modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos · pdf file–...

Modelos de planeamento e

gestão de recursos hídricos

19 de Novembro

gestão de recursos hídricos

Metodologias de análise

• Sistema real vs sistema simplificado

• Modelação

– Matemática;

– Física;

• Análise de sistemas:

– Simulação;

– Optimização:• Programação linear;

• Programação dinâmica;

• Métodos baseados em gradientes;

• Métodos heurísticos– Redes neuronais;

– Algoritmos genéticos;

– Simulated Annealing;

• ….

IST: Gestão Integrada de Bacias Hidrográficas © Rodrigo Proença de Oliveira, 2008 154

Problemas tipo

• Planeamento

– Que alterações profundas há a realizar no sistema para

satisfazer os usos / fins do sistema ?

– Longo prazo;

• Gestão

– Qual a política de operação do sistema, tendo em conta a sua

configuração (condições naturais, infra-estruturas, usos/fins) ?

– Médio prazo;

• Gestão em tempo real

– Qual a decisão apropriada para o próximo período tendo em

conta o estado do sistema ?

– Curto prazo.


Exemplos

• Planeamento:

– Como resolver os problemas de cheias de uma determinada

localidade ?

– Como resolver os problemas de abastecimento de uma região ?

– Como resolver os problemas de contaminação de um curso de

água ?água ?

• Gestão:

– Qual deve ser a política de exploração de uma albufeira para

satisfazer certos fins ?

• Gestão em tempo real:

– Que volumes de água devo atribuir a cada uso esta semana

tendo em conta o estado do sistema e as previsões de

afluências ?


Formulação

• Dado um problema:

– Alternativa 1 –> Implicações (benefícios, custos)

– Alternativa 2 –> Implicações (benefícios, custos)

…..

– Alternativa n –> Implicações (benefícios, custos)

• Qual é a alternativa mais apropriada ?

• Problema: Existe um número muito elevado, por vezes infinito,

de alternativas para solucionar o problema.


Resolução

1. Identificação de soluções viáveis (admissíveis), i.e. que satisfazem as condicionantes do problema;

2. Avaliação dos benefícios e custos de cada alternativa.

3. Identificação da melhor alternativa.


Técnicas de resolução

• Simulação– Modelo matemático que estima o desempenho do sistema se

adoptada determinada solução;

– O utilizador testa várias alternativas e avalia os resultados;

– Por tentativa e erro, é identificada a melhor alternativa;


ModeloAlternativa 1 Implicações

ModeloAlternativa 2 Implicações

ModeloAlternativa i Implicações

ModeloAlternativa n Implicações

Melhor alternativa

AnáliseComparação

Técnicas de resolução

• Optimização– Identificação de possível solução;

– Estimativa do desempenho do sistema;

– Aperfeiçoamento da solução;

– Identificação da melhor alternativa de forma automática;


SimulaçãoAlternativa x ImplicaçõesMelhor

alternativaGera novas alternativas

Vantagens e desvantagens

• Simulação

– Permite simular o sistema de forma mais realista;

– Exige a identificação manual das alternativas viáveis;

– Exige identificação da melhor alternativa por tentativa e

• Optimização

– Simulação simplificada do sistema;

– Identificação da melhor solução de forma automática.

– A solução identificada como melhor pode não ser a melhor


alternativa por tentativa e erro;

– Quando existe um número infinito de alternativas, é difícil identificar a melhor.

melhor pode não ser a melhor no mundo real.

Solução:

• Utilizar optimização para identificar a “melhor” solução;

• Avaliar a solução por simulação e proceder a aperfeiçoamentos;

Formulação de um problema de optimização

• Cada alternativa é representada pelos valores que um conjunto de

variáveis assume.

• Variáveis de decisão: X1, X2, ….,Xn

• Função objectivo: B(X1, X2, ….,Xn) (e.g. beneficios ou custos da

alternativa)alternativa)

• Max B(X1, X2, ….,Xn)

Sujeito a

F1(X1, X2, ….,Xn) <= b1

F2(X1, X2, ….,Xn) <= b2

.......

Fn(X1, X2, ….,Xn) <= bn


Técnicas de optimização

• Programação linear

– Só podem ser incluídas equações lineares• g(X1, X2, …, Xn) = c1 X1 + c2 X2 + … + cn Xn

• e.g. não é possível assumir que o custo de uma solução varia com o quadrado de uma variável

• Programação dinâmica

– A função objectivo tem de ser separável.• F(X1, X2, …, Xn) = f1(x1) + f1(x2) + … + fn(xn)

– Maldição da dimensão– Maldição da dimensão

• Programação não linear

– Não há garantia de identificação da melhor solução.

• Técnicas heurísticas

– Redes neuronais;

– Algoritmos genéticos;

– Simulated annealing (recozimento simulado);

• Programação inteira

– Variante da PL que permite considerar variáveis não contínuas

• Programação dinâmica estocástica; teoria do controlo

– Variantes da PD


Programação linear

• As variáveis são contínuas;

• Todas as equações são lineares;

• Formulação padrão (forma canónica;)

– Max C1X1 + C2X2 + … + CnXn– Max C1X1 + C2X2 + … + CnXn

– Sujeito a • a11 X1 + a12 X2 + … a11 Xn <= b1

• a21 X1 + a22 X2 + … a21 Xn <= b2

• …

• am1 X1 + am2 X2 + … amn Xn <= bm

• X1>=0, X2>=0, …., Xn>=0


Exemplo 1

Mitigação de cheias


Ex.1 - Mitigação de cheias

• Uma pequena cidade, que sofre frequentemente cheias, está a estudar as duas soluções tecnicamente viáveis para mitigar este problema. A primeira solução consiste em construir um dique que custa 200 mil euros por cada metro de altura, sendo possível construir diques até um máximo de 4 m. Cada metro de altura do dique reduz o risco de cheia em 5%.

• A outra solução é a definição de um volume de encaixe de cheias numa albufeira localizada a montante da cidade. A entidade que numa albufeira localizada a montante da cidade. A entidade que gere essa albufeira está disposta vender o direito de utilização da capacidade de armazenamento, até um volume de 10 dam3, por 150 mil euros por cada dam3. Cada dam3 de volume de encaixe de cheias reduz o risco de cheia em 3%.

• Actualmente, sem qualquer medida de protecção, o risco de cheia é 50%. A cidade pretende saber qual é a solução mais barata que reduza o risco de cheia para um valor inferior a 10 %– Qual é a solução mais barata para atingir o risco de cheia pretendido ?

– Quanto é custaria reduzir o risco de cheia para 9 % ?

– Quanto a cidade estaria disposta a pagar pela possibilidade de utilizar mais um dam3 de capacidade de armazenamento na albufeira ?



Formulação / Resolução

Função objectivo: Minimizar custos

Variáveis de decisão:

• Volume de encaixe de cheias, V (dam3)

H

8

Solução óptima

V = 6.6 dam3

H = 4 m


Soluções

Admissíveis

• Volume de encaixe de cheias, V (dam3)• Altura do dique, H (m)

Min 200H + 150V (milhares de euros)

Sujeito a:

V <= 10 dam3

H <= 4 m

50 – 5H – 3V <= 10

V>=0; H>=0V

4

8

10 13,3

H = 4 m

Custo = 1790 milhares de euros

Programação linear

• Todas as equações (restrições e função objectivo) são lineares e são representadas por rectas no espaço das soluções;

• A zona das soluções admissíveis é um polígono convexo;


polígono convexo;

• A solução óptima é sempre um dos vértices do polígono;

• O número de restrições condicionantes é igual (ou superior) ao número de variáveis.

Polígono convexo

Polígono não convexo

Preços-sombra

• Cada restrição tem um preço-sombra (incluindo as de não negatividade);

• Definição:– Variação do valor da função objectivo decorrente do incremento em uma

unidade do lado direito da equação;

• Significado:– Custo unitário do recurso associado à restrição;

• Restrições:– Condicionantes -> preço-sombra <> 0.– Não condicionantes -> preço-sombra = 0


– Não condicionantes -> preço-sombra = 0

Max C1X1 + C2X2 + … + CnXn Preços sombraSujeito a

a11 X1 + a12 X2 + … a11 Xn <= b1 Y1

a21 X1 + a22 X2 + … a21 Xn <= b2 Y2....... …..

am1 X1 + am2 X2 + … amn Xn <= bm Yn

X1 >=0 z1

X2 >=0 z2… …

Xn >=0 zn

Custos reduzidos


Cálculo de preços sombra

Solução óptima original

V = 6.6 dam3; H = 4 m


Problema original

Min 200H + 150V (milhares de euros)

Sujeito a:

V < 10 dam3

H < 4 m

50 – 5H – 3V <= 10

V>=0; H>=0

H

4

5


Preço sombra de H <= 4

H<= 5

Nova solução óptima

V = 5 dam3; H = 5 m


Preço sombra = 1790–1550 = 240 milhares de euros/m

Preço sombra de 50-5H-3V<=10

50-5H-3V<=11

Nova solução óptima

V = 4.6 dam3; H = 4 m


Preço sombra = 1790– 1490= 300 milhares de euros/(%risco)V

H

4

10 13,3

10 13,3 V


Preços sombra

• Quanto é custaria reduzir o risco de cheia para 9%?

– Preço sombra da restrição do risco de cheia

– Custo = 300 milhares de euros/(%risco)

• Quanto a cidade estaria disposta a pagar pela possibilidade de utilizar mais um dam3 de capacidade de armazenamento na albufeira?

– Preço sombra da restrição sobre o volume de encaixe de – Preço sombra da restrição sobre o volume de encaixe de cheias;

– 0 milhares de euros/dam3

– Só está a utilizar 6.6 dam3 dos 10 dam3 que tem disponíveis.

• Quanto a cidade está a pagar pela imposição de não permitir a construção de um dique com uma altura superior a 4 m?

– Preço sombra da restrição sobre a altura máxima do dique;

– Custo = 240 milhares de euros/m



Análise de sensibilidade

• Max Z=c1H+c2V

– c1 = 200

– c2 = 150

• Qual é a sensibilidade da solução encontrada a variações dos coeficientes da função objectivo

H

4


coeficientes da função objectivo

• Max Z=c1H+c2V

• H = 1/c2 x Z- c2/c1 x V

• c2/c1 > 8/13.3

• c2 > 0,6 x c1

• Se c1 = 200 -> c2 > 120

• Se c2 = 150 -> c1 < 250

V10 13,3

Exemplo 2

Abastecimento de água


Ex.2 - Abastecimento de água

• Uma cidade necessita de garantir um abastecimento de água de 500 dam3 por ano. Para resolver este problema existem duas soluções: a construção de uma barragem num local próximo da cidade ou a construção de um sistema de adução a partir de um aquífero existente localizada a uma grande distância da cidade.

• O local escolhido para construir a barragem permite o armazenamento de água até um máximo de 20 000 dam3. Cada dam3 de armazenamento custa 500 euros e proporciona um abastecimento garantido de 0,04 dam3/ano.

• Os custos de construção do sistema de adução são de 50 mil euros por dam3/ano de capacidade de transporte. Dado que o aquífero que alimenta o dam3/ano de capacidade de transporte. Dado que o aquífero que alimenta o sistema de adução só pode garantir o fornecimento de máximo de 800 dam3/ano não há interesse em construir um sistema com uma capacidade de transporte superior a esse valor.

• A construção destas duas infra-estruturas exige uma rede logística para fazer chegar máquinas e materiais à região. A fim de reduzir o impacto da construção na região foi acordado com a população limitar o número de camiões que transitam a 50/dia. A construção de cada 1000 dam3 de armazenamento da albufeira exige 2 camiões/dia. A construção de cada 100 dam3/ano de capacidade de transporte exige 5 camião por dia.– Qual é a solução mais barata ?– Quanto é que custa o acordo de limitar o número de camiões?– Quanto é que a cidade estaria disposta a pagara para conseguir um maior

abastecimento garantido por parte da albufeira a montante do sistema de adução?


Ex.2 - Abastecimento de água

Formulação / Resolução

• Variáveis de decisão– V – Volume de armazenamento (mil dam3)– A – Capacidade de adução (dam3/ano)

• Função objectivo– Min 500V + 50A (milhares de euros)

• Restrições:– Local de construção: V <= 20

A

800

500

1000


– Local de construção: V <= 20– Recarga do aquífero: A <= 800– Necessidades de água: 40V + A >= 500– Acordo: 2V + 0,05A <= 50– V >=0; A >=0.

• Solução óptima– A = 0 dam3/ano– V = 12,5 mil dam3– Custo = 6250 mil euros

• Preços sombra– Local de construção: 0 euros/dam3– Necessidades:

• Nova solução: A=0, V=12,525, Custo=6262.5

• Preço sombra: 12,5 mil euros/dam3/ano

– Acordo: 0

V

20 2512,5

modelos de planeamento e gestão de recursos hídricos · pdf file–...

Documents