modelos de risco coletivo para um periodo generico

Introducao. Processo de Reservas e Ruına.Processos associados as indemnizacoes

Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de RuınaUm Modelo a Tempo Discreto

Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialA Perda Agregada Maxima.

4. modelos de risco colectivo para um perıodogenerico

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1 Introducao. Processo de Reservas e Ruına.

2 Processos associados as indemnizacoes

3 Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına

4 Um Modelo a Tempo Discreto

5 Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial

6 A Perda Agregada Maxima.

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Introducao. Processo de Reservas e Ruına.

Neste capıtulo abordaremos modelos matematicos que traduzem asvariacoes no montante de reserva (ou saldo) de uma seguradora aolongo de um perıodo de tempo alargado, genericamente [0, t[.

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Reserva

Seja U(t), para t ≥ 0, a Reserva associada a um risco dumaseguradora no instante t. Se denotarmos a reserva inicial porU(0), fruto eventualmente de operacoes passadas, e se supusermosque o premio P(t) e continuamente recebido em (0, t), a umataxa c > 0, P(t) = ct (supondo deduzidos de encargosadministrativos e de gestao), entao

U(t) = u + P(t)− S(t) = u + ct − S(t),

onde S(t) denota o processo das indemnizacoes agregadasocorridas em (0, t] relativas o risco considerado.

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Neste modelo sao ignorados factores como o rendimentoproveniente de investimentos, juros e outros factores para alem dasindemnizacoes e a parte dos premios apos a deducao das despesasde caracter administrativo. Estamos, assim, perante o quedesginamos por

Processo de Reservas ouProcesso de Risco

em tempo contınuo

{U(t), t ≥ 0}.

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Figura: Realizacao tıpica do Processo de Risco em tempo contınuo, U(t).

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Um dos problemas de grande aplicabilidade e constituindo area deestudo em Teoria do Risco e a analise da probabilidade de ruına,conceito intimamente ligado ao processo de reservas.Defina-se instante de ruına como

instante de ruına

T = min{t : t > 0 e U(t) < 0},

com a convencao de que T =∞ e equivalente a U(t) ≥ 0 paratodo o t > 0, o que significa ausencia de ruına para qualquerinstante t (nao ocorre ruına).

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Define-se probabilidade de ruına em horizonte infinito como

probabilidade de ruına em horizonte infinito

ψ(u) = P[T <∞],

funcao da reserva inicial u, a que corresponde a reserva negativano instante de ruına, U(T).Nas aplicacoes praticas as seguradoras estao interessadas noestudo da ruına apenas num perıodo longo mas finito.

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Define-se probabilidade de ruına em horizonte finito como

probabilidade de ruına em horizonte finito

ψ(u, t) = P[T < t],

ou seja, probabilidade de ruına anterior ao instante t.

Iremos considerar apenas o estudo de ψ(u), que e um limitesuperior de ψ(u, t), ja que e matematicamente mais tratavel.

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Processos associados as indemnizacoes

Faremos uma breve referencia ao modelo que se obtemgeneralizando o modelo estudado anteriormente, para um perıodogenerico, (0, t].O modelo de risco assenta em dois processos aleatorios:

o processo do numero de indemnizacoes {N(t), t ≥ 0};o processo das indemnizacoes agregadas {S(t), t ≥ 0};

Para uma certa carteira de apolices, seja:

N(t) o numero de sinistros que ocorrem ate ao instante t; acontagem e iniciada em t = 0, sendo N(0) = 0;

S(t) as indemnizacoes agregadas referentes ao mesmoperıodo (0, t].

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continuaremos a denotar por Xi o montante da i−esimaindemnizacao. Entao,

S(t) =

N(t)∑i=1

Xi .

Estamos, portanto, interessados em estudar as distribuicoes paratodos os t ≥ 0, ao contrario do que sucedeu no capıtulo anterior,em que estavamos interessados em estudar a distribuicao da somaapenas para um perıodo de tempo fixado a partida. No que sesegue consideraremos:

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para t ≥ 0 e h > 0,

N(t + h)− N(t)→ numero de sinistros que ocorrem entre osinstantes t e t + h;

S(t + h)− S(t)→ indemnizacoes agregadas entre osinstantes t e t + h;

Xi designa o montante da i−esima indemnizacao e Ti

refere-se ao instante do i−esimo sinistro, pelo queT1,T2,T3, . . . sao v.a.’s verificando-se, obviamente,

T1 ≤ T2 ≤ T3 ≤ . . . ;

Wi := Ti − Ti−1, i ≥ 1→ tempo de espera entre sinistrossucessivos, a partir de W1 := T1.

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Note-se que:

Tanto N(t) como S(t) sao funcoes “em escada”ou de “patamares”;

Os dois processos apresentam descontinuidades para os mesmosinstantes Ti , i = 1, 2, . . ., em que ocorrem os sinistros;

A “altura dos degraus”para o processo do numero de indemnizacoesN(t) e sempre igual a 1, uma vez que nao sao admitidas ocorrenciassimultaneas de sinistros no modelo considerado (na pratica, se talsuceder, considera-se a ocorrencia de apenas um senistro noinstante Ti correspondente a agregacao dos sinistros ocorridos).

Quanto ao processo das indemnizacoes agregadas, S(t), adescontinuidade em Ti atinge uma magnitude igual a indemnizacaoocorrida, Xi .

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Os graficos seguintes exemplificam a situacao tıpica para aquelesdois processos.

Figura: Realizacao tıpica do processo do numero de sinistros, N(t).

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Figura: Realizacao tıpica do processo das indemnizacoes agregadas, S(t).

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Metodos para definir o processo de contagem de sinistros

1 Metodo global:Para t ≥ 0 e h > 0, especifica-se a distribuicao deN(t + h)− N(t). Esta distribuicao podera dependerde N(s) para s ≤ t.

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2 Metodo infinitesimal:Especifica-se a probabilidade de ocorrencia de umsinistro no intevalo infinitesimal entre t e t + dt, i.e.,P[N(t + dt)− N(t) = 1], considerada proporcional aamplitude do intervalo, dt, podendo tambemdepender de N(s) para s ≤ t.No caso do processo de Poisson homogeneo, e iguala λdt + o(dt). Este metodo e restringido aos casosem que

limdt→0

P[N(t + dt)− N(t) > 1]

dt= 0 (=

o(dt)

dt).

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3 Metodo discreto ou do tempo de espera:Especifica-se a distribuicao conjunta dos tempos deespera

W1,W2,W3, . . .

ou, equivalentemente, dos instantes de sinistro

T1,T2,T3, . . .

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Iremos ilustrar estes metodos para um caso no ramo Vida ,aproveitando para dar a conhecer ou relacionar conceitos emCalculo Actuarial.

exemplo: tempos de vida

Considerem-se n indivıduos com idade x no instante 0. Sejam

N(t) :=“No de mortes ocorridas ate ao instante t”

Ti :=“instante em que ocorre a i−esima morte”,(i = 1, 2, . . . , n)

e assuma-se a independencia dos tempos de vida.Pretende-se especificar o processo {N(t), t ≥ 0}.

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Resolucao:Considere-se a seguinte notacao, tradicional em matematicaactuarial:

y px := P[sobrevivencia de um indivıduo de idade x ate a idadede x + y ]

y qx := 1−y px = P[morte de um indivıduo de idade x antesda idade de x + y ]

Vamos esquematizar como definir oprocesso de contagem utilizando cada um dos metodos referidos.

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1. usando o metodo global:

a distribuicao de N(t + h)− N(t), dado N(t) = i , parai = 0, 1, . . . , n − 1, e Binomial, i.e.,N(t + h)− N(t)|N(t) = i _ Binomial(n − i ,h qx+t).

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Realmente,

P[N(t + h)− N(t) = k |N(t) = i ] =

= P[ morrerem k indivıduos dos n − i existentes no intervalo(x + t, x + t + h)=(n−i

k

)(hqx+t)k (1−h qx+t)n−i−k , k = 0, 1, . . . , n − i

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2. usando o metodo infinitesimal:

Iremos caracterizar P[N(t + dt)− N(t) = 1|N(t) = i ], parai = 0, 1, . . . , n.

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Consideremos a seguinte notacao:µx+t :=taxa de mortalidade para um indivıduo de idade x + t,significando que

P[um indivıduo de idade x + t morrer num intervalo infinitesimal

(t, t + dt)] = µx+tdt

Logo,

P[N(t+dt)−N(t) = 1|N(t) = i ] = (n−i)µx+tdt, para i = 0, 1, ..., n,

ja pode ser tratado como um caso particular do metodo 1 comk → 1 e hqx+t → µx+tdt.

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3. usando o metodo dos tempos de espera:

Iremos caracterizar P[Ti+1 > s + t|Ti = s], para i = 1, 2, ..., n.Realmente,

P[Ti+1 > s + t|Ti = s] = P[Wi+1 > t]

= P[N(s + t)− N(s) = 0|N(s) = i ]

= (1−t qx+s)n−i ,

para i = 1, 2, ..., n.

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Caracterısticas do processo de Poisson

Tal como no exemplo precedente, o Processo de Poisson pode serdefinido por uma desta vias:

1. metodo global:

O numero de ocorrencias (sinistros ou indemnizacoes) em qualquerintervalo de amplitude h tem distribuicao de Poisson de parametroλh, independentemente da localizacao desse intervalo e da historiapassada do processo.formalizando,

P[N(t + h)− N(t) = k|N(s), ∀s≤t ] =e−λh(λh)k

k!,

k = 0, 1, 2, ...,∀t≥0.

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Propriedades:

O processo de Poisson tem incrementos independentes, i.e.,

Se (t1, t1 + h1); (t2, t2 + h2); ...; (tn, tn + hn) sao disjuntos,

entao

N(t1 + h1)−N(t1); N(t2 + h2)−N(t2); ...; N(tn + hn)−N(tn)

sao v.a.’s independentes.

O processo de Poisson tem incrementos estacionarios, ja que

N(ti + hi )− N(ti ) _ P(λhi )

nao dependendo, portanto, de ti .

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2. metodo infinitesimal:

Fazendo k = 1, vem:

P[N(t + h)− N(t) = 1|N(s),∀s≤t ] = e−λhλh, ∀t ≥ 0,

pelo que fazendo h→ dt

P[N(t + dt)− N(t) = 1|N(s),∀s≤t ] = λdt, ∀t ≥ 0.

A probabilidade de 1 ocorrencia (sinistro) num intervalo deamplitude dt e λdt, e e independente da localizacao do intervalo eda historia passada do processo.

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3. metodo dos tempos de espera:

P[Wi+1 > h|Ti = t,N(s)∀s≤t ]

= P[N(t + h)− N(t) = 0|Ti = t,N(s)∀s≤t ]

= e−λh

pelo queP[Wi+1 ≤ h] = 1− e−λh, h > 0,

i.i, Wi+1 tem distribuicao exponencial de parametro λ e eindependente de Wi ,Wi−1, ...,W2,W1.Entao a definicao, segundo este metodo, pode ser formalizada:Se W1,W2, ... sao v.a.’s mutuamente independentes eexponenciais de parametro λ, entao {N(t), t ≤ 0} e Processode Poisson homogeneo de parametro λ.

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Doravante, sempre que nao seja explicitado algo em contrario,suporemos que as indemnizacoes agregadas relativas a umdeterminado risco de uma companhia sao modeladas por:

S(t) =∑N(t)

i=1 Xi

Xi i.i.d. a X com f.d. FX (.)

N(t) processo de Poisson homogeneo

Xi independentes de {N(t), t ≤ 0}

{S(t), t ≤ 0} constitui um Processo de Poisson Composto:

S(t) _ PPC (λt,FX )

Modelo de Cramer-Lundberg

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Observacao:

Se as indemnizacoes constituırem um Processo de PoissonComposto, entao sao validos os resultados analogos aos docapıtulo anterior, com os ajustamentos obvios para o intervalo(0, t), i.e., λ e substituıdo por λt.Tem-se, por exemplo, que a f.d. associada a S(t) e

FS(t)(x) := P[S(t) ≤ x ] =

∞∑n=0

F ∗nX (x)P[N(t) = n] =∞∑

n=0

F ∗nX (x)e−λt(λt)n

n!, x ≥ 0,

E [S(t)] = λtp1, Var [S(t)] = λtp2 e

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MS (r) = MN(t)(log MX (r)), geralmente,

= exp{λt(MX (r)− 1)},

uma vez que se N(t) e Processo de Poisson, entao

MN(t)(r) = exp{λt(er − 1)}

O facto de o Processo de Indemnizacoes Agregadas constituir umProcesso de Poisson Composto arrasta um certo numero depropriedades, nomeadamente:

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1. distribuicao das indemnizacoes agregadas

as indemnizacoes agregadas em (t, t + h, para t ≥ 0 e h > 0, temdistribuicao

P[S(t + h)− S(t) ≤ x ] =∞∑

k=0

e−λh(λh)k

k!F ∗kX (x)

2. probabilidade num intervalo infinitesimal de amplitude dt

Num intervalo infinitesimal de amplitude dt, existe um sinistrocom probabilidade λdt e correspondente montante deindemnizacao com distribuicao FX , ou nao existe sinistro, comprobabilidade 1− λdt.

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3. ocorrencia do proximo sinistro

Em qualquer instante h, a probabilidade de que o proximo sinistroocorra entre os instantes h + t e h + t + dt e que o montante deindemnizacao correspondente nao exceda x e dada por

e−λt(λdt)FX (x)

O tempo entre sinistros consecutivos e uma exponencial deparametro λ.

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Por outro lado, as propriedades do processo N(t) sao“transportadas”para S(t): Assim,

{S(t), t ≥ 0} tem incrementos independentes e estacionarios,i.e., com

(t1, t1 + h1); (t2, t2 + h2); . . . ; (tn, tn + hn) intervalos disjuntos,

S(t1 + h1)− S(t1); S(t2 + h2)− S(t2); . . . S(tn + hn)− S(tn)sao v.a.’s independentes.

a distribuicao de S(ti + hi )− S(ti ) nao depende de ti e so dehi .

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Ou em termos das indemnizacoes agregadas:

As indemnizacoes agregadas para intervalos de tempodisjuntos sao v.a.’s independentes.

A distribuicao das indemnizacoes agregadas para determinadoperıodo de tempo depende so da sua duracao e nao darespectiva localizacao no tempo.

O modelo que temos vindo a abordar e designado por

Modelo a tempo contınuo,

em oposicao a uma versao analoga alternativa que toma adesignacao de

Modelo a tempo discreto.

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Coeficiente de Ajustamento e Probabilidade de Ruına


O processo das reservas de risco {U(t), t ≥ 0}, com

U(t) = u + ct − S(t), U(0) = u,

pode ser estudado atraves da sua relacao com o processo dasindemnizacoes agregadas

{S(t), t ≥ 0}.

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Relativamente a probabilidade de ruına, ψ(u), vamos apresentar:

os limite superior e inferior para ψ(u), em geral;

a forma explıcita de ψ(u), para o caso de indemnizacoesindividuais exponenciais.

Salvo indicacao explıcita em contrario, iremos supor verificadas asseguintes hipoteses:

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1.

Supoe-se que a taxa c de premio excede as indemnizacoesesperadas por perıodo, i.e.,

c > λp1

e define-se um coeficiente de seguranca positivo, θ, tal que

c = (1 + θ)λp1,

(princıpio do valor medio para o calculo do premio)

Observacao:Se c ≤ λp1 entao ψ(u) = 1 (Ruına Certa!);i.e., se θ → 0 ou θ < 0 =⇒ ψ(u) = 1, como veremos maistarde.

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2.

Considera-se (−∞, γ) o maior intervalo onde existe a f.g.m.MX (r), γ > 0.

Exemplos:

1 X _ Exp(β), i.e., com f.d. FX (x) = 1− e−βx , x > 0. Entao,

MX (r) =β

β − r, r < β e, portanto, γ = β.

2 X com suporte limitado. Entao,

MX (r) existe para todo o r e, portanto, γ = +∞.

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3.

Considera-se ainda que

limr→γ

MX (r) =∞.

Apresentamos de seguida a definicao de Coeficiente deAjustamento para o caso que estamos a tratar, de asindemnizacoes agregadas formarem um Processo de PoissonComposto,

S(t) _ PPC(λt,FX ).

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Definicao:

Coeficiente de Ajustamento

O Coeficiente de Ajustamento define-se como a unica raız positivar = R da equacao

λ+ cr = λMX (r), r < γ

ou, equivalentemente, usando o facto de c = (1 + θ)λp1

1 + (1 + θ)p1r = MX (r), r < γ

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Observacao:

Estabeleca a equacao anterior no caso particular de ser utilizado oprincıpio da variancia.

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Vejamos por que razao a equacao 1 + (1 + θ)p1r = MX (r) temapenas uma raız positiva:

Ambas as funcoes do grafico, correspondentes aos 2 membrosda equacao, passam pelo ponto (0, 1) (solucao trivial);

MX (r) e crescente e convexa ja que

M ′X (r) = E [XerX ] > 0 M ′′X (r) = E [X 2erX ] > 0;

O declive da recta e (1 + θ)p1 e o declive da tangente a curvaMX (r) em r = 0 e M ′X (0) = p1.

Ora, (1 + θ)p1 > p1, ja que θ > 0.O grafico e representativo da situacao em causa, verificando-se quea recta e a curva so se cruzam uma unica vez para um valor der ≡ R estritamente positivo.

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Observacao:

1 Em geral, R ≡ R(θ) e crescente com θ.

2 A designacao de ”Ajustamento”para este coeficiente nao eainda clara nesta fase de apresentacao dos conceitos, maspoderemos desde ja adiantar que R esta relacionado com aprobabilidade de ruına ψ(u), o que vira a justificar adesignacao utilizada para R.

Exemplo:

Determinar o Coeficiente de Ajustamento, R, para o caso em queas indemnizacoes individuais sao exponenciais, i.e.,

X _ Exp(β), com f.d. FX (x) = 1− e−βx , x > 0.

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Resolucao:Tem-se MX (r) = β

β−r , r < β; assim p1 = M ′X (0) = E [X ] = 1β .

Consequentemente,

1 + (1 + θ)p1r = MX (r)

e equivalente a

1 + (1 + θ)r

β=

β

β − r

ou ainda(1 + θ)r 2 − θβr = 0

com solucoes: r = 0 (solucao trivial) e R =θβ

1 + θ(Coeficiente de

Ajustamento )

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A equacao1 + (1 + θ)p1r = MX (r)

nem sempre pode ser resolvida de forma explıcita, pelo que osmetodos numericos de resolucao de equacoes sao utilizados.Uma sugestao e a utilizacao do

metodo da bisseccao

partindo do intervalo inicial de localizacao da raız (0, 2θp1/p2)(exercıcio teorico-pratico).

Tal e a situacao do exemplo seguinte, em que somos conduzidos auma equacao transcendente.

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Exemplo:

Calcular R se todas as indemnizacoes individuais tem montante 1;i.e., X ≡ 1 (X degenerada em 1).

Resolucao parcial:p1 = E [X ] = 1 e MX (r) = E [er ] = er pelo que haveria necessidadede resolver iterativamente a equacao transcendente:

1 + (1 + θ)r = er .

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Pode-se mostrar o seguinte resultado (ver Bowers et al.,(1987)pg.368).

Relacao entre o coeficiente de ajustamento, R,e a probabilidade deruına, ψ(u)

Teorema:De acordo com as hipoteses simplificadoras do problemaformuladas anteriormente, para u ≥ 0,

ψ(u) =e−Ru

E[

e−RU(T )∣∣T <∞

]

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Comentarios:

1 Em geral nao e possıvel calcular o denominador de

ψ(u) =e−Ru

E[

e−RU(T )∣∣T <∞

] , salvo algumas excepcoes: por

exemplo, se u = 0 e se X e exponencial.

2 Este teorema e util para obtencao de desigualdades, de formaa obter limites inferior e superior para a probabilidade deruına, ψ(u).

3 Tal como ja tınhamos referido, e de notar que se verifica oseguinte:“se o coeficiente de seguranca que afecta o premio recebido

tende para 0 ou se e negativo, entao o processo de reservas derisco esta sujeito a ruına certa”;

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realmente,

θ → 0 =⇒ R → 0 =⇒ ψ(u) = 1 Ruına Certa!

Por outro lado, considere-se um outro coeficiente de segurancaθ1 < 0; entao como o processo de reservas e crescente comofuncao de θ (atente-se ao grafico de U(t) e ao declive dossegmentos de recta envolvidos), tem-se

U1(t) ≡ U1(t, θ1) < U2(t, θ2),

comθ2 positivo θ2 ↓ 0+ e para o qual ψ(u) = 1.

Logo,θ < 0 =⇒ ψ(u) = 1 Ruına Certa!

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Limites Superior e Inferior para a probabilidade de ruına, ψ(u)

De acordo com o ψ(u) =e−Ru

E[

e−RU(T )∣∣T <∞

] , verifica-se o

seguinte:

1 Comece-se por notar que supondo que existe ruına, noinstante de ruına o processo de reservas e negativo; i.e.,U(T ) < 0, dado T <∞; entao E

[e−RU(T )

∣∣T <∞]> 1 e,

consequentemente,

ψ(u) < e−Ru

2 Se X tem suporte limitado, de tal modo que FX (m) = 1, paraalgum m finito, entao iremos constatar que

ψ(u) > e−R(u+m)

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Realmente, supondo que existe ruına, a reserva no instante deruına e superior a −m, ja que a reserva era positiva antes daultima indemnizacao que produziu a ruına; i.e., U(T ) > −m, dadoT <∞;consequentemente, tem-se

e−RU(T ) < eRm =⇒ E[

e−RU(T )∣∣∣T <∞

]< eRm

e entaoψ(u) > e−Rue−Rm = e−R(u+m).

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Aproximacao para a probabilidade de ruına, ψ(u)

Alguns autores sugerem o uso da aproximacao

ψ(u) ∼= e−Ru,

se bem que este valor sobrevaloriza o verdadeiro valor de ψ(u), jaque corresponde realmente a um limite superior para aquelaprobabilidade.

No caso de severidade exponencial e possıvel calcular o valorexacto da probabilidade de ruına, como verificaremos no exemploque se segue.

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Exemplo:

Calcular ψ(u), para o caso de indemnizacoes particularesexponenciais de parametro β, i.e., para

X _ Exp(β), com f.d. FX (x) = 1− e−βx , x > 0.

Resolucao:Suponha-se que ocorre ruına para o instante T , sendo a reserva deU(T ). Comecemos por calcular o denominador de

ψ(u) =e−Ru

E[

e−RU(T )∣∣T <∞

] ,,

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E[

e−RU(T )∣∣∣T <∞

],

verificando em primeiro lugar que a v.a. referente ao “montantepelo qual se da a ruına, dado que esta ocorre”e uma exponencialcom parametro igual ao das indemnizacoes particulares.

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Para tal considere-se o seguinte:

u∗ – montante de reserva anteriora T .X – montante de indemnizacaoque causou a ruına.

Consequentemente,

X = u∗ − U(T ).

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Entao o acontecimento {−U(T ) > y |T <∞} e equivalente a{X > u∗ + y |X > u∗}, vindo assim

P [−U(T ) > y |T <∞] = P [X > u∗ + y |X > u∗]

=1− FX (u∗ + y)

1− FX (u∗)

=e−β(u∗+y)

e−βu∗

= e−βy , y > 0.

pelo que a v.a. Y := −U(T )|T <∞ _ Exp(β) .

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Entao o calculo do denominador pretendido corresponde ao valorda f.g.m. de Y no ponto R; i.e.,

E[

e−RU(T )∣∣∣T <∞

]= MY (R) =

β

β − R.

Por outro lado, vimos no Exemplo que para indemnizacoesindividuais exponenciais o coeficiente de ajustamento e dado porR = θβ

1+θ . Donde,

ψ(u) =e−Ru

ββ−R

=1

1 + θexp

{− θβ

1 + θu

}

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Um Modelo a Tempo Discreto


• Neste paragrafo faz-se referencia a um modelo que pode ser considerado como a

versao discreta do modelo a tempo contınuo anterior. Nomeadamente, sera

considerada a reserva ao fim de n anos, em funcao da soma das indemnizacoes nesse

no de anos, quando se considera um montante de premios recebidos proporcional ao

montante anual de premios. Sao redefinidos para o caso discreto os conceitos

anteriores de coeficiente de ajustamento e probabilidade de ruına, sendo realcado que

no caso de o montante anual de indemnizacoes poder ser encarado como Poisson

Composto esta definicao cai no caso particular do Modelo em tempo Contınuo. E

ainda dada a aproximacao do coeficiente de ajustamento, mostrando que e exacta no

caso de montante anual de indemnizacoes com comportamento Normal.

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Apresentaremos de seguida um modelo a tempo discreto, de certaforma a versao discreta do modelo a tempo contınuo consideradoate aqui.Tambem aqui estaremos interessados num modelo matematico quetraduz as variacoes no montante de reserva (ou saldo) de umaseguradora ao longo de um perıodo de n anos.

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Seja Un, para n = 0, 1, 2, · · · , a Reserva associada a um risco deuma seguradora, no fim do perıodo n (n-esimo ano, por exemplo).Se denotarmos a reserva inicial por U0 = u, fruto eventualmentede operacoes passadas, e se supusermos que o premio global Pn

ao fim de n anos e proporcional ao montante de premios em cadaperıodo c (premios anuais, por exemplo), i.e., Pn = cn, entao

Un = u + Pn − Sn = u + cn − Sn,

onde Sn denota a soma das indemnizacoes anuais ocorridas nosprimeiros n perıodos (anos), relativas ao risco considerado.

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Estamos, assim, perante o que designamos por um

Processo de Reservas ou Processo de Risco em tempo discreto{Un, n = 0, 1, 2, · · · }.

Figura: Realizacao tıpica do Processo de Risco a tempo discreto, Un,comparativamente ao Processo de Risco a tempo contınuo, U(t).

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Suponhamos ainda que

Sn =n∑

i=1

Wi .

Wi soma das indemnizacoes no perıodo i (ano i)

Wi i.i.d. a W , i = 1, 2, · · · , n com f.d. FW (.) e f.g.m. MW (r)

E [W ] = µ < c , i.e., premio anual recebido superior ao premioanual esperado.

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Neste contexto, defina-se

instante de ruına

Define-se instante de ruına como

T = min {n : Un < 0} ,

com a convencao de que T =∞ e equivalente a Un ≥ 0 para todon, o que significa a ausencia de ruına no fim de qualquer perıodo n(Nao ocorre Ruına no fim de qualquer ano).

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Define-se

probabilidade de ruına em horizonte infinito

como funcao da reserva inicial u,

ψ(u) = P[T <∞],

a que corresponde a reserva negativa no instante de ruına, UT .

No que respeita a probabilidade de ruına ψ(u), existe um resultado

analogo a ψ(u) = e−Ru

E(e−RU(T )|T<∞), adaptado para os conceitos

paralelos em tempo discreto. Para tal o Coeficiente deAjustamento define-se como se segue:

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O Coeficiente de Ajustamento define-se como a unica raız positivar = R da equacao

e−cr MW (r) = 1 , (1)

Mostremos que realmente esta equacao tem apenas uma raızpositiva; notando que e equivalente a

h(r) = 1, com h(r) := E[e(W−c)r

],

e que

h′(r) = E [(W − c)e(W−c)r ] e h′′(r) = E [(W − c)2e(W−c)r ]

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entao h(0) = 1 e h′(0) = E [W − c] = E [W ]− c = µ− c < 0,sendo o declive negativo para a recta tangente a h(r) no ponto deabcissa r = 0.

Por outro lado, h′′(r) > 0, para todo r ; pelo que h(r) e convexa.

Supondo que a v.a. W assume valores superiores a c comprobabilidade positiva, entao h′(r) > 0, para r suficientementeelevado, tornando-se h(r) crescente.

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Figura: Coeficiente de Ajustamento, R, para o modelo de risco em tempo discreto.

Assim, o grafico e representativo da posicao relativa da curva h(r)e da recta de ordenada constante igual a 1, sendo obvia aconclusao de que apenas se intersectam para outro valor de r = R,estritamente positivo. 69 / 129





Iremos agora abordar uma particularizacao do modelo a tempodiscreto com interesse especial.Caso particular:

Indemnizacao anual com distribuicao Poisson Composta

{Wi}i=1,2,··· i.i.d. a W _ PC(λ,FX )

A equacao e−cr MW (r) = 1 e equivalente a

log MW (r)− cr = 0

pelo que, como neste modelo a f.g.m. de W eMW (r) = exp {λ(MX (r)− 1)}, a equacao precedente concretiza-seem

λ(MX (r)− 1) = cr

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ou seja,λMX (r) = cr + λ

que corresponde exactamente a mesma equacao definidora de R nocaso do modelo a tempo contınuo considerado no paragrafoanterior.Neste sentido, R pode ser encarado como uma generalizacao de R.

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O exemplo seguinte tem por objectivo de certo modo justificaruma aproximacao usual tomada para o coeficiente de ajustamento,como sera observado.

exemplo:

Determinar R no caso de indemnizacao anual normal, i.e.,

{Wi}i=1,2,··· i.i.d. a W _ ℵ(µW , σ2W )

Resolucao:

MW (r) = exp

(µW r +

σ2W r 2

2

),

pelo que

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log MW (r) = cr ⇐⇒ µW r +σ2

W r 2

2= cr

a qual tem por raız nao trivial o valor

R =2(c − µW )

σ2W

.

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Pode-se mostrar que dada uma reserva inicial u > 0,

ψ(u) =e−Ru

E[

e−RUT

∣∣∣ T <∞] . (2)

Consequentemente, como UT < 0 por definicao de instante deruına a tempo discreto, entao

ψ(u) < e−Ru

constitui um limite superior para a probabilidade de ruına.

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O valor seguinte constitui uma

aproximacao usual para o Coeficiente de Ajustamento

R ∼=2(c − µW )

σ2W

,

denotandoµW := E [W ] e σ2

W := Var [W ]

Observacao:Esta aproximacao e exacta no caso de indemnizacao anual normal(Exemplo anterior)

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Caso particular:

Indemnizacao anual com distribuicao Composta

{Wi}i=1,2,··· i.i.d. a W =N∑

i=1

Xi ,

Modelo de Risco Colectivo anual S =∑N

i=1 Xi .Com as notacoes usuais referentes ao numero anual de sinistros N,aos momentos simples do montante de indemnizacao individual,pk = E [X k ], e considerando um montante de premio anualcalculado com base no princıpio do valor medio com coeficiente deseguranca θ,

c = (1 + θ)µW ,

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entao a aproximacao generica para o coeficiente de ajustamento e

R ∼=2θµW

σ2W

=2θp1E [N]

(p2 − p21)E [N] + p2

1Var [N]

exemplo:

De um valor aproximado do coeficiente de ajustamento para omodelo de risco a tempo discreto, R, no caso de frequencia anualde sinistro:

1 N _ P(λ)

2 N _ BN (k , p).

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Neste caso, relembrando os resultados para um processo de

1 Poisson Composto

W _ PC(λ,FX ),

tem-seµW = λp1 e σ2

W = λp2,

pelo que

R ∼=2θp1

p2.

2 Binomial Negativo Composto

W _ BNC(k, q; FX ),

tem-se

µW =kq

pp1 e σ2

W =kq

pp2 +

kq2

p2p2

1 ,

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pelo que

R ∼=2θp1

(p2 + p21q/p)

.

observacao:

Note-se que quando q → 0 no modelo binomial negativo, oresultado 2 reduz-se a 1 para uma frequencia de sinistro dePoisson, o que de certo modo ja era esperado devido a relacaoentre estes dois modelos.

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Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicial

Primeira descida da reserva abaixo do nıvel inicialVoltando ao modelo em tempo contınuo, com indemnizacoes agregadas a constituiremum Processo de Poisson Composto e premios calculados de acordo com carga deseguranca a acrescer ao valor medio de indemnizacao, e apresentado um resultadorelativo a probabilidade das reservas alguma vez descerem abaixo do seu nıvel inicial eestarem enquadradas num intervalo de amplitude infinitesimal. Com base nesseresultado, sao deduzidas distribuicoes interessantes para o objectivo final de explorar aprobabilidade de ruına. No caso de as indemnizacoes individuais serem exponenciais(resp., degeneradas num montante positivo) e deduzida a exponencialidade (resp.,uniformidade) associada a distribuicao do montante pelo qual o nıvel de reservas desceabaixo do nıvel inicial pela primeira vez.

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Retomemos o modelo de risco a tempo contınuo, formulado nasseccoes anteriores.Consideremos o montante de reserva no instante em que estadesce abaixo do nıvel inicial, u. Convem notar que esta situacaopode nunca ocorrer, eventualmente.Pode-se mostrar o seguinte resultado (ver Bowers et al.,(1987)pg.370).

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Teorema:

Num Processo de Poisson Composto, a probabilidade de que asreservas alguma vez descam abaixo do seu nıvel inicial u e estejamsituadas no intervalo infinitesimal (u − y − dy , u − y) quando talsucede pela primeira vez e

λ

c[1− FX (y)] dy =

1− FX (y)

(1 + θ)p1dy , y > 0

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Figura: Primeira descida das reservas U(t) abaixo do nıvel inicial, u.

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Relembremos que:

S(t) _ PPC(λt,FX );

c = (1 + θ)λp1;

U(t) = u + ct − S(t), para t ≥ 0.

Pelo teorema anterior conclui-se o seguinte:

Corolario:

A probabilidade das reservas alguma vez serem inferiores ao seunıvel inicial, u, e 1

1+θ .

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Pelo teorema tem-se

P [U(t) < u ∧ u − y − dy < U(t) < u − y ] =λ

c[1− FX (y)] dy , para y > 0.

Pelo que

P[U(t) < u] =

∫ ∞0

λ

c[1− FX (y)] dy

=λ

c

∫ ∞0

[1− FX (y)] dy ,

Ora, p1 =

∫ ∞0

[1− FX (y)] dy , ja que X e uma v.a. nao negativa,

vindo entao

P[U(t) < u] =λp1

c=

λp1

(1 + θ)λp1=

1

1 + θ.

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Conclusao:

A probabilidade das reservas alguma vez descerem do nıvel inicial udepende do coeficiente de seguranca, θ, e nao do nıvel inicial.

Caso Particular:

Seja u = 0; entao P[U(t) < 0] representa a probabilidade dasreservas alguma vez descerem abaixo de 0, i.e., trata-se daprobabilidade de ruına, quando o nıvel inicial e 0:

ψ(0) =1

1 + θ.

Note-se que ψ(0) depende exclusivamente do coeficiente deseguranca e nao da forma particular da distribuicao dasindemnizacoes individuais.

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Como ja foi observado, as reservas podem nao descer abaixo donıvel inicial de onde partem. Realmente, esse acontecimento ocorrecom um certa probabilidade,

1

1 + θ.

Denote-se por

L1 −→ v.a. do “montante pelo qual as reservas descemabaixo do seu nıvel inicial quando tal ocorre pela 1a vez, dado quetal acontece”.

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corolario:

A f.d.p. da v.a. L1 e fL1(y) =1

p1[1− FX (y)] , y > 0

Demonstracao:

Comecemos por notar que L1d= u − U(t)|{U(t) < u}; assim, e

como consequencia dos teorema e corolario anteriores,

fL1(y)dy = P [y < u − U(t) < y + dy |U(t) < u]

= P [−y − dy < U(t)− u < −y |U(t) < u]

= P [u − y − dy < U(t) < u − y |U(t) < u]

=P [U(t) < u ∧ u − y − dy < U(t) < u − y ]

P[U(t) < u]

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=λc [1− FX (y)] dy

11+θ

=(1 + θ)λ

(1 + θ)λp1[1− FX (y)] dy

=1

p1[1− FX (y)] dy

Quer dizer: a f.d.p. de L1 e dada por

fL1(y) =1

p1[1− FX (y)] , y > 0

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Corolario:

A f.g.m. de L1, ML1(r), e a f.g.m. de X , MX (r) verificam

ML1(r) =1

p1r[MX (r)− 1] .

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ML1(r) = E[erL1]

=1

p1

∫ ∞0

ery [1− FX (y)] dy

=1

rp1

{ery [1− FX (y)] |∞0 +

∫ ∞0

ery fX (y)dy

}

=1

p1r[MX (r)− 1]

uma vez que limy→∞ery [1− FX (y)] = 0.

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O exemplo seguinte tem por principal objectivo verificar que nocaso em que a indemnizacao individual e uma v.a. degenerada,entao L1 e o nıvel de reservas depois de sofrer a descida provocadapor L1 sao v.a.’s com distribuicao uniforme.

Exemplo:

Escrever uma expressao para a distribuicao do nıvel de reservas noinstante em que a reserva desce abaixo do nıvel inicial, u, pela 1a

vez, dado que tal acontece, para o caso de todas as indemnizacoesserem de montante igual a b.

Resolucao: X e degenerada em b, X ≡ b; pelo que E [X ] = b e

FX (y) =

{0, y ∈ (−∞, b)1, y ∈ [b,∞)

.

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Assim a f.d.p. e dada por

fL1(y) =1

b[1− FX (y)] =

{1b , y ∈ [0, b)0, y /∈ [0, b)

.

Entao

L1 _ U(0,b)

e o nıvel de reservas depoisde tal descida

u − L1 _ U(u−b,u).

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Exemplo:

Determinar a distribuicao de L1 para o caso de indemnizacoesparticulares exponenciais de parametro β, i.e., para

X _ Exp(β), com f.d. FX (y) = 1− e−βy , y > 0.

Resolucao:

p1 =1

βe fL1(y) =

1

p1[1− FX (y)] = βe−βy , y > 0.

EntaoL1 _ Exp(β) .

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Observacao:

O nıvel de reservas depois de tal descida, u − L1, tem distribuicaoWeibull de maximos de forma unitaria, localizacao igual ao nıvelinicial e escala igual a indemnizacao individual esperada.

Fu−L1(z) =

{eβ(u−z), z < u1, z ≥ u

.

Observacao:

Poder-se-ia obter a mesma conclusao utilizando a relacao entre asf.g.m.’s do Corolario.

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A Perda Agregada Maxima.

A Perda Agregada Maxima

Define-se aqui funcao Perda Agregada Maxima como sendo o excesso maximo das

indemnizacoes agregadas sobre os premios recebidos. Mostrando a sua relacao directa

com a probabilidade de ruına, realca-se o caracter misto desta v.a. Seguidamente,

relacionando com o comportamento geometrico do no de vezes que a perda agregada

bate um record, deduz-se uma expressao muito util para o calculo da probabilidade de

ruına em certas situacoes. Como exemplos de aplicacao, sao essencialmente tratados

os casos em que a expressao do paragrafo anterior e tratavel analiticamente,

nomeadamente o caso particular de indemnizacoes individuais modeladas atraves de

mistura de exponenciais ou de comportamento gama. E ainda sugerida uma

aproximacao para a probabilidade de ruına que resulta em exacta para o caso de

indemnizacao individual exponencial.

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A seguinte definicao prende-se com a probabilidade de ruına.

Definicao:

Define-se perda agregada maxima como sendo a v.a. nao negativa

L = maxt≥0{S(t)− ct} .

A v.a. L nao e mais do que o excesso maximo dasindemnizacoes agregadas sobre os premios recebidos.

A v.a. perda agregada maxima e nao negativa, i.e., L ≥ 0, jaque S(t)− ct = 0, para t = 0.

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Note-se ainda a dualidade simetrica dos graficos que correspondemrespectivamente ao Processo de Reservas de Risco

{U(t) = u + ct − S(t), t ≥ 0}

e ao Processo de Perda Agregada

{S(t)− ct = u − U(t), t ≥ 0}.

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Figura: Simetria dos Processos de Reservas de risco U(t) = u + ct − S(t) e da PerdaAgregada S(t)− ct .

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De imediato se conclui a seguinte relacao entre a distribuicao daPerda Agregada Maxima e a Probabilidade de Ruına.

Teorema:

A f.d. da v.a. L e a funcao ψ(.) verificam a igualdade

ψ(u) = 1− FL(u) ,

para todo o nıvel inicial u ≥ 0.

Demonstracao:

FL(u) = P[L ≤ u]

= P

[maxt≥0{S(t)− ct} ≤ u

],

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= P [S(t)− ct ≤ u, ∀t ≥ 0],

= P [u + ct − S(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0],

= P [U(t) ≥ 0,∀t ≥ 0],

= 1− P [ruına],

= 1− ψ(u),

para todo o nıvel inicial u ≥ 0.

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Corolario:

A v.a. L e mista, tendo ponto de massa de probabilidade emL = 0, com

P[L = 0] =θ

1 + θ.

Demonstracao:Trata-se de uma consequencia directa do teorema anterior, ja que

FL(0) = P[L ≤ 0] = P[L = 0]

= 1− ψ(0) = θ1+θ ,

pelo que L e v.a. mista, tendo um ponto de massa em L = 0, esendo contınua para u > 0.

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Pelos resultados anteriores imediatamente se conclui que

A distribuicao de Perda Agregada Maxima pode ser utilizada paraobtermos informacao acerca da Probablidade de Ruına.

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Relembre-se ainda que a Probabilidade de Ruına, ψ(u), e umafuncao decrescente do nıvel inicial, u, partindo sempre do valor

11+θ .

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No seguinte teorema e evidenciado mais uma vez o caracter mistoda v.a. L, atraves da respectiva f.g.m., assim com uma represencaode L como soma aleatoria de v.a.’s i.i.d. a L1, definida na seccaoanterior.

Teorema:

A v.a. L possui a f.g.m. seguinte

ML(r) =θp1r

1 + (1 + θ)p1r −MX (r).

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Considerem-se os instantes em que o processo de perca agregada,S(t)− ct, atinge novos recordes. (Na figura isso sucede por 2vezes, com acrescimos relativamente aos anteriores dados por L1 eL2).

Dado que ocorreu um valor recorde, existe uma probabilidade ψ(0)de que seja ultrapassado e existe uma probabilidade 1− ψ(0) deque permaneca o mesmo.

Realmente, esta conclusao e uma consequencia do facto de S(t)ser um Processo de Poisson Composto e, portanto, de incrementosestacionarios e independentes.

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Assim, a ocorrencia de um valor recorde para o processo da perdaagregada tem igual probabilidade da ocorrencia de uma descidaabaixo do nıvel de que parte o processo de reservas, i.e.,

11+θ = ψ(0) (basta pensar na dualidade entre os graficos referentesao processo de perda agregada e ao processo de reservas).

Considere-se a v.a. seguinte:

N −→ “o no de vezes que a perda agregada bate um recorde,contando a origem como o recorde numero 0 ”

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Entao, obviamente,

P[N = n] = [1− ψ(0)][ψ(0)]n = [ θ1+θ ][ 1

1+θ ]n, n = 0, 1, 2 · · · .

Trata-se de uma v.a. geometria, i.e., N _ Geo( θ1+θ ) e,

relembrando o Exemplo 6.1, a f.g.m. de N e

MN(r) =θ

1+θ

1− 11+θer

=θ

1 + θ − er.

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A perda agregada maxima,L, pode ser representada atraves dasoma aleatoria de N v.a.’s referentes aos montantes pelos quais osrecordes sao ultrapassados (veja-se o grafico do processo de perdaagregada); i.e.,

L =N∑

i=1

Li .

Por outro lado, as v.a.’s Li sao i.i.d. a L1, montante pelo qual asreservas descem abaixo do nıvel inicial pela primeira vez, dado quetal sucede; quer dizer:

Li i.i.d. a L1 com f.d.p. fL1(y) = 1p1

[1− FX (y)], y ≥ 0;

Li sao independentes de N;

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Entao, a f.g.m. de L e dada por

ML(r) = MN(log ML1(r)) =θ

1 + θ −ML1(r).

Como pelo Corolario

ML1(r) =1

p1r[MX (r)− 1],

tem-se o resultado

ML(r) =θp1r

1 + (1 + θ)p1r −MX (r).

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O seguinte resultado fornece uma equacao que revelar-se-a muitoutil na obtencao de algumas conclusoes como veremos.

Teorema:

A seguinte igualdade e verificada∫ ∞0

eur (−ψ′(u))du =1

1 + θ· θ[MX (r)− 1]

1 + (1 + θ)p1r −MX (r)(3)

Demonstracao: De acordo com o teorema anterior, e valida aseguinte decomposicao da f.g.m. de L na soma de 2 parcelas,evidenciando mais uma vez o caracter misto da v.a. L

ML(r) =θ

1 + θ+

1

1 + θ· θ[MX (r)− 1]

1 + (1 + θ)p1r −MX (r). (4)

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ou seja,

ML(r) = P[L = 0].E [erL|L = 0] + P[L > 0].E [erL|L > 0]

e ainda

ML(r) = P[L = 0].E [e0] + P[L > 0].∫∞

0 eru fL(u)P[L>0] du

== P[L = 0] +

∫∞0 erufL(u)du,

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Por outro lado a funcao de probabilidade de L e

fL(u) =

{P[L = 0] = 1− ψ(0), u = 0−ψ′(u) u > 0,

pelo que

ML(r) = P[L = 0] +

∫ ∞0

eru(−ψ′(u))du,

concluindo-se a igualdade pretendida por comparacao directa da 2a

parcela com a expressao (4), i.e.∫ ∞0

eru(−ψ′(u))du =1

1 + θ· θ[MX (r)− 1]

1 + (1 + θ)p1r −MX (r).

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A expressao (3) pode ser usada com o objectivo de determinar aprobabilidade de ruına, ψ(u); a sua utilidade revela-se, contudo,apenas para determinados casos; tal e a situacao em que asindemnizacoes particulares sao exponenciais, misturas deexponenciais ou gama.

caso particular: X e Mistura de Exponenciais

fX (x) =n∑

i=1

Aiβi e−βi x , x > 0, (5)

com βi > 0,Ai > 0, ∀i=1,2,··· ,n, e∑n

i=1 Ai = 1.

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Entao,

MX (r) =n∑

i=1

Aiβi

βi − r,

que so existe para r < min{β1, β2, · · ·βn, }.

Generalizemos esta definicao e estenda-se

MX (r) para r ∈ R, r 6= βi , para i = 1, 2, · · · , n.

Substituindo a expressao particular de MX (r) na equacao (3), vemno 2o membro da referida equacao um quociente de polinomios emr , sendo n o grau do denominador; pelo que pode ser escrito naforma:

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∫ ∞0

eru(−ψ′(u))du =n∑

i=1

Ci ri

ri − r, (6)

para constantes Ci , e em que os ri , i = 1, 2, · · · , n, sao as raızesdo denominador do 2o membro,i.e., satisfazem a equacaodefinidora do Coeficiente de Ajustamento

1 + (1 + θ)p1r = MX (r),

sendo obviamente R ≡ min{r1, r2, , · · · rn, }.

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Corolario:

No caso de X ser uma mistura de exponenciais definida em (5) enas condicoes anteriores, a funcao solucao que satisfazsimultaneamente (6) e ψ(∞) = 0 e

ψ(u) =n∑

i=1

Ci e−ri u, (7)

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Derivando ambos os membros de (7) obtem-se∫ ∞0

eur (−ψ′(u))du =

∫ ∞0

eur

(n∑

i=1

Ci ri e−ri u

)du

=

=n∑

i=1

Ci ri

∫ ∞0

e(r−ri )udu

=

=n∑

i=1

Ci ri

ri − r

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Exemplo:

Deduzir uma expressao para ψ(u) para o caso de X _ Expβ).

Resolucao:Trata-se de um caso particular da decomposicao do 2o membro (3)para o caso de uma mistura de exponenciais com n = 1.

Assim, sendo a f.g.m. de X

MX (r) =β

β − r=

1

1− p1r,

obtem-se

1

1 + θ· θ[MX (r)− 1]

1 + (1 + θ)p1r −MX (r)=

C1r1

r1 − r

para constantes C1 e r1 a determinar.119 / 129





A substituicao de MX (r) conduz a

1

1 + θ· θ

θ − (1 + θ)p1r=

C1r1

r1 − r,

igualdade verificada para as constantes C1 = 11+θ e r1 = θ

(1+θ)p1

determinados pelo metodo dos coeficientes indeterminados, porexemplo.

Por fim, pelo Corolario a probabilidade de ruına e

ψ(u) = C1e−r1u =1

1 + θexp

{− θβ

1 + θu

}, u ≥ 0.

ja obtido anteriormente.

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Exemplo:

Deduzir uma expressao para ψ(u) para o caso de X com f.d.p.

fX (x) =3

2e−3x +

7

2e−7x , x > 0,

e para um coeficiente de seguranca de θ = 25 .

Resolucao: A v.a. X e uma mistura de duas exponenciais, tendopor f.g.m.

MX (r) =3/2

3− r+

7/2

7− re com indemnizacao individual esperada de

p1 = E [X ] =1

2· 1

3+

1

2· 1

7=

5

21.

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Neste caso n = 2 e somos conduzidos a igualdade

1

1 + θ· θ[MX (r)− 1]

1 + (1 + θ)p1r −MX (r)=

2∑i=1

Ci ri

ri − r

com constantes Ci e ri , (i = 1, 2), a determinar.A substituicao de

MX (r) conduz a

1

1 + θ· θ[MX (r)− 1]

1 + (1 + θ)p1r −MX (r)=

6

7· 5− r

6− 7r + r 2=

C1

1− r+

6C2

6− r,

ja que r1 = 1(≡ R) e r2 = 6.

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Assim, pelo metodo dos coeficientes indeterminados, obtem-se

C1 =24

35e C2 =

1

35

pelo que

ψ(u) =24

35e−u +

1

35e−6u, u ≥ 0.

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Observacao:

No caso de X _ Gama(α, β), as conclusoes sao semelhantes aocaso tratado anteriormente de mistura de exponenciais.Realmente, neste modelo para as indemnizacoes individuais a

f.g.m. e MX (r) =(

ββ−r

)αe a solucao para ψ(u) e do mesmo tipo

da anterior.

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NOTA: Se a severidade X e uma mistura de m exponenciais de valoresmedios 1/βi , i = 1, 2, · · · ,m, m ∈ N, respectivamente, entao as cons-

tantes Ci que intervem na expressao ψ(u) =m∑

i=1

Ci e−ri u, sao dadas por

Ci =m∏

k=1,k 6=i

rk

rk − ri

m∏j=1

βj − ri

βj,

com ri as raızes da equacao λ + cr = λMX (r), generalizando a definicaode MX (r) para r ∈ R, r 6= βi , para i = 1, 2, · · · ,m .

SUGESTAO: Concretize a expressao anterior para m = 2 econfira os resultados obtidos no exemplo anterior.

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Muitos dos problemas praticos requerem distribuicoes deseveridade diferentes de misturas de exponenciais ou mesmo dedistribuicoes gama.

Por outro lado, para algumas distribuicoes a determinacao docoeficiente de ajustamento pode nao ser tarefa facil e, porconsequencia, o calculo da probabilidade de ruına, mesmo queaproximado, pode ser muito difıcil por essa via.

Um metodo de calculo aproximado de probabilidade de ruına,baseado nos primeiros momentos da distribuicao dasindemnizacoes individuais e de facil aplicacao e revela resultadossatisfatorios para valores moderados de u.

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Nas condicoes do modelo de risco colectivo que estamos aconsiderar, pode-se mostrar que (Exercıcio 7.11),

E [L] =p2

2θp1. (8)

Conjugando o facto de

FL(u) = 1− ψ(u), u ≥ 0

ψ(0) =1

1 + θ

ψ(u) < e−Ru

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o metodo aproximado utiliza a aproximacao

1− FL(u) = ψ(u) ∼=1

1 + θe−Ku, u ≥ 0,

onde a constante K e escolhida por forma a que haja coincidenciaentre os valores medios exacto e aproximado para a v.a. de perdaagregada maxima L; i.e., considerando que

E [L] =

∫ ∞0

[1− FL(u)]du ∼=1

1 + θ· 1

K,

escolhe-se para K o valor

K =2θp1

(1 + θ)p2.

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Assim, e sugerida a aproximacao da probabilidade de ruına

ψ(u) ∼=1

1 + θexp

{− 2θp1u

(1 + θ)p2

}, u ≥ 0.

Observacao:

No caso de indemnizacoes individuais exponenciais, o resultado eexacto. Para isso, basta confirmar a expressao de ψ(u) obtidaatraves desta expressao aproximada neste modelo particular com aexpressao exacta obtida anteriormente (Exemplos) .

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modelos de risco coletivo para um periodo generico

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