modelagem de pilares paredes em edifÍcios...recife – pernambuco – brasil dezembro 2002 f866m...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL / ESTRUTURA

MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

MODELAGEM DE PILARES PAREDES EM

EDIFÍCIOS

Nilson Pereira de Freitas Filho

Área de Concentração: Estruturas

Orientador: José Inácio de Souza Leão Ávila

UFPE – Universidade Federal de Pernambuco Recife – Pernambuco – Brasil

Dezembro 2002

F866m Freitas Filho, Nilson Pereira de

Modelagem de pilares paredes em edifícios / Nilson Pereira de

Freitas Filho. – Recife : O Autor , 2002.

xiv, 163 folhas. : il. ; fig., tab.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de

Pernambuco. CTG. Engenharia Civil, 2002.

Inclui bibliografia e anexo.

1. Engenharia Civil - (estruturas). 2.Edifícios altos – análise

dos pilares paredes 3. Modelagem numérica – elementos finitos .

4. Imperfeição geométrica. I. Título.

UFPE

624.1 CDD (21.ed.) BCTG/2004-31

MODELAGEM DE PILARES PAREDES EM

EDIFÍCIOS

Nilson Pereira de Freitas Filho

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE PÓS-

GRADUAÇÃO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO, COMO

PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE

“MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL”.

Aprovado por:

i

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Nilson e Maria de Lourdes (in memorian)

e irmãos Maria das Graças, Silvana Cristina, Rosa de Lourdes,

André Luís (in memorian) e George Alexandre.

ii

AGRADECIMENTOS

• Agradeço a Deus, que nos momentos mais difíceis me ilumina.

• Aos meus pais (in memorian), Nilson e Maria de Lourdes pela confiança, incentivo,

amor, família e por terem me dado uma base sólida de moral e apoio incondicional

nas etapas de minha vida enquanto estavam em vida.

• Ao professor José Inácio de Souza Leão Ávila, pelo apoio, paciência e atenção

dispensados na elaboração deste trabalho.

• Aos professores da Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de

Pernambuco, na área de concentração de Estruturas, pelo convívio e conhecimentos

adquiridos.

• Aos amigos do mestrado, Adriano Mucarbel, Adriano Siebra, Carlúcio, Carla, Issac,

Natécia, Clark, Márcio, Valmir, Veruska, Gabriela, Juliana, Simone, Joelma,

Luciano, Roberto e Henrique pelo convívio e amizade.

• Aos funcionários do Departamento de Engenharia Civil, Laudenice, Ezequiel,

Maria, Vera, Dona Carol e Cazuza.

• Aos funcionários da Biblioteca do Centro de Tecnologia, pelo apoio nas pesquisas

bibliográficas.

• À Universidade Federal de Pernambuco pela oportunidade.

• A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

iii

RESUMO

A construção de edifícios com grandes alturas e esbeltos requerem a consideração de

alguns aspectos de análise como imperfeição geométrica global e localizada, a não-

linearidade geométrica e física, a modelagem adequada dos elementos estruturais com

ênfase aos pilares parede,etc.

Neste trabalho, estuda-se o comportamento de pilares parede de um edifício real, onde

os pilares foram modelados como elementos finito de barra ou como elementos finito de

casca.Também, avalia-se a importância da imperfeição geométrica global, além da

simulação da não linearidade física. As lajes foram representadas por diafrágmas,

considerando-se as ações das mesmas nas vigas. Todo o estudo foi realizado empregando-

se, quando necessário, o texto de revisão da nova norma NBR 6118 / 00.

Considerou-se como ações atuantes, o peso próprio dos elementos estruturais, peso das

paredes, sobrecargas acidentais, ação do vento nas duas direções principais, e imperfeição

geométrica global, que formaram as diferentes combinações de ações para o estado limite

último de ruptura, utilizadas na análise.

Fez-se comparações dos deslocamentos e esforços resultantes de simulações dos pilares

paredes como elementos de barra e como elementos de casca. Os valores obtidos nos dois

modelos não coincidem, porém, em geral, são resultados próximos.

iv

ABSTRACT

Slender sky-scraper constructions require pondering prior analysis features like

global and localized geometrical imperfection, physical and geometrical non-linearity

aspects, adequate modeling of structural elements with respect to shear-wall elements, etc.

In this work, the shear-wall behavior of an actual building is studied, upon which

columns were modeled as beam finite elements and shell finite elements. We appraised also

the global geometric imperfection consequence, besides simulating the physical non-

linearity of the superstructures. The slabs were assessed by diaphragms considering their

actions on the beams (girders). Thruout the study, updated revision text NBR 6118 / 00,

Brazilian technical standards were applied, when necessary.

Active forces such as: dead load, live load wind actions on the two principal

directions and global geometric imperfection composing different combinations of actions

for ultimate limit state of rupture were taking into account.

Displacements and internal forces obtained from the simulations with beam elements

and with shell elements were compared. The results showed good correlations.

v

ÍNDICE

ÍNDICE DE TABELA..........................................................................................................viii

ÍNDICE DE FIGURAS...........................................................................................................xi

CAPÍTULO I .........................................................................................................................1

INTRODUÇÃO, OBJETIVOS, REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.............................................1

I.1 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO ..................................................................................1

I.2 OBJETIVOS ................................................................................................................2

I.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA......................................................................................2

I.3.1 Análise Linear ou de 1ª Ordem ..............................................................................2

I.3.2 Análise Não-Linear ou de 2ª Ordem ......................................................................2

I.3.3 PROGRAMA UTILIZADO....................................................................................4

I.3.4 PILARES-PAREDE................................................................................................5

I.3.4.1 Flexo – Torção em Pilares – Parede..................................................................7

I.3.4.1.1 Hipóteses Fundamentais..............................................................................8

I.3.4.1.2 Hipóteses Geométricas................................................................................9

I.3.4.2 EMPENAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE PILAR DE PAREDES

DELGADAS.....................................................................................................9

I.3.4.3 DISTORÇÃO TORCIONAL.........................................................................12

I.3.4.4 EFEITO SHEAR LAG EM PILARES DE PAREDES

DELGADAS...................................................................................................12

I.3.5 IMPERFEIÇÃO GEOMÉTRICA GLOBAL........................................................13

I.3.5.1 Métodos de Análise no Cálculo da Imperfeição Geométrica Global em

Edifícios de Múltiplos Pavimentos.................................................................15

I.3.5.1.1 Método da Força Horizontal Equivalente.................................................15

I.3.5.1.2 Método da Imperfeição Geométrica Global Introduzida..........................16

I.3.5.1.3 Método da Rotação dos Apoios................................................................17

I.3.6 MODELAGEM.....................................................................................................18

CAPÍTULO II.......................................................................................................................23

DESCRIÇÃO DAS ESTRUTURAS E MODELAGEM ESTRUTURAL............................23

II.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................23

vi

II.2 CARACTERÍSTICAS ESTRUTURAIS E ARQUITETÔNICAS............................23

II.3 PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO........................................................26

II.4 AÇÕES......................................................................................................................27

II.4.1 AÇÕES PERMANENTES..................................................................................27

II.4.1.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS..........................................................27

II.4.1.2 AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS......................................................27

II.4.2 AÇÕES VARIÁVEIS..........................................................................................28 II.4.2.1 AÇÕES VARIÁVEIS DIRETAS..................................................................28

II.4.2.1.1 CARGAS ACIDENTAIS PREVISTAS PARA USO DA CONSTRUÇÃO.......................................................................................28

II.4.2.1.2 AÇÃO DO VENTO.................................................................................28

II.5 COMBINAÇÕES E COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS

AÇÕES.................................................................................................................29

II.5.1 Combinações Últimas..........................................................................................29

II.5.2 Combinações Utilizadas......................................................................................29

II.6 MODELAGEM DA ESTRUTURA OU DISCRETIZAÇÃO...................................30

II.7 ANÁLISE REALIZADAS........................................................................................37

II.7.1 Análises de 1ª ordem............................................................................................38

II.7.2 Análises de 2ª ordem............................................................................................38

II.7.3 análises de 1ª com 2ª ordem.................................................................................39

CAPÍTULO III.....................................................................................................................40

ANÁLISES DOS RESULTADOS.........................................................................................40

III.1 DESLOCAMENTOS LATERAIS..........................................................................40

III.1.1 DESLOCAMENTOS LATERAIS NA DIREÇÃO X.......................................41 III.1.2 DESLOCAMENTOS LATERAIS NA DIREÇÃO Y.......................................57

III.2 ESFORÇOS NORMAIS..........................................................................................74

III.3 MOMENTOS FLETORES....................................................................................101 III.3.1 MOMENTOS FLETORES EM TORNO DO EIXO X...................................101

III.3.2 MOMENTOS FLETORES EM TORNO DO EIXO Y...................................112

III.4 MOMENTOS TORÇORES...................................................................................122

vii

III.5 REAÇÕS DE APOIO.............................................................................................135

III.5.1 Reações verticais em Z, com vento ou imperfeição geométrica global na direção

X......................................................................................................................136

III.5.2 Reações Verticais em Z, vento ou imperfeição geométrica global na direção

Y......................................................................................................................136

III.5.3 Reações horizontais na direção X....................................................................139

III.5.4 Reações horizontais na direção Y....................................................................139

III.5.5 Momentos fletores em torno do eixo X...........................................................139

III.5.6 Momentos fletores em torno do eixo Y...........................................................139

III.5.7 Momento torçor em torno do eixo Z................................................................146

CAPÍTULO IV....................................................................................................................147

CONCLUSÕES E SUGESTÕES.........................................................................................147

BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................150

ANEXOS..............................................................................................................................154

viii

ÍNDICE DE TABELA

Tabela II.1 – Coeficiente de ponderação e fatores de combinação........................................30

Tabela II.2 – Valores dos fatores de rigidez nas ligações pilares/vigas.................................36

Tabela III.1 – Relação entre os deslocamentos laterais em X dos pilares P3 e P18 na análise

1..............................................................................................................................................42

Tabela III.2 – Relação entre os deslocamentos laterais em X, do pilar P3 na análise

2..............................................................................................................................................45

Tabela III.3 - Relação entre os deslocamentos laterais em X, do pilar P18 na análise 2.......46

Tabela III.4 – Resultados dos deslocamentos em X do pilar P3 (PC) versus (PB), para as

combinações 1 e 2 em análise linear......................................................................................49

Tabela III.5 – Deslocamento em X do pilar P18 (PC) versus (PB), para combinações 1 e 2

em análise linear.....................................................................................................................49

Tabela III.6 – Deslocamentos em X do pilar P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3

de carregamento, em análise não linear..................................................................................52

Tabela III.7 – Resultados dos deslocamentos em X do pilar P3 do modelo 1, nas

combinações 1,2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem.......................................................55

Tabela III.8 – Resultados dos deslocamentos em X do pilar P18 do modelo 1, nas

combinações 1,2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem.......................................................56

Tabela III.9 – Relação entre os deslocamentos laterais em –Y dos pilares P3 e P18 do

modelo 1 na análise 1.............................................................................................................59

Tabela III.10 – Deslocamento em –Y do pilar P3 do modelo 2, nas combinações 1 e 2 de

carregamento, em análise linear ............................................................................................62

Tabela III.11 – Resultados dos deslocamentos em –Y do pilar P18 do modelo 2, nas

combinações 1 e 2 de carregamento, em análise linear..........................................................63

Tabela III.12 – Resultados dos deslocamentos em –Y do pilar P3, (PC) versus (PB), para as

combinações 1 e 2 em 1ª ordem............................................................................................66

Tabela III.13 – Resultados dos deslocamentos em –Y do pilar P18, (PC) versus (PB) para as

combinações 1 e 2 em análise linear......................................................................................67

Tabela III.14 – Comparação de resultados dos deslocamentos em –Y dos pilares P3 e P18 do

modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, 67 em 2ª ordem ...............................69

Tabela III.15 – Resultados dos deslocamentos em –Y do pilar P3 do modelo 1, nas

combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em análise de 1ª e 2ª ordem.....................................72

ix Tabela III.16 – Resultados dos deslocamentos em –Y do pilar P18 do modelo 1, nas

combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª.................................................................73

Tabela III.17 – Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas

combinações 1 e 2 de carregamento, em 1ª ordem, ação do vento em X...............................76

Tabela III.18 – Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas

combinações 1 e 2 de carregamento, em análise linear, ação do vento em Y........................79

Tabela III.19 - Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas

combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 2ª ordem, ação do vento em X...........................90

Tabela III.20 - Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas

combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 2ª ordem, ação do vento em Y...........................91

Tabela III.21 – Resultados dos esforços normais do pilar P3 do modelo 1, nas combinações

1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem, vento em X.......................................................97

Tabela III.22 – Resultados dos esforços normais do pilar P18 do modelo 1, nas combinações

1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem, vento em X.......................................................98

Tabela III.23 – Resultados dos esforços normais, vento em Y, do pilar P3 do modelo 1, nas

combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem .....................................................99

Tabela III.24 – Resultados dos esforços normais, vento em Y, do pilar P18 do modelo 1, nas

combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem ...................................................100

Tabela III.25 – Reações Verticais em Z dos modelos 1 e 2, vento ou imperfeição geométrica

global na direção X, nas análises 1, 2, 3, 4 e 5 ....................................................................137

Tabela III.26 – Reações Verticais em Z dos modelos 1 e 2, vento ou imperfeição geométrica

global na direção Y, nas análises 1, 2, 3, 4 e 5 ....................................................................138

Tabela III.27 – Reações horizontais na direção X dos modelos 1 e 2 .................................140

Tabela III.28 – Reações horizontais na direção Y dos modelos 1 e 2 .................................141

Tabela III.29 – Momentos fletores em torno do eixo X, dos modelos 1 e 2 .......................142

Tabela III.30 – Momentos fletores em torno do eixo Y, dos modelos 1 e 2 .......................143

Tabela III.31 – Momentos torçores em torno do eixo Z, vento na direção X, dos modelos 1 e 2 ...........................................................................................................................................144 Tabela III.32 – Momentos torçores em torno do eixo Z, vento na direção Y, dos modelos 1 e

2 ..........................................................................................................................................145

Tabela A .1: Seções Transversais das Vigas ......................................................................156

Tabela A.2 : Seções Transversais dos Pilares ......................................................................158

Tabela A.3 : Coordenadas dos Nós da Base ........................................................................159

Tabela A.4 : Rotações em Torno dos Eixos X e Y e Translações na Direção do Eixo Z dos

Nós da Base para Considerar a Imperfeição Geométrica Global ........................................160

x Tabela A.5 : Áreas efetivas de atuação do vento por pavimento em cada nó escolhido ....161

Tabela A.6 : Forças de arrasto na direção X devido à ação do vento nos nós escolhidos para

cada pavimento ....................................................................................................................162

Tabela A.7 : Forças de arrasto na direção Y devido à ação do vento nos nós escolhidos para

cada pavimento.....................................................................................................................163

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura I.1 – Método de Khan e Sbarounis ...............................................................................5

Figura I.2 – Idealização de colunas rígidas .............................................................................6

Figura I.3 – Hipóteses Fundamentais ......................................................................................8

Figura I.4 – Flexão oblíqua nos pilares de paredes delgadas com seção aberta ......................9

Figura I.5 – Empenamento da seção transversal do pilar de parede delgada ........................10

Figura I.6 – Trecho de pilar de paredes delgadas submetido ao Bimomento ........................11

Figura I.7 – a. Forma e carregamento de um trecho de pilar-parede .....................................12

b. Distorção torcional ............................................................................................................12

Figura I.8 – Efeito Shear Lag ................................................................................................13

Figura I.9 – Estrutura idealizada ............................................................................................14

Figura I.10 – Estrutura real ....................................................................................................14

Figura I.11 – Método da força horizontal equivalente ..........................................................15

Figura I.12 – Forças nodais obtidas de uma análise de 1ª ordem na estrutura indeslocada ..16

Figura I.13 – Método da imperfeição geométrica global introduzida ...................................17

Figura I.14 – Estrutura com carregamento introduzido para o método da rotação dos

apoios......................................................................................................................................18

Figura I.15 – Estrutura reticulada ..........................................................................................19

Figura I.16 – Pilar – parede modelado como elemento finito de casca .................................20

Figura I.17 – Conexão de barras com elemento membrana de pilar-parede .........................21

Figura I.18 – Modelagem ligação pilar – parede / viga .........................................................21

Figura II. 1 – Planta baixa do pavimento tipo da arquitetura ................................................24

Figura II.2 – Forma estrutural do pavimento tipo .................................................................25

Figura II.3 – Discretização de vigas e pilares de um pavimento tipo como elemento de

barra........................................................................................................................................32

Figura II.4 – Vista lateral da viga como elemento finito de barra, e pilar como elemento de

casca.......................................................................................................................................33

Figura II.5 – Discretização de vigas como elemento de barra e pilares como elemento casca

de um pavimento tipo ............................................................................................................34

Figura II.6 – Discretização de trecho de cada pilar-parede ...................................................35

Figura II.7 – Trecho rígido na ligação pilar / viga .................................................................36

Figura III.1 – Nós dos pilares P3 e P18 como elementos finitos de casca ............................40

xii Figura III.2 – Deslocamento horizontal δx no pilar P3 do modelo 1 .....................................41

Figura III.3 – Deslocamento horizontal δx no pilar P18 do modelo 1 ...................................42

Figura III.4 – Deslocamento lateral δx no pilar P3 do modelo 2 ...........................................43

Figura III.5 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P18 do modelo 2.........................46

Figura III.6 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P3 dos modelos 1 e 2..................47

Figura III.7 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P18 dos modelos 1 e 2................48

Figura III.8 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P3 do modelo 1 ..........................50

Figura III.9 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P18 do modelo 1.........................50

Figura III.10 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P3 no modelo 1 ........................53

Figura III.11 – Deslocamento lateral na direção X no pilar P18 do modelo 1.......................53

Figura III.12 – Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P3 do modelo 1........................57

Figura III.13 – Deslocamento lateral na direção Y do pilar P18 do modelo 1, com as

combinações 1 e 2 .................................................................................................................58

Figura III.14 – Deslocamento lateral na direção –Y do pilar P3 do modelo 2 ......................60

Figura III.15 – Deslocamento lateral na direção –Y do pilar P18 do modelo 2.....................61

Figura III.16 – Deslocamento na direção –Y do pilar P3, dos modelos 1 e 2........................64

Figura III.17 – Deslocamento lateral na direção –Y do pilar P18 dos modelos 1 e 2 ...........65


Figura III.19 – Deslocamento lateral na direção –Y do pilar P18 do modelo 1 ....................68


Figura III.21 – Deslocamento lateral na direção –Y do pilar P18 no modelo 1.....................70

Figura III.22 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 1 ......................................................74

Figura III.23 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1 ....................................................75

Figura III.24 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 1 ......................................................77

Figura III.25 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1.....................................................78

Figura III.26 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 2, vento em X ..................................80

Figura III.27 – Esforço normal no pilar P3 do modelo 2, vento na direção Y.......................81

Figura III.28 – Esforço normal no pilar P18 do modelo 2, vento na direção X.....................82

Figura III.29 – Esforço normal no pilar P18 do modelo 2, vento na direção Y.....................82

Figura III.30 – Esforço normal no pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção X..............83

Figura III.31 – Esforço normal no pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção X............84

Figura III.32 – Esforço normal no pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y..............85

Figura III.33 – Esforço normal no pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y............86

Figura III.34 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 1, vento na direção X.......................87

xiii Figura III.35 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1, vento na direção X ....................87

Figura III.36 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 1, vento na direção Y.......................88

Figura III.37 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1, com ação do vento na direção

Y.............................................................................................................................................89

Figura III.38 – Esforço normal no pilar P3 do modelo 1 ......................................................92

Figura III.39 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1 ....................................................93


Y ............................................................................................................................................94


Y.............................................................................................................................................95

Figura III.42 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3 do modelo 1, nas

combinações 1 e 2 em 1ª ordem, vento em Y ......................................................................102


combinações 1 e 2 ...............................................................................................................102

Figura III.44 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3 do modelo 2,

1ª ordem ...............................................................................................................................104

Figura III.45 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P18 do modelo 2...................105

Figura III.46 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3, dos modelos 1 e 2 ..........106

Figura III.47 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P18, dos modelos 1 e 2 ........107

Figura III.48 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3 do modelo 1 ....................108

Figura III.49 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P18 do modelo 1 ..................108

Figura III.50 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3 do modelo 1 ....................110

Figura III.51 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P18 do modelo 1 ..................111

Figura III.52 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P3 do modelo 1 ....................113

Figura III.53 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P18 do modelo 1 ..................113

Figura III.54 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P3 do modelo 2.....................114

Figura III.55 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P18 do modelo 2...................115

Figura III.56 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P3 dos modelos 1 e 2 ...........116

Figura III.57 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P18 dos modelos 1 e 2..........117


Figura III.59 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P18 do modelo 1 ..................119


Figura III.61 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P18 do modelo 1...................121

Figura III.62 – Momento torçor com ação do vento na direção X do pilar P3.....................122

xiv Figura III.63 – Momento torçor com ação do vento na direção X do pilar P18 ..................123

Figura III.64 – Momento torçor com ação do vento na direção Y do pilar P3.....................123

Figura III.65 – Momento torçor com ação do vento na direção Y do pilar P18...................124

Figura III.66 – Momento torçor do pilar P3 do modelo 2, vento na direção X....................125

Figura III.67 – Momento torçor do pilar P18 do modelo 2, vento na direção X..................125

Figura III.68 – Momento torçor do pilar P3 do modelo 2, vento na direção Y, nas

combinações 1 e 2 em 1ª ordem...........................................................................................126


combinações 1 e 2 em 1ª ordem...........................................................................................126

Figura III.70 – Momento torçor do pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção X...........127

Figura III.71 – Momento torçor do pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção X.........128

Figura III.72 – Momento torçor do pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y...........129

Figura III.73 – Momento torçor do pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y.........129

Figura III.74 – Momento torçor com ação do vento na direção X do pilar P3.....................130

Figura III.75 – Momento torçor com ação do vento na direção X do pilar P18...................131

Figura III.76 – Momento torçor com ação do vento na direção Y do pilar P3 ....................131

Figura III.77 – Momento torçor com ação do vento na direção Y do pilar P18 ..................132

Figura III.78 – Momento torçor do pilar P3 do modelo 1, com ação do vento na

direção X..............................................................................................................................133


direção X..............................................................................................................................133


direção Y..............................................................................................................................134


direção Y..............................................................................................................................135

Figura A.1: Fachada Leste ...................................................................................................154

Figura A.2: Fachada Norte ..................................................................................................155

Figura A.3- Geometria das seções das vigas........................................................................157

Figura A.4- Geometria das seções dos pilares .....................................................................158

1 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO, OBJETIVOS, REVISÃO BIBLIOGRÁFICA I.1 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO

A disputa nos grandes centros urbanos por um espaço para a construção de

centros empresariais e residenciais multifamiliares é grande, tornando-os super

valorizados. Vê-se, então, a necessidade de construções que favoreçam a relação custo-

benefício com o aumento dos lucros empresariais, e um dos meios para atingir este

objetivo é a construção de edifícios com grandes alturas e esbeltos. Os projetos

estruturais de edifícios altos requerem a consideração de alguns aspectos de análise que

antes eram ignorados ou não existiam meios para sua inclusão, como por exemplo, as

imperfeições geométricas, a não linearidade tanto geométrica como física, a utilização

de estruturas de contraventamento mais adequadas tais como pilares-parede, etc.

Embora, existentes em normas técnicas e em alguns trabalhos desenvolvidos

para estruturas de aço, há pouco material referente às estruturas tubulares de concreto

armado. A bibliografia ainda é recente, mas se expande significativamente.

Os efeitos de vento, que, nestas estruturas atuam com mais intensidade, são

elementos importantes na análise tanto dos estados limites últimos como nos estados

limites de utilização. O recurso fundamental para atender os critérios de projeto

especificados por normas é o contraventamento estrutural. Na literatura técnica é

possível encontrar inúmeros sistemas específicos para enrijecimento da estrutura. Na

prática, é bastante comum a utilização de pilares – parede e caixas rígidas localizadas

em torno do poço dos elevadores e de escadas. Estas caixas formam tubos de paredes

delgadas de seção aberta cujo comportamento estrutural é bastante diferente do

comportamento de um pilar de seção cheia. Entretanto, ainda são raros os programas

computacionais de análise estrutural que considerem adequadamente todos os fatores

que intervém na distribuição dos esforços neste tubo. A análise mais freqüentemente

usada, simula os tubos com elementos de barra.

É evidente que esta forma de simular os tubos é bastante simplificada e não

permite a determinação de fatores tais como: o empenamento da seção, bimomentos, a

distorção angular torcional, etc.

2 Dentro deste mesmo raciocínio, encaixa-se os pilares-parede cujo

comportamento assemelha-se ao de chapa, sendo mais representativo a simulação como

elementos finitos de casca do que de barras.

O texto de revisão da nova Norma NBR 6118/00, introduz no meio técnico

nacional vários aspectos citados anteriormente.

I.2 OBJETIVOS

Este trabalho tem como objetivos:

- Avaliar a importância da imperfeição geométrica global em edifícios de

múltiplos andares;

- Estudar o comportamento de pilares-parede de um edifício, modelados como

elementos finitos de barra e como elementos finitos de casca, e compará-los.

I.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

I.3.1 Análise Linear ou de 1ª Ordem

Os esforços internos e os deslocamentos laterais resultantes são linearmente

proporcionais às cargas aplicadas, permitindo a aplicação do princípio da superposição.

Admite-se a integridade plena das seções transversais e o comportamento elástico-linear

para os materiais, bem como formula-se as equações de equilíbrio na configuração não

deformada da estrutura. Esta análise é usada normalmente para se verificar o Estado

Limite de Utilização.

I.3.2 Análise Não-Linear ou de 2ª Ordem

Nas análises estruturais de edifícios altos, o estudo da deformabilidade lateral é

significativo devido à esbeltez e à importância dos carregamentos laterais. Os

momentos e deflexões resultantes incluem os efeitos de esbeltez e portanto são não-

lineares com relação às cargas.

3

Os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados sempre que não representem

aumento superior a 10 % nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura,

segundo o texto conclusivo do projeto de revisão da NBR 6118.

A análise não-linear pode se dividir em duas:

- Análise Não-linear Geométrica (ANLG)

- Análise Não-linear Física (ANLF) A análise não-linear geométrica se refere aos efeitos de segunda ordem.

No projeto de revisão da NBR 6118/00, na consideração da análise não-linear

geométrica, deve-se levar em conta a não-linearidade física. A ANLG é obrigatória

quando a flexibilidade lateral conduz a uma situação de instabilidade da estrutura, ou a

parcela de 2ª ordem das reações ou dos esforços relevantes ultrapasse 10% da parcela de

1ª ordem em algum elemento. Também, segundo o projeto de revisão da norma NBR

6118/00, os efeitos de 2ª ordem são classificados em Globais, Locais e Localizados.

Foram considerados nesse trabalho apenas os efeitos globais, que são os esforços

decorrentes dos deslocamentos horizontais da estrutura, quando submetida à ação das

cargas verticais e horizontais.

A não-linearidade física ocorre quando, ao longo da vida útil dos elementos

estruturais de concreto, mesmo considerando-os de concreto com comportamento

totalmente elástico, surgem a formação e abertura de fissuras na seção transversal e

deformação longitudinal da peça, reduzindo-se suas seções transversais efetivas antes de

se atingir o limite de proporcionalidade, iniciando a perda de proporcionalidade entre

tensão aplicada e deformação sofrida pelo material. Para a consideração da não-

linearidade física na análise de sistemas estruturais, pode utilizar-se dois

procedimentos:

O primeiro procedimento é se fazer uso do diagrama momento fletor x esforço

normal x curvatura da seção transversal estudada, a partir da equação diferencial da

linha elástica. Este cálculo exato leva em conta o estado de fissuração total, requerendo

a integração da curvatura ao longo do comprimento da barra. Para efeito de análise

global, este não é um procedimento prático.

O segundo procedimento é encontrar uma porcentagem de perda da rigidez em

função do módulo de rigidez total EcIc, que possa representar a fissuração, deformação,

e a plasticidade dos materiais constituintes. Neste trabalho, fez-se uso do segundo

procedimento.

4

O projeto de revisão da norma NBR 6118/00 sugere que se considere a não-

linearidade física na análise global de edifícios de forma aproximada, tomando-se como

rigidezes das peças os valores:

Lajes: (EI)sec = 0,3 EcIc (I.1)

Vigas: (EI)sec = 0,4 EcIc para As’≠ As e (EI)sec = 0,5 EcIc para As’ = As (I.2)

Pilares: (EI)sec = 0,8 EcIc (I.3)

onde Ec é o módulo de elasticidade inicial do concreto em MPa dado por

Ec = 4700 fck e Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo se for

o caso, mesas colaborantes.

Se a estrutura de contraventamento for formada por apenas vigas e pilares,

permite-se considerar para ambos (EI)sec = 0,7 EcIc . (I.4)

Ainda, segundo o projeto de revisão da norma NBR 6118 / 00, os valores dados

acima para (EI)sec são aproximados e não poderão ser usados para avaliar esforços

locais de segunda ordem, mesmo aumentando a discretização da modelagem.

I.3.3 PROGRAMA UTILIZADO

Utilizou-se neste trabalho o programa para análise não linear de estruturas, SAP

2000 versão não-linear 7.42. O programa possui as seguintes características:

Utiliza o método dos elementos finitos, tendo ainda como opção ao usuário,

a consideração do efeito de 2ª ordem P-delta em estruturas reticulares

formada por elementos de barra.

•

•

•

•

•

•

Não realiza análise confiável do efeito P-delta em estrutura modelada com

elementos de casca.

Tanto os efeitos de uma força axial sobre a rigidez lateral, quanto a

deformação de cortante são considerados.

As deflexões, deformações e rotações são assumidas pequenas.

Na flexão, o modo de deformação transversal de um elemento de barra é

assumida cúbica, e linear para o cortante entre as zonas rígidas.

Quando a intensidade da força de compressão está perto da carga de

flambagem PCR o modo de deformação transversal de um elemento de barra

afasta-se da forma citada acima. Portanto, deve-se dividir as colunas em dois

ou mais elementos de barra.

5

• A força axial na barra é considerada constante ao longo do seu comprimento

e igual à média dos esforços normais nas extremidades.

I.3.4 PILARES-PAREDE São estruturas laminares planas verticais apoiadas de modo contínuo ao longo de

sua base, onde uma das dimensões da seção transversal é muito maior que a outra.

A NBR 6118/00 define como pilar-parede, o pilar onde a largura é, no mínimo,

cinco vezes a espessura.

Estes elementos estruturais são incluídos na concepção do sistema estrutural

com a finalidade de aumentar a rigidez da estrutura, e diminuir os deslocamentos

laterais, sendo, portanto, considerados como elementos de contraventamento por

resistirem à maior parte dos esforços devido às ações horizontais.

Em um sistema estrutural assimétrico, com pilares paredes, surgem rotações do

diafragma em torno da direção vertical e translações no plano horizontal, devido às

cargas verticais e horizontais, ocasionando momentos torçores nestes pilares.

A literatura especializada mostra que a análise estrutural de pórticos acoplados a

paredes estruturais, pode ser realizada por vários métodos. Entre estes destacam-se :

- Método de Khan e Sbarounis (1964)

- Método das colunas rígidas

- Método dos elementos finitos

No primeiro método substitui-se a estrutura composta por pórticos acoplados

com paredes estruturais, por outra estrutura formada por dois sistemas W e F, conforme

figura I.1.

a) Planta b) Idealização do edifício

Figura I.1 – Método de Khan e Sbarounis

O sistema W representa as paredes estruturais da estrutura, enquanto o sistema F

representa os demais elementos estruturais: pilares, vigas e lajes, onde as rigidezes à

flexão dos pilares e vigas são a soma das rigidezes à flexão de todos os elementos

6 correspondentes da estrutura. Os sistemas W e F são interligados por barras horizontais

de rigidez axial infinita e rigidez à flexão nula, fazendo com que os deslocamentos

laterais sejam iguais.

No segundo método, os pilares-paredes são considerados como colunas rígidas,

com propriedades concentradas em seu eixo centroidal, e as extremidades das vigas

embutidas nas paredes estruturais são idealizadas como trechos infinitamente rígidos à

flexão (ver figura I.2).

Figura I.2 – Idealização de colunas rígidas

De acordo com GHALI & NEVILLE (1995), a grande vantagem deste

método é que se considera as deformações por cortante, tanto nas colunas rígidas quanto

nas zonas rígidas das vigas, modificando-se adequadamente a matriz de rigidez global

da estrutura.

OLIVEIRA et al (2002), confirmaram o que prescreve o projeto de revisão da

norma NBR 6118/00 em pilares com relação 5arg>

espessuraural , onde deve-se considerar a

influência das deformações por cisalhamento. Por outro lado, se 5arg<

espessuraural , as

deformações por flexão prevalecem sobre as deformações por cisalhamento. Também

concluíram que as diferenças de rigidezes entre a matriz proposta por GHALI &

NEVILLE (1993), baseada na resistência dos materiais, e os resultados obtidos pelo

7 método dos elementos finitos, não excedem a 4% aproximadamente, confirmando os

resultados obtidos por BAZAN et al (1980).

Li (2001) mostra que um pilar-parede submetido à solicitações axiais e

solicitações transversais paralelas à direção do maior lado horizontal, pode ser associado

a uma placa ortotrópica para efeito de análise de estabilidade. A placa deforma-se na

direção transversal por flexão e na longitudinal por cisalhamento, ou seja com

curvaturas e distorção angular apenas. Ele concluiu que se o pilar-parede está livre nas

bordas verticais, a análise de estabilidade pode ser feita como um elemento de barra em

flexão. E, se as bordas estiverem continuamente apoiadas, o pilar-parede deve ser

considerado como apoiado em vigas de base elástica.

I.3.4.1 Flexo – Torção em Pilares – Parede

Os elementos estruturais que possuem a forma de cascas prismáticas longas,

onde suas três dimensões são todas de ordem de grandeza diferentes, comportam-se

segundo VLASOV (1961) como vigas de Paredes Delgadas, ou seja, como casca. É o

caso dos pilares-parede da estrutura analisada neste trabalho.

A característica principal dos pilares-parede é que eles podem resistir a

deformações longitudinais devidas à torção. Assim, surgem tensões normais, como

resultado do empenamento relativo da seção, proporcionais a essas deformações,

conduzindo a um equilíbrio interno desses esforços longitudinais em cada seção

transversal.

Emprega-se a teoria da flexo-torção para a análise do fenômeno da instabilidade

do equilíbrio dos pilares, pois estes estão submetidos a esforços de torção combinada

com flexão.

Os pilares-parede em estudo, estão submetidos à solicitações por flexo-torção

não-uniforme, onde as seções ao nível do pavimento são restringidas contra o

empenamento e há a variação do momento torçor de um pavimento para outro. Por

conseguinte, o empenamento variará ao longo do comprimento do elemento, originando

tensões de tração e/ou compressão nas fibras longitudinais.

Como resultado deste estado de flexo-torção restringido, os elementos

longitudinais, constituintes dos pilares e formados por paredes delgadas, resistem

8 isoladamente e simultaneamente à flexão e à torção. Então, o momento de torção total

atuante é igual à soma do momento de torção de Saint-Venant com o momento de

torção de empenamento.

Quando o pilar-parede está submetido à ação dos esforços externos, a teoria da

flexo-torção de VLASOV admite duas hipóteses em relação ao comportamento da seção

transversal: as fundamentais e as geométricas.

I.3.4.1.1 Hipóteses Fundamentais

As hipóteses fundamentais são apresentadas com base na estrutura

esquematizada na figura I.3.

Figura I.3 – Hipóteses Fundamentais

De acordo com VLASOV, quando em uma determinada estrutura ocorrem as

relações 1,01

1 ≤dδ ; 1,0

2

2 ≤dδ ; 1,0

3

3 ≤dδ ;

1,01 ≤l

δ ; 1,02 ≤l

δ ; 1,03 ≤l

δ ;

ela deve ser classificada como casca prismática. A seção transversal pode ter forma

arbitrária e ser constituída por um número finito de paredes finas retas ou curvas.

VLASOV chamou tais cascas de vigas de paredes delgadas. Cada parede que compõe a

casca é considerada rigidamente conectada ao longo de sua linha de contato, de modo

9 que nenhuma parede pode mover-se com relação à parede vizinha em qualquer ponto da

linha de contato.

I.3.4.1.2 Hipóteses Geométricas

Uma viga de paredes delgadas de seção aberta é uma casca de seção transversal

indeformável, ou seja, rígida. Após a deformação da viga, esta projeta-se no plano π da

figura I.3. As deformações de cisalhamento da superfície média podem ser desprezadas,

ou seja, a superfície média da viga não sofre distorções.

Nos pilares de paredes delgadas do edifício em estudo torna-se mais importante

a consideração do comportamento destes pilares à flexo-torção devido ao fato da

estrutura e carregamento não serem simétricos. Os deslocamentos destes pilares

comportam-se como na flexão oblíqua (ver figura I.4).

Figura I.4 – Flexão oblíqua nos pilares de paredes delgadas com seção aberta.

vi são os deslocamentos nas bordas ou pontos angulosos da seção transversal.

I.3.4.2 EMPENAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE PILAR DE PAREDES DELGADAS

Quando um pilar de paredes delgadas está submetido a um conjunto de cargas

externas, aplicadas em vários pontos da linha média da seção x = constante, este

conjunto pode ser substituído por uma simples força estaticamente equivalente atuando

ao longo de uma bem definida linha de ação no mesmo plano x = constante, segundo as

hipóteses fundamentais e geométricas da teoria de VLASOV. Esta carga provoca, em

geral, um estado de flexo-torção, ocorrendo na seção transversal do pilar um complexo

10 estado de deformação, devido à superposição do estado de deformação por flexão com o

estado de deformação por flexo-torção não uniforme conforme figura I.5a, para o trecho

de pilar mostrado.

)z(q

x

a) Carregamento aplicado b )Deformação da seção

transversal

Figura I.5 – Empenamento da seção transversal do pilar de parede delgada.

Devido ao estado de deformação por flexo-torção, onde ϕa é a rotação da

seção 2 em torno de um eixo paralelo a y passando pelo seu centro, ϕh é a rotação da

seção 1 em torno de um eixo paralelo a x passando pelo centro de gravidade da

referida seção, e u é o deslocamento do centro de gravidade da seção 1 do pilar-

parede.

O estado de flexão é descrito pela lei das seções planas, enquanto o estado de

flexo-torção é descrito pela Lei das Áreas Setoriais de VLASOV, que é uma

generalização da Lei das Seções Planas.

A deformação da estrutura pilar de paredes delgadas é acompanhada pela

deformação da forma da seção transversal, e originam-se um estado adicional de tensões

na direção transversa. Assim, em adição às tensões tangenciais, surgem tensões normais

tanto de tração quanto de compressão em cada trecho da seção transversal do pilar de

paredes delgadas.

Observa-se da figura I.5b que, devido às tensões normais na seção transversal,

ocorrem deslocamentos longitudinais tanto de alongamento quanto de encurtamento em

cada um dos trechos da seção transversal do pilar, ocasionando a distorção da seção

plana. Essa distorção da seção plana é denominada de empenamento da seção

11 transversal. Foi visto que, no empenamento da seção transversal do pilar de paredes

delgadas devido à solicitação da flexo-torção não uniforme, aparecem tensões normais

nessa seção além das tensões tangenciais. Essas tensões normais atuantes em cada seção

transversal do pilar, originam um novo esforço generalizado, que tem a forma de um

sistema de tensões longitudinais autoequilibradas, chamado de Bimomento Longitudinal

Bw na teoria de VLASOV. O bimomento consiste de momentos fletores para as abas 1 e

3 da seção transversal do pilar. Para qualquer seção transversal do pilar de paredes

delgadas esses momentos M são iguais em valores absolutos, porém contrários em

sentidos, figura I.6.

Figura I.6 – Trecho de pilar de paredes delgadas submetido ao Bimomento

Da figura I.6 , tem-se:

++

Μ=Β2

2 321 δδdw (I.5)

12 I.3.4.3 DISTORÇÃO TORCIONAL

Figura a Figura b

Figura I.7 – a. Forma e carregamento de um trecho de pilar -parede,

b. Distorção torcional

As cargas genéricas atuantes no pilar-parede geram esforços por torção nas

seções transversais. A seção transversal não sendo rígida, se deforma sob este

carregamento como mostrado na figura I.7 b. Os cantos da seção transversal se

deslocam pelos valores V(z) e –W(z) nas direções Y e X respectivamente.

A seção transversal se deforma com a condição de a relação mútua entre os

deslocamentos V(z) e W(z) seja caracterizada pela preservação da compatibilidade da

seção transversal. A deformação da estrutura é seguida pela deformação da forma

da seção transversal, chamada de Distorção Torcional.

I.3.4.4 EFEITO SHEAR LAG EM PILARES DE PAREDES DELGADAS

Nos pilares em forma de T, L ou celular, submetidos a grandes carregamentos, a

distribuição das tensões é aproximadamente uniforme nas regiões afastadas dos vértices,

ou seja, nas interseões das paredes dos pilares. Porém, nas vizinhanças das interseções,

onde há mudança brusca de direção, há uma concentração de tensões, de modo que, a

distribuição das tensões não é mais uniforme, ver figura I.8.

13

Figura I.8 – Efeito Shear Lag

O estudo mais preciso da intensidade e distribuição das tensões nesta região

requer a modelagem com uma malha bastante refinada de elementos finitos do tipo

casca.

A modelagem do pilar com elemento de barra, não permite a análise do efeito

shear lag, contudo, isto é possível com elemento finito de casca.

I.3.5 IMPERFEIÇÃO GEOMÉTRICA GLOBAL

A prática tem mostrado que uma construção dificilmente tem uma execução

perfeita, da forma como foi idealizada durante a fase de projeto. Sempre existem

desvios de ordem construtiva, como os desalinhamentos verticais ou desaprumo e a falta

de retilinidade ao longo do eixo dos pilares da estrutura. Nas estruturas reticuladas, os

mais frequentes ocorrem na posição e no alinhamento dos eixos, na forma e dimensões

das seções transversais, na distribuição da armadura, etc. Em geral, estes desvios podem

ser cobertos pelos coeficientes de segurança, porém os desalinhamentos verticais e a

falta de retilinidade não. Por conseguinte, é importante incluí-los na análise de

estruturas pois podem ter influência significativa na estabilidade global, principalmente

quando a estrutura do edifício oferece grande esbeltez e altura elevada.

O fenômeno da falta de compatibilidade entre o previsto no projeto e a execução

chama-se “Desvio Acidental Global” ou “Imperfeição Geométrica Global” ou

“Irregularidade Vertical” (ver figuras I.9 e I.10). A imperfeição geométrica não era

considerada na norma NB1 / 78, contudo a nova versão NBR 6118 / 00 apresenta

14 critérios para análise de estruturas considerando as imperfeições como esforços

equivalentes horizontais.

Figura I.9 – Estrutura idealizada Figura I.10 – Estrutura real

A bibliografia existente a respeito de pesquisas realizadas sobre a imperfeição

geométrica global resume-se às normas técnicas e alguns artigos sobre estruturas

metálicas, havendo poucas publicações referentes às estruturas de concreto armado, os

quais são relativamente recentes.

A condição da imperfeição geométrica é feita através do ângulo de desvio global

θa (ver figura I.10) da estrutura contraventada ou não, dado por :

2

111

+

= na θθ (I.6)

com mínmáx L 11.1 1001

θθ =≥θ (I.7) ≥

sendo θ1min = 4001 , para estruturas pouco deslocáveis

300

1 , para estruturas deslocáveis e imperfeições locais

e 2001

.1 =máxθ

15

onde:

θa = ângulo de desvio global

L = altura total da estrutura em metros

n = número de elementos verticais contínuos.

Como pelo texto de revisão da norma NBR 6118 / 00 o cálculo de n não está

claro, deixando dúvidas, neste trabalho considerou-se n como o número total de pilares.

I.3.5.1 Métodos de Análise no Cálculo da Imperfeição Geométrica Global em Edifícios

de Múltiplos Pavimentos

São apresentados três métodos:

- Método da Força Horizontal Equivalente

- Método da Imperfeição Geométrica Global Introduzida

- Método da Rotação dos Apoios

I.3.5.1.1 Método da Força Horizontal Equivalente

Este método aproximado consiste em introduzir nos nós na estrutura idealizada forças

horizontais equivalentes, obtidas das cargas verticais atuantes nos pilares,

responsáveis pelos mesmos efeitos do desvio acidental global (ver figura I.11):

Figura I.11 – Método da força horizontal equivalente

16

De posse de θa e Vij, obtém-se, as forças horizontais equivalentes ∆Hi, dados

por:

ajVn

j

θιι ∑=

=∆Η1

(I.8)

onde:

Vij = carga vertical aplicada pelo andar i ao pilar j (ver figura I.12).

A reação horizontal ∆H0 na fundação em cada pilar será:

∑=

∆Η=∆Ηm

ii

10 (I.9)

onde ∆Hi é a carga vertical aplicada pela fundação (i=0) ao pilar j.

I.3.5.1.2 Método da Imperfeição Geométrica Global Introduzida

É também um método aproximado, onde mantém-se o carregamento vertical

atuante e introduz-se o ângulo de desvio acidental global θa. Com este ângulo,

calculam-se os valores das coordenadas nodais em cada pavimento. Tem-se então a

estrutura pronta para ser realizada uma análise elástica linear, com a imperfeição

geométrica desejada θa e as forças verticais atuantes nos pontos nodais obtidas a partir

de uma análise de 1ª ordem na estrutura indeslocada (ver figuras I.12 e I.13).

Figura I.12 – Forças nodais obtidas de uma análise de 1ª ordem na estrutura indeslocada

17

Figura I.13 – Método da imperfeição geométrica global introduzida

I.3.5.1.3 Método da Rotação dos Apoios

De acordo com FONTE (1992) e PONTES (1999), é um método exato, onde é

considerado que a estrutura sob a ação das cargas verticais nos pontos nodais, sofra uma

rotação nos apoios de um ângulo θa, e a superestrutura rotacione de mesmo valor como

corpo rígido, desprezando assim, a efetiva deformação dos pilares.

Assim, dois tipos de carregamento são introduzidos simultaneamente na

estrutura:

• Rotação θa nos apoios;

• Cargas verticais aplicadas nos nós da estrutura.

Na aplicação do primeiro carregamento, escolhe-se um ponto qualquer da base

como o centro de rotação da estrutura.

18

Figura I.14 – Estrutura com carregamento introduzido para o método da rotação dos

apoios.

Devido ao primeiro carregamento, tem-se uma rotação de valor θa em torno do

eixo y, e uma translação na direção z em cada nó i da base de valor zi, onde estes nós

permanecem restringidos segundo os três graus de liberdade.

Considerando-se os dois carregamentos aplicados, realiza-se uma análise não-

linear geométrica do tipo P-delta. O resultado desta análise é formado por duas parcelas:

• Parcela linear, que corresponde à análise da estrutura indeformada com as

cargas verticais;

• Parcela não-linear geométrica, que corresponde ao efeito da imperfeição

geométrica introduzida, pela aplicação das rotações nos apoios.

Existem outros trabalhos resultantes de pesquisas nos cursos de pós-graduação

em engenharia civil / Estrutura da UFPE onde, aplicam-se esses conceitos de

imperfeição geométrica global na análise de estruturas em concreto armado,

ANDRADE (1998), OSÓRIO (2000), PINTO (1997), FONTE & PINTO (1997), etc.

I.3.6 MODELAGEM

Há, atualmente, várias técnicas para modelagem estrutural. A mais poderosa e

versátil ferramenta para isto é o método dos elementos finitos (MEF). Se na análise for

19 considerada também a modelagem da laje, pode-se estudar o comportamento estrutural

de forma tri-dimensional pelo método do pórtico equivalente ou método do pórtico

simplificado, além do MEF.

O método do pórtico equivalente, conforme PARK & GAMBLE (1980), é

geralmente satisfatório para sistemas de lajes de carregamento, geometria e condições

de apoio regulares. Para os demais casos onde a geometria e/ou carregamento, das lajes

são irregulares, além do método ser de difícil aplicação, pode resultar em uma

representação das ações, nas duas direções das lajes, deficiente ou não confiável.

Os programas que utilizam o método dos elementos finitos fazem uso mais

realístico das técnicas de análise, e permitem melhor visualização e entendimento do

comportamento estrutural, pois que podem gerar desenhos gráficos, grandes arquivos de

saída de esforços seccionais e deslocamentos de componentes estruturais tais como:

lajes, vigas, colunas, etc. Na modelagem de um sistema estrutural, os pilares-parede

podem ser simulados como elementos finitos de barra originando uma estrutura espacial

reticulada, figura I.15, e/ou como elemento finito de casca, obtendo-se uma estrutura

composta por pórticos planos acoplados com paredes estruturais nas duas direções.

Figura I.15 – Estrutura reticulada

A revisão da norma NBR 6118/00 prevê que, na simulação do pilar-parede como

elemento de barra, seja considerada a deformação devida a ação do esforço cortante.

A consideração do pilar-parede modelado como elemento finito de casca,

figura I.16,aproxima-se mais da relação objeto / modelo, pois alguns aspectos reais do

comportamento do pilar-parede podem ser analisados de forma mais precisa, o que não

era possível na modelagem como elemento de barra. Dentre estes aspectos, pode-se

citar: empenamento, distorção torcional, efeito Shear Lag, distorção angular, etc.

20

Figura I.16 – Pilar-parede modelado como elemento finito de casca

Malhas típicas ideais, consistiriam de elementos finitos com relação

comprimento / altura próximo à unidade, LÉGER & PAULTRE (1993).

Se o conjunto vigas/pilares forem modelados como elementos finitos de casca,

obtém-se resultados comparáveis aos resultados de vigas e pilares modelados como

elementos finitos de barras. Entretanto, isto acarreta, custos e esforço computacional

maiores, LÉGER & PAULTRE (1993).

Simplificadamente, pode-se modelar os pilares-parede como elemento de casca e

as vigas como elemento de barra. Como os pilares-paredes estão submetidos a

momentos em seu plano, os elementos em menbrana usados na modelagem também

estão. Atuam também nestes elementos membrana, deslocamentos horizontal e vertical

dos nós, e os esforços direto vertical e horizontal e esforços cortantes em seus nós ou no

meio dos lados dos elementos. Elementos de barra quando conectando-se a pilares-

paredes modelados com elementos de membrana requerem consideração particular, pois

estes elementos não têm grau de liberdade para representar uma rotação no plano de

seus nós. Logo,um elemento de barra conectado a um nó do elemento de membrana está

efetivamente conectado somente por uma rótula, SMITH & COULL (1991). Uma

solução para esta deficiência é acrescentar uma barra auxiliar fictícia, flexuralmente

rígida na borda do elemento parede, de uma das duas formas,como mostrado na figura

I.17. Assim, as extremidades adjacentes da barra auxiliar e a barra externa estão ambas

restringidas à rotacionar com o nó da borda da parede. Conseqüentemente, um momento

e a rotação da parede, como definida pelos deslocamentos relativos transversais dos

extremos da barra auxiliar, são transferidos à barra externa, SMITH & COULL (1991).

21

Figura I.17 – Conexão de barras com elemento membrana de pilar-parede

Na figura I.18, mostra-se uma possível modelagem da estrutura da figura I.16,

destacando a ligação viga / pilar-parede. Neste caso, a viga i+1 estende-se até o nó A e a

viga i até o nó C.

Figura I.18 – Modelagem ligação pilar - parede / viga

No trecho de interseção que o elemento de barra tenha com o pilar-parede,

devido ao grande aumento de rigidez da viga nessa extremidade, supõe-se uma rigidez

infinita.

A simulação da indeformabilidade da viga pode ser feita usando-se o artifício do

trecho rígido implementado no SAP. Consiste em eliminar as deformações da viga no

trecho, mantendo a compatibilidade de deslocamentos entre os dois tipos de elementos

finitos, casca e barra.

Em edifícios multipavimentos com pilares-paredes, é costume considerar as lajes

de piso tendo rigidez infinita em seu plano. Contudo OZTORUN et al (1998) em estudo

22 realizado, revelou que em laje de piso regular e rígido ocorrem mudanças na

distribuição dos cortantes no andar entre os pilares-parede. Na realidade, a laje de piso

comporta-se com alguma flexibilidade, originando forças significativamente altas no

plano da lage. Em geral, estas forças não são consideradas no projeto pois que são

impossíveis de serem determinadas, ao se supor a laje infinitamente rígida em seu

plano. Estas forças podem gerar tensões de tração da ordem de 3,5 MPa ou mais. Os

autores concluiram que, em um piso, a área total dos pilares-parede fica entre 4% e 8%

da área total deste piso em cada direção principal.

A prática do dia-a-dia e vasta bibliografia especializada têm mostrado que, a

análise tridimensional por elementos finitos de uma estrutura, é a ferramenta mais

conveniente e adequada. Atualmente, constata-se um crescimento muito grande na

capacidade e velocidade dos computadores, assim como formulações mais eficientes

tem sido implementadas nos programas computacionais baseados neste método. Desta

forma, foi o escolhido para realizar os estudos propostos neste trabalho.

23 CAPÍTULO II DESCRIÇÃO DAS ESTRUTURAS E MODELAGEM ESTRUTURAL II.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresenta-se o modelo estrutural adotado para realizar o estudo

proposto. São descritas as características geométricas, os principais parâmetros físicos e

propriedades dos materiais utilizados, as ações consideradas e suas combinações

últimas. Mostra-se ainda, os procedimentos utilizados para a discretização estrutural e

os tipos de análises realizadas. Não foi realizado estudo considerando a interação solo-

estrutura.

Foram seguidos os conceitos e critérios estabelecidos no projeto de revisão da

norma NBR 6118/00.

II.2 CARACTERÍSTICAS ESTRUTURAIS E ARQUITETÔNICAS

O modelo adotado representa um edifício residencial real e em pleno uso há

mais de 10 (dez) anos. O projeto arquitetônico do teto-tipo é mostrado na figura II.1. O

edifício têm 26 pavimentos, sendo 23 tetos tipo, 02 andares destinados a área de lazer e

a estacionamento e uma coberta geral. O pé direito em todos os pavimentos têm o

mesmo valor de 2,85 metros. No anexo são mostrados os detalhes das fachadas, ver

figuras A.1 e A.2.

Os pavimentos da torre central do edifício e os pavimentos inferiores não tem a

mesma distribuição arquitetônica dos pavimentos tipos. Entretanto, por simplicidade e

redução de tempo, considerou-se todos os andares com a mesma configuração

estrutural, inclusive a coberta geral, ver figura II.2.

A área dos pavimentos inferiores é bem maior do que a área dos pavimentos

tipo. Devido à existência de juntas de dilatação, os trechos fora da torre central não

foram considerados nas análises.

A estrutura de cada pavimento é em concreto armado e do tipo convencional

com lajes plenas apoiadas em vigas. Além disso, não apresenta simetria no plano

horizontal, tendo formato, em planta, praticamente quadrado.

24

Figura II.1 – Planta baixa do pavimento tipo da arquitetura

25

Figura II.2 – Forma estrutural do pavimento tipo

Os pilares tem dimensões constantes ao longo de toda a altura do edifício. De

um total de 18 pilares, 17 tem largura maior do que 5 vezes a espessura sendo, portanto,

26 de acordo com a NBR 6118/00, classificados como pilares-paredes. Na literatura técnica

existente não há muitas informações sobre o modo de simular pilares-paredes em uma

análise estrutural. A NBR 6118/00 recomenda que os mesmos sejam modelados como

elementos de barra desde que seja considerada a deformação transversal causada pelas

forças horizontais atuantes ou cortantes.

A escolha do modelo baseou-se exatamente na forma irregular e

diversificada de seus elementos estruturais principalmente com relação à geometria

transversal dos pilares. As seções transversais dos pilares são apresentadas na tabela

A.2 e na figura A.4 do anexo. Pode-se verificar que há pilares em forma de L, U e

retangulares com dimensões significativamente diferentes uma da outra. Sendo,

portanto, de se esperar comportamentos acentuados de efeitos tais como: flexão

oblíqua, empenamento, shear lag e distorções angulares.

É de se destacar que, na modelagem de pilares em forma de L ou U como

elementos de barra, não é possível se obter informações sobre os efeitos distorcionais e

de shear lag devido a simplicidade do elemento usado. Isto é um ponto crítico pois, as

deformações correspondentes a estes efeitos não são consideradas, o que pode resultar

em esforços bastante diferentes dos que de fato, atuam na estrutura.

Nas situações onde existia a monoliticidade da viga com a laje, utilizou-se a

seção T ou L para a rigidez das vigas. As seções transversais utilizadas para as vigas

estão apresentadas na tabela A.1 e figura A.3 do anexo. Em todos os casos, a largura

colaborante da viga foi determinada de acordo com a NBR 6118/00.

II.3 PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO

Neste trabalho foram usados os seguintes parâmetros:

- Resistência Características à Compressão: ƒck ≥ 30 MPa

- Peso específico: γc = 25 KN/m3

- Coeficiente de Poisson: µ = 0,2

- Módulo de elasticidade secante: = 26071 MPa. Este módulo foi obtido

utilizando-se a fórmula proposta pela NBR 6118/00, onde

E

csE

cs = 0,85 Ec MPa (II.1)

sendo Ec o módulo de elasticidade tangente dado por

27

- Ec=5600 fck MPa, (II.2)

devido a ausência de resultados experimentais.

- Módulo de elasticidade transversal:

( )µ+=

12cEG MPa (II.3)

Logo: G = 12780 MPa. Este valor foi estimado utilizando-se os valores de Ec e µ

citados acima. O programa SAP 2000 calcula internamente o módulo de elasticidade

transversal do concreto, usando a fórmula anterior.

II.4 AÇÕES

II.4.1 AÇÕES PERMANENTES

II.4.1.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS

O peso próprio da estrutura foi calculado automaticamente pelo programa. Para a

sobrecarga permanente correspondente ao piso e contrapiso adotou-se um valor igual a

1,0 kN/m2. Para a alvenaria utilizada nas paredes divisórias, considerou-se um peso

específico de 2,35 kN/m2 de parede. Para a laje de piso da casa de máquina, adotou-se

uma sobrecarga acidental de 7,5 kN/m2.

A caixa d’água superior não foi modelada, mas o seu peso próprio foi

considerado como cargas distribuídas nos pilares P1 e P2.

II.4.1.2 AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS

Seguindo os critérios da NBR 6118/00, os desvios construtivos foram

considerados como ação permanente indireta, através do procedimento prescrito como

imperfeições geométricas globais. O método adotado foi o das rotações dos apoios onde

aplica-se à estrutura o desaprumo estimado θa e as translações na direção do eixo Z dos

nós da base, conforme explicado no item I.3.5.1.3 do capítulo I.

28

•

•

•

II.4.2 AÇÕES VARIÁVEIS

II.4.2.1 AÇÕES VARIÁVEIS DIRETAS

II.4.2.1.1 CARGAS ACIDENTAIS PREVISTAS PARA USO DA CONSTRUÇÃO

O edifício em estudo tem fins residenciais, por conseguinte as cargas

acidentais verticais previstas pela NBR 6120/80 e adotadas neste trabalho são:

quarto, sala, banheiro, cozinha: 1,5 kN/m2

área de serviço, corredor do condomínio: 2,0 kN/m2

escadas: 2,5 kN/m2

II.4.2.1.2 AÇÃO DO VENTO

As forças horizontais devido à ação do vento foram estimadas segundo as

recomendações da NBR 6123/88. Neste estudo, foram feitas as análises estruturais

considerando o vento atuando em duas direções ortogonais X e Y. As ações do vento

foram modeladas como cargas concentradas aplicadas nos nós existentes na face lateral

do modelo onde o vento foi suposto atuar. Os nós estão indicados na figura II.2.

A intensidade da força de arrasto foi obtida considerando-se os seguintes

parâmetros.

Velocidade básica do vento - Vo = 35 m / s.

Fator topográfico – S1 = 1

Fator de rugosidade – S2 = b.Fr.p

10z

(II.4 )

com b = 0,84 p = 0,135 e Fr = 0,95

Fator estatístico – S3 = 1.

No anexo, nas tabelas A.5, A.6 e A.7 estão as áreas efetivas e suas respectivas

forças de arrasto nas duas direções X e Y.

29 II.5 COMBINAÇÕES E COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES

II.5.1 Combinações Últimas

A expressão das combinações de esgotamento da capacidade resistente para

peças de concreto armado é:

Fd = γg . Fgk + γεg . Fεgk + γq . ( Fq1k + Σψoj . Fqik ) + γεq . ψoε . Fεqk (II.5)

Onde:

Fd = valor de cálculo das ações para combinação última

Fgk = ações permanentes diretas

Fεk = ações indiretas permanentes (retração = Fεgk)

Fεqk = ações indiretas variáveis (temperatura)

Fqk = ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal.

γg , γεg, γq e γεq são coeficientes de ponderação com valores segundo projeto de

revisão da NBR 6118/00.

γg = coeficiente de ponderação das ações permanentes = 1,4

γεg = coeficiente de ponderação da imperfeição geométrica global = 1,2

γq = coeficiente de ponderação da ação do vento = 1,4

ψoj e ψok são fatores de combinação obtidos do projeto de revisão.

Quando as cargas acidentais previstas para uso da construção, ou ação do vento

ou a imperfeição geométrica global forem a ação variável direta secundária: ψo = 0,4

II.5.2 Combinações Utilizadas

Para as análises tanto lineares quanto não-lineares geométricas, utilizou-se o

programa SAP 2000, versão não-linear 7.42. Para os dois modelos em estudo, foram

utilizadas três combinações últimas:

Combinação 1

Ações permanentes diretas;

ação do vento como ação variável principal;

30

cargas acidentais previstas para uso da construção como ação

secundaria.

Combinação 2


ação do vento como ação variável secundária;

cargas acidentais previstas para uso da construção como ação

principal.

Combinação 3


cargas acidentais previstas para uso da construção;

imperfeição geométrica global.

Os coeficientes de ponderação e os fatores de combinação são dados na tabela

II.1.

Tabela II.1 – Coeficientes de ponderação e fatores de combinação

Combinações Últimas Ações

(A) (B) (C) (D)

Combinação 1 1,4 1,4 1,4 . 0,4 = 0,56 0

Combinação 2 1,4 1,4 . 0,4 = 0,56 1,4 0

Combinação 3 1,4 0 1,4 1,2

(A) = Ações permanentes diretas

(B) = Ação do vento

(C) = Cargas acidentais previstas para uso da construção

(D) = Imperfeição geométrica global

II.6 MODELAGEM DA ESTRUTURA OU DISCRETIZAÇÃO Na modelagem da estrutura a ser analizada usou-se a teoria dos elementos

finitos.

A estrutura do edifício foi discretizada tridimensionalmente em duas formas.

Na primeira, tanto vigas quanto pilares foram simulados por elementos de barra com

seis graus de liberdade por nó. Para trechos de pilares entre andares consecutivos foi

considerado um único elemento vertical passando pelo centro de gravidade do pilar real,

31 onde considerou-se trecho rígido entre o pilar e o ponto de encontro da viga com o pilar

real, ver figura II.3. Esta estrutura foi chamada de modelo 1.

Daqui por diante, o pilar modelado com elemento finito de barra será

referenciado como pilar barra, (PB). Da mesma forma, se o pilar for modelado com

elemento finito de casca, será chamado de pilar casca, (PC).

32

Figura II.3 – Discretização de vigas e pilares de um pavimento tipo como elemento de

barra.

33

Na segunda modelagem, definida como modelo 2, as vigas foram discretizadas

como elementos finito de barra e os pilares como elemento finito de casca.

As vigas apoiam-se em todo o pilar casca quando do encontro entre esses dois

tipos de elementos finitos, conforme figura II.4. A figura II.5 mostra a discretização das

vigas e pilares para um pavimento tipo.

Figura II.4 – Vista lateral da viga como elemento finito de barra, e pilar como elementos

de casca.

Os pilares que iniciam na fundação foram considerados engastados no nível

0,00m, com todos os seis graus de liberdade restringidos. Na figura II.6, mostra-se a

discretização de cada trecho dos pilares-parede como elementos de casca.

34

Figura II.5 – Discretização de vigas como elemento de barra e pilares como elemento

casca de um pavimento tipo.

35

Figura II.6 – Discretização de trecho de cada pilar-parede.

Os trechos comuns aos pilares e às vigas foram consideradas como trechos

rígidos (ver figura II.7), utilizando-se fatores de rigidez. Fator de rigidez é o valor com o

qual se multiplica o comprimento de interseção pilar / viga para se obter o comprimento

efetivo do trecho rígido. Segundo o projeto de revisão da NBR 6118/00, o comprimento

efetivo depende das dimensões das vigas (altura) e pilares. A tabela II.2 apresenta os

fatores utilizados neste trabalho. Para simular a grande rigidez horizontal da laje,

utilizou-se o conceito de diafrágma no plano XY em cada pavimento. Este conceito

36 está implementado no programa SAP 2000 sendo considerado, em cada andar, apenas

os graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos no plano Ux, Uy e θz de um

único nó.

Figura II.7 – Trecho rígido na ligação pilar / viga

Tabela II.2: Valores dos fatores de rigidez nas ligações pilares/vigas. Pilares

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8/P13 P9/P15 P10 P11/P18 P12/P17 P14 P16

Fator

de

Rigidez 0,85 0,87 0,79 0,62 0,91 0,66 0,70 0,60 0,61 0,33 0,63 0,58 0,64 0,65

As reações das lajes nas vigas foram calculadas utilizando-se a teoria de ruptura

das placas.

A consideração das imperfeições geométricas globais, baseou-se no método da

rotação dos apoios desenvolvido por PONTES (1999). Em seguida analisou-se a

estrutura, mantendo o carregamento vertical atuante e realizando análise não-linear

geométrica tipo P – Delta pelo SAP – 2000. Neste estudo considerou-se o eixo de

rotação coincidindo com a origem do sistema global de referência. O cálculo dos

deslocamentos prescritos foi realizado conforme mostrado a seguir :

o desaprumo estimado para a estrutura foi θa = 0,0024216 rad calculado pela

equação

21

2

111

+= na θθ (II.6)

onde h = 74,10m é a altura total da estrutura, n = 18 é o número de elementos verticais

contínuos e θ1 = θ1min = 0,0033333 rad obtido conforme descrito no item I.3.5 do

37 capítulo I. Este método foi considerado nas duas direções ortogonais durante as análises

estruturais efetuadas.

Translação na direção do eixo Z dos nós da base = dzi

(dzi)x = θa . xi = translação na direção do eixo Z dos nós da base devido à rotação

dos mesmos nós da base em torno do eixo Y. (II.7)

(dzi)y = θa . yi = translação na direção do eixo Z dos nós da base devido à rotação

dos mesmos nós da base em torno do eixo X. (II.8)

Onde:

θa = rotação dos nós da base.

xi = coordenada x do nó i da base.

yi = coordenada y do nó i da base.

As tabelas A.3 e A.4 do anexo apresentam os valores das coordenadas dos nós

da base e os deslocamentos prescritos para aplicação do método das rotações dos apoios

respectivamente.

Para simular a não-linearidade física, como consequência dos efeitos de

fissuração nos pilares e vigas, considerou-se uma rigidez à flexão para estes elementos

estruturais igual a

(EI) sec. = 0,7 Ec Ic (II.9)

Pelo projeto de revisão da Norma NBR 6118/00, a rigidez à torção das vigas e

pilares na fase fissurada deve ser considerada igual a 0,15 da rigidez à torção elástica.

Desprezou-se os efeitos da alvenaria na contribuição da rigidez lateral da

estrutura.

II.7 ANÁLISES REALIZADAS

Neste estudo foram realizadas análises de 1ª e 2ª ordem nas combinações 1 e 2

para o modelo 1.

Entretanto, para a combinação 3, só foi realizada análise de 2ª ordem, já que o

método utilizado para simular a imperfeição geométrica global, ou seja, o método da

rotação dos apoios, não gera esforços em análise de 1ª ordem.

No modelo 2, foram realizadas somente análises de 1ª ordem, nas combinações 1

e 2 , pois o SAP não oferece resultados confiáveis em análises de 2ª ordem, quando os

pilares são modelados como casca e, a combinação 3 que representa o edifício sob a

38 ação da imperfeição geométrica global pelo uso do método da rotação dos apoios, não

gera esforços em análise de 1ª ordem. Em qualquer outro método para simular a

imperfeição geométrica global é possível realizar uma análise linear.

Nas análises não-lineares geométricas adotou-se como critério de convergência,

o número máximo de 10 iterações e uma tolerância dos deslocamentos relativos de 10-6

m.

II.7.1 Análises de 1ª ordem

Para os estudos comparativos foram feitos três tipos de análises.

● Análise 1

Análise de 1ª ordem na fase elástica, considerando as reduções das rigidezes à

flexão dos elementos estruturais para representar a fissuração. Análise realizada no

modelo 1 utilizando-se as combinações 1 e 2.

▪Combinação 1 / combinação 2

● Análise 2

Análise de 1ª ordem na fase elástica, com reduções das rigidezes à flexão dos elementos

estruturais para representar a fissuração. Análise realizada no modelo 2 com as

combinações 1 e 2.

▪Combinação 1 / combinação 2

● Análise 3

Análise de 1ª ordem na fase elástica realizada nos modelos 1 e 2. Considerou-se

as reduções das rigidezes à flexão dos elementos estruturais para representar a

fissuração. De acordo com o carregamento, o caso de comparação de resultados são :

▪ Combinação 1 do modelo 1 / combinação 2 do modelo 1 / combinação 1 do modelo 2 /

combinação 2 do modelo 2.

II.7.2 Análises de 2ª ordem

Para este caso foi feito apenas uma análise.

39 ● Análise 4

Análise não-linear geométrica P-delta na fase fissurada, onde se utilizou o

fator de 0,7 nas rigidezes à flexão de todos os elementos para simular a não-linearidade

física. Análise realizada no modelo 1 com as combinações 1, 2 e 3.

▪ Combinação 1 / combinação 2 / combinação 3.

II.7.3 Análises de 1ª com 2ª ordem

São válidas as mesmas considerações da análise 3 em 1ª ordem, assim como as

considerações da análise 4 em 2ª ordem, para o modelo 1. Combinações de

carregamentos para comparação de resultados:

● Análise 5

▪ Combinação 1 em 1ª e 2ª ordem / combinação 2 em 1ª e 2ª ordem / combinação 3 em

2ª ordem, do modelo 1.

40 CAPÍTULO III ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste capítulo, são apresentados os resultados das análises numéricas realizadas

com os modelos utilizando-se os casos de combinações de ações descritos

anteriormente. Ressalta-se que tais combinações corresponderam ao estado limite

último. Diante da demanda de tempo para uma análise detalhada do comportamento dos

esforços internos e deslocamentos de todos os elementos da estrutura, escolheu-se

apenas os pilares P3 e P18. As variáveis investigadas para o estudo foram:

• deslocamentos nas direções X e Y dos pilares P3 e P18 ;

• esforços normais nos pilares P3 e P18 ;

• momentos fletores em torno dos eixos X e Y, devido a atuação do vento

isoladamente nas direções Y e X respectivamente, para os pilares P3 e P18;

• momentos torçores em torno do eixo Z, com atuação do vento isoladamente nas

direções X e Y, para os pilares P3 e P18 ;

• reações de apoio;

É mostrada na figura III.1 a representação esquemática dos nós nas seções dos

pilares P3 e P18 simulados como elemento de casca, para facilitar a interpretação dos

resultados nas análises. Por simplicidade, o pilar simulado por elemento finito de casca,

será chamado pilar casca (PC), e o simulado por elemento finito de barra por pilar barra

(PB).

Figura III.1 – Nós dos pilares P3 e P18 como elementos finitos de casca.

41 III.1 DESLOCAMENTOS LATERAIS

Os deslocamentos laterais nas direções X e Y, correspondem à combinação

freqüente última das ações.

Nas análises lineares, os deslocamentos laterais obtidos são devidos a ação do

vento, bem como das cargas permanentes e sobrecargas acidentais, pois que a estrutura

não é simétrica.

Nas análises não lineares, além das ações comentadas no parágrafo anterior, há

também os deslocamentos laterais devido aos efeitos de 2ª ordem.

III.1.1 DESLOCAMENTOS LATERAIS NA DIREÇÃO X

Análise 1

Neste item compara-se os resultados da combinação de ações 1 com a

combinação de ações 2. Estas análises foram realizadas no modelo 1 e são do tipo linear

elástica.

A figura III.2 apresenta os gráficos dos deslocamentos horizontais na direção X

do pilar P3, para as combinações 1 e 2, com atuação do vento na direção X.

02468

101214161820222426

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20δX (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1

Comb 2

Figura III.2 – Deslocamento horizontal δx no pilar P3 do modelo 1.

Observa-se que os deslocamentos na combinação 1, são maiores que os da

combinação 2. A relação entre eles aumenta à medida que a altura cresce. Até o 2°

42 pavimento nas duas combinações, os deslocamentos são praticamente iguais. Isto se

deve ao fato que, a influência do vento como ação principal no sentido do

deslocamento, é maior que os deslocamentos devido às cargas permanentes.

02468

101214161820222426

0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800Deslocamento lateral na direção X (m)

PA

VIM

EN

TO

S

Comb 1Comb 2

Figura III.3 – Deslocamento horizontal δx no pilar P18 do modelo 1.

Na figura III.3 estão representadas as curvas dos deslocamentos horizontais na

direção X em cada andar do pilar P18 para as combinações 1 e 2.

Observa-se novamente que, os deslocamentos para a combinação 1 são bem

maiores que os da combinação 2. Entretanto, os valores dos deslocamentos nas duas

combinações 1 e 2, começam a se diferenciar a partir do térreo. Similarmente ao

observado no pilar P3, a relação entre os deslocamentos aumenta à medida que a altura

cresce. Os valores dessas relações encontram-se na tabela III.1.

Tabela III.1 – Relação entre os deslocamentos laterais em X dos pilares P3 e P18 na

análise 1.

P3 P18

LAJE COMB 1

(x 10-2 m)

(A)

COMB 2

(x 10-2 m)

(B)

(A) / (B) COMB 1

(x 10-2 m)

(C)

COMB 2

(x 10-2 m)

(D)

(C) / (D)

5ª 1,49 1,19 1,252 1,29 0,60 2,14

10ª 4,27 3,51 1,217 3,03 1,34 2,26

15ª 7,68 6,43 1,194 4,42 1,84 2,40

20ª 11,42 9,7 1,177 5,32 2,08 2,56

26ª 16,04 13,84 1,159 5,78 2,07 2,79

43 A diferença entre os deslocamentos laterais do P3 e P18 para um mesmo andar e

uma mesma combinação de ações, deve-se ao fato da estrutura e carregamento não

serem simétricos, ocasionando rotação em torno do eixo vertical, mesmo considerando

apenas as cargas permanentes.

Da tabela acima, conclui-se que em cada pilar a relação entre os deslocamentos nas

combinações 1 e 2, permanecem praticamente constantes, havendo pequenas variações

para menos no P3. Para o pilar P18 essa relação é maior e aumenta um pouco com a

altura, por ser menos rígido, e também a influência da rigidez das vigas que interagem

com o pilar ser menor que no P3.

Análise 2

Comparam-se os resultados da combinação de ações 1 com a combinação de

ações 2. Estas análises foram realizadas no modelo 2 e são do tipo linear elástica.

02468

101214161820222426

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

δx (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 - Ponto A`Comb 1 - Ponto B`Comb 1 - Ponto C`Comb 1 - Ponto D`Comb 2 - Ponto A`Comb 2 - Ponto B`Comb 2 - Ponto C`Comb 2 - Ponto D`

Figura III.4 – Deslocamento lateral δx no pilar P3 do modelo 2

Na figura III.4 apresentam-se os gráficos dos deslocamentos horizontais na

direção X para o pilar P3 do edifício 2, ou seja, pilar modelado como casca, nas

combinações 1 e 2 de carregamento, em regime linear elástico fissurado.

Até o segundo pavimento, os deslocamentos laterais em X são praticamente

iguais. A partir deste nível, os deslocamentos na combinação 1 crescem mais

rapidamente do que os da combinação 2. Observa-se no gráfico que, os pontos C’ e D’

44 têm os mesmos deslocamentos nas duas combinações. Os valores das relações entre os

deslocamentos encontram-se na tabela III.2. Observa-se que, à medida que cresce a

altura, a relação entre as combinações 1 e 2 diminui. Como não há simetria tanto na

estrutura, como no carregamento, ocorre torção no prédio, ocasionando deslocamentos

diferentes em pontos distintos de uma mesma seção submetida a certo carregamento.

Esse efeito de torção na seção do pilar depende, além da própria rigidez, das rigidezes

das vigas que convergem ao pilar. É o que ocorre com o pilar P3, vento em X, com

torção em suas seções transversais influenciada pelas vigas que chegam nele.

45

Tabela III.2 – Relação entre os deslocamentos laterais em X, do pilar P3 na análise 2.

COMBINAÇÃO

COMBINAÇÃO 1 (x 10-2 m) COMBINAÇÃO 2 (x 10-2 m) COMBINAÇÃO 1 / COMBINAÇÃO 2

PAVIMENTO

A’ B’ C’ D’ A’ B’ C’ D’ A’ B’ C’ D’

5ª 1,48 1,50 1,51 1,51 1,12 1,15 1,19 1,19 1,32 1,30 1,27 1,27

10ª 4,45 4,55 4,64 4,64 3,46 3,58 3,70 3,70 1,27 1,27 1,25 1,25

15ª 8,19 8,43 8,67 8,67 6,47 6,73 6,99 6,99 1,27 1,25 1,24 1,24

20ª 12,32 12,74 13,16 13,16 9,88 10,30 10,72 10,72 1,25 1,24 1,23 1,27

26ª 17,43 18,10 18,77 18,77 14,18 14,82 15,46 15,46 1,23 1,22 1,21 1,21

46

02468

101214161820222426

0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700

DESLOCAMENTO LATERAL NA DIREÇÃO X (m)

PAV

IMEN

TOS

COMB 1 - Ponto ACOMB 1 - Ponto BCOMB 1 - Ponto CCOMB 2 - Ponto ACOMB 2 - Ponto BCOMB 2 - Ponto C

Figura III.5 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P18 do modelo 2.

A figura III.5 refere-se aos deslocamentos horizontais na direção X do pilar P18

casca, nas combinações 1 e 2 de carregamento em análise de 1ª ordem.

Não há praticamente variações de deslocamentos laterais em X em cada ponto

do pilar P18 de uma mesma seção, nos dois casos de combinações 1 e 2. Porém, nota-se

que, ao longo da altura do pilar, os deslocamentos crescem muito mais rapidamente na

combinação 1 do que na combinação 2, ou seja, há grande influência da ação do vento

sobre a estrutura, em comparação com a sobrecarga, conforme tabela III.3.

Tabela III.3 – Relação entre os deslocamentos laterais em X, do pilar P18 na análise 2.

PAVIMENTO COMBINAÇÃO 1 (A)

(cm) COMBINAÇÃO 2 (B)

(cm)

(A) / (B)

5ª

1,19

0,14

8,5

10ª

2,84

0,26

10,92

15ª

4,31

0,35

12,31

20ª

5,49

0,44

12,48

26ª

6,46

0,55

11,75

47

Análise 3

Na análise 3 estuda-se o comportamento dos deslocamentos laterais em X dos

pilares P3 e P18, modelados como barra e casca, nas combinações 1 e 2 de

carregamento, em análise linear.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

δX (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 - Modelo 2 - Ponto A`Comb 1 - Modelo 2 - Ponto B`Comb 1 - Modelo 2 - Ponto C`Comb 1 - Modelo 2 - Ponto D`Comb 2 - Modelo 2 - Ponto A`Comb 2 - Modelo 2 - Ponto B`Comb 2 - Modelo 2 - Ponto C`Comb 2 - Modelo 2 - Ponto D`Comb 1 - Modelo 1Comb 2 - Modelo 1

Figura III.6 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P3, dos modelos 1 e 2.

A figura III.6 mostra os deslocamentos laterais na direção X, do pilar P3 dos

modelos 1 e 2, nas combinações 1 e 2 em análise linear.

Neste caso, como tem-se quatro valores de deslocamentos em cada seção no

pilar casca, obtém-se a média desses valores, para comparar com os resultados do pilar

barra. Essas análises, estão resumidas na tabela III.4. Observa-se que, do térreo até o 6°

pavimento os deslocamentos laterais em X para o pilar P3, casca e barra, são

aproximadamente iguais. A partir do 7° pavimento esses deslocamentos no P3 casca

começam a crescer mais que o P3 barra, chegando a uma maior diferença na laje da

coberta, com diferenças percentuais de 13,90 % e 8,24 % nas combinações 1 e 2

respectivamente, para o pilar P3 casca, conforme tabela III.4.

48

024

68

1012

14161820

222426

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

δX (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 - Modelo 2 - Ponto A' Comb 1 - Modelo 2 - Ponto B' Comb 1 - Modelo 2 - Ponto C' Comb 2 - Modelo 2 - Ponto A' Comb 2 - Modelo 2 - Ponto B' Comb 2 - Modelo 2 - Ponto C' Comb 1 - Modelo 1Comb 2 - Modelo 1

Figura III.7 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P18 nos modelos 1 e 2.

Na figura III.7 têm-se os deslocamentos laterais na direção X dos modelos 1 e 2,

no pilar P18, nas combinações 1 e 2 em análise linear.

Observa-se que, na combinação 1 de carregamento, os deslocamentos em X do

pilar P18 casca e barra, praticamente coincidem até o 17° pavimento. Daí em diante, o

P18 casca deforma-se mais que o P18 barra, tendo uma diferença percentual a mais de

11,77 % na laje da coberta.

Na combinação 2 de carregamento, o pilar P18 barra, desloca-se, muito mais do

que o pilar P18 casca desde o térreo até a laje da coberta, ocorrendo no pavimento 15 a

maior diferença percentual, cujo valor é de aproximadamente 425%. Entre o 23°

pavimento e a laje da coberta, o deslocamento do pilar barra decresce. Na tabela III.5, é

apresentada as comparações de resultados dos deslocamentos em X, do pilar P18, nas

combinações 1 e 2 em 1ª ordem.

49

Tabela III.4 – Resultados dos deslocamentos em X do pilar P3, (PC) versus (PB), para as combinações 1 e 2 em análise linear.

COMBINAÇÕES

VALORES MÉDIOS PARA O PILAR

CASCA ( cm)

VALORES DO PILAR BARRA ( cm)

LAJE

COMB 1

(E) COMB 2

(F) COMB 1

(G) COMB 2

(H)

(E) / (G)

(F) / (H)

5ª 1,50 1,16 1,49 1,19 1,007 0,975

10ª 4,57 3,61 4,27 3,51 1,070 1,029

15ª 8,49 6,80 7,68 6,43 1,106 1,058

20ª 12,85 10,41 11,42 9,70 1,125 1,073

26ª 18,27 14,98 16,04 13,84 1,139 1,082

Observa-se da tabela III.4 que os valores dos deslocamentos laterais em X das

seções transversais do pilar P3, nos dois modelos 1 e 2, modelados respectivamente

como pilar barra, e casca, são muito próximos, ocorrendo variação máxima de 13,90%

na laje da coberta na combinação 1. Na combinação 2 os valores dos deslocamentos

praticamente coincidem, chegando a uma maior diferença de 8,2% na laje de coberta

para o (PC).

Tabela III.5 - Deslocamentos em X do pilar P18 (PC) versus (PB), para as combinações 1 e 2 em análise linear.

COMBINAÇÕES


CASCA ( cm)

VALORES DO PILAR BARRA ( cm)

LAJE

COMB 1

(E) COMB 2

(F) COMB 1

(G) COMB 2

(H)

(G) / (E)

(H) / (F)

5ª 1,19 0,14 1,29 0,60 1,084 4,286

10ª 2,84 0,26 3,03 1,34 1,067 5,154

15ª 4,31 0,35 4,42 1,84 1,026 5,257

20ª 5,49 0,44 5,32 2,08 0,969 4,727

26ª 6,46 0,55 5,78 2,07 0,895 3,764

50

Da tabela III.5, nota-se que os deslocamentos laterais em X do pilar P18

praticamente coincidem na combinação 1, para os pilares (PB) e (PC). Por outro lado,

na combinação 2 os valores desses deslocamentos no P18 barra é bem maior que no P18

casca. Este fato é devido à maior influência da carga permanente no deslocamento

lateral sobre o pilar modelado como elemento de barra, principalmente nos pavimentos

inferiores, para este pilar P18.

Análise 4

Nesta análise, estuda-se os deslocamentos laterais em X dos pilares P3 e P18 do

modelo 1, ou seja, pilares modelados como barra, nas combinações de carregamento 1,

2 e 3, em uma análise não linear tipo P-∆.

02468

101214161820222426

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20δx (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3

Figura III.8 – Deslocamento lateral na direção X do pilar P3 no modelo 1.

02468

101214161820222426

-0,0200 0,0000 0,0200 0,0400 0,0600

Deslocamento lateral em X (m)

PAV

IMEN

TOS

Combinação 1Combinação 2Combinação 3


51

Observa-se das figuras III.8 e III.9 que, em ambos os pilares P3 e P18 a

imperfeição geométrica global origina deslocamentos menores que os provocados pela

ação do vento como carregamento principal ou secundário. A ação do vento como

carregamento principal, são os responsáveis pelos maiores deslocamentos em X. Na

tabela III.6, estão os resultados desses deslocamentos dos pilares P3 e P18.

52

Tabela III.6 - Deslocamentos em X do pilar P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em análise não linear.

COMBINAÇÃO P3 P18

P3 (cm) P18 (cm) LAJE

1 2 3 1 2 3

COMB 1 ÷

COMB 3

COMB 2 ÷

COMB 3

COMB 1 ÷

COMB 2

COMB 1 ÷

COMB 3

COMB 2 ÷

COMB 3

COMB 1 ÷

COMB 2

5ª 1,64 1,35 1,29 1,35 0,59 0,24 1,271 1,046 2,770 5,625 2,458 2,288

10ª 4,75 4,03 3,99 3,13 1,23 0,45 1,19 1,01 2,348 6,956 2,733 2,545

15ª 8,54 7,38 7,26 4,50 1,58 0,27 1,176 1,016 2,371 16,667 5,852 2,848

20ª 12,64 11,05 10,96 5,32 1,65 -0,02 1,153 1,008 2,590 266 82,5 3,224

26ª 17,61 15,58 15,51 5,68 1,45 -0,55 1,135 1,005 3,055 10,327 2,636 3,917

53

Observa-se da tabela III.6 que, para o pilar P3 os valores dos deslocamentos em

X, nas combinações 2 e 3 estão muito próximos, pois há uma grande rigidez na região

do pórtico espacial onde se encontra este pilar às cargas tanto horizontais quanto

verticais. Esta rigidez cresce pela contribuição das vigas que chegam no P3. Ambos os

pilares P3 e P18, quando submetidos à ação do vento como principal geram

deslocamentos muito maiores que os provocados pelas combinações 2 e 3.

Análise 5

Estudo realizado no modelo 1, com todas as combinações de carregamentos

utilizadas, em análises lineares e não lineares.

02468

101214161820222426

0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000

Deslocamento lateral em X (m)

PAV

IMEN

TOS

Comb 1 - 1ª OrdemComb 1 - 2ª OrdemComb 2 - 1ª OrdemComb 2 - 2ª OrdemComb 3 - 2ª Ordem


02468

101214161820222426

-0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

δX (m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.11 – Deslocamento lateral na direção X no pilar P18 do modelo 1.

54

Nota-se do gráfico da figura III.10 que, a combinação 1 de carregamento, ou

seja, a ação do vento em análise de 2ª ordem, é quem provoca maiores deslocamentos

em X em todos os pavimentos do pilar P3. A imperfeição geométrica global apresenta

os menores deslocamentos em relação às combinações 1 e 2 em análise não linear. A

combinação 2 em análise linear é quem provoca os menores deslocamentos em todos os

pavimentos.

Pelo gráfico da figura III.11 a combinação 1 de carregamento, ou seja, a ação do

vento em análise de 2ª ordem, é quem gera maiores deslocamentos em X do térreo ao

20º pavimento. Do 21º ao 26º pavimento a combinação 1 em 1ª ordem provoca maiores

deslocamentos. A imperfeição geométrica global apresenta os menores deslocamentos.

Nas tabelas III.7 e III.8, são apresentadas as comparações de resultados dos

deslocamentos em X, dos pilares P3 e P18 respectivamente.

55

Tabela III.7 - Resultados dos deslocamentos em X do pilar P3 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem.

RESULTADOS DO P3 (cm)

COMBINAÇÃO LAJE

1 – 1ª ORDEM (A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(B) / (E) (E) / (C)

5ª 1,50 1,64 1,19 1,35 1,29 1,271 1,084

10ª 4,27 4,75 3,51 4,03 3,99 1,190 1,137

15ª 7,68 8,54 6,43 7,38 7,26 1,176 1,129

20ª 11,42 12,64 9,70 11,05 10,96 1,153 1,130

26ª 16,04 17,61 13,84 15,58 15,51 1,135 1,121

56

Tabela III.8 - Resultados dos deslocamentos em X do pilar P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem.


COMBINAÇÃO LAJE

1 – 1ª ORDEM (A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(B) / (E) (C) / (E)

5ª 1,29 1,35 0,60 0,59 0,24 5,625 2,5

10ª 3,03 3,13 1,34 1,23 0,45 6,96 2,98

15ª 4,42 4,50 1,84 1,58 0,27 16,67 6,815

20ª 5,32 5,32 2,08 1,65 -0,02 266 104

26ª 5,78 5,68 2,07 1,45 -0,55 10,33 3,764

57

Da tabela III.7 nota-se que no pilar P3 barra, os deslocamentos laterais em X nas

análises em 2ª ordem são sempre maiores que nas análises lineares para todas as

combinações de carregamento. Também observa-se que a combinação 1 em 2ª ordem

de carregamento geram os maiores deslocamentos, onde a relação entre esta

combinação e a combinação 3 dão maiores valores, e decrescem com a altura.

Já para o pilar P18, conforme tabela III.8, ocorrem também maiores

deslocamentos em X no carregamento que considera a ação do vento como ação

principal, seguido da combinação 1 em 1ª ordem. Na combinação 1 de carregamento,

nos pavimentos mais elevados, precisamente a partir do 21º pavimento até a coberta os

deslocamentos oriundos do carregamento em regime linear, são maiores que os devidos

aos respectivos carregamentos em regime não linear. Isto reflete a menor influência da

ação do vento na deslocabilidade lateral nesses pavimentos. A imperfeição geométrica

global gera os menores deslocamentos em X, em todos os pavimentos.

III.1.2 DESLOCAMENTO LATERAL NA DIREÇÃO Y

Análise 1

02468

101214161820222426

-0,18 -0,16 -0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1

Comb 2

Figura III.12 – Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P3 do modelo 1.

Nesta análise, considera-se as combinações 1 e 2 de carregamento em análise

linear, atuando nos pilares P3 e P18 barra.

58

Neste modelo, devido à forma e à não simetria da estrutura, as cargas

permanentes deslocam o prédio na direção –Y, sem a consideração da ação do vento.

Assim, a pior situação de carregamento ocorre quando o vento atua na direção –Y.

Observa-se que os deslocamentos laterais em -Y do P3 do modelo 1 na

combinação 1, são maiores que os da combinação 2. A relação entre esses

deslocamentos diminui à medida que a altura cresce. Até o 1° pavimento nas duas

combinações 1 e 2, os deslocamentos são praticamente iguais.

02468

101214161820222426

-0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1

Comb 2

Figura III.13 – Deslocamento lateral na direção Y do pilar P18 do modelo 1, com as


Aqui também, os deslocamentos laterais em -Y do P18 do modelo 1 na

combinação 1 são maiores que os da combinação 2. Porém, os valores dos

deslocamentos nas duas combinações 1 e 2, começam a se diferenciar a partir do térreo.

Também a relação entre esses deslocamentos diminui à medida que a altura cresce. Os

valores dessas relações encontram-se na tabela III.9.

59

Tabela III.9 - Relação entre os deslocamentos laterais em -Y dos pilares P3 e P18 do modelo 1 na análise 1.

LAJE

Desloc. em -Y do

P3 na comb 1

(cm)

(A)

Desloc. em -Y do

P3 na comb 2

(cm)

(B)

(A)/(B)

Desloc. em -Y do

P18 na comb 1

(cm) (C)

Desloc. em -Y do

P18 na comb 2

(cm) (D)

(C)/(D)

5ª -1,47 -0,87 1,689 -1,76 -1,09 1,615

10ª -4,45 -2,74 1,624 -5,40 -3,47 1,556

15ª -8,16 -5,18 1,575 -9,98 -6,60 1,512

20ª -12,11 -7,87 1,539 -14,93 -10,09 1,479

26ª -16,78 -11,18 1,501 -20,88 -14,43 1,447

60

Nesta tabela III.9, observa-se que nos dois pilares P3 e P18, a combinação 1 de

carregamento gera maiores deslocamentos laterais em –Y que a combinação 2. A

relação entre os valores dos deslocamentos das combinações 1 e 2 em cada pilar P3 e

P18 é praticamente constante e em torno da média de 1,5.

Análise 2

Considera-se nesta análise 2, os deslocamentos horizontais em –Y para os

pilares P3 e P18 modelados como elemento casca, submetidos às combinações 1 e 2 de

carregamento, considerando-se comportamento linear.

02468

101214161820222426

-0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

COMB 1 - Ponto A`COMB 1 - Ponto B`COMB 1 - Ponto C`COMB 1 - Ponto D`COMB 2 - Ponto A`COMB 2 - Ponto B`COMB 2 - Ponto C`COMB 2 - Ponto D`

Figura III.14 - Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P3 no modelo 2.

Na figura III.14 em cada uma das duas combinações 1 e 2, os pontos A’, B’ e C’

se deslocam em –Y com valores iguais, em todas as seções transversais do P3, por isso

nesta figura só é mostrado os pontos para C’ e D’.

Observa-se que, os deslocamentos provocados pela combinação 1 são maiores

que os provocados pela combinação 2, em todos os níveis a partir do 1º pavimento. Nas

duas combinações os quatro pontos nodais A’, B’, C’ e D’ se deslocam de valores iguais

do térreo até o 2º pavimento. O maior deslocamento horizontal em –Y ocorre na laje da

coberta para a combinação 1, com valores 0,16 metros no ponto nodal D’, e 0,152

metros nos outros pontos nodais. Para a combinação 2, esses deslocamentos laterais

61

ocorrem também na laje da coberta, com valores 0,0914 metros no ponto nodal D’, e

0,0855 metros nos outros pontos nodais.

02468

101214161820222426

-0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

COMB 1 - Ponto A' COMB 1 - Ponto B' COMB 1 - Ponto C' COMB 2 - Ponto A' COMB 2 - Ponto B' COMB 2 - Ponto C'


Na figura III.15 nota-se que em cada uma das duas combinações 1 e 2, os pontos

nodais A’, B’ e C’ se deslocam em -Y com valores desiguais em todas as seções

transversais do P18, a partir do 4º pavimento. Isto é causado pela distorção torcional do

pilar- parede nestes pavimentos. Do térreo até o 3º pavimento, os pontos nodais em cada

combinação têm deslocamentos iguais. Assim, este pilar sofre uma distorção torcional a

partir do 4º pavimento.

Nota-se que, os deslocamentos provocados pela combinação 1 são maiores que

os provocados pela combinação 2, em todos os níveis a partir do 1º pavimento. O maior

deslocamento horizontal em –Y ocorre na laje da coberta para a combinação 1, com

valores 0,197 metros no ponto nodal C’, 0,189 metros no ponto nodal B’ e 0,182

metros no ponto nodal A’. Para a combinação 2, esses deslocamentos laterais ocorrem

também na laje da coberta, com valores 0,119 metros no ponto nodal C’, 0,114 metros

no ponto nodal B’ e 0,108 no ponto nodal A’.

62

Tabela III.10 Deslocamentos em -Y do pilar P3 do modelo 2, nas combinações 1 e 2 de carregamento, em análise linear.

DESLOCAMENTO (m)

COMBINAÇÃO 1 COMBINAÇÃO 2 COMBINAÇÃO 1 / COMBINAÇÃO 2

PAVIMENTO

A’ B’ C’ D’ A’ B’ C’ D’ A’ B’ C’ D’

3ª 0,0062 0,0062 0,0062 0,0064 0,0031 0,0031 0,0031 0,0033 2 2 2 1,939

5ª 0,0144 0,0144 0,0144 0,015 0,0073 0,0073 0,0073 0,0077 1,973 1,973 1,973 1,948

10ª 0,0429 0,0429 0,0429 0,0448 0,0223 0,0223 0,0223 0,0237 1,924 1,924 1,924 1,890

15ª 0,077 0,077 0,077 0,0806 0,0411 0,0411 0,0411 0,0437 1,874 1,874 1,874 1,844

20ª 0,1121 0,1121 0,1121 0,1175 0,0613 0,0613 0,0613 0,0654 1,829 1,829 1,829 1,797

26ª 0,1522 0,1522 0,1522 0,0855 0,0855 0,0855 0,0855 0,0914 1,780 1,780 1,780 1,751

63

Tabela III.11 - Resultados dos deslocamentos em -Y do pilar P18 do modelo 2, nas combinações 1 e 2 de carregamento, em análise linear. Unidade : metro

COMBINAÇÃO (m)

1 2COMBINAÇÃO 1 ÷ COMBINAÇÃO 2

LAJE

A’ B’ C’ A’ B’ C’ A’ B’ C’

3ª 0,0071 0,0073 0,0076 0,0037 0,0064 0,0041 1,919 1,141 1,854

5ª 0,0167 0,0172 0,178 0,0089 0,0093 0,0097 1,876 1,849 1,835

10ª 0,0502 0,0519 0,0537 0,0276 0,0289 0,0302 1,819 1,796 1,778

15ª 0,0908 0,0941 0,0974 0,0513 0,0537 0,0561 1,769 1,752 1,736

20ª 0,1332 0,1382 0,1433 0,077 0,0808 0,0846 1,729 1,710 1,694

26ª 0,1824 0,1896 0,1968 0,1083 0,1138 0,1193 1,684 1,661 1,649

64

Pela tabela III.10, a relação entre esses deslocamentos diminui à medida que a

altura cresce. Do 3º ao 5º pavimento esta relação fica em torno de 2, diminuindo ao

valor 1,78 na laje de coberta. Verifica-se assim, a diminuição da influência da ação do

vento nos pavimentos mais elevados, em ambos os pilares.

Observando a tabela III.11, a relação entre esses deslocamentos diminui à medida

que a altura cresce. Do 3º ao 5º pavimento esta relação fica em torno de 1,75,

diminuindo ao valor médio de 1,67 na laje de coberta. Verifica-se assim, a diminuição

da influência da ação do vento nos pavimentos mais elevados em ambos os pilares (PB)

e (PC).

Análise 3

02468

101214161820222426

-0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 - modelo 2 - Ponto A`Comb 1 - modelo 2 - Ponto B`Comb 1 - modelo 2 - Ponto C`Comb 1 - modelo 2 - Ponto D`Comb 2 - modelo 2 - Ponto A`Comb 2 - modelo 2 - Ponto B`Comb 2 - modelo 2 - Ponto C`Comb 2 - modelo 2 - Ponto D`Comb 1 - modelo 1Comb 2 - modelo 1

Figura III.16 – Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P3, dos modelos 1 e 2.

Da figura III.16, como tem-se dois valores de deslocamentos em cada seção no

pilar casca, obtêm-se a média desses valores, para comparar com os resultados do pilar

barra. Essas análises, estão resumidas na tabela III.12. Observa-se desta tabela que, do

térreo até o 4° pavimento, e do térreo ao 1º pavimento, os deslocamentos laterais em -Y

para o pilar P3, (PB) e (PC), são aproximadamente iguais para a combinação 1 e 2

respectivamente. A partir do 4° pavimento essses deslocamentos no P3 barra começam

65

a crescer mais que o P3 casca, chegando a uma maior diferença na laje de coberta, com

diferenças percentuais de 7,7% e 25,8% nas combinações 1 e 2 respectivamente. Ainda

verifica-se que, os resultados na combinação 1 em análise linear dos deslocamentos

laterais em -Y do pilar P3 barra, praticamente coincidem com os do pilar P3 casca. Já

para a combinação 2 em análise linear do P3, do térreo até o 10º pavimento, os valores

dos deslocamentos horizontais em –Y são muito próximos nos pilares P3 barra, e P3

casca. A partir daí até a laje de coberta, os resultados desses deslocamentos no pilar P3

barra são em média 21% maiores que no pilar P3 casca.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-0,2500 -0,2000 -0,1500 -0,1000 -0,0500 0,0000

d-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 - modelo 2 - Ponto A' Comb 1 - modelo 2 - Ponto B' Comb 1 - modelo 2 - Ponto C' Comb 2 - modelo 2 - Ponto A' Comb 2 - modelo 2 - Ponto B' Comb 2 - modelo 2 - Ponto C' Comb 1 - modelo 1Comb 2 - modelo 1

Figura III.17 – Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P18, dos modelos 1 e 2.

Observando a figura III.17, têm-se que nas combinações 1 e 2 de carregamento

do pilar P18 casca e barra, os deslocamentos em -Y, praticamente coincidem do térreo

até o 1º pavimento. Após, o P18 casca deforma-se lateralmente em -Y mais que o P18

barra, com maiores valores na combinação 1 para o P18 casca, e na combinação 2 para

o P18 barra.

Nas combinações 1 e 2 de carregamento, o pilar P18 casca, desloca-se em -Y,

muito mais do que o pilar P18 barra, desde o 1º pavimento até a laje de coberta,

ocorrendo nessa última laje os maiores deslocamentos laterais, tendo o pilar casca na

combinação 1, em seus pontos nodais A’, B’ e C’, os valores mais elevados 0,1824

66

metros, 0,1896 metros e 0,1968 metros respectivamente. Na tabela III.13, é apresentada

as comparações de resultados dos deslocamentos em -Y, do pilar P18 barra e casca, nas

combinações 1 e 2 em análise linear. Desta tabela nota-se que os resultados das

comparações são bem maiores na combinação 1, diminuindo esses valores na direção

dos pavimentos superiores. Também na combinação 2, os resultados dessas

comparações, decrescem na direção dos pavimentos superiores, porém os resultados do

pilar P18 casca chega no máximo a 50% a mais que no pilar P18 barra, próximo ao 5º

pavimento.

Tabela III.12 - Resultados dos deslocamentos em -Y do pilar P3, (PC) versus (PB), para as combinações 1 e 2 em 1ª ordem. Unidade : metro

COMBINAÇÕES (m)


CASCA

VALORES DO PILAR BARRA

PAVIMENTO

COMB 1

(E) COMB 2

(F) COMB 1

(G) COMB 2

(H)

(G) / (E)

(H) / (F)

5ª 0,015 0,008 0,015 0,009 1 1,125

10ª 0,044 0,023 0,045 0,027 1,023 1,174

15ª 0,079 0,042 0,082 0,052 1,038 1,238

20ª 0,115 0,063 0,121 0,079 1,052 1,254

26ª 0,156 0,089 0,168 0,112 1,077 1,258

67

Tabela III.13 - Resultados dos deslocamentos em -Y do pilar P18, (PC) versus (PB), para as combinações 1 e 2 em análise linear. Unidade : metro

COMBINAÇÕES (m)


CASCA

VALORES DO PILAR BARRA

PAVIMENTO

COMB 1

(E) COMB 2

(F) COMB 1

(G) COMB 2

(H)

(E) / (G)

(F) / (H)

5ª 0,017 0,009 0,005 0,006 3,4 1,5

10ª 0,052 0,029 0,017 0,020 3,06 1,45

15ª 0,094 0,054 0,036 0,041 2,601 1,32

20ª 0,138 0,081 0,059 0,065 2,34 1,246

26ª 0,189 0,114 0,089 0,097 2,12 1,175

Análise 4

Nesta análise 4, estudam-se os deslocamentos laterais em –Y dos pilares P3 e

P18 do modelo 1, numa análise não linear, nas combinações 1, 2 e 3.

A ação do vento provoca deslocamentos laterais maiores da estrutura na direção

–Y, que, na direção Y. Logo, será a direção de interesse para as análises.

02468

101214161820222426

-0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3


68

0246

81012141618

20222426

-0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3


Das figuras III.18 e III.19, observa-se que, em ambos os pilares P3 e P18 a

consideração da imperfeição geométrica global origina os menores deslocamentos

laterais em -Y, com a ação do vento como carregamento principal, responsáveis pelos

maiores deslocamentos em -Y. Na tabela III.14, estão os resultados dos deslocamentos

desses pilares. O pillar P18 devido à sua inércia ser menor que a do pilar P3, sofre

maior influência das ações quanto aos deslocamentos horizontais em –Y. Os maiores

valores de comparação se dá entre as combinações 1 e 3, chegando o deslocamento da

combinação 1 do pilar P3 ser cerca de 87% maior do que na combinação 3, no 5º

pavimento, e cerca de 70% maior, no deslocamento para a combinação 1, em relação à

combinação 3 do pilar P18, no 5º pavimento. Os valores dos deslocamentos laterais nos

pilares P3 e P18, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, crescem no sentido dos

andares superiores, porém as comparações desses deslocamentos nessas combinações

decrescem no mesmo sentido.

69

Tabela III.14 - Comparação de resultados dos deslocamentos em -Y dos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 2ª ordem. Unidade : centímetro

COMBINAÇÃO (cm) P3 P18

P3 P18 PAVIMENTO

1 2 3 1 2 3

COMB 1 ÷

COMB 3

COMB 2 ÷

COMB 3

COMB 1 ÷

COMB 2

COMB 1 ÷

COMB 3

COMB 2 ÷

COMB 3

COMB 1 ÷

COMB 2

5ª -1,76 -1,09 -0,94 -2,13 -1,38 -1,25 1,872 1,16 1,615 1,704 1,104 1,543

10ª -5,43 -3,49 -3,17 -6,65 -4,44 -4,18 1,713 1,101 1,556 1,591 1,062 1,498

15ª -9,99 -6,58 -5,95 -12,30 -8,41 -7,85 1,679 1,106 1,518 1,567 1,071 1,463

20ª -14,79 -9,95 -9,08 -18,31 -12,75 -11,97 1,629 1,10 1,486 1,53 1,065 1,436

26ª -20,40 -14,00 -12,85 -25,40 -18,01 -16,96 1,588 1,089 1,457 1,498 1,062 1,410

70

Análise 5

Na análise 5, têm-se os deslocamentos laterais em –Y dos pilares P3 e P18 do

modelo 1, oriundos das combinações 1, 2 e 3 de carregamento, com análises lineares, e

não lineares.

02468

101214161820222426

-0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.20 – Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P3 no modelo 1.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00

δ-Y (m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.21 – Deslocamento lateral na direção -Y do pilar P18 no modelo 1.

Nota-se dos gráficos das figuras III.20 e III.21 que, a combinação 1 de

carregamento, ou seja, a ação do vento em análise não linear, é quem provocam maiores

deslocamentos em -Y, vindo em seguida os deslocamentos provocados pela

71

combinação 1 em análise de 1ª ordem. A combinação 2 em 1ª ordem geram os menores

deslocamentos em –Y, com a ação da imperfeição geométrica global responsáveis pelos

segundos menores deslocamentos nessa direção. Nas tabelas III.15 e III.16, são

apresentadas as comparações de resultados dos deslocamentos em -Y, dos pilares P3 e

P18 respectivamente.

72

Tabela III.15 -Resultados dos deslocamentos em -Y do pilar P3 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em análises de 1ª e 2ª ordem. Unidade : centímetro


COMBINAÇÃO PAVIMENTO

1 – 1ª ORDEM (A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(B) / (E) (E) / (C)

5ª -1,47 -1,76 -0,87 -1,09 -0,94 1,872 1,08

10ª -4,45 -5,43 -2,74 -3,49 -3,17 1,713 1,157

15ª -8,16 -9,99 -5,18 -6,58 -5,95 1,679 1,149

20ª -12,11 -14,79 -7,87 -9,95 -9,08 1,629 1,154

26ª -16,78 -20,40 -11,18 -14,00 -12,85 1,588 1,149

73

Tabela III.16 - Resultados dos deslocamentos em -Y do pilar P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem. Unidade : centímetro


PAVIMENTO

COMBINAÇÃO

1 – 1ª ORDEM (A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(B) / (E) (E) / (C)

5ª -1,76 -2,13 -1,09 -1,38 -1,25 1,704 1,147

10ª -5,40 -6,65 -3,47 -4,44 -4,18 1,591 1,205

15ª -9,98 -12,30 -6,60 -8,41 -7,85 1,567 1,189

20ª -14,93 -18,31 -10,09 -12,75 -11,97 1,53 1,186

26ª -20,88 -25,40 -14,43 -18,01 -16,96 1,498 1,175

74

Das tabelas III.15 e III.16 conclui-se que os deslocamentos laterais em –Y dos

pilares P3 e P18, na combinação 1 de carregamento em análise não linear, são em média

cerca de 70 % e 60% maiores que os provocados pela combinação 3 em análise não

linear, respectivamente nos pilares P3 e P18. Em todos os casos de carregamento nos

dois pilares, seus deslocamentos laterais crescem com a altura.

III.2 ESFORÇOS NORMAIS

Análise 1

Nesta análise o comportamento linear quanto aos esforços normais dos pilares

P3 e P18 barra é estudado, nas combinações 1 e 2 de carregamento, com ação do vento

em X ou Y.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1

Comb 2

Figura III.22 – Esforço normal do pilar P3 no modelo 1.

Conforme figura III.22, nota-se que, os esforços normais do P3 do modelo 1,

com ação do vento em X, devidos à combinação 2 de carregamento em análise de 1ª

ordem são maiores, conforme figura III.22. Da 14ª à 26ª laje os gráficos comportam-se

praticamente de forma linear, indicando que a taxa de transferência de cargas em cada

pavimento para o pilar é constante. Nas lajes abaixo da 14ª, os gráficos mostram-se com

comportamento não linear e, à medida que se aproxima do térreo, as cargas aumentam

numa maior proporção, alcançando o valor máximo no térreo.

75

02

468

10121416

182022

2426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1

Comb 2

Figura III.23 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1.

Observa-se da figura III.23 que, os esforços normais no pilar P18 do modelo 1,

com ação do vento em X, são maiores na combinação 2 de carregamento em análise de

1ª ordem. Também, nas duas combinações 1 e 2, a variação dos esforços é linear. Isto

significa que a taxa de transferência de carga para o pilar em cada pavimento é

constante.

Na tabela III.17 são apresentadas as comparações de resultados dos esforços

normais, dos pilares P3 e P18.

76

Tabela III.17 - Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1 e 2 de carregamento, em 1ª ordem, ação do vento em X.

PAVIMENTO

Esforço normal do P3

na combinação 1 (kN)

(A)



(B)

(B)/A) Esforço normal do P18


(C)



(D)

(D)/(C)

Térreo 8935 10625 1,19 10048 11016 1,10

5ª 8066 9464 1,17 8520 9361 1,10

10ª 6628 7692 1,16 6470 7191 1,11

15ª 4852 5596 1,15 4469 5036 1,13

20ª 2880 3309 1,15 2547 2912 1,14

26ª 312 371 1,19 351 408 1,16

77

Observa-se da tabela III.17 que, os esforços normais nos pilares P3 e P18,

devido a ação da combinação 2 de carregamento, são maiores que na combinação 1. Isto

quer dizer que, a ação do vento na estrutura, majorado como ação principal, no pilar em

análise, gera maiores esforços normais. No pilar P3 (PB), a relação entre as

combinações de carregamento 2 e 1 decresce com a altura, voltando a crescer na laje de

coberta. No pilar P18 (PB), essa relação cresce com a altura.

0

2

4

68

10

12

14

16

1820

22

24

26

0 5000 10000 15000

P (kN)

PAV

IMEN

TOS

Combinação 1

Combinação 2


No caso da figura III.24, os esforços normais no P3 do modelo 1, com ação do

vento em Y, devido à combinação 1 de carregamento é maior que na combinação 2, até

o 3° pavimento. No 4º pavimento as combinações 1 e 2 geram os mesmos valores, onde

a partir daí há uma inversão, passando a combinação 2 de carregamento a produzir

maiores esforços normais.

78

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000P (kN)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2


Observa-se da figura III.25 que, os maiores valores dos esforços normais do

pilar P18 do modelo 1, com ação do vento em Y, nas combinações 1 e 2 em análise

linear, são gerados pela combinação 2 de carregamento, atingindo o valor máximo no 1º

pavimento, ocorrendo uma pequena redução no térreo. A variação dos esforços normais,

ao longo dos pavimentos, nas duas combinações 1 e 2, ocorre de maneira linear.

Na tabela III.18 são apresentadas as comparações de resultados dos esforços

normais, onde nota-se que no pilar P3 a relação entre os esforços normais nas

combinações 2 e 1 crescem ao longo da altura, chegando a 34,77% de diferença na laje

de coberta. No pilar P18 essa relação permanece praticamente constante ao longo da

altura, com uma diferença percentual em torno de 16%.

79

Tabela III.18 - Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1 e 2 de carregamento, em análise linrar, ação do vento em Y.

PAVIMENTO


na combinação 1(kN)

(A)



(B)

(B)/(A)



(C)



(D) (D)/(C)

Térreo 12157 11914 0,98 9139 10651 1,17

5ª 10230 10329 1,01 7792 9069 1,16

10ª 7617 8086 1,06 6029 7014 1,16

15ª 5092 5690 1,12 4255 4951 1,16

20ª 2757 3259 1,18 2478 2885 1,16

26ª 259 349 1,35 348 407 1,17

80

Análise 2

Nesta análise, estuda-se o comportamento linear quanto aos esforços normais

dos pilares P3 e P18 casca, nas combinações 1 e 2 de carregamento, com ação do vento

em X ou Y.

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

2 2

2 4

2 6

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0

P (k N )

PA

VIM

EN

T

C om b 1

C om b 2

Figura III.26 – Esforço normal no pilar P3 do modelo 2, vento em X.

Da figura III.26, os esforços normais no P3 do modelo 2, com ação do vento em

X, devido à combinação 2 de carregamento é maior que na combinação 1, em todos os

pavimentos. Do 16ª à 26ª laje os gráficos têm comportamento praticamente lineares nas

duas combinações, indicando que a taxa de transferência de cargas em cada pavimento

para o pilar é constante. À medida que se aproxima do térreo a partir do 16º pavimento,

os gráficos de ambas as combinações de carregamento mostram uma transferência de

cargas aumentando numa maior proporção, alcançando o valor máximo no térreo de

valor 10630,55 kN para a combinação 2 de carregamento.

81

02

468

10121416

182022

2426

0 5000 10000 15000

P (kN)

PA

VIM

EN

T

Comb 1Comb 2

Figura III.27 – Esforço normal no pilar P3 do modelo 2, vento na direção Y.

Analisando a figura III.27, observa-se que, nas combinações 1 e 2 de

carregamento em análise linear do pilar P3 casca, vento em Y, os esforços normais

praticamente coincidem do térreo até a última laje. Do térreo até o 5º pavimento a

combinação 1 gera esforços normais pouco maiores. Do 6º até a última laje, há uma

inversão, com os valores na combinação 2 sendo maiores. Do 7º ao 26º pavimento

ocorre uma variação linear desses esforços, e uma variação não linear do térreo até o 7º

pavimento para a combinação 2. Na combinação 1 têm-se uma taxa de transferência de

cargas constante em todos os pavimentos. O máximo valor desse esforço no térreo é de

12195,66 kN e 11581,72 kN nas combinações 1 e 2 respectivamente.

82

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

2 2

2 4

2 6

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0P (k N )

PA

VIM

EN

T

C o m b 1C o m b 2

Figura III.28 – Esforço normal no pilar P18 do modelo 2, vento na direção X.

Da figura III.28, observa-se que, nas combinações 1 e 2 em análise linear de

carregamento do pilar P18 casca, vento em X, os esforços normais estão com valores

muito próximos, onde a combinação 2 gera os maiores esforços, desde o térreo até a

última laje. Ocorre uma variação linear desses esforços, nas duas combinações, em

todos os níveis. O maior valor desse esforço, ocorre no térreo com valores de 11272,82

kN e 10427,26 kN nas combinações 2 e 1 respectivamente.

0246

81012141618

20222426

0 5000 10000

P (KN)

PA

VIM

ENT

O

Combinação 1Combinação 2

Figura III.29 – Esforço normal no pilar P18 do modelo 2, vento na direção Y.

83

Pela figura III.29, nota-se que, nas combinações 1 e 2 de carregamento em

análise linear do pilar P18 casca, vento em Y, os esforços normais nas combinações 2 e

1 crescem a uma taxa linear em direção ao térreo, com valor dessa taxa muito maior

para a combinação 1.O maior valor desse esforço, ocorre no térreo com valores de 9428

kN e 1105 kN nas combinações 1 e 2 respectivamente.

Análise 3

Nesta análise 3, o comportamento linear quanto aos esforços normais nos pilares

P3 e P18 dos modelos 1 e 2 são estudados, nas combinações 1 e 2 de carregamento,

com ação do vento em X ou Y.

02468

1 01 21 41 61 82 02 22 42 6

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0P (k N )

PA

VIM

EN

T

C o m b 1 - m o d e lo 2C o m b 2 - m o d e lo 2C o m b 1 - m o d e lo 1C o m b 2 - m o d e lo 1

Figura III.30 – Esforço normal no pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção X.

Na figura III.30 observa-se que, no pilar P3 dos modelos 1 e 2, com ação do

vento na direção X, nas combinações 1 e 2 em análise de 1ª ordem, do térreo até a 26ª

laje, os maiores esforços normais ocorrem para a combinação 2 em pilar barra e casca,

onde produzem esforços normais coincidentes e maiores que as outras combinações. A

variação desses esforços ao longo da altura não obedece uma lei linear. O maior valor

desses esforços é 10630 kN para a combinação 2 casca.

84

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000P (kN)

PA

VIM

EN

TO

Com b 1 - m odelo 2Com b 2 - m odelo 2Com b 1 - m odelo 1Com b 2 - m odelo 1

Figura III.31 – Esforço normal no pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção X.

Da figura III.31 nota-se que, para o pilar P18 dos modelos 1 e 2, com ação do

vento na direção X, nas combinações 1 e 2 em análise de 1ª ordem, do térreo até a 21ª

laje, os maiores esforços normais ocorrem para a combinação 2 em pilar casca e barra,

nessa ordem, onde produzem esforços normais próximos e maiores que as outras

combinações no topo dos tramos dos pavimentos. Da 22ª à 26ª laje esses esforços

normais realmente coincidem para os modelos 1 e 2 na combinação 2. A taxa de

variação desses esforços ao longo da altura obedece uma lei linear. O maior valor desses

esforços é, 11273 kN para a combinação 2 casca, na fundação.

85

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 5000 10000 15000

P (kN)

PA

VIM

EN

TO

C om b 1 - m odelo 2C om b 2 - m odelo 2C om b 1 - m odelo 1C om b 2 - m odelo 1

Figura III.32 – Esforço normal no pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y.

Pela figura III.32 do pilar P3 dos modelos 1 e 2, com ação do vento na direção

Y, nas combinações 1 e 2 em análise de 1ª ordem, do térreo até o 4º pavimento, os

maiores esforços normais na base dos tramos ocorrem para a combinação 1 para os

modelos 2 e 1, nessa ordem, onde produzem esforços normais maiores que as outras

combinações no topo dos tramos dos pavimentos. A partir do 5º pavimento até a 26ª laje

os modelos 1 e 2 na combinação 2 de carregamento apresentam os maiores esforços

normais. Porém, nos dois modelos 1 e 2, nas combinações 1 e 2 de carregamentos os

valores dos esforços normais são muito próximos em cada pavimento. A taxa de

variação desses esforços ao longo da altura obedece uma lei linear em todos os

pavimentos. O maior valor desses esforços é, 12196 kN para a combinação 1 casca, na

fundação.

86

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PA

VIM

EN

TO

C om b 1 - m odelo 2C om b 2 - m odelo 2C om b 1 - m odelo 1C om b 2 - m odelo 1

Figura III.33 – Esforço normal no pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção

Y

Observando a figura III.33 do pilar P18 dos modelos 1 e 2, com ação do vento

na direção Y, nas combinações 1 e 2 em análise linear, nota-se que, do térreo até o 26º

pavimento os maiores esforços normais ocorrem no topo dos tramos para as

combinações 2 e 1 em pilar barra, nessa ordem, onde produzem esforços normais

maiores que as outras combinações no topo e na base dos tramos dos pavimentos. A

taxa de variação desses esforços ao longo da altura obedece uma lei linear. O maior

valor desses esforços é, 11058 kN para a combinação 2 barra, no topo do térreo.

Análise 4

Nesta análise 4 estuda-se o comportamento não linear quanto aos esforços

normais dos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento,

com ação do vento e imperfeição geométrica global, em X ou Y.

87

02468

101214161820222426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN) - compressão

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3

Figura III.34 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 1, vento na direção X.

Observando a figura III.34, do pilar P3 do modelo 1, com ação do vento na

direção X, nas combinações 1, 2 e 3 em 2ª ordem, nota-se que os maiores esforços

normais ocorrem para as combinações 2 e 3 de carregamento. Do térreo até o 18º

pavimento, a combinação 2 gera maiores valores desses esforços, porém muito

próximos dos gerados pela combinação 3. A partir do 19º pavimento até a 26ª laje, as

combinações 2 e 3 produzem esforços normais coincidentes. A variação desses esforços

ao longo da altura do pilar não obedece a uma lei linear, ou seja, a taxa de variação

desses esforços com a altura não é constante.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PAV

IMEN

TOS


Figura III.35 – Esforço normal do pilar P18 do modelo 1, vento na direção X.

88

Pela figura III.35, vê-se que no pilar P18 do modelo 1, com ação do vento na

direção X, nas combinações 1, 2 e 3 em 2ª ordem, os maiores esforços normais ocorrem

também para as combinações 2 e 3 de carregamento. Do térreo até o 22º pavimento, a

combinação 2 gera maiores valores desses esforços. A partir do 23º pavimento até a 26ª

laje, as combinações 2 e 3 produzem esforços normais coincidentes. A variação desses

esforços ao longo da altura do pilar obedece a uma lei linear, ou seja, a taxa de variação

desses esforços com a altura é constante.

02

468

10121416

182022

2426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000


PAV

IMEN

TOS


Figura III.36 – Esforço normal do pilar P3 do modelo 1, vento na direção Y.

Na figura III.36, o pilar P3 do modelo 1, com ação do vento em Y, nas

combinações 1, 2 e 3 em 2ª ordem, verifica-se que, do térreo até o 5º pavimento, a

combinação 1 gera maiores valores dos esforços normais. No 6º pavimento, as

combinações 1 e 2, geram mesmos esforços, e maiores que os provocados pela

combinação 3. Há uma inversão no 7º andar, quando a combinação 2 provoca maiores

esforços normais que a combinação 1 e 3. Do 8º ao 18º pavimento, a ordem decrescente

de quem provoca maiores esforços normais são as combinações 2, 3 e 1 nessa ordem. A

partir do 19º pavimento até a 26ª laje, as combinações 2 e 3 produzem esforços normais

coincidentes, e maiores que a combinação 1. A variação desses esforços ao longo da

altura do pilar obedece a uma lei linear, ou seja, a taxa de variação desses esforços com

a altura é constante.

89

02468

101214161820222426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000


PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3


Y.

Nota-se da figura III.37 que, no pilar P18 do modelo 1, com ação do vento em

Y, nas combinações 1, 2 e 3 em 2ª ordem, do térreo até o 11º pavimento, a combinação

3 gera maiores valores dos esforços normais, porém muito próximos dos valores na

combinação 2. Do 12º pavimento até a 26ª laje, as combinações 3 e 2, geram mesmos

esforços, e maiores que os provocados pela combinação 1. Os maiores esforços,

ocorrem no 1º pavimento. A variação desses esforços ao longo da altura do pilar

obedece a uma lei linear, ou seja, a taxa de variação desses esforços com a altura é

constante.

90

Tabela III.19 - Resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 2ª ordem, ação do vento em X. Unidade: kN

COMBINAÇÃO P3 P18

P3 P18LAJE 1

(A)

2

(B)

3

(C)

1

(D)

2

(E)

3

(F)

(B) ÷ (A) (B) ÷ (C) (C) ÷ (A) (E) ÷ (D) (E) ÷ (F) (F) ÷ (D)

Térreo 8504 10090 9979 10059 10969 10733 1,19 1,01 1,17 1,09 1,02 1,07

1ª 8415 10001 9890 10102 11011 10775 1,19 1,01 1,18 1,09 1,02 1,07

5ª 7710 9026 8945 8520 9313 9120 1,17 1,01 1,16 1,09 1,02 1,07

10ª 6429 7450 7409 6457 7148 7023 1,16 1,01 1,15 1,11 1,02 1,09

15ª 4801 5534 5518 4453 5008 4947 1,15 1,00 1,15 1,12 1,01 1,11

20ª 2913 3344 3344 2537 2899 2877 1,15 1,00 1,15 1,14 1,01 1,13

26ª 325 387 387 350 405 405 1,19 1,00 1,19 1,16 1,00 1,16

91

Tabela III.20 - Comparação de resultados dos esforços normais nos pilares P3 e P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 2ª ordem, ação do vento em Y. Unidade : kN.

COMBINAÇÃO P3 P18

P3 P18PAVIMENTO 1

(A)

2

(B)

3

(C)

1

(D)

2

(E)

3

(F)

(B) ÷

(A) (B) ÷ (C) (C) ÷

(A) (E) ÷ (D) (E) ÷ (F) (F) ÷ (D)

Térreo 12309 11660 11353 9134 10595 10657 0,95 1,03 0,92 1,16 0,99 1,17

1º 12220 11571 11264 9176 10638 10699 0,95 1,03 0,92 1,16 0,99 1,17

5º 10340 10114 9856 7784 9017 9065 0,98 1,03 0,95 1,16 0,99 1,16

10º 7663 7960 7796 6019 6973 7001 1,04 1,02 1,02 1,16 1,00 1,16

15º 5104 5658 5582 4247 4938 4938 1,11 1,01 1,09 1,16 1,00 1,16

20º 2762 3284 3268 2473 2878 2878 1,19 1,00 1,18 1,16 1,00 1,16

26º 260 362 362 348 406 406 1,39 1,00 1,39 1,17 1,00 1,17

92

Da tabela III.19 verifica-se que nos dois pilares P3 e P18, os maiores esforços

normais em uma seção arbitrária ocorrem para a combinação 2 de carregamento, vindo

em seguida os maiores valores para a combinação 3. No pilar P18, nas três combinações

de carregamento, os maiores valores desses esforços ocorrem no 1º pavimento.

Observa-se que os valores das relações entre as combinações de carregamento varia

muito pouco, chegando no máximo a 1,1569 na laje de coberta para o pilar P18 na

relação combinação 3 por combinação 1, e para o pilar P3, o valor máximo desta

relação é de 1,1885 e ocorre no 1º pavimento, para a relação combinação 2 /

combinação 1.

Observando a tabela III.20, para o pilar P3 do térreo até o 10º pavimento, os

esforços normais nas três combinações de carregamento têm valores muito próximos

um do outro. Do 11º ao 25º pavimento essa relação aumenta, chegando a 1,3887 na laje

de coberta para a relação combinação 3 / combinação 1, ou, combinação 2 / combinação

1. Nota-se assim, a pequena influência do desaprumo e da ação do vento nos

pavimentos inferiores, na variação dos esforços normais para o pilar P3.

Análise 5

Na análise 5, estuda-se o comportamento linear e não linear quanto aos esforços

normais dos pilares P3 e P18 nos dois modelos 1 e 2, nas combinações 1, 2 e 3 de

carregamento, com ação do vento e imperfeição geométrica global, em X ou Y.

02468

101214161820222426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PAV

IMEN

TOS

Combinação 1 - 1ª OrdemCombinação 1 - 2ª OrdemCombinação 2 - 1ª OrdemCombinação 2 - 2ª OrdemCombinação 3 - 2ª Ordem


93

Observa-se da figura III.38 que, no pilar P3 do modelo 1, com ação do vento na

direção X, nas combinações 1, 2 e 3 em 1ª e 2ª ordem, do térreo até o 17º pavimento, os

maiores esforços normais ocorrem para as combinações 2 em 1ª e 2ª ordem, e 3 em 2ª

ordem de carregamento, nessa ordem, vindo em seguida as combinações 1 em 1ª e 2ª

ordem respectivamente. No 18º pavimento, a combinação 2 em 1ª e 2ª ordem, e a

combinação 3 em 2ª ordem geram maiores valores desses esforços e iguais entre si. A

partir do 19º pavimento até a 26ª laje, as combinações 2 e 3, em 2ª ordem, produzem

esforços normais coincidentes e maiores que as outras combinações. A seguir, na ordem

decrescente de valores aparecem as combinações 2 em 1ª ordem, 1 em 2ª ordem e 1 em

1ª ordem. A variação desses esforços ao longo da altura do pilar não obedece a uma lei

linear, ou seja, a taxa de variação desses esforços com a altura não é constante.

02468

101214161820222426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PAVI

MEN

TOS



Da figura III.39, para o pilar P18 do modelo 1, com ação do vento na direção X,

nas combinações 1, 2 e 3 em 1ª e 2ª ordem, os maiores esforços normais ocorrem

também para as combinações 2 e 3 de carregamento. Do térreo até o 21º pavimento, a

combinação 2 em 1ª ordem gera maiores valores desses esforços, vindo a seguir em

ordem decrescente os esforços oriundos da combinação 2 em 2ª ordem, a combinação 3

em 2ª ordem, e a combinação 1 em 1ª e 2ª ordem com valores idênticos. A partir do 22º

pavimento até a 26ª laje, as combinações 2 em 1ª e 2ª ordem, e 3 em 2ª ordem,

produzem esforços normais coincidentes, porém, maiores que os provocados pelas

94

combinações 1 em 1ª e 2ª ordem com iguais valores. A variação desses esforços ao

longo da altura do pilar obedece a uma lei linear, ou seja, a taxa de variação desses

esforços com a altura é constante.

02468

101214161820222426

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

P (kN)

PAV

IMEN

TOS



Y.

Pela figura III.40, o pilar P3 do modelo 1, com ação do vento em Y, nas

combinações 1, 2 e 3 em 1ª e 2ª ordem, do térreo até o 4º pavimento, a combinação 1

em 2ª ordem gera maiores valores dos esforços normais, vindo a seguir em ordem

decrescente as combinações, 1 em 1ª ordem, 2 em 1ª ordem, 2 em 2ª ordem e 3 em 2ª

ordem. No 5º pavimento, as combinações 1 em 2ª ordem e 2 em 1ª ordem, geram

mesmos esforços, e maiores que os provocados pelas combinações 1 em 1ª ordem, 2 em

2ª ordem e 3 em 2ª ordem, nessa seqüência Do 6º ao 8º pavimento, a ordem das

combinações de carregamento, em função dos valores decrescentes dos esforços

normais são, combinação 2 em 1ª ordem, 1 em 2ª ordem, 1 em 1ª ordem, 2 em 2ª ordem

e 3 em 2ª ordem. Do 9º ao 13º pavimento, a ordem decrescente de quem provoca

maiores esforços normais são as combinações 2 em 1ª ordem, 1 em 2ª ordem, 1 em 1ª

ordem, 2 em 2ª ordem e 3 em 2ª ordem. Do 14º ao 20º pavimento, têm-se as

combinações 2 em 1ª ordem, 2 em 2ª ordem, 3 em 2ª ordem e 1 em 1ª e 2ª ordem iguais,

produzindo esforços normais, com valores decrescentes, conforme ordem das

combinações anterior. A partir do 21º pavimento até a 26ª laje, as combinações 2 em 1ª

e 2ª ordem e 3 em 2ª ordem, produzem esforços normais coincidentes, e maiores que as

combinações 1 em 1ª e 2ª ordem. A variação desses esforços ao longo da altura do pilar

95

obedece a uma lei linear do 10º pavimento à 26ª laje, ou seja, a taxa de variação desses

esforços com a altura é constante. Porém, do térreo até o 9º pavimento, a variação dos

esforços com a altura não é linear, logo, a taxa de variação desses esforços com a altura

é variável.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

P (kN)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.41 – Esforço normal do pilar P18 no modelo 1 , com ação do vento na direção

Y.

Observa-se da figura III.41 que, no pilar P18 do modelo 1, com ação do vento

em Y, nas combinações 1, 2 e 3 em 1ª e 2ª orde, do térreo até 14º pavimento, as

combinações 3 em 2ª ordem e 2 em 1ª ordem,geram esforços normais idênticos, e

maiores que os provocados por combinação 2 em 2ª ordem, que por sua vez, são

maiores que os gerados pelas combinações 1 em 1ª e 2ª ordem. Do 15º pavimento até a

26ª laje, as combinações 3 em 2ª ordem, 2 em 1ª e 2ª ordem, geram mesmos esforços, e

maiores que os provocados pelas combinações em 1ª e 2ª ordem que têm valores

idênticos em todos os pavimentos. Os maiores esforços, ocorrem no 1º pavimento. A

variação desses esforços ao longo da altura do pilar obedece a uma lei linear, ou seja, a

taxa de variação desses esforços com a altura é constante.

Da tabela III.21, verifica-se que nas combinações 1 e 2 de carregamento, com

atuação do vento na direção X, os resultados dos esforços normais no pilar P3, são

maiores para análise linear em relação à análise não linear, desde o térreo ao 15º

96

pavimento. Do 16º ao 25º pavimento a análise não linear geram maiores esforços

normais, que nas análises lineares. Também o efeito do desaprumo com as cargas

permanentes, dão valores para os esforços normais muito próximos dos provocados pela

combinação 2 em análise de 1ª ordem. As maiores relações nas várias formas de

carregamento, se dá entre a combinação 2 em análise linear, e a combinação 1 em

análise não linear, onde a maior diferença no térreo chega a 25%, para o pilar P3.

Observando a tabela III.22, verifica-se que na combinação 1 de carregamento,

com atuação do vento na direção X, os resultados dos esforços normais no pilar P18,

são maiores para análise não linear em relação à análise linear, desde o térreo ao 5º

pavimento. Do 6º ao 25º pavimento a análise linear geram maiores esforços normais que

nas análises não lineares.

Para a combinação 2 de carregamento, a análise linear geram maiores esforços

normais em todos os pavimentos. Também o efeito do desaprumo com as cargas

permanentes, dão valores para os esforços normais muito próximos dos provocados pela

combinação 2 em análise de 1ª ordem. As maiores relações nas várias formas de

carregamento, se dá entre a combinação 2 e a combinação 1, em análise linear, onde a

maior diferença no 25º pavimento chega a 16,09%, para o pilar P18.

97

Tabela III.21 - Resultados dos esforços normais do pilar P3 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem, vento em X. Unidade : kN

RESULTADOS DO P3

COMBINAÇÃO PAVIMENTO 1 – 1ª ORDEM

(A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(C) / (B) (E) / (C)

Térreo 8935 8504 10625 10090 9979 1,25 1,05

1ª 8845 8415 10536 10001 9890 1,25 1,05

5ª 8066 7710 9464 9026 8945 1,23 1,05

10ª 6628 6429 7692 7450 7409 1,20 1,03

15ª 4852 4802 5596 5534 5518 1,17 1,01

20ª 2880 2913 3309 3347 3344 1,14 0,99

26ª 312 325 371 387 387 1,14 0,96

98

Tabela III.22 - Resultados dos esforços normais do pilar P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem, vento em X. Unidade : kN.

RESULTADOS DO P18


(A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(C) / (A) (E) / (C)

Térreo 10048 10059 11016 10969 10733 1,10 1,00

1ª 10090 10102 11059 11011 10775 1,10 1,00

5ª 8520 8520 9361 9313 9120 1,10 1,01

10ª 6470 6457 7191 7148 7027 1,11 1,01

15ª 4469 4453 5036 5008 4947 1,13 1,01

20ª 2547 2537 2912 2899 2878 1,14 1,00

26ª 351 350 408 406 405 1,16 1,00

99

Tabela III.23 - Resultados dos esforços normais , vento emY, do pilar P3 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem. Unidade : kN.

RESULTADOS DO P3


(A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(E) / (B) (C) / (E)

Térreo 121574 12309 11914 11660 11353 0,97 1,02

1ª 12068 12220 11825 11571 11264 0,97 1,02

5ª 10230 10340 10329 10114 9856 1,00 1,02

10ª 7617 7663 8086 7960 7796 1,06 1,02

15ª 5092 5104 5690 5658 5582 1,11 1,01

20ª 2757 2762 3259 3283 3268 1,18 1,00

26ª 259 260 349 359 362 1,34 0,97

100

Tabela III.24 - Resultados dos esforços normais , vento emY, do pilar P18 do modelo 1, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento, em 1ª e 2ª ordem. Unidade : kN.

RESULTADOS DO P18


(A)

1 – 2ª ORDEM (B)

2 – 1ª ORDEM (C)

2 – 2ª ORDEM (D)

3 – 2ª ORDEM (E)

(E) / (B) (E) / (C)

Térreo 9139 9134 10651 10595 10657 1,17 1,01

1ª 9182 9176 10694 10638 10699 1,17 1,01

5ª 7792 7784 9069 9017 9065 1,16 1,01

10ª 6029 6019 7014 6973 7001 1,16 1,01

15ª 4255 4247 4951 4926 4938 1,17 1,01

20ª 2478 2473 2885 2874 2878 1,67 1,00

26ª 348 348 407 405 406 1,17 1,00

101

Da tabela III.23, verifica-se que na combinação 1 de carregamento, com atuação

do vento na direção Y, os resultados dos esforços normais no pilar P3, são maiores para

análise não linear em relação à análise linear, em todos os pavimentos. Para a

combinação 2, os esforços normais são maiores para análise linear, do térreo ao 15º

pavimento.Do 16º ao 25º pavimento a análise não linear gera maiores esforços

normais.Também o efeito do desaprumo mais as cargas permanentes, dão valores para

os esforços normais muito próximos dos provocados pela combinação 2 em análise em

análise linear, em todos os pavimentos. As maiores relações nas várias formas de

carregamento, se dá entre a combinação 3, e a combinação 1, ambas em análise não

linear, onde a maior diferença na coberta chega a 34,16%, para o pilar P3.

Observando a tabela III.24, nota-se que a combinação 3 de carregamento em

análise não linear, com atuação do vento na direção Y, produzem esforços normais

maiores no pilar P18, do térreo ao 4º pavimento. Do 5º ao 25º pavimento a análise linear

na combinação 2 geram maiores esforços normais que nas outras análises.

Para a combinação 2 de carregamento, a análise linear gera maiores esforços normais

em todos os pavimentos. O efeito do desaprumo mais as cargas permanentes, originam

esforços normais com valores muito próximos dos provocados pela combinação 2 em

análise de 1ª e 2ª ordem. As maiores relações nas várias formas de carregamento,

ocorrem entre a combinação 3 e a combinação 1, em análise não linear, com a maior

diferença na laje de coberta de 16,96%, para o pilar P18.

III.3 MOMENTOS FLETORES

Neste item será realizado um estudo dos momentos fletores em torno dos eixos

X e Y, nos pilares P3 e P18, resultantes das análises 1, 2, 3, 4 e 5, nos modelos 1 e 2.

Como os esforços resultantes da ação do vento podem ter o sinal trocado dependendo do

sentido do vento, para as comparações considerou-se o valor absoluto do momento.

III.3.1 MOMENTOS FLETORES EM TORNO DO EIXO X

Análise 1

Nesta análise estuda-se o comportamento linear dos pilares P3 e P18

quanto aos momentos fletores em torno do eixo X, nas combinações 1 e 2 de

carregamento do modelo 1.

102

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-50 0 50 100 150 200 250 300

MX (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1

Comb 2


combinações 1 e 2 em 1ª ordem, vento em Y.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

MX (kN.m)

PAV

IMEN

TOS

Comb 1Comb 2



Analisando a figura III.42, observa-se que, no pilar P3, tanto nas combinações 1

quanto 2, os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos inferiores, tendo-

se valor máximo no térreo de 265,56 kNm, para a combinação 2 de carregamento, onde

este valor é quase 4 vezes o valor da média dos outros valores das bases dos tramos.

Para a combinação 1, o valor máximo também no térreo é de 219,06 kN.m. Nota-se

103

também, que os momentos resultantes da combinação 1, que considera a ação do vento

como ação variável principal, são maiores que os da combinação 2, do 3º até o 19º

pavimento.

Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 têm valores praticamente

constantes para as seções do topo dos tramos do 12º ao 25º pavimento, e nas seções da

base dos tramos do 18º pavimento à 25ª laje. Para a combinação 2 no P3, têm-se valores

praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 5º até o 25º

pavimento, e para as seções da base dos tramos entre o 19º pavimento e a 26ª laje.

Já na figura III.43, observa-se que, no pilar P18, tanto nas combinações 1 quanto

2, os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos superiores, tendo-se

valor máximo na seção da base do 25º pavimento de 8,30 kNm para a combinação 2 de

carregamento, onde este valor é cerca de 4 vezes o valor da média dos outros

pavimentos. Para a combinação 1, o valor máximo do momento fletor na seção do topo

do térreo é de 6,22 kN.m, que é aproximadamente o dobro da média dos demais

pavimentos. Na combinação 2, têm-se valores dos momentos fletores nas seções da base

e do topo dos tramos, maiores que na combinação 1, com exceção nas seções da base do

térreo ao 6º pavimento, e na seção do topo do térreo. O maior momento fletor na

fundação é devido à combinação 1, cujo valor é de 4,19 kN.m.


constantes para as seções da base dos tramos do 8º ao 22º pavimento, e nas seções do

topo dos tramos entre o 14º e o 24ª pavimento. Para a combinação 2 no P18, têm-se

valores praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 4º até o 24º

pavimento, havendo nas duas combinações, uma variação nos últimos e primeiros

pavimentos.

Análise 2

Analisa-se o comportamento linear dos pilares P3 e P18, quanto aos momentos

fletores em torno do eixo X, nas combinações 1 e 2 de carregamento do modelo 2.

104

02468

101214161820222426

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

M X (kN.m )

PA

VIM

EN

TO

C om b 1 - m odelo 2C om b 2 - m odelo 2

Figura III.44 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3 do modelo 2, 1ª ordem.

Da figura III.44, observa-se que, no pilar P3, tanto nas combinações 1 quanto 2,

os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos inferiores, tendo-se valor

máximo no térreo de 3199,67 kNm, para a combinação 1 de carregamento, onde este

valor é em torno de 3,7 vezes o valor da média dos outros valores das bases dos tramos.

Para a combinação 2, o valor máximo também no térreo é de 1647,17 kN.m. Nota-se

também, que os momentos resultantes da combinação 1, que considera a ação do vento

como ação variável principal, são maiores que os da combinação 2, do térreo ao 17º

pavimento nas seções das bases dos tramos, e do térreo ao 8º andar nas seções do topo

dos tramos.


constantes para as seções do topo dos tramos do 18º à 26 laje, e nas seções da base dos

tramos do 21º pavimento à 26ª laje. Para a combinação 2 no P3, têm-se valores

praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 19º até a 26º laje, e

para as seções da base dos tramos entre o 21º pavimento e a 26ª laje. A variação dos

momentos fletores não obedece a uma lei linear.

105

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-15 -10 -5 0 5 10

MX (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2

Figura III.45 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P18 do modelo 2.

Pela figura III.45, observa-se que, no pilar P18, tanto nas combinações 1 quanto

2, os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos superiores, tendo-se

valor máximo na seção da base do 25º pavimento de 8,30 kNm para a combinação 2 de

carregamento, onde este valor é cerca de 4 vezes o valor da média dos outros

pavimentos. Para a combinação 1, o valor máximo do momento fletor na seção do topo

do térreo é de 6,22 kN.m, que é aproximadamente o dobro da média dos demais

pavimentos. Na combinação 2, têm-se valores dos momentos fletores nas seções da base

e do topo dos tramos, maiores que na combinação 1, com exceção nas seções da base do

térreo ao 6º pavimento, e na seção do topo do térreo. O maior momento fletor na

fundação é devido à combinação 1, cujo valor é de 4,19 kN.m.


constantes para as seções da base dos tramos do 8º ao 22º pavimento, e nas seções do

topo dos tramos entre o 14º e o 24ª pavimento. Para a combinação 2 no P18, têm-se

valores praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 4º até o 24º

pavimento, havendo nas duas combinações, uma variação nos últimos e primeiros

pavimentos.

Análise 3

Estudou-se o comportamento linear dos pilares P3 e P18, quanto aos momentos

fletores em torno do eixo X, nas combinações 1 e 2 de carregamento dos modelos 1 e 2.

106

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

MX (kN.m)

PAV

IMEN

TOS

Comb 1 - modelo 2Comb 2 - modelo 2Comb 1 - modelo 1Comb 2 - modelo 1

Figura III.46 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3, dos modelos 1 e 2.

Da figura III.46, observa-se que, no pilar P3, tanto nas combinações 1 quanto 2,


máximo no térreo de 3199,67 kNm, para a combinação 1 de carregamento do pilar

casca, onde este valor é quase 6,8 vezes o valor da média dos outros valores das bases

dos tramos em todas as combinações. Para a combinação 2 do P3 casca, o valor máximo

também no térreo é de 1647,17 kN.m. Nota-se também, que os momentos resultantes da

combinação 1 do pilar casca, que considera a ação do vento como ação variável

principal, são maiores que os das outras combinaçõe, do térreo ao 17º pavimento nas

seções das bases dos tramos, e do térreo ao 8º andar nas seções do topo dos tramos.

Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 barra, têm valores

praticamente constantes para as seções do topo e das bases dos tramos do 4º pavimento

à 26ª laje, e nas seções do topo dos tramos da combinação 1 do P3 casca desde o 19º

pavimento à 26ª laje. Para a combinação 2 no P3 casca, têm-se valores praticamente

constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 22º pavimento até a 26ª laje.

107

02468

101214161820222426

-15 -10 -5 0 5 10

MX (kN.m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.47 – Momento fletor em torno do eixo X do pilar P18, dos modelos 1 e 2.

Na figura III.47, observa-se que, no pilar P18, tanto nas combinações 1 quanto 2,

os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos superiores, tendo-se valor

máximo na seção do topo do 25º pavimento de 11,30 kNm para a combinação 1 de

carregamento do pilar casca, onde este valor é cerca de 3,78 vezes o valor da média dos

outros pavimentos. A combinação 1 do pilar casca é quem gera os maiores esforços

normais em quase todas as seções das bases dos tramos, com exceções para os 2º e 25º

pavimentos, ocorrendo maiores esforços nas combinações 2 do pilar casca e 2 do pilar

barra nos respectivos pavimentos citados. O maior valor do momento fletor na seção da

base dos tramos, ocorre na combinação 2 do P18 barra do 25º pavimento com valor 9,70

kN.m, que é aproximadamente 2,20 vezes a média dos demais pavimentos. Já nas

seções do topo dos tramos, os maiores momentos fletores é devido à combinação 2 do

pilar barra. O maior momento fletor na fundação é devido à combinação 1 do pilar

casca, cujo valor é de 6,87 kN.m.

Os momentos resultantes da combinação 2 no P3 casca têm valores praticamente

constantes para as seções da base dos tramos do 6º ao 9º, e do 11º ao 22º pavimento, e

nas seções do topo dos tramos do 6º e o 9º, e do 11º ao 17º pavimento. Para a

combinação 2 no P3 barra, têm-se valores praticamente constantes nas seções do topo

dos tramos do 2º ao 16º, e do 17º ao 23º pavimento. Na combinação 1 do P3 barra,

estes valores praticamente constantes ocorrem nas seções dos topos dos tramos entre o

108

3º e o 23º pavimento. Finalmente, na combinação 1 do P3 casca, esses esforços são

praticamente constantes entre os pavimentos 4º e 11º, havendo nessas combinações,

uma variação nos últimos e primeiros pavimentos.

Análise 4

Foi realizado o comportamento não linear dos pilares P3 e P18, quanto aos

momentos fletores em torno do eixo X, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento do

modelo 1.

02468

101214161820222426

-100 0 100 200 300 400

MX (kN.m)

PAV

IMEN

TOS


Figura III.48 - Momento fletor em torno do eixo X do pilar P3 do modelo 1.

02468

101214161820222426

-10 -5 0 5 10MX (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3


109

Estudando a figura III.48, observa-se que, no pilar P3, tanto nas combinações 1,

2 quanto 3, os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos inferiores,

tendo-se valor máximo no térreo de 294,40 kNm, para a combinação 2 de carregamento,

onde este valor é cerca de 3,5 vezes o valor da média dos outros valores das bases dos

tramos. Para as combinações 1 e 3 do P3, os valores máximos também no térreo são de

227,59 kN.m e 275,17 kN.m respectivamente. Nota-se também, que os momentos

resultantes da combinação 1 do P3, que considera a ação do vento como ação variável

principal, são maiores que os das combinações 2 e 3, para as seções da base dos tramos

do 5º até o 25º pavimento. Do térreo ao 2º pavimento a combinação 2 do P3 gera

maiores momentos fletores nas seções das bases dos tramos, vindo a seguir as

combinações 3 e 1 nessa ordem. No 3º e 4º pavimentos, os maiores momentos fletores

surgem em ordem decrescente para as combinaões 2, 1 e 3 respectivamente nessa

ordem. Nas seções do topo dos tramos, os maiores valores de momentos fletores para o

P3 ocorrem em ordem decrescente para as combinações 3, 2 e 1, nessa ordem do 2º

pavimento à 26ª laje. Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 têm valores

praticamente constantes para as seções do topo dos tramos do 14º ao 25º pavimento, e

nas seções da base dos tramos do 21º ao 25º pavimento. Para a combinação 2 no P3,

têm-se valores praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 7º até

o 25º pavimento, e para as seções da base dos tramos entre o 20º pavimento e a 26ª laje.

Finalmente, para a combinação 3 do P3, esses valores quase constantes, aparecem nas

seções da base dos tramos entre o 20º pavimento e a 26ª laje, e para as seções do topo

dos tramos, entre o 7º e o 25º pavimento.

Já na figura III.49, observa-se que, no pilar P18, tanto nas combinações 1, 2 e 3,

os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos superiores, tendo-se valor

máximo na seção da base do 26º pavimento de 9,21 kNm para a combinação 3, onde

este valor é cerca de 4 vezes o valor da média dos outros pavimentos. Para a

combinação 1, o valor máximo do momento fletor na seção da base do 26º pavimento é

de 6,01 kN.m, que é aproximadamente 3,5 vezes a média dos demais pavimentos. Na

combinação 2, o valor máximo do momento fletor na seção da base do 26º pavimento é

de 8,81 kN.m, que é aproximadamente 4 vezes a média dos demais pavimentos. Na

combinação 3, têm-se maiores valores dos momentos fletores nas seções dos topos de

todos os tramos, e nas bases do 9º ao 26º pavimento, que nas combinações 1 e 2.Nas

seções da base dos tramos entre o térreo e o 8º pavimento, a combinação 1 gera maiores

110

momentos fletores. O maior momento fletor na fundação é devido à combinação 1, cujo

valor é de 4,29 kN.m.


constantes para as seções da base do 8º ao 22º pavimento, e nas seções do topo dos

tramos do 17º ao 24ª pavimento. Para a combinação 2 no P18, têm-se valores


pavimento, e nas seções da base dos tramos entre o 1º e o 5º pavimento. Para a

combinação 3, têm-se momentos fletores praticamente constantes nos mesmos

pavimentos que na combinação 2, tanto para as seções da base, quanto do topo dos

tramos, havendo nas três combinações, uma variação nos últimos e primeiro

pavimentos.

Análise 5

Foi realizado o comportamento linear e não linear dos pilares P3 e P18, quanto

aos momentos fletores em torno do eixo X, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento

do modelo 1.

02468

101214161820222426

-50 0 50 100 150 200 250 300 350

MX (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 - 1º OrdemComb 1 - 2º OrdemComb 2 - 1º OrdemComb 2 - 2º OrdemComb 3 - 2º Ordem


111

02468

101214161820222426

-10,000 -8,000 -6,000 -4,000 -2,000 0,000 2,000 4,000 6,000 8,000MX (KN.m)

PAVI

MEN

TOS




2 quanto 3, em 1ª ou 2ª ordem, os momentos fletores resultantes aumentam nos

pavimentos inferiores, tendo-se valor máximo no térreo de 294,40 kNm, para a

combinação 2 em 2ª ordem de carregamento, onde este valor é cerca de 3,5 vezes o

valor da média dos outros valores das bases dos tramos. Para as combinações 1 e 3, em

2ª ordem, os valores máximos também no térreo são de 227,59 kN.m e 275,17 kN.m

respectivamente. Nota-se também, que os momentos resultantes da combinação 1 em 2ª

ordem do P3, que considera a ação do vento como ação variável principal, são maiores

que os das combinações 2 e 3, para as seções da base dos tramos do 5º até o 25º

pavimento. Do térreo ao 2º pavimento a combinação 2 em 2ª ordem do P3 gera maiores

momentos fletores nas seções das bases dos tramos, vindo a seguir as combinações 3 e 1

em 2ª ordem, nessa ordem. No 3º e 4º pavimentos, os maiores momentos fletores

surgem em ordem decrescente para as combinações 2, 1 e 3 em 2ª ordem

respectivamente nessa ordem. Nas seções do topo dos tramos, os maiores valores de

momentos fletores para o P3 ocorrem em ordem decrescente para as combinações 3, 2 e

1 tanto em 1ª como em 2ª ordem, nessa ordem, do 1º pavimento à 26ª laje. Os

momentos resultantes da combinação 1 em 1ª e 2ª ordem no P3 têm valores


nas seções da base dos tramos do 21º ao 25º pavimento. Para a combinação 2 em 1ª e 2ª

ordem, têm-se valores praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do

112

7º até o topo do 24º pavimento, e para as seções da base dos tramos entre o 20º

pavimento e a 26ª laje. Finalmente, para a combinação 3 do P3, esses valores quase

constantes, aparecem nas seções da base dos tramos entre o 20º pavimento e a 26ª laje, e

para as seções do topo dos tramos, entre o 7º e o 25º pavimento.

Na figura III.51, observa-se que, no pilar P18, tanto nas combinações 1, 2 e 3,

em 1ª e 2ª ordem, os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos

superiores, tendo-se valor máximo na seção da base do 25º pavimento de 9,21 kNm para

a combinação 3, onde este valor é cerca de 4 vezes o valor da média dos outros

pavimentos. Para a combinação 1 em 2ª ordem, o valor máximo do momento fletor na

seção da base do 26º pavimento é de 6,01 kN.m, que é aproximadamente 3,5 vezes a

média dos demais pavimentos. Na combinação 2 em 2ª ordem, o valor máximo do

momento fletor na seção da base do 26º pavimento é de 8,81 kN.m, que é

aproximadamente 4 vezes a média dos demais pavimentos. Na combinação 3 em 2ª

ordem, têm-se maiores valores dos momentos fletores nas seções dos topos de todos os

tramos, e nas bases do 9º ao 25º pavimento, que nas combinações 1 e 2, em 1ª e 2ª

ordem. Nas seções da base dos tramos entre o térreo e o 8º pavimento, a combinação 1

em 1ª e 2ª ordem, nessa ordem, geram maiores momentos fletores. O maior momento

fletor na fundação é devido à combinação 1 em 2ª ordem , cujo valor é de 4,29 kN.m.

Os momentos resultantes da combinação 1 em 1ª e 2ª ordem no P18, têm valores

praticamente constantes para as seções da base do 8º ao 22º pavimento, e nas seções do

topo dos tramos do 17º ao 24ª pavimento. Para a combinação 2 no P18, têm-se valores





tramos, havendo nas três combinações, uma variação nos últimos e primeiro

pavimentos.

III.3.2 MOMENTO FLETOR EM TORNO DO EIXO Y

Análise 1

Nesta análise estuda-se o comportamento linear dos pilares P3 e P18 quanto aos

momentos fletores em torno do eixo Y, nas combinações 1 e 2 de carregamento do

modelo 1.

113

02468

101214161820222426

-200 0 200 400 600 800 1000MY (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2

Figura III.52 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P3 do modelo 1.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-400 -200 0 200 400 600 800 1000

M Y (kN .m )Comb 1

Comb 2



quanto 2, os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos inferiores, tendo-

se valor máximo na seção do topo do térreo de 834,44 kNm, para a combinação 2 de

carregamento, onde este valor é quase 4 vezes o valor da média dos outros valores dos

topos dos tramos. Para a combinação 1, o valor máximo também no topo do térreo é de

807,07 kN.m. Nota-se também, que os momentos resultantes da combinação 1, que

considera a ação do vento como ação variável principal, são maiores que os da

combinação 2, nas seções da base do 22º ao 25º pavimento, e nas seções do topo do 2º

ao 15º pavimento. Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 têm valores

114

praticamente constantes para as seções do topo dos tramos do térreo e do 1º, como do

22º ao 24º pavimento. Para a combinação 2 no P3, têm-se valores praticamente

constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 22º até o 24º pavimento.

Análise 2


fletores em torno do eixo Y, nas combinações 1 e 2 de carregamento do modelo 2.

02468

101214161820222426

-1500 -1000 -500 0 500 1000MY (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1 Comb 2


Observa-se da figura III.54 que, no pilar P3, tanto nas combinações 1 quanto 2,


máximo na seção do topo do 1º pavimento de 1054,09 kNm, para a combinação 2 de

carregamento do P3 casca, onde este valor é quase 3,8 vezes o valor da média dos

outros valores dos topos nos tramos. Para a combinação 1, o valor máximo na seção do

topo do 2º pavimento é de 102,56 kN.m. Nota-se também, que os momentos resultantes

da combinação 1, que considera a ação do vento como ação variável principal, são

menores que os da combinação 2, nas seções das bases e dos topos em todos os

pavimentos. Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 têm valores praticamente

constantes para as seções do topo dos tramos do 9º ao 25º pavimento, e em todas as

seções das bases de todos os pavimentos. Para a combinação 2 no P3, têm-se valores

115


pavimento, e nas seções das bases do 1º ao 7º pavimento.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

MY (kN.m)

PAV

IMEN

TOS

Comb 1Comb 2



os momentos fletores resultantes aumentam nos pavimentos inferiores, com valores

praticamente constantes nos trechos intermediários, voltando a crescer nos últimos

pavimentos, tendo-se valor máximo na seção da base do térreo de 688,44 kNm, para a

combinação 1 de carregamento do P18 casca, onde este valor é quase 12,6 vezes o valor

da média dos outros valores das bases nos tramos. Para a combinação 2, o valor máximo

na seção da base do térreo é de 321,53 kN.m. Nota-se também, que os momentos

resultantes da combinação 1, que considera a ação do vento como ação variável

principal, são maiores que os da combinação 2, nas seções das bases do térreo ao 4º, e

do 16º ao 25º pavimento. Também nas seções dos topos do térreo ao 2º, e no 25º

pavimentos. Os momentos resultantes da combinação 1 no P18 têm valores


nas seções das bases do 5º e do 6º pavimentos. Para a combinação 2 no P18, têm-se

valores praticamente constantes nas seções do topo dos tramos entre o 5º e o 24º

pavimento, e nas seções das bases do 6º ao 13º andares.

116

Análise 3


fletores em torno do eixo Y, nas combinações 1 e 2 de carregamento dos modelos 1 e 2.

02468

101214161820222426

-1500,000

-1000,000

-500,000 0,000 500,000 1000,000

MY (kN.m)

PAV

IMEN

TOS

Combinação 1 - modelo 2Combinação 2 - modelo 2Combinação 1 - modelo 1Combinação 2 - modelo 1

Figura III.56 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P3 dos modelos 1 e 2.


quanto 2 em ambos os modelos, os momentos fletores resultantes aumentam nos

pavimentos inferiores, tendo-se valor máximo na seção do topo do 1º pavimento de

834,44 kNm, para a combinação 2 de carregamento do P3 casca, onde este valor é quase

4 vezes o valor da média dos outros valores dos topos dos tramos. Para a combinação 1

do P3 barra, o valor máximo também no topo do térreo é de 807,07 kN.m. Nota-se

também, que os momentos resultantes da combinação 2 casca, que considera a ação do

vento como ação variável secundária, são maiores que os das outras combinações, nas

seções da base dos tramos do 3º ao 25º pavimento, e nas seções do topo do térreo ao 19º

pavimento. Nas seções da base dos tramos do térreo ao 2º pavimento, e nas seções do

topo que vai do 20º ao 26º pavimento, a combinação 2 do P3 barra, gera os maiores

momentos em torno do eixo Y. Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 casca,

têm valores praticamente constantes para as seções do topo dos tramos do 9º ao 26º

pavimento. Para a combinação 2 no P3 casca, têm-se valores praticamente constantes

nas seções do topo dos tramos a partir do 22º até o 24º pavimento. Esses momentos

117

praticamente constantes no topo dos tramos, aparecem na combinação 1 do P3 barra, do

térreo ao 2º pavimento.

0123456789

1011121314151617181920212223242526

-1000 -500 0 500 1000MY (kN.m)

PAV

IMEN

TOS


Figura III.57 – Momento fletor em torno do eixo Y do pilar P18 dos modelos 1 e 2.



máximo na seção do topo do 1º pavimento de 1054,09 kNm, para a combinação 2 de

carregamento do P3 casca, onde este valor é quase 3,8 vezes o valor da média dos

outros valores dos topos nos tramos. Para a combinação 1, o valor máximo na seção do

topo do 2º pavimento é de 102,56 kN.m. Nota-se também, que os momentos resultantes

da combinação 1, que considera a ação do vento como ação variável principal, são

menores que os da combinação 2, nas seções das bases e dos topos em todos os

pavimentos. Os momentos resultantes da combinação 1 no P3 têm valores praticamente

constantes para as seções do topo dos tramos do 9º ao 25º pavimento, e em todas as

seções das bases de todos os pavimentos. Para a combinação 2 no P3, têm-se valores


pavimento, e nas seções das bases do 1º ao 7º pavimento.

118

Análise 4


momentos fletores em torno do eixo Y, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento do

modelo 1.


2 quanto 3, com comportamento não linear, os momentos fletores resultantes em torno

do eixo Y aumentam nos pavimentos inferiores, tendo-se valor máximo no térreo de

1116,18 kNm, para a combinação 3 de carregamento, onde este valor é cerca de 3,8

vezes o valor da média dos outros valores das bases dos tramos. Para as combinações 1

e 2 do P3, os valores máximos são no topo do térreo de 993,46 kN.m e 1061,34 kN.m

respectivamente. Nota-se também, que os momentos resultantes da combinação 1 do P3,

que considera a ação do vento como ação variável principal, são maiores que os das

combinações 2 e 3, para as seções da base dos tramos do térreo até o 20º pavimento. Do

21º ao 25º pavimento a combinação 3 do P3 gera maiores momentos fletores nas seções

das bases dos tramos, vindo a seguir as combinações 3 e 1 nessa ordem. Nas seções do

topo dos tramos, os maiores valores de momentos fletores para o P3 ocorrem em ordem

decrescente para as combinações 1, 2 e 3, nessa ordem do 4º ao 17º pavimento. Do

térreo ao 3º pavimento, as combinações 3, 2 e 1 produzem nessa ordem, os maiores

momentos fletores em torno do eixo Y, e do 18º ao 25º pavimento têm-se as

combinações 2, 3 e 1 nessa ordem, responsáveis pelos maiores momentos em ordem

decrescente. Os momentos resultantes das combinações 1, 2 e 3 no P3 têm valores

praticamente constantes para as seções do topo dos tramos do 22º ao 24º pavimento.

02468

101214161820222426

-200 0 200 400 600 800 1000 1200MY (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3


119

02468

101214161820222426

-400 -200 0 200 400 600 800 1000MY (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Comb 1Comb 2Comb 3


Na figura III.59, observa-se que, no pilar P18, nas combinações 1, 2 e 3, os

momentos fletores resultantes na base dos tramos, crescem em direção aos pavimentos

superiores a partir do 6º pavimento. Do térreo ao 6º, os valores dos momentos fletores

decrescem para as três combinações de carregamento. O maior valor do momento fletor

na base, ocorre no térreo de valor 645,01 kNm para a combinação 1. Porém, o valor

máximo do momento fletor, verifica-se na seção do topo do térreo, cujo valor é de

847,39 kN.m, para a combinação 1, que é aproximadamente 9 vezes a média dos demais

pavimentos. Na combinação 2, o valor máximo do momento fletor na seção do topo do

térreo é de 370,72 kN.m. Na combinação 3, têm-se maiores valores dos momentos

fletores nas seções dos topos dos tramos entre o 4º e o 14º pavimento, e nas bases do 6º

ao 25º pavimento, que nas combinações 1 e 2.Nas seções da base dos tramos entre o

térreo e o 3º pavimento, e entre o 7º e o 11º pavimento, a combinação 1 gera maiores

momentos fletores. Nas seções dos topos dos tramos, entre o térreo e o 3º, e entre o 15º

e o 25º pavimento, a combinação 1 gera maiores momentos fletores. O maior momento

fletor na fundação é devido à combinação 1, cujo valor é de 645,01 kN.m.


constantes para as seções da base do 7º ao 12º pavimento, e nas seções do topo dos

tramos do 17º ao 24ª pavimento. Para a combinação 2 no P18, têm-se valores

praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 11 até o 25º


120



tramos, havendo nas três combinações, uma variação nos últimos e primeiros

pavimentos.

Análise 5


aos momentos fletores em torno do eixo Y, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento

do modelo 1.

Observando a figura III.60, vê-se que, no pilar P3, tanto nas combinações 1, 2

quanto 3, em 1ª ou 2ª ordem, os momentos fletores resultantes aumentam nos

pavimentos inferiores, tendo-se valor máximo no térreo de 1116,18 kNm, para a

combinação 3 de carregamento em análise não linear, onde este valor é cerca de 4,4

vezes o valor da média dos outros valores nas bases dos tramos. Para as combinações 1

e 2, em análise não linear, os valores máximos são 993,46 kN.m e 1061,34 kN.m

respectivamente, ambos no topo do térreo. Nota-se também, que os momentos

resultantes da combinação 3 em análise não linear do P3, que considera a imperfeição

geométrica global como ação variável principal, são maiores que os das combinações 1

e 2, para as seções da base dos tramos do térreo ao 17º pavimento. Do 18º ao 21º

pavimento a combinação 2 em análise linear do P3 gera maiores momentos fletores nas

seções das bases dos tramos, vindo a seguir as combinações 3 e 1, nessa ordem. Entre o

22º e o 25º pavimento, a combinação 1 em análise linear, produzem os maiores

momentos fletores em torno de Y nas bases dos tramos. Nas seções do topo dos tramos,

os maiores valores de momentos fletores para o P3 ocorrem em ordem decrescente para

as combinações 1, 2 e 3, em análise não linear e linear, nessa ordem, do 3º ao 14º

pavimento. Os momentos resultantes da combinação 1 em 1ª e 2ª ordem têm valores

praticamente constantes para as seções do topo dos tramos do 22º ao 25º pavimento.

Para a combinação 2 em 1ª e 2ª ordem, têm-se valores praticamente constantes nas

seções do topo dos tramos a partir do 21º até o topo do 24º pavimento. Finalmente, para

a combinação 3 do P3, esses valores quase constantes, aparecem nas seções do topo dos

tramos, entre o 21º e o 24º pavimento.

121

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-200 0 200 400 600 800 1000 1200

MY (kN.m)

PAV

IMEN

TOS



02468

101214161820222426

-400 -200 0 200 400 600 800 1000

MY (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



Na figura III.61, observa-se que, no pilar P18, tanto nas combinações 1, 2 e 3,

em 1ª e 2ª ordem, os momentos fletores resultantes aumentam nos dois extremos, ou

seja, pavimentos inferiores ou superiores, tendo-se valor máximo na seção do topo do

térreo de 847,39 kNm para a combinação 1 em análise não linear, onde este valor é

cerca de 4 vezes o valor da média dos outros pavimentos. Na combinação 2 em 2ª

ordem, o valor máximo do momento fletor na seção do topo do térreo é de 370,72

122

kN.m, que é aproximadamente 4 vezes a média dos demais pavimentos. Na combinação

3 em 2ª ordem, têm-se os maiores valores dos momentos fletores nas seções das bases

dos tramos, do 7º ao 25º pavimento, e nas seções do topo do 4º ao 14º pavimento. Nas

seções da base dos tramos entre o térreo e o 5º pavimento, a combinação 1 em 2ª e 1ª

ordem, nessa ordem, geram maiores momentos fletores. O maior momento fletor na

fundação é devido à combinação 1 em 2ª ordem, cujo valor é de 645,01 kN.m.

Os momentos resultantes da combinação 1 em 1ª e 2ª ordem no P18, têm valores

praticamente constantes para as seções da base do 8º ao 14º pavimento, e nas seções do

topo dos tramos do 16º pavimento à laje de coberta. Para a combinação 2 no P18, têm-

se valores praticamente constantes nas seções do topo dos tramos a partir do 10º até o

25º pavimento, e nas seções da base dos tramos entre o 17º e o 24º pavimento. Para a

combinação 3, têm-se momentos fletores praticamente constantes nos topos dos tramos

entre o 7º pavimento e a laje de coberta, e nas bases dos tramos entre o 18º e o 23º

pavimento, havendo nas três combinações, uma variação nos últimos e primeiro

pavimentos.

III.4 MOMENTOS TORÇORES

Análise 1

Estuda-se o comportamento linear dos pilares P3 e P18 quanto aos momentos

torçores em torno do eixo Z, nas combinações 1 e 2 de carregamento do modelo 1.

02468

101214161820222426

-4,00 -3,50 -3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.62 – Momento torçor com ação do vento na direção X do pilar P3.

123

02468

101214161820222426

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



Observa-se das figuras III.62 e III.63, que os valores dos momentos torçores nas

duas combinações, nos pilares P3 e P18 são bastante pequenos em cada tramo, onde os

valores crescem com a altura, tomando o maior valor de 3,75 kN.m e 1,61 kN.m para o

P3 e P18 respectivamente, no 25º pavimento. Nos dois pilares, entre o térreo e o 21º

pavimento têm-se valores na combinação 2 maiores que os na combinação 1. No 22º

pavimento os valores nas duas combinações são iguais. Do 23º ao 25º pavimento a

combinação 1 fornece maiores valores que a 2. Têm-se momentos torçores constantes

em cada pavimento.

02468

101214161820222426

-4,00 -3,50 -3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.64 – Momento torçor com ação do vento na direção Y do pilar P3.

124

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



Nota-se das figuras III.64 e III.65, que os valores dos momentos torçores nas

duas combinações, nos pilares P3 e P18 são bastante pequenos em cada tramo, onde os

valores crescem com a altura, tomando os maiores valores de 3,62 kN.m e 1,55 kN.m

para o P3 e P18 respectivamente, no 25º pavimento. Nos dois pilares têm-se valores na

combinação 2 maiores que os na combinação 1, em todos os pavimentos. Momentos

torçores constantes em cada pavimento.

Análise 2


torçores em torno do eixo Z, nas combinações 1 e 2 de carregamento do modelo 2.

Observa-se das Figuras III.66 e III.67 que, os momentos torçores nas duas

combinações em cada tramo, assumem maiores valores nos seus extremos, havendo

uma variação linear do torçor no tramo, com valor nulo na metade do trecho.

Na figura III.66, os valores máximos dos torçores são 18,59 kN.m no 2º

pavimento e 105,3 kN.m no 1º pavimento, para as combinações 1 e 2 respectivamente.

No 8º pavimento nas duas combinações para o pilar P3, têm-se valores iguais de 7,51

kN.m. Nota-se que, na combinação 1, do térreo ao 14º pavimento os valores dos

momentos torçores decrescem, voltando a crescer do 15º ao 25º.

125

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-150 -100 -50 0 50 100 150

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Combinação 1 Combinação 2

Figura III.66 – Momento torçor do pilar P3 do modelo 2, vento na direção X.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-10 -5 0 5 10T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

combinação 1combinação 2

Figura III.67 – Momento torçor do pilar P18 do modelo 2, vento na direção X.

Para a combinação 2, os valores desses esforços decrescem do térreo ao 8º

pavimento, e voltam a crescer do 9º ao 25º pavimento. No pilar P3, os momentos

torçores gerados pela combinação 2, são sempre maiores que os provocados pela

combinação 1.

Na figura III.67, os valores máximos dos torçores são 8,66 kN.m na combinação

1 e 6,70 kN.m na combinação 2, ambos no 24º pavimento. Do térreo ao 3º pavimento os

126

valores dos momentos torçores da combinação 2 são maiores que os da combinação 1,

onde há uma inversão do 4º ao 25º pavimento, ou seja, os valores na combinação 1 são

maiores que na combinação 2, porém, com valores próximos nas duas combinações.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-300 -200 -100 0 100 200 300T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS




0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-15 -10 -5 0 5 10 15T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS




127

Observando a figura III.68 do P3, os valores máximos dos torçores são 203,34

kN.m na combinação 1 e 113,40 kN.m na combinação 2, ambos no 1º pavimento. Do

térreo ao 13º pavimento os valores dos momentos torçores da combinação 1 são maiores

que os da combinação 2, e do 14º ao 25º pavimento os valores na combinação 2 são

maiores que na combinação 1. Para a combinação 1, os valores desses esforços

decrescem do 1º ao 17º pavimento, e crescem do 18º ao 25º pavimento. Na combinação

2, esses valores decrescem do 1º ao 10º pavimento, e crescem do 11º ao 25º.

Nota-se da figura III.69 do P18, que os valores máximos dos torçores são 10,10

kN.m na combinação 1 no 25º pavimento, e 0,76 kN.m na combinação 2 no 24º. Do

térreo ao 25º pavimento os valores dos momentos torçores da combinação 1 são sempre

maiores que os da combinação 2. Para a combinação 1, os valores desses esforços são

praticamente nulos no térreo e 1º pavimento, onde crescem do 2º ao 25º. Na combinação

2, esses valores são praticamente nulos do térreo ao 5º, e crescem do 6º ao 25º

pavimento.

Análise 3


torçores em torno do eixo Z, nas combinações 1 e 2 de carregamento dos modelos 1 e 2.

02468

101214161820222426

-150 -100 -50 0 50 100 150

T (kN .m )

PAV

IMEN

TOS


Figura III.70 – Momento torçor do pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção X.

128

02468

101214161820222426

-10 -5 0 5 10

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.71 – Momento torçor do pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção X.

Observa-se das Figuras III.70 e III.71 que, os momentos torçores nas duas

combinações em cada tramo, assumem maiores valores nos seus extremos, havendo

uma variação linear do torçor no tramo, com valor nulo na metade do trecho.

Na figura III.70, os valores máximos dos torçores são 18,59 kN.m no 2º

pavimento e 105,3 kN.m no 1º pavimento, para as combinações 1 e 2 respectivamente

do modelo 2. Nota-se que, na combinação 1 do modelo 2, do térreo ao 14º pavimento os

valores dos momentos torçores decrescem, voltando a crescer do 15º ao 25º. Para a

combinação 2 do modelo 2, os valores desses esforços decrescem do térreo ao 8º

pavimento, e voltam a crescer do 9º ao 25º pavimento. No pilar P3 do modelo 2, têm-se

os maiores momentos torçores em todos os pavimentos. No modelo 1 as duas

combinações 1 e 2 de carregamento no pilar P3, têm valores dos momentos torçores

bastante próximos e pequenos, com valores 3,69 kN.m no 25º pavimento e 0,165 kN.m

no térreo.

Na figura III.71, os valores máximos dos torçores são 8,66 kN.m na combinação

1 e 6,70 kN.m na combinação 2, ambos no modelo 2 e no 24º pavimento. Do térreo ao

3º pavimento os valores dos momentos torçores da combinação 2 são maiores que os da

combinação 1, onde há uma inversão do 4º ao 25º pavimento, ou seja, os valores na

combinação 1 são maiores que na combinação 2 no modelo 2. Para as combinações 1 e

2, os valores desses esforços crescem do 5º ao 25º pavimento, com oscilações do térreo

ao 3º pavimento. No modelo 1 os valores dos momentos torçores nas combinações 1 e 2

são praticamente coincidentes e muito menores que os do modelo 2, com maiores

129

valores de 1,58 kN.m na combinação 2, e 1,61 kN.m na combinação 1, ambos no 25º

pavimento.

02468

101214161820222426

-300,000

-200,000

-100,000

0,000 100,000 200,000 300,000

T (kN.m)

PAV

IMEN

TOS

Combinação 1 - modelo 2Combinação 2 - modelo 2Combinação 1 - modelo 1Combinação 2 - modelo 1

Figura III.72 – Momento torçor do pilar P3 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y.

02468

101214161820222426

-15 -10 -5 0 5 10 15

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS


Figura III.73 – Momento torçor do pilar P18 dos modelos 1 e 2, vento na direção Y.

Observando a figura III.72 do P3, os valores máximos dos torçores são 203,34

kN.m na combinação 1 e 113,40 kN.m na combinação 2, ambos no 1º pavimento e no

modelo 2. Os valores dos momentos torçores são maiores no modelo 2 que os do

modelo 1. No modelo 2, do térreo ao 13º pavimento os valores dos momentos torçores

da combinação 1 são maiores que os da combinação 2, e do 14º ao 25º pavimento os

130

valores na combinação 2 são maiores que na combinação 1. Para a combinação 1, os

valores desses esforços decrescem do 1º ao 17º pavimento, e crescem do 18º ao 25º

pavimento. Na combinação 2, esses valores decrescem do 1º ao 10º pavimento, e

crescem do 11º ao 25º. No modelo 1 o maior valor é 3,62 kN.m nas combinações 1 e 2

no 25º pavimento, e o menor valor do momento torçor é 0,22 kN.m nas combinações 1

e 2 no térreo.

Nota-se da figura III.73 do P18, que os valores máximos dos torçores são 10,10

kN.m na combinação 1 no 25º pavimento no modelo 2, e 1,58 kN.m na combinação 2

do 25º pavimento do modelo 1. Do térreo ao 25º pavimento os valores dos momentos

torçores da combinação 1 do modelo 2 são sempre maiores dentre todos os outros

resultados. Para a combinação 1 do modelo 2, os valores desses esforços são

praticamente nulos no térreo e 1º pavimento, onde crescem do 2º ao 25º. Na combinação

2, esses valores são praticamente nulos do térreo ao 5º, e crescem do 6º ao 25º

pavimento. A combinação 1 do modelo 2 resultam nos maiores momentos torçores em

todos os pavimentos.

Análise 4


momentos torçores em torno do eixo Z, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento do

modelo 1.

02468

101214161820222426

-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



131

02468

101214161820222426

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS




três combinações, nos pilares P3 e P18 são bastante pequenos em cada tramo, onde os

valores crescem com a altura, tomando o maior valor de 4,41 kN.m e 1,89 kN.m para o

P3 e P18 respectivamente, no 25º pavimento da combinação 3. Nos dois pilares, entre o

térreo e o 25º pavimento têm-se os maiores valores na combinação 3, vindo em seguida

os resultados em ordem decrescente nas combinações 1 e 2. Têm-se momentos torçores

constantes em cada pavimento. Na laje de coberta os momentos torçores nas

combinações 1 e 2 coincidem com valor máximo de 4,14 kN.m.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



132

02468

101214161820222426

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



Nota-se das figuras III.76 e III.77, que os valores dos momentos torçores nas três

combinações, nos pilares P3 e P18 são bastante pequenos em cada tramo, onde os

valores crescem com a altura, tomando os maiores valores de 3,95 kN.m e 1,69kN.m

para o P3 e P18 respectivamente, ambos nas combinações 2 e 3 que são coincidentes na

laje de coberta. Nos dois pilares, entre o térreo e o 25º pavimento têm-se os maiores

valores na combinação 2, vindo em seguida os resultados em ordem decrescente nas

combinações 3 e 1. Têm-se momentos torçores constantes em cada pavimento.

Análise 5


aos momentos torçores em torno do eixo Z, nas combinações 1, 2 e 3 de carregamento

do modelo 1.

133

02468

101214161820222426

-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS

Combinação 1 - 1ª OrdemCombinação 1 - 2ª OrdemCombinação 2 - 1ª OrdemCombinação 2 - 2º OrdemCombinação 3 - 2ª Ordem

Figura III.78 – Momento torçor do pilar P3 do modelo 1, com ação do vento na direção

X.

02468

101214161820222426

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00

T (kN.m)

PAV

IMEN

TOS


Figura III.79 – Momento torçor do pilar P18 do modelo 1, com ação do vento na direção X.


três combinações, nos pilares P3 e P18 são bastante pequenos em cada tramo, onde os

valores crescem com a altura, tomando os maiores valores de 4,41 kN.m e 1,89 kN.m

para o P3 e P18 respectivamente, no 25º pavimento da combinação 3. Nos dois pilares,

entre o térreo e o 25º pavimento têm-se os maiores valores na combinação 3, vindo em

seguida os resultados em ordem decrescente nas combinações 2 e 1. Têm-se momentos

134

torçores constantes em cada pavimento. Na laje de coberta os momentos torçores nas

combinações 1 e 2 em análise não linear coincidem com valor máximo de 4,14 kN.m.

Para ambos os pilares P3 e P18, entre o térreo e o 12º pavimento, os valores dos

momentos torçores aparecem em ordem decrescente como, combinação 3, combinação

2 com análise não linear, combinação 2 com análise linear, combinação 1 com análise

não linear e combinação 1 com análise linear. Do 13º ao 21º pavimento esta ordem fica

modificada pela inversão de valores, com a combinação 1 em análise não linear

resultando em valores maiores que a combinação 2 em análise linear. Do 22º ao 25º

pavimento os valores da combinação 1 em análise linear tornam-se maiores que os da

combinação 2 em análise linear.

02468

101214161820222426

-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



Y.

135

02468

101214161820222426

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00

T (kN.m)

PAVI

MEN

TOS



Y.

Nota-se das figuras III.80 e III.81, que os valores dos momentos torçores nas três

combinações, nos pilares P3 e P18 são bastante pequenos em cada tramo, onde os

valores crescem com a altura, tomando ambos, os maiores valores coincidentes de 3,95

kN.m no 25º pavimento, nas combinações 2 e 3 em análise não linear. Nos dois pilares,

entre o térreo e o 25º pavimento têm-se os maiores valores na combinação 2 em análise

não linear. Têm-se momentos torçores constantes em cada pavimento.

No 25º pavimento do pilar P3 os momentos torçores nas combinações 2 e 3 em análise

não linear coincidem com valor máximo de 3,96 kN.m. Para o pilar P18, este valor

máximo, também no 25º pavimento nas combinações 2 e 3 em análise não linear é de

1,69 kN.m.

Para ambos os pilares P3 e P18, entre o térreo e o 16º pavimento, os valores dos

momentos torçores aparecem em ordem decrescente como, combinação 2 em análise

não linear coincidentes com combinação 3 em análise não linear, combinação 2 com

análise linear, combinação 1 com análise não linear e combinação 1 com análise linear.

Estes valores são muito próximos em todas as combinações.

III.5 REAÇÕES DE APOIO

Obteve-se as reações de apoio para as combinações últimas. Estudou-se os

pilares P3 e P18.

136

Foram realizados estudos para os modelos 1 e 2 separadamente para as várias

análises, onde após fez-se comparações.

III.5.1 Reações verticais em Z, com vento ou imperfeição geométrica global na direção

X

Estudou-se as reações verticais em Z dos modelos 1 e 2, considerando-se as

análises 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (Tabela III.25).

III.5.2 Reações Verticais em Z, vento ou imperfeição geométrica global na direção Y

Resultados na Tabela III.26.

137

Tabela III.25 – Reações Verticais em Z dos modelos 1 e 2, vento ou imperfeição geométrica global na direção X, nas análises l, 2, 3, 4 e 5.

Unidade : kN

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES

B-1ª C-1ª B-1ª C-1ª B-2ª B-1ª B-2ª B-1ª C-1ª B-1ª C-1ª B-2ª B-1ª B-2ª

COMB

1 9108 9561 9108 9561 8669 9108 8669 10286 10629 10286 10629 10298 10286 10298

COMB

2 10831 10836 10831 10836 10286 10831 10286 11273 11491 11273 11491 11225 11273 11225

COMB

3 10172 ____ 10172 ____ 10172 ____ 10172 10984 ____ 10984 ____ 10984 ____ 10984

Comb 1 – Combinação 1 B – Pilar Barra 2ª - 2ª Ordem

Comb 2 – Combinação 2 C – Pilar Casca

Comb 3 – Combinação 3 1ª - 1ª Ordem

138

Tabela III.26 – Reações Verticais em Z dos modelos 1 e 2, vento ou imperfeição geométrica global na direção Y, nas análises 1, 2, 3, 4 e 5.

Unidade: kN

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 12393 12432 12393 12432 12547 12393 12547 9360 9610 9360 9610 9354 9360 9354

COMB

2 12145 11806 12145 11806 11886 12145 11886 10901 11052 10901 11052 10844 10901 10844

COMB

3 11573 ____ 11573 ____ 11573 ____ 11573 10907 ____ 10907 ____ 10907 ____ 10907

Comb 1 – Combinação 1 B – Pilar Barra 2ª - 2ª Ordem Comb 2 – Combinação 2 C – Pilar Casca 1ª - 1ª Ordem

Comb 3 – Combinação 3

139

Observa-se da tabela III.25 que para os pilares P3 e P18 em ambas as

combinações 1 e 2, nos pilares (PB) e (PC), as maiores reações verticais com ação do

vento em X, ocorrem na análise linear e na combinação 2, tendo como valores máximos

10836,44 kN e 11491,15 kN para os pilares P3 casca e P18 casca respectivamente. A

diferença percentual entre estes valores e os obtidos no P3 barra e P18 barra na mesma

combinação é de 0,055 % e 1,94% respectivamente.

Nota-se da tabela III.26 que para o pilar P3 em ambas as combinações 1 e 2, nos

pilares (PB) e (PC), as maiores reações verticais com ação do vento ou imperfeição

geométrica global em Y, ocorrem na análise não linear e na combinação 1 do pilar (PB),

tendo como valor máximo 12547,40 kN. A diferença percentual entre este valor e o

obtido no P3 casca em análise linear, na mesma combinação é de 0,93%.

III.5.3 Reações horizontais na direção X

Estudou-se as reações horizontais na direção X dos modelos 1 e 2, nas análises 1, 2, 3, 4 e 5 (Tabela III.27).

III.5.4 Reações horizontais na direção Y

Estudou-se as reações horizontais na direção Y dos modelos 1 e 2, nas análises

1, 2, 3, 4 e 5 (Tabela III.28).

III.5.5 Momentos fletores em torno do eixo X

Estudou-se os momentos fletores em torno do eixo X dos modelos 1 e 2, nas análises 1, 2, 3, 4 e 5 (Tabela III.29).

III.5.6 Momentos fletores em torno do eixo Y

Estudou-se os momentos fletores em torno do eixo Y dos modelos 1 e 2, nas análises 1, 2, 3, 4 e 5 (Tabela III.30).

140

Tabela III.27 – Reações horizontais na direção X dos modelos 1 e 2.

Unidade : kN

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 -114 -107 -114 -107 -117 -114 -117 -80 -76 -80 -76 -80 -80 -80

COMB

2 -70 -61 -70 -61 -73 -70 -73 -5 -7 -5 -7 -4 -5 -4

COMB

3 -44 ____ -44 ____ -44 ____ -44 46 ____ 46 ____ 46 ____ 46

Comb 1 – Combinação 1 Comb 3 – Combinação 3 C – Pilar Casca 2ª – 2ª Ordem

Comb 2 – Combinação 2 B – Pilar Barra 1ª – 1ª Ordem

141

Tabela III.28 – Reações horizontais na direção Y dos modelos 1 e 2.

Unidade: kN

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 -366 -349 -366 -349 -373 -366 -373 -1 -1 -1 -1 0,8 -0,8 0,8

COMB

2 -141 -147 -141 -147 -142 -141 -142 0,52 6 0,52 6 0,4 0,52 0,4

COMB

3 -92 ____ -92 ____ -92 ____ -92 29 ____ 29 ____ 29 ____ 29



142

Tabela III.29 – Momentos fletores em torno do eixo X, dos modelos 1 e 2.

Unidade : kN.m

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 1866 3262 1866 3262 1969 1866 1969 6 7,0 6 7,0 6 6 6

COMB

2 211 1679 211 1679 114 211 114 -0,72 -6 -0,72 -6 -1,25 -0,72 -1,25

COMB

3 -92 ____ -92 ____ -92 ____ -92 -1,62 ____ -1,62 ____ -1,62 ____ -1,62



143

Tabela III.30 – Momentos fletores em torno do eixo Y, dos modelos 1 e 2. Unidade : kN.m

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 -553 604 -553 604 -594 -553 -594 -830 -702 -830 -702 -864 -830 -864

COMB

2 -404 843 -404 843 -448 -404 -448 -379 -328 -379 -328 -378 -379 -378

COMB

3 -436 ____ -436 ____ -436 ____ -436 -202 ____ -202 ____ -202 ____ -202



144

Tabela III.31 – Momentos torçores em torno do eixo Z,vento na direção X, dos modelos 1 e 2. Unidade : kN.m

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 -0,02 114 -0,02 114 0,04 -0,02 0,04 0,01 -0,46 0,01 -0,46 0,02 0,01 0,02

COMB

2 0,17 62 0,17 62 0,22 0,17 0,22 0,07 -1,3 0,07 -1,3 0,09 0,07 0,09

COMB

3 0,32 ____ 0,32 ____ 0,32 ____ 0,32 0,14 ____ 0,14 ____ 0,14 ____ 0,14



145

Tabela III.32 – Momentos torçores em torno do eixo Z,vento na direção Y, dos modelos 1 e 2.

Unidade : kN.m

P3 P18

ANÁLISES ANÁLISES

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5AÇÕES


COMB

1 0,17 151 0,17 151 0,18 0,17 0,18 0,07 -0,15 0,07 -0,15 0,08 0,07 0,08

COMB

2 0,23 77 0,23 77 0,27 0,23 0,27 0,1 -1,15 0,1 -1,15 0,12 0,1 0,12

COMB

3 0,21 ____ 0,21 ____ 0,21 ____ 0,21 0,1 ____ 0,1 ____ 0,1 ____ 0,1



146

III.5.7 Momento torçor em torno do eixo Z

Estudou-se os momentos torçores em torno do eixo Z dos modelos 1 e 2, vento na direção X ou Y , nas análises 1, 2, 3, 4 e 5 (Tabelas III.31 e III.32).

Observando-se a tabela III.27, conclui-se que no P3 barra é onde ocorre o maior

valor da reação horizontal na direção X com ação do vento em análise de 2ª ordem, cujo

valor é 116,8 kN. Para o pilar P18, os valores em análise linerar e não linear

praticamente coincidem e tem maior valor de -80,4 kN no pilar (PB).

Da tabela III.28 nota-se que nos pilares (PB) e (PC), as maiores reações

horizontais em Y, ocorrem em análise não linear na combinação 1 de carregamento

para o pilar (PB) com valor -372,8 kN. Para o pilar P18, a maior reação horizontal em

Y, ocorre com ação da imperfeição geométrica global com valor 28,6 kN.

Nota-se da tabela III.29 que é no pilar P3 casca em análise linear onde o maior

valor da reação momento fletor em torno do eixo X com valor 3261,64 kNm para o

vento como ação principal. Já o pilar P18 têm o maior valor desta reação para o pilar

(PB) com o vento como ação principal, em análise de 1ª ordem.

Observa-se da tabela III.30 que para o pilar P3 casca é onde ocorre a maior

reação momento fletor em torno do eixo Y com o vento como ação principal em análise

linear e de valor 603,54 kNm. No pilar P18 barra, atuação do vento como ação principal

em análise não linear é que provoca a maior reação momento fletor em torno do eixo Y

de valor -863,8 kNm.

Analisando as tabelas III.31 e III.32, verifica-se que a atuação do vento como

ação principal em análise linear é quem provoca a maior reação de momento torçor no

pilar P3 casca de valor 150,87 kNm. No pilar P18 casca ocorre o maior valor da reação

de momento torçor com vento como ação secundária em análise linear de valor -1,15

kNm.

147

CAPÍTULO IV CONCLUSÕES E SUGESTÕES Os estudos realizados neste trabalho permitem concluir que :

a) Os deslocamento laterais variam significativamente segundo a análise realizada.

Em todas as análises, os efeitos da imperfeição geométrica global sempre

produziram menores deslocamentos laterais que as ações laterais de vento e das

cargas permanentes, tanto no caso de simulação dos pilares por meio de

elementos de barra quanto de casca. Com o aumento da altura, a relação

numérica entre a ação do vento e a imperfeição geométrica global diminui. Em

estruturas deslocáveis, os efeitos de ações de vento e da imperfeição geométrica

global nos deslocamentos laterais devem ser tratados por análises não lineares.

b) Comparando os deslocamentos dos pilares dos modelos 1 e 2 em análise linear,

os maiores deslocamentos ocorrem devido ao vento como ação principal.

c) Os pilares (PB) e (PC) na análise linear com o vento como ação principal têm

deslocamentos aproximadamente iguais.

d) No modelo 1, os maiores deslocamentos laterais ocorrem na análise não linear

quando o vento é considerado como ação principal.

e) Os maiores esforços normais aparecem nos pilares (PB) e (PC) dos modelos 1 e

2 respectivamente, quando a carga permanente ou a imperfeição geométrica

global é a ação principal, tanto em análise linear quanto em análise não linear.

f) Para um mesmo pilar e uma mesma seção deste, com um dos carregamentos

mencionados acima, os valores dos esforços normais são praticamente

coincidentes nos dois modelos 1 e 2.

g) Podem ocorrer situações onde em algum pilar o vento como ação principal,

origine maiores esforços normais. É o que ocorreu com o pilar P18 do modelo 2

em análise linear, entre o térreo e o 4º pavimento, com ação do vento na direção

Y.

h) Nos pilares (PB) do modelo 1, a atuação do vento como ação principal em

análise não linear gera os maiores momentos fletores nos pavimentos inferiores,

enquanto a imperfeição geométrica global em análise não linear provoca os

maiores momentos fletores nos pavimentos superiores.

148

i) Comparando os valores dos momentos fletores do pilar (PB) do modelo 1 e do

pilar (PC) do modelo 2, em análise linear, verificou-se que os resultados do pilar

(PC) são maiores que os do pilar (PB) para ação do vento como ação principal,

porém, com valores próximos.

j) As cargas permanentes ou a imperfeição geométrica global como ação principal,

na análise não linear são responsáveis pelos maiores momentos torçores nos

modelos 1 e 2. Há, em geral, um crescimento desses momentos no sentido dos

andares superiores. Em análise linear, os maiores momentos torçores ocorrem

em geral, com ação do vento como ação principal, nos modelos 1 e 2.

k) As maiores reações de momentos fletores e torçores ocorrem no pilar (PC) do

modelo 2, sob ação do vento como ação principal em análise linear.

l) Já no pilar (PB) do modelo 1 ocorrem as maiores reações horizontais, porém

muito próximo dos pilares (PC) do modelo 2, com ação do vento como

carregamento principal, em análise não linear. Quando da atuação do vento

como ação secundária em análise linear, nos pilares (PC) do modelo 2 ocorrem

os maiores valores das reações verticais, porém muito próximos dos respectivos

pilares (PB) do modelo 1.

Se o vento atua na direção Y como ação principal em análise linear, pode ocorrer

em algum pilar nos dois modelos 1 e 2 maiores valores das reações verticais.

m) Conclui-se das observações anteriores, que, os resultados dos deslocamentos

laterais e os maiores esforços seccionais simples são próximos nos dois

modelos 1 e 2. Assim, é preferível modelar os elementos lineares do sistema

estrutural com elementos finito de barra, pois, é mais prático e o custo

computacional é menor. A modelagem dos pilares parede com elemento finito

de casca é indicada quando, se quer analisar parâmetros como, distorção angular

torcional, bimomentos, efeito shear lag e empenamento da seção transversal do

pilar.

Os estudos realizados neste trabalho podem ser continuados através das seguintes

sugestões:

a) Realizar estudos que considerem a aplicação da imperfeição geométrica global

em análises lineares para comparação com as análises não lineares em estruturas

modeladas com pilar barra e pilar casca.

149

b) Analisar o comportamento desses sistemas estruturais, com a consideração de

recalques diferenciais nos apoios.

c) Estudar o comportamento dessas estruturas com a consideração de todas as

ações simultaneamente, como cargas permanentes, ação de vento, imperfeição

geométrica global, recalques dos apoios, incluindo a interação solo-estrutura.

d) Estudar o comportamento dessas estruturas submetidas a solicitações dinâmicas,

devendo-se analisar os parâmetros dinâmicos e o conforto humano.

150

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154

ANEXOS

Figura A.1: Fachada Leste

155

Figura A.2: Fachada Norte

156

Tabela A.1: Seções Transversais das Vigas Unidade: cm

SEÇÃO VIGAS 1º trecho 2º trecho 3º trecho 4º trecho 5º trecho 6º trecho

V1 15/75 Detalhe 1

V2 Detalhe 2 Detalhe.3 V3 Detalhe 4 Detalhe 5 V4 Detalhe 6 Detalhe 7 Detalhe 8 V5 Detalhe 9 Detalhe 10 Detalhe 11 Detalhe 12 Detalhe 13 V6 Detalhe 14 Detalhe 15 Detalhe 16 Detalhe 17 Detalhe 16 Detalhe 3 V7 Detalhe 9 Detalhe 18 Detalhe 19 Detalhe 20 Detalhe 21 Detalhe 22 V8 Detalhe 23 Detalhe 14 Detalhe 15 V9 Detalhe 24 V10 Detalhe 25 V11 Detalhe 24 V12 Detalhe 26 Detalhe 9 Detalhe 22 V13 Detalhe 27 Detalhe 28 V14 Detalhe 29 V15 Detalhe 30 V16 Detalhe 31 V17 Detalhe 32 V18 Detalhe 33 V19 Detalhe 34 V20 Detalhe 8 V21 Detalhe 35 V22 Detalhe 36 V23 Detalhe 27 V24 Detalhe 37 V25 Detalhe 7 V26 Detalhe 19 Detalhe 38 V27 Detalhe 31 V28 Detalhe 39 Detalhe 40 V29 Detalhe 41 V30 Detalhe 42 V31 Detalhe 43 V32 Detalhe 44 Detalhe 35 V33 Detalhe 45

157

Figura A.3 – Geometria das seções das vigas

158

Tabela A.2: Seções Transversais dos Pilares Unidade: cm

PILARES SEÇÃO

P1

Detalhe 1 P2 285/25 P3 Detalhe 2 P4 250/30 P5 Detalhe 3 P6 Detalhe 4 P7 Detalhe 5 P8 180//25 P9 180/25 P10 120/50 P11 250/50 P12 180/25 P13 180/25 P14 200/25 P15 180/35 P16 200/35 P17 180/25 P18 200/25

Figura A.4 – Geometria das seções dos pilares

159

Tabela A.3: Coordenadas dos Nós da Base Unidade:M

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

Direção

X

-

6,813

-

6,625 2,1714 6,85 -2,575 -0,625 1,918

-

7,825

-

7,825 2,5

Direção

Y 23,55 23,55 23,9143 24,825 19,275 19,103 19,084 18,3 13,85 13,85

P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18

Direção X 6,8 -7,825 0 7,2 0 7,2 0 7,2

Direção Y 13,85 10,5 10,5 10,5 7,05 7,05 0 0

160

Tabela A.4: Rotações em Torno dos Eixos X e Y e Translações na Direção do Eixo Z dos

Nós da Base para Considerar a Imperfeição Geométrica Global.

Pilar θa (rad.) x 10-3 (dzi)x (m) x 10-2 (dzi)y (m) x 10-2

P1 2,4216 θa . 6,8132 = 1,65 θa( -23,55) = -5,703

P2 2,4216 θa . 0,625 = 0,15135 θa( -23,55) = -5,703

P3 2,4216 θa . –2,1714 = 0,5258 θa( -23,9143) = -5,791

P4 2,4216 θa . (-6,85) = - 1,6588 θa( -24,825) = -6,012

P5 2,4216 θa . 2,575 = 0,6236 θa( -19,275) = -4,6668

P6 2,4216 θa . 0,625 = 1,5135 θa( -19,103) = - 4,626

P7 2,4216 θa . (-1,918) = -0,4645 θa(-19,084) = -4,621

P8 2,4216 θa . 7825 = 1,895 θa(-18,3) = - 4, 432

P9 2,4216 θa . 7,825 =1,895 θa(-13,85) = -3, 354

P10 2,4216 θa . (-2,5) = - 0,6054 θa(-13,85) = -3,354

P11 2,4216 θa . (-6,8) = - 1,647 θa(-13,85) = - 3,354

P12 2,4216 θa .7,825 = 1,895 θa(-10,5) = -2,543

P13 2,4216 θa . 0 = 0 θa(-10,5) = - 2,543

P14 2,4216 θa . (-7,2) = - 1,744 θa(-10,5) = - 2,543

P15 2,4216 θa . 0 = 0 θa( -7,05) = -1,707

P16 2,4216 θa . (-7,2) = - 1,744 θa(-7,05) = -1,707

P17 2,4216 θa . 0 = 0 θa . 0 = 0

P18 2,4216 θa . (-7,2) = - 1,744 θa . 0 = 0

161

Tabela A.5: Áreas efetivas de atuação do vento por pavimento em cada nó escolhido. Unidade: m2

DIREÇÃO X Y Pavimento

Nó 1º 2º ao 6º 1º 2º ao 6º

1 3,928 5,237 2,469 3,292 2 7,535 10,046 8,123 10,83 3 7,294 9,726 8,646 11,528 4 7,268 9,69 6,199 8,268 5 15,31 20,413 7,428 9,904 6 11,73 15,639 8,059 10,759 7 3,848 5,13

162

Tabela A.6: Forças de arrasto na direção X devido à ação do vento nos nós escolhidos para cada pavimento. Unidade: 103 kN

PAVIMENTO 1 2 3 4 5 6 1º 1,498 2,874 2,783 2,772 5,84 4,475 2º 2,016 3,867 3,743 3,73 7,857 6,02 3º 2,314 4,439 4,297 4,281 9,019 6,91 4º 2,534 4,861 4,706 4,688 9,877 7,567 5º 2,712 5,202 5,036 5,018 10,57 8,098 6º 2,863 5,492 5,316 5,297 11,16 8,549 7º 2,995 5,745 5,562 5,541 11,67 8,944 8º 3,113 5,971 5,781 5,76 12,13 9,296 9º 3,22 6,177 5,98 5,958 12,55 9,615 10º 3,318 6,365 6,126 6,139 12,93 9,909 11º 3,409 6,539 6,331 6,307 13,29 10,18 12º 3,494 6,702 6,488 6,464 13,62 10,43 13º 3,573 6,854 6,636 6,611 13,93 10,67 14º 3,648 6,998 6,775 6,75 14,22 10,89 15º 3,719 7,135 6,907 6,882 14,5 11,11 16º 3,787 7,264 7,033 7,007 14,76 11,31 17º 3,851 7,388 7,152 7,126 15,01 11,5 18º 3,913 7,506 7,267 7,24 15,25 11,69 19º 3,972 7,62 7,377 7,35 15,48 11,86 20º 4,029 7,729 7,482 7,455 15,7 12,03 21º 4,084 7,834 7,584 7,556 15,92 12,2 22º 4,137 7,935 7,682 7,654 16,12 12,35 23º 4,188 8,033 7,777 7,749 16,32 12,51 24º 4,237 8,128 7,869 7,84 16,52 12,65 25º 4,285 8,22 7,958 7,929 16,7 12,8 26º 4,332 8,31 8,044 8,015 16,88 12,94

163

Tabela A.7: Forças de arrasto na direção Y devido à ação do vento nos nós escolhidos para cada pavimento. Unidade: 103 kN

NÓS PAVIMENTO 1 2 3 4 5 6 7

1º 0,942 3,099 3,298 2,365 2,834 3,078 1,468 2º 1,267 4,168 4,437 3,181 3,812 4,141 1,975 3º 1,454 4,785 5,093 3,652 4,376 4,753 2,267 4º 1,593 5,24 5,578 3,999 4,792 5,206 2,482 5º 1,705 5,608 5,969 4,28 5,128 5,571 2,656 6º 1,799 5,92 6,302 4,518 5,414 5,881 2,804 7º 1,882 6,193 6,593 4,726 5,664 6,153 2,934 8º 1,957 6,437 6,852 4,913 5,887 6,395 3,049 9º 2,024 6,659 7,088 5,081 6,089 6,615 3,154 10º 2,086 6,862 7,304 5,236 6,275 6,816 3,25 11º 2,143 7,049 7,504 5,38 6,447 7,003 3,339 12º 2,196 7,225 7,691 5,514 6,607 7,177 3,422 13º 2,246 7,389 7,866 5,639 6,757 7,341 3,5 14º 2,293 7,544 8,031 5,758 6,899 7,495 3,574 15º 2,338 7,691 8,187 5,87 7,034 7,641 3,643 16º 2,38 7,831 8,336 5,976 7,161 7,78 3,709 17º 2,421 7,964 8,478 6,078 7,283 7,912 3,773 18º 2,46 8,092 8,614 6,175 7,4 8,039 3,833 19º 2,497 8,214 8,744 6,269 7,512 8,16 3,891 20º 2,532 8,332 8,869 6,359 7,619 8,277 3,947 21º 2,567 8,445 8,99 6,445 7,723 8,39 4 22º 2,6 8,554 9,106 6,528 7,823 8,498 4,052 23º 2,632 8,66 9,218 6,609 7,919 8,603 4,102 24º 2,663 8,762 9,327 6,687 8,013 8,705 4,151 25º 2,693 8,862 9,433 6,763 8,104 8,803 4,198 26º 2,723 8,958 9,535 6,836 8,192 8,899 4,243

modelagem de pilares paredes em edifÍcios...recife – pernambuco – brasil dezembro 2002 f866m...

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