modelagem matemÁtica - paranဦ · modelagem matemática poderia tornar o ensino da geometria...
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MODELAGEM MATEMÁTICA – GEOMETRIA ESPACIAL E A MONTAGEM DE
EMBALAGENS PARA PRESENTE
Autor: Eliana Pereira¹
Orientador: Profª Mestre Solange Maria Gomes dos Santos²
Resumo
No início do século XX, educadores matemáticos já apontavam para a necessidade de
desenvolvimento de novas metodologias que levassem o aluno a analisar, conjeturar,
apropria-se de conceitos e, quando possível, pudesse aplicá-los. Dessa forma, conclui-
se que um dos principais objetivos do ensino da Matemática é que, o que se ensine,
tenha sentido para o aluno. Minimizar o desinteresse e a desmotivação do educando
no que se refere ao conteúdo de Geometria Espacial, vinculado a teoria e a prática
através da montagem de embalagem para presente com a aplicação da Modelagem
Matemática, é o principal objetivo que se pretendeu atingir com o presente trabalho.
Para tal, foram utilizadas estratégias que possibilitaram aos alunos compreender
alguns conceitos geométricos que foram utilizados para o desenvolvimento das
atividades relacionadas á prática da montagem de embalagens (em especial, o
paralelepípedo retângulo), precedida de um breve histórico onde foi demonstrada a
importância do conhecimento do conteúdo de Geometria Espacial destacando-se a
necessidade de se obter tal conhecimento. O presente trabalho procurou desenvolver
nos alunos uma visão empreendedorista, partindo do pressuposto de que, possuir um
conhecimento que possa desenvolver uma habilidade prática, cuja aplicabilidade seja
viável, possa tornar possível uma intervenção positiva na realidade. Pretendeu-se
desenvolver com o presente trabalho o pensamento lógico dedutivo, auxiliando assim
a abrangência do vínculo entre a teoria e a prática.
¹ Pós Graduada em Magistério Superior, Graduada Ciências e Matemática na Fafipar
² Mestrado em Educação Fafipar - Matemática
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Palavras- chave: Modelagem Matemática; Geometria Espacial;
Interdisciplinaridade.
1 INTRODUÇÃO
O mundo é espacialmente tridimensional no qual o homem está inserido, construindo
assim, a sua história. Baseado neste contexto faz-se necessária uma discussão de
análise, buscando com os educadores os elos de ligação entre a Geometria Espacial e
o seu cotidiano. Para tal, faz-se necessário desenvolver essa percepção espacial,
compreendê-la para então entender o vínculo que existe entre a teoria e a prática.
Tornar o ensino da Matemática mais significativo para o educando é alvo das
discussões que norteiam essa disciplina gerando polemicas e argumentações, muitas
vezes, criando para os professores um emaranhado confuso de idéias e
determinações
Analisando alguns autores consagrados sobre a aplicabilidade da Modelagem
Matemática como facilitadora do ensino dessa disciplina nos levou a adotar como
alicerce desse trabalho a Modelagem para viabilizar a montagem de embalagens para
presente, o que vem a contemplar um público específico para uma finalidade até
mesmo lucrativa, já que constituem-se em sua maioria membros de uma comunidade
carente.
Pretendeu-se não só promover o conhecimento matemático, mas adquirir
habilidades para aplicá-lo em prol do que consideramos essencial, uma transformação
da informação, para uma intervenção positiva da realidade.
O processo de investigação resumiu-se em saber se a aplicabilidade da
Modelagem Matemática poderia tornar o ensino da Geometria Espacial mais atraente
e significativo para o aluno, pois pode-se perceber o quanto esse conteúdo é
desmotivador, cansativo e pouco assimilado pelos alunos do Ensino Fundamental.
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Procurou-se minimizar o desinteresse e a desmotivação do aluno no que se
refere ao conteúdo de Geometria Espacial, vinculando a teoria e a prática através da
montagem de embalagens para presente com a aplicação da Modelagem Matemática.
Para tal, buscou-se um referencial bibliográfico significativo com o contexto do
presente trabalho, bem como motivar e estimular os alunos envolvidos quanto ao que
se refere a habilidade de exploração e pesquisa. Pretende-se tornar compreensível o
papel sócio cultural da Matemática e facilitar a aprendizagem de alguns conteúdos de
Geometria Espacial utilizando-se da Modelagem Matemática. Demonstrou-se uma
visão empreendedorista partindo do pressuposto de que possuir uma habilidade cuja
aplicabilidade seja viável pode ser também rentável, o que leva uma reflexão sobre a
disciplina de Matemática sua importância e quanto a sua compreensão pode
transformar a realidade, que é o que se espera de um cidadão ao adquirir tais
conhecimentos. Procurou-se identificar na parte prática, os principais conceitos e
elementos geométricos através da montagem das embalagens, aplicando-se os
fundamentos geométricos.
Pode-se observar nitidamente uma grande simpatia a metodologia utilizada
durante o processo de desenvolvimento das atividades propostas no presente
trabalho, demonstrada por seus participantes, alunos e professores, e a real
necessidade de mudanças ao que se refere à prática pedagógica da disciplina de
Matemática.
2. MODELAGEM MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática tem sido utilizada como uma estratégia facilitadora da
aprendizagem e podemos considerá-la como uma nova forma de encarar a
Matemática. Segundo Jonei Cerqueira Barbosa (2004), a Modelagem Matemática de
modo geral, é conceituada como aplicação da matemática em outras áreas do
conhecimento. Afirma ainda, que a Modelagem Matemática é um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio
da matemática, situações com referência na realidade.
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ffff, a Modgememática não pode silizada apenas para justificar o conteúdo que está
ggsendo ensinado, mas sim, deve valorizar a razão,
Segundo Jonei Cerqueira Barbosa (2004), A Modelagem Matemática de modo geral, é
Bassanezi (2002, p.27), nos apresenta cinco argumentos fundamentais para a inclusão
da Modelagem Matemática:
Motivadora
Facilitadora durante o processo aprendizagem
Preparadora, ao que se refere na utilização da Matemática em diferentes áreas.
Desenvolve habilidades gerais de exploração
Torna compreensível o papel sócio-cultural da Matemática.
Descreve, ainda, uma sequência de etapas que devem ser seguidas no processo de
modelar uma situação ou problema real (2002, p.26). São elas:
Experimentação, etapa inicial que permite a obtenção de dados e a seleção
de variáveis essenciais envolvidas no fenômeno.
Abstração, segundo Bassanezi (2002, p.27) “é o procedimento que deve
levar a formulação de modelos matemáticos”. Essa. Por sua vez, se constitui
em quatro fases:
Seleção de variáveis.
Problematização que implica em explicar de forma clara e operacional o que
se pretende resolver.
Formulação de hipótese que permite deduzir manifestações empíricas
específicas.
Simplificação, que consiste em isolar os fenômenos da realidade vivida,
tratando assim, a questão matematicamente.
Resolução: como terceira etapa do processo de estruturação, consiste em
“uma atividade própria do matemático, podendo ser completamente
desvinculada da realidade modelada” (Bassanezi, 2002, p.30) e vindo a ser
um fator que muito contribui para o desenvolvimento de novas teorias e
técnicas matemáticas.
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Validação: que consiste praticamente em aceitar ou não o modelo proposto,
o qual poderá ser reformulado, se necessário, etapa esta denominada
modificação.
No entanto, Burak (1992, p.62) afirma que a aplicação da Modelagem Matemática
requer do professor um amplo domínio dos conteúdos, pois “constitui-se em um
conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar
matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a
fazer predileções e a tomar decisões”, proporcionando ao aluno aprender matemática
de forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos.
Para BIEMBIGUTE E HEIN (2005) um dos maiores desafios que permeiam o ensino da
Matemática, é a formação do aluno crítico e transformador de sua realidade.
“Modelagem Matemática consiste na arte de transformar, problemas da realidade em
problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do
mundo real.” (BASSANEZI, 2002, p.24). Essa afirmação reforça o pensamento de que
trabalhar Modelagem Matemática se constitui em um processo artístico, em que, para
elaborar um modelo é preciso muito mais do que o conhecimento matemático formal,
sendo necessárias intuição e criatividade para perceber qual conhecimento matemático
melhor descrever a situação estudada.
A aprendizagem necessita de um ambiente que possibilite a construção do
conhecimento pelo aluno, e sendo a Modelagem Matemática uma estratégia de ensino
com tais características, BARBOSA (2004) defende que:
O ambiente de Modelagem Matemática está associado à
problematização e a investigação. O primeiro refere-se ao ato de
perguntar e/ou problemas enquanto que o segundo, á busca, seleção,
organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Ambas
as atividades não são separadas, mas articuladas no processo de
envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta. Nela,
podem-se levantar questões e realizar investigação que atingem o
âmbito do conhecimento reflexivo. (.4)
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Dessa forma, a Modelagem Matemática no ensino representa um caminho para
despertar no aluno o interesse pela Matemática através da qual irá desvendar
situações de sua realidade. BIEMBIGUT e HEIN (2004) defendem que isso ocorre
“porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio da
pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico.” (p.18).
SILVEIRA e RIBAS (2004, parte 2 ), também justificam a utilização da Modelagem
Matemática enumeradas a seguir:
1) Motivação dos alunos e do próprio professor.
2) Facilitação da aprendizagem. O conteúdo matemático passa a ter
mais significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto.
3) Preparação para a profissão.
4) Desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo em geral.
5) Desenvolvimento do aluno como cidadão crítico e transformador de
sua realidade.
6) Compreensão do papel sócio-cultural da matemática, tornando-a
assim, mais importante. (p.1).
A Modelagem Matemática exige muitas mudanças no trabalho docente no que se
refere pela concepção do currículo. Em cursos regulares, nos quais há um programa a
ser cumprido, BIEMBIGUT e HEN (2004) sugerem que:
... o processo de modelagem precisa sofrer algumas alterações, levando
em consideração principalmente o grau de escolaridade dos alunos, o
tempo disponível que terão para o trabalho extraclasse, o programa a ser
cumprido e o estagio que o professor se encontra, seja em relação ao
conhecimento da modelagem seja no apoio por parte da comunidade
escolar para implantar mudanças (p.18)
Os mesmo autores sugerem cinco passos para que esse método possa ser praticado:
Diagnóstico: um levantamento sobre os alunos: a realidade socioeconômica, o grau
de conhecimento matemático, o horário da disciplina, o número de alunos por turma, a
disponibilidade de tempo para realizar trabalhos extraclasses.
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Escolha do tema ou modelo matemático: quando o tema for único por um período
letivo, este deve ser abrangente o suficiente para desenvolver os conteúdos e, ao
mesmo tempo, deve ser interessante para manter o estado motivacional dos alunos.
Desenvolvimento do conteúdo programático: seguem-se as mesmas etapas do
processo de modelagem: Interação – reconhecimento da situação problema;
Matematização – formulação e resolução do problema; e Modelo matemático-
interpretação e validação.
Orientação de modelagem: o objetivo principal do trabalho com modelagem é criar
condições para que os alunos aprendam a fazer modelos matemáticos, aprimorando
seus conhecimentos. Os alunos escolhem o tema e a direção do próprio trabalho, cabe
ao professor promover essa autonomia.
Avaliação do processo: o ensino de Matemática deve proporcionar ao aluno, em
primeiro lugar, sólida formação matemática, capacidade para enfrentar e resolver
problemas, saber realizar uma pesquisa, capacidade em utilizar máquinas
(calculadoras e computadores) e capacidade de trabalhar em grupo. Para isso devem-
se considerar dois aspectos:
- avaliação como fator de redirecionamento do trabalho do professor;
- avaliação para verificar o grau de aprendizagem do aluno, analisando os
aspectos subjetivos (a observação do professor) e objetivos (provas, exercícios,
trabalhos realizados).
3 DESENVOLVIMENTO
3.1 Aplicação da Unidade didática
Para realização da Intervenção Didático Pedagógica na escola foram
realizadas oficinas de Modelagem Matemática, abordando o tema Geometria Espacial
e a montagem de embalagens para presente.
Participaram dessa oficina 28 (vinte e oito) alunos do 7º ano do Ensino Fundamental da
Escola Estadual Mustafá Salomão, localizado na Avenida Paranaguá, s/n, Balneário de
Currais no município de Matinhos.
O tema escolhido estava adequado ao currículo do segundo semestre, tempo este em
que a proposta foi aplicada, tendo como principal objetivo facilitar a compreensão dos
conteúdos de Geometria Espacial.
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A Intervenção Didático Pedagógica foi realizada utilizando-se duas aulas
semanais durante o mês de Outubro de 2011, totalizando doze horas.
3.1.2 Introdução a Modelagem Matemática
Na primeira etapa apresentou-se o Projeto de Intervenção aos alunos, procurando-se
saber quais os conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre esse método e
partindo disso, complementando com explanação sobre as diferentes formas de se
trabalhar Modelagem Matemática.
Foi colocado aos alunos o tema proposto para o desenvolvimento do trabalho,
Geometria Espacial e a montagem de embalagens para presente, o qual estava
previsto no Plano de Trabalho Docente, mas seria trabalhado de forma diferenciada.
Foram frizados nesta etapa a importância da conscientização ambiental
através da reciclagem, e uma visão emprendedorista após a realização da oficina, já
que o material desenvolvido seria artesanal.
Os alunos, durante a explanação do projeto, fizeram vários questionamentos
acerca do assunto demonstrando um interesse significativo, no entanto, alguns
interrogaram sobre como seriam avaliados, ou seja, se valaria nota. Percebeu-se que
os alunos não possuem consciência da importância de se construir o conhecimento por
estarem inseridos num sistema limitado de avaliação.
3.1.3 Atividades Desenvolvidas
No dia 08/10/2011 iniciou-se a implementação do projeto Geometria Espacial e a
montagem de embalagens para presente com a realização de duas atividades
previstas na primeira unidade do Projeto de Intervenção Pedagógica.
As atividades foram desenvolvidas utilizando-se materiais concretos,
buscando-se ilustrar a relação entre os objetivos que os alunos deveriam alcançar, bem
como as metodologias, estratégias de ensino e avaliação.
O primeiro momento foi de explanação referente a História da Matemática,
citando importantes mestres , como Euclides, matemático da escola platônica, e
conhecido como o Pai da Geometria, considerados como um dos mais significativos
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estudiosos deste campo. Foram apresentados os poliedros de Platão, bem como a sua
classificação em classes e as relações entre elas e os poliedros, como mostram as
figuras a seguir:
Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes de acordo com a
tabela a seguir:
Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a
construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e
octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o
dodecaedro foi associado ao universo.
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A definição de conceitos geométricos , a Geometria Espacial sendo o
estudo da geometria no espaço onde se estuda as figuras que possuem mais
de duas dimensões bem como a sua classificação, ( pisma; cubo,
paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera, também foram conceitos
explicados para que se pudesse, posteriormente, desenvolver os cálculos
volume e da área. Classificou-se os sólidos geométricos, representando-s
como mostram as figuras:
Cilindro Cone
Esfera
Definiu-se o conceito de prisma, bem como a sua classificação como mostram as figuras a seguir:
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Sendo o foco de estudos o paralelepípedo retângulo, fez-se um estudo mais
aprofundado utilizando-se conceitos,classificação e particularidades deste, como
mostram as figuras:
Dimensões Diagonais
Planificação
Estudou-se a definição de volume, conceituou-se pirâmides, estas, bases teóricas
fundamentais para o desenvolvimento do presente trabalho.
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
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Os principais objetivos que se pretendeu alcançar foram: a apropriação dos
conhecimentos necessários ao estudo de Geometria Espacial; desenvolvimento da
habilidade de observação e seleção de formas geométricas na natureza e no
ambiente; diferenciar a representação bidimensional e tridimensional; reconhecimento
dos entes encontrados nas imagens e objetos observados.
A observação foi a principal estratégia utilizada e concentrou-se em recolher
informações sobre como os alunos desenvolveram as tarefas com o intuito de verificar
habilidades de apropriação dos conceitos sobre Geometria Espacial e atitudes de
comportamento relacionadas à oficina, bem como um diagnóstico dos conceitos pré
estabelecidos sobre o conteúdo estudado.
3.3.2. 1ª Atividade: Identificando objetos e imagens na forma de sólidos
geométricos.
Para o desenvolvimento dessa atividade foram formadas equipes de forma
aleatória.
Os alunos organizaram um circuito de imagens e objetos com as formas
geométricas, utilizando revistas e jornais disponibilizados pela biblioteca da escola bem
como objetos encontrados na própria sala de aula. Foram elaborados cartazes e feita
uma mostra, realizando-se o circuito de observação das equipes.
Foram feitas discussões juntamente com o professor das relações no que se referia o
mundo tridimensional e posteriormente respondidas as perguntas relacionadas ao
conteúdo desenvolvido.
Objetivou-se com essa atividade despertar no aluno atitudes de observação
bem como apropriação dos conceitos fundamentais de Geometria Espacial
(reconhecimento e exemplos).
Avaliou-se, nesse contexto, como o aluno faz as relações entre o mundo
tridimensional e a realidade que o cerca.
3.3.3 2ª Atividade: Identificando faces, arestas e vértices
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Nessa atividade foi solicitado aos alunos que completassem uma tabela como a
apresentada a seguir (figura 1) relacionando o modelo da embalagem com o sólido que
a representa juntamente com a identificação do número de vértices, arestas e faces.
Nome do sólido
Nome do sólido
Nº de vértices Nº de faces Nº de arestas
Caixa de leite
paralelepípedo retângulo
8
6
12
Caixa de panetone
Tronco de cone
8
6
12
Caixa de pizza
Octaedro Prisma octagonal
10
16
24
Copo descartável
Tronco de cone
Não há
Não há
Não há
Lata de nescau
Cilindro
Não há
Não há
Não há
Figura 1: tabela de classificação dos entes geométricos.
Nessa atividade os alunos puderam concluir que somente nos poliedros podemos
identificar faces, arestas e vértices, o que não acontece com os demais sólidos.
Percebeu-se durante o processo de desenvolvimento das atividades, que
alguns alunos têm dificuldades no que se refere a diferenciação de figuras
tridimensionais e figuras planas, equivocando-se quanto a nomenclatura das mesmas.
No geral as equipes realizaram as atividades dessa unidade sem maiores
dificuldades, e pode-se observar que os alunos, em sua maioria, gostam de trabalhar
em grupos, pois as discussões sobre o tema, segundo eles, enriquecem ainda mais o
assunto abordado.
A possibilidade de manusear alguns objetos facilitou e reforçou a
compreensão dos conceitos teóricos.
Objetivou-se abordar nessa primeira oficina, os seguintes conteúdos:
Conceitos fundamentais de Geometria Espacial e Geometria Plana.
Entes geométricos espaciais.
Classificação dos entes geométricos
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Estudo do prisma (reconhecimento e exemplos)
Estudo do paralelepípedo retângulo (reconhecimento, exemplos)
Estudo da pirâmide (reconhecimento e exemplo)
A avaliação foi realizada através de exercícios específicos de fixação dos
conteúdos estudados, desenvolvidos pelas equipes.
3.3.4 3ª Atividade: Planificação do paralelepípedo retângulo
Para realizar essa atividade foi pedido aos alunos que trouxessem caixinhas de leite
longa vida. Foram formadas equipes que desmancharam as caixas de leite para
iniciar o estudo do cálculo do perímetro, da área e do volume, orientados pelo
professor. Inicio-se então, uma grande confusão, pois alguns alunos não têm
domínio das operações com números decimais e foi preciso retomar esse conteúdo
para dar continuidade ao desenvolvimento da oficina.
Vencida essa etapa, pode-se avançar para a realização do cálculo do perímetro da
caixinha de leite e os alunos chegaram aos seguintes resultados:
Caixa de leite longa vida UHT: cálculo do Perímetro
P = 9,4 + 6,5 + 9,4 + 6,5 + 16,5 + 9,4 + 6,5 + 9,4 +6,5 + 16,5 = 96,5 cm.
P = 9,4 x 4 + 6,5 x 4 + 16,5 x 2 = 37,6 + 26 + 33 = 96,5 cm.
Caixa de leite longa vida UHT: cálculo da área
A = b x a
A = 31,8 x 16,5 = 524,7 cm²
Caixa de leite longa vida UHT: cálculo do volume.
V = b maior x b menor x altura
V = 9,4 x 6,5 x 16,5 = 1008,15 cm³
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Durante o processo de aplicação das atividades dessa unidade pode-se perceber as
inúmeras dificuldades que o aluno possui em se tratando de aliar teoria e prática,
como por exemplo:
Efetuar operações com números decimais
Utilizar instrumentos de medidas (régua)
Relacionar unidades de medidas (quando e como calcular o perímetro, a área
e o volume)
Utilizar a lógica para solucionar situações.
Percebeu-se que conceitos matemáticos aplicados sem que se façam relações com
o concreto dificultam e muito o entendimento do aluno, levando-nos a refletir sobre a
nossa própria prática pedagógica, pois mesmo o aluno que possui conteúdo
matemático suficiente para desenvolver as atividades propostas demonstrou
dificuldades para ultrapassar alguns obstáculos utilizando a lógica, citada na
atividade do cálculo do volume. Poucos alunos perceberam que para o cálculo do
volume, seria necessário remontar a caixa de leite, para então efetuar o cálculo.
O tempo previsto para o desenvolvimento dessas atividades não foi cumprido no
cronograma tendo em vista as dificuldades apresentadas.
Os alunos fizeram um relatório referente as atividades propostas e apresentaram
aos demais grupos onde foram destacados os pontos positivos e negativos
encontrados durante o processo de realização da oficina.
Foi um momento muito rico, pois observou-se nas apresentações a frustração que
muitos manifestam quando não conseguem resolver situações-problema por não
dominarem os conteúdos básicos exigidos para a obtenção de resultados precisos.
Pretende-se abordar com essas atividades os seguintes conteúdos:
Cálculo do perímetro do paralelepípedo retângulo
Cálculo da área e do volume do paralelepípedo retângulo
Planificação e medidas de comprimento
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Avaliou-se o desempenho dos alunos apresentados no relatório das equipes,
destacando-se a apropriação dos conceitos matemáticos aplicados durante o
processo de realização da atividade.
3.3.5 4ª Atividade: a matemática e o artesanato. Enfeitando uma embalagem
para presente.
Para realizar essa atividade foram necessários materiais adequados para
viabilização da oficina previamente solicitados à direção da escola.
Foram formados grupos de cinco alunos e o material disponibilizado para as
equipes.
O envolvimento das equipes nesta atividade foi muito marcante. Cada participante
teve a liberdade para trabalhar com uma caixa de leite longa vida e liberar a sua
criatividade e a medida que iam desenvolvendo o trabalho foram percebendo a
necessidade do uso de cálculos matemáticos para que pudessem obter resultados
eficientes e satisfatórios. As referências das falas dos alunos também foram
interessantes. Utilizavam já alguns termos técnicos relacionados ao conteúdo
abordado nas atividades anteriores, pois conheciam bem o que estavam
manuseando.
Para revestir a caixa de leite longa vida foi utilizada uma folha de papel sulfite e para
enfeitá-la, pedaços de papel de revistas, colados aleatoriamente e, posteriormente
decorados com enfeites natalinos, tema sugerido pelos alunos.
Surgiram então os questionamentos: como colocar as alças na caixinha?
Qual a distância ideal? E o comprimento?
Com mais habilidade, os alunos utilizaram cálculos de medidas e cada qual
demonstrou o seu talento.
O desenvolvimento dessa oficina gerou uma grande curiosidade para os demais
membros da escola. Alunos e professores que passavam pela sala, perguntavam
curiosos o que estava sendo desenvolvido. Os participantes explicavam então sobre
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o projeto e pode-se perceber o quanto foi significativo para eles relacionar teoria e
prática.
Finalizada essa etapa foram feitas com os grupos as discussões relevantes do
projeto de implementação tais como:
A importância da reciclagem para a preservação do meio ambiente.
A utilização das embalagens decoradas para presentear.
A possibilidade da comercialização dessas embalagens.
A viabilização de um mostra do trabalho desenvolvido pelos alunos.
Foram abordados para o desenvolvimento dessa atividade os seguintes conteúdos:
Medidas de superfície
Volume do paralelepípedo
Área do paralelepípedo retângulo.
A avaliação concentrou-se no quesito estético das embalagens bem como as
habilidades manuais que os alunos desenvolveram para a realização dessa
atividade. As figuras a seguir, mostram o resultado final dessa oficina com fotos
dos trabalhos desenvolvidos por alguns alunos:
Fo Foto do trabalho realizado pelos alunos
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3.3.6 5ª Atividade: uma tarefade observação e sistematização das
propriedades matemáticas.
A realização dessa atividade consistia em que as equipes observassem o
prisma estudado e apresentassem os resultados obtidos para uma situação-
problema orientados pelo professor.
Fi Modelo natalino
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Cada equipe revestiu uma caixa de leite longa vida com papel sulfite e as
faces pintadas nas cores de vermelho, azul e amarelo. Supostas as dimensões de
6cm, 4cm e 10cm, os alunos responderam aos seguintes questionamentos:
a) Quantas faces apresentam o prisma?
b) As faces amarelas e azuis têm a mesma área?
c) Quantas faces de área igual à da amarela existem? E iguais a da
vermelha? E iguais a da azul?
d) Quais as áreas das faces do prisma?
e) Qual é a soma das áreas de todas as faces?
f) Qual o volume desse prisma?
Feitas as discussões, as equipes apresentaram para os grupos as soluções,
elencadas a seguir:
a) O prisma possui 6 (seis) faces.
b) Face amarela: 6 cm x 10 cm = 60 cm²
Face azul: 4cm x 10 cm = 40 cm²
Conclusão: não possuem a mesma área.
c) Existem: 2 (duas) áreas iguais à amarela, duas iguais à da azul e duas
iguais a da vermelha.
d) Face amarela: 60 cm².
Face azul: 40 cm²
Face vermelha: 6 cm x 4 cm = 24 cm²
Conclusão: as faces das áreas do prisma são de 60cm², 40cm² e 24cm².
e) 2 x 60 + 2 x 40 + 2 x 24 =
(120 + 80 + 40) = 248cm²
Conclusão: a soma das áreas é de 248cm².
f) V = b maior x b menor x altura
6 x 4 10 = 240
Normalmente, o leite longa vida é vendido em caixas fechadas contendo 12
embalagens cada uma. Baseando-se nessa informação, como podemos calcular o
volume de oito caixas fechadas e empilhadas?
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As equipes apresentaram os seguintes resultados:
Volume da caixa de leite: 1008,15cm³
8 x (a x b x c) =
8 x (9,4 x 6,5 x 16,5) =
8 x 1008,15cm³ = 8065,20cm³
Conclusão: o volume de oito caixas empilhadas é de 8065,20cm³
Os alunos não apresentaram grandes dificuldades para realizarem essa
oficina, exceto no que se referia á situação problema. Alguns alunos apresentaram
deficiências em relação à interpretação, não conseguindo fazer as ligações necessárias
para a formalização dos cálculos matemáticos, necessitando do auxílio do professor.
Foram avaliadas as atividades desenvolvidas nas sistematizações das
propriedades matemáticas que visam á assimilação dos conteúdos abordados.
3.3.7 6ª Atividade : confecção de uma caixa para presente partindo de uma
planificação.
Para realização dessa atividade foi sugerido pelo professor um modelo planificado de
uma caixa com a forma de um cubo. Os alunos transcreveram o modelo para o papel
cartaz, e montaram a caixinha para presente. Posteriormente as equipes responderam
aos questionamentos elencados a seguir em relação ao prisma confeccionado:
Supondo que as arestas do prisma medem 2cm, responda:
a) Quantas arestas ele tem?
b) Qual é a soma dos comprimentos de todas as arestas?
c) Quantas faces ele tem?
d) Qual é a área de cada face?
e) Qual é a soma das áreas de todas as faces?
Qual é o volume do cubo?
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a) 12 arestas.
b) 12 x 2cm = 24cm
c) 6 faces.
d) A = 2cm x 2cm x 2cm = 8cm²
e) 6 x 4cm² = 24cm²
f) 2cm x 2cm x 2cm = 8 cm³
Os grupos não apresentaram dificuldades para desenvolver essa atividade, pois já
conheciam previamente as propriedades matemáticas que seriam necessárias para
realizá-la. Essa oficina teve como principal objetivo fazer com que o aluno aplicasse os
conteúdos de Geometria Espacial e, ao mesmo tempo, verificassem a Modelagem
Matemática na construção de embalagens para presente.
3.3.8 7ª Atividade: confecção de uma caixa para presente. O desafio da Estatueta
Chinesa.
Essa oficina foi muito interessante, pois foi proposta na forma de um desafio.
Consistia em confeccionar uma caixa para uma estatueta chinesa, com as seguintes
medidas: Altura=14,5cm e base =6,5cm.
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As equipes realizaram grandes discussões para começar a desenvolver esse
trabalho. Rascunharam várias tentativas até chegaram a um acordo de qual forma seria
mais adequada para acomodar a estatueta. Por sugestão do professor fizeram uma
pesquisa na biblioteca da escola sobre prismas para facilitar o processo de execução.
Vamos descrever uma das caixas confeccionadas pelas equipes, pois a maioria delas
optou por um modelo semelhante.
Caixa de base retangular
Os alunos fizeram um desenho planificado de uma caixa retangular com a base
quadrada com as seguintes dimensões:
L = 6,5 6,5
h =14,5 6,5 6,5
14,5 14,5
6,5 6,5
6,5
h=14,5cm
Fig. 2: planificação do paralelepípedo retângulo
b=6,5cm
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Concluíram o trabalho obtendo a forma desejada. Posteriormente, enfeitaram a
caixa utilizando a técnica utilizada anteriormente.
O principal objetivo dessa atividade foi alcançado com êxito. Além da
verificação da Modelagem Matemática observada pelos alunos, percebeu-se,
durante as discussões um grau de maturidade por parte das equipes, pois para
resolverem a situação problema, organizaram uma lista de prioridades onde
destacaram-se:
Pesquisa para encontrar a solução do problema.
Análise dos conceitos matemáticos já adquiridos durante o desenvolvimento
do projeto (o que eu já sei sobre o conteúdo abordado).
O que é necessário saber para desenvolver a atividade proposta.
Duas equipes não conseguiram concluir o trabalho, pois não houve tempo hábil. As
equipes apresentaram através de um relatório, os resultados obtidos e
demonstraram como chegaram a esses resultados
3.3.9 DEMOSNTRAÇÃO DOS RESULTADOS
O professor pede as equipes (num total de sete), que produzam um texto
relatando sobre o estudo da Geometria Espacial por meio da Modelagem
Matemática e que expressem suas opiniões baseados nas seguintes questões:
a) Como você percebia a Geometria Espacial no mundo antes de desenvolver
as atividades propostas?
Resumo dos comentários das equipes.
Os entes geométricos estudados não possuíam uma relação formal com a
Geometria Espacial, ou seja, os alunos equivocam-se quanto à nomenclatura e
classificação dos entes geométricos.
Também possuíam dificuldades de diferenciar figuras planas de figuras espaciais.
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Os conteúdos utilizados para calcular a área e o volume dos entes
geométricos estudados, foram parcialmente apropriados pelos alunos dificultando,
portanto, as relações de análise, “porque calculamos uma área e para que”, “porque
calculamos o volume e para que,”...
b) Após as atividades que você realizou essa percepção se modificou?
Resumo dos comentários:
Sim, pois, além de fazer as relações do mundo geométrico que nos cerca com
a Geometria Espacial, foi possível reaprender conteúdos fazendo ligações com a
realidade, ou seja, esses agora passam a ter um sentido, uma lógica.
Segundo os alunos, é interessante desenvolver cálculos quando se busca soluções
para alguma situação. O “cálculo pelo cálculo” fica muito mais difícil de ser
entendido.
c) Quais as atividades que mais gostaram?
Resumo dos comentários das equipes
Duas atividades foram escolhidas com unanimidade: enfeitar a caixa de leite
longa vida artesanalmente e a confecção da caixa para presente para a estatueta.
De acordo com relatório das equipes, essas atividades foram prazerosas e divertidas
e nelas, pode-se expressar respectivamente, a arte e o desafio, bem como
reaprender alguns cálculos matemáticos esquecidos ou não apropriados.
Demonstraram grande satisfação em vincular a teoria e prática, pois raramente
trabalhavam dessa forma com a Matemática.
d) Quais atividades que tiveram mais dificuldades?
Resumo dos comentários das equipes
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Foram expressas pela maioria das equipes que as atividades mais difíceis foram as
que possuíam cálculos com números decimais, pois eram conteúdos esquecidos ou
não apropriados por alguns membros das equipes. Após terem revistos esses
conteúdos através da mediação do professor, as outras atividades se tornaram mais
simples de serem entendidas.
Duas equipes citaram a confecção da caixa para a estatueta sendo uma das mais
complicadas, por necessitar de muitas discussões para a resolução e alguns
membros das equipes não colaboraram para satisfatoriamente durante o processo
de desenvolvimento dessa atividade.
e) Esta metodologia influenciou no ensino aprendizagem?
Resumo dos comentários das equipes
Seis equipes expressaram grande simpatia pelas atividades desenvolvidas
com a Modelagem Matemática expressando um desejo de continuidade, ou seja,
que mais conteúdos matemáticos fossem desenvolvidos a partir dessa concepção,
destacando-se os seguintes pontos positivos:
Aulas menos cansativas
Conteúdos relacionados com a realidade
Facilitação da aprendizagem através das relações teoria e prática
Trabalhos em grupos que enriquecessem a prática desenvolvida
Uma das equipes, no entanto, relatou que preferiam as aulas de forma
tradicional, alegando que entendiam melhor os conteúdos, a partir das
explicações do professor. Destacaram os seguintes pontos negativos em relação
às atividades desenvolvidas com a Modelagem Matemática:
Os membros das equipes nem sempre colaboram para o desenvolvimento
das atividades.
As atividades requerem raciocínios, lógica, pesquisa, o que, segundo eles,
demoram chegar aos resultados.
O tempo gasto para o desenvolvimento das atividades foi muito curto.
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Participaram da avaliação do Projeto de Implementação Pedagógica, os
professores do GRT (Grupo de Trabalho em Rede), e logo a seguir alguns deles
expressaram suas opiniões através de relatos.
O professor Luiz Carlos Novelini da Escola Rennê de Carvalho Amorim,
aplicou o projeto de Implementação obtendo grande êxito.
Comentou que todo o conteúdo trabalhado foi de suma importância, pois os
alunos puderam fazer relações entre teoria e prática, e em sua maioria apreciaram
muito as atividades desenvolvidas utilizando a Modelagem Matemática.
Destacou que os conteúdos abordados estavam adequados para a série
indicada no projeto bem como o uso de materiais muito simples, estes, fatores que
contribuíram para a sua viabilização.
O professor Marcos Robert Schmitz também elogiou o projeto, mas não pode
aplicá-lo por não estar lecionando para a série indicada no projeto, mas elencou as
seguintes considerações:
Os conteúdos abordados foram compactados e adequados à série.
As oficinas sugeridas forma criativas e com matérias acessíveis
Houve uma sequencia lógica no que se refere à fundamentação teórica
e a prática desenvolvidas nas oficinas.
A professora Selma Regina de Oliveira comentou sobre a praticidade do
projeto no que se refere aos conteúdos abordados e a metodologia utilizada para
desenvolvê-los, tendo em vista ter tentando trabalhar outras práticas com
Modelagem Matemática cujo nível de conhecimentos não estava adequados para os
seus alunos.
Durante as discussões feitas nos fóruns do curso GTR, foram feitas importantes
observações para futuras intervenções para dar continuidade do presente projeto,
tais como:
O projeto deve estar inserido no Planejamento Anual do professor de acordo
com o conteúdo (diretrizes curriculares do estado, DCE).
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A definição da Modelagem Matemática deve estar bem clara para o professor
e para o aluno bem como a equipe técnica pedagógica da escola, por tratar-
se justamente de uma modalidade de ensino não convencional.
O professor deve ter conhecimento seguro sobre modelagem e para tanto,
deve realizar um estudo sobre a respectiva metodologia, elaborar alguns
modelos para então aplicá-los em etapas, para que possa obter resultados
satisfatórios.
Em sua maioria concordam que a metodologia apresentada permite uma
aprendizagem que vai sendo construída, num sistema de significações, que
constituem o conhecimento particular do aprendiz, respeitando do conhecimento
prévio que possui.
4 CONCLUSÃO
A Modelagem Matemática tem sido estudada desde os anos oitenta gerando
inúmeras discussões.
Uma das grandes preocupações é o papel da Matemática na formação do aluno
sendo esta, principal razão do desenvolvimento do presente projeto, que preocupou-
se em encontrar alternativas que pudessem auxiliar uma aprendizagem significativa.
As informações adquiridas com o desenvolvimento dessa experiência foram
mais ricas do que foi possível descrever. Diferentes situações permitiram a
ampliação da visão desta modalidade de ensino tendo como referência o professor
como mediador do conhecimento.
Neste trabalho, consegui-se instigar no aluno uma atitude de observação e
investigação das formas geométricas presentes no ambiente, bem como descrevê-
los e classificá-los com termos próprios do tratamento geométrico.
Com a construção e a planificação de alguns sólidos geométricos,
possibilitou-se a compreensão de termos geométricos e a apropriação da
aprendizagem dos mesmos, pois quando inicio-use o trabalho, verificou-se uma
grande defasagem no que se refere o conteúdo de Geometria Espacial.
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Como a Modelagem Matemática implica em algumas características a serem
seguidas, utilizou-se também da modelação matemática para a resolução de
problemas referentes à Geometria de forma contextualizada com outros conteúdos
de Matemática e outras áreas do conhecimento, sendo esta metodologia uma
maneira alternativa, significativa e facilitadora da aprendizagem.
Mostrou-se a importância da preservação e conservação do meio ambiente
através da reciclagem das caixas de leite longa vida, de forma artesanal, abrindo um
leque de possibilidades empreendedoras, demonstradas pelos alunos na mostra
realizada na escola de implementação do projeto.
Conclui-se que o trabalho com Modelagem Matemática proporciona um
ambiente de sala de aula de participação ativa dos alunos, pois proporciona
envolvimento, interesse e dedicação. Leva-se ao pensamento crítico gerando
mudanças, que é o que se espera que aconteça quando se detém o conhecimento,
pois assim manifesta-se o verdadeiro sentido do cidadão crítico que se deseja
formar.
Observa-se que a maioria dos alunos envolvidos no processo executaram as
atividades com gosto e prazer, pois conseguiram verificar a aplicabilidade do quê
estudaram.
Permitiu avaliar atitudes do professor na condução não só da modelagem em
si, mas também da aula como um todo, confirmando a necessidade de mudanças na
prática pedagógica em sala de aula.
Assim, este projeto foi uma tentativa de contribuir para a melhoria do ensino e
aprendizagem da matemática, particularmente em Geometria Espacial, por meio de
metodologia de ensino que torna possível discorrer, questionar, discutir, organizar
hipóteses e procedimentos sobre o assunto em pauta.
Enfim, recomenda-se que os professores de Matemática utilizem-se desse
trabalho com o intuito de inovar suas aulas de Geometria Espacial, tornando-as mais
interessantes e produtivas, buscando-se assim, um ensino de qualidade, e fica em
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aberto para melhorias futuras, considerando o bem comum dos alunos, professores
e sociedade.
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, JONEI CERQUEIRA (citação retirada do artigo Modelagem
Matemática: ÂNGELA M BERTOLI LOPES e outros), disponível e
htt:/WWW.matfeis.unesp.br/modelagemmatematica.com.br.Acesso em 29 de março
de 2011.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por quê? Como?Veriatati, n4,
p.73-80, 2004.
BASSANEZI, R C (2002, P.26 a 30): citação retirada do artigo: Concepções
matemáticas e de Realidade no processo de Modelagem Matemática: alguns
apontamentos. Maria Queiroga Amoroso.
BASSANEZI, R C (2002, p.30), Ensino-aprendizagem com Modelagem
Matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto.
BIEMBENGUT, M. S; HEIN, N. Modelagem Matemática no ensino. 4ª edição São
Paulo: Contexto, 2005.
BIEMBENGUT, M.S. Modelagem Matemática e implicações no ensino no ensino
e na aprendizagem de matemática. 2ª ed. Blumenau: Edfurb, 2004.
BURAK, D. Modelagem Matemática: Ações e Interações no Processo Ensino-
Aprendizagem- Dissertação de Doutorado, Unicamp, Campinas. 1992.
CALDEIRA, A. D: (citação do artigo Discussões sobre Modelagem Matemática e
o ensino Aprendizagem. Jean Carlos Silveira; João Luiz Domingos Ribas.
www.somatematica.combr/artigo/p2. php-Acesso 10 de janeiro de 2011.
SILVEIRA Jean Carlo, Ribas João Luiz Domingues, Discussões sobre modelagem
matemática e o ensino aprendizagem. UEL, 2004.