SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 28/02/200

Assinatura: -...}1f\- LI‘ .414 •41.1•'' 30 I'

Módulo Canônico de Anéis de Gorenstein

Luciene Nogueira*

Orientador: Prof Dr. Daniel Leveovitz

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Mestre em Matemática.

USP — São Carlos Março/2001

Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES

A Comissão Julgadora:

Prof Dr. Daniel Levcovitz

Prof Dr. Paulo Roberto Brumaili

Prof Dr. Aron Simis

G~^,L LG~-~Ixt~

"Aos Meus Pais."

"O fruto da oração é o aprofundamento da fé. O fruto da fé é o amor.

E o fruto do amor é o serviço ao próximo. Isso nos conduz a Paz."

Madre Teresa de Calcutá

Agradecimentos

À Deus por me amar gratuitamente e por realizar grandes feitos em minha

vida. "Minha alma glorifica ao Senhor e exulta meu espírito em Deus, meu Salvador." (Lc

1,46-47)

Ao prof. Daniel, pela dedicação, orientação, atenção, paciência e principal-

mente por acreditar em mim.

Aos meus pais, Antonio Carlos e Maria do Carmo, pela oportunidade de estu-

do, dedicação, preocupação, apoio, incentivo e amor. Aos meus irmãos, Luciano e Lidiane, pela força.

Ao meu amado e amigo Du, por não me deixar desanimar; muito obrigada

pelo amor, carinho, dedicação, compreensão, paciência e incentivo. Aos amigos do Proje-

to Universidades Renovadas pela força e oração. Aos amigos, Sil (companheira e irmã),

Dani (atenção e doçura), Andréa (apoio e força), Má (carinho e preocupação), Vera (sin-

ceridade e pureza), Zé (alegria e incentivo), Ftomário (não há tempo ruim!), Mi ("Vamos

à luta, filhos da Pátria!"), Ires (atenção e preocupação), Rubinha, Luciana, Andréa (Ca-

rioquinha). À banda "Louvai ao Senhor". Aos professores do Ibilce, em especial, às minhas tutoras: Teresa Udo e Maria

Aparecida; às responsáveis por eu gostar tanto de Álgebra: Ermínia e Neuza. Também a

todos que participaram comigo do PET, os quais me ajudaram a crescer.

Aos professores e funcionários do ICMC e ao prof. Paulo Brumatti pela

atenção e ajuda. E a todos que de uma forma ou de outra contribuíram para a realização deste

trabalho.

Resumo

Nesta dissertação damos a definição e provamos algumas propriedades

básicas de anéis de Cohen-Macaulay, Anéis de Gorenstein e Módulos Canônicos. Em

particular, mostramos que o módulo canônico de um anel de Gorenstein local é o próprio

anel.

Abstract

In this dissertation we define and show some basic properties of Cohen-

Macaulay rings, Gorenstein rings and canonical module. In particular, we show that the

canonical module of Gorenstein rings is the ring itself.

Sumário

1 Preliminares 3

1.1 Seqüências Regulares 3

1.2 Grau e Profundidade 6

1.3 Profundidade e Dimensão 9

1.4 Profundidade e Tipo 10

1.5 Extensão trivial 13

1.6 Complexo de Koszul 14

1.6.1 O Complexo de Koszul de uma Seqüência 17

1.6.2 Complexo de Koszul e Grau 23

2 Anéis de Cohen-Macaulay 26

1

3 Módulos Finitamente Gerados de Dimensão Injetiva Finita e Dual- idade de Matlis 31

3.1 Módulos Finitamente Gerados de Dimensão Injetiva Finita 31

3.1.1 Dimensão Injetiva 36

3.1.2 Anéis de Gorenstein 45

3.2 Envoltória Injetiva e Dualidade de Matlis 46

3.2.1 Envoltória Injetiva 46

3.2.2 Números de Bass 55

3.2.3 Dualidade de Matlis 57

4 O Módulo Canônico 64

4.1 Existência do Módulo Canônico 70

11

Introdução

O objetivo dessa dissertação foi estudar detalhadamente alguns tópicos de Álgebra

Comutativa que, em geral, não são cobertos num primeiro curso.

Para isso, escolhemos o texto "Cohen-Macaulay Rings" de Bruns e Herzog e lemos,

quase que totalmente, os dois primeiros capítulos e cerca de metade do terceiro

capítulo. Com isso fomos capazes de aprender um material que, embora básico na

teoria, está longe de ser trivial. A meta final que nos propusemos foi mostrar que o

módulos canônico de um anel de Gorenstein é o próprio anel (ver capítulo 4).

A seguir descrevemos o conteúdo de cada capítulo.

No primeiro capítulo, são introduzidos algumas definições e resultados básicos

sobre seqüências regulares, grau e profundidade. Também algumas relações entre

profundidade e dimensão de ICrull e entre profundidade e o tipo de um módulo. Vere-

mos que sob determinadas hipóteses, o grau de um ideal 1 = (x), onde x = x1,.. ,

é uma seqüência de elementos de um anel R. pode ser determinado da homologia

de K. (x) ® M, onde K. (x) é o complexo de Koszul de x. Isto torna o complexo de

Koszul uma ferramenta muito importante.

Definimos anéis e módulos de Cohen-Macaulay no capítulo 2, e mostramos que é

uma propriedade estável sob especialização e localização.

No capítulo 3, introduzimos anéis de Gorenstein e mostramos que eles são anéis de

Cohen-Macaulay. Veremos que todo módulo M pode ser mergulhado em um módulo

1

injetivo, que tal mergulho pode ser escolhido de forma minimal e, neste caso, é único,

a menos de isomorfismo. Este mergulho minimal é chamado de Envoltória injetiva

de M. E no final do capítulo, veremos que o funtor HornR(—, E), onde (R, tu, k) é

uma anel Noetheriano local e E é a Envoltória injetiva de k, estabelece uma relação

de anti-equivalência entre a categoria de R-módulos Artinianos e a categoria de R-

módulos finitamente gerados. Este resultado é conhecido como a dualidade de Matlis.

Finalmente, no capítulo 4, veremos que todo anel de Cohen-Macaulay que é uma

imagem homomórfica de um anel de Gorenstein possui módulo canônico. E se o anel

é Gorenstein, ele próprio é seu módulo canônico.

2

Capítulo 1

Preliminares

Este capítulo tem como objetivo introduzir notação e apresentar alguns resultados

básicos sobre seqüências regulares, grau, profundidade, tipo de um módulo e algumas

propriedades do Complexo de Koszul. Algumas demonstrações serão omitidas, mas

são encontradas na literatura. Nesta dissertação, salvo menção contrária, todos os anéis são comutativos com

unidade.

1.1 Seqüências Regulares

Seja M um módulo sobre um anel R. Dizemos que x ERé um elemento M-regular

se xz = O para z E M implica z = O, em outras palavras, se x não é divisor de zero

em M.

3

Definição 1.1 Uma seqüência x = x1,.. . , x, de elementos de R é chamada uma

seqüência M-regular ou simplesmente uma M-seqüência se as seguintes condições estão

satisfeitas:

(i) xj é um elemento M/(xi,... x_i)M-regular para i = 1,.... n, e

(ii) M/xM 0 O.

Uma seqüência regular é uma R-seqüência. Se somente a condição (i) da defi-

nição está satisfeita dizemos que x é uma M-seqüência fraca.

Muitas vezes consideraremos R um anel local com ideal maximal m, e M $ O um

R-módulo finitamente gerado. Se x c m, então a condição (ii) é automaticamente

satisfeita pelo Lema de Nakayama.

Um exemplo clássico de seqüência regular é a seqüência X1,... , X,2 de indetermi-

nadas em um anel de polinômios R = S[X1,. ... X,].

A proposição seguinte contém uma condição sob a qual uma seqüência regular

torna-se regular quando o módulo ou o anel é estendido.

Proposição 1.2 Seja Ruma anel, M um R-módulo e c R uma M-seqüência fraca.

Suponha W : R -+ 8 um homornorfismo de anéis, e N um 8-módulo plano sobre R.

Então, x R eça(x) c 8 são (M®RN)-seqüências fracas. Sex(M®nN) 54 MORN,

então x e w(x) são (M OR N)-seqüências.

Dem.

É suficiente mostrarmos para x pois em M ®ft N, multiplicação por xj e multipli-

cação por W(xj) é a mesma operação.

Como x1 é regular, a homotetia x1 : M -* M é injetiva, daí x1 0 N é injetiva,

pois N é plano. Mas, x1 o N é a multiplicação por x1 em M o N, Assim, x1 é um

elemento (M o N)-regular. Agora, note que (M o N)/x1(M o N) (M/xi M) o N

e assim um argumento indutivo completa a demonstração. a

4

O caso mais importante da proposição acima é dado no seguinte corolário:

Corolário 1.3 Seja R um anel Noetheri ano, M um R-módulo finitamente gerado e

x uma M-seqüência. Suponha que um ideal primo p E Supp M contém x. Então, x

(como um seqüência em 14) é uma Mrseqüência.

A relação entre seqüências regulares e invariantes homológicos é uma das principais

preocupações desta dissertação. Assim a próxima proposição é muito importante.

Proposição 1.4 Seja R uma anel, M um R-módulo e x uma M-seqüência fraca.

Então, a seqüência exata de R-módulos

C. wo , : N2 W2' N1 0 IVI U

induz uma seqüência exata

: N2IxN2 NolxN0 —. M IxM O

Dem.

É suficiente mostrarmos o caso em que a seqüência x consiste de apenas um

elemento M-regular; digamos x. Note que C./xC. = C.ORI(x). Desde que o produto

tensorial é exato à direita, precisamos somente verificar a exatidão em Ni/x.NI . Seja

a notação para classes de resíduos módulo x. Se cpi (y) = O, então cpi(y) = xz para

algum z E No e xcpo(z) = O. Como x é regular, temos que cpo(z) = O; daí existe y' E N1

com z = cpi(y'). Assim, segue que cpi (y — xV) = O. Portanto, y — xy' E cp2(N2), e

Y E 952(R2)-

1.2 Grau e Profundidade

Seja R um anel Noetheriano e M um R-módulo. Se x = xl, xn, é uma M- seqüência, então a seqüência (x1) C (ri, x2) C • • • C (x1, , xn) é estritamente

ascendente por razões óbvias. Assim, uma M-seqüência pode ser estendida a: uma

seqüência maximal: uma M-seqüência x (contida em um ideal /) é maximal (em /),

se xl, , x"1 não é uma M-seqüência para todo xn+i E R (xn±i E I).

Em conexão com seqüências regulares, módulos sobre um anel Noetheriano finita-

mente gerados são importantes por duas razões: primeiro, todo divisor de zero de M

está contido em um ideal primo associado a M, e, segundo, o números destes ideais

primos é finito. Esses dois fatos juntos resultam na proposição abaixo, muito útil na

teoria de anéis comutativos.

Proposição 1.5 Seja R um anel Noetheriano e M um R-módulo finitamente gerado.

Se um ideal I C R consiste de divisores de zero de M, então I c p para algum

p E Ass M.

Lema 1.6 Seja R um anel, M e N R-módulos e x = x1,. , xn uma M-seqüência

fraca em Ann N. Então

H omR(N, M xM) ExtnR(N, M).

Dem.

A demonstração será feita por indução sobre TI e o caso ri = O está satisfeito por

vacuidade. Suponha ri > 1 e seja x' = xl, , xn_i. Então, por hipótese de indução

temos que ExtnR-1(N, M) r=d HomR(N, M/x1M). Como xn é (M/x/M)-regular e

xn E Ann N, Extr(N, M) = HomR(N, Mixt M) = O. Portanto, a seqüência exata

O -M- 4- M- MIX1M O

induz uma seqüência

O E xtnR-1 (N, M xiM) ExtnR(N, M) ExtnR(N, M) O.

A aplicação yo é a multiplicação por x1 "herdada" de M, mas multiplicação por x1 em

N também induz a aplicação yo (ver [2] Teorema 7.16). Como x1 E Ann N, temos que

ço = O. Assim, 7,/) é um isomorfismo, e uma segunda aplicação da hipótese de indução

completa a demonstração.

Teorema 1.7 (Rees). Seja 12 um anel Noetheriano. M um 12-módulo finitamente

gerado e I um ideal tal que IM M. Então toda M-seqüência maximal em I tem o

mesmo comprimento n dado por

n = mim{i : Ex (R1 I , 0}.

Dem. Ver [1] cap.1 Teorema 1.2.5.

Definição 1.8 Seja R uma anel Noetheriano, M um R-módulo finitamente gerado

e I um ideal tal que /M M. Então o comprimento comum das M-seqüências

maximais em I é chamado o grau de I em M, denotado por

grau(I,M).

Definição 1.9 Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local e M um R-módulo finita-

mente gerado. Então o grau de m em M é chamado de profundidade de Mi, denotado

Prof M.

Teorema 1.10 Seja (R,m,k) um anel Noetheriano local e M um R-módulo finita-

mente gerado não nulo. Então prof M = rnin{i Ext(k, M) 7É O}.

Dem. Resulta de 1.7.

A próxima proposição nos dá algumas fórmulas muito úteis para o cálculo de

graus. (V(I) denota a variedade de 1.)

Proposição 1.11 Seja 1? um anel Noetheriano, 1, J ideais de R e M um R-módulo

finitamente gerado. Então,

(a) grau(I, M) = inf{prof M : p E V(I)},

(b) grau(I, M) = grau(/I, M),

(c) grau(I n J, M) = mirn{grau(J, M), grau(J, M)}

(d) se = x1, . ... x, é uma M-seqiiência em 1, então grau(I/(x), M/xM) =

grau(I, M/xM) = grau(I, M) - ri,

(e) se N é um R-módulo finitamente gerado com Supp N = V(I), então

grau(I, M) = inf{i Extk(N, M) 7É 0}.

8

Dem. Ver [1] cap.1 Proposição 1.2.10.

Definição 1.12 Seja R um anel Noetheriano e M um R-módulo finitamente gerado

não nulo. Então o grau de M é dado por

grau M = min{i : ExtiR(M, R) 0}.

Por razões sistemáticas o grau de módulo (0) é infinito.

Segue de 1.11(e) que grau M = grau(Ann M, R).

1.3 Profundidade e Dimensão

Proposição 1.13 Seja (R, m) um anel Noetheriano local e M O um R-módulo finitamente gerado. Então toda M-seqüência é parte de um sistema de parâmetros de M. Em particular, prof M < dim M.

Dem. Ver [1], Proposição 1.2.12. •

Esta desigualdade pode ser refinada:

Proposição 1.14 Sob as mesmas hipóteses da proposição anterior, temos prof M < dim R/p para todo p E Ass M.

Dem. Ver [1], Proposição 1.2.13. e

1.4 Profundidade e Tipo

Definição 1.15 Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local e M um R-módulo finita-mente gerado, não nulo de profundidade t. O número r(M) = dimkExt(k,M) é chamado de tipo de M.

Proposição 1.16 Seja ço : (R,m,k) (S, n, 1) um homomorfisrno de anéis Noethe-

rianos locais. Suponha M um R-módulo finitamente gerado, e N um 8-módulo que é

plano sobre R. Então

(a) profs M 0R N =profR M +profs NImN,

(b) rs (A/ OR N) = rR(M) • rs(NlmN).

Dem. A demonstração será feita por redução ao caso de profundidade O. Precisaremos

do seguinte lema:

Lema 1.17 Sob as mesmas hipóteses de 1.16 temos os seguintes resultados:

(a) dimi Horns (1,M N) = dimk HomR(k, M) • dimi Homs(1, NImN),

(b) se y é uma (NlmN)-seqüência em S, então y é uma (M OR N)-seqüência e

NlyN é plano sobre R.

10

D em.

(a) Seja T = S/mS. Existe um isomorfismo natural

(2) Horns(1, Horns(T, M ® N)) Homg(1, M 0 N),

pois os módulos em ambos os lados podem ser identificados com o sub-módulo U =

{z E M 0 N : nz = O} de M o N. Como N é plano sobre R, temos o isomorfismo

natural

Horrtg(T, M o N) = Ho'mg(k oS, M o N) Horn ft(k, M) o N.

Agora, HomR(k, M) k8 para algum s > O, e então Horris(k, M) o N (N/mN)3 .

E assim, usando (2), temos a equação procurada.

(b) Note que para todo ideal J c 5 temos o isomorfismo natural (M®N)/J(M®

N) M o (N/JN). Portanto, podemos usar indução sobre o comprimento n de y,

e somente o caso ri = 1, y = y necessita de justificação.

Pelo teorema da intersecção de Krull temos que fl0 m(Mo N) = O. Suponha

que yz = O para algum E MoN. Se z 0 O, então existe tal que z E

N) \ m'(M o N), e y será um divisor de zero em m(M O N)/m'(M O N). Além

disso, considere o mergulho mM -+ M. Como N é plano, a aplicação induzida

m(M o N) —+ (M o N) também é injetiva, e sua imagem é m(M O N). O mesmo

raciocínio para e novamente a platitude resultam o isomorfismo

m(M o N)/m'(M o N) (ruM/m 1M) o N kt O N (N/mN)t

para algum t > O. Como y é regular em N/mN, y deve ser regular em m(M o N)/m 1(M O N).

Agora para a platitude de N/yN é suficiente considerar a seqüência exata

O — M1 — M2 -' M3 -- O

de R-módulos finitamente gerados. Por hipótese

O — M1 0N—.- M2 oN-- M3 oN-- O

11

é também exata. Como foi mostrado anteriormente, y é regular em M3 Ø N, e

(M3 ® N)/y(M3 ® N) M3 ® N/yN. Daí, 1.4 resulta a exatidão de

0—.-M1 ®N/yN—.-M2 ®N/yN---.-M3 0N/yN—.-0. . Dem. da Proposição 1.16. Seja x = x1,.... X, uma M-seqüência maximal, e y =

y,.... y,, uma N/mN-seqüência maximal. Primeiro, por 1.2, w(x) = ...... .... ço(xm)

é uma (M ® N)-seqüência. Segundo, por 1.17, y é uma (M ® N)-seqüência, onde

M = M/xM. Desde que M 0 N (M o N)/ço(x)(M o N), segue que ((x), y) é

uma (M 0 N)-seqüência.

Seja N' = N/yN. Então N'/mNt (N/mN)/y(N/mN), e

(MØN)/(q'(x),y)(M®N) M®N'.

Uma aplicação de 1.6, portanto, nos dá os isomorfismos

Horn(k, M) Ext(k, M), Horns(l, N'/mN') Ext(1, N/mN),

Homs(l, Ü® N') Extr"(l, M o N). A parte (a) de 1.17 implica que dirn j Ext+m(1, M o N) tem a dimensão requerida

em (b) e em particular não nula. Junto com o fato de que (x),y é uma (Me N)-

seqüência, isso prova que prof (M o N) = rn + ii.

O tipo de um módulo de profundidade o é seu "socle":

Definição 1.18 Seja M um módulo sobre um anel local (R, m, k). Então,

Soe M = (O m)M HOmR(k, M)

é chamado de sode de M.

12

Lema 1.19 Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local, M um R-módulo finitamente

gerado e x uma M-segiiência maximal. Então r(M) = dimk Soc(M IxM).

Dem.

Por definição, r(M) = dinik Ext(k, M), onde t é profundidade de M. Mas, como

foi verificado na demonstração de 1.16 que H crm,R(k, M I xM) Ext(k, M), segue

que r(M) = dimk Soc(MIxM).

1.5 Extensão trivial

Definição 1.20 Seja Rum anel e M um R-módulo. Construímos um anel R*M D R,

chamada de extensão trivial de R por M.

Como um R-módulo, R*M é justamente a soma direta de R e M. A multiplicação

é definida por

(a, x)(6, = (ah, ay + bx)

para todo a, bERex, yEM.

As seguintes propriedades não são difíceis de serem verificadas.

Propriedades

(a) Se (R, m) é local, então R * M é local com ideal maximal m * M = {(a, x) E

R*M : a E m}.

(b) Se R é Noetheriano e M é um R-módulo finitamente gerado, então R * M é

Noetheriano e dim R = dim R * M.

13

1.6 Complexo de Koszul

Todos os resultados desta seção são encontrados em [1]; e os resultados fundamen-

tais para este trabalho são a Proposição 1.27 e o Teorema 1.33, juntamente com seu

corolário 1.35. O leitor que ãssim quiser pode simplesmente observar estes resultados,

omitindo assim a leitura completa desta seção.

Seja R um anel, L um R-módulo e f L -+ R um aplicação R-linear. A

associação

(XI, xn) 1-). E( -1) +1 f (Xi)Xi A • • • A A • • • A Xn•

define uma aplicação alternada ri-linear Ln -+ /Cl L. (Por "X-i, estamos indicando que

xi foi omitido do produto exterior). Pela propriedade universal da n-ésima potência (n) n exterior existe uma aplicação R-linear cif : A L - An-1 E com+

C1(11) (X A • • • A xn) = ( - (xi)xi A • • • A j A • • • A xn f 1 i=1

quaisquer que sejam xl, , xn E L. A coleção de aplicações dfn) define um R-

homomorfismo graduado df :AL-+AL

de grau -1. Note que

ci f o df = O e df (x A y) = df (x) A y + (-1)de9 xx A df (y)

para todo homogêneo x E AL. Dizer que cif o di = O é dizer que

d f • • • An -9- An-1L • • • A2 Ld--,-f O

é um complexo.

14

Definição 1.21 O complexo acima é o complexo de Koszul de f. denotado por K.(f).

Mais geralmente. se M é um R-módulo, então K.(f, M) é o complexo K. OR M.

chamado complexo de Koszul de f com coeficientes em M; seu diferencial é denotado

por df .m.

Definição 1.22 A homologia H.(f) = Ker df l Im df é a homologia de Koszul de f.

Para todo R-módulo M a homologia Ker df ,mIIrn dbm é denotada por H.(f,M) e

chamada homologia de Koszul de f com coeficientes em M.

Propriedades. Seja R uni anel. L um R-módulo e J : L R uma aplicação

R-linear.

(a) O complexo de Koszul IC(f) tem estrutura de uma álgebra associativa gra-duada alternada.

(b) Seu diferencial d1 é um anti-derivação de grau -1. (c) Para todo R-módulo M o complexo K.(f, M) é um K.(f)-módulo de uma

forma natural.

(d) Temos df ,m(x, y) = df (x).y (-1)de9 xx.df ,m(y) para todos elementos ho- mogêneos x E K.(f) e todo y E K.(f, M).

(e) A homologia Koszul H.(f) tem estrutura de R-álgebra associativa alternada graduada.

(f) Para todo R-módulo M a homologia H.(f.M) é um 1/.(f)-módulo de uma forma natural.

Introduziremos a cohomologia de Koszul (com coeficientes em M): Seja

Ks(f) = HornR(K.(f), R), KV, M) = HomR(K.(f), M), H•(f) = H' (Ka (f)). 1-1*(f, M) = ( f , M)).

15

Sn

Seja I = Im f c R; então, por construção, Ho(f) = RI I e Ho( f M) = MIIM.

Definição 1.23 Seja w : C. —> C. uma aplicação de complexos; w é nil-homotópica se existem aplicações s,, : Cn. —> q+, tal que

Wn = din+Isn + sn-idn, para todo ri.

dn-fry dn

‘C)n 1 Sn—

. Q1'1 n+1 CRI —

Se w e tk são aplicações entre os complexos C. C.' , então w é homotópica a tk se w— iP é nil-homotópica. As aplicações {s,, : ri E Z} formam uma homotopia.

Proposição 1.24 Seja R um anel, L um R-módulo e f L —> R uma aplicação R-linear. Seja I = im f.

(a) Para todo aEI a multiplicação por a em K.(f), K.(f,M), IC(f), K* (f,M) é nil-homotópica.

(b) Em particular, I anula H.(f), II.(f,M), 11*(f), 11*(f, M).

(c) Se I = R, então os complexos K.(f), K.(f,M), r(f), IC(f M) são nil-homotópicos. Em particular, suas (co)homologias são zero.

e

16

Seja L1 e L2 R-módulos, e fi : R, f2 : L2 R aplicações R-lineares.

Então fi e f2 induzem uma forma linear f : definida por f (xi e x2) =

+ .f2(x2).

Proposição 1.25 Com a notação acima introduzida, temos o isomorfismo de com-

plexos K.(f1 )0 K.(f2 )Pat K.(f).

O complexo de Koszul 'comuta' com extensão de anel. Assim a homologia de

Koszul também comuta se a extensão é plana:

Proposição 1.26 Seja R um anel, L um R-módulo e f : L R uma aplicação R-linear. Suponha que ( p : R --- S é um homomorfismo de anel.

(a) Então existe um isomorfismo natural K.(f) OR S K.(f S).

(b) Além disso, se y, é plano, então H.(f, , M) S H.(f S,M S) para todo R-módulo M.

1.6.1 O Complexo de Koszul de uma Seqüência

Seja L um R-módulo finitamente gerado livre com base el, , en . Então uma

forma linear em L é unicamente determinada por seus valores xi = f (ei), i = 1, ,

17

Reciprocamente, dada uma seqüência x = xl, ,x,, existe uma forma linear f em L com f (ei) =- xi. Desta forma, ponha

e toda a notação será modificada de acordo com a identificação acima. Como f é

uma soma direta das formas lineares h : R -4 R, f(i) = x , f especializa (1.25) ao

isomorfismo

K.(x)Pal-. K.(x') O K.(x„)':',.' K.(xi ) O • • • O K.(x,.,)

onde x' =

Ponha I = (x). Seja F'. uma resolução livre de RII. Como 110(x) = RII, existe um homomorfismo de complexos tp : K.(x) F. que é um levantamento da

identidade em RII, e é único a menos de homotopia.

Seja L um R-módulo livre finitamente gerado com base el, en. Então,

el A•• • A en é uma base de Ni L, e existe um único R-isomorfismo wn : K •--). R com

tort(ei A • • • A en) = 1. Definimos wi : N L -4 (Ari-i L)* por

n-i (X))(y) = (X A y) para x E A L, y E A L.

(Isto não causa ambigüidade para i = 11 se identificarmos R com R* através do

isomorfismo natural.) Segue imediatamente que

(wi(ein (er) = { O para/ n J 0,

cr(I,J) para/ n J = 0.

onde, se I n J = 0, cr(I, J) = (-1)8 com s o número de elementos (i, j) EIxJ tal

que i > j; e se /n J 0, cr(I, J)-= O. Nesta fórmula I e J são multi-índices definidos

da seguinte forma: I e J são subconjuntos de {1, , n}; I = ,i,•n } comi1 < • • • < int e J =

{ji , ,j,} com ji < • • < Js (et = si , A • • • A ei,„ e ej é definido analogamente).

18

Ela mostra que cui é um isomorfismo. Se denotarmos a base dual de (ei ) por (4E), a

fórmula diz que cui(ei) = ,1")4

onde í = {1, , n} \ /. Daí cai é um isomorfismo. Considere o diagrama

K.(x) O An-1 L 1 d L d R O

K* (x) : H L* (A1'-). (t- (An L)* o

com d = do, e d* = (4)*•

Proposição 1.27 Seja x = xl, , xa uma seqüência em um anel R.

(a) Com a notação introduzida acima, temos cui_ l odi = (-1)i — ldn* _i _hi ocui para todo i =1, ... ,n.

(b) Os complexos K.(x) e K(x) = (K.(x))* são isomorfos.

(c) Mais geralmente, para todo R-módulo M os complexos K.(x, M) e le(x,M) são isomorfos, e

(d) H i (x, M) 1=J H*" (x, M) para i = O, , n.

iWn-1 1W1 IWO

O complexo de Koszul é um funtor exato:

19

Proposição 1.28 Seja R um anel, x = xl, ,x, uma seqüência em R el --+ U --+ M --+ N --+ O uma seqüência exata de R-módulos. Então a seqüência induzida

O K.(x, U) K.(x, M) K.(x, N) O

é uma seqüência exata de complexos. Em particular temos a seqüência exata longa

• Hi(x,U) Hi(x, M) —0- H i (x, N) Hi _i (x, U) • • •

de homologias.

Dem. Os componentes de K.(x) são livres, portanto R-módulos planos.

No lugar de um R-módulo M, podemos considerar mais geralmente uma complexo C., e então definir a homologia Koszul de C. como sendo a homologia de K. 0 C. etc. Consideraremos esta construção somente no caso especial em que x = x:

Proposição 1.29 Seja R um anel e x E R.

(a) Para todo complexo C. de R-módulos, temos uma seqüência exata

O C. C. 0 K.(x)—» C.(-1) O.

(b) A seqüência exata longa de homologias induzida é

Hi(C.) H,(C. K.(x)) H i_i(C.) ±Z. H i _i (C.) . • •

(c) Além disso, se x é C.-regular, então existe um isomorfismo

H.(C. K H.(C. I xC.).

20

Dem. O complexo K.(x) é simplesmente o complexo O -4 R 4 R -4 O. Assim, o i-ésimo

componente graduado de K.(x) ® C. é (R ® Ci) e (R® Ci-1) = C e Ci_1. Então,

para cada grau, temos uma seqüência exata

Ci-i O,

onde /. e ir são, respectivamente, a inclusão e a projeção natural. Se a é o diferencial

de C., então o diferencial d : C e ci_1 ci - 1 e Ci_2 é dado pela matriz

(

0 (-1)1-1x)

O a

de acordo com a definição de produto tensorial de complexos. Isto demonstra (a).

Para (b) vamos olhar a definição do homomorfismo de conexão. Ele é definido a

partir da seguinte cadeia, partindo de z E Ci_1 com a(z) = O:

z4 (o, z) 4 ((-1),-Ixz, o) 1,Z (-1)i-Irz.

Então o homomorfismo de conexão Hr(C.(---1)) = Hi_i(C.) Hi_1(C.) é a multi- plicação por (-1) -1x.

(c) A aplicação natural C e ci_1 Ci Ci /xCi constitui um homomor- fismo de complexos C. ® K.(x) C.I xC.. Queremos que a aplicação induzida

em homologias seja um isomorfismo. De fato, seja z e Ci tal que 0(z) E Então, existe z' E Ci_1 com 0(z) = xz', e d(z, =- (O, (-1)ii9(zi). Assim, x0(z1 ) = 0(0(z)) = O; dai 0(z') = O pois a multiplicação por x é injetiva em (z, (-1)z') é um ciclo levado ao ciclo 2 E Ci/xCi. Que a aplicação em homologias é

injetiva pode ser verificada similarmente. •

Corolário 1.30 Seja R um anel, x =.......x, uma seqüência em R e M um R-módulo.

21

(a) Seja x' = . x,_1 . Então temos a seqüência exata

H1 (x', M) -- H(x, M) - H_ j(x', M) ±Xn H_1(x', M)

(b) Seja p < n, x' = xi ,.... x, e x" = x 1,.... x,. Se x' é M-regular fraca, então

temos um isomorfismo H. (x, M) H. (x", M/x'M).

Dem.

O item (a) é um caso especial de 1.29(b) quando tomamos C. = K.(x', M) e

usamos os isomorfismos

K.(x', M) ® K.(x) K.(x') ® M 0 K.(x) K..(x, M).

Para a parte (b) é suficiente fazer o caso p = 1 e o caso geral segue por indução.

Note que podemos permutar x à seqüência x2,. . . , x,, x1, e então o resultado segue

de 1.29(c).

Corolário 1.31 Seja R um anel, x uma seqüência em 1? e M um R-módulo.

(a) Se x é um M-seqüência, então K.(x, M) é acíclico.

(b) Se x é uma R-seqüência, então K.(x) é uma resolução livre de R/(x).

22

1.6.2 Complexo de Koszul e Grau

Teorema 1.32 Seja li um anel, x = . . ., x, uma seqüência em R e M um

módulo. Se 1 = (x) contém uma M-seqüência fraca y = ....... Ym, então

H+i_(x,M)O para i=1, .... m, e

Hn_m(x, M) HomR(R/I, M/yM) Ext'(R/I, M).

Dem.

O último isomorfismo segue de 1.6. Usaremos indução sobre m para provar as

demais afirmações. Para m = O devemos mostrar que

H. (x, M) HomR(R/I, M).

De fato, por 1.27 temos que H(x, M) H°(x, M). Note que este último módulo

é naturalmente isomorfo a HomR(R/I, M); basta tomar a seqüência exata R' -#

R -+ R/I -* O e aplicar o funtor exato a esquerda HomR(-, M). Explicitamente,

se identificarmos K Rn ® M e R ® M M via uma orientação w, de R, então

H(x, M) é justamente o sub-módulo {y E M ly = O} HomR(R/I, M) de M.

Suponha m > 1. A seqüência exata

- O —M- 1/1

-- M-- M --'- O

onde Á? = M/yi M, induz a seqüência exata

— H(x,M) 12.H(x, M) —H(x, M) —H_1(x, M—;

veja 1.28. Como, por 1.24, Yi anula H(x, M) para todo i, esta seqüencia exata resulta

em

o -* H(x,M)-. H(x,M)-'.- H_1(x,M)-e.- O.

Agora, basta aplicar a hipótese de indução. a

23

Teorema 1.33 Seja R um anel Noetheirano e M um E-módulo finitamente gerado.

Suponha 1 um ideal em E gerado por x = x1,.... x,.

(a) Todos os módulos H(x, M), i = 0,... «', são zero se, e somente se M = IM.

(b) Suponha que H(x,M) $0 para algum i, e seja

li. = max{i : H(x, M) $ 0}.

Então toda M-seqüência maximal em 1 tem comprimento g = n - h; em outras

palavras, grau(I, M) = n - h.

Dem.

(a) A implicação é imediata: M = IM ' Ho (x, M) M/IM = 0. Para a

recíproca, escolha um ideal primo p. Por 1.26 e pela platitude da localização temos

(H(x, M)) H(x, Mv), onde x é considerada uma seqüência em R, . Se

então H(x, M) = O por 1.24. Se 1 c p, então M = O pelo lema de Nakayama, e

novamente temos que H(x, M) = O.

(b) Pela parte (a) temos que M $ IM. Seja y uma M-seqüência maximal em 1,

então y tem comprimento g = grau(I, M). Segue imediatamente de 1.32 e 1.7 que

H(x,M) = O parai = n — g+ 1, .... n e H._9(x,M) Ext (RI I,M) $0.

Lema 1.34 Seja (R, m) uma anel Noetheriano local, M um R-módulo finitamente

gerado e = x1,.... x, uma seqüência em m. Seja x' = x1,..., 1n1 Se H(x, M) =

O, então H(x', M) = 0.

Dem.

Por 1.25 temos que K.(x) K,(x') Ø K.(x). Então, 1.30 dá a seqüência exata

H(x',M) H(x',M)—.- H(x,M).

24

Este módulos são finitamente gerados. Se Hi(x, M) = 0, então a multiplicação por

x,„ em Hi(x', M) é sobrejetiya, logo H i (x' , M) = O pelo lema de Nakayama. •

Corolário 1.35 Seja (R, m) um anel Noetheriano local, M O um R-módulo fini-

tamente gerado eIcm um ideal gerado por x = xi, , xn . Então são equivalentes:

(a) grau(I,M)= n;

(b) (x, M) = O para todo i > 0;

(c) Hl (x, M) = O

(d) x é urna M-seqüência.

Dem.

A equivalência entre (a) e (b) segue de 1.33, e (b) (c) e (d) (a) são imediatas.

Resta (c) = (d). (c) = (d) Usaremos indução sobre n. Suponha x = x. Note que o complexo de

Koszul K.(x) é simplesmente O -+ R 1> R -+ O. Assim, fazendo o produto tensorial

por M, obtemos a seqüência exata

(x, M) M M 0.

Como Hl (x, M) = O, por hipótese, temos que x é Aí-regular.

Agora, seja x = xl, x„, e x' = xi, x,-1. Temos, por hipótese de in-

dução, que x' é uma Aí-seqüência, pois, utilizando o lema anterior e nossa hipótese,

(x', M) = 0. Agora, pelo corolário 1.30(b) pondo p = n, obtemos Hl (x„, M/x'M) =

0. Daí, usando o mesmo raciocínio utilizado no começo da indução, concluímos que

x„ é M/x'M-regular, isto é, x é uma M-seqüência.

25

Capítulo 2

Anéis de Cohen-Macaulay

Seja R um anel Noetheriano local e M um módulo finitamente gerado. Se o

invariante 'algébrico' prof M for igual ao invariante 'geométrico' dirn M, então M é

chamado um módulo Cohen-Macaulay:

Definição 2.1 Seja R um anel Noetheriano local. Um R-módulo finitamente gerado

M $ O é um módulo Cohen-Macaulay, notação: C-M, se profM = dimM. Se R é

um R-módulo C-M, então é chamado de anel Cohen-Macaulay. Em geral, se R é um

anel Noetheriano qualquer, então M é um módulo C-M se Mm é C-M para todo ideal

maximal m e Supp M. Como no caso local, R é C-M se for um módulo C-M. Um

módulo Cohen-Macaulay é maxirnal se é um módulo C-M M tal que dim M = dirn R.

Exemplos

1. Todo módulo finitamente gerado de dimensão O sobre um anel Noetheriano é C-M;

em particular todo anel 0-dimensional Noetheriano é C-M.

26

2. Todo anel Noetheriano reduzido, isto é, que não possui elementos nilpotentes, de

dimensão 1 é C-M. De fato, sejam E Max (R), R é um corpo ou dim, R. = I.

No segundo caso, mR Ass(Rm), pois em um anel reduzido somente os

ideais primos minimais são associados. Portanto, mRm contém um elemento

que não é divisor de zero, logo, prof Rm = 1.

3. Todo anel Noetheriano regular é C-M. Note que, para todo m E Max(R), mR,, é

gerado por uma seqüênôia regular de comprimento dim Rm; assim prof(Rm) =

dim Rm.

4. Se K é um corpo, então R = K[X1, X2]/(X, X1X2) não é C-M. Note que, se m é

o ideal em R gerado pelas imagens de X1 e X2, mas mRm consiste somente de

divisores de zero. No entanto, dim Rm = 1.

Se i é um ideal contido em AnnM, então para propriedades C-M é irrelevante

considerar M com um R-módulo ou com um f -módulo.

O próximo teorema diz que em módulos de Cohen-Macaulay o grau de um ideal

arbitrário é dado por sua codimensão.

Teorema 2.2 Seja (R. m) um anel Noetheriano local, e M g O um R-módulo C-M.

Então

(a) dim R/p = prof M para todo p E Ass M. Em particular, M não possui primos

imersos,

(b) grau(I, M) = dim M - dim M/IM para todo ideal 1 c M,

(c) x = ... .... x é urna M-seqüência se e somente se, dim M/xM = dim M -

(d) x é uma M-seqüência se e somente se, é parte de um sistema de parâmetros de

M.

27

Dem.

(a) Sabemos por 1.14 que prof M <dim R/p, e dim R/p dim M pois Ass M c Supp M.

(b) Se grau(I, M) = O, então existe p E Ass M com 1 c p; assim dim M/IM =

dim M segue por (a). Se grau(I, M) > O, então escolha x E 1 regular em M. Temos,

grau(I,M/xM) = grau(I,M) - 1, prof M/xM = prof M - 1 e dim M/xM =

dim M - 1, daí indução completa o argumento.

(c) veja 1.6.19.

(d) É apenas uma reformulação de (c).

O teorema abaixo nos diz que a propriedades de C-M é estável sob especia-

lização e localização.

Teorema 2.3 Seja 1? um anel Noetheriano e M um R-módulo finitamente gerado.

(a) Suponha x urna M-seqüência. Se M é C-M, então é C-M (sobre R ou

A recíproca é verdadeira se R é um anel local.

(b) Suponha M C-M. Estão para todo sistema multiplicativo fechado 5 c R a lo-

calização S'M é C-M. Em particular, M é C-M para todo p E SpecR. Se

Mp 54 O, então

profM = grau(p, M) e dimM = dimM + dim M PM

Dcxii.

(a) Pela definição de módulo C-M, podemos assumir R local. Seja no comprimento

de x. Então, dim M/xM = dim M - ri por 1.13 e prof M/xM = prof M - ri por

1.11

(b) Seja q uni ideal maximal de S'R. O ideal q é a extensão de um ideal primo

28

P c R, e portanto (8'R)q 14. Seja m ideal maximal de R tal que p C m. Então

14 é a localização do anel local C-M Rm. Assim podemos supor que R é um anel

local.

Se M = O então não há o que fazer. Agora suponha M :~ O. Usaremos indução

sobre prof M. Se profM = O, então p E AsaM, e p é um primo minimal de

Supp M por 2.2 e portanto dimM = O. O mesmo argumento mostra que p não pode

estar contido em um q E Ass M se prof Mo > O. Então, p contém um elemento

M-regular x, e aplicamos a hipótese de indução em M/xM, isto é XMP = () xM

é C-M M é C-M pelo item (a). Note que profM = grau(p,M), e por 2.2

dirnM = grau (p, M) + dim4 = prof M + dimtj? = dimM + dim 4fr.

Corolário 2.4 Seja R um anel C-M e 1 R um ideal. Então, grau 1 alt 1, e se

R é local, alt 1 + dim R/I = dimR.

Dem.

Note que alt 1 = mim{dim 14 p E V(I)} e além disso grau 1 = rrtin{prof 14 P E V(I)}. Pelo teorema 2.3 temos que dim R. = prof 14 para todo p E Spec R.

Isto prova a primeira equação. Além disso, por 2.2(b) temos que grau 1 = dim R -

dim R/I, mas acabamos de ver que grau 1 = alt 1 e assim segue a segunda equação.

Dizemos que um ideal 1 é "unmixed"se 1 não tem primos imersos divisores ou,

em linguagem moderna, se os ideais primos associados de R/I são primos minimais de

I. Macaulay mostrou em 1916 que um ideal 1 = (x1, . ... x,) de altura nem um anel

de polinômios sobre um corpo é "unmixed", e o mesmo resultado para anéis locais

29

regulares foi provado por Cohen em 1946. Esses fatos e o seguinte teorema explicam

a nomenclatura 'Cohen-Macaulay'.

Teorema 2.5 (Teorema da "não mistura"de Macaulay ou Teorema "unmixed"de

Macaulay) Um anel Noetheriano R é C-M se, e somente se, todo ideal 1 gerado

por alt 1 elementos é "unmixed".

Dem.

() Suponha 1 = (x), x = x1, .... x,, e seja p, q E Áss R/I, p c q. Então,

existe um ideal maximal m com q C m e PRm, qR, E ASS(Rm/Im). Se alt 1 =

então dim (R./I.) = dirnRm - ri e por 2.2 x é uma R, -seqüência. Logo, Rm/Int é

C-M (2.3); portanto PRm = qRm novamente por 2.2 e, daí p = q.

() Reciprocamente, seja J c R um ideal arbitrário tal que alt J = n. Então

podemos encontrar x1,.... x, E J tal que alt (xi,.... x) = i, para todo i = 0,.... n.

O ideal (xi .....x) é "unmixed", portanto x 1 não pertence a p E Áss (x1 '4 x) Assim

regular. Logo, x1,.... x,, é uma R-seqüência. Suponha J primo. Note

que ii < grau(.J, R) <prof R <dim Rj = alt J = n; a segunda desigualdade segue

do fato de que grau(I, M) = inf {profM p e V(I)}. Portanto, Ri é C-M e assim

RéC-M.

30

Capítulo 3

Módulos Finitamente Gerados de

Dimensão Injetiva Finita e

Dualidade de Matlis

3.1 Módulos Finitamente Gerados de Dimensão

Injetiva Finita

Nesta seção estudaremos resoluções injetivas de módulos finitamente gerados. Ve-

remos que a dimensão injetiva de um módulo M finitamente gerado sobre um anel

Noetheriano local R, é igual a profundidade de 1?, e é um limitante superior para a

dimensão de M. Assim, ao contrário do comportamento da dimensão projetiva, a

dimensão injetiva, se é finita, não depende do módulo.

31

Definição 3.1 Um módulo E é dito injetivo se, para todo módulo E e todo sub-

módulo A c B, todo homomorfismo a : A -* E pode ser estendido a uma aplicação

/3: E --> E isto é, o diagrama abaixo é comutativo

0 A 'E

Não existem exemplos óbvios de módulos injetivos, mas veremos que eles ex-

istem em abundância.

Proposição 3.2 Seja R um anel e E um R-módulo. São equivalentes:

(a) E é injetivo;

(b) o funtor Horri ft(—, 1) é exato,-

(e)

xato;

(e) dado um monomorfismo w : N -* M de R-módulos, e um homomorfismo a

N -~ E, existe um homomorfismo /3: M -* E tal que a =

(d) para todo ideal J c R, todo homomorfismo J -+ E pode ser estendido a R, isto

é, Ext'(,E) =0;

(e) seja M um R-módulo com E c M; então E é um somando direto de M;

(f) Ext(M, E) = O para todo R-módulo M;

(g) Ext(M, E) = O para todo R-módulo M e todo i> 0.

Dem. Veja [1] Proposição 3J.2. a

32

Corolário 3.3 Seja R um anel Noetheriano.

(1) Se E é um R-módulo injetivo e S é um sistema multiplicativo fechado de R, então

51-1.E é um 5-1R-módulo injetivo.

(ii) Se (EAÀEA é urna família de R-módulos injetivos, então a soma direta

E = e Ex .X€A

é um R-módulo injetivo.

Dem. Seja J c R um ideal. Como R é Noetheriano

Extls _I R( j5:511 , S-1E)es S-1Ext1R(7R ,E)W O

Como todo ideal de 5' R é estendido de R, a proposição 3.2 resulta que 51-1 E é um 5'R-módulo injetivo.

(ii) Por 3.2(d) é suficiente mostrar que para todo ideal J c R, todo homomorfismo

W excA Ex se estende a R. Como R é Noetheriano, J é finitamente gerado, então existe {À1, , )42} C A subconjunto finito tal que

/rn (w) ce

Denote sei a j-ésima componente de so. Como .EÁi é injetivo (p ) : J .E) pode ser estendido ao homomorfismo : R -4 E)„. Daí

a 1-4 0(a) = th (a)

estende so a R.

33

Observação 3.4 Para um anel qualquer R. o produto direto de módulos injetivos é injetivos.

De fato, seja a: M N uma aplicação injetiva de R-módulos e seja {.Ei : j E J}

uma família qualquer de R-módulos injetivos. Seja Ai : E —> lj Et a injeção canônica e pi : fi Ej ,E5 projeção canônica. Como os módulos ,E5 são injetivos, existe

gi :M—>Ntalquegioa=piof.

1-1 Ei P Ej Ai A

f 93

O M N

Considere h : N ljEj definida por h(z) = (gi z). Note que h o a(m) =

(gi (a (m))) = (pi f (m)) = f (m), como queríamos.

Definição 3.5 Um R-módulo M é divisível se para todo elemento elemento regular

r, e todo elemento m E M, existe um elemento m' E M tal que m = mi'.

Corolário 3.6 Seja R um anel e E um R-módulo.

(i) Se E é injetivo, então E é divisível.

(ii) Se R é um domínio principal e E é divisível, então E é injetivo.

Dem.

A propriedade de E ser divisível é equivalente à propriedade de que todo homo-

morfismo a : (r) —> E com r regular, pode ser estendido a R. De fato, seja r E R

regular e m E E. Suponha que todo homomorfismo a : (r) —> E com a(r) = m

pode ser estendido à R. Temos m = a(r) = ra(1). Então, basta tomar m' =

34

(Note que a(1) faz sentido, pois posso estender a a R.) Reciprocamente, suponha E

divisível e seja a : (r) —÷ E tal que a(r) = m com r regular. Como, E é divisível,

existe 771,1 E E tal que mir = m. Assim, defina a(1) -= m' e a se estende a R.

Assim a demostração do corolário segue de 3.2(d)

Lema 3.7 Seja co : R —÷ S um homomorfismo de anéis, e seja E um R-módulo

injetivo. Então HomR(S, E) (equipado com a estrutura natural de S-modulo) é um

S-módulo injetivo.

Dem.

Seja M um S-módulo. Existe um isomorfismo natural

H oms(M, HomR(S, E)) ad- H omR(M , E)

de S-módulos. Para 24' E H oms (M, HomR(S, E)), existe um único 2/7 E HomR(M, E) onde W(x) = 2P(x)(1), Vx E M. Daí a exatidão do funtor HomR(—, M) na categoria de S-módulos (considerado como 11-módulo via (p) implica na exatidão do funtor Homs(- HomR(S, E)). Isto significa que HomR(S, E) é um S-módulo injetivo.

Definição 3.8 Seja R um anel e M um R-módulo. Um complexo

O —÷ E° —÷ E2 —÷ • • •

com os módulos E injetivos, é uma resolução injetiva de M se H°(E) M e H(E) = O, para i > O.

Não é tão claro que todo módulo possui resolução injetiva como é o caso de

resolução projetiva, mas o resultado que segue nos permite construí-las.

35

Teorema 3.9 Seja R um anel. Todo R-módulo pode ser mergulhado em um módulo

- módulo injetivo.

Dem. O Z-módulo Q é divisível, e portanto injetivo. Daí, todo Z-módulo livre F

pode ser mergulhado num Z-modulo injetivo. Basta tomar cópias suficientes de Q. Se G é um Z-módulo arbitrário, então

G — U

com F livre e podemos mergulhar G em g . é um Z.-módulo divisível e portanto,

injetivo. Logo, o teorema está provado para Z-módulos.

Agora. se R é um anel qualquer e M é um R-módulo. A aplicação

a : M Hom(R, M)

x a(x) : R M

a al(x)(a) = az

é um monomorfismo entre R-módulos. Por nossas considerações acima, o R-

módulo M pode ser imerso como um 1-módulo em um 1-módulo E injetivo. Esta

conclusão induz o monomorfismo

fi : H omz(R, M) H omz(R, E)

Por 3.7 o R-módulo J = Homz(R, E) é injetivo. Portanto, fioa é o mergulho

procurado.

3.1.1 Dimensão Injetiva

Definição 3.10 Seja R um anel e M um R-módulo. A dimensão injetiva de M

(denotada por dim inj M ou dim injR M) é o menor inteiro n para o qual existe

36

uma resolução injetiva E' de M com Em = O para m > n. Se não existe tal n, a

dimensão injetiva de M é infinita.

Proposição 3.11 Seja R um anel Noetheriano. M um R-módulo e S um. sistema

multiplicativo fechado de R. Então

dim inj5-1RS' M < dim Zn3R M.

Dem. Se dim injR M = oo. não há o que demonstrar. Se dim injR M = n, então

tome

E': O E° El 1.

En —» O

resolução injetiva de M. Logo. S'E' é resolução injetiva de S'M.

dim js-A R S-1 M < dim injR M.

Proposição 3.12 Seja R um anel e M um R-módulo. As seguintes condições são equivalentes:

(i) dim inj M <

(ii) Extr l (N, M) = O V R—módulo N;

(iii) Extr l (. M) = O , V ideal J C R.

37

Dem. (i) (ii) segue do fato que E xtr l (N, M) pode ser calculado de uma resolução

injetiva de M.

(i i) (iii) trivial

(iii) (i) : Seja

Eo En-1 o

uma seqüência exata, onde os módulos El são injetivos. Como

ExtiR(—Rj , E) = O, Vi>

se E é injetivo, da seqüência exata acima segue o isomorfismo

Ext i (—R C) r=' Extn+1 (—

R M) R j ) R J 1

assim, pela hipótese Extk(—

R ,C) = O, V ideal J c R j

Logo, C é injetivo, i.é, a seqüência deletada é uma resolução injetiva de M, e

..diminjM<n.

A proposição acima pode ser refinada se R é Noetheriano. Observemos primeiro:

Lema 3.13 Seja R um anel Noetheriano, M um R-módulo, N um R-módulo fini-

tamente gerado e n > O um inteiro. Suponha que Ext)ti ( if,M) = O para todo

p E Supp N. Então Ext'À(N, M) = O.

38

Dem. Considere N como AflflN-modulo. Como N é finitamente gerado, existe uma

cadeia de sub-módulos de N

O=N0 cN1 C ... C N=N

tal que N 1? - peSnppN N_1 p

já que Supp N = V(AnnN). Da seqüência exata curta

NL O - - N No O

temos a seguinte seqüência exata longa

• • —Ext''(%' , M) _.Extt2(No, M) .Extt2(Ni, M) —i-Ext"(%, M)

Daí, concluímos que

Ext't(N1,M) = O,

visto que Extht(%L, M) = O por hipótese e Ext'(No, M) = O pois N0 = O. Usando o

mesmo raciocínio para a seqüência exata

O -- N1 - N2 - -'- O

concluímos que

Ext(N2,M) = O.

Repetindo o processo, concluímos que Ext" (N1, M) = O.

Corolário 3.14 Seja R um anel Noetheriano e M um R-módulo. São equivalentes:

(1) dirn inj M < ri;

39

(ii) Extn+1(* , M) = O, V p E SpecR.

Dem. (ii) segue de 3.1.10

Extr”,M) -= O, Vp E SpecR, em particular Vp E Supp q. De 3.13

Extri(q, m) O e por 3.12 dirn inj M < n. •

Proposição 3.15 Seja (R,m,k) um anel Noetheriano local, p E SpecR — {m} e M

um R-módulo finitamente gerado. Se

M) = O, V q E V(p), q p

Então, ExtiA(—R M) = 0.

Dem.

Escolha x E m p. x é R-regular (p é primo), e dai a seqüência exata

O

ft

induz a seguinte seqüência exata

Ext(, M) Ext'ir l (*, M).

Como v(x,p) C {q E v(p) : q p} segue de 3.13 que

Ext7A+1( ( R x,p) ,M)= O,

40

então a multiplicação por x no R-mod f.g. Ext"R( 110 , M) é um homomorfismo sobre-

jetor. Assim, como x é regular

(x)ExtnR(—R, M) Ext"R(—R , M)

e pelo Lema de Nakayama Ext"R (—R , M) = O.

Agora ficou fácil encontrar uma fórmula útil para dimensão injetiva de um módulo

finitamente gerado.

Proposição 3.16 Seja (R,m,k) um anel Noetheriano local, M um R-mod fg. Então,

dim inj M = sup{i : ExtiR(k, M) O}

Dem. Seja t = sup{i : ExtiR(k, M) 0}. Daí segue que dim inj M < t.

Para a outra desigualdade, note que ao aplicar repetidamente 3.15, temos

Extk(—Rp , M) , O, Vp E SpecR, Vi > t.

De fato, seja p E Spec R tal que codimR p = 1, isto é, m é o único primo de R que

contém propriamente p. Assim, para todo i > t, temos Ext iltl (R/m, M) = O; o que

implica, pela proposição anterior, que ExtiR(R1p, M) = O.

Suponha que para todo i > t, ExtiR(R1q, M) = O, com q primo de codimensão

71 -1. Seja p E Spec R, tal que codim p = rt e seja i > t. Para todo q E V(p), q p,

codim q < codim p, daí, por hipótese de indução, ExtijV (R/q, M) = O. Aplicando

novamente a proposição anterior, temos que

ExeR(R1p, M) = O, Vp E Spec R e Vi> t.

41

Portanto, por 3.14

dim inj M < t.

Corolário 3.17 Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local, M um R-rnod f.g. Se

xernéum elemento que é R e M-regular, então

dim inj R = dim inj R M — 1. (=)xM

A demonstração do corolário acima é conseqüência da proposição anterior e do

seguinte resultado:

Lema 3.18 (Rees) Seja R uma anel, sejam M e N R-módulos. Se x é um elemento

R e M-regular com x • N -= O, então

Ext'(N, M) Exti (N, —) xM

para todo i > O.

Dem.

Primeiramente, note que, como x é M-regular e x • N = O, HomR(N, M) = O.

Seja R= RIxR e = MixAt,

Para provarmos o lema, usaremos a caracterização axiomática do funtor contra-

variante Ext. Defina os funtores contra-variantes G, i > O da categoria de R-módulos

na categoria dos grupos abelianos, por

G( N) = Extif (N, M).

42

Claramente, Gi é uma seqüência de funtores contra-variantes fortemente conexos. A

seqüência exata

O M MIxM O

induz a seqüência exata

H ornR(N, M) —2- H ornR(N , M I x M) —2- Ext1R(N, M) Ext1R(N, M).

Note que a imagem da multiplicação por x acima é O, pois N é anulado por x, e como

HornR(N, M) = O, temos o isomorfismo

H ornR(N, M I xM) Ext1R(N, M).

Além disso,

H orn fi(N, M x M) = HornR(N, M xM).

Assim, existe uma equivalência natural G° HornR(—, M I x

Resta mostrar que G( F) = O para todo a-módulo livre e todo i > 1. Escolha uma

base para F, e seja L um R-módulo livre com mesma base. Existe uma seqüência

exata

O —2- L-12- L-2- F—>- O

pois x não é divisor de zero. Da exatidão de

• • • —2- ExtiR(L, M) Exti» (F, M) ExtiR (L, M) —2- • • •

temos que

G(F) = Exel (F, M) = O, i > 1.

Desta forma concluímos que ExtiÃE1(—, M) são os funtores derivados à direita do

funtor H orn 11(— , 11-1) o que conclui a demonstração do lema.

Agora vamos ao resultado principal desta seção.

43

Teorema 3.19 Seja (R, m, K) um anel Noetheriano local e seja M um R-mod fg.

com dim inj M < co. Então

dim M < dim inj M = prof R.

Dem. Seja Po C C Pi = m cadeia maximal de ideais primos em Supp M.

Mostraremos por indução em i que

Em particular,

e portanto

por 3.16.

• i=O

Extrj (k(p), M) O. pi

ExtdR (k, M) s4 O para d = dimM

dim M < dim inj M

p0R 0 E Ass M 0 =~ HomR 0 (k(p0), M 0) $ O.

• i>O

Ext'( R,

Ex4j' pi_I (k(p_1),M 1 ) 9É O (H.I.) P-i

E por 3.15

Extk (k(p), M) Ø O.

Para provar a igualdade dim inj M = prof R, defina r = dim inj M e t = prof R.

Seja x = x1,.. . , uma R-seqüência maximal. Então o complexo de Koszul K.(x) é

uma resolução livre minimal de R/(x) por 1.35. Daí, dim proj R = t e, além disso

Ex4(, M) é isomorfo a t-ésima co-homologia Koszul Ht(x, M). Por 1.27

H(x,M)Ho(x,M)=Or>t.

44

Por outro lado, como prof Rlx = O, existe um mergulho k ---> R/x que induz o

isomorfismo

ExtrR(—R

, M) ExeR(k, M)

desde que ExtrR(k, M) = O, para todo R-módulo N. Mas, ExtrR(k, M) O por 3.16,

e assim ExtrR(f, M) O. Portanto, t = dim proj f > r.

3.1.2 Anéis de Gorenstein

Agora vamos introduzir uma classe importante de anéis locais. Essa classe é

caracterizada em termos da álgebra homológica.

Definição 3.20 Um anel R Noetheriano local é um anel de Gorenstein se

dim injR R < ao.

Um anel Noetheriano qualquer é Gorenstein se sua localização em ideais maximais é um anel local de Gorenstein.

Teorema 3.21 Seja R um anel Noetheriano.

(i) Suponha R Gorenstein. Então, 5-1R é Gorenstein. Em particular, Rp é Goren-stein para todo p E Spec R.

(ii) Seja x uma R-seqüência. Se R é Gorenstein, então Rlx o é. A recíproca é

verdadeira se R é local.

45

Dem. (i) Seja q ideal maximal de S'R. Então, q é extensão de um p que não

encontra S, e então (3-1R)p R. Seja In ideal maximal de R contendo p. Então,

Rp é uma localização do anel local de Gorenstein R„,. De 3.11 segue o resultado.

(ii) Sem perda de generalidade podemos supor R local e o resultado segue de 3.17

Proposição 3.22 Todo anel Noetheriano local (R, tu, k) de Gorenstein é C-M.

Dem.

Como R é Gorenstein, por 3.19,

dim R < dim inj R = prof R.

Portanto, R é C-M. •

3.2 Envoltória Injetiva e Dualidade de Matlis

3.2.1 Envoltório Injetiva

Vimos na seção anterior que todo módulo M pode ser imerso em um módulo

injetivo. Agora, veremos que este mergulho pode ser escolhido de maneira mínima. E

neste caso o módulo injetivo é único a menos de isomorfismo, e é chamado Envoltório

Injetiva de M.

Definição 3.23 Seja R um anel eNc M R-módulos. M é uma extensão essencial

de N se para todo R-sub-módulo U de M não nulo tem-se U n N O. Uma extensão

essencial M de N é chamada própria se N M.

46

A próxima proposição dá uma nova caracterização de módulos injetivos.

Proposição 3.24 Seja R um anel e M um R-módulo. Um R-módulo N é injetivo

se e somente se não possui extensão essencial própria

Dem.

Seja N C M uma extensão essencial. Se N é injetivo, então, por 3.2, N é um

somando direto de M. Seja W um complemento de N em M. Logo N n w = O, e

portanto, como a extensão é essencial, W = O e assim N = M.

Reciprocamente, suponha que N não possui extensão essencial própria. Dado um

monomorfismo ço: U V e um homomorfismo : U N, queremos construir

fi : V .A/ tal que a =-- fi w. Considere o diagrama pushout

Temos que & é injetiva pois cp é injetiva. Assim podemos considerar N um sub-

módulo de W. Utilizando o lema de Zorn mostra-se que existe um sub-módulo max-

imal D tal que N n D = O. Então N pode ser considerado um sub-módulo de I*.

Pela maximalidade de D, 'Ti é uma extensão essencial de N daí N = , por hipótese.

Portanto, W = N e D.

Seja ir : W .A/ a projeção natural efi=ro ry : V .A/ é a extensão de cp

procurada.

47

Definição 3.25 Seja R um anel e M um R-módulo. Um modulo injetivo E tal que

M c E é uma extensão essencial é uma envoltório injetiva de M. Nossa notação será

E(M) ou E ft(M).

A próxima proposição justifica este nome.

Proposição 3.26 Seja 1? um anel e M um R-módulo.

(i) M admite uma envoltória injetiva. Além disso, se M c 1 e 1 é injetivo, então

uma extensão essencial maximal de M cm i é uma envoltória injetiva de M.

(ii) Seja E uma envoltória injetiva de M, seja 1 um R-módulo injetivo e a M -> 1

um monornorfismo. Então existe um monomorfismo W : E -4 1 tal que o

diagrama

M

1

é comutativo, onde M -# E e a aplicação inclusão. Em outras palavras, as

envoltórias injetivas de M são os módulos injetivos "mínimos"nos quais M

pode ser imerso.

(iii) Se E e E' são envolto'rias injetivas de M, então existe um isomorfismo E

E' tal que o diagrama

comuta. Aqui M -* E e M -* E' são as aplicações inclusões.

Dem.

(i) M pode ser mergulhado em um R-módulo injetivo I. Considere o conjunto 1D

48

de todas as extensões essenciais M c N com N c I. Aplicando o lema de Zorn em

, existe uma extensão essencial maximal M c E com E c I.

Queremos mostrar que E é injetivo, pela proposição anterior, basta verificar que

E não admite extensão essencial própria. Assuma que E tem uma extensão essencial

própria E'.

Como 1 é injetivo, existe uma aplicação E' -* 1 estendendo a inclusão E c 1

Suponha Ker = 0. Então Im c i é uma extensão essencial de M em I.

De fato, seja U c Im \ 0. Como 0 é injetiva, segue que i_1(U) c E', é não

nulo. Desta forma, E n (U) 9É 0, pois E c E' é uma extensão essencial. Daí,

Mn(En4_1 (U)) $0, e, portanto, MnU $0. Assim Im 0 é uma extensão essencial

de M contendo propriamente E, o que contraria a maximalidade de E. Por outro

lado, se Ker w $ 0, como 1P estende a inclusão E c 1, temos E n Keri,b = O o que

contraria a essencialidade da extensão E c E'. Logo, E não possui extensão essencial

própria, e portanto, E é injetivo, isto é E é uma envoltória injetiva de M.

(ii) Como 1 é injetivo, existe uma aplicação E -* 1 que comuta o diagrama

abaixo.

Como ÇOM = a, Kerço fl M = Kera = O. Portanto, Kerço = 0, pois a extensão

M c E é essencial.

49

(iii) Sejam i M Eei' :M -4 E' as inclusões. Como E' é injetivo, existe o

monomorfismo w: E -4 E' com wl m = i', tal que o diagrama abaixo é comutativo.

O —› E e I E'

Irnw é injetivo (Irnw 'ad-- E), então é um somando direto de E'. Como M c E' é

essencial, Irnw = E' e w é um isomorfismo.

Podemos aplicar 3.26 para construir uma resolução injetiva minimal E (M) de

um módulo M a qual por razões óbvias será chamada de resolução injetiva minimal

de M: seja E°(M) = E(M), e denote 0' o mergulho M E°(M). Suponha que

a resolução injetiva sempre pode ser construída até o i-ésimo passo:

--,- (M) El (M) Ei (M) E1 (M).

Então, nós definimos Ei+I(M) = E(Coker8i-1 ) — 7„..4iwn, e ei está definida de

maneira óbvia. Está claro que quaisquer duas resoluções minimais injetivas de M são isomorfas.

Além disso, se P é uma resolução injetiva arbitrária de M, então, E*(M) é isomorfo

a um somando direto de P. O próximo lema nos diz que a envoltória injetiva localiza:

Lema 3.27 Seja R um anel Noetheri ano, S c R um sistema multiplicativo fechado

e M um R-módulo. Então

S'ER(M) rad Es-IR(5-1M).

50

Dem.

Mostraremos que 8-1ER (M) é a envoltória injetiva do 8-1R-módulo 8-1M. Sabe-

mos de 3.27 que S'ER(M) é um 8-1R-módulo injetivo. Resta mostrar que 8-1ER(M)

é uma extensão essencial de 8-1M. Para simplificar a notação seja N = R , e

tome x E 8-1N, x O. Queremos mostrar que (S'R)x n = O.

Existe y E N tal que (8-1R)y = (8-1R)x. Então, podemos assumir x E N.

Agora, considere o conjunto de ideais

(I)= {Ann(tx) ; t E S}.

(I) tem elemento maximal, pois Ré Noetheriano, digamos Ann(sx), e como (8-1ffix = (8-1R)sx, substituiremos x por sx e assumiremos que Ann(x) é maximal em (I).

Desde que N é uma extensão essencial de M, temos que Rx n M = ix O, onde / c R é um ideal. Seja I = (ai, ,a) e assuma aix = O em 8-1N para i = 1, , n. Então, existe t E S tal que t(ai x) = O em N para i = 1, ... n. Mas Ann(tx) = Ann(x) pela escolha do x, e daí /x = O, o que é uma contradição. Assim, aix O em 8-1N para algum i, portanto,

(8-1R)x n 8-1m. = O.

e

No próximo teorema, determinaremos os R-módulos indecomponieis de um anel Noetheriano R.

Um R-módulo M é decomponível se existem sub-módulos não nulos M1, M2 C M tal que M = e M2; caso contrário, M é dito indecomponível.

Teorema 3.28 Seja R um anel Noetheriano.

(i) Para todo p E Spec R o módulo E( 2 ) é indecomponível.

51

(ii) Seja 10 O um R-módulo injetivo e seja p E Ass I. Então EH?) é um somando

direto de I. Em particular. se i é indecomponível, então

I_ E(_R.)

(iii) Seja p, q E Spec R. Então E() EH) p = q.

Dem.

(i) Suponha E(R) decomponível, i.e. existem sub-módulos não nulos N1, N2 c E( R) tal que N1 fl N2 = O. Daí,

(N1 n)n(N2 n)= (NI nN4n.

Por outro lado, como R c E(R) é uma extensão essencial, temos

N1 $ O N2flR, com N1, N2 0.

Isto contradiz o fato de R ser um domínio.

(ii) R pode ser considerado um sub-módulo de 1, pois p e Ass I. De 3.26, existe

a envoltória injetiva E(*) e tal que E(t) c 1, e E(t) é um somando direto de 1,

pois é injetivo.

(iii) Segue do próximo lema. a

Lema 3.29 Seja .R um anel Noetheriano, p E Spec R, M um R-módulo finitamente

gerado. Então

(i) Ass M = Ass E(M); em particular temos {p} = Ass E(f);

52

(ii) k(p) HornR(k(p), EH?)p).

Dem.

(i) É claro que Ass M c Ass E(M). Reciprocamente, suponha q E AssE(M).

Então existe um sub-módulo U c E(M) que é isomorfo a Temos que U fl M 7É O

pois a extensão M c E(M) é essencial, e daí

q€ Ass (UflM)C Ass M

já que Ass U = {q}.

(ii) Como E(k(p)) por 3.27, assuma (R,m,k) local e p = m maxi-

mal.

O k-espaço vetorial HomR(k, E(/)) pode ser identificado com V = {x E E(k)

mx = O}. Note que k c V. Se V 54 k, então existe um sub-espaço não nulo W de V

com k n W = O, isto contradiz a essencialidade da extensão k c E(k).

A importância dos 11-módulos injetivos indecomponíveis resultam do teorema

seguinte:

Teorema 3.30 Todo módulo injetivo 1 sobre um anel Noetheriano é uma soma di-

reta de 11-módulos injetivos indecomponíveis e esta decomposição é única no seguinte

sentido: para todo p e Spec 1?, o número de somando indecomponíveis numa decom-

posição de 1 os quais são isomorfos a E(), dependem somente de 1 e p, e não da

decomposição particular. De fato, este número é igual a

dimk(P)HornR (/c(p), 4).

Dem.

Seja (D o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto dos sub-módulos injetivos

53

indecomponíveis de 1 com a seguinte propriedade: se F E P, então a soma de todos

os módulos pertencentes a F é direta.

Temos que é parcialmente ordenado pela inclusão e não vazio (O E 'Í'). Pelo lema

de Zorn, t tem um elemento maximal F'. Seja E a soma de todos os módulos em

Y. E é injetivo, pois é soma direta de módulos injetivos, e portanto é um somando

direto de I. Assim, podemos escrever 1 = E H, com H injetivo.

Suponha H 7É O. Então existe p E Asa H, e daí E() é um somando direto de

H. Desta forma, podemos acrescentar E(t) em F', contradizendo a maximalidade

de F'.

Suponha que 1 = $ÀEA 'x é a decomposição dada. Então

Homjt(k(p),IP) HomRP ($IÀ) p) $Homit(k(p), (IÀ)P ) ÀCA ÀEA

Por 3.29

$ Homg (k(p), (IÀ)p) $ HomR(k(p), (IÀ)p) ÀEA ÀEA0

onde A0 = {À E A ; 'À E(*)}. De fato, suponha HomR(k(p), (iÀ)p) O, isto é

existe um homomorfismo k(p) -+ (iÀ)p não nulo e, portanto, injetivo já que k(p)

é um corpo. Assim, a seqüência

O Rp -- (I pR

é exata, isto é, pR E Ass (Ix) p o que implica que p E Asa 'À

Como I é indecomponível, por 3.28

Agora, por 3.29 novamente, temos

HomR (k(p), (Is,) HomR (k(p), (1À)p) k(p)1%0.

ÀEA0

54

3.2.2 Números de Bass

Seja R um anel Noetheriano, M um R-módulo finitamente gerado e p E Spec R.

O número finito pj(p, M) = dimk()Ext (k(p), M) é chamado o i-e'simo número de

Bass de M com respeito a p.

Estes números tem uma interpretação em termos da resolução injetiva de M.

Proposição 3.31 Seja R um anel Noetheriano, M um R-módulo finitamente gerado

e E(M) resolução injetiva minimal de M. Então

E(M) peSpcc R

Dem.

Seja

E(M): O -E°(M)0 E'(M) °'

e seja p E Spec R. Por 3.27

o .A4p E°(M)0 '° > E1(M) p d'

é resolução injetiva de M.

O complexo HomR(k(p),E(M)P ) é isomorfo ao sub-complexo C de E(M),

onde

C={zEE(M) p14•z=O}.

Seja z E C1, x $ O. A extensão Im d 1 c E(M) é essencial, então existe a E R

com az E Im d' e az $ O. Como pRp anula z, segue que a pR. Assim, a é

unidade em R, e x E Im di '. Daí, d(z) = O, i.e d c= O , V i. Conseqüentemente,

Ext (k(p), M) = H(Hom(k(p), M)) = =Ker d' Homj (k (p), E(M)p).

55

Tal isomorfismo, por 3.30, implica o isomorfismo procurado.

Dentre os números de Bass o tipo de um módulo ou um anel local é de particu-

lar importância. Seja (R, m, k) um anel Noetheria,no local e M um módulo finitamente

gerado de profundidade t. O tipo de M é definido por r(M) = pt(m, M). O próximo teorema nos dá uma caracterização de anéis de Gorenstein extrema-

mente útil.

Teorema 3.32 Seja (R, m, k) unta anel Noetheriano local. São equivalentes:

(i) R é um anel de Gorenstein;

(ii) R é um anel C-M de tipo 1.

Dera.

É suficiente demonstrar quando dim R = O. De fato, suponha que o teorema é

verdadeiro para anéis de dimensão O e seja dim R .= d.

(i) = (ii) R é C-M, pois é um anel de Gorenstein. Seja x uma R-seqüência

máxima'. Por 1.19

R r(R) = dim Soc—(x) = dim Homek (k,-(1:7)-)=

(x)

(*) : x é maximal, então por 3.21, rftc) é de Gorenstein. Como dim = 0, r( (f) ) = 1.

(ii) = (i) Seja x uma R-seqüência maximal. Por 3.17,

R dim inj z2r5—c) = dim injAR— d.

Note que é C-M, pois R é C-M, e prof bg5 = 0. Assim

R 3 21 ip r (—R ) = dim Hom R (k, —R )= dim Soc —(x)

r(R) h= 1. (x) (x)

56

Portanto, é Gorenstein, e assim, como (R, m, k) é local, novamente por 3.21, R é

um anel de Gorenstein.

Assim, suponha dim R = O.

(i) r4. (ii) R é Gorenstein , ie dim inj R < co. Por 3.19

O = dim R < dim inj R = prof R.

Mas, prof R < dim R = O, daí

dim inj R = O = R é um R—módulo injetivo.

Suponha R = 1 e 12, com I, 12 ideais de R não nulos. Temos,

1 = x1 + X2, 11 E 11 x2 E 12 m ou x2 m * I1 = R ou 12 = R.

Portanto, R é indecomponível e, como Ass R = {m}, temos

R ER( ) 2» Rtem tipo 1.

(i) Segue da proposição 3.33 abaixo.

3.2.3 Dualidade de Matlis

Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local. Vamos estudar o funtor que toma o

dual M' de um R-módulo M com respeito à envoltória injetiva E de k. Se M é um

módulo finitamente gerado, o dual M' não precisa ser necessariamente finitamente

gerado. Sabemos que R' E é finitamente gerado, somente se R é Artiniano. No

entanto, o E-dual de um módulo de comprimento finito também tem comprimento

finito, como veremos agora.

57

Proposição 3.33 Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local, E a envoltória injetiva

de Iv, e N um R-módulo de comprimento finito. Para todo R-módulo M defina M' =

Hom ft (M, E). Então:

(a) temos

Eztk(k, E) = J' k sei=O,

10 sei>O;

(b) 1(N) =

(e) o homomorfismo canônico N —+ N" é um isomorfismo;

(d) p(N) = r(N') e r(N) =

(e) Se R é Artiniano, então E é um R-módulo finitamente gerado fiel satisfazendo

(i) 1(E) = 1(R),

(ii) o homomorfismo canônico 1? —~ EndR(E), a i-3 Ya, onde w(x) = az, para

todo x E E, é um isomorfismo,

(iii) r(E)= 1 e p(E) =

reciprocamente, qualquer R-módulo de comprimento finito fiel de tipo 1 é iso-

morfo a E.

Dem.

(a) Por 3.29, HomR(k, E) k e como E é injetivo, Ezt(k, E) = O, V 1 > O.

(b) (indução sobre 1(N))

Suponha 1(N) = 1, então N Iv. Isto decorre do fato de que se {O} = N0 c 1V1 = N

é uma cadeia maximal, então, como é simples, 1V = k. Assim, No

1(N') = l(Hom.n(N,E)) = 1(HomR(k,E)) 1(k) = 1.

58

Agora, suponha 1(N) > 1. Então, existe U c N \ (0) sub-módulo próprio. Temos a

seguinte seqüência exata

0, U -N -> W -O

com 1(U) < 1(N) e 1(W) < 1(N). Como E é injetivo, temos a seqüência exata

O -'- W1 N' -'- U' - O

Daí,

1(I'J) = 1(U) + 1(14') V 1(U') + 1(14/') = 1(1V').

(c) Seja

a N -+ N"

x '-+ a(x) : M-* E

f i-* a(x)(f) = f(x)

o homomorfismo canônico. Usaremos indução sobre 1(N) novamente.

Se 1(N) = 1, então por (a) N k e N" k. Assim, é suficiente mostrar que o

homomorfismo canônico

a: k -* HomR(HornR(k,E),E)

não é a aplicação nula.

Seja O 9É z E E um elemento de Soc E HomR(k,E). Existe w E HornR(k,E) com

p(1) = z. Então, a(1)(w) = x O o que implica que a O.

Agora, suponha 1(N) > 1 e considere a sequência exata

O - U - N - W -O

com 1(U) cc 1(N) e 1(W) cc 1(N). O homomorfismo natural entre um módulo e o seu

bidual, induz o diagrama comutativo

0-U - N - W - O

O- (,, -a... -'-

59

com W. e W. isomorfismos, por hipótese de indução. Assim, pelo Lema da Cobra, p

é um isomorfismo.

(d) O módulo (N/mN)' é o núcleo da aplicação

N' —* (mN)'

'"WImN

Daí, W E (N/mN)' se, e somente se mw(N) = w(mN) = O. Em outras palavras,

= { E N'; m - w = O} = Soc N'.

Assim, temos

Nakayama . N p(N) = dzrnk — = 1(N) 1(N') = dimk (--.)' = dirnk Soc N' = r(N').

mN mN

A segunda equação, segue da primeira, pelo item (c).

(e) Por (b), 1(E) = 1(R') = 1(R) .c oo. Em particular, E é um R-módulo fini-

tamente gerado. Agora, (c) implica por (c) que a : R —* HomR(HomR(R, E), E) é

um isomorfismo. Se identificarmos Horn ft(R, E) com E então, a se identifica com o

homomorfismo canônico R -+ EndR(E). Um módulo cujo anel de endomorfismo é R

é necessariamente fiel.

(iii) r(E) = p(E') = /2(R) = 1 e p(E) = r(E') = r(R).

Finalmente, seja N um R-módulo finitamente gerado fiel de tipo 1. Então, por (b)

e (c), N' é cíclico e N Hom ft(f,E) para algum ideal I. Como N é fiel, 1 = O.

Portanto, N E.

A proposição 3.33 pode ser vista como o teorema da dualidade de Matlis para

módulos Artinianos finitamente gerados. Agora nós o provaremos de forma geral.

Seja (R,m, k) um anel local completo. Denote por M(R) a categoria de R-

módulos, por .4(R) a sub-categoria plena de R-módulos Artinianos e por F(R) a

sub-categoria plena de R-módulos finitamente gerados. Seja E a envoltória injetiva

60

de k. Defina T) = Horn(•,E). O funtor contravariante T : M(R) —+ .M(R) é

exato, pois E é injetivo. Sua restrição a Á(R) ou a 7(R) ainda será denotada por T.

Teorema 3.34 (Matlis). Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local completo, N E

À(R) e ME 7(R). Então

(cQT(R)—EeT(E)—R,

(b) T(M) E Á(R) e T(N) E 7(R),

(e) existem isomorfismos naturais T(T(N)) N e T(T(M))

(d) o funtor T estabelece uma anti- equivalência entre as categorias Á(R) e 7(R).

Dem. A demonstração será feita em várias etapas:

(1) Para todo n E N, considere En = {x E E m'2x = O}. Seja x E E, x s4 O;

então Ass (Rx) c Ass E {m}. Portanto, existe um inteiro n tal que m"x = O.

Isto prova que

E = n>O

(2) o homomorfismo natural R —+ EndR(E) = T(E) é um isomorfismo. De fato,

por 3.33 (e) (ii), os homomorfismos naturais

R Mn

são isomorfismos, basta observar que HomR/mn (R/ri", E) E,,. Assim, obtemos o

diagrama comutativo

R 'T(E)

Mn

a, T(E,,)

61

Como R é completo, a aplicação R lim Rim" é um isomorfismo.

Como T(E) limT(E) é um isomorfismo ([2] Teorema2.27) e (1) temos que

= T(IimEn ) = T(E). Daí segue que o homomorfismo natural R T(E) é um isomorfismo como queríamos. Isto prova (a).

(3) E é Artiniano: Seja E = U0 D J1 D U2 D• • • uma cadeia decrescente de

sub-módulos de E. Esta cadeia, induz uma seqüência de epimorfismos

R = T(E) T(U1 ) T(U2 ) •—›- • • •

Assim, podemos escrever T (Ui ) = RIIi, onde (0) = /0 C II C 12 C • • • é uma cadeia

ascendente de ideais de R. Como R é Noetheriano, esta cadeia é estacionária, ou se-

ja, existe um inteiro ia tal que T(Ui ) = T(Ui+i) para todo i > ia . Mostraremos

que Ui = Ui para i > ia. Suponha que Ui U, mas T(Ui ) = T(Ui+1)- Seja V = Ui/Ui+1. Então, V O, mas T(V) = O. Além disso, V é um sub-

quociente de E, e daí Ass V = {m} por 3.29. Em outras palavras, existe um

monomorfismo k V. Aplicando T neste monomorfismo, obtemos o epimorfis-

mo O = T (V ) T(k) = H om R(k , E) = k, o que é uma contradição. Portanto, E é

Artiniano.

(4) Se N é Artiniano, então existe um mergulho N E" para algum inteiro 71:

COMO N é Artiniano Soc N é um k-espaço vetorial de dimensão finita. Além disso,

a extensão Soc Nc Né essencial. De fato, se x E N, então Rx é um módulo Artini-

ano finitamente gerado, e daí Rx n Soc N = Soc Rx 0. Seja N c I um mergulho

de N em um R-módulo injetivo /. Por 3.26,uma envoltória injetiva E(N) pode ser

escolhida como uma extensão essencial maximal de N em /. Visto que a extensão

Soc NCNé essencial, E(N) pode ser visto como uma envoltória injetiva de Soc N.

Suponha Soc N kn; desta forma, concluímos que N c E(Soc N)e=" E.

Agora as demonstrações das afirmações do teorema que estão faltando, segue facil-

mente. (b) Seja N E .4(R). Então, por (4) e-riste um mergulho N C E", o qual por (2)

induz o epimorfismo R" T(N); portanto T(N) E .F(R). Reciprocamente, suponha

62

M E .F(R). Escolha um epimorfismo R" -* M. Deste epimorfismo resulta o mergu-

lho T(M) -+ E". O módulo E é Artiniano por (3), e assim todo sub-módulo de E"

é Artiniano. Logo, T(M) E .4(R).

(c) Por (4) existe um inteiro ii e uma seqüência exata que pode ser completada

ao diagrama comutativo

W ' O O N E" '

T(T(W)) o O T(T(E")) - - T(T(N)) - -

onde a, fl, -y são os homomorfismos canônicos.

Segue de (2) que fi é um isomorfismo. Então, pelo Lema da Cobra, a é um

isomorfismo se, e somente se, -y é um monomorfismo Seja x E Ker 'y. Então y(x) = O

para todo homomorfismo ço E HomR(W,E). Suponha x $ O e seja ip : Rx -4 E o

homomorfismo que leva x a um elemento não nulo de Soc E. Assim, '(x) $ O, e

como E é injetivo, pode ser estendido a um homomorfismo W -* E. Temos,

então, que w(x) $ O. Absurdo, portanto a é um isomorfismo.

Similarmente se prova que a aplicação natural M -* T(T(M)) é um isomorfismo,

partindo da seguinte seqüência exata

O - U - 1?' - M - O

e usando o fato de que o homomorfismo natural R -* T(T(R)) é um isomorfismo (que

é conseqüência imediata de (2)). a

63

Capitulo 4

Módulo Canônic

Definição 4.1 Seja (R, In, k) um anel de C-M local. Um módulo C de C-M maximal,

isto é, dim C = dim R, de tipo 1 e de dimensão injetiva finita é chamado um módulo

canônico de R

Note que por 1.10 prof M = mim{i : ExtiR(k,M) 0}, por 3.16 dim inj M =

sup{i : Ex4(k,M) O} e de 3.19 dim inj C = prof R. Assim, C é um módulo

canônico de R se, e somente se,

dimk ExtiR(k, C) = bid, d = dim R.

Temos duas questões: quando o módulo canônico existe? E se, neste caso, é

unicamente determinado a menos de isomorfismo? Esta questão tem uma solução

simples no caso em que dim R = 0: por 3.30, ER(k) é o módulo canônico unicamente

determinado.

Para provar a unicidade em geral, precisaremos dos seguintes resultados:

64

Lema 4.2 Seja (R, m, k) um anel Noetheriano local, W : M - N um homomor-

fismo de R-módulos finitamente gerados e x uma N-seqüência. Se y ® R/x é um

isomorfismo, então y é um isomorfismo.

Dem. A sobrejetividade de W segue do Lema de Nakayama. De fato, por hipótese

ço(M/xM) = N/xN, daí para y E N, existe z E M tal que y + xN = w(z + xM) =

ço(z) + xN, assim y - (z) E xN. Portanto, N = W(M) + xN. Logo, pelo lema de

Nakayama, N = ço(M). Para provar que w é injetiva, vamos assumir, sem perda de

generalidade, que x consiste de apenas um elemento, digamos x. Seja Çõ = ® R/(x).

Seja z E Ker p; então (z) = O, e daí, como Ço é injetiva, z E xM. Portanto,

podemos escrever z = zy, y E M. Assim, O = ço(z) = xq(y) e como x é regular em

N, segue que = O. E, como acima, y E xM, e portanto z E x 2 M. Indutivamente,

concluímos que .z E fl>ixM. Segue do Teorema da Intersecção de Krull que z = O.

1

Proposição 4 3 Seja (R, itt, k) um anel de C-M local de dimensão d, e C um

módulo de C-M maximal.

(a) Suponha que M é um R-módulo de C-M maximal com Ex4(M, C) = O para

todo j > O. Então, Hom ft(M, C) é um módulo de C-M maximal, e para toda

R-seqiiência x temos

Horn, ft(M, C) ® R/xR HomR/X ft(M/xM, C/xC).

(b) Assuma também que a dimensão injetiva de C é finita, e M é um R-módulo de

C-M de dimensão t. Então,

(i) Ext(M, C) = O para j 7É d - t,

65

ExtdR-t (M,C) é um módulo de C-M de dimensão t.

Dem.

(a) Seja z E Zn um elemento R-regular. Note que z é também C-regular. De fato,

como C é um módulo C-M maximal, ideais primos associados de C são os ideais

primos minimais de R. Segue que Ass C c Ass R. Assim, todo elemento R-regular

é C-regular. A seqüência exata

C C —» O,

induz, por hipótese, a seguinte seqüência exata

O HomR(M, C) 4- HomR(M, C) —» HomR(M, fE.) O,

Assim, obtemos

R M C (*) C HOMR(M r="1 OMR(M C) 0 Hom R (-

— Homft(M, xuri) zItt xC zHomn(M,C) zR •

(b) (i) Seja I = Ann M; por 1.11 (e) grau(I,C) = mim{i ; ExtiR(M,C) 0}.

Mas, por outro lado, de 2.2(3) grau(I,C) = dim C — dim C IIC > d — t, visto que

dim C = d e dimN/ C//C < dim RII = dim M = t. Assim, ExeR(M, C) = O

para todo j < d — t. Mostraremos por indução em t que Ext-k(M, C) = O para todo

módulo 0-M t-dimensional M e para todo j > d — t.

Se t = O, então, por 3.19, temos que dim inj C = d. Assim, Ext2R(M, C) = O para

todo j > d. Agora suponha t > O e seja z E tn um elemento M-regular. A seqüência

exata

induz a seqüência exata

ExtiR(M, C) ExtiR(M, C) —» Ext.)» (, C).

66

Xm Mas dim = t-1 e M/xM é C-M. Portanto, por hipótese de indução, Ext'(, C) = XM

0 para todo j > d - t. Logo, a multiplicação por x na seqüência exata acima é sobre-

jetiva, isto é,

(x)E4(M, C) = E4(M, C) Nakama E4(M, C) = 0, Vi > d - t.

(ii) Usaremos novamente indução sobre t. Se t = 0, devemos mostrar que

Ex4(M, C) é um módulo C-M de dimensão 0. Como todo módulo Noetheriano de di-

mensão O é C-M, basta verificar que dim Ex4(M, C) = O. Note que Supp Ex4(M, C)

Supp M = V(Ann M). De fato, como R é Noetheriano, M e N são finitamente gera-

dos, (Ex4(M, C)) Extdft (Mv, C) para todo p E Spec R (veja [2], Teorema 9.50).

Assim, todo p E Supp Ex4(M, C), p D Ann M. E como dim R/Ann M = dim, M =

0, segue que dim Extj(M, C) = O.

Agora, suponha que dim M = t > O e seja x E m um elemento M-regular. Por

(i), da seqüência exata

o M-- M— -- O XM

temos a seqüência exata

O - Extdj-t(M,C)_. Ext_t(M,C)_. Ex4_(t_)(,C)_ 0. XM

Daí, x é regular em Extjt(M, C) o que implica, por hipótese de indução que Ext_t(M, C)

éC-M. .

Agora veremos a unicidade do módulo canônico.

Teorema 4.4 Seja (R, m, k) um anel de C-M local e seja C e C' módulos canônicos

de R. Então

67

(a) fc-. 11 E R (k) para toda R-seqiiência maximal x.

(6) os módulos canônicos C e C' são isomorfos.

(c) HomR(C, C') R e qualquer gerador de HomR(C, C') é um isomorfismo.

(d) o homomorfismo canônico R —> EndR(C) é um isomorfismo.

Dem.

Seja x uma R-seqüência maximal e d o seu comprimento. Por 3.17 dim inj =

dim injRC — d. Como dim injRC 3à9 prof R = d, segue que dim injRA,c)ChcC =

e, portanto C/xC é um R/(x)-módulo injetivo e tem tipo 1 por definição. E como

Spec RN= mlx, o resultado segue por 3.30.

(b) e (c) Do item (a) temos

C C' XC b7Y XC

Agora 4.3 e 3.33 implica que

R C C' R

HornR(c,c") CEOR 11 '="1" 0771 R,

) XC XCI (x)

e daí, pelo lema de Nalçayama, HomR(C, C') é cíclico. Seja cp um gerador desse

módulo. Então, a inclusão natural Rcp —> H omR(C , C') induz o isomorfismo acima

módulo x. Por, 4.3, HomR(C, C') é um módulo de C-M maximal. Deste modo, 4.2

implica que Rcp HomR(C, C') é um isomorfismo. Em particular, segue que Rcp é

um módulo de C-M maximal. Podemos, então, aplicar novamente 4.2 para concluir

que R —> Rcp é um isomorfismo, também.

Agora, vamos mostrar que cp : C —> C' é um isomorfismo. Note que cp 0 R/(x) pode

ser identificada com um gerador de End(ERAx )(k)). Assim, segue de 3.33(e)(ii) que

cp R/(x) é um isomorfismo. Como C' é um módulo de C-M, 4.2 implica que cp

é isomorfismo. É claro que qualquer outro isomorfismo C —> C' é um gerador de

HomR(C, C'), também.

68

(d) a demonstração é similar.

Tendo em vista este resultado, denotaremos o módulo canônico de R, provado

que ele existe, por WR.

O próximo teorema lista algumas fórmulas úteis sobre módulos canônicos.

Teorema 4.5 Seja (R, m, k) um anel de C-M local cora módulo canônico WR. Então,

(a) wjI, WR/XR para toda R-scqüência x, isto é, o módulo canônico especializa,

(b) (WR)p wR, para todo p E Spec R, isto é, o módulo canônico localiza.

Dem.

(a) Primeiramente, note que x é uma W R-seqüência, pois t0R é C-M maximal. O

(R/xR)-módulo wft/xwft tem dimensão injetiva finita; veja 3.17. Como r(WR/xwJt) 1:1:6

r(wR) . r(k) = r(WR) = 1, o módulo CQR/XWR é o módulo canônico de R/xR, por defi-

nição.

(b) O R,-módulo (wff)p tem dimensão injetiva finita (veja 3.11), e é novamente

um módulo de C-M maximal. Resta mostrar que r((WR)p) = 1. Seja x uma seqüência

de elementos de R cujas imagens em R é uma R-seqüência maximal. Então, por

3.17,

x(wn)p

é um módulo injetivo sobre o anel Artiniano local A = R/xR. Segue de 3.29 e 3.30

que

M EA(k(p))', r = r(M).

69

De 3.33 temos

(1) HomA(M, M)

Por outro lado, por 4.5 obtemos

(2) HomA(M, M) HomRixR(wR/noR,(4.,R/x0-,R)p l'-

HornRixR(wRixR, wRixR)p (R/xR)p = A.

Para o primeiro isomorfismo, usamos o fato de que o anel dos endomorfismos do

módulo canônico S = RIxR é isomorfo a S; veja 4.4. Comparando (1) e (2), obtemos

que r = 1 como queríamos.

4.1 Existência do Módulo Canônico

Teorema 4.6 Seja (R, m,k) um anel local C-M. São equivalentes:

(a) R admite um módulo canônico;

(b) R é imagem homomórfica de um anel local de Gorenstein.

Dem.

(a) = (b): O anel R é uma imagem homomórfica da extensão trivial R * cuR (Veja

na seção a definição de extensão trivial). Vamos mostra que R * coR é uma anel

de Gorenstein. Seja x uma seqüência R-regular de comprimento máximo. Assim, x

também é uma R*wirseqüência maximal. De fato, como x1 é R*ÜJR-regular, pois é R

e wirregular. E como wR /(x i , ,xi_1)0.,R é o módulo canônico de R/(xh ,

temos que xi é wR/(xi, • • • , xi-1)0JR-regular. Finalmente, R * witlxR* coR 0 pois

RixR 0. Note que

(R* wR )Ix(R* wR ) (RIxR)* (wRIxwR)•

70

Por 4.4 (a), coR/xcoR ERixR(k). Tendo em mente a caracterização de anéis de

Gorenstein, podemos assumir que R é Artiniano, e resta mostrar que o tipo do anel

Artiniano local R' = R * ER(k) é 1.

Seja (a, x) E Soc R; então (b, 0)(a, x) = (ba,bx) = (0,0) para todo b E m. Isto

implica que a E Soe RexE Soe ER(k).

Suponha que a 0. A seqüência exata

R 2.- R/(a) —,- 0

por 3.7, induz a seqüência exata

0 —,- ER/@)(k) ER(k)r- ER(k).

Como

l(RRI(a)(k)) = l(R1(a)) < l(R) = 1(ER(k))

(veja 3.14), a multiplicação por a em ER(k) não pode ser a aplicação nula. Portanto,

existe y E ER(k) com ay 0, e daí (0, y)(a, x) = (0, ay) (0,0), que é um contradição

pois (0, y) E m* ER(k) que é o ideal maximal de R'. Assim a = O e concluímos que

Soe (R* ER(k)) Soe ER(k), e daí, por 3.33, 1 = r(ER(k)) = r(R * ER(k)). (h) = (a) segue do teorema 4.8 abaixo.

Observação 4.7 Seja R um anel local de C-M, C um R-módulo de C-M maximal,

e x uma R-seqüência. Se C/xC é o módulo canônico de R/(x), então C é o módulo

canônico de R. De fato, primeiramente note que dirn inj C < co por 3.17 e por 1.16

C R , rRi(x)k — — rRi(x)(C ) () = r R(C) • rn(k).

xC x

Como riv(x)(£) = 1 e rA(k) = 1, concluímos que rR(C) = 1. Logo, C é o módulo

canônico de R.

71

Teorema 4.8 Seja (R, m, k) um anel local C-M. (a) São equivalentes:

(i) R é Gorestein; (ii) coR existe e é isomorfo a R.

(b) Seja ço : (R, m) (S, n) um hornornorfisrno local de anéis de C-M locais tal que S é um R-módulo finitamente gerado. Se coR existe, então ws existe e

ws rat ExttR(S, wR), t = dim R — dim S.

Dem.

(a) Segue de 3.20 e 3.32.

(b) Note que dim S = dim (RI Ker yo), então por 2.2(b) grau(Ker g>, R) = dim R — dim (RI Ker yo) = dim R — dim S. Assim, existe uma R-seqüência x =

x1,..., xt, com xt E Ker yo e t = dim R—dim S. Seja É = RlxR. Como wR/(x)wR r="' wR, temos ExttR(S, wR) HomR(S, wÈ), por 3.18. Daí, podemos assumir desde o

início que dim R = dim S. Seja d = dim R, e y = yi, , yd uma R-seqüência. Então, y é wR e HomR(S, wR)-

regular, pois ambos são módulos de C-M de dimensão d; veja 4.3. Também por 4.3(a)

segue que

H OMR(S (41Ft) ®R 1i4 .'L=2 H OMR/ (Si Cl) R),

onde R' = RI(y)R, e S' = S/(y)S. Pela observação anterior, é suficiente mostrar

que HomR,(S',wR ) é o módulo canônico de S'. Como wif E RI (k), pois é injeti-

vo de tipo 1, por 3.7 temos que Homif (St, ER, (k)) é um S'-modulo injetivo, e daí

HomR, (Si ER, (k)) E5 (k)r, para algum r >0. Por 3.34(b) e (e) (i) temos,

1(E5 ( k)) = 1(8') = l(Homfr (5', E 2 (k))) = rl(Es, (k));

Portanto, r = 1.

72

Referências Bibliográficas

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73