ISSN 1415-4765

TEXTO PARA DISCUSSÃO Nº 593

Modelos de GeraçõesSuperpostas com Muitas

Gerações: Algoritmo de SoluçãoRoberto de Goes Ellery Junior"

Rogério Boueri Miranda.

Brasília, outubro de 1998

• Técnicos da Coordenação Geral de Finanças Públicas do IPEA.

Modelos de geracoes superpostascom muitas geracoes

111111111111111111111111111111111111111111111

26339-7 IPEA - BSB

MINISTÉRIO DO PLANEJAMENTO E ORÇAMENTOMinistro: Paulo PaivaSecretário Executivo: Martus Tavares

•lPeA Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada

PresidenteFernando Rezende

DIRETORIA

Claudio Monteiro ConsideraGustavo Maia Gomes

Hubimaier Cantuária SantiagoLuís Fernando TironiMariano de Matos MacedoMurilo Lôbo

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A~L'lI\DA ICDE

t~:A:l:':~3~j-1j---jO IPEAé uma fundação pública, vinculada ao Ministério doPlanejamento e Orçamento, cujas finalidades são: auxiliaro ministro na elaboração e no acompanhamento da políticaeconômica e promover atividades de pesquisa econômicaaplicada nas áreas fiscal, financeira, externa e de desenvolvi.mento setorial.

TEXTOPARADISCUSSÃOtem o objetivo de divulgar resultadosde estudos desenvolvidos direta ou indiretamente pelo.IPEA,bem como trabalhos considerados de relevânciapara disseminação pelo Instituto, para informarprofissionais especializados e colher sugestões.

Tiragem: 170 exemplares

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É PERMITIDA A REPRODUÇÃO DESTE TEXTO, DESDE QUE OBRIGATORIAMENTE CITADA A FONTE.REPRODUÇÕES PARA FINS COMERCIAIS SÃO RIGOROSAMENTE PROIBIDAS.

SUMÁRIO

SINOPSE/ABSTRACT

1 INTRODUÇÃO 7

20MODELO 8

3 DESCRiÇÃO DO ALGORITMO 9

4 UM EXEMPLO: ANALISE DE PREVID~NCIA 15

5 CONCLUSÃO 23

REFER~NCIAS BIBLIOGRÁFICAS 24

SINOPSE

O texto apresenta um algoritmo para a resolução de modelos de gerações super-postas com muitas gerações. Uma particularidade do algoritmo apresentado éque não se limita a encontrar os estados estacionários associados a determina-

dos valores dos parâmetros ou a algumas hipóteses de política econômica. Isso confere aesse algoritmo grande utilidade para o estudo de situações em que a trajetória para o es-tado estacionário possa ser determinante na adoção de uma determinada política, casoparticular do problema do financiamento da previdência. Também é apresentado umexemplo de aplicação do algoritmo para simular a transição de um sistema previdenciá-rio do tipo repartição para um do tipo capitalização.

o cONTEúDo DESTE TRABALHO É DA INTEIRA E EXCLUSlV A RESPONSABILIDADE DE SEUS AUTORES, CUJAS OPINiÕESAQUl EMITIDAS NÃO EXPRIMEM, NECESSARlM1ENTE, O PONTO DE VISTA DO

MINISTÉRIO DO PLANEJAMTh'TO E ORÇAMENTO.

ABSTRACT

T he paper provides an algorithm to deals with overlapping generations model. with too many generations. Afeature ofthe algorithm is that it simulates ali the

trajectory ofthe economy, rather than particular steady states associated withsome values to the parameters or police hypothesis, e.g. how to jinance social insurance.An example is presented to show how the algorithm works simulating the transitionfroma PA YGO to a fully funded social security system.

MODELO DE GERAÇÓES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÓE.S: ALGORITMO DE SOLUÇÃO 7

1 INTRODUÇÃO!

Modelos de gerações superpostas têm sido muito utilizados para estudar pro-blemas em economia que vão desde política monetária até crescimento econô-mico. Uma vantagem desses modelos é que permitem estudar o comportamentodos indivíduos durante o ciclo de vida, além de contarem com uma forma natu-ral de heterogeneidade, a idade.

Dessa forma, esses modelos são de substancial utilidade para problemas que en-volvem distribuição de renda entre gerações, como, por exemplo, a questão daprevidência ou do financiamento da dívida pública. Por delimitar bem o ciclo devida, também são usados para explicar por que os indivíduos escolhem certo nívelde capital humano ou seguem determinadas carreiras [Krussel e Ríos-Riull, 1992].

Outro elemento que torna modelos de gerações superpostas interessantespara a análise de políticas econômicas é o fato de existir a possibilidade de oPrimeiro Teorema do Bem-Estar Social não ser válido. Isso implica que o equi-líbrio de mercado nem sempre é Pareto ótimo, o que dá margens para políticaseconômicas efetivas.

Um dos grandes problemas associados a esses modelos é a sua intratàbilidade.Modelos com mais de três gerações, em geral, não possuem soluções analíticas, oque faz com que tenham sido pouco utilizados para fins aplicados. Em geral,modelos de gerações superpostas são utilizados apenas para apresentar algunsexemplos em equilíbrio geral.

Recentemente, com a evolução dos computadores e a difusão de técnicas desimulação e análise numérica em modelos macroeconômicos, esse problema vemsendo resolvido. Existem vários exemplos de modelos com grande número degerações sendo utilizados para analisar problemas de política fiscal, em particu-lar a questão do financiamento da previdência.

Essa tendência é consistente com os rumos que a análise macroeconômicavem tomando recentemente, qual seja, tornar-se um ramo de equilíbrio geralaplicado. Dessa forma, problemas típicos de macroeconomia, como demandapor moeda, consumo e crescimento econômico, vêm recebendo tratamento demodelos de equilíbrio geral, quer com modelos com horizonte infinito na linhade Cass-Koopmans, quer com modelos do tipo aqui discutido, ou mesmo mode-

Os autores agradecem os comentários de Marcelo Caetano e Marly Matias Silva. Qualquererro remanescente é de inteira responsabilidade dos autores.

8 .'- MODELO DE GERAÇÓES SUPERPOST ASCOMMUIT ASGERAÇÓES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

los mais simples. Isso leva a simulação de modelos de equilíbrio geral a tornar-selugar comum na análise macroeconômica.

Este texto àpresenta uma maneira de resolver modelos de gerações superpos-tas com muitas gerações. No segundo capítulo é apresentado o modelo em suaslinhas gerais; no terceiro, discute-se o algoritmo para resolvê-lo; no quarto, apre-senta-se um exemplo de aplicação do algoritmo para resolver um modelo detrinta gerações com herança e previdência; no último capítulo, apresentam-se al-gumas conclusões e sugestões para futuras pesquisas.

2 O MODELO

o modelo será discutido em sua versão mais simples, na qual os indivíduosescolhem entre poupança e consumo, e as firmas decidem o quanto empregar decapital e trabalho. Formalmente, o problema dos indivíduos é:

I'

MaxI/3I-1U(cn

Ic/I:~J 1=1

t.q.c,g = w) - (1+ x)af

c; = W1 + (1 + rl)a; - (1+ x)a,:, Vt = 2,...,T-}

cf = WI' + (1 + rI' )af

em que g representa a geração do indivíduo; t, o tempo; w, o salário; a é aquantidade de ativos que o indivíduo possui; r, a remuneração do capital; c, aquantidade consumida; x, a taxa de crescimento da produtividade do trabalho; e/3, a taxa de desconto. Note-se que, com simples variações nas restrições orça-mentárias, pode-se adaptar o modelo para explicar previdência, demanda' pormoeda, política fiscal, ou mesmo heranças.

Por exemplo, poderia-se modificar o modelo para considerar o motivo he-rança absoluta, como em Martins (1995). Nesse caso, a primeira restrição assu-miria a seguinte forma:

g b gc] = W] + T ] - (l + x)a')

(l+n) - -

e a última seria escrita como:

em que b é a quantidade deixada como herança e n, a taxa de crescimento dapopulação. Dessa forma, seria considerado que o indivíduo deixa uma herança b,que é retirada da sua renda no seu último período de vida e distribuída entre

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO 9

seus herdeiros. O custo dessa sofisticação do modelo é de apenas uma equação amais nas condições de primeira ordem.

Outra alteração interessante seria colocar previdência do tipo repartição sim-ples. Nesse caso bastaria diminuir o salário, por meio de um imposto no períodode atividade, e substituí-lo pelo valor da aposentadoria nos períodos de velhice.

As firmas maximizam lucros dados os preços dos fatores, ou seja:

MaxF(K,L)-rK -wLX,L

Um equilíbrio para essa economia é uma cesta de consumo e uma alocaçãoentre capital e trabalho, em que firmas maximizam lucros, indivíduos maximi-zam utilidade, e os mercados se equilibram.

É claro que podemos solucionar o problema trocando a variável de escolhapela poupança e substituindo as restrições orçamentárias na função de utilidade.!Dessa maneira, pode-se resolver o problema de forma recursiva, e diminui-sepela metade o número de equações nas condições de primeira ordem. Isso ocorreporque, resolvendo recursivamente, eliminam-se os multiplicadores de Lagrangeassociados às restrições orçamentárias.

3 DESCRIÇÃO DO ALGORITMO

Este capítulo irá descrever o método proposto para resolver modelos de gera-ções superpostas. Serão discutidos não apenas problemas específicos à resoluçãodesses modelos, como também questões ligadas a métodos numéricos que se re-lacionem diretamente com o algoritmo em questão,

De início serão feitos pequenos comentários sobre a conveniência de utilizar téc-nicas numéricas para aproximar derivadas. Também serão feitos comentários sobre aresolução de sistemas de equações não lineares, que consiste em um dos pontos críti-cos do método proposto.2 Finalmente será feita a exposição do algoritmo.

A melhor maneira de resolver um modelo de gerações superpostas dependedo número de gerações existentes no modelo. Se o número de gerações for me-nor que três, esse modelo pode ser resolvido analiticamente; para o caso de duas

Note-se que isso é normalmente feito na literatura sobre crescimento com horizonte infini-to, em que a variável de controle é investimento, e não consumo.

Na realidade, resolver as condições de primeira ordem consiste em resolver um sistema deequações não lineares. Esse problema poderia ser evitado se fossem consideradas utilidadesquadráticas; nesse caso, as condições de primeira ordem seriam lineares, retirando uma dasmaiores dificuldades do método. Voltaremos a esse ponto mais adiante.

10 MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

gerações, a solução é trivial. Com mais de três gerações, torna-se necessária a uti-lização de métodos numéricos para resolver o problema.

O primeiro passo é encontrar as condições de primeira ordem. Dado que esseproblema é razoavelmente fácil de resolver analiticamente, é aconselhável queseja feito dessa forma. Note-se que, embora fácil de resolver numericamente,achar derivadas deve ser feito analiticamente sempre que possível, uma vez quequalquer algoritmo dessa natureza está sujeito a erros de aproximação e arre-dondamento.

O exemplo a seguir mostra esse efeito para um caso bem simples. Considere-se a função x9 e uma tentativa de aproximar sua derivada pela definição dadapela expressão:

df _ . (f(X + h) - f(X))dx - hll1h~o h

Note-se que, a princípio, tem-se a impressão que a aproximação será maisprecisa para valores menores de h. Esse resultado não se observa porque, à me-dida que h vai diminuindo, os erros de arredondamento vão-se tornando cadavez mais expressiv<;>s,levando a uma piora na aproximação da derivada.

Observando-se o gráfico 1, fica claro que os valores do erro são muito gran-des tanto para baixos quanto para altos valores de h. Como não valeria a penacolocar uma rotina adicional para procurar valores ótimos para h e dada a facili-dade de se achar as condições de primeira ordem, mesmo para modelos commuitas gerações, sugere-se que estas sejam fornecidas ao algoritmo.

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORl1MO DE SOLUÇÃO 11

Encontradas as condições de primeira ordem, devemos achar o vetor de pou-panças que as resolve.3 Esse é um dos pontos cruciais do método de solução,uma vez que achar esse vetor corresponde a encontrar a solução de um sistemanão linear com um número de equações igual ao número de variáveis de contro-le; nesse caso o número de gerações menos um, visto que ninguém poupa no úl-timo período de vida. Note-se que, se a variável de controle fosse o consumo,existiriam as equações relacionadas aos multiplicadores de Lagrange, o que au-mentaria consideravelmente o tamanho do problema.

O problema para resolver esse tipo de sistema está no fato de que, em geral,não se sabe se existe solução, se esta é única, ou mesmo se o número de soluções,caso exista alguma, é finito. Dessa forma, não existe um método geral de soluçãopara esses problemas; é necessário que seja escolhido um de acordo com o casoapresentado.

Para resolver esse sistema, é sugerido um dos métodos do tipo quasi-Newton.Estes consistem numa variação do método de Newton em que a matriz Jacobia-na não é fornecida ao algoritmo. Nesse caso, vale a pena aproximar as derivadas,pois a matriz das derivadas segundas é quadrada com dimensões iguais ao núme-

Como o número de gerações é finito, a solução será um vetor do R T .

12 MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SÓWçÃO

ro de variáveis de controle. Para um modelo de trinta gerações são calculadas841 derivadas!

Apresenta-se a seguir uma forma de implementar um algoritmo do tipo quasi-Newton. A implementação mostrada é a sugerida por Broyden e consta da mai-oria dos livros de métodos numéricos.

(a) Forneça uma aproximação inicial para a solução e inicie o indexador icomo zero.

(b) Calcule, ou assuma, uma aproximação inicial para a inversa da matriz Ja-cobiana Bi.

(c) Calcule pi = _Bifi em que fi = f(xi).

(d) Determine um número t, de forma que Ilf(xi + tipi )1I<llfi 11.. 1 . .

(e) Calcule xl+ = Xl + tipl .

(f) Calcule fi+l = f(xi+l). Se Ilfi+lll< E, para E próximo de zero; termi-nar o algoritmo, caso contrário seguir para o próximo passo.

(g) Use a formula a seguir para aperfeiçoar a aproximação do Jacobiano:

Bi+l = Bi _ (Bi i -pi)(pi)' Bi / {(pi)' Bi J./} em que / = fi+l - fi.

(h) Faça i = i + 1 e volte para o passo (c).

Para se ter uma intuição do algoritmo basta observar o método de Newtonpara encontrar raízes de uma função qualquer, que consiste em:

(a) Fornecer uma aproximação inicial e iniciar o indexador i como zero.

(b) Calcular a imagem do valor fornecido e traçar uma tangente a esse ponto.

(c) O ponto em que a tangente encontra o eixo das abcissas serve como a pró-xima aproximação.

(d) O processo deve ser repetido até a imagem ficar próxima o suficiente dezero, ou seja, If(x)l< E, para E próximo de zero.

Graficamente pode-se ilustrar o algoritmo da seguinte forma:

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO 13

GRÁFICO 2

No gráfico 2 a aproximação inicial é Xo; dado esse valor, procura-sef(xo)no gráfico da função e traça-se urna tangente a esse ponto. O próximo passo éobtido encontrando-se o valor de Xl. Novamente busca-se a tangente a f(xl) e,assim, sucessivamente até encontrar-se a raiz desejada.

Para avaliar a tangente torna-se necessário conhecer a derivada da função.Essa é a diferença desse método para o utilizado; no método de Broyden a deri-vada da função é aproximada, mas a lógica para encontrar a raiz é a mesma.

Métodos numéricos descendentes do método de Newton, em geral, depen-dem muito da aproximação inicial para resolver o problema proposto. Tal de-pendência existe tanto na velocidade de convergência quanto na sua possibilida-de de encontrar a raiz.

Um paliativo utilizado no algoritmo foi fornecer a solução do problema rela-cionado ao período anterior corno aproximação para a resolução do problemaem cada período. Dessa forma, garantiu-se que a aproximação inicial estava pró-xima à raiz procurada.

Neste ponto cabe voltar à questão das utilidades quadráticas. Nesse caso, todaesta discussão sobre a resolução de sistemas não lineares seria evitada, pois ascondições de primeira ordem são lineares. Embora isso venha a facilitar a solu-ção do problema, ao assumir esse tipo de preferência, está-se incorrendo em to-das as inconveniências associadas a esse tipo de função. De todo modo, vale res-saltar que, para essas funções, não vale a pena utilizar o método de solução pro-posto neste artigo, urna vez que existem alternativas bem mais simples para a so-lução de sistemas de equações lineares.

14 ..~. MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

Encontrada a solução do sistema, torna-se possível calcular o estoque de capi-tal da economia. Neste ponto resolve-se novamente o problema do consumidore acha-se o novo estoque de capital. Quando os valores do estoque de capital es-tiverem suficientemente próximos um do outro é porque a economia chegou aoestado estacionário.

o problema da firma merece menos comentários, uma vez que é trivial. Afirma escolherá capital até que a produtividade marginal do capital seja igual àsua remuneração; a escolha de trabalho será feita de forma a equalizar o salário àprodutividade marginal do trabalho.

Um problema adicional, e de fundamental importância, é a questão das ex-pectativas racionais e equilíbrio de mercado. A quantidade de capital ofertada àsfirmas é determinada pela poupança dos indivíduos, ou seja, no problema dosconsumidores. Porém, o estoque de capital vai determinar o valor dos salários,.tornando os problemas interdependentes, o que é razoável tratando-se de ummodelo de equilíbrio geral.

Uma possível solução seria seguir o exemplo de alguns autores que trabalhamcom modelos de horizonte infinito e colocar a função de produção na restriçãodos indivíduos,4 fazendo com que a variável de controle seja investimento, e nãopoupança. Porém, neste algoritmo, a variável de controle será a poupança.

Não fazer essa hipótese gera o problema de que salário deve entrar na restri-ção orçamentária para períodos futuros, uma vez que dependem dos futuros es-toques de capital. Como os indivíduos são racionais, é razoável que resolvam oproblema da firma para saberem seus salários no futuro.

Fazer isso numa solução numérica seria mais complicado; seria preciso forne-cer ao computador os estoques de capital no futuro, que dependem da soluçãode problemas que ainda não foram resolvidos. A solução proposta é resolver oproblema de trás para frente. Em razão da ausência de qualquer incerteza e dofato de os agentes serem racionais, a solução não é alterada, e o algoritmo é con-sistente com as teorias microeconômicas que sustentam tais modelos.

Dessa forma, para se calcular os salários e a taxa de juros de cada período, bas-ta calcular a produtividade marginal do trabalho e do capital para o estoque decapital do período. Uma vez conhecidos esses valores, pode-se colocá-los na res-trição orçamentária dos indivíduos, de forma que o problema dos indivíduosfica sendo escolher o quanto poupar e, por conseqüência, quanto consumir, da-dos os preços dos fatores. Repare-se que, como a função de utilidade dependeapenas do consumo, os indivíduos não escolhem o quanto trabalhar.

Seguindo, entre outros, Lucas (1988).

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MlITT AS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO 15

Dado o caráter do algoritmo proposto, é possível não só encontrar estados es-tacionários, mas toda a transição para esse estado. Dessa forma, seria possívelanalisar os efeitos de uma política não apenas no estado estacionário, mas duran-te toda a trajetória da economia até chegar a esse estado.

Considerando-se que políticas são implementadas por governos e que estesraramente continuarão governo até que a economia encontre o novo estado es-tacionário, a trajetória de transição passa a ser fundamental para a discussão daviabilidade de uma determinada política. É interessante notar que, em geral, otempo necessário para que a economia encontre o novo estado estacionário émaior que o tempo de vida dos indivíduos que estavam vivos na época de im-plementação da reforma, o que magnifica a imponância de se conhecer a trajetó-ria de transição entre dois estados estacionários.

Também é válido observar que o algoritmo fornece o padrão de poupança e,por conseqüência, o de consumo, de todas as gerações, não só daquelas que vive-ram durante os estados estacionários. Desse modo, é possível encontrar a utili-dade dos indivíduos de cada geração e a utilidade social para um dado períododurante a transição.

4 UM EXEMPLO: ANÁLISE DE PREVIDÊNCIA

Um tipo de literatura que é freqüentemente associada a modelos de geraçõessuperpostas é a questão da previdência. Como essa questão envolve diretamenteo problema de transferir renda entre gerações, esses modelos são muito apropriadospara tratá-la.

Ocorre que, para a análise ser de interesse, é necessário que exista um n<tmerosuficientemente grande de gerações, permitindo-se analisar os efeitos sobre as va-riáveis macroeconômicas dos diversos modelos de previdência. Para modeloscom duas gerações a análise fica um tanto quanto debilitada, isso porque a únicamaneira de introduzir previdência é fazer com que os indivíduos trabalhem noprimeiro período e se aposentem no segundo, o que corresponde a dizer que osindivíduos passam metade da vida aposentados.

Outro problema de trabalhar com duas gerações é a impossibilidade de estu-dar, de maneira apropriada, os custos que envolvem uma transição de um siste-ma do tipo repartição simples para um sistema do tipo capitalização. Essa é umaconseqüência de os indivíduos se aposentarem por um período, o que torna oscustos de transição iguais. à aposentadoria da geração mais velha, fazendo o pro-blema trivial e pouco elucidativo. Por exemplo, não há como avaliar as pessoasque estão contribuindo, mas ainda não se aposentaram.

16 MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

Esse tipo de estudo foi iniciado por Auerbach e Kotlikoff para os Estados Uni-dos. Depois, essa técnica foi sendo divulgada, e surgiram análises semelhantes paradiversos países. Barreto e Schymura (1995) fizeram uma análise para o Brasil, comum modelo de 55 gerações. Porém, no caso brasileiro, a análise limita-se a caracte-rizar os estados estacionários, sem explicitar as trajetórias de transição.

O exemplo que será apresentado constará de um modelo nas linhas do do se-gundo capítulo, aumentado para considerar herança e a existência de um sistemaprevidenciário. Os agentes viverão por trinta períodos; no vigésimo períodoaposentam-se e passam a viver de transferências das gerações mais novas. A cadaperíodo coexistem trinta gerações, sendo que as vinte mais novas sustentam asmais velhas. Está implícito que ao envelhecerem os jovens de hoje serão susten-tados pelos futuros jovens.

Claro está que a certeza de uma renda futura diminui o incentivo a poupar,pelo menos com as hipóteses do modelo, uma vez que o indivíduo pode garantiruma renda estável - o que reduz de forma considerável um dos incentivos àpoupança do modelo, que é suavizar o padrão de consumo no tempo. Porexemplo, um indivíduo que se aposenta com salário integral tem um aumentode renda na velhice, considerando que não mais desconta para fins de previdência.

O problema d~' firmas é idêntico ao do segundo capítulo e não será revisto.O problema dos consumidores, que sofre algumas alterações, fica da forma:

MaxIfJ'-IU(cn + -..!.-8b(e,);:,'=) r-I

t.q.ct = (1- d1)w] - (1+ x)af + b '9(1 + n)-

c,l: = (1- dl)w, + (1+ r, )a,1:- (1+ x)a':1 Vt = 2.... ,20

c; =d2w, +(1+r,)a; -(1+x)a;"IVt =21, ...,29I: - (1 ) g bc1' - w1' + + r] a] -

em que di é a alíquota sobre o salário para fins de previdência, e d2 é a por-centagem do salário que o indivíduo recebe após aposentado. Assume-se que afunção de produção é do tipo Cobb-Douglas, da forma:

F(K,L) = Ka (AL)I-a

enquanto a função de utilidade é suposta do tipo eES, da forma:1

I--r rU(ct) = --Ctr-I

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GER;AÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO 17

Os parâmetros utilizados são:

TABELA 1Parâmetro

Participação do capital (a)

Taxa de desconto intertemporal (J1)Elasticidade de substituição (n

Desconto para herança (b)

Crescimento da produtividade (x)Crescimento da população (n)Desconto para previdência (dl)

Depreciação

Valor

0,50

0,94

0,70

0,60

0,008

0,023

0,20

0,035

A porcentagem do salário a ser recebida após a aposentadoria é calculada apartir de di, de modo a garantir o equilíbrio do sistema previdenciário; para diigual a 0,20, o valor de d2 é 1,11. Os outros parâmetros foram usados para apro-ximar a economia brasileira, seguindo Barreto e Schymura (1995). O parâmetropara heranças é o mais complicado, uma vez que não é de uso comum.

Para encontrar o valor de 8 foi tomado em consideração que, sendo a taxa dedesconto 0,94, o indivíduo estaria descontando seu consumo no trigésimo períodoa uma taxa 0,9430, que é aproximadamente 0,16. Considerou-se, então, que ospais valorizam mais o consumo dos filhos que o seu para chegar ao valor apre-sentado, que corresponde a uma taxa de desconto de aproximadamente 0,98 paraos filhos.

O exercício consistirá em simular o que ocorrerá nessa economia caso o sis-tema previdenciário seja retirado. Nesse caso, é só construir o modelo como nocapítulo 2, fazendo o salário igual a zero a partir do vigésimo período.

A princípio pode-se esperar um aumento do estoque de capital e uma mudan-ça no padrão de poupança. Uma vez que os indivíduos não mais possuem umarenda garantida na velhice, a única maneira de suavizar o consumo é poupandoenquanto novo. Esse aumento da poupança fatalmente levará a um aumento doestoque de capital no estado estacionário.

As taxas de juros e o salário têm seu comportamento tirado diretamente doestoque de capital. Dessa forma, os salários devem crescer, enquanto as taxas dejuros devem cair em razão da existência de rendimentos decrescentes.

Esse aumento do estoque de capital e do salário poderia sugerir formas de fi-nanciar uma eventual transição para um sistema de capitalização. De fato, o go-verno poderia financiar esse processo taxando os ganhos causados pela mudança

18 . -- MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOST ÀS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

do sistema. Esse é um tópico que os autores pretendem desenvolver em futuraspesqUlsas.

A maior incógnita passa a ser o que acontece com a herança. Com o fim daprevidência, os filhos deixam de subsidiar a velhice dos pais, ou seja, existe umatransferência de renda a favor das novas gerações. Esse efeito aponta para umaredução no valor das heranças; em contrapartida, com o aumento do estoque decapital, os país passam a ter mais recursos, possibilitando maior herança. Não sepode ter certeza sobre qual efeito irá prevalecer. O gráfico 6 ilustrará esse efeito.O gráfico 3 a seguir mostra a trajetória do estoque de capital.

GRÁFICO 3.

I. 70 I(X)CIlCo

65 "~M,...

60rn-.c..rnu

55

50

45O 50 100 150

tempo200 250 300

Note-se que a economia começa em estado estacionário, com um estoque decapital bastante baixo. Logo após a eliminação da previdência, existe um acentua-do salto no estoque de capital, que, depois, segue sua trajetória para o novo esta-do estacionário. .

Para determinar o estoque de capital no estado estacionário, primeiro é feitasua definição como uma situação em que todas as variáveis são constantes emunidades de eficiência. O segundo passo é impor a definição de estado estacioná-rio nas condições de primeira ordem. Finalmente, resolve-se o problema para ascondições de primeira ordem já modificadas, obtendo-se, assim, o padrão depoupança no estado estacionário.

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: Al.GORITMO DE SOLUÇÃO 19

A partir do valor encontrado, acha-se o estoque de capital, que será o mesmopara os primeiros trinta períodos. Daí o gráfico começar como uma linha reta e,só após o trigésimo período, seguir a trajetória para o novo estado estacionário.Tudo funciona como se a alteração fosse implementada no trigésimo período.

As iterações são feitas até que a diferença entre o estoque de capital em doisperíodos subseqüentes seja menor que 0,00001.

Essa mudança no nível de capital deve-se à mudança no padrão de acumula-ção dos indivíduos causada pelo fim do sistema previdenciário. O gráfico 4 ilus-tra essa mudança.

GRÁFICO. 4

,

/\/ \/ \

//

///

,/

I.I

00 I

} I~ I

II

I

30

\\

252015idade

105

.135 [

I

30

25

I(f)o>.i; 20OJ

"COJ::;,g-151iíOJ

10

5

OO

A linha pontilhada mostra o padrão de acumulação no estado estacionáriosem previdência. Note-se que o indivíduo acumula crescentemente para poderfinanciar seu período inativo. Na outra linha, em que há previdência, isso nãoacontece, uma vez que o financiamento do período inativo está garantido. É essamudança no padrão de acumulação que justifica o aumento do capital no estadoestacionário sem previdência.

Um ponto interessante seria observar o que acontece com o padrão de pou-pança dos indivíduos durante suas vidas. Para isso é necessário ter clara a idéiado que consiste poupança no modelo. A obtenção da poupança é feita a partir da

. 20 MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

restrição orçamentária dos agentes, e, então, utiliza-se a definição de poupança,renda menos consumo.

~ St = (l + x)at+l -at

O gráfico 5 ilustra o que ocorre com a poupança. O símbolo de '+' corres-ponde ao modelo sem previdência, enquanto 'x' corresponde ao modelo comprevidência. Observe-se que no princípio as curvas têm um comportamento se-melhante. No começo os indivíduos recebem a herança e poupam cada vez me-nos, porém não reduzem seus patrimônios.

GRÁFICO 5

30252015idade

105

I I I I II I I I I

I I I I IX I I I I I-------~--~----~-------~-------~-------.-------I I I I II I I I I

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No caso sem previdência, a partir de um certo ponto, os indivíduos poupamcada vez mais com fins a construir um patrimônio para a velhice. Quando existeprevidência, os indivíduos não têm essa preocupação e poupam cada vez menos,chegando a desacumular quando perto da aposentadoria. Após pararem de traba-lhar, os indivíduos que recebem aposentadoria passam a construir um patrimô-

MODELO DE GERAÇGES SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕES: ALGORI1MO DE SOLUÇÃO 21

nio para deixar de herança, enquanto os que não t~m aposentadoria passam autilizar seu patrimônio para poder viver.

Um último ponto de interesse do modelo é o que ocorre com a herança. Ográfico 6 ilustra o processo. Após o fim da previdência, os agentes ajustam-sediminuindo a herança. Isso é explicado em razão de as gerações mais velhas usa-rem a herança que iam deixar para os filhos, para repor parte das perdas geradaspelo fim da aposentadoria. Depois, à medida que a economia progride para onovo estado estacionário, as heranças voltam a aumentar, porém sem voltar aosníveis anteriores. A conclusão é que a herança serve para contrabalançar o fimda aposentadoria como mecanismo de transferência de renda entre as gerações.

GRÁFICO 6

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7.9O 50 100 150 200 250 300

tempo

Finalmente, cabem alguns comentários a respeito das possibilidades de testepara o método de simulação. Um teste natural é observar o que acontece quandoa alíquota de previdência é, inicialmente, igual a zero. Espera-se que as variáveisnão sofram nenhuma alteração, uma vez que alíquota zero de previdência éequivalente a não ter previdência.

Dessa forma, testou-se o modelo com di igual a zero, e a rotina foi modifica-da para que existissem cinqüenta iterações, independentemente de encontrar-se oestado estacionário. Como se esperava, o estoque de capital e a herança perma-neceram constantes em todas as iterações.

22 MODELO DE GERAÇÕF5 SUPERPOSTAS COM MUITAS GERAÇÕF5: ALGORITMO DE SOLUÇÃO

Outro teste é comparar os resultados do modelo com o esperado pela teoria.Em particular, deve-se observar que, se o modelo estiver correto, vale a igualda-de entre produto e renda agregados, y = w + rk . Note-se que esse resultado nãofoi passado como hipótese para o modelo. O gráfico 7 mostra essa diferença.

GRÁFICO 7

"I••

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. .

g OQ)

-1O 50 100 150

tempo200 250 300

No gráfico 7 fica claro que a diferença é toda devida ao processo de arredon-damento feito pelo computador. Vale destacar que o maior valor absoluto para adiferença é de 8.8818e-16, ou seja, insignificante, enquanto a norma desse vetor é5.3475e-15. Também é de interesse notar que a média dos erros é igual a zero.

Este capítulo apresentou uma possível aplicação para modelos de gerações su-perpostas. O modelo foi resolvido de acordo com o algoritmo apresentado nocapítulo anterior. Observa-se que os resultados não destoam do que seria espera-do pela teoria econômica e que o algorit~o resiste a vários testes que visem ava-liar sua aplicabilidade.

MODELO DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS COM MUIT~ GERJ}ÇÕES: ALGORITMO DE SOLUÇÃO 23

5 CONCLUSÃO

O texto buscou apresentar um método para a resolução de modelos de gera-ções superpostas em que existam muitas gerações. Também foi apresentado umexemplo de aplicações do modelo e do método.

O método apresentado apresenta a vantagem de explicitar toda a trajetória detransição de um estado estacionário para outro, possibilitando a análise de mu-danças nos padrões de consumo e no bem-estar da sociedade durante a transição.

Futuros desenvolvimentos do método apontariam no sentido de procurarformas mais gerais de resolver o sistema de equações não lineares, que caracteri-za as condições de primeira ordem. Note-se que a solução encontrada para aper-feiçoar os chutes durante o cálculo da transição não se aplica quando o objetivo éencontrar o estado estacionário inicial.

Também pode-se buscar maior refinamento nos valores encontrados comosolução do sistema. Métodos de solução que aplicam pequenos choques aleatóri-os nas raízes encontradas são úteis para testar estabilidade e para fugir de pontosextremos.

Outra sugesmo para futuras pesquisas seria incluir lazer na função de utilida-de. Como isso incluiria um grande número de novas equações nas condições deprimeira ordem, o método de solução do sistema não linear, provavelmente, te-. .na que ser reVIsto.

Finalmente, deve-se apontar para outras possíveis aplicações dos modelosaqui tratados. Em particular, pode-se buscar uma maneira de financiar a transi-ção de um sistema de repartição para um de capitalização com receitas tributári-as geradas sobre o aumento do estoque de capital. Outra interessante aplicação écomparar o financiamento da dívida pública via títulos e via tributação, buscan-do-se analisar a equivalência ricardiana.

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"Elasticidade-Renda e Elasticidade-Preço da Demanda de Automóveis no Brasil", JoãoAlberto De Negri, Brasília, abril 1998, 22 p.

"O Déficit Habitacional Brasileiro: Um Mapeamento por Unidades da Federação e porNíveis de Renda Domiciliar", Robson R. Gonçalves, Rio de Janeiro, abril 1998, 24 p.

"Serviços Privados de Vigilância e Guarda no Brasil: um Estudo a Partir de Informaçõesda PNAD - 1985/95", LeonardaMusumeci, Rio de Janeiro, maio 1998,71 p.

"Sobre o Funcionamento dos Fundos Garantidos", Sandro Canesso de Andrade, Rio deJaneiro, maio 1998, 17 p.

"Rede Básica de Transportes da Amazônia", José Alex Sant' Anna, Brasília, junho 1998,86p.

"Estimativas do Valor da Produção Industrial e Elaboração de Coeficientes deExportações e Importação da Indústria Brasileira (1985/96)", Lia Haguenauer, RicardoMarkwald e Heruy Pourchet, Brasília, julho de 1998, 78 p.

"Uma Avaliação dos Efeitos do Salário-Mínimo sobre o Mercado de Trabalho no Brasil",Miguel Nathan Foguel, Rio de Janeiro, junho 1998, 26 p.

"O Serviço Doméstico Remunerado no Brasil: de Criadas a Trabalhadoras", HildetePereira de Melo, Rio de Janeiro, junho 1998, 29 p.

"O Impacto de Três Inovações Institucionais na Educação Brasileira", Ricardo Paes deBarros e Rosane Mendonça, Rio de Janeiro, junho 199861 p.

"Desigualdade Regional e Pobreza no Brasil: A Evolução - 1981/95", Sonia Rocha, Riode Janeiro, junho 1998, 21 p.

"Sistema Público de Emprego: Objetivos, Eficiência e Eficácia (Notas sobre os países daOCDE e o Brasil)", Carlos Alberto Ramos e Paulo Springer de Freitas, Brasília, julho de1998, 39 P

"As Estratégias dos Grandes Grupos Industriais Brasileiros nos Anos 90", Regis Bonelli,Rio de Janeiro, Julho 1998,49 p.

"Estimating Timber Depreciation in the Brrazilian Amazon", Ronaldo Seroa da Motta,Oaudio Ferraz, Rio de Janeiro, julho 1998,21 p.

"Abertura Comercial, Mark Ups Setoriais Domésticos e Rentabilidade Relativa dasExportações", Thiago Pereira e Alexandre Carvalho, Brasília, julho de 1998, 58 p.

"Estoque de Riqueza e a Poupança do Setor Privado no Brasil - 1970/95", LucileneMorandi, Rio de Janeiro, junho de 1998, 22 p.

"Reflexões Sobre os Mecanismos de Universalização do Acesso Disponíveis para o Setorde Telecomunicações no Brasil", Eduardo Sampaio Fiuza, Marcelo Cortes Neri, Rio deJaneiro, julho 1998, 64 p.

"Evolução da Competitividade da Produção Manufatureira no Brasil", Regis Bonelli,Renato Fonseca, Rio de Janeiro, julho 1998, 18 p.

"An Adaptive Resampling Scheme for Cycle Estimation", Alexandra Mello Schmidt,Dani Gamerman, Ajax R. B. Moreira, Rio de Janeiro, julho 1998,26 p.

"O Papel do Estado na Pesquisa Agrícola no Brasil", Regis Bonelli e Elisa de PaulaPessôa, Rio de Janeiro, julho de 1998,40 p.

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"Relações de Curto e Longo prazo entre as Poupanças Interna e Externa Brasileiras",Adolfo Sachsida e Marcelo Abi-Romia Caetano, Brasília, agosto de 1998,24 p.

"Competitividade e Crescimento das Exportações Brasileiras", Marcelo JoséNonnenberg, Rio de Janeiro, agosto 1998, 77 p.

"Os impactos das Políticas Monetária e Cambial no Brasil Pós-Plano Real", AjaxReynaldo Bello Moreira, Antonio Fiorencio e Elcyon Caiado Rocha Lima, Rio de Janeiro,agosto 1998,25 p.

"Desenvolvimento Sustentável no Mercosul: A proposta de um marco regulatório",Maria Bernadete Sarmiento Gutierrez, Rio de Janeiro, agosto 1998, 15 p.

"Credibilidade da Política Cambial e as Operações Cambiais", Katia Maria Carlos Rochae Ajax R. Bello Moreira, Rio de Janeiro, Agosto 1998,20 p.

"Programas de Renda Mínima Linhas Gerais de uma Metodologia de Avaliação a Partirda Experiência Pioneira do Paranoá no Distrito Federal, João Sabóia e Sonia Rocha, Riode Janeiro, agosto de 1998,37 p.

"Uma Análise da Carga Tributária do Brasil", Ricardo Varsano, Elisa de Paula Pessoa,Napoleão Luiz Costa da Silva, José Roberto Rodriques Afonso, Erika Amonm Araújo eJulio Cesar Macil Raimundo, Rio de Janeiro, agosto de 1998, 55 p.

"A Note on Foreign Direct Investment (!DI) and Indusrial Competitiveness in Brazil"Regis Bonelli, Riode Janeiro, agosto de 1998,29 p.

"Efeitos 'Regionais do Mercosul: uma Análise Diferencial Estrutural para o Período1990/95", Bonorio Kume e guida Piani, Rio de Janeiro, agosto de 1998,27 p.

"Quantificação das Deseconomias do Transporte Urbano: Uma Resenha dasExperiências Internacionais", Eduardo de Alcântara Vasconcellos e Iêda Maria deOliveira Lima, Brasília, agosto de 1998, 48 p.

"Gratuidade do SUS: Controvérsia em Torno do Co-Pagamento", Solon MagalhãesVianna, Sérgio Francisco Piola e Carlos Octávio Ocklé Reis, Brasília, setembro 1998, 49p."Fundos de Poupança Compulsória e Financiamento da Economia 1990/1997" ,Maurício Mota Saboya Pinheiro, Brasília, setembro 1998, 28 p.

"Poupança Doméstica no Brasil: Evolução Recente e Perspectivas", José OswaldoCândido Júnior, Brasília, setembro 1998, 36 p.

"A Política Industrial em uma Perspectiva de Longo Prazo", Robson R. Gonçalves, Riode Janeiro, setembro 1998,29 p.

"Acessibilidade Alimentar e Estabilização Econômica no Brasil nos Anos 90", LenaLavinas, Rio de Janeiro, setembro 1998, 19 p.

"Crescimento Econômico nas Cidades Médias Brasileiras", Thompson A Andrade,Rodrigo V. Serra, Rio de Janeiro, setembro 1998,24 p.

"Modelos de Gerações Superpostas com Muitas Gerações: Algoritmo de Solução",Roberto de Goes Ellery Junior e Rogério Boueri Miranda, Brasília, outubro 1994,24 p.