminantes podem ser otimizados de modo que o grafico npx obtenha um alto poder

de deteccao (WU et al., 2009). A mobilidade dos limites discriminantes permite ajustar

tambem o valor da probabilidade α de modo que o NMA0 seja proximo a um valor

preestabelecido.

Segundo Ho e Costa (2011), o grafico tradicional np e um caso particular do grafico

npx quando os limites discriminantes coincidem com os limites de especificacao.

Figura 3.1: Classificador

0 5 10 15

01

23

45

Nº de amostras

Nº

de

nã

o c

on

form

ida

de

s d

LSCnpx

● ●

●

●

● ● ●

●

●

●

●

●

●

●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

01

23

Figura 3.2: Grafico de Controle npx


A Figura 3.1 mostra um exemplo de classificador utilizado em inspecoes por atri-

butos (tipo passa/nao-passa) ajustado segundo os valores dos limites discriminantes,

superior (wU) e inferior (wL). A Figura 3.2 mostra um exemplo de um grafico npx.

Wu et al. (2009) verificaram que para iguais tamanho da amostra e intervalo de

amostragem, o grafico npx e por volta de 30 a 40% menos eficaz do que o grafico de X.

Mas o fato da inspeccao por atributo ser, geralmente, menos onerosa, pode ser mais

adequado e justo comparar a eficacia dos graficos com base no custo de inspeccao por

unidade de tempo (CIUT), dado por:

CIUT =cinihi

,

em que ci, ni e hi sao, respectivamente, o custo de inspecao por unidade, o tamanho

da amostra e o intervalo amostral do grafico i, em que i = X,npx

Logo, a seguinte condicao deve ser analisada para uma comparacao justa entre um

grafico npx e um grafico X:

cnpxnnpxhnpx

=cXnXhX

,

em que os ındices npx e X indicam os graficos npx e X, respectivamente, para as

variaveis referidas acima.

Normalmente, o custo de inspecao por unidade cnpx e menor que cX , assim e possıvel

aumentar o tamanho da amostra nnpx ou diminuir o intervalo amostral hnpx de modo

que o grafico npx se torne mais eficiente.

Wu et al. (2009) analisaram a eficiencia atraves do tempo esperado ate o sinal

(TES). Assumindo que o processo tenha alcancado um estado estacionario no tempo

e que apos isso sofra um desvio em um tempo aleatorio, segundo uma distribuicao

uniforme, o intervalo de tempo entre a alteracao sofrida e o momento em que o grafico

sinaliza o alarme, pode ser expresso por (ver Reynolds, Amin e Arnold (1990)):

TES = h×NMA− h/2.

Quando o processo esta sob controle esse tempo e chamado de tempo medio ate o

alarme falso (TMAF), dado por:

TMAF = h×NMA0.

O grafico npx e semelhante ao grafico np. Durante a implementacao, n unidades sao


inspecionadas em cada intervalo de amostragem h. Se o numero D de unidades alem

dos limites discriminantes wL ou wU e superior ao limite de controle LC do grafico, o

processo e sinalizado como fora de controle; caso contrario, assume-se que o processo

esta sob controle.

Os valores do LC, wU e wL sao obtidos por otimizacao de modo que uma medida de

desempenho conhecida como Extra Quadratic Loss (EQL), (ver Jr e Stoumbos (2004)),

seja minimizada ao mesmo tempo em que a restricao TMAF = τ seja satisfeita. O

limite de controle LC e usado para verificar D e, portanto, e um inteiro. No entanto, os

limites wL e wU sao variaveis contınuas e simetricas em torno da media cujas expressoes

sao definidas por:

wU = µ0 + kwσ0,

wL = µ0 − kwσ0,

em que µ0, σ0 e kw sao, respectivamente, a media do processo sob controle, desvio

padrao do processo sob controle e o coeficiente de abertura dos limites discriminantes.

Para o grafico de controle npx ha a necessidade das suposicoes de independencia

entre itens produzidos e normalidade do processo. Neste caso, assume-se que a carac-

terıstica de qualidade X tem distribuicao normal com media µ0 e desvio padrao σ0

conhecidos. Na ocorrencia de algum desvio δ, o novo valor da media e dado por:

µ1 = µ0 + δσ0.

Seja Pθ(D > LC) a probabilidade do numero D de unidades nao-conformes em

uma amostra ser maior do que LC para uma dada fracao nao conforme θ. Se D segue

uma distribuicao binomial, D ∼ B(n, θ), entao:

P (D > LC) =1− P (D ≤ LC)

=1−LC∑i=0

(n

i

)θi(1− θ)n−i.

Supondo que apos o deslocamento na media a variancia permaneca inalterada, entao

a probabilidade θ de um item ter o valor de sua caracterıstica de qualidade alem dos

3.3 Grafico de Controle Multivariado 16

limites discriminantes sera:

θ = 1− Φ

(wU − (µ0 + δσ0)

σ0

)+ Φ

(wL − (µ0 + δσ0)

σ0

)= 1− Φ(kw − δ) + Φ(−kw − δ),

sendo Φ(.) a funcao de distribuicao acumulada de uma normal padrao.

Quando δ = 0, θ assume o valor sob controle θ0, e a probabilidade α produzida pelo

grafico npx e igual a:

α = Pθ0(D > LC).

Ja a probabilidade β e dada por:

β = Pθ1(D < LC),

sendo θ1 a fracao de nao-conformidade para um processo com desvio na media, ou seja,

δ 6= 0.

Embora o grafico npx utilize inspecao por atributos, e capaz de monitorar a media

de uma caracterıstica variavel de forma eficaz. Os instrumentos utilizados para as

inspeccoes de atributos sao relativamente simples e precisam de menos ajuste. Como

resultado, eles sao menos caros e mais confiavel do que os instrumentos utilizados para

as inspeccoes de variaveis (WU et al., 2009).

3.3 Grafico de Controle Multivariado

Ate o momento foram discutidos os graficos de controle univariados, utilizados para

monitorar apenas uma caracterıstica de qualidade. Segundo Lowry e Montgomery

(1995), o desenvolvimento da complexidade e dos nıveis de automacao dos processos

industriais e a crescente disponibilidade de suporte computacional, tem aumentado o

interesse pelo monitoramento simultaneo de varias caracterısticas de qualidade. Le-

vando em conta esse contexto, o controle de qualidade multivariado aparece como uma

ferramenta extremamente importante para avaliar varias caracterısticas que afetam di-

reta e simultaneamente a qualidade final de determinado produto ou servico (MASON;

YOUNG, 2002).

Monitorar q caracterısticas de qualidade utilizando q graficos de controle univaria-

dos, alem de muito trabalhoso, leva a uma distorcao de interpretacao no monitoramento

do processo. Essa distorcao aumenta com o numero de caracterısticas de qualidade mo-


nitoradas e, principalmente, quando as q caracterısticas nao sao independentes.

Hotelling (1947) propos um grafico de controle baseado na estatıstica T 2 para o

monitoramento de processos multivariados, e desde entao passou a ser a ferramenta

estatıstica mais usual no monitoramento do vetor de medias de duas ou mais caracte-

rısticas de qualidade.

Antes de discutir as estrategias de monitoramento para processos multivariados,

serao apresentadas a distribuicao normal multivariada e as estimativas dos vetores de

medias e da matriz de variancia-covariancia.

3.3.1 Distribuicao Normal Multivariada

A distribuicao normal multivariada e uma generalizacao da normal univariada para

o caso no qual se trabalha com duas ou mais variaveis aleatorias simultaneamente. A

distribuicao normal univariada com media µ e variancia σ2 tem funcao de densidade

de probabilidades dada por:

f(x) =1√

2πσ2exp

{−1

2

(x− µσ

)2}.

Supondo q variaveis dadas pelo vetor aleatorio X = [X1, X2, . . . , Xq], diz-se que

esse vetor tem distribuicao normal multivariada de dimensao q, ou q-variada , X ∼N(µ,Σq×q), se a funcao densidade de probabilidade de X for dada por:

f(x1, x2, . . . , xq) =1

(2π)q/2 | Σ |1/2exp

{−1

2(x− µ)′Σ−1(x− µ)

},

em que µ = (µ1, µ2, . . . , µq) e um vetor de dimensao q que representa a esperanca

matematica do vetor X, ou seja, µi = E(Xi), i = 1, 2, . . . , q e Σ e a matriz de variancia-

covariancia do vetor aleatorio X de dimensao q × q.A matriz de variancia-covariancia e positiva definida, e e denotada por:

Σp×p =

σ11 σ12 . . . σ1p

σ21 σ22 . . . σ2p

......

. . ....

σp1 σp2 . . . σpp

,sendo σii = σ2

i = V ar(Xi); i = 1, 2, . . . , p e σij = Cov(Xi, Xj); i, j = 1, 2, . . . , p, (i 6= j).

Como a matriz de variancia-covariancia e simetrica, σij = σji, ∀ i 6= j.

Segundo Mingoti (2005) embora a covariancia tenha informacao sobre o relaciona-


mento linear entre duas variaveis, e difıcil julgar se a relacao e forte ou nao observando-

se unicamente os seus valores numericos, uma vez que nao se tem um valor de referencia

mınimo ou maximo para comparacao dos valores σij. Assim, uma medida mais util na

pratica e a correlacao.

O coeficiente de correlacao entre a i-esima e j-esima variaveis do vetor X e definido

por:

ρij =σij√σiiσjj

,

sendo −1 ≤ ρij ≤ 1; i = 1, 2, . . . , p.

Quanto mais proximo de 1, maior e o relacionamento linear positivo entre as va-

riaveis Xi e Xj e quanto mais proximo de −1, maior o relacionamento linear negativo

entre as variaveis. Quando as variaveis sao nao-correlacionadas tem-se um coeficiente

igual a zero.

Para q = 2, tem-se a distribuicao normal bivariada, em que a funcao de densidade e

a matriz de variancia-covariancia do vetor X′ = [X1X2] e dada, respectivamente, por:

f(x1, x2) =1

(2π) | Σ |1/2exp

{−1

2(x− µ)′Σ−1(x− µ)

},

e

Σ =

[σ11 σ12

σ21 σ22

]=

[σ2

1 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

],

com ρ representando o coeficiente de correlacao entre X1 e X2 e | Σ |= σ21σ

22(1− ρ2).

Quando ρ = 0, a funcao f(x1, x2) e o produto de duas densidades normais univari-

adas, logo, tem-se que as variaveis X1 e X2 sao independentes, isto e,

f(x1, x2) = v(x1)v(x2),

com

v(x1) =1√

2πσ21

exp

{−1

2

(x1 − µ1

σ1

)2}

v(x2) =1√

2πσ22

exp

{−1

2

(x2 − µ2

σ2

)2}

Portanto, no caso da distribuicao normal bivariada, se X1 e X2 forem nao correla-


cionadas tambem serao independentes (MINGOTI, 2005).

3.3.2 Estimacao do Vetor de Medias e da Matriz de Variancia-

Covariancia

Supondo uma amostra aleatoria de tamanho n na qual sao observados os valores

de q-variaveis aleatorias de interesse para cada elemento da amostra, ou seja, tem-se n

vetores aleatorios independentes e identicamente distribuıdos da forma:

X1 =

X11

X21

...

Xq1

, X2 =

X12

X22

...

Xq2

, . . . , Xn =

X1n

X2n

...

Xqn

,em que o primeiro ındice indica a variavel e o segundo o elemento amostral.

Assim, o vetor de medias µ sera estimado pelo vetor de medias amostrais X:

X =1

n

[X1 + X2 + . . . + Xn

]=

X1

X2

...

Xq

,sendo X i a media amostral da i-esima variavel, i = 1, 2, . . . , q. A matriz de variancia-

covariancia Σq×q sera estimada pela matriz de variancia-covariancia amostral Sq×q dada

por:

Sq×q =

S11 S12 . . . S1q

S21 S22 . . . S2q

......

. . ....

Sq1 Sq2 . . . Sqq

q×q

,

em que a variancia amostral da i-esima variavel Sii e a covariancia amostral entre a

i-esima e j-esima variaveis Sij = Sji , j 6= i, sao definidos, respectivamente, por:

Sii =

n∑l=1

(Xil −X i)2

n− 1,


e

Sij =

n∑l=1

(Xil −X i)(Xil −Xj)

n− 1.

3.3.3 Grafico de Controle de T 2 de Hotelling

O grafico de controle T 2, proposto por Hotelling (1947), e utilizado no monitora-

mento simultaneo de q caracterısticas de qualidade. Assim como o grafico de X , o

grafico de T 2 e pouco sensıvel a deslocamentos pequenos a moderados dos parametros

do processo (LOWRY; MONTGOMERY, 1995).

A estatıstica de teste do grafico T 2 de Hotelling para a i-esima amostra, em um

processo com q variaveis normalmente distribuıdas, quando o vetor das medias µ0 e a

matriz de variancia-covariancia Σ0 sao conhecidos, e dada por:

T 2i = n(Xi − µ0)′Σ0

−1(Xi − µ0),

n representando o tamanho da i-esima amostra e Xi o vetor das medias amostrais

dos q parametros para a amostra i. Quando o processo esta sob controle, T 2 seguira

aproximadamente uma distribuicao qui-quadrado com q graus de liberdade, e o limite

de controle do grafico pode ser dado por (ALT, 1985; BERSIMIS; PSARAKIS; PANA-

RETOS, 2007):

LSC = χ2q,α, (3.1)

Quando o vetor das medias e a matriz variancia-covariancia sao desconhecidos, o que

normalmente acontece na pratica, e comum utilizar os estimadores µ0 e Σ0 baseados em

m amostras: µ0 = X = 1m

m∑i=1

Xi e Σ0 = Si = 1m

m∑i=1

S, em que Xi e Si representam,

respectivamente, o vetor das medias da amostra e a matriz de variancia-covariancia da

i-esima amostra aleatoria e independente de uma distribuicao normal q-variada. Nesse

caso os limites de controle sao calculados de acordo com a fase de monitoramento e

tamanho da amostra (JOHNSON; WICHERN, 2007; MONTGOMERY, 2004).

A Fase I utiliza os graficos de controle para testar retrospectivamente se o processo

estava sob controle quando os primeiros m subgrupos foram extraıdos, o que possibilita

obter um conjunto de dados sob controle para que se estabelecam esses limites. Na

Fase II, os limites de controle gerados na Fase I, sao utilizados para testar se o efetivo

controle permanece, porem levando em consideracao subgrupos futuros.

• Fase I


LIC = 0

LSC =q(m− 1)(n− 1)

mn−m− q + 1F(α,q,mn−m−q+1).

• Fase II

LIC = 0

LSC =q(m+ 1)(n− 1)

mn−m− q + 1F(α,q,mn−m−q+1),

sendo q o numero de caracterısticas de qualidade monitoradas simultaneamente; m

o numero de amostras; n tamanho da amostra; F(α,q,mn−m−q+1) a distribuicao F −Fisher−Snedecor com nıvel de significancia α e q,mn−m− q+ 1 graus de liberdade.

Segundo Montgomery (2004) e Johnson e Wichern (2007), quando µ e Σ sao esti-

mados a partir de um grande numero de amostras preliminares, costuma-se usar:

LSC = χ2q,α, (3.2)

em que α e a probabilidade de alarme falso.

Figura 3.3: Grafico de controle T 2 de Hotelling.

A Figura 3.3 mostra um exemplo de um grafico T 2 de Hotelling.

Como visto no Capıtulo 2, quando o processo esta sob controle o numero medio de

amostras ate o sinal (NMA0), e dado por:

NMA0 =1

α.


Quando o processo esta sob a acao de causas especiais, o poder do grafico de controle

esta relacionado com o erro tipo II, sendo Pd = 1−β. Nesse caso, o NMA1 representa

o numero medio de amostras ate o sinal de um alarme verdadeiro.

Baseando-se no grafico de controle T 2 de Hotelling , a probabilidade pd pode ser

obtida em funcao da distribuicao de probabilidade qui-quadrado nao central (MASON;

YOUNG, 2002).

Suponha que o vetor de medias e a matriz de variancia-covariancia sejam conhecidos.

Se uma causa especial atua na media do processo, deslocando o vetor de medias de

µ0 para µ1, a estatıstica T 2i de Hotelling seguira aproximadamente uma distribuicao

qui-quadrado nao central (χ2q,d).

n(Xi − µ1)′Σ0−1(Xi − µ1) ∼ χ2

q,d.

Alguns trabalhos que lidam com controle de processos multivariados utilizam o

parametro de nao centralidade (d2) como medida de deslocamento no vetor de medias

do processo (ALT, 1985; APARISI, 1996; APARISI; HARO, 2001; MASON; YOUNG,

2002).

d2 = n(µ1 − µ0)′Σ−1(µ1 − µ0)

Esta medida possui aproximadamente distribuicao qui-quadrado nao central com

q graus de liberdade e parametro de nao centralidade d2. Assim, o desempenho do

grafico de controle T 2 e calculado pelo numero medio de amostras ate o sinal verdadeiro

(NMA1):

NMA1 =1

1− P (χ2(q,d) < LSC)

.

em que:

β = P (χ2(q,d) < LSC) (3.3)

Capıtulo 4

Grafico de Controle por atributos

para monitorar um vetor de Medias

de um Processo Bivariado

4.1 Introducao

Muitas tecnicas de controle de qualidade sao usadas para processos multivariados

para variaveis, mas sao poucas as ferramentas para processos multivariados para atri-

butos. Neste capıtulo sera proposto um novo grafico de controle para monitorar as

medias de um processo bivariado baseado na inspecao por atributos.

A ideia de monitorar a media de uma variavel com graficos de controle por atributos

foi explorada por Stevens (1948), Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996), Steiner (1998),

Wu e Jiao (2008) e Wu et al. (2009). Apesar desse tipo de grafico ter um poder

de deteccao menor que o grafico X proposto por Shewhart quando os tamanhos das

amostras sao iguais, sua utilizacao pode ser justificada pelo seu menor custo e maior

facilidade de operacao.

Ho e Costa (2015) propuseram dois graficos de controle, chamados de graficos npxy

e npw, que usam inspecoes por atributos para monitorar o vetor de medias (µx;µy)′

de um processo bivariado. A implementacao desses graficos consiste em classificar as

unidades da amostra como sendo de primeira, segunda, ou terceira classe de acordo

com os limites discriminantes inferiores e superiores, (wLX;wUX

) e (wLY;wUY

), segundo

os valores de suas duas caracterısticas de qualidade, X e Y . Uma unidade com carac-

terısticas X e Y que apresentar valores dentro (alem) dos limites discriminantes para

ambas caracterısticas e classificada como uma unidade de primeira (terceira) classe.

Caso contrario, a unidade e classificada como unidade de segunda classe. No momento

23

4.2 Planejamento do Grafico de Controle Proposto 24

em que o grafico npxy esta em uso, a estatıstica de monitoramento e M = N1 +N2, em

que N1 e N2 sao os numeros de unidades da amostra classificadas com sendo de segunda

ou terceira classe, respectivamente. Quando o grafico npw esta em uso, a estatıstica de

monitoramento e W = N1 + 2N2. Esse trabalho mostrou que, em geral, o grafico npxy

exige um tamanho de amostra duas vezes maior para superar o grafico de T 2. O uso do

tamanho amostral duas vezes maior e justificado pelo fato do grafico proposto utilizar

controle por atributos, enquanto que o grafico de T 2 utiliza controle por variaveis.

Nesse sentido, este capıtulo apresenta um novo grafico, denominado aqui como

grafico do controle MaxD, baseado na distribuicao binomial bivariada. Esse novo

grafico e uma extensao do grafico npx proposto por Wu et al. (2009) para o caso

bivariado, e e utilizado para monitorar o vetor de medias (µx, µy) de um processo

bivariado.

4.2 Planejamento do Grafico de Controle Proposto

Os parametros do grafico MaxD sao: o tamanho da amostra (n), o intervalo de

amostragem (h), os limites discriminantes inferior e superior para as variaveis X e Y

(wLX; wUX

) e (wLY; wUY

), e os limites de controle (LX e LY ). Durante a implementacao,

uma amostra de n unidades e inspecionada ao final de cada intervalo de amostragem

h. Em cada uma, as variaveis X e Y nao sao medidas, mas classificadas usando um

classificador. Cada unidade e classificada como reprovada para a variavel X (Y ), se seu

valor estiver fora dos limites discriminantes de X (Y ). A classificacao e feita utilizando

um classificador do tipo passa/nao-passa.

A tomada de decisao quando o grafico MaxD e utilizado, leva em consideracao o

numero de itens classificados como reprovados Di e o limite de controle Li de Di, em

que i indica a caracterıstica de qualidade X ou Y . Se DX < LX e DY < LY continua-

se o processo, caso contrario, o processo e interrompido para ajuste. A vantagem da

inspecao por atributos e que nao ha mensuracao durante o procedimento.

Os limites de controle sao usados para verificar o numero de itens reprovados e,

portanto, e um inteiro. No entanto, os limites discriminantes sao variaveis. Assim

como no caso do grafico npx, os limites discriminantes para as duas caracterısticas sao

simetricas em torno da media quando o processo esta sob controle:

wUi= µ0i + kiσ0i , (4.1)

wLi= µ0i − kiσ0i ,


em que ki, µ0i e σ0i sao respectivamente, os coeficientes de abertura dos limites dis-

criminantes, as medias do processo sob controle e os desvios padrao do processo sob

controle para cada caracterıstica de interesse.

O grafico de controle MaxD e baseado na funcao de probabilidade da distribuicao

binomial bivariada:

P (DY = y,DX = x) =∑j

n!

j!(y − j)!(x− j)!(n− y − x+ j)!P j

11Py−j10 P x−j

01 P n−y−x+j00

(4.2)

em que o somatorio em j vai de 0 ate n, obedecendo as seguintes restricoes: y− 1 ≥ 0,

x− 1 ≥ 0, n− y − x+ 1 ≥ 0.

Mais detalhes sobre a distribuicao binomial bivariada ver Marshall e Olkin (1985),

Teicher (1954).

Para o grafico MaxD temos, P11: probabilidade de reprovar Y e reprovar X, P10:

probabilidade de reprovar Y e aprovar X, P01: probabilidade de aprovar Y e reprovar

X e P00: probabilidade de aprovar Y e aprovar X.

Se a matriz de variancia-covariancia Σ permanece inalterada e o vetor de medias

sofre uma mudanca de µ0 para µ1, utilizando a funcao (4.2), a probabilidade α para o

grafico por atributos e dada por:.

α = 1−LX∑i=0

LY∑j=0

P (DX = i,DY = j|µ0, Σ). (4.3)

Apos a mudanca no vetor de medias, pode-se calcular a probabilidade β por:

β =

LX∑i=0

LY∑j=0

P (DX = i,DY = j|µ1, Σ). (4.4)

O numero medio de amostras ate o sinal (NMA) e o parametro utilizado para ava-

liar o desempenho do grafico MaxD. NMA0 para medir o numero medio de amostras

entre os falsos alarmes e NMA1 para medir o numero medio de amostras que o grafico

de controle requer para sinalizar o desajuste. Essas duas medidas podem ser dadas

por:

NMA0 =1

α,


NMA1 =1

1− β.

0 2 4 6 8 10

01

23

4

Nº de amostras

Nº

de

ite

ns

rep

rova

do

s

LXY

●

●

●

● ● ●

● ●

●

●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

01

23

4

Figura 4.1: Grafico de controle MaxD

A Figura 4.1 apresenta um exemplo de um grafico MaxD com limites de controle

iguais para as caracterısticas X e Y . Observa-se que neste caso apesar do grafico

estar monitorando duas caracterısticas, apenas um ponto e plotado por amostra. Isso

porque, como o grafico sinaliza se uma das caracterısticas esta acima do limite de

controle, basta plotar a variavel que apresenta o maior numero de unidades reprovadas

dentre as duas. Ou seja, a nova variavel plotada e D = max{DY , DY }.O limite de controle LXY e encontrado por meio de uma busca exaustiva desenvol-

vida com o auxılio do software R (R Development Core Team, 2013). Para um tamanho

de amostra n e um NMA0 preestabelecidos, e feita uma busca para encontrar o limite

de controle que apresentem o melhor desempenho. Sao testados todos os possıveis

valores para LXY (0 ≤ LXY ≤ n− 1).

0 2 4 6 8 10

01

23

4

Nº de amostras

Nº

de

ite

ns

rep

rova

do

s

LX

● ●

●

●

●

●

● ● ●

●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

01

23

4

DX

0 2 4 6 8 10

01

23

4

Nº de amostras

Nº

de

ite

ns

rep

rova

do

s

LY

● ●

●

●

● ● ●

●

●

●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

01

23

4

DY

Figura 4.2: Graficos DX e DY .

4.3 Desempenho do Grafico de Controle Proposto 27

Este trabalho tambem apresenta uma extensao do MaxD, na qual os limites de

controle sao distintos para as caracterısticas X e Y . Ou seja, o processo e monitorado

a partir de dois graficos de controles distintos como mostra a Figura 4.2. Neste caso, e

necessario utilizar um grafico para variavel X e outro para a variavel Y , chamados de

graficos DX e DY , respectivamente. Os resultados mostraram que essa extensao nao

apresenta bom desempenho.

4.3 Desempenho do Grafico de Controle Proposto

Nesta secao sao comparados os desempenhos dos graficos (DX ;DY ), MaxD, npxy

e T 2. Para tal finalidade, sao avaliados os valores do NMA1 para cada grafico, sendo

ao mesmo tempo satisfeita a condicao de NMA0 igual ou muito proximo de um valor

τ pre-determinado.

Baseado na literatura, para a analise dos desempenhos e assumido que as variaveis

X e Y tem distribuicao conjunta normal bivariada, e o processo sob controle apresenta

um vetor de medias µ′ = µ′0 = (0; 0) e matriz de variancia-covariancia Σ =

[1 ρ

ρ 1

].

A ocorrencia da causa especial altera o vetor de medias do processo de µ′0 = (0; 0)

para µ′1 = (µ0x + δxσx;µ0y + δyσy) = (δx; δy), sem alterar Σ.

O grafico proposto e capaz de detectar desvios bilaterais no vetor de medias, porem,

em muitos casos o principal interesse no processo e detectar o deslocamento em uma

unica direcao. No presente trabalho o objetivo e detectar somente desvios superiores

no vetor de medias do processo (δx > 0 e δy > 0).

O estudo comparativo e conduzido sob a seguinte condicao geral: τ = 370.

Como as medias e os desvios sao iguais para X e Y , e razoavel assumir que, durante

o processo sob controle, as probabilidades de uma unidade ser reprovada sejam iguais

para as duas caracterısticas. E como o interesse e detectar apenas deslocamentos

positivos, temos wUX= wUY

= LD.

Assim pode-se calcular P11, P10, P01 e P00 pelas seguintes expressoes:

P11 =

∫ +∞

LD

∫ +∞

LD

f(x, y)dxdy

P10 =

∫ +∞

LD

∫ LD

−∞f(x, y)dxdy

P01 =

∫ LD

−∞

∫ +∞

LD

f(x, y)dxdy


P00 =

∫ LD

−∞

∫ LD

−∞f(x, y)dxdy

sendo LD o limite discriminante e f(x, y) a funcao densidade de probabilidade da

normal bivariada.

Foi realizado um estudo comparativo entre os desempenhos dos graficos (DX ;DY ),

MaxD, npxy e T 2 para monitoramento de um processo bivariado, quando δx ≥ 0 e

δx ≥ 0. A comparacao de desempenho e feita pelo NMA1 sob iguais taxas de alarmes

falsos. Adota-se NMA0 = 370, ou seja, α = 0.0027.

As Tabelas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 apresentam os resultados do NMA1 para os graficos

(DX ;DY ), MaxD e T 2 em quatro cenarios diferentes de correlacao entre as variaveis

X e Y , correlacao nula (ρ = 0.0), correlacao fraca (ρ = 0.3), correlacao moderada

(ρ = 0.0) e correlacao forte (ρ = 0.0). Para o grafico de T 2 foi usado um tamanho

de amostra n = 3, ja para os outros graficos foram utilizadas amostras de tamanho

n = 3; 6. Os resultados foram obtidos por meio de um programa desenvolvido no

software estatıstico R (R Development Core Team, 2013). Os resultados mostrados

nas tabelas sao para os valores dos limites de controle que apresentaram melhores

desempenhos para cada tamanho de amostra.

Nos quatro casos de correlacao estudados, verifica-se que utilizar o dois graficos

por atributos separados (DX ;DY ) (com LX 6= LY ) e mais eficiente quando o desvio

e maior na variavel com menor limite de controle, contudo, se o desvio e maior na

variavel com maior limite de controle a eficiencia dos graficos (DX ;DY ) e altamente

reduzida. Por exemplo, na Tabela 4.3 (ρ = 0.5) ao utilizar LX = 5 e LY = 3, para

um tamanho de amostra n = 6, temos um NMA1 = 25.51 para o vetor de desvios

(δx = 0.25; δy = 0.50). Porem, invertendo os desvios (δx = 0.50; δy = 0.25) o novo

NMA1 = 84.85 e significativamente superior. Por esse motivo, a partir de agora sao

comparados apenas o grafico T 2 e o grafco MaxD.

Observa-se que o grafico MaxD apresenta bom desempenho para os quatro casos

de correlacoes estudados. O novo grafico apresenta melhor desempenho, ate mesmo

para um mesmo tamanho de amostra, para varias combinacoes de desvios. O valor

marcado por ∗ indica o menor NMA1 entre os graficos T2 e MaxD com o tamanho da

amostra n = 3 para ambos os graficos.

Outro resultado relevante e que o novo grafico, com tamanho amostral n = 6,

sempre mostrou-se superior ao grafico T 2 com n = 3, para ρ = 0.0; 0.3; 0.5. Para cada

combinacao de (δx; δy), o NMA1 mınimo esta em negrito. Um grafico MaxD com

amostras duas vezes maiores do que as amostras utilizadas no grafico T 2 e compensado,

isso porque o novo grafico usa inspeccoes por atributos, enquanto o grafico T 2 usa


Tabela 4.1: Valores do NMA1 dos graficos de controle para ρ = 0.0.

T 2 MaxD (DX ;DY )

LX = LY LX 6= LY

nδx δy 3 3 6 6 3 6 60.00 0.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.000.00 0.25 230.39 170.92∗ 128.87 126.95 128.58 90.16 87.430.25 0.00 230.39 170.92∗ 128.87 126.95 355.25 291.07 370.130.00 0.50 90.82 70.11∗ 39.52 38.81 49.93 26.58 25.750.50 0.00 90.82 70.11∗ 39.52 38.81 305.98 139.89 341.610.00 1.00 14.98 14.09∗ 5.85 5.93 10.59 4.46 4.371.00 0.00 14.98 14.09∗ 5.85 5.93 105.26 16.87 107.550.00 2.00 1.76∗ 2.09 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.00 1.76∗ 2.09 1.17 1.21 5.98 1.55 3.860.25 0.25 159.63 111.22∗ 78.20 76.71 126.82 84.39 87.190.25 0.50 72.21 57.43∗ 33.07 32.44 49.68 26.07 25.730.50 0.25 72.21 57.43∗ 33.07 32.44 120.01 64.37 85.500.25 1.00 13.60 13.53∗ 5.71 5.78 10.57 4.45 4.371.00 0.25 13.60 13.53∗ 5.71 5.78 68.79 14.88 55.530.25 2.00 1.73∗ 2.09 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.25 1.73∗ 2.09 1.17 1.21 5.84 1.54 3.760.50 0.50 41.15 38.92∗ 21.10 20.70 48.61 23.84 25.590.50 1.00 10.45∗ 12.23 5.27 5.32 10.53 4.39 4.371.00 0.50 10.45∗ 12.23 5.27 5.32 37.45 10.84 22.110.50 2.00 1.64∗ 2.07 1.16 1.20 1.75 1.12 1.112.00 0.50 1.64∗ 2.07 1.16 1.20 5.51 1.52 3.491.00 1.00 4.82∗ 7.43 3.22 3.26 9.94 3.73 4.271.00 2.00 1.40∗ 1.95 1.14 1.17 1.74 1.11 1.112.00 1.00 1.40∗ 1.95 1.14 1.17 4.10 1.38 2.342.00 2.00 1.06∗ 1.38 1.02 1.03 1.56 1.04 1.08LT 2 11.829LX 2 3 4 2 4 5LY 2 3 4 1 3 3LD 1.223 1.271 0.8664 1.878 1.175 1.167

inspecoes por variaveis. Segundo Sampaio, Ho e Medeiros (2014) o custo de inspecao,

por unidade, por variaveis e tres vezes maior que por atributos.

Para o caso de correlacao elevada (ρ = 0.8), o grafico de controle MaxD, com

n = 6 nao supera o grafico de controle T 2, com n = 3, em todas as combinacoes de

(δx; δy), mas apenas para (0.25 ≤ (δx; δy) ≤ 0.50). Tambem sabe-se que o grafico de

controle T 2 apresenta bom desempenho quando (X;Y ) sao altamente correlacionadas



T 2 MaxD (DX ;DY )

LX = LY LX 6= LY

nδx δy 3 3 6 6 3 6 60.00 0.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.000.00 0.25 221.35 171.16∗ 129.51 127.80 128.72 89.31 86.540.25 0.00 221.35 171.16∗ 129.51 127.80 356.42 288.52 365.610.00 0.50 82.68 70.23∗ 39.71 39.06 49.97 26.38 25.540.50 0.00 82.68 70.23∗ 39.71 39.06 307.82 139.37 338.760.00 1.00 12.89∗ 14.09 5.87 5.95 10.59 4.44 4.351.00 0.00 12.89∗ 14.09 5.87 5.95 106.06 16.82 107.080.00 2.00 1.58∗ 2.09 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.00 1.58∗ 2.09 1.17 1.21 6.00 1.55 3.850.25 0.25 187.26 111.74∗ 79.05 77.85 126.92 83.66 86.170.25 0.50 87.06 57.99∗ 33.47 32.93 49.71 25.91 25.520.50 0.25 87.06 57.99∗ 33.47 32.93 120.35 64.32 84.690.25 1.00 14.92 13.60∗ 5.76 5.83 10.58 4.43 4.351.00 0.25 14.92 13.60∗ 5.76 5.83 69.58 14.98 55.560.25 2.00 1.69∗ 2.09 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.25 1.69∗ 2.09 1.17 1.21 5.88 1.55 3.770.50 0.50 57.07 39.49∗ 21.57 21.21 48.71 23.86 25.400.50 1.00 13.99 12.42∗ 5.38 5.44 10.54 4.39 4.351.00 0.50 13.99 12.42∗ 5.38 5.44 37.94 11.07 22.160.50 2.00 1.75∗ 2.08 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.50 1.75∗ 2.08 1.17 1.21 5.59 1.53 3.541.00 1.00 7.42∗ 7.71 3.38 3.42 10.04 3.83 4.281.00 2.00 1.67∗ 1.99 1.15 1.19 1.74 1.11 1.112.00 1.00 1.67∗ 1.99 1.15 1.19 4.27 1.42 2.432.00 2.00 1.19∗ 1.44 1.03 1.05 1.61 1.05 1.09LT 2 11.829LX 2 3 4 2 4 5LY 2 3 4 1 3 3LD 1.222 1.272 0.867 1.878 1.173 1.165

e o deslocamento acontece apenas em uma das medias do processo (LEONI; COSTA;

MACHADO, 2015; HO; COSTA, 2015). Esse comportamento tambem e observado,

em menor intensidade, no grafico de controle MaxD.

A Tabela 4.5 apresenta o menor tamanho amostral (MTA) necessario para que o

grafico de controle MaxD supere o grafico de controle T 2 construıdo com tamanho de

amostra n = 3. Nota-se que ha casos que necessitam de um tamanho amostral n = 2.



T 2 MaxD (DX ;DY )

LX = LY LX 6= LY

nδx δy 3 3 6 6 3 6 60.00 0.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.000.00 0.25 202.04 171.17∗ 129.22 127.17 128.71 89.13 86.480.25 0.00 202.04 171.17∗ 129.22 127.17 356.76 289.77 365.710.00 0.50 67.27∗ 70.09 39.60 38.80 49.97 26.32 25.520.50 0.00 67.27∗ 70.09 39.60 38.80 309.16 140.36 338.890.00 1.00 9.40∗ 14.03 5.85 5.91 10.59 4.43 4.351.00 0.00 9.40∗ 14.03 5.85 5.91 107.12 16.87 107.880.00 2.00 1.32∗ 2.09 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.00 1.32∗ 2.09 1.17 1.21 6.01 1.55 3.850.25 0.25 202.04 112.70∗ 79.47 78.02 127.13 84.02 86.300.25 0.50 90.82 58.49∗ 33.76 33.05 49.76 25.93 25.510.50 0.25 90.82 58.49∗ 33.76 33.05 120.91 65.11 84.850.25 1.00 13.19∗ 13.63 5.76 5.82 10.58 4.43 4.351.00 0.25 13.19∗ 13.63 5.76 5.82 70.67 15.18 56.240.25 2.00 1.46∗ 2.09 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.25 1.46∗ 2.09 1.17 1.21 5.91 1.55 3.790.50 0.50 67.27 40.15∗ 21.99 21.53 48.87 24.07 25.400.50 1.00 14.98 12.59∗ 5.45 5.49 10.56 4.39 4.341.00 0.50 14.98 12.59∗ 5.45 5.49 38.57 11.30 22.400.50 2.00 1.61∗ 2.08 1.17 1.21 1.75 1.12 1.112.00 0.50 1.61∗ 2.08 1.17 1.21 5.66 1.54 3.581.00 1.00 9.40 7.99∗ 3.52 3.54 10.14 3.92 4.291.00 2.00 1.76∗ 2.02 1.16 1.19 1.75 1.11 1.112.00 1.00 1.76∗ 2.02 1.16 1.19 4.41 1.45 2.512.00 2.00 1.32∗ 1.50 1.04 1.06 1.64 1.07 1.10LT 2 11.829LX 2 3 4 2 4 5LY 2 3 4 1 3 3LD 1.220 1.270 0.864 1.878 1.173 1.165

Para ρ = {0.3, 0.5}, o uso de um tamanho amostral n = 5 e suficiente para superar

todos os casos. No entanto, para uma maior correlacao, ρ = 0.8, sao necessarias

amostras maiores.

Em seguida, e realizado um estudo de comparacao entre o MaxD e npxy. Na

Tabela 4.6 os valores de NMA1 para ambos os graficos de controle sao apresentados

considerando-se um tamanho de amostra n = 6 e ρ = {0, 0; 0, 3; 0, 5; 0, 8}. O NMA1



T 2 MaxD (DX ;DY )

LCX = LCY LCX 6= LCY

nδx δy 3 3 6 6 3 6 60.00 0.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.00 370.000.00 0.25 125.55∗ 170.30 128.60 128.61 128.17 88.68 86.540.25 0.00 125.55∗ 170.30 128.60 128.61 358.19 297.32 366.860.00 0.50 26.12∗ 68.44 38.73 37.98 49.74 26.16 25.530.50 0.00 26.12∗ 68.44 38.73 37.98 314.24 145.60 342.710.00 1.00 2.87∗ 13.53 5.71 5.78 10.55 4.41 4.351.00 0.00 2.87∗ 13.53 5.71 5.78 108.95 16.92 109.990.00 2.00 1.01∗ 2.05 1.16 1.20 1.74 1.12 1.112.00 0.00 1.01∗ 2.05 1.16 1.20 6.00 1.55 3.850.25 0.25 220.27 115.57∗ 81.87 80.30 127.21 85.03 86.410.25 0.50 72.21 59.76∗ 34.38 33.70 49.65 26.03 25.600.50 0.25 72.21 59.76∗ 34.38 33.70 122.25 68.55 86.220.25 1.00 5.52∗ 13.38 5.68 5.75 10.55 4.41 4.351.00 0.25 5.52∗ 13.38 5.68 5.75 73.04 15.63 58.120.25 2.00 1.03∗ 2.05 1.16 1.20 1.74 1.12 1.112.00 0.25 1.03∗ 2.05 1.16 1.20 5.91 1.54 3.800.50 0.50 81.75 42.17∗ 23.19 22.74 49.12 24.71 25.490.50 1.00 10.45∗ 12.80 5.52 5.59 10.54 4.41 4.351.00 0.50 10.45∗ 12.80 5.52 5.59 40.04 12.15 23.060.50 2.00 1.09∗ 2.05 1.16 1.20 1.74 1.12 1.112.00 0.50 1.09∗ 2.05 1.16 1.20 5.71 1.54 3.631.00 1.00 12.66 8.70∗ 3.82 3.86 10.32 4.13 4.331.00 2.00 1.40∗ 2.04 1.16 1.20 1.74 1.12 1.112.00 1.00 1.40∗ 2.04 1.16 1.20 4.61 1.49 2.622.00 2.00 1.57∗ 1.63 1.07 1.09 1.70 1.09 1.11LCT 2 11.829LCX 2 3 4 2 4 5LCY 2 3 4 1 3 3LD 1.203 1.261 0.856 1.877 1.171 1.165

mınimo para cada combinacao de (δx; δy) esta em negrito. O MaxD fornece melhor

desempenho do que npxy na maioria dos casos, exceto para ρ = {0, 5; 0, 8} e (δx =

δy). Mas, mesmo nesses casos, seus valores de NMA1 sao muito proximos daqueles

fornecidos pelo grafico de controle npxy.


Tabela 4.5: Menor tamanho amostral (MTA) necessario para o grafico MaxD superaro grafico T 2 com tamanho amostral n = 3

ρ

0.0 0.3

T 2 MaxD T 2 MaxD

δx δy NMA1 NMA1 MTA NMA1 NMA1 MTA

0.00 0.25 230.39 193.33 2 221.35 193.66 20.00 0.50 90.82 90.37 2 82.68 70.23 30.00 1.00 14.98 14.09 3 12.89 9.95 40.00 2.00 1.76 1.52 4 1.58 1.52 40.25 0.25 159.63 130.97 2 187.26 131.65 20.25 0.50 72.21 57.43 3 87.06 74.55 20.25 1.00 13.60 13.53 3 14.92 13.60 30.25 2.00 1.73 1.52 4 1.69 1.52 40.50 0.50 41.15 38.92 3 57.07 52.34 20.50 1.00 10.45 8.79 4 13.99 12.42 30.50 2.00 1.64 1.51 4 1.75 1.52 41.00 1.00 4.82 3.99 5 7.42 5.52 41.00 2.00 1.40 1.26 5 1.67 1.48 42.00 2.00 1.06 1.06 5 1.19 1.17 4

ρ

0.5 0.8

T 2 MaxD T 2 MaxD

δx δy NMA1 NMA1 MTA NMA1 NMA1 MTA

0.00 0.25 202.04 194.02 2 125.55 116.43 70.00 0.50 67.27 57.38 4 26.12 24.27 90.00 1.00 9.40 7.35 5 2.87 2.54 110.00 2.00 1.32 1.31 5 1.01 1.01 110.25 0.25 202.04 132.82 2 220.27 135.78 20.25 0.50 90.82 75.29 2 72.21 59.76 30.25 1.00 13.19 9.70 4 5.52 4.57 70.25 2.00 1.46 1.31 5 1.03 1.03 90.50 0.50 67.27 53.28 2 81.75 55.64 20.50 1.00 14.98 12.59 3 10.45 9.17 40.50 2.00 1.61 1.52 4 1.09 1.05 81.00 1.00 9.40 7.99 3 12.66 8.70 31.00 2.00 1.76 1.49 4 1.40 1.30 52.00 2.00 1.32 1.21 4 1.57 1.27 4


Tabela 4.6: Valores do NMA1 dos graficos de controle para n = 6.

ρ

0.0 0.3

δx δy MaxD npxy MaxD npxy

0.00 0.00 370.00 370.00 370.16 370.38 370.00 370.00 370.21 370.290.00 0.25 128.87 126.95 143.99 141.31 129.51 127.80 147.69 146.160.00 0.50 39.52 38.81 54.11 53.46 39.71 39.06 56.08 56.150.00 0.75 13.79 13.71 21.20 21.39 13.83 13.77 21.97 22.500.00 1.00 5.85 5.93 9.17 9.50 5.87 5.95 9.45 9.920.25 0.25 78.20 76.71 70.59 67.31 79.05 77.85 75.03 72.820.25 0.50 33.07 32.44 32.39 30.88 33.47 32.93 35.07 34.200.25 0.75 12.95 12.86 14.86 14.45 13.08 13.01 16.13 16.070.25 1.00 5.71 5.78 7.24 7.24 5.76 5.83 7.79 7.970.50 0.50 21.10 20.70 20.03 19.43 21.57 21.21 20.03 19.430.50 0.75 10.69 10.59 10.94 10.75 10.95 10.87 10.94 10.750.50 1.00 5.27 5.32 6.04 6.08 5.38 5.44 6.04 6.080.75 0.75 7.27 7.23 6.15 5.89 7.55 7.51 7.04 6.940.75 1.00 4.37 4.40 3.90 3.81 4.54 4.57 4.46 4.471.00 1.00 3.22 3.26 2.80 2.76 3.38 3.42 3.22 3.24

L 3 4 3 4 3 4 3 4LD 1.271 0.866 1.531 1.182 1.272 0.867 1.502 1.138

ρ

0.5 0.8

δx δy MaxD npxy MaxD npxy

0.00 0.00 370.00 370.00 370.21 370.05 370.00 370.00 370.31 370.350.00 0.25 129.22 127.17 150.16 148.34 128.60 128.61 149.06 148.410.00 0.50 39.60 38.80 55.57 56.89 38.73 37.98 53.51 53.850.00 0.75 13.78 13.68 20.92 22.54 13.42 13.34 19.59 20.050.00 1.00 5.85 5.91 8.72 9.81 5.71 5.78 8.06 8.400.25 0.25 79.47 78.02 81.44 76.34 81.87 80.30 83.14 81.870.25 0.50 33.76 33.05 38.38 36.21 34.38 33.70 38.85 38.520.25 0.75 13.14 13.02 17.11 16.89 13.09 13.00 16.84 17.020.25 1.00 5.76 5.82 7.90 8.24 5.68 5.75 7.58 7.830.50 0.50 21.99 21.53 23.05 21.06 23.19 22.74 23.86 23.610.50 0.75 11.16 11.04 12.57 11.69 11.63 11.53 12.89 12.920.50 1.00 5.45 5.49 6.68 6.52 5.52 5.59 6.68 6.850.75 0.75 7.78 7.71 8.35 7.64 8.37 8.32 8.71 8.760.75 1.00 4.67 4.69 5.23 4.90 4.95 4.99 5.40 5.511.00 1.00 3.52 3.54 3.83 3.57 3.82 3.86 4.00 4.10

L 3 4 3 4 3 4 3 4LD 1.270 0.864 1.469 1.094 1.261 0.856 1.380 0.989

4.4 Exemplo Numerico 35

4.4 Exemplo Numerico

Nesta secao, um exemplo numerico e apresentado para ilustrar uma aplicacao do

grafico de controle MaxD. Considera-se um processo de usinagem de um diametro

interno de um cilindro de aco. O gerente de qualidade quer monitorar duas caracte-

rısticas de qualidade: os diametros internos no topo (X) e na parte inferior (Y ) do

cilindro (os detalhes sao omitidos devido a confidencialidade). Os inspectores utilizar

um dispositivo passa / nao passa para classificar o cilindro como aprovado ou reprovado

em cada caracterıstica de qualidade com o limite discriminante superior definido pelo

valor normalizado wU = LD = 1.116 (que correspondem, respectivamente, 32.6357

mm e 32.6364 mm para X e Y ). Isto e, o dispositivo e fixado em valores teses, se X

(Y )> 32, 6357 milımetros (32, 6364 milımetros) o cilindro e dito reprovado em X (Y ).

A cada intervalo de amostragem, uma amostra de cinco cilindros sao recolhidos e cada

um e classificado. A Tabela 4.7 mostra os valores de Dx e Dy, apos a classificacao.

Tabela 4.7: Numero de itens reprovados nas dimensoes X (Dx) e Y (Dy) em umamostra de cinco cilindros.

Amostra Dx Dy maxD Amostra Dx Dy maxD Amostra Dx Dy maxD

1 0 0 0 11 0 0 0 21 0 1 12 1 1 1 12 0 0 0 22 0 1 13 1 0 1 13 0 0 0 23 0 2 24 1 1 1 14 1 1 1 24 1 0 15 2 1 2 15 0 0 1 25 0 0 06 2 0 2 16 1 1 1 26 2 1 27 1 1 1 17 3 4 4 27 1 1 18 0 0 0 18 1 1 1 28 0 0 09 2 2 2 19 3 1 3 29 1 0 110 0 0 0 20 1 1 1 30 0 0 0

O grafico de controle MaxD (com limite de controle Lxy = 3), elaborado a partir

dos dados da Tabela 4.7 e mostrada na Figura 4.3. Na amostra 17 o grafico de controle

apresenta um sinal e a producao e parada para analise das provaveis causas especiais.

Apos o ajuste, o processo continua.

4.4 Exemplo Numerico 36

Nº de amostras

Nº

de

ite

ns

rep

rova

do

s

LXY

●

● ● ●

● ●

●

●

●

● ● ● ●

●

●

●

●

●

●

● ● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

01

23

45

Figura 4.3: Grafico de controle MaxD

Capıtulo 5

Grafico de Controle Combinado

Para Monitoramento do Vetor de

Medias de um Processo Bivariado

5.1 Introducao

Como ja visto, o grafico de controle e a ferramenta do controle estatıstico de qua-

lidade mais conhecida e difundida. Por ser um metodo eficiente e barato, acaba se

tornando muito util para as empresas no controle de processos e produtos. A crescente

concorrencia entre as empresas e, consequentemente, a necessidade de metodos cada

vez mais eficientes e economicos, vem aumentando o numero de pesquisas relacionadas

aos graficos de controle. Seguindo essa tendencia, este capıtulo propoe um novo grafico

de controle desenvolvido para monitorar o vetor de medias de um processo bivariado,

combinando parte da amostra medida como variavel e outra parte como atributo.

5.2 Grafico de Controle Combinado

Apontado como o pioneiro no que diz respeito ao uso conjunto de graficos de con-

trole, Westgard et al. (1977) desenvolveu um plano para uso combinado dos graficos

X e CUSUM aplicado a bioquımica clınica. Segundo Montgomery (2004), o procedi-

mento probabilıstico de combinar os graficos de Shewhart e CUSUM e uma abordagem

para aumentar a sensibilidade do grafico CUSUM para grandes mudancas. Esse me-

todo combina as vantagens dos graficos Shewhart e CUSUM, ou seja, a eficiencia dos

graficos do tipo Shewhart em detectar grandes alteracoes com a eficiencia dos graficos

CUSUM em sinalizar pequenas e moderadas alteracoes.

37

5.2 Grafico de Controle Combinado 38

Os graficos combinados Shewhart-CUSUM para monitoramento de medias tem sido

aplicados em diversas areas, como no monitoramento ambiental (CHOU; O’BRIEN;

BARNETT, 2001; ZHOU et al., 2008), no monitoramento de processos laboratoriais

(ROCHA, 2004; CONRATHS; SCHARES, 2006), em previsao de demanda (COELHO,

2008) e no monitoramento dos erros de previsao (SOUZA; SAMOHYL, 2008).

A combinacao Shewhart-CUSUM incorpora no mesmo eixo os valores observados,

os limites de controle Shewhart, a estatıstica CUSUM e o limite de controle do CU-

SUM. Segundo Lucas (1982), esse procedimento e uma modificacao simples do CUSUM

com a adicao dos limites de controle do grafico do tipo Shewhart. O grafico combinado

Shewhart-CUSUM utiliza concomitantemente os limites de controle das duas estatısti-

cas em um unico grafico. Ele vai sinalizar quando um ponto e verificado alem do limite

de controle do grafico CUSUM e/ou acima do limite de controle de gafico de Shewhart.

A Figura 5.1 ilustra o grafico combinado Shewhart-CUSUM.

Figura 5.1: Grafico Shewhart-CUSUM. Fonte: Adaptado de WALTER et al. (2013)

Montgomery (2004) aborda a ocorrencia de alarmes falsos quando dois ou mais

graficos de controle sao combinados. De modo geral, ao monitorar q variaveis estatis-

ticamente independentes, se o grafico com probabilidade do erro tipo I (α) e mantido

para cada variavel, entao a verdadeira probabilidade desse erro, para o procedimento

conjunto, e definida a seguir:

α′ = 1− (1− α)q,

sendo (1−α)q a probabilidade de que todas as variaveis sejam representadas no grafico

simultaneamente dentro de seus limites de controle.

Segundo WALTER et al. (2013), usando o mesmo raciocınio, quando dois graficos

5.2 Grafico de Controle Combinado 39

diferentes monitoram a mesma variavel, a taxa de alarmes falsos dos graficos combina-

dos sera uma combinacao das taxas individuais de cada um. Assim, a probabilidade do

erro do tipo I para o grafico combinado Shewhart-CUSUM (αCS) e dada pela seguinte

equacao:

αCS = αS + αC − αSαC ,

em que αS e αC sao as probabilidades do erros do tipo I para os graficos de Shewhart

e CUSUM, respectivamente.

Logo, se cada grafico de controle apresentar uma taxa de alarme falso de 1%, o

grafico combinado apresentara um taxa aproximadamente igual a 2% (1%+1%−1%×1% = 1.99%). Sendo assim, desejando-se manter a taxa no valor de 1%, os limites de

controle dos dois graficos devem ser recalculados, resultando em valores mais distantes

da linha central (COELHO, 2008).

Embora a maioria dos trabalhos realizados estejam relacionados com os graficos X

e CUSUM, o procedimento de combinar graficos nao se resume a esses dois graficos

de controle. Saccucci e Lucas (1990) apresentaram a combinacao Shewhart-EWMA

como uma forma de melhorar o desempenho do grafico EWMA semelhantemente ao

grafico CUSUM em Lucas (1982). Laungrungrong et al. (2009) realizaram um estudo

para verificar a resistencia a compressao do concreto por meio de combinacoes dos

graficos CUSUM e EWMA com o run chart (CUSUM-run chart e EWMA-run chart

respectivamente).

Sampaio, Ho e Medeiros (2014) propuseram um grafico combinado, utilizado os gra-

ficos npx e X, para monitorar a media de um processo em dois estagios de amostragem.

Basicamente o procedimento consiste em dividir a amostra de tamanho n em duas par-

tes (n1 +n2 = n), definidas pelo processo de otimizacao. A subamostra de tamanho n1

e analisada atraves do grafico npx por meio de classificacao (inspecao por atributos),

e caso aponte a presenca de alguma causa especial, analisa-se a segunda subamostra

(n2) por meio do grafico X (inspecao por variaveis). Se o grafico X tambem sinalizar

um desajuste, entao o processo e interrompido para o ajuste. A Figura 5.2 apresenta

uma situacao em que os graficos de controle npx e X sao utilizados no procedimento

combinado.

Os resultados favoraveis obtidos, nesses e em outros trabalhos, mostram que o pro-

cedimento de combinar graficos de controle pode ser uma opcao eficiente no monito-

ramento de processos, e isso tem motivado novas pesquisas. O procedimento proposto

neste capıtulo e uma extensao para um processo bivariado do trabalho de Sampaio, Ho

e Medeiros (2014), feito no contexto univariado.

5.3 Uma Combinacao dos Graficos MaxD e T 2 40

Figura 5.2: Grafico combinado npx−X. Fonte: Adaptado de Sampaio, Ho e Medeiros (2014)

5.3 Uma Combinacao dos Graficos MaxD e T 2

Este capıtulo propoe uma extensao do procedimento combinado proposto por Sam-

paio, Ho e Medeiros (2014) para monitorar processos bivariados. O novo procedimento

utiliza dois graficos de controle construıdos separadamente para monitorar o vetor de

medias de um processo bivariado, MaxD e T 2. A primeira subamostra n1 e analisada

atraves do grafico MaxD, proposto no Capıtulo 4, por meio de classificacao (inspe-

cao por atributos), e caso esse grafico sinalize a presenca de alguma causa especial, a

segunda subamostra n2 e analisada por meio do grafico T 2 (inspecao por variaveis).

Esses dois graficos foram explorados, respectivamente, nos Capıtulos 4 e 3.

O procedimento com dois estagios de amostragem apresenta a caracterıstica de

ter um tamanho amostral variado, ja que a segunda subamostra somente e analisada

quando o primeiro grafico sinaliza uma causa especial. Segundo Sampaio, Ho e Medeiros

(2014), a possibilidade de nao analisar todos os itens da amostra a cada intervalo de

inspecao faz com que o procedimento apresente uma reducao em seu tamanho medio

da amostra e em seu custo medio. Assim como nos graficos MaxD e T 2, no grafico

combinado tambem e possıvel controlar o risco α e, consequentemente, o numero medio

de amostras ate o alarme falso quando o processo permanece sob controle (NMA0).

5.3.1 Planejamento do Grafico MaxD - T 2

Durante a utilizacao do grafico combinado uma amostra de tamanho n e retirada a

cada intervalo de inspecao h. Em seguida, a amostra e dividida em duas subamostras

de tamanhos n1 e n2, respectivamente, sendo n = n1 + n2. Os itens da primeira

subamostra sao analisados atraves de uma inspecao por atributos, em que cada item

sera considerado reprovado, para as caracterısticas de qualidade X e/ou Y , se seu

valor estiver, respectivamente, alem dos limites discriminantes de X (wLXou wUX

)

e/ou de Y (wLYou wUY

). Se o numero de itens reprovados para X e Y nao forem

superiores ao limite de controle do grafico MaxD, DX ≤ LXY e DY ≤ LXY , em que


LX = LY = LXY , supoe-se o processo sob controle. Nesse caso os itens da segunda

subamostra sao devolvidos ao processo, e este continua operando normalmente. Se

o grafico MaxD sinalizar um desajuste (DX > LXY e/ou DY > LXY ) os itens da

subamostra n2 sao analisados atraves do grafico T 2. Durante a analise para variaveis

se a estatıstica T 2 estiver dentro do limite de controle (T 2 6 LT 2) o processo tambem

sera julgado sob controle. O processo somente ira sofrer algum tipo de acao se ambos

os graficos indicarem a presenca de alguma causa especial. O procedimento tem a

vantagem de nao inspecionar a segunda subamostra quando a primeira indicar que o

proceso esta sob controle.

O procedimento proposto e capaz de detectar desvios bilaterais na media, porem

no presente trabalho sao considerados somente desvios superiores no vetor de medias

(δx > 0; δy > 0). Nesse caso, a probabilidade dos pontos de uma amostra serem

plotados fora dos limites nas duas estatısticas sera dada por:

[1− P (DX < LXY ∩DY < LXY )]P (T 2 > LT 2). (5.1)

Como as subamostras sao independentes, a probabilidade de um sinal conjunto e igual

ao produto dos sinais em cada uma das estatısticas.

A Figura 5.3 apresenta uma situacao em que os dois graficos de controle (MaxD e

T 2) sao utilizados no procedimento combinado aqui proposto. Nota-se que e necessario

utilizar o grafico de controle T 2 apenas para analisar as amostras 6 e 10. Para a

maioria das amostras houve a necessidade de utilizar apenas o grafico por atributos,

ou seja, os pontos nao provocaram sinal no grafico MaxD, o que torna desnecessario

a utilizacao do grafico T 2. Assim apenas a subamostra de tamanho n1 e inspecionada.

Embora a sexta amostra tenha sido plotada alem do limite de controle no grafico por

atributos, ao analisar a subamostra de tamanho n2 verifica-se que a estatıstica T 2 e

inferior ao limite de controle (T 2 < LT 2), indicando que o processo deve continuar

operando normalmente. Ja a decima amostra apresenta sinal nas duas estatısticas, o

que caracteriza um processo fora de controle que deve ser parado para ajuste.

A probabilidade [1 − P (DX < LXY ∩ DY < LXY )] na equacao (5.1) pode ser

calculada por meio da distribuicao binomial bivariada acumulada, discutida no Capıtulo

4, dada a seguir:

[1− P (DX < LXY ∩DY < LXY )] = 1−LXY∑i=0

LXY∑j=0

P (DX = i,DY = j),

sendo P (DX = i,DY = j) calculada pela Equacao (4.2).


0 2 4 6 8 10

01

23

4

Nº de amostras

Nº

de

ite

ns

rep

rova

do

s

LXY

●

● ●

●

●

●

● ● ●

●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

01

23

4

0 2 4 6 8 10

05

1015

20

Nº de amostras

T2

LT2

●

●

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

05

1015

20

Figura 5.3: Grafico combinado MaxD − T 2.

O erro do tipo I e cometido quando o processo esta sob controle, mas este e julgado

fora de controle. De acordo com a expressao (5.1), o risco α do grafico conjunto e igual

ao produto dos riscos, isto e:

αtotal =αMaxDαT 2

=[1− P (DX < LXY ∩DY < LXY |H0)]P (T 2 > LT 2|H0)

sendo αMaxD e αT 2 , respectivamente, as probabilidades do erro tipo I (α) para os

graficos MaxD e T 2.

E importante mencionar que αMaxD e αT 2 nao sao necessariamente iguais, basta que

seu produto satisfaca o valor de αtotal preestabelicido. Cabe ao processo de otimizacao

determinar esses valores, bem como os limites de controle e as constantes de abertura

de modo que o procedimento conjunto alcance um alto poder de deteccao.

Outro erro (tipo II) e julgar o processo sob controle quando este esta fora de con-

trole. Como neste capıtulo o objetivo e estudar apenas os casos em que os desvios sao

unilaterais superiores (δx > 0; δy > 0), a probabilidade do erro tipo II (β) do grafico

conjunto pode ser dada por:

βtotal = 1− P (DX > LCXY ∪DY > LCXY | H1)× P (T 2 > LSCT 2 | H1)

= 1− PdMaxDPdT 2 , (5.2)

sendo PdMaxD e PdT 2 os poderes dos graficos MaxD e T 2, respectivamente.

A partir da probabilidade do erro tipo II dada em (5.2), o poder do grafico conjunto


pode ser dado por:

Pdtotal = 1− βtotal=PdMaxDPdT 2 . (5.3)

Note que o poder conjunto pode ser calculado pelo produto dos poderes dos gra-

ficos MaxD e T 2. PdMaxD e PdT 2 podem ser obtidos pelas equacoes (4.4) e (3.3),

respectivamente.

As expressoes para o NMA1 e o NMA0 sao dadas, respectivamente, por:

NMA1 =1

Pdtotal, (5.4)

NMA0 =h

αtotal. (5.5)

Ao contrario do que acontece nos graficos MaxD e T 2, no grafico combinado o

tamanho amostral nao e constante. O tamanho amostral vai depender do resultado

obtido no grafico MaxD. Se nao ocorrer sinal neste grafico o tamanho amostral do

grafico sera n1, caso contrario, a segunda subamostra sera analisada, e entao o tamanho

amostral sera n1 + n2 independentemente do resultado da analise de n2. Segundo

Sampaio, Ho e Medeiros (2014), como o tamanho amostral e variavel, e razoavel utilizar

o tamanho medio da amostra (t.m.a.). Alem de n1 e n2, outro fator importante para

determinar o t.m.a. e a probabilidade αMaxD do grafico MaxD. Em um processo sob

controle o tamanho medio da amostra e dado por:

t.m.a. = n1 + n2αMaxD. (5.6)

Como o valor de αMaxD esta no intervalo (0, 1), entao n1 < t.m.a. < n1 + n2. E

importante notar que o procedimento de combinar os dois graficos para substituir o

grafico T 2 com tamanho de amostra n pode apresentar um t.m.a. menor que n, mesmo

que (n1 + n2) > n.

Segundo Sampaio, Ho e Medeiros (2014) essa substituicao pode trazer possıveis

vantagens, como uma provavel reducao no tempo de inspecao (ja que a inspecao por

atributos normalmente e mais rapida que a inspecao por variaveis) e no numero medio

de itens inspecionados (caso t.m.a. < n). Em alguns casos a substituicao pode reduzir

a influencia de pontos atıpicos, ja que a ocorrencia de um ponto atıpico no grafico

MaxD nao e suficiente para sinalizar um desajuste, e se tratando de um ponto atıpico,

a probabilidade deste ser um sinal no grafico T 2 e pequena. Mas se de fato for uma


causa especial, o grafico T 2 deve confirmar. Outra vantagem refere-se ao custo medio

por inspecao:

c.m.i. = n1cMaxD + αMaxDn2cT 2 , (5.7)

em que cMaxD e cT 2 sao os custos de inspecao por unidade dos graficos MaxD e T 2, res-

pectivamente. Os valores de n1, n2 e αMaxD que tornam o procedimento mais eficiente

sao determinados pelo programa de otimizacao descrito a seguir.

5.3.2 Otimizacao do Processo

O novo procedimento de combinar os graficos MaxD e T 2 faz com que incontaveis

combinacoes de fatores sejam obtidas para monitorar um processo bivariado. O pro-

cesso de otimizacao tem como funcao realizar uma busca pela combinacao de valores

ideais para os limites de controle, os tamanhos das subamostras, os limites discrimi-

nantes e as probabilidades de erros que produzam um menor NMA1 possıvel para cada

tamanho de amostra n. Durante o processo de investigacao para encontrar o NMA1

ideal e preciso restringir o valor do NMA0 igual ou muito proximo a um valor pre-

determinado τ . Isso e feito para que cada combinacao possa ser comparada com seu

valor do NMA1.

A otimizacao desenvolvida no presente trabalho considera apenas desvios unilaterais

superiores. Para monitorar desvios inferiores ou bilaterais sao necessarias pequenas mo-

dificacoes no programa. Sao especificacoes conhecidas do processo: o intervalo amostral

(h), as medias (µx; µy), os desvios padrao (σx; σy), o numero medio de amostras ate

o alarme falso (τ), os desvios nas medias estudados (δx; δy), os custos de inspecao por

unidade (cMaxD; cT 2), a correlacao entre as variaveis X e Y e o tamanho amostral do

grafico T 2 (nT 2) concorrente com o grafico proposto. Ja os tamanhos das subamostras

(n1; n2); os limites de controle (LXY e LT 2); o limite discriminante (LD) e os valores

de α (αMaxD; αT 2) sao determinados no processo de otimizacao descrito abaixo:

1. Entra-se com as especificacoes de n, h, µx, µy, σx, σy, cMaxD, cT 2 , ρ e τ . O valor

αtotal e obtido por 1/τ . O valor de αMaxD e encontrado pela equacao αtotal =

αMaxDαT 2 a partir de um valor αT 2 fornecido. Inicialmente n1 = n2 = 1, LXY = 0

e αT 2 = 0, 005, δx = 0, δx = 0.

2. Com o valor de αMaxD determinado, uma sub-rotina encontra o valor do limite

discriminte LD. A partir dessas informacoes e possıvel calcular o LT 2 (ver equa-

cao (3.2)), o NMA0 (ver equacao (5.5)), o NMA1 (ver equacao (5.4)), o poder

conjunto (ver equacao (5.3)), o custo medio (ver equacao (5.7)) e o tamanho


medio da amostra (ver equacao (5.6)). Obtem-se a combinacao de fatores ideais

temporaria que satisfaz a restricao NMA0 = τ .

3. Caso LXY nao tenha alcancado seu valor maximo (0 ≤ LXY ≤ n1−1) e acrescida

uma unidade ao seu valor e o passo 2 e repetido para o novo valor de LXY . O

NMA1 dessa interacao e comparado ao NMA1 da combinacao de fatores ideais

temporaria. A nova combinacao de fatores ideais temporaria sera aquela que

apresentar o menor NMA1. Este procedimento e repetido para todos os valores

de LXY no intervalo [1, n1 − 1].

4. Depois de verificar todos os possıveis valores para LXY , e acrescido 0.005 ao valor

anterior de αT 2 e repete-se os passos 2 e 3 para o novo valor de αT 2 . O passo 4 e

realizado ate que αT 2 seja igual 0.995.

5. Os passos 2, 3 e 4 sao repetidos para varias combinacoes de desvios (δx; δy), δx e

δy ∈ (0.0, 0.5, 1.0, 2.0). Para cada nova combinacao αT 2 volta a valer novamente

0.005.

6. O valor de n1 e acrescido em uma unidade ate que seja atinjido o valor maximo

(1 ≤ n1 ≤ nT 2) e αT 2 , δx e δy voltam a valer, respectivamente, 0.005, 0.0 e

0.0. Os passos 2, 3, 4 e 5 sao repetidos para o novo valor de n1. O valor de n2

permanece fixo ate que todas as possıveis opcoes de n1 tenham sido verificadas.

Depois que todos os valores de n1 sao analisados e acrescida uma unidade a n2

e o procedimento recomeca do passo 1 para o novo valor de n2 . Isso ocorre ate

que n2 seja igual a nT 2 .

Pode-se observar que a otimizacao apresenta varias combinacoes para o monitora-

mento do processo. Para cada combinacao (δx; δy) sao geradas nT 2 × nT 2 combinacoes

de fatores ideais, cada uma correspondente a um par de valores (n1, n2). As subamos-

tras n1 e n2 tem tamanho maximo igual a nT 2 para evitar que o grafico combinado

apresente um tamanho medio da amostra elevado.

A escolha da combinacao a ser utilizada depende de aspectos economicos e/ou es-

tatısticos do processo. Normalmente e desejado otimizar o custo, o NMA1 ou o poder

de um grafico. Porem nem sempre todos esses aspectos se apresentarao nos nıveis es-

perados em cada combinacao do grafico combinado, por isso e necessario priorizar o

aspecto mais relevante desejado no monitoramento. Cabe ao responsavel pelo moni-

toramente decidir qual dentre as combinacoes melhor atende as necessidades do plano

para monitoramento do processo. Sejam as necessidades relacionadas ao NMA1, ao

custo de inspecao ou ao poder de deteccao.


5.3.3 Estudo Comparativo

Nesta secao, o desempenho do grafico de controle proposto e comparado com o do

grafico de controle T 2 padrao. Para tal fim, os parametros dos graficos de controle sao

ajustados para satisfazer NMA0 igual ou aproximadamente igual a um τ fixo e, em

seguida, os valores NMA1 sao calculados e comparados. Devido ao elevado numero de

possibilidades, algumas restricoes sao considerados para conduzir o estudo comparativo:

• A cada intervalo de amostragem n unidades sao recolhidas;

• o vetor aleatorio (X; Y ) segue uma distribuicao normal bivariada com os para-

metros µ0 = (0; 0) e Σ0 =

[1 ρ

ρ 1

];

• O vetor de medias do processo sob e fora de controle, sao dados, respectivamente:

µ0 = (0; 0) e µ′1 = (δx; δy);

• Somente mudancas positivas no vetor de medias: δx = {0.00; 0.50; 1.00; 2.00};δy = {0.00; 0.50; 1.00; 2.00} com (δx; δy) 6= (0.00; 0.00);

• Dois nıveis positivos de correlacao entre X e Y : ρ = {0.0; 0.8};

• Nao ha limites discriminantes inferiores (wLX= wLY

= −∞) e iguais limites

discriminantes superiores (wUX= wUY

= LD);

• Os tamanhos de amostra da primeira e segunda sub-amostras e do grafico de

controle T 2 ∈ [1, 7];

• τ = 370.

Como o numero de configuracoes para cada correlacao e alta, nesta secao sao apre-

sentados apenas dois tipos de mudanca: Caso A - ocorre mudanca em apenas uma

componente (δx = 0.0 e δy = 0.5) (como e bem conhecido o bom desempenho do gra-

fico de controle T 2 padrao nesses cenarios) e caso B - ocorrem mudancas em ambas

as componentes (δx = 0.5 e δy = 0.5). O comportamento observado para outros nı-

veis de mudancas sao semelhantes aos eleitos. Estes resultados podem ser observados

nas Tabelas B.1 e B.2, presente em anexo neste trabalho, que apresentam os dados

completos.

Configuracoes (ou seja, limites de controle, limite discriminante) de todas as com-

binacoes de 1 ≤ n1 ≤ 7 ( primeiro estagio - inspecao por atributos ) e 1 ≤ n2 ≤ 7

(segundo estagio - inspecao por variaveis) sao obtidas, porem nesta secao, sao apre-

sentados apenas algumas como (n1 = 2;n2 = 4); (n1 = 3;n2 = 6); (n1 = 6;n2 = 6) e

(n1 = 7;nT2 = 5) para fins ilustrativos (ver Tabela 5.1). Por exemplo, considerando

uma situacao em que as duas caracterısticas de qualidade, X e Y , sao correlacionados


com ρ = 0.8. O gerente esta interessado em monitoramento se ambos as medias se des-

locou (δx; δy) = (0; 5; 0.5), e uma amostra de seis unidades e selecionado. Neste caso,

pode-se definir o dispositivo com LD = 0.068; tomar a primeira sub-amostra n1 = 2

e classificar cada item como aprovado relativos as caracterısticas de qualidade X (se

X < 0.068) e Y (se Y < 0.068) (usando o dispositivo), caso contrario ele e reprovado.

Sejam DX e DY o numero de itens reprovados nas caracterısticas de qualidade X e

Y , respectivamente. Se MaxD = max(DX , DY ) > LXY = 1, os itens da segunda

sub-amostra (n2 = 4) sao medidos e e calculada a estatıstica T 2. Se T 2 > LT 2 = 6.438

o processo de producao e interrompida para procurar as causas especiais.

Tabela 5.1: Algumas configuracoes do grafico de controle MaxD - T 2

MaxD T 2

ρ δx δy nMaxD nT 2 t.m.a. NMA1 LXY LD αMaxD LT 2 αT 2

0.0 0 0.5 2 4 2.721 57.098 1 0.180 0.503 8.399 0.015

3 6 4.622 34.972 1 0.270 0.705 9.210 0.010

6 6 6.404 27.066 3 0.068 0.694 6.438 0.040

7 5 7.118 27.801 4 0.024 0.690 4.326 0.115

0.5 0.5 2 4 2.721 21.052 1 0.180 0.503 8.399 0.015

3 6 4.622 11.617 1 0.270 0.705 9.210 0.010

6 6 6.649 9.024 3 0.108 0.583 7.378 0.025

7 5 7.300 9.947 4 0.060 0.513 6.202 0.045

0.8 0 0.5 2 4 4.162 16.837 1 0.541 0.698 10.597 0.005

3 6 6.243 8.811 1 0.541 0.140 10.597 0.005

6 6 9.243 8.073 3 0.541 0.316 10.597 0.005

7 5 8.351 10.047 3 0.270 0.418 9.210 0.010

0.5 0.5 2 4 2.270 40.099 1 0.068 0.817 6.438 0.040

3 6 3.649 24.665 1 0.108 0.993 7.378 0.025

6 6 6.203 17.075 3 0.034 0.813 5.051 0.080

7 5 7.073 16.864 4 0.015 0.752 3.375 0.185

Os desempenhos dos planos com todas as combinacoes de n1 (primeiro estagio -

inspeccao por atributos) e n2 (segundo estagio - inspeccao por variaveis) para ρ = 0.0

sao apresentados nas Tabelas 5.2-5.3 [Tabela 5.2 para (δx; δy) = ( 0.0; 0.5) e a Tabela

5.3 para (δx; δy) = ( 0.5; 0.5)]. As Tabelas 5.4-5.5 apresentam resultados semelhantes

para ρ = 0.8. Em cada combinacao de n1 e n2, os valores de NMA1 e t.m.a. (en-

tre parenteses) entao, respectivamente, nas primeira e segunda linhas. Alem disso, a

mesma informacao para o grafico de controle T 2 (valores em negrito) e colocado na


parte inferior de cada tabela para facilitar a comparacao.

A partir da Tabela 5.2, pode-se comparar o desempenho da atual proposta com

do grafico de controle T 2. Por exemplo, existem muitas configuracoes de MaxD − T 2

capaz de competir com o grafico T 2 com nT 2 = 3. Usando apenas o valor NMA1 de

T 2 como referencia, todas as combinacoes de n1 e n2 que apresentam NMA1 < 90.824

podem ser selecionadas como alternativas ao grafico T 2 padrao com nT 2 = 3. Em

um total de 49 possibilidades apenas dois modelos (n1 = n2 = 1 e n1 = 1;n2 = 2)

nao satisfaz este criterio, mas a maioria deles mostrar t.m.a. > 3. Para manter uma

comparacao justa, pode-se escolher um plano com o menor NMA1, mas de modo que

o criterio t.m.a. ≈ nT 2 seja satisfeito. Pela tabela, a opcao com n1 = 2 e n2 = 4

(NMA1 = 57.098; t.m.a. = 2.721) satisfaz este criterio, e resulta em uma reducao

em torno de 37% no valor do NMA1 (relacionado ao NMA1 = 90.824 do grafico de

controle T 2). Esta opcao e a T 2 padrao com nT 2 = 3 estao marcadas pelo sımbolo •na tabela. Utilizando os mesmos criterios, sao selecionadas configuracoes do grafico

de controle MaxD − T 2 concorrentes com o grafico de controle T 3 para tamanhos de

amostra nT 2 6= 3. Para cada tamanho nT 2 a configuracao que proporciona o menor

NMA1 com o esforco de inspecao similar e marcada por um sımbolo diferente. Para

correlacao ρ = 0.8, criterios iguais sao aplicadas para as escolhas das configuracoes com

estas caracterısticas.

Tabela 5.2: Valores do NMA1 do MaxD − T 2: ρ = 0.0, δx = 0.0 e δy = 0.5.

Subamostra n1n2 1 2 3 4 5 6 71 132.207# 90.416 70.173 57.402 46.138 38.879 32.972

(1.003) (2.003) (3.003) (4.003) (5.003) (6.003) (7.003)2 107.162 86.619 70.013 57.342 46.090 38.838 32.938

(1.216) (2.031) (3.007) (4.005) (5.005) (6.005) (7.005)3 80.928∗ 71.260 62.591 52.704 44.708 38.536 32.834

(1.811) (2.270) (3.090) (4.054) (5.024) (6.014) (7.011)4 62.426 57.098• 51.488 45.175 39.924 35.262 30.841

(3.162) (2.721) (3.541) (4.216) (5.103) (6.075) (7.044)5 49.061 46.103 42.221♠ 38.164 34.645 31.028 27.801

(3.703) (3.351) (3.901) (4.541) (5.270) (6.193) (7.118)

6 39.642 37.913 34.972 32.291N 29.861� 27.066 24.693(4.243) (5.243) (4.622) (4.811) (5.541) (6.405) (7.249)

7 32.741 31.313 29.438 27.501 25.645 23.609♣ 21.838(4.784) (5.784) (4.892) (5.261) (6.261) (6.757) (7.473)

Grafico T 2 202.043# 129.684∗ 90.824• 67.268♠ 51.833N 41.150� 33.445♣

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Pode-se observar maiores reducoes relativa ao NMA1 para deslocamentos em ambos

os componentes, e sua reducao aumenta a medida que aumenta a correlacao. Os



Subamostra n1n2 1 2 3 4 5 6 71 73.705# 51.297 39.057 31.319 24.792 20.722 17.470

(1.025) (2.005) (3.003) (4.003) (5.003) (6.003) (7.003)2 48.794 39.118 32.939 27.085 22.881 19.739 16.907

(1.270) (2.098) (3.049) (4.047) (5.023) (6.023) (7.013)3 33.189 28.315 24.699 21.065 18.498 16.306 14.402

(1.811) (2.324) (3.270) (4.147) (5.095) (6.081) (7.056)4 23.904∗ 21.052• 18.676 16.439 14.803 13.228 11.942

(2.081) (2.721) (3.541) (4.360) (5.240) (6.197) v7.144)5 17.823 16.149 14.544 13.087 11.994 10.844 9.947

(3.703) (3.351) (3.901) (4.676) (5.450) (6.386) (7.300)

6 13.741 12.804♠ 11.617 10.636 9.841� 9.024 8.376(4.243) (3.622) (4.622) (5.081) (5.811) (6.649) (7.463)

7 10.962 10.395 9.504N 8.835 8.213 7.620♣ 7.144(4.784) (5.784) (4.892) (5.261) (6.261) (6.946) (7.757)

Grafico T 2 129.684# 67.268∗ 41.150• 27.708♠ 19.900N 14.982� 11.697♣

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)


Subamostra n1n2 1 2 3 4 5 6 71 86.298# 74.112 63.712 53.079 44.777 37.950 32.238

(1.270) (2.054) (3.018) (4.012) (5.003) (6.003) (7.003)2 43.709∗ 41.571 38.007 34.529 31.556 28.311 25.566

(2.081) (2.541) (3.360) (4.216) (5.135) (6.098) (7.064)3 26.228 25.095 23.850 22.472 21.082 19.619 18.352

(2.622) (3.622) (4.622) (4.811) (5.541) (6.405) (7.270)4 17.597• 16.837 16.002 15.503 14.792 14.058 13.348

(3.162) (4.162) (5.162) (6.162) (6.081) (7.081) (7.721)5 12.713♠ 12.164 11.561 11.201 11.077 10.528 10.047

(3.703) (4.703) (5.703) (6.703) (6.351) (7.351) (8.351)6 9.690 9.271 8.811 8.537 8.268 8.073 7.890

(4.243) (5.243) (6.243) (7.243) (8.243) (9.243) (10.243)

7 7.693N 7.361� 6.996 6.778 6.565 6.409 6.264(4.784) (5.784) (6.784) (7.784) (8.784) (9.784) (10.784)

Grafico T 2 97.755# 45.449∗ 26.118• 16.912♠ 11.850N 8.790� 6.811♣

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

percentuais medios de reducao sao 47, 4%; 58, 4%, respectivamente, para ρ = 0, 0; 0.8.

Para deslocamento em apenas um componente os percentuais medios de reducao sao

de 34, 4%; 20, 8%, respectivamente, para ρ = 0, 0; 0.8.

Observa-se que todas as configuracoes marcadas na Tabela 5.5 tem uma pequena

sub-amostra de tamanho n1 ≤ 2 e uma grande sub-amostra de tamanho n2 ≥ 6. Este

cenario, ρ = 0, 8 e (δx; δy) = (0.0; 0.5), e o que produz a menor reducao relativa do

NMA1. Para atender ao criterio t.m.a. ≈ nT 2 , a medicao das unidades da segunda



Subamostra n1n2 1 2 3 4 5 6 71 84.643 55.684 42.222 33.989 27.150 22.788 19.310

(1.003) (2.003) (3.003) (4.003) (5.003) (6.003) (7.003)2 76.715# 54.876 42.174 33.951 27.119 22.762 19.288

(1.064) (2.013) (3.005) (4.005) (5.005) (6.005) (7.005)3 60.950 47.924∗ 39.435 32.218 26.638 22.676 19.259

(1.324) (2.085) (3.037) (4.028) (5.015) (6.011) (7.009)4 48.204 40.099 34.389 28.541 24.409 21.293 18.371

(1.721) (2.270) (3.127) (4.094) (5.055) (6.048) (7.031)5 38.652 33.405 29.082 24.827 21.742 19.156 16.864

(2.351) (2.541) (3.386) ( 4.208) (5.129) (6.104) (7.073)6 31.660 28.009• 24.665 21.543 19.208 17.075 15.265

(2.622) (3.081) (3.649) (4.405) (5.249) (6.203) (7.141)

7 26.206 23.728 21.099♠ 18.747N 16.960� 15.198 13.755(4.784) (3.261) (3.946) (4.631) (5.420) (6.344) (7.236)

Grafico T 2 191.190# 119.089∗ 81.747• 59.659♠ 45.449N 35.755� 28.848♣

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

sub-amostra e executado quase certamente em cada amostragem para confirmar ou nao

o estado fora de controle. Nota-se que apenas 4 configuracoes apresenta NMA1 < 6.811

para competir o grafico T 2 com nT 2 = 7, mas nenhum com t.m.a. ≈ 7, de modo que

nenhuma configuracao da atual proposta e tao competitiva com T 2 com nT 2 = 7. Isso

reforca o bom desempenho do grafico de controle T 2 quando a mudanca acontece em

apenas uma das medias e a correlacao e alta.

Outro criterio para selecionar um projeto pode ser o valor do c.m.i. (custo medio

por inspecao). Assumindo $1u.m. (uma unidade monetaria) e $3u.m. (tres unidades

monetarias), respectivamente, os custos unitarios para as inspecoes por atributos e

variaveis. Da Tabela 5.2 [ρ = 0.0 e (δx; δy) = (0.0; 0.5)] tem-se que a configuracao

com n1 = 2 e n2 = 4 apresenta NMA1 = 57.098, t.m.a. = 2.721 e c.m.i. = 4.163,

ja a configuracao com n1 = 3 e n2 = 2 apresenta NMA1 = 70.013, t.m.a. = 3.007

e c.m.i. = 3.021. As duas confuguracoes apresentam NMA1 < 90.824, sendo um

possıivel concorrentes do grafico de controle T 2 com nT 2 = 3. Neste caso, o segundo

plano e mais economico do que o primeiro. E caso este criterio seja o maior importante

na escolha do projeto, ele seria escolhido.

A Tabela 5.6 detalha uma situacao que envolve a substituicao do grafico T 2 pelo

procedimento proposto. E feita uma comparacao entre um grafico T 2, um grafico

MaxD−T 2 e dois graficos MaxD, todos submetidos as mesmas combinacoes de desvio,

δx e δy ∈ (0.0, 0.5, 1.0, 2.0). Os resultados contidos na Tabela 5.6 sao de um processo

com ρ = 0 e que, quando sob controle, apresenta um NMA0 = 370. Sao comparados os


desempenhos de um grafico T 2 de tamanho 4, dois graficos MaxD de tamanhos 4 e 7 e

um grafico combinado com tamanho n1 = 3 e n2 = 4. Os dois tamanhos de amostras do

grafico MaxD foram utilizados para verificar a relacao entre o tamanho das amostras

e seus desempenhos. O tamanho n = 4 serve para comparar seu desempenho quando

este tem tamanho de amostra igual ao grafico T 2, ja n = 7 revela o quanto se deve

aumentar o tamanho da amostra para tornar MaxD concorrente com T 2.

Pode-se notar que o grafico combinado apresenta NMA1 menor que o apresentado

pelo grafico T 2 em todos os casos de desvios (δx, δy). Alem de tambem apresentar um

tamanho medio da amostra inferior. E importante salientar que para o procedimeto

combinado foram usados os mesmos graficos MaxD e T 2 para todos os desvios, ou seja,

para quaisquer desvios os limites dos dois graficos sao fixos. Isso e um fato relevante,

ja que durante um processo real e muito difıcil saber a quais desvios o processo estara

sujeito.

Alem de apresentar NMA1 inferior ao grafico T 2 em todos os casos, o grafico

combinado apresenta um custo de inspecao por volta de 57% inferior ao custo de

inspecao do grafico T 2. O grafico combinado tambem ganha quando o quesito e o

tamanho medio da amostra, o procedimento combinado apresenta um t.m.a. inferior

ao tamanho da amostra de T 2. Para o tamanho de amostra n = 4, o grafico MaxD nao

apresenta desempenho concorrente com o grafico T 2, exceto para (δx = 0.0; δy = 0.5). O

tamanho de amostra n = 7 e o menor tamanho amostral que torna o MaxD concorrente

com o T 2. Podemos observar que, quando comparado com o grafico T 2, ele apresenta

NMA1 sempre inferior e um custo de inspecao em torno de 36% menor. Embora o

grafico MaxD para n = 7 apresente NMA1 mais eficiente que o grafico combinado

quando o desvio sofrido por uma das caracterıstica e menor ou igual a 0.5, seu custo

de inspecao e aproximadamente 36% maior quando comparado ao c.m.i. do grafico

combinado.

Pode-se constatar que o procedimento combinado nesses cenarios pode ser uma boa

alternativa para substituir o grafico T 2. Ele pode apresentar ao mesmo tempo um

menor NMA1, um menor custo de inspecao e um menor tamanho medio de amos-

tra. Como foi comentado, existem ainda outras opcoes de monitoramento oriundas do

grafico misto.

5.3U

ma

Com

bin

acaodos

Grafi

cosMaxD

eT

252

Tabela 5.6: Desempenho dos graficos de controle para NMA0 = 370 e ρ = 0.0.

T 2 MaxDnT2 = 4 c.i. = 12 α = 0.0027 nMaxD = 4 c.i. = 4 α = 0.0027 nMaxD = 7 c.i. = 7 α = 0.0027

δx δy NMA1 PdT2 LT2 NMA1 PdMaxD LD LXY NMA1 PdMaxD LD LXY

0.0 0.5 67.268 0.015 11.827 57.388 0.017 1.469 2 32.910 0.030 1.022 40.0 1.0 9.402 0.106 11.827 9.954 0.100 1.469 2 4.691 0.213 1.022 40.0 2.0 1.321 0.757 11.827 1.524 0.656 1.469 2 1.102 0.908 1.022 40.5 0.5 27.707 0.036 11.827 31.312 0.032 1.469 2 17.453 0.057 1.022 40.5 1.0 6.500 0.153 11.827 8.792 0.114 1.469 2 4.256 0.235 1.022 40.5 2.0 1.260 0.793 11.827 1.512 0.661 1.469 2 1.098 0.910 1.022 41.0 1.0 3.056 0.327 11.827 5.301 0.189 1.469 2 2.637 0.379 1.022 41.0 2.0 1.140 0.877 11.827 1.449 0.690 1.469 2 1.078 0.927 1.022 42.0 2.0 1.010 0.990 11.827 1.134 0.882 1.469 2 1.009 0.991 1.022 4

Grafico combinadon1 = 3 n2 = 4 α = 0.0027

δx δy NMA1 PdMaxD PdT2 Pdtotal t.m.a. c.m.i. LD LXY LT2 αMaxD αT2

0.0 0.5 51.732 0.353 0.055 0.019 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0150.0 1.0 6.617 0.613 0.247 0.151 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0150.0 2.0 1.168 0.958 0.894 0.856 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0150.5 0.5 18.743 0.489 0.109 0.053 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0150.5 1.0 4.465 0.695 0.322 0.224 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0150.5 2.0 1.131 0.966 0.915 0.884 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0151.0 1.0 2.252 0.817 0.543 0.444 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0151.0 2.0 1.067 0.980 0.957 0.938 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.0152.0 2.0 1.004 0.998 0.998 0.996 3.721 5.162 0.878 1 8.400 0.180 0.015

nT2 : tamanho da amostra de T 2 n1: tamanho da subamostra do grafico MaxD n2: tamanho da subamostra do grafico T 2

nMaxD: tamanho da amostra de MaxD PdMaxD: poder referente a parte do grafico MaxD PdT2 : poder referente a parte do grafico T 2

Pdtotal: poder conjunto NMA1: numero medio de amostras ate o sinal t.m.a.: tamanho medio da amostrac.i: custo por inspecao c.m.i.: custo medio por inspecao LD: limite discriminante para o grafico MaxD

αMaxD e αT2 : risco α dos graficos MaxD e T 2, respectivamente.

Capıtulo 6

Conclusoes e Sugestoes Para

Pesquisas Futuras

Este trabalho apresentou duas novas estrategias de monitoramento para o vetor

de medias de processos bivariados. Para tanto, inicialmente fez-se uma revisao acerca

dos assuntos necessarios a este trabalho. Foram detalhados os graficos de controle

propostos bem como os graficos concorrentes. Em seguida houve o desenvolvimento

dos procedimentos propostos e posteriormente a analise dos resultados provenientes do

programa de otimizacao desenvolvido no software estatıstico R.

A primeira estrategia apresentada, o grafico MaxD, utiliza inspecao por atributos,

enquanto a segunda usa dois graficos de controle, MaxD − T 2. As duas estrategias

sao utilizadas para monitorar o vetor de medias de processos bivariados. Foi realizada

uma analise de desempenho entre os dois novos graficos com o grafico T 2.

Pelo que foi visto, os resultados apresentados evidenciam o bom desempenho das

novas estrategias propostas neste trabalho. Para os cenarios estudados, verifica-se que

os novos graficos tem desempenho superior ao do grafico T 2. Para o grafico combinado

tambem pode-se observar que o custo associado e, em alguns casos, inferior ao do

grafico T 2.

Diante do resultados apresentados, pode-se concluir que as duas propostas presentes

neste trabalho sao apropriadas para monitorar um vetor de medias de um processo

bivariado.

53

6.1 Sugestoes Para Pesquisas Futuros 54

6.1 Sugestoes Para Pesquisas Futuros

Como sugestoes para trabalhos futuros, podem-se destacar:

• Considerar situacoes em que o processo sofre desvios bilaterais.

• Considerar processos com tres ou mais variaveis.

• Para o grafico MaxD, neste trabalho assume-se probabilidades iguais para classi-

ficar um item como reprovado ou nao em ambas as dimensoes. Outra alternativa

e a de considerar tambem probabilidades diferentes.

• Pode-se tambem propor versoes CUSUM e EWMA para o MaxD ou utilizar

outras funcoes de probabilidade da distribuicao binomial bivariada.

• Combinar outros graficos bivariados no procedimento combinado.

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Apendice A

Demonstracoes

A.1 Probabilidade β do grafico MaxD − T 2

βtotal =P (DX < LXY ∩DY < LXY | H1)

+ [1− P (DX < LXY ∩DY < LXY | H1)]× P (T 2 < LT 2) | H1)

= [1− P (DX > LXY ∪DY > LXY | H1)]

+ {1− [1− P (DX > LXY ∪DY > LXY | H1)]} × [1− P (T 2 > LT 2) | H1)]

= [1− P (DX > LXY ∪DY > LXY | H1)]

+P (DX > LXY ∪DY > LXY | H1)]× [1− P (T 2 > LT 2) | H1)]

= 1− P (DX > LXY ∪DY > LXY | H1)× P (T 2 > LT 2) | H1)

= 1− PdMaxDPdT 2

59

Apendice B

Resultados

60

61Tabela B.1: Desempenho dos graficos de controle para NMA0 = 370 e ρ = 0.0.

Grafico T 2 Grafico combinado

δx δy n NMA LC Pd N1 N2 t.m.a. NMA LCT 2 LCMaxD LD αT 2 αMaxD PdT 2 PdMaxD Pdtotal

0.0 0.5 1 202.043 11.827 0.005 1 1 1.003 132.207 0.267 0 2.958 0.875 0.003 0.889 0.009 0.008

1 2 1.216 107.163 7.378 0 1.593 0.025 0.108 0.050 0.185 0.009

1 3 1.811 80.928 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.031 0.393 0.012

1 4 3.162 62.426 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.024 0.671 0.016

1 5 3.703 49.061 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.030 0.671 0.020

1 6 4.243 39.642 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.038 0.671 0.025

1 7 4.784 32.741 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.045 0.671 0.031

0.0 1.0 1 67.268 11.827 0.015 1 1 1.022 36.551 4.159 0 2.295 0.125 0.022 0.255 0.107 0.027

1 2 1.270 21.036 7.824 0 1.476 0.020 0.135 0.130 0.365 0.048

1 3 1.811 12.891 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.140 0.554 0.078

1 4 3.162 8.595 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.145 0.800 0.116

1 5 3.703 6.155 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.203 0.800 0.162

1 6 4.243 4.703 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.266 0.800 0.213

1 7 4.784 3.772 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.331 0.800 0.265

0.0 2.0 1 9.402 11.827 0.106 1 1 1.030 4.333 4.816 0 2.167 0.090 0.030 0.522 0.442 0.231

1 2 1.360 2.368 8.399 0 1.313 0.015 0.180 0.543 0.777 0.422

1 3 1.811 1.626 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.721 0.853 0.615

1 4 3.162 1.286 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.812 0.958 0.778

1 5 3.703 1.145 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.911 0.958 0.873

1 6 4.243 1.086 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.962 0.958 0.921

1 7 4.784 1.060 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.984 0.958 0.943

0.5 0.5 1 129.684 11.827 0.008 1 1 1.025 73.705 4.415 0 2.246 0.110 0.025 0.171 0.079 0.014

1 2 1.270 48.794 7.824 0 1.476 0.020 0.135 0.068 0.302 0.020

1 3 1.811 33.189 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.061 0.495 0.030

1 4 2.081 23.904 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.084 0.495 0.042

621 5 3.703 17.823 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.073 0.765 0.056

1 6 4.243 13.741 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.095 0.765 0.073

1 7 4.784 10.962 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.119 0.765 0.091

0.5 1.0 1 51.833 11.827 0.019 1 1 1.039 26.436 5.319 0 2.064 0.070 0.039 0.195 0.194 0.038

1 2 1.360 14.050 8.399 0 1.313 0.015 0.180 0.140 0.507 0.071

1 3 1.811 8.484 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.187 0.629 0.118

1 4 3.162 5.746 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.203 0.857 0.174

1 5 3.703 4.137 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.282 0.857 0.242

1 6 4.243 3.200 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.365 0.857 0.312

1 7 4.784 2.611 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.447 0.857 0.383

0.5 2.0 1 8.507 11.827 0.118 1 1 1.036 3.977 5.181 0 2.093 0.075 0.036 0.510 0.493 0.251

1 2 1.360 2.155 8.399 0 1.313 0.015 0.180 0.577 0.805 0.464

1 3 1.811 1.509 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.755 0.878 0.663

1 4 3.162 1.223 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.843 0.970 0.817

1 5 3.703 1.107 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.931 0.970 0.903

1 6 4.243 1.060 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.972 0.970 0.943

1 7 4.784 1.042 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.990 0.970 0.960

1.0 1.0 1 27.708 11.827 0.036 1 1 1.054 13.624 5.991 0 1.920 0.050 0.054 0.226 0.325 0.073

1 2 1.360 6.628 8.399 0 1.313 0.015 0.180 0.247 0.612 0.151

1 3 1.811 3.980 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.345 0.728 0.251

1 4 3.162 2.754 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.398 0.913 0.363

1 5 3.703 2.082 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.526 0.913 0.480

1 6 4.243 1.710 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.641 0.913 0.585

1 7 4.784 1.488 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.736 0.913 0.672

1.0 2.0 1 6.500 11.827 0.154 1 1 1.049 3.223 5.801 0 1.962 0.055 0.049 0.520 0.597 0.310

1 2 1.360 1.770 8.399 0 1.313 0.015 0.180 0.667 0.847 0.565

1 3 1.811 1.311 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.838 0.910 0.763

1 4 3.162 1.118 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.911 0.982 0.895

1 5 3.703 1.051 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.969 0.982 0.951

631 6 4.243 1.029 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.990 0.982 0.972

1 7 4.784 1.021 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.997 0.982 0.979

2.0 2.0 1 3.056 11.827 0.327 1 1 1.060 1.785 6.202 0 1.874 0.045 0.060 0.702 0.798 0.560

1 2 1.541 1.189 9.210 0 1.055 0.010 0.270 0.867 0.970 0.841

1 3 2.622 1.044 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.962 0.996 0.958

1 4 3.162 1.010 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.994 0.996 0.990

1 5 3.703 1.005 10.597 0 0.462 0.005 0.541 0.999 0.996 0.995

1 6 4.243 1.004 10.597 0 0.462 0.005 0.541 1.000 0.996 0.996

1 7 4.784 1.004 10.597 0 0.462 0.005 0.541 1.000 0.996 0.996


0.0 0.5 2 129.684 11.827 0.008 2 1 2.003 90.416 0.020 1 1.787 0.990 0.003 0.991 0.011 0.011

2 2 2.031 86.619 3.430 1 1.361 0.180 0.015 0.256 0.045 0.012

2 3 2.270 71.260 7.013 1 0.790 0.030 0.090 0.075 0.188 0.014

2 4 2.721 57.098 8.399 1 0.503 0.015 0.180 0.055 0.320 0.018

2 5 3.351 46.103 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.050 0.432 0.022

2 6 5.243 37.913 10.597 1 −0.170 0.005 0.541 0.038 0.702 0.026

2 7 5.784 31.313 10.597 1 −0.170 0.005 0.541 0.045 0.702 0.032

0.0 1.0 2 27.708 11.827 0.036 2 1 2.004 20.986 0.589 1 1.721 0.745 0.004 0.834 0.057 0.048

2 2 2.072 15.630 5.181 1 1.104 0.075 0.036 0.285 0.225 0.064

2 3 2.324 10.787 7.378 1 0.720 0.025 0.108 0.228 0.407 0.093

2 4 3.081 7.706 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.204 0.636 0.130

2 5 3.351 5.749 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.273 0.636 0.174

2 6 5.243 4.429 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.266 0.849 0.226

2 7 5.784 3.552 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.331 0.849 0.282

0.0 2.0 2 3.056 11.827 0.327 2 1 2.008 2.680 2.217 1 1.522 0.330 0.008 0.794 0.470 0.373

2 2 2.098 1.916 5.801 1 1.004 0.055 0.049 0.731 0.714 0.522

2 3 2.541 1.479 8.399 1 0.503 0.015 0.180 0.766 0.882 0.676

2 4 3.081 1.241 9.210 0 1.434 0.010 0.270 0.867 0.930 0.806

2 5 4.703 1.112 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.911 0.986 0.899

642 6 5.243 1.054 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.962 0.986 0.948

2 7 5.784 1.030 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.984 0.986 0.971

0.5 0.5 2 67.268 11.827 0.015 2 1 2.005 51.297 1.089 1 1.662 0.580 0.005 0.652 0.030 0.019

2 2 2.098 39.118 5.801 1 1.004 0.055 0.049 0.142 0.180 0.026

2 3 2.324 28.315 7.378 1 0.720 0.025 0.108 0.113 0.312 0.035

2 4 2.721 21.052 8.399 1 0.503 0.015 0.180 0.109 0.436 0.048

2 5 3.351 16.149 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.111 0.558 0.062

2 6 3.622 12.804 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.140 0.558 0.078

2 7 5.784 10.395 10.597 1 −0.170 0.005 0.541 0.119 0.807 0.096

0.5 1.0 2 19.900 11.827 0.050 2 1 2.009 16.885 2.476 1 1.488 0.290 0.009 0.488 0.121 0.059

2 2 2.120 10.873 6.202 1 0.936 0.045 0.060 0.259 0.356 0.092

2 3 2.405 7.184 7.824 1 0.629 0.020 0.135 0.261 0.533 0.139

2 4 3.081 5.102 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.273 0.717 0.196

2 5 3.351 3.838 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.363 0.717 0.261

2 6 5.243 3.042 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.365 0.902 0.329

2 7 5.784 2.481 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.447 0.902 0.403

0.5 2.0 2 2.791 11.827 0.358 2 1 2.010 2.567 2.582 1 1.474 0.275 0.010 0.772 0.504 0.390

2 2 2.120 1.794 6.202 1 0.936 0.045 0.060 0.731 0.763 0.557

2 3 2.541 1.391 8.399 1 0.503 0.015 0.180 0.797 0.902 0.719

2 4 3.081 1.189 9.210 0 1.434 0.010 0.270 0.891 0.944 0.841

2 5 4.703 1.084 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.931 0.991 0.923

2 6 5.243 1.038 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.972 0.991 0.964

2 7 5.784 1.019 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.990 0.991 0.981

1.0 1.0 2 9.402 11.827 0.106 2 1 2.017 9.027 3.665 1 1.328 0.160 0.017 0.431 0.257 0.111

2 2 2.154 5.263 6.705 1 0.847 0.035 0.077 0.358 0.530 0.190

2 3 2.541 3.454 8.399 1 0.503 0.015 0.180 0.399 0.726 0.290

2 4 3.081 2.507 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.487 0.819 0.399

2 5 3.351 1.987 9.210 1 0.301 0.010 0.270 0.615 0.819 0.503

2 6 5.243 1.642 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.641 0.951 0.609

652 7 5.784 1.429 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.736 0.951 0.700

1.0 2.0 2 2.217 11.827 0.451 2 1 2.014 2.237 3.270 1 1.382 0.195 0.014 0.754 0.593 0.447

2 2 2.154 1.539 6.705 1 0.847 0.035 0.077 0.774 0.840 0.650

2 3 2.541 1.233 8.399 1 0.503 0.015 0.180 0.870 0.932 0.811

2 4 3.081 1.101 9.210 0 1.434 0.010 0.270 0.942 0.964 0.908

2 5 4.703 1.036 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.969 0.996 0.965

2 6 5.243 1.014 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.990 0.996 0.986

2 7 5.784 1.007 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.997 0.996 0.993

2.0 2.0 2 1.321 11.827 0.757 2 1 2.019 1.419 3.862 1 1.300 0.145 0.019 0.860 0.819 0.705

2 2 2.180 1.122 7.013 1 0.790 0.030 0.090 0.934 0.954 0.892

2 3 2.811 1.030 9.210 0 1.434 0.010 0.270 0.977 0.993 0.970

2 4 4.162 1.006 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.994 1.000 0.994

2 5 4.703 1.001 10.597 0 0.928 0.005 0.541 0.999 1.000 0.999

2 6 5.243 1.000 10.597 0 0.928 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

2 7 5.784 1.000 10.597 0 0.928 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000


0.0 0.5 3 90.824 11.827 0.011 3 1 3.003 70.173 0.020 2 1.222 0.990 0.003 0.991 0.014 0.014

3 2 3.007 70.013 1.022 2 1.121 0.600 0.005 0.670 0.021 0.014

3 3 3.090 62.591 4.816 2 0.683 0.090 0.030 0.174 0.092 0.016

3 4 3.541 51.488 7.824 1 0.987 0.020 0.135 0.068 0.286 0.019

3 5 3.901 42.221 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.067 0.353 0.024

3 6 4.622 34.972 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.061 0.470 0.029

3 7 4.892 29.438 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.072 0.470 0.034

0.0 1.0 3 14.982 11.827 0.067 3 1 3.003 14.128 0.020 2 1.222 0.990 0.003 0.994 0.071 0.071

3 2 3.030 12.150 3.430 2 0.856 0.180 0.015 0.459 0.180 0.082

3 3 3.203 8.839 6.438 1 1.220 0.040 0.068 0.288 0.392 0.113

3 4 3.541 6.566 7.824 1 0.987 0.020 0.135 0.281 0.542 0.152

3 5 3.901 5.059 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.322 0.613 0.198

3 6 4.622 4.027 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.345 0.719 0.248

663 7 4.892 3.333 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.417 0.719 0.300

0.0 2.0 3 1.760 11.827 0.568 3 1 3.006 1.974 1.427 1 1.871 0.490 0.006 0.877 0.578 0.506

3 2 3.049 1.568 4.415 1 1.509 0.110 0.025 0.826 0.772 0.638

3 3 3.203 1.311 6.438 1 1.220 0.040 0.068 0.864 0.883 0.763

3 4 3.541 1.167 7.824 1 0.987 0.020 0.135 0.912 0.939 0.857

3 5 4.351 1.086 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.942 0.977 0.921

3 6 6.243 1.044 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.962 0.996 0.958

3 7 6.784 1.020 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.984 0.996 0.981

0.5 0.5 3 41.150 11.827 0.024 3 1 3.003 39.057 0.020 2 1.222 0.990 0.003 0.992 0.026 0.026

3 2 3.049 32.939 4.415 2 0.735 0.110 0.025 0.233 0.130 0.030

3 3 3.270 24.699 7.013 1 1.128 0.030 0.090 0.128 0.317 0.040

3 4 3.541 18.676 7.824 1 0.987 0.020 0.135 0.130 0.411 0.054

3 5 3.901 14.544 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.140 0.489 0.069

3 6 4.622 11.617 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.140 0.615 0.086

3 7 4.892 9.504 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.171 0.615 0.105

0.5 1.0 3 10.453 11.827 0.096 3 1 3.005 12.120 1.022 2 1.121 0.600 0.005 0.753 0.110 0.083

3 2 3.077 8.809 5.319 1 1.386 0.070 0.039 0.326 0.348 0.114

3 3 3.270 6.075 7.013 1 1.128 0.030 0.090 0.314 0.524 0.165

3 4 3.541 4.453 7.824 1 0.987 0.020 0.135 0.361 0.622 0.225

3 5 3.901 3.447 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.418 0.695 0.290

3 6 4.622 2.776 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.453 0.796 0.360

3 7 4.892 2.339 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.537 0.796 0.428

0.5 2.0 3 1.642 11.827 0.609 3 1 3.006 1.923 1.688 1 1.842 0.430 0.006 0.863 0.603 0.520

3 2 3.057 1.504 4.708 1 1.470 0.095 0.028 0.829 0.802 0.665

3 3 3.232 1.260 6.705 1 1.178 0.035 0.077 0.875 0.908 0.794

3 4 3.721 1.131 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.915 0.966 0.884

3 5 4.351 1.063 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.956 0.983 0.940

3 6 6.243 1.031 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.972 0.998 0.970

3 7 6.784 1.013 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.990 0.998 0.987

671.0 1.0 3 4.816 11.827 0.208 3 1 3.009 6.775 2.342 2 0.980 0.310 0.009 0.603 0.245 0.148

3 2 3.098 4.334 5.801 1 1.316 0.055 0.049 0.432 0.535 0.231

3 3 3.324 2.983 7.378 1 1.066 0.025 0.108 0.473 0.709 0.335

3 4 3.721 2.252 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.543 0.817 0.444

3 5 4.351 1.824 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.615 0.892 0.548

3 6 4.622 1.555 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.721 0.892 0.643

3 7 6.784 1.390 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.736 0.977 0.720

1.0 2.0 3 1.396 11.827 0.717 3 1 3.009 1.746 2.310 1 1.770 0.315 0.009 0.842 0.680 0.573

3 2 3.077 1.346 5.319 1 1.386 0.070 0.039 0.852 0.872 0.743

3 3 3.270 1.155 7.013 1 1.128 0.030 0.090 0.917 0.945 0.866

3 4 3.721 1.067 8.399 1 0.878 0.015 0.180 0.957 0.980 0.938

3 5 4.351 1.028 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.982 0.991 0.973

3 6 6.243 1.011 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.990 0.999 0.989

3 7 6.784 1.004 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.997 0.999 0.996

2.0 2.0 3 1.060 11.827 0.943 3 1 3.010 1.225 2.694 1 1.725 0.260 0.010 0.923 0.884 0.816

3 2 3.090 1.066 5.627 1 1.341 0.060 0.045 0.963 0.974 0.938

3 3 3.324 1.017 7.378 1 1.066 0.025 0.108 0.990 0.993 0.983

3 4 4.081 1.004 9.210 1 0.705 0.010 0.270 0.997 0.999 0.996

3 5 5.703 1.001 10.597 1 0.308 0.005 0.541 0.999 1.000 0.999

3 6 6.243 1.000 10.597 1 0.308 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

3 7 6.784 1.000 10.597 1 0.308 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000


0.0 0.5 4 67.268 11.827 0.015 4 1 4.003 57.402 0.020 2 1.467 0.990 0.003 0.991 0.018 0.017

4 2 4.005 57.342 0.699 2 1.405 0.705 0.004 0.761 0.023 0.017

4 3 4.054 52.704 3.794 2 1.098 0.150 0.018 0.255 0.074 0.019

4 4 4.216 45.175 5.991 2 0.840 0.050 0.054 0.133 0.167 0.022

4 5 4.541 38.164 7.378 2 0.648 0.025 0.108 0.096 0.272 0.026

4 6 4.811 32.291 7.824 2 0.580 0.020 0.135 0.097 0.318 0.031

4 7 5.261 27.501 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.094 0.386 0.036

680.0 1.0 4 9.402 11.827 0.106 4 1 4.003 9.961 0.020 2 1.467 0.990 0.003 0.994 0.101 0.100

4 2 4.019 8.965 2.511 2 1.232 0.285 0.009 0.579 0.193 0.112

4 3 4.090 7.099 4.816 2 0.983 0.090 0.030 0.423 0.333 0.141

4 4 4.240 5.598 6.202 2 0.812 0.045 0.060 0.398 0.449 0.179

4 5 4.541 4.494 7.378 2 0.648 0.025 0.108 0.393 0.566 0.223

4 6 5.081 3.691 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.399 0.679 0.271

4 7 5.892 3.101 9.210 2 0.333 0.010 0.270 0.417 0.773 0.322

0.0 2.0 4 1.321 11.827 0.757 4 1 4.003 1.520 0.337 2 1.439 0.845 0.003 0.975 0.675 0.658

4 2 4.025 1.360 3.028 2 1.180 0.220 0.012 0.907 0.811 0.735

4 3 4.108 1.216 5.181 2 0.940 0.075 0.036 0.915 0.899 0.822

4 4 4.360 1.124 7.013 2 0.702 0.030 0.090 0.934 0.953 0.890

4 5 4.901 1.065 8.399 1 1.088 0.015 0.180 0.957 0.981 0.939

4 6 5.622 1.033 9.210 1 0.929 0.010 0.270 0.977 0.991 0.968

4 7 7.784 1.017 10.597 1 0.568 0.005 0.541 0.984 0.999 0.983

0.5 0.5 4 27.708 11.827 0.036 4 1 4.003 31.319 0.020 2 1.467 0.990 0.003 0.992 0.032 0.032

4 2 4.047 27.085 4.326 2 1.039 0.115 0.024 0.240 0.154 0.037

4 3 4.147 21.065 5.801 2 0.864 0.055 0.049 0.190 0.250 0.047

4 4 4.360 16.439 7.013 2 0.702 0.030 0.090 0.167 0.365 0.061

4 5 4.676 13.087 7.824 2 0.580 0.020 0.135 0.166 0.462 0.076

4 6 5.081 10.636 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.174 0.540 0.094

4 7 5.261 8.835 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.210 0.540 0.113

0.5 1.0 4 6.500 11.827 0.154 4 1 4.004 8.771 0.699 2 1.405 0.705 0.004 0.825 0.138 0.114

4 2 4.039 6.896 3.932 2 1.083 0.140 0.019 0.460 0.316 0.145

4 3 4.147 5.118 5.801 2 0.864 0.055 0.049 0.408 0.478 0.195

4 4 4.360 3.926 7.013 2 0.702 0.030 0.090 0.420 0.606 0.255

4 5 4.676 3.131 7.824 2 0.580 0.020 0.135 0.459 0.696 0.319

4 6 5.081 2.587 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.509 0.760 0.387

4 7 5.892 2.203 9.210 2 0.333 0.010 0.270 0.537 0.845 0.454

0.5 2.0 4 1.260 11.827 0.793 4 1 4.004 1.502 0.699 2 1.405 0.705 0.004 0.951 0.700 0.666

694 2 4.029 1.325 3.375 2 1.143 0.185 0.015 0.903 0.835 0.755

4 3 4.125 1.183 5.467 2 0.906 0.065 0.042 0.920 0.918 0.845

4 4 4.360 1.098 7.013 2 0.702 0.030 0.090 0.948 0.961 0.911

4 5 4.901 1.048 8.399 1 1.088 0.015 0.180 0.968 0.986 0.954

4 6 5.622 1.023 9.210 1 0.929 0.010 0.270 0.984 0.994 0.978

4 7 7.784 1.011 10.597 1 0.568 0.005 0.541 0.990 0.999 0.989

1.0 1.0 4 3.056 11.827 0.327 4 1 4.006 4.998 1.735 2 1.308 0.420 0.006 0.696 0.287 0.200

4 2 4.054 3.539 4.605 2 1.008 0.100 0.027 0.542 0.521 0.283

4 3 4.180 2.608 6.202 2 0.812 0.045 0.060 0.567 0.677 0.383

4 4 4.432 2.055 7.378 2 0.648 0.025 0.108 0.617 0.789 0.487

4 5 4.901 1.713 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.667 0.875 0.584

4 6 5.081 1.492 8.399 2 0.485 0.015 0.180 0.766 0.875 0.670

4 7 5.892 1.338 9.210 2 0.333 0.010 0.270 0.804 0.929 0.747

1.0 2.0 4 1.140 11.827 0.877 4 1 4.005 1.416 1.072 2 1.371 0.585 0.005 0.940 0.751 0.706

4 2 4.039 1.226 3.932 2 1.083 0.140 0.019 0.917 0.889 0.815

4 3 4.162 1.109 5.991 2 0.840 0.050 0.054 0.944 0.955 0.902

4 4 4.432 1.050 7.378 2 0.648 0.025 0.108 0.971 0.981 0.953

4 5 4.901 1.021 8.399 1 1.088 0.015 0.180 0.987 0.992 0.980

4 6 5.622 1.008 9.210 1 0.929 0.010 0.270 0.995 0.997 0.992

4 7 7.784 1.003 10.597 1 0.568 0.005 0.541 0.997 1.000 0.997

2.0 2.0 4 1.010 11.827 0.990 4 1 4.005 1.108 1.386 2 1.341 0.500 0.005 0.973 0.927 0.902

4 2 4.045 1.037 4.241 2 1.049 0.120 0.023 0.983 0.981 0.964

4 3 4.203 1.010 6.438 2 0.781 0.040 0.068 0.994 0.996 0.990

4 4 4.541 1.002 7.824 1 1.190 0.020 0.135 0.999 0.999 0.998

4 5 5.351 1.000 9.210 1 0.929 0.010 0.270 1.000 1.000 1.000

4 6 7.243 1.000 10.597 1 0.568 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

4 7 7.784 1.000 10.597 1 0.568 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000


0.0 0.5 5 51.833 11.827 0.019 5 1 5.003 46.138 0.010 3 1.117 0.995 0.003 0.996 0.022 0.022

705 2 5.005 46.090 0.010 3 1.117 0.995 0.003 0.996 0.022 0.022

5 3 5.024 44.708 2.187 3 0.934 0.335 0.008 0.461 0.049 0.022

5 4 5.103 39.924 4.508 3 0.713 0.105 0.026 0.225 0.111 0.025

5 5 5.270 34.645 5.991 3 0.551 0.050 0.054 0.155 0.186 0.029

5 6 5.541 29.861 7.013 3 0.426 0.030 0.090 0.128 0.262 0.033

5 7 6.261 25.645 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.094 0.414 0.039

0.0 1.0 5 6.500 11.827 0.154 5 1 5.003 7.379 0.010 3 1.117 0.995 0.003 0.997 0.136 0.136

5 2 5.012 7.062 1.619 3 0.984 0.445 0.006 0.715 0.198 0.142

5 3 5.051 5.942 3.665 3 0.797 0.160 0.017 0.543 0.310 0.168

5 4 5.180 4.880 5.627 2 1.072 0.060 0.045 0.447 0.459 0.205

5 5 5.386 4.005 6.705 2 0.942 0.035 0.077 0.445 0.562 0.250

5 6 5.649 3.352 7.378 2 0.853 0.025 0.108 0.473 0.631 0.298

5 7 6.261 2.861 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.473 0.739 0.350

0.0 2.0 5 1.140 11.827 0.877 5 1 5.003 1.311 0.010 2 1.618 0.995 0.003 0.999 0.763 0.763

5 2 5.017 1.231 2.279 2 1.418 0.320 0.008 0.942 0.863 0.812

5 3 5.065 1.142 4.159 2 1.233 0.125 0.022 0.947 0.925 0.876

5 4 5.197 1.082 5.801 2 1.052 0.055 0.049 0.960 0.963 0.924

5 5 5.450 1.045 7.013 2 0.902 0.030 0.090 0.976 0.981 0.957

5 6 6.081 1.024 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.984 0.993 0.977

5 7 6.892 1.012 9.210 2 0.563 0.010 0.270 0.991 0.997 0.988

0.5 0.5 5 19.900 11.827 0.050 5 1 5.003 24.792 0.010 3 1.117 0.995 0.003 0.996 0.040 0.040

5 2 5.023 22.881 2.896 3 0.870 0.235 0.012 0.393 0.111 0.044

5 3 5.095 18.498 4.930 3 0.669 0.085 0.032 0.250 0.216 0.054

5 4 5.240 14.804 6.202 3 0.527 0.045 0.060 0.212 0.319 0.068

5 5 5.450 11.994 7.013 3 0.426 0.030 0.090 0.208 0.402 0.083

5 6 5.811 9.841 7.824 2 0.789 0.020 0.135 0.203 0.501 0.102

5 7 6.261 8.213 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.210 0.581 0.122

0.5 1.0 5 4.507 11.827 0.222 5 1 5.003 6.577 0.010 3 1.117 0.995 0.003 0.997 0.152 0.152

5 2 5.024 5.697 2.939 3 0.866 0.230 0.012 0.577 0.304 0.176

715 3 5.090 4.463 4.816 3 0.681 0.090 0.030 0.498 0.450 0.224

5 4 5.270 3.525 6.438 2 0.975 0.040 0.068 0.466 0.608 0.284

5 5 5.541 2.867 7.378 2 0.853 0.025 0.108 0.492 0.708 0.349

5 6 5.811 2.406 7.824 2 0.789 0.020 0.135 0.550 0.755 0.416

5 7 6.261 2.075 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.593 0.813 0.482

0.5 2.0 5 1.108 11.827 0.903 5 1 5.003 1.304 0.103 2 1.610 0.950 0.003 0.994 0.772 0.767

5 2 5.019 1.211 2.546 2 1.393 0.280 0.010 0.940 0.878 0.826

5 3 5.077 1.122 4.508 2 1.196 0.105 0.026 0.949 0.940 0.892

5 4 5.216 1.066 5.991 2 1.030 0.050 0.054 0.967 0.971 0.938

5 5 5.541 1.034 7.378 2 0.853 0.025 0.108 0.979 0.988 0.967

5 6 6.081 1.017 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.989 0.995 0.984

5 7 6.892 1.008 9.210 2 0.563 0.010 0.270 0.994 0.998 0.992

1.0 1.0 5 2.217 11.827 0.451 5 1 5.004 3.923 0.893 3 1.045 0.640 0.004 0.838 0.304 0.255

5 2 5.035 3.039 3.729 3 0.791 0.155 0.017 0.632 0.521 0.329

5 3 5.135 2.347 5.627 2 1.072 0.060 0.045 0.615 0.693 0.426

5 4 5.309 1.897 6.705 2 0.942 0.035 0.077 0.666 0.792 0.527

5 5 5.541 1.612 7.378 2 0.853 0.025 0.108 0.732 0.847 0.620

5 6 6.081 1.423 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.766 0.917 0.702

5 7 6.261 1.297 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.841 0.917 0.771

1.0 2.0 5 1.049 11.827 0.954 5 1 5.004 1.256 0.549 2 1.572 0.760 0.004 0.973 0.819 0.796

5 2 5.025 1.147 3.074 2 1.342 0.215 0.013 0.948 0.919 0.872

5 3 5.101 1.072 5.051 2 1.137 0.080 0.034 0.964 0.968 0.933

5 4 5.270 1.033 6.438 2 0.975 0.040 0.068 0.981 0.987 0.968

5 5 5.676 1.014 7.824 2 0.789 0.020 0.135 0.990 0.996 0.986

5 6 6.081 1.006 8.399 2 0.702 0.015 0.180 0.997 0.998 0.994

5 7 6.892 1.002 9.210 2 0.563 0.010 0.270 0.999 0.999 0.998

2.0 2.0 5 1.001 11.827 0.999 5 1 5.004 1.054 0.713 2 1.558 0.700 0.004 0.990 0.958 0.949

5 2 5.028 1.020 3.270 2 1.323 0.195 0.014 0.991 0.989 0.981

5 3 5.116 1.005 5.319 2 1.108 0.070 0.039 0.997 0.998 0.995

725 4 5.360 1.001 7.013 2 0.902 0.030 0.090 0.999 1.000 0.999

5 5 5.901 1.000 8.399 2 0.702 0.015 0.180 1.000 1.000 1.000

5 6 6.622 1.000 9.210 2 0.563 0.010 0.270 1.000 1.000 1.000

5 7 8.784 1.000 10.597 1 0.743 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000


0.0 0.5 6 41.150 11.827 0.024 6 1 6.003 38.879 0.010 4 0.866 0.995 0.003 0.996 0.026 0.026

6 2 6.005 38.838 0.010 4 0.866 0.995 0.003 0.996 0.026 0.026

6 3 6.014 38.536 1.022 4 0.790 0.600 0.005 0.700 0.037 0.026

6 4 6.075 35.262 3.862 3 0.954 0.145 0.019 0.282 0.100 0.028

6 5 6.193 31.028 5.319 3 0.814 0.070 0.039 0.195 0.165 0.032

6 6 6.405 27.066 6.438 3 0.694 0.040 0.068 0.154 0.239 0.037

6 7 6.757 23.609 7.378 3 0.583 0.025 0.108 0.131 0.324 0.042

0.0 1.0 6 4.816 11.827 0.208 6 1 6.003 5.871 0.010 3 1.271 0.995 0.003 0.997 0.171 0.170

6 2 6.010 5.715 1.196 3 1.180 0.550 0.005 0.785 0.223 0.175

6 3 6.039 4.949 3.121 3 1.020 0.210 0.013 0.607 0.333 0.202

6 4 6.108 4.180 4.605 3 0.884 0.100 0.027 0.542 0.441 0.239

6 5 6.225 3.546 5.627 3 0.782 0.060 0.045 0.535 0.527 0.282

6 6 6.463 3.044 6.705 3 0.664 0.035 0.077 0.526 0.625 0.328

6 7 6.757 2.650 7.378 3 0.583 0.025 0.108 0.548 0.689 0.377

0.0 2.0 6 1.060 11.827 0.943 6 1 6.003 1.168 0.010 3 1.271 0.995 0.003 0.999 0.857 0.856

6 2 6.011 1.143 1.427 3 1.162 0.490 0.006 0.972 0.900 0.875

6 3 6.041 1.094 3.219 3 1.012 0.200 0.014 0.969 0.943 0.914

6 4 6.120 1.057 4.816 3 0.864 0.090 0.030 0.976 0.969 0.946

6 5 6.300 1.032 6.202 2 1.140 0.045 0.060 0.983 0.985 0.969

6 6 6.649 1.017 7.378 2 0.996 0.025 0.108 0.990 0.993 0.983

6 7 7.261 1.009 8.399 2 0.854 0.015 0.180 0.994 0.997 0.991

0.5 0.5 6 14.982 11.827 0.067 6 1 6.003 20.722 0.010 4 0.866 0.995 0.003 0.996 0.048 0.048

6 2 6.023 19.739 2.100 4 0.704 0.350 0.008 0.513 0.098 0.050

6 3 6.081 16.306 4.605 3 0.884 0.100 0.027 0.277 0.222 0.061

736 4 6.197 13.228 5.801 3 0.764 0.055 0.049 0.238 0.317 0.076

6 5 6.386 10.844 6.705 3 0.664 0.035 0.077 0.226 0.408 0.092

6 6 6.649 9.024 7.378 3 0.583 0.025 0.108 0.228 0.487 0.111

6 7 6.946 7.620 7.824 3 0.526 0.020 0.135 0.241 0.544 0.131

0.5 1.0 6 3.374 11.827 0.296 6 1 6.003 5.288 0.010 3 1.271 0.995 0.003 0.997 0.190 0.189

6 2 6.018 4.751 2.442 3 1.079 0.295 0.009 0.643 0.327 0.210

6 3 6.068 3.845 4.241 3 0.919 0.120 0.023 0.556 0.468 0.260

6 4 6.166 3.137 5.467 3 0.799 0.065 0.042 0.550 0.580 0.319

6 5 6.338 2.621 6.438 3 0.694 0.040 0.068 0.566 0.674 0.382

6 6 6.649 2.245 7.378 3 0.583 0.025 0.108 0.583 0.764 0.445

6 7 6.946 1.965 7.824 3 0.526 0.020 0.135 0.632 0.805 0.509

0.5 2.0 6 1.044 11.827 0.958 6 1 6.003 1.164 0.010 3 1.271 0.995 0.003 0.999 0.860 0.859

6 2 6.012 1.132 1.665 3 1.143 0.435 0.006 0.971 0.910 0.884

6 3 6.048 1.082 3.544 3 0.983 0.170 0.016 0.970 0.953 0.925

6 4 6.144 1.046 5.181 3 0.828 0.075 0.036 0.978 0.977 0.956

6 5 6.338 1.024 6.438 2 1.113 0.040 0.068 0.987 0.989 0.976

6 6 6.649 1.012 7.378 2 0.996 0.025 0.108 0.993 0.995 0.988

6 7 7.261 1.006 8.399 2 0.854 0.015 0.180 0.996 0.998 0.994

1.0 1.0 6 1.760 11.827 0.568 6 1 6.003 3.208 0.510 3 1.234 0.775 0.003 0.907 0.344 0.312

6 2 6.026 2.613 3.169 3 1.016 0.205 0.013 0.691 0.553 0.383

6 3 6.090 2.097 4.816 3 0.864 0.090 0.030 0.684 0.697 0.477

6 4 6.216 1.754 5.991 3 0.744 0.050 0.054 0.718 0.795 0.570

6 5 6.386 1.525 6.705 3 0.664 0.035 0.077 0.774 0.848 0.656

6 6 6.649 1.369 7.378 3 0.583 0.025 0.108 0.820 0.891 0.730

6 7 7.261 1.260 8.399 3 0.447 0.015 0.180 0.841 0.944 0.793

1.0 2.0 6 1.016 11.827 0.984 6 1 6.003 1.136 0.010 3 1.271 0.995 0.003 1.000 0.881 0.880

6 2 6.016 1.092 2.187 3 1.100 0.335 0.008 0.973 0.942 0.916

6 3 6.062 1.048 4.080 3 0.934 0.130 0.021 0.979 0.975 0.954

6 4 6.180 1.023 5.627 3 0.782 0.060 0.045 0.988 0.990 0.978

746 5 6.450 1.010 7.013 2 1.043 0.030 0.090 0.994 0.997 0.990

6 6 6.811 1.004 7.824 2 0.937 0.020 0.135 0.997 0.999 0.996

6 7 7.892 1.002 9.210 2 0.724 0.010 0.270 0.999 1.000 0.998

2.0 2.0 6 1.000 11.827 1.000 6 1 6.003 1.021 0.040 3 1.269 0.980 0.003 1.000 0.980 0.979

6 2 6.017 1.010 2.279 3 1.092 0.320 0.008 0.996 0.994 0.990

6 3 6.071 1.003 4.326 3 0.911 0.115 0.024 0.999 0.999 0.997

6 4 6.216 1.001 5.991 2 1.164 0.050 0.054 1.000 1.000 0.999

6 5 6.541 1.000 7.378 2 0.996 0.025 0.108 1.000 1.000 1.000

6 6 7.081 1.000 8.399 2 0.854 0.015 0.180 1.000 1.000 1.000

6 7 7.892 1.000 9.210 2 0.724 0.010 0.270 1.000 1.000 1.000


0.0 0.5 7 33.445 11.827 0.030 7 1 7.003 32.969 0.020 4 1.021 0.990 0.003 0.991 0.031 0.030

7 2 7.005 32.935 0.020 4 1.021 0.990 0.003 0.992 0.031 0.030

7 3 7.011 32.828 0.549 4 0.984 0.760 0.004 0.827 0.037 0.030

7 4 7.040 30.703 2.619 4 0.830 0.270 0.010 0.431 0.075 0.033

7 5 7.118 27.806 4.326 4 0.690 0.115 0.024 0.271 0.133 0.036

7 6 7.249 24.694 5.467 4 0.585 0.065 0.042 0.211 0.192 0.040

7 7 7.473 21.838 6.438 4 0.489 0.040 0.068 0.176 0.260 0.046

0.0 1.0 7 3.759 11.827 0.266 7 1 7.003 4.700 0.020 4 1.021 0.990 0.003 0.994 0.214 0.213

7 2 7.007 4.663 0.549 4 0.984 0.760 0.004 0.900 0.238 0.214

7 3 7.026 4.217 2.342 4 0.852 0.310 0.009 0.704 0.337 0.237

7 4 7.072 3.680 3.794 4 0.735 0.150 0.018 0.625 0.435 0.272

7 5 7.159 3.201 4.930 4 0.636 0.085 0.032 0.598 0.522 0.312

7 6 7.324 2.793 5.991 3 0.882 0.050 0.054 0.584 0.613 0.358

7 7 7.541 2.463 6.705 3 0.807 0.035 0.077 0.600 0.677 0.406

0.0 2.0 7 1.025 11.827 0.976 7 1 7.003 1.099 0.020 3 1.383 0.990 0.003 0.999 0.911 0.910

7 2 7.009 1.089 0.924 3 1.317 0.630 0.004 0.985 0.932 0.918

7 3 7.029 1.060 2.546 3 1.192 0.280 0.010 0.981 0.961 0.943

7 4 7.080 1.037 4.005 3 1.069 0.135 0.020 0.985 0.979 0.964

757 5 7.193 1.021 5.319 3 0.948 0.070 0.039 0.990 0.989 0.979

7 6 7.405 1.012 6.438 3 0.835 0.040 0.068 0.994 0.994 0.988

7 7 7.757 1.006 7.378 3 0.730 0.025 0.108 0.997 0.997 0.994

0.5 0.5 7 11.697 11.827 0.085 7 1 7.003 17.470 0.020 4 1.021 0.990 0.003 0.992 0.058 0.057

7 2 7.013 16.907 1.688 4 0.902 0.430 0.006 0.587 0.101 0.059

7 3 7.056 14.402 3.862 4 0.729 0.145 0.019 0.347 0.200 0.069

7 4 7.144 11.942 5.181 4 0.612 0.075 0.036 0.285 0.294 0.084

7 5 7.300 9.947 6.202 4 0.513 0.045 0.060 0.259 0.389 0.101

7 6 7.463 8.376 6.705 4 0.460 0.035 0.077 0.270 0.442 0.119

7 7 7.757 7.144 7.378 4 0.385 0.025 0.108 0.269 0.521 0.140

0.5 1.0 7 2.675 11.827 0.374 7 1 7.003 4.260 0.020 4 1.021 0.990 0.003 0.995 0.236 0.235

7 2 7.013 4.018 1.735 4 0.898 0.420 0.006 0.743 0.335 0.249

7 3 7.048 3.394 3.544 4 0.756 0.170 0.016 0.629 0.468 0.295

7 4 7.120 2.851 4.816 4 0.646 0.090 0.030 0.609 0.576 0.351

7 5 7.270 2.431 5.991 3 0.882 0.050 0.054 0.603 0.682 0.411

7 6 7.463 2.108 6.705 3 0.807 0.035 0.077 0.634 0.748 0.474

7 7 7.757 1.866 7.378 3 0.730 0.025 0.108 0.664 0.808 0.536

0.5 2.0 7 1.017 11.827 0.983 7 1 7.003 1.096 0.020 3 1.383 0.990 0.003 0.999 0.914 0.912

7 2 7.009 1.083 1.124 3 1.302 0.570 0.005 0.984 0.939 0.924

7 3 7.032 1.053 2.773 3 1.174 0.250 0.011 0.983 0.967 0.950

7 4 7.094 1.030 4.326 3 1.041 0.115 0.024 0.987 0.984 0.971

7 5 7.225 1.016 5.627 3 0.918 0.060 0.045 0.992 0.992 0.984

7 6 7.463 1.008 6.705 3 0.807 0.035 0.077 0.995 0.996 0.992

7 7 7.946 1.004 7.824 3 0.676 0.020 0.135 0.997 0.999 0.996

1.0 1.0 7 1.489 11.827 0.671 7 1 7.003 2.637 0.020 4 1.021 0.990 0.003 0.996 0.381 0.379

7 2 7.020 2.299 2.582 4 0.833 0.275 0.010 0.755 0.576 0.435

7 3 7.065 1.920 4.159 4 0.704 0.125 0.022 0.740 0.704 0.521

7 4 7.166 1.647 5.467 3 0.934 0.065 0.042 0.755 0.804 0.607

7 5 7.338 1.454 6.438 3 0.835 0.040 0.068 0.790 0.871 0.688

767 6 7.541 1.321 7.013 3 0.772 0.030 0.090 0.837 0.904 0.757

7 7 7.946 1.227 7.824 3 0.676 0.020 0.135 0.865 0.943 0.815

1.0 2.0 7 1.005 11.827 0.995 7 1 7.003 1.077 0.020 3 1.383 0.990 0.003 0.999 0.929 0.928

7 2 7.012 1.058 1.575 3 1.268 0.455 0.006 0.985 0.960 0.946

7 3 7.045 1.031 3.430 3 1.119 0.180 0.015 0.986 0.983 0.970

7 4 7.120 1.015 4.816 3 0.996 0.090 0.030 0.993 0.993 0.985

7 5 7.270 1.007 5.991 3 0.882 0.050 0.054 0.996 0.997 0.993

7 6 7.541 1.003 7.013 3 0.772 0.030 0.090 0.998 0.999 0.997

7 7 8.261 1.001 8.399 3 0.602 0.015 0.180 0.999 1.000 0.999

2.0 2.0 7 1.000 11.827 1.000 7 1 7.003 1.008 0.020 3 1.383 0.990 0.003 1.000 0.992 0.992

7 2 7.012 1.005 1.553 3 1.270 0.460 0.006 0.999 0.997 0.995

7 3 7.045 1.001 3.430 3 1.119 0.180 0.015 0.999 0.999 0.999

7 4 7.135 1.000 5.051 3 0.974 0.080 0.034 1.000 1.000 1.000

7 5 7.338 1.000 6.438 3 0.835 0.040 0.068 1.000 1.000 1.000

7 6 7.811 1.000 7.824 3 0.676 0.020 0.135 1.000 1.000 1.000

7 7 8.261 1.000 8.399 3 0.602 0.015 0.180 1.000 1.000 1.000

77Tabela B.2: Desempenho dos graficos de controle para NMA0 = 370 e ρ = 0.8.

Grafico T 2 Grafico combinado


0.0 0.5 1 97.755 11.827 0.010 1 1 1.270 86.298 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.030 0.392 0.012

1 2 2.081 43.709 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.034 0.667 0.023

1 3 2.622 26.228 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.057 0.667 0.038

1 4 3.162 17.597 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.085 0.667 0.057

1 5 3.703 12.713 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.118 0.667 0.079

1 6 4.243 9.690 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.155 0.667 0.103

1 7 4.784 7.693 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.195 0.667 0.130

0.0 1.0 1 16.912 11.827 0.059 1 1 1.270 13.883 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.127 0.568 0.072

1 2 2.081 5.214 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.237 0.808 0.192

1 3 2.622 2.950 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.420 0.808 0.339

1 4 3.162 2.092 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.592 0.808 0.478

1 5 3.703 1.693 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.731 0.808 0.591

1 6 4.243 1.487 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.833 0.808 0.673

1 7 4.784 1.374 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.901 0.808 0.728

0.0 2.0 1 1.932 11.827 0.518 1 1 1.270 1.686 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.677 0.876 0.593

1 2 2.081 1.095 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.944 0.968 0.913

1 3 2.622 1.038 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.996 0.968 0.964

1 4 3.162 1.034 10.597 0 0.153 0.005 0.541 1.000 0.968 0.967

1 5 3.703 1.033 10.597 0 0.153 0.005 0.541 1.000 0.968 0.968

1 6 4.243 1.033 10.597 0 0.153 0.005 0.541 1.000 0.968 0.968

1 7 4.784 1.033 10.597 0 0.153 0.005 0.541 1.000 0.968 0.968

0.5 0.5 1 191.190 11.827 0.005 1 1 1.003 84.643 0.421 0 2.878 0.810 0.003 0.832 0.014 0.012

1 2 1.064 76.715 4.930 0 2.050 0.085 0.032 0.145 0.090 0.013

1 3 1.324 60.950 7.378 0 1.450 0.025 0.108 0.070 0.235 0.016

1 4 1.721 48.204 8.399 0 1.137 0.015 0.180 0.060 0.345 0.021

781 5 2.351 38.652 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.056 0.462 0.026

1 6 2.622 31.660 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.068 0.462 0.032

1 7 4.784 26.206 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.052 0.732 0.038

0.5 1.0 1 51.833 11.827 0.019 1 1 1.034 28.195 5.051 0 2.024 0.080 0.034 0.213 0.166 0.035

1 2 1.360 14.992 8.399 0 1.137 0.015 0.180 0.140 0.475 0.067

1 3 1.811 8.991 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.187 0.594 0.111

1 4 3.162 5.947 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.203 0.828 0.168

1 5 3.703 4.282 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.282 0.828 0.234

1 6 4.243 3.313 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.365 0.828 0.302

1 7 4.784 2.702 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.447 0.828 0.370

0.5 2.0 1 3.474 11.827 0.288 1 1 1.108 2.456 7.378 0 1.450 0.025 0.108 0.574 0.710 0.407

1 2 2.081 1.349 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.766 0.968 0.741

1 3 2.622 1.096 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.942 0.968 0.912

1 4 3.162 1.044 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.989 0.968 0.957

1 5 3.703 1.035 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.998 0.968 0.966

1 6 4.243 1.033 10.597 0 0.153 0.005 0.541 1.000 0.968 0.968

1 7 4.784 1.033 10.597 0 0.153 0.005 0.541 1.000 0.968 0.968

1.0 1.0 1 59.659 11.827 0.017 1 1 1.014 22.928 3.321 0 2.377 0.190 0.014 0.356 0.123 0.044

1 2 1.154 14.277 6.705 0 1.631 0.035 0.077 0.202 0.347 0.070

1 3 1.541 9.248 8.399 0 1.137 0.015 0.180 0.198 0.547 0.108

1 4 2.081 6.435 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.234 0.663 0.155

1 5 2.351 4.814 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.313 0.663 0.208

1 6 4.243 3.706 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.309 0.872 0.270

1 7 4.784 2.993 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.383 0.872 0.334

1.0 2.0 1 6.500 11.827 0.154 1 1 1.049 3.409 5.801 0 1.854 0.055 0.049 0.520 0.564 0.293

1 2 1.541 1.846 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.615 0.881 0.542

1 3 2.622 1.328 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.776 0.970 0.753

1 4 3.162 1.131 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.911 0.970 0.884

1 5 3.703 1.064 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.969 0.970 0.940

791 6 4.243 1.041 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.990 0.970 0.961

1 7 4.784 1.034 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.997 0.970 0.967

2.0 2.0 1 7.900 11.827 0.127 1 1 1.023 3.095 4.241 0 2.195 0.120 0.023 0.618 0.523 0.323

1 2 1.216 1.869 7.378 0 1.450 0.025 0.108 0.672 0.797 0.535

1 3 1.811 1.384 9.210 0 0.844 0.010 0.270 0.779 0.927 0.723

1 4 3.162 1.175 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.864 0.985 0.851

1 5 3.703 1.076 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.944 0.985 0.930

1 6 4.243 1.037 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.979 0.985 0.964

1 7 4.784 1.023 10.597 0 0.153 0.005 0.541 0.993 0.985 0.978


0.0 0.5 2 45.449 11.827 0.022 2 1 2.054 74.112 5.991 1 0.901 0.050 0.054 0.106 0.127 0.013

2 2 2.541 41.571 9.210 1 0.156 0.010 0.270 0.056 0.429 0.024

2 3 3.622 25.095 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.057 0.698 0.040

2 4 4.162 16.837 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.085 0.698 0.059

2 5 4.703 12.164 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.118 0.698 0.082

2 6 5.243 9.271 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.155 0.698 0.108

2 7 5.784 7.361 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.195 0.698 0.136

0.0 1.0 2 5.463 11.827 0.183 2 1 2.077 11.284 6.705 1 0.765 0.035 0.077 0.250 0.354 0.089

2 2 3.081 4.901 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.237 0.859 0.204

2 3 3.622 2.772 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.420 0.859 0.361

2 4 4.162 1.966 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.592 0.859 0.509

2 5 4.703 1.591 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.731 0.859 0.629

2 6 5.243 1.397 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.833 0.859 0.716

2 7 5.784 1.292 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.901 0.859 0.774

0.0 2.0 2 1.088 11.827 0.919 2 1 2.108 1.522 7.378 1 0.626 0.025 0.108 0.784 0.838 0.657

2 2 3.081 1.070 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.944 0.991 0.935

2 3 3.622 1.014 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.996 0.991 0.987

2 4 4.162 1.010 10.597 0 0.698 0.005 0.541 1.000 0.991 0.990

2 5 4.703 1.009 10.597 0 0.698 0.005 0.541 1.000 0.991 0.991

802 6 5.243 1.009 10.597 0 0.698 0.005 0.541 1.000 0.991 0.991

2 7 5.784 1.009 10.597 0 0.698 0.005 0.541 1.000 0.991 0.991

0.5 0.5 2 119.089 11.827 0.008 2 1 2.003 55.684 0.020 1 1.760 0.990 0.003 0.991 0.018 0.018

2 2 2.013 54.876 1.711 1 1.551 0.425 0.006 0.518 0.035 0.018

2 3 2.085 47.924 4.708 1 1.120 0.095 0.028 0.191 0.110 0.021

2 4 2.270 40.099 6.438 1 0.817 0.040 0.068 0.122 0.205 0.025

2 5 2.541 33.405 7.378 1 0.626 0.025 0.108 0.106 0.284 0.030

2 6 3.081 28.009 8.399 1 0.384 0.015 0.180 0.090 0.399 0.036

2 7 3.261 23.728 8.399 1 0.384 0.015 0.180 0.106 0.399 0.042

0.5 1.0 2 19.900 11.827 0.050 2 1 2.008 17.864 2.158 1 1.492 0.340 0.008 0.538 0.104 0.056

2 2 2.108 11.724 5.991 1 0.901 0.050 0.054 0.274 0.312 0.085

2 3 2.405 7.735 7.824 1 0.525 0.020 0.135 0.261 0.495 0.129

2 4 3.081 5.429 9.210 1 0.156 0.010 0.270 0.273 0.674 0.184

2 5 4.703 4.039 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.282 0.878 0.248

2 6 5.243 3.124 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.365 0.878 0.320

2 7 5.784 2.549 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.447 0.878 0.392

0.5 2.0 2 1.419 11.827 0.704 2 1 2.036 1.955 5.181 1 1.042 0.075 0.036 0.740 0.691 0.511

2 2 2.541 1.275 9.210 0 1.273 0.010 0.270 0.829 0.946 0.784

2 3 3.622 1.071 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.942 0.991 0.933

2 4 4.162 1.021 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.989 0.991 0.980

2 5 4.703 1.011 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.998 0.991 0.989

2 6 5.243 1.009 10.597 0 0.698 0.005 0.541 1.000 0.991 0.991

2 7 5.784 1.009 10.597 0 0.698 0.005 0.541 1.000 0.991 0.991

1.0 1.0 2 23.757 11.827 0.042 2 1 2.003 12.829 0.421 1 1.712 0.810 0.003 0.885 0.088 0.078

2 2 2.045 9.957 4.241 1 1.194 0.120 0.023 0.395 0.254 0.100

2 3 2.180 7.239 6.202 1 0.862 0.045 0.060 0.337 0.410 0.138

2 4 2.432 5.423 7.378 1 0.626 0.025 0.108 0.347 0.531 0.184

2 5 2.901 4.214 8.399 1 0.384 0.015 0.180 0.365 0.650 0.237

2 6 3.622 3.391 9.210 1 0.156 0.010 0.270 0.393 0.749 0.295

812 7 3.892 2.828 9.210 1 0.156 0.010 0.270 0.472 0.749 0.354

1.0 2.0 2 2.217 11.827 0.451 2 1 2.014 2.363 3.219 1 1.345 0.200 0.014 0.759 0.558 0.423

2 2 2.180 1.614 7.013 1 0.703 0.030 0.090 0.755 0.820 0.619

2 3 2.811 1.259 9.210 0 1.273 0.010 0.270 0.838 0.948 0.795

2 4 4.162 1.107 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.911 0.992 0.904

2 5 4.703 1.041 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.969 0.992 0.961

2 6 5.243 1.018 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.990 0.992 0.982

2 7 5.784 1.011 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.997 0.992 0.989

2.0 2.0 2 2.615 11.827 0.382 2 1 2.007 2.019 1.935 1 1.521 0.380 0.007 0.848 0.584 0.495

2 2 2.072 1.546 5.181 1 1.042 0.075 0.036 0.816 0.792 0.647

2 3 2.324 1.277 7.378 1 0.626 0.025 0.108 0.864 0.907 0.783

2 4 3.081 1.130 9.210 0 1.273 0.010 0.270 0.907 0.976 0.885

2 5 3.351 1.062 9.210 0 1.273 0.010 0.270 0.965 0.976 0.942

2 6 5.243 1.025 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.979 0.997 0.976

2 7 5.784 1.010 10.597 0 0.698 0.005 0.541 0.993 0.997 0.990


0.0 0.5 3 26.118 11.827 0.038 3 1 3.018 63.712 3.794 2 0.776 0.150 0.018 0.247 0.063 0.016

3 2 3.360 38.007 8.399 1 0.786 0.015 0.180 0.074 0.354 0.026

3 3 4.622 23.850 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.057 0.734 0.042

3 4 5.162 16.002 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.085 0.734 0.062

3 5 5.703 11.561 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.118 0.734 0.086

3 6 6.243 8.811 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.155 0.734 0.113

3 7 6.784 6.996 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.195 0.734 0.143

0.0 1.0 3 2.875 11.827 0.348 3 1 3.049 9.108 5.801 1 1.262 0.055 0.049 0.315 0.349 0.110

3 2 3.360 4.357 8.399 1 0.786 0.015 0.180 0.365 0.629 0.230

3 3 4.622 2.635 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.420 0.904 0.379

3 4 5.162 1.869 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.592 0.904 0.535

3 5 5.703 1.512 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.731 0.904 0.661

3 6 6.243 1.328 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.833 0.904 0.753

823 7 6.784 1.228 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.901 0.904 0.815

0.0 2.0 3 1.007 11.827 0.993 3 1 3.054 1.335 5.991 1 1.232 0.050 0.054 0.856 0.875 0.749

3 2 3.541 1.055 9.210 1 0.593 0.010 0.270 0.965 0.982 0.948

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3 4 5.162 1.003 10.597 1 0.140 0.005 0.541 1.000 0.997 0.997

3 5 5.703 1.003 10.597 1 0.140 0.005 0.541 1.000 0.997 0.997

3 6 6.243 1.003 10.597 1 0.140 0.005 0.541 1.000 0.997 0.997

3 7 6.784 1.003 10.597 1 0.140 0.005 0.541 1.000 0.997 0.997

0.5 0.5 3 81.747 11.827 0.012 3 1 3.003 42.222 0.020 2 1.202 0.990 0.003 0.991 0.024 0.024

3 2 3.005 42.174 0.030 2 1.201 0.985 0.003 0.989 0.024 0.024

3 3 3.037 39.435 3.028 2 0.871 0.220 0.012 0.351 0.072 0.025

3 4 3.127 34.389 4.930 2 0.623 0.085 0.032 0.206 0.141 0.029

3 5 3.386 29.082 6.705 1 1.114 0.035 0.077 0.132 0.260 0.034

3 6 3.649 24.665 7.378 1 0.993 0.025 0.108 0.125 0.325 0.041

3 7 3.946 21.099 7.824 1 0.907 0.020 0.135 0.126 0.375 0.047

0.5 1.0 3 10.453 11.827 0.096 3 1 3.004 12.742 0.602 2 1.142 0.740 0.004 0.848 0.093 0.078

3 2 3.077 9.413 5.319 1 1.336 0.070 0.039 0.326 0.326 0.106

3 3 3.270 6.497 7.013 1 1.060 0.030 0.090 0.314 0.490 0.154

3 4 3.721 4.738 8.399 1 0.786 0.015 0.180 0.322 0.655 0.211

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3 6 4.622 2.918 9.210 1 0.593 0.010 0.270 0.453 0.757 0.343

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3 2 3.023 7.655 2.896 2 0.887 0.235 0.012 0.552 0.237 0.728

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3 4 3.309 4.522 6.705 1 1.114 0.035 0.077 0.397 0.557 0.926

3 5 3.541 3.621 7.378 1 0.993 0.025 0.108 0.438 0.631 0.967

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1.0 2.0 3 1.396 11.827 0.717 3 1 3.012 1.679 3.028 2 0.871 0.220 0.012 0.777 0.767 0.115

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3 3 3.324 1.180 7.378 1 0.993 0.025 0.108 0.905 0.936 0.171

3 4 4.081 1.079 9.210 1 0.593 0.010 0.270 0.942 0.983 0.221

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3 7 6.784 1.005 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.997 0.997 0.394

2.0 2.0 3 1.565 11.827 0.639 3 1 3.005 1.560 1.124 1 1.880 0.570 0.005 0.921 0.696 0.641

3 2 3.037 1.318 3.862 1 1.543 0.145 0.019 0.890 0.852 0.759

3 3 3.147 1.165 5.801 1 1.262 0.055 0.049 0.921 0.931 0.858

3 4 3.432 1.083 7.378 1 0.993 0.025 0.108 0.950 0.972 0.924

3 5 3.901 1.040 8.399 1 0.786 0.015 0.180 0.975 0.987 0.962

3 6 4.622 1.018 9.210 1 0.593 0.010 0.270 0.988 0.994 0.982

3 7 6.784 1.008 10.597 1 0.140 0.005 0.541 0.993 0.999 0.992


0.0 0.5 4 16.912 11.827 0.059 4 1 4.012 53.079 3.028 2 1.154 0.220 0.012 0.331 0.057 0.019

4 2 4.216 34.529 7.378 2 0.590 0.025 0.108 0.106 0.274 0.029

4 3 4.811 22.472 9.210 2 0.242 0.010 0.270 0.089 0.502 0.044

4 4 6.162 15.503 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.085 0.758 0.065

4 5 6.703 11.201 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.118 0.758 0.089

4 6 7.243 8.537 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.155 0.758 0.117

4 7 7.784 6.778 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.195 0.758 0.148

840.0 1.0 4 1.932 11.827 0.518 4 1 4.024 7.223 4.326 2 1.008 0.115 0.024 0.448 0.309 0.138

4 2 4.270 3.922 7.824 2 0.515 0.020 0.135 0.405 0.629 0.255

4 3 4.811 2.503 9.210 2 0.242 0.010 0.270 0.510 0.784 0.399

4 4 6.162 1.815 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.592 0.931 0.551

4 5 6.703 1.468 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.731 0.931 0.681

4 6 7.243 1.289 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.833 0.931 0.776

4 7 7.784 1.192 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.901 0.931 0.839

0.0 2.0 4 1.000 11.827 1.000 4 1 4.028 1.231 4.708 2 0.962 0.095 0.028 0.912 0.891 0.813

4 2 4.360 1.041 8.399 1 1.010 0.015 0.180 0.975 0.985 0.960

4 3 5.622 1.005 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.996 0.999 0.995

4 4 6.162 1.001 10.597 1 0.424 0.005 0.541 1.000 0.999 0.999

4 5 6.703 1.001 10.597 1 0.424 0.005 0.541 1.000 0.999 0.999

4 6 7.243 1.001 10.597 1 0.424 0.005 0.541 1.000 0.999 0.999

4 7 7.784 1.001 10.597 1 0.424 0.005 0.541 1.000 0.999 0.999

0.5 0.5 4 59.659 11.827 0.017 4 1 4.003 33.989 0.020 2 1.451 0.990 0.003 0.991 0.030 0.029

4 2 4.005 33.951 0.020 2 1.451 0.990 0.003 0.992 0.030 0.029

4 3 4.028 32.218 2.511 2 1.209 0.285 0.009 0.423 0.073 0.031

4 4 4.094 28.541 4.326 2 1.008 0.115 0.024 0.254 0.138 0.035

4 5 4.208 24.827 5.467 2 0.866 0.065 0.042 0.200 0.202 0.040

4 6 4.405 21.543 6.438 2 0.733 0.040 0.068 0.169 0.275 0.046

4 7 4.631 18.747 7.013 2 0.647 0.030 0.090 0.162 0.329 0.053

0.5 1.0 4 6.500 11.827 0.154 4 1 4.003 9.167 0.145 2 1.440 0.930 0.003 0.962 0.113 0.109

4 2 4.035 7.355 3.729 2 1.077 0.155 0.017 0.482 0.282 0.136

4 3 4.147 5.485 5.801 2 0.822 0.055 0.049 0.408 0.446 0.182

4 4 4.360 4.199 7.013 2 0.647 0.030 0.090 0.420 0.566 0.238

4 5 4.676 3.333 7.824 2 0.515 0.020 0.135 0.459 0.654 0.300

4 6 5.081 2.740 8.399 2 0.410 0.015 0.180 0.509 0.718 0.365

4 7 5.892 2.308 9.210 2 0.242 0.010 0.270 0.537 0.806 0.433

0.5 2.0 4 1.018 11.827 0.982 4 1 4.010 1.370 2.619 2 1.198 0.270 0.010 0.910 0.802 0.730

854 2 4.120 1.140 6.202 2 0.767 0.045 0.060 0.934 0.939 0.878

4 3 4.541 1.042 8.399 1 1.010 0.015 0.180 0.974 0.985 0.959

4 4 6.162 1.012 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.989 0.999 0.988

4 5 6.703 1.002 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.998 0.999 0.998

4 6 7.243 1.001 10.597 1 0.424 0.005 0.541 1.000 0.999 0.999

4 7 7.784 1.001 10.597 1 0.424 0.005 0.541 1.000 0.999 0.999

1.0 1.0 4 7.900 11.827 0.127 4 1 4.003 6.229 0.020 2 1.451 0.990 0.003 0.994 0.161 0.161

4 2 4.016 5.702 2.217 2 1.239 0.330 0.008 0.645 0.272 0.175

4 3 4.062 4.661 4.080 2 1.036 0.130 0.021 0.532 0.403 0.215

4 4 4.154 3.808 5.319 2 0.885 0.070 0.039 0.515 0.510 0.263

4 5 4.338 3.169 6.438 2 0.733 0.040 0.068 0.512 0.616 0.316

4 6 4.541 2.694 7.013 2 0.647 0.030 0.090 0.552 0.673 0.371

4 7 4.946 2.335 7.824 2 0.515 0.020 0.135 0.569 0.752 0.428

1.0 2.0 4 1.140 11.827 0.877 4 1 4.005 1.465 1.072 2 1.353 0.585 0.005 0.940 0.726 0.683

4 2 4.042 1.263 4.080 2 1.036 0.130 0.021 0.911 0.869 0.792

4 3 4.180 1.132 6.202 2 0.767 0.045 0.060 0.939 0.941 0.884

4 4 4.541 1.059 7.824 1 1.120 0.020 0.135 0.965 0.978 0.944

4 5 5.351 1.025 9.210 1 0.833 0.010 0.270 0.982 0.994 0.976

4 6 7.243 1.010 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.990 0.999 0.990

4 7 7.784 1.003 10.597 1 0.424 0.005 0.541 0.997 0.999 0.997

2.0 2.0 4 1.222 11.827 0.819 4 1 4.003 1.273 0.113 2 1.443 0.945 0.003 0.994 0.790 0.785

4 2 4.020 1.187 2.582 2 1.201 0.275 0.010 0.946 0.890 0.843

4 3 4.077 1.106 4.508 2 0.986 0.105 0.026 0.956 0.945 0.904

4 4 4.240 1.056 6.202 2 0.767 0.045 0.060 0.970 0.976 0.947

4 5 4.541 1.028 7.378 1 1.200 0.025 0.108 0.984 0.989 0.973

4 6 5.081 1.013 8.399 1 1.010 0.015 0.180 0.992 0.996 0.988

4 7 5.892 1.005 9.210 1 0.833 0.010 0.270 0.996 0.998 0.995


0.0 0.5 5 11.850 11.827 0.084 5 1 5.003 44.777 0.421 3 1.071 0.810 0.003 0.861 0.026 0.022

865 2 5.135 31.556 6.438 3 0.457 0.040 0.068 0.145 0.219 0.032

5 3 5.541 21.082 8.399 2 0.637 0.015 0.180 0.114 0.416 0.047

5 4 6.081 14.792 9.210 2 0.483 0.010 0.270 0.127 0.533 0.068

5 5 6.351 11.077 9.210 2 0.438 0.010 0.270 0.169 0.533 0.090

5 6 8.243 8.268 10.597 2 0.123 0.005 0.541 0.155 0.782 0.121

5 7 8.784 6.565 10.597 2 0.123 0.005 0.541 0.195 0.782 0.152

0.0 1.0 5 1.501 11.827 0.666 5 1 5.014 6.004 3.270 3 0.813 0.195 0.014 0.566 0.294 0.167

5 2 5.180 3.524 7.013 2 0.854 0.030 0.090 0.466 0.609 0.284

5 3 5.541 2.346 8.399 2 0.637 0.015 0.180 0.566 0.754 0.426

5 4 6.081 1.770 9.210 2 0.483 0.010 0.270 0.677 0.835 0.565

5 5 7.703 1.438 10.597 2 0.123 0.005 0.541 0.731 0.951 0.695

5 6 8.243 1.263 10.597 2 0.123 0.005 0.541 0.833 0.951 0.792

5 7 8.784 1.168 10.597 2 0.123 0.005 0.541 0.901 0.951 0.856

0.0 2.0 5 1.000 11.827 1.000 5 1 5.017 1.151 3.729 2 1.252 0.155 0.017 0.946 0.919 0.869

5 2 5.216 1.030 7.378 2 0.801 0.025 0.108 0.984 0.987 0.971

5 3 6.622 1.004 10.597 1 0.614 0.005 0.541 0.996 1.000 0.996

5 4 7.162 1.000 10.597 1 0.614 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

5 5 7.703 1.000 10.597 1 0.614 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

5 6 8.243 1.000 10.597 1 0.614 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

5 7 8.784 1.000 10.597 1 0.614 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

0.5 0.5 5 45.449 11.827 0.022 5 1 5.003 27.150 0.020 3 1.104 0.990 0.003 0.991 0.037 0.037

5 2 5.005 27.119 0.020 3 1.104 0.990 0.003 0.992 0.037 0.037

5 3 5.015 26.638 1.270 3 0.998 0.530 0.005 0.652 0.058 0.038

5 4 5.055 24.409 3.270 3 0.813 0.195 0.014 0.362 0.113 0.041

5 5 5.129 21.742 4.508 3 0.686 0.105 0.026 0.272 0.169 0.046

5 6 5.249 19.208 5.467 3 0.577 0.065 0.042 0.228 0.228 0.052

5 7 5.420 16.960 6.202 3 0.487 0.045 0.060 0.207 0.285 0.059

0.5 1.0 5 4.507 11.827 0.222 5 1 5.003 6.889 0.020 3 1.104 0.990 0.003 0.995 0.146 0.145

5 2 5.021 6.057 2.733 3 0.865 0.255 0.011 0.604 0.273 0.165

875 3 5.090 4.778 4.816 3 0.652 0.090 0.030 0.498 0.420 0.209

5 4 5.270 3.754 6.438 2 0.933 0.040 0.068 0.466 0.571 0.266

5 5 5.541 3.040 7.378 2 0.801 0.025 0.108 0.492 0.668 0.329

5 6 6.081 2.539 8.399 2 0.637 0.015 0.180 0.509 0.774 0.394

5 7 6.261 2.179 8.399 2 0.637 0.015 0.180 0.593 0.774 0.459

0.5 2.0 5 1.003 11.827 0.997 5 1 5.007 1.237 1.909 2 1.434 0.385 0.007 0.945 0.856 0.809

5 2 5.072 1.092 5.181 2 1.091 0.075 0.036 0.958 0.955 0.916

5 3 5.324 1.030 7.378 2 0.801 0.025 0.108 0.983 0.987 0.971

5 4 6.081 1.008 9.210 2 0.483 0.010 0.270 0.994 0.998 0.992

5 5 7.703 1.002 10.597 1 0.614 0.005 0.541 0.998 1.000 0.998

5 6 8.243 1.000 10.597 1 0.614 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

5 7 8.784 1.000 10.597 1 0.614 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

1.0 1.0 5 5.463 11.827 0.183 5 1 5.003 4.723 0.020 3 1.104 0.990 0.003 0.994 0.213 0.212

5 2 5.011 4.552 1.366 3 0.990 0.505 0.005 0.775 0.283 0.220

5 3 5.040 3.924 3.169 3 0.823 0.205 0.013 0.633 0.402 0.255

5 4 5.103 3.329 4.508 3 0.686 0.105 0.026 0.592 0.508 0.300

5 5 5.246 2.833 5.801 2 1.015 0.055 0.049 0.566 0.624 0.353

5 6 5.405 2.448 6.438 2 0.933 0.040 0.068 0.597 0.684 0.408

5 7 5.757 2.154 7.378 2 0.801 0.025 0.108 0.602 0.771 0.464

1.0 2.0 5 1.049 11.827 0.954 5 1 5.004 1.288 0.562 2 1.557 0.755 0.004 0.972 0.799 0.777

5 2 5.027 1.172 3.219 2 1.305 0.200 0.014 0.943 0.905 0.853

5 3 5.116 1.087 5.319 2 1.074 0.070 0.039 0.959 0.959 0.920

5 4 5.360 1.041 7.013 2 0.854 0.030 0.090 0.976 0.984 0.960

5 5 5.901 1.018 8.399 2 0.637 0.015 0.180 0.987 0.995 0.982

5 6 6.622 1.007 9.210 2 0.483 0.010 0.270 0.995 0.998 0.993

5 7 8.784 1.003 10.597 1 0.614 0.005 0.541 0.997 1.000 0.997

2.0 2.0 5 1.088 11.827 0.919 5 1 5.003 1.148 0.020 2 1.604 0.990 0.003 0.999 0.872 0.871

5 2 5.013 1.111 1.808 2 1.443 0.405 0.007 0.971 0.927 0.900

5 3 5.049 1.064 3.604 2 1.265 0.165 0.016 0.974 0.965 0.940

885 4 5.135 1.034 5.051 2 1.106 0.080 0.034 0.983 0.983 0.967

5 5 5.338 1.017 6.438 2 0.933 0.040 0.068 0.990 0.993 0.983

5 6 5.649 1.008 7.378 2 0.801 0.025 0.108 0.995 0.997 0.992

5 7 6.261 1.004 8.399 2 0.637 0.015 0.180 0.997 0.999 0.996


0.0 0.5 6 8.790 11.827 0.114 6 1 6.003 37.950 0.421 4 0.824 0.810 0.003 0.861 0.031 0.026

6 2 6.098 28.311 5.801 3 0.732 0.055 0.049 0.179 0.197 0.035

6 3 6.405 19.619 7.824 3 0.476 0.020 0.135 0.136 0.375 0.051

6 4 7.081 14.058 9.210 3 0.249 0.010 0.270 0.127 0.561 0.071

6 5 7.351 10.528 9.210 3 0.249 0.010 0.270 0.169 0.561 0.095

6 6 9.243 8.073 10.597 2 0.316 0.005 0.541 0.155 0.801 0.124

6 7 9.784 6.409 10.597 2 0.316 0.005 0.541 0.195 0.801 0.156

0.0 1.0 6 1.279 11.827 0.782 6 1 6.011 4.983 2.773 3 1.033 0.250 0.011 0.628 0.320 0.201

6 2 6.120 3.171 6.202 3 0.686 0.045 0.060 0.532 0.593 0.315

6 3 6.405 2.214 7.824 3 0.476 0.020 0.135 0.606 0.745 0.452

6 4 7.081 1.702 9.210 2 0.651 0.010 0.270 0.677 0.868 0.588

6 5 8.703 1.417 10.597 2 0.316 0.005 0.541 0.731 0.965 0.706

6 6 9.243 1.244 10.597 2 0.316 0.005 0.541 0.833 0.965 0.804

6 7 9.784 1.150 10.597 2 0.316 0.005 0.541 0.901 0.965 0.869

0.0 2.0 6 1.000 11.827 1.000 6 1 6.011 1.099 2.813 3 1.029 0.245 0.011 0.969 0.938 0.910

6 2 6.154 1.021 6.705 2 1.041 0.035 0.077 0.988 0.991 0.979

6 3 6.811 1.003 9.210 2 0.651 0.010 0.270 0.998 0.999 0.997

6 4 8.162 1.000 10.597 2 0.316 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

6 5 8.703 1.000 10.597 2 0.316 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

6 6 9.243 1.000 10.597 2 0.316 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

6 7 9.784 1.000 10.597 2 0.316 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

0.5 0.5 6 35.755 11.827 0.028 6 1 6.003 22.788 0.020 4 0.854 0.990 0.003 0.991 0.044 0.044

6 2 6.005 22.762 0.020 4 0.854 0.990 0.003 0.992 0.044 0.044

6 3 6.011 22.676 0.575 4 0.812 0.750 0.004 0.826 0.053 0.044

896 4 6.048 21.293 2.983 3 1.014 0.225 0.012 0.397 0.118 0.047

6 5 6.104 19.156 4.080 3 0.911 0.130 0.021 0.311 0.168 0.052

6 6 6.203 17.075 5.051 3 0.813 0.080 0.034 0.259 0.226 0.059

6 7 6.344 15.198 5.801 3 0.732 0.055 0.049 0.233 0.282 0.066

0.5 1.0 6 3.374 11.827 0.296 6 1 6.003 5.526 0.020 3 1.260 0.990 0.003 0.995 0.182 0.181

6 2 6.017 5.027 2.248 3 1.079 0.325 0.008 0.670 0.297 0.199

6 3 6.065 4.094 4.159 3 0.904 0.125 0.022 0.564 0.433 0.244

6 4 6.180 3.342 5.627 3 0.751 0.060 0.045 0.535 0.559 0.299

6 5 6.386 2.784 6.705 3 0.625 0.035 0.077 0.545 0.659 0.359

6 6 6.649 2.372 7.378 3 0.538 0.025 0.108 0.583 0.723 0.422

6 7 7.261 2.067 8.399 3 0.389 0.015 0.180 0.593 0.816 0.484

0.5 2.0 6 1.000 11.827 1.000 6 1 6.005 1.144 1.124 3 1.173 0.570 0.005 0.975 0.896 0.874

6 2 6.045 1.064 4.241 3 0.896 0.120 0.023 0.975 0.964 0.940

6 3 6.232 1.022 6.705 2 1.041 0.035 0.077 0.988 0.991 0.979

6 4 6.721 1.006 8.399 2 0.795 0.015 0.180 0.996 0.998 0.994

6 5 7.351 1.002 9.210 2 0.651 0.010 0.270 0.999 0.999 0.998

6 6 9.243 1.000 10.597 2 0.316 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

6 7 9.784 1.000 10.597 2 0.316 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

1.0 1.0 6 4.062 11.827 0.246 6 1 6.003 3.828 0.020 3 1.260 0.990 0.003 0.994 0.263 0.261

6 2 6.009 3.749 0.956 3 1.186 0.620 0.004 0.842 0.317 0.267

6 3 6.031 3.325 2.656 3 1.043 0.265 0.010 0.694 0.433 0.301

6 4 6.077 2.886 3.932 3 0.926 0.140 0.019 0.649 0.534 0.347

6 5 6.159 2.520 4.930 3 0.826 0.085 0.032 0.642 0.618 0.397

6 6 6.295 2.227 5.801 3 0.732 0.055 0.049 0.648 0.693 0.449

6 7 6.473 1.995 6.438 3 0.658 0.040 0.068 0.672 0.746 0.501

1.0 2.0 6 1.016 11.827 0.984 6 1 6.003 1.160 0.020 3 1.260 0.990 0.003 0.999 0.863 0.862

6 2 6.017 1.111 2.310 3 1.074 0.315 0.009 0.970 0.928 0.900

6 3 6.071 1.060 4.326 3 0.887 0.115 0.024 0.976 0.967 0.943

6 4 6.240 1.029 6.202 2 1.104 0.045 0.060 0.983 0.988 0.971

906 5 6.541 1.013 7.378 2 0.950 0.025 0.108 0.992 0.995 0.987

6 6 7.081 1.005 8.399 2 0.795 0.015 0.180 0.997 0.998 0.995

6 7 7.892 1.002 9.210 2 0.651 0.010 0.270 0.999 0.999 0.998

2.0 2.0 6 1.034 11.827 0.967 6 1 6.003 1.071 0.020 3 1.260 0.990 0.003 0.999 0.935 0.934

6 2 6.009 1.061 1.005 3 1.182 0.605 0.004 0.989 0.953 0.943

6 3 6.031 1.038 2.656 3 1.043 0.265 0.010 0.987 0.976 0.963

6 4 6.086 1.022 4.159 3 0.904 0.125 0.022 0.991 0.988 0.979

6 5 6.208 1.011 5.467 2 1.191 0.065 0.042 0.994 0.995 0.989

6 6 6.463 1.005 6.705 2 1.041 0.035 0.077 0.997 0.998 0.995

6 7 6.757 1.002 7.378 2 0.950 0.025 0.108 0.999 0.999 0.998


0.0 0.5 7 6.811 11.827 0.147 7 1 7.003 32.238 0.030 4 1.011 0.985 0.003 0.989 0.031 0.031

7 2 7.064 25.566 4.930 4 0.612 0.085 0.032 0.238 0.165 0.039

7 3 7.270 18.352 7.013 4 0.389 0.030 0.090 0.173 0.314 0.054

7 4 7.721 13.348 8.399 3 0.549 0.015 0.180 0.159 0.471 0.075

7 5 8.351 10.047 9.210 3 0.418 0.010 0.270 0.169 0.588 0.100

7 6 10.243 7.890 10.597 3 0.110 0.005 0.541 0.155 0.820 0.127

7 7 10.784 6.264 10.597 3 0.110 0.005 0.541 0.195 0.820 0.160

0.0 1.0 7 1.157 11.827 0.864 7 1 7.008 4.230 2.043 4 0.861 0.360 0.008 0.723 0.327 0.236

7 2 7.090 2.893 5.627 3 0.890 0.060 0.045 0.581 0.595 0.346

7 3 7.324 2.083 7.378 3 0.689 0.025 0.108 0.638 0.752 0.480

7 4 7.721 1.644 8.399 3 0.549 0.015 0.180 0.725 0.839 0.608

7 5 8.351 1.390 9.210 3 0.418 0.010 0.270 0.800 0.899 0.719

7 6 10.243 1.232 10.597 3 0.110 0.005 0.541 0.833 0.974 0.811

7 7 10.784 1.139 10.597 3 0.110 0.005 0.541 0.901 0.974 0.878

0.0 2.0 7 1.000 11.827 1.000 7 1 7.008 1.063 2.158 3 1.209 0.340 0.008 0.982 0.958 0.940

7 2 7.098 1.014 5.801 3 0.872 0.055 0.049 0.993 0.993 0.986

7 3 7.541 1.002 8.399 3 0.549 0.015 0.180 0.999 0.999 0.998

7 4 9.162 1.000 10.597 2 0.461 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

917 5 9.703 1.000 10.597 2 0.461 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

7 6 10.243 1.000 10.597 2 0.461 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

7 7 10.784 1.000 10.597 2 0.461 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

0.5 0.5 7 28.848 11.827 0.035 7 1 7.003 19.310 0.020 4 1.012 0.990 0.003 0.991 0.052 0.052

7 2 7.005 19.288 0.020 4 1.012 0.990 0.003 0.992 0.052 0.052

7 3 7.009 19.259 0.222 4 0.998 0.895 0.003 0.929 0.056 0.052

7 4 7.031 18.371 2.100 4 0.857 0.350 0.008 0.529 0.103 0.054

7 5 7.073 16.864 3.375 4 0.752 0.185 0.015 0.387 0.153 0.059

7 6 7.141 15.265 4.326 4 0.668 0.115 0.024 0.322 0.204 0.066

7 7 7.236 13.755 5.051 4 0.600 0.080 0.034 0.289 0.251 0.073

0.5 1.0 7 2.675 11.827 0.374 7 1 7.003 4.463 0.020 4 1.012 0.990 0.003 0.995 0.225 0.224

7 2 7.012 4.240 1.597 4 0.896 0.450 0.006 0.763 0.309 0.236

7 3 7.046 3.605 3.486 4 0.743 0.175 0.015 0.636 0.436 0.277

7 4 7.120 3.033 4.816 4 0.623 0.090 0.030 0.609 0.542 0.330

7 5 7.300 2.574 6.202 3 0.828 0.045 0.060 0.585 0.664 0.389

7 6 7.541 2.223 7.013 3 0.734 0.030 0.090 0.611 0.737 0.450

7 7 7.946 1.958 7.824 3 0.631 0.020 0.135 0.632 0.807 0.511

0.5 2.0 7 1.000 11.827 1.000 7 1 7.004 1.089 0.643 3 1.327 0.725 0.004 0.988 0.929 0.918

7 2 7.031 1.041 3.486 3 1.096 0.175 0.015 0.985 0.976 0.960

7 3 7.147 1.015 5.801 3 0.872 0.055 0.049 0.993 0.993 0.986

7 4 7.541 1.004 7.824 3 0.631 0.020 0.135 0.997 0.998 0.996

7 5 8.351 1.001 9.210 2 0.779 0.010 0.270 0.999 1.000 0.999

7 6 10.243 1.000 10.597 2 0.461 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

7 7 10.784 1.000 10.597 2 0.461 0.005 0.541 1.000 1.000 1.000

1.0 1.0 7 3.190 11.827 0.313 7 1 7.003 3.139 0.020 4 1.012 0.990 0.003 0.994 0.320 0.319

7 2 7.007 3.122 0.397 4 0.985 0.820 0.003 0.934 0.343 0.320

7 3 7.023 2.877 2.043 4 0.861 0.360 0.008 0.768 0.452 0.348

7 4 7.055 2.569 3.270 4 0.761 0.195 0.014 0.716 0.544 0.389

7 5 7.113 2.293 4.241 4 0.676 0.120 0.023 0.703 0.620 0.436

927 6 7.216 2.063 5.181 4 0.587 0.075 0.036 0.698 0.695 0.485

7 7 7.378 1.868 5.991 3 0.851 0.050 0.054 0.705 0.760 0.535

1.0 2.0 7 1.005 11.827 0.995 7 1 7.003 1.094 0.020 3 1.374 0.990 0.003 0.999 0.915 0.914

7 2 7.013 1.071 1.711 3 1.245 0.425 0.006 0.982 0.951 0.934

7 3 7.049 1.039 3.604 3 1.085 0.165 0.016 0.985 0.977 0.962

7 4 7.144 1.020 5.181 3 0.936 0.075 0.036 0.991 0.990 0.981

7 5 7.386 1.009 6.705 3 0.771 0.035 0.077 0.995 0.996 0.991

7 6 7.811 1.004 7.824 3 0.631 0.020 0.135 0.997 0.999 0.996

7 7 8.892 1.002 9.210 2 0.779 0.010 0.270 0.999 1.000 0.998

2.0 2.0 7 1.012 11.827 0.988 7 1 7.003 1.037 0.020 3 1.374 0.990 0.003 0.999 0.966 0.965

7 2 7.007 1.034 0.523 3 1.336 0.770 0.004 0.995 0.972 0.967

7 3 7.022 1.022 1.962 3 1.224 0.375 0.007 0.993 0.985 0.978

7 4 7.057 1.013 3.321 3 1.110 0.190 0.014 0.995 0.993 0.988

7 5 7.135 1.007 4.605 3 0.993 0.100 0.027 0.997 0.997 0.993

7 6 7.270 1.003 5.627 3 0.890 0.060 0.045 0.998 0.998 0.997

7 7 7.541 1.002 6.705 3 0.771 0.035 0.077 0.999 0.999 0.998

moiz es da silva melo€¦ · em larga escala. como consequ^encia disso e cada vez maior a...

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