modelo fatorial ortogonal x é linearmente dependente de poucas variáveis não-observáveis f 1, f...
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MODELO FATORIAL ORTOGONAL
.)(,][ que tal Seja px1 XVarXEX
X é linearmente dependente de poucas variáveis não-observáveis F1 , F2 , ..., Fm , chamadas FATORES COMUNS e de
p fontes adicionais de variação 1 , 2 , ..., p , chamadas erros ou FATORES ESPECÍFICOS.
FLX
FlFlFlX
FlFlFlX
FlFlFlX
pmpmpppp
mm
mm
matricial, notação em ou,
2211
2222212122
1121211111
MODELO FATORIAL ORTOGONAL: suposições adicionais
Assumimos que:
mp
pT
T
FCOV
ECOVE
IFFEFCOVFE
0),(
,,,diag][)(,0
,][)(,0
21
Essas suposições constituem o modelo de análise fatorial ortogonal (ANFAT).
ESTRUTURA DE COVARIÂNCIA NO MODELO FATORIAL ORTOGONAL
)1(,...,2,1;,...,2,1,
ou ),()2(
),(
e)(
ou )()1(
2211
222
21
pmmkpjl),FCOV(X
LFXCOV
llllllXXCOV
lllXVar
LLXCOV
jkkj
rmjmrjrjsj
jjmjjj
T
MODELO FATORIAL ORTOGONAL
COMUNALIDADE - porção da variância da j-ésima variável contribuída pelos m fatores comuns.
Variância Específica (uniquenesses) - porção de Var(Xj)=σjj devida ao fator específico.
pjh
lllXVar
jj
j
j
j
jmjjjjj
,...,2,1,
)(
2
específica a variânciésima-decomunalida ésima-
222
21
Métodos de Estimação – usando o R
Componentes Principais – usando a função prcomp (não exige suposições quanto à distribuição geradora das observações).
Máxima-verossimilhança –usando a função factanal (pressupõe normalidade).
Função de verossimilhança sob normalidade
Tp
Ti
n
ii
npn
TTi
n
ii
nnp
xxn
xxxx
xxnxxxxL
)()(2
exp||)2(
))((tr2
1exp||)2(
))(())((tr2
1exp||)2(),(
12
1
2
1
12
)1(
2
)1(
1
122
A f.v. depende de L e através de LLT+. O modelo ainda não está bem definido devido à multiplicidade de
escolhas para L. É desejável impor condição de unicidade:
LLT 1deve ser uma matriz diagonal.
Teste para a verificação do número de fatores
Sob o método da máxima-verossimilhança é possível realizar um teste para verificar o número m de fatores adequados ao modelo.
Trata-se de um teste assintótico usando a estatística da razão de verossimilhança com correção de Bartlett.
Teste para a verificação do número de fatores
definida positiva matriz outraqualquer : versus: 10 HLLH pppmT
mppp
Quando a matriz não apresenta qualquer estrutura especial, seu estima-dor de máxima-verossimilhança é dado pela matriz Sn=(n-1)S/n, tal que o máximo assumido pela verossimilhança é proporcional a
2/2/e npn
nS
Sob H0 , está restrita à forma TLL
Nesse caso o máximo da verossimilhança é dado por
nTT SLLnLL 1)ˆˆˆ(tr
2
1-exp|ˆˆˆ|
Teste para a verificação do número de fatores
Usando resultados apropriados, e chamando a estatística do teste da razão de verossimilhança, temos
||
|ˆ|lnln2
nSn
Bartlett mostrou que a aproximação de Qui-quadrado para a distribuição amostral de -2 ln pode ser melhoradapela inclusão de um fator de correção.
Teste para a verificação do número de fatores
Usando a correção de Bartlett, rejeitaremos a hipóstese nula se:
teste.esseaplicar poder a modo de ),1812(2
1
que segue positivo,ser que temliberdade de graus de número o Como
grandes. mentesuficiente e para
)1(||
|ˆ|ln]6/)542(1[ 2
2/)( 2
ppm
n-pn
Smpn
mpmpn
Exemplo: Medidas físicas
Voltemos a trabalhar com a base de dados referente a 8 medidas físicas de 305 meninas de 7 a 17 anos, tais como, altura, peso, tórax, ante-braço, braço, entre outras, no R: Harman23.cor.
Será que as relações entre essas 8 medidas podem ser explicadas por poucos fatores comuns subjacentes?
Exemplo: Medidas Físicas
height arm.span forearm lower.leg weight bitro.diameter chest.girth chest.width
height 1.00 0.85 0.81 0.86 0.47 0.40 0.30 0.38arm.span 0.85 1.00 0.88 0.83 0.38 0.33 0.28 0.41forearm 0.81 0.88 1.00 0.80 0.38 0.32 0.24 0.34lower.leg 0.86 0.83 0.80 1.00 0.44 0.33 0.33 0.36weight 0.47 0.38 0.38 0.44 1.00 0.76 0.73 0.63bitro.diameter 0.40 0.33 0.32 0.33 0.76 1.00 0.58 0.58chest.girth 0.30 0.28 0.24 0.33 0.73 0.58 1.00 0.54chest.width 0.38 0.41 0.34 0.36 0.63 0.58 0.54 1.00
data(Harman23.cor) no pacote stats.
Harman.FA=factanal(factors=4,covmat=Harman23.cor)
Exemplo: Medidas Físicas
Uniquenesses: height arm.span forearm lower.leg weight bitro.diameter chest.girth chest.width 0.137 0.005 0.191 0.116 0.138 0.283 0.178 0.488
Loadings: F1 F2 F3 F4height 0.879 0.277 -0.115 arm.span 0.937 0.194 0.277 forearm 0.875 0.191 lower.leg 0.887 0.209 0.135 -0.188 weight 0.246 0.882 0.111 -0.109 bitro.diameter 0.187 0.822 chest.girth 0.117 0.729 0.526 chest.width 0.263 0.644 0.141
F1 F2 F3 F4SS loadings 3.382 2.595 0.323 0.165Proportion Var 0.423 0.324 0.040 0.021Cumulative Var 0.423 0.747 0.787 0.808
Test of the hypothesis that 4 factors are sufficient.The chi square statistic is 4.63 on 2 degrees of freedom.The p-value is 0.0988
Rotação dos fatores Como já vimos, todas as cargas dos fatores obtidas a partir das
cargas iniciais por uma transformação ortogonal têm as mesmas propriedades em reproduzir a matriz de covariância (ou correlação).
Da álgebra matricial, sabemos que uma transformação ortogonal corresponde a uma rotação (ou reflexão) dos eixos coordenados.
Por esta razão, uma transformação ortogonal das cargas dos fatores, e a transformação conseqüente dos fatores, é chamada de rotação dos fatores.
Como as cargas originais dos fatores podem não ser facilmente interpretáveis, uma prática comum é rotacioná-las até que uma estrutura de cargas “mais simples” seja atingida.
Rotação dos fatores
O ideal é buscar por um padrão de cargas tal que cada variável tenha cargas altas em um único fator e tenha cargas pequenas ou moderadas nos demais fatores.
Porém nem sempre é possível chegar a essa estrutura simples.
Vamos nos concentrar em métodos analíticos e gráficos para a determinação de uma rotação ortogonal para uma estrutura mais simples.
Rotação dos fatores
Quando m=2 ou os fatores comuns são considerados dois de cada vez, a transformação para uma estrutura mais simples pode freqüentemente ser determinada graficamente. Os fatores comuns não correlacionados são olhados como vetores unitários no plano Cartesiano cujos eixos coordenados correspondem a cada um dos dois fatores. Um gráfico dos pares das cargas dos dois fatores produz p pontos, cada ponto correspondendo a uma variável
Os eixos coordenados podem, então, ser visualizados rotacionando-os de um ângulo .
pkll kk ,...,2,1),ˆ,ˆ( 21
Rotação de fatores As novas cargas,
são determinadas pelas relações
horário-anti sentido no rotações para cossen
sen - cosQ
horário sentido no rotações para cossen -
sen cosQ
com
ˆ*ˆ
QLL
*jkl
Rotação de fatores
Nesse caso, aglomerações de variáveis são freqüentemente aparentes a olho nu e essas aglomerações permitem-nos identificar os fatores comuns, sem ter que inspecionar as magnitudes das cargas.
Por outro lado, quando m>2, orientações não são facilmente visualizadas e as magnitudes das cargas rotacionadas devem ser verificadas para encontrar uma interpretação útil dos dados originais.
A escolha de uma matriz ortogonal Q que satisfaz uma medida analítica de estrutura simples será considerada.
Rotação de fatores: método varimax
Kaiser (1953) sugeriu uma medida analítica de estrutura simples conhecida como critério varimax.
.~~1
maximiza que Q ortogonal ação transforma selecionavarimax
toprocedimen O des.comunalida das quadrada raiz pela corrigidos
rotação a após finais escoeficient os como ˆ
ˆ~ Defina
1 1
2
1
4
**
m
k
p
j
*jk
p
j
*jk
j
jkjk
/pllp
V
h
ll
Efetivamente, maximizar V corresponde a “espalhar” os quadrados dascargas de cada fator o máximo possível. Portanto, espera-se encontrargrupos de coeficientes grandes e coeficientes desprezíveis em qualquercoluna da matriz de cargas rotacionadas.
Rotação de fatores: método varimax – usando o R.
No R a função factanal ajusta o modelo fatorial ortogonal usando máxima-verossimilhança e o critério de rotação varimax.
factanal(x, factors, data = NULL, covmat = NULL, n.obs = NA, subset, na.action, start = NULL, scores = c("none", "regression", "Bartlett"), rotation = "varimax", control = NULL, ...)
Argumentos x - Uma fórmula ou uma matriz de números. factors - O número de fatores a serem ajustados.
data - O conjunto de dados em análise, usado somente se x é uma fórmula.
Rotação de fatores: método varimax – usando o R.
covmat - Uma matriz de covariância, ou uma lista de covariância como a saída de cov.wt. É claro que, matrizes de correlação são matrizes de covariância.
n.obs - O número de observações, usado se covmat é uma matriz de covariância.
subset - Uma especificação dos casos a serem usados, se x é usada como uma matriz ou fórmula.
na.action - A na.action a ser usada se x é usado como uma fórmula. (Lembre: que atitude tomar em caso de dados não disponíveis.)
start - NULL ou uma matriz de valores iniciais, cada coluna fornecendo um conjunto inicial de uniquenesses.
Rotação de fatores: método varimax – usando o R. scores - Tipo de escores a serem produzidos, se necessários. O
default é none, "regression" fornece os escores pelo método da regressão e "Bartlett“, pelo método dos mínimos quadrados ponderados.
rotation - "none" ou o nome de uma função a ser usada para rotacionar os fatores: ela será chamada tendo como primeiro argumento a matriz de cargas, e deverá retornar uma lista com as cargas componentes fornecidas pelas cargas rotacionadas, ou apenas as cargas rotacionadas.
control - Uma lista de valores de controle: nstart – o número de valores iniciais a serem tentados se start = NULL. Default 1. trace (lógica T ou F). Vai querer todas as informações na saída? Default FALSE. lower O lomite inferior para uniquenesses durante a otimização. Tem que ser > 0. Default 0.005. opt Uma lista de valores de controle a serem passados como argumentos de controle ótimos. rotate - uma lista de argumentos adicionais para a função de rotação.
Loadings: Factor1 Factor2 Factor3 Factor4height 0.879 0.278 -0.115 arm.span 0.937 0.194 0.277 forearm 0.875 0.192 lower.leg 0.887 0.210 0.135 -0.188 weight 0.245 0.882 0.111 -0.109 bitro.diameter 0.186 0.823 chest.girth 0.117 0.729 0.526 chest.width 0.263 0.645 0.141
Factor1 Factor2 Factor3 Factor4SS loadings 3.380 2.597 0.323 0.165Proportion Var 0.422 0.325 0.040 0.021Cumulative Var 0.422 0.747 0.787 0.808
$rotmat [,1] [,2] [,3] [,4][1,] 9.999997e-01 7.025521e-04 8.918855e-05 1.075765e-05[2,] -7.025481e-04 9.999998e-01 -4.573375e-05 1.128348e-05[3,] -8.922036e-05 4.567138e-05 1.000000e+00 -2.699540e-05[4,] -1.075213e-05 -1.128980e-05 2.699495e-05 1.000000e+00
No R o defaul é fornecer as cargas do método varimax. Aseguir temos a saída da função Harman.FAV=varimax(Harman.FA$loadings), também disponível.
Análise dos resultados
Percebe-se que a matriz de rotação resultante é quase a identidade. De fato, o R apresenta as cargas do método varimax de rotação como default.
Ou seja, na saída ele já tenta facilitar a interpretação dos fatores.
Factor1 varimax Factor2 varimax Factor3 varimax Factor4 varimax
height 0,879 0,879 0,277 0,278 -0,115 -0,115
arm.span 0,937 0,937 0,194 0,194 0,277 0,277
forearm 0,875 0,875 0,191 0,192
lower.leg 0,887 0,887 0,209 0,21 0,135 0,135 -0,188 -0,188
weight 0,246 0,245 0,882 0,882 0,111 0,111 -0,109 -0,109
bitro.diameter 0,187 0,186 0,822 0,823
chest.girth 0,117 0,117 0,729 0,729 0,526 0,526
chest.width 0,263 0,263 0,644 0,645 0,141 0,141
Factor1 varimax Factor2 varimax Factor3 varimax Factor4 varimax
SS loadings 3.382 3.380 2.595 2.597 0,323 0,323 0,165 0,165
Proportion Var 0,423 0,422 0,324 0,325 0,04 0,04 0,021 0,021
Cumulative Var 0,423 0,422 0,747 0,747 0,787 0,787 0,808 0,808
As pequenas diferenças em valores devem se justificar por conta do método debusca da solução que é iterativo e envolve muitos arredondamentos.
Rotação ortogonal
Existem outros métodos de rotação ortogonal.
Método quartimax – minimiza o número de fatores necessários para explicar uma variável.
Método equimax – é um compromisso entre os métodos varimax e quartimax.
O método varimax é o mais popular.
Rotação dos fatores: Rotações oblíquas Rotações ortogonais são apropriadas para um modelo fatorial no qual
os fatores são supostos não correlacionados. Muitos pesquisadores em Ciências Sociais porém consideram rotações oblíquas (não ortogonais), bem como, rotações ortogonais. As primeiras são sugeridas após olhar as cargas estimadas e não partir dos postulados básicos do modelo. Apesar disso, uma rotação oblíqua pode ser útil.
Se olhamos os m fatores comuns como eixos coordenados, o ponto com as coordenadas das cargas da j-ésima variável sobre os m fatores comuns representa a posição dessa variável no espaço fatorial.
Supondo que as variáveis são agrupadas em conglomerados não sobrepostos, uma rotação ortogonal para uma estrutura mais simples corresponde a uma rotação rígida dos eixos coordenados tal que os eixos, após a rotação, passam tão próximos dos conglomerados quanto possível.
Rotação dos fatores: Rotações oblíquas
Uma rotação oblíqua para simplificar a estrutura das cargas corresponde a uma rotação não rígida do sistema de coordenadas tal que os eixos rotacionados (não mais ortogonais dois a dois) passam (próximos) dos conglomerados.
Uma rotação oblíqua busca expressar cada variável em termos de um número mínimo de fatores, preferivelmente um único fator.
Rotação dos fatores: Rotações oblíquas
Para rotações oblíquas, o método mais popular é o método promax que tem a vantagem de ser rápido e conceitualmente simples.
O método busca ajustar uma matriz alvo que tem uma estrutura simples.
Como um exemplo, use o R para obter a rotação promax no exemplo com os dados Harman23.cor.
Método promax: usando o R
Faça Harman.FAP=promax(Harman.FA$loadings) Também é possível via:Harman.FAP2=factanal(factors=4,covmat=Harman23.cor,rotation=“promax”)
Loadings:
Factor1 Factor2 Factor3 Factor4
height 0,861 0,140
arm.span 1,026 -0,130 0,385
forearm 0,918 0,177
lower.leg 0,898 -0,110
weight 0,912 -0,103
bitro.diameter 0,904
chest.girth 0,560 0,553
chest.width 0,127 0,566 0,167
Factor1 Factor2 Factor3 Factor4
SS 3.463 2.321 0,344 0,232
Proportion 0,433 0,29 0,043 0,029
Cumulative 0,433 0,723 0,766 0,795
$rotmat
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1,1002 -0,2408 -0,0576 0,1019
[2,] -0,3088 1,1093 -0,0018 -0,0157
[3,] 0,1450 -0,4160 1,0653 0,0105
[4,] 0,1740 -0,3600 0,0980 1,0558
Factor1 promax Factor2 promax Factor3 promax Factor4 promax
height 0,879 0,861 0,277 0,14 -0,115
arm.span 0,937 1,026 0,194 -0,13 0,277 0,385
forearm 0,875 0,918 0,191 0,177
lower.leg 0,887 0,898 0,209 0,135 -0,188 -0,11
weight 0,246 0,882 0,912 0,111 -0,109 -0,103
bitro.diameter 0,187 0,822 0,904
chest.girth 0,117 0,729 0,56 0,526 0,553
chest.width 0,263 0,127 0,644 0,566 0,141 0,167
Factor1 promax Factor2 promax Factor3 promax Factor4 promax
SS loadings 3.382 3.463 2.595 2.321 0,323 0,344 0,165 0,232
Proportion Var 0,423 0,433 0,324 0,29 0,04 0,043 0,021 0,029
Cumulative Var 0,423 0,433 0,747 0,723 0,787 0,766 0,808 0,795
Escores dos fatores
Na análise fatorial o interesse está geralmente centrado nos parâmetros do modelo fatorial.
Porém, os valores estimados dos fatores comuns, chamados escores dos fatores, podem também ser requeridos.
Essas quantidades são geralmente usadas para propósitos de diagnóstico bem como entradas para análises subsequentes.
Escores dos fatores
Escores dos fatores não são estimativas de parâmetros no sentido usual. Em vez disso, eles são estimativas dos valores não observados do vetor de fatores Fi, i=1,2,...,n.
Os escores iii
Fff por atingidos , de valoresdos estimativa ˆ
O problema de estimação aqui é mais complicado pelo fato das quantidades não observadas fi e i superarem em número os xi observados.
Escores dos fatores Para superar essa dificuldade, propõe-se algumas abordagens para
o problema de estimação dos valores dos fatores. Aqui vamos trabalhar com duas abordagens: Primeiro: “Tratar as cargas estimadas dos fatores e as variâncias
específicas estimadas como se fossem os valores verdadeiros dos parâmetros correspondentes”.
Segundo: “Incluir transformações lineares dos dados originais, talvez centradas ou padronizadas. Comumente, as cargas rotacionadas estimadas em vez das cargas estimadas são usadas para calcular os escores dos fatores. As fórmulas computacionais, que serão trabalhadas aqui, não mudam quando as cargas rotacionadas são substituídas por cargas não rotacionadas e não faremos diferença entre elas.
Método dos mínimos quadrados ponderados
Suponha primeiro que o vetor de média μ, a matriz de cargas dos fatores L, e as variâncias específicas em são conhecidos para o modelo fatorialX- μ=LF+ .
Além disso, olhe os fatores específicos T=[1, 2, ..., p] como erros.
Como Var(j)=j, j=1,2,...,p, e não precisam ser iguais, Bartlett sugeriu usar mínimos quadrados ponderados para estimar os valores dos fatorescomuns.
A soma de quadrados dos erros ponderados pela recíproca de suas variâncias é:
)()( 1
1
12
fLxfLx Tp
j
T
j
j
Método dos mínimos quadrados ponderados
Bartlett propôs escolher as estimativas de modo a minimizar a soma de quadrados dos erros ponderada pelas variâncias.
A solução é dada por: Motivados por essa expressão, tomamos as
estimativas como os verdadeiros valores e obtemos os escores dos fatores para o j-ésimo caso como
ff de ˆ
).()(ˆ 111 xLLLf TT
xL e,ˆ,ˆ
.,...,2,1),ˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ 111 nixLLLf iTT
i
Método dos mínimos quadrados ponderados
Quando as estimativas de L e são obtidas pelo método da máxima-verossimilhança, essas estimativas devem satisfazer a condição de unicidade: deve ser uma matriz diagonal.
Os escores dos fatores gerados por esse método têm vetor de médias nulo e covariâncias amostrais nulas.
Se as cargas rotacionadas são usadas no lugar das cargas originais, os escores dos fatores subseqüentes serão dados por:
ˆˆˆˆ 1LLT
nifQfi
T
i,...,2,1,ˆ*ˆ
Escores dos fatores obtidos por mínimos quadrados ponderados a partir das estimativas de máxima-verossimilhança
.ˆˆˆ e ),( com
,...,2,1,ˆ)ˆˆˆ(ˆ
,decomposta é correlação de matriz a se ou,
,...,2,1),(ˆ)ˆˆˆ(ˆ
2/1
111
111
zzTzii
izT
zzzT
zi
iTT
i
LLΡxxDz
nizLLLf
nixxLLLf
Método de regressão
.ˆˆˆ e ),( com
,...,2,1,ˆˆ
,decomposta é correlação de matriz a se ou,
,...,2,1),(ˆˆ
2/1
1
1
zzTzii
iT
i
iT
i
LLΡxxDz
nizRLf
nixxSLf
Comparação dos dois métodos
Uma medida de concordância entre os escores dos fatores gerados pelos dois métodos é fornecida pelo coeficiente de correlação entre escores de um mesmo fator.
Entre os dois métodos apresentados, nenhum deles é recomendado como uniformemente superior.
Exemplo: Dados sobre porcentagens de empregados nos diferentes setores nos países europeus.
Como não dispomos dos dados originais do exemplo das medidas físicas, vamos trabalhar com outro conjunto de dados.
Trata-se da distribuição percentual de empregados por setor de atividade em países europeus.
Notação: AGR – agricultura, florestal e pesca, MIN – mineração e exploração de pedreiras, FAB – fabricação, FEA – fornecimento de energia e água, COM – construção, SER – serviços, FIN – finanças, SSP – serviços sociais e pessoais, TC – transportes e comunicações.
Exemplo: Dados sobre porcentagens de empregados nos diferentes setores nos países europeus.
Os dados estão em ftindústria.txt, os nomes dos países estão em paises.txt.
ft=read.table(http://im.ufrj.br/~flavia/mad484/ftindustria.txt, header=T) paises=read.table(“http://im.ufrj.br/~flavia/mad484/paises.txt") row.names(ft)=t(paises) ft.FACP=prcomp(ft, center = TRUE, scale = TRUE)
Quantos fatores considerar?
Pela análise da saída das componentes principais ficamos entre 3 (71%), 4 (83%) ou 5 (91%) fatores.
É possível ver que a primeira componente principal constrasta os setores agricultura e mineração com os demais setores.
round(ft.FACP$rotation[,1],digits=3) AGR MIN FAB FE COM SER FIN SSP TC 0.511 0.375 -0.246 -0.316 -0.222 -0.381 -0.131 -0.428 -0.205
Quantos fatores considerar?
Já a segunda componente principal contrasta principalmente Fabricação, Transportes e Comunicação com Serviços, Finanças e Construção.
round(ft.FACP$rotation[,2],digits=3) AGR MIN FAB FE CON SER FIN SSP TC 0.024 0.000 -0.432 -0.108 0.242 0.408 0.553 -0.054 -0.517
Método da Máxima verossimilhança
R=cor(ft) ft.FAMV=factanal(factors=4,covmat=R) Uniquenesses: AGR MIN FAB FE COM SER FIN SSP TC 0.005 0.005 0.005 0.744 0.601 0.173 0.505 0.005 0.468
Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 SS loadings 2.025 1.924 1.535 1.006 Proportion Var 0.225 0.214 0.171 0.112 Cumulative Var 0.225 0.439 0.609 0.721
The degrees of freedom for the model is 6 and the fit was 8.047
Método da máxima verossimilhança
Cargas Fator 1 Fator 2 Fator 3 Fator 4
AGR -0,807 -0,247 -0,528 0,056
MIN -0,094 -0,873 -0,096 -0,463
FAB 0,056 0,940 -0,079 -0,318
FEA 0,202 0,411 0,213 -0,028
COM 0,009 0,041 0,627 0,061
SER 0,218 0,150 0,779 0,387
FIN -0,013 -0,062 0,423 0,558
SSP 0,947 0,100 0,072 0,287
TC 0,613 0,089 -0,098 -0,372
Perspectivas e estratégias na Análise Fatorial
1. Realize uma análise fatorial via CP’s. Esse método é particularmente apropriado como um primeiro passo na análise dos dados. (Não é exigido que S ou R sejam não-singulares.)
(a) Investigue observações suspeitas construindo o gráfico de escores dos fatores. Também calcule os escores padronizados de cada observação e as distâncias quadradas.
(b) Tente uma rotação varimax.
2. Realize uma análise fatorial via máxima-verossimilhança incluindo rotação varimax.
Perspectivas e estratégias na Análise Fatorial
3. Compare as soluções obtidas.
(a) Os grupos de cargas são semelhantes?
(b) Construa o gráfico dos escores dos fatores obtidos por CP’s versus os obtidos por máxima-verossimilhança.
4. Repita os primeiros três passos para outros números de fatores comuns m. Os fatores extras contribuem necessariamente para a compreensão e interpretação dos dados?
5. Para grandes conjuntos de dados, divida-os em duas metades e realize uma análise fatorial sobre cada parte. Compare as duas soluções entre si e com as soluções obtidas via conjunto de dados completo para verificar estabilidade da solução.