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Módulo 1

Atividades Adicionais Matemática

1. A negação da sentença: existem números irracionais e todos os naturais são racionais é:

a) Não existem números irracionais e nem todos os naturais são racionais.

b) Todos os números não são irracionais, mas todos os naturais são não irracionais.

c) Nem existem números irracionais e nem todos os naturais são racionais.

d) Todos os números não são irracionais ou existem naturais que não são racionais.

e) Existem números não irracionais ou todos os natu-rais não são racionais.

2. (IBMEC) Sabe-se que entre os agentes Mileum, Mile-dois e Miletrês do Serviço Secreto Vitruviano há um espião (e apenas um). Esses três agentes trabalham em equipe da seguinte maneira:

• Cada um deles recebe duas mensagens, que sem-pre são sentenças (ou seja, declarações que so-mente podem ser verdadeiras ou falsas);

• Cada mensagem vem endereçada a um dos ou-tros dois membros da equipe;

• Assim, cada uma das duas mensagens deve ser fielmente transmitida pelo agente que a recebeu para os outros dois membros da equipe, cada uma para seu destinatário.

Ainda não se sabe qual dos três é o espião, mas já foi descoberto que o espião transmite sempre as nega-ções das mensagens que ele recebe, no lugar das sentenças originais. Dessa forma, para desmascará--lo foram enviadas seis mensagens verdadeiras para os agentes, duas para cada um, que deveriam circu-lar conforme o esquema anteriormente apresenta-do. A transmissão das informações entre os agentes foi registrada a seguir:

Mileum " Miledois: Eu não sou o espião e Miletrês também não é.

Mileum " Miletrês: Você não é o espião.

Miledois " Mileum: Se Miletrês não é o espião, então o espião é você.

Miledois " Miletrês: Mileum é o espião.

Miletrês " Mileum: Miledois é o espião.

Miletrês " Miledois: Se eu não sou o espião, então o Mileum também não é.

Determine quem é o espião, justificando seu ra-ciocinio.

3. (IBMEC) Duas personalidades inseparáveis, Gollum e Sméagol, dialogam de uma maneira bem peculiar:

• Gollum sempre inicia com uma declaração que necessariamente é verdadeira ou falsa;

• Para cada declaração verdadeira proferida por Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração falsa e, para cada declaração falsa proferida por Gollum, Sméagol faz em seguida uma declaração verdadeira;

• Independente do que foi dito por Sméagol, Gollum faz na sequência uma outra declaração que é necessariamente verdadeira ou falsa, caso queira continuar o diálogo.

Considere que no diálogo a seguir, "nós" sempre se refere apenas a Sméagol e Gollum e que o "Mestre" não é nenhum dos dois.

1) Gollum: Se nós arrancarmos o dedo do precioso, então nós nunca mais morreremos.

2) Sméagol: Se nós nunca morreremos, então o Mes-tre é imortal.

3) Gollum: O Mestre é mortal, e estamos com o dedo certo, com o do precioso.

4) Sméagol: O dedo que arrancamos é o do precioso, nos vamos morrer, ou o Mestre é imortal.

Classifique cada uma das sentenças a seguir como verdadeira ou falsa, justificando seu raciocínio.

p: Sméagol e Gollum arrancaram o dedo do pre-cioso.

q: Sméagol e Gollum nunca mais morrerão.r: O Mestre é imortal.

4. (PUC) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, pode-se afirmar que:

a) {1} z Ab) {1} f Ac) {1} + {2} j Ad) 2 d Ae) {1} , {2} d A

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5. (FAAP) Analisando-se os resultados dos 112 alu-nos do 1o- semestre de uma faculdade verificou-se que 58 ficaram reprovados em matemática, 42 em informática e 31 foram reprovados em todas as disciplinas. Quantos desses alunos ficaram re-provados nas duas disciplinas: matemática e in-formática?

a) 15b) 19c) 23d) 25e) 39

6. (UERJ) Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou morenas; quanta à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa iden-tificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos.

Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos.

7. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:

• 40% dos entrevistados Ieem o jornal A;• 55% dos entrevistados Ieem o jornal B;• 35% dos entrevistados Ieem o jornal C;• 12% dos entrevistados Ieem os jornais A e B;• 15% dos entrevistados Ieem os jornais A e C;• 19% dos entrevistados Ieem os jornais B e C;• 7% dos entrevistados Ieem os três jornais;• 135 pessoas entrevistadas não Ieem nenhum dos

três jornais.Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi:

a) 1 200 b) 1 500 c) 1 250 d) 1 350

8. (FGV) Para esta questão, considere a seguinte no-tação:

A' = complemento de A em relação ao universo U. Sejam os conjuntos X, Y e Z. Qual das afirmações é falsa?

a) Se x f Y f Z então (Z − Y) f (Z − X)b) (X , Y) − Y = X − Y c) X + X' = X.d) Se X = Y’, então Y = X'.e) (X , X') + (Y + Y') = 0

9. lndica-se por n (X) o número de elementos de um conjunto X. Sejam os conjuntos A e B tais que

n(A , B) = 12, n(A + B) = 5 e n (B − A) = 3. Nestas con-dições, n(A × B) é igual a:

a) 21 b) 36 c) 40 d) 56 e) 72

10. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sejam M = {(a; b)} d A × B mdc (a; b) = 2} e N = {(a; b) d A × B b = 2a}. Determine:

a) N k M b) N , M

11. (CESGRANRIO) Dados os conjuntos

A = 1, 12

, {x d R 2 < x < 3}

e B = {x d R 1≤ x ≤ 2}, o gráfico de A × B é melhor representado por:

a) 2

1

1 2 332

b) 2

1

1 2 332

c) 2

1

1 2 332

d) 2

1

1 2 332

e) 2

1

1 2 332

12. (UNIFESP) Há funções y = f(x) que possuem a se-guinte propriedade: “a valores distintos de x corres-pondem valores distintos de y".

Tais funções são chamadas injetoras.

Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem a seguir, é injetora?

a)

x1

y b)

x1

y

c)

x1

y d)

x1

y

e)

x1

y

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13. (ESPM) O gráfico a seguir mostra uma reta que re-presenta a função f(x), cuja inversa é f−1(x). O valor de f−1(1) é:

y

x40

2

a) 1 b) 32

c) 2 d) 52

e) 3

14. (AFA) Se f e g são funções de R em R definidas por

f(3x + 2) = 3x − 2

5 e g(x − 3) = 5x − 2, então f(g(x)) é:

a) x − 4

5 b)

5x + 95

c) 5x + 13 d) 5x + 11

5

e) 5x + 9

3

15. Para cada número real x ≠ 1, define-se f(x) por

f(x) = x

x − 1

Então, f(f(x)) é sempre igual a:a) x b) −x c) f(x)

d) f(x)2 e) f(x2)

16. (VUNESP) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b. Determine o conjunto C dos pontos (a; b) d R2 tais que f ο g = g ο f.

17. (FCC) O gráfico de uma função y = f(x) de domínio real, periódica, de período 3, no intervalo [2; 5], é:

x8765432

2

1

1

f(x)

No intervalo [−1; 1], o gráfico será:

a) 2

321–1

1

f(x)

x

b)

–1 321

2

1

f(x)

x

c)

–1 321

2

f(x)

x

1

d)

–1 321

2

1

f(x)

x

e)

–1

2

1

f(x)

x321 x

18. (UNIFESP) Seja a função f: R " R, dada por f(x) = sen x.

Considere as afirmações seguintes:

1) A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(−x), para todo x real.

2) A função f(x) é periódica de período 2π, isto é, f(x + 2π) = f(x), para todo x real.

3) A função f(x) é sobrejetora.

4) f(0) = 0, f (π3 ) = 2

3 e f (π2 ) = 1

São verdadeiras as afirmações: a) 1 e 3, apenas. b) 3 e 4, apenas.c) 2 e 4, apenas. d) 1, 2 e 3, apenas.e) 1, 2, 3 e 4.

19. (MACK) Considerando-se as afirmações a seguir, as-sinale a alternativa correta:

I. Toda função bijetora é uma função ímpar.II. Toda função par é bijetora.III. A função de R em R, definida por f(x) = ax + b, com

a, b ≠ 0, não é par, nem ímpar.

IV. A função de [−1; 1] em − π2

; π2

, definida por f(x) = arc sen x, é impar.

a) São verdadeiras as afirmações I e II.b) São verdadeiras as afirmações I e III.c) São verdadeiras as afirmações II e IV.d) São verdadeiras as afirmações III e IV.e) São verdadeiras as afirmações I e IV.

20. (PUC) A produção diária de um certo produto, reali-zada por um determinado operário, é avaliada por: Produção = 8 ⋅ x + 9 ⋅ x2 − x3 unidades, x horas após às 8 horas da manhã, quando começa o seu turno.

a) Qual é a sua produção até o meio-dia?b) Qual é a sua produção durante a quarta hora de

trabalho?

21. (UFMA) Dada a função f:[−2; + ∞ ] " [−4; + ∞ ) defi-nida por f(x) = x2 + 4x:

a) Esboce o gráfico cartesiano de f.b) A função f admite a inversa? Em caso afirmativo,

calcule f−1(x).

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22. Das representações gráficas a seguir, a que melhor re-presenta o esboço do gráfico da função f: R − {2} " R

definida por f(x) = x 2x 4x 42

-- +

é:

a)

2

1

–1

y

x

b)

2

1

y

x

c)

2

1

y

x

d)

2

1

y

x

e)

2

–1

y

x

23. (FEI) Se A(x) = x2 − 1 e B(x) = 1 − x2, determine o domínio e o conjunto imagem da função f(x) = A (x) + (x)B .

24. (FGV) seja f uma função de N* " R tal que

f(n + 1) = .

22 ( ) 1f n + e f(1) = 2.

Nessas condições, f(101) é igual a:

a) 49b) 50 c) 51 d) 52 e) 53

25. Dizemos que (a, f(a)) é um ponto fixo do gráfico de uma função real f : R " R se f(a) = a. Se f(x) = x2 + 8x + 6, então a distância entre os pontos fixos do gráfico de f é:

a) 7 2 b) 4 2 c) 8 2 d) 5 2 e) 6 2

26. (UFSCar) Seja f: N " Q uma função definida por

f(x) = x + 1, se x é impar

2x ,se x é par

Se n é impar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de n é igual a:

a) 10b) 9c) 8d) 7e) 6

27. Sejam f e g funções reais tais que f(g(x)) = x2 − 3x + 2 e g(x) = 2x − 3, para todo x d R. A partir dessas in-formações, considere as seguintes afirmativas, atribuindo V para a(s) verdadeira(s) e f para a(s) falsa(s):

( ) As raízes de f são −1 e 1.( ) O produto de f(3) e g(f(7)) é igual a 60.

( ) O resto da divisão de f(g(x)) por g(x) é igual a − 41 .

( ) Para todo x ≤ 3 tem-se que f(g(x)) ≤ 2.a) F, F, V, F.b) V, F, V, F.c) F, V, V, F.d) V, V, F, V.e) F, V, F, V.

28. (FAAP) Dados os seguintes intervalos:

A = [3, 6[ = { x d R, tal que 3 ≤ x < 6}

B = ]2, 7] = { x d R, tal que 2 < x ≤ 7}

C = [2, 6[ = { x d R, tal que 2 ≤ x < 6}

em que R é o conjunto dos números reais, o interva-lo (A , B) + (A , C) é igual a:

a) [2; 6]b) [2; 6[c) ]2; 6]d) ]2; 6[e) n.r.a.

29. Se x = 1, 666..., o valor numérico da expressão

x x

x x1

1

12

+ −

+ é:

a) 35

b) 43

c) 38

d) 83

e) 53

30. Se pq

é a fração irredutível equivalente a 6,888...2,444...

, o

valor de p + q é:

a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42

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31. (FUVEST) Dados dois números reais a e b que satis-fazem as desigualdades 1 ≤ a ≤ 2 e 3 ≤ b ≤ 5, pode-se afirmar que:

a) ab

≤ 25

b) ab

≥ 23

c) 15

≤ ab

≤ 23

d) 15

≤ ab

≤ 12

e) 32

≤ ab

≤ 5

32. (FATEC) sejam a e b números irracionais. Das afir-mações:

I. a ⋅ b é um número irracional. II. a + b é um número irracional.III. a − b pode ser um número racional.pode-se concluir que: a) as três são faIsas.b) as três são verdadeiras.c) somente I e II são verdadeiras.d) somente I é verdadeira.e) somente I e II são falsas.

33. (FUVEST) Na figura estão representados geometri-camente os números reais 0, x, y e 1.

0 x y 1

Qual a posição do número xy?

a) À esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y.d) Entre y e 1. e) À direita de 1.

34. Sendo A = 10 6 833 2- + e B = 7 7 9+ − ,

calcule o valor de A B2 2+ .

35. (MACK) Em uma promoção de final de semana, uma montadora de veículos colocou à venda n unida-des, ao preço único de R$ 20.000, 00.

No sábado, foram vendidos 29

dos veículos, no do-

mingo, 17

do que restou, e sobraram 300 veículos.

Nesse final de semana, se os n veículos tivessem sido vendidos, a receita da montadora, em miihões de reais, seria de:

a) 7, 6 b) 8, 4 c) 7 d) 9, 5 e) 9

36. Um automóvel flex, que funciona com álcool e ga-solina misturados em qualquer proporção, está com meio tanque de combustível, com uma mistu-ra de álcool e gasolina na proporção de 3 : 7. O mo-torista, então, completa o tanque colocando o res-tante com uma mistura de álcool e gasolina na proporção de 3 : 5. A proporção final de álcool e gasolina no tanque cheio é de:

a) 9 : 35 b) 27 : 53 c) 15 : 21 d) 36 : 35 e) 27 : 35

37. (MACK) Subtraindo 8 – 3 7

5 de

7 312

+ , obtém-se:

a) 81 − 4 7 b) 22 + 21 7 c) −22 − 21 7d) 41 7 − 81 e) n.r.a.

38. (FUVEST) Usando (1, 41)2 < 2 < (1,42)2, prove que:

6,1 < 5

1 500

+ < 6,3

39. (MACK) I. Se k + 1k

= 3, então kk13

3+ = 3 2 .

II.( 3 5+ + 3 – 5 )2 = 10

III. Não existe x real tal que 2– 4 4x x

–x

2 + = x − 2

Relativamente às afirmações anteriores, é correto afirmar que:

a) todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) somente I e II são verdadeiras.d) somente I e Ill são verdadeiras.e) somente II e Ill são verdadeiras.

40. (PUC) Simplificando a fração a – ac

a ab – ac – bc2

2 +,

obtém-se:

a) ab − ac b) aa b+

c) aa c–

d) a b

ca2 +

e) a − b

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41. (MACK) O valor da expressão 2 2

2 2 22 –1n n

n n4n 2 1

–

–

++ +++

é:

a) 1b) 2n+1

c) 833

d) 382

e) n

42. (FATEC) Se os números reais x e y são tais que

y = x x

xx

x x3 3 1

23 2

3 2

+++ +

+, então y é igual a:

a) 27

b) 2

xx

3++

c) 3xx 1

++

d) xx

1+

e) ( )xx

3 12 1

++

43. (FGV) A expressão a – ba b–

– –

–4 –4

2 2 equivale a:

a) a−2 − b−2 b) a−2 + b2 c) a2 − b−2 d) a2 − b2 e) a−2 + b−2

44. A expressão a ba b

a – ba b–3 3 3 3

++d dn n (a ≠ ±b) é equiva-

lente a:

a) a2 + 2ab + b2 b) a3 + ab − b3 c) a4 + b4 d) a4 + a2b2 + b4 e) a4 − a2b2 + b4

45. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira foto-cópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo de 100 foIhas; o que exceder a 100 folhas, a empre-sa cobra R$ 0,08 por folha.

a) Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total?

b) Chamando de y o preço total e x o número de fo-tocópias tiradas por um cliente, expresse y em função de x.

46. (MACK) Em cada uma das salas de aula de uma es-cola existem 30 carteiras. Distribuídos os alunos da escola nas salas, uma delas fica com exatamente 20

carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocu-padas. Utiiizando 4 salas a menos, e acrescentando 10 carteiras em cada uma delas, todas ficam total-mente ocupadas. O número de alunos da escola é:

a) 370 b) 380 c) 400 d) 410 e) 440

47. (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contri-buir com RS 135,00 para as despesas. Como 7 alu-nos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar RS 27, 00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?

a) R$ 136,00 b) R$ 138,00 c) RS 140,00 d) R$ 142,00 e) R$ 144,00

48. (FATEC) Sobre as raízes reais da equação x + – 1232

x = 0, é verdade que:

a) uma delas é o dobro da outra.b) têm sinais contrários.c) são maiores que 10.d) não são inteiras.e) são inexistentes.

49. (FAAP) Determine o valor de p para que as raízes da

equação x2 − (p + 1)x + p p4

4

2 + = 0 sejam reais e

iguais.

50. (VUNESP) Um vaIor de m para o quaI uma das raízes da equação x2 − 3mx + 5m = 0 é o dobro da outra é:

a) − 25

b) 2 c) −2d) −5

e) 25

51. Determine os valores de m para que a equação (m + 1)x2 − 2mx + (m − 1) = 0 tenha uma raiz positiva e outra negativa.

52. (UFMS) Considere os poIinômios p(x) = x2 − mx + 4 e q(x) = x2 − 4x + n, onde m, n d R. Sabendo que p(x)

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tem uma única raiz real e que uma das raízes de q(x) é zero, considere as seguintes afirmações:

I. m + n = 4, se m > 0. II. m − n = −4.III. {0; 4} é o conjunto solução da equação q(x) = 0.IV. A soma das raízes de p(x) é 4 ou −4.V. Se p(1) = 9, então m = 4.

Somente estão corretas as afirmações:a) I e II.b) III, IV e V. c) III e IV.d) II, IV e V. e) I, III e IV.

53. Resolva as equações seguintes (U = R):

a) x4 − x2 − 12 = 0b) x6 − 28x3 + 27 = 0

54. . Determine as raízes da equação:

– 47

1x x2

2 +d n − 1,25 – 47

1x x2 +d n + 0, 25 = 0

55. (FUVEST) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x2 + 33x − 7 = 0. O número inteiro mais próximo do nú-mero 5x1x2 + 2(x1 + x2) é:

a) −33 b) −10 c) −7 d) 10 e) 33

56. (PUC-C) No conjunto R, o conjunto verdade de −x2 + 2x + 15 < 0 é:

a) V = {3, 5} b) V = {x d R −3 < x < 5}c) V = {x d R x ≠ −3 e x ≠ 5} d) V = {x d R x < −3 ou x > 5}e) n.d.a

57. (FAAP) Resolver a inequação (x2 − 5x + 6)(−x2 + 5x − 4) > 0.

58. (FUVEST) Resolver a inequação – 3

1x x– –x x2

2 ≥ 0.

59. (FGV) Seja R o conjunto dos números reais. O con-

junto solução da inequação –– 3

xx

2 ≤ x − 1 é:

a) {x d R 1 ≤ x < 2} b) {x d R x > 2}c) {x d R x ≤ 1} d) {x d R x ≥ 2}e) {x d R x < 0}

60. (FATEC) Se –x3 27

42 − 93x

x+ ≤ 0, então:

a) x d ] −∞ ; −1] , [4; +∞ [b) x d ] −∞ ; −3] , [−1; 3[ , [4; +∞ [c) x d ]−∞ ; −4] , [−3; 1] , ]3; +∞ [d) x d ]; −3; −1] , ]3; 4]e) n.r.a

61. Resolva o sistema:

–xx

31–2

≥ 0

xx x4 3–2 +

≤ 0

62. (FUVEST) Três cidades A, B e C situam-se ao Iongo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C, e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, Iocalizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.

63. (FUVEST) No segmento AC, toma-se um ponto B de

forma que ACAB

= 2 ABC

B ⋅ Então, o valor de ABC

B é;

a) 21

b) 32

1–

c) 5 1–

d) 21–5

e) 31–5

64. O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um re-lógio às 8 horas e 56 minutos é:

a) 60° b) 64° c) 68° d) 72° e) 82°

65. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de a + b é:

40°

a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220

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66. (INSPER) Na figura a seguir:

•os segmentos AF e BF são congruentes;•a soma das medidas dos ângulos ∠BC E, ∠AD E e

∠CÊD totaliza 130°.

A

C

F

E B

D

Nessas condições, o ângulo ∠DÂB mede:a) 25° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°

67. (UFT) Na figura a seguir, os comprimentos dos Iados AB e BC do triângulo ABC são iguais.

165°

145°

125°

AB

C

O valor do ângulo a na figura é:a) 18° b) 20° c) 25° d) 22° e) 17°

68. Na figura a seguir, o triângulo ADE é equilátero e AD = BD.

BD

C

E

A

Além disso, o triângulo ABC é isósceles de base BC. A medida do ângulo a é:

a) 25° b) 30° c) 35° d) 40°e) 45°

69. (PUC-C) O triângulo ABC é isósceles (AC = BC). AO, BO, CO são bissetrizes respectivamente dos ângulos Â, B e C . Sendo AÔB = 130°, então:

C

A B

O

a) ACO + B = 90°b) Â = 65°, B = 65º, C = 50°,c) AÔC = 135°d) OCB = 60°e) n.r.a.

70. (FUVEST) Na figura a seguir, o Iado de cada quadra-do da malha quadriculada mede 1 unidade de com-

primento. Calcule a razão CBDE

.

B

D

A

EF

C

71. (VUNESP) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4, 8 m de ex-tensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1, 80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao Iongo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.

72. (FUVEST) Na figura, os ângulos assinalados são re-tos. Temos necessariamente:

m

px

y

a) yx

= mp

b) yx

= pm

c) xy = pm d) x2 + y2 = p2 + m2

e) 1x + y

1 = m

1 + p

1

9133133

73. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. O perimetro desse retângulo, em cm, é:

C

A B

PQ

NMa) 4 b) 8c) 12 d) 14 e) 16

74. (FUVEST) No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diago-nal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpen-dicular a BD.

A

B

B

F C

D2

Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco ve-zes a área do triângulo BEF, então BF mede:

a)

82

b) 2

4

c) 2

2

d) 2

43

e) 2

75. Na figura a seguir, BÂC ≅ BC D e BD = CD.

A C

D

B

Sabendo-se que ADBD

=  12 , podemos concluir que

BDBC é igual a:

a) 3 b) 12

c) 2 d) 13

e) n.r.a.

76. O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Pre-servação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF = 5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é:

B

A F G

E

C DObs.: figura ilustrativa sem escala

a) 100 km2

b) 108 km2

c) 210 km2

d) 240 km2

e) 444 km2

77. (FUVEST) Considere em um triângulo acutângulo ABC as alturas AD e BE.

a) Demonstre que os triângulos ADC e BEC são se-melhantes e escreva a relação de proporcionali-dade entre os lados desses triângulos.

b) Demonstre, a seguir, que os triângulos ABC e DEC são semelhantes.

78. (MACK) Na figura ao Iado, pelo ponto O, foram tra-çadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC, obtendo-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 e 9. Então a área do triângulo ABC é:

A

A

O

B

a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81

10133133

79. (VUNESP) Uma certa propriedade rural tem o for-mato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectiva-mente, e o Iado YZ margeia um rio.

W Z

Y

rio

(�gura fora de escala)

X

b

2b

9,4 km

5,7 km

(figura fora de escala)

Se o ângulo XY Z é o dobro do ângulo XW Z, a medi-da, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:

3) 7,5 b) 5,7 c) 4,7 d) 4,3 e) 3,7

80. Define-se geometricamente a razão áurea do se-guinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valo-res AC/AB e CB/AC são lguais. Esse valor comum é chamado "razão áurea"

A C B

"A razão áurea, também denominada propor-ção áurea, número de ouro ou divina propor-ção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas proprie-dades matemáticas estão corretamente enun-ciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estéti-ca são falsas ou equivocadas. lnfelizmente, es-sas afirmações sobre a razão áurea foram am-plamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utili-zados no ensino médio trazem conceitos incor-retos sobre ela."

Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky. Misconceptions about the golden ratio. The College

Mathematics Journal, 23, 1º January, 1992, p. 2-19.

Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágo-no regular.

Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.

A

G

F

E

D

81. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma um ângulo de 60°.

A B

C

D

a) lndicando por Â, B , C e D , respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices A, B, C e D, calcuie  + B e C + D .

b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.

c) Calcule a medida do ângulo MJN.

82. (EN) Considere o triângulo ABC de área S, baricentro G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN é igual a:

a) S2

b) 32S

c) S3

d) S4

e) S

43

83. (FGV) As medianas BD e CE do triângulo ABC indica do na figura são perpendiculares, BD = 8 e CE = 12. Assim, a área do triângulo ABC é:

A

E

B

CD

a) 96 b) 64 c) 48 d) 32 e) 24

11133133

84. (UNEMAT) Na figura a seguir, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de Iado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e CB D = 90°.

A

B

C

D

Qual a medida do segmento AD?

a) 3

b) 34

c) 3100 +

d) 31225 +

e) 32

85. (MACK) A folha de papel retangular da figura I é do-brada como mostra a figura II. Então o segmento DP mede:

A B

C

20

16

D

Figura I

A

BP

CD

Figura II

a) 12 5

b) 10 5

c) 8 5d) 21 e) 25

86. (FAAP) No triângulo ABC, retângulo em A, ao lado, têm-se AC = 8 cm e BC = 10 cm. Sendo AD ⊥ BC, cal-cule o comprimento do segmento AD.

A

8

10

B

C

D

87. (FGV) No triângulo retângulo ABC, retângulo em C, tem-se que AB = 3 3 . Sendo P um ponto de AB tal que PC = 2 e AB perpendicular a PC, a maior medida possível de PB é igual a:

a) 3 3 11

2+

b) 3 11+

c) 23 3 5+_ i

d) 23 3 7+_ i

e) 23 3 11+_ i

88. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a :

a) 43

b) 615

c) 415

d) 425

e) 225

89. No trapézio ABCD, as diagonais AC e BD são perpen-diculares, BC = AD = 5 e a base AB mede 7. A medida da base CD é:

A B

CD

a) 21

b) 1

c) 2 d) 3 e) 4

12133133

93. (FEI) No momento em que a incidência dos raios sola-res ocorre segundo um ângulo de 30°, a partir da linha do horizonte, a sombra projetada no solo (horizontal) por um poste tem comprimento x. No momento em que a incidência ocorre segundo um ângulo de 60°, o comprimento da sombra é y. Se x − y = 2 m, então a altura do poste mede:

a) 2 m b) 2 3 mc) 4 m d) 3 m e) 3 3 m

94. (UNICAMP) Caminhando em Iinha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1 200 metros. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; e, quando em B, verifica que o ângulo NB A é de 45°.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a distância em que se encontra o navio

da praia.

95. (VUNESP) Na figura, os pontos C, D e B são colinea-res e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B.

A

BDC

30° 60°

Se a medida do ângulo ADB é 60° e a medida do ângulo ACB é 30°, demonstre que:

a) AD = DC b) CD = 2 ⋅ DB

96. Na figura a seguir, o triângulo BCD é isósceles de base DC, o raio da circunferência circunscrita ao tri-ângulo ABC é 2 3 e os ângulos têm as medidas as-sinaladas. Determine:

75°

60°A

C

DB

O

90. (FUVEST) Para se calcular a altura de uma torre, uti-lizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figu-ra: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ân-

gulo determinado entre o raio e o solo foi de a =  π3

radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 me-tros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de b radianos, com tgb = 3 3

α

É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é:a) 4 3

b) 5 3

c) 6 3

d) 7 3

e) 8 3

91. (FATEC) No triângulo ABC, onde CM é a altura sobre o Iado AB, temos tg a = 0, 2, tg b = 0, 5 e h = 10. A medida do Iado AB é:

A BM

h

C

α

a) 18 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24

92. (FUVEST)

M t

A

Q

sP

30°

Dados: MP ⊥ s; MQ ⊥ t; MQ ⊥ PQ; MP = 6. Então, PQ é igual a:

a) 3 3 b) 3

c) 6 3 d) 4 3

e) 2 3

13133133

a) o comprimento de BD. b) o comprimento de DC.

97. No triângulo ABC, AB = 8, AC = 6 e m (BÂC) = 60°.

BE e CF são alturas do triângulo, sendo que E está sobre AC e F está sobre AB. Quanta mede EF?

a) 11 b) 12

c) 31 d) 14

e) 15

98. Na figura ao Iado, D e E são pontos médios dos seg-mentos AB e BC, respectivamente, e F é a intersec-ção de AE e CD. Determine os possiveis valores de

FD, sabendo que cos(AF C) = −  1611 , AD = 3 e AE = 6.

BD

E

F

C

A

99. (MACK) A área do triângulo da figura a seguir é:

75

60°

a) 12 3

b) 18 3

c) 10 3

d) 20 3

e) 15 3

100. (EEM-FEI) a) No ∆ABC temos BC = a, AC = b, CÂB = 45° e CB A = 30°. Sendo a + b = 1 + 2 , calcule a.

B

b a

45° 30°

C

A

b) No paralelogramo ABCD, onde AB = 2 m, BC = 1 m e BÂD = 60°, calcule a diagonal maior AC.

60°

B

1 m

2 m

D C

A

14133133

Respostas das Atividades adicionais

Matemática

1. D

2. O enunciado não explicita se os agentas que não são o espião transmitem aos outros membros da equipe as mesmas mensagens que recebem; assim, resolveremos esse problema sem essa suposição.Se Mileum é o espião, ele transmitiu a negação das afir-mações que recebeu. Assim, podemos concluir a partir da segunda sentença que Miletrês é o espião, uma con-tradição. Logo Mileum não é o espião.Se Miletrês é o espião, podemos concluir que a última sentença é falsa. Como uma sentença do tipo p & q é falsa se, e somenta se, p é V e q é F, conclui-se que Mile-três não é o espião, uma contradição.Portanto, o espião é Miledois.

3. De acordo com o enunciado, as sentenças podem ser re-presentadas da seguinte forma:1) Gollum: p & q2) Sméagol: q & r3) Gollum: ∼r ∧ p 4) Sméagol: p ∨ ∼q ∨ R Fazendo a tabela verdade temos;

p q ∼q r ∼r 1 2 3 4

V V F V F V V F V

V F V V F F V F V

V V F F V V F V V

V F V F V F V V V

F V F V F V V F V

F F V V F V V F V

F V F F V V F F F

F F V F V V V F V

Como Gollum e Sméagol não fazem afirmações conse-cutivas, ambas falsas ou verdadeiras, temos que nem as colunas 1 e 2, nem as colunas 3 e 4 podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, p e r são verdadei-ras e q é falsa.

4. E

5. B

6. 13 pessoas

7. B

8. C

9. E

10. Temos M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (4; 6), (4; 10), (6; 4), (6; 8), (6; 10)} e N = {(2; 4), (3; 6); (4: 8); (5; 10)}.a) N + M = {(2; 4)}b) N , M = {(2; 4), (2; 6), (2; 8), (2; 10), (3; 6), (4; 6), (4; 8), (4;

10), (5: 10), (6; 4), (6; 8), (6; 10)}

11. B

12. E

13. C

14. B

15. A

16. C = {(a; b) d R2 3a − b − 3 = 0}

17. A

18. C

19. D

20. a) 112 unidadesb) 34 unidades

21. a) A função f : R " R dada por f(x) = x2 + 4x tem como grá-fico uma parábola com concavidade para cima, cujas raí-zes são −4 e 0 e cujo ponto de mínimo é o ponto (−2; −4) Como o domínio de f é [−2; +∞ [, seu gráfico é o seguinte:

x–2

–4

y

b) Como f é injetora e sobrejetora, segue que esta admite inversa.

Sendo y = x2 + 4x, trocando x por y, temos:x = y2 + 4y + y2 + 4y + 4 = x + 4 + (y + 2)2 = x + 4+ y + 2 = 4x + + y = 4x + − 2 = f−1(x)

22. A

15133133

23. f(x) = ( )A x + ( )B x = 1x –2 + 1 – x2 devemos ter:

x2 − 1 ≥ 0 x2 − 1 ≥ 0 1 − x2 ≥ 0 + x2 − 1 ≤ 0 + x2 − 1 = 0 + x = 1 ∨ x = −1

D(f) = {1,−1}Como f(1) = f(−1) = 0, temos lm(f) = {0}.

24. D

25. A

26. A

27. B

28. D

29. C

30. E

31. C

32. E

33. B

34. A = 10 – 6 8333 + = 10 – 6 233 + =

= 10 – 23 = 2

e B = 7 7 – 9+ = 7 7 – 3+ = 7 2+ = 3.

Logo A B22 + = 16 9+ = 5.

35. A

36. B

37. C

38. (1,41)2 < 2 < (142)2 +1,41< 2 < 1, 42 + 7, 05 < 5 2 < 7,10

+ 7,05 < 50 < 7,10 + 8,05 < 1 + 50 < 8,10 +

+ 8, 051

> 1 50

1+

> 8, 101

+ 8, 0550

> 1 50

50+

>

> 8, 1050

+ 6,22 > 1 50

50+

> 6,17

+ 6,3 > 6,22 > 1 50

50+

> 6,17 > 6,1

+ 6,3 > 1 50

50+

> 6,1

39. C

40. B

41. D

42. D

43. E

44. D

45. a) R$ 18,00b) y = 0,10x, para 0 ≤ x ≤ 100 y = 0, 08x + 2, para x > 100

46. C

47. E

48. A

49. p =  21

50. E

51. Para tal, devemos ter: P < 0

∆ > 0 + 1

– 1mm

+ < 0

(−2m)2 − 4(m − 1)(m + 1) > 0

+ −1 < m < 1

+ −1 < m < 1

4m2 − 4(m2 − 1) > 0 4 > 0+ −1 < m < 1

52. E

53. a) V = {−2; 2}b) V = {1; 3}

54. – 47

1x x2 2+a k − 1,25 – 4

71x x2 +a k + 0, 25 = 0 +

m2 − 45

m + 41

= 0

+ +

m = x2 − 47

x + 1

m = 1 ou m = 41

x2 − 47

x + 1 = 1 4x2 − 7x = 0

+ + ou + ou

m = x2 − 47

x + 1 x2 − 47

x + 1 = 41

4x2 − 7x + 3 = 0

x = 0 ou x = 47

+

x = 1 ou x = 43

V = 0, 1, 43

, 47% /

55. B

56. D

57. V = ]1; 2[ , ]3; 4[

58. V = {x : x d R e (x ≤ 21 – 5

ou x > 3)}

59. B

60. B

61. ––

xx

312

≥ 0 (I)

–

xx x4 32 +

≤ 0 (II)

Cálculo de VI:

Sendo A = x2 − 1 e B = x − 3, temos o seguinte quadro de sinais:

16133133

A

A/B

B

–1 1 3

Assim, VI = [-1; 1] , ]3; + ∞ [Cálculo de VII: Sendo C = x2 − 4x + 3 e D = x, temos o seguinte quadro de sinais:

C

C/D

D

0 1 3

Logo VII = ]-∞ : 0[ , [1; 3].

–1

VI

VII

0 1 3

V = VI ∩ VII

Portanto, o conjunto verdade do sistema é dado por V = VI + VII = [-1; 0[ , {1}.

62. Seja x a distância, em km, entre A e B. Assim, a distância

entre B e C é 32

x e a distância entre A e C é x + 32

x = 3x5

, conforme mostra a figura a seguir:

210

A B P C

x

5x3

Como a distância entre P e B é 210 − x e entre P e C é

3x5

− 210, temos:

3x5

− 210 = (210 − x) − 20 + x = 150 km

A distância que o morador de B deve percorrer é igual à distância entre P e B, ou seja, 210 − 150 = 60 km.

63. B

64. C

65. D

66. A

67. B

68. D

69. A

70. 32

71. 4,08 m

72. B

73. B

74. E

75. E

76. E

77. a) AD C = BÊC (retos) &AA

∆ADC ∼ ∆ABEC A CD = B CE (medem a)

∆ADC ∼ ∆BEC & BEAD

= BCAC

= ECDC

que é a relação de proporcionalidade desejada.

A

α

B D C

E

b) Da proporção anterior: BA

CC

= CC

ED

+ CC

DA

= ECCB

.

Po outro lado, ACB ≅ DCE (medem a)

CC

DA

= ECCB

LAL& ∆ABC ∼ ∆DEC

ACB ≅ DCE

78. B

79. E

80. O ângulo interno do pentágono regular mede

   ( ) º

55 2 180–

= 108º. Assim, no triângulo ADE, que é isós-

celes, m(DÂE) = m(DÊA) = 18 º 108º

20 −

= 36º. Analoga-

mente, m (AD G) = m(FD E) = 36º.No triângulo ABD, m(BÂD) = 36º, m(AD B) = m(AD E) − m(FD E) = 108º − 36º = 72º e m(AB D) = 180º − 36º − 72º = 72º. No triângulo BCD, m(BD C) = m(AD B) − m(AD G) = 72º − 36º = 36º.Assim, os triângulos ABD e DBC têm ângulos de mesma medida, sendo semelhantes pelo caso AA. Além disso,

são isósceles. Sendo m(AD G) = m(DÂE) = 36º, o triângulo ACD é também isósceles. Logo AD = AB e BD = CD = AC.

Pela semelhança, DCAD

= CBB

D + C

AA

B= C

CBA

e, portanto, C

divide AB na razão áurea.

81. a) m(Â) + m(B ) = 120º; m(C ) + m(D ) = 240º.b) JM = JN = 1c) m(MJN) = 60º

17133133

82. C

83. B

84. D

85. B

86. AD = 4,8 cm

87. A

88. D

89. B

90. C

91. D

92. B

93. D

94. a)

60° 45°

A B1 200 m

N

60° 45°

45°

A C B

N

b) 60° 45°

A B1 200 m

N

60° 45°

45°

A C B

N

A distância do navio à praia é d = NC, sendo NC ⊥ AB.Como o ∆BCN, retângulo em C, é isósceles, concluímos que BC = NC = d.Logo AC = 1 200 − d. No triângulo ACN, retângulo em C,

temos CACN

= tg 60º

+ 1200 – dd

= 3 + d = 1 200 3 − d 3 +

+ d( 3 +1) = 1 200 3

+ d = 3

31

1200+

= 3 1 3 1

1200 3 3 1

––

+_ __i i

i = 600(3 − 3 )m.

95. a) Pelo teorema do ângulo externo, m (CÂD)+ m (AC D) = m (AD B) + m (CÂD) + 30° = 60° + m(CÂD) = 30º.Logo o triângulo ADC é isósceIes de base AC, isto é, AD = DC.

b) No triângulo ADB temos que ADDB

= cos 60º.

Portanto, como AD = CD, DDBC = 2

1 + CD = 2DB.

96. a) Sendo BC = BD = x e R = 2 3 o raio da circunferência circunscrita, pela lei dos senos:

ºsenBC

60 = 2R +

23

x = 2 ⋅ 2 3 + x = 6

b) Como o ângulo CB D é externo ao triângulo ABC, m(CB D) = 60° + 75° = 135° e, portanto, pela lei dos cossenos:

CD2 = 62 + 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ cos135° + CD2 = 72 + 36 2

+ CD = 6 22 +

97. E

98. Sendo F a mediana do triângulo ABC, F divide o segmento AE na razão 2 : 1, ou seja, AF = 4 e FE = 2. Sendo θ a medida do ângulo AFC, m(AFD) = 180° − θ e,

assim, cos(AFD) = cos(180° − θ) = −cos θ = − 1611−

= 1611

⋅

Dessa forma, pela lei dos cossenos, no triângulo AFD,

AD2 = AF2 + FD2 − 2 AF ⋅ FD ⋅ cos(AFD) +

+ 9 = 16 + FD2 − 2 ⋅ 4 ⋅ FD ⋅ 1611

+

+ FD2 − 112  ⋅ FD + 7 = 0 +

+ FD = 2 ou FD =  27

 .

99. C

100. a) a = 2 b) AC = 7 m