modelagem peneiramento

121REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 58(2): 121-125, abr. jun. 2005

Simão Célio de Carvalho et al.

ResumoO peneiramento é uma operação unitária em que

mecanismos probabilísticos ocorrem de maneira intensa.Este trabalho apresenta um modelo alternativo de penei-ramento a partir da abordagem probabilística de Mogen-sen. Um sistema computacional (SimPeneira) foi imple-mentado e validado experimentalmente. Tal sistema é ca-paz de simular cenários de peneiramento industrial e quan-tificar o impacto de parâmetros, tais como: abertura, com-primento da peneira, velocidade do fluxo do material, áreaefetiva de peneiramento, freqüência e amplitude das vi-brações. O sistema também pode dimensionar peneiras,utilizando-se o método clássico de dimensionamento (commodificações).

Palavras-chave: simulação, granulometria, peneiramento.

AbstractScreening is a unit operation where probabilistic

mechanisms take place in an intensive way. This workpresents an alternative screening model. The finalproduct is a software system called SimPeneira(experimentally validated) developed in order tosimulate scenarios in industrial screening and toquantify the impact of parameters such as: screenopening, length, effective area, material flow speed,vibration frequency and amplitude. The system can alsosize screens using the classical sizing procedure (withmodifications).

Keywords: simulation, size particle, screening.

Modelamento matemático de peneiramentovibratório (Parte 2): simulação

Simão Célio de CarvalhoEngenheiro de Minas, Sempre Viva Mineração - Construções e Transportes

Mestrado em Engenharia Mineral - DEMIN/UFOPE-mail: [email protected]

José Aurélio Medeiros da LuzUniversidade Federal de Ouro Preto - UFOP

Escola de Minas - Departamento de Engenharia de Minas - DEMINE-mail: [email protected]

Mineração

REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 58(2): 121-125, abr. jun. 2005122

Modelamento matemático de peneiramento vibratório (Parte 2): simulação

1. IntroduçãoHá tempos, os homens utilizam o

processo de peneiramento com o intuitode separar produtos em diferentes gra-nulações, formatos, bem como retirarimpurezas, adequando produtos a espe-cificações.

O peneiramento é um processomuito importante no tratamento de mi-nérios e na separação de grãos de cere-ais de uma forma geral, no entanto, atu-almente, são poucos os trabalhos relaci-onados a um processo tão utilizado emtodo o mundo.

Com o intuito de simular e dimensi-onar o processo de peneiramento, foidesenvolvido um modelo computacio-nal para simulação de peneiramento (sis-tema SimPeneira), o qual é capaz de si-mular diversos cenários de peneiramen-to, bem como dimensionar peneiras se-gundo o procedimento clássico, combase no método Allis Chalmers modifi-cado (Luz & Carvalho, 2004). Para vali-dação do módulo de simulação anterior-mente descrito, foi realizada uma sériede ensaios de peneiramento em escala-piloto.

A simulação da eficiência de penei-ramento e das análises granulométricasdos produtos é sempre desejada, pois,conhecendo as distribuições granulomé-tricas dos produtos, pode-se analisar qualsituação de operação dará maior eficiên-cia operacional, sem gasto de tempo e di-nheiro com amostragem e análises.

O objetivo desse trabalho é discu-tir o módulo de simulação de peneiras deum modelo computacional para simula-ção e dimensionamento de peneiramen-to (sistema SimPeneira), o qual é a con-tinuação do artigo “Modelamento mate-mático de peneiramento vibratório (Par-te 1): dimensionamento”, e, também, apre-sentar os resultados de algumas simula-ções realizadas em escala-piloto paravalidação do programa.

2. Materiais e métodosO recurso material necessário ao

desenvolvimento e validação do módu-

lo de simulação do sistema computacional consistiu em microcomputador, ambienteintegrado de desenvolvimento Delphi (versão 7), gerenciador de banco de dadosMicrosoft Access, peneira em escala-piloto localizada no CEFETOP (Centro Federalde Educação Tecnológica de Ouro Preto), britador de mandíbulas em escala-piloto,britador de rolos em escala-piloto, balança, peneirador (tipo Ro-tap), para realizaçãodas análises granulométricas, e série ABNT de peneiras. A amostra utilizada emtodos os ensaios foi um material dolomítico, proveniente da Mineração Bemil Ltda.,bitolado entre 9,2 mm e 0,3 mm.

2.1 Desenvolvimento do modelo proposto (SimPeneira)O sistema computacional SimPeneira foi desenvolvido de modo a possibilitar

a simulação de diversos cenários operacionais relativos a um peneiramento em esca-la industrial e piloto, como, por exemplo, a abertura da peneira, a velocidade do fluxodo material, comprimento da peneira, inclinação da peneira. Ele é constituído de doissubsistemas que são: um módulo de simulação e um módulo de dimensionamentoclássico, baseado no método Allis Chalmers modificado, o qual foi apresentado noartigo citado anteriormente. Essa metodologia clássica apresenta uma série de sim-plificações, pois não leva em conta a inclinação da peneira, a freqüência de vibração,parâmetros importantes em um processo de peneiramento. Para fazer face a essesproblemas, o dimensionamento pode ser efetuado indiretamente pelo uso do módu-lo de simulação de peneiramento vibratório.

2.2 Formalismo matemático do modelo de simulaçãoA espessura efetiva média do peneiramento é calculada a partir da equação de

continuidade, a qual, explicitada, resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××=

LvQ

ap

m

ρlE (1)

Onde:Qm - vazão mássica do fluxo retido [kg/s].ρρρρρap - massa específica do material [kg/m3].v - velocidade média de progresso do material sobre a tela [m/s].L - largura efetiva da peneira [m].El - espessura média do leito [m].

É mais conveniente, para propósitos de modelagem matemática, em vez daespessura do leito, a adoção de uma variável adimensional a ela relacionada, ouseja: uma espessura relativa. A espessura relativa aqui adotada é dada por:

aEE l* = (2)

Onde o parâmetro a é a abertura equivalente da peneira, em metro.

Para calcular a probabilidade de uma partícula passar pela tela de uma peneirade malha quadrada, utiliza-se a expressão analítica de Mogensen (Mogensen, 1965),a qual é:

( )

( ) ( )[ ]αφφ

φαφφ

cos

1cos

1 ×+×+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−×+×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−

=aa

dadfad

adfa

p (3)



Onde:a - abertura [m].d - diâmetro da partícula [m].φφφφφ - diâmetro do fio da tela [m].ααααα - ângulo de inclinação da peneira pla-na [º].

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

adf é uma função de ajuste, cujo valor

(nos limites 0 ≤ d/a ≥ 1) pode ser estima-do a partir da equação seguinte, obtidapor análise de regressão, a partir dosdados de Mogensen (Mogensen, 1965):

27,027,0 +×−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ad

adf (4)

Naturalmente, se o tamanho re-lativo (d/a) for maior que 1,0, a fun-

ção ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

adf = 0,0. A correlação estatística

para a regressão da equação anterior foide 97,96 %.

A probabilidade, pn, de uma partí-cula isolada da classe de tamanhos i pas-sar pela peneira somente na n-ésima ten-tativa de passagem (apresentação) édada pela equação:

pn = 1 - (1-p1)n (5)

Onde:

p1 - probabilidade de passagem de umapartícula da classe i em uma única apre-sentação à tela [-].

n - número de apresentações (tentativas)de passagem [-].

O número de apresentações é mo-notonicamente crescente com o tempode residência sobre a tela. Por seu turno,o tempo de residência é dado por:

(6)

Onde:

C - comprimento da peneira [m].v - velocidade média de fluxo [m/s].

O número de apresentações de cadapartícula de subtamanho (undersize) àsaberturas da tela é, em geral, apenas umafração do número de ciclos da peneira,

durante o tempo de residência, por cau-sa das interações entre as partículas noleito. No presente modelo, a chamadaefetividade representa a razão entre onúmero de ciclos durante o percursosobre a tela e o número efetivo de apre-sentações.

(7)

Naturalmente, no algoritmo, é ne-cessário o conhecimento, ou da efetivi-dade ou, alternativamente, da granulo-metria do material passante. No segun-do caso, o sistema irá ajustar a efetivida-de (etapa de calibração). Assim, o núme-ro de apresentações de cada partícula àtela pode ser calculado com base no tem-po de residência, τ, considerando-se uma"efetividade (y)" da freqüência operaci-onal, conforme o disposto na equação aseguir:

(8)

Onde:y - efetividade [-].f - freqüência [Hz].τττττ - tempo de residência [s].

É natural supor que a dificuldadede migração dos subtamanhos dentro doleito, em direção à superfície de separa-ção (tela), seja crescente com a espessu-ra relativa do leito. Assim, pode-se ado-tar:

(9)Onde:k - coeficiente de efetividade [-].z - ponderador exponencial de espessura [-].

Para efeito de simplificação do mo-delo, adotou-se, nesse trabalho, o va-lor: z = 1,0. Como conseqüência, o erroassociado a tal adoção, na realidade, ficaincorporado pela efetividade (y).

Outra simplificação do presentemodelo é o fato de não se levar em contao efeito da estratificação do leito duran-te o processo de peneiramento (incluin-do-se a estratificação grânulo-densitá-ria do leito, similar à da jigagem).

Para o caso de o coeficiente de efe-tividade estar sendo inferido por valo-res experimentais da partição, isto é, du-rante a fase de calibração do modelo, osistema utiliza uma rotina simplificada deminimização da soma dos erros quadrá-ticos.

Em suma, a determinação de y, paradado caso operacional, é o ponto chavepara o modelamento do processo, no al-goritmo adotado pelo SimPeneira.

O sistema calcula também as vazõesmássicas da alimentação, do retido e dopassante:

(10)

Onde:

∑∑∑∑∑m - somatório das massas retidas emcada faixa granulométrica.

Ff - fração de fluxo amostrado.

τττττa - tempo amostral [s].

A área efetiva de peneiramento édada por:

A = C x L (11)

Onde:

C - comprimento da peneira (dado deentrada) [m].

L - largura da peneira [m].

A eficiência de remoção de finospode ser calculada pela expressão con-vencional:

(12)Onde:

mu - massa (ou vazão)de subtamanhopassante [kg].

ma - massa (ou vazão)de subtamanho ali-mentada [kg].

3. Resultados ediscussão

O Programa SimPeneira, como ditoanteriormente, é um software desenvol-

( )zEky*

=

fm F

mQ

a ×= ∑τ

a

u

mm

=ε

vC

=τ

τ×= fy n

yfn ××= τ

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Modelamento matemático de peneiramento vibratório (Parte 2): simulação

vido para o dimensionamento e simula-ção de peneiras em escala industrial epiloto, a interface do módulo de simula-ção pode ser observada na Figura 1.

Ela apresenta a interface do módu-lo de simulação, com a rotina de ajustedo coeficiente de efetividade seleciona-da. Nesse caso, torna-se necessário en-trar com os dados práticos de um ensaio depeneiramento. No exemplo, entramos comos dados de um dos ensaios realizados.

Na Tabela 1 e nas Figuras 2, 3 e 4,está apresentado um resumo dos resul-tados de ensaios realizados e simuladosem uma peneira vibratória em escala-pi-loto. O efeito da variação da abertura datela pode ser observado nas curvas dasFiguras 2, 3 e 4.

Pode-se observar também que,quanto maior a inclinação, menor a es-pessura relativa do leito como seria dese esperar. Analisando-se os dados,pode-se perceber também que uma mai-or abertura de tela apresenta uma ten-dência de espessura relativa maior.

Não se conseguiu extrair uma regraou equação que descrevesse, com rigorquantitativo, o comportamento do coe-ficiente de efetividade, indicando a ne-cessidade de estudos suplementares,com possível introdução de parâmetrosnão considerados no modelo.

4. ConclusõesO modelo computacional foi con-

cebido primacialmente para simulação

Figura 1 - Módulo de simulação do programa SimPeneira, entrando-se com o AnáliseGranulométrica do material passante (para calibração do modelo).

Tabela 1 - Quadro-resumo, comparando-se alguns dos resultados simulados.

Figura 2 - Curvas de partição “Realizadas x Simuladas” (ensaios 20 e 22).



probabilística de peneiramento vibrató-rio (sistema SimPeneira), partindo-se doformalismo de Mogensen (Mogensen1965, Kelly & Spottiswood, 1982). Essemodelo possibilita a simulação de diver-sos cenários de um peneiramento emescala industrial e piloto. Os resultadosmostram uma boa aderência entre os da-dos experimentais e os simulados.

Tal aderência estatística foi obtidapela convergência de valor do coefici-ente de efetividade para várias condi-ções experimentais. Essa é uma grandevantagem do modelo proposto, em rela-ção a outros, pois ele requer a calibração

de apenas um parâmetro, o coeficientede efetividade.

Ressalta-se que o programa tambémpode servir como excelente suporte di-dático nos cursos regulares de engenha-rias de minas, metalúrgica e química.

5. ReferênciasbibliográficasCHAVES, A. P., PERES, A. E. C. Teoria e

prática do tratamento de minérios -britagem, peneiramento e moagem.1. ed. São Paulo: Signus, 1999. v. 3.237p.

FAÇO. Manual de britagem da Faço. SãoPaulo: Allis Mineral Systems, 1994.

KELLY, E. G., SPOTTISWOOD, D. J.Introduction to mineral processing.New York: John Wiley, 1982.

LUZ, J. A. M., CARVALHO, S.C.Modelamento matemático depeneiramento vibratório (parte 1):dimensionamento clássico. REM -Revista Escola de Minas. Ouro Preto:2004 [no prelo].

MOGENSEN, F. A new screening method ofscreening granular materials. The QuarryManagers' Journal. p. 409-414. Oct.,1965.

Artigo recebido em 16/11/2004 eaprovado em 03/01/2005.

Figura 3 - Curvas de partição “Realizadas x Simuladas” (Ensaios 27 e 30).

Figura 4 - Curvas de partição “Realizadas x Simuladas” (Ensaios 35 e 36).

modelagem peneiramento

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