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Modelagem do Espalhamento de Doencas em

Populacoes

Nuno Crokidakis

Grupo de Sistemas Complexos, IF-UFF

03 de Maio 2017

Sumario

1 Introducao

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

4 Modelo SIR

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

4 Modelo SIR

5 Modificacoes

Evolucao de Epidemias: Dengue

Evolucao de Epidemias: H1N1

Evolucao de Epidemias: Ebola

Evolucao de Epidemias: Chikungunya

Evolucao de Epidemia: Zika

Evolucao de Epidemias

Dinamicas de Epidemias

Doencas Transmitidas por Contato

• Gripe comum


• Gripe comum

• H1N1


• Gripe comum

• H1N1

• Herpes


• Gripe comum

• H1N1

• Herpes

• Tuberculose


• Gripe comum

• H1N1

• Herpes

• Tuberculose

• Conjuntivite


• Gripe comum

• H1N1

• Herpes

• Tuberculose

• Conjuntivite

• DST’s


• Gripe comum

• H1N1

• Herpes

• Tuberculose

• Conjuntivite

• DST’s

• ...

Interesse na Modelagem de Epidemias

• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;



• Estudo de interacoes/dinamicas sociais;




• Impacto das acoes de cada indivıduo e interacoes entre indivıduos(modelos baseados em agentes) em diversos sistemas sociais(espalhamento de doencas, crencas e rumores, transito, debatespublicos, eleicoes, ...);





• Controle de Epidemias: isolamento, quarentena, ...






• Interesse teorico: emergencia de comportamento coletivo(prevalencia ou extincao da doenca, surtos, ...), ocorrencia decorrelacoes, leis de potencia, transicoes de fase, ...






• Interesse teorico: emergencia de comportamento coletivo(prevalencia ou extincao da doenca, surtos, ...), ocorrencia decorrelacoes, leis de potencia, transicoes de fase, ...

• Abordagem: equacoes diferenciais, equacao mestra, simulacoescomputacionais, ...

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

4 Modelo SIR

5 Modificacoes

Modelo SI 1

• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);

1R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and

Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).

Modelo SI 1


• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;



Modelo SI 1



• Todos os agentes podem interagir entre si;



Modelo SI 1




• Regras:

S + Iλ→ I + I



Ilustracao: Rede completamente

conectada

Solucao Analıtica

Podemos descrever a evolucao das populacoes S e I atraves de EDO’s,

dS

dt= −λ S I

dI

dt= λ S I

Como S + I = 1, podemos reduzir essas 2 equacoes a uma unica:

dI

dt= λ I (1− I )

A solucao dessa equacao para a condicao inicial I (0) = I0 e

I (t) =I0e

λ t

1− I0 + I0eλ t

Evolucao temporal: λ = 0.1

0 50 100 150 200tempo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1D

ensi

dad

es

I(t)S(t)

Evolucao temporal: diferentes λ

0 30 60 90 120tempo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1In

fect

ado

s

λ = 0.1λ = 0.3λ = 0.5λ = 0.8

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

4 Modelo SIR

5 Modificacoes

Modelo SIS 2




Modelo SIS 2




• Regras:

S + Iλ→ I + I

Iα→ S



Solucao Analıtica

Podemos descrever a evolucao das populacoes S e I atraves de EDO’s,

dS

dt= α I − λ S I

dI

dt= −α I + λ S I

Como S + I = 1, podemos reduzir essas 2 equacoes a uma unica:

dI

dt= (λ− α) I − λ I 2

A solucao geral dessa equacao e

I (t) =λ− α

λ− c e−(λ−α) t

Solucao Analıtica

As solucoes estacionarias (tempos longos) sao simples de serem obtidas.No estado estacionario, dS/dt = dI/dt = 0, entao alem da solucaotrivial I = 0 e S = 1 obtemos

S =α

λ

I = 1−α

λ=

λ− α

λ

Se λ < α, vale a solucao trivial, senao vale a outra. Isso define ochamado limiar epidemico:

λc = α

Evolucao temporal: λ < λc

0 20 40 60 80 100t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S(t)I (t)

⇒ α = 0.1, λ = 0.05

Evolucao temporal: λ > λc

0 20 40 60 80 100t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S(t)I (t)

⇒ α = 0.1, λ = 0.3

Estados Estacionarios

0 0.05 0.1 0.15 0.2λ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5I es

tac

⇒ N = 104 agentes, α = 0.1, curva: (λ− α)/λ

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

4 Modelo SIR

5 Modificacoes

Modelo SIR 3

• Existem 3 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S),Infectado (I) e Recuperado (R);



Modelo SIR 3


• A populacao e fixa, de modo que S + I + R = 1;



Modelo SIR 3






Modelo SIR 3




• Regras:

S + Iλ→ I + I

Iγ→ R



Analise

Podemos descrever a evolucao das populacoes S, I e R atraves de EDO’s,

dS

dt= −λ S I

dI

dt= λ S I − γ I

dR

dt= γ I

Havera ou nao uma epidemia nessa populacao?

dI

dt

∣

∣

∣

t=0= I0(λ S0 − γ) = I0λ

(

S0 −γ

λ

)

Portanto, se S0 > γ/λ, temos dI/dt > 0 em t = 0 e teremos um surto

epidemico. Por outro lado, se S0 < γ/λ, temos dI/dt < 0 em t = 0 e adoenca desaparecera da populacao apos um tempo.

Evolucao temporal

0 50 100 150 200tempo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1D

ensi

dad

es

S(t)I(t)R(t)

⇒ γ = 0.1, λ = 0.3

Evolucao temporal

0 50 100 150 200tempo

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05D

ensi

dad

es

I(t)R(t)

⇒ γ = 0.3, λ = 0.1

Modelo SIS: redes complexas 4

• A estrutura de conexoes sociais e levada em conta;

4R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Phys. Rev. E 63, 066117 (2001).



• Assim, os indivıduos sao posicionados nos sıtios de uma rede comuma certa distribuicao de conectividades P(k);





• Um indivıduo no estado S se tornara Infectado com umaprobabilidade λ se ele estiver em contato com um ou mais indivıduosInfectados;





• Um indivıduo no estado S se tornara Infectado com umaprobabilidade λ se ele estiver em contato com um ou mais indivıduosInfectados;

• Um indivıduo no estado I se recuperara da doenca e se tornaraSuscetıvel novamente com uma probabilidade α.


Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi


0 10 20 30 40k

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1P

(k)

⇒ P(k) ∼ e−〈k〉〈k〉k

k! : distribuicao de Poisson (estreita)


• Como a conectividade na rede de Erdos-Renyi tem apenas flutuacoesmuito pequenas (〈k2〉 ∼ 〈k〉), podemos considerar como primeiraaproximacao que cada sıtio tem o mesmo numero de vizinhos, isto e,k ≈ 〈k〉.



• Equacao Mestra:

dI

dt= −α I + λ 〈k〉 I (1− I )



• Equacao Mestra:

dI

dt= −α I + λ 〈k〉 I (1− I )

• No estado estacionario I = 0, de modo que obtemos (para α = 1)

I [−1 + λ 〈k〉 (1− I )] = 0



• Equacao Mestra:

dI

dt= −α I + λ 〈k〉 I (1− I )

• No estado estacionario I = 0, de modo que obtemos (para α = 1)

I [−1 + λ 〈k〉 (1− I )] = 0

• Esta equacao define o limiar epidemico λc = 〈k〉−1, e nos da ocomportamento

⇒

{

I = 0 se λ ≤ λc

I ∼ λ− λc se λ > λc

Modelo SIS: Rede de Barabasi


100

101

102

103

104

k

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

P(k

)

⇒ P(k) ∼ k−3: distribuicao lei de potencia (larga)


• Agora nao podemos mais fazer a aproximacao homogeneaconsiderada no casa do grafo de Erdos-Renyi, pois as flutuacoes naconectividade 〈k2〉 na rede de Barabasi sao enormes.



• Equacoes:

dIk

dt= −α Ik + λ k (1− Ik)Θ(k , λ)

I =∑

k

Ik P(k)



• Equacoes:

dIk

dt= −α Ik + λ k (1− Ik)Θ(k , λ)

I =∑

k

Ik P(k)

• Podemos mostrar que no estado estacionario

I ∼ e−1/λ



• Equacoes:

dIk

dt= −α Ik + λ k (1− Ik)Θ(k , λ)

I =∑

k

Ik P(k)

• Podemos mostrar que no estado estacionario

I ∼ e−1/λ

• Ou seja: nao existe um limiar epidemico λc !

Sumario

1 Introducao

2 Modelo SI

3 Modelo SIS

4 Modelo SIR

5 Modificacoes

Taxa de Infeccao Decrescente no Tempo


• Considerar efeitos de idade na taxa de infeccao de algumas doencas(por exemplo: gripe);

5C. A. Gilligan, S. Gubbins, S. A. Simons, Phyl. Trans. R. Soc. Lond. B 352, 353(1997)

6N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010)



• Estudar os efeitos de uma taxa de infeccao dependente do tempo natransicao de fase do modelo SIS na rede aleatoria;





• Estudar os efeitos de uma taxa de infeccao dependente do tempo natransicao de fase do modelo SIS na rede aleatoria;

• Doencas em plantas 5 (cancer) e em macacos 6 (Vırus daImunodeficiencia Sımia) apresentam taxas de infeccao que caemcom o tempo;



Resultados Experimentais conhecidos:

plantas 7

7C. A. Gilligan, S. Gubbins, S. A. Simons, Phyl. Trans. R. Soc. Lond. B 352, 353(1997).


macacos 8

8N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010).


macacos 9

9N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010).

Mapas de Cidades: RJ

⇒ L. Stolerman et. al., SIAM Journal of Applied Mathematics (2016).

Auto-isolamento de indivıduos

Auto-isolamento de indivıduos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1q

0

0.1

0.2

0.3λ

d = 0.0d = 0.1d = 0.2d = 0.3d = 0.4

Epidemic phase

Disease-free phase

⇒ N. Crokidakis, S. M. D. Queiros, Journal of Statistical MechanicsP06003 (2012).

Vacinacao e Dinamica de Opinioes

Conferencia Recente

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